Теорема сложения вероятностей

Содержание:

1. Несовместные события
2. Полная группа событий
3. Противоположные события
4. Рассмотрим несколько примеров с решением на применение теоремы сложения и со следствий.

Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим различные типы групп событий.

Несовместные события

Определение 4. Суммой двух событий Аи В называют событие С = А +В, которое заключается в наступлении либо события Л, либо события В, либо событий А и В одновременно.

Это определение напоминает определение суммы множеств*, что используется в теоретико-множественном подходе в теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события Аи В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А 4- В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо при обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема 1.1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1.1. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Предмет теория вероятности

Пример 1.

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти зоны соответственно равны 0,4; 0,3; 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зону.

Решение. Пусть событие А — попадание в первую зону мишени, а событие В — попадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема 1.1 и формула (1.7) сложения вероятностей. Искомая вероятность

Полная группа событий

Теорема 1.2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Математическое ожидание формула

Формула лапласа

Теорема умножения вероятностей

Сочетания с повторениями

Пример 2.

На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение:

Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного изделия образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, и тогда искомая вероятность равна 0,95.

Противоположные события

Определение 5. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 1.2 следует, что

Например, если при стрельбе по мишени попадание — это событие А, то событие — это промах; сумма их вероятностей равна единице — при выстреле обязательно будет либо попадание, либо промах. То же имеет место и при подбрасывании монеты: обязательно выпадет либо орел, либо решка.

Пример 3.

В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых трех телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение:

События «среди взятых телевизоров нет ни одного неисправного» и «есть хотя бы один неисправный» — противоположные. Первое из них обозначим через А, а второе — через . Общее число способов, которыми можно взять 3 изделия из 10, равно Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех изделий равно так что вероятность Искомая вероятность определяется из формулы (1.10):

Предположим, что из этих случаев т благоприятны событию А, а —событию В. Тогда

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и А, и В вместе. Следовательно, событию А В благоприятны случаев и

Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий.

Обозначая событие буквой D и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что

Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для событий:

и докажем, что она будет справедлива для событий:

Обозначим:

Имеем:

Но так как для п событий мы считаем теорему уже доказанной, то

откуда

что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде:

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1. Если события образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие:

Так как — несовместные события, то к ним приме-

нима теорема сложения вероятностей

откуда

что и требовалось доказать.

Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о «противоположных событиях».

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.

Примеры противоположных событий.

1) —попадание при выстреле,

— промах при выстреле;

2) — выпадение герба при бросании монеты,

— выпадение цифры при бросании монеты;

3) — безотказная работа всех элементов технической системы,

— отказ хотя бы одного элемента;

4) — обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии,

— обнаружение не более одного бракованного изделия.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность прямого события А. В этих случаях вычисляют Р(А) и находят

Рассмотрим несколько примеров с решением на применение теоремы сложения и со следствий.

Пример 4.

В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов — выигрыши по 100 руб., на 50 билетов — выигрыши по 20 руб.. на 100 билетов — выигрыши но 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение:

Рассмотрим события:

Очевидно,

По теореме слбжеиия вероятностей

Пример 5.

Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение:

Рассмотрим события:

Очевидно,

Так как при сбрасывании одной бомбы события несовместны, то

Пример 6.

Круговая мишень (рис. 3.2.1) состоит из трех зон: /, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение:

Обозначим А —промах,

—попадание.

Тогда

где — попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны

, откуда

Как уже указывалось, теорема сложения вероятностей (3.2.1) справедпива ттько для несовместных событий. В случае, когда события А и В совместны» вероятность суммы этих событий выражается формулой

В справедливости формулы (3.2.3) можно наглядно убедиться рассматривая рис. 3.2.2.

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле

Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис. 3.2.3).

Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

где суммы распространяются на различные значения индексов и т. д.

Формула (3.2.4) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.

Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно, из рис. 3.2.2 непосредственно ясно, что

Из рис. 3.2.3 видно, что

Общая формула, выражающая вероятность произведения прокз-вольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д., имеет вил;

Формулы типа (3.2.4) и (3.2.7) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает пользоваться только суммами, а в других только произведениями событий: для преобразования одних в другие и служат подобные формулы.

Пример 7.

Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа — —и одного агрегата второго типа —В. Агрегаты дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат В не дублирован. Для того чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата или же агрегат В. Таким образом, отказ устройства— событие С — представляется в виде:

где —отказ агрегата — отказ агрегата —отказ агрегата В.

Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий .

Решение:

По формуле (3.2.3) имеем:

по формуле (3.2.5)

по формуле (3.2.6)

Подставляя эти выражения в (3.2.8) и производя сокращения, получим: