Сопромат решение задач

Ответы на вопросы по заказу заданий по сопромату:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по сопромату:
2. Статически определимые задачи
3. Пример задачи 1
4. Решение:
5. Пример задачи 2
6. Решение:
7. Статически неопределимые задачи
8. Пример задачи 3
9. Решение:
10. Пример задачи 4
11. Решение:
12. Основные определения статики твердого тела
13. Предисловие
14. Сила
15. Пара сил
16. Сравнение действия силы и пары сил
17. Проекция силы на ось и плоскость
18. Пример задачи 5
19. Решение:
20. Момент силы относительно точки
21. Момент силы относительно оси
22. Теорема Вариньона
23. Пример задачи 6
24. Решение:
25. Связи и реакции связей
26. Главный вектор и главный момент
27. Условия равновесия произвольной системы сил
28. Уравнения равновесия для различных систем сил
29. Основные понятия сопротивления материалов
30. Основной предмет сопротивления материалов
31. Допущения о свойствах материала и нагрузках
32. Внешние нагрузки
33. Напряжения и деформации
34. Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стрежня
35. Определение величины внутренних силовых факторов
36. Правило знаков для внутренних усилий
37. Эпюры внутренних усилий
38. Пример задачи 7
39. Решение:
40. Пример задачи 8
41. Пример задачи 9
42. Решение:
43. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня
44. Статические моменты
45. Моменты инерции
46. Моменты сопротивления
47. Простые виды деформации стержня
48. Допущения при исследовании простых видов деформации стержней
49. Деформации и напряжения при растяжении (сжатии), сдвиге и изменении температуры
50. Закон Гука
51. Диаграммы растяжения и сжатия материалов
52. Кручение
53. Прямой поперечный изгиб
54. Условия прочности и жесткости стержней при простых видах их деформации
55. Сложное сопротивление
56. Косой изгиб
57. Внецентренное растяжение (сжатие)
58. Критерии прочности
59. Напряженное состояние в точке
60. Обобщенный закон Гука
61. Коэффициент запаса прочности и допускаемые напряжения
62. Теории прочности
63. Устойчивость сжатых стержней
64. Пример задачи 11
65. Решение:
66. Пример задачи 12
67. Решение:
68. Статически неопределимые задачи
69. Решение:
70. Пример задачи 14
71. Решение:
72. Пример задачи 16
73. Решение:
74. Расчет по несущей способности
75. (за пределами упругости)
76. Пример задачи 17
77. Решение:
78. Пример задачи 18
79. Решение:
80. Пример задачи 19
81. Решение:
82. Расчеты оболочек вращения по безмоментной теории
83. Решение:
84. Методические указания и домашнее задание
85. Решение:

Статически определимые задачи

Поскольку при растяжении сжатии нетривиальным является лишь одно уравнение равновесия (проекции сил на ось), то в соответствии с определением П. 17 статическая определимость будет иметь место только в том случае, когда один из концов стержня закреплен, а на втором приложена продольная сила (он свободен — см. рис. 1.2). При этом наличие температурного поля не приводит к изменению напряженного состояния. Поэтому в таких задачах его не учитывают.

Если внешние нагрузки, геометрические и физические характеристики стержня являются непрерывными функциями координаты то НДС может быть найдено как решение соответствующей краевой задачи (1.11)-(1.13).

Пример задачи 1

Найти для стержня, указанного на рис. 1.2, полагая, что

Решение:

Краевая задача в этом случае имеет вид Интегрируя уравнение, получим Присутствующие здесь константы находятся из граничных условий: Следовательно,

Кроме того, из формул из (1.4)-(1.6), найдем Дополнительно вычислим удлинение стержня, очевидно, совпадающее с перемещением правого сечения:

В соответствии с формулами (1.16)-(1.18) используется следующая терминология.

Определение 1.2. Произведение называется жесткостью стержня на растяжение-сжатие,

Однако в общем случае такой подход не удобен, так как приводит к необходимости разбивать стержень на участки с последующей стыковкой соответствующих решений. Поэтому как правило, используется следующий алгоритм, решения статически определимых (СО) задач.

1. Разбиваем стержень на участки с границами, соответствующими точкам разрыва внешних нагрузок, в том числе точкам

приложения сосредоточенных сил, а также скачкам геометрических или механических характеристик. Концы участков обычно обозначаются прописными буквами (например, и т.д.) или цифрами (например, 1-2, 2-3 и т. д.). На каждом из участков, как правило, вводится местная система координат.

2. Из уравнений равновесия в проекции на ось определяем реакцию в опоре. Равнодействующая внешних сил находится по формулам (П.11). Для распределенной нагрузки во многих случаях она может быть определена как площадь соответствующей эпюры (см. табл. 5.1).

Этот пункт может быть опущен, если рассматривать участки, начиная с незакрепленного конца.

3. Последовательно на каждом из участков строятся эпюры (будем обозначать их буквой «Э»):

а) продольных сил с помощью метода сечений и уравнений равновесия (равнодействующая внешних сил для отсеченной части стержня - находится по первой из формул (11.11));

б) напряжений по вытекающей из (1.6) формуле то эпюры можно совмещать, так как они отличаются только масштабом);

в) деформаций по вытекающей из (1.5) формуле (если то эпюры можно совмещать, так как они отличаются только масштабом);

г) перемещений по вытекающей из (1.4) формуле (для примера указан участок следующий за величина перемещения сечения находится при рассмотрении участка

На каждой из эпюр указываются их экстремальные значения внутри участков (если они имеются).

При построении эпюр удобно пользоваться следующими выводами, вытекающими из соотношений (1.10), (1.19), свойств интегралов и производных, а также из аксиомы 1:

если многочлен, то эпюры — тоже многочлены, степень которых на единицу больше (например, постоянная погонная нагрузка дает линейную зависимость для продольного усилия, линейная погонная нагрузка — параболическую кривую для продольного усилия и т.д.; при этом достаточно находить лишь граничные значения продольных усилий и перемещений);

• по знаку можно судить о возрастании или убывании
• необходимым условием экстремума является равенство нулю а достаточным — изменение знака

эпюра в точках приложения сосредоточенных сил имеет скачки (разрывы первого рода), равные по величине этим силам; эпюра непрерывна.

Если по условиям задачи требуется провести расчет на прочность, то в соответствии с п. VI § П.1 в алгоритм добавляются следующие пункты.

По заданному коэффициенту запаса прочности и предельным напряжениям определяем допускаемое напряжение Этот пункт может отсутствовать, если непосредственно в условии задачи заданы допускаемые напряжения. В противном случае должны быть либо даны максимальные предельные напряжения, либо указан материал и то напряжение, которое принимается в качестве максимально допускаемого.

Таковыми в зависимости от требований к конструкции могут быть или предел пропорциональности или предел упругости или предел текучести или предел прочности (временное сопротивление) или условный предел текучести

Эти величины берутся из полученных опытным путем так называемых «условных диаграмм растяжения сжатия», которые приведены на рисунках 1.3 и 1.4 для двух различных материалов, соответственно обладающих площадкой текучести и без нее.

Отметим, что участки диаграмм соответствуют линейной зависимости между напряжениями и деформациями (закону Гука) и сохранению упругих свойств материала, а величина

на второй диаграмме — остаточным деформациям (деформациям после снятия нагрузки)

5. По находим максимальное расчетное напряжение И И3 Решения НСраВСНСТВ (11.27) вычисляем требуемую величину площади сечения.

Пример задачи 2

Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений сечений для ступенчатого стержня, приведенного на рис. 1.5. Модуль упругости положить постоянным.

Решение:

(нумерация пунктов соответствует указанному выше алгоритму)

1. Разбиваем стержень на участки (см. рисунок).

2. Заделку в сечении 0 заменяем реакцией которую определяем из уравнения равновесия (см. формулы (П.25)):

3. Рассматривая равновесие отсеченных частей стержня на каждом участке, определяем продольное усилие (используется местная система координат — см. рис. 1.6):

участок 0 1

участок 1-2

участок 2-3

участок 3 4

Эпюра приведена на рис. 1.5. Нормальные напряжения и деформации вычисляем, используя формулы (1.5) и (1.6) (здесь используются такие же индексы, как и для

Поскольку отличаются только масштабом, то на рис. 1.5 они объединены.

Перемещения на каждом из участков находим с помощью (1.19): Эпюра приведена на рис. 1.5.

Статически неопределимые задачи

В соответствии с рассуждениями, приведенными в начале предыдущего параграфа статическая неопределимость при растяжении сжатии возможна только в одном варианте — варианте, когда имеются две опоры (см., например, рис. 1.8). При этом степень статической неопределимости равна 2 — 1 = 1.

И в этом варианте так же, как и в предыдущем параграфе, если внешние нагрузки, геометрические и физические характеристики стержня являются непрерывными функциями координаты то НДС может быть найдено как решение соответствующей краевой задачи (1.11)-(1.13).

Пример задачи 3

Найти для стержня, указанного на рис. 1.8, полагая, что

Решение:

Краевая задача в этом случае имеет вид

Интегрируя уравнение, получим

Присутствующие здесь константы находятся из граничных условий: Следовательно,

Кроме того, из формул (1.4)-(1.6) найдем Следовательно, максимальные растягивающие и сжимающие напряжения имеют место соответственно на левом и правом концах и равны между собой:

В общем случае используется алгоритм решения статически неопределимых (СН) задач, практически совпадающий с приведенным в предыдущем параграфе и отличающийся только усложнением п. 2.

Для определения неизвестных реакций в опорах к уравнению равновесия добавляется так называемое «уравнение совместности деформаций», которое является следствием аксиомы П.1 и в случае задач типа указанной на рис. 1.8 имеет вид

При этом перемещение выражается через реакцию в одной из опор (см. алгоритм предыдущего параграфа), и тогда (1.20) уравнение относительно этой реакции.

Встречаются также другие практически важные задачи, в которых уравнение (1.20) нуждается в модификации.

1. Задачи с зазором (рис. 1.9). Здесь на правом (или левом) конце стержня имеется зазор Решение строится в два этапа.

а) Рассматривается статически определимая задача со свободным концом при заданных внешних нагрузках, и вычисляется перемещение этого конца

б) Если то переходят к статически неопределимой задаче с уравнением совместности

2. Задачи с монтажными напряжениями (рис. 1.9). В этом варианте предполагается, что внешние нагрузки отсутствуют, и зазор выбирается при монтаже конструкции. Решение строится, как и в стандартной статически неопределимой задаче, но с уравнением совместности (1.21).

Отметим также, что для статически неопределимых задач характерным является учет температурного поля. При этом, как следует из (1.5), полная продольная деформация есть сумма упругой и температурной составляющих:

В этих задачах в силу принципа суперпозиции (утверждение П.2) отдельно находятся НДС от действия внешней силовой нагрузки (обозначения, например, для напряжений следующие: и под влиянием температурного поля Действительное НДС есть сумма этих составляющих Однако учитывая, что температурные напряжения во многих практически важных задачах существенно меньше напряжений от силовой нагрузки, и то, что использование суммарного НДС при проектировочном расчете приводит к сложным неравенствам, его проводят только по напряжениям А температурные напряжения учитываются уже в поверочном расчете.

Пример задачи 4

Для стержня, приведенного на рис. 1.10, построить эпюры полагая модуль упругости постоянным.

Решение:

Разбиение стержня на участки показано на рисунке.

Задача является статически неопределимой, поскольку для определения двух опорных реакций можно составить только одно уравнение равновесия:

Уравнение совместности деформаций в соответствии с (1.20) имеет вид

Для того чтобы выразить его левую часть через аналогично задачам находим по участкам

участок

\! П

Следовательно, уравнение совместности и его решение имеют вид

3. Подставляя найденное значение реакции в полученные выше выражения, по участкам определяем Поскольку характер изменения эпюр ясен из упомянутых формул, то достаточно найти значения требуемых величин на концах участков: участок 0-1

• Здесь в силу непрерывности перемещений их значения на последних трех участках даны только на концах. Отмстим также, что уравнение равновесия, построенное в начале решения, можно было и не составлять, поскольку Однако его удобно использовать для проверки правильности найденных усилий.

Кроме того, необходимо определить точку экстремума перемещений на участке 1-2:

Так как при переходе через эту точку деформации меняют знак с плюса на минус, то имеет место максимум:

Соответствующие эпюры представлены на рис. 1.10.

Основные определения статики твердого тела

Предисловие

При проектировании различных конструкций, сооружений, машин приборов необходимо для их безопасной и надежной работы проводить расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и выносливость.

Расчеты на прочность проводятся с целью недопущения разрушения конструкций.

Расчеты на жесткость имеют цель предотвратить недопустимые перемещения объектов расчета.

Расчеты на устойчивость необходимы для обеспечения сохранения исходной формы устойчивого равновесия конструкции.

Расчеты на выносливость проводятся с целью определения долговременной эксплуатации объектов без повреждений при переменных напряжениях.

В данном пособии приводятся основы раздела курса теоретической механики - статики, на которых базируется курс сопротивления материалов. Излагаются основные понятия курса сопротивления материалов и допущения при составлении расчетных схем, рассматриваются правила построения эпюр внутренних силовых факторов, даются определения геометрических характеристик плоских сечений, приводятся начальные сведения о простейших и сложных видах деформации стержней и их устойчивости. В пособии содержатся различные примеры расчетов, направленные на усвоение студентами курса сопротивления материалов при самостоятельном его изучении.

В курсе сопротивления материалов используются следующие основные определения статики:

- сила, вектор силы;

- пара сил, алгебраический и векторный момент пары сил;

- проекция силы на ось и плоскость;

- момент силы относительно точки;

- момент силы относительно оси;

- связи и реакции связей;

- главный вектор и главный момент;

- условия и уравнения равновесия.

Сила

Сила - это количественная мера механического взаимодействия объектов. Если объекты взаимодействуют друг с другом, непосредственно соприкасаясь между собой, то возникают силы давления, трения или удара. Если же объекты взаимодействуют между собой, не соприкасаясь, а через какое-то поле, обусловленное особыми свойствами этих объектов, то возникают гравитационные, магнитные или электрические силы.

В заданных расчетных схемах причины возникновения сил на первых порах не интересуют студентов. Например, проектируя дорожное полотно, студент учитывает силы, действующие на дорогу со стороны колес автомобилей в виде сил давления и трения, которые являются причиной появления выбоин на дорогах. При этом его не интересуют появившиеся точно такие по величине, но противоположно направленные силы, действующие на шины автомобилей и являющиеся причиной их износа. Эти силы будут учтены студентом, разрабатывающим конструкцию шин, но при этом его не будут интересовать силы, действующие на дорогу.

Таким образом, следует помнить, что сила в одиночку родиться не может. Если к какому-то объекту приложена сила, то существует точно такая же по величине, действующая в противоположном направлении сила, приложенная к другому объекту (последние в большинстве случаев на расчетных схемах не показаны).

Так как взаимодействие колеса и дороги происходит не в одной точке, а по некоторой поверхности, то и силы взаимодействия распределены по поверхности полотна дороги и шины. Точность расчетов будет зависеть от того, насколько верно будет учтено распределение усилий, зависящих от характера взаимодействия объектов. Так как обучение предполагается от простого к сложному, то для приобретения студентами навыков проведения расчетов силы в расчетных схемах задаются упрощено: в виде сосредоточенных (приложенных в одной точке), или распределенных по линии. В дальнейшем специалисту, имеющему навыки по расчету упрощенных схем, будет легче ориентироваться в использовании для расчетов реально приложенных усилий.

