Сопротивление материалов

Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и стабильности элементов в инженерных конструкциях.

Сопротивление материала относится к механике деформируемого твердого тела, которая, как и теоретическая механика, является частью общей механики.

К механике деформируемого твердого тела, кроме сопротивления материала, относятся теория упругости, теория пластичности и ползучести, механика разрушения, механика композиционных материалов и DR.

Основные положения сопротивления материалов основаны на законах и теоремах теоретической механики и, прежде всего, на статических законах. Однако в отличие от теоретической механики, считающей тела абсолютно твердыми, сопротивление материала учитывает изменение формы и размеров тела под действием внешних сил, т.е. деформацию.

Задача сопротивления материалов заключается в разработке методов расчета конструкций и их элементов на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном соблюдении требований надежности и экономичности.

Содержание:

  1. Что такое сопромат
  2. Напряженное и деформированное состояния
  3. Критерии прочности
  4. Растяжение - сжатие прямых стержней
  5. Статически неопределимый брус и статически определимые и неопределимые стержневые системы
  6. Чистый сдвиг
  7. Расчеты простейших соединений элементов конструкций
  8. Геометрические характеристики плоских сечений
  9. Главные, центральные, главные центральные оси и соответствующие моменты инерции
  10. Кручение круглых стержней - валов 
  11. Расчеты на прочность, на жесткость. Статически неопределимые задачи
  12. Плоский поперечный изгиб
  13. Определения плоского, косого и плоского поперечного изгибов
  14. Сложное сопротивление
  15. Энергетические методы определения перемещений
  16. Раскрытие статистической неопределимости стержневых систем
  17. Определение перемещений в статически неопределимых системах
  18. Осесимметричное нагружение тонкостенных оболочек вращения
  19. Устойчивость сжатых стержней

Что такое сопромат

Сопротивление материалов - это наука о прочности и надежности деталей машин и конструкций. В ее задачи входит обобщение инженерного опыта создания машин и конструкций, разработка научных основ проектирования и конструирования надежных изделий, совершенствование методов оценки прочности. Сопротивление материалов является частью механики деформируемого твердого тела, которая учитывает методы инженерных расчетов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость, при этом удовлетворяя требованиям надежности, экономичности и долговечности.

Сопротивление материалов основано на понятии прочности, под которой понимается способность материала выдерживать приложенные нагрузки и удары без разрушения. Сопротивление материалов действует с точки зрения: внутренних сил, напряжений, деформации. Внешняя нагрузка, прилагаемая к определенному телу, создает в нем внутренние силы, противодействующие активному действию внешней нагрузки. Внутренние силы, распределенные по сечениям тела, называются напряжениями. Таким образом, внешняя нагрузка порождает внутреннюю реакцию материала, характеризующуюся напряжениями, которые, в свою очередь, прямо пропорциональны деформации тела. Деформации могут быть линейными (удлинение, укорочение, сдвиг) и угловыми (вращение сечений).

Основные понятия сопротивления материала, которые оценивают способность материала сопротивляться внешним воздействиям:

  1. Прочность - способность материала воспринимать внешнюю нагрузку без разрушения;
  2. Жесткость - способность материала удерживать свои геометрические параметры в допустимых пределах при внешних воздействиях;
  3. Устойчивость - способность материала сохранять свою форму и положение стабильными под внешними воздействиями.

Напряженное и деформированное состояния

Напряженное состояние в точке:

- тензор напряжений в координатах Сопротивление материалов и в главных осях 1, 2, 3 Сопротивление материалов

- главные напряжения Сопротивление материалов как корни уравнения

Сопротивление материалов где Сопротивление материалов - главное нормальное напряжение, Сопротивление материалов

за - инварианты тензора напряжений

Сопротивление материалов

- главные напряжения и тип напряженного состояния

Сопротивление материалов - линейное (одноосное),

Сопротивление материалов плоское (двухосное),

Сопротивление материалов объемное (трехосное).

Линейное (одноосное) напряженное состояние:

- напряжения в произвольных площадках

Сопротивление материаловСопротивление материалов

Показаны действительные направления напряжений, Их положительные направления:

Сопротивление материалов

деформации при линейном напряженном состоянии.

-Закон Гука. Коэффициент Пуассона

Сопротивление материалов

Плоское (двухосное) напряженное состояние: - напряжения на двух произвольных взаимно перпендикулярных площадках (прямая задача) Сопротивление материалов ( Сопротивление материалов - угол между Сопротивление материалов макс и нормалью Сопротивление материалов отсчитываемый от Сопротивление материалов макс ) .

