Связь между графиком функции и графиком ее производной

Содержание:

  1. Связь между графиком функции и графиком ее производной
  2. Разрыву функции

Связь между графиком функции и графиком ее производной

Связь между графиком функции и графиком ее производной

Связь между графиком функции и графиком ее производной

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Связь между графиком функции и графиком ее производной

Пусть задана функция f(x)> имеющая производную /' (х). Рассмотрим, во-первых, кривую, определяемую уравнением У~/(х), и, во-вторых, кривую, определяемую уравнением y=zf (х). Например, если дана функция х* — 5лс, ее производная 2х—5, то будем рассматривать, во-первых, параболу, определяемую уравнением у — хг — эх, и, во-вторых, прямую, уравнение которой у= == 2х — 5.

Если функция /(х) при х = х0 имеет экстремум, то ее производная при этом значении х0 или равна нулю, или вовсе не существует; поэтому график функции у — f (х) при х = х0 или пересекает ось Ох, или терпит разрыв. Если график функ- рис g7 ции у = f(x) при х = х0 имеет точку перегиба, т. е. если в этом месте выпуклость сменяется вогнутостью (или наоборот), и если существует f"(x0), то график y — f'{x) имеет при х — л:0 экстремум, так как /" (х0) = 0.

Дальше в этом параграфе все рассуждения и заключения будут основываться на графиках, поэтому они не будут претендовать на абсолютную точность. Иными словами, здесь будут проводиться только качественные исследования. Итак, пусть функция /(х) определена графиком, изображенным на рис. 67, а. Под графиком функции y = f(x) будем строить график функции у—/'(х). На обоих чертежах (а и б) точки, имеющие одинаковые абсциссы, будут расположены на одной прямой, параллельной оси Оу.

На участке АВ функция f(x) возрастает, поэтому ее производная положительна, но так как функция на этом участке выпукла, то производная убывает.

Следовательно, график функции y = f(x) на соответствующем участке aft будет определять положительную убывающую кривую. Максимуму функции f(x) (точке Б) на рис. 67,6 будет соответствовать точка пересече-ния с осью Ох (точка Ь). На участке ВС (рис. 67,а) кривая убывает, поэтому соответствующий участок кривой у =.f (л;) располагается ниже оси Ох и убывает. Точке перегиба С на рис. 67,а соответствует минимум на рис. 67,6. Минимуму на рис. 67,а (точке D) соответствует точка пересечения с осью Ох (точка d).

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Архитектурно-художественное решение
Величина давления
Некоторые простые уравнения. Уравнения координатных плоскостей
Метод Ритца

 

Разрыву функции

Разрыву функции >> =*= f(x) соответствует и разрыв производной.В результате получаем график производной, изображенный на рис. 67,6. В § 5 (пр. 1) был построен график функции ,у=(*~4)'8(* + 2)' 3 3 а в § 3 гл III была построена парабола у = хш—^ аг; лег- 3 3 ко увидеть, что функция хг—кХ является производной (х—1x4-2) от функции v-V }. Если соединить графики этих функ- о ций, то получим изображенное на рис. 68. Этот чертеж подтверждает сказанное выше. Упражнения к гл. VIII 1.

Найти критические значения и исследовать

на убывание и хш возрастание функцию У = —16 х. 2. Найти критические значения и исследовать на возрастание и убывание функцию # = x9 + ^-x* + U 3. Найти критические значения функции у — е*. 4. Найти критические значения функции {/=£-** и исследовать ее на возрастание и убывание. 5. Найти экстремальные значения функции у = ——16 ж (см. упр. 1). х4 8 6.

Найти экстремальные значения функции у = — + у*2+1 (см. упр. 2). 7. Найти экстремальные значения функции t/=g-xl (см. упр. 4). 8. Найти экстремальные значения функции у — (х—2) 1. 9. Доказать, что из всех прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. 10. Представить число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, чтобы их произведение было наибольшим. 11. Исследовать на выпуклость и вогнутость следующие функции! а) у——х*-\-Ъх—8; б) y = igx. 12. Построить графики функций, указанных в упражнениях 1, 2, 3, 4, 8, И.