Единицей измерения силы в международной системе единиц (СИ) принято считать «Ньютон» (Н).

Если свободная материальная точка массой в 1 кг в результате взаимодействия с другим объектом получает ускорение 1 м/с², то на точку действует сила, равная

Сила является величиной векторной, так как имеет точку приложения, линию и направление действия, и для векторов сил применимы операции векторной алгебры. Все многообразие взаимодействий в природе учесть очень сложно. Но силы, действующие на элементы техники и сооружений, можно классифицировать по характеру изменения в процессе приложения (динамические и статические), по продолжительности действия (постоянные и переменные), по способу взаимодействия между объектами (внешние и внутренние), по способу приложения (сосредоточенные и распределенные по линии, поверхности или объему).

Пара сил

Пара сил - это две равные по величине силы, действующие вдоль параллельных прямых в противоположные стороны (рис. 1.1 а, б).

Пара сил оказывает на объект вращательное действие, которое зависит от величины действующих сил и кратчайшего расстояния между линиями их действия.

Рис. 1.1

Равнодействующая сил пары равна нулю, поэтому пара сил не может быть заменена одной силой. Вращательный эффект пары сил определяется алгебраическим моментом пары.

Алгебраическим моментом пары сил называется произведение одной из сил пары на кратчайшее расстояние между линиями действия сил (плечо).

Знаки моментов пар сил, расположенных в одной плоскости, зависят от направления вращения, создаваемого парами сил, и назначаются произвольно. Можно принять: если пара сил вращает объект против хода часовой стрелки, момент пары принимается отрицательным, если по часовой - положительным (рис. 1.1).

При действии пар сил в различных плоскостях удобно при решении задач пользоваться векторным моментом пары сил. Пусть пара сил и действует в плоскости

Векторный момент пары сил равен векторному произведению радиус-вектора на вектор одной из сил пары (рис. 1.2).

.

Радиус-вектор может быть проведен из любой точки, находящейся на линии действия одной из сил пары в любую точку, находящуюся на линии действия другой силы этой пары (рис. 1.2).

Модуль векторного момента пары сил определяется как модуль векторного произведения радиус-вектора на вектор силы.

Направлен векторный момент пары сил перпендикулярно плоскости ее действия в ту сторону, откуда вращение, создаваемое парой сил, кажется происходящим против хода часовой стрелки.

Рис. 1.2

Сравнение действия силы и пары сил

Пара сил и сила имеют одно общее свойство: сила и момент пары сил, являясь векторами, подчиняются законам векторной алгебры.

Применение векторной алгебры в курсах теоретической механики и сопротивления материалов позволяет быстрее и компактнее решать задачи, чем при использовании скалярных величин.

Пара сил не имеет равнодействующей и она не может быть заменена одной силой, вызывающей такое же действие, как и пара сил. В свою очередь одна сила также не может быть заменена эквивалентной ей парой сил. Одна сила свободный объект будет перемещать, а одна пара сил будет его вращать.

В табл. 1.1 приводится сравнительное действие силы и пары сил.

Таблица 1.1

Сравнение действия силы и пары сил

Проекция силы на ось и плоскость

Проекция силы на ось определяется как длина отрезка, заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора силы на эту ось.

Знак проекции силы на ось принимается положительным, если направление вектора силы совпадает с положительным направлением оси, если не совпадает - отрицательным.

При решении задач удобно пользоваться следующим определением:

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус острого угла, образованного силой и осью.

Если вектор силы перпендикулярен оси, то проекция такого вектора на ось равна нулю, если вектор силы параллелен оси, то проекция такого вектора на ось равна величине этой силы.

Пример задачи 5

Определить проекции сил и на оси и (рис. 1.3) если

= 50 Н, сила || оси ;

= 100 Н.

Рис. 1.3

Решение:

Проекции сил и на ось :

.

Проекции сил и на ось :

Проекцией силы на плоскость называется вектор, заключенный между основаниями перпендикуляров, опущенных на начала и концы вектора силы на эту плоскость (рис. 1.4):

.

Для решения практических задач при определении проекций сил на ось, когда силы расположены в пространстве и трудно определить угол силы с осью, пользуются методом двойного проектирования. Например, проекция силы (рис. 1.4) на оси и определяется по формулам:

Рис. 1.4

С осью сила в данном случае образует острый угол (90° - ), поэтому проекция силы на ось равна .

Момент силы относительно точки

На рис. 1.5 изображено твердое тело, имеющее неподвижную точку О, вокруг которой оно может поворачиваться. К твердому телу приложены силы , и , действующие в одной плоскости, проходящую через току О.

Сила стремится вращать твердое тело вокруг точки О по направлению хода часовой стрелки, сила стремится вращать твердое тело против хода часовой стрелки, сила вращательного эффекта не производит, так как ее линия действия пересекает точку О. Величина вращательного эффекта, зависящая от численного значения приложенных сил и их ориентации, учитывается моментом силы относительно точки (центра).

Величина момента силы относительно точки равна произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы (плечо).

На рис. 1.5 плечом силы относительно точки О является длина отрезка , а плечом силы относительно точки О является длина отрезка

Рис. 1.5

Если силы и точка, относительно которой вычисляются моменты, расположены в одной плоскости, то для определения вращения объекта в одну или другую сторону необходимо установить правило знаков. Так, если сила вращает объект против хода часовой стрелки, то знак момента принимается отрицательным, а если она вращает объект по ходу часовой стрелки - положительным, (можно наоборот).

Алгебраические моменты сил , и , относительно точки О на рис. 1.5 определяются по формулам:

Для анализа систем сил, произвольно расположенных в пространстве, используется понятие векторного момента силы относительно точки.

Векторный момент силы относительно точки равен векторному произведению - радиус-вектора на вектор силы.

Радиус вектор - это вектор, проведенный из точки, относительно которой вычисляется момент в любую точку, находящуюся на линии действия силы (рис. 1.6):

.

Рис. 1.6

Радиусом-вектором может быть любой из векторов или так как модуль векторного произведения равен величине момента силы относительно точки О

Векторный момент силы относительно центра направлен перпендикулярно плоскости, образованной радиус-вектором и вектором силы согласно правилу векторного произведения двух векторов.

Момент силы относительно оси

На рис. 1.7 изображено твердое тело в виде параллелепипеда со сторонами и , которое может вращаться вокруг неподвижной оси . К твердому телу приложены силы и Сила стремится вращать параллелепипед вокруг оси по ходу движения часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси , сила стремится повернуть параллелепипед в сторону, противоположную вращению от силы . Силы и вращательного эффекта не производят.

Вращательный эффект относительно оси производят только те составляющие сил, которые находятся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения (на рис. 1.7 это силы и

Величина момента силы относительно оси равна моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную данной оси относительно точки перемещения оси с этой плоскостью.

Знак момента силы относительно оси принимается положительным, если со стороны положительного направления оси вращение, создаваемое силой, происходит против хода часовой стрелки, и отрицательным - если по ходу движения часовой стрелки.

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее, т.е., когда сила и ось находятся в одной плоскости.

Сумма моментов сил, показанных на рис. 1.7, относительно координатных осей определяется по формулам:

Теорема Вариньона

При решении задач статики могут возникнуть затруднения в вычислениях моментов силы относительно точки или оси.

Эти трудности связаны со сложностью определения размеров плеч, или проекций сил на плоскость.

В этих случаях рекомендуется разложить силу на составляющие, параллельные координатным (или другим) осям, и использовать следующую теорему Вариньона.

Момент (векторный или алгебраический) равнодействующей силы относительно точки или оси равен сумме моментов (векторных или алгебраических) составляющих относительно той же точки или оси.

Пример задачи 6

Вычислить момент силы относительно точки О, если:

Решение:

Момент силы относительно точки О (рис. 1.8) проще вычислить с помощью теоремы Вариньона

чем по формуле из-за трудностей с определением

Рис. 1.8

Связи и реакции связей

Связями называются материальные тела, ограничивающие перемещения рассматриваемого объекта в каком-то направлении.

Реакциями связей являются силы, с которыми связи действуют на рассматриваемые объекты (объекты действуют на связи с точно такими же по величине силами, но направленными в противоположные стороны).

Аксиома связей. Любой несвободный объект можно рассматривать как свободный, если заменить связи реакциями связей.

На (рис. 1.9, а) балка АВ весом G подвешена на двух нитях AD и ВС и опирается на гладкие опоры О и Е. Балка АВ является несвободным объектом, так как ее перемещения ограничены нитями AD, ВС, опорами О и Е.

В результате действия внешней силы тяжести G между балкой, нитями и опорами возникают силы взаимодействия, которые для системы, изображенной на (рис. 1.9, а), являются внутренними силами.

Рис. 1.9

Используя аксиому связей, балку АВ можно представить свободной (рис. 1.9, б), заменив связи реакциями связей: действие нитей AD и ВС на балку заменяются силами и ? действие опор О и Е на балку - силами и , которые по определению называются реакциями связей, при этом аналогичные силы и действуют в противоположном направлении на связи. Балка АВ, будучи несвободной, находилась в покое (рис. 2.18, а); став свободной (рис. 2.18, 6), балка в покое и останется.

Аксиома связей справедлива и для движущихся объектов. Движущийся несвободный объект можно рассматривать свободным, если связи заменить реакциями связей. Связь может препятствовать перемещениям объекта по нескольким направлениям, может препятствовать повороту объекта вокруг точек или осей.

Если связь препятствует перемещению рассматриваемого объекта, то возникает реакция связи в виде сосредоточенной силы или распределенных сил. Когда линия действия результирующей реакции неизвестна, то эта реакция представляется в виде составляющих по координатным осям (или другим удобным для решения задач направлениям).

Если связь препятствует повороту объекта, то реакция возникает в виде пары сил, момент которой называется реактивным (может быть сосредоточенным и распределенным). Когда плоскость действия результирующего момента неизвестна, то векторный реактивный момент представляется в виде составляющих по координатным (или другим) осям.

Направлена реакция связи всегда в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться объекту. Правильное определение направления реакции связей при решении задач имеет существенную роль. Чаще всего в задачах установить заранее действительное направление реакций связей не представляется возможным. В этом случае направление реакции связи принимается произвольным. Если в результате решения задачи получено отрицательное значение реакции, то действительное ее направление будет противоположно принятому.

В таблице 1.2 приведены часто встречающиеся на практике связи и их реакции. Объектом, освобождаемым от связей, в этой таблице является балка АВ. Трение между связями и балкой не учитывается. Все силы расположены в одной плоскости. На балку АВ действуют активные силы и .

Таблица 1.2

Простейшие связи и их реакции

Главный вектор и главный момент

Любую систему сил можно заменить простейшей эквивалентной системой, состоящей из одной силы, называемой главным вектором, и одной пары сил, момент которой называется главный момент. Для этого используется метод Пуансо, суть которого заключается в том, что любая сила, приложенная в некоторой точке, может быть заменена точно такой же силой, приложенной в другой точке, называемой центром приведения, и парой сил, момент которой равен моменту силы приложенной в первой точке относительно центра приведения.

Пусть центром приведения произвольной системы сил и пар сил будет точка О, тогда главный вектор (результирующая сила) произвольной системы сил равен геометрической сумме заданных сил.

(1.4)

Линия действия главного вектора проходит через центр приведения.

Главный момент (результирующий момент) произвольной системы сил равен геометрической сумме моментов заданных сил и пар сил относительно центра приведения.

. (1.5)

При действии на свободный объект произвольной системы сил и пар сил могут быть следующие частные случаи:

- свободный объект совершает поступательное движение;

- свободный объект вращается;

- свободный объект совершает винтовое движение;

- свободный объект находится в покое.

Условия равновесия произвольной системы сил

Из последнего частного случая следуют условия равновесия. Для того чтобы система произвольно расположенных сил и пар сил, действующих на свободный объект, была уравновешена, необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент были равны нулю.

.

(1.6)

Уравнения равновесия для различных систем сил

Модули главного вектора и главного момента определяются как и модули любых векторов по формулам:

(1.7)

, (1.8)

С учетом равенства (1.1):

, (1.9)

если и , то каждое слагаемое под радикалом в уравнениях (1.7), (1.9) должно быть равно нулю. Полученные таким образом уравнения называются уравнениями равновесия сил, действующих на свободный объект.

Следовательно, для произвольной системы сил и пар сил имеет место шесть линейно-независимых уравнений равновесия.

(1.10)

Количество линейно-независимых уравнений равновесия зависит от расположения сил. Например, для пространственной системы сил, линии действия которых пересекаются в одной точке линейно-независимых уравнений равновесия, будет три первых уравнения равенства (1.10). Остальные три уравнения обращаются в тождества, так как линии действия всех сил пересекают оси координат, выбранных в точке пересечения линий действия сил (момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось).

В таблице 1.3 приводятся различные системы сил и соответствующее этим системам количество линейно-независимых уравнений равновесия.

Таблица 1.3

Если число неизвестных в задаче (неизвестными чаще всего являются опорные реакции и внутренние усилия) равно числу линейно-независимых уравнений равновесия заданной системы сил, то неизвестные определяются из этих уравнений (табл. 1.3).

Если число неизвестных в задаче больше числа линейно-независимых уравнений равновесия заданной системы сил, то методами статики все неизвестные задачи определить нельзя. Она в этом случае называется статически неопределимой. Задача будет решена, если к уравнениям статики добавить необходимое количество уравнений совместности деформаций связи и объекта. Эти дополнительные уравнения составляются на основе методов, изучаемых в курсах сопротивления материалов, теории упругости и строительной механики.

Основные понятия сопротивления материалов

Основной предмет сопротивления материалов

Сопротивление материалов излагает методы решения задач о механической надежности элементов конструкции - прочности, жесткости и устойчивости.

Элементами расчета на прочность, жесткость и устойчивость являются брусья, пластинки, оболочки и массивные тела.

В курсе сопротивления материалов основное внимание уделяется изучению брусьев, которые являются наиболее распространенными элементами в различных конструкциях.

Брусом называется элемент, длина которого существенно превышает его поперечные размеры. Стержнем будем называть брус с прямолинейной осью и постоянным поперечным сечением. Стержень является основным предметом изучения курса сопротивления материалов. Основными геометрическими параметрами элемента стержня является продольная ось и поперечное сечение. Осью бруса называют геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса (рис. 2.1, а).

Оболочка - это элемент, образованный двумя криволенейными поверхностями, расстояние между которыми мало (рис. 2.1, 6).

Геометрическое место точек, равноудаленных от нагруженной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.

Пластина - это оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость (рис. 2.1, в)

Элемент, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга, называется массивным телом (рис. 2.1, г).

К простым деформациям стержня относят:

- растяжение, сжатие;

- сдвиг, срез;

- кручение стержней круглого поперечного сечения;

- поперечный и чистый изгиб.

Сложные деформации представляют комбинации простых:

- изгиб с кручением;

- изгиб с растяжением или сжатием и др.

Прямолинейные стержни, в зависимости от их назначения и вида деформирования, имеют различные названия:

- балка - стержень, расположенный горизонтально, работающий на изгиб;

- стойка, колонна - стержень, работающий вертикально, работающий на сжатие;

- вал - стержень, передающий вращение;

- болт, заклепка, сварочный шов - стержни, работающие на растяжение и сжатие и срез;

- ферма, рама - сложная конструкция, состоящая из прямолинейных стержней соединенных между собой (рис. 2.2 и 2.3);

Рис. 2.2

В ферме стержни соединяют между собой шарнирно (подвижно) и они могут работать только на растяжение или сжатие.

В отличии от ферм в раме стержни соединяются жестко (неподвижно) и стержни рамы могут воспринимать значительные усилия изгиба и кручения;

- стойки - вертикальные стержни в раме;

- раскосы - наклонные стержни в раме;

- ригели - горизонтальные стержни в раме.

Рис. 2.3. Рама

Допущения о свойствах материала и нагрузках

Материал стержней, при решении задач сопротивления материалов, принимается сплошным, однородным, изотропным и линейно-упругим. Сплошность свидетельствует о том, что материал непрерывно заполняет весь объем рассматриваемого элемента. Однородность означает, что весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами. Изотропность материала свидетельствует о том, что его механические свойства одинаковы во всех направлениях. Линейно-упругий материал характеризуется тем, что его деформации (изменение размеров и формы тела) прямо пропорциональны нагрузкам (рис. 2.4)

Рис. 2.4.

Внешние нагрузки

В сопротивлении материалов рассматривают несколько видов нагрузок, которые могут действовать на конструкции. Сосредоточенные силы (Р) - это нагрузки, которые передаются через небольшую площадку, которую можно считать точкой, например, шарик, лежащий на жестком основании (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Распределенная нагрузка - это нагрузка, передающаяся на конструкцию через определенную площадь, например, давление снега на крышу здания (рис. 2.6, а), давление грунта на фундамент здания (рис. 2.6, б).

Рис. 2.6

Сосредоточенные силы измеряются в единицах силы - Н, кН, а распределенная нагрузка измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади -, , или единицы длины - Н/м, кН/м .

При проведении расчетов распределенную по площади нагрузку (рис. 2.7, а) заменяют нагрузкой, которая передается по длине стержня (балки) (рис. 2.7, б). Такую нагрузку называют погонной.

Рис. 2.7 В зависимости от характера изменения во времени нагрузки разделяются на статические и динамические. Статическая нагрузка прикладывается настолько медленно, что силой инерции конструкции, к которой прикладываются эти нагрузки, можно пренебречь. Примером такой нагрузки может служить снег, падающий на кровлю при снегопаде.

Динамическая нагрузка изменяет свою величину в сравнительно короткий промежуток времени, например, нагрузка от удара молотка по наковальне.

По продолжительности действия силы на конструкцию различают постоянные и временные нагрузки. Постоянные нагрузки - это те нагрузки, которые действуют непрерывно, например, собственный вес конструкции. Временные нагрузки имеют ограниченную продолжительность, например, нагрузка от веса поезда на мост.

Конструкции с приложенными к ним нагрузками при расчете изображаются в виде расчетных схем, которые представляют собой упрощенные, условные изображения различных объектов. Например, балка с приложенными к ней различными нагрузками может быть изображена в виде линии, на которой условно в виде стрелок изображаются нагрузки (рис. 2.8).

- сосредоточенная сила; q - распределенная нагрузка; М - пара сил (момент сил)

Рис. 2.8

Напряжения и деформации

Внутренние силы по площади сечения распределены неравномерно и их интенсивность в различных точках сечения стержня не будет одинаковой. Средняя интенсивность равна отношению внутреннего усилия, действующего на элементарную площадку, направления к величине этой площадки. Напряжением на площадке направления в некоторой точке твердого тела называется предел отношения внутренней силы , действующей на эту площадку к ее площади поперечного сечения, стремящейся к нулю.

.

Полное напряжение для удобства анализа расчетов представляется в виде двух составляющих (рис. 2.8). Одна из этих составляющих представляет собой проекцию вектора на плоскость сечения и называется касательным напряжением. Другая составляющая представляет проекцию вектора на ось, направленную перпендикулярно плоскости сечения (нормаль), и называется нормальным напряжением.

Рис. 2.8

В результате действия различных усилий упругое твёрдое тело изменяет свою форму и размеры. Изменение формы тела учитывается перемещениями точек. Проекция перемещения точки на декартовые оси координат и называются компонентами перемещений точки и обозначаются и соответственно. Изменение размеров тела учитывается линейными и угловыми деформациями.

Относительной продольной деформацией стержня длиной называется отношение изменения длины этого стержня в результате деформирования к его первоначальной длине:

Угловой деформацией между двумя координатными осями называется величина уменьшения прямого угла между ними вследствие деформирования (рис. 2.10).

Рис. 2.10

В сопротивлении материалов деформации элементов конструкций считаются настолько малыми, что при составлении уравнений равновесия ими можно пренебрегать, рассматривая объект как недеформированный, имеющий те же геометрические размеры, как и до нагружения внешними силами (принцип начальных размеров или допущение о малости деформаций).

Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стрежня

Чтобы оценить способность стержней сопротивляться внешним нагрузкам, необходимо знать величину внутренних усилий в любых поперечных сечениях стрежней и напряжения в каждой точке этих сечений. Пусть требуется вычислить внутренние усилия в сечении стержня, находящегося под действием сил (рис 2.11, а). Для этого нагруженный стрежень мысленно рассекается плоскостью на две части (рис. 2.11 б, в). Одна часть для другой является связью. На каждую из частей стержня действуют, кроме внешних сил, реакции отброшенной части стержня. Эти реакции, являющиеся внутренними усилиями в стержне, и подлежат определению. Этот метод определения внутренних усилий называется методом сечений.

В общем случае совокупность реакций отсеченной части стержня образуют произвольную пространственную систему сил. Такую систему, согласно первой задаче статики (с помощью метода Пуансо), можно заменить простейшей эквивалентной системой, состоящей из одной силы (главным вектором) и одной пары сил (главным моментом) (рис. 2.11 г, д).

Если центром приведения выбрать центр тяжести сечения, то модуль главного вектора и главного момента внутренних сил в рассматриваемом сечении определяется по формуле:

где - оси координат, имеющие начало в центре тяжести сечения.

а)

- внешние силы;

б) в)

- силы взаимодействия между левой от сечения и правой частью стержня (внутренние силы); г) д)

- главный вектор внутренних сил в сечении ;

- главный момент внутренних сил в сечении ;

е) ж)

- проекции главного вектора на оси координат; - проекции главного момента на оси координат; з) и)

- внутренние силовые факторы в сечении стержня

Рис. 2.11

Составляющие главного вектора и главного момента на оси координат будут между собой соответственно взаимно перпендикулярны и связаны зависимостями:

Каждая составляющая главного вектора и главного момента на оси координат имеет характерное обозначение и наименование. Составляющая главного вектора на ось стержня обозначается буквой N и называется продольной или нормальной силой ().

Продольная сила вызывает растяжение или сжатие стержня. Составляющие главного вектора, перпендикулярные продольной оси стержня, обозначаются буквой Они стремятся перерезать стержень и называются перерезывающими или поперечными силами

Составляющие главного момента на продольную ось стержня обозначаются буквой и называются крутящим моментом. Момент характеризует пару сил, действующую в плоскости, перпендикулярной оси стержня, которая вызывает кручение стержня вокруг его продольной оси:

.

Составляющие главного момента на оси, перпендикулярные продольной оси стержня, и характеризуют пары сил, изгибающие стержень в плоскостях и соответственно. Составляющие и называются изгибающим моментом (обозначим =; =; ).

Величины являются внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями (рис. 2.11 з, и).

Определение величины внутренних силовых факторов

В большинстве задач сопротивления материалов все объекты находятся в покое. Поэтому внутренние усилия определяются из уравнений равновесия.

Главный вектор и главный момент внутренних сил в поперечном сечении стержня равны соответственно по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту заданных внешних сил, находящихся по одну сторону этого сечения. Иначе можно сказать, что заданные внешние силы уравновешиваются внутренними усилиями, приложенными в сечении. Отсюда можно установить правила определения величины и направления внутренних силовых факторов.

В поперечных сечениях стержня, находящегося в покое, внутренние усилия направлены так, чтобы уравновесить действия заданных внешних сил. По величине внутренние усилия определяются следующим образом:

Продольная сила равна алгебраической сумме проекций внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, на продольную ось стержня.

Перерезывающая (поперечная сила) равна алгебраической сумме проекций внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, на ось перпендикулярную продольной оси стержня.

Крутящий момент равен алгебраической сумме моментов внешних сил и пар сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, относительно продольной оси стержня.

Изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов внешних сил и пар сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, относительно поперечных центральных осей сечения.

Правило знаков для внутренних усилий

Каждый из шести силовых факторов является векторной величиной и в зависимости от его направления по отношению к рассматриваемому сечению может быть положителен, отрицателен или равен нулю.

Знаки каждого силового фактора определяются исходя из действительного их направления, или с учетом направления внешних сил, действующих на рассматриваемую часть стержня. Иллюстрация знаков внутренних усилий приведена в таблице 2.1.

Способ определения знаков внутренних силовых факторов с учетом их действительного направления является не всегда удобным, так как необходимо определять действительное направление внутренних усилий, а уже затем, согласно принятому правилу, присваивать знак. Более эффективным является способ, учитывающий влияние каждой внешней силы или внешнего момента на знак силового фактора с учетом принятого правила.

Например, если внешняя сила направлена вдоль стержня к рассматриваемому сечению, то она вызывает его сжатие и, следовательно, продольная сила будет отрицательной.

То есть знаки от каждой внешней силы или момента можно установить при непосредственном суммировании, когда вычисляется искомый силовой фактор. В таком случае правило определения знаков внутренних усилий будет следующим:

- продольная сила от внешних сил, направленных от сечения и вызывающее растяжение стержня, будет положительной, а от сил, направленных к сечению (сжимающих) - отрицательной;

- крутящий момент можно считать положительным, если при взгляде со стороны внешней нормали вращение, создаваемое внешним моментом, кажется происходящим по ходу часовой стрелки, и отрицательным, если против хода часовой стрелки;

- изгибающий момент принимается положительным, когда под действием приложенных сил балка изгибается выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижнего волокна; если балка изгибается выпуклостью кверху, то знак изгибающего момента будет отрицательным. Иллюстрация правил знаков внутренних силовых факторов показана в таблице 2.1.

Если на стержень, находящийся в покое, действует нагрузка, распределенная по длине ( - интенсивность продольной нагрузки, q - интенсивность поперечной нагрузки, - интенсивность внешних моментов, изгибающих стержень, - интенсивность внешних скручивающих моментов), то для определения внутренних усилий необходимо составить уравнения равновесия сил, действующих на элементарный участок стержня длиной (рис 2.12).

Таблица 2.1

Определение знаков внутренних усилий

Рис. 2.12. Распределенные нагрузки вдоль стержня и внутренние усилия в сечениях стержня на расстоянии

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

при (2.5)

Из полученных дифференциальных зависимостей 2.1-2.5 определяется закон изменения соответствующего внутреннего усилия по длине стержня.

Эпюры внутренних усилий

Графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называются эпюрами. С помощью таких эпюр определяются сечения стержня, в которых внутренние усилия достигают наибольших значений.

При построении эпюр рекомендуется вначале определить опорные реакции, затем установить границы участков, в пределах которых внутренние усилия изменяются по определённой закономерности. Такими границами являются

- точки приложения силы;

- плоскость приложения момента пары сил;

- начало и конец распределенной нагрузки;

- изменение площади;

- излом оси стержня.

Далее с помощью метода сечений на основе уравнений статики и установленных правил знаков вычисляются значения внутренних усилий в сечениях на границах участков. Проводится базисная линия параллельно оси стержня, от которой по нормали в масштабе откладываются ординаты вычисленных значений внутренних усилий. С использованием дифференциальных зависимостей (2.1-2.5) определяются законы изменений внутренних усилий в пределах каждого участка.

Пример задачи 7

Построить эпюру продольных сил для нагруженного стержня (рис. 2.13, а).

Решение:

Продольные силы в сечениях 1-4 (рис. 2.13, 6) определяются по правилам, установленным ранее:

или .

Так как распределенная нагрузка отсутствует то, согласно 2.1, и, следовательно, на каждом участке N = const. Эпюра N показана на (рис. 2.7, в).

Границами участков являются сечения, отмеченные цифрами 1-6 на (рис. 2.13, а). Крутящий момент в этих сечениях определяется по правилам, описанным ранее. Так как распределенный крутящий момент по длине стержня отсутствует, то на основании равенства (2.3) на каждом участке.

Рис. 2.13

Пример задачи 8

Построить эпюру крутящих моментов для нагруженного вала (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Пример задачи 9

Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента для нагруженной балки (рис. 2.15, а).

Решение:

Опорные реакции определяются из уравнения статики.

Проверка

.

Границами участков являются сечения, отмеченные цифрами на (рис. 2.15, б).

Рис. 2.15

На участке 1-2 действует распределенная поперечная нагрузка Поперечная сила в сечении на расстоянии отточки «А» равна:

.

Определим значение , при котором поперечная сила равна нулю:

.

Поскольку , а в сечении , то изгибающий момент будет здесь экстремальным и равен при расположении сил слева от сечения :

При расположении сил справа от сечения :

Поперечная сила и изгибающий момент в сечениях рис. 2.15 определяются согласно правил, изложенных в п. 2.6 и 2.7:

По полученным значениям и строится эпюра, представленная на (рис. 2.15, в, г).

На участке 1-2 эпюра поперечной силы изменяется линейно, так как а эпюра изгибающих моментов изменяется по параболе, обращенной выпуклостью вверх (здесь ). На участке 3-4 поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется линейно.

Геометрические характеристики поперечных сечений стержня

Статические моменты

Простейшей геометрической характеристикой сечения является его площадь. Более сложной: статический момент, а также осевой, полярный и центральный момент инерции сечения.

При решении задач сопротивления материалов необходимо уметь определять положение центра тяжести поперечного сечения стержня. Для этого используется понятие статического момента площади. Статическим моментом площади поперечного сечения стержня относительно оси называется сумма произведений элементарных площадей (рис. 3.1) на их расстояние до данной оси.

(3.1)

(3.2)

Рис. 3.1 Размерность статических моментов - м³.

Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси.

Статические моменты могут быть положительными, отрицательными (в зависимости от знака координат) или равными нулю.

При параллельном переносе осей статические моменты изменяют свои значения относительно этих осей.

Выражение, устанавливающее зависимость между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей и (рис. 3.1), имеет следующий вид:

, (3.3)

где - расстояние, на которое перенесена ось до положения , .

, (3.4)

где - расстояние, на которое перенесена ось до положения

Оси и относительно которых статические моменты равны нулю, называются центральными (рис. 3.1).

Точка С пересечения с центральных осей называется центром тяжести сечения.

Координаты центра тяжести сечения определяются по формулам:

(3.5)

где и - статические моменты;

F- площадь сечения.

Координаты центра тяжести сложного сечения, например, показанного на (рис. 3.2), определяются по следующим формулам:

(3.6)

где - координаты центра тяжести сложного сечения;

- координаты центра тяжести составных сечений;

- площади, соответствующего сложного сечения;

Рис. 3.2

Точка С - лежит на прямой, соединяющей и для двух площадей, а в плоскости треугольника - для трех площадей (рис. 3.2 а, 6).

Моменты инерции

При поступательном движении твердого тела (курс теоретической механики) его масса полностью определяет меру инертности, но при вращательном движении на инертность будет влиять распределение масс, в этом случае мерой инертности является момент инерции, который учитывает расположение масс по отношению к точке оси или плоскости.