Для отыскиваемых напряжений справедливы соотношения

Сопротивление материалов - определение главных напряжений по напряжениям на произвольных взаимно перпендикулярных площадках (обратная задача) Сопротивление материалов

Приведенные формулы получены в предположении, что Сопротивление материалов

а угол Сопротивление материалов определяет направление Сопротивление материалов макс относительно оси Сопротивление материалов

- деформации для плоского напряженного состояния; обобщенный закон Гука в главных осях

Сопротивление материалов

Объемное (трехосное) напряженное состояние:

- обобщенный закон Гука в главных осях

Сопротивление материалов

Деформировштое состояние в точке:

тензор деформаций в координатах Сопротивление материалов и в главных осях 1,2,3 Сопротивление материалов объемная деформация

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Чтобы определить главные нормальные напряжения, нужно найти корни уравнения

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - главное нормальное напряжение, а Сопротивление материалов - инварианты напряженного состояния в точке (инварианты тензора напряжений). Можно получить, что

Сопротивление материалов

Подставляя значения инвариантов в уравнение, будем иметь

Сопротивление материалов

Соответственно корнями уравнения являются Сопротивление материалов

Главные нормальные напряжения - Сопротивление материалов

напряженное состояние - линейное.

Сопротивление материалов

Поскольку нормаль к рассматриваемому сечению перпендикулярна главному направлению 1 (главному напряжению Сопротивление материалов ), имеем возможность переити к плоскому напряженному состоянию и воспользоваться готовыми соотношениями:

Сопротивление материалов

( Сопротивление материалов - угол между Сопротивление материалов и нормалью Сопротивление материалов отсчитываемый от Сопротивление материалов

Здесь Сопротивление материалов и в соответствии с этими данными имеем следующие значения напряжений в искомом сечении:

Сопротивление материалов

Главные касательные напряжения определим по формулам:

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

См. задачу 1.2. При определении напряжений на площадке с нормалью Сопротивление материалов имеем Сопротивление материалов Для

площадки с нормалью Сопротивление материалов угол имеет другое значение - Сопротивление материалов

Вычисляя напряжения на площадках, получаем

Сопротивление материалов

Напомним, что результат Сопротивление материалов определяется известным законом парности касательных напряжений.

Определить главные нормальные и касательные напряжения

Сопротивление материалов

Поскольку нормальное напряжение Сопротивление материалов является одним из главных, величины и направления двух оставшихся главных можно найти по соответствующим формулам для плоского напряженного состояния:

Сопротивление материалов

Приведенные формулы получены в предположении, что Сопротивление материалов а угол Сопротивление материалов определяет направление Сопротивление материалов относительно оси Сопротивление материалов

В рассматриваемой задаче Сопротивление материалов

Сопротивление материалов Окончательно имеем:

Сопротивление материалов

Критерии прочности

Назначение критерия прочности - сведение трехосного напряженного состояния к эквивалентному одноосному растяжению. Вне зависимости от используемого критерия условие прочности имеет вид

Сопротивление материалов

Основные критерии прочности: - критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

Сопротивление материалов

- критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)

Сопротивление материалов

- критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

Сопротивление материалов

- критерий Кулона - Мора

Сопротивление материалов

- критерий удельной потенциальной энергии формоизменения

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

критерий Кулона - Мора - Сопротивление материалов

критерий удельной потенциальной энергии формоизменения -

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов Сопротивление материалов

теория прочности определяет эквивалентное напряжение соотношением Сопротивление материалов Соответственно имеем: в первом случае - Сопротивление материалов

во втором Сопротивление материалов

Второе напряженное состояние более опасно.

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Метод сил: определение и расчёт
  2. Задачи на изгиб по сопромату примеры и решения
  3. Задачи на косой изгиб по сопромату примеры и решения
  4. Поперечный изгиб решение задач по сопромату
  5. Плоский изгиб решение задач по сопромату

Растяжение - сжатие прямых стержней

Механические характеристики материала при растяжении и сжатии:

- диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали.

Характеристики прочности: Сопротивление материалов пределы пропорциональности, текучести, прочности; Сопротивление материалов - истинное сопротивление разрыву.

Характеристики пластичности: Сопротивление материалов - относительные удлинение и сужение образца после разрыва;

- диаграмма растяжения серого чугуна. Предел прочности Сопротивление материалов

Растяжение (сжатие) статически определимого бруса:

- метод сечений и определение продольной силы Сопротивление материалов Сопротивление материалов

Из условия равновесия любой из частей бруса Сопротивление материалов

Растягивающее усилие считается положительным, сжимающее -отрицательным.

Далее в задачах при определении продольной силы Сопротивление материалов направляем ее всегда как положительную;

- нормальное напряжение Сопротивление материалов

- линейная продольная деформация

Сопротивление материалов - при силовом нагружении,

Сопротивление материалов - при термосиловом нагружении;

- поперечные деформации Сопротивление материалов

- перемещения точек

Сопротивление материалов - при силовом нагружении, 0 Сопротивление материалов - при термосиловом нагружении;

Статически неопределимый брус и статически определимые и неопределимые стержневые системы

1 Определение реакции опоры

Сопротивление материалов

Из уравнения статики имеем:

Сопротивление материалов

2. Построение эпюры продольных сил. Сопротивление материалов

3. Эпюры напряжений и деформаций построим с помощью следующих зависимостей

Сопротивление материалов

4, Построение эпюры перемещений проведем с помощью формулы

Сопротивление материалов

проводя интегрирование в пределах

каждого участка (эпюра построена в единицах Сопротивление материалов

Участок 1: Сопротивление материалов

Участок 2: Сопротивление материалов

Участок 3: Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Сопротивление материаловСопротивление материалов

1. Определение реакции опоры. Из уравнения статики имеем: Сопротивление материаловСопротивление материалов

2. Построение эпюры продольных сил

Сопротивление материалов

4. Эпюру перемещений строим (см. задачу 3,1) с помощью формулы

Сопротивление материалов

(построения - в единицах Сопротивление материалов

Участок 1: Сопротивление материалов

Участок 2: Сопротивление материалов

Участок 3: Сопротивление материалов

Функция Сопротивление материалов квадратичная выпуклостью вниз. Имеет минимум при

Сопротивление материалов Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

1. Рассматриваемая задача статически неопределимая. Степень статической неопределимости равна 1: имеем 2 неизвестные реакции опор и 1 уравнение статики. Для решения задачи используем следующую процедуру: отбросим правое закрепление Сопротивление материалов и введем в рассмотрение реакцию Сопротивление материалов Полученная балка эквивалентна исходной при условии, что перемещение сечения Сопротивление материалов равно нулю:

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов перемещение сечения Сопротивление материалов от действия только силы Сопротивление материалов и

т.д. При записи уравнения реализован принцип независимости сил. Вычисляя каждое слагаемое, будем иметь:

Сопротивление материалов

Решение уравнения относительно Сопротивление материалов позволяет получить

Сопротивление материалов

Знак результата показывает, что выбранное направление реакции Сопротивление материалов неверно и его нужно заменить на обратное, приняв Сопротивление материалов Отбросим левое закрепление Сопротивление материалов и введем в рассмотрение реакцию Сопротивление материалов Из уравнения равновесия бруса

Сопротивление материалов получаем, что Сопротивление материалов

Дальнейшее решение рассматриваемой задачи ничем не отличается отрешения предыдущей (см. задачу 3.2).

2. Построение эпюры продольных сил.

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

3. Построение эпюры Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Функция Сопротивление материалов квадратичная выпуклостью вверх с максимумом при Сопротивление материалов На концах интервала

Сопротивление материалов

Последний результат отвечает жесткому закреплению бруса справа.

Чистый сдвиг

Определения:

  • чистого сдвига;
  • абсолютного сдвига;
  • относительного сдвига или угловой деформации Сопротивление материалов
  • касательного напряжения Сопротивление материалов

Закон Гука для чистого сдвига:

  • связь между угловой деформацией и касательным напряжением Сопротивление материалов
  • соотношения, связывающие главные угловые деформации Сопротивление материаловСопротивление материалов главные линейные деформации Сопротивление материалов и главные касательные напряжения Сопротивление материалов
  • зависимость между упругими постоянными Сопротивление материалов
  • октаэдрическии сдвиг Сопротивление материалов

Условие прочности при чистом сдвиге. Сопротивление материалов

Заданные напряжения являются главными нормальными:

Сопротивление материалов

Главные касательные напряжения определяются как полуразности главных нормальных:

Сопротивление материалов

При определении главных угловых деформации используем закон Гука в форме соотношения Сопротивление материалов для чего необходимо вычислить модуль сдвига (модуль упругости второго рода);

Сопротивление материалов

Соответственно имеем

Сопротивление материалов

Октаэдрический сдвиг определим по известной формуле:

Сопротивление материалов

Для напряженного состояния чистого сдвига Сопротивление материалов главные площадки составляют с исходными углы по Сопротивление материалов а сами главные напряжения имеют значения: Сопротивление материалов (см. раздел 1, обратная задача типа 1.4). Соответственно рассматриваемая задача сводится к отысканию напряжений на заданной площадке при известных главных напряжениях (см. раздел 1, прямая задача типа 1.2 или 1.3).

Сопротивление материалов Применение известных формул

Сопротивление материалов

при Сопротивление материалов позволяет получить искомые напряжения

Сопротивление материалов

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Расчет фермы: примеры с решением
  2. Олег македонский решение задач по сопромату
  3. Метод начальных параметров решение и примеры задач по сопромату
  4. Расчет рамы по сопромату примеры и решения
  5. Задачи на сжатие и растяжение по сопромату примеры и решения

Расчеты простейших соединений элементов конструкций

Типы соединений: болтовые, шпоночные, клиновые, заклепочные, сварные, деревянные врубки и т.д.

Виды деформирования: растяжение (сжатие), сдвиг и смятие.

Особенности расчетов:

  • при работе конструкций чистый сдвиг практически не встречается. Сдвигу всегда сопутствует либо изгиб, либо растяжение (сжатие), однако технические расчеты проводят только на сдвиг, который для металлических элементов называют срезом, а для деревянных - скалыванием, считая, что по площади среза ( скалывания) касательные напряжения распределены равномерно;
  • смятие представляет собой поверхностное сжатие давящих друг на друга элементов конструкций. При проведении технических расчетов принимают, что смятие осуществляется по площади Сопротивление материалов являющейся проекцией сминаемой поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению давящей силы Сопротивление материалов при равномерном распределении давления по этой площади;
  • для рационального использования материала раечет соединений должен проводиться из условия равной прочности элементов, входящих в соединение.

Если одна и та же площадь рассчитывается на Два вида деформирования (например, на срез и смятие), то как-Окончательный результат принимается ее большее значение.

Сопротивление материалов

1. Определение диаметра болта из условия прочности на срез. Условие прочности болта на срез (по сечению Сопротивление материалов имеет вид

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - перерезывающая сила, а Сопротивление материалов - площадь среза. Для диаметра болта получаем .

Сопротивление материалов

2. Определение диаметра болта из условия прочности на смятие. Расчетное соотношение в этом случае запишем в форме

Сопротивление материалов

При Сопротивление материалов будем иметь

Сопротивление материалов

Напомним, что из двух полученных значений диаметра болта нужно выбрать большее и округлить до нормированного.

3. Проверка прочности листа в ослабленном сечении при его растяжении (при выбранном значении диаметра болта). Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

1. Определение диаметра Сопротивление материалов из условия прочности при растяжении.

Сопротивление материалов

Из полученного соотношения следует Сопротивление материалов

• 2. Определение диаметра Сопротивление материалов из условия прочности на срез.

Сопротивление материалов

откуда можем получить Сопротивление материалов

3. Определение размера Сопротивление материалов из условия прочности на смятие. Сопротивление материалов

Полученное соотношение позволяет найти

Сопротивление материалов

4. Определение размера Сопротивление материалов из условия прочности на растяжение в ослабленном сечении.

Сопротивление материалов

Из полученного соотношения имеем

Сопротивление материалов

Геометрические характеристики плоских сечений

Площадь сечениях Сопротивление материалов

Статические моменты сечения:

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов координаты центра тяжести сечения.

Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю.

Моменты инерции сечения:

- осевые (или линейные, или экваториальные)

Сопротивление материалов

- центробежный

Сопротивление материалов

- полярный

Сопротивление материалов

Главные, центральные, главные центральные оси и соответствующие моменты инерции

Моменты инерции для параллельных осей, одни из которых центральные: Сопротивление материалов

Моменты инерции простейших сечений для главных цен-тральных осей:

- прямоугольник (ось Сопротивление материалов параллельна высоте Сопротивление материалов сечения, ось Сопротивление материалов - его ширине Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

- равнобедренный треугольник (ось Сопротивление материалов параллельна высоте Сопротивление материалов сечения, ось Сопротивление материалов его основанию Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

- круг (диаметр Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

- кольцо Сопротивление материалов - наружный диаметр, Сопротивление материалов - внутренний) n Сопротивление материалов Сопротивление материалов

Координаты центра тяжести сечения вычислим, используя определение статических моментов сечения

Сопротивление материалов

Имеем: Сопротивление материалов

Площадь сечения найдем, разбивая его на два прямоугольника:

Сопротивление материалов

Для этих же прямоугольников вычисляем статические моменты:

Сопротивление материалов

При отыскании статических моментов прямоугольников можем использовать и соотношения типа

Сопротивление материалов

Окончательно имеем, что Сопротивление материалов и Сопротивление материалов

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Задачи на кручение по сопромату примеры и решения
  2. Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения
  3. Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения
  4. Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения
  5. Метод мора примеры решения задач по сопромату

Кручение круглых стержней - валов 

Внешние и внутренние силовые факторы:

  • величина внешнего скручивающего момента Сопротивление материалов при заданных передаваемой мощности Сопротивление материалов и числе Сопротивление материалов (об/мин) определяется соотношениями Сопротивление материалов л.с.). При задании мощности в ваттах и угловой скорости вращения вала Сопротивление материалов в 1/сек скручивающий момент равен Сопротивление материалов
  • метод сечений и определение внутреннего силового фактора (крутящего момента) Сопротивление материалов Крутящий момент Сопротивление материалов принимается положительным, если со стороны внешней нормали к сечению он направлен против часовой стрелки.

Исходные положения и характер деформировании бруса:

  • гипотеза плоских сечений, сохранение прямолинейности радиусов, неизменность расстояния между сечениями;
  • характер деформирования - чистый сдвиг;
  • угловая деформация Сопротивление материалов относительный угол закручивания;
  • относительный угол закручивания Сопротивление материалов
  • угол закручивания (взаимный угол поворота сечений вала, отстоящих друг от друга на расстоянии Сопротивление материалов

Напряжения при кручении:

  • касательное напряжение Сопротивление материалов
  • максимальное касательное напряжение Сопротивление материалов где Сопротивление материалов - полярный момент сопротивления сечения;
  • напряженное состояние при кручении.

Расчеты на прочность, на жесткость. Статически неопределимые задачи

Диаграмма кручения:

  • сравнение с диаграммой растяжения;
  • типы разрушения при кручении для пластичных и хрупких материалов.

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

1 Определение реакции в опоре

Сопротивление материалов

1 2 3 В соответствии с уравнением статики (уравнением моментов относительно оси Сопротивление материалов имеем:

Сопротивление материалов

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Из уравнения равновесия

Сечение 1 Сопротивление материалов

Из уравнение равновесия Сопротивление материалов получаем Сопротивление материалов

Сечение 2 : Сопротивление материалов

Сечение 3: Сопротивление материалов

3. Эпюру углов закручивания построим с помощью формулы

Сопротивление материалов проводя интегрирование в пределах каждого участка.

Поскольку полярный момент инерции имеет разные значения на участках скручиваемого стержня Сопротивление материаловСопротивление материалов

построения проведены в Сопротивление материалов

Участок 1 : Сопротивление материалов

Участок 2: Сопротивление материалов

Участок 3: Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Определение реакции в опоре Сопротивление материалов Сопротивление материалов

Построение эпюры крутящих моментов.

Сечение 1 : Сопротивление материалов

Сечение 2: Сопротивление материалов

Сечение 3: Сопротивление материалов

3. Эпюру Сопротивление материалов строим в единицах Сопротивление материалов

Участок 1 : Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Участок 2 : Сопротивление материалов

(функция Сопротивление материалов квадратичная выпуклостью вниз)

Участок 3 : Сопротивление материалов

4. Наибольшее касательное напряжение определим по формуле

Сопротивление материалов

полярный момент сопротивления сечения. Будем иметь Сопротивление материалов

Плоский поперечный изгиб

Классификация внешних сил:

  • сосредоточенные сила и момент;
  • распределенная нагрузка.

Определения плоского, косого и плоского поперечного изгибов

Классификация опор и балок:

  • опоры шарнирно подвижная, шарнирно неподвижная, жесткое закрепление (заделка);
  • балки статически определимые и неопределимые.

Внутренние силовые факторы:

  • метод сечений и определение изгибающего момента Сопротивление материалов и перерезывающей силы Сопротивление материалов
  • правила знаков для Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Дифференциальные зависимости Журавского:

Сопротивление материалов

- основные следствия из зависимостей Журавского и их использование при построении или проверке правильности построения эпюр Сопротивление материалов

Чистый изгиб:

определение чистого изгиба;

исходные гипотезы (гипотеза плоских сечений; растяжение и сжатие волокон, параллельных оси балки; наличие нейтрального слоя);

нормальное напряжение Сопротивление материалов где Сопротивление материалов - ордината точки, в которой определяется напряжение;

максимальные напряжения растяжения и сжатия

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов ординаты наиболее удаленных от нейтральной оси точек в зонах растяжения и сжатия. Сопротивление материалов - осевые моменты сопротивления сечения;

Поперечный изгиб:

определение поперечного изгиба;

нормальное напряжение Сопротивление материалов касательное напряжение Сопротивление материалов где Сопротивление материалов статический момент части сечения, расположенной выше уровня Сопротивление материалов ширина сечения на этом уровне;

эпюры нормальных и касательных напряжении в сечениях различного типа;

Расчет па прочность при плоском поперечном изгибе:

Сопротивление материалов

расчет на прочность ведется с использованием одной из теорий прочности.

Перемещения при изгибе:

- дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (обычно используют при условии Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

- интегрирование дифференциального уравнения прогибов. Уравнение углов поворота

Сопротивление материалов

и прогибов

Сопротивление материалов

Граничные условия (условия закрепления концов балки) и определение постоянных Сопротивление материалов

- универсальное уравнение упругой линии (определение перемещений методом начальных параметров).

За начальные параметры принимаются прогиб Сопротивление материалов и угол поворота Сопротивление материалов левого концевого поперечного сечения балки, в центре тяжести которого расположено начало координат. Их значения находят из условий закрепления балки.

Целесообразно записывать уравнение упругой линии для произвольного сечения последнего участка балки, включая нагрузки в той последовательности, в которой они расположены от начала координат.

Если на балке имеется распределенная нагрузка, не доходящая до сечения, где определяется прогиб (угол поворота), то ее продляют до этого сечения и прикладывают противоположно направленную компенсирующую нагрузку той же интенсивности.

Сопротивление материалов Сопротивление материалов

1. Определение реакций опор. Уравнения равновесия Сопротивление материаловСопротивление материалов

имеют вид: Сопротивление материалов Решая систему уравнений относительно реакций опор, получим

Сопротивление материалов

2. Построение эпюр Сопротивление материалов

Для упрощения соотношений для перерезывающих сил и изгибающих моментов в сечениях 1 и 2 определим их, отбрасывая правую часть балки, а в сечении 3 - левую. При отыскании Сопротивление материалов здесь и далее уравнение моментов булем записывать всегда относительно сделанного сечения.

Сопротивление материалов

Отметим, что, в соответствии с принятым порядком прохождения участков, на 3-м участке ось Сопротивление материалов направлена справа налево (значение Сопротивление материалов принадлежит сечению Сопротивление материалов В этом случае Сопротивление материалов Сопротивление материалов

В рассматриваемой задаче значения Сопротивление материалов в сечениях балки определим, проходя участки слева направо. При этом нет необходимости предварительно вычислять реакции опоры Сопротивление материалов

Эпюру моментов Сопротивление материалов построим в единицах Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Функция Сопротивление материалов - квадратичная выпуклостью вверх и имеет максимум при Сопротивление материалов Это легко видеть по эпюре Сопротивление материалов на втором участке, учитывая, что Сопротивление материалов эпюру Сопротивление материалов можно рассматривать как график первообразной функции, а эпюру Сопротивление материалов - как график ее производной.

Реакции в опоре Сопротивление материалов при необходимости можно определить по значениям перерезывающей силы и изгибающего момента в сечении Сопротивление материалов (направлена вверх) и Сопротивление материалов (изгибает балку выпуклостью вверх).

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения
  2. Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями
  3. Решение статически неопределимых задач
  4. Метод сечений решение задач по сопромату
  5. Сопромат готовые задачи с решением

Сложное сопротивление

Определение задачи сложного сопротивления пряного бруса.

Представление сложного сопротивления как суммы простейших видов ( типов ) деформирования: - внутренние силовые факторы при сложном сопротивлении

Сопротивление материалов

- нормальные и касательные напряжения

Сопротивление материалов

Суммирование нормальных напряжений (знаки проставляются по первой четверти принятой системы координат) Сопротивление материалов Суммирование касательных напряжений

Сопротивление материалов

Уравнение нейтральной линии и опасные точки в сечении прямого бруса Сопротивление материалов

Расчет на прочность в опасных точках.

Частные случаи сложного сопротивления:

  • - косой изгиб;
  • - внецентренное растяжение (сжатие) или растяжение с изгибом;
  • - изгиб с кручением.

Сопротивление материалов

Поскольку речь идет о нормальных напряжениях и нетральной линии, достаточно определить в сечении бруса изгибающие моменты

Сопротивление материалов Будем иметь

Сопротивление материалов

Действительное направление моментов показано на рисунке.

Опасное сечение бруса - сечение в закреплении при Сопротивление материалов Соответственно здесь имеем

Сопротивление материалов

Уравнение нейтральной линии

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов что позволяет найти Сопротивление материалов

Наибольшее (наименьшее) напряжение действует в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии :

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Линия действия силы Сопротивление материалов на первом (левом) образце проходит через центр тяжести его поперечного сечения - здесь имеем простое растяжение образца при Сопротивление материалов Напряжение постоянно по сечению и равно Сопротивление материалов

Для второго образца нагружение является внецентренным - эксцентриситет силы Сопротивление материалов равен Сопротивление материалови дополнительно к продольной силе Сопротивление материалов имеем изгибающий момент Сопротивление материалов

Нормальное напряжение для точек первой четверти сечения в этом случае определяется соотношением Сопротивление материалов

Положение нейтральной линии в сечении образна следует из уравнения Сопротивление материалов

Полученный результат показывает, что нейтральная линия проходит по правому краю сечения и все сечение находится в зоне растяжения. Наибольшее нормальное напряжение в этом случае равно

Сопротивление материалов

Можно видеть, что внецентренное приложение нагрузки увеличивает опасность разрушения: при увеличении плошади сечения на 50% напряжение не уменьшилось, а возросло на 33% .

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Сопромат для чайников
  2. Сопромат решение простых задач
  3. Пособие по решению задач по сопромату
  4. Расчётная схема: определение и пример с решением

Энергетические методы определения перемещений

Работа внешних сил.

Работа внутренних (упругих) сил: - при растяжении (сжатии) стержня длиной Сопротивление материалов работа осевой силы Сопротивление материалов осуществляется на перемещении Сопротивление материалов

Соответственно, работа осевой силы Сопротивление материалов для стержня равна

Сопротивление материалов - при сложном нагружении (сложном сопротивлении)

Сопротивление материалов Потенциальная энергия деформации:

в соответствии с принципом сохранения энергии Сопротивление материалов имеем

Обобщенные сила и перемещение:

Сопротивление материалов - обобщенная сила (сила или момент);

Сопротивление материалов - обобщенное перемещение (линейное или угловое).

Теорема (формула) Кастильяно:

Сопротивление материалов

производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению точки приложения силы в направлении этой силы.

Интегралы Мора: Сопротивление материалов где Сопротивление материалов и т.д. - внутренние силовые факторы в сечениях бруса при приложении к нему единичной нагрузки (безразмерной единичной обобщенной силы Сопротивление материалов в точке (сечении), для которой отыскивается обобщенное перемещение Сопротивление материалов в направлении, в котором это перемещение ищется. Положительное значение искомого перемещения получаем, если его направление совпадает с направлением приложенной единичной нагрузки.

Раскрытие статистической неопределимости стержневых систем

Классификация стержневых систем:

  • системы статически определимые и статически неопределимые (общее определение);
  • системы плоские, плоско-трехмерные, трехмерные;
  • фермы, рамы.

Степень статической неопределимости системы:

  • связи необходимые (внешние), обеспечивающие геометрическую неизменяемость системы, и лишние или избыточные (внешние и внутренние);
  • статическая неопределимость плоского замкнутого контура;
  • снижение степени статической неопределимости при наличии шарнира; шарниры простые (одиночные), двойные, тройные и т.д.;
  • определение степени статической неопределимости плоских стержневых систем по формуле Сопротивление материалов (Сопротивление материалов - число замкнутых контуров, Сопротивление материалов - число простых шарниров, основание рассматривается как стержень с бесконечно большой жесткостью);

Заданная статически неопределимая стержневая система; статически определимая основная система; эквивалентная система.

Метод перемещений при раскрытии статической неопределимости системы (см. разделы 3 и 7).

Метод сил при раскрытии статической неопределимости системы:

  • принцип минимума потенциальной энергии упругой деформации системы (теорема Menabrea) или принцип минимальной работы (в прямом виде и с представлением уравнений принципа через интегралы Мора);
  • метод сил в канонической форме.

Сопротивление материалов

В рассматриваемой задаче имеем одну лишнюю внешнюю связь (шарнирно подвижную опору), следовательно, степень статической неопределимости фермы равна единице.

Сопротивление материалов

1. Определение лишней неизвестной Сопротивление материалов с использованием принципа минимума потенциальной энергии непосредственно.

Поскольку все стержни работают только на растяжение-сжатие и продольные усилия постоянны по их длине, потенциальная энергия упругой деформации системы определяется соотношением

Сопротивление материалов

Найдем усилия в стержнях фермы: Сопротивление материалов

Отметим, что в задаче нет необходимости вычислять потенциальную энергию деформации, поскольку определяющим является уравнение

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов Для отыскания неизвестной силы Сопротивление материалов получаем уравнение

Сопротивление материалов

откуда находим

Сопротивление материалов

Соответственно, для продольных усилий в стержнях 5 и 6 имеем:

Сопротивление материалов 2. Определение лишней неизвестной Сопротивление материалов с использованием интегралов Мора.

Принцип минимума потенциальной энергии деформации системы (принцип минимальной работы) через интегралы Мора в данной задаче представляется уравнением

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - продольные усилия в стержнях эквивалентной системы от действия заданной нагрузки и неизвестной силы Сопротивление материалов - такие же усилия в основной системе от действия только силы Сопротивление материалов Значения сил Сопротивление материалов уже известны:

Сопротивление материалов

Для единичной силы Сопротивление материалов находим:

Сопротивление материалов

Узел Сопротивление материалов

Подставляя значения сил Сопротивление материалов в интегралы Мора получим

Сопротивление материалов

откуда следует то же самое уравнение для определения Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Определение перемещений в статически неопределимых системах

После определения лишних неизвестных и построения эпюр Сопротивление материалов внутренних силовых факторов перемещения в

статически неопределимых системах определяют стандартными методами.

Рекомендуется определять прогибы и углы поворота сечений статически неопределимых балок методом начальных параметров (с применением уравнения упругой линии).

Для определения перемещений в ломаных брусьях, рамах, фермах рекомендуется использовать энергетический метод с применением интегралов Мора Сопротивление материалов где Сопротивление материалов и т.д. - внутренние силовые факторы в сечениях основной системы при приложении единичной обобщенной силы в точке (сечении), для которой отыскивается обобщенное перемещение, в направлении, в котором это перемещение ищется.

Сопротивление материалов Рассматриваемая балка - статически неопределимая (степень статической неопределимости равна единице), но реакции опор уже определены ранее (см. задачу 11.3) и здесь имеем: Сопротивление материалов

Для определения требуемых перемещений Сопротивление материалов и Сопротивление материалов используем метод начальных параметров (см. задачи 8.6 и 8.7). Универсальное уравнение упругой линии запишем в форме:

Сопротивление материалов

где для участка Сопротивление материалов имеем Сопротивление материалов а для участка Сопротивление материалов Дифференцированием получим уравнение для определения углов поворота сечений

Сопротивление материалов

Вычисление искомых неизвестных дает

Сопротивление материалов Сопротивление материалов

Здесь мы имеем ту же ситуацию, что и в предыдущей задаче: рассматриваемая балка является статически неопределимой (степень статической неопределимости равна двум), но реакции в опоре Сопротивление материалов определены ранее (см. задачу 11.8):

Сопротивление материалов

Реакции в опоре Сопротивление материалов определим из уравнений статики. Получим

Сопротивление материалов Теперь для расчета перемещений можем использовать два варианта статически определимой балки

Сопротивление материалов

1. Определение перемещений Сопротивление материалов применением уравнения упругой линии.

Используя первый (левый) вариант статически определимой балки, уравнения упругой линии и углов поворота сечений запишем в форме: Сопротивление материалов где для участка Сопротивление материалов имеем Сопротивление материалов Отметим, что для вычисления искомых неизвестных Сопротивление материалов достаточно записать уравнения для первого участка, поскольку сечение Сопротивление материалов является его границей.

Для определяемых величин имеем

Сопротивление материалов

Напомним, что прогиб считается положительным, если его направление совпадает с положительным направлением оси Сопротивление материалов, а угол поворота - если поворот сечения происходит против часовой стрелки.

2. Определение перемещений Сопротивление материалов применением интегралов Мора.

При отыскании обобщенного перемещения Сопротивление материалов

будем использовать второй (правый) вариант статически определимой балки. Вычисления интегралов Мора проведем, предварительно построив эпюры изгибающих моментов и применяя далее правило их перемножения.

Изгибающие моменты от действия заданной нагрузки.

Эпюру строим, используя решение задачи 11.8 (принцип наложения):

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Исходя из вида построенных эпюр, запишем соотношения, определяющие перемещения Сопротивление материалов.Будем иметь

Сопротивление материалов

Перемножение эпюр изгибающих моментов позволяет получить

Сопротивление материалов

Напомним, что при применении интегралов Мора положительное значение перемещения имеет место при совпадении его направления с направлением приложенной единичной силы (момента).

Осесимметричное нагружение тонкостенных оболочек вращения

Основные определения и исходные положения безмоментной теории оболочек.

Равновесие элемента оболочки. Уравнение Лапласа:

Сопротивление материалов

Здесь Сопротивление материалов - меридиональное и окружное (кольцевое) напряжения; Сопротивление материалов - меридиональный и окружной радиусы кривизны; Сопротивление материалов - толщина стенки оболочки.

Давление Сопротивление материалов от действия газа и/или жидкости определяется соотношением Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - давление газа над поверхность жидкости; Сопротивление материалов - удельный вес жидкости; Сопротивление материалов - расстояние от поверхности жидкости до сечения.

Условие равновесия отсеченной части оболочки:

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - равнодействующая внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части оболочки.

Прочность тонкостенных оболочек вращения. Нормальные напряжения Сопротивление материалов главные; напряженное состояние - двухосное (плоское). Сопротивление материалов

По условию задачи собственным весом оболочки пренебрегаем и, соответственно, реакция опоры равна нулю.

Нормальные напряжения Сопротивление материалов будем определять, рассекая оболочку в ее сферической, цилиндрической и конической частях. Сферическая часть.

Условие равновесия рассматриваемой отсеченной части оболочки имеет вид:

Сопротивление материалов

Учитывая, что Сопротивление материалов и решая уравнение относительно Сопротивление материалов получим Сопротивление материалов

Для определения Сопротивление материалов используем уравнение Лапласа при Сопротивление материаловСопротивление материалов и найденном значении Сопротивление материалов Будем иметь Сопротивление материалов

Цилиндрическая часть

Условие равновесия оставленной части оболочки запишем в форме

Сопротивление материалов откуда находим

Сопротивление материалов

Из уравнения Лапласа при Сопротивление материалов получаем Сопротивление материалов Коническая часть.

Условие равновесия оставленной части оболочки имеет вид:

Сопротивление материалов

Определяя из уравнения Сопротивление материалов и учитывая,

что Сопротивление материалов получим

Сопротивление материалов

Решая уравнение Лапласа относительно Сопротивление материалов при Сопротивление материаловСопротивление материалов будем иметь Сопротивление материалов

Расчет на прочность, *т Результаты определения напряжений в сечениях рассматриваемого резервуара сведем в таблицу. Сопротивление материалов

Опасным является сечение в конической части резервуара при Сопротивление материалов

Напряженное состояние - двухосное: Сопротивление материаловСопротивление материалов

Поскольку условие задачи требует использовать III теорию прочности, имеем

Сопротивление материалов

Определение толщины стенки емкости приводит к результату 8 = 7,1 мм.

Устойчивость сжатых стержней

Упругое равновесие, устойчивое и неустойчивое. Сопротивление материалов

Формула Эйлера

Сопротивление материалов

Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы. Сопротивление материалов

Сопротивление материалов- обобщенная формула Эйлера.

Гибкость стержня при сжатии и условие применимости обобщенной формулы Эйлера:

- критическое напряжение

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - гибкость стержня; Сопротивление материалов минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня;

- условие применимости формулы Эйлера и предельная гибкость

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - предельная гибкость.

Расчет на устойчивость за пределом пропорциональности:

- эмпирические зависимости

Сопротивление материалов - линейная зависимость Ф. Ясинского,

Сопротивление материалов - параболическая зависимость для чугуна.

Значения параметров Сопротивление материалов приводятся в таблицах;

- расчет с помощью коэффициента Сопротивление материалов снижения допускаемого напряжения (коэффициента продольного изгиба)

Сопротивление материалов

где Сопротивление материалов - допускаемое напряжение на сжатие. Величину Сопротивление материаловСопротивление материалов

называют допускаемым напряжением на устойчивость. Значения коэффициента Сопротивление материалов приводятся в таблицах.

Сопротивление материалов

Вычислим предельную гибкость, определяющую границу применимости формулы Эйлера. Для используемой стали

Сопротивление материалов

Гибкость рассматриваемого стержня найдем, учитывая, что Сопротивление материаловСопротивление материалов Будем иметь Сопротивление материалов Поскольку Сопротивление материалов критическая сила может быть найдена по обобшенной формуле Эйлера

Сопротивление материалов

Критическое напряжение соответственно равно

Сопротивление материалов Сопротивление материалов Предельная гибкость, определяющая границу применимости формулы Эйлера, для используемой стали (см задачу 15.1) равна Сопротивление материалов

Найдем гибкость рассматриваемого стержня, вычисляя предварительно радиус инерции

Сопротивление материалов и принимая во внимание условия закрепления концов стержня, в соответствии с которыми Сопротивление материалов

Будем иметь

Сопротивление материалов

Поскольку Сопротивление материалов для расчета критической силы нельзя применить формулу Эйлера. Воспользуемся здесь эмпирической зависимостью Ф. Ясинского Сопротивление материалов Для рассматриваемой стали по таблицам имеем Сопротивление материалов что позволяет получить следующее значение критического напряжения: Сопротивление материалов

Значение критической силы равно Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов