Способы преобразования чертежа

Содержание:

  1. Способ замены плоскостей проекций
  2. Проецирование точки на вспомогательную плоскость проекций
  3. Суть способа замены плоскостей проекций
  4. Длина отрезка и углы его наклона к плоскости проекций
  5. Расстояние от точки до прямой и плоскости
  6. Расстояние между параллельными прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями 
  7. Расстояние между скрещивающимися прямыми
  8. Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями
  9. Натуральная величина плоской фигуры
  10. Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей
  11. Способ вращения вокруг проецирующей оси 
  12. Вращение точки вокруг проецирующей оси 
  13. Длина отрезка
  14. Расстояние от точки до прямой и плоскости
  15. Расстояние между параллельными прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями
  16. Расстояние между скрещивающимися прямыми
  17. Пересечение прямой  и плоскости
  18. Способ плоскопараллельного перемещения
  19. Плоскопараллельное перемещение тела
  20. Расстояние между скрещивающимися прямыми
  21. Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями
  22. Натуральная величина плоской фигуры 
  23. Пересечение плоскостей
  24. Способ вращения вокруг линии уровня
  25. Вращение точки вокруг линии уровня
  26. Натуральная величина плоской  фигуры и плоского угла
  27. Способ совмещения
  28. Способ косоугольного проецирования
  29. Косоугольное проецирование на ортогональные плоскости проекций
  30. Косоугольное проецирование на плоскость особого положения
  31. Косоугольное проецирование на биссекторную плоскость 
  32. Комбинированные способы

Способы преобразования чертежа можно классифицировать, исходя из основных составляющих аппарата проецирования:

  • изменение положения фигур относительно основной системы координат (способ вращения относительно различных осей; способ плоскопараллельного движения);
  • изменение положения плоскостей проекций (способ замены плоскостей проекций);
  • изменение направления проецирования (способы дополнительного проецирования: косоугольное, окружностное, винтовое и другие).

Цель способов преобразования чертежа - приведение геометрических фигур в частное (параллельное или проецирующее) положение относительно плоскостей проекций для обеспечения большей наглядности изображения и упрощения решения позиционных и метрических задач.

Способ замены плоскостей проекций

Смысл способа замены плоскостей проекций: при сохранении неизменного положения фигуры в пространстве вводится новая плоскость проекций, перпендикулярная одной из основных плоскостей проекций; для получения новой проекции фигуры она ортогонально проецируется на введенную плоскость проекций

Проецирование точки на вспомогательную плоскость проекций

Метрические задачи начертательной геометрии связаны с определением натуральных величин геометрических объектов. Эти величины невозможно построить ни на одной из плоскостей проекций П1, П2, П3 для произвольной ориентации объектов в пространстве: проекции отрезков короче, чем их оригиналы; проекции плоских фигур имеют искаженную форму и меньшую площадь: проекции углов, в том числе прямых, не равны действительным их значениям (рис. 2.1).

При решении позиционных задач прямым способом приходится вводить множество вспомогательных геометрических фигур, что приводит к громоздкости геометрических построений. Например, для определения линии пересечения двух плоскостей необходимо вводить вспомогательные плоскости особого положения; для построения двух взаимно перпендикулярных прямых необходимо вводить плоскость общего положения и т.д. (см. раздел 1). Это усложняет решение практических задач и чтение комплексного чертежа.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаПроецирование геометрических объектов

Для устранения выше перечисленных  проблем применяются способы преобразования комплексного чертежа. Одна группа этих способов связана со сменой ориентации плоскостей проекций относительно  данных объектов, вторая – со сменой ориентации геометрических объектов относительно фиксированных плоскостей проекций, третья –со сменой  способа проецирования. К первой  группе относятся такие способы:

а) способ замены плоскостей проекций;

б) способ прямоугольного аксонометрического проецирования (см. п. 6.4),

ко второй:

в) способ вращения вокруг  проецирующей оси (см. п. 2.2);

г) способ плоскопараллельного перемещения (см. п. 2.3);

д) способы вращения вокруг линии уровня (см. п. 2.4),

к третьей:

е) способ косоугольного проецирования (см. п. 2.5).

Все вышеперечисленные способы применяются для перевода геометрических объектов из общего положения в частное  (положение уровня или проецирующее положение) с целью установления их взаимного расположения или для определения натуральных величин.

Суть способа замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит во введении системы дополнительных плоскостей особого положения П4, П5, …, параллельных или перпендикулярных  элементам заданных геометрических объектов (плоскостей или плоских линий) с дальнейшим проецированием на эти плоскости (рис. 2.2 а, в, д) и совмещением П4, П5, … в одну плоскость (рис. 2.2 б, г, е).

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаСпособ замены плоскостей проекций

На рис. 2.2 а – б построены четыре ортогональные проекции точки А на плоскости проекций П1, П2, П3, П4. Плоскость П4 - горизонтально-проецирующая. её горизонтальный след Способы преобразования чертежа - одна из осей вспомогательной системы координат. Нижний индекс «14» свидетельствует о том, что прямая Способы преобразования чертежа является линией пересечения плоскостей П1, П4. Вторая ось – фронтальный след – по направлению совпадает с осью z.

На рис. 2.2 в – г построены четыре ортогональные проекции точки А на плоскости проекций  П1, П2, П3, П5. Плоскость П5  -фронтально-проецирующая. её фронтальный след Способы преобразования чертежа - одна из осей вспомогательной системы координат. Нижний индекс «25» свидетельствует о том, что прямая Способы преобразования чертежаявляется линией пересечения плоскостей П2, П5. Другая ось – горизонтальный след – по направлению совпадает с осью у.

На рис. 2.2 д – е построены четыре ортогональные проекции точки А на плоскости проекций П1, П2, П3, П6. Плоскость П6 - профильно-проецирующая. её профильный след Способы преобразования чертежа - одна из осей вспомогательной системы координат. Нижний индекс «36» свидетельствует о том, что прямая Способы преобразования чертежа является линией пересечения плоскостей П3, П6.Другая ось – фронтальный след –по направлению совпадает с осью х.

Правила проецирования на вспомогательные плоскости проекций:

а) проекция А4 точки А на горизонтально-проецирующую плоскость П4 находится на линии проекционной связи А1А4, перпендикулярной  оси Способы преобразования чертежа и сохраняет высоту (координату z);

б) проекция А5 точки А на фронтально-проецирующую плоскость П5 находится на линии проекционной связи А2А5, перпендикулярной  оси Способы преобразования чертежа и сохраняет  глубину (координату у);

в) проекция А6 точки А на профильно-проецирующую плоскость П6 находится на линии проекционной связи А3А6,перпендикулярной  оси Способы преобразования чертежа и сохраняет ширину (координату х).