Аналогично в курсе сопротивлении материалов величина площади поперечного сечения стержня (см. таблицу 3.1 и 4.1) полностью характеризует сопротивление стержня растяжению, сжатию, сдвигу или срезу. Но для определения сопротивляемости стержня изгибу или кручению одной величины площади поперечного сечения недостаточно, необходимо знать, как она распределяется по отношению к осям изгиба или кручения. То есть при анализе деформации изгиба и кручения необходимо учитывать форму поперечного сечения стержня. Для этого вводятся понятия, которые называются полярными, осевыми и центробежными моментами инерции.

Полярным моментом инерции сечения относительно точки или полюса (точки О на рис. 3.3) называется сумма произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до этой точки.

(3.7)

Рис. 3.3 Осевым моментом инерции сечения относительно оси называется сумма произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до данной оси.

(3.8)

(3.9) Центробежным моментом инерции относительно двух координатных осей называется сумма произведений элементарных площадей на их соответствующие координаты.

(3.10)

Если сложить обе части равенств (3.8) и (3.9), то получим:

(3.11)

Но значит .

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту этого сечения относительно точки пересечения указанных осей.

При решении различных практических задач часто приходится определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом используются уже известные значения моментов инерции сечения относительно других осей.

В самом общем случае можно рассматривать два основных случая:

- параллельный перенос осей координат в новое положение;

- поворот осей относительно начала координат.

Для установления зависимости между моментами инерции одного и того же сечения при параллельном переносе осей рассмотрим сечение, представленное на рис. 3.4.

Моменты инерции и данного сечения считаются известными.

В новой системе координат оси координат параллельны переменным, и являются координатами точки в старой системе координат .

Рис. 3.4 Выражение осевого момента инерции относительно оси :

С учетом (3.2) и (3.8):

(3.12)

Если ось проходит через центр тяжести сечения, то статический момент и:

(3.13)

Из (3.12) следует, что осевой момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, имеет наименьшее значения по отношениям к моментам инерции относительно всех других параллельных осей. По аналогии с (3.12):

(3.14)

В частном случае, когда ось проходит через центр тяжести сечения :

(3.15)

Выражение для центробежного момента относительно осей и :

С учетом (3.2) и (3.11):

(3.16)

Если т.е. оси и проходят через центр тяжести сечения, то:

(3.17)

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как в их выражении под знаки интегралов входят величины площадок которые всегда положительны, так же как и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса.

Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю, в зависимости от расположения сечения относительно осей координат. Так, например, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме осевых моментов инерции, составляющих его частей относительно этой же оси.

Центробежный момент инерции сложного сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции, составляющих его частей относительно тех же осей.

Полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции, составляющих его частей относительно той же точки.

Определяя моменты инерции сложного сечения, нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.

При повороте осей координат относительно точки О (рис. 3.5) на некоторый угол расстояние от элементарных площадок до полюса О не изменяется. Тогда в соответствии с функцией (3.5)

Полярный момент инерции сечения при повороте осей относительно начала координат остается постоянным.

Рис. 3.5

Следовательно в соответствии с (3.11):

(3.18)

Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей на любой угол.

Выражение осевого момента инерции относительно оси :

или с учетом формул (3.8), (3.9), (3.10):

(3.19)

Аналогично:

(3.20)

Центробежный момент инерции относительно осей и .

или в соответствии с (3.8), (3.9) и (3.10):

(3.21)

Формулы (3.19), (3.20) и (3.21) позволяют установить, как изменяется момент инерции сечения при повороте осей на произвольный угол

При изменении угла осевые моменты инерции достигают максимума и минимума.

Максимальные и минимальные (экстремальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции.

Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции.

Значения главных моментов инерции сечений и положения главных осей инерции относительно переходных определяются по следующим формулам:

(3.22)

(3.23)

где - осевые и центральный момент инерции сечения относительно переходного положения осей;

- угол, на который необходимо повернуть оси, чтобы они стали главными.

При этом, если значение (3.23) положительно, то оси и поворачиваются против хода часовой стрелки и наоборот.

Моменты сопротивления

При анализе деформации кручения и изгиба удобно использовать геометрическую характеристику, называемую моментом сопротивления.

Моменты сопротивления обозначаются буквой и имеют размерность м³ (таблица 3.1).

Полярным моментом сопротивления круглого сечения называется отношение полярного момента инерции сечения к его радиусу (рис. 3.6)

(3.24)

Рис. 3.6

Осевым моментом сопротивления сечения стержня при изгибе называется отношение момента инерции сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от нейтральной оси до наиболее удалённой точки сечения

Для круглого сечения (рис. 3.6):

(3.25)

Для прямоугольного сечения (рис. 3.7):

(3.26)

Рис. 3.7

Статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления поперечных сечений прокатных профилей приведены в приложении 2.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести сечения и разделяет сжатую и растянутую области сечения. В таблице 3.1 приведены аналогии геометрии масс и геометрических характеристик сечений.

Таблица 3.1

Аналогии характеристик геометрии массы и площади поперечного сечения стержня в курсах теоретической механики и сопротивления материалов

Простые виды деформации стержня

На рис. 4.1, а, б показан стержень, один конец которого жестко заделан, другой свободен (консоль). Стержень нагружен силами действующих в плоскости симметрии поперечного сечения этого стержня. На рис. 4.1, в стержень нагружен парой сил, плоскость действия которой перпендикулярна продольной оси стержня, а величина момента равна На рис. 4.1, г пара сил с моментом М действует на стержень в плоскости его продольной симметрии. В результате действия указанных нагрузок стержень испытывает деформации в виде растяжения, сдвига, кручения и изгиба (рис. 4.1 а, 6, в, г ). Такие виды деформаций называются простыми.

Рис. 4.1

Упрощенная схема реального объекта, освобожденного от факторов, не влияющих существенно на работу системы в целом, называется расчетной схемой. Переход к расчетной схеме осуществляется путем схематизации свойств материала (сплошным, однородным, идеально упругим), а также путем схематизации внешних сил, с учетом геометрии реального объекта (который может быть стержнем, пластиной, оболочкой или массивом) и т.д. (рис. 2.8) На рис. 4.1, д, е, ж, з приведены расчетные схемы, используемые при решении задач. Для оценки работоспособности конструкций, имеющих стержни, необходимо знать распределение внутренних усилий по всей длине стержней. Внутренними усилиями (см. главу 2) при различных видах деформации стержня являются:

- при растяжении (сжатии) - продольная сила N,

- при сдвиге (срезе) и поречном изгибе - поперечная сила

- при кручении - крутящий момент ;

- при изгибе - изгибающий момент М.

На рис. 4.1, и, к, л, м показано применение метода сечений для определения внутренних усилий в - м сечении. Величина и направление действия внутренних силовых факторов в - м сечении и определяются из уравнений равновесия сил, действующих на отсеченную часть стержня (подробнее см. в п. 2.3-2.7).

Допущения при исследовании простых видов деформации стержней

С целью получения формул, удобных для практических расчетов, принимают следующие допущения:

- каждое поперечное сечение стержня плоское до деформации, остается плоским и после деформации, всегда оставаясь перпендикулярным продольной оси стержня - гипотеза плоских сечений Бернулли;

- любая прямая поперечного сечения стержня может поворачиваться, но не искривляться;

- волокна изгибаемого или растягиваемого (сжимаемого) стержня испытывают деформацию растяжения (сжатия) в продольном направлении и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении;

- если стержень нагружается эквивалентными системами сил, то в сечениях достаточно удаленных от мест приложения сил, результат их действия не зависят от способа нагружения ( принцип Сен-Венана);

- результат действия на объект нескольких сил равен сумме результатов действий каждой отдельной силы и не зависит от последовательности приложения этих сил (принцип независимости действия сил).

Деформации и напряжения при растяжении (сжатии), сдвиге и изменении температуры

Деформация растяжения (сжатия) имеет место в том случае, когда силы, приложенные к стержню, действуют по прямой, проходящей через центры тяжести поперечных сечений стержня. Такая деформация сопровождается увеличением (уменьшением) продольных размеров стержня , и уменьшением (увеличением) его поперечных размеров , , (рис. 4.2, а).

Рис. 4.2

Сдвиг возникает в том случае, когда две равные по величине и противоположные по направлению параллельные силы действуют перпендикулярно продольной оси стержня на некотором расстоянии друг от друга (рис. 4.1, б). При очень малом расстоянии между силами имеет место срез. Деформации при сдвиге заключаются в перекашивании прямых углов элемента (рис. 4.2, б).

В расчетах используются следующие характеристики деформаций стержня:

- абсолютная продольная деформация, где и -длина стержня до и после деформации соответственно;

- относительная линейная деформация;

- абсолютная поперечная деформация, где и - поперечный размер стержня до и после деформации соответственно;

- относительная поперечная деформация;

- абсолютный сдвиг,

- относительный сдвиг, или угол сдвига;

, здесь - длина сдвигаемого участка элемента.

Между продольной и поперечной существует экспериментальная зависимость:

где - коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона), который зависит от физических свойств материала. Значения коэффициента для некоторых материалов приведены в приложении 1. На основе многочисленных опытов установлено, что в поперечных сечениях стержня (с площадью F) при растяжении (или сжатии) действуют только нормальные напряжения (рис. 4.3, а), а при сдвиге (или срезе) - только касательные (рис. 4.3, б). Элементарная продольная сила, действующая на площадку в первом случае равна:

(4.1)

Элементарная поперечная сила, действующая на площадку во втором случае будет:

(4.2)

Результирующие силы в каждом случае определяются путем интегрирования обеих частей равенств (4.1) и (4.2):

(4.3)

(4.4)

Рис 4.3 В большинстве расчетов с учетом опытных данных распределение напряжений и по сечению при растяжении (сжатии) и сдвиге (срезе) считается равномерным. При и из равенств (4.3) и (4.4) нормальная (продольная) сила N и поперечная (перерезывающая) сила соответственно определяются по формулам: а нормальные и касательные напряжения - по формулам:

(4.5)

(4.6)

Закон Гука

Исследуя сопротивление различных материалов деформациям, Р. Гук (в 1660 г.) установил, что в области упругого нагружения напряжения и деформации находятся в линейной зависимости.

Нормальные напряжения прямо пропорциональны относительным линейным деформациям:

(4.7)

Касательные напряжения прямо пропорциональны угловым деформациям:

(4.8)

Коэффициент Е, характеризующий способность материала оказывать сопротивление упругим деформациям растяжения или сжатия, называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

Коэффициент G, характеризующий способность материала оказывать сопротивление упругим сдвигающим силам, называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода. Модули упругости Е и G определяются опытным путем. Между этими коэффициентами существует зависимость:

(4.9)

Абсолютную линейную деформацию и абсолютный сдвиг с помощью формул 4.5 - 4.8 можно представить в виде:

(4.10)

Значения коэффициента Е для некоторых материалов приведены в приложении 1.

При изменении температуры геометрические размеры стержня изменяются. Так, стержень, жестко защемленный одним концом, при изменении температуры на изменяет свою длину на , где - первоначальная длина стержня, - коэффициент линейного расширения материала, равный изменению длины стержня при изменении температуры на 1°С. Значения для некоторых материалов приведены в приложении 1. Если оба конца стержня жестко закреплены, то при изменении его температуры в сечениях стержня возникнут температурные напряжения.

Диаграммы растяжения и сжатия материалов

Наибольшую информацию о механических свойствах материалов можно получить из испытаний их на растяжение или сжатие. Для испытания на растяжение используются, в основном, цилиндрические образцы с отношением расчетной длины к диаметру, равным 10 (иногда равным 5). На сжатие применяются цилиндрические образцы с отношением высоты к диаметру равным 3 (иногда равным 1,5).

Диаграмма растяжения или сжатия материала в координатах (сила - абсолютная линейная деформация) записывается с помощью специального устройства на испытательной машине. Поделив силу на площадь поперечного сечения образца F, а - на расчетную длину образца получают диаграмму в координатах - (напряжение - относительная линейная деформация). На рис. 4.4, а приведена диаграмма растяжения малоуглеродистой стали, на рис. 4.4 б - диаграмма сжатия чугуна, а на рис. 4.4, в - диаграммы сжатия древесины вдоль и поперек волокон. Указанные диаграммы позволяют определить:

- предел пропорциональности - максимальное напряжение, при котором сохраняется пропорциональная зависимость между напряжениями и деформациями;

- предел текучести - напряжение, при котором увеличение деформации образца происходит без увеличения нагрузки;

предел прочности материала, или временное сопротивление -наибольшее напряжение, при котором начинается разрушение образца.

Полученные экспериментально значения пределов текучести и пределов прочности материалов при растяжении, сжатии, сдвиге, срезе, или кручении используются для назначения допускаемых напряжений, которые используются в расчетах. При этом для назначения допускаемых напряжений применяются формулы:

(4.11)

где для хрупких материалов;

для пластичных материалов;

и - пределы прочности материала по нормальным и касательным напряжениям, и пределы текучести материала по нормальным и касательным напряжениям;

- коэффициент запаса прочности.

Рис. 4.4

Кручение

Кручение возникает в том случае, когда в плоскости поперечного сечения стержня действуют пары сил или силы, образующие момент относительно продольной оси стержня. Под действием скручивающего момента (рис. 4.1) круглый стержень, жестко защемленный одним концом, испытывает кручение. Рассечем стержень плоскостью, перпендикулярной продольной оси стержня, на две части (рис. 4.5, а, 6). В поперечном сечении каждой части стержня будет действовать крутящий момент который представляет собой результирующий момент внутренних касательных сил , действующих на бесконечно малых площадках этого сечения, удаленных на расстоянии от продольной оси стержня.

(4.12)

Произвольная образующая стержня ОВ после деформации занимает новое положение Угол между положениями образующей до (ОВ) и после деформации называется углом сдвига при кручении - , который вдоль радиуса сечения изменяется от нуля (на оси стержня) до его максимального значения на внешней поверхности. Угол поворота поперечного сечения стержня относительно защемленного конца называется углом закручивания - , который по длине вала изменяется от нуля (в заделке) до его максимального значения на его свободном конце . Зависимость между углом сдвига и углом закручивания определяется при вычислении длины дуги окружности:

на внешней поверхности стержня длиной концов радиус

, (4.13)

На произвольном расстоянии от продольной оси стержня длиной :

(4.14)

Поделив левые и правые части равенства (4.13) на соответствующие части равенства (4.14), получим:

(4.15)

Отношение угла закручивания к длине участка, подверженного кручению, называется относительным углом закручивания.

(4.16)

Рис. 4.5

В поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения, вызывающие чистый сдвиг.

С учетом того, что угол сдвига согласно закону Гука (4.8) равен

, равенство (4.15) можно представить в виде

(4.17)

То есть касательные напряжения в сечении стержня изменяются по высоте сечения по линейному закону (рис. 4.6)

Рис. 4.6

Равенство (4.12) с учетом (4.17) можно представить в виде

(4.18)

С учетом равенства (3.3):

(4.19)

где - полярный момент инерции площади поперечного сечения.

Отношение полярного момента инерции круглого сечения к радиусу представляет полярный момент сопротивления этого сечения (глава 3). С учетом равенств (4.17) и (4.19) касательные напряжения в произвольной точке круглого поперечного сечения стержня, определяемой радиусом равны:

(4.20)

Максимальные касательные напряжения при кручении стержней круглого сечения при определяются по формуле:

(4.21)

Угол закручивания свободного сечения стержня относительно защемленного конца определяется из выражения (4.14):

(4.22)

Используя (4.8), (4.20) и (4.22), равенство (4.23) представим в виде:

(4.23)

Последнее равенство справедливо, если по длине вала являются постоянными крутящий момент и момент инерции , в противном случае угол закручивания определяется по формуле:

(4.24)

Прямой поперечный изгиб

Если в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент, то изгиб называется чистым (рис. 4.1, г), если, кроме изгибающего момента, в сечениях возникает поперечная сила (рис. 4.1, б), изгиб называется поперечным. Когда плоскость действия сил (силовая плоскость) совпадает с одной из главных осей поперечного сечения стержня, изгиб называется прямым, если не совпадает - косым. Согласно принятым допущениям при изгибе каждое поперечное сечение стержня поворачивается на некоторый угол, при этом одни волокна растягиваются, а другие сжимаются. Между областями растяжения и сжатия находится нейтральный слой, волокна которого, искривляясь, не деформируются. Определим формулу для вычисления нормальных напряжений при чистом изгибе (рис. 4.1, г, з).

Рис. 4.7

Двумя бесконечно близкими сечениями выделим на балке элемент длиной dz (рис. 4.7, а) и изобразим его в укрупненном масштабе (рис. 4.7, б). Будучи параллельными друг другу до деформации, оба сечения взаимно повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол после приложения изгибающего момента (рис. 4.7, в). При этом длина волокон нейтрального слоя не изменится:

, (4.25)

где - радиус кривизны нейтрального слоя. Любое другое волокно, лежащее выше или ниже нейтрального слоя, изменит свою длину. Так, относительная линейная деформация волокна, отстоящего от нейтрального слоя на величину равна:

(4.26)

Учитывая (4.25), после сокращения в равенстве (4.26) на dz, определим, что при чистом изгибе деформации волокон пропорциональны их расстояниям от нейтрального слоя.

(4.27)

С учетом равенства (4.27) нормальные напряжения по закону Гука (4.7) определятся по формуле:

(4.28)

Отношение в сечении является постоянной величиной, следовательно, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются линейно. Для определения их величины составим уравнения равновесия сил, действующих на выделенный элемент dz (рис. 4.7 в).

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Первое, второе и шестое уравнения удовлетворяются тождественно.

Третье уравнение имеет вид:

или с учетом (4.28) .

так как , то статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной линии (3.1) , это значит, что нейтральные линии проходят через центры тяжести своих поперечных сечений, т. е. являются центральными осями.

Из пятого равенства с учетом (4.28) следует:

Так как центробежный момент инерции , то оси и

являются главными осями инерции сечения стержня. Из четвертого равенства с учетом (4.28) имеем:

(4.29)

Согласно (3.4) осевой момент инерции сечения стержня равен , тогда и радиус кривизны нейтрального слоя определяется формулой:

(4.30)

Подставляя это выражение в (4.29), получим формулу для нормальных напряжений при чистом изгибе призматических стержней:

(4.31)

Максимальные нормальные напряжения равны:

(4.32)

где: - осевой момент сопротивления сечения (3.15).

Из анализа формулы (4.31) следует, что внутренние слои материала при изгибе нагружаются меньше, чем наружные. Поэтому, проектируя профили балок, большую часть площади сечения размещают подальше от нейтральной линии, поэтому двутавровые, швеллерные и тавровые профили балок дают существенную экономию материала по массе. Если материал балки хуже сопротивляется растяжению, чем сжатию (чугун), то центр тяжести сечения должен располагаться ближе к растянутым волокнам, чтобы максимальные растягивающие напряжения были меньше максимальных сжимающих напряжений (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Для определения касательных напряжений рассмотрим балку прямоугольного сечения на двух опорах, нагруженную сосредоточенной силой Р (рис. 4.9, а). Выделим в балке двумя бесконечно близкими сечениями и элемент длиной dz и изобразим его в крупном масштабе (рис. 4.9, б), затем проведем продольное сечение СД, образовав в конечном итоге элемент АВСД.

По грани АС возникают нормальные напряжения, которые согласно (4.31) равны , где - изгибающий момент в сечении , на грани ВД нормальные напряжения будут . Равнодействующая внутренних продольных сил, распределенных по левой грани, равна:

(4.33)

где F - площадь отсеченной части поперечного сечения (на рис. 4.9, в) заштрихована,

- статический момент отсеченной площади относительно нейтральной линии.

Аналогично на правой грани:

(4.34)

Рис. 4.9

Предполагается, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения балки b, тогда равнодействующая касательных сил равна

. (4.35)

Уравнения равновесия сил, действующих на элемент АВСД, имеет вид:

После подстановки в последнее уравнение выражений (4.33-4.35) , приведения подобных членов и с учетом зависимости (2.5) получим:

(4.36)

Формула (4.36) впервые получена русским инженером Д.И. Журавским.

По высоте сечения касательные напряжения неравномерны. В крайних волокнах они равны нулю, так как , наибольшего значения касательные напряжения достигают в волокнах нейтрального слоя. Расчет на прочность по касательным напряжениям необходим в тех случаях, когда изгибающий момент невелик, а поперечная сила значительна. Примером могут служить подкрановые балки, нагруженные у опор сосредоточенными силами от давления колес мостового крана.

Для определения перемещений и углов поворотов поперечных сечений при изгибе воспользуемся равенством (4.30) и формулой математики для вычисления кривизны плоской кривой:

(4.37)

На рис. 4.10 показаны прогиб и угол поворота поперечного сечения балки, находящегося на расстоянии z от начала координат.

Рис. 4.10

Деформированная ось балки называется упругой линией. Угол наклона касательной к упругой линии равен углу поворота поперечного сечения (углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Согласно геометрическому смыслу производной При малых деформациях значения очень малы по сравнению с единицей и ими можно пренебречь, тогда формулу (4.37) с учетом равенства (4.30) можно представить в виде:

(4.38)

Выбор знака в уравнении (4.38) определяется направлением координатной оси Если ось направлена вверх, то в уравнении (4.38) ставится знак плюс, так как при изгибе балки выпуклостью книзу и (вектор кривизны, направленный всегда по нормали к центру кривизны, совпадает с положительным направлением оси ). Другие случаи приведены на рис. 4.11.

Равенство (4.38), называемое дифференциальным уравнением упругой линии балки, является справедливым в пределах закона Гука. С помощью этого равенства определяются прогибы балок и углы поворота их поперечных сечений.

Рис. 4.11

В качестве примера для консоли с сосредоточенной силой Р на конце найдем аналитическое выражения для прогибов и углов поворотов сечений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Длина балки изгибная жесткость балки (рис. 4.12).

Рис. 4.12

В произвольном сечении на расстоянии z от начала координат изгибающий момент равен тогда равенство (4.38) принимает вид:

Интегрируя первый раз это дифференциальное уравнение, получим:

Интегрируя второй раз, найдем:

Произвольные постоянные и определяются из граничных условий. При z = 0 прогиб и угол поворота в заделке равны нулю, следовательно = 0 и = 0. Максимальный прогиб и угол поворота будут на правом свободном конце балки при

Прогибы и углы поворотов определяются и другими методами, изучаемыми в курсе сопротивления материалов (например, метод начальных параметров, метод сил).

Условия прочности и жесткости стержней при простых видах их деформации

При расчетах по допускаемым напряжениям прочность объекта считается нарушенной, если хотя бы в одной точке этого объекта возникают напряжения, величина которых превосходит их допустимые значения, определяемые по формуле (4.11).

Максимальные напряжения в сечениях стержней при растяжении, сжатии, срезе, кручении или изгибе определяются по формулам (4.5), (4.6), (4.21) и (4.32). Схематично максимальные напряжения можно выразить как отношение внутреннего силового фактора (ВСФ) к геометрическому фактору прочности (ГФП):

Внутренними силовыми факторами (ВСФ) являются нормальная (продольная) сила N, поперечная (перерезывающая) сила крутящий момент и изгибающий момент

Геометрическими факторами прочности (ГФП) являются площадь поперечного сечения стержня F, полярный момент сопротивления и осевой момент сопротивления или

Максимальные деформации стержня при его растяжении, сжатии, срезе, кручении или изгибе определяются с помощью формул (4.10), (4.24) и (4.38). Схематично максимальные деформации при растяжении, сжатии, срезе и кручении можно выразить как отношение внутреннего силового фактора к жесткости стержня.

При растяжении (сжатии) стержня продольная жесткость равна произведению модуля упругости первого рода на площадь поперечного сечения стержня EF.

При срезе поперечная жесткость равна произведению модуля упругости второго рода на площадь поперечного сечения стержня GF.

При кручении стержня крутильная жесткость определяется произведением модуля упругости второго рода на полярный момент инерции поперечного сечения стержня

При изгибе стержня его изгибная жесткость выражается произведением модуля упругости первого рода на осевой момент инерции поперечного сечения стержня

В таблице 4.1 приведены условия прочности стержней при расчете по допускаемым напряжениям (максимальные напряжения в сечениях стержней не должны быть больше допускаемых напряжений), и условия жесткости (максимальные деформации стержней не должны быть больше допускаемых деформаций).

Таблица 4.1

Сложное сопротивление

К сложному сопротивлению относятся такие виды нагружения стержня, при которых в его поперечных сечениях одновременно возникают не менее двух внутренних силовых факторов. Прямой поперечный изгиб относится к простому сопротивлению, несмотря на то, что в сечениях стержня возникают два силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент, но расчеты в большинстве случаев проводятся без учета влияния поперечной силы. Сложное сопротивление создается при сочетании нескольких простых видов деформаций: растяжения или сжатия, сдвига, кручения, изгиба. Могут быть различные комбинации простых деформаций стержня: изгиб с растяжением, изгиб с кручением, двойной изгиб и т. д. Задачи сложного сопротивления решаются в соответствии с принципом независимости действия сил. Сначала, пользуясь методом сечений, определяют внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержня и устанавливают положение наиболее напряженного (опасного) сечения. Определяют нормальное и касательное напряжения в этом сечении от каждого усилия отдельно. Исследуя распределение напряжений в сечении, находят опасную точку, в которой суммарные напряжения достигают наибольшей величины. В зависимости от вида напряженного состояния в опасной точке составляется условие прочности. Рассмотрим два вида сложного сопротивления: косой (двойной) изгиб и внецентренное растяжение (сжатие).

Косой изгиб

При косом изгибе плоскость действия результирующего изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения балки. Для примера рассмотрим консоль прямоугольного сечения, нагруженную на свободном конце сосредоточенной силой Р (рис. 5.1, а). Определим напряжения в точках произвольного сечения бруса, находящегося на расстоянии - z от его свободного конца, где помещено начало координат.

Рис. 5.1

Величина представляет собой результирующий изгибающий момент в рассматриваемом сечении. Плоскость действия этого момента называется силовой плоскостью.

Разложим силу Р на составляющие вдоль главных осей поперечного сечения.

.

Составляющая изгибает консоль в вертикальной плоскости относительно оси вызывая изгибающий момент в рассматриваемом сечении, составляющая изгибает консоль в горизонтальной плоскости относительно оси вызывая изгибающий момент следовательно . Таким образом, косой изгиб эквивалентен двум прямым изгибам во взаимно перпендикулярных плоскостях.

В расчетах на прочность и жесткость при изгибе стержней в большинстве случаев влиянием поперечных сил пренебрегают. Результирующие нормальные напряжения, согласно принципу независимости действия сил и с учетом равенства (4.29), определяются по формуле:

(5.1)

При использовании формулы (5.1) изгибающие моменты и координаты исследуемого волокна и принимаются по абсолютному значению, а знак слагаемых напряжений устанавливается, исходя из картины деформации бруса. Так, точка В (рис. 5.1, б) при изгибе от и попадает в растянутую зону, поэтому оба слагаемых в формуле (5.1) положительны, точка А будет находиться в сжатой зоне, поэтому оба слагаемых в (5.1) будут отрицательны. Положение нейтральной линии (в точках которой нормальные напряжения равны нулю) определяется угловым коэффициентом из равенства (5.1), если учесть, что , то:

(5.2)

где и - текущие координаты точек нейтральной линии.

Равенство (5.2) является уравнением прямой, проходящей через начало координат, которое совпадает с центром тяжести поперечного сечения стержня. Из этого уравнения следует:

(5.3)

Так как равенство (5.2) при удовлетворяется, когда и имеют разные знаки, то из (5.3) следует:

(5.4)

Из этой зависимости можно сделать выводы:

1. При косом изгибе, когда угол не равен углу поэтому нейтральная линия не перпендикулярна силовой, как при прямом изгибе (рис. 5.1, в). Перпендикулярность сохраняется только при , то есть когда все центральные оси сечения являются главными (круг, квадрат и кольцо).

2. Положение нейтральной оси не зависит от величины прикладываемой нагрузки.

3. Углы и отсчитываются в одном направлении от оси и т. е. для совмещения с нейтральной линией оси следует повернуть на угол в том же направлении, в каком необходимо повернуть ось для совмещения с силовой линией.

Прогибы при косом изгибе равны геометрической сумме прогибов при прямых изгибах от составляющих сил и Направление полного прогиба при плоском косом изгибе перпендикулярно нейтральной линии

Внецентренное растяжение (сжатие)

Внецентренное растяжение (сжатие) возникает в том случае, если продольная сила, действующая на стержень, параллельна оси стержня, но не совпадает с ней (рис. 5.2, а).

Рис. 5.2

В этом случае на основе метода Пуансо силу можно перенести параллельно самой себе и приложить в центре тяжести сечения, добавив при этом пару сил, эквивалентной двум парам сил, моменты которых равны , тогда в любом поперечном сечении стержня возникают три силовых фактора (рис. 5.2, 6)

(5.5)

где и - координаты точки приложения внешней силы (эксцентриситеты внешней силы);

- нормальная сила;

- изгибающие моменты в выделенном сечении стержня.

Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) эквивалентно центральному растяжению (сжатию) и двум прямым изгибам.

Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня, согласно принципу независимости действия сил, равны алгебраической сумме напряжений от каждого внутреннего силового фактора. При внецентренном растяжении, когда

или

(5.6)

где

При внецентренном сжатии, когда

(5.7)

Уравнение нейтральной линии (в точках которой нормальные напряжения равны нулю) определяется выражением:

(5.8)

Определим отрезки, которые нейтральная линия отсекает на координатных осях. При и равенство (5.8) примет вид:

откуда величина отрезка, отсекаемого нейтральной линией на оси (рис. 5.2, в), будет определяться по формуле:

(5.9)

а при и равенство (5.8) будет:

и величина отрезка, отсекаемого нейтральной линией на оси (рис. 5.2, в), равна:

(5.10)

Из зависимостей (5.9) и (5.10) можно сделать следующие выводы:

- положение нейтральной линии зависит от значения радиусов инерции, то есть от формы и размеров поперечного сечения бруса, а также от эксцентриситета нагрузки, но не зависит от величины нагрузки;

- значения и а также и имеют противоположные знаки, так как радиусы инерции всегда положительны, следовательно, точка приложения нагрузки и нейтральная линия находятся по разным сторонам от центра тяжести сечения (рис. 5.2, в).

Знак напряжений в поперечном сечении стержня при внецентренном приложении нагрузки зависит от эксцентриситета нагрузки. Это обстоятельство необходимо учитывать при проектировании конструкций из хрупких материалов, которые на сжатие работают лучше, чем на растяжение. Для того чтобы напряжения в сечении при внецентренном приложении нагрузки были одного знака, необходимо, чтобы нейтральная линия проходила вне сечения или касалась его.

