Сопромат решение простых задач

Содержание:

  1. Задача:
  2. Пример расчета с решением простой задачи

Задача:

Стержень переменного сечения защемлен одним концом в сечении Сопромат решение простых задач и нагружен центрально продольными силами Сопромат решение простых задач

На рис. 1.2 схематично изображен заданный стержень.

Сопромат решение простых задач

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Форма всех поперечных сечений стержня - квадрат со стороной Сопромат решение простых задач

Длины участков по ступеням - Сопромат решение простых задач

Материал стержня - сталь Сопромат решение простых задач

Модуль нормальной упругости - Сопромат решение простых задач

Допускаемое напряжение - Сопромат решение простых задач

Исходные данные по номеру варианта из табл. 1.1: Сопромат решение простых задач

  • Решение:

1. Вычерчиваем расчетную схему с заданными внешними нагрузками (рис. 1.3).

Сопромат решение простых задач

Рис. 1.3. Схема действительных направлений реакции Сопромат решение простых задач и внутренних усилий. Эпюры усилий Сопромат решение простых задач и напряжений Сопромат решение простых задач по участкам стержня

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Сопромат готовые задачи с решением

Сопромат для чайников

Пособие по решению задач по сопромату

Расчётная схема: определение и пример с решением

В расчетной схеме в центре опорного закрепления стержня в точке Сопромат решение простых задач изображаем реакцию опоры Сопромат решение простых задач

Так как неизвестно направление реакции Сопромат решение простых задач произвольно указываем его предполагаемое направление.

2. Определяем опорную реакцию в защемлении.

Составляем уравнения статики - уравнения равновесия всех

внешних сил:

Сопромат решение простых задач

Для данного стержня достаточно составить лишь одно уравнение статики, из которого находим Сопромат решение простых задач

Сопромат решение простых задач

Результат вычислений получен со знаком «+», следовательно, принятое перед расчетом направление реакции Сопромат решение простых задач было выбрано правильно.

3. Определяем внутренние усилия Сопромат решение простых задач в зависимости от внешних сил.

Для определения в любом поперечном сечении стержня внутренних усилий разграничиваем его на характерные участки (I, II, III, IV).

Каждый участок имеет свою функцию нормального усилия, зависящего от координаты Сопромат решение простых задач сечения и внешних сил соседнего участка, т.е.

Сопромат решение простых задач

Границами участков являются точки приложения внешних сил Сопромат решение простых задач Нумеруем участки (см. рис. 1.3).

Определяем внутренние усилия Сопромат решение простых задач методом сечений. В пределах каждого участка проводим произвольное сечение, которое делит стержень на две части. В центре тяжести сечения изображаем внутреннее усилие Сопромат решение простых задач в произвольно предполагаемом направлении.

Полагаем направление положительным, совпадающим с положительным направлением оси Сопромат решение простых задач а усилие Сопромат решение простых задач - растягивающим, имеющим знак «+». Рассматриваем равновесие одной из них (в данном примере рассматриваем левые отсеченные части стержня). Записываем уравнения равновесия отсеченных частей стержня по каждому участку:

I участок Сопромат решение простых задач

II участок Сопромат решение простых задач

III участок Сопромат решение простых задач

IV участок Сопромат решение простых задач

По уравнениям равновесия составляем выражения внутреннего усилия Сопромат решение простых задач для каждого участка:

I участок Сопромат решение простых задач

II участок Сопромат решение простых задач

III участок Сопромат решение простых задач

IV участок Сопромат решение простых задач

4. Вычисляем нормальные усилия Сопромат решение простых задач и строим их эпюру по участкам.

Сопромат решение простых задач

5. Определяем нормальные напряжения Сопромат решение простых задач в сечениях стержня по участкам, учитывая, что площадь квадратного поперечного сечения Сопромат решение простых задач по условию Сопромат решение простых задач Напряжения вычисляем в МПа:

Сопромат решение простых задач Строим эпюру нормальных сил Сопромат решение простых задач и эпюру нормальных напряжений Сопромат решение простых задач по участкам (см. рис. 1.3).

По эпюре нормальных напряжений Сопромат решение простых задач видно, что наиболее напряженным является IV участок стержня.

6. Проверяем прочность стержня по допускаемому напряжению: Сопромат решение простых задач

Так как Сопромат решение простых задач условие прочности выполняется.

7. Определяем абсолютные деформации участков стержня.

По закону Гука Сопромат решение простых задач или Сопромат решение простых задач

тогда

Сопромат решение простых задач

8. Вычисляем величину полного удлинения стержня.

Из условий закрепления стержня увеличение его общей длины на величину Сопромат решение простых задач возможно (см. рис. 1.2), так как нет ограничений на перемещение вдоль оси Сопромат решение простых задач какой-либо точки, в том числе возможно перемещение и конца стержня в точке Сопромат решение простых задач

Полное удлинение стержня выражается алгебраической суммой абсолютных деформаций его участков и равно

Сопромат решение простых задач

или

Сопромат решение простых задач

Результаты.

Определены внутренние продольные нормальные усилия Сопромат решение простых задач и соответствующие им нормальные напряжения Сопромат решение простых задач в характерных поперечных сечениях стержня.

Построены эпюры нормальных усилий Сопромат решение простых задач и напряжений Сопромат решение простых задач

Определено полное удлинение стержня Сопромат решение простых задач

Вывод.

  • Наиболее нагруженным является IV участок стержня. Все сечения этого участка имеют одинаковую величину максимального нормального напряжения, равную 100 МПа.

Заключение.

Действующие нормальные напряжения в любом сечении стержня не превышают допускаемого напряжения, т.е. условие прочности стержня выполняется.

Пример расчета с решением простой задачи

Статически неопределимый стержень постоянного поперечного сечения защемлен обоими концами и нагружен продольными осевыми силами Сопромат решение простых задач (см. рис. 2.1). Раскрыть статическую неопределимость стержня. Определить внутренние усилия в поперечных сечениях стержня. Выполнить деформационную проверку правильности вычислений при решении задачи.

Решение задачи оформить в алгебраическом виде, используя символы параметров.

Исходные данные - по номеру варианта из табл. 2.1 и по рис. 2.1.

Внешние осевые силы: Сопромат решение простых задач

Расстояния между точками приложения сил: Сопромат решение простых задачСопромат решение простых задач

Модуль упругости материала стержня - Сопромат решение простых задач

Площадь поперечного сечения стержня - Сопромат решение простых задач

Требуется:

  • - раскрыть статическую неопределимость задачи с помощью деформационного уравнения;
  • - построить эпюру нормальных усилий Сопромат решение простых задач
  • - построить эпюру линейных перемещений Сопромат решение простых задач поперечных сечений.

Решение:

1. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 2.2). Сопромат решение простых задач Предварительно на схеме в местах закрепления показываем неизвестные реакции Сопромат решение простых задач с произвольными направлениями.

Определяем границы характерных участков Сопромат решение простых задач

2. Составляем уравнения равновесия всех внешних активных и реактивных сил (уравнения статики: Сопромат решение простых задач

Сопромат решение простых задач

Подставив значения Сопромат решение простых задач по заданию, получим уравнение статики в виде

Сопромат решение простых задач

Получено силовое тождество Сопромат решение простых задач

Относительно осей Сопромат решение простых задач дополнительные уравнения статики обращаются в пустые тождества Сопромат решение простых задач так как отсутствуют силы, параллельные этим поперечным осям.

Имеем одно уравнение Сопромат решение простых задач с двумя неизвестными Сопромат решение простых задач

Требуются дополнительные уравнения для раскрытия статической неопределимости, количество которых определяется степенью неопределимости.

3. Определяем степень статической неопределимости.

Степень статической неопределимости Сопромат решение простых задач определяется как

разность между количеством неизвестных и количеством уравнений:

Сопромат решение простых задач

Следовательно, система «стержень-опоры» один раз статически неопределима. Поэтому достаточно составить еще одно уравнение, выражающее взаимосвязь силовых факторов с деформациями материала.

4. Составляем деформационное уравнение.

Деформационное уравнение возможно составить, применив

две системы: основную - конструктивную (рис. 2.3) и эквивалентную - грузовую (рис. 2.4).

Сопромат решение простых задач

Основная система (ОС) получается из заданной путем изменения ее конструкции, т.е. мнимого освобождения ее от лишней связи (от опоры) и внешних сил.

Принимаем за лишнюю связь защемление в опоре Сопромат решение простых задач

Загрузив основную систему всеми внешними силами, получим эквивалентную систему (ЭС) при условии, если в сечении Сопромат решение простых задач приложим фиктивную неизвестную силу Сопромат решение простых задач (см. рис. 2.4), величина которой будет удовлетворять условию эквивалентности расчетной схемы на рис. 2.2. Сопромат решение простых задач

Нагружаем основную систему заданными силами и накладываем следующее условие ее эквивалентности заданной системе сил: перемещение сечения Сопромат решение простых задач в заданной и эквивалентной системах должно быть одинаковым, т. е. Сопромат решение простых задач

Таким образом, создано деформационное уравнение Сопромат решение простых задач

Представим его в развернутом виде.

Перемещение Сопромат решение простых задач сечения Сопромат решение простых задач вызванное абсолютными деформациями - удлинениями и (или) укорочениями участков стержня -выразим через приложенные нагрузки, применяя принцип независимости действия сил: Сопромат решение простых задач

где Сопромат решение простых задач - перемещение сечения Сопромат решение простых задач от неизвестной силы Сопромат решение простых задач перемещение сечения Сопромат решение простых задач от каждой из известных сил Сопромат решение простых задач

Таким образом, составлено уравнение совместности деформаций в физической форме.

Нагрузки, вызывающие сжатие, считаем отрицательными, а направление их действия - противоположным положительному направлению оси Сопромат решение простых задач

Выразим деформации в уравнении (2.2) по закону Гука в следующем виде:

Сопромат решение простых задач

Деформации по закону Гука в зависимости от действия каждой силы, от геометрических размеров и модуля упругости материала стержня имеют следующие выражения:

Сопромат решение простых задач

где Сопромат решение простых задач жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Подставляя выражения (2.3)-(2.6) в деформационное уравнение (2.2) и заменяя силовые и геометрические параметры на данные варианта задачи в символах, в результате преобразований получим:

Сопромат решение простых задач Преобразуем уравнение (2.7), умножив каждую его часть на жесткость стержня Сопромат решение простых задач

Получим: Сопромат решение простых задач

или Сопромат решение простых задач

Так как Сопромат решение простых задач т.е. - найдено лишнее неизвестное.

Следовательно, статическая неопределимость раскрыта. 5. Решаем совместно уравнения (2.1) и (2.7а) для определения второй неизвестной силы - реакции Сопромат решение простых задач

Сопромат решение простых задач

С помощью деформационного уравнения (2.7а) получено:

Сопромат решение простых задач

Из уравнения статики (2.1) имеем

Сопромат решение простых задач

Оба значения реакций со знаком «+» указывают на правильность принятого перед расчетом предварительного направления реакций.

Таким образом, все внешние силы стали известными, реакции найдены.

6. Определяем внутренние усилия Сопромат решение простых задач методом сечения. В данном примере рассматриваются левые отсеченные части.

На I участке Сопромат решение простых задач

На II участке Сопромат решение простых задач

Ha III участке Сопромат решение простых задач

На IVучастке Сопромат решение простых задач

Строим эпюры нормальных усилий (рис. 2.5).

Сопромат решение простых задач 7. Определяем перемещения граничных сечений Сопромат решение простых задач Перемещение конца какого-либо участка равно сумме деформаций предыдущих участков и его абсолютной деформации:

Сопромат решение простых задач

Сопромат решение простых задач

Строим эпюру в символике перемещений Сопромат решение простых задач используя произведение числового коэффициента на дробь Сопромат решение простых задач ( см. рис. 2.5) .

Результаты:

Составлены уравнение статики и деформационное уравнение. С помощью основной и эквивалентной систем раскрыта статическая неопределимость стержня.

Определены все неизвестные внешние силы. Определены значения внутренних нормальных сил. Определены оссвые продольные деформации участков стержня. Вывод.

На основе полученных выражений осевых деформаций выполнена деформационная проверка правильности вычислений расчета задачи.

Заключение:

Построение эпюры перемещений Сопромат решение простых задач является деформационной проверкой и подтверждением правильности расчета.

Равенство нулю перемещения концевого сечения Сопромат решение простых задач показывает, что статическая неопределимость раскрыта верно.

Далее представим листинг вычислений расчета задачи.