Сопромат решение простых задач

Сопромат решение простых задач

Задача:

Стержень переменного сечения защемлен одним концом в сечении и нагружен центрально продольными силами

На рис. 1.2 схематично изображен заданный стержень.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Форма всех поперечных сечений стержня - квадрат со стороной

Длины участков по ступеням -

Материал стержня - сталь

Модуль нормальной упругости -

Допускаемое напряжение -

Исходные данные по номеру варианта из табл. 1.1:

• Решение:

1. Вычерчиваем расчетную схему с заданными внешними нагрузками (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Схема действительных направлений реакции и внутренних усилий. Эпюры усилий и напряжений по участкам стержня

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Сопромат готовые задачи с решением

Сопромат для чайников

Пособие по решению задач по сопромату

Расчётная схема: определение и пример с решением

В расчетной схеме в центре опорного закрепления стержня в точке изображаем реакцию опоры

Так как неизвестно направление реакции произвольно указываем его предполагаемое направление.

2. Определяем опорную реакцию в защемлении.

Составляем уравнения статики - уравнения равновесия всех

внешних сил:

Для данного стержня достаточно составить лишь одно уравнение статики, из которого находим

Результат вычислений получен со знаком «+», следовательно, принятое перед расчетом направление реакции было выбрано правильно.

3. Определяем внутренние усилия в зависимости от внешних сил.

Для определения в любом поперечном сечении стержня внутренних усилий разграничиваем его на характерные участки (I, II, III, IV).

Каждый участок имеет свою функцию нормального усилия, зависящего от координаты сечения и внешних сил соседнего участка, т.е.

Границами участков являются точки приложения внешних сил Нумеруем участки (см. рис. 1.3).

Определяем внутренние усилия методом сечений. В пределах каждого участка проводим произвольное сечение, которое делит стержень на две части. В центре тяжести сечения изображаем внутреннее усилие в произвольно предполагаемом направлении.

Полагаем направление положительным, совпадающим с положительным направлением оси а усилие - растягивающим, имеющим знак «+». Рассматриваем равновесие одной из них (в данном примере рассматриваем левые отсеченные части стержня). Записываем уравнения равновесия отсеченных частей стержня по каждому участку:

I участок

II участок

III участок

IV участок

По уравнениям равновесия составляем выражения внутреннего усилия для каждого участка:

I участок

II участок

III участок

IV участок

4. Вычисляем нормальные усилия и строим их эпюру по участкам.

5. Определяем нормальные напряжения в сечениях стержня по участкам, учитывая, что площадь квадратного поперечного сечения по условию Напряжения вычисляем в МПа:

Строим эпюру нормальных сил и эпюру нормальных напряжений по участкам (см. рис. 1.3).

По эпюре нормальных напряжений видно, что наиболее напряженным является IV участок стержня.

6. Проверяем прочность стержня по допускаемому напряжению:

Так как условие прочности выполняется.

7. Определяем абсолютные деформации участков стержня.

По закону Гука или

тогда

8. Вычисляем величину полного удлинения стержня.

Из условий закрепления стержня увеличение его общей длины на величину возможно (см. рис. 1.2), так как нет ограничений на перемещение вдоль оси какой-либо точки, в том числе возможно перемещение и конца стержня в точке

Полное удлинение стержня выражается алгебраической суммой абсолютных деформаций его участков и равно

или

Результаты.

Определены внутренние продольные нормальные усилия и соответствующие им нормальные напряжения в характерных поперечных сечениях стержня.

Построены эпюры нормальных усилий и напряжений

Определено полное удлинение стержня

Вывод.

• Наиболее нагруженным является IV участок стержня. Все сечения этого участка имеют одинаковую величину максимального нормального напряжения, равную 100 МПа.

Заключение.

Действующие нормальные напряжения в любом сечении стержня не превышают допускаемого напряжения, т.е. условие прочности стержня выполняется.

Пример расчета с решением простой задачи

Статически неопределимый стержень постоянного поперечного сечения защемлен обоими концами и нагружен продольными осевыми силами (см. рис. 2.1). Раскрыть статическую неопределимость стержня. Определить внутренние усилия в поперечных сечениях стержня. Выполнить деформационную проверку правильности вычислений при решении задачи.

Решение задачи оформить в алгебраическом виде, используя символы параметров.

Исходные данные - по номеру варианта из табл. 2.1 и по рис. 2.1.

Внешние осевые силы:

Расстояния между точками приложения сил:

Модуль упругости материала стержня -

Площадь поперечного сечения стержня -

Требуется:

• - раскрыть статическую неопределимость задачи с помощью деформационного уравнения;
• - построить эпюру нормальных усилий
• - построить эпюру линейных перемещений поперечных сечений.

Решение:

1. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 2.2).

Предварительно на схеме в местах закрепления показываем неизвестные реакции с произвольными направлениями.

Определяем границы характерных участков

2. Составляем уравнения равновесия всех внешних активных и реактивных сил (уравнения статики:

Подставив значения по заданию, получим уравнение статики в виде

Получено силовое тождество

Относительно осей дополнительные уравнения статики обращаются в пустые тождества так как отсутствуют силы, параллельные этим поперечным осям.

Имеем одно уравнение с двумя неизвестными

Требуются дополнительные уравнения для раскрытия статической неопределимости, количество которых определяется степенью неопределимости.

3. Определяем степень статической неопределимости.

Степень статической неопределимости определяется как

разность между количеством неизвестных и количеством уравнений:

Следовательно, система «стержень-опоры» один раз статически неопределима. Поэтому достаточно составить еще одно уравнение, выражающее взаимосвязь силовых факторов с деформациями материала.

4. Составляем деформационное уравнение.

Деформационное уравнение возможно составить, применив

две системы: основную - конструктивную (рис. 2.3) и эквивалентную - грузовую (рис. 2.4).

Основная система (ОС) получается из заданной путем изменения ее конструкции, т.е. мнимого освобождения ее от лишней связи (от опоры) и внешних сил.

Принимаем за лишнюю связь защемление в опоре

Загрузив основную систему всеми внешними силами, получим эквивалентную систему (ЭС) при условии, если в сечении приложим фиктивную неизвестную силу (см. рис. 2.4), величина которой будет удовлетворять условию эквивалентности расчетной схемы на рис. 2.2.

Нагружаем основную систему заданными силами и накладываем следующее условие ее эквивалентности заданной системе сил: перемещение сечения в заданной и эквивалентной системах должно быть одинаковым, т. е.

Таким образом, создано деформационное уравнение

Представим его в развернутом виде.

Перемещение сечения вызванное абсолютными деформациями - удлинениями и (или) укорочениями участков стержня -выразим через приложенные нагрузки, применяя принцип независимости действия сил:

где - перемещение сечения от неизвестной силы перемещение сечения от каждой из известных сил

Таким образом, составлено уравнение совместности деформаций в физической форме.

Нагрузки, вызывающие сжатие, считаем отрицательными, а направление их действия - противоположным положительному направлению оси

Выразим деформации в уравнении (2.2) по закону Гука в следующем виде:

Деформации по закону Гука в зависимости от действия каждой силы, от геометрических размеров и модуля упругости материала стержня имеют следующие выражения:

где жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Подставляя выражения (2.3)-(2.6) в деформационное уравнение (2.2) и заменяя силовые и геометрические параметры на данные варианта задачи в символах, в результате преобразований получим:

Преобразуем уравнение (2.7), умножив каждую его часть на жесткость стержня

Получим:

или

Так как т.е. - найдено лишнее неизвестное.

Следовательно, статическая неопределимость раскрыта. 5. Решаем совместно уравнения (2.1) и (2.7а) для определения второй неизвестной силы - реакции

С помощью деформационного уравнения (2.7а) получено:

Из уравнения статики (2.1) имеем

Оба значения реакций со знаком «+» указывают на правильность принятого перед расчетом предварительного направления реакций.

Таким образом, все внешние силы стали известными, реакции найдены.

6. Определяем внутренние усилия методом сечения. В данном примере рассматриваются левые отсеченные части.

На I участке

На II участке

Ha III участке

На IVучастке

Строим эпюры нормальных усилий (рис. 2.5).

7. Определяем перемещения граничных сечений Перемещение конца какого-либо участка равно сумме деформаций предыдущих участков и его абсолютной деформации:

Строим эпюру в символике перемещений используя произведение числового коэффициента на дробь ( см. рис. 2.5) .

Результаты:

Составлены уравнение статики и деформационное уравнение. С помощью основной и эквивалентной систем раскрыта статическая неопределимость стержня.

Определены все неизвестные внешние силы. Определены значения внутренних нормальных сил. Определены оссвые продольные деформации участков стержня. Вывод.

На основе полученных выражений осевых деформаций выполнена деформационная проверка правильности вычислений расчета задачи.

Заключение:

Построение эпюры перемещений является деформационной проверкой и подтверждением правильности расчета.

Равенство нулю перемещения концевого сечения показывает, что статическая неопределимость раскрыта верно.

Далее представим листинг вычислений расчета задачи.