Область вокруг центра тяжести поперечного сечения стержня, внутри которой необходимо приложить продольную нагрузку, чтобы вызвать по всему сечению напряжения одного знака, называется ядром сечения. На рис. 5.3, а показано ядро прямоугольного сечения в виде ромба (заштрихованная область). Значения диагоналей ромба и получаются с помощью зависимостей (5.9) и (5.10). Для определения ядра сечения круга, диаметр которого равен (рис. 5.3, б) проведем нейтральную ось 1-1, совпадающую с касательной круга в точке «А». Тогда абсцисса приложения силы определяется из уравнения (5.9)

, а так как радиус инерции для круга , то . Благодаря симметрии круга ядро сечения также будет круглым с радиусом равным (рис. 5.3, б).

Рис. 5.3

Критерии прочности

Напряженное состояние в точке

Напряжение в любой точке нагруженного объекта зависит от ориентации сечений (площадок), проходящих через эту точку. Совокупность напряжений по всевозможным площадкам, проходящих через рассматриваемую точку, характеризует напряженное состояние в этой точке. Для его исследования в окрестности точки выделяется бесконечно малый параллелепипед, к граням которого приложены внутренние силы, заменяющие действие отброшенных частей тела. Полные напряжения на гранях выделенного параллелепипеда представляются нормальными и касательными составляющими (рис. 6.1) (на противоположных гранях они одинаковы по величине и обратные по направлению). Нормальному напряжению присваивается индекс, указывающий, какой координатной оси параллельно направление этого напряжения. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее - отрицательным. В обозначении касательных напряжений используется двойной индекс. Первый индекс указывает, какой оси координат параллельна нормаль к площадке действия касательного напряжения, второй - какой оси параллельно данное напряжение.

Составив уравнение равновесия сил, действующих на выделенный элемент , получим закон парности касательных напряжений: составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру, равны по величине и противоположны по направлению (либо сходятся к этому ребру, либо расходятся от него).

.

При изменении ориентации граней параллелепипеда напряжения также меняются, и может оказаться, что касательные напряжения на этих площадках равны нулю. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. В теории упругости доказывается, что через любую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные площадки. Напряжения на этих площадках обозначаются причем индексы главных напряжений расставляются в соответствии с неравенством , т.е. - наибольшее в алгебраическом смысле главное напряжение, - наименьшее, а - промежуточное. Если все три главные напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние называется объемным, пространственным или трехосным (рис. 6.2, а). Если отличны от нуля два главных напряжения, то напряженное состояние называется плоским или двухосным (рис. 6.2, б). В случае, когда одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние называется линейным или одноосным (рис. 6.2, в).

Рис. 6.2

При осевом растяжении (сжатии) бруса силами Р (рис. 6.3, а) напряжения в сечениях бруса можно считать распределенными равномерно (рис. 6.3, б, в). Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса (рис. 6.3, б) равны:

где F - площадь поперечного сечения бруса.

По наклонному сечению, площадь которого , напряжения, параллельные силе Р, определяются из уравнения равновесия :. При разложении напряжения на нормальное и касательное (рис. 6.3, г) получаются формулы для определения напряжений на наклонных площадках

Рис. 6.3

(6.1)

(6.2)

Нормальные напряжения препятствуют отрыву одной части бруса от другой или их прижатию, касательные напряжения препятствуют взаимному сдвигу. За положительные принимаются растягивающие нормальные напряжения. Касательные напряжения считаются положительными, если нормаль к площадке, поворачиваясь на 90° по ходу часовой стрелки, совпадает с направлением этих напряжений. Угол считается положительным, когда он отсчитывается против хода часовой стрелки от оси бруса до направления внешней нормали к наклонному сечению. Из формул 6.1 и 6.2 следует, что

- в поперечных сечениях растянутого бруса нормальные напряжения максимальны, а касательные отсутствуют (при );

- в продольных сечениях отсутствуют любые напряжения (при = 90° );

- касательные напряжения максимальны при , т.е. в сечениях, наклоненных под углом = 45° к поперечному сечению, и равны половине наибольших нормальных напряжений

- нормальные напряжения в двух взаимно перпендикулярных сечениях бруса различны, но их сумма постоянна и равна нормальному напряжению в поперечном сечении.

В строительных конструкциях часто встречаются элементы в виде пластин и оболочек, которые работают в условиях плоского напряженного состояния. Сюда относятся стеновые панели, стенки и днища сосудов, трубопроводы большого диаметра и др. В этом случае зависимости между напряжениями на двух взаимно перпендикулярных площадках и напряжениями на наклонной площадке (рис. 6.4) устанавливаются по аналогии с линейным напряженным состоянием и имеют вид:

Рис. 6.4

(6.3)

(6.4)

Если известны главные напряжения и , то такие зависимости имеют вид: .

Если известны напряжения и , то для вычисления главных напряжений используются формулы:

(6.5)

Формула для определения положения главных площадок имеет вид:

(6.6)

В эти формулы напряжения подставляются со своими знаками. Если оказывается положительным, то угол отсчитывается от направления против хода часовой стрелки, если то этот угол отсчитывается по ходу часовой стрелки. Выражение (6.6) дает два взаимно перпендикулярных направления с углами и , по которым действуют главные напряжения и (рис. 6.5). Направление всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки касательных напряжениий (рис. 6.5). Экстремальные касательные напряжения возникают по площадкам, наклоненным под углом 45° (или 135°) к главным и равны полуразности главных нормальных напряжений (6.7).

(6.7)

Рис. 6.5

Обобщенный закон Гука

Согласно выражению закона Гука при осевом растяжении - сжатии продольная деформация равна , а поперечная деформация .

В случае объемного напряженного состояния, когда по граням элементарного параллелепипеда действуют главные напряжения и на основании принципа суперпозиции можно записать , аналогично определяются и два других удлинения и Таким образом:

(6.8)

Коэффициент запаса прочности и допускаемые напряжения

Для безопасной работы конструкции при заданных нагрузках необходимо, чтобы наибольшее напряжение в поперечном сечении элемента конструкции было меньше некоторого предельного значения . Под предельным понимают напряжение, предшествующие началу разрушения (для хрупких материалов), или появлению остаточных деформаций (для пластичных материалов).

Отношение предельного напряжения к расчетному напряжению называется коэффициентом запаса прочности

При расчете элементов конструкций коэффициент запаса прочности задается заранее и называется нормативным (или допускаемым) .

Отношение предельного напряжения к нормативному коэффициенту запаса прочности называется допускаемым напряжением.

(6.9)

(6.10)

Прочность конструкции обеспечивается, если наибольшее расчетное напряжение не превосходит допускаемого напряжения [].

(6.11)

(6.12)

Для пластичных материалов предельным напряжением является предел текучести , для хрупких - предел прочности .

Зависимости (6.11) и (6.12) называются условиями прочности.

Теории прочности

При оценке несущей способности конструкций и сооружений следует исходить из того, что в одних случаях наступление предельного состояния отождествляется с появлением пластических деформаций, а в других - с разрушением конструкций. Если напряженное состояние одноосное, то определение момента появления пластических деформаций или разрушения осуществляется просто путем сопоставления напряжений с пределом текучести или пределом прочности материала, определяемых из опыта по результатам диаграмм растяжения или сжатия.

Значительно сложнее оценить прочность при сложном напряженном состоянии, когда предельное состояние зависит от величины не одного, а нескольких имеющихся в опасных точках напряжений.

При сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении, а о предельном состоянии. Предельным состоянием в опасной точке считается переход материала из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающиеся в образовании трещин.

Для оценки прочности материала, находящегося в сложном напряженном состоянии, вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность определенного критерия - эквивалентного напряжения.

Эквивалентным напряжением следует называть напряжение, которое необходимо создать в растянутом (или сжатом) образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию. Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением (или сжатием), получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении (или сжатии):

Независимо от теории прочности условие прочности имеет вид:

Любое сложное напряженное состояние будем характеризовать главными напряжениями , с использованием соответствующего критерия можно получить выражение:

.

Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности).

В соответствии с этим критерием причиной наступления предельного состояния являются наибольшие нормальные напряжения, то есть:

Удовлетворительное совпадение с опытными данными по первой теории прочности получается для хрупких материалов (бетон, камень) в том случае, когда одно из главных напряжений по абсолютной величине значительно больше других. Но эта теория непригодна для пластичных материалов, а также в тех случаях, когда три главных напряжения однозначны и близки по величине. Например, при всестороннем равномерном сжатии материалы не обнаруживают никаких признаков разрушения даже при напряжениях, превышающих предел прочности (разрушение должно произойти при ).

Критерий наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)

В соответствии с этим критерий наступления предельного состояния будет в случае, когда наибольшее удлинение достигает предельного значения, величина которого равна относительному удлинению при одноосном растяжении:

где - наибольшее относительное удлинение, соответствующее рассматриваемому напряженному состоянию, а эквивалентное напряжение

При плоском напряженном состоянии .

Удовлетворительные результаты по второй теории прочности получаются для хрупких материалов, когда все три главные напряжения отрицательны. Для пластичных материалов эта теория непригодна.

Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

В качестве критерия пластичности принимаются максимальные касательные напряжения, равные максимальным касательным напряжениям при одноосном напряженном состоянии:

Отсюда эквивалентное напряжение будет:

Эксперименты с различными материалами свидетельствуют о близости опытных данных с результатами теоретических расчетов. Эта теория применяется для оценки прочности пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. В качестве недостатка данного критерия является не учет главного напряжения .

Критерий удельной потенциальной энергии (четвертая теория прочности)

Энергетическая теория связывает состояние сопротивления пластическим деформациям с энергией изменения формы.

Удельная потенциальная энергия изменения формы равна:

.

Для одноосного растяжения появлению пластических деформаций будет соответствовать равенство:

Тогда

Для плоского напряженного состояния:

Для материалов, имеющих различные пределы прочности на растяжение и сжатие (чугун), применяется пятая теория прочности (теория Мора), согласно которой:

,

где , или для хрупких материалов для пластичных -

Устойчивость сжатых стержней

При некоторых условиях прямолинейные стержни, подвергающиеся сжатию силами, направленными вдоль продольной оси стержня, теряют прямолинейную форму и их несущая способность может оказаться исчерпанной в результате выпучивания раньше, чем стержни выйдут из строя непосредственно от сжатия. На рис 7.1, а изображен стержень, на который действует осевая сжимающая нагрузка Р.

Рис. 7.1

Если при некотором значении силы Р (рис. 7.1, а) стержень, получив малое отклонение от вертикали, возвращается в первоначальное положение под действием сил упругости, то такое его состояние называется устойчивым (прямолинейная форма устойчивости).

По мере увеличения силы Р стержень все медленнее возвращается в первоначальное положение после возмущения и при некотором значении силы Р, называемой критической силой( ), после малого отклонения от вертикали стержень теряет прямолинейную форму устойчивости. Изогнутый стержень (рис. 7.1, б, в) так же, как и прямолинейный, может иметь устойчивую форму равновесия (криволинейная форма устойчивости). Однако такое состояние чрезвычайно опасно, поскольку стержень работает уже не на сжатие, а на сжатие с изгибом, когда возникают недопустимо большие прогибы и напряжения. Изгиб, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня, называется продольным (вызван продольной нагрузкой).

Таким образом, для обеспечения устойчивости первоначальной формы сжатого стержня необходимо, чтобы сжимающая сила «Р» была меньше критической. Критическое напряжение в поперечном сечении стержня определяется по формуле:

(7.1)

где F - площадь поперечного сечения брутто.

В результате проведенных исследований установлено, что критическая сила зависит от способов закрепления концов стержня. Длина, при которой стержень с заданным закреплением концов соответствует по устойчивости стержню с шарнирно закрепленными концами, называется приведенной длиной.

(7.2)

На (рис. 7.2, а, б, в, г) показаны различные способы закрепления стержней и соответствующие им коэффициенты приведения

Рис. 7.2

Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции его поперечного сечения называется гибкостью стержня:

(7.3)

Минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня определяется по формуле:

(7.4)

Определим значение критической силы прямолинейного стержня с шарнирно закрепленными концами (рис. 7.2, а), используя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (4.38).

Абсолютное значение изгибающего момента в произвольном сечении искривленного стержня . Тогда:

(7.5)

Знак минус в правой части равенства (7.5) принят потому, что прогиб стержня у и кривизна его всегда имеют противоположные знаки (вектор кривизны всегда направлен к центру кривизны).

Равенство (7.5) представим в виде:

(7.6)

где обозначено (7.7)

Решение однородного дифференциального уравнения (7.6) имеет вид:

(7.8)

Произвольные постоянные и определяются из граничных условий:

- при = 0, = 0, следовательно , откуда = 0;

- при = = 0, . Для искривленного стержня должно быть То есть или , с учетом (7.7):

(7.9)

Принимая = 1 и имея в виду, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, из равенства (7.9) получим выражение критической силы (то есть наименьшее значение силы Р, при которой стержень теряет прямолинейную форму устойчивости равновесия).

(7.10)

Формула (7.10) впервые получена Л. Эйлером. С учетом различных закреплений концов стержня формулу (7.10) можно представить в виде:

(7.11)

Здесь - приведенная длина стержня.

Соответствующие критической силе критические напряжения можно выразить из формул (7.11), (7.3) и (7.4):

(7.12)

Формула Л. Эйлера справедлива при условии, что критические напряжения не превосходят предела пропорциональности (в этом случае модуль упругости материала «Е» является постоянной величиной). Предельная гибкость, отвечающая равенству , из уравнения (7.12) определяется по формуле:

(7.13)

Для стали марки Ст.З предельная гибкость, вычисленная по формуле (7.13), ; для дюралюминия ( = 240 МПа, МПа), = 54, аналогично предельная гибкость определяется для дерева = 75.

Для стержней, имеющих величину гибкости меньше предельной (короткие стержни), результаты, полученные по формуле Л. Эйлера значительно отличаются от экспериментальных данных и применять ее нельзя. В этом случае для расчетов применяется формула Тетмайера - Ясинского:

(7.14)

Здесь коэффициенты и зависят от материала стержня и определяются экспериментально. Так, для стали марки Ст.З = 310 МПа, = 1,14 МПа; для дюралюминия = 406 МПа, = 2,83 МПа.

Соответствующая критическим напряжениям критическая сила равна:

Если напряжения в стержне достигают предела текучести то они принимаются за критические напряжения . Согласно зависимости (7.14) гибкость стержней при этом должна быть . Для стали марки Ст.З =61, для дюралиминия =30. Таким образом, формула (7.14) неприменима для стержней с гибкостью (короткие стержни). Область применения рассмотренных формул в зависимости от гибкостей стержней приведена на рис. 7.3. Рис. 7.3

Расчеты на устойчивость сжатых стержней, нагруженных силой Р (рис. 7.2), выполняются согласно условию устойчивости:

(7.15)

где - допускаемое напряжение стержней на сжатие,

F- площадь поперечного сечения бруса ,

- коэффициент уменьшения напряжений для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба) определяется в зависимости от материала и гибкости стержня по таблицам СНиП. В таблице 7.1 приведены значения коэффициентов продольного изгиба для стали марки Ст.З и для древесины.

Таблица 7.1

Формулу (7.15) для расчета стержней на устойчивость можно представить в виде:

(7.16)

Условие (7.16) позволяет производить три вида расчетов:

1. Проверка устойчивости. В этом случае известны параметры сжатого стержня: нагрузка Р, допускаемое напряжение , площадь поперечного сечения F, коэффициент продольного изгиба определяемый по таблицам СНиП в зависимости от гибкости стержня (вычисляется по формуле 7.3), и если условие (7.16) выполняется, то устойчивость стержня обеспечена.

2. Определение эксплуатационной способности. При известных параметрах эксплуатационная нагрузка с учетом условия (7.16) определяется по формуле:

(7.17)

3. Подбор сечения. Когда известна нагрузка Р и допускаемое напряжение , то для подбора поперечного сечения F с помощью условия (7.16) необходимо знать коэффициент продольного изгиба Так как в условии (7.16) в этом случае неизвестными являются две величины , которые нельзя выразить одну через другую, то расчет производится способом последовательных приближений. Задаются некоторым значением и по заданной нагрузке и допускаемому напряжению определяют площадь поперечного сечения F, далее вычисляют наименьший радиус инерции сечения (7.4) и гибкость (7.3). В зависимости от гибкости по таблицам СНиП определяется соответствующее этой гибкости значение коэффициента Если условие устойчивости (7.16) не выполняется, или выполняется с большим запасом, то значение изменяется, и расчеты повторяются до допустимой погрешности.

Пример задачи 11

Проверить устойчивость деревянной стойки прямоугольного сечения размером см (рис. 7.4 а,б), если сила Р=100 кН, допускаемое напряжение древесины на сжатие = 1,55 кН/см², = 5,2 м.

Рис. 7.4

Решение:

Выпучивание стойки произойдет относительно оси с минимальным моментом инерции, то есть относительно оси

Площадь поперечного сечения стойки см².

Минимальный радиус инерции сечения по (7.4):

= 4,33 см.

Гибкость стойки (7.3):

= 120.

Коэффициент продольного изгиба по табл.7.1 равен = 0,22.

Условие (7.16) = 1,55 выполняется, следовательно устойчивость стойки обеспечена.

Пример задачи 12

Определить значения критических сил для стержней с разными формами поперечного сечения (двутавр, швеллер, круг, квадрат). Концы стержней закреплены шарнирно (рис. 7.4), то есть = 1, длина стержня = 10 м.

Решение:

Площадь поперечного сечения каждого стержня 72 см². Модуль упругости материала кН/см². Результаты вычислений представлены в таблице 7.2.

Анализ таблицы 7.2 показывает, что для наибольшей устойчивости необходимо концентрировать материал на периферии его поперечного сечения.

Таблица 7.2

Статически неопределимые задачи

Статически неопределимыми называются задачи, в которых усилия (внешние и внутренние) нельзя определить с помощью только уравнений статики, так как количество неизвестных в этих случаях превышает количество линейно независимых уравнений статики. Для различных систем сил количество линейно независимых уравнений статики приведено в разделе 1, табл. 1.3.

Чтобы определить неизвестные усилия в таких задачах необходимо составить уравнения равновесия сил, действующих на объекты, к которым приложены эти неизвестные усилия. Так как число неизвестных усилий в этих случаях оказывается больше числа линейно независимых уравнений статики (разность между ними называется степенью статической неопределимости), то следует рассмотреть систему в деформированном состоянии и установить связи между перемещениями точек объектов, к которым приложены неизвестные усилия. Полученные таким образом зависимости называются уравнениями совместности перемещений. В этих уравнениях перемещения на основании закона Гука выражаются через усилия. Эти дополнительные уравнения совместно с уравнениями статики образуют систему уравнений с неизвестными, для определения которых используются методы линейной алгебры.

Пример задачи 13

Ступенчатый стержень, жестко заделанный обоими концами, нагружен сосредоточенной силой Р = 20 кН, приложенной в месте изменения поперечного сечения стержня (рис. 8.1, а). Определить усилия в заделках А и В, если = 2 м, = 3 м, площади поперечных сечений ступеней = 10 см², - 5 см², модуль упругости материала стержня кН/см².

Решение:

На (рис. 8.1, в) показаны силы, действующие на освобожденный от связей стержень . Для системы сил, направленных вдоль одной прямой, можно составить только одно линейно независимое уравнение равновесия (табл. 1.3):

. (8.1)

Так как неизвестными являются две величины и то задача является один раз статически неопределимой. Для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение совместности перемещений, суть которого заключается в том, что общая длина стержня от воздействия всех сил остается постоянной то есть полная деформация стержня равна нулю.

. (8.2)

Деформации каждого участка стержня определяются по закону Гука (формула 4.10):

(8.3)

Используя основную схему (рис. 8.1, б) и применяя метод сечений, определим продольные силы на первом и втором участках стержня:

. (8.4)

С учетом (8.3) и (8.4), дополнительное уравнение совместности перемещений (8.2) можно записать в виде:

,

откуда кН.

Другая опорная реакция определяется из уравнения статики (8.1)

кН.

Пример задачи 14

Абсолютно жесткий брус одним концом шарнирно закреплен в точке А и подвешен на двух стальных стержнях одинакового поперечного сечения F = 4 см² (рис. 8.2, а). Определить расчетом по допускаемым напряжениям предельное и допустимое значение силы Р, приложенной к брусу, если напряжение текучести материала стержней = 30 кН/см², а коэффициент запаса = 1,5.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить внутренние усилия в стержнях 1 и 2 в зависимости от Р, затем из условия прочности наиболее нагруженного стержня вычислить допускаемую нагрузку [Р]. Уравнения равновесия сил, действующих на балку АД, имеют вид:

,

,

. (8.5)

Уравнений статики здесь недостаточно для вычисления и (задача один раз статически неопределима). Уравнение совместности деформаций можно составить с учетом деформированного состояния балки (рис. 8.2, б). Под действием внешней нагрузки балка АД поворачивается на небольшой угол вокруг шарнира А. При этом все точки балки АД перемещаются перпендикулярно отрезкам, соединяющим эти точки с шарниром А, а деформации стержней будут . Зависимость между этими деформациями устанавливается из подобия треугольников и или . С учетом закона Гука , при получится

Подставляя последнее равенство в (8.5), получим: откуда a

Таким образом, наиболее нагруженным является стержень 1, и из условия прочности его на растяжение определяется допустимая сила .

Здесь допускаемое напряжение кН/см².

Тогда допустимая нагрузка

Предельная сила, при которой начинается текучесть материала, равна кН.

Пример задачи 16

Определить из условия прочности на кручение наименьший диаметр вала, концы которого жестко защемлены, если этот вал нагружен парой сил в плоскости, перпендикулярной его продольной оси (рис. 8.3, а). Допускаемое напряжение материала вала = 10 кН/см². Момент, приложенной к валу пары сил М = 30 кНм.

Решение:

Чтобы использовать условие прочности при кручении для определения диаметра вала, необходимо построить эпюру крутящих моментов. Такая эпюра может быть построена, если известны опорные моменты или Для их вычисления можно составить лишь одно уравнение равновесия статики:

.

Это уравнение содержит две неизвестные величины. Чтобы составить дополнительное уравнение совместности перемещений, заданную систему (рис. 8.3, а) заменим основной системой (рис. 8.3, б), где вместо правой заделки приложен неизвестный пока опорный момент Так как угол закручивания сечений вала в заделках равен нулю, то в крайнем правом сечении вала (рис. 8.3, б) алгебраическая сумма углов закручивания от момента и от заданного момента М относительно левой заделки должна равняться нулю.

Рис. 8.3

Применяя равенство (4.23), получим:

.

Крутильная жесткость вала по всей его длине постоянна, и из последнего равенства кНм. Из уравнения статики = 7,5 кНм. Полярный момент сопротивления круглого сечения по формуле 3.16 равен: .

Требуемый диаметр определяется из условия прочности вала на кручение (табл. 4.1):

Откуда минимальный диаметр вала = 10,5 см.

Расчет по несущей способности

(за пределами упругости)

При расчете по методу допускаемых напряжений прочность элемента конструкции считается нарушенной, если хотя бы в одной точке элемента напряжения достигают предельного значения (в общем случае это будет эквивалентное напряжение, вычисленное по принятым теориям прочности). Но несущая способность конструкции при достижении максимального напряжения в какой-либо точке не всегда будет исчерпана.

Конструкция не будет воспринимать нагрузку только тогда, когда она станет геометрически изменяемой, то есть превратится в механизм. Такое состояние конструкции называется предельным, а соответствующая нагрузка (сила, или момент) называется предельной. Расчет с целью определения предельных нагрузок, при которых несущая способность конструкции становится исчерпанной, называется расчетом по несущей способности либо расчетом по предельному состоянию (или по предельным нагрузкам).

Необходимость расчетов за пределами упругости возникает при изготовлении деталей пластическим деформированием (ковка, штамповка), при стремлении повысить несущую способность. С учетом пластических деформаций рассчитываются сильно напряженные элементы конструкций (оболочки ракетных двигателей, реакторы трубопровода для сверхвысокого давления, детали, длительно работающие в нагретом состоянии и т. д.).

При расчете по допускаемым напряжениям предельным (опасным) состоянием конструкции считается такое, при котором эквивалентное напряжение в опасной точке достигает предельного (опасного) значения ( или ).

В этом случае предельная (опасная) нагрузка , соответствующая появлению опасного напряжения, находится из условия

(9.1)

а допускаемая (опасная) нагрузка, определяется по формуле (9.2):

(9.2)

где - коэффициент запаса.

При расчете по методу предельных нагрузок за предельную принимается такая нагрузка, при которой конструкция перестаёт удовлетворять эксплуатационным требованиям и теряет способность сопротивляться возрастающей нагрузке. Допускаемая нагрузка в этом случае определяется по формуле (9.3)

(9.3)

В статически определимых системах, элементы которых работают на растяжение или сжатие, результаты расчетов по предельным нагрузкам и по допускаемым напряжениям будут одинаковыми , так как переход одного элемента конструкции в состояние текучести превращает систему в геометрически изменяемую. Но в статически неопределимых системах наступление текучести в некоторых элементах не превращает конструкцию в геометрически изменяемую и она еще способна воспринимать нагрузку. Предельная нагрузка в этом случае будет больше нагрузки , при которой наступает текучесть лишь в одном элементе. Поэтому в статически неопределимых системах допускаемая нагрузка , рассчитанная по предельным нагрузкам, будет всегда больше допустимой нагрузки , при расчете по допускаемым напряжениям.

При изгибе, или кручении стержней, даже если система статически определима, все равно больше , так как напряжения в поперечных сечениях стержня распределяются неравномерно (см. задачу 9.3).

Расчет по предельным нагрузкам, или по несущей способности, базируется на допущении того, что материал является идеальным упруго-пластическим, то есть при возникновении текучести в какой либо точке конструкции рост напряжений в этой точке прекращается независимо от возрастания нагрузки (диаграмма Прандтля на рис. 9.1).

Рис. 9.1

Методы расчета по предельным нагрузкам позволяют вскрыть резервы прочности, не использованные в расчетах по допускаемым напряжениям, и уменьшить вес конструкции.

Пример задачи 17

Используя данные примера 8.1, определить величину предельной нагрузки Р по способу допускаемых напряжений и по несущей способности (рис. 9.2), если предел текучести материала стержня на растяжение и сжатие одинаков =30 кН/см².

Решение:

В примере 8.1 определены опорные реакции заделок в зависимости от величины силы Продольная сила в верхней части стержня , в нижней , соответствующие нормальные напряжения в зависимости от величины силы Р будут:

.

Максимальные напряжения по модулю . Предельная сила в расчете по допускаемым напряжениям определяется из условия (9.1) , или

,

откуда предельная нагрузка по способу допускаемых напряжений = 400 кН.

В расчете по несущей способности предполагается, что стержень потеряет способность сопротивляться возрастающим нагрузкам, когда напряжения текучести возникнут во всех сечениях стержня. Уравнение равновесия сил в предельном состоянии стержня (рис. 9.2, 6) имеет вид:

=0, +-==0,

откуда предельная нагрузка по несущей способности = 450 кН, что в 1,125 раза больше, чем по способу допускаемых напряжений.

Пример задачи 18

В примере 8.2. требуется определить значения предельной и допустимой нагрузки по несущей способности.

Решение:

При возрастании силы Р наибольшие напряжения будут в более нагруженном стержне 1 и когда во всех его сечениях они достигнут предела текучести, значение продольной силы в этом стержне станет равным и будет оставаться постоянным, а напряжения во всех сечениях стержня 2 будут возрастать до тех пор, пока не достигнут предела текучести.

Значение нормальной силы в этот момент будет и система станет геометрически изменяемой (балка АД может вращаться вокруг шарнира А). Такое состояние конструкции называется предельным.

Рис. 9.3 Уравнение равновесия сил, действующих на балку АД в момент наступлении предельного состояния, имеет вид

,

откуда предельная сила = 156 кН.

Допустимая нагрузка по формуле (9.3) = 104 кН, что в 1.17 раз больше допустимой нагрузки при расчете по допускаемым напряжениям.

Пример задачи 19

Определить предельную и допустимую величину силы Р, приложенной к стальной балке круглого поперечного сечения (рис. 9.4, а, в), по методу допускаемых напряжений и по методу предельных состояний. Предел текучести материала балки =30 кН/см², коэффициент запаса = 2.

Решение:

При изгибе нормальные напряжения по высоте сечения балки распределены неравномерно, на нейтральной линии они равны нулю и достигают максимального значения на наружной поверхности балки. Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения приведена на рис. 9.4, г.

Из уравнения статики определяется реакция правой опоры, которая равна , а реакция левой опоры равна . Максимальный изгибающий момент будет в сечении балки под силой Р и равен Размерность силы Р здесь принята в кН. Допускаемое значение силы Р определяется из условия прочности по допускаемым напряжениям (табл. 4.1)

. (9.4)

Здесь допускаемые напряжения определяются по формуле (4.11) 15 кН/см². Осевой момент сопротивления определяется по формуле (3.17)

Рис. 9.4

Из условия прочности (9.4) определяется допустимая нагрузка:

, откуда = 11,3 кН.

Предельная (опасная) нагрузка по способу допускаемых напряжений:

= 22,6 кН.

По мере увеличения силы Р пластическое состояние материала распространяется в направлении нейтральной оси (в данном случае нейтральная ось совпадает с осью симметрии балки). Предельное состояние наступит тогда, когда текучесть распространится по всему поперечному сечению балки (рис. 9.4, д), образуется так называемый пластический шарнир, балка превращается в механизм, то есть система становится геометрически изменяемой (рис. 9.4, б).

При изгибе величина предельного изгибающего момента для сечения, симметричного относительно нейтральной оси, равна произведению предела текучести (такое напряжение действует по всей площади поперечного сечения рис. 9.4, е) на величину

где и - статические моменты соответственно верхней и нижней частей поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Сумма называется осевым пластическим моментом сопротивления и обозначается

Для полукруга ордината центра тяжести сечения:

тогда пластический момент сопротивления сечения:

В зависимости от силы Р предельный изгибающий момент:

кНсм.

В предельном состоянии:

откуда предельная нагрузка, определенная по несущей способности балки, равна = 38,43 кН, а допустимая = 19,215 кН, что в 1,7 раза больше допустимой нагрузки =11,3 кН, вычисленной по способу допускаемых напряжений. Анализ приведенных примеров позволяет утверждать, что при постоянных статических нагрузках расчет по способу допускаемых напряжений дает недооценку прочности конструкции, а расчет по предельному состоянию устраняет этот недостаток. Но при переменных нагрузках достижение предельного напряжения хотя бы в одной точке сечения детали может привести к ее разрушению и тяжелым последствиям.

Поэтому расчет по предельному состоянию применяется в том случае, когда на объекты действуют нагрузки, не зависящие от времени (строительство). При воздействии на элементы конструкций нагрузок, изменяющихся с течением времени, применяется расчет по допускаемым напряжениям (машиностроение).

Расчеты оболочек вращения по безмоментной теории

Оболочкой называется твердое тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина) мало по сравнению с другими размерами.

Осесимметричные оболочки (оболочки вращения) имеют срединную поверхность, полученную вращением плоской кривой вокруг заданной оси.

На рис. 10.1 а изображена срединная поверхность оболочки вращения. Выделим из нее бесконечно малый элемент двумя меридиональными плоскостями 1-2-4 и 1-3-4 (меридиональная плоскость образуется осью симметрии и меридианом 2-4, или 3-4) и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки, одна из которых пересекает срединную поверхность оболочки по линии АВ, а другая - по линии СД.

Рис.10.1

Радиус кривизны срединной поверхности выделенного элемента АВСД в меридиональной плоскости обозначим (рис. 10.1, б).

Радиус кривизны срединной поверхности выделенного элемента АВСД в плоскости, перпендикулярной к меридиану, обозначим (рис. 10.1,б).

Расчеты оболочек вращения выполняют при проектировании различных резервуаров, газгольдеров, цистерн, котлов и т.д. Нагрузки, действующие на оболочку со стороны заполняющей жидкости или газа, перпендикулярны ее поверхности.

Расчет оболочки вращения по безмоментной теории предусматривает распределение напряжений по толщине оболочки равномерно, то есть изгибом поверхности оболочки пренебрегают (изгибающие моменты равны нулю).

По боковым граням выделенного элемента АС и ВД, совпадающими с меридиональными плоскостями, в силу симметрии оболочки и нагрузки, касательные напряжения равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения , которые называются окружными напряжениями (рис. 10.1, а). Касательные напряжения на боковых гранях АВ и СД равны нулю по закону парности их; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения которые называются меридиональными напряжениями (рис. 10.1, а). Если составить уравнение равновесия сил, приложенных к бесконечно малому элементу оболочки АВСД в виде суммы проекций этих сил на ось, совпадающую с нормалью к поверхности АВСД, и произвести упрощения, то можно получить уравнение, используемое в расчетах тонкостенных оболочек вращения (сосудах) по безмоментной теории.

(10.1)

где - давление в сосуде,

- толщина стенки сосуда.

Формула (10.1) носит название уравнения Лапласа.

В общем случае при заданной нагрузке и известных геометрических размерах оболочки для вычисления напряжений и необходимо составить равенство (10.1) и уравнение равновесия сил, действующих на некоторую отсеченную часть оболочки.

В некоторых случаях для вычисления напряжений достаточно одного уравнения (10.1). Например, для сферической (шаровой ) оболочки с внутренним давлением и толщиной стенки имеем (здесь R - радиус сферы);

, так как оболочка и нагрузка на нее симметричны относительно центра. Тогда из равенства (10.1) получается:

. (10.2)

Для оболочки, имеющей форму цилиндра, или конуса, меридиан оболочки представляет прямую линию поэтому и из уравнения (10.1) можно определить окружное напряжение по формуле (10.3):

(10.3)

Для цилиндра , где R - радиус цилиндра.

Пример задачи 20

Определить, используя третью теорию прочности, толщину стенки резервуара, состоящего из цилиндрической и сферических частей (рис. 10.2). Внутреннее давление р = 2 МПа. Допускаемое напряжение = 150 МПа, R = 0,5 м. Собственным весом оболочки и находящейся в ней жидкости пренебречь.

Рис. 10.2

Решение:

Так как собственный вес не учитывается, то реакции опор равны нулю. Для сферической части оболочки, согласно равенству (10.2), меридиональные и окружные напряжения одинаковы:

Для цилиндрической части оболочки окружное напряжение определяется по формуле (10.3):

Тогда меридиональное напряжение для цилиндрической части можно определить из уравнения равновесия сил, действующих на отсеченную часть оболочки (рис. 10.2, б):

Откуда

Так как напряженное состояние оболочки двухосное, то

Согласно третьей теории прочности должно выполняться неравенство или

Откуда толщина стенки резервуара должна быть:

= 0,0066 м.

Принимаем = 7 мм.

Приложение 1

Ориентировочные значения физических величин некоторых материалов

Приложение 2

Характеристики прокатных профилей

Обозначения:

- площадь поперечного сечения,

- толщина полок уголков;

- толщина стенок двутавра или швеллера;

и - осевые моменты инерции;

- главные центральные моменты инерции;

- угол наклона главной центральной оси;

- центробежный момент инерции; - момент сопротивления,

- статический момент половины площади сечения;

- расстояния от центральной оси до наружных граней полок уголка (или стенки швеллера);

точка С - центр тяжести поперечного сечения.

Уголки стальные равнополочные по (ГОСТ 8509-86)

ГОСТ 8509-86 предусматривает указанные номера профилей с различной толщиной стенки, а также номера 20, 22 и 25.

Уголки стальные неравнополочные по (ГОСТ 8510-86)

ГОСТ 8510-86 предусматривает указанные номера профилей с различной толщиной стенки.

Двутавры стальные по ГОСТ (8239-89)

ГОСТ 8239-89 предусматривает также номера двутавров 45-60.

Швеллеры стальные горячекатаные по ГОСТ 8240-89

- высота двутавра;

в - ширина полки;

s - толщина стенки;

- средняя толщина полки;

R - радиус внутреннего закругления;

г - радиус закругления полки;

- расстояние от оси до наруженной грани стенки.

Приложение 3

Методические указания и домашнее задание

Двутавровая стальная балка АВ заданного профиля опирается на шарнирно неподвижную опору О и в горизонтальном положении может поддерживаться одним или двумя шарнирно прикрепленными к ней стержнями, поперечным сечением которых являются равнополочные стальные уголки. На балку действует сосредоточенная сила Р и пара сил с моментом М (рис. П1). Допускаемое напряжение материала балки и уголков на растяжение (сжатие) = 16 кН/см.², предел текучести = 32 кН/см.², модуль упругости кН/см. Длины стержней и заданы.

Требуется:

1. Определить из условия прочности на растяжение, или сжатие номер профиля равнополочных уголков в тех случаях, когда балка поддерживается в горизонтальном положении только одним стержнем. Рассмотреть два варианта: первый - когда прикреплен стержень № 1, а 2-го стержня № 2 нет; и второй - когда прикреплен стержень № 2, а стержня № 1 нет. Балку АВ при этом считать абсолютно жесткой.

2. Подобрать номер профиля равнополочных уголков в том случае, когда абсолютно жесткая балка АВ поддерживается в горизонтальном положении обоими стержнями, площади поперечного сечения которых принять одинаковыми. Расчет произвести двумя способами: по способу допускаемых напряжений и по способу предельных состояний.

3. Построить эпюры продольных и поперечных сил, а также эпюры изгибающих моментов, возникающих в сечениях упругой балки «АВ» (номер профиля поперечного сечения которой указан в таблице П1) от внешней нагрузки, взятой из пункта 2. Усилия в стержнях принять равными усилиям, определенным в пункте 2 по способу допускаемых напряжений. Вычислить при изгибе упругой балки АВ коэффициент запаса по текучести.

4. Для сжатого стержня из равнополочного уголка усилием, полученным в пункте 1, определить допускаемую нагрузку при расчете на устойчивость, критическую силу и запас устойчивости. Если допускаемая нагрузка для сжатого стержня окажется меньше, чем вычисленная в пункте то номер профиля следует увеличить до ближайшего большего так, чтобы допускаемая нагрузка оказалась больше вычисленной.

Данные к заданию выбираются по табл. П1 и рис. П1 согласно шифра студента, состоящего из двух цифр.

Таблица П1

Пример задачи 21

Решить поставленную задачу, если шифр студента будет 91.

Заданная схема выбирается по первой цифре шифра 9 из рис. П1. (рис. П2, а) Исходные данные для решения задачи определяются по второй цифре шифра 1 из первого столбца табл. П1 (№ варианта): Р = 60 кН, М =65 кНм, = 1,0 м, =3,7 м, =2,3 м.

Профиль двутавровой балки № 14.

Решение:

1. Определим усилие в стержне 1, когда балка поддерживается в горизонтальном положении только этим стержнем, когда второго стержня нет. Освободим балку от связей, заменив их действие реакциями связей (рис. П2, б). Реакция стержня 1 направлена вдоль этого стержня от балки АВ, то есть предполагается, что стержень 1 растянут. Реакция неподвижного шарнира О неизвестна по направлению и величине и определяется в дальнейшем в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих и Задача имеет три неизвестные величины . Для системы сил, произвольно расположенных на плоскости, можно составить три линейно независимые уравнения равновесия. Такая задача будет статически определимой.

Для вычисления усилия достаточно одного уравнения равновесия сил, действующих на свободную балку АВ (рис. П2, б), в виде суммы моментов сил относительно точки О:

(1)

Значение и определяются из прямоугольного треугольника, образованного балкой, стержнем «1» и вертикалью . = 0,585. Тогда равенство (1) примет вид

откуда =84.19 кН.

Требуемая площадь поперечного сечения равнополочного уголка из условия прочности на растяжение равна

= 5,26 см².

По ГОСТ 8509-86 выбираем уголок № 7, у которого = 6,2 см². Аналогично, когда балка поддерживается в горизонтальном положении только стержнем №2, из уравнения равновесия сил, действующих на балку АВ (рис. П2, г), определяется усилие во втором стержне

(2)

или

откуда =197 кН.

Требуемая площадь из условия прочности

= 12,31 см².

По ГОСТ 8509-86 выбираем уголок № 10, у которого = 12,82 см², а минимальный момент инерции равен = 50,73 .

2. Определим усилия в стержнях № 1 и № 2 в том случае, когда абсолютно жесткая балка АВ поддерживается в горизонтальном положении обоими стержнями, площади поперечного сечения которых одинаковы (рис. П2, а). Освободив балку АВ от связей и заменив их действие реакциями связей (направления реакций связей принимаются такими же, как и в первом пункте) (рис. П2, д), получим четыре неизвестные величины но линейно независимых уравнений равновесия (уравнений статики) можно составить только три. Поэтому задача будет статически неопределимой и для её решения, кроме уравнений статики, необходимо составить уравнение совместности деформаций.

Рис. П2

Уравнение статики в данном случае имеет вид:

используя заданные значения и получим

(3)

Уравнение совместности деформаций составляется на основе анализа деформационной схемы (рис. П2, в). Будем считать, что под действием приложенной нагрузки абсолютно жесткая балка АВ повернется на малый угол вокруг шарнира О. Все точки этой балки переместятся перпендикулярно отрезкам, соединяющим эти точки с центром вращения шарнира О. Точка А переместится в точку а точка - в . Абсолютная линейная деформация стержня 2 равна Абсолютную линейную деформацию стержня 1 можно определить, если опустить перпендикуляр из точки на первоначальное направление этого стержня (рис. П2, в). Так как угол равен углу (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), то , откуда

Зависимость между деформациями стержней (уравнение совместности деформаций) устанавливается из подобия треугольников и

или

Учитывая закон Р. Гука, установим зависимость между усилиями в стержнях и

или

Откуда:

(4)

Решая систему уравнений (3) и (4), найдем =65,1 кН и =44,7 кН.

По способу допускаемых напряжений требуемая площадь поперечного сечения каждого из уголков определяется по наибольшему усилию в них.

= 65,1 /16 = 4,07 см².

По сортаменту принимается равнополочный уголок № 6 с толщиной стенки 4 мм, у которого = 4,72 см2.

По способу предельных состояний требуемая площадь поперечного сечения каждого из уголков определится из условия, что напряжения в каждом из стержней должны достигнуть напряжений, равных пределу текучести материала = 32 кН/см.². Тогда усилия в стержнях будут При этом уравнение статики примет вид:

или

откуда F = 1,843 см². По сортаменту принимается уголок № 4 с толщиной стенки 3 мм, у которого F = 2,35 см².

3. Внешние силы, приложенные к балке АВ, показаны на рис. ПЗ а.

Рис. ПЗ

Опорные реакции шарнира «О» определяются из уравнений статики:

=

Проверка Проверочное уравнение обратилось в тождество, следовательно, опорные реакции определены верно. Отрицательный знак реакции свидетельствует о том, что её действительное направление противоположно принятому направлению на рис ПЗ, а.

Внутренние силовые факторы определяются на основе метода сечений. На рис. ПЗ, а нанесены характерные сечения (1-8), в которых определяются нормальные силы, продольные силы и изгибающие моменты.

Продольная сила в сечениях 1-4 равна -52,8 кН, в остальных сечениях продольная сила равна нулю. Поперечная сила в характерных сечениях будет:

Изгибающий момент в сечениях около внешних нагрузок:

Характер изменения поперечной силы и изгибающего момента между характерными сечениями устанавливается с помощью дифференциальных зависимостей, установленных в главе 2 (формулы 2.2 и 2.4)

Эпюры и приведены на рис. П3, б, в.

Максимальный момент в сечении балки равен

= 114,25 кНм= 1 1425 кНсм.

Осевой момент сопротивления сечения двутавровой балки №14 определяется по сортаменту = 572 см³. Максимальное напряжение при изгибе равно = 11 425/572 = 19,97 кН/см².

Коэффициент запаса по текучести при изгибе балки определяется по формуле:

=32/19,97 = 1,6.

4. В пункте 1 получено, что стержень 2, поперечным сечением которого является равнополочный уголок №10, сжат продольной силой = 197 кН. Определим допускаемую сжимающую силу, считая закрепление концов стержня шарнирным (рис. П4). Допускаемая нагрузка из условия устойчивости сжатого стержня определяется по формуле

Допускаемое напряжение по условию задачи = 16 кН/см², из сортамента площадь поперечного сечения для уголка № 10 = 12,82 см², минимальный момент инерции

Минимальный радиус инерции определяется по формуле 7.4:

Коэффициент продольного изгиба зависящий от гибкости стержня, определяется по табл. 7.1.

Гибкость стержня зависит от длины стержня, способов закрепления его концов, геометрии сечения и вычисляется по формуле (7.3)

где - коэффициент приведения длины, для стержня с шарнирно закрепленными концами = 1. По табл. 7.1 с помощью интерполяции находится коэффициент продольного изгиба соответствующий полученной гибкости:

.

Допускаемая сила = = 96,1 кН.

Рис. П4

Так как условие устойчивости не выполняется, допускаемая сила = 96,1 кН значительно меньше заданной = 197 кН, то номер профиля уголка следует увеличить. Примем равнополочный уголок № 12,5, для которого = 19,69 см2, = 122,0 . Тогда

Допускаемая сила в этом случае = 210,8 кН. Для уголков с номером профиля меньше 12,5 допускаемая нагрузка оказывается меньше вычисленной = 197 кН. Таким образом, принятое ранее поперечное сечение стержня из условия жесткости (равнополочный уголок № 10) не удовлетворяло условию устойчивости. Так как гибкость стального стержня = 92,37 меньше 100, то для вычисления критической силы применяется формула Тетмайера - Ясинского (7.14):

= 403 кН.

Запас устойчивости .

Возможно, вас также заинтересует:

• Заказать работу по сопромату помощь в учёбе
• Заказать решение задачи по сопромату
• Сопромат помощь в решении задач
• Контрольные по сопромату с решением онлайн
• Решение задач по сопромату с примерами онлайн
• Помощь по сопромату онлайн
• Курсовая работа по сопромату заказать готовую онлайн
• РГР по сопромату расчетно графическая работа
• Задачи по сопромату с решением
• Помощь онлайн в учёбе