Длина отрезка и углы его наклона к плоскости проекций

Длины проекций отрезка АВ прямой общего положения на плоскости проекций П1, П2, П3 меньше действительной длины отрезка. Только прямые особого положения проецируются хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину.

Для определения натуральной величины отрезка АВ способом замены плоскостей проекций необходимо ввести плоскость П4, параллельную этому отрезку. Проекция А4В4 - натуральная величина (рис. 2.3 а). Угол α наклона отрезка АВ к плоскости П1 равен углу наклона проекции А4В4 к оси Способы преобразования чертежа.

На рис. 2.3 б заданы горизонтальная и фронтальная проекции отрезка АВ. Для определения натуральной величины отрезка и угла его  наклона к плоскости П1 вводится вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость П4, параллельная отрезку АВ (ось Способы преобразования чертежа параллельна проекции А1В1). С помощью линий проекционной связи и по координатам Способы преобразования чертежа концов отрезка определяется проекция А4В4, являющаяся натуральной величиной АВ.

Аналогично можно определить натуральную величину отрезка путём введения дополнительной фронтально- или профильно-проецирующей плоскости П5, П6.В этом случае можно определить углы β, γ наклона отрезка к П2, П3 (рис. 2.3 в – г).

Необходимо отметить, что расстояние от отрезка  до дополнительной плоскости проекций выбирается произвольно. В п. 1.4.4 показан способ прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка. Этот способ является частным случаем способа замены плоскостей проекций, в котором отрезок принадлежит вспомогательной плоскости проекций (расстояние от отрезка до вспомогательной  плоскости проекций равно нулю).

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций

Расстояние от точки до прямой и плоскости

Для определения расстояния от точки D до прямой l общего положения (рис. 2.4 а) необходимо ввести вспомогательную плоскость проекций П4, параллельную прямой (ось Способы преобразования чертежа параллельна проекции l1),и найти проекции D4, l4. В таком случае прямая l занимает положения уровня относительно П4. При дальнейшем введении вспомогательной плоскости проекций П5, перпендикулярной прямой l (ось Способы преобразования чертежа перпендикулярна  проекции l4), последняя проецируется в точку l5, поскольку прямая l занимает проецирующее положения относительно П5. Проекции геометрических объектов на плоскость П5 строятся по координатам, которые определяются по системе плоскостей П1, П4. Например, расстояние h от оси Способы преобразования чертежа до D5 равно расстоянию от оси Способы преобразования чертежа до D1. Длина отрезка D5l5 рана расстоянию от точки D до прямой l.

Необходимо отметить, что плоскость П5 нельзя вводить сразу (без использования П4), поскольку она занимает особое положения только в системе плоскостей П4, П5, а в системе П1, П2, П3 – общее.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния от точки до прямой

На рис. 2.4 б прямая l задана отрезком АВ. Отрезок DN принадлежит прямой Способы преобразования чертежа перпендикулярной  l. Прямая Способы преобразования чертежа занимает положения уровня относительно П5 (проекция D4N4 параллельна оси Способы преобразования чертежа). Точка N (основа перпендикуляра) является точкой пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых n, l. Таким образом, задачу по определению расстояния от точки D до прямой l способом замены плоскостей проекций можно дополнить задачей на построение двух взаимно перпендикулярных прямых l, n ,пересекающихся в точке N.

Для определения расстояния от точки D до плоскости Σ общего положения (рис. 2.5 а) необходимо перевести плоскость Σ в проецирующее положения путём введения вспомогательной  плоскости проекций П4, перпендикулярной Σ (ось Способы преобразования чертежа перпендикулярна  одной из линий уровня плоскости). В этом случае плоскость Σ проецируется в  прямую Σ4, а искомое расстояние является длиной перпендикуляра D4N4, проведенного из точки D4 до прямой Σ4. Точка N - основа перпендикуляра и одновременно точка пересечения прямой Способы преобразования чертежа заданной отрезком DN, с плоскостью Σ.

На рис. 2.5 б плоскость Σ задана треугольником АВС. Его горизонтальная прямая уровня h, заданная двумя точками А и 1, проецируется на перпендикулярную ей плоскость П4 в точку h4. Проекция А4В4С4 треугольника является отрезком, наклонённым под углом  α к оси Способы преобразования чертежа. Этот угол равен углу наклона плоскости Σ к П1. Расстояние от точки D до плоскости АВС равно длине отрезка D4N4. Горизонтальная проекция D1N1 параллельна оси Способы преобразования чертежаи перпендикулярна  горизонтальной проекции h1 горизонтали.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния от точки до плоскости

Расстояние между параллельными прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями 

Для определения расстояния между параллельными прямыми l, m способом замены плоскостей проекций (рис. 2.6 а) вводится система двух вспомогательных плоскостей проекций П4, П5. Первая из них параллельна заданным прямым, вторая – им перпендикулярна. На плоскость П4 прямые проецируются в натуральные величины, на П5 – в точки Способы преобразования чертежа. Длина отрезка Способы преобразования чертежа равна  расстоянию между параллельными прямыми l, m.

На рис. 2.6 б прямые Способы преобразования чертежа заданы отрезками АВ, CD. Отрезок Способы преобразования чертежа принадлежит прямой Способы преобразования чертежа , перпендикулярной  прямой Способы преобразования чертежа. Прямая Способы преобразования чертежа занимает положение уровня относительно П5 (проекция Способы преобразования чертежа параллельна оси Способы преобразования чертежа). Длина отрезка Способы преобразования чертежа равна расстоянию между параллельными прямыми l, m.

Для определения расстояния между параллельными прямой l и плоскостью Σ (рис. 2.7 а) вводится вспомогательная плоскость проекций П4, перпендикулярна  Σ (ось Способы преобразования чертежа перпендикулярна одной из линий уровня плоскости). Искомое расстояние является длиной отрезка Способы преобразования чертежа, перпендикулярного проекциям l4, Σ4.

На рис. 2.7 б плоскость Σ задана треугольником АВС. Его горизонтальная прямая уровня h, заданная двумя точками А, 1, проецируется на перпендикулярную ей плоскость П4 в точку h4. Проекция А4В4С4 треугольника является отрезком прямой.  Расстояние от прямой l до плоскости АВС равно длине отрезка Способы преобразования чертежа. Горизонтальная проекция Способы преобразования чертежа параллельна оси Способы преобразования чертежа и перпендикулярна  горизонтальной проекции h1 горизонтали.

Для определения расстояния между параллельными плоскостями Σ, Ω (рис. 2.8 а) вводится вспомогательная плоскость проекций П4, перпендикулярна этим плоскостям (ось Способы преобразования чертежа перпендикулярна линии уровня одной из плоскостей). Искомое расстояние является длиной отрезка Способы преобразования чертежа, перпендикулярного проекциям Σ4, Ω4.

На рис. 2.8 б плоскости Σ, Ω заданы своими горизонтальными и фронтальными следами. Фронтальный след Способы преобразования чертежа плоскости Σ проецируется на перпендикулярную ей плоскость П4 в точку Способы преобразования чертежа . Проекции Σ4, Ω4 плоскостей являются прямыми – следами Способы преобразования чертежа построенными с помощью Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между параллельными прямыми

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между параллельными плоскостями

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми l, m способом замены плоскостей проекций (рис. 2.9) вводится система двух вспомогательных плоскостей проекций П4, П5. Первая из них параллельна одной из заданных прямых (например, l), вторая – перпендикулярна этой прямой. На плоскость П4 прямая l проецируется в натуральную величину, на П5 – в точку. Длина отрезка Способы преобразования чертежа равна расстоянию между скрещивающимися прямыми l, m

На рис. 2.9 прямые Способы преобразования чертежа заданы отрезками АВ, CD. Отрезок Способы преобразования чертежа перпендикулярен прямым Способы преобразования чертежа и занимает положения уровня относительно П5 (проекция Способы преобразования чертежа параллельна оси Способы преобразования чертежа). Длина отрезка Способы преобразования чертежа равна расстоянию между скрещивающимися прямыми l, m.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между скрещивающимися прямыми

Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Натуральную величину углов между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями невозможно определить графически по их проекциям без применения способов преобразования комплексного чертежа.

Для определения плоского угла χ между прямыми l, m, пересекающимися в точке K, способом замены плоскостей проекций необходимо спроецировать этот угол в натуральную величину. Следует ввести систему двух вспомогательных плоскостей проекций П4, П5. Первая должна быть перпендикулярна плоскости Σ, образованной данными прямыми, вторая – параллельна Σ.

На рис. 2.10 прямые l, m заданы отрезками AВ, СD. Плоскость П4 перпендикулярна фронтали f (плоскости Σ), проведенной через точки C, 1. Проекция Σ4 является отрезком прямой линии. Плоскость П5 параллельна плоскости Σ (проекция Σ4 параллельна оси Способы преобразования чертежа).

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение плоского угла

Угол φ между прямой l  и плоскостью Σ определяется с помощью введения вспомогательной плоскости проекций П4, перпендикулярный заданной плоскости (рис. 2.11 а). Таким образом, задача по определению угла φ между прямой l  и плоскостью Σ сводится к задаче по определению угла между проекцией l4 прямой и следом Σ4 плоскости.

Угол φ между прямой l  и плоскостью Σ также определяется (рис. 2.11 б) с помощью вспомогательного угла Способы преобразования чертежа между данной прямой и прямой Способы преобразования чертежа проходящей через произвольную точку D прямой l перпендикулярно плоскости Σ (см. п. 1.6.3, рис. 1.69). Таким образом, задача по определению угла φ между прямой l и плоскостью Σ сводится к задаче по определению вспомогательного угла Способы преобразования чертежамежду двумя прямыми (см. рис. 2.10). Из проекций D1, D2 произвольной точки прямой l проведены проекции Способы преобразования чертежа перпендикулярные соответствующим следам плоскости Σ. С помощью вспомогательной плоскости проекций П4, перпендикулярной плоскости Ω, образованной прямыми Способы преобразования чертежа(ось Способы преобразования чертежа перпендикулярна проекции h1 плоскости ), последняя проецируется в прямую линию l4. После введения плоскости проекций П5, параллельной плоскости (ось Способы преобразования чертежа параллельна следу l4), определяется натуральная величина вспомогательного угла Способы преобразования чертежа  . Искомый угол φ дополняет вспомогательный угол Способы преобразования чертежа до 90°.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение угла между прямой и плоскостью

Существуют два способа определения угла θ между двумя плоскостями Σ, Ω (см. п. 1.6.3). Прямой способ реализуется, в том числе, с помощью способа замены плоскостей проекций.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаПрямой способ определения двугранного угла

На рис. 2.12 плоскости Σ, Ω заданы треугольником АВС и параллельными прямыми a, b. Прямая k - линия пересечения плоскостей (см. п. 1.5.8, рис. 1.42). С помощью вспомогательной плоскости проекций П4, параллельной прямой k, последняя переведена в положения уровня. Введение  плоскости проекций П5, перпендикулярной  прямой k, позволяет определить угол θ между заданными плоскостями.

При непрямом способе угол θ между  плоскостями Σ, Ω равен углу Способы преобразования чертежа между прямыми Способы преобразования чертежа пересекающимися в произвольной точке пространства и перпендикулярны ,соответственно, плоскостям Σ, Ω (см. п. 1.6.3, рис. 1.70)..

На рис. 2.13 плоскости Σ, Ω заданы своими горизонтальными и фронтальными следами. Из проекций D1, D2 произвольной точки  пространства  проведены прямые Способы преобразования чертежаи Способы преобразования чертежа перпендикулярные соответствующим следам плоскостей.

С помощью вспомогательной плоскости проекций П4, перпендикулярной  вспомогательной плоскости Ψ, заданной прямыми Способы преобразования чертежа плоскость  Ψ переведена в проецирующее положение. После введения плоскости проекций П5, параллельной плоскости Ψ, определяется угол Способы преобразования чертежа , числовое значение которого совпадает с искомым углом θ.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаНепрямой способ определения двугранного угла

Натуральная величина плоской фигуры

 Натуральная величина плоской фигуры определяется как без применения способов преобразования  комплексного чертежа, так и с их применением.

На рис. 2.14 показан способ определения натуральной величины треугольника АВС способом прямоугольного треугольника (см. п. 1.4.4). Предварительно определяются натуральные величины сторон АВ, ВС, АС. На их основе строится треугольник А0В0С0,  тождественный натуральной величине треугольника АВС

Для определения натуральной величины плоской фигуры Ф способом замени плоскостей проекций (рис. 2.15 а) необходимо ввести по очереди плоскость П4, перпендикулярную Ф, и П5, параллельную Ф (ось Способы преобразования чертежа параллельная следу плоской фигуры на плоскости П4). Проекция Ф5 является натуральной величиной фигуры Ф.

На рис. 2.15 б плоская фигура является  треугольником АВС. Ось Способы преобразования чертежа вспомогательной системы плоскостей П1, П4 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f треугольника. Проекция А4В4С4 является отрезком прямой линии. Ось Способы преобразования чертежа вспомогательной системы плоскостей П4, П5 параллельна проекции А4В4С4. Проекция А5В5С5 является натуральной величиной треугольника АВС.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение натуральной величины плоской фигуры способом прямоугольного треугольника

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение натуральной величины плоской фигуры способом замены плоскостей проекций

Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей

У п. 1.5.7 показан способ определения точки K пересечения прямой l и плоскости Σ с помощью  вспомогательной плоскости  особого положения (рис. 1.38).

Для определения точки K пересечения прямой l с плоскостью Σ способом замены плоскостей проекций (рис. 2.16) вводится вспомогательная плоскость П4, перпендикулярная  плоскости Σ. На П4 последняя проецируется в прямую Σ4. Точка K4 пересечения Σ4, l4 позволяет определить горизонтальную и фронтальную проекции точки K  пересечения прямой l с плоскостью Σ.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.16 плоскость Σ задана треугольником АВС, прямая l – точками 2, 3. На плоскости построена фронталь f, которой перпендикулярна  вспомогательная плоскость проекций П4. Точка K пересечения прямой  и плоскости имеет проекцию K4, которая является точкой пересечения отрезков Способы преобразования чертежа.

У п. 1.5.8 показаны три способа определения линии пересечения двух плоскостей (рис. 1.42 – 1.46), не связанные с преобразованиями  комплексного чертежа.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение линии пересечения плоскостей

Для определения линии MN пересечения двух плоскостей Σ, Ω способом замены плоскостей проекций (рис. 2.17) вводится вспомогательная плоскость П4, перпендикулярная плоскости Σ, на которую последняя проецируется в прямую Σ4. Прямая M4N4 пересечения Σ4, Ω4 позволяет определить горизонтальную и фронтальную проекции линии  пересечения данных плоскостей .

На рис. 2.17 плоскости Σ, Ω заданы треугольниками АВС, DEF. В первом проведена фронталь f, которой перпендикулярна  вспомогательная плоскость проекций П4. Линия пересечения плоскостей АВС, DEF имеет проекцию М4N4, принадлежащую проекции А4В4С4.

Способ вращения вокруг проецирующей оси 

Метод вращения вокруг проецирующих осей этот метод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси i до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. В результате вращения геометрический объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину.

Вращение точки вокруг проецирующей оси 

Способ вращения вокруг проецирующей оси  - это один из способов преобразования комплексного чертежа, в котором геометрический объект вращается вокруг проецирующей оси  до тех пор, пока не займет особое положение (рис. 2.18).

Поскольку любой геометрический объект является совокупностью точек в пространстве, для его вращения вокруг оси необходимо уметь вращать каждую точку.

На рис. 2.19 показан комплексный чертёж точки А до и после вращения вокруг осей i, j соответственно на углы α, β.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаВращение вокруг проецирующей оси

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаРеализация способа вращения вокруг проецирующей оси

Для вращения точки А вокруг проецирующей оси необходимо знать:

а) ось  вращения– прямая линия, которая не изменяет своего положения в пространстве во время вращательного движения точки;

б) центр вращения – точка Способы преобразования чертежа на оси вращения, для которого выполняется условие перпендикулярности отрезку Способы преобразования чертежа оси вращения;

в) радиус вращения  r – расстояние от центра вращения Способы преобразования чертежа до точки А;

г) направление вращения;

д) угол вращения.

Траекторией точки А при её вращении вокруг проецирующей оси является дуга окружности, принадлежащей плоскости уровня. Проекция траектории на одну из плоскостей проекций является дугой окружности, на две другие – прямой, параллельной соответствующим осям координат (рис. 2.19).

Способом  вращении вокруг проецирующей оси можно определить :

а) натуральную величину отрезка (см. п. 2.2.2);

б) расстояния между геометрическими объектами (см. пп. 2.2.3 – 2.2.5);

в) точку пересечения прямой и плоскости (см. п. 2.2.6);

г) линию пересечения двух плоскостей (см. п. 2.3.5);

д) точки пересечения прямой линии с поверхностью тела вращения (см. п. 4.2.2.3).

Длина отрезка

Задача по определению натуральной величины отрезка имеет простейший способ реализации с использованием способа вращения вокруг проецирующей оси .

На рис. 2.20 приведён пример определения длины отрезка АВ общего положения. Через точку А проведена фронтально-проецирующая ось j, вокруг которой данный отрезок вращается до положения горизонтального уровня (фронтальная проекция Способы преобразования чертежа параллельная оси х). Горизонтальная проекция Способы преобразования чертежа является натуральной величиной отрезка АВСпособы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение длины отрезка

Расстояние от точки до прямой и плоскости

Для определения расстояния от точки А до прямой l общего положения способом вращения вокруг проецирующей оси необходимо повернуть прямую до положения уровня.

На рис. 2.21 прямая l задана отрезком ВС. Фронтально-проецирующая ось вращения j проходит через точку В. Точки А, С вращаются вокруг оси на одинаковый угол. После вращения отрезок ВС занимает горизонтальное положение уровня Способы преобразования чертежа По теореме о проецировании прямого угла (см. п. 1.4.8, рис. 1.26) горизонтальная проекция Способы преобразования чертежа перпендикуляра, проведенного из точки Способы преобразования чертежа к отрезку Способы преобразования чертежа, проецируется на П1 в натуральную величину. Натуральная величина отрезка АN определяется путём вращения отрезка Способы преобразования чертежа вокруг фронтально-проецирующей оси Способы преобразования чертежа и равна длине  отрезка Способы преобразования чертежа 

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния от точки до прямой

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния от точки до плоскости

Для определения расстояния от точки D до плоскости Σ общего положения способом вращении вокруг проецирующей оси необходимо повернуть плоскость в проецирующее положение.

На рис. 2.22 плоскость Σ задана треугольником АВС. Плоскости принадлежит фронталь f, проведенная через точки В, 1. Фронтально-проецирующая ось вращения j проходит через точку В. Точки А, С, D вращаются вокруг оси j на одинаковый угол. После  вращения прямая f занимает горизонтально-проецирующее положение, а треугольник Способы преобразования чертежа проецируется на П1 в отрезок прямой. Длина перпендикуляра Способы преобразования чертежа, проведенного к плоскости Способы преобразования чертежа , равна расстоянию от точки D  к плоскости Σ.

Расстояние между параллельными прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Для определения расстояния между параллельными прямыми l, m способом  вращения вокруг проецирующей оси прямые l, m вращаются вокруг этой оси до положения уровня.

На рис. 2.23 прямые Способы преобразования чертежа заданные отрезками АВ, CD. Прямые вращаются вокруг фронтально-проецирующей оси j, яка проходить через точку А, до горизонтального положения уровня. На горизонтальной плоскости проекций П1 проекция Способы преобразования чертежа перпендикуляра к Способы преобразования чертежа образует прямые углы с проекциями Способы преобразования чертежа. Расстояние между параллельными прямыми равно длине отрезка Способы преобразования чертежа и определяется способом вращения вокруг проецирующей оси  Способы преобразования чертежа (равно длине отрезка  Способы преобразования чертежа

Для определения расстояния между параллельными прямой l и плоскостью Σ способом вращения вокруг проецирующей оси плоскость Σ вращается вокруг проецирующей оси до проецирующего положения.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между параллельными прямыми

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

На рис. 2.24 плоскость Σ задана треугольником АВС, прямая l – отрезком DE. Фронталь f плоскости АВС, задана двумя точками В, 1, после вращения вокруг проецирующей оси j, проходящей через точку В, проецируется на плоскость П1 в точку Способы преобразования чертежау . Проекция Способы преобразования чертежа треугольника является отрезком прямой. Расстояние от прямой l до плоскости АВС равно длине отрезка Способы преобразования чертежа

Для определения расстояния между параллельными плоскостями Σ, Ω  последние вращаются вокруг проецирующей оси до проецирующего положения.

На рис. 2.25 плоскости Σ, Ω заданы треугольниками АВС, DEF. Фронталь f плоскости АВС задана двумя точками В, 1. После вращения вокруг проецирующей оси j, проходящей через точку В, фронталь f проецируется на плоскость П1 в точку Способы преобразования чертежа. Проекции Способы преобразования чертежа  треугольников являются отрезками прямых. Расстояние между данными плоскостями равно длине перпендикуляра Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между параллельными плоскостями

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми l, m применяется способ вспомогательной параллельной плоскости (см. п. 1.6.2, рис. 1.65 – 1.66), для чего вводится плоскость Σ,  проходящая через прямую Способы преобразования чертежапараллельно прямой l. После вращения вокруг проецирующей оси плоскость Σ проецируется в прямую линию. Расстояние между этой линией и соответствующей проекцией прямой l равен расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между скрещивающимися прямыми

На рис. 2.26 прямые l, m заданы отрезками АВ, CD. Вспомогательная плоскость Σ, задана треугольником CDE, параллельна отрезку АВ. После вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси и, проходящая через точку D, треугольник CDE занимает фронтально-проецирующее положение Способы преобразования чертежа. Длина перпендикуляра Способы преобразования чертежа равна расстоянию между прямыми l, m.

Пересечение прямой  и плоскости

Для определения точки K пересечения прямой l и плоскости Σ последняя вращается вокруг проецирующей оси до проецирующего положения. На рис. 2.27 плоскость задана треугольником АВС, прямая – отрезком DE. В плоскости построена фронталь f, которая после вращения вокруг фронтально-проецирующей оси j переводится в горизонтально-проецирующую прямую fСпособы преобразования чертежа . При этом плоскость проецируется в прямую Способы преобразования чертежа,  пересекающую проекцию Способы преобразования чертежа в точке Способы преобразования чертежа. Вращение этой точки вокруг оси j в обратном направлении позволяет определить искомые проекции K1, K2.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение точки пересечения прямой и плоскости

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение.

Плоскопараллельное перемещение тела

Плоскопараллельным движением тела называется такое его движение, в котором все точки тела имеют траектории, принадлежащие плоскостям, параллельным некоторой неподвижной плоскости. Последней в начертательной геометрии выбирают одну из плоскостей проекций.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаПлоскопараллельные перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения каждой точки тела реализуется с помощью комбинации двух движений: поступательного движения проецирующей оси и вращения вокруг этой оси (рис. 2.28).Целью применения способа плоскопараллельного перемещения является переведение геометрических объектов из общего положения в особое.

Способ вращения вокруг проецирующей оси (см. п. 2.2) является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения, в котором ось вращения неподвижна.

Реализация способа плоскопараллельного перемещения тела Ф на его комплексном чертеже приведена на рис. 2.29. Она аналогична вращению вокруг проецирующей оси, но имеет существенное преимущество: одну из проекций объекта (на рис. 2.29 – это фронтальная проекция) можно переносить на свободное поле комплексного чертежа.

Основное правило плоскопараллельного перемещения

При плоскопараллельном перемещении геометрического объекта расстояния между всеми парами его точек не изменяются.

На рис. 2.29 длины проекций отрезков Способы преобразования чертежа одинаковы так же, как одинаковы  длины проекций отрезков Способы преобразования чертежа и т.д..

Правило определения видимости для способа плоскопараллельного перемещения

При плоскопараллельном перемещении геометрического объекта видимость его линий не изменяется на одной из плоскостей проекций.

На рис. 2.29 на фронтальной проекции отрезок ВD невидим, все другие – видимы. После плоскопараллельного перемещения тела видимость отрезков на фронтальной проекции не изменилась, на горизонтальной – изменилась для отрезков AD, CD.

Способом плоскопараллельного перемещения решаются все задачи, описанные в п. 2.2, а также и те, которые не целесообразно решать способом вращения вокруг проецирующей оси.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаРеализация способа плоскопараллельного перемещения

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется такими способами:

а) вспомогательной параллельной плоскости (см. п. 1.6.2, рис. 1.65 – 1.66);

б) замены плоскостей проекций (п. 2.1.5, рис. 2.9);

в) вращения вокруг проецирующей оси (п. 2.2.5, рис. 2.26);

г) плоскопараллельного перемещения.

Способом параллельного перемещения можно определить расстояние между скрещивающимися прямыми l, m путём проецирования одной из прямых в точку.

На рис. 2.30 прямые l, m заданы отрезками АВ, CD. Их перемещение, параллельное плоскости П2, дозволяет перевести прямую l в горизонтальное положение уровня Способы преобразования чертежа (проекция Способы преобразования чертежа параллельна оси х; длина проекции Способы преобразования чертежа является натуральной величиной отрезка АВ). Перемещение отрезков Способы преобразования чертежа , параллельное плоскости П1, позволяет спроецировать прямую Способы преобразования чертежа во  фронтально-проецирующее положение Способы преобразования чертежа (проекция Способы преобразования чертежа перпендикулярна оси х; проекция Способы преобразования чертежа является точкой). Расстояние между скрещивающимися прямыми l, m равно  длине проекции перпендикуляра Способы преобразования чертежа.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение расстояния между скрещивающимися прямыми

Угол между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Для определения угла χ между двумя прямыми l, m, пересекающимися в точке K, способом плоскопараллельного перемещения необходимо перевести плоскость Σ,образованную этими прямыми , сначала в проецирующее положение, а потом – в положение уровня.

На рис. 2.31 прямые l, m заданы отрезками АВ, CD. В плоскости Σ, заданной прямыми l, m, вводится горизонталь h, которая с помощью перемещения, параллельного П1, переводится во фронтально-проецирующее положение Способы преобразования чертежа (проекция Способы преобразования чертежа перпендикулярна оси х; проекция Способы преобразования чертежа является точкой; проекция Способы преобразования чертежа является прямой линией). Перемещение плоскости Способы преобразования чертежа параллельно плоскости П2 позволяет спроецировать угол χ между прямыми l, m в натуральную величину.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение плоского угла

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ и между двумя плоскостями определяется с помощью перемещения плоскости Σ параллельно одной из плоскостей проекций до проецирующего положения.

На рис. 2.32 плоскость Σ задана треугольником АВС, прямая l – отрезком DE. В плоскости Σ проведена горизонтальная прямая уровня h, которая после плоскопараллельного перемещения проецируется в точку Способы преобразования чертежа, а треугольник Способы преобразования чертежа – на отрезок прямой. Угол φ между фронтальными проекциями Способы преобразования чертежа равен искомому углу φ между прямой l и плоскостью Σ.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение угла между прямой и плоскостью

На рис. 2.33 плоскости Σ, Ω заданы треугольниками АВС, ABD. С помощью перемещения отрезка АВ (основы двугранного угла) параллельно П2, данный отрезок проецируется на П1 в натуральную величину. Перемещение отрезка Способы преобразования чертежа параллельно П1 позволяет спроецировать заданные плоскости в прямые линии, пересекающиеся в точке, и определить угол θ между ними. Этот угол равен искомому двугранному углу при ребре АВ.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение двугранного угла

Натуральная величина плоской фигуры 

Для определения натуральной величины плоской фигуры Ф способом плоскопараллельного перемещения необходимо перевести эту фигуру в положение уровня, перед этим спроецировав её на отрезок прямой линии.

На рис. 2.34 фигура Ф является треугольником АВС. В нём вводится горизонталь h, которая с помощью перемещения, параллельного П1, переводится во фронтально-проецирующее положение Способы преобразования чертежа (проекция Способы преобразования чертежа перпендикулярна  оси х; проекция Способы преобразования чертежа является точкой; проекция Способы преобразования чертежа является отрезком прямой). Перемещение фигуры Способы преобразования чертежа параллельно плоскости П2 позволяет определить натуральную величину треугольника АВС.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение натуральной величины плоской фигуры

Пересечение плоскостей

Для определения линии k (отрезка MN) пересечения двух плоскостей Σ, Ω способом плоскопараллельного перемещения одна из плоскостей переводится в проецирующее положение.

На рис. 2.35 плоскости заданы треугольниками АВС, DEF. В первом проведена горизонталь h, которая перемещается параллельно П1 до фронтально-проецирующего положения (проекция Способы преобразования чертежа перпендикулярна  оси х; проекция Способы преобразования чертежа является точкой). При этом треугольник Способы преобразования чертежа проецируется на отрезок Способы преобразования чертежа который совпадает с проекцией Способы преобразования чертежа линии пересечения, заданной точками Способы преобразования чертежа. Искомые горизонтальная и фронтальная проекции отрезка MN определяются по линиям проекционной связи.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение линии пересечения плоскостей

Способ вращения вокруг линии уровня

При применении метода поворота плоскость проекции не изменяется, и изменяется исходное положение в пространстве. Изменение исходного положения осуществляется вращением Он вокруг оси. Линия проекции уровня или прямая линия обычно выбирается в качестве оси вращения.

Вращение точки вокруг линии уровня

Способ вращения вокруг линии уровня является одним из способов преобразования комплексного чертежа, в котором геометрический объект вращается вокруг линии уровня до тех пор, пока не займет особое положение (рис. 2.36).

На рис. 2.37 а показаны положения точки В до и после вращения вокруг горизонтальной прямой уровня.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаВращение вокруг линии уровня

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаРеализация способа вращения вокруг линии уровня

Для вращения точки В вокруг прямой уровня необходимо знать:

а) ось вращения – горизонталь, фронталь или профильная прямая уровня;

б) центр вращения – точка Способы преобразования чертежа на оси вращения, для которой выполняется условие перпендикулярности отрезка Способы преобразования чертежа  оси вращения;

в) радиус вращения r – расстояние от центра вращения  Способы преобразования чертежа до точки В;

г) направление вращения.

Траекторией точки В при её вращении вокруг линии уровня является окружность, принадлежащая  проецирующей плоскости. Проекция траектории на одну из плоскостей проекций является отрезком, перпендикулярным соответствующей проекции линии уровня (рис. 2.37 б).

На рис. 2.37 отрезок Способы преобразования чертежа общего положения вращается вокруг горизонтали h до положения горизонтального уровня. Из горизонтальной проекции точки В проведена проекция r1 радиуса вращения, перпендикулярная оси h. На горизонтальной плоскости проекций прямой угол с основой Способы преобразования чертежа проецируется в натуральную величину (по теореме о проецировании прямого угла, см. п. 1.4.8). Точка Способы преобразования чертежа является центром вращения точки В. С помощью линии проекционной связи определяются фронтальные проекции центра вращения и радиуса вращения. С помощью способа вращения вокруг фронтально-проецирующей оси определяется натуральная величина радиуса вращения r (отрезок Способы преобразования чертежа), равная длине отрезка Способы преобразования чертежа. Новое положение Способы преобразования чертежаточки В (после вращения вокруг горизонтали h) удалено от центра вращения Способы преобразования чертежа на величину радиуса вращения.

Способом вращения вокруг линии уровня целесообразно решать задачу на нахождение натуральной величины плоской фигуры и плоского угла – угла между двумя прямыми, пересекающимися в  точке.

Натуральная величина плоской  фигуры и плоского угла

Для определения натуральной величины плоской фигуры Ф необходимо повернуть её вокруг линии уровня до положения уровня.

На рис. 2.38 задан треугольник АВС. Определение его натуральной величины реализуется с помощью вращения вокруг  горизонтали h, проходящей через его точки Способы преобразования чертежа Из горизонтальной проекции точки В проведена проекция r1 радиуса вращения, перпендикулярная  оси h. На горизонтальной плоскости проекций прямой угол с основой Способы преобразования чертежа  проецируется в натуральную величину. Точка Способы преобразования чертежа является центром вращения точки В. С помощью линии проекционной связи определяются фронтальные проекции центра и радиуса вращения. С помощью способа вращения вокруг фронтально-проецирующей оси определяется натуральная величина отрезка Способы преобразования чертежа, равная длине отрезка Способы преобразования чертежа. Положение Способы преобразования чертежа точки В (после Способы преобразования чертежа вокруг горизонтали h) удалено от центра вращения Способы преобразования чертежа на величину радиуса вращения r. Поскольку точки А, 1 принадлежат оси вращения, они остаются неподвижными. Точка Способы преобразования чертежа является точкой пересечения лучей Способы преобразования чертежа(точка Способы преобразования чертежа является центром вращения точки С; отрезок Способы преобразования чертежа перпендикулярен  h1).

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение натуральной величины плоской фигуры

На рис. 2.38 показана натуральная величина плоского угла χ при вершине А.

Способ совмещения

Способ совмещения является частным случаем способа вращения вокруг линии уровня. Осью вращения в нём является след плоскости, которой принадлежит плоская фигура.

Способ совмещения используется для нахождения натуральной величины плоской фигуры. В результате вращения последняя совмещается с одной из плоскостей проекций (рис. 2.39 а).

На рис. 2.39 б показана реализация способа  совмещения плоскости Σ общего положения с горизонтальной плоскостью проекций П1. На фронтальном следе Способы преобразования чертежа произвольно выбрана точка Способы преобразования чертежа. Горизонтальная проекция Способы преобразования чертежа точки 1 принадлежит оси х. Высота точки 1 равна Способы преобразования чертежа. Центром вращения точки 1 вокруг горизонтального следа вращения Способы преобразования чертежа плоскости Σ является точка Способы преобразования чертежа . Натуральная величина r радиуса вращения равна длине отрезка Способы преобразования чертежа1. Величина радиуса вращения откладывается вдоль направления вращения Способы преобразования чертежа Через точки Способы преобразования чертежа строится новое положение Способы преобразования чертежа фронтального следа. Таким образом, после вращения вокруг горизонтального следа Способы преобразования чертежа плоскость Σ совмещается с горизонтальной плоскостью проекций П1.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаСпособ совмещения

На рис. 2.40 определена натуральная величина четырехугольника АВСD, принадлежащего плоскости Σ, заданной горизонтальным и фронтальным следами Способы преобразования чертежа. Точки А, В, С, D вращаются вокруг горизонтального следа Способы преобразования чертежа Для определения нового положения Способы преобразования чертежа из точки А проводится горизонталь h и определяются точки Способы преобразования чертежа Точка Способы преобразования чертежа принадлежит новому положению Способы преобразования чертежа горизонтали. Аналогично определяются точки Способы преобразования чертежа. После вращения натуральная величина Способы преобразования чертежа четырехугольника принадлежит плоскости проекций П1.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение натуральной величины плоской фигуры способом совмещения

Способ косоугольного проецирования

Изображения предметов на чертежах получают проецированиемПроецирование – это процесс получения изображения предмета на какой-либо поверхности . Получившееся при этом изображение называют проекцией предмета. Слово "проекция" в переводе с латинского означает "бросание вперед, вдаль".

Косоугольное проецирование на ортогональные плоскости проекций

Косоугольное проецирование - один из видов параллельного проецирования (см. п. 1.1.2.1, рис. 1.3), в котором проецирующие лучи не перпендикулярны  плоскостям проекций П1, П2, П3.

Косоугольное проецирование задаётся направлением проецирования і, которое в общем случае направлено вдоль  линии общего положения.

В начертательной геометрии используются три вида косоугольного проецирования:

а) на ортогональные плоскости проекций П1, П2, П3;

б) на плоскость особого положения (см. п. 2.5.2);

в) на биссекторную плоскость (см. п. 2.5.3).

Использование косоугольного проецирования направлено на искажение изображения геометрического объекта с целью упрощения его формы (прямая проецируется в точку, плоскость – в прямую и т.д.).

Правило косоугольного проецирования точки на ортогональные плоскости проекций

При косоугольном проецировании точки А на одну из плоскостей проекций П1, П2, П3 косоугольная проекция Способы преобразования чертежа совпадает с соответствующим  следом (см. п. 1.4.3, рис. 1.12) проецирующего луча і (рис. 2.41 а). Горизонтальная проекция Способы преобразования чертежа точки Способы преобразования чертежапринадлежит оси х, фронтальная Способы преобразования чертежа – совпадает с косоугольной проекцией Способы преобразования чертежа. Линии косоугольного проецирования параллельны соответствующим проекциям проецирующего луча  і.

На рис. 2.41 б построен комплексный чертёж точки А и её косоугольной проекции АСпособы преобразования чертежа на фронтальную плоскость проекций П2.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаКосоугольное проецирование на плоскость проекций

Способ косоугольного проецирования позволяет относительно быстро решать  позиционные задачи на пересечение геометрических объектов (прямой и плоскости, двух плоскостей и т.д.).

На рис. 2.42 построена точка K пересечения прямой l с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми а, b. Введен проецирующий луч і, параллельный заданной плоскости. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 (прямая Способы преобразования чертежа ) является фронтальным следом плоскости Σ и пересекается с косоугольной проекцией Способы преобразования чертежа в  точке Способы преобразования чертежа . С помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой точки K.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.42 с целью упрощения горизонтальные проекции плоскости Способы преобразования чертежа и прямой Способы преобразования чертежа не обозначены (они совпадают с осью х). Их фронтальные проекции совпадают с косоугольными проекциями, поэтому нижний индекс «2» также не обозначен.

На рис. 2.43 построена линия k пересечения плоскости Σ, заданной параллельными прямыми а, b, с плоскостью Ω, заданной треугольником АВС. Введен проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 (пряма Способы преобразования чертежа ) является фронтальным следом плоскости Σ и пересекается с косоугольной проекцией Способы преобразования чертежа по прямой Способы преобразования чертежа , заданной отрезком Способы преобразования чертежа . С помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой прямой k.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение линий пересечения плоскостей

Косоугольное проецирование на плоскость особого положения

При косоугольном проецировании на плоскость особого положения (плоскость уровня или проецирующую плоскость) вводится вспомогательная плоскость Способы преобразования чертежа с помощью одного из своих следов Способы преобразования чертежа .

На рис. 2.44 а показан способ косоугольного проецирования на горизонтально-проецирующую плоскость Способы преобразования чертежа . На рис. 2.44 б построен комплексный чертёж точки А, косоугольно спроецированной на эту плоскость. Горизонтальная проекция Способы преобразования чертежа является точкой пересечения оси Способы преобразования чертежа с  горизонтальной проекцией Способы преобразования чертежа проецирующего луча. Фронтальная проекция Способы преобразования чертежа является точкой пересечения фронтальной проекции Способы преобразования чертежа проецирующего луча с вертикальной линией проекционной связи, проведенной из точки Способы преобразования чертежа.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаКосоугольное проецирование на проецирующую плоскость

На рис. 2.45 построена точка K пересечения прямой l  с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми а, b. Введены горизонтально-проецирующая плоскость Способы преобразования чертежа и проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 является прямой Способы преобразования чертежа пересекающейся с косоугольной проекцией Способы преобразования чертежа в точке Способы преобразования чертежаС помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой точки K.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.45 для упрощения горизонтальные проекции плоскости Способы преобразования чертежа и прямой Способы преобразования чертежа не обозначены (они совпадают с осью Способы преобразования чертежа ). Их фронтальные проекции не совпадают с проекциями на плоскость Способы преобразования чертежапоэтому нижний индекс «2» обязателен.

На рис. 2.46 построена линия k пересечения плоскости Σ, заданной параллельными прямыми а, b, с плоскостью , заданной треугольником АВС. Введены горизонтально проецирующая плоскость Способы преобразования чертежа и проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на плоскость проекций П2 пересекается с косоугольной проекцией Способы преобразования чертежа плоскости Ω по прямой Способы преобразования чертежа заданной отрезком Способы преобразования чертежаС помощью линий проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой прямой k.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение линии пересечения плоскостей

Косоугольное проецирование на биссекторную плоскость 

Биссекторная плоскость – это плоскость, равнонаклонённая к двум плоскостям проекций. При решении позиционных задач на пересечение геометрических объектов используются способы косоугольного проецирования, в том числе на биссекторную плоскость Способы преобразования чертежа которая проходит через ось х, принадлежит ІІ и ІV четвертям (см. п. 1.3.1, рис. 1.6) и наклонена к плоскостям проекций П1, П2 под углом 45° (рис. 2.47 а).

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаБиссекторная плоскость

Основное свойство точек биссекторной плоскости

Любая точка А биссекторной плоскости Способы преобразования чертежа имеет одинаковые по модулю и противоположные по знаку высоту z и глубину у (рис. 2.47).

На рис. 2.47 б построен комплексный чертёж точки А и её косоугольной проекции Способы преобразования чертежа на биссекторную плоскость Способы преобразования чертежа 

Согласно  основному свойству биссекторной плоскости на комплексном чертеже вместо обозначения косоугольных проекций Способы преобразования чертежа которые совпадают , упрощенно обозначается только Способы преобразования чертежа (рис. 2.48).

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаКосоугольное проецирование точки на биссекторную плоскость

Правило определения косоугольной проекции точки на биссекторную плоскость

Косоугольная проекция Способы преобразования чертежа точки А на биссекторную плоскость Способы преобразования чертежа является точкой пересечения горизонтальной и фронтальной проекций Способы преобразования чертежа проецирующего луча і (рис. 2.48).

На рис. 2.49 построена точка K пересечения прямой l  с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми а, b. Введен проецирующий луч і, параллельный заданной плоскости. Косоугольная проекция плоскости Σ на биссекторную плоскость П2 является прямой Способы преобразования чертежа пересекающейся с косоугольной проекцией Способы преобразования чертежа в точке Способы преобразования чертежа С помощью линий проекционной связи точки на биссекторную плоскость определяются фронтальная и горизонтальная проекции точки K.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение точки пересечения прямой и плоскости

На рис. 2.50 построена линия k пересечения плоскости Σ, заданной параллельными прямыми а, b, с плоскостью , заданной треугольником АВС. Введен проецирующий луч і, параллельный плоскости Σ. Косоугольная проекция плоскости Σ на биссекторную плоскость является прямой Способы преобразования чертежапересекающейся с косоугольной проекцией Способы преобразования чертежа плоскости по прямойСпособы преобразования чертежа заданный отрезком Способы преобразования чертежа С помощью линий косоугольной проекционной связи определяются фронтальная и горизонтальная проекции искомой прямой k.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение линий пересечения плоскостей

Комбинированные способы

Описанные в разделах 1, 2 способы позволяют решать большое количество позиционных и метрических задач начертательной геометрии. При этом одну задачу можно решать разными способами, которые отличаются сложностью   реализации. Поэтому, прежде, чем решать ту или иную  задачу, необходимо проанализировать и сравнить между собой разные способы по критерию их сложности. Субъективное мнение  авторов по этому вопросу приведено в табл. 2.1.

Таблица  2.1- Способы решения задач начертательной геометрии

Способы преобразования чертежа

Из табл. 2.1 видим, что универсальным способом решения почти всех задач начертательной геометрии является способ замены плоскостей проекций.

При решении комплексных задач способ замены плоскостей проекций можно дополнять другими способами (например, вращение вокруг проецирующей оси  і, плоскопараллельного перемещения и т.д.). Умение объединять разные способы свидетельствует о высоком уровне опытности будущего инженера .

На рис. 2.51 определена натуральная величина треугольника АВС с использованием комбинации двух способов – замены плоскостей проекций и плоскопараллельного перемещения. На рис. 2.52 комбинацией двух указанных способов определён двугранный угол θ при ребре АВ.

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение натуральной величины плоской фигуры

Способы преобразования чертежа

Способы преобразования чертежаОпределение двугранного угла

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Кривые линии
  19. Кривые поверхности
  20. Трёхгранник Френе
  21. Проецирование многогранников
  22. Проецирование тел вращения
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы