Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика динамика примеры задачи с решением

Законы динамики, уравнения движения материальной точки. принцип даламбера

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат законы, сформулированные Ньютоном.

Первый закон — закон инерции, установленный Галилеем, гласит:

материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения» пока воздействие других тел не изменит это состояние.

Второй закон — основной закон динамики — устанавливает связь между ускорением Теоретическая механика динамика массой Теоретическая механика динамика материальной точки Теоретическая механика динамика и силой Теоретическая механика динамика (рис. 1.51, а): ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Запишем этот закон в форме, которую придал ему Эйлер:

Теоретическая механика динамика

В классической механике масса т принята за постоянную величину. Масса является мерой инертности материальных тел в их поступательном движении. Запишем основной закон динамики в скалярном виде, проецируя векторные величины, входящие в равенство* на оси координат:

Теоретическая механика динамика

Третий закон формулируется следующим образом: всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Курс теоретической механики

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика курсовая работа

Этот закон устанавливает, что при взаимодействии двух тел, в каком бы кинематическом состоянии они не находились, силы, приложенные к каждому из них, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Теоретическая механика динамика

Четвертый закон не был сформулирован Ньютоном как отдельный закон механики, но таковым можно считать сделанное им обобщение правила параллелограмма сил:

  • несколько одновременно действующих сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщала бы одна сила, равная их геометрической сумме.

Основной закон динамики можно записать в скалярном виде, спроецировав векторы либо на декартовы, либо на естественные оси координат. В первом случае получим уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат:

Теоретическая механика динамика

где Теоретическая механика динамика

Во втором случае получим естественные уравнения движения:

Теоретическая механика динамика

где Теоретическая механика динамика

Проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю Теоретическая механика динамика поэтому Теоретическая механика динамика

Пример решения задачи 1.14

Уравнения движения материальной точки Теоретическая механика динамика массой Теоретическая механика динамика имеют вид

Теоретическая механика динамика

Определить равнодействующую приложенных к материальной точке сил и траекторию ее движения.

Решение.

1. Определяем проекции ускорения на оси координат. Для этого сначала определим проекции скорости на те же оси:

Теоретическая механика динамика

2. Определяем проекции равнодействующей силы. Поскольку Теоретическая механика динамикаТеоретическая механика динамика и Теоретическая механика динамика то

Теоретическая механика динамика

3. Определяем модуль равнодействующей:

Теоретическая механика динамика

4. Определяем направление равнодействующей:

Теоретическая механика динамика

Очевидно, что угол наклона равнодействующей силы по отношению к осям координат меняется.

5. Определяем траекторию движения материальной точки. Для исключения переменной Теоретическая механика динамика возведем в квадрат и сложим уравнения движения. В результате получим уравнение окружности с радиусом Теоретическая механика динамика

Из полученного решения можно сделать следующий вывод: материальная точка движется по окружности радиусом г под воздействием приложенной к ней силы, которая все время направлена к центру этой окружности.

Принцип ДАламбера

Принципом Д'Аламбера называют общий метод, с помощью которого уравнениям динамики придается вид уравнений статики. Для этого вводится понятие «сила инерции материальной точки» — сила, равная произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно ускорению:

Теоретическая механика динамика

Положим, что материальная точка Теоретическая механика динамика под действием системы сил Теоретическая механика динамика движется с ускорением Теоретическая механика динамика (рис. 1.51, б), в этом случае основное уравнение динамики будет иметь вид

Теоретическая механика динамика

Перенесем член Теоретическая механика динамика из левой части уравнения в правую. Тогда

Теоретическая механика динамика

Так как Теоретическая механика динамика то

Теоретическая механика динамика

Полученное соотношение выражает принцип Д'Аламбера и формулируется следующим образом;

  • геометрическая сумма всех приложенных к точке сил и силы инерции этой точки равна нулю.

Принцип Д'Аламбера применим как для свободной, так и для несвободной материальной точки, так как, освобождая материальную точку от связей и заменяя их действие пассивными силами, мы рассматриваем движение точки под действием активных и пассивных сил, которые сообщают ей ускорение.

Следует помнить, что к материальной точке инерционная сила приложена лишь условно. Фактически сила инерции приложена не к материальной точке, а к телу, сообщающему ей ускорение.

Этот метод получил широкое применение при расчетах на прочность при динамических нагрузках (см. пример 2.18 в главе 2).

Силу инерции можно разложить на касательную Теоретическая механика динамика (тангенциальную) и нормальную Теоретическая механика динамика (центробежную) составляющие (рис. 1.51, в)

Теоретическая механика динамика

где Теоретическая механика динамика — радиус кривизны траектории.

В случае круговой траектории точки (радиус окружности Теоретическая механика динамика), принадлежащей телу, вращающемуся с угловой скоростью Теоретическая механика динамика и угловым ускорением Теоретическая механика динамика тангенциальная и центробежная составляющие силы инерции имеют вид

Теоретическая механика динамика

Силы, действующие на точки механической системы

еханической системой называют мысленно выделенную совокупность материальных точек, взаимодействующих между собой. Механическую систему иногда называют материальной системой или системой материальных точек. Существуют системы свободных (например, Солнечная система) и несвободных материальных точек (их движения ограничены связями). Примером системы несвободных точек может служить любой механизм или машина, Все силы, действующие на систему несвободных точек, подразделяют на задаваемые (активные) силы и реакции связей (пассивные силы).

По другому признаку силы, действующие на точки любой механической системы, делят на внешние и внутренние. Условимся обозначать внешние силы Теоретическая механика динамика а внутренние силы Теоретическая механика динамика

Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны материальных точек, не входящих в состав данной системы.

Внутренними силами называются силы взаимодействия между материальными точками данной механической системы. Примером внутренних сил могут служить силы упругости, действующие между частицами упругого тела, принятого за механическую систему.

Одна и та же сила может быть как внешней, так и внутренней в зависимости от того, какая механическая система рассматривается. Например, реакции подшипников вала являются внешними силами по отношению к валу. Эти же реакции можно отнести к внутренним силам, если рассматривать всю установку вместе с машиной.

Таким образом, любая сила может быть внешней или внутренней, в то же время она может быть задаваемой или реакцией связи. Движение точек системы зависит как от внешних, так и от внутренних сил.

По закону равенства действия и противодействия каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. На основании этого можно сделать следующие выводы.

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равен нулю:

Теоретическая механика динамика

Следовательно, и суммы их проекций на координатные оси также равны нулю:

Теоретическая механика динамика

2. Главный вектор-момент всех внутренних сил системы относительно любого центра и координатных осей равен нулю:

Теоретическая механика динамика

или

Теоретическая механика динамика

Эти уравнения имеют вид уравнений равновесия сил, произвольно приложенных в пространстве, однако в них входят внутренние силы, которые не уравновешиваются, так как они приложены к разным точкам системы и могут вызвать перемещение этих точек относительно друг друга.

Теорема о движении центра масс механической системы

Представим, что механическая система массой Теоретическая механика динамика состоит из Теоретическая механика динамика материальных точек (рис. 1.52). Известно (см. подразд. 1.6), что можно найти положение центра масс такой системы, если заданы массы Теоретическая механика динамика точек и их координаты:

Теоретическая механика динамика

или Теоретическая механика динамика

Дважды продифференцировав эти равенства, получим

Теоретическая механика динамика

Правые части полученных уравнений в соответствии с основным законом^намики представляют собой сумму внешних Теоретическая механика динамика и внутренних Теоретическая механика динамика сил, действующих на эти материальные точки, в проекциях на соответствующие оси координат. Следовательно, последние уравнения можно переписать так:

Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика динамика

Учитывая, что главный вектор внутренних сил равен нулю Теоретическая механика динамика получим

Теоретическая механика динамика

Эти уравнения выражают теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом.

Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на эту систему.

Отсюда следует, что внутренние силы не оказывают влияния на движение центра масс механической системы.

Пример решения задачи 1.15.

Определить перемещение плавучего крана, поднимающего груз массой Теоретическая механика динамика при повороте стрелы крана до вертикального положения (рис. 1.53). Масса крана Теоретическая механика динамика Длина стрелы Теоретическая механика динамика равна Теоретическая механика динамика Сопротивлением воды пренебречь.

Решение.

1. Выбираем систему отсчета (рис. 1.53, а).

Теоретическая механика динамика

2. Проставляем все внешние силы, действующие на материальные Теда данной механической системы. На плавучий кран действуют сила тяжести Теоретическая механика динамика (заданная сила) и сила Теоретическая механика динамика (реакция, т.е. пассивная сила}; к грузу приложена только одна внешняя сила — его вес Теоретическая механика динамика

3. Запишем уравнения движения центра масс механической системы

Теоретическая механика динамика

или

Теоретическая механика динамика

4. Будем исследовать первое уравнение, так как нас интересует движение центра масс по горизонтали. Поскольку Теоретическая механика динамика то скорость центра масс вдоль оси Теоретическая механика динамика Это означает, что скорость центра масс в этом направлении в любой момент времени неизменна, т.е. справедливо равенство Теоретическая механика динамика

В начальный момент система находилась в покое, следовательно, Теоретическая механика динамикаТеоретическая механика динамика А так как Теоретическая механика динамика то Теоретическая механика динамика

Таким образом, анализ уравнения движения центра масс вдоль оси Теоретическая механика динамика показал, что начальная и конечная координаты центра масс совпадают: Теоретическая механика динамика

5. Запишем формулы для определения начального и конечного положений центра масс механической системы:

Теоретическая механика динамика

6. Выразим начальные и конечные координаты материальных тел системы в соответствии с выбранной системой отсчета (см. рис. 1.53, а и б):

Теоретическая механика динамика

7. Определяем перемещение Теоретическая механика динамика плавучего крана. Приравнивая Теоретическая механика динамикаТеоретическая механика динамика получим

Теоретическая механика динамика

или

Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика динамика

Ответ: Теоретическая механика динамика