Сопромат готовые задачи и решения + примеры
Сопромат - это инженерная дисциплина, изучаемая в университетах и колледжах, с технической направленностью и секцией механики. В ней используются уравнения и формулы механики и физики, а также принципы теоретической механики.
Содержание:
- Что такое сопромат
- Напряженное и деформированное состояния
- Критерии прочности
- Растяжение - сжатие прямых стержней
- Статически неопределимый брус и статически определимые и неопределимые стержневые системы
- Чистый сдвиг
- Расчеты простейших соединений элементов конструкций
- Геометрические характеристики плоских сечений
- Главные, центральные, главные центральные оси и соответствующие моменты инерции
- Кручение круглых стержней - валов
- Расчеты на прочность, на жесткость. Статически неопределимые задачи
- Плоский поперечный изгиб
- Определения плоского, косого и плоского поперечного изгибов
- Сложное сопротивление
- Энергетические методы определения перемещений
- Раскрытие статистической неопределимости стержневых систем
- Определение перемещений в статически неопределимых системах
- Осесимметричное нагружение тонкостенных оболочек вращения
- Устойчивость сжатых стержней
- Сопромат и расчёты
- Расчетная схема нагрузки
- Напряжения
- Деформации и перемещения
- Продольная сила
- Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса
- Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.
- Продольные и поперечные деформации
- Готовые задачи с решением
- Сопротивление материалов и решение задач
- Внутренние силы. Метод сечений
- Основные виды деформаций бруса
- Напряжения
- Основные виды деформаций бруса
- Нормальное напряжение. продольная, поперечная и объемная деформации
- Статически определимые задачи
- Статически неопределимые задачи
- Основные определения статики твердого тела
- Предисловие
- Сила
- Пара сил
- Сравнение действия силы и пары сил
- Проекция силы на ось и плоскость
- Момент силы относительно точки
- Момент силы относительно оси
- Теорема Вариньона
- Связи и реакции связей
- Главный вектор и главный момент
- Условия равновесия произвольной системы сил
- Уравнения равновесия для различных систем сил
- Основные понятия сопротивления материалов
- Основной предмет сопротивления материалов
- Допущения о свойствах материала и нагрузках
- Внешние нагрузки
- Напряжения и деформации
- Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стрежня
- Определение величины внутренних силовых факторов
- Правило знаков для внутренних усилий
- Эпюры внутренних усилий
- Геометрические характеристики поперечных сечений стержня
- Статические моменты
- Моменты инерции
- Моменты сопротивления
- Простые виды деформации стержня
- Допущения при исследовании простых видов деформации стержней
- Деформации и напряжения при растяжении (сжатии), сдвиге и изменении температуры
- Закон Гука
- Диаграммы растяжения и сжатия материалов
- Кручение
- Прямой поперечный изгиб
- Условия прочности и жесткости стержней при простых видах их деформации
- Сложное сопротивление
- Косой изгиб
- Внецентренное растяжение (сжатие)
- Критерии прочности
- Напряженное состояние в точке
- Обобщенный закон Гука
- Коэффициент запаса прочности и допускаемые напряжения
- Теории прочности
- Устойчивость сжатых стержней
- Статически неопределимые задачи
- Расчет по несущей способности
- Расчеты оболочек вращения по безмоментной теории
- Методические указания и домашнее задание
- Основные задачи курса сопротивления материалов
- Внутренние силовые факторы
- Напряжения
- Коэффициент запаса, условие прочности
- Растяжение и сжатие
- Основные сведения из теории
- Примеры расчетов на растяжение (сжатие)
- Основы теории напряженного и деформированного состояния
- Примеры исследования напряженного и деформированного состояний
- Кручение
- Основные сведения из теории и расчетно-справочные данные
- Примеры расчетов на кручение
- Геометрические характеристики плоских сечений
- Основные сведения из теории
- Примеры определения геометрических характеристик плоских сечений
- Подробное решение задач по сопромату
- Лекции по сопротивлению материалов
Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и стабильности элементов в инженерных конструкциях.
Сопротивление материала относится к механике деформируемого твердого тела, которая, как и теоретическая механика, является частью общей механики.
К механике деформируемого твердого тела, кроме сопротивления материала, относятся теория упругости, теория пластичности и ползучести, механика разрушения, механика композиционных материалов.
Основные положения сопротивления материалов основаны на законах и теоремах теоретической механики и, прежде всего, на статических законах. Однако в отличие от теоретической механики, считающей тела абсолютно твердыми, сопротивление материала учитывает изменение формы и размеров тела под действием внешних сил, т.е. деформацию.
Задача сопротивления материалов заключается в разработке методов расчета конструкций и их элементов на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном соблюдении требований надежности и экономичности.
При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой, на первый взгляд, незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции.
- Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость.
Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.
Деформации многих конструкций при действии некоторого вида нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках же, превышающих (даже весьма незначительно) критические значения, деформации конструкций резко возрастают. Простейший пример такого явления представляет так называемый продольный изгиб сжатого стержня — при некотором значении сжимающей силы происходит выпучивание прямолинейного стержня, практически равносильное разрушению. Такое качественное изменение характера деформации конструкции при увеличении нагрузки называется потерей устойчивости. Расчет конструкции, имеющий целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость.
Что такое сопромат
Сопротивление материалов - это наука о прочности и надежности деталей машин и конструкций. В ее задачи входит обобщение инженерного опыта создания машин и конструкций, разработка научных основ проектирования и конструирования надежных изделий, совершенствование методов оценки прочности. Сопротивление материалов является частью механики деформируемого твердого тела, которая учитывает методы инженерных расчетов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость, при этом удовлетворяя требованиям надежности, экономичности и долговечности.
Сопротивление материалов основано на понятии прочности, под которой понимается способность материала выдерживать приложенные нагрузки и удары без разрушения. Сопротивление материалов действует с точки зрения: внутренних сил, напряжений, деформации. Внешняя нагрузка, прилагаемая к определенному телу, создает в нем внутренние силы, противодействующие активному действию внешней нагрузки. Внутренние силы, распределенные по сечениям тела, называются напряжениями. Таким образом, внешняя нагрузка порождает внутреннюю реакцию материала, характеризующуюся напряжениями, которые, в свою очередь, прямо пропорциональны деформации тела. Деформации могут быть линейными (удлинение, укорочение, сдвиг) и угловыми (вращение сечений).
Основные понятия сопротивления материала, которые оценивают способность материала сопротивляться внешним воздействиям:
- Прочность - способность материала воспринимать внешнюю нагрузку без разрушения;
- Жесткость - способность материала удерживать свои геометрические параметры в допустимых пределах при внешних воздействиях;
- Устойчивость - способность материала сохранять свою форму и положение стабильными под внешними воздействиями.
Напряженное и деформированное состояния
Напряженное состояние в точке:
- тензор напряжений в координатах 
и в главных осях 1, 2, 3 
- главные напряжения 
как корни уравнения
где 
- главное нормальное напряжение, 
за - инварианты тензора напряжений
- главные напряжения и тип напряженного состояния
- линейное (одноосное),
плоское (двухосное),
объемное (трехосное).
Линейное (одноосное) напряженное состояние:
- напряжения в произвольных площадках
Показаны действительные направления напряжений, Их положительные направления:
деформации при линейном напряженном состоянии.
-Закон Гука. Коэффициент Пуассона
Плоское (двухосное) напряженное состояние: - напряжения на двух произвольных взаимно перпендикулярных площадках (прямая задача) 
( 
- угол между 
макс и нормалью 
отсчитываемый от 
макс ) .
Для отыскиваемых напряжений справедливы соотношения
- определение главных напряжений по напряжениям на произвольных взаимно перпендикулярных площадках (обратная задача) 
Приведенные формулы получены в предположении, что 
а угол 
определяет направление 
макс относительно оси 
- деформации для плоского напряженного состояния; обобщенный закон Гука в главных осях
Объемное (трехосное) напряженное состояние:
- обобщенный закон Гука в главных осях
Деформировштое состояние в точке:
тензор деформаций в координатах 
и в главных осях 1,2,3 
объемная деформация
Чтобы определить главные нормальные напряжения, нужно найти корни уравнения
где 
- главное нормальное напряжение, а 
- инварианты напряженного состояния в точке (инварианты тензора напряжений). Можно получить, что
Подставляя значения инвариантов в уравнение, будем иметь
Соответственно корнями уравнения являются 
Главные нормальные напряжения - 
напряженное состояние - линейное.
Поскольку нормаль к рассматриваемому сечению перпендикулярна главному направлению 1 (главному напряжению 
), имеем возможность переити к плоскому напряженному состоянию и воспользоваться готовыми соотношениями:
( 
- угол между 
и нормалью 
отсчитываемый от 
Здесь 
и в соответствии с этими данными имеем следующие значения напряжений в искомом сечении:
Главные касательные напряжения определим по формулам:
См. задачу 1.2. При определении напряжений на площадке с нормалью 
имеем 
Для
площадки с нормалью 
угол имеет другое значение - 
Вычисляя напряжения на площадках, получаем
Напомним, что результат 
определяется известным законом парности касательных напряжений.
Определить главные нормальные и касательные напряжения
Поскольку нормальное напряжение 
является одним из главных, величины и направления двух оставшихся главных можно найти по соответствующим формулам для плоского напряженного состояния:
Приведенные формулы получены в предположении, что 
а угол 
определяет направление 
относительно оси 
В рассматриваемой задаче 
Окончательно имеем:
Критерии прочности
Назначение критерия прочности - сведение трехосного напряженного состояния к эквивалентному одноосному растяжению. Вне зависимости от используемого критерия условие прочности имеет вид
Основные критерии прочности: - критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- критерий наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)
- критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- критерий Кулона - Мора
- критерий удельной потенциальной энергии формоизменения
критерий Кулона - Мора - 
критерий удельной потенциальной энергии формоизменения -
теория прочности определяет эквивалентное напряжение соотношением 
Соответственно имеем: в первом случае - 
во втором 
Второе напряженное состояние более опасно.
Растяжение - сжатие прямых стержней
Механические характеристики материала при растяжении и сжатии:
- диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали.
Характеристики прочности: 
пределы пропорциональности, текучести, прочности; 
- истинное сопротивление разрыву.
Характеристики пластичности: 
- относительные удлинение и сужение образца после разрыва;
- диаграмма растяжения серого чугуна. Предел прочности 
Растяжение (сжатие) статически определимого бруса:
- метод сечений и определение продольной силы 
Из условия равновесия любой из частей бруса 
Растягивающее усилие считается положительным, сжимающее -отрицательным.
Далее в задачах при определении продольной силы 
направляем ее всегда как положительную;
- нормальное напряжение 
- линейная продольная деформация
- при силовом нагружении,
- при термосиловом нагружении;
- поперечные деформации 
- перемещения точек
- при силовом нагружении, 0 
- при термосиловом нагружении;
Статически неопределимый брус и статически определимые и неопределимые стержневые системы
1 Определение реакции опоры
Из уравнения статики имеем:
2. Построение эпюры продольных сил. 
3. Эпюры напряжений и деформаций построим с помощью следующих зависимостей
4, Построение эпюры перемещений проведем с помощью формулы
проводя интегрирование в пределах
каждого участка (эпюра построена в единицах 
Участок 1: 
Участок 2: 
Участок 3: 
1. Определение реакции опоры. Из уравнения статики имеем: 
2. Построение эпюры продольных сил
4. Эпюру перемещений строим (см. задачу 3,1) с помощью формулы
(построения - в единицах 
Участок 1: 
Участок 2: 
Участок 3: 
Функция 
квадратичная выпуклостью вниз. Имеет минимум при
1. Рассматриваемая задача статически неопределимая. Степень статической неопределимости равна 1: имеем 2 неизвестные реакции опор и 1 уравнение статики. Для решения задачи используем следующую процедуру: отбросим правое закрепление 
и введем в рассмотрение реакцию 
Полученная балка эквивалентна исходной при условии, что перемещение сечения 
равно нулю:
где 
перемещение сечения 
от действия только силы 
и
т.д. При записи уравнения реализован принцип независимости сил. Вычисляя каждое слагаемое, будем иметь:
Решение уравнения относительно 
позволяет получить
Знак результата показывает, что выбранное направление реакции 
неверно и его нужно заменить на обратное, приняв 
Отбросим левое закрепление 
и введем в рассмотрение реакцию 
Из уравнения равновесия бруса
получаем, что 
Дальнейшее решение рассматриваемой задачи ничем не отличается отрешения предыдущей (см. задачу 3.2).
2. Построение эпюры продольных сил.
3. Построение эпюры 
Функция 
квадратичная выпуклостью вверх с максимумом при 
На концах интервала
Последний результат отвечает жесткому закреплению бруса справа.
Чистый сдвиг
Определения:
- чистого сдвига;
- абсолютного сдвига;
- относительного сдвига или угловой деформации
- касательного напряжения
Закон Гука для чистого сдвига:
- связь между угловой деформацией и касательным напряжением
- соотношения, связывающие главные угловые деформации
главные линейные деформации 
и главные касательные напряжения 
- зависимость между упругими постоянными
- октаэдрическии сдвиг
Условие прочности при чистом сдвиге. 
Заданные напряжения являются главными нормальными:
Главные касательные напряжения определяются как полуразности главных нормальных:
При определении главных угловых деформации используем закон Гука в форме соотношения 
для чего необходимо вычислить модуль сдвига (модуль упругости второго рода);
Соответственно имеем
Октаэдрический сдвиг определим по известной формуле:
Для напряженного состояния чистого сдвига 
главные площадки составляют с исходными углы по 
а сами главные напряжения имеют значения: 
(см. раздел 1, обратная задача типа 1.4). Соответственно рассматриваемая задача сводится к отысканию напряжений на заданной площадке при известных главных напряжениях (см. раздел 1, прямая задача типа 1.2 или 1.3).
Применение известных формул
при 
позволяет получить искомые напряжения
Расчеты простейших соединений элементов конструкций
Типы соединений: болтовые, шпоночные, клиновые, заклепочные, сварные, деревянные врубки и т.д.
Виды деформирования: растяжение (сжатие), сдвиг и смятие.
Особенности расчетов:
- при работе конструкций чистый сдвиг практически не встречается. Сдвигу всегда сопутствует либо изгиб, либо растяжение (сжатие), однако технические расчеты проводят только на сдвиг, который для металлических элементов называют срезом, а для деревянных - скалыванием, считая, что по площади среза ( скалывания) касательные напряжения распределены равномерно;
- смятие представляет собой поверхностное сжатие давящих друг на друга элементов конструкций. При проведении технических расчетов принимают, что смятие осуществляется по площади
являющейся проекцией сминаемой поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению давящей силы 
при равномерном распределении давления по этой площади; - для рационального использования материала раечет соединений должен проводиться из условия равной прочности элементов, входящих в соединение.
Если одна и та же площадь рассчитывается на Два вида деформирования (например, на срез и смятие), то как-Окончательный результат принимается ее большее значение.
1. Определение диаметра болта из условия прочности на срез. Условие прочности болта на срез (по сечению 
имеет вид
где 
- перерезывающая сила, а 
- площадь среза. Для диаметра болта получаем .
2. Определение диаметра болта из условия прочности на смятие. Расчетное соотношение в этом случае запишем в форме
При 
будем иметь
Напомним, что из двух полученных значений диаметра болта нужно выбрать большее и округлить до нормированного.
3. Проверка прочности листа в ослабленном сечении при его растяжении (при выбранном значении диаметра болта). 
1. Определение диаметра 
из условия прочности при растяжении.
Из полученного соотношения следует 
• 2. Определение диаметра 
из условия прочности на срез.
откуда можем получить 
3. Определение размера 
из условия прочности на смятие. 
Полученное соотношение позволяет найти
4. Определение размера 
из условия прочности на растяжение в ослабленном сечении.
Из полученного соотношения имеем
Геометрические характеристики плоских сечений
Площадь сечениях 
Статические моменты сечения:
где 
координаты центра тяжести сечения.
Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю.
Моменты инерции сечения:
- осевые (или линейные, или экваториальные)
- центробежный
- полярный
Главные, центральные, главные центральные оси и соответствующие моменты инерции
Моменты инерции для параллельных осей, одни из которых центральные: 
Моменты инерции простейших сечений для главных цен-тральных осей:
- прямоугольник (ось 
параллельна высоте 
сечения, ось 
- его ширине 
- равнобедренный треугольник (ось 
параллельна высоте 
сечения, ось 
его основанию 
- круг (диаметр 
- кольцо 
- наружный диаметр, 
- внутренний) n 
Координаты центра тяжести сечения вычислим, используя определение статических моментов сечения
Имеем: 
Площадь сечения найдем, разбивая его на два прямоугольника:
Для этих же прямоугольников вычисляем статические моменты:
При отыскании статических моментов прямоугольников можем использовать и соотношения типа
Окончательно имеем, что 
и 
Кручение круглых стержней - валов
Внешние и внутренние силовые факторы:
- величина внешнего скручивающего момента
при заданных передаваемой мощности 
и числе 
(об/мин) определяется соотношениями 
л.с.). При задании мощности в ваттах и угловой скорости вращения вала 
в 1/сек скручивающий момент равен 
- метод сечений и определение внутреннего силового фактора (крутящего момента)
Крутящий момент 
принимается положительным, если со стороны внешней нормали к сечению он направлен против часовой стрелки.
Исходные положения и характер деформировании бруса:
- гипотеза плоских сечений, сохранение прямолинейности радиусов, неизменность расстояния между сечениями;
- характер деформирования - чистый сдвиг;
- угловая деформация
относительный угол закручивания; - относительный угол закручивания
- угол закручивания (взаимный угол поворота сечений вала, отстоящих друг от друга на расстоянии
Напряжения при кручении:
- касательное напряжение
- максимальное касательное напряжение
где 
- полярный момент сопротивления сечения; - напряженное состояние при кручении.
Расчеты на прочность, на жесткость. Статически неопределимые задачи
Диаграмма кручения:
- сравнение с диаграммой растяжения;
- типы разрушения при кручении для пластичных и хрупких материалов.
1 Определение реакции в опоре
1 2 3 В соответствии с уравнением статики (уравнением моментов относительно оси 
имеем:
2. Построение эпюры крутящих моментов.
Из уравнения равновесия
Сечение 1 
Из уравнение равновесия 
получаем 
Сечение 2 : 
Сечение 3: 
3. Эпюру углов закручивания построим с помощью формулы
проводя интегрирование в пределах каждого участка.
Поскольку полярный момент инерции имеет разные значения на участках скручиваемого стержня 
построения проведены в 
Участок 1 : 
Участок 2: 
Участок 3: 
Определение реакции в опоре 
Построение эпюры крутящих моментов.
Сечение 1 : 
Сечение 2: 
Сечение 3: 
3. Эпюру 
строим в единицах 
Участок 1 : 
Участок 2 : 
(функция 
квадратичная выпуклостью вниз)
Участок 3 : 
4. Наибольшее касательное напряжение определим по формуле
полярный момент сопротивления сечения. Будем иметь 
Плоский поперечный изгиб
Классификация внешних сил:
- сосредоточенные сила и момент;
- распределенная нагрузка.
Определения плоского, косого и плоского поперечного изгибов
Классификация опор и балок:
- опоры шарнирно подвижная, шарнирно неподвижная, жесткое закрепление (заделка);
- балки статически определимые и неопределимые.
Внутренние силовые факторы:
- метод сечений и определение изгибающего момента
и перерезывающей силы 
- правила знаков для
Дифференциальные зависимости Журавского:
- основные следствия из зависимостей Журавского и их использование при построении или проверке правильности построения эпюр 
Чистый изгиб:
определение чистого изгиба;
исходные гипотезы (гипотеза плоских сечений; растяжение и сжатие волокон, параллельных оси балки; наличие нейтрального слоя);
нормальное напряжение 
где 
- ордината точки, в которой определяется напряжение;
максимальные напряжения растяжения и сжатия
где 
ординаты наиболее удаленных от нейтральной оси точек в зонах растяжения и сжатия. 
- осевые моменты сопротивления сечения;
Поперечный изгиб:
определение поперечного изгиба;
нормальное напряжение 
касательное напряжение 
где 
статический момент части сечения, расположенной выше уровня 
ширина сечения на этом уровне;
эпюры нормальных и касательных напряжении в сечениях различного типа;
Расчет па прочность при плоском поперечном изгибе:
расчет на прочность ведется с использованием одной из теорий прочности.
Перемещения при изгибе:
- дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (обычно используют при условии 
- интегрирование дифференциального уравнения прогибов. Уравнение углов поворота
и прогибов
Граничные условия (условия закрепления концов балки) и определение постоянных
- универсальное уравнение упругой линии (определение перемещений методом начальных параметров).
За начальные параметры принимаются прогиб 
и угол поворота 
левого концевого поперечного сечения балки, в центре тяжести которого расположено начало координат. Их значения находят из условий закрепления балки.
Целесообразно записывать уравнение упругой линии для произвольного сечения последнего участка балки, включая нагрузки в той последовательности, в которой они расположены от начала координат.
Если на балке имеется распределенная нагрузка, не доходящая до сечения, где определяется прогиб (угол поворота), то ее продляют до этого сечения и прикладывают противоположно направленную компенсирующую нагрузку той же интенсивности.
1. Определение реакций опор. Уравнения равновесия 
имеют вид: 
Решая систему уравнений относительно реакций опор, получим
2. Построение эпюр 
Для упрощения соотношений для перерезывающих сил и изгибающих моментов в сечениях 1 и 2 определим их, отбрасывая правую часть балки, а в сечении 3 - левую. При отыскании 
здесь и далее уравнение моментов булем записывать всегда относительно сделанного сечения.
Отметим, что, в соответствии с принятым порядком прохождения участков, на 3-м участке ось 
направлена справа налево (значение 
принадлежит сечению 
В этом случае 
В рассматриваемой задаче значения 
в сечениях балки определим, проходя участки слева направо. При этом нет необходимости предварительно вычислять реакции опоры 
Эпюру моментов 
построим в единицах 
Функция 
- квадратичная выпуклостью вверх и имеет максимум при 
Это легко видеть по эпюре 
на втором участке, учитывая, что 
эпюру 
можно рассматривать как график первообразной функции, а эпюру 
- как график ее производной.
Реакции в опоре 
при необходимости можно определить по значениям перерезывающей силы и изгибающего момента в сечении 
(направлена вверх) и 
(изгибает балку выпуклостью вверх).
Сложное сопротивление
Определение задачи сложного сопротивления пряного бруса.
Представление сложного сопротивления как суммы простейших видов ( типов ) деформирования: - внутренние силовые факторы при сложном сопротивлении
- нормальные и касательные напряжения
Суммирование нормальных напряжений (знаки проставляются по первой четверти принятой системы координат) 
Суммирование касательных напряжений
Уравнение нейтральной линии и опасные точки в сечении прямого бруса 
Расчет на прочность в опасных точках.
Частные случаи сложного сопротивления:
- - косой изгиб;
- - внецентренное растяжение (сжатие) или растяжение с изгибом;
- - изгиб с кручением.
Поскольку речь идет о нормальных напряжениях и нетральной линии, достаточно определить в сечении бруса изгибающие моменты
Будем иметь
Действительное направление моментов показано на рисунке.
Опасное сечение бруса - сечение в закреплении при 
Соответственно здесь имеем
Уравнение нейтральной линии
где 
что позволяет найти 
Наибольшее (наименьшее) напряжение действует в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии :
Линия действия силы 
на первом (левом) образце проходит через центр тяжести его поперечного сечения - здесь имеем простое растяжение образца при 
Напряжение постоянно по сечению и равно 
Для второго образца нагружение является внецентренным - эксцентриситет силы 
равен 
и дополнительно к продольной силе 
имеем изгибающий момент 
Нормальное напряжение для точек первой четверти сечения в этом случае определяется соотношением 
Положение нейтральной линии в сечении образна следует из уравнения 
Полученный результат показывает, что нейтральная линия проходит по правому краю сечения и все сечение находится в зоне растяжения. Наибольшее нормальное напряжение в этом случае равно
Можно видеть, что внецентренное приложение нагрузки увеличивает опасность разрушения: при увеличении плошади сечения на 50% напряжение не уменьшилось, а возросло на 33% .
Энергетические методы определения перемещений
Работа внешних сил.
Работа внутренних (упругих) сил: - при растяжении (сжатии) стержня длиной 
работа осевой силы 
осуществляется на перемещении 
Соответственно, работа осевой силы 
для стержня равна
- при сложном нагружении (сложном сопротивлении)
Потенциальная энергия деформации:
в соответствии с принципом сохранения энергии 
имеем
Обобщенные сила и перемещение:
- обобщенная сила (сила или момент);
- обобщенное перемещение (линейное или угловое).
Теорема (формула) Кастильяно:
производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению точки приложения силы в направлении этой силы.
Интегралы Мора: 
где 
и т.д. - внутренние силовые факторы в сечениях бруса при приложении к нему единичной нагрузки (безразмерной единичной обобщенной силы 
в точке (сечении), для которой отыскивается обобщенное перемещение 
в направлении, в котором это перемещение ищется. Положительное значение искомого перемещения получаем, если его направление совпадает с направлением приложенной единичной нагрузки.
Раскрытие статистической неопределимости стержневых систем
Классификация стержневых систем:
- системы статически определимые и статически неопределимые (общее определение);
- системы плоские, плоско-трехмерные, трехмерные;
- фермы, рамы.
Степень статической неопределимости системы:
- связи необходимые (внешние), обеспечивающие геометрическую неизменяемость системы, и лишние или избыточные (внешние и внутренние);
- статическая неопределимость плоского замкнутого контура;
- снижение степени статической неопределимости при наличии шарнира; шарниры простые (одиночные), двойные, тройные и т.д.;
- определение степени статической неопределимости плоских стержневых систем по формуле
(
- число замкнутых контуров, 
- число простых шарниров, основание рассматривается как стержень с бесконечно большой жесткостью);
Заданная статически неопределимая стержневая система; статически определимая основная система; эквивалентная система.
Метод перемещений при раскрытии статической неопределимости системы (см. разделы 3 и 7).
Метод сил при раскрытии статической неопределимости системы:
- принцип минимума потенциальной энергии упругой деформации системы (теорема Menabrea) или принцип минимальной работы (в прямом виде и с представлением уравнений принципа через интегралы Мора);
- метод сил в канонической форме.
В рассматриваемой задаче имеем одну лишнюю внешнюю связь (шарнирно подвижную опору), следовательно, степень статической неопределимости фермы равна единице.
1. Определение лишней неизвестной 
с использованием принципа минимума потенциальной энергии непосредственно.
Поскольку все стержни работают только на растяжение-сжатие и продольные усилия постоянны по их длине, потенциальная энергия упругой деформации системы определяется соотношением
Найдем усилия в стержнях фермы: 
Отметим, что в задаче нет необходимости вычислять потенциальную энергию деформации, поскольку определяющим является уравнение
где 
Для отыскания неизвестной силы 
получаем уравнение
откуда находим
Соответственно, для продольных усилий в стержнях 5 и 6 имеем:
2. Определение лишней неизвестной 
с использованием интегралов Мора.
Принцип минимума потенциальной энергии деформации системы (принцип минимальной работы) через интегралы Мора в данной задаче представляется уравнением
где 
- продольные усилия в стержнях эквивалентной системы от действия заданной нагрузки и неизвестной силы 
- такие же усилия в основной системе от действия только силы 
Значения сил 
уже известны:
Для единичной силы 
находим:
Узел 
Подставляя значения сил 
в интегралы Мора получим
откуда следует то же самое уравнение для определения 
Определение перемещений в статически неопределимых системах
После определения лишних неизвестных и построения эпюр 
внутренних силовых факторов перемещения в
статически неопределимых системах определяют стандартными методами.
Рекомендуется определять прогибы и углы поворота сечений статически неопределимых балок методом начальных параметров (с применением уравнения упругой линии).
Для определения перемещений в ломаных брусьях, рамах, фермах рекомендуется использовать энергетический метод с применением интегралов Мора 
где 
и т.д. - внутренние силовые факторы в сечениях основной системы при приложении единичной обобщенной силы в точке (сечении), для которой отыскивается обобщенное перемещение, в направлении, в котором это перемещение ищется.
Рассматриваемая балка - статически неопределимая (степень статической неопределимости равна единице), но реакции опор уже определены ранее (см. задачу 11.3) и здесь имеем: 
Для определения требуемых перемещений 
и 
используем метод начальных параметров (см. задачи 8.6 и 8.7). Универсальное уравнение упругой линии запишем в форме:
где для участка 
имеем 
а для участка 
Дифференцированием получим уравнение для определения углов поворота сечений
Вычисление искомых неизвестных дает
Здесь мы имеем ту же ситуацию, что и в предыдущей задаче: рассматриваемая балка является статически неопределимой (степень статической неопределимости равна двум), но реакции в опоре 
определены ранее (см. задачу 11.8):
Реакции в опоре 
определим из уравнений статики. Получим
Теперь для расчета перемещений можем использовать два варианта статически определимой балки
1. Определение перемещений 
применением уравнения упругой линии.
Используя первый (левый) вариант статически определимой балки, уравнения упругой линии и углов поворота сечений запишем в форме: 
где для участка 
имеем 
Отметим, что для вычисления искомых неизвестных 
достаточно записать уравнения для первого участка, поскольку сечение 
является его границей.
Для определяемых величин имеем
Напомним, что прогиб считается положительным, если его направление совпадает с положительным направлением оси 
, а угол поворота - если поворот сечения происходит против часовой стрелки.
2. Определение перемещений 
применением интегралов Мора.
При отыскании обобщенного перемещения 
будем использовать второй (правый) вариант статически определимой балки. Вычисления интегралов Мора проведем, предварительно построив эпюры изгибающих моментов и применяя далее правило их перемножения.
Изгибающие моменты от действия заданной нагрузки.
Эпюру строим, используя решение задачи 11.8 (принцип наложения):
Исходя из вида построенных эпюр, запишем соотношения, определяющие перемещения 
.Будем иметь
Перемножение эпюр изгибающих моментов позволяет получить
Напомним, что при применении интегралов Мора положительное значение перемещения имеет место при совпадении его направления с направлением приложенной единичной силы (момента).
Осесимметричное нагружение тонкостенных оболочек вращения
Основные определения и исходные положения безмоментной теории оболочек.
Равновесие элемента оболочки. Уравнение Лапласа:
Здесь 
- меридиональное и окружное (кольцевое) напряжения; 
- меридиональный и окружной радиусы кривизны; 
- толщина стенки оболочки.
Давление 
от действия газа и/или жидкости определяется соотношением 
где 
- давление газа над поверхность жидкости; 
- удельный вес жидкости; 
- расстояние от поверхности жидкости до сечения.
Условие равновесия отсеченной части оболочки:
где 
- равнодействующая внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части оболочки.
Прочность тонкостенных оболочек вращения. Нормальные напряжения 
главные; напряженное состояние - двухосное (плоское). 
По условию задачи собственным весом оболочки пренебрегаем и, соответственно, реакция опоры равна нулю.
Нормальные напряжения 
будем определять, рассекая оболочку в ее сферической, цилиндрической и конической частях. Сферическая часть.
Условие равновесия рассматриваемой отсеченной части оболочки имеет вид:
Учитывая, что 
и решая уравнение относительно 
получим 
Для определения 
используем уравнение Лапласа при 
и найденном значении 
Будем иметь 
Цилиндрическая часть
Условие равновесия оставленной части оболочки запишем в форме
откуда находим
Из уравнения Лапласа при 
получаем 
Коническая часть.
Условие равновесия оставленной части оболочки имеет вид:
Определяя из уравнения 
и учитывая,
что 
получим
Решая уравнение Лапласа относительно 
при 
будем иметь 
Расчет на прочность, *т Результаты определения напряжений в сечениях рассматриваемого резервуара сведем в таблицу. 
Опасным является сечение в конической части резервуара при 
Напряженное состояние - двухосное: 
Поскольку условие задачи требует использовать III теорию прочности, имеем
Определение толщины стенки емкости приводит к результату 8 = 7,1 мм.
Устойчивость сжатых стержней
Упругое равновесие, устойчивое и неустойчивое. 
Формула Эйлера
Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы. 
- обобщенная формула Эйлера.
Гибкость стержня при сжатии и условие применимости обобщенной формулы Эйлера:
- критическое напряжение
где 
- гибкость стержня; 
минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня;
- условие применимости формулы Эйлера и предельная гибкость
где 
- предельная гибкость.
Расчет на устойчивость за пределом пропорциональности:
- эмпирические зависимости
- линейная зависимость Ф. Ясинского,
- параболическая зависимость для чугуна.
Значения параметров 
приводятся в таблицах;
- расчет с помощью коэффициента 
снижения допускаемого напряжения (коэффициента продольного изгиба)
где 
- допускаемое напряжение на сжатие. Величину 
называют допускаемым напряжением на устойчивость. Значения коэффициента 
приводятся в таблицах.
Вычислим предельную гибкость, определяющую границу применимости формулы Эйлера. Для используемой стали
Гибкость рассматриваемого стержня найдем, учитывая, что 
Будем иметь 
Поскольку 
критическая сила может быть найдена по обобшенной формуле Эйлера
Критическое напряжение соответственно равно
Предельная гибкость, определяющая границу применимости формулы Эйлера, для используемой стали (см задачу 15.1) равна 
Найдем гибкость рассматриваемого стержня, вычисляя предварительно радиус инерции
и принимая во внимание условия закрепления концов стержня, в соответствии с которыми 
Будем иметь
Поскольку 
для расчета критической силы нельзя применить формулу Эйлера. Воспользуемся здесь эмпирической зависимостью Ф. Ясинского 
Для рассматриваемой стали по таблицам имеем 
что позволяет получить следующее значение критического напряжения: 
Значение критической силы равно 
Сопромат и расчёты
При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его дешевизной, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материала.
Совокупность наук о прочности, жесткости и устойчивости сооружений называется строительной механикой*. Одним из разделов строительной механики является сопротивление материалов. Другими ее разделами являются теория упругости (математическая и прикладная), теория пластичности и теория сооружений (включая статику, динамику и устойчивость сооружений **).
В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций и вопросы расчета некоторых простейших конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.
В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций при действии внешних сил изменяют свою форму и размеры, т.е. деформируются.
В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, в которых изучаются свойства различных материалов.
Сопротивление материалов является экспериментально-теоретической наукой, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.
Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций. Брусом (или стержнем) называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров (рис. 1.1,а). Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.
Ось бруса представляет собой геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т.е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной основе.
Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой (рис. 1.1,6). 
Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.
Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластинкой (рис. 1.1,в).
Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (например, сплошная опора моста), называется массивным телом (рис. 1.1,г).
Расчетная схема нагрузки
Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему.
В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса.
Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет.
На рис. 2.1,а показан брус и действующие на него (в плоскости чертежа) внешние сосредоточенные силы 
На рис. 2.1,6 дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами 
и моментами 
приложенными к его оси.
Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений* на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.
Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии***.
Например, нагрузка 
равномерно распределенная по части поверхности бруса, показанная на рис. 3.1,а, заменяется на расчетной схеме (рис. 3.1,6) нагрузкой 
равномерно распределенной по длине оси бруса.
При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при переменной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной.
Нагрузка, распределенная по поверхности, характеризуется ее интенсивностью 
представляющей собой предел отношения равнодействующей нагрузки 
приходящейся на весьма малую площадку, к величине этой площадки 
когда она стремится к нулю, т. е.
Таким образом, интенсивность 
является мерой нагрузки, распределенной по поверхности сооружения; ее размерность — 
и т. д.
Мерой нагрузки, распределенной по линии (например, подлине оси бруса —рис. 3.1,6), является ее интенсивность 
размерность которой 
и т. д. Такая нагрузка иногда называется погонной.
Сплошная нагрузка, распределенная по линии, изображается обычно в виде графика, показывающего (в определенном масштабе), как изменяется ее интенсивность по длине оси бруса. Такой график называется эпюрой нагрузки. При равномерной нагрузке эпюра ограничена прямой, параллельной оси бруса (рис. 3.1,6), а при неравномерной—прямой, наклонной к оси бруса, или кривой линией (в зависимости от закона изменения интенсивности).
Нагрузки, распределенные по объему тела (например, вес сооружения, силы инерции), называются объемными силами; их интенсивность имеет размерность 
и т. д.
К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок—активных сил, относятся также реакции связей — реактивные силы.
Нагрузки, распределенные по линии и сосредоточенные в точках, реально не существуют. Их можно получить лишь в результате схематизации реальных нагрузок, распределенных по объему (объемных сил) и по поверхности.
При составлении расчетной схемы в ряде случаев реальные нагрузки нельзя заменить одними лишь сосредоточенными и распределенными силовыми нагрузками. В этих случаях, кроме силовых, появляются и моментные нагрузки (см. рис. 2.1,6) в виде сосредоточенных моментов (пар сил) и моментов, распределенных по линии (длине) или по поверхности. Сосредоточенные моменты имеют размерности 
и т. д.; моменты, распределенные по линии,— 
и т. д., а моменты, распределенные по поверхности,— 
и т. д.
Нагрузки (силовые и моментные) различаются не только по способу их приложения (распределенные и сосредоточенные), но также по длительности действия (постоянные и временные) и характеру воздействия на конструкцию (статические и динамические).
Постоянные нагрузки (например, собственный вес конструкции) действуют на протяжении всего периода эксплуатации конструкции. Временные нагрузки (например, вес поезда) действуют в течение ограниченного промежутка времени. Величина статической нагрузки медленно возрастает от нуля до ее конечного значения, а потому эта нагрузка вызывает в конструкции весьма малые ускорения, в связи с чем возникающими при этом силами инерции можно в расчете пренебречь. Динамическая нагрузка (например, ударная) вызывает в конструкции или отдельных ее элементах большие ускорения, которыми при расчете пренебречь нельзя. Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки времени.
Временная нагрузка может сохранять более или менее постоянную величину в течение всего периода ее действия, а может непрерывно изменяться по некоторому закону; в последнем случае она называется переменной нагрузкой.
Если переменная нагрузка изменяется по циклическому (повторяющемуся) закону, то она называется циклической.
Напряжения
Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки.
Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных
по площади сечения. Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна
где 
равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке 
проведенного сечения (рис. 7.1,а).
Разложим силу 
на две составляющие: касательную 
и нормальную 
из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости. Интенсив-
ность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается 
а интенсивность нормальных сил—нормальным напряжением и обозначается 
(сигма). Напряжения 
выражаются формулами
Напряжения имеют размерность 
и т. д.
Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения 
в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1,6). Очевидно, что
Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкций, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение —интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений 
в каждой точке элемента зависят от направления сечения у проведенного через эту точку.
Совокупность напряжений 
действующих по различным площадкам проходящим через рассматриваемую точкуу представляет собой напряженное состояние в этой точке.
Нормальные и касательные напряжения имеют в сопротивлении материалов весьма важное значение, так как от их величин зависит прочность сооружения.
Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении бруса связаны определенными зависимостями с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Для получения таких зависимостей рассмотрим элементарную площадку 
поперечного сечения 
бруса с действующими по этой площадке нормальными 
и касательными напряжениями 
(рис. 8.1). Разложим напряжения 
на составляющие 
параллельные соответственно осям 
На площадку 
действуют элементарные силы 
параллельные соответственно осям 
Проекции всех элементарных сил (действующих на все элементарные площадки 
сечения 
на оси 
и их моменты относительно этих осей определяются выражениями
В левых частях этих выражений указаны внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях бруса, а именно: 
— продольная сила; 
поперечные силы, параллельные соответственно осям 
крутящий момент; 
—изгибающий
момент относительно оси 
(действующий в плоскости 
— изгибающий момент относительно оси 
(действующий в плоскости 
Деформации и перемещения
Под действием нагрузки конструкция деформируется, т. е. ее форма и размеры изменяются. Рассмотрим, что представляют собой деформация и перемещение.
Мысленно через точку 
тела в направлениях осей 
проведем бесконечно малые отрезки 
длина которых 
(рис. 9.1). Обозначим 
изменения длин этих отрезков
после приложения нагрузки к телу (когда точки 
переместятся в положения 
Отношение 
представляет собой линейную деформацию 
(эпсилон) в точке 
т. е. 
Аналогично
Изменение первоначально прямого угла между отрезками 
после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию 
(гамма) в точке 
в плоскости 
Аналогично 
представляют собой угловые деформации в плоскостях 
Деформации конструкции в каждой ее точке по любым направлениям известны, если определены линейные деформации 
направлениях осей 
прямоугольной системы координат и угловые деформации 
в плоскостях 
Линейные и угловые деформации—величины безразмерные. Деформацию 
часто называют относительной линейной деформацией а деформацию 
—относительным сдвигом.
Совокупность линейных деформаций 
по различным направлениям и угловых деформаций 
по различным плоскостям у проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точке.
Деформации 
возникающие в каждой точке тела под действием нагрузки, вызывают, как уже отмечалось, изменение его формы и размеров. В результате этого точки тела перемещаются в новые положения, а элементарные (бесконечно малые) отрезки, соединяющие каждую пару близко расположенных друг к другу точек, поворачиваются.
Для примера рассмотрим рис. 10.1, на котором сплошной линией показан брус до приложения к нему нагрузки, а штриховой—деформированный брус. Отметим на брусе произвольную точку 
и проведем через нее короткий отрезок прямой, соединяющий точки 
(отрезок 
В результате деформации бруса точка 
перейдет в положение 
а отрезок 
—в положение
Расстояние 
представляет собой линейное перемещение (смещение) 
точки 
а угол 
между направлениями отрезков 
поворот отрезка 
(угловое перемещение).
Продольная сила
Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, изгибающие моменты и крутящий момент) равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием).
На рис. 1.2у а изображен прямой брус, закрепленный одним концом и нагруженный на другом конце силой 
направленной вдоль его оси.
Во всех поперечных сечениях этого бруса возникают только продольные растягивающие силы и, следовательно, такой брус по всей длине является центрально растянутым. При противоположно направленной силе 
(рис. 1.2,6) брус по всей длине испытывает сжатие*.
Брус, изображенный на рис. 1.2,6, испытывает центральное растяжение только на участках 
на участке 
брус не является центрально растянутым, так как, например, в сечении 
кроме продольной силы, действуют также поперечная сила и изгибающий момент.
Растягивающие продольные силы принято считать положительнымиу а сжимающие—отрицательными.
На рис. 2.2, а изображен брус, нагруженный силами 
направленными вдоль его оси, двумя силами 
параллельными оси и приложенными на равных расстояниях от нее в поперечном сечении 
а также двумя силами 
направленными под углом 
к оси бруса и приложенными в поперечном сечении 
на равных расстояниях от оси.
На рис. 2.2,6 изображена расчетная схема, полученная путем замены бруса его осью и переноса внешних нагрузок к этой оси.
Силы 
на расчетной схеме действуют вдоль оси бруса; силы 
и силы 
показанные на рис. 2.2, а, приводятся соответственно к силам 
также направленным вдоль оси. Таким образом, на расчетной схеме (рис. 2.2,6) все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следова-тельно, в поперечных [сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные силы.
Определим в качестве примера продольную силу 
в сечении 
(рис. 2.2,6). На рис. 2.2,6, г показаны продольные силы 
действующие на левую (относительно сечения 
и на правую части бруса. Направления этих сил приняты в предположении, что они являются растягивающими (т. е. положительными). Если в результате расчета значение 
получается со знаком «минус», то это означает, что в действительности брус в сечении 
сжат.
Для определения силы 
воспользуемся методом сечений. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на левую его часть (рис. 2.2, в):
откуда
Этот же результат можно получить и не составляя уравнения равновесия, а используя то положение, что на основании метода
сечений проекция внутренних сил на ось бруса (т. е. продольная сила), действующих со стороны левой его части на правую, равна сумме проекций на эту же ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Следовательно,
Силы 
взяты со знаком «плюс», потому что их направление совпадает с положительным направлением силы 
действующей на правую часть бруса.
Аналогично найдем продольные силы в сечениях 
(рис. 2.2,6), проектируя силы, приложенные слева от этих сечений, на ось бруса:
Очевидно, что на всем участке 
(между точками приложения сил 
продольная сила постоянна и равна 
аналогично и на других участках (между точками приложения внешних сил) продольные силы имеют постоянные значения.
Построим график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называемый эпюрой продольных сил (эпюрой 
Для этого проведем ось эпюры 
параллельную оси бруса (рис. 2.2, д), и перпендикулярно к ней отложим ординаты, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил в поперечных сечениях бруса.
Полученную таким путем эпюру принято штриховать (так же как и эпюры других внутренних усилий, рассматриваемые в последующих главах курса) прямыми линиями, перпендикулярными к ее оси. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса.
В поперечном сечении у в котором к брусу приложена сосредоточенная сила у не перпендикулярная к его осиу значение продольной силы изменяется скачкообразно: слева от этого сечения, продольная сила имеет одно, а справа—другое значение, отличающееся на величину проекции (на ось бруса) указанной сосредоточенной силы. В соответствии с этим эпюра, изображенная на рис. 2.2, д, имеет скачки (уступы) в точках 
, равные соответственно величинам 
и значению реакции опорного закрепления бруса.
Для построения эпюр внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях бруса, нет необходимости изображать и брус с действующими на него нагрузками и расчетную схему, а достаточно привести один из этих чертежей.
Точно так же нет необходимости изображать отдельные части бруса, на которые он расчленяется поперечными сечениями. Например, для решения рассмотренной задачи можно изобразить лишь брус (рис. 2.2у а) или его расчетную схему (рис. 2.2,6), а также эпюру продольных сил
(рис. 2.2, д) и мысленно представить остальные схемы, приведенные на рис. 2.2.
При действии на брус внешней распределенной осевой (т. е. направленной вдоль оси бруса) нагрузки продольные силы на участке, на котором такая нагрузка приложена, изменяются непрерывно. Для примера на рис. 3.2,6 показана эпюра продольных сил для бруса, изображенного на рис. 3.2, а. На этот брус, кроме двух сосредоточенных сил 
действует распределенная нагрузка (собственный вес бруса) интенсивностью 
Эпюра 
(рис. 3.2,6) построена на основе уравнений продольных сил, составленных для сечений, отстоящих от верхнего конца бруса на расстоянии 
а) для сечения 
Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса
Продольная сила 
возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):
здесь 
—нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке 
площадь поперечного сечения бруса.
Произведение 
представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку 
Величину продольной силы 
в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения же величин напряжений 
в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.
Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой 
Выражение (1.2) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений 
(например, при эпюрах 
изображенных на рис. 4.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо провести эксперимент.
Проведем на бокозой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 5.2). Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса.
При нагружении бруса осевой силой 
эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 5.2 штриховыми линиями). Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), сформулированную.
Представим мысленно брус состоящим из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси. Два любых поперечных 
сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой. Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину 
за знак интеграла. Таким образом,
откуда
Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.
При наличии ослаблений некоторых сечений бруса (например, отверстиями для заклепок), определяя напряжения в этих сечениях, следует учитывать фактическую площадь ослабленного сечения 
равную полной площади 
уменьшенной на величину площади ослабления 
Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений. Построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня рассмотрено в примере 1.2.
Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.
Обозначим 
угол между наклонным сечением 
и поперечным сечением 
(рис. 6.2, а). Угол 
условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.
Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения 
во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.
Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением 
t (рис. 6.2,6). Из условий ее равновесия следует, что напряжения 
параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе 
а внутренняя сила 
действующая в сечении 
равна 
Здесь 
—площадь наклонного сечения 
равная 
(где 
— площадь поперечного сечения 
бруса).
Следовательно, 
откуда
где 
нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.
Разложим напряжение 
на два составляющих напряжения: нормальное 
перпендикулярное к плоскости сечения 
и касательное 
параллельное этой плоскости (рис. 6.2, в).
Значения 
получим из выражений
Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке.
На рис. 6.2, в показано положительное касательное напряжение
а на рис. 6.2, г — отрицательное.
Из формулы (6.2) следует, что нормальные напряжения 
имеют значения от 
до нуля 
Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.
Из формулы (7.2) следует, что касательные напряжения имеют значения от 
отрицательный угол а показан на рис. 6.2, г. Значение 
равно нулю при 
(т. е. в поперечных сечениях бруса) и при 
Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.
Определим значение касательных напряжений 
в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 7.2).
Углы 
наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости 
По формуле (7.2)
Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку. Если продольная сила или размеры поперечных сечений бруса переменны по длине его оси, то напряжения 
в различных точках наклонного сечения имеют различные значения. Они могут определяться по формулам (6.2) и (7.2), но для каждой точки в эти формулы следует подставлять соответствующее значение 
подсчитанное для поперечного сечения, проходящего через рассматриваемую точку.
Продольные и поперечные деформации
Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длимой 
заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой 
(рис. 8.2, а). Под действием силы 
брус удлиняется на некоторую величину 
которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).
В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние и, следовательно, линейные деформации 
для всех его точек одинаковы. Поэтому значение 
можно определить как отношение абсолютного удлинения 
к первоначальной длине бруса 
т. е. 
Линейную деформацию
при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают 
Следовательно,
Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 8.2, а), а деформацию сжатия—отрицательной (рис. 8.2,6).
Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности (см. § 6.1, п. 4), опытом установлена следующая зависимость:
Здесь 
-—продольная сила в поперечных сечениях бруса; 
— площадь поперечного сечения бруса; 
—коэффициент, зависящий от физических свойств материала.
Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса 
получаем
откуда
Абсолютное удлинение бруса выражается формулой
т. е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.
Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.). Формулы (10.2)—(13.2) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса.
Более общей является следующая формулировка закона Гука [см. формулы (11.2) и (12.2)]: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.
Величина 
входящая в формулы (10.2)—(13.2), называется модулем упругости первого рода (сокращенно—модулем упругости) *. Эта величина—физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение 
тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация.
Произведение 
назовем жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.
В приложении 
приведены значения модулей упругости 
для различных материалов.
Формулой (13.2) можно пользоваться для вычисления абсолютной продольной деформации участка бруса длиной 
лишь при условии, что сечение бруса в пределах этого участка постоянно и продольная сила 
во всех поперечных сечениях одинакова.
Кроме продольной деформации, при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении —уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимаюших сил 
обозначить 
а после приложения этих сил 
(рис. 9.2), то величина 
будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса.
Отношение 
является относительной поперечной деформацией.
Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости (см. § 6.1, п. 3), относительная поперечная деформация 
прямо пропорциональна относительной продольной деформации 
но имеет обратный знак:
Коэффициент пропорциональности 
в формуле (14.2) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение относительной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т. е.
Коэффициент Пуассона 
наряду с модулем упругости 
характеризует упругие свойства материала.
Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25—0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36. Ориентировочные значения коэффициента Пуассона для различных материалов приведены в приложении 
Примеры расчета с решением задач
Пример решения задачи 1.2.
Для стального бруса, изображенного на рис. 37.2, а, построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещений этих сечении, а также определить потенциальную энергию деформации. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять 
- Решение:
Продольную силу в поперечном сечении определяем, проектируя внешние силы, приложенные ниже рассматриваемого сечения, на ось бруса:
а) на участках 
б) на участке 
По полученным значениям строим эпюру продольных сил 
(рис. 37.2,6).
В поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, величины которых определяются по формуле (3.2):
а) на участке 
б) на участке 
в) на участке 
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений 
(рис. 37.2, в).
Поперечные сечения бруса под действием нагрузки смещаются по вертикали вниз. Величина 
смещения сечения, расположенного на расстоянии 
от верхнего конца бруса, равна деформации участка длиной 
:
а) для сечений на участке 
перемещение сечения 
(при 
для сечении на участке 
перемещение сечения 
в) для сечений на участке 
перемещение сечения 
Во все полученные выражения 
координата 
входит в первой степени, т. е. зависимость между 
линейная. Это позволяет по подсчитанным перемещениям сечений 
и по известному перемещению 
сечения 
построить эпюру перемещений 
(рис. 37.2,
Для вычисления потенциальной энергии деформации бруса воспользуемся формулой (28.2):
Пример решения задачи 2.2
Определить напряжения в поперечных сечениях стального бруса, имеющего форму усеченного конуса, изображенного на рис. 38.2, а также перемещение верхнего сечения и потенциальную энергию деформации бруса. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять 
- Решение:
Продольная сила во всех поперечных сечениях бруса одинакова: 
(сжатие). Нормальные напряжения в поперечном
сечении бруса, отстоящем на расстояние 
от верхнего конца, определяются по формуле (3.2):
где
Поэтому
Перемещение верхнего конца бруса (вниз) равно укорочению всего бруса и определяется по формуле (18.2):
Потенциальную энергию деформации бруса находим по формуле (31.2):
Проверяем равенство потенциальной энергии деформации работе внешней силы 
[см. формулу (21.2)]:
Пример решения задачи 3.2
Стальной стержень площадью поперечного сечения 
закреплен верхним концом и находится под действием собственного веса (рис. 39.2,о). Найти наибольшую, допустимую по условию прочности длину стержня 
потенциальную энергию деформации этого стержня, а также перемещение его нижнего конца и сечения 
Объемный вес стали 
Допускаемое напряжение на растяжение 
Модуль упругости 
- Решение:
Обозначим 
расстояние от нижнего конца стержня до произвольного поперечного сечения. Продольная сила 
в сечении 
равна [см. формулу (32.2)]:
где 
в см.
Нормальные растягивающие напряжения в этом сечении
Наибольшие напряжения возникают в верхнем сечении стержня:
При наибольшей допустимой длине стержня напряжения в опасном (верхнем) сечении должны быть равны допускаемому напряжению; условие прочности для данной задачи имеет вид 
откуда
Таким образом, допустимая по условию прочности длина стержня получается очень большой. Поэтому учет собственного веса вертикальных стержней необходим только в редких случаях —при весьма большой их длине, например при расчете тросов подъемников в глубоких шахтах. В большинстве же практических случаев расчет таких стержней производится без учета собственного веса.
Потенциальная энергия деформации стержня на основании формулы (37.2) равна:
где 
— вес стержня.
Перемещение нижнего конца стержня равно полному его удлинению и может быть определено по формуле (35.2).
Следовательно, 
Перемещение 
сечения 
стержня равно деформации его верхнего участка длиной 
Для вычисления этой деформации определяем вес участка стержня 
ниже сечения 
и вес 
верхнего участка
Сила 
при определении деформации верхнего участка стержня рассматривается как сосредоточенная сила, приложенная к его нижнему концу, а сила 
является собственным весом этого участка и вызванное ею удлинение определяется по формуле (35.2), т. е. так/ как если бы эта сила была приложена в центре тяжести рассматриваемого участка (рис. 39.2,6). Таким образом, 
Готовые задачи с решением
Задача готовая с решением 2.1.
Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещении поперечных сечении по длине ступенчатого бруса, нагруженного, как показано на рис. 2.1, о. Материал бруса сталь 
- Решение:
Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых преложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка.
- При применении метода сечений, как известно, принципиально безразлично, равновесие какой из отсеченных (левой или правой) частей бруса рассматривать. В данном случае, применяя метод сечений, будем оставлять левую и отбрасывать правую отсеченную часть бруса, при этом отпадает надобность в предварительном определении реакции заделки.
Проведем произвольное сечение 
на участке 
и рассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно на рис. 2.1, б. Продольная сила в этом сечении 
эту силу находим, проектируя на ось 
бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Легко видеть, что то же значение продольной силы сохраняется для любого сечения участка 
т. е. 
(для произвольного сечения 
проведенного на участке 
продольная сила определяется на основе рис. 2.1, в).
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:
|
Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением |
Проводя сечение на участке 
например 
и рассматривая равновесие левой отсеченной части, изображенной на рис. 2.1 г, найдем:
После приобретения некоторого навыка в применении метода сечений можно не изображать отдельно отсеченную часть, а просто пользоваться соотношением
Заметим, что реакция заделки равна 
Таким образом, если определять значения продольных сил, оставляя каждый раз после проведения сечения правую часть бруса, конечно, получим те же результаты.
Построим график (эпюру), показывающий, как меняется 
по длине бруса. Для этого, проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси ординат. Так как в пределах одного или даже двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Полученный график принято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса. Каждая линия штриховки (ордината графика) в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против нее поперечном сечении бруса (рис. 2.1, д).
Эпюру нормальных напряжений (рис. 2.1, е) получим, разделив значения 
на соответствующие площади поперечных сечений бруса.
Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине.
Абсолютное (т. е. отсчитываемое от неподвижного сечения) перемещение 
произвольного поперечного сечения равно изменению длины части бруса, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Относительное перемещение двух поперечных сечений бруса равно изменению длины части бруса, заключенной между этими сечениями.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Эпюру перемещений следует строить, начиная от защемленного конца. Перемещение произвольного сечения 
взятого в пределах участка 
бруса, равно удлинению части бруса длиной 
(см. рис. 2.1, а)
Полученное выражение показывает, что перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону. Нетрудно убедиться, что при нагружении бруса сосредоточенными силами в пределах каждого участка эпюра перемещений будет линейной; поэтому для ее построения достаточно определить перемещения сечении, совпадающих с границами участков.
Перемещение сечения 
равно удлинению участка 
Перемещение сечения 
относительно сечения 
равно удлинению участка 
Абсолютное перемещение сечения 
равно перемещению сечения 
плюс перемещение сечения относительно
Перемещение сечения 
относительно 
равно удлинению участка 
Абсолютное перемещение сечения 
найдем, просуммировав 'величины
Построенная по полученным данным эшора перемещений показана на рис. 2.1, ж. На эпюре отмечены также относительные (взаимные) перемещения сечений, являющихся границами участков.
Следует иметь в виду, что тангенсы углов наклона отдельных участков эпюры 
пропорциональны ординатам эпюры 
на соответствующих участках. Так, например, для участка 
Указанную зависимость между эпюрами рекомендуется использовать для, так сказать, качественного контроля эпюры перемещений, т. е. не для окончательной оценки правильности эпюры, но, по крайней мере, для оценки ее правдоподобности. Имеются в виду следующие показатели правдоподобности эпюры 
а) чем больше ординаты эпюры 
тем больший наклон к оси абсцисс имеет эпюра (предполагается, что материал всех участков бруса одинаков; б) при перемене знака меняет знак тангенс угла наклона эпюры 
Рис. 2.2 иллюстрирует построение эпюры перемещений на основе принципа независимости действия сил. На рис. 2.2, б показана 
эпюра 
от действия только силы 
(рис. 2.2, а), а на рис. 2.2, г — эпюра 
от действия только силы 
(рис. 2.2, в). Просуммировав
получим эпюру по рис. 2.1, ж. указанные эпюры, получим эпюру по рис. 2.1, ж.
Задача готовая с решением 22.
Определить удлинение дюралюминиевой полосы переменного сечения (рис. 2.3). Принять 
- Решение:
Для определения удленения бруса ( полосы) непрерывно переменного поперечного сечения пременим формулу (2.3)
В нашем случае 
Переменную площадь сечения 
следует выразить через заданные размеры и координату 
поперечного сечения; при этом для упрощения последующих выкладок примем начало координат в точке 
пересечения боковых сторон трапеции, представляющей 
собой вертикальную проекцию полосы (рис. 2.4). Из подобия треугольников 
получаем:
откуда
Площадь 
произвольного поперечного сечения с абсциссой 
при этом
или 
и окончательно
Подставив значение 
в формулу для удлинения, получим
Подставив числовые значения, найдем:
Задача готовая с решением 23.
Определить диаметры поперечных сечений стержней 
поддерживающих узел машины (рис. 2.5, а). Допускаемые напряжения: на растяжение 
на сжатие
- Решение:
1. Применяя метод сечений, разрезаем стержни; возникающие в них продольные силы обозначаем соответственно:
в стержне 
в стержне 
в стержне 
Рассматриваем равновесие узла ВСЕ под действием приложенных к нему сил 
(рис. 2.5, б). .Предполагаем, что все стержни растянуты, т. е. направляем усилия от шарниров 
2. Определяем усилия в стержнях
где 
— угол между 
и горизонталью
откуда
Знак минус указывает, что стержень 
сжат.
3. Определяем требуемые площади сечении стержней и их диаметры:
Б. Статически неопределимые системы
Задача готовая с решением 2.4.
Для бруса, жестко заделанного обоими концами и натруженного вдоль оси силами 
приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 2.6, а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.
- Решение:
В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой, и статика дает лишь одно уравнение равновесия
или
Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, например правую, и заменим ее действие на брус соответствующей силой реакции 
В результате получен брус, защемленный одним концом (статически определимый брус) и нагруженный, кроме заданных сил 
неизвестной пока силой 
(рис. 2-6, б).
Брус по рис. 2.6, б нагружен так же, как заданный — эквивалентен заданному. Следовательно, перемещение сечения 
рассматриваемого бруса равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) это сечение жестко заделано
Подчеркиваем, что 
— суммарное перемещение сечения 
т. е. от действия всех сил 
Применив принцип независимости действия сил, представим уравнение перемещений в виде
т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности: 
— удлинению участка 
— сумме удлинений участков 
-сумме укороченных участков 
Подчеркнем еще раз, что определяя перемещение ссчсния 
от каждой силы в отдельности, предполагаем, что она действует только одна (конечно, с соответствующей ей реакцией опоры 
а остальные силы в это время отсутствуют.
Подставив найденные значения 
в уравнение перемещений, получим
откуда 
Окончательно получаем 
Конечно, можно не определять специально реакцию 
левой заделки, так как она численно равна продольной силе в сечениях крайнего левого участка бруса, а эпюру продольных сил можно строить, начиная с правого конца.
Построение эпюры продольных сил и нормальных напряжений ничем не отличается от рассмотренного в задаче 2.1, так как после определения реакции 
брус по рис. 2.6, б представляет собой статически определимый брус, нагруженный известными силами. Упомянутые эпюры представлены на рис. 2.6, в, г.
Эпюру перемещений строим, начиная с левого конца бруса; при построении используем эпюру 
Построение эпюры перемещении служит в некоторой степени для контроля правильности решения задачи. Действительно, начиная строить эпюру от левого заделанного конца и получая в сечении 
ординату эпюры, равную нулю, мы тем самым имеем подтверждение правильности определения реакции. Вычисления характерных ординат эпюры не приводим, ограничиваясь их указанием на чертеже (рис. 2.6, й).
Для контроля правильности решения рассмотренной в подобных ей задач можно проверить, соблюдается ли равенство потенциальной энергия деформации бруса и работы приложенных к нему внешних сил.
Выполним згу проверку для решенной задачи.
Потенциальная энергия деформации бруса ступенчато-переменною поперечного сечения, нагруженного сосредоточенными силами, определяется по формуле
Применительно к данной задаче имеем: 
Работа внешних сосредоточенных сил определяется по формуле
где 
— перемещение точки приложения сил 
вызванное действием всех приложенных к брусу сил.
Значение 
берем из построенной эпюры перемещений 
Таким образом, равенство 
выполняется.
Кратко остановимся ва особенностях решения некоторых задач, аналогичных рассмотренной.
1. Предположим, что до нагружения бруса между его правым торцом н заделкой имелся малый зазор 
Если при нагружении бруса зазор не закрывается, то система статически определима (см. задачу 2.1). Если величина абсолютного удлинения бруса (в предположении, что он может деформироваться свободно, т. е. правая чадепкя вообще отсутствует) больше зазора, то между правым торцом бруса и заделкой после его нагружения возникнет сила взаимодействия, определить которую с помощью одних лишь уравнений сипни нельзя — система будет статически неопределима. Отличие ее от предыдущей (2.4) состоит в том, что суммарное (от заданных сил и правой опорной реакции) перемещение правого торца бруса следует приравнять не нулю, а величине зазора
В остальном решение не отличается от рассмотренного.
2. Если брус, подобный рассмотренному в задаче 2.4, подвергается нагреву (или охлаждению) на 
то, составляя выражение для суммарного перемещения сечения 
надо учесть свободное температурное удлинение (укорочение) бруса. Например, если брус нагревается по всей длине, то
где 
— коэффициент температурного линейного расширения;
— длина бруса.
В случае наличия зазора (до нагружения и нагрева) между торцом бруса и заделкой суммарное перемещение, вычисленное с учетом влияния температуры, следует, как уже указывалось, приравнять величине зазора. Конечно, это имеет смысл лишь при условии, что при нагружении и нагреве бруса зазор закрывается, в противном случае — система статически определима.
Задача готовая с решением 2.5.
Между двумя брусьями, каждый из которых жестко защемлен одним концом, при отсутствии нагрузки имеется небольшой зазор 
(рис. 2.7). Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжении и перемещений поперечных сечений, возникающих при нагружении брусьев заданной системой сил (см. рис. 2.7). Материал брусьев одинаков.
- Решение:
В зависимости от величины зазора, размеров брусьев, их вшрузкн и материала, из которого они изготовлены, могут быть два основных варианта работы заданной системы.
1. При нагружении брусьев заданной системой сил (см. рис. 2.7)
сечения 
верхнего и 
нижнего брусьев не соприкасаются друг с другом, т. е. зазор между брусьями не закрывается. При этом каждый брус работает независимо от другого и представляет собой статически определимую систему. То же будет при условии, что сечения 
лишь сомкнутся, но сил взаимодействия между брусьями не возникнет.
2. При нагружении брусьев зазор закрывается и между ними возникают силы взаимодействия. В этом случае система из двух брусьев, работающих совместно, окажется статически неопределимой — получается, по существу говоря, один брус, жестко защемленный обоими концами; из предыдущего (см. задачу 2.4) известно, что такая система статически неопределима.
Для выяснения вопроса о том, какой из двух указанных вариантов работы системы имеет место в действительности, определим, какие перемещения имели бы сечения 
если каждый брус работал независимо от другого.
Перемещение сечения 
верхнего бруса от действия сил 
равное удлинению участков 
(сечение 
перемещается вниз):
Перемещение сечения 
нижнего бруса от действия силы 
равное укорочению участка 
(сечение 
перемещается вниз):
Оказалось, что 
т. е. хотя сечения 
перемещается вниз, во сечение 
как бы «догоняет» его, зазор закрывается и между брусьями возникает сила взаимодействия, которую в дальнейшем будем обозначать 
(заметим, что если бы оказалось 
то это означало бы закрытие зазора без возникновения силы взаимодействия между брусьями).
Для определения силы 
составим уравнение перемещений, рассматривая каждый из брусьев нагруженным помимо заданных сил так же и силой 
(рис. 2.8, а). Для каждого из брусьев, очевидно, сила 
будет сжимающей. На рис. 2.8, б сплошными линиями показаны недеформированные брусья, а штриховыми — их деформации. Из этой схемы следует, что
это есть уравнение перемещений для рассматриваемой задачи. Подчеркнем, что истинные перемещения сечений 
конечно, отличаются от перемещений 
определенных в предположении отсутствия взаимодействия между брусьями,— совершенно очевидно, что 
Применив принцип независимости действия сил, составим выражения для определения перемещений
Подставив эти значения в уравнение перемещений и учтя, что 
получим:
откуда
На рис. 2.9, а изображены заданные брусья в деформированном состоянии, т. е. при закрывшемся зазоре; силы
как внутренние для рассматриваемой системы, естественно, не показаны.
Эпюру продольных сил строим, ориентируясь на рис. 2.8, о, т. е. рассматривая каждый брус отдельно. Проводя произвольное поперечное сечение на участке 
находим:
для участка 
Аналогично определяем значения продольных сил для остальных участков; соответствующая эпюра изображена на рис. 2.9, б.
Эпюра нормальных напряжений, построение которой не нуждается в дополнительных пояснениях, показана на рис. 2.9, е.
Для построения эпюры перемещений вновь обратимся к рис. 2.8, с, а величины продольных сил возьмем с построенной Эпюры 
(см. рис. 2.9, б). Для верхнего бруса имеем (перемещения вниз, возникающие от растяжения отдельных участков этого бруса, условимся считать положительными):
( здесь и далее для сокращения записей вводим обозначение 
Эпюра перемещений, построенная по этим данным, изображена на рис. 2.9, г. Скачок на эпюре равен начальному зазору 
хотя на рис. 2.9, а сечения 
совмещены, но не надо забывать, что второе из этих сечений переместилось вниз от своего начального положения ва величину 
меньшую, чем переместилось сечение 
Таким образом, сечению 
на рис. Z9, а на эпюре 
соответствуют две отличающихся на 
друг от друга ординаты.
Дополнительно остановимся на особенностях решения задачи, аналогичной предыдущей, но отличающейся от нее тем, что направление силы 
действующей на нижний брус, изменено на противоположное (рис. 2.10, а). Сопоставляя условия этой и предыдущей задач, заключаем, что если при нагружении системы по рис. 2.7, как было установлено, зазор закрывается, то тем более он закроется в системе по рис. 2.10, а, т. е. система будет работать как статически неопределимая.
Для определения силы 
взаимодействия между брусьями (рис. 2.10, б) надо составить уравнение перемещений, приняв какое-либо из возможных предположений о характере деформаций системы. Можно, в частности, принять, что сечение 
перемещается вниз, а сечение 
— вверх, т. е. сечения смыкаются где-то в пределах начального зазора (рис. 2.10, в). При этом, как следует из схемы, уравнение перемещений будет иметь вид:
Подставляя выражения для перемещений и величины зазора, получаем: 
( в скобки заключены слагаемые, дающие отдельно величины 
Отсюда
Если принять, что сечение 
перемещается вниз на величину, большую чем 
то сечение 
также перемещается вниз; при этом для составления уравнения перемещении будем иметь схему, показанную на рис. 2.10, г. Из этой схемы следует, что
Подставляя сюда выражения для перемещений и величины зазора, получаем:
откуда следует прежний результат
Обращаем внимание на знаки в правой части уравнения: перемещение сечения 
принято вниз (см. рис. 2.10, г), поэтому перемещение от силы 
взято со знаком плюс — она вызывает перемещение сечения в принятом направлении, а от силы 
— со знаком минус, так как эта сила, действуя независимо, вызвала бы перемещение в направлении, обратном принятому.
Рекомендуем читателю самостоятельно выполнить все выкладки, необходимые для построения эпюр 
для возможности самоконтроля на рис. 2.11, а, б, в изображена заданная система после закрытия зазора и даны эпюры 
Задача:
Стержень переменного сечения защемлен одним концом в сечении 
и нагружен центрально продольными силами 
На рис. 1.2 схематично изображен заданный стержень.
Форма всех поперечных сечений стержня - квадрат со стороной 
Длины участков по ступеням - 
Материал стержня - сталь 
Модуль нормальной упругости - 
Допускаемое напряжение - 
Исходные данные по номеру варианта из табл. 1.1: 
- Решение:
1. Вычерчиваем расчетную схему с заданными внешними нагрузками (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Схема действительных направлений реакции 
и внутренних усилий. Эпюры усилий 
и напряжений 
по участкам стержня
В расчетной схеме в центре опорного закрепления стержня в точке 
изображаем реакцию опоры 
Так как неизвестно направление реакции 
произвольно указываем его предполагаемое направление.
2. Определяем опорную реакцию в защемлении.
Составляем уравнения статики - уравнения равновесия всех
внешних сил:
Для данного стержня достаточно составить лишь одно уравнение статики, из которого находим 
Результат вычислений получен со знаком «+», следовательно, принятое перед расчетом направление реакции
было выбрано правильно.
3. Определяем внутренние усилия 
в зависимости от внешних сил.
Для определения в любом поперечном сечении стержня внутренних усилий разграничиваем его на характерные участки (I, II, III, IV).
Каждый участок имеет свою функцию нормального усилия, зависящего от координаты 
сечения и внешних сил соседнего участка, т.е.
Границами участков являются точки приложения внешних сил 
Нумеруем участки (см. рис. 1.3).
Определяем внутренние усилия 
методом сечений. В пределах каждого участка проводим произвольное сечение, которое делит стержень на две части. В центре тяжести сечения изображаем внутреннее усилие 
в произвольно предполагаемом направлении.
Полагаем направление положительным, совпадающим с положительным направлением оси 
а усилие 
- растягивающим, имеющим знак «+». Рассматриваем равновесие одной из них (в данном примере рассматриваем левые отсеченные части стержня). Записываем уравнения равновесия отсеченных частей стержня по каждому участку:
I участок 
II участок 
III участок 
IV участок 
По уравнениям равновесия составляем выражения внутреннего усилия 
для каждого участка:
I участок 
II участок 
III участок 
IV участок 
4. Вычисляем нормальные усилия 
и строим их эпюру по участкам.
5. Определяем нормальные напряжения 
в сечениях стержня по участкам, учитывая, что площадь квадратного поперечного сечения 
по условию 
Напряжения вычисляем в МПа:
Строим эпюру нормальных сил 
и эпюру нормальных напряжений 
по участкам (см. рис. 1.3).
По эпюре нормальных напряжений 
видно, что наиболее напряженным является IV участок стержня.
6. Проверяем прочность стержня по допускаемому напряжению: 
Так как 
условие прочности выполняется.
7. Определяем абсолютные деформации участков стержня.
По закону Гука 
или 
тогда
8. Вычисляем величину полного удлинения стержня.
Из условий закрепления стержня увеличение его общей длины на величину 
возможно (см. рис. 1.2), так как нет ограничений на перемещение вдоль оси 
какой-либо точки, в том числе возможно перемещение и конца стержня в точке 
Полное удлинение стержня выражается алгебраической суммой абсолютных деформаций его участков и равно
или
Результаты.
Определены внутренние продольные нормальные усилия 
и соответствующие им нормальные напряжения 
в характерных поперечных сечениях стержня.
Построены эпюры нормальных усилий 
и напряжений 
Определено полное удлинение стержня 
Вывод.
- Наиболее нагруженным является IV участок стержня. Все сечения этого участка имеют одинаковую величину максимального нормального напряжения, равную 100 МПа.
Заключение.
Действующие нормальные напряжения в любом сечении стержня не превышают допускаемого напряжения, т.е. условие прочности стержня выполняется.
Задача:
Статически неопределимый стержень постоянного поперечного сечения защемлен обоими концами и нагружен продольными осевыми силами 
(см. рис. 2.1). Раскрыть статическую неопределимость стержня. Определить внутренние усилия в поперечных сечениях стержня. Выполнить деформационную проверку правильности вычислений при решении задачи.
Решение задачи оформить в алгебраическом виде, используя символы параметров.
Исходные данные - по номеру варианта из табл. 2.1 и по рис. 2.1.
Внешние осевые силы: 
Расстояния между точками приложения сил: 
Модуль упругости материала стержня - 
Площадь поперечного сечения стержня - 
Требуется:
- - раскрыть статическую неопределимость задачи с помощью деформационного уравнения;
- - построить эпюру нормальных усилий
- - построить эпюру линейных перемещений
поперечных сечений.
Решение:
1. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 2.2). 
Предварительно на схеме в местах закрепления показываем неизвестные реакции 
с произвольными направлениями.
Определяем границы характерных участков 
2. Составляем уравнения равновесия всех внешних активных и реактивных сил (уравнения статики: 
Подставив значения 
по заданию, получим уравнение статики в виде
Получено силовое тождество 
Относительно осей 
дополнительные уравнения статики обращаются в пустые тождества 
так как отсутствуют силы, параллельные этим поперечным осям.
Имеем одно уравнение 
с двумя неизвестными 
Требуются дополнительные уравнения для раскрытия статической неопределимости, количество которых определяется степенью неопределимости.
3. Определяем степень статической неопределимости.
Степень статической неопределимости 
определяется как
разность между количеством неизвестных и количеством уравнений:
Следовательно, система «стержень-опоры» один раз статически неопределима. Поэтому достаточно составить еще одно уравнение, выражающее взаимосвязь силовых факторов с деформациями материала.
4. Составляем деформационное уравнение.
Деформационное уравнение возможно составить, применив
две системы: основную - конструктивную (рис. 2.3) и эквивалентную - грузовую (рис. 2.4).
Основная система (ОС) получается из заданной путем изменения ее конструкции, т.е. мнимого освобождения ее от лишней связи (от опоры) и внешних сил.
Принимаем за лишнюю связь защемление в опоре
Загрузив основную систему всеми внешними силами, получим эквивалентную систему (ЭС) при условии, если в сечении 
приложим фиктивную неизвестную силу 
(см. рис. 2.4), величина которой будет удовлетворять условию эквивалентности расчетной схемы на рис. 2.2. 
Нагружаем основную систему заданными силами и накладываем следующее условие ее эквивалентности заданной системе сил: перемещение сечения 
в заданной и эквивалентной системах должно быть одинаковым, т. е. 
Таким образом, создано деформационное уравнение 
Представим его в развернутом виде.
Перемещение 
сечения 
вызванное абсолютными деформациями - удлинениями и (или) укорочениями участков стержня -выразим через приложенные нагрузки, применяя принцип независимости действия сил: 
где 
- перемещение сечения 
от неизвестной силы 
перемещение сечения 
от каждой из известных сил 
Таким образом, составлено уравнение совместности деформаций в физической форме.
Нагрузки, вызывающие сжатие, считаем отрицательными, а направление их действия - противоположным положительному направлению оси 
Выразим деформации в уравнении (2.2) по закону Гука в следующем виде:
Деформации по закону Гука в зависимости от действия каждой силы, от геометрических размеров и модуля упругости материала стержня имеют следующие выражения:
где 
жесткость стержня при растяжении (сжатии).
Подставляя выражения (2.3)-(2.6) в деформационное уравнение (2.2) и заменяя силовые и геометрические параметры на данные варианта задачи в символах, в результате преобразований получим:
Преобразуем уравнение (2.7), умножив каждую его часть на жесткость стержня 
Получим: 
или 
Так как 
т.е. - найдено лишнее неизвестное.
Следовательно, статическая неопределимость раскрыта. 5. Решаем совместно уравнения (2.1) и (2.7а) для определения второй неизвестной силы - реакции 
С помощью деформационного уравнения (2.7а) получено:
Из уравнения статики (2.1) имеем
Оба значения реакций со знаком «+» указывают на правильность принятого перед расчетом предварительного направления реакций.
Таким образом, все внешние силы стали известными, реакции найдены.
6. Определяем внутренние усилия 
методом сечения. В данном примере рассматриваются левые отсеченные части.
На I участке 
На II участке 
Ha III участке 
На IVучастке 
Строим эпюры нормальных усилий (рис. 2.5).
7. Определяем перемещения граничных сечений 
Перемещение конца какого-либо участка равно сумме деформаций предыдущих участков и его абсолютной деформации:
Строим эпюру в символике перемещений 
используя произведение числового коэффициента на дробь 
( см. рис. 2.5) .
Результаты:
Составлены уравнение статики и деформационное уравнение. С помощью основной и эквивалентной систем раскрыта статическая неопределимость стержня.
Определены все неизвестные внешние силы. Определены значения внутренних нормальных сил. Определены оссвые продольные деформации участков стержня. Вывод.
На основе полученных выражений осевых деформаций выполнена деформационная проверка правильности вычислений расчета задачи.
Заключение:
Построение эпюры перемещений 
является деформационной проверкой и подтверждением правильности расчета.
Равенство нулю перемещения концевого сечения 
показывает, что статическая неопределимость раскрыта верно.
Далее представим листинг вычислений расчета задачи.
Сопротивление материалов и решение задач
Сопротивление материалов — наука, в которой изложены принципы и методы расчета частей сооружений и машин на прочность, жесткость и устойчивость.
Расчет на прочность служит для определения минимально необходимых размеров элементов конструкций, исключающих возможность разрушения под действием нагрузок.
Расчет на жесткость связан с определением деформаций и перемещений, возникающих в элементах конструкций. Жесткость считают обеспеченной, если упругие перемещения не превосходят заданных величин, допустимых при эксплуатации конструкции.
Под устойчивостью элементов сооружений подразумевают способность сохранять при действии нагрузки свою первоначальную форму.
Основной расчетный объект в курсе сопротивления материалов — брус, т. е. тело, поперечные размеры которого малы по сравнению с длиной. Брус с прямолинейной осью часто называют стержнем.
Осью бруса является линия, проходящая через центры тяжести всех его последовательно проведенных поперечных сечений, т. е. сечений, перпендикулярных к оси. В сопротивлении материалов принимают ряд допущений, упрощающих расчеты, .но в то же время обеспечивающих необходимую степень точности. К числу таких допущений относят:
- а) допущение об однородности и непрерывности материала, т. е. принимают, что свойства материала не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех его точках;
- б) допущение о малости рассматриваемых перемещений. Предполагают, что перемещения, возникающие в конструкции в результате ее деформации, настолько малы, что по сравнению с размерами элементов ими можно пренебречь;
- в) допущение о линейной зависимости между силами, действующими на конструкцию, и вызываемыми ими перемещениями. Согласно этому допущению величины упругих перемещений, возникающих в конструкции, прямо пропорциональны величинам вызвавших их сил;
- г) допущение об идеальной упругости материала. Предполагают, что материал обладает способностью полностью восстанавливать первоначальные размеры и форму после устранения нагрузок. Это допущение справедливо при ограниченных нагрузках, выше которых в материале возникают остаточные деформации, не исчезающие после удаления нагрузки;
- д) допущение, называемое принципом независимости действия сил. Согласно этому принципу, результат воздействия на сооружение системы нагрузок, приложенных одновременно, равен сумме результатов воздействия тех же нагрузок, прикладываемых к телу по отдельности. Использование принципа независимости действия сил возможно при условии соблюдения допущений
- е) допущение, именуемое гипотезой плоских сечений (Я. Бернулли), на основании которой предполагают, что плоские поперечные сечения, проведенные в брусе до деформации, остаются плоскими и нормальным,и к продольной оси и после деформации.
Внутренние силы. Метод сечений
Внутренними силами называют силы действия одних частей тела на другие. Если на данное твердое тело не действуют никакие внешние силы, то внутренние силы все же в нем имеются; они и обеспечивают существование тела как такового. Приложение к этому телу внешних сил приведет к некоторому изменению внутренних сил; иначе говоря, вследствие приложения к телу внешних сил в нем возникают дополнительные внутренние силы. Эти силы сопротивляются стремлению внешних сил изменить форму тела, отделить одну его часть от другой.
В сопротивлении материалов изучают только дополнительные внутренние силы, возникающие в результате деформаций, вызванных внешними силам.
Для определения внутренних сил, возникающих в брусе от действия внешних нагрузок, применяют метод сечения.
Пусть на брус действует уравновешенная система внешних сил 
расположенных в одной плоскости (рис. 1, а). Мысленно рассечем брус на две част,и сечением 
Затем одну из частей отбросим, например правую (рис. 1, б). Оставшаяся левая часть под действием внешних сил окажется неуравновешенной, так как до рассечения бруса она уравновешивалась теми внутренними силами, которые действовали на нее со стороны правой части. Поскольку связь между частями нарушена, необходимо для восстановления равновесия левой части приложить по сечению 
те внутренние силы, которые заменяют действие отброшенной правой части на левую.
Следовательно, применив метод сечений, рассматриваем равновесие отсеченной части бруса (левой или правой), находящейся под действием заданных нагрузок, приложенных к ней, и внутренних сил, действующих по сечению.
При этом силы, внутренние для тела в целом, оказываются внешними для его оставленной (отсеченной) части.
Так как закон распределения внутренних сил по сечению не известен, то следует воспользоваться правилами статики и привести систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор 
и главный момент 
внутренних сил, возникающих в рассматриваемом сечении (рис. 1, о). Выберем далее систему
координат 
и, разложив главный вектор по осям 
получим для плоской системы сил две неизвестные силы 
и неизвестный момент 
которые определяют из трех уравнений статики, записанных для сил, приложенных к оставленной части бруса.
При пространственном расположении внешних сил получим шесть составляющих: три силы и три момента (рис. 2). Эти составляющие называют внутренними силовыми факторами. Составляющую главного вектора 
по нормали к сечению 
называют продольной (или нормальной) силой в сечении.
Силы 
называют поперечными. Момент относительно продольной оси 
называют крутящим, а моменты 
—изгибающими относительно осей 
Для определения этих шести усилий необходимо использовать шесть уравнений равновесия.
Основные виды деформаций бруса
О виде деформации бруса судят по тому, .какие внутренние силовые факторы возникают в его поперечных сечениях:
а) если на каком-то участке бруса в поперечных сечениях возникает только продольная сила 
(рис. 3, а), а прочие внутренние усилия обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие
в зависимости от направления силы 
(при растяжении продольная сила направлена от сечения);
б) если в поперечном сечении возникает только поперечная сила 
(рис. 3, б), то соответствующая часть бруса работает на срез (сдвиг);
в) если в поперечных сечениях бруса возникает только момент 
(рис. 3, в), то брус работает на кручение
г) в случае, когда в поперечных сечениях бруса возникает только изгибающий момент 
(или 
(рис. 3, г), то имеет место прямой чистый изгиб в плоскости 
Чаще всего в поперечном сечении бруса, наряду с изгибающим моментом (например, 
возникает и поперечная сила 
Тогда имеет место прямой поперечный изгиб.
Возможны случаи нагрузок, когда брус работает одновременно на изгиб и растяжение (сжатие), на кручение и изгиб и т. п. (эти случаи иногда называют сложным сопротивлением).
Итак, для нахождения внутренних силовых факторов в некотором поперечном сечении бруса следует:
а) рассечь брус плоскостью, совпадающей с этим сечением;
б) отбросить одну часть бруса;
в) приложить в месте проведенного сечения к оставшейся части бруса внутренние силы и моменты, заменяющие действие отброшенной части на оставленную;
т) найти значения этих сил и моментов из уравнений статики.
При определении внутренних силовых факторов к деформируемым телам применяют уравнения статики абсолютно твердого тела. Однако здесь же следует указать на ограниченность их применения, а именно: все приемы статики — сложение, разложение сил и их перенос —допустимы только в отношении сил, действующих по одну сторону от сечения. Иными словами, эти приемы можно применять только после проведения разреза и отбрасывания одной части бруса.
Напряжения
Внутренние усилия в сечении бруса, выражающие силу взаимодействия между двумя его частями, представляют собой равнодействующую тех действительных усилий взаимодействия, которые возникают в каждой точке сечения.
Допустим, что около некоторой точки 
сечения выделена элементарная площадку 
(рис. 4). Величина внутренней силы, возникающей на данной площадке, равна 
Предел отношения 
к элементу площади 
при безграничном уменьшении 
т. е.
называют полным напряжением в точке 
по площадке 
Основные виды деформаций бруса
О виде деформации бруса судят по тому, .какие внутренние силовые факторы возникают в его поперечных сечениях:
а) если на каком-то участке бруса в поперечных сечениях возникает только продольная сила 
(рис. 3, а), а прочие внутренние усилия обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие
в зависимости от направления силы 
(при растяжении продольная сила направлена от сечения);
б) если в поперечном сечении возникает только поперечная сила 
(рис. 3, 
то соответствующая часть бруса работает на срез (сдвиг);
в) если в поперечных сечениях бруса возникает только момент 
(рис. 3, в)} то брус работает на кручение-,
г) в случае, когда в поперечных сечениях бруса возникает только изгибающий момент 
(рис. 3, г), то имеет место прямой чистый изгиб в плоскости 
Чаще всего в поперечном сечении бруса, наряду с изгибающим моментом (например, 
возникает и поперечная сила 
Тогда имеет место прямой поперечный изгиб.
Возможны случаи нагрузок, когда брус работает одновременно на изгиб и растяжение (сжатие), на кручение и изгиб и т. п. (эти случаи иногда называют сложным сопротивлением).
Итак, для нахождения внутренних силовых факторов в некотором поперечном сечении бруса следует:
а) рассечь брус плоскостью, совпадающей с этим сечением;
б) отбросить одну часть бруса;
в) приложить в месте проведенного сечения к оставшейся части бруса внутренние силы и моменты, заменяющие действие отброшенной части на оставленную;
т) найти значения этих сил и моментов из уравнений статики.
•При определении внутренних силовых факторов к деформируемым телам применяют уравнения статики абсолютно твердого тела. Однако здесь же следует указать на ограниченность их применения, а именно: все приемы статики — сложение, разложение сил и их перенос —допустимы только в отношении сил, действующих по одну сторону от сечения. Иными словами, эти приемы можно применять только после проведения разреза и отбрасывания одной части бруса.
Внутренние усилия в сечении бруса, выражающие силу взаимодействия между двумя его частями, представляют собой равнодействующую тех действительных усилий взаимодействия, которые возникают в каждой точке сечения.
Допустим, что около некоторой точки 
сечения выделена элементарная площадку 
(рис. 4). Величина внутренней силы, возникающей на данной площадке, равна 
Предел отношения 
к элементу площади 
при безграничном уменьшении 
т. е.
называют полным напряжением в точке 
по площадке 
левой части, найдем величину этого усилия. Проектируя все силы на ось 
бруса, имеем
откуда
т. е. продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения. Если продольная сила в рассматриваемом сечении направлена от сечения —по внешней нормали к сечению. то рассматриваемая часть бруса работает ,на растяжение (рис. 7, а). Если продольная сила направлена к сечению, то
Пример с решением 1.
На рис. 8, а изображен брус, закрепленный одним концом и нагруженный силами 
направленными вдоль его оси. Определить продольные силы, возникающие в поперечных сечениях бруса, и построить эпюру продольных сил. Силу тяжести бруса не учитывать.
Решение:
Рассматриваемый брус имеет три участка: 
Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы (см. рис. 8, а). Так как силы 
действуют вдоль оси 
бруса, то в его поперечных сечениях возникают только продольные силы.
Конец бруса закреплен. Очевидно, опорная реакция будет направлена по оси бруса. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось 
откуда
(ниже будет показано, что в данной задаче можно обойтись без определения опорной реакции, так как все связи наложены в одном сечении).
Определим продольную силу в произвольном поперечном сечении 
участка 
бруса (заметим, что это сечение можно выбрать в любом месте между сечениями, проведенными через точки 
Для этого мысленно разрежем брус по сечению 
отбросим его верхнюю часть и приложим к оставшейся нижней части сечения
искомую продольную силу 
Примем, что эта сила направлена от сечения. Составим уравнение равновесия для поставленной (рис. 8,6) части бруса:
или
Продольная сила 
получилась положительной, следовательно, ее направление выбрано правильно и участок 
бруса работает на растяжение.
Найдем продольную силу в сечении 
участка 
Сделаем разрез по этому сечению, отбросим верхнюю часть бруса и к сечению 
оставшейся части приложим продольную силу 
направив ее от сечения
(рис. 8, в). Как видно из рис. 8, в, рассматриваемая часть находится в равновесии под действием внешних сил 
и продольной силы 
Составив уравнение равновесия. получим
откуда
Знак «плюс» показывает, что направление продольной силы 
было выбрано правильно, т. е. участок 
бруса работает на растяжение.
Найдем продольную силу в поперечных сечениях участка 
бруса, для чего проведем сечение 
Так как опорная реакция 
найдена, то проще отбросить нижнюю часть бруса и рассмотреть равновесие верхней части, приложив к сечению продольную силу 
направив ее по-прежнему от сечения (рис. 8, г). Верхняя часть находится в равновесии под действием внешней силы 
и продольной силы 
Составив уравнение равновесия, получим
или
Таким образом, участок 
бруса также работает на растяжение.
Нетрудно видеть, что то же значение продольной силы 
получим, если отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим равновесие нижней части (рис. 8, д). Точно так же, приложив в сечении 
продольную силу 
и составив уравнение равновесия, получим
откуда
Построим эпюру продольных сил. Эпюра продольных сил 
представляет собой график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса. Для построения графика проводим прямую линию 
параллельную оси бруса — эта линия ось или база эпюры.
Перпендикулярно к этой прямой откладываем в выбранном масштабе ординаты, пропорциональные величинам продольных сил (рис. 8, е), возникающих в соответствующих поперечных сечениях бруса.
Этот график принято штриховать линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждый штрих (ордината) в принятом масштабе представляет собой величину продольной силы в поперечном сечении бруса, соответствующем данной точке оси. Из эпюры продольных «сил видно, что точках 
и 
значения продольных сил изменяются скачкообразно. 
В расмотренном примере все продольные силы имеют положительные значения, поэтому на эпюре все ординаты расположены но одну сторону от оси (базы) эпюры.
Пример с решением 2.
Построить эпюру продольных сил для бруса, нагруженного, как указано на рис. 9, а. Силу тяжести бруса не учитывать.
Решение:
Рассмотрим сечение 
верхнего участка бруса 
Отбросим нижнюю часть и рассмотрим равновесие верхней отсеченной части, приложив в сечение 
продольную силу 
(рис. 9, б). Составив уравнение .равновесия, получим
откуда
Знак «минус» показывает, что направление силы 
обратно предположенному, т. е. в действительности она направлена к сечению 
соответствующий участок бруса испытывает сжатие. Следовательно, весь участок 
бруса работает на сжатие. Продольная сила, сжимающая этот участок, 
Рассмотрим сечение 
участка 
(рис. 9, в). После отбрасывания нижней части и приложения в сечении продольной силы 
направленной от сечения, будем иметь уравнение равновесия
или 
т. е. в любом сечении участка 
возникает продольная сжимающая сила 
направленная к сечению оставленной части.
Рассмотрим произвольное сечение 
участка 
После отбрасывания части, лежащей ниже этого сечения, и приложения в сечении продольной силы 
направленной от сечения (рис. 9, г), рассмотрим равновесие верхней ча-сти, находящейся под действием сил 
Приравняв нулю алгебраическую сумму проекций на ось бруса всех сил, действующих на оставленную часть бруса, получим
откуда
Положительный результат показывает, что участок 
бруса работает на растяжение, т. е. предположительное направление силы верно.
Построим эпюру продольных сил (рис. 9, д). Для этого проведем прямую, параллельную оси стержня. Из точек 
перпендикулярно оси в выбранном масштабе отложим величины соответствующих продольных сил, причем растягивающие силы будем откладывать вправо от прямой 
а сжимающие — влево, после чего нанесем штриховку.
Нормальное напряжение. продольная, поперечная и объемная деформации
Напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса,
где 
— продольная сила в сечении;
— площадь поперечпого сечения (рис. 10).
Продольную деформацию бруса (рис. 10, а) характеризуют абсолютным удлинением 
которое при растяжении считают положительным
где 
— начальная длина бруса;
— его конечная длина, и относительным удлинением
Поперечная деформация характеризуется абсолютной поперечной деформацией
где 
— первоначальным поперечный размер;
— соответствующий размер деформированного бруса,
и относительной поперечной деформацией
Опытом установлено, что для каждого материала в пределах упругости соотношение между относительной поперечной и относительной продольной деформациями при растяжении (или сжатии) является величиной постоянной. Это отношение называют коэффициентом Пуассона, или коэффициентом поперечной деформации:
Величина 
для различных материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5.
Объемная деформация стержня характеризуется относительным изменением объема:
Объем стержня при растяжении увеличивается, при сжатии — уменьшается.
Зависимость между напряжением и относительным удлинением выражается законом Гука:
Величина 
представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости (модуль упругости первого рода, модуль Юнга). Модуль упругости имеет ту же размерность, что и напряжение.
Абсолютное удлинение стержня постоянного поперечного сечения при постоянной продольной силе
Пример с решением 3.
Стальной брус длиной 
и площадью поперечного сечения 
растягивается силой 
(рис. 10, а). Определить нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, а также его абсолютное и относительное удлинение. Модуль продольной упругости
Решение:
В любом сечении бруса возникает продольная сила 
(рис. 10,6).
Нормальное напряжение в поперечном сечении
Абсолютное удлинение
Относительное удлинение
Пример с решением 4.
Полая чугунная колонна высотой 
несет сжимающую нагрузку 
Наружный диаметр колонны 
толщина стенки 
Вычислить напряжение в поперечном сечении, а также относительное и абсолютное укорочение колонны. 
Решение:
В любом поперечном сечении колонны возникает продольная сжимающая сила 
Внутренний диаметр колонны
Площадь поперечного сечения колонны
Напряжение сжатия в поперечном сечении
Относительное укорочение колонны
Абсолютное укорочение колонны
Пример с решением 5.
Стальной брус ступенчато переменного сечения растянут силой 
(рис. И, а). Определить напряжения в сечениях 
если первое представляет собой квадрат со стороной 
а второе — круглое, диаметром 
Построить эпюру нормальных напряжении, а также определить полное удлинение бруса.
Решение:
Поскольку по оси бруса, на конце его, приложена единственная нагрузка 
то во всех поперечных сечениях бруса возникает продольная сила 
равная 
Напряжение в сечении 
бруса
Напряжение в сечении 
бруса
По полученным значениям напряжений строим эпюру нормальных напряжений (рис. 11, б). Построение эпюры нормальных напряжений (или графика напряжений) аналогично
построению эпюры продольных сил. Проведем прямую 
параллельно оси бруса — это ось или база эпюры. Перпендикулярно этой прямой отложим в выбранном масштабе ординаты, пропорциональные величинам напряжений. Этот график, как и график продольных сил, также штрихуем.
Каждый штрих— ордината графика — в принятом масштабе представляет собой величину нормального напряжения в поперечном сечении бруса, соответствующем данной точке оси.
Абсолютное удлинение левой части бруса
Абсолютное удлинение правой части бруса
Полное удлинение всего бруса
Пример с решением 6.
По оси стального ступенчатого бруса приложены силы 
(рис. 12, а). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений; найти полное удлинение бруса 
Решение:
Определим продольные силы, возникающие в поперечных сечениях бруса. 
В произвольном сечении 
участка 
возникает продольная сила 
Величину этой силы определим из уравнения равновесия отсеченной части бруса, расположенной ниже этого сечения (рис. 12, б):
откуда
Продольная сила 
положительна, следовательно, участок 
бруса работает на растяжение. Проведя сечение 
на участке 
и рассматривая равновесие нижней отсеченной части (рис. 12, в), находящейся под действием сил 
получим
откуда
Аналогично, на участке 
в сечении 
имеем продольную силу 
(рис. 12, г), величину которой определяем из уравнения равновесия
откуда
По полученным значениям строим эпюру продольных сил (рис. 12, д).
В поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения. На участке 
площадь поперечного сечения бруса по всей длине участка постоянна; следовательно, напряжения во всех сечениях этого участка бруса будут одинаковы:
Участок 
следует разбить на два: 
площадью 
и 
площадью 
Нормальные напряжения в поперечных сечениях этих участков
В поперечных сечениях участка 
Строим эпюру нормальных напряжений. Проводим прямую линию 
параллельно оси стержня. Перпендикулярно этой прямой откладываем в выбранном масштабе ординаты, пропорциональные величинам напряжений (рис. 12, д). Этот график, как и график продольных сил, штрихуем.
Вычислим полное удлинение бруса, равное алгебраической сумме удлинений отдельных его частей.
Удлинение части бруса длиной 
Укорочение части бруса длиной 
Укорочение части бруса длиной 
Удлинение части бруса длиной 
Полное удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений отдельных его частей:
Пример с решением 7.
Кронштейн 
(рис. 13, а) состоит из двух стальных стержней круглого сечения диаметром 
Крепления стержней шарнирные. Определить напряжения в стержнях.
Решение:
Шарниры считаем идеальными, т. е. та-ким.и, трен-ие в которых отсутствует. Как известно из статики твердого тела, реакции в шарнирах будут направлены вдоль осей стержней. Следовательно, в поперечных сечениях стержней возникают только продольные силы. Вырежем узел 
и в местах разреза стержней приложим продольные силы 
предполагая их растягивающими (р.ис. 13, б).
Составим уравнения равновесия для отсеченной части системы:
Из уравнения (2)
Знак «минус» показывает, что стержень работает на сжатие.
Из уравнения (1) имеем
(растяжение).
Зная диаметры стержней, вычислим площади их поперечных сечений:
Стержень 
работает на растяжение. Нормальное напряжение
Стержень 
работает на сжатие. Нормальное напряжение
Пример с решением 8.
Поперечина 
(рис. 14, а) подвешена на двух стальных тягах 
Посередине поперечины приложена сила 
Диаметр тяги 
Крепления стержней шарнирные. Определить удлинения каждой тяги и перемещение точки 
приложения груза 
считая поперечину 
абсолютно жесткой.
Решение:
Разрежем систему по сечению 
на две части. Отбросим верхнюю часть и в местах разреза приложим продольные силы 
уравновешивающие нижнюю часть (.рис. 14, б). Так как нагрузка 
приложена посередине поперечины, то продольные силы в стержнях 
одинаковы:
Вычислим площади сечений 
стержней 
и 
Определим абсолютные удлинения 
стержней 
(рис. 14, 
Удлинение стержня 
Удлинение стержня 
Горизонтальное перемещение точки 
равно удлинению стержня 
Вертикальное перемещение точки 
равно удлинению стержня 
Полное перемещение точки 
получим геометрическим суммированием горизонтального и вертикального перемещений:
Пример с решением 10.
Стальной брус 
-площадь поперечного сечения которого 
нагружен силами 
приложенными соответственно в точках 
(рис. 16, а). Определить перемещение сечения 
Решение:
Перемещение сечения 
произойдет в результате удлинений частей стержня 
Часть 
-стержня получает удлинение от действия сил 
а часть 
— только от силы 
Задачу решим двумя способами: а) путем применения принципа независимости действия сил и б) рассматривая обе нагрузки совместно.
1-й способ. Вычислим абсолютное удлинение участка 
от действия силы 
Абсолютное удлинение участка 
от действия силы 
Так как часть 
бруса растягивается только силой 
то абсолютное удлинение этой части
Перемещение 
точки 
2-й способ. Построим эпюру продольных сил (рис. 16, б). В поперечных сечениях участка 
возникает продольная сила 
Удлинение участка 
бруса
Продольная сила 
в поперечных сечениях участка 
Полное удлинение участка 
Перемещение 
точки 
Пример с решением 11.
Ступенчатый брус (рис. 17, а) растягивается силой 
Построить эпюры напряжении и перемещений, если
Материал — сталь. 
Решение:
Так как внешняя нагрузка 
приложена на конце, то продольная сила 
по всей длине бруса постоянна и в любом ого поперечном сечении численно равна внешней силе 
Найдем напряжения в поперечных сечениях 
и 
Строим эпюру напряжении (рис. 17, б).
Далее следует построить эпюру .перемещений (рис. 17, в). Эпюра перемещении- —это график зависимости 
т. е. график, ординаты которого о) представляют собой отложенные в определенном масштабе перемещения сечений, а абсциссы— расстояния этих сечений от начала координат, выбираемого в неподвижной точке. Для построения •эпюры 
необходимо брус разбить на участки; в пределах каждого участка величины 
постоянны. Так как брус имеет ступенчато-переменное сечение, то в нашем случае таких участков два. Рассмотрим их каждый iB отдельности.
Первый участок. За начало координат выбираем неподвижную точку 
(в заделке). Для произвольного сечения 
взятого на расстоянии 
от начала координат, имеем
где 
Нетрудно видеть, что выражение 
представляет собой уравнение прямой линии.
Второй участок. Перемещение произвольного сечения 
на расстоянии 
от заделки
Наибольшее перемещение на конце бруса получим при 
Эпюра на первом участке представляет собой треугольник 
где 
в выбранном масштабе соответствует значению 
на втором участке — трапецию 
где 
в том же масштабе соответствует значению 
Пример с решением 13.
Определить относительное увеличение объема стержня при растяжении.
Решение: Относительные удлинения стержней 
В результате деформации стержней (тяг) их поперечные сечения перемещаются вдоль осей стержней. Так как перемещения являются следствием деформаций, то между теми и другими существует определенная связь. При растяжении (сжатии) эта связь имеет простой характер;
взаимное перемещение двух каких-либо сечений равно удлинению (или укорочению) части стержня, ограниченной этими двумя сечениями. Следовательно, перемещение конца 
поперечины равно удлинению 
стержня 
а перемещение конца 
удлинению 
стержня 
Считая поперечину иедеформирующеися, изобразим па рис. 14, в ее начальное 
и конечное 
{ (после деформации стержней) положения. Ордината 
в выбранном масштабе соответствует значению 
значению 
тогда средняя линия 
трапеции 
будет изображать перемещение 
точки 
Статически определимые задачи
Поскольку при растяжении сжатии нетривиальным является лишь одно уравнение равновесия (проекции сил на ось), то в соответствии с определением П. 17 статическая определимость будет иметь место только в том случае, когда один из концов стержня закреплен, а на втором приложена продольная сила (он свободен — см. рис. 1.2). При этом наличие температурного поля не приводит к изменению напряженного состояния. Поэтому в таких задачах его не учитывают.
Если внешние нагрузки, геометрические и физические характеристики стержня являются непрерывными функциями координаты 
то НДС может быть найдено как решение соответствующей краевой задачи (1.11)-(1.13).
Пример задачи 1
Найти 
для стержня, указанного на рис. 1.2, полагая, что 
Решение:
Краевая задача в этом случае имеет вид 
Интегрируя уравнение, получим 
Присутствующие здесь константы находятся из граничных условий: 
Следовательно,
Кроме того, из формул из (1.4)-(1.6), найдем 
Дополнительно вычислим удлинение 
стержня, очевидно, совпадающее с перемещением 
правого сечения:
В соответствии с формулами (1.16)-(1.18) используется следующая терминология.
Определение 1.2. Произведение 
называется жесткостью стержня на растяжение-сжатие,
Однако в общем случае такой подход не удобен, так как приводит к необходимости разбивать стержень на участки с последующей стыковкой соответствующих решений. Поэтому как правило, используется следующий алгоритм, решения статически определимых (СО) задач.
1. Разбиваем стержень на участки с границами, соответствующими точкам разрыва внешних нагрузок, в том числе точкам
приложения сосредоточенных сил, а также скачкам геометрических или механических характеристик. Концы участков обычно обозначаются прописными буквами (например, 
и т.д.) или цифрами (например, 1-2, 2-3 и т. д.). На каждом из участков, как правило, вводится местная система координат.
2. Из уравнений равновесия в проекции на ось 
определяем реакцию в опоре. Равнодействующая внешних сил находится по формулам (П.11). Для распределенной нагрузки во многих случаях она может быть определена как площадь соответствующей эпюры (см. табл. 5.1).
Этот пункт может быть опущен, если рассматривать участки, начиная с незакрепленного конца.
3. Последовательно на каждом из участков строятся эпюры (будем обозначать их буквой «Э»):
а) продольных сил 
с помощью метода сечений и уравнений равновесия (равнодействующая внешних сил для отсеченной части стержня 
- находится по первой из формул (11.11));
б) напряжений по вытекающей из (1.6) формуле 
то эпюры 
можно совмещать, так как они отличаются только масштабом);
в) деформаций по вытекающей из (1.5) формуле 
(если 
то эпюры 
можно совмещать, так как они отличаются только масштабом);
г) перемещений по вытекающей из (1.4) формуле (для примера указан участок 
следующий за 
величина перемещения 
сечения 
находится при рассмотрении участка 
На каждой из эпюр указываются их экстремальные значения внутри участков (если они имеются).
При построении эпюр удобно пользоваться следующими выводами, вытекающими из соотношений (1.10), (1.19), свойств интегралов и производных, а также из аксиомы 1:
если 
многочлен, то эпюры 
— тоже многочлены, степень которых на единицу больше (например, постоянная погонная нагрузка дает линейную зависимость для продольного усилия, линейная погонная нагрузка — параболическую кривую для продольного усилия и т.д.; при этом достаточно находить лишь граничные значения продольных усилий и перемещений);
- по знаку
можно судить о возрастании или убывании 
- необходимым условием экстремума
является равенство нулю 
а достаточным — изменение знака 
эпюра
в точках приложения сосредоточенных сил имеет скачки (разрывы первого рода), равные по величине этим силам; эпюра
непрерывна.
Если по условиям задачи требуется провести расчет на прочность, то в соответствии с п. VI § П.1 в алгоритм добавляются следующие пункты.
По заданному коэффициенту запаса прочности и предельным напряжениям 
определяем допускаемое напряжение 
Этот пункт может отсутствовать, если непосредственно в условии задачи заданы допускаемые напряжения. В противном случае должны быть либо даны максимальные предельные напряжения, либо указан материал и то напряжение, которое принимается в качестве максимально допускаемого.
Таковыми в зависимости от требований к конструкции могут быть или предел пропорциональности 
или предел упругости 
или предел текучести 
или предел прочности (временное сопротивление) 
или условный предел текучести 
Эти величины берутся из полученных опытным путем так называемых «условных диаграмм растяжения сжатия», которые приведены на рисунках 1.3 и 1.4 для двух различных материалов, соответственно обладающих площадкой текучести 
и без нее.
Отметим, что участки диаграмм 
соответствуют линейной зависимости между напряжениями и деформациями (закону Гука) и сохранению упругих свойств материала, а величина 
на второй диаграмме — остаточным деформациям (деформациям после снятия нагрузки) 
5. По 
находим максимальное расчетное напряжение 
И И3 Решения НСраВСНСТВ (11.27) вычисляем требуемую величину площади сечения.
Пример задачи 2
Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений сечений для ступенчатого стержня, приведенного на рис. 1.5. Модуль упругости положить постоянным.
Решение:
(нумерация пунктов соответствует указанному выше алгоритму)
1. Разбиваем стержень на участки (см. рисунок).
2. Заделку в сечении 0 заменяем реакцией 
которую определяем из уравнения равновесия (см. формулы (П.25)):
3. Рассматривая равновесие отсеченных частей стержня на каждом участке, определяем продольное усилие (используется местная система координат — см. рис. 1.6):
участок 0 1
участок 1-2
участок 2-3
участок 3 4
Эпюра 
приведена на рис. 1.5. 
Нормальные напряжения и деформации вычисляем, используя формулы (1.5) и (1.6) (здесь используются такие же индексы, как и для 
Поскольку 
отличаются только масштабом, то на рис. 1.5 они объединены.
Перемещения на каждом из участков находим с помощью (1.19): 
Эпюра 
приведена на рис. 1.5.
Статически неопределимые задачи
В соответствии с рассуждениями, приведенными в начале предыдущего параграфа статическая неопределимость при растяжении сжатии возможна только в одном варианте — варианте, когда имеются две опоры (см., например, рис. 1.8). При этом степень статической неопределимости равна 2 — 1 = 1.
И в этом варианте так же, как и в предыдущем параграфе, если внешние нагрузки, геометрические и физические характеристики стержня являются непрерывными функциями координаты 
то НДС может быть найдено как решение соответствующей краевой задачи (1.11)-(1.13).
Пример задачи 3
Найти 
для стержня, указанного на рис. 1.8, полагая, что 
Решение:
Краевая задача в этом случае имеет вид
Интегрируя уравнение, получим
Присутствующие здесь константы находятся из граничных условий: 
Следовательно,
Кроме того, из формул (1.4)-(1.6) найдем 
Следовательно, максимальные растягивающие и сжимающие напряжения имеют место соответственно на левом и правом концах и равны между собой:
В общем случае используется алгоритм решения статически неопределимых (СН) задач, практически совпадающий с приведенным в предыдущем параграфе и отличающийся только усложнением п. 2.
Для определения неизвестных реакций в опорах к уравнению равновесия добавляется так называемое «уравнение совместности деформаций», которое является следствием аксиомы П.1 и в случае задач типа указанной на рис. 1.8 имеет вид
При этом перемещение 
выражается через реакцию в одной из опор (см. алгоритм предыдущего параграфа), и тогда (1.20) уравнение относительно этой реакции.
Встречаются также другие практически важные задачи, в которых уравнение (1.20) нуждается в модификации.
1. Задачи с зазором (рис. 1.9). Здесь на правом (или левом) конце стержня имеется зазор 
Решение строится в два этапа.
а) Рассматривается статически определимая задача со свободным концом при заданных внешних нагрузках, и вычисляется перемещение этого конца 
б) Если 
то переходят к статически неопределимой задаче с уравнением совместности
2. Задачи с монтажными напряжениями (рис. 1.9). В этом варианте предполагается, что внешние нагрузки отсутствуют, и зазор 
выбирается при монтаже конструкции. Решение строится, как и в стандартной статически неопределимой задаче, но с уравнением совместности (1.21).
Отметим также, что для статически неопределимых задач характерным является учет температурного поля. При этом, как следует из (1.5), полная продольная деформация есть сумма упругой 
и температурной 
составляющих: 
В этих задачах в силу принципа суперпозиции (утверждение П.2) отдельно находятся НДС от действия внешней силовой нагрузки (обозначения, например, для напряжений следующие: 
и под влиянием температурного поля 
Действительное НДС есть сумма этих составляющих 
Однако учитывая, что температурные напряжения во многих практически важных задачах существенно меньше напряжений от силовой нагрузки, и то, что использование суммарного НДС при проектировочном расчете приводит к сложным неравенствам, его проводят только по напряжениям 
А температурные напряжения учитываются уже в поверочном расчете.
Пример задачи 4
Для стержня, приведенного на рис. 1.10, построить эпюры 
полагая модуль упругости постоянным.
Решение:
Разбиение стержня на участки показано на рисунке.
Задача является статически неопределимой, поскольку для определения двух опорных реакций 
можно составить только одно уравнение равновесия:
Уравнение совместности деформаций в соответствии с (1.20) имеет вид
Для того чтобы выразить его левую часть через 
аналогично 
задачам находим по участкам 
участок 
\! П
Следовательно, уравнение совместности и его решение имеют вид
3. Подставляя найденное значение реакции в полученные выше выражения, по участкам определяем 
Поскольку характер изменения эпюр ясен из упомянутых формул, то достаточно найти значения требуемых величин на концах участков: участок 0-1
- Здесь в силу непрерывности перемещений их значения на последних трех участках даны только на концах. Отмстим также, что уравнение равновесия, построенное в начале решения, можно было и не составлять, поскольку
Однако его удобно использовать для проверки правильности найденных усилий.
Кроме того, необходимо определить точку экстремума перемещений на участке 1-2:
Так как при переходе через эту точку деформации меняют знак с плюса на минус, то имеет место максимум:
Соответствующие эпюры представлены на рис. 1.10.
Основные определения статики твердого тела
Предисловие
При проектировании различных конструкций, сооружений, машин приборов необходимо для их безопасной и надежной работы проводить расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и выносливость.
Расчеты на прочность проводятся с целью недопущения разрушения конструкций.
Расчеты на жесткость имеют цель предотвратить недопустимые перемещения объектов расчета.
Расчеты на устойчивость необходимы для обеспечения сохранения исходной формы устойчивого равновесия конструкции.
Расчеты на выносливость проводятся с целью определения долговременной эксплуатации объектов без повреждений при переменных напряжениях.
В данном пособии приводятся основы раздела курса теоретической механики - статики, на которых базируется курс сопротивления материалов. Излагаются основные понятия курса сопротивления материалов и допущения при составлении расчетных схем, рассматриваются правила построения эпюр внутренних силовых факторов, даются определения геометрических характеристик плоских сечений, приводятся начальные сведения о простейших и сложных видах деформации стержней и их устойчивости. В пособии содержатся различные примеры расчетов, направленные на усвоение студентами курса сопротивления материалов при самостоятельном его изучении.
В курсе сопротивления материалов используются следующие основные определения статики:
- сила, вектор силы;
- пара сил, алгебраический и векторный момент пары сил;
- проекция силы на ось и плоскость;
- момент силы относительно точки;
- момент силы относительно оси;
- связи и реакции связей;
- главный вектор и главный момент;
- условия и уравнения равновесия.
Сила
Сила - это количественная мера механического взаимодействия объектов. Если объекты взаимодействуют друг с другом, непосредственно соприкасаясь между собой, то возникают силы давления, трения или удара. Если же объекты взаимодействуют между собой, не соприкасаясь, а через какое-то поле, обусловленное особыми свойствами этих объектов, то возникают гравитационные, магнитные или электрические силы.
В заданных расчетных схемах причины возникновения сил на первых порах не интересуют студентов. Например, проектируя дорожное полотно, студент учитывает силы, действующие на дорогу со стороны колес автомобилей в виде сил давления и трения, которые являются причиной появления выбоин на дорогах. При этом его не интересуют появившиеся точно такие по величине, но противоположно направленные силы, действующие на шины автомобилей и являющиеся причиной их износа. Эти силы будут учтены студентом, разрабатывающим конструкцию шин, но при этом его не будут интересовать силы, действующие на дорогу.
Таким образом, следует помнить, что сила в одиночку родиться не может. Если к какому-то объекту приложена сила, то существует точно такая же по величине, действующая в противоположном направлении сила, приложенная к другому объекту (последние в большинстве случаев на расчетных схемах не показаны).
Так как взаимодействие колеса и дороги происходит не в одной точке, а по некоторой поверхности, то и силы взаимодействия распределены по поверхности полотна дороги и шины. Точность расчетов будет зависеть от того, насколько верно будет учтено распределение усилий, зависящих от характера взаимодействия объектов. Так как обучение предполагается от простого к сложному, то для приобретения студентами навыков проведения расчетов силы в расчетных схемах задаются упрощено: в виде сосредоточенных (приложенных в одной точке), или распределенных по линии. В дальнейшем специалисту, имеющему навыки по расчету упрощенных схем, будет легче ориентироваться в использовании для расчетов реально приложенных усилий.
Единицей измерения силы в международной системе единиц (СИ) принято считать «Ньютон» (Н).
Если свободная материальная точка массой в 1 кг в результате взаимодействия с другим объектом получает ускорение 1 м/с², то на точку действует сила, равная 
Сила является величиной векторной, так как имеет точку приложения, линию и направление действия, и для векторов сил применимы операции векторной алгебры. Все многообразие взаимодействий в природе учесть очень сложно. Но силы, действующие на элементы техники и сооружений, можно классифицировать по характеру изменения в процессе приложения (динамические и статические), по продолжительности действия (постоянные и переменные), по способу взаимодействия между объектами (внешние и внутренние), по способу приложения (сосредоточенные и распределенные по линии, поверхности или объему).
Пара сил
Пара сил - это две равные по величине силы, действующие вдоль параллельных прямых в противоположные стороны (рис. 1.1 а, б).
Пара сил оказывает на объект вращательное действие, которое зависит от величины действующих сил и кратчайшего расстояния между линиями их действия.
Рис. 1.1
Равнодействующая сил пары равна нулю, поэтому пара сил не может быть заменена одной силой. Вращательный эффект пары сил определяется алгебраическим моментом пары.
Алгебраическим моментом пары сил называется произведение одной из сил пары на кратчайшее расстояние между линиями действия сил (плечо).
Знаки моментов пар сил, расположенных в одной плоскости, зависят от направления вращения, создаваемого парами сил, и назначаются произвольно. Можно принять: если пара сил вращает объект против хода часовой стрелки, момент пары принимается отрицательным, если по часовой - положительным (рис. 1.1).
При действии пар сил в различных плоскостях удобно при решении задач пользоваться векторным моментом пары сил. Пусть пара сил 
и 
действует в плоскости 
Векторный момент пары сил равен векторному произведению радиус-вектора на вектор одной из сил пары (рис. 1.2).
.
Радиус-вектор может быть проведен из любой точки, находящейся на линии действия одной из сил пары в любую точку, находящуюся на линии действия другой силы этой пары (рис. 1.2).
Модуль векторного момента пары сил определяется как модуль векторного произведения радиус-вектора на вектор силы.
Направлен векторный момент пары сил перпендикулярно плоскости ее действия в ту сторону, откуда вращение, создаваемое парой сил, кажется происходящим против хода часовой стрелки.
Рис. 1.2
Сравнение действия силы и пары сил
Пара сил и сила имеют одно общее свойство: сила и момент пары сил, являясь векторами, подчиняются законам векторной алгебры.
Применение векторной алгебры в курсах теоретической механики и сопротивления материалов позволяет быстрее и компактнее решать задачи, чем при использовании скалярных величин.
Пара сил не имеет равнодействующей и она не может быть заменена одной силой, вызывающей такое же действие, как и пара сил. В свою очередь одна сила также не может быть заменена эквивалентной ей парой сил. Одна сила свободный объект будет перемещать, а одна пара сил будет его вращать.
В табл. 1.1 приводится сравнительное действие силы и пары сил.
Таблица 1.1
Сравнение действия силы и пары сил
Проекция силы на ось и плоскость
Проекция силы на ось определяется как длина отрезка, заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора силы на эту ось.
Знак проекции силы на ось принимается положительным, если направление вектора силы совпадает с положительным направлением оси, если не совпадает - отрицательным.
При решении задач удобно пользоваться следующим определением:
Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус острого угла, образованного силой и осью.
Если вектор силы перпендикулярен оси, то проекция такого вектора на ось равна нулю, если вектор силы параллелен оси, то проекция такого вектора на ось равна величине этой силы.
Пример задачи 5
Определить проекции сил 
и 
на оси 
и 
(рис. 1.3) если
= 50 Н, сила 
|| оси ;
= 100 Н.
Рис. 1.3
Решение:
Проекции сил 
и 
на ось :
.
Проекции сил и на ось 
:
Проекцией силы на плоскость называется вектор, заключенный между основаниями перпендикуляров, опущенных на начала и концы вектора силы на эту плоскость (рис. 1.4):
.
Для решения практических задач при определении проекций сил на ось, когда силы расположены в пространстве и трудно определить угол силы с осью, пользуются методом двойного проектирования. Например, проекция силы 
(рис. 1.4) на оси 
и 
определяется по формулам:
Рис. 1.4
С осью 
сила 
в данном случае образует острый угол (90° - 
), поэтому проекция силы 
на ось равна 
.
Момент силы относительно точки
На рис. 1.5 изображено твердое тело, имеющее неподвижную точку О, вокруг которой оно может поворачиваться. К твердому телу приложены силы 
, 
и 
, действующие в одной плоскости, проходящую через току О.
Сила стремится вращать твердое тело вокруг точки О по направлению хода часовой стрелки, сила стремится вращать твердое тело против хода часовой стрелки, сила 
вращательного эффекта не производит, так как ее линия действия пересекает точку О. Величина вращательного эффекта, зависящая от численного значения приложенных сил и их ориентации, учитывается моментом силы относительно точки (центра).
Величина момента силы относительно точки равна произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы (плечо).
На рис. 1.5 плечом силы относительно точки О является длина отрезка 
, а плечом силы 
относительно точки О является длина отрезка 
Рис. 1.5
Если силы и точка, относительно которой вычисляются моменты, расположены в одной плоскости, то для определения вращения объекта в одну или другую сторону необходимо установить правило знаков. Так, если сила вращает объект против хода часовой стрелки, то знак момента принимается отрицательным, а если она вращает объект по ходу часовой стрелки - положительным, (можно наоборот).
Алгебраические моменты сил 
, 
и 
, относительно точки О на рис. 1.5 определяются по формулам:
Для анализа систем сил, произвольно расположенных в пространстве, используется понятие векторного момента силы относительно точки.
Векторный момент силы относительно точки равен векторному произведению - радиус-вектора на вектор силы.
Радиус вектор - это вектор, проведенный из точки, относительно которой вычисляется момент в любую точку, находящуюся на линии действия силы (рис. 1.6):
.
Рис. 1.6
Радиусом-вектором 
может быть любой из векторов 
или 
так как модуль векторного произведения 
равен величине момента силы 
относительно точки О 
Векторный момент силы относительно центра направлен перпендикулярно плоскости, образованной радиус-вектором и вектором силы согласно правилу векторного произведения двух векторов.
Момент силы относительно оси
На рис. 1.7 изображено твердое тело в виде параллелепипеда со сторонами 
и 
, которое может вращаться вокруг неподвижной оси 
. К твердому телу приложены силы 
и 
Сила 
стремится вращать параллелепипед вокруг оси по ходу движения часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси , сила 
стремится повернуть параллелепипед в сторону, противоположную вращению от силы 
. Силы 
и 
вращательного эффекта не производят.
Вращательный эффект относительно оси 
производят только те составляющие сил, которые находятся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения (на рис. 1.7 это силы 
и 
Величина момента силы относительно оси равна моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную данной оси относительно точки перемещения оси с этой плоскостью.
Знак момента силы относительно оси принимается положительным, если со стороны положительного направления оси вращение, создаваемое силой, происходит против хода часовой стрелки, и отрицательным - если по ходу движения часовой стрелки.
Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее, т.е., когда сила и ось находятся в одной плоскости.
Сумма моментов сил, показанных на рис. 1.7, относительно координатных осей определяется по формулам:
Теорема Вариньона
При решении задач статики могут возникнуть затруднения в вычислениях моментов силы относительно точки или оси.
Эти трудности связаны со сложностью определения размеров плеч, или проекций сил на плоскость.
В этих случаях рекомендуется разложить силу на составляющие, параллельные координатным (или другим) осям, и использовать следующую теорему Вариньона.
Момент (векторный или алгебраический) равнодействующей силы относительно точки или оси равен сумме моментов (векторных или алгебраических) составляющих относительно той же точки или оси.
Пример задачи 6
Вычислить момент силы 
относительно точки О, если:
Решение:
Момент силы 
относительно точки О (рис. 1.8) проще вычислить с помощью теоремы Вариньона
чем по формуле 
из-за трудностей с определением 
Рис. 1.8
Связи и реакции связей
Связями называются материальные тела, ограничивающие перемещения рассматриваемого объекта в каком-то направлении.
Реакциями связей являются силы, с которыми связи действуют на рассматриваемые объекты (объекты действуют на связи с точно такими же по величине силами, но направленными в противоположные стороны).
Аксиома связей. Любой несвободный объект можно рассматривать как свободный, если заменить связи реакциями связей.
На (рис. 1.9, а) балка АВ весом G подвешена на двух нитях AD и ВС и опирается на гладкие опоры О и Е. Балка АВ является несвободным объектом, так как ее перемещения ограничены нитями AD, ВС, опорами О и Е.
В результате действия внешней силы тяжести G между балкой, нитями и опорами возникают силы взаимодействия, которые для системы, изображенной на (рис. 1.9, а), являются внутренними силами.
Рис. 1.9
Используя аксиому связей, балку АВ можно представить свободной (рис. 1.9, б), заменив связи реакциями связей: действие нитей AD и ВС на балку заменяются силами 
и 
? действие опор О и Е на балку - силами 
и 
, которые по определению называются реакциями связей, при этом аналогичные силы 
и 
действуют в противоположном направлении на связи. Балка АВ, будучи несвободной, находилась в покое (рис. 2.18, а); став свободной (рис. 2.18, 6), балка в покое и останется.
Аксиома связей справедлива и для движущихся объектов. Движущийся несвободный объект можно рассматривать свободным, если связи заменить реакциями связей. Связь может препятствовать перемещениям объекта по нескольким направлениям, может препятствовать повороту объекта вокруг точек или осей.
Если связь препятствует перемещению рассматриваемого объекта, то возникает реакция связи в виде сосредоточенной силы или распределенных сил. Когда линия действия результирующей реакции неизвестна, то эта реакция представляется в виде составляющих по координатным осям (или другим удобным для решения задач направлениям).
Если связь препятствует повороту объекта, то реакция возникает в виде пары сил, момент которой называется реактивным (может быть сосредоточенным и распределенным). Когда плоскость действия результирующего момента неизвестна, то векторный реактивный момент представляется в виде составляющих по координатным (или другим) осям.
Направлена реакция связи всегда в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться объекту. Правильное определение направления реакции связей при решении задач имеет существенную роль. Чаще всего в задачах установить заранее действительное направление реакций связей не представляется возможным. В этом случае направление реакции связи принимается произвольным. Если в результате решения задачи получено отрицательное значение реакции, то действительное ее направление будет противоположно принятому.
В таблице 1.2 приведены часто встречающиеся на практике связи и их реакции. Объектом, освобождаемым от связей, в этой таблице является балка АВ. Трение между связями и балкой не учитывается. Все силы расположены в одной плоскости. На балку АВ действуют активные силы 
и 
.
Таблица 1.2
Простейшие связи и их реакции
Главный вектор и главный момент
Любую систему сил можно заменить простейшей эквивалентной системой, состоящей из одной силы, называемой главным вектором, и одной пары сил, момент которой называется главный момент. Для этого используется метод Пуансо, суть которого заключается в том, что любая сила, приложенная в некоторой точке, может быть заменена точно такой же силой, приложенной в другой точке, называемой центром приведения, и парой сил, момент которой равен моменту силы приложенной в первой точке относительно центра приведения.
Пусть центром приведения произвольной системы сил и пар сил будет точка О, тогда главный вектор (результирующая сила) произвольной системы сил равен геометрической сумме заданных сил.
(1.4)
Линия действия главного вектора проходит через центр приведения.
Главный момент (результирующий момент) произвольной системы сил равен геометрической сумме моментов заданных сил и пар сил относительно центра приведения.
. (1.5)
При действии на свободный объект произвольной системы сил и пар сил могут быть следующие частные случаи:
- свободный объект совершает поступательное движение;
- свободный объект вращается;
- свободный объект совершает винтовое движение;
- свободный объект находится в покое.
Условия равновесия произвольной системы сил
Из последнего частного случая следуют условия равновесия. Для того чтобы система произвольно расположенных сил и пар сил, действующих на свободный объект, была уравновешена, необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент были равны нулю.
.
(1.6)
Уравнения равновесия для различных систем сил
Модули главного вектора и главного момента определяются как и модули любых векторов по формулам:
(1.7)
, (1.8)
С учетом равенства (1.1):
, (1.9)
если 
и 
, то каждое слагаемое под радикалом в уравнениях (1.7), (1.9) должно быть равно нулю. Полученные таким образом уравнения называются уравнениями равновесия сил, действующих на свободный объект.
Следовательно, для произвольной системы сил и пар сил имеет место шесть линейно-независимых уравнений равновесия.
(1.10)
Количество линейно-независимых уравнений равновесия зависит от расположения сил. Например, для пространственной системы сил, линии действия которых пересекаются в одной точке линейно-независимых уравнений равновесия, будет три первых уравнения равенства (1.10). Остальные три уравнения обращаются в тождества, так как линии действия всех сил пересекают оси координат, выбранных в точке пересечения линий действия сил (момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось).
В таблице 1.3 приводятся различные системы сил и соответствующее этим системам количество линейно-независимых уравнений равновесия.
Таблица 1.3
Если число неизвестных в задаче (неизвестными чаще всего являются опорные реакции и внутренние усилия) равно числу линейно-независимых уравнений равновесия заданной системы сил, то неизвестные определяются из этих уравнений (табл. 1.3).
Если число неизвестных в задаче больше числа линейно-независимых уравнений равновесия заданной системы сил, то методами статики все неизвестные задачи определить нельзя. Она в этом случае называется статически неопределимой. Задача будет решена, если к уравнениям статики добавить необходимое количество уравнений совместности деформаций связи и объекта. Эти дополнительные уравнения составляются на основе методов, изучаемых в курсах сопротивления материалов, теории упругости и строительной механики.
Основные понятия сопротивления материалов
Основной предмет сопротивления материалов
Сопротивление материалов излагает методы решения задач о механической надежности элементов конструкции - прочности, жесткости и устойчивости.
Элементами расчета на прочность, жесткость и устойчивость являются брусья, пластинки, оболочки и массивные тела.
В курсе сопротивления материалов основное внимание уделяется изучению брусьев, которые являются наиболее распространенными элементами в различных конструкциях.
Брусом называется элемент, длина которого существенно превышает его поперечные размеры. Стержнем будем называть брус с прямолинейной осью и постоянным поперечным сечением. Стержень является основным предметом изучения курса сопротивления материалов. Основными геометрическими параметрами элемента стержня является продольная ось и поперечное сечение. Осью бруса называют геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса (рис. 2.1, а).
Оболочка - это элемент, образованный двумя криволенейными поверхностями, расстояние между которыми мало (рис. 2.1, 6).
Геометрическое место точек, равноудаленных от нагруженной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.
Пластина - это оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость (рис. 2.1, в)
Элемент, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга, называется массивным телом (рис. 2.1, г).
К простым деформациям стержня относят:
- растяжение, сжатие;
- сдвиг, срез;
- кручение стержней круглого поперечного сечения;
- поперечный и чистый изгиб.
Сложные деформации представляют комбинации простых:
- изгиб с кручением;
- изгиб с растяжением или сжатием и др.
Прямолинейные стержни, в зависимости от их назначения и вида деформирования, имеют различные названия:
- балка - стержень, расположенный горизонтально, работающий на изгиб;
- стойка, колонна - стержень, работающий вертикально, работающий на сжатие;
- вал - стержень, передающий вращение;
- болт, заклепка, сварочный шов - стержни, работающие на растяжение и сжатие и срез;
- ферма, рама - сложная конструкция, состоящая из прямолинейных стержней соединенных между собой (рис. 2.2 и 2.3);
Рис. 2.2
В ферме стержни соединяют между собой шарнирно (подвижно) и они могут работать только на растяжение или сжатие.
В отличии от ферм в раме стержни соединяются жестко (неподвижно) и стержни рамы могут воспринимать значительные усилия изгиба и кручения;
- стойки - вертикальные стержни в раме;
- раскосы - наклонные стержни в раме;
- ригели - горизонтальные стержни в раме.
Рис. 2.3. Рама
Допущения о свойствах материала и нагрузках
Материал стержней, при решении задач сопротивления материалов, принимается сплошным, однородным, изотропным и линейно-упругим. Сплошность свидетельствует о том, что материал непрерывно заполняет весь объем рассматриваемого элемента. Однородность означает, что весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами. Изотропность материала свидетельствует о том, что его механические свойства одинаковы во всех направлениях. Линейно-упругий материал характеризуется тем, что его деформации (изменение размеров и формы тела) прямо пропорциональны нагрузкам (рис. 2.4)
Рис. 2.4.
Внешние нагрузки
В сопротивлении материалов рассматривают несколько видов нагрузок, которые могут действовать на конструкции. Сосредоточенные силы (Р) - это нагрузки, которые передаются через небольшую площадку, которую можно считать точкой, например, шарик, лежащий на жестком основании (рис. 2.5).
Рис. 2.5
Распределенная нагрузка - это нагрузка, передающаяся на конструкцию через определенную площадь, например, давление снега на крышу здания (рис. 2.6, а), давление грунта на фундамент здания (рис. 2.6, б).
Рис. 2.6
Сосредоточенные силы измеряются в единицах силы - Н, кН, а распределенная нагрузка измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади -
, 
, или единицы длины - Н/м, кН/м .
При проведении расчетов распределенную по площади нагрузку (рис. 2.7, а) заменяют нагрузкой, которая передается по длине стержня (балки) (рис. 2.7, б). Такую нагрузку называют погонной.
Рис. 2.7 В зависимости от характера изменения во времени нагрузки разделяются на статические и динамические. Статическая нагрузка прикладывается настолько медленно, что силой инерции конструкции, к которой прикладываются эти нагрузки, можно пренебречь. Примером такой нагрузки может служить снег, падающий на кровлю при снегопаде.
Динамическая нагрузка изменяет свою величину в сравнительно короткий промежуток времени, например, нагрузка от удара молотка по наковальне.
По продолжительности действия силы на конструкцию различают постоянные и временные нагрузки. Постоянные нагрузки - это те нагрузки, которые действуют непрерывно, например, собственный вес конструкции. Временные нагрузки имеют ограниченную продолжительность, например, нагрузка от веса поезда на мост.
Конструкции с приложенными к ним нагрузками при расчете изображаются в виде расчетных схем, которые представляют собой упрощенные, условные изображения различных объектов. Например, балка с приложенными к ней различными нагрузками может быть изображена в виде линии, на которой условно в виде стрелок изображаются нагрузки (рис. 2.8).
- сосредоточенная сила; q - распределенная нагрузка; М - пара сил (момент сил)
Рис. 2.8
Напряжения и деформации
Внутренние силы по площади сечения распределены неравномерно и их интенсивность в различных точках сечения стержня не будет одинаковой. Средняя интенсивность равна отношению внутреннего усилия, действующего на элементарную площадку, направления 
к величине этой площадки. Напряжением на площадке направления 
в некоторой точке твердого тела называется предел отношения внутренней силы 
, действующей на эту площадку к ее площади поперечного сечения, стремящейся к нулю.
.
Полное напряжение 
для удобства анализа расчетов представляется в виде двух составляющих (рис. 2.8). Одна из этих составляющих представляет собой проекцию вектора 
на плоскость сечения и называется касательным напряжением. Другая составляющая представляет проекцию вектора на ось, направленную перпендикулярно плоскости сечения (нормаль), и называется нормальным напряжением.
Рис. 2.8
В результате действия различных усилий упругое твёрдое тело изменяет свою форму и размеры. Изменение формы тела учитывается перемещениями точек. Проекция перемещения точки на декартовые оси координат 
и 
называются компонентами перемещений точки и обозначаются 
и 
соответственно. Изменение размеров тела учитывается линейными и угловыми деформациями.
Относительной продольной деформацией 
стержня длиной 
называется отношение изменения длины 
этого стержня в результате деформирования к его первоначальной длине:
Угловой деформацией между двумя координатными осями называется величина уменьшения прямого угла между ними вследствие деформирования (рис. 2.10).
Рис. 2.10
В сопротивлении материалов деформации элементов конструкций считаются настолько малыми, что при составлении уравнений равновесия ими можно пренебрегать, рассматривая объект как недеформированный, имеющий те же геометрические размеры, как и до нагружения внешними силами (принцип начальных размеров или допущение о малости деформаций).
Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стрежня
Чтобы оценить способность стержней сопротивляться внешним нагрузкам, необходимо знать величину внутренних усилий в любых поперечных сечениях стрежней и напряжения в каждой точке этих сечений. Пусть требуется вычислить внутренние усилия в сечении 
стержня, находящегося под действием сил 
(рис 2.11, а). Для этого нагруженный стрежень мысленно рассекается плоскостью на две части (рис. 2.11 б, в). Одна часть для другой является связью. На каждую из частей стержня действуют, кроме внешних сил, реакции отброшенной части стержня. Эти реакции, являющиеся внутренними усилиями в стержне, и подлежат определению. Этот метод определения внутренних усилий называется методом сечений.
В общем случае совокупность реакций отсеченной части стержня образуют произвольную пространственную систему сил. Такую систему, согласно первой задаче статики (с помощью метода Пуансо), можно заменить простейшей эквивалентной системой, состоящей из одной силы (главным вектором) и одной пары сил (главным моментом) (рис. 2.11 г, д).
Если центром приведения выбрать центр тяжести сечения, то модуль главного вектора и главного момента внутренних сил в рассматриваемом сечении определяется по формуле:
где 
- оси координат, имеющие начало в центре тяжести сечения.
а) 
- внешние силы;
б) в)
- силы взаимодействия между левой от сечения 
и правой частью стержня (внутренние силы); г) д) 
- главный вектор внутренних сил в сечении ;
- главный момент внутренних сил в сечении ;
е) ж) 
- проекции главного вектора на оси координат; 
- проекции главного момента на оси координат; з) и)
- внутренние силовые факторы в сечении стержня 
Рис. 2.11
Составляющие главного вектора и главного момента на оси координат будут между собой соответственно взаимно перпендикулярны и связаны зависимостями:
Каждая составляющая главного вектора и главного момента на оси координат имеет характерное обозначение и наименование. Составляющая главного вектора на ось стержня обозначается буквой N и называется продольной или нормальной силой (
).
Продольная сила вызывает растяжение или сжатие стержня. Составляющие главного вектора, перпендикулярные продольной оси стержня, обозначаются буквой 
Они стремятся перерезать стержень и называются перерезывающими или поперечными силами 
Составляющие главного момента на продольную ось стержня обозначаются буквой 
и называются крутящим моментом. Момент характеризует пару сил, действующую в плоскости, перпендикулярной оси стержня, которая вызывает кручение стержня вокруг его продольной оси:
.
Составляющие главного момента на оси, перпендикулярные продольной оси стержня, 
и 
характеризуют пары сил, изгибающие стержень в плоскостях 
и 
соответственно. Составляющие и называются изгибающим моментом (обозначим =
; =
; 
).
Величины 
являются внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями (рис. 2.11 з, и).
Определение величины внутренних силовых факторов
В большинстве задач сопротивления материалов все объекты находятся в покое. Поэтому внутренние усилия определяются из уравнений равновесия.
Главный вектор и главный момент внутренних сил в поперечном сечении стержня равны соответственно по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту заданных внешних сил, находящихся по одну сторону этого сечения. Иначе можно сказать, что заданные внешние силы уравновешиваются внутренними усилиями, приложенными в сечении. Отсюда можно установить правила определения величины и направления внутренних силовых факторов.
В поперечных сечениях стержня, находящегося в покое, внутренние усилия направлены так, чтобы уравновесить действия заданных внешних сил. По величине внутренние усилия определяются следующим образом:
Продольная сила равна алгебраической сумме проекций внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, на продольную ось стержня.
Перерезывающая (поперечная сила) равна алгебраической сумме проекций внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, на ось перпендикулярную продольной оси стержня.
Крутящий момент равен алгебраической сумме моментов внешних сил и пар сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, относительно продольной оси стержня.
Изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов внешних сил и пар сил, находящихся по одну сторону от сечения стержня, относительно поперечных центральных осей сечения.
Правило знаков для внутренних усилий
Каждый из шести силовых факторов 
является векторной величиной и в зависимости от его направления по отношению к рассматриваемому сечению может быть положителен, отрицателен или равен нулю.
Знаки каждого силового фактора определяются исходя из действительного их направления, или с учетом направления внешних сил, действующих на рассматриваемую часть стержня. Иллюстрация знаков внутренних усилий приведена в таблице 2.1.
Способ определения знаков внутренних силовых факторов с учетом их действительного направления является не всегда удобным, так как необходимо определять действительное направление внутренних усилий, а уже затем, согласно принятому правилу, присваивать знак. Более эффективным является способ, учитывающий влияние каждой внешней силы или внешнего момента на знак силового фактора с учетом принятого правила.
Например, если внешняя сила направлена вдоль стержня к рассматриваемому сечению, то она вызывает его сжатие и, следовательно, продольная сила будет отрицательной.
То есть знаки от каждой внешней силы или момента можно установить при непосредственном суммировании, когда вычисляется искомый силовой фактор. В таком случае правило определения знаков внутренних усилий будет следующим:
- продольная сила от внешних сил, направленных от сечения и вызывающее растяжение стержня, будет положительной, а от сил, направленных к сечению (сжимающих) - отрицательной;
- крутящий момент можно считать положительным, если при взгляде со стороны внешней нормали вращение, создаваемое внешним моментом, кажется происходящим по ходу часовой стрелки, и отрицательным, если против хода часовой стрелки;
- изгибающий момент принимается положительным, когда под действием приложенных сил балка изгибается выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижнего волокна; если балка изгибается выпуклостью кверху, то знак изгибающего момента будет отрицательным. Иллюстрация правил знаков внутренних силовых факторов показана в таблице 2.1.
Если на стержень, находящийся в покое, действует нагрузка, распределенная по длине (
- интенсивность продольной нагрузки, q - интенсивность поперечной нагрузки, 
- интенсивность внешних моментов, изгибающих стержень, 
- интенсивность внешних скручивающих моментов), то для определения внутренних усилий необходимо составить уравнения равновесия сил, действующих на элементарный участок стержня длиной 
(рис 2.12).
Таблица 2.1
Определение знаков внутренних усилий
Рис. 2.12. Распределенные нагрузки вдоль стержня и внутренние усилия в сечениях стержня на расстоянии 
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
при 
(2.5)
Из полученных дифференциальных зависимостей 2.1-2.5 определяется закон изменения соответствующего внутреннего усилия по длине стержня.
Эпюры внутренних усилий
Графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называются эпюрами. С помощью таких эпюр определяются сечения стержня, в которых внутренние усилия достигают наибольших значений.
При построении эпюр рекомендуется вначале определить опорные реакции, затем установить границы участков, в пределах которых внутренние усилия изменяются по определённой закономерности. Такими границами являются
- точки приложения силы;
- плоскость приложения момента пары сил;
- начало и конец распределенной нагрузки;
- изменение площади;
- излом оси стержня.
Далее с помощью метода сечений на основе уравнений статики и установленных правил знаков вычисляются значения внутренних усилий в сечениях на границах участков. Проводится базисная линия параллельно оси стержня, от которой по нормали в масштабе откладываются ординаты вычисленных значений внутренних усилий. С использованием дифференциальных зависимостей (2.1-2.5) определяются законы изменений внутренних усилий в пределах каждого участка.
Пример задачи 7
Построить эпюру продольных сил для нагруженного стержня (рис. 2.13, а).
Решение:
Продольные силы в сечениях 1-4 (рис. 2.13, 6) определяются по правилам, установленным ранее:
или 
.
Так как распределенная нагрузка отсутствует 
то, согласно 2.1, 
и, следовательно, на каждом участке N = const. Эпюра N показана на (рис. 2.7, в).
Границами участков являются сечения, отмеченные цифрами 1-6 на (рис. 2.13, а). Крутящий момент в этих сечениях определяется по правилам, описанным ранее. Так как распределенный крутящий момент по длине стержня отсутствует, то на основании равенства (2.3) 
на каждом участке.
Рис. 2.13
Пример задачи 8
Построить эпюру крутящих моментов для нагруженного вала (рис. 2.14).
Рис. 2.14
Пример задачи 9
Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента для нагруженной балки (рис. 2.15, а).
Решение:
Опорные реакции определяются из уравнения статики.
Проверка
.
Границами участков являются сечения, отмеченные цифрами на (рис. 2.15, б).
Рис. 2.15
На участке 1-2 действует распределенная поперечная нагрузка 
Поперечная сила в сечении на расстоянии 
отточки «А» равна:
.
Определим значение 
, при котором поперечная сила равна нулю:
.
Поскольку 
, а в сечении 
, то изгибающий момент будет здесь экстремальным и равен при расположении сил слева от сечения :
При расположении сил справа от сечения 
:
Поперечная сила и изгибающий момент в сечениях рис. 2.15 определяются согласно правил, изложенных в п. 2.6 и 2.7:
По полученным значениям 
и 
строится эпюра, представленная на (рис. 2.15, в, г).
На участке 1-2 эпюра поперечной силы изменяется линейно, так как 
а эпюра изгибающих моментов изменяется по параболе, обращенной выпуклостью вверх (здесь 
). На участке 3-4 поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется линейно.
Геометрические характеристики поперечных сечений стержня
Статические моменты
Простейшей геометрической характеристикой сечения является его площадь. Более сложной: статический момент, а также осевой, полярный и центральный момент инерции сечения.
При решении задач сопротивления материалов необходимо уметь определять положение центра тяжести поперечного сечения стержня. Для этого используется понятие статического момента площади. Статическим моментом площади поперечного сечения стержня относительно оси называется сумма произведений элементарных площадей 
(рис. 3.1) на их расстояние до данной оси.
(3.1)
(3.2)
Рис. 3.1 Размерность статических моментов - м³.
Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси.
Статические моменты могут быть положительными, отрицательными (в зависимости от знака координат) или равными нулю.
При параллельном переносе осей статические моменты изменяют свои значения относительно этих осей.
Выражение, устанавливающее зависимость между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей 
и 
(рис. 3.1), имеет следующий вид:
, (3.3)
где 
- расстояние, на которое перенесена ось до положения , 
.
, (3.4)
где 
- расстояние, на которое перенесена ось 
до положения 
Оси 
и
относительно которых статические моменты равны нулю, называются центральными (рис. 3.1).
Точка С пересечения с центральных осей называется центром тяжести сечения.
Координаты центра тяжести сечения определяются по формулам:
(3.5)
где 
и 
- статические моменты;
F- площадь сечения.
Координаты центра тяжести сложного сечения, например, показанного на (рис. 3.2), определяются по следующим формулам:
(3.6)
где 
- координаты центра тяжести сложного сечения;
- координаты центра тяжести составных сечений;
- площади, соответствующего сложного сечения;
Рис. 3.2
Точка С - лежит на прямой, соединяющей 
и 
для двух площадей, а в плоскости треугольника - для трех площадей (рис. 3.2 а, 6).
Моменты инерции
При поступательном движении твердого тела (курс теоретической механики) его масса полностью определяет меру инертности, но при вращательном движении на инертность будет влиять распределение масс, в этом случае мерой инертности является момент инерции, который учитывает расположение масс по отношению к точке оси или плоскости.
Аналогично в курсе сопротивлении материалов величина площади поперечного сечения стержня (см. таблицу 3.1 и 4.1) полностью характеризует сопротивление стержня растяжению, сжатию, сдвигу или срезу. Но для определения сопротивляемости стержня изгибу или кручению одной величины площади поперечного сечения недостаточно, необходимо знать, как она распределяется по отношению к осям изгиба или кручения. То есть при анализе деформации изгиба и кручения необходимо учитывать форму поперечного сечения стержня. Для этого вводятся понятия, которые называются полярными, осевыми и центробежными моментами инерции.
Полярным моментом инерции сечения относительно точки или полюса (точки О на рис. 3.3) называется сумма произведений элементарных площадей 
на квадраты их расстояний до этой точки.
(3.7)
Рис. 3.3 Осевым моментом инерции сечения относительно оси называется сумма произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до данной оси.
(3.8)
(3.9) Центробежным моментом инерции относительно двух координатных осей называется сумма произведений элементарных площадей на их соответствующие координаты.
(3.10)
Если сложить обе части равенств (3.8) и (3.9), то получим:
(3.11)
Но 
значит 
.
Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту этого сечения относительно точки пересечения указанных осей.
При решении различных практических задач часто приходится определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом используются уже известные значения моментов инерции сечения относительно других осей.
В самом общем случае можно рассматривать два основных случая:
- параллельный перенос осей координат в новое положение;
- поворот осей относительно начала координат.
Для установления зависимости между моментами инерции одного и того же сечения при параллельном переносе осей рассмотрим сечение, представленное на рис. 3.4.
Моменты инерции 
и 
данного сечения считаются известными.
В новой системе координат 
оси координат параллельны переменным, 
и 
являются координатами точки 
в старой системе координат 
.
Рис. 3.4 Выражение осевого момента инерции относительно оси 
:
С учетом (3.2) и (3.8):
(3.12)
Если ось 
проходит через центр тяжести сечения, то статический момент 
и:
(3.13)
Из (3.12) следует, что осевой момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, имеет наименьшее значения по отношениям к моментам инерции относительно всех других параллельных осей. По аналогии с (3.12):
(3.14)
В частном случае, когда ось 
проходит через центр тяжести сечения 
:
(3.15)
Выражение для центробежного момента относительно осей 
и 
:
С учетом (3.2) и (3.11):
(3.16)
Если 
т.е. оси 
и 
проходят через центр тяжести сечения, то:
(3.17)
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как в их выражении под знаки интегралов входят величины площадок 
которые всегда положительны, так же как и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса.
Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю, в зависимости от расположения сечения относительно осей координат. Так, например, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.
Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме осевых моментов инерции, составляющих его частей относительно этой же оси.
Центробежный момент инерции сложного сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции, составляющих его частей относительно тех же осей.
Полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции, составляющих его частей относительно той же точки.
Определяя моменты инерции сложного сечения, нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.
При повороте осей координат 
относительно точки О (рис. 3.5) на некоторый угол 
расстояние 
от элементарных площадок 
до полюса О не изменяется. Тогда в соответствии с функцией (3.5) 
Полярный момент инерции сечения при повороте осей относительно начала координат остается постоянным.
Рис. 3.5
Следовательно в соответствии с (3.11):
(3.18)
Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную величину при повороте осей на любой угол.
Выражение осевого момента инерции относительно оси 
:
или с учетом формул (3.8), (3.9), (3.10):
(3.19)
Аналогично:
(3.20)
Центробежный момент инерции относительно осей 
и 
.
или в соответствии с (3.8), (3.9) и (3.10):
(3.21)
Формулы (3.19), (3.20) и (3.21) позволяют установить, как изменяется момент инерции сечения при повороте осей на произвольный угол 
При изменении угла 
осевые моменты инерции достигают максимума и минимума.
Максимальные и минимальные (экстремальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции.
Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции.
Значения главных моментов инерции сечений и положения главных осей инерции относительно переходных определяются по следующим формулам:
(3.22)
(3.23)
где 
- осевые и центральный момент инерции сечения относительно переходного положения осей;
- угол, на который необходимо повернуть оси, чтобы они стали главными.
При этом, если значение (3.23) положительно, то оси 
и 
поворачиваются против хода часовой стрелки и наоборот.
Моменты сопротивления
При анализе деформации кручения и изгиба удобно использовать геометрическую характеристику, называемую моментом сопротивления.
Моменты сопротивления обозначаются буквой 
и имеют размерность м³ (таблица 3.1).
Полярным моментом сопротивления круглого сечения называется отношение полярного момента инерции сечения к его радиусу (рис. 3.6)
(3.24)
Рис. 3.6
Осевым моментом сопротивления сечения стержня при изгибе называется отношение момента инерции сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от нейтральной оси до наиболее удалённой точки сечения
Для круглого сечения (рис. 3.6):
(3.25)
Для прямоугольного сечения (рис. 3.7):
(3.26)
Рис. 3.7
Статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления поперечных сечений прокатных профилей приведены в приложении 2.
Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести сечения и разделяет сжатую и растянутую области сечения. В таблице 3.1 приведены аналогии геометрии масс и геометрических характеристик сечений.
Таблица 3.1
Аналогии характеристик геометрии массы и площади поперечного сечения стержня в курсах теоретической механики и сопротивления материалов
Простые виды деформации стержня
На рис. 4.1, а, б показан стержень, один конец которого жестко заделан, другой свободен (консоль). Стержень нагружен силами 
действующих в плоскости симметрии поперечного сечения этого стержня. На рис. 4.1, в стержень нагружен парой сил, плоскость действия которой перпендикулярна продольной оси стержня, а величина момента равна 
На рис. 4.1, г пара сил с моментом М действует на стержень в плоскости его продольной симметрии. В результате действия указанных нагрузок стержень испытывает деформации в виде растяжения, сдвига, кручения и изгиба (рис. 4.1 а, 6, в, г ). Такие виды деформаций называются простыми.
Рис. 4.1
Упрощенная схема реального объекта, освобожденного от факторов, не влияющих существенно на работу системы в целом, называется расчетной схемой. Переход к расчетной схеме осуществляется путем схематизации свойств материала (сплошным, однородным, идеально упругим), а также путем схематизации внешних сил, с учетом геометрии реального объекта (который может быть стержнем, пластиной, оболочкой или массивом) и т.д. (рис. 2.8) На рис. 4.1, д, е, ж, з приведены расчетные схемы, используемые при решении задач. Для оценки работоспособности конструкций, имеющих стержни, необходимо знать распределение внутренних усилий по всей длине стержней. Внутренними усилиями (см. главу 2) при различных видах деформации стержня являются:
- при растяжении (сжатии) - продольная сила N,
- при сдвиге (срезе) и поречном изгибе - поперечная сила 
- при кручении - крутящий момент 
;
- при изгибе - изгибающий момент М.
На рис. 4.1, и, к, л, м показано применение метода сечений для определения внутренних усилий в 
- м сечении. Величина и направление действия внутренних силовых факторов в 
- м сечении 
и 
определяются из уравнений равновесия сил, действующих на отсеченную часть стержня (подробнее см. в п. 2.3-2.7).
Допущения при исследовании простых видов деформации стержней
С целью получения формул, удобных для практических расчетов, принимают следующие допущения:
- каждое поперечное сечение стержня плоское до деформации, остается плоским и после деформации, всегда оставаясь перпендикулярным продольной оси стержня - гипотеза плоских сечений Бернулли;
- любая прямая поперечного сечения стержня может поворачиваться, но не искривляться;
- волокна изгибаемого или растягиваемого (сжимаемого) стержня испытывают деформацию растяжения (сжатия) в продольном направлении и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении;
- если стержень нагружается эквивалентными системами сил, то в сечениях достаточно удаленных от мест приложения сил, результат их действия не зависят от способа нагружения ( принцип Сен-Венана);
- результат действия на объект нескольких сил равен сумме результатов действий каждой отдельной силы и не зависит от последовательности приложения этих сил (принцип независимости действия сил).
Деформации и напряжения при растяжении (сжатии), сдвиге и изменении температуры
Деформация растяжения (сжатия) имеет место в том случае, когда силы, приложенные к стержню, действуют по прямой, проходящей через центры тяжести поперечных сечений стержня. Такая деформация сопровождается увеличением (уменьшением) продольных размеров стержня 
, и уменьшением (увеличением) его поперечных размеров 
, 
, (рис. 4.2, а).
Рис. 4.2
Сдвиг возникает в том случае, когда две равные по величине и противоположные по направлению параллельные силы действуют перпендикулярно продольной оси стержня на некотором расстоянии друг от друга (рис. 4.1, б). При очень малом расстоянии между силами имеет место срез. Деформации при сдвиге заключаются в перекашивании прямых углов элемента (рис. 4.2, б).
В расчетах используются следующие характеристики деформаций стержня:
- абсолютная продольная деформация, где 
и 
-длина стержня до и после деформации соответственно;
- относительная линейная деформация;
- абсолютная поперечная деформация, где 
и 
- поперечный размер стержня до и после деформации соответственно;
- относительная поперечная деформация;
- абсолютный сдвиг,
- относительный сдвиг, или угол сдвига;
, здесь 
- длина сдвигаемого участка элемента.
Между продольной 
и поперечной 
существует экспериментальная зависимость:
где 
- коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона), который зависит от физических свойств материала. Значения коэффициента 
для некоторых материалов приведены в приложении 1. На основе многочисленных опытов установлено, что в поперечных сечениях стержня (с площадью F) при растяжении (или сжатии) действуют только нормальные напряжения 
(рис. 4.3, а), а при сдвиге (или срезе) - только касательные 
(рис. 4.3, б). Элементарная продольная сила, действующая на площадку 
в первом случае равна:
(4.1)
Элементарная поперечная сила, действующая на площадку 
во втором случае будет:
(4.2)
Результирующие силы в каждом случае определяются путем интегрирования обеих частей равенств (4.1) и (4.2):
(4.3)
(4.4)
Рис 4.3 В большинстве расчетов с учетом опытных данных распределение напряжений 
и 
по сечению при растяжении (сжатии) и сдвиге (срезе) считается равномерным. При 
и 
из равенств (4.3) и (4.4) нормальная (продольная) сила N и поперечная (перерезывающая) сила 
соответственно определяются по формулам: 
а нормальные и касательные напряжения - по формулам:
(4.5)
(4.6)
Закон Гука
Исследуя сопротивление различных материалов деформациям, Р. Гук (в 1660 г.) установил, что в области упругого нагружения напряжения и деформации находятся в линейной зависимости.
Нормальные напряжения прямо пропорциональны относительным линейным деформациям:
(4.7)
Касательные напряжения прямо пропорциональны угловым деформациям:
(4.8)
Коэффициент Е, характеризующий способность материала оказывать сопротивление упругим деформациям растяжения или сжатия, называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.
Коэффициент G, характеризующий способность материала оказывать сопротивление упругим сдвигающим силам, называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода. Модули упругости Е и G определяются опытным путем. Между этими коэффициентами существует зависимость:
(4.9)
Абсолютную линейную деформацию 
и абсолютный сдвиг 
с помощью формул 4.5 - 4.8 можно представить в виде:
(4.10)
Значения коэффициента Е для некоторых материалов приведены в приложении 1.
При изменении температуры геометрические размеры стержня изменяются. Так, стержень, жестко защемленный одним концом, при изменении температуры на 
изменяет свою длину на 
, где 
- первоначальная длина стержня, 
- коэффициент линейного расширения материала, равный изменению длины стержня при изменении температуры на 1°С. Значения 
для некоторых материалов приведены в приложении 1. Если оба конца стержня жестко закреплены, то при изменении его температуры в сечениях стержня возникнут температурные напряжения.
Диаграммы растяжения и сжатия материалов
Наибольшую информацию о механических свойствах материалов можно получить из испытаний их на растяжение или сжатие. Для испытания на растяжение используются, в основном, цилиндрические образцы с отношением расчетной длины к диаметру, равным 10 (иногда равным 5). На сжатие применяются цилиндрические образцы с отношением высоты к диаметру равным 3 (иногда равным 1,5).
Диаграмма растяжения или сжатия материала в координатах 
(сила - абсолютная линейная деформация) записывается с помощью специального устройства на испытательной машине. Поделив силу 
на площадь поперечного сечения образца F, а 
- на расчетную длину образца 
получают диаграмму в координатах 
- 
(напряжение - относительная линейная деформация). На рис. 4.4, а приведена диаграмма растяжения малоуглеродистой стали, на рис. 4.4 б - диаграмма сжатия чугуна, а на рис. 4.4, в - диаграммы сжатия древесины вдоль и поперек волокон. Указанные диаграммы позволяют определить:
- предел пропорциональности 
- максимальное напряжение, при котором сохраняется пропорциональная зависимость между напряжениями и деформациями;
- предел текучести 
- напряжение, при котором увеличение деформации образца происходит без увеличения нагрузки;
предел прочности материала, или временное сопротивление 
-наибольшее напряжение, при котором начинается разрушение образца.
Полученные экспериментально значения пределов текучести и пределов прочности материалов при растяжении, сжатии, сдвиге, срезе, или кручении используются для назначения допускаемых напряжений, которые используются в расчетах. При этом для назначения допускаемых напряжений применяются формулы:
(4.11)
где 
для хрупких материалов;
для пластичных материалов;
и 
- пределы прочности материала по нормальным и касательным напряжениям, 
и 
пределы текучести материала по нормальным и касательным напряжениям;
- коэффициент запаса прочности.
Рис. 4.4
Кручение
Кручение возникает в том случае, когда в плоскости поперечного сечения стержня действуют пары сил или силы, образующие момент относительно продольной оси стержня. Под действием скручивающего момента 
(рис. 4.1) круглый стержень, жестко защемленный одним концом, испытывает кручение. Рассечем стержень плоскостью, перпендикулярной продольной оси стержня, на две части (рис. 4.5, а, 6). В поперечном сечении каждой части стержня будет действовать крутящий момент 
который представляет собой результирующий момент внутренних касательных сил 
, действующих на бесконечно малых площадках этого сечения, удаленных на расстоянии 
от продольной оси стержня.
(4.12)
Произвольная образующая стержня ОВ после деформации занимает новое положение 
Угол между положениями образующей до (ОВ) и после деформации 
называется углом сдвига при кручении - 
, который вдоль радиуса сечения изменяется от нуля (на оси стержня) до его максимального значения на внешней поверхности. 
Угол поворота поперечного сечения стержня относительно защемленного конца называется углом закручивания - 
, который по длине вала изменяется от нуля (в заделке) до его максимального значения на его свободном конце 
. Зависимость между углом сдвига и углом закручивания определяется при вычислении длины дуги окружности:
на внешней поверхности стержня длиной 
концов радиус 
, (4.13)
На произвольном расстоянии 
от продольной оси стержня длиной :
(4.14)
Поделив левые и правые части равенства (4.13) на соответствующие части равенства (4.14), получим:
(4.15)
Отношение угла закручивания к длине участка, подверженного кручению, называется относительным углом закручивания.
(4.16)
Рис. 4.5
В поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения, вызывающие чистый сдвиг.
С учетом того, что угол сдвига согласно закону Гука (4.8) равен
, равенство (4.15) можно представить в виде
(4.17)
То есть касательные напряжения в сечении стержня изменяются по высоте сечения по линейному закону (рис. 4.6)
Рис. 4.6
Равенство (4.12) с учетом (4.17) можно представить в виде
(4.18)
С учетом равенства (3.3):
(4.19)
где 
- полярный момент инерции площади поперечного сечения.
Отношение полярного момента инерции круглого сечения к радиусу представляет полярный момент сопротивления этого сечения (глава 3). С учетом равенств (4.17) и (4.19) касательные напряжения в произвольной точке круглого поперечного сечения стержня, определяемой радиусом 
равны:
(4.20)
Максимальные касательные напряжения при кручении стержней круглого сечения при 
определяются по формуле:
(4.21)
Угол закручивания свободного сечения стержня относительно защемленного конца определяется из выражения (4.14):
(4.22)
Используя (4.8), (4.20) и (4.22), равенство (4.23) представим в виде:
(4.23)
Последнее равенство справедливо, если по длине вала являются постоянными крутящий момент 
и момент инерции 
, в противном случае угол закручивания определяется по формуле:
(4.24)
Прямой поперечный изгиб
Если в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент, то изгиб называется чистым (рис. 4.1, г), если, кроме изгибающего момента, в сечениях возникает поперечная сила (рис. 4.1, б), изгиб называется поперечным. Когда плоскость действия сил (силовая плоскость) совпадает с одной из главных осей поперечного сечения стержня, изгиб называется прямым, если не совпадает - косым. Согласно принятым допущениям при изгибе каждое поперечное сечение стержня поворачивается на некоторый угол, при этом одни волокна растягиваются, а другие сжимаются. Между областями растяжения и сжатия находится нейтральный слой, волокна которого, искривляясь, не деформируются. Определим формулу для вычисления нормальных напряжений при чистом изгибе (рис. 4.1, г, з).
Рис. 4.7
Двумя бесконечно близкими сечениями выделим на балке элемент длиной dz (рис. 4.7, а) и изобразим его в укрупненном масштабе (рис. 4.7, б). Будучи параллельными друг другу до деформации, оба сечения взаимно повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол 
после приложения изгибающего момента (рис. 4.7, в). При этом длина волокон нейтрального слоя не изменится:
, (4.25)
где 
- радиус кривизны нейтрального слоя. Любое другое волокно, лежащее выше или ниже нейтрального слоя, изменит свою длину. Так, относительная линейная деформация волокна, отстоящего от нейтрального слоя на величину 
равна:
(4.26)
Учитывая (4.25), после сокращения в равенстве (4.26) на dz, определим, что при чистом изгибе деформации волокон пропорциональны их расстояниям от нейтрального слоя.
(4.27)
С учетом равенства (4.27) нормальные напряжения по закону Гука (4.7) определятся по формуле:
(4.28)
Отношение 
в сечении является постоянной величиной, следовательно, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются линейно. Для определения их величины составим уравнения равновесия сил, действующих на выделенный элемент dz (рис. 4.7 в).
1)
2)
3) 
4) 
5) 
6) 
Первое, второе и шестое уравнения удовлетворяются тождественно.
Третье уравнение имеет вид:
или с учетом (4.28) 
.
так как 
, то статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной линии (3.1) 
, это значит, что нейтральные линии проходят через центры тяжести своих поперечных сечений, т. е. являются центральными осями.
Из пятого равенства с учетом (4.28) следует:
Так как центробежный момент инерции 
, то оси 
и 
являются главными осями инерции сечения стержня. Из четвертого равенства с учетом (4.28) имеем:
(4.29)
Согласно (3.4) осевой момент инерции сечения стержня равен 
, тогда 
и радиус кривизны нейтрального слоя определяется формулой:
(4.30)
Подставляя это выражение в (4.29), получим формулу для нормальных напряжений при чистом изгибе призматических стержней:
(4.31)
Максимальные нормальные напряжения равны:
(4.32)
где: 
- осевой момент сопротивления сечения (3.15).
Из анализа формулы (4.31) следует, что внутренние слои материала при изгибе нагружаются меньше, чем наружные. Поэтому, проектируя профили балок, большую часть площади сечения размещают подальше от нейтральной линии, поэтому двутавровые, швеллерные и тавровые профили балок дают существенную экономию материала по массе. Если материал балки хуже сопротивляется растяжению, чем сжатию (чугун), то центр тяжести сечения должен располагаться ближе к растянутым волокнам, чтобы максимальные растягивающие напряжения были меньше максимальных сжимающих напряжений (рис. 4.8).
Рис. 4.8
Для определения касательных напряжений рассмотрим балку прямоугольного сечения на двух опорах, нагруженную сосредоточенной силой Р (рис. 4.9, а). Выделим в балке двумя бесконечно близкими сечениями 
и 
элемент длиной dz и изобразим его в крупном масштабе (рис. 4.9, б), затем проведем продольное сечение СД, образовав в конечном итоге элемент АВСД.
По грани АС возникают нормальные напряжения, которые согласно (4.31) равны 
, где 
- изгибающий момент в сечении 
, на грани ВД нормальные напряжения будут 
. Равнодействующая внутренних продольных сил, распределенных по левой грани, равна:
(4.33)
где F - площадь отсеченной части поперечного сечения (на рис. 4.9, в) заштрихована,
- статический момент отсеченной площади относительно нейтральной линии.
Аналогично на правой грани:
(4.34)
Рис. 4.9
Предполагается, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения балки b, тогда равнодействующая касательных сил равна
. (4.35)
Уравнения равновесия сил, действующих на элемент АВСД, имеет вид:
После подстановки в последнее уравнение выражений (4.33-4.35) , приведения подобных членов и с учетом зависимости 
(2.5) получим:
(4.36)
Формула (4.36) впервые получена русским инженером Д.И. Журавским.
По высоте сечения касательные напряжения неравномерны. В крайних волокнах они равны нулю, так как 
, наибольшего значения касательные напряжения достигают в волокнах нейтрального слоя. Расчет на прочность по касательным напряжениям необходим в тех случаях, когда изгибающий момент невелик, а поперечная сила значительна. Примером могут служить подкрановые балки, нагруженные у опор сосредоточенными силами от давления колес мостового крана.
Для определения перемещений и углов поворотов поперечных сечений при изгибе воспользуемся равенством (4.30) и формулой математики для вычисления кривизны плоской кривой:
(4.37)
На рис. 4.10 показаны прогиб 
и угол поворота 
поперечного сечения балки, находящегося на расстоянии z от начала координат.
Рис. 4.10
Деформированная ось балки называется упругой линией. Угол наклона касательной к упругой линии 
равен углу поворота поперечного сечения 
(углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Согласно геометрическому смыслу производной 
При малых деформациях значения 
очень малы по сравнению с единицей и ими можно пренебречь, тогда формулу (4.37) с учетом равенства (4.30) можно представить в виде:
(4.38)
Выбор знака в уравнении (4.38) определяется направлением координатной оси 
Если ось 
направлена вверх, то в уравнении (4.38) ставится знак плюс, так как при изгибе балки выпуклостью книзу 
и 
(вектор кривизны, направленный всегда по нормали к центру кривизны, совпадает с положительным направлением оси ). Другие случаи приведены на рис. 4.11.
Равенство (4.38), называемое дифференциальным уравнением упругой линии балки, является справедливым в пределах закона Гука. С помощью этого равенства определяются прогибы балок и углы поворота их поперечных сечений.
Рис. 4.11
В качестве примера для консоли с сосредоточенной силой Р на конце найдем аналитическое выражения для прогибов и углов поворотов сечений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Длина балки 
изгибная жесткость балки 
(рис. 4.12).
Рис. 4.12
В произвольном сечении на расстоянии z от начала координат изгибающий момент равен 
тогда равенство (4.38) принимает вид:
Интегрируя первый раз это дифференциальное уравнение, получим:
Интегрируя второй раз, найдем:
Произвольные постоянные 
и 
определяются из граничных условий. При z = 0 прогиб и угол поворота в заделке равны нулю, следовательно 
= 0 и 
= 0. Максимальный прогиб и угол поворота будут на правом свободном конце балки при 
Прогибы и углы поворотов определяются и другими методами, изучаемыми в курсе сопротивления материалов (например, метод начальных параметров, метод сил).
Условия прочности и жесткости стержней при простых видах их деформации
При расчетах по допускаемым напряжениям прочность объекта считается нарушенной, если хотя бы в одной точке этого объекта возникают напряжения, величина которых превосходит их допустимые значения, определяемые по формуле (4.11).
Максимальные напряжения в сечениях стержней при растяжении, сжатии, срезе, кручении или изгибе определяются по формулам (4.5), (4.6), (4.21) и (4.32). Схематично максимальные напряжения можно выразить как отношение внутреннего силового фактора (ВСФ) к геометрическому фактору прочности (ГФП):
Внутренними силовыми факторами (ВСФ) являются нормальная (продольная) сила N, поперечная (перерезывающая) сила 
крутящий момент 
и изгибающий момент 
Геометрическими факторами прочности (ГФП) являются площадь поперечного сечения стержня F, полярный момент сопротивления 
и осевой момент сопротивления 
или
Максимальные деформации стержня при его растяжении, сжатии, срезе, кручении или изгибе определяются с помощью формул (4.10), (4.24) и (4.38). Схематично максимальные деформации при растяжении, сжатии, срезе и кручении можно выразить как отношение внутреннего силового фактора к жесткости стержня.
При растяжении (сжатии) стержня продольная жесткость равна произведению модуля упругости первого рода на площадь поперечного сечения стержня EF.
При срезе поперечная жесткость равна произведению модуля упругости второго рода на площадь поперечного сечения стержня GF.
При кручении стержня крутильная жесткость определяется произведением модуля упругости второго рода на полярный момент инерции поперечного сечения стержня 
При изгибе стержня его изгибная жесткость выражается произведением модуля упругости первого рода на осевой момент инерции поперечного сечения стержня 
В таблице 4.1 приведены условия прочности стержней при расчете по допускаемым напряжениям (максимальные напряжения в сечениях стержней не должны быть больше допускаемых напряжений), и условия жесткости (максимальные деформации стержней не должны быть больше допускаемых деформаций).
Таблица 4.1
Сложное сопротивление
К сложному сопротивлению относятся такие виды нагружения стержня, при которых в его поперечных сечениях одновременно возникают не менее двух внутренних силовых факторов. Прямой поперечный изгиб относится к простому сопротивлению, несмотря на то, что в сечениях стержня возникают два силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент, но расчеты в большинстве случаев проводятся без учета влияния поперечной силы. Сложное сопротивление создается при сочетании нескольких простых видов деформаций: растяжения или сжатия, сдвига, кручения, изгиба. Могут быть различные комбинации простых деформаций стержня: изгиб с растяжением, изгиб с кручением, двойной изгиб и т. д. Задачи сложного сопротивления решаются в соответствии с принципом независимости действия сил. Сначала, пользуясь методом сечений, определяют внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержня и устанавливают положение наиболее напряженного (опасного) сечения. Определяют нормальное и касательное напряжения в этом сечении от каждого усилия отдельно. Исследуя распределение напряжений в сечении, находят опасную точку, в которой суммарные напряжения достигают наибольшей величины. В зависимости от вида напряженного состояния в опасной точке составляется условие прочности. Рассмотрим два вида сложного сопротивления: косой (двойной) изгиб и внецентренное растяжение (сжатие).
Косой изгиб
При косом изгибе плоскость действия результирующего изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения балки. Для примера рассмотрим консоль прямоугольного сечения, нагруженную на свободном конце сосредоточенной силой Р (рис. 5.1, а). Определим напряжения в точках произвольного сечения бруса, находящегося на расстоянии - z от его свободного конца, где помещено начало координат.
Рис. 5.1
Величина 
представляет собой результирующий изгибающий момент в рассматриваемом сечении. Плоскость действия этого момента называется силовой плоскостью.
Разложим силу Р на составляющие вдоль главных осей поперечного сечения.
.
Составляющая 
изгибает консоль в вертикальной плоскости относительно оси 
вызывая изгибающий момент в рассматриваемом сечении, 
составляющая 
изгибает консоль в горизонтальной плоскости относительно оси 
вызывая изгибающий момент 
следовательно 
. Таким образом, косой изгиб эквивалентен двум прямым изгибам во взаимно перпендикулярных плоскостях.
В расчетах на прочность и жесткость при изгибе стержней в большинстве случаев влиянием поперечных сил пренебрегают. Результирующие нормальные напряжения, согласно принципу независимости действия сил и с учетом равенства (4.29), определяются по формуле:
(5.1)
При использовании формулы (5.1) изгибающие моменты 
и координаты исследуемого волокна 
и 
принимаются по абсолютному значению, а знак слагаемых напряжений устанавливается, исходя из картины деформации бруса. Так, точка В (рис. 5.1, б) при изгибе от 
и 
попадает в растянутую зону, поэтому оба слагаемых в формуле (5.1) положительны, точка А будет находиться в сжатой зоне, поэтому оба слагаемых в (5.1) будут отрицательны. Положение нейтральной линии (в точках которой нормальные напряжения равны нулю) определяется угловым коэффициентом 
из равенства (5.1), если учесть, что 
, то:
(5.2)
где 
и 
- текущие координаты точек нейтральной линии.
Равенство (5.2) является уравнением прямой, проходящей через начало координат, которое совпадает с центром тяжести поперечного сечения стержня. Из этого уравнения следует:
(5.3)
Так как равенство (5.2) при 
удовлетворяется, когда и имеют разные знаки, то из (5.3) следует:
(5.4)
Из этой зависимости можно сделать выводы:
1. При косом изгибе, когда 
угол 
не равен углу 
поэтому нейтральная линия не перпендикулярна силовой, как при прямом изгибе (рис. 5.1, в). Перпендикулярность сохраняется только при 
, то есть когда все центральные оси сечения являются главными (круг, квадрат и кольцо).
2. Положение нейтральной оси не зависит от величины прикладываемой нагрузки.
3. Углы 
и 
отсчитываются в одном направлении от оси 
и 
т. е. для совмещения с нейтральной линией оси следует повернуть на угол 
в том же направлении, в каком необходимо повернуть ось 
для совмещения с силовой линией.
Прогибы при косом изгибе равны геометрической сумме прогибов 
при прямых изгибах от составляющих сил 
и 
Направление полного прогиба при плоском косом изгибе перпендикулярно нейтральной линии 
Внецентренное растяжение (сжатие)
Внецентренное растяжение (сжатие) возникает в том случае, если продольная сила, действующая на стержень, параллельна оси стержня, но не совпадает с ней (рис. 5.2, а).
Рис. 5.2
В этом случае на основе метода Пуансо силу можно перенести параллельно самой себе и приложить в центре тяжести сечения, добавив при этом пару сил, эквивалентной двум парам сил, моменты которых равны 
, тогда в любом поперечном сечении стержня возникают три силовых фактора (рис. 5.2, 6)
(5.5)
где 
и 
- координаты точки приложения внешней силы (эксцентриситеты внешней силы);
- нормальная сила;
- изгибающие моменты в выделенном сечении стержня.
Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) эквивалентно центральному растяжению (сжатию) и двум прямым изгибам.
Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня, согласно принципу независимости действия сил, равны алгебраической сумме напряжений от каждого внутреннего силового фактора. При внецентренном растяжении, когда 
или
(5.6)
где 
При внецентренном сжатии, когда 
(5.7)
Уравнение нейтральной линии (в точках которой нормальные напряжения равны нулю) определяется выражением:
(5.8)
Определим отрезки, которые нейтральная линия отсекает на координатных осях. При 
и 
равенство (5.8) примет вид:
откуда величина отрезка, отсекаемого нейтральной линией на оси 
(рис. 5.2, в), будет определяться по формуле:
(5.9)
а при 
и 
равенство (5.8) будет:
и величина отрезка, отсекаемого нейтральной линией на оси 
(рис. 5.2, в), равна:
(5.10)
Из зависимостей (5.9) и (5.10) можно сделать следующие выводы:
- положение нейтральной линии зависит от значения радиусов инерции, то есть от формы и размеров поперечного сечения бруса, а также от эксцентриситета нагрузки, но не зависит от величины нагрузки;
- значения 
и 
а также 
и 
имеют противоположные знаки, так как радиусы инерции всегда положительны, следовательно, точка приложения нагрузки и нейтральная линия находятся по разным сторонам от центра тяжести сечения (рис. 5.2, в).
Знак напряжений в поперечном сечении стержня при внецентренном приложении нагрузки зависит от эксцентриситета нагрузки. Это обстоятельство необходимо учитывать при проектировании конструкций из хрупких материалов, которые на сжатие работают лучше, чем на растяжение. Для того чтобы напряжения в сечении при внецентренном приложении нагрузки были одного знака, необходимо, чтобы нейтральная линия проходила вне сечения или касалась его.
Область вокруг центра тяжести поперечного сечения стержня, внутри которой необходимо приложить продольную нагрузку, чтобы вызвать по всему сечению напряжения одного знака, называется ядром сечения. На рис. 5.3, а показано ядро прямоугольного сечения в виде ромба (заштрихованная область). Значения диагоналей ромба 
и 
получаются с помощью зависимостей (5.9) и (5.10). Для определения ядра сечения круга, диаметр которого равен 
(рис. 5.3, б) проведем нейтральную ось 1-1, совпадающую с касательной круга в точке «А». Тогда абсцисса приложения силы 
определяется из уравнения (5.9)
, а так как радиус инерции для круга 
, то 
. Благодаря симметрии круга ядро сечения также будет круглым с радиусом равным 
(рис. 5.3, б).
Рис. 5.3
Критерии прочности
Напряженное состояние в точке
Напряжение в любой точке нагруженного объекта зависит от ориентации сечений (площадок), проходящих через эту точку. Совокупность напряжений по всевозможным площадкам, проходящих через рассматриваемую точку, характеризует напряженное состояние в этой точке. Для его исследования в окрестности точки выделяется бесконечно малый параллелепипед, к граням которого приложены внутренние силы, заменяющие действие отброшенных частей тела. Полные напряжения на гранях выделенного параллелепипеда представляются нормальными и касательными составляющими (рис. 6.1) (на противоположных гранях они одинаковы по величине и обратные по направлению). Нормальному напряжению присваивается индекс, указывающий, какой координатной оси параллельно направление этого напряжения. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее - отрицательным. В обозначении касательных напряжений используется двойной индекс. Первый индекс указывает, какой оси координат параллельна нормаль к площадке действия касательного напряжения, второй - какой оси параллельно данное напряжение.
Составив уравнение равновесия сил, действующих на выделенный элемент 
, получим закон парности касательных напряжений: составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру, равны по величине и противоположны по направлению (либо сходятся к этому ребру, либо расходятся от него).
.
При изменении ориентации граней параллелепипеда напряжения также меняются, и может оказаться, что касательные напряжения на этих площадках равны нулю. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. В теории упругости доказывается, что через любую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные площадки. Напряжения на этих площадках обозначаются 
причем индексы главных напряжений расставляются в соответствии с неравенством 
, т.е. 
- наибольшее в алгебраическом смысле главное напряжение, 
- наименьшее, а 
- промежуточное. Если все три главные напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние называется объемным, пространственным или трехосным (рис. 6.2, а). Если отличны от нуля два главных напряжения, то напряженное состояние называется плоским или двухосным (рис. 6.2, б). В случае, когда одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние называется линейным или одноосным (рис. 6.2, в).
Рис. 6.2
При осевом растяжении (сжатии) бруса силами Р (рис. 6.3, а) напряжения в сечениях бруса можно считать распределенными равномерно (рис. 6.3, б, в). Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса (рис. 6.3, б) равны:
где F - площадь поперечного сечения бруса.
По наклонному сечению, площадь которого 
, напряжения, параллельные силе Р, определяются из уравнения равновесия 
:
. При разложении напряжения 
на нормальное и касательное (рис. 6.3, г) получаются формулы для определения напряжений на наклонных площадках
Рис. 6.3
(6.1)
(6.2)
Нормальные напряжения препятствуют отрыву одной части бруса от другой или их прижатию, касательные напряжения препятствуют взаимному сдвигу. За положительные принимаются растягивающие нормальные напряжения. Касательные напряжения считаются положительными, если нормаль к площадке, поворачиваясь на 90° по ходу часовой стрелки, совпадает с направлением этих напряжений. Угол 
считается положительным, когда он отсчитывается против хода часовой стрелки от оси бруса 
до направления внешней нормали 
к наклонному сечению. Из формул 6.1 и 6.2 следует, что
- в поперечных сечениях растянутого бруса нормальные напряжения максимальны, а касательные отсутствуют (при 
);
- в продольных сечениях отсутствуют любые напряжения (при 
= 90° 
);
- касательные напряжения максимальны при 
, т.е. в сечениях, наклоненных под углом 
= 45° к поперечному сечению, и равны половине наибольших нормальных напряжений
- нормальные напряжения в двух взаимно перпендикулярных сечениях бруса различны, но их сумма постоянна и равна нормальному напряжению в поперечном сечении.
В строительных конструкциях часто встречаются элементы в виде пластин и оболочек, которые работают в условиях плоского напряженного состояния. Сюда относятся стеновые панели, стенки и днища сосудов, трубопроводы большого диаметра и др. В этом случае зависимости между напряжениями на двух взаимно перпендикулярных площадках и напряжениями на наклонной площадке (рис. 6.4) устанавливаются по аналогии с линейным напряженным состоянием и имеют вид:
Рис. 6.4
(6.3)
(6.4)
Если известны главные напряжения 
и 
, то такие зависимости имеют вид: 
.
Если известны напряжения 
и 
, то для вычисления главных напряжений используются формулы:
(6.5)
Формула для определения положения главных площадок имеет вид:
(6.6)
В эти формулы напряжения подставляются со своими знаками. Если 
оказывается положительным, то угол 
отсчитывается от направления 
против хода часовой стрелки, если 
то этот угол отсчитывается по ходу часовой стрелки. Выражение (6.6) дает два взаимно перпендикулярных направления с углами 
и 
, по которым действуют главные напряжения 
и 
(рис. 6.5). Направление 
всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым сходятся стрелки касательных напряжениий (рис. 6.5). Экстремальные касательные напряжения возникают по площадкам, наклоненным под углом 45° (или 135°) к главным и равны полуразности главных нормальных напряжений (6.7).
(6.7)
Рис. 6.5
Обобщенный закон Гука
Согласно выражению закона Гука при осевом растяжении - сжатии продольная деформация равна 
, а поперечная деформация 
.
В случае объемного напряженного состояния, когда по граням элементарного параллелепипеда действуют главные напряжения 
и 
на основании принципа суперпозиции можно записать 
, аналогично определяются и два других удлинения 
и 
Таким образом:
(6.8)
Коэффициент запаса прочности и допускаемые напряжения
Для безопасной работы конструкции при заданных нагрузках необходимо, чтобы наибольшее напряжение в поперечном сечении элемента конструкции было меньше некоторого предельного значения 
. Под предельным понимают напряжение, предшествующие началу разрушения (для хрупких материалов), или появлению остаточных деформаций (для пластичных материалов).
Отношение предельного напряжения 
к расчетному напряжению 
называется коэффициентом запаса прочности 
При расчете элементов конструкций коэффициент запаса прочности задается заранее и называется нормативным (или допускаемым) 
.
Отношение предельного напряжения к нормативному коэффициенту запаса прочности называется допускаемым напряжением.
(6.9)
(6.10)
Прочность конструкции обеспечивается, если наибольшее расчетное напряжение 
не превосходит допускаемого напряжения [
].
(6.11)
(6.12)
Для пластичных материалов предельным напряжением является предел текучести 
, для хрупких - предел прочности 
.
Зависимости (6.11) и (6.12) называются условиями прочности.
Теории прочности
При оценке несущей способности конструкций и сооружений следует исходить из того, что в одних случаях наступление предельного состояния отождествляется с появлением пластических деформаций, а в других - с разрушением конструкций. Если напряженное состояние одноосное, то определение момента появления пластических деформаций или разрушения осуществляется просто путем сопоставления напряжений с пределом текучести или пределом прочности материала, определяемых из опыта по результатам диаграмм растяжения или сжатия.
Значительно сложнее оценить прочность при сложном напряженном состоянии, когда предельное состояние зависит от величины не одного, а нескольких имеющихся в опасных точках напряжений.
При сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении, а о предельном состоянии. Предельным состоянием в опасной точке считается переход материала из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающиеся в образовании трещин.
Для оценки прочности материала, находящегося в сложном напряженном состоянии, вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность определенного критерия - эквивалентного напряжения.
Эквивалентным напряжением 
следует называть напряжение, которое необходимо создать в растянутом (или сжатом) образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию. Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением (или сжатием), получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении (или сжатии):
Независимо от теории прочности условие прочности имеет вид:
Любое сложное напряженное состояние будем характеризовать главными напряжениями 
, с использованием соответствующего критерия можно получить выражение:
.
Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности).
В соответствии с этим критерием причиной наступления предельного состояния являются наибольшие нормальные напряжения, то есть:
Удовлетворительное совпадение с опытными данными по первой теории прочности получается для хрупких материалов (бетон, камень) в том случае, когда одно из главных напряжений по абсолютной величине значительно больше других. Но эта теория непригодна для пластичных материалов, а также в тех случаях, когда три главных напряжения однозначны и близки по величине. Например, при всестороннем равномерном сжатии материалы не обнаруживают никаких признаков разрушения даже при напряжениях, превышающих предел прочности (разрушение должно произойти при 
).
Критерий наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)
В соответствии с этим критерий наступления предельного состояния будет в случае, когда наибольшее удлинение достигает предельного значения, величина которого равна относительному удлинению при одноосном растяжении:
где 
- наибольшее относительное удлинение, соответствующее рассматриваемому напряженному состоянию, а эквивалентное напряжение
При плоском напряженном состоянии 
.
Удовлетворительные результаты по второй теории прочности получаются для хрупких материалов, когда все три главные напряжения отрицательны. Для пластичных материалов эта теория непригодна.
Критерий наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
В качестве критерия пластичности принимаются максимальные касательные напряжения, равные максимальным касательным напряжениям при одноосном напряженном состоянии:
Отсюда эквивалентное напряжение будет:
Эксперименты с различными материалами свидетельствуют о близости опытных данных с результатами теоретических расчетов. Эта теория применяется для оценки прочности пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. В качестве недостатка данного критерия является не учет главного напряжения 
.
Критерий удельной потенциальной энергии (четвертая теория прочности)
Энергетическая теория связывает состояние сопротивления пластическим деформациям с энергией изменения формы.
Удельная потенциальная энергия изменения формы равна:
.
Для одноосного растяжения 
появлению пластических деформаций будет соответствовать равенство:
Тогда 
Для плоского напряженного состояния:
Для материалов, имеющих различные пределы прочности на растяжение и сжатие (чугун), применяется пятая теория прочности (теория Мора), согласно которой:
,
где 
, или для хрупких материалов 
для пластичных - 
Устойчивость сжатых стержней
При некоторых условиях прямолинейные стержни, подвергающиеся сжатию силами, направленными вдоль продольной оси стержня, теряют прямолинейную форму и их несущая способность может оказаться исчерпанной в результате выпучивания раньше, чем стержни выйдут из строя непосредственно от сжатия. На рис 7.1, а изображен стержень, на который действует осевая сжимающая нагрузка Р.
Рис. 7.1
Если при некотором значении силы Р (рис. 7.1, а) стержень, получив малое отклонение от вертикали, возвращается в первоначальное положение под действием сил упругости, то такое его состояние называется устойчивым (прямолинейная форма устойчивости).
По мере увеличения силы Р стержень все медленнее возвращается в первоначальное положение после возмущения и при некотором значении силы Р, называемой критической силой( 
), после малого отклонения от вертикали стержень теряет прямолинейную форму устойчивости. Изогнутый стержень (рис. 7.1, б, в) так же, как и прямолинейный, может иметь устойчивую форму равновесия (криволинейная форма устойчивости). Однако такое состояние чрезвычайно опасно, поскольку стержень работает уже не на сжатие, а на сжатие с изгибом, когда возникают недопустимо большие прогибы и напряжения. Изгиб, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня, называется продольным (вызван продольной нагрузкой).
Таким образом, для обеспечения устойчивости первоначальной формы сжатого стержня необходимо, чтобы сжимающая сила «Р» была меньше критической. Критическое напряжение в поперечном сечении стержня определяется по формуле:
(7.1)
где F - площадь поперечного сечения брутто.
В результате проведенных исследований установлено, что критическая сила зависит от способов закрепления концов стержня. Длина, при которой стержень с заданным закреплением концов соответствует по устойчивости стержню с шарнирно закрепленными концами, называется приведенной длиной.
(7.2)
На (рис. 7.2, а, б, в, г) показаны различные способы закрепления стержней и соответствующие им коэффициенты приведения 
Рис. 7.2
Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции его поперечного сечения называется гибкостью стержня:
(7.3)
Минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня определяется по формуле:
(7.4)
Определим значение критической силы прямолинейного стержня с шарнирно закрепленными концами (рис. 7.2, а), используя дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (4.38).
Абсолютное значение изгибающего момента в произвольном сечении искривленного стержня 
. Тогда:
(7.5)
Знак минус в правой части равенства (7.5) принят потому, что прогиб стержня у и кривизна его 
всегда имеют противоположные знаки (вектор кривизны всегда направлен к центру кривизны).
Равенство (7.5) представим в виде:
(7.6)
где обозначено 
(7.7)
Решение однородного дифференциального уравнения (7.6) имеет вид:
(7.8)
Произвольные постоянные 
и 
определяются из граничных условий:
- при 
= 0, 
= 0, следовательно 
, откуда 
= 0;
- при = 
= 0, 
. Для искривленного стержня должно быть 
То есть 
или 
, с учетом (7.7):
(7.9)
Принимая 
= 1 и имея в виду, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, из равенства (7.9) получим выражение критической силы (то есть наименьшее значение силы Р, при которой стержень теряет прямолинейную форму устойчивости равновесия).
(7.10)
Формула (7.10) впервые получена Л. Эйлером. С учетом различных закреплений концов стержня формулу (7.10) можно представить в виде:
(7.11)
Здесь 
- приведенная длина стержня.
Соответствующие критической силе критические напряжения 
можно выразить из формул (7.11), (7.3) и (7.4):
(7.12)
Формула Л. Эйлера справедлива при условии, что критические напряжения не превосходят предела пропорциональности (в этом случае модуль упругости материала «Е» является постоянной величиной). Предельная гибкость, отвечающая равенству 
, из уравнения (7.12) определяется по формуле:
(7.13)
Для стали марки Ст.З предельная гибкость, вычисленная по формуле (7.13), 
; для дюралюминия (
= 240 МПа, 
МПа), 
= 54, аналогично предельная гибкость определяется для дерева 
= 75.
Для стержней, имеющих величину гибкости меньше предельной 
(короткие стержни), результаты, полученные по формуле Л. Эйлера значительно отличаются от экспериментальных данных и применять ее нельзя. В этом случае для расчетов применяется формула Тетмайера - Ясинского:
(7.14)
Здесь коэффициенты 
и 
зависят от материала стержня и определяются экспериментально. Так, для стали марки Ст.З 
= 310 МПа, 
= 1,14 МПа; для дюралюминия = 406 МПа, = 2,83 МПа.
Соответствующая критическим напряжениям критическая сила равна:
Если напряжения в стержне достигают предела текучести 
то они принимаются за критические напряжения 
. Согласно зависимости (7.14) гибкость стержней при этом должна быть 
. Для стали марки Ст.З 
=61, для дюралиминия =30. Таким образом, формула (7.14) неприменима для стержней с гибкостью 
(короткие стержни). Область применения рассмотренных формул в зависимости от гибкостей стержней приведена на рис. 7.3. 
Рис. 7.3
Расчеты на устойчивость сжатых стержней, нагруженных силой Р (рис. 7.2), выполняются согласно условию устойчивости:
(7.15)
где 
- допускаемое напряжение стержней на сжатие,
F- площадь поперечного сечения бруса ,
- коэффициент уменьшения напряжений для сжатых стержней (коэффициент продольного изгиба) определяется в зависимости от материала и гибкости стержня по таблицам СНиП. В таблице 7.1 приведены значения коэффициентов продольного изгиба для стали марки Ст.З и для древесины.
Таблица 7.1
Формулу (7.15) для расчета стержней на устойчивость можно представить в виде:
(7.16)
Условие (7.16) позволяет производить три вида расчетов:
1. Проверка устойчивости. В этом случае известны параметры сжатого стержня: нагрузка Р, допускаемое напряжение 
, площадь поперечного сечения F, коэффициент продольного изгиба 
определяемый по таблицам СНиП в зависимости от гибкости стержня 
(вычисляется по формуле 7.3), и если условие (7.16) выполняется, то устойчивость стержня обеспечена.
2. Определение эксплуатационной способности. При известных параметрах 
эксплуатационная нагрузка с учетом условия (7.16) определяется по формуле:
(7.17)
3. Подбор сечения. Когда известна нагрузка Р и допускаемое напряжение 
, то для подбора поперечного сечения F с помощью условия (7.16) необходимо знать коэффициент продольного изгиба 
Так как в условии (7.16) в этом случае неизвестными являются две величины 
, которые нельзя выразить одну через другую, то расчет производится способом последовательных приближений. Задаются некоторым значением
и по заданной нагрузке 
и допускаемому напряжению 
определяют площадь поперечного сечения F, далее вычисляют наименьший радиус инерции сечения (7.4) и гибкость (7.3). В зависимости от гибкости по таблицам СНиП определяется соответствующее этой гибкости значение коэффициента 
Если условие устойчивости (7.16) не выполняется, или выполняется с большим запасом, то значение 
изменяется, и расчеты повторяются до допустимой погрешности.
Пример задачи 11
Проверить устойчивость деревянной стойки прямоугольного сечения размером 
см (рис. 7.4 а,б), если сила Р=100 кН, допускаемое напряжение древесины на сжатие 
= 1,55 кН/см², 
= 5,2 м.
Рис. 7.4
Решение:
Выпучивание стойки произойдет относительно оси с минимальным моментом инерции, то есть относительно оси 
Площадь поперечного сечения стойки 
см².
Минимальный радиус инерции сечения по (7.4):
= 4,33 см.
Гибкость стойки (7.3):
= 120.
Коэффициент продольного изгиба по табл.7.1 равен 
= 0,22.
Условие (7.16) 
= 1,55 выполняется, следовательно устойчивость стойки обеспечена.
Пример задачи 12
Определить значения критических сил для стержней с разными формами поперечного сечения (двутавр, швеллер, круг, квадрат). Концы стержней закреплены шарнирно (рис. 7.4), то есть 
= 1, длина стержня 
= 10 м.
Решение:
Площадь поперечного сечения каждого стержня 
72 см². Модуль упругости материала 
кН/см². Результаты вычислений представлены в таблице 7.2.
Анализ таблицы 7.2 показывает, что для наибольшей устойчивости необходимо концентрировать материал на периферии его поперечного сечения.
Таблица 7.2
Статически неопределимые задачи
Статически неопределимыми называются задачи, в которых усилия (внешние и внутренние) нельзя определить с помощью только уравнений статики, так как количество неизвестных в этих случаях превышает количество линейно независимых уравнений статики. Для различных систем сил количество линейно независимых уравнений статики приведено в разделе 1, табл. 1.3.
Чтобы определить неизвестные усилия в таких задачах необходимо составить уравнения равновесия сил, действующих на объекты, к которым приложены эти неизвестные усилия. Так как число неизвестных усилий в этих случаях оказывается больше числа линейно независимых уравнений статики (разность между ними называется степенью статической неопределимости), то следует рассмотреть систему в деформированном состоянии и установить связи между перемещениями точек объектов, к которым приложены неизвестные усилия. Полученные таким образом зависимости называются уравнениями совместности перемещений. В этих уравнениях перемещения на основании закона Гука выражаются через усилия. Эти дополнительные уравнения совместно с уравнениями статики образуют систему 
уравнений с 
неизвестными, для определения которых используются методы линейной алгебры.
Пример задачи 13
Ступенчатый стержень, жестко заделанный обоими концами, нагружен сосредоточенной силой Р = 20 кН, приложенной в месте изменения поперечного сечения стержня (рис. 8.1, а). Определить усилия в заделках А и В, если 
= 2 м, 
= 3 м, площади поперечных сечений ступеней 
= 10 см², 
- 5 см², модуль упругости материала стержня 
кН/см².
Решение:
На (рис. 8.1, в) показаны силы, действующие на освобожденный от связей стержень 
. Для системы сил, направленных вдоль одной прямой, можно составить только одно линейно независимое уравнение равновесия (табл. 1.3):
. (8.1)
Так как неизвестными являются две величины 
и 
то задача является один раз статически неопределимой. Для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение совместности перемещений, суть которого заключается в том, что общая длина стержня 
от воздействия всех сил остается постоянной 
то есть полная деформация стержня равна нулю.
. (8.2)
Деформации каждого участка стержня определяются по закону Гука (формула 4.10):
(8.3)
Используя основную схему (рис. 8.1, б) и применяя метод сечений, определим продольные силы на первом и втором участках стержня:
. (8.4)
С учетом (8.3) и (8.4), дополнительное уравнение совместности перемещений (8.2) можно записать в виде:
,
откуда 
кН.
Другая опорная реакция определяется из уравнения статики (8.1)
кН.
Пример задачи 14
Абсолютно жесткий брус 
одним концом шарнирно закреплен в точке А и подвешен на двух стальных стержнях одинакового поперечного сечения F = 4 см² (рис. 8.2, а). Определить расчетом по допускаемым напряжениям предельное и допустимое значение силы Р, приложенной к брусу, если напряжение текучести материала стержней 
= 30 кН/см², а коэффициент запаса 
= 1,5.
Решение:
Для решения задачи необходимо определить внутренние усилия в стержнях 1 и 2 
в зависимости от Р, затем из условия прочности наиболее нагруженного стержня вычислить допускаемую нагрузку [Р]. Уравнения равновесия сил, действующих на балку АД, имеют вид:
,
,
. (8.5)
Уравнений статики здесь недостаточно для вычисления 
и 
(задача один раз статически неопределима). Уравнение совместности деформаций можно составить с учетом деформированного состояния балки (рис. 8.2, б). Под действием внешней нагрузки балка АД поворачивается на небольшой угол 
вокруг шарнира А. При этом все точки балки АД перемещаются перпендикулярно отрезкам, соединяющим эти точки с шарниром А, а деформации стержней будут 
. Зависимость между этими деформациями устанавливается из подобия треугольников 
и 
или 
. С учетом закона Гука 
, при 
получится 
Подставляя последнее равенство в (8.5), получим: 
откуда 
a 
Таким образом, наиболее нагруженным является стержень 1, и из условия прочности его на растяжение 
определяется допустимая сила 
.
Здесь допускаемое напряжение 
кН/см².
Тогда допустимая нагрузка 
Предельная сила, при которой начинается текучесть материала, равна 
кН.
Пример задачи 16
Определить из условия прочности на кручение наименьший диаметр вала, концы которого жестко защемлены, если этот вал нагружен парой сил в плоскости, перпендикулярной его продольной оси (рис. 8.3, а). Допускаемое напряжение материала вала 
= 10 кН/см². Момент, приложенной к валу пары сил М = 30 кНм.
Решение:
Чтобы использовать условие прочности при кручении для определения диаметра вала, необходимо построить эпюру крутящих моментов. Такая эпюра может быть построена, если известны опорные моменты 
или 
Для их вычисления можно составить лишь одно уравнение равновесия статики:
.
Это уравнение содержит две неизвестные величины. Чтобы составить дополнительное уравнение совместности перемещений, заданную систему (рис. 8.3, а) заменим основной системой (рис. 8.3, б), где вместо правой заделки приложен неизвестный пока опорный момент 
Так как угол закручивания сечений вала в заделках равен нулю, то в крайнем правом сечении вала (рис. 8.3, б) алгебраическая сумма углов закручивания от момента 
и от заданного момента М относительно левой заделки должна равняться нулю.
Рис. 8.3
Применяя равенство (4.23), получим:
.
Крутильная жесткость вала 
по всей его длине постоянна, и из последнего равенства 
кНм. Из уравнения статики 
= 7,5 кНм. Полярный момент сопротивления круглого сечения по формуле 3.16 равен: 
.
Требуемый диаметр определяется из условия прочности вала на кручение (табл. 4.1): 
Откуда минимальный диаметр вала 
= 10,5 см.
Расчет по несущей способности
(за пределами упругости)
При расчете по методу допускаемых напряжений прочность элемента конструкции считается нарушенной, если хотя бы в одной точке элемента напряжения достигают предельного значения (в общем случае это будет эквивалентное напряжение, вычисленное по принятым теориям прочности). Но несущая способность конструкции при достижении максимального напряжения в какой-либо точке не всегда будет исчерпана.
Конструкция не будет воспринимать нагрузку только тогда, когда она станет геометрически изменяемой, то есть превратится в механизм. Такое состояние конструкции называется предельным, а соответствующая нагрузка (сила, или момент) называется предельной. Расчет с целью определения предельных нагрузок, при которых несущая способность конструкции становится исчерпанной, называется расчетом по несущей способности либо расчетом по предельному состоянию (или по предельным нагрузкам).
Необходимость расчетов за пределами упругости возникает при изготовлении деталей пластическим деформированием (ковка, штамповка), при стремлении повысить несущую способность. С учетом пластических деформаций рассчитываются сильно напряженные элементы конструкций (оболочки ракетных двигателей, реакторы трубопровода для сверхвысокого давления, детали, длительно работающие в нагретом состоянии и т. д.).
При расчете по допускаемым напряжениям предельным (опасным) состоянием конструкции считается такое, при котором эквивалентное напряжение в опасной точке достигает предельного (опасного) значения (
или 
).
В этом случае предельная (опасная) нагрузка 
, соответствующая появлению опасного напряжения, находится из условия
(9.1)
а допускаемая (опасная) нагрузка, определяется по формуле (9.2):
(9.2)
где 
- коэффициент запаса.
При расчете по методу предельных нагрузок за предельную 
принимается такая нагрузка, при которой конструкция перестаёт удовлетворять эксплуатационным требованиям и теряет способность сопротивляться возрастающей нагрузке. Допускаемая нагрузка в этом случае определяется по формуле (9.3)
(9.3)
В статически определимых системах, элементы которых работают на растяжение или сжатие, результаты расчетов по предельным нагрузкам и по допускаемым напряжениям будут одинаковыми 
, так как переход одного элемента конструкции в состояние текучести превращает систему в геометрически изменяемую. Но в статически неопределимых системах наступление текучести в некоторых элементах не превращает конструкцию в геометрически изменяемую и она еще способна воспринимать нагрузку. Предельная нагрузка в этом случае 
будет больше нагрузки 
, при которой наступает текучесть лишь в одном элементе. Поэтому в статически неопределимых системах допускаемая нагрузка 
, рассчитанная по предельным нагрузкам, будет всегда больше допустимой нагрузки 
, при расчете по допускаемым напряжениям.
При изгибе, или кручении стержней, даже если система статически определима, все равно 
больше 
, так как напряжения в поперечных сечениях стержня распределяются неравномерно (см. задачу 9.3).
Расчет по предельным нагрузкам, или по несущей способности, базируется на допущении того, что материал является идеальным упруго-пластическим, то есть при возникновении текучести в какой либо точке конструкции рост напряжений в этой точке прекращается независимо от возрастания нагрузки (диаграмма Прандтля на рис. 9.1).
Рис. 9.1
Методы расчета по предельным нагрузкам позволяют вскрыть резервы прочности, не использованные в расчетах по допускаемым напряжениям, и уменьшить вес конструкции.
Пример задачи 17
Используя данные примера 8.1, определить величину предельной нагрузки Р по способу допускаемых напряжений и по несущей способности (рис. 9.2), если предел текучести материала стержня на растяжение и сжатие одинаков 
=30 кН/см².
Решение:
В примере 8.1 определены опорные реакции заделок в зависимости от величины силы 
Продольная сила в верхней части стержня 
, в нижней 
, соответствующие нормальные напряжения в зависимости от величины силы Р будут:
.
Максимальные напряжения по модулю 
. Предельная сила в расчете по допускаемым напряжениям определяется из условия (9.1) 
, или
,
откуда предельная нагрузка по способу допускаемых напряжений 
= 400 кН.
В расчете по несущей способности предполагается, что стержень потеряет способность сопротивляться возрастающим нагрузкам, когда напряжения текучести возникнут во всех сечениях стержня. Уравнение равновесия сил в предельном состоянии стержня (рис. 9.2, 6) имеет вид:
=0, 
+
-
=
=0,
откуда предельная нагрузка по несущей способности 
= 450 кН, что в 1,125 раза больше, чем по способу допускаемых напряжений.
Пример задачи 18
В примере 8.2. требуется определить значения предельной и допустимой нагрузки по несущей способности.
Решение:
При возрастании силы Р наибольшие напряжения будут в более нагруженном стержне 1 и когда во всех его сечениях они достигнут предела текучести, значение продольной силы в этом стержне станет равным 
и будет оставаться постоянным, а напряжения во всех сечениях стержня 2 будут возрастать до тех пор, пока не достигнут предела текучести.
Значение нормальной силы в этот момент будет 
и система станет геометрически изменяемой (балка АД может вращаться вокруг шарнира А). Такое состояние конструкции называется предельным.
Рис. 9.3 Уравнение равновесия сил, действующих на балку АД в момент наступлении предельного состояния, имеет вид
,
откуда предельная сила 
= 156 кН.
Допустимая нагрузка по формуле (9.3) 
= 104 кН, что в 1.17 раз больше допустимой нагрузки при расчете по допускаемым напряжениям.
Пример задачи 19
Определить предельную и допустимую величину силы Р, приложенной к стальной балке круглого поперечного сечения (рис. 9.4, а, в), по методу допускаемых напряжений и по методу предельных состояний. Предел текучести материала балки 
=30 кН/см², коэффициент запаса 
= 2.
Решение:
При изгибе нормальные напряжения по высоте сечения балки распределены неравномерно, на нейтральной линии они равны нулю и достигают максимального значения на наружной поверхности балки. Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения приведена на рис. 9.4, г.
Из уравнения статики определяется реакция правой опоры, которая равна 
, а реакция левой опоры равна 
. Максимальный изгибающий момент будет в сечении балки под силой Р и равен 
Размерность силы Р здесь принята в кН. Допускаемое значение силы Р определяется из условия прочности по допускаемым напряжениям (табл. 4.1)
. (9.4)
Здесь допускаемые напряжения определяются по формуле (4.11) 
15 кН/см². Осевой момент сопротивления определяется по формуле (3.17)
Рис. 9.4
Из условия прочности (9.4) определяется допустимая нагрузка:
, откуда 
= 11,3 кН.
Предельная (опасная) нагрузка по способу допускаемых напряжений:
= 22,6 кН.
По мере увеличения силы Р пластическое состояние материала распространяется в направлении нейтральной оси (в данном случае нейтральная ось совпадает с осью симметрии балки). Предельное состояние наступит тогда, когда текучесть распространится по всему поперечному сечению балки (рис. 9.4, д), образуется так называемый пластический шарнир, балка превращается в механизм, то есть система становится геометрически изменяемой (рис. 9.4, б).
При изгибе величина предельного изгибающего момента для сечения, симметричного относительно нейтральной оси, равна произведению предела текучести (такое напряжение действует по всей площади поперечного сечения рис. 9.4, е) на величину 
где 
и 
- статические моменты соответственно верхней и нижней частей поперечного сечения относительно нейтральной оси.
Сумма 
называется осевым пластическим моментом сопротивления и обозначается 
Для полукруга ордината центра тяжести сечения:
тогда пластический момент сопротивления сечения:
В зависимости от силы Р предельный изгибающий момент:
кНсм.
В предельном состоянии:
откуда предельная нагрузка, определенная по несущей способности балки, равна 
= 38,43 кН, а допустимая 
= 19,215 кН, что в 1,7 раза больше допустимой нагрузки 
=11,3 кН, вычисленной по способу допускаемых напряжений. Анализ приведенных примеров позволяет утверждать, что при постоянных статических нагрузках расчет по способу допускаемых напряжений дает недооценку прочности конструкции, а расчет по предельному состоянию устраняет этот недостаток. Но при переменных нагрузках достижение предельного напряжения хотя бы в одной точке сечения детали может привести к ее разрушению и тяжелым последствиям.
Поэтому расчет по предельному состоянию применяется в том случае, когда на объекты действуют нагрузки, не зависящие от времени (строительство). При воздействии на элементы конструкций нагрузок, изменяющихся с течением времени, применяется расчет по допускаемым напряжениям (машиностроение).
Расчеты оболочек вращения по безмоментной теории
Оболочкой называется твердое тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина) мало по сравнению с другими размерами.
Осесимметричные оболочки (оболочки вращения) имеют срединную поверхность, полученную вращением плоской кривой вокруг заданной оси.
На рис. 10.1 а изображена срединная поверхность оболочки вращения. Выделим из нее бесконечно малый элемент двумя меридиональными плоскостями 1-2-4 и 1-3-4 (меридиональная плоскость образуется осью симметрии и меридианом 2-4, или 3-4) и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки, одна из которых пересекает срединную поверхность оболочки по линии АВ, а другая - по линии СД.
Рис.10.1
Радиус кривизны срединной поверхности выделенного элемента АВСД в меридиональной плоскости обозначим 
(рис. 10.1, б).
Радиус кривизны срединной поверхности выделенного элемента АВСД в плоскости, перпендикулярной к меридиану, обозначим 
(рис. 10.1,б).
Расчеты оболочек вращения выполняют при проектировании различных резервуаров, газгольдеров, цистерн, котлов и т.д. Нагрузки, действующие на оболочку со стороны заполняющей жидкости или газа, перпендикулярны ее поверхности.
Расчет оболочки вращения по безмоментной теории предусматривает распределение напряжений по толщине оболочки равномерно, то есть изгибом поверхности оболочки пренебрегают (изгибающие моменты равны нулю).
По боковым граням выделенного элемента АС и ВД, совпадающими с меридиональными плоскостями, в силу симметрии оболочки и нагрузки, касательные напряжения равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения 
, которые называются окружными напряжениями (рис. 10.1, а). Касательные напряжения на боковых гранях АВ и СД равны нулю по закону парности их; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения 
которые называются меридиональными напряжениями (рис. 10.1, а). Если составить уравнение равновесия сил, приложенных к бесконечно малому элементу оболочки АВСД в виде суммы проекций этих сил на ось, совпадающую с нормалью к поверхности АВСД, и произвести упрощения, то можно получить уравнение, используемое в расчетах тонкостенных оболочек вращения (сосудах) по безмоментной теории.
(10.1)
где 
- давление в сосуде,
- толщина стенки сосуда.
Формула (10.1) носит название уравнения Лапласа.
В общем случае при заданной нагрузке и известных геометрических размерах оболочки для вычисления напряжений 
и 
необходимо составить равенство (10.1) и уравнение равновесия сил, действующих на некоторую отсеченную часть оболочки.
В некоторых случаях для вычисления напряжений достаточно одного уравнения (10.1). Например, для сферической (шаровой ) оболочки с внутренним давлением 
и толщиной стенки 
имеем 
(здесь R - радиус сферы);
, так как оболочка и нагрузка на нее симметричны относительно центра. Тогда из равенства (10.1) получается:
. (10.2)
Для оболочки, имеющей форму цилиндра, или конуса, меридиан оболочки представляет прямую линию 
поэтому 
и из уравнения (10.1) можно определить окружное напряжение по формуле (10.3):