Сопромат

Если у вас нету времени на задания по сопромату вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, которым вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

Сопромат: сопротивление материалов

Сопротивление материалов как научная дисциплина:

  • прочность,
  • жесткость,
  • устойчивость,
  • балка (стержень),
  • пластина, оболочка,
  • массивное тело.

Определения деформированного состояния материала типы деформаций:

  • определение деформации,
  • деформация упругая и пластическая (остаточная),
  • растяжение (сжатие) и линейная деформация,
  • сдвиг (срез) и угловая деформация,
  • кручение; изгиб.

Основные гипотезы:

  • сплошность,
  • однородность и изотропность материала,
  • малость деформаций,
  • идеальная упругость материала,
  • линейная зависимость между деформациями и нагрузками (закон Гука),
  • принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции),
  • плоские сечения.

Внешние силы:

  • поверхностные и объемные (массовые),
  • статические и динамические,
  • циклические (периодические),
  • мгновенное нагружение,
  • удар.

Внутренние силы:

  • метод сечений,
  • нормальные и касательные напряжения в сечениях.

Прочность и жесткость:

  • допускаемые напряжения,
  • условия прочности по нормальным и касательным напряжениям,
  • условия жесткости.

Напряженное и деформированное состояния


Напряженное состояние в точке:

- тензор напряжений в координатах Сопромат и в главных осях 1, 2, 3
Сопромат

- главные напряжения Сопромат как корни уравнения

Сопромат
где Сопромат - главное нормальное напряжение, Сопромат за - инварианты тензора напряжений

Сопромат

- главные напряжения и тип напряженного состояния

Сопромат - линейное (одноосное),

Сопромат плоское (двухосное),

Сопромат объемное (трехосное).

Линейное (одноосное) напряженное состояние:

- напряжения в произвольных площадках

СопроматСопромат

Показаны действительные направления напряжений, Их положительные направления:

Сопромат

деформации при линейном напряженном состоянии.

-Закон Гука. Коэффициент Пуассона

Сопромат

Плоское (двухосное) напряженное состояние: - напряжения на двух произвольных взаимно перпендикулярных площадках (прямая задача)
Сопромат

( Сопромат - угол между Сопромат макс и нормалью Сопромат отсчитываемый от Сопромат макс ) .

Для отыскиваемых напряжений справедливы соотношения

Сопромат
- определение главных напряжений по напряжениям на произвольных взаимно перпендикулярных площадках (обратная задача)
Сопромат


Приведенные формулы получены в предположении, что Сопромат

а угол Сопромат определяет направление Сопромат макс относительно оси Сопромат

- деформации для плоского напряженного состояния; обобщенный закон Гука в главных осях

Сопромат

Объемное (трехосное) напряженное состояние:

- обобщенный закон Гука в главных осях

Сопромат

Деформировштое состояние в точке:

тензор деформаций в координатах Сопромат и в главных осях 1,2,3
Сопромат
объемная деформация

Сопромат

Сопромат

Чтобы определить главные нормальные напряжения, нужно найти корни уравнения

Сопромат

где Сопромат - главное нормальное напряжение, а Сопромат - инварианты напряженного состояния в точке (инварианты тензора напряжений). Можно получить, что

Сопромат

Подставляя значения инвариантов в уравнение, будем иметь

Сопромат

Соответственно корнями уравнения являются Сопромат

Главные нормальные напряжения - Сопромат

напряженное состояние - линейное.

Сопромат

Поскольку нормаль к рассматриваемому сечению перпендикулярна главному направлению 1 (главному напряжению Сопромат ), имеем
возможность переити к плоскому напряженному состоянию и воспользоваться готовыми соотношениями:

Сопромат

( Сопромат - угол между Сопромат и нормалью Сопромат отсчитываемый от Сопромат

Здесь Сопромат и в соответствии с этими данными имеем следующие значения напряжений в искомом сечении:

Сопромат

Главные касательные напряжения определим по формулам:

Сопромат

Сопромат

См. задачу 1.2. При определении напряжений на площадке с нормалью Сопромат имеем Сопромат Для

площадки с нормалью Сопромат угол имеет другое значение - Сопромат

Вычисляя напряжения на площадках, получаем

Сопромат

Напомним, что результат Сопромат определяется известным законом парности касательных напряжений.

Определить главные нормальные и касательные напряжения

Сопромат

Поскольку нормальное напряжение Сопромат является одним из главных, величины и направления двух оставшихся главных можно найти по соответствующим формулам для плоского напряженного состояния:

Сопромат

Приведенные формулы получены в предположении, что Сопромат а угол Сопромат определяет направление Сопромат относительно оси Сопромат

В рассматриваемой задаче Сопромат

Сопромат
Окончательно имеем:

Сопромат

Критерии прочности

Назначение критерия прочности - сведение трехосного напряженного состояния к эквивалентному одноосному растяжению. Вне зависимости от используемого критерия условие прочности имеет вид

Сопромат

Основные критерии прочности: - критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

Сопромат

- критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)

Сопромат

- критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

Сопромат

- критерий Кулона - Мора

Сопромат

- критерий удельной потенциальной энергии формоизменения

Сопромат

Сопромат

Сопромат

критерий Кулона - Мора - Сопромат

критерий удельной потенциальной энергии формоизменения -

Сопромат

Сопромат

Сопромат теория прочности определяет эквивалентное напряжение соотношением Сопромат Соответственно имеем: в первом случае - Сопромат

во втором Сопромат

Второе напряженное состояние более опасно.

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Метод сил: определение и расчёт
  2. Задачи на изгиб по сопромату примеры и решения
  3. Задачи на косой изгиб по сопромату примеры и решения
  4. Поперечный изгиб решение задач по сопромату
  5. Плоский изгиб решение задач по сопромату

Растяжение ( сжатие ) прямых стержней

Механические характеристики материала при растяжении и сжатии:

- диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали.

Характеристики прочности: Сопромат пределы пропорциональности, текучести, прочности; Сопромат - истинное сопротивление разрыву.

Характеристики пластичности: Сопромат - относительные удлинение и сужение образца после разрыва;

- диаграмма растяжения серого чугуна. Предел прочности Сопромат

Растяжение (сжатие) статически определимого бруса:

- метод сечений и определение продольной силы Сопромат
Сопромат

Из условия равновесия любой из частей бруса Сопромат

Растягивающее усилие считается положительным, сжимающее -отрицательным.

Далее в задачах при определении продольной силы Сопромат направляем ее всегда как положительную;

- нормальное напряжение Сопромат

- линейная продольная деформация

Сопромат - при силовом нагружении,

Сопромат - при термосиловом нагружении;

- поперечные деформации Сопромат

- перемещения точек

Сопромат - при силовом нагружении, 0
Сопромат - при термосиловом нагружении;

Статически неопределимый брус и статически определимые и неопределимые стержневые системы.

1 Определение реакции опоры

Сопромат

Из уравнения статики имеем:

Сопромат
2. Построение эпюры продольных сил.
Сопромат
3. Эпюры напряжений и деформаций построим с помощью следующих зависимостей

Сопромат

4, Построение эпюры перемещений проведем с помощью формулы

Сопромат

проводя интегрирование в пределах

каждого участка (эпюра построена в единицах Сопромат

Участок 1: Сопромат

Участок 2: Сопромат

Участок 3: Сопромат

Сопромат

СопроматСопромат


1. Определение реакции опоры.

Из уравнения статики имеем: СопроматСопромат
2. Построение эпюры продольных сил

Сопромат
4. Эпюру перемещений строим (см. задачу 3,1) с помощью формулы

Сопромат

(построения - в единицах Сопромат

Участок 1: Сопромат

Участок 2: Сопромат

Участок 3: Сопромат

Функция Сопромат квадратичная выпуклостью вниз. Имеет минимум при

Сопромат
Сопромат

Сопромат


1. Рассматриваемая задача статически неопределимая. Степень статической неопределимости равна 1: имеем 2 неизвестные реакции опор и 1 уравнение статики. Для решения задачи используем следующую процедуру: отбросим правое закрепление Сопромат и введем в рассмотрение реакцию Сопромат Полученная балка эквивалентна исходной при условии, что перемещение сечения Сопромат равно нулю:

Сопромат

где Сопромат перемещение сечения Сопромат от действия только силы Сопромат и

т.д. При записи уравнения реализован принцип независимости сил. Вычисляя каждое слагаемое, будем иметь:

Сопромат

Решение уравнения относительно Сопромат позволяет получить

Сопромат

Знак результата показывает, что выбранное направление реакции Сопромат неверно и его нужно заменить на обратное, приняв Сопромат
Отбросим левое закрепление Сопромат и введем в рассмотрение реакцию Сопромат Из уравнения равновесия бруса

Сопромат
получаем, что Сопромат

Дальнейшее решение рассматриваемой задачи ничем не отличается отрешения предыдущей (см. задачу 3.2).

2. Построение эпюры продольных сил.

Сопромат

Сопромат

3. Построение эпюры Сопромат

Сопромат

Сопромат

Функция Сопромат квадратичная выпуклостью вверх с максимумом при Сопромат На концах интервала

Сопромат

Последний результат отвечает жесткому закреплению бруса справа.

Чистый сдвиг

Определения:

  • - чистого сдвига;
  • - абсолютного сдвига;
  • - относительного сдвига или угловой деформации Сопромат
  • - касательного напряжения Сопромат

Закон Гука для чистого сдвига:

- связь между угловой деформацией и касательным напряжением Сопромат

- соотношения, связывающие главные угловые деформации СопроматСопромат главные линейные деформации Сопромат и главные касательные напряжения Сопромат

- зависимость между упругими постоянными Сопромат

- октаэдрическии сдвиг Сопромат

Условие прочности при чистом сдвиге.
Сопромат

Заданные напряжения являются главными нормальными:

Сопромат

Главные касательные напряжения определяются как полуразности главных нормальных:

Сопромат

При определении главных угловых деформации используем закон Гука в форме соотношения Сопромат для чего необходимо вычислить модуль сдвига (модуль упругости второго рода);

Сопромат

Соответственно имеем

Сопромат

Октаэдрический сдвиг определим по известной формуле:

Сопромат

Для напряженного состояния чистого сдвига Сопромат главные площадки составляют с исходными углы по Сопромат а сами главные напряжения имеют значения: Сопромат (см. раздел 1, обратная задача типа 1.4). Соответственно рассматриваемая задача сводится к отысканию напряжений на заданной площадке при известных главных напряжениях (см. раздел 1, прямая задача типа 1.2 или 1.3).

Сопромат
Применение известных формул

Сопромат

при Сопромат
позволяет получить искомые напряжения

Сопромат

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Расчет фермы: примеры с решением
  2. Олег македонский решение задач по сопромату
  3. Метод начальных параметров решение и примеры задач по сопромату
  4. Расчет рамы по сопромату примеры и решения
  5. Задачи на сжатие и растяжение по сопромату примеры и решения

Расчеты простейших соединений элементов конструкций

Типы соединений: болтовые, шпоночные, клиновые, заклепочные, сварные, деревянные врубки и т.д.

Виды деформирования: растяжение (сжатие), сдвиг и смятие.

Особенности расчетов:

  • при работе конструкций чистый сдвиг практически не встречается. Сдвигу всегда сопутствует либо изгиб, либо растяжение (сжатие), однако технические расчеты проводят только на сдвиг, который для металлических элементов называют срезом, а для деревянных - скалыванием, считая, что по площади среза ( скалывания) касательные напряжения распределены равномерно;
  • смятие представляет собой поверхностное сжатие давящих друг на друга элементов конструкций. При проведении технических расчетов принимают, что смятие осуществляется по площади Сопромат являющейся проекцией сминаемой поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению давящей силы Сопромат при равномерном распределении давления по этой площади;
  • для рационального использования материала раечет соединений должен проводиться из условия равной прочности элементов, входящих в соединение.

Если одна и та же площадь рассчитывается на Два вида деформирования (например, на срез и смятие), то как-Окончательный результат принимается ее большее значение.


Сопромат
1. Определение диаметра болта из условия прочности на срез. Условие прочности болта на срез (по сечению Сопромат имеет вид

Сопромат

где Сопромат - перерезывающая сила, а Сопромат - площадь среза. Для диаметра болта получаем .

Сопромат

2. Определение диаметра болта из условия прочности на смятие. Расчетное соотношение в этом случае запишем в форме

Сопромат

При Сопромат будем иметь

Сопромат

Напомним, что из двух полученных значений диаметра болта нужно выбрать большее и округлить до нормированного.

3. Проверка прочности листа в ослабленном сечении при его растяжении (при выбранном значении диаметра болта).
Сопромат

Сопромат

1. Определение диаметра Сопромат из условия прочности при растяжении.

Сопромат

Из полученного соотношения следует Сопромат

• 2. Определение диаметра Сопромат из условия прочности на срез.

Сопромат

откуда можем получить Сопромат

3. Определение размера Сопромат из условия прочности на смятие.
Сопромат

Полученное соотношение позволяет найти

Сопромат

4. Определение размера Сопромат из условия прочности на растяжение в ослабленном сечении.

Сопромат

Из полученного соотношения имеем

Сопромат

Геометрические характеристики плоских сечений


Площадь сечениях Сопромат

Статические моменты сечения:

Сопромат

где Сопромат координаты центра тяжести сечения.

Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю.

Моменты инерции сечения:

- осевые (или линейные, или экваториальные)

Сопромат

- центробежный

Сопромат

- полярный

Сопромат

Главные, центральные, главные центральные оси и соответствующие моменты инерции.

Моменты инерции для параллельных осей, одни из которых центральные:
Сопромат
Моменты инерции простейших сечений для главных цен-тральных осей:

- прямоугольник (ось Сопромат параллельна высоте Сопромат сечения, ось Сопромат - его ширине Сопромат

Сопромат

- равнобедренный треугольник (ось Сопромат параллельна высоте Сопромат сечения, ось Сопромат его основанию Сопромат

Сопромат

- круг (диаметр Сопромат

Сопромат

- кольцо Сопромат - наружный диаметр, Сопромат - внутренний) n
Сопромат
Сопромат
Координаты центра тяжести сечения вычислим, используя определение статических моментов сечения

Сопромат

Имеем: Сопромат

Площадь сечения найдем, разбивая его на два прямоугольника:

Сопромат

Для этих же прямоугольников вычисляем статические моменты:

Сопромат

При отыскании статических моментов прямоугольников можем использовать и соотношения типа

Сопромат

Окончательно имеем, что Сопромат и Сопромат

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Задачи на кручение по сопромату примеры и решения
  2. Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения
  3. Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения
  4. Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения
  5. Метод мора примеры решения задач по сопромату

Кручение круглых стержней ( валов )

Внешние и внутренние силовые факторы:

  • величина внешнего скручивающего момента Сопромат при заданных передаваемой мощности Сопромат и числе Сопромат (об/мин) определяется соотношениями Сопромат л.с.). При задании мощности в ваттах и угловой скорости вращения вала Сопромат в 1/сек скручивающий момент равен Сопромат
  • метод сечений и определение внутреннего силового фактора (крутящего момента) Сопромат Крутящий момент Сопромат принимается положительным, если со стороны внешней нормали к сечению он направлен против часовой стрелки.

Исходные положения и характер деформировании бруса:

  • гипотеза плоских сечений, сохранение прямолинейности радиусов, неизменность расстояния между сечениями;
  • характер деформирования - чистый сдвиг;
  • угловая деформация Сопромат относительный угол закручивания;
  • относительный угол закручивания Сопромат
  • угол закручивания (взаимный угол поворота сечений вала, отстоящих друг от друга на расстоянии Сопромат

Напряжения при кручении:

  • касательное напряжение Сопромат
  • максимальное касательное напряжение Сопромат где Сопромат - полярный момент сопротивления сечения;
  • напряженное состояние при кручении.

Расчеты на прочность, на жесткость. Статически неопределимые задачи.

Диаграмма кручения:

  • сравнение с диаграммой растяжения;
  • типы разрушения при кручении для пластичных и хрупких материалов.

Сопромат

Сопромат

1 Определение реакции в опоре

Сопромат
1 2 3 В соответствии с уравнением статики (уравнением моментов относительно оси Сопромат имеем:

Сопромат

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Из уравнения равновесия

Сечение 1 Сопромат Из уравнение равновесия Сопромат получаем Сопромат

Сечение 2 : Сопромат

Сечение 3: Сопромат

3. Эпюру углов закручивания построим с помощью формулы

Сопромат проводя интегрирование в пределах каждого участка.

Поскольку полярный момент инерции имеет разные значения на участках скручиваемого стержня СопроматСопромат

построения проведены в Сопромат

Участок 1 : Сопромат

Участок 2: Сопромат

Участок 3: Сопромат

Сопромат

Сопромат

Определение реакции в опоре Сопромат Сопромат

Построение эпюры крутящих моментов.

Сечение 1 : Сопромат

Сечение 2: Сопромат

Сечение 3: Сопромат

3. Эпюру Сопромат строим в единицах Сопромат

Участок 1 : Сопромат

Сопромат

Участок 2 : Сопромат

(функция Сопромат квадратичная выпуклостью вниз)

Участок 3 : Сопромат

4. Наибольшее касательное напряжение определим по формуле

Сопромат

полярный момент сопротивления сечения. Будем иметь Сопромат

Плоский поперечный изгиб

Классификация внешних сил:

  • сосредоточенные сила и момент;
  • распределенная нагрузка.

Определения плоского, косого и плоского поперечного изгибов.

Классификация опор и балок:

  • опоры шарнирно подвижная, шарнирно неподвижная, жесткое закрепление (заделка);
  • балки статически определимые и неопределимые.

Внутренние силовые факторы:

  • метод сечений и определение изгибающего момента Сопромат и перерезывающей силы Сопромат
  • правила знаков для Сопромат

Сопромат

Дифференциальные зависимости Журавского:

Сопромат

- основные следствия из зависимостей Журавского и их использование при построении или проверке правильности построения эпюр Сопромат

Чистый изгиб:

определение чистого изгиба;

исходные гипотезы (гипотеза плоских сечений; растяжение и сжатие волокон, параллельных оси балки; наличие нейтрального слоя);

нормальное напряжение Сопромат где Сопромат - ордината точки, в которой определяется напряжение;

максимальные напряжения растяжения и сжатия

Сопромат


где Сопромат ординаты наиболее удаленных от нейтральной оси точек в зонах растяжения и сжатия. Сопромат - осевые моменты сопротивления сечения;

Поперечный изгиб:

определение поперечного изгиба;

нормальное напряжение Сопромат
касательное напряжение Сопромат где Сопромат статический момент части сечения, расположенной выше уровня Сопромат ширина сечения на этом уровне;

эпюры нормальных и касательных напряжении в сечениях различного типа;

Расчет па прочность при плоском поперечном изгибе:

Сопромат

расчет на прочность ведется с использованием одной из теорий прочности.

Перемещения при изгибе:

- дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (обычно используют при условии Сопромат

Сопромат

- интегрирование дифференциального уравнения прогибов. Уравнение углов поворота

Сопромат

и прогибов

Сопромат

Граничные условия (условия закрепления концов балки) и определение постоянных Сопромат

- универсальное уравнение упругой линии (определение перемещений методом начальных параметров).

За начальные параметры принимаются прогиб Сопромат и угол поворота Сопромат левого концевого поперечного сечения балки, в центре тяжести которого расположено начало координат. Их значения находят из условий закрепления балки.

Целесообразно записывать уравнение упругой линии для произвольного сечения последнего участка балки, включая нагрузки в той последовательности, в которой они расположены от начала координат.

Если на балке имеется распределенная нагрузка, не доходящая до сечения, где определяется прогиб (угол поворота), то ее продляют до этого сечения и прикладывают противоположно направленную компенсирующую нагрузку той же интенсивности.

Сопромат
Сопромат
1. Определение реакций опор. Уравнения равновесия СопроматСопромат

имеют вид:
Сопромат
Решая систему уравнений относительно реакций опор, получим

Сопромат

2. Построение эпюр Сопромат

Для упрощения соотношений для перерезывающих сил и изгибающих моментов в сечениях 1 и 2 определим их, отбрасывая правую часть балки, а в сечении 3 - левую. При отыскании Сопромат здесь и далее уравнение моментов булем записывать всегда относительно сделанного сечения.

Сопромат
Отметим, что, в соответствии с принятым порядком прохождения участков, на 3-м участке ось Сопромат направлена справа налево (значение Сопромат принадлежит сечению Сопромат В этом случае Сопромат
Сопромат

В рассматриваемой задаче значения Сопромат в сечениях балки определим, проходя участки слева направо. При этом нет необходимости предварительно вычислять реакции опоры Сопромат

Эпюру моментов Сопромат построим в единицах Сопромат

Сопромат


Функция Сопромат - квадратичная выпуклостью вверх и имеет максимум при Сопромат Это легко видеть по эпюре Сопромат на втором участке, учитывая, что Сопромат эпюру Сопромат можно рассматривать как график первообразной функции, а эпюру Сопромат - как график ее производной.

Реакции в опоре Сопромат при необходимости можно определить по значениям перерезывающей силы и изгибающего момента в сечении Сопромат (направлена вверх) и Сопромат (изгибает балку выпуклостью вверх).

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения
  2. Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями
  3. Решение статически неопределимых задач
  4. Метод сечений решение задач по сопромату
  5. Сопромат готовые задачи с решением

Сложное сопротивление

Определение задачи сложного сопротивления пряного бруса.

Представление сложного сопротивления как суммы простейших видов ( типов ) деформирования:
- внутренние силовые факторы при сложном сопротивлении

Сопромат

- нормальные и касательные напряжения

Сопромат
Суммирование нормальных напряжений (знаки проставляются по первой четверти принятой системы координат)
Сопромат
Суммирование касательных напряжений

Сопромат

Уравнение нейтральной линии и опасные точки в сечении прямого бруса
Сопромат
Расчет на прочность в опасных точках.

Частные случаи сложного сопротивления:

  • - косой изгиб;
  • - внецентренное растяжение (сжатие) или растяжение с изгибом;
  • - изгиб с кручением.

Сопромат

Поскольку речь идет о нормальных напряжениях и нетральной линии, достаточно определить в сечении бруса изгибающие моменты

Сопромат Будем иметь

Сопромат

Действительное направление моментов показано на рисунке.

Опасное сечение бруса - сечение в закреплении при Сопромат Соответственно здесь имеем

Сопромат

Уравнение нейтральной линии

Сопромат

где Сопромат что позволяет найти Сопромат

Наибольшее (наименьшее) напряжение действует в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии :

Сопромат

Сопромат

Линия действия силы Сопромат на первом (левом) образце проходит через центр тяжести его поперечного сечения - здесь имеем простое растяжение образца при Сопромат Напряжение постоянно по сечению и равно Сопромат

Для второго образца нагружение является внецентренным - эксцентриситет силы Сопромат равен Сопромати дополнительно к продольной силе Сопромат имеем изгибающий момент Сопромат

Нормальное напряжение для точек первой четверти сечения в этом случае определяется соотношением
Сопромат

Положение нейтральной линии в сечении образна следует из уравнения
Сопромат

Полученный результат показывает, что нейтральная линия проходит по правому краю сечения и все сечение находится в зоне растяжения. Наибольшее нормальное напряжение в этом случае равно

Сопромат

Можно видеть, что внецентренное приложение нагрузки увеличивает опасность разрушения: при увеличении плошади сечения на 50% напряжение не уменьшилось, а возросло на 33% .

Обратите внимание на другие лекции по сопромату они вам помогут:

  1. Сопромат для чайников
  2. Сопромат решение простых задач
  3. Пособие по решению задач по сопромату
  4. Расчётная схема: определение и пример с решением

Энергетические методы определения перемещений

Работа внешних сил.

Работа внутренних (упругих) сил: - при растяжении (сжатии) стержня длиной Сопромат работа осевой силы Сопромат осуществляется на перемещении Сопромат

Соответственно, работа осевой силы Сопромат для стержня равна

Сопромат
- при сложном нагружении (сложном сопротивлении)

Сопромат
Потенциальная энергия деформации:

в соответствии с принципом сохранения энергии Сопромат имеем

Обобщенные сила и перемещение:

Сопромат - обобщенная сила (сила или момент);

Сопромат - обобщенное перемещение (линейное или угловое).

Теорема (формула) Кастильяно:

Сопромат

производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению точки приложения силы в направлении этой силы.

Интегралы Мора:
Сопромат
где Сопромат и т.д. - внутренние силовые факторы в сечениях бруса при приложении к нему единичной нагрузки (безразмерной единичной обобщенной силы Сопромат в точке (сечении), для которой отыскивается обобщенное перемещение Сопромат в направлении, в котором это перемещение ищется. Положительное значение искомого перемещения получаем, если его направление совпадает с направлением приложенной единичной нагрузки.

Раскрытие статистической неопределимости стержневых систем

Классификация стержневых систем:

  • системы статически определимые и статически неопределимые (общее определение);
  • системы плоские, плоско-трехмерные, трехмерные;
  • фермы, рамы.

Степень статической неопределимости системы:

  • связи необходимые (внешние), обеспечивающие геометрическую неизменяемость системы, и лишние или избыточные (внешние и внутренние);
  • статическая неопределимость плоского замкнутого контура;
  • снижение степени статической неопределимости при наличии шарнира; шарниры простые (одиночные), двойные, тройные и т.д.;
  • определение степени статической неопределимости плоских стержневых систем по формуле Сопромат (Сопромат - число замкнутых контуров, Сопромат - число простых шарниров, основание рассматривается как стержень с бесконечно большой жесткостью);

Заданная статически неопределимая стержневая система; статически определимая основная система; эквивалентная система.

Метод перемещений при раскрытии статической неопределимости системы (см. разделы 3 и 7).

Метод сил при раскрытии статической неопределимости системы:

  • принцип минимума потенциальной энергии упругой деформации системы (теорема Menabrea) или принцип минимальной работы (в прямом виде и с представлением уравнений принципа через интегралы Мора);
  • метод сил в канонической форме.

Сопромат

В рассматриваемой задаче имеем одну лишнюю внешнюю связь (шарнирно подвижную опору), следовательно, степень статической неопределимости фермы равна единице.

Сопромат

1. Определение лишней неизвестной Сопромат с использованием принципа минимума потенциальной энергии непосредственно.

Поскольку все стержни работают только на растяжение-сжатие и продольные усилия постоянны по их длине, потенциальная энергия упругой деформации системы определяется соотношением

Сопромат

Найдем усилия в стержнях фермы:
Сопромат
Отметим, что в задаче нет необходимости вычислять потенциальную энергию деформации, поскольку определяющим является уравнение

Сопромат

где Сопромат Для отыскания неизвестной силы Сопромат получаем уравнение

Сопромат

откуда находим

Сопромат

Соответственно, для продольных усилий в стержнях 5 и 6 имеем:

Сопромат
2. Определение лишней неизвестной Сопромат с использованием интегралов Мора.

Принцип минимума потенциальной энергии деформации системы (принцип минимальной работы) через интегралы Мора в данной задаче представляется уравнением

Сопромат

где Сопромат - продольные усилия в стержнях эквивалентной системы от действия заданной нагрузки и неизвестной силы Сопромат - такие же усилия в основной системе от действия только силы Сопромат Значения сил Сопромат уже известны:

Сопромат

Для единичной силы Сопромат находим:

Сопромат

Узел Сопромат

Подставляя значения сил Сопромат в интегралы Мора получим

Сопромат

откуда следует то же самое уравнение для определения Сопромат

Сопромат

Определение перемещений в статически неопределимых системах

После определения лишних неизвестных и построения эпюр Сопромат внутренних силовых факторов перемещения в

статически неопределимых системах определяют стандартными методами.

Рекомендуется определять прогибы и углы поворота сечений статически неопределимых балок методом начальных параметров (с применением уравнения упругой линии).

Для определения перемещений в ломаных брусьях, рамах, фермах рекомендуется использовать энергетический метод с применением интегралов Мора
Сопромат
где Сопромат и т.д. - внутренние силовые факторы в сечениях основной системы при приложении единичной обобщенной силы в точке (сечении), для которой отыскивается обобщенное перемещение, в направлении, в котором это перемещение ищется.

Сопромат

Рассматриваемая балка - статически неопределимая (степень статической неопределимости равна единице), но реакции опор уже определены ранее (см. задачу 11.3) и здесь имеем:
Сопромат

Для определения требуемых перемещений Сопромат и Сопромат используем метод начальных параметров (см. задачи 8.6 и 8.7).
Универсальное уравнение упругой линии запишем в форме:

Сопромат

где для участка Сопромат имеем Сопромат а для участка Сопромат Дифференцированием получим уравнение для определения углов поворота сечений

Сопромат

Вычисление искомых неизвестных дает

Сопромат
Сопромат
Здесь мы имеем ту же ситуацию, что и в предыдущей задаче: рассматриваемая балка является статически неопределимой (степень статической неопределимости равна двум), но реакции в опоре Сопромат определены ранее (см. задачу 11.8):

Сопромат

Реакции в опоре Сопромат определим из уравнений статики. Получим

Сопромат
Теперь для расчета перемещений можем использовать два варианта статически определимой балки

Сопромат

1. Определение перемещений Сопромат применением уравнения упругой линии.

Используя первый (левый) вариант статически определимой балки, уравнения упругой линии и углов поворота сечений запишем в форме:
Сопромат
где для участка Сопромат имеем Сопромат Отметим, что для вычисления искомых неизвестных Сопромат достаточно записать уравнения
для первого участка, поскольку сечение Сопромат является его границей.

Для определяемых величин имеем

Сопромат

Напомним, что прогиб считается положительным, если его направление совпадает с положительным направлением оси Сопромат, а угол поворота - если поворот сечения происходит против часовой стрелки.

2. Определение перемещений Сопромат применением интегралов Мора.

При отыскании обобщенного перемещения
Сопромат

будем использовать второй (правый) вариант статически определимой балки. Вычисления интегралов Мора проведем, предварительно построив эпюры изгибающих моментов и применяя далее правило их перемножения.

Изгибающие моменты от действия заданной нагрузки.

Эпюру строим, используя решение задачи 11.8 (принцип наложения):

Сопромат

Сопромат
Исходя из вида построенных эпюр, запишем соотношения, определяющие перемещения Сопромат.Будем иметь

Сопромат

Перемножение эпюр изгибающих моментов позволяет получить

Сопромат
Напомним, что при применении интегралов Мора положительное значение перемещения имеет место при совпадении его направления с направлением приложенной единичной силы (момента).

Осесимметричное нагружение тонкостенных оболочек вращения

Основные определения и исходные положения безмоментной теории оболочек.

Равновесие элемента оболочки. Уравнение Лапласа:

Сопромат

Здесь Сопромат - меридиональное и окружное (кольцевое) напряжения; Сопромат - меридиональный и окружной радиусы кривизны; Сопромат - толщина стенки оболочки.

Давление Сопромат от действия газа и/или жидкости определяется соотношением Сопромат

где Сопромат - давление газа над поверхность жидкости; Сопромат - удельный вес жидкости; Сопромат - расстояние от поверхности жидкости до сечения.

Условие равновесия отсеченной части оболочки:

Сопромат

где Сопромат - равнодействующая внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части оболочки.

Прочность тонкостенных оболочек вращения. Нормальные напряжения Сопромат главные; напряженное состояние - двухосное (плоское).
Сопромат

По условию задачи собственным весом оболочки пренебрегаем и, соответственно, реакция опоры равна нулю.

Нормальные напряжения Сопромат будем определять, рассекая оболочку в ее сферической, цилиндрической и конической частях. Сферическая часть.

Условие равновесия рассматриваемой отсеченной части оболочки имеет вид:

Сопромат

Учитывая, что Сопромат и решая уравнение относительно Сопромат получим Сопромат

Для определения Сопромат используем уравнение Лапласа при СопроматСопромат и найденном значении Сопромат Будем иметь Сопромат

Цилиндрическая часть

Условие равновесия оставленной части оболочки запишем в форме

Сопромат откуда находим

Сопромат

Из уравнения Лапласа при Сопромат получаем Сопромат

Коническая часть.

Условие равновесия оставленной части оболочки имеет вид:

Сопромат

Определяя из уравнения Сопромат и учитывая,

что Сопромат получим

Сопромат

Решая уравнение Лапласа относительно Сопромат при СопроматСопромат будем иметь Сопромат

Расчет на прочность,

Результаты определения напряжений в сечениях рассматриваемого резервуара сведем в таблицу.
Сопромат

Опасным является сечение в конической части резервуара при Сопромат

Напряженное состояние - двухосное: СопроматСопромат

Поскольку условие задачи требует использовать III теорию прочности, имеем

Сопромат

Определение толщины стенки емкости приводит к результату 8 = 7,1 мм.

Устойчивость сжатых стержней

Упругое равновесие, устойчивое и неустойчивое.
Сопромат

Формула Эйлера

Сопромат

Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы.
Сопромат

Сопромат- обобщенная формула Эйлера.

Гибкость стержня при сжатии и условие применимости обобщенной формулы Эйлера:

- критическое напряжение

Сопромат

где Сопромат - гибкость стержня; Сопромат минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня;

- условие применимости формулы Эйлера и предельная гибкость

Сопромат

где Сопромат - предельная гибкость.

Расчет на устойчивость за пределом пропорциональности:

- эмпирические зависимости

Сопромат - линейная зависимость Ф. Ясинского,

Сопромат - параболическая зависимость для чугуна.

Значения параметров Сопромат приводятся в таблицах;

- расчет с помощью коэффициента Сопромат снижения допускаемого напряжения (коэффициента продольного изгиба)

Сопромат

где Сопромат - допускаемое напряжение на сжатие. Величину СопроматСопромат

называют допускаемым напряжением на устойчивость. Значения коэффициента Сопромат приводятся в таблицах.
Сопромат

Вычислим предельную гибкость, определяющую границу применимости формулы Эйлера. Для используемой стали

Сопромат

Гибкость рассматриваемого стержня найдем, учитывая, что
СопроматСопромат Будем иметь
Сопромат
Поскольку Сопромат критическая сила может быть найдена по обобшенной формуле Эйлера

Сопромат

Критическое напряжение соответственно равно

Сопромат
Сопромат
Предельная гибкость, определяющая границу применимости формулы Эйлера, для используемой стали (см задачу 15.1) равна Сопромат

Найдем гибкость рассматриваемого стержня, вычисляя предварительно радиус инерции

Сопромат и принимая во внимание условия закрепления концов стержня, в соответствии с которыми Сопромат

Будем иметь

Сопромат

Поскольку Сопромат для расчета критической силы нельзя применить формулу Эйлера. Воспользуемся здесь эмпирической зависимостью Ф. Ясинского Сопромат Для рассматриваемой стали по таблицам имеем Сопромат что позволяет получить следующее значение критического напряжения: Сопромат

Значение критической силы равно
Сопромат

Сопромат

Сопромат