Связи и их реакции теоретическая механика

Связи и их реакции теоретическая механика

Связи и их классификация

В механике необходимо более подробно рассмотреть связи, налагаемые на точки механической системы. Механической сиотемой, как известно, называют любую совокупность материальных точек. Условия, ограничивающие свободу перемещения точек механической системы, называютя связями. Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты всех или части точек системы и их производные по времени различных порядков. Для одной точки уравнение связи в общем случае можно выразить в форме

Связи и их реакции теоретическая механика

В дальнейшем ограничимся рассмотрением связей, в уравнения которых могут входить производные по времени от координат не выше первого порядка.

Для механической системы, состоящей из Связи и их реакции теоретическая механика точек, Связи и их реакции теоретическая механика уравнений связей представятся системой уравнений

Связи и их реакции теоретическая механика

Считается, что индекс Связи и их реакции теоретическая механика принимает все или часть значений от Связи и их реакции теоретическая механика до Связи и их реакции теоретическая механика как для координат, так и для их производных.

Если в уравнения связей (2) входят только координаты точек и не входят производные от координат, то связи называются геометрическими. Уравнение геометрической связи для системы имеет форму

Связи и их реакции теоретическая механика

Если в уравнения связей кроме координат входят еще и их производные по времени (проекции скоростей точек на оси координат) или только одни производные, кроме времени, то связи называются кинематическими. В этом случае уравнения связей являются дифференциальными уравнениями для координат точек.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Из геометрических связей дифференцированием можно получить связи кинематические. Из кинематических связей геометрические получаются не всегда, так как дифференциальные уравнения не всегда могут быть проинтегрированы.

Иногда дифференциальное уравнение связи можно представить как производную по времени от некоторой функции координат и, возможно, времени

Связи и их реакции теоретическая механика

После интегрирования такая кинематическая связь становится геометрической.

Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называются голономными. Неинтегрируемые кинематические связи, которые нельзя свести к геометрическим, являются неголономными. Важный класс механических систем о неголономными связями (неголоном-ных систем) интенсивно исследуется в настоящее время, и эти исследования еще далеки от завершения. В дальнейшем изложении систематически системы с такими связями не рассматриваются.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Скачать теоретическую механику

Задания по теоретической механике

Теоретическая механика ответы на тесты

Скорость точки по теоретической механике

При движении механической системы координаты точек и их производные по времени, входящие в уравнения связей, могут зависеть от времени. Кроме того, в уравнения связей время может входить явно, помимо координат и их производных. Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными или склерономными. Если время входит явно в уравнение связи, то связь называется нестационарной или реономной. Нестационарные связи обычно реализуются посредством движущихся или деформирующихся тел.

Связи и их реакции теоретическая механика

В простейшем случае одной точки нестационарная геометрическая связь в форме движущейся или деформируемой поверхности имеет уравнение

Связи и их реакции теоретическая механика

Связи называют неосвобождающими или двусторонними, если они выражаются математически уравнениями, и освобождающими или од-посторонними, если они выражаются неравенствами. Для одной точки Связи и их реакции теоретическая механика скрепленной с концом жесткого стержня, другой конец которого закреплен в неподвижной точке Связи и их реакции теоретическая механика связь (жесткий стержень) является геометрической, неосвобождающей (рис. 94). Ее уравнение

Связи и их реакции теоретическая механика

где Связи и их реакции теоретическая механика — длина стержня. Если стержень заменить нитью такой же длины, то связь (нить) будет освобождающей. Она математически выражается неравенством Связи и их реакции теоретическая механика

Если при движении точка Связи и их реакции теоретическая механика окажется от точки Связи и их реакции теоретическая механика на расстоянии, меньшем длины нити, то нить уже не стесняет свободу перемещения точки. Связь освобождает точку от своего действия (пунктир на рис, 94). В дальнейшем освобождающие связи рассматривать не будем.

Все связи можно разделить на реальные и идеальные. К идеальным связям относятся все связи без трения. Некоторые связи g трением тоже относятся к идеальным. Понятие идеальных связей дается после введения понятия возможного перемещения системы.

Для формулирования принципа возможных перемещений, определяющего условия равновесия механической системы, требуется ввести понятие возможного, или виртуального, перемещения. Для одной точки возможным перемещением называется такое бесконечно малое (э.гементарное) мысленное перемещение, которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями. Для возможного перемещения не требуется времени на его совершение. Это мысленное перемещение, которое могла бы совершить точка при наложенных на нее связях в рассматриваемый момент времени. В отличие от элементарного (бесконечно малого) действительного перемещения точки Связи и их реакции теоретическая механика которое совершает точка за время Связи и их реакции теоретическая механика под действием приложенных сил при заданных начальных условиях и наложенных связях, возможное перемещение Связи и их реакции теоретическая механика определяется только связями в данный момент Проекции возможного перемещения Связи и их реакции теоретическая механика на оси координат, или вариации координат, обозначают Связи и их реакции теоретическая механика а проекции элементарного действительного перемещения на оси координат, или дифференциалы координат при изменении времени на Связи и их реакции теоретическая механика обозначают Связи и их реакции теоретическая механика Связи и их реакции теоретическая механика

Если связью для точки является, например, движущаяся поверхность, уравнение которой Связи и их реакции теоретическая механика то действительное перемещение точки Связи и их реакции теоретическая механика за время Связи и их реакции теоретическая механика является в общем случае векторной суммой перемещений по поверхности и вместе с поверхностью. Все возможные перемещения точки Связи и их реакции теоретическая механика в данный момент времени Связи и их реакции теоретическая механика расположатся на поверхности в попожении, которое она занимает в рассматриваемый момент времени. Действительное перемещение при заданных начальных условиях и силах, которое точка может совершить от момента времени Связи и их реакции теоретическая механика до момента Связи и их реакции теоретическая механика только одно. Возможных перемещений у точки в момент времени Связи и их реакции теоретическая механика бесконечно много.

  • Все они допускаются связью (поверхностью) и как отрезки бесконечно малой длины расположатся в касательной плоскости к поверхности в точке, в которой находитсл рассматриваемая точка в данный момент времени.

Возможное перемещение Связи и их реакции теоретическая механика как и действительное Связи и их реакции теоретическая механика является вектором и потому всегда изображаемся направленным прямолинейным отрезком Очевидно, что элементарное действительное перемещение точки принадлежит к чисау возможных, если связь стационарна, т. е действительное перемещение не содержит перемещения ьместе со связью.

Возможное перемещение точки Связи и их реакции теоретическая механика считают изохронной вариацией радиус-вектрра. т. е. его полным дифференциалом, но при фиксированном времени, когда изменяются (варьируются) только координаты точки. Соответственно Связи и их реакции теоретическая механика — изохронные вариации координат точки. допускаемые связями. Действительное перемещение Связи и их реакции теоретическая механика является полным дифференциалом радиус-вектора, который определяется по изменению координат точки в зависимости от изменения времени; Связи и их реакции теоретическая механика — полные дифференциалы координат точки при изменении независимого переменного Связи и их реакции теоретическая механика на величину Связи и их реакции теоретическая механика

Возможным перемещением системы называют любую совокупность возможных перемещений точек системы. В общем случае система может иметь несколько и даже бесконечно много возможных перемещений. Вследствие уравнений связей, наложенных на систему, не все возможные перемещения являются независимыми. Число независимых возможных перемещений называют числом степеней свободы системы.

Свободная точка имеет три степени свободы. В этом случае возможные перемещения (вариации) Связи и их реакции теоретическая механика (или выраженные через вариации каких-либо других координат) являются независимыми. Если точка движется по поверхности Связи и их реакции теоретическая механика то Связи и их реакции теоретическая механикасвязаны соотношением

Связи и их реакции теоретическая механика

которое получают разложением в степенной ряд функции Связи и их реакции теоретическая механикаСвязи и их реакции теоретическая механика при пренебрежении слагаемыми второго и более высокого порядка по отношению к Связи и их реакции теоретическая механика Независимых вариаций координат, а следовательно, и степеней свободы будет две. Время при этом не варьируется, оно фиксировано. Связь между вариациями координат не зависит от того, входит время явно в уравнения связей или нет. Проекции на оси координат действительного перемещения точки Связи и их реакции теоретическая механика если связь выражается уравнением Связи и их реакции теоретическая механика в отличие от возможных определяется зависимостью

Связи и их реакции теоретическая механика

которая тоже получается разложением в степенной ряд функции Связи и их реакции теоретическая механика и отбрасыванием слагаемых второй и более высоких степеней величин Связи и их реакции теоретическая механика Если точка движется по кривой линии, то степеней свободы у нее будет только одна, так как кривую линию можно представить как пересечение двух поверхностей.

Элементарную работу силы на возможном перемещении ее точки приложения вычисляют_по_ обычным формулам для элементарной работы, например, Связи и их реакции теоретическая механика и другим формулам для элементарной работы. Для механической системы, состоящей из N точек, к которым приложены силы, элементарная работа этих сил на каком-либо возможном перемещении системы соответственно выразится так:

Связи и их реакции теоретическая механика

Элементарная работа сил при этом зависит от выбора возможного перемещения системы.

Обозначим силы реакций связей для точек системы Связи и их реакции теоретическая механика Тогда связи системы называются идеальными, если для любого возможного перемещения системы выполняется условие

Связи и их реакции теоретическая механика

Условие (6) является определением идеальных связей. Важно отметить, что это условие должно выполняться для всех возможных перемещений системы. При этом вся совокупность связей является идеальной. Может быть идеальной каждая из связей в отдельности. Приведем примеры идеальных связей.

  • 1. В абсолютно твердом теле точки связаны идеальными связями. Силами реакций связей в этом случае являются внутренние силы, для которых было доказано, что сумма элементарных работ этих сил на любых элементарных перемещениях точек тела равна нулю.
  • 2. Абсолютно гладкая поверхность или абсолютно гладкая линия, является идеальной связью для точки. Возможные перемещения точки с такими связями направлены по касательным к поверхности или линии. Силы реакций в этих случаях направлены по нормалям к ним, т.е. перпендикулярны силам. Так, например, все шарниры (поверхности) без трения, подвижные и неподвижные, являются связями, идеальными для тел, соединенных такими связями. Шарниры без трения, как связи идеальные, эквивалентны связям между точками в твердом теле.
  • 3. Гибкие нерастяжимые связи типа нитей, канатов, тросов и т. п., соединяющих точки системы, являются связями идеальными. В каждом сечении такой связи силы реакций (силы натяжения) равны по модулю и противоположны по направлению, а возможные перемещения у их точек приложения одни и те же. Сумма элементарных работ сил натяжении для всех мыслимых сечений таких связей равна нулю.
  • 4. Закрепленные точки системы по отдельности являются связями идеальными, так как их возможные перемещения равны нулю.
  • 5. Шероховатая поверхность для катков, катящихся по ней без скольжения, при отсутствии трения качения и, следовательно, соприкосновения в одной точке или по одной линии, скорости точек которых равны нулю, является связью идеальной. Возможные перемещения в точке или в точках линии соприкосновения равны нулю в каждый момент времени, так как равны нулю скорости в точках соприкосновения, как и для закрепленных точек.

Принцип возможных перемещений, илн принцип Лагранжа, содер* жит необходимые и достаточные условия равновесия некоторых механических систем. Он формулируется следующим образом: для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, стационарным и неосвобождтощим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю, т. е.

Связи и их реакции теоретическая механика

где Связи и их реакции теоретическая механика — активная сила, приложенная к Связи и их реакции теоретическая механика точке системы; Связи и их реакции теоретическая механика — радиус-вектор этой точки (рис. 95).

Докажем необходимость условия (7) для равновесия системы, т. е. докажем, что если система находится в равновесии, то активные силы удовлетворяют условию (7). Действительно, если механическая система находится в равновесии, то для каждой ее точки активная сила Связи и их реакции теоретическая механика и сила реакции связей Связи и их реакции теоретическая механика удовлетворяют условию равновесия статики для сил, приложенных к точке:

Связи и их реакции теоретическая механика

Умножая обе части этого равенства скалярно на возможное перемещение точки Связи и их реакции теоретическая механика и суммируя по всем точкам системы, получим

Связи и их реакции теоретическая механика

Связи и их реакции теоретическая механика

По условию идеальности связей, Связи и их реакции теоретическая механика и для активных сил получаем условие (7).

Докажем достаточность условия (7) для равновесия системы, т. е. что если это условие выполняется для активных сил, действующих на точки системы, то система находится в равновесии при выполнении других условий принципа возможных перемещений. Теорема о достаточности условия (7) для равновесия системы доказывается методом от противного. Предполагается, что условие (7) и все остальные условия теоремы выполняются, а система вышла из равновесия. Если теорема о достаточности справедлива, то должно возникнуть противоречие с условиями теоремы. Итак, пусть все условия теоремы выполняются, а система вышла из равновесия. При этом по крайней мере для одной гочки системы не будет выполняться условие равновесия для сил, т. е.

Связи и их реакции теоретическая механика

Дадим системе возможное перемещение. Так как связи стационарные, то элементарное действительное перемещение для каждой точки системы под действием не равной нулю равнодействующей силы принадлежит к числу возможных перемещений и их совокупность можно выбрать в качестве возможного перемещения системы.

Скорости точек системы в рассматриваемый момент времени по условию равны нулю;

Следовательно, элементарные действительные перемещения будут направлены по ускорениям j04eK, т. е. по равнодействующим силам. Умножая (8) скалярно на Связи и их реакции теоретическая механика получим

Связи и их реакции теоретическая механика

по крайней мере для одной точки системы, вышедшей из равновесия. Суммируя (9) по всем точкам системы, будем иметь

Связи и их реакции теоретическая механика

Для идеальных связей

Связи и их реакции теоретическая механика

Поэтому из (9') получаем

Связи и их реакции теоретическая механика

что находится в противоречии с условием (7). Следовательно, система не может выйти из равновесия при выполнении условий принципа возможных перемещений. Принцип полностью доказан.

Без дополнительного условия о равенстве нулю скоростей точек системы в рассматриваемый момент принцип возможных перемещений утверждает только то, что равны нулю ускорения точек системы. Вместе с равенством нулю скоростей точек это дает равновесие системы в тот момент, в который выполняется для активных сил условие (7).

При длительном выполнении этого условия система соответственно будет находиться в равновесии тоже длительно, т. е. скорости и ускорения точек равны нулю, если скорости точек системы равны нулю в начале интервала длительности.

В принцип возможных перемещений не входят силы реакций связей. Но его можно применять также и для определения неизвестных сил реакций связей. Для этого связь, силы реакции которой необходимо определить, отбрасывают (освобождают систему от этой свяаи), заменяя ее силами реакции Эти силы добавляют к активным силам.

Оставшиеся связи системы должны быть идеальными. Иногда неидеальную связь заменяют идеальной, компенсируя неидеальность соответствующими силами. Так, если связью для тела является шероховатая поверхность, то ее можно заменить гладкой поверхностью, добавляя к активным силам силу трения скольжения и в более общем случае — еще и пару сил, препятствующую качению. Связь в виде заделки для твердого тела можно заменить неподвижным шарниром, плоским или шаровым соответственно, добавляя момент заделки, векторный или алгебраический. Таким образом, в принцип возможных перемещений входят в действительности не активные силы, а все приложенные к точкам системы силы, кроме сил реакций идеальных связей, которые по условиям задач не требуется определять.

Пример с решением задачи 1.

В механизме (рис. 96) кривошип Связи и их реакции теоретическая механика может поворачиваться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку Связи и их реакции теоретическая механика

По стержню Связи и их реакции теоретическая механика может перемещаться ползун Связи и их реакции теоретическая механика шарнирно соединенный со стержнем Связи и их реакции теоретическая механика который может скользить вдоль вертикальных направляющих. К кривошипу Связи и их реакции теоретическая механика приложена пара сил с моментом Связи и их реакции теоретическая механика Определить при равновесии механизма вертикальную силу Связи и их реакции теоретическая механика приложенную к стержню Связи и их реакции теоретическая механика в зависимости от угла Связи и их реакции теоретическая механика Силами трения и тяжести звеньев механизма пренебречь.
Решение. Связи в механизме стационарные и неосвобождающие. Они не имеют трения, а потому идеальные. Применим к механизму принцип возможных перемещений:

Связи и их реакции теоретическая механика

Активными силами являются пара сил с моментом Связи и их реакции теоретическая механика и сила Связи и их реакции теоретическая механика Дадим системе возможное перемещение, повернув мысленно стержень Связи и их реакции теоретическая механика на элементарный угол Связи и их реакции теоретическая механика в сторону возрастания угла Связи и их реакции теоретическая механика Тогда согласно принципу возможных перемещений

Связи и их реакции теоретическая механика

где Связи и их реакции теоретическая механика — возможное перемещение точки Связи и их реакции теоретическая механика Стержень Связи и их реакции теоретическая механика твердый, поэтому перемещения его концов Связи и их реакции теоретическая механика и Связи и их реакции теоретическая механика равны, т. е. Связи и их реакции теоретическая механика

У механизма только одна степень свободы, следовательно, Связи и их реакции теоретическая механика и Связи и их реакции теоретическая механика зависят друг от друга. Установим предварительно зависимость Связи и их реакции теоретическая механика от Связи и их реакции теоретическая механика Имеем Связи и их реакции теоретическая механика

Путем варьировании этого уравнения связи, аналогичного вычислению полного дифференциала от обеих частей уравнения, получим

Связи и их реакции теоретическая механика

Связи и их реакции теоретическая механика

Подставляя это значение Связи и их реакции теоретическая механика в (а) и вынося Связи и их реакции теоретическая механика за скобки, имеем

Связи и их реакции теоретическая механика

Величину 0ф можно выОрагь отличной от нуля, а потому

Связи и их реакции теоретическая механика

Дополнительно установим зависимость между Связи и их реакции теоретическая механика и Связи и их реакции теоретическая механика непосредственно, не используя процесс варьирования уравнения связи. При повороте стержня Связи и их реакции теоретическая механика на угол Связи и их реакции теоретическая механика точка Связи и их реакции теоретическая механика переместится вместе с соответствующей точкой стержня перпендикулярно стержню на Связи и их реакции теоретическая механика и, кроме того, ползун Связи и их реакции теоретическая механика передвинется вдоль стержня Связи и их реакции теоретическая механика на для того, чтобы точка Связи и их реакции теоретическая механика переместилась только по вертикали на Связи и их реакции теоретическая механика так как другие направления перемещения точки Связи и их реакции теоретическая механика не разрешаются вертикальными направляющими стержня Связи и их реакции теоретическая механика Вектор возможного перемещения точки Связи и их реакции теоретическая механика изобразится диагональю прямоугольника, построенною на перемещениях Связи и их реакции теоретическая механика и Связи и их реакции теоретическая механика Из прямоугольника для его диагонали имеем

Связи и их реакции теоретическая механика или Связи и их реакции теоретическая механика

так как

Связи и их реакции теоретическая механика

Пример с решением задачи 2.

Состазная балка Связи и их реакции теоретическая механика состоит из двух балок Связи и их реакции теоретическая механика и Связи и их реакции теоретическая механика шарнирно соединенных в точке Связи и их реакции теоретическая механика Конец балки Связи и их реакции теоретическая механика заделан в стену (рио, 97, а). Определить момент заделки Связи и их реакции теоретическая механика если на балку действуют равные вертикальные силы Связи и их реакции теоретическая механикаСвязи и их реакции теоретическая механика а также момент Связи и их реакции теоретическая механика пары сил. Размеры указаны на рисунке. Силами тяжести балок пренебречь.

Решение. Заменим заделку в Связи и их реакции теоретическая механика для плоской системы приложенных сил плоским шарниром и моментом заделки (рис. 97, 6), Оставшиеся связи являются идеальными, если пренебречь трением в шарнирах и катковой опоре. Они стационарные и неоевобождающие. Применим к составной балке (после замены заделки шарниром и моментом заделки) принцип возможных перемещений:

Связи и их реакции теоретическая механика

Приложенными силами являются Связи и их реакции теоретическая механика и пары сил с моментами Связи и их реакции теоретическая механика и Связи и их реакции теоретическая механика

Дадим системе возможное перемещение, повернув мысленно балку на элементарный угол Связи и их реакции теоретическая механика вокруг Связи и их реакции теоретическая механика Связи допускают такое перемещение Составная балка займет положение, показанное на рисунке пунктиром. Катковая опора при этом смещается в горизонтальном направлении, но приложенные силы не совершают работы на горизонтальных перемещениях.

Связи и их реакции теоретическая механика

Согласно принципу возможных перемещений,

Связи и их реакции теоретическая механикаСвязи и их реакции теоретическая механика

Отрицательной является элементарная работа тех сил, возможные перемещения точек приложения которых противоположны направлению действия сил. Аналогично определены знаки элементарной работы моментов пар сил, возможные перемещения Связи и их реакции теоретическая механика следует брать как прямолинейные отрезки, направленные по касательным к дугам окружностей, т. е по лииням действия сил.

У составной балки только одна степень свободы, и поэтому она имеет одно произвольное возможное перемещение, например Связи и их реакции теоретическая механика Для остальных возможных перемещений имеем;

Связи и их реакции теоретическая механика

Возможное перемещение точки Связи и их реакции теоретическая механика выражается через углы Связи и их реакции теоретическая механика и Связи и их реакции теоретическая механика

Связи и их реакции теоретическая механика

поэтому Связи и их реакции теоретическая механика

Подставляя полученные значения возможных перемещений в (а) и учитывая, что Связи и их реакции теоретическая механика получим

Связи и их реакции теоретическая механика

Так как Связи и их реакции теоретическая механика то

Связи и их реакции теоретическая механика