Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Содержание:

  1. Способ вращения
  2. Способ совмещения
  3. Способ перемены плоскостей проекций

На чертежах некоторые элементы изображают­ся в искаженном виде. В некоторых случаях тре­буется определить действительную величину этих элементов, например, при выполнении чертежей разверток поверхностей геометрических тел.

Изучая прямоугольное проецирование отрезков прямых или плоских кривых линий, а также фи­гур (треугольника, круга и др.) на три плоскости V, Н и W,можно отметить, что действительные размеры и вилы этих линий и фигур получаются на той плоскости проекций, параллельно которой расположены эти линии и фигуры (рис. 117). Например, отрезок прямой АВ, параллельный плоскости V (отрезок фронтали), проецируется в действительную длину на плоскость V или, иначе, длина фронтальной проекции а'Ь' отрезка фрон­тами равна действительной длине этого отрезка.

Если плоскость фигуры, например, треугольни­ка АВС, параллельна фронтальной плоскости проекций, то фронтальная проекция а'Ь'с' явля­ется его действительной величиной.

В техническом черчении иногда приходится по данным прямоугольным проекциям (комплексному чертежу) детали определять действительную величину какого-либо элемента этой детали, рас­положенного в плоскости общего положения. Для этого применяются особые способы построения, цель которых получить новую проекцию элемента детали, представляющую собой его действитель­ную величину.

Такими способами являются: способ вращения, способ совмещения (частный случай предыдущего способа) и способ перемены плоскостей проекций.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 117

Способ вращения

Способ вращения заключается в том. что задан­ные точка, линия или плоская фигура вращаются вокруг оси, перпендикулярной к одной из плос­костей проекций, до требуемого положения отно­сительно какой-либо плоскости проекций. Если вращается фигура или тело, то каждая их точка будет перемещаться по окружности.

Рассмотрим вращение простейшего геометри­ческого элемента — точки А (рис. 118, а). Пусть ось вращения MN будет перпендикулярна плос­кости Н. При вращении вокруг оси MN точка А перемешается по окружности, лежащей в плоскос­ти, перпендикулярной оси вращения. Точка пере­сечения этой плоскости с осью называется центром вращения.

Так как окружность, по которой движется точ­ка А, расположена в плоскости, параллельной плоскости Н, то горизонтальная проекция этой окружности является ее действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, парал­лельной оси х. Длина этого отрезка равна диамет­ру окружности, лежащей в плоскости вращения.

Таким образом, при вращении точки А вокруг оси, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, проекция точки на эту плоскость пере­мещается по окружности, а вторая проекция — по прямой, параллельной оси проекций.

Повернем данную точку А вокруг оси MN, перпендикулярной плоскости Н, на заданный угол α. Для этого на комплексном чертеже необходимо выполнить следующие построения (рис. 118, б).

Фронтальную проекцию оси вращения — точку т' п’ — соединяют прямей линией с фронтальной проекцией а' точки А и получают отрезок т' а', равный действительной величине (длине) радиуса окружности вращения. Этим радиусом из центра т‘ описывают дугу окружности вращения (рис. 118, б). На плоскости V строят угол α, одна из сторон которого является радиусом вращения а'т'. На пересечении дуги окружности вращения с другой стороной угла α получаем точку а'1 новую фронтальную проекцию точки А. Новую горизонтальную проекцию точки А находят, проводя вертикальную линию связи из точки а'1, до пересечения с прямой, проведенной из точки а параллельно оси х.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 118

Вращение отрезка прямой вокруг оси, перпен­дикулярной плоскости проекций, можно рассмат­ривать как вращение двух точек этого отрезка.

Построения на комплексном чертеже упро­щаются, если ось вращения провести через ка­кую-либо конечную точку вращаемого отрезка прямой. В этом случае достаточно повернуть толь­ко одну точку отрезка, так как другая точка, расположенная на оси вращения, остается непод­вижной.

Пусть требуется определить способом вращения действительную длину отрезка АВ прямой общего положения (рис. 119. а).

Через конец отрезка А (рис. 119. б) проводят ось вращения МА перпендикулярно плоскости Н. Относительно этой оси вращается второй конец отрезка — точка В. Чтобы получить на комплек­сном чертеже действительною длину отрезка, надо повернуть его так. чтобы он был параллелен плоскости V.

После вращения горизонтальная проекция от­резка должна быть параллельна оси х, поэтому на этой плоскости проекций и начинается построе­ние. Из точки а радиусом ab описывают дугу ок­ружности до пересечения с прямой, проведенной из точки а параллельно оси х (рис. 119, б). Точка пересечения Ь1 — новая горизонтальная проекция точки В. Фронтальную проекцию b'1 точки В находят, проводя вертикальную линию связи из точки Ь1, до пересечения с прямой, проведенной из точки b' параллельно оси х (в данном случае эта прямая совпадает с осью х). Соединив точки b'1 и а', на плоскости V получают действительную длину а' b'1 отрезка АВ.

Эту задачу можно решить вращением отрезка АВ относительно оси, перпендикулярной плоскоcти V. Через конец отрезка А проводят оси враще­ния ММ (рис. 119, в). Из точки а' радиусом, равным а'Ь', проводят дугу окружности до пере­сечения с прямой, проведенной из точки а' па­раллельно оси х, и получают новую фронтальную проекцию b'1, точки В. Проведя из точки Ь пря­мую, параллельную оси х, а через точку b'1, вер­тикальную линию связи, на их пересечении полу­чают новую горизонтальную проекцию Ь1 точки В (после поворота отрезка АВ). Соединив точки Ь1 и а, находят действительную длину aЬ1, от­резка АВ. 

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 119

Способом вращения можно определить действи­тельный вид фигуры. На рис. 120, а изображена стойка поддерживающего ролика ленточного кон­вейера. Пусть требуется определить действительный вид ребра стойки ролика — прямоугольного треугольника АВС.

Как видно из рис. 120, плоскость треугольника горизонтальио-проецирующая, поэтому действи­тельный вид треугольника можно получить на плоскости V вращением этого треугольника вокруг вертикальной оси до тех пор, пока плоскость тре­угольника нс станет параллельной плоскости V.

На комплексном чертеже (рис. 120, 6) ось вра­щения, перпендикулярная плоскости Н, проведена через вершину треугольника А. Вращаются одно­временно две вершины треугольника — В и С. После поворота новая горизонтальная проекция треугольника должна быть параллельна оси х. Фронтальные проекции — точки b'1 и с'1 — вершин В и С после поворота находят, проводя вертикальные линии связи из точек с1 и b1. Сое­динив точки а1, b'1 и с'1, получим на плоскости V действительный вид треугольника АВС.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 120

Способом вращения на комплексном чертеже можно найти действительный вид фигуры криво­линейного контура, например, лопасти мешалки (рис. 121, б). На рис. 121, а дано наглядное изо­бражение одной лопасти этой мешалки и части вала. Так как лопасть расположена под углом к оси вала, на котором она установлена, а ось вала на комплексном чертеже должна быть параллель­на оси х, то на фронтальной и профильной проек­циях лопасть будет изображена в искаженном виде.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 121

Действительный вид контура лопасти находят вращением лопасти вокруг оси, перпендикулярной плоскости Н. Для этого на фронтальной проекции контура берут несколько произвольных точек — а', е', т', d’, с‘, п' (рис. 122). Проводя из этих точек вертикальные линии связи, находят их го­ризонтальные проекции — а, е, т, d, с, к, п, кото­рые будут располагаться на горизонтальной про­екции контура лопасти, т.е. на прямой ab, на­клонной под углом α к оси х. Вертикальная ось вращения проведена через точку А. Горизонталь­ную проекцию ab контура лопасти поворачивают вокруг центра вращения (точки а) на угол α и получают новую горизонтальную проекцию ab1 лопасти.

Для определения новой фронтальной проекции какой-либо точки контура, например точки b'1, через точку b1 проводят вертикальную линию связи до пересечения с прямой, проведенной из b' параллельно оси х. Также находят и остальные новые фронтальные проекции точек контура — e'1, m'1, d'1, c'1, k'1, n'1. Соединяя их плавной кривой по лекалам, получим действительный вид контура лопасти.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 122

Способ совмещения

Способ совмещения заключается в том, что плоскость, заданную следами, вращают вокруг одного из следов этой плоскости до совмещения с соответствующей плоскостью проекций, например, вокруг следа РH  до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 123, а). Изображения отрезка прямой или плоской фигуры, лежащей в заданной плоскости Р, получаются без искажения.

Построения на комплексном чертеже упроща­ются, если через совмещаемые геометрические элементы можно провести какую-либо проециру­ющую плоскость, например горизонтально-проецирующую. При любом расположении горизонтально-проецирующей плоскости Р относитель­но V и Н ее следы после совмещения будут располагаться под прямым углом (рис. 123, а и б). Совмещая горизонтально-проецирующую плоскость с плоскостью Н вращением около горизонтального следа РН, видим, что совме­щенный фронтальный след находится под прямым углом к неподвижному горизонтально­му следу РН (рис. 123, б).

Если на горизонтальном следе РН, который является осью вращения горизонтально-проецирующей плоскости Р и, следовательно, неподвижен, взять какую-либо точку, то после совмещения плоскости Р с плоскостью Н положение точки не изменится.

Если же взять точку В на фронтальном следе PV плоскости Р (рис. 123, а), то совмещенная точка В будет лежать на совмещенном следе РV1, при этом расстояние PX b' будет равно расстоянию PX b'1.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 123

Отрезок прямой определяется двумя точками. Поэтому, если через отрезок АВ провести, напри­мер, фронтально-проецирующую плоскость Р (рис. 124) и совместить ее с Н, то при этом с плоскостью Н совместятся и концы этого отрезка — точки А и В, т.е. весь отрезок прямой. Тогда на плоскости Н отрезок спроецируется без искаже­ния.

Таким образом, задача определения дей­ствительной длины отрезка прямой АВ способом совмещения решается следующим путем.

Через точку а (рис. 124). расположенную на плоскости Н, проводят перпендикулярно оси x горизонтальный след PH фронтально-проецирующей плоскости Р. Через точки а' и Ь' проводят след РV. Плоскость Р совмещают с плоскостью H, совмещенное положение следа РV совпадает с осью х. Из точки Рx радиусом РХЬ' делают засеч­ку дугой окружности на совмещенном следе РV1 и из точки пересечения восставляют перпендику­ляр к оси х. Из точки Ь опускают перпендикуляр на след PH и, продолжая его до пересечения с прямой, перпендикулярной оси х, получают со­вмещенное положение точки В — точку b'1. Сое­динив точки а'1 и b'1 находят совмещенное поло­жение отрезка АВ. которое и будет его действи­тельной длиной.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 124

Определение действительного вида фигуры кри­волинейного контура, например лопасти мешал­ки. способом совмещения показано на рис. 125.

Проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость, заданную следами РV и РH. Затем на контуре фигуры берут несколько произ­вольно расположенных точек А, В, С, .... через которые проводят горизонтали этой плоскости. Плоскость Р совмещают с плоскостью Н вместе с горизонталями. На совмещенных горизонталях находят точки а'1, b'1, c'1, которые соединяют плавной кривой и получают действительный вил контура лопасти.

Например, для совмещения с плоскостью Н точки В криволинейного контура через точку В проводят горизонталь плоскости Р.  Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х; гори­зонтальная проекция горизонтали совпадает с горизонтальным следом РH. Затем эту горизонталь совмещают с плоскостью Н. Совмещение произве­дено таким образом. Фронтальная проекция гори­зонтали пересекает фронтальный след РV плоскос­ти Р в точке v', которая является фронтальным следом горизонтали. Совмещенное положение этого следа находится на совмещенном фронталь­ном следе РV1  в точке v1. Из точки v1 проведена прямая, параллельная РV, которая и будет совме­щенным положением горизонтали, проходящей через точку В.

Из горизонтальной проекции b'1 точки восста­влен перпендикуляр к РH  и продолжен далее до пересечения с совмещенной горизонталью в точке b'1.Эта точка и будет являться искомым совмещенным положением точки В с плос­костью Н.  

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 125

Способ перемены плоскостей проекций

Способ перемены плоскостей проекций заклю­чается в том. что одна из плоскостей проекций заменяется новой, на которую проецируются дан­ная точка, отрезок или фигура. В отличие от двух предыдущих способов эти элементы не меняют своего положения в пространстве. Например, фронтальная плоскость проекций V может быть заменена новой плоскостью проекции V1 (рис. 126, а), причем плоскость V1 должна быть так же, как и плоскость V, перпендикулярна плоскости H.

На комплексном чертеже (рис. 126, б) новая ось проекций Ж|, которая образуется при пересе­чении новей плоскости x1 которая образуется при пересечении новой плоскости V1 с плоскостью Н. Новая система плоскостей проекций обозначается Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

На наглядном изображении проекций точки А (рис. 126. а) видно, что при перемене фронталь­ной плоскости проекций V на новую V1 расстоя­ние от новой фронтальной проекции а'1 точки А до новой оси проекций x1 равно расстоянию от фронтальной проекции а' точки А до оси проек­ции х, т.е. координате zA. Это правило надо запо­мнить. В дальнейшем оно применяется при реше­нии различных задач способом перемены плоскос­тей проекций.

Таким образом, при замене плоскости V на плоскость V1, на комплексном чертеже прежде всего должна быть проведена новая ось проекций x1 (рис. 126, б), а затем построена новая фрон­тальная проекция точки. Для этого из горизон­тальной проекции а точки А опускают перпенди­куляр на новую ось проекций x1 и на продолже­нии этого перпендикуляра откладывают от новой оси координату zA. В результате получают новую фронтальную проекцию а'1 точки А.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 126

Иногда заменяется и горизонтальная плоскость проекций Н на новую плоскость Н1.

Если новая фронтальная плоскость проекций V1, по своему положению являлась, как и замененная V, вертикальной плоскостью, то новая горизон­тальная плоскость проекций Н1 по своему поло­жению не будет горизонтальной. а называется так только условно.

В некоторых случаях для решения задач на комплексном чертеже приходится последова­тельно заменять две плоскости проекций, например, фронтальную V на V1, и горизон­тальную Н на Н1.

Если на комплексном чертеже точки А нужно заменить горизонтальную плоскость проекций, то для нахождения новой горизонтальной проекции а, точки А надо (рис. 127. а и б) из фронтальной проекции а' опустить на новую ось х1, перпенди­куляр и на его продолжении отложить координату уА точки А.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 127

Определим способом перемены плоскостей про­екций действительную длину отрезка АВ (рис. 128). В этом случае новая плоскость проек­ций V1 или Н1 должна быть выбрана так. чтобы она была параллельна отрезку АВ. Иначе отрезок АВ относительно новой плоскости проекций до­лжен быть или фронтально (при замене плоскости V на плоскость V1), или горизонталью (при заме­не плоскости Н на плоскость Н1).

Решим эту задачу двумя вариантами.

Первый вариант. Заменим плоскость V новой фронтальной плоскостью проекций V1 (рис. 128. а).

Для упрощения построений новая ось проекций х, может совпадать с горизонтальной проекцией ab отрезка прямой. Координата zB точки В равна нулю (так как точка В расположена на плоскости H), поэтому новая фронтальная проекция b'1 совпадает с горизонтальной проекцией b.

Новая горизонтальная проекция а'1 точки А находится на перпендикуляре, восставленном к новой оси проекций х1. Отрезок а'1 а, отложенный на этом перпендикуляре, равен расстоянию от прежней фронтальной проекции а' точки А до прежней оси х или координате zА точки А. Соединив точки а'1 и b'1, получим действительную длину отрезка АВ.

Второй вариант. Заменим плоскость Н новой горизонтальной плоскостью проекций Н1 (рис. 128. б).

Новую ось проекций x1 проведем (для упроще­ния построений) через фронтальную проекцию отрезка а'Ь'. Координату yA откладываем на перпендикуляре к новой оси x1 от точки a', a координату уBот точки b‘. Отложив эти координаты, получаем новые горизонтальные проекции a1 и b1 точек А и В. Соединив точки A и B на новой горизонтальной плоскости проекций H1, получим действительную длину отрезка АВ.

Действительный вид плоской фигуры также можно определять способом перемены плоскостей проекций. Для примера возьмем прямоугольный треугольник АВС (см. рис. 128, в), который распо­ложен в горизонтально-проецирующей плоскости.

В данном примере заменяется плоскость проек­ций V новой плоскостью V1 так, чтобы новая фронтальная проекция треугольника АВС была его искомым действительным видом. Новая ось проекций x1 должна быть проведена на комплек­сном чертеже параллельно горизонтальной проек­ции треугольника или (для упрощения построе­ний) так, как показано на рис. 128, в, где новая ось x1 совпадает с горизонтальной проекцией abc треугольника. В случае новые фронтальные проекции а'1 и с'1 совпадут с горизонтальными проекциями а и с вершин треугольника.

Для определения действительного вида треу­гольника остается найти только одну новую фронтальную проекцию третьей точки — вершины В. Для этого нужно из прежней горизонтальной про­екции b точки В восставить перпендикуляр к но­вой оси проекции x1 и от нее отложить на пер­пендикуляре расстояние от фронтальной проекции b'1 до оси х или координату zB. Соединив точку b'1 с точками а'1 и с'1 прямыми линиями, полу­чим действительный вид треугольника АВС.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 128

Подобными приемами построений можно опре­делить действительный вид горизонтальной про­екции многоугольника 12345, плоскость которого является фронтально-проецирующей (рис. 129).

В этом случае требуется заменить Н на Н1, ось проекции которой проводится параллельно фрон­тальной проекции многоугольника на произволь­ном расстоянии.

Для нахождения, например, новой горизонталь­ной проекции точки 3 из точки 3' восставляют перпендикуляр и от оси х1 откладываем на этом перпендикуляре расстояние, равное расстоянию от точки 3 до оси х. Точка 31 будет новой горизон­тальной проекцией точки 3. Так же находят точ­ки 11, 21, 41 и 51. Затем, соединив их прямыми линиями, получают действительный вид много­угольника.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 129

Построение действительного вида контура ло­пасти, расположенной в горизонтально-проецирующей плоскости, показано на рис. 130. В этом случае плоскость проекции V заменена новой плоскостью V1.  Для упрощения построений новая ось проекций x1 проведена через горизонтальную проекцию фигуры, а лопасть опущена вниз до cоприкосновения с плоскостью Н.

Для определения действительного вида контура фигуры строят новые фронтальные проекции не­скольких ее точек способом, описанным выше. Например, для построения новой фронтальной проекции какой-либо точки Е криволинейного контура лопасти из горизонтальной проекцииe e к новой оси проекций x1 восставляют перпендику­ляр, на котором от точки e откладывают отрезок, равный расстоянию фронтальной проекции е' до оси x, т.е. координату z точку Е. Точка e'1новая фронтальная проекция точки Е.

Способы преобразования проекций с примерами и образцами выполнения

Рис. 130

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Способы преобразования чертежа
  19. Кривые линии
  20. Кривые поверхности
  21. Трёхгранник Френе
  22. Проецирование многогранников
  23. Проецирование тел вращения
  24. Развёртывание поверхностей
  25. Проекционное черчение
  26. Проецирование
  27. Проецирование точки
  28. Проецирование отрезка прямой линии
  29. Проецирование плоских фигур
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы