Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи с решением

Задача готовая с решением 2.1.

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещении поперечных сечении по длине ступенчатого бруса, нагруженного, как показано на рис. 2.1, о. Материал бруса сталь Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

  • Решение:

Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых преложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка.

  • При применении метода сечений, как известно, принципиально безразлично, равновесие какой из отсеченных (левой или правой) частей бруса рассматривать. В данном случае, применяя метод сечений, будем оставлять левую и отбрасывать правую отсеченную часть бруса, при этом отпадает надобность в предварительном определении реакции заделки.

Проведем произвольное сечение Сопромат готовые задачи на участке Сопромат готовые задачи и рассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно на рис. 2.1, б. Продольная сила в этом сечении Сопромат готовые задачи эту силу находим, проектируя на ось Сопромат готовые задачи бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Легко видеть, что то же значение продольной силы сохраняется для любого сечения участка Сопромат готовые задачи т. е. Сопромат готовые задачи (для произвольного сечения Сопромат готовые задачи проведенного на участке Сопромат готовые задачи продольная сила определяется на основе рис. 2.1, в).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Проводя сечение на участке Сопромат готовые задачи например Сопромат готовые задачи и рассматривая равновесие левой отсеченной части, изображенной на рис. 2.1 г, найдем:

Сопромат готовые задачи

После приобретения некоторого навыка в применении метода сечений можно не изображать отдельно отсеченную часть, а просто пользоваться соотношением

Сопромат готовые задачи

Заметим, что реакция заделки равна Сопромат готовые задачи Таким образом, если определять значения продольных сил, оставляя каждый раз после проведения сечения правую часть бруса, конечно, получим те же результаты.

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется Сопромат готовые задачи по длине бруса. Для этого, проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси ординат. Так как в пределах одного или даже двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Полученный график принято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса. Каждая линия штриховки (ордината графика) в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против нее поперечном сечении бруса (рис. 2.1, д).

Эпюру нормальных напряжений (рис. 2.1, е) получим, разделив значения Сопромат готовые задачи на соответствующие площади поперечных сечений бруса.

Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине.

Абсолютное (т. е. отсчитываемое от неподвижного сечения) перемещение Сопромат готовые задачи произвольного поперечного сечения равно изменению длины части бруса, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Относительное перемещение двух поперечных сечений бруса равно изменению длины части бруса, заключенной между этими сечениями.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение статически неопределимых задач

Метод сечений решение задач по сопромату

Сопромат для чайников

Сопромат решение простых задач

Эпюру перемещений следует строить, начиная от защемленного конца. Перемещение произвольного сечения Сопромат готовые задачи взятого в пределах участка Сопромат готовые задачи бруса, равно удлинению части бруса длиной Сопромат готовые задачи (см. рис. 2.1, а)

Сопромат готовые задачи

Полученное выражение показывает, что перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону. Нетрудно убедиться, что при нагружении бруса сосредоточенными силами в пределах каждого участка эпюра перемещений будет линейной; поэтому для ее построения достаточно определить перемещения сечении, совпадающих с границами участков.

Перемещение сечения Сопромат готовые задачи равно удлинению участка Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Перемещение сечения Сопромат готовые задачи относительно сечения Сопромат готовые задачи равно удлинению участка Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Абсолютное перемещение сечения Сопромат готовые задачи равно перемещению сечения Сопромат готовые задачи плюс перемещение сечения Сопромат готовые задачи относительно Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Перемещение сечения Сопромат готовые задачи относительно Сопромат готовые задачи равно удлинению участка Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Абсолютное перемещение сечения Сопромат готовые задачи найдем, просуммировав 'величины

Сопромат готовые задачи

Построенная по полученным данным эшора перемещений показана на рис. 2.1, ж. На эпюре отмечены также относительные (взаимные) перемещения сечений, являющихся границами участков.

Следует иметь в виду, что тангенсы углов наклона отдельных участков эпюры Сопромат готовые задачи пропорциональны ординатам эпюры Сопромат готовые задачи на соответствующих участках. Так, например, для участка Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Указанную зависимость между эпюрами рекомендуется использовать для, так сказать, качественного контроля эпюры перемещений, т. е. не для окончательной оценки правильности эпюры, но, по крайней мере, для оценки ее правдоподобности. Имеются в виду следующие показатели правдоподобности эпюры Сопромат готовые задачи а) чем больше ординаты эпюры Сопромат готовые задачи тем больший наклон к оси абсцисс имеет эпюра Сопромат готовые задачи (предполагается, что материал всех участков бруса одинаков; б) при перемене знака Сопромат готовые задачи меняет знак тангенс угла наклона эпюры Сопромат готовые задачи

Рис. 2.2 иллюстрирует построение эпюры перемещений на основе принципа независимости действия сил. На рис. 2.2, б показана
Сопромат готовые задачи
эпюра Сопромат готовые задачи от действия только силы Сопромат готовые задачи (рис. 2.2, а), а на рис. 2.2, г — эпюра Сопромат готовые задачи от действия только силы Сопромат готовые задачи (рис. 2.2, в). Просуммировав

получим эпюру по рис. 2.1, ж. указанные эпюры, получим эпюру по рис. 2.1, ж.

Задача готовая с решением 22.

Определить удлинение дюралюминиевой полосы переменного сечения (рис. 2.3). Принять Сопромат готовые задачи

  • Решение:

Для определения удленения бруса ( полосы) непрерывно переменного поперечного сечения пременим формулу (2.3)

Сопромат готовые задачи
В нашем случае Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Переменную площадь сечения Сопромат готовые задачи следует выразить через заданные размеры и координату Сопромат готовые задачи поперечного сечения; при этом для упрощения последующих выкладок примем начало координат в точке Сопромат готовые задачи пересечения боковых сторон трапеции, представляющей
Сопромат готовые задачи

собой вертикальную проекцию полосы (рис. 2.4). Из подобия треугольников Сопромат готовые задачи получаем:

Сопромат готовые задачи

откуда

Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Площадь Сопромат готовые задачи произвольного поперечного сечения с абсциссой Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

при этом

Сопромат готовые задачи
или
Сопромат готовые задачи

и окончательно

Сопромат готовые задачи

Подставив значение Сопромат готовые задачи в формулу для удлинения, получим

Сопромат готовые задачи
Подставив числовые значения, найдем:

Сопромат готовые задачи

Задача готовая с решением 23.

Определить диаметры поперечных сечений стержней Сопромат готовые задачи поддерживающих узел машины (рис. 2.5, а). Допускаемые напряжения: на растяжение Сопромат готовые задачи на сжатие

Сопромат готовые задачи

  • Решение:

1. Применяя метод сечений, разрезаем стержни; возникающие в них продольные силы обозначаем соответственно:

в стержне Сопромат готовые задачи

в стержне Сопромат готовые задачи

в стержне Сопромат готовые задачи

Рассматриваем равновесие узла ВСЕ под действием приложенных к нему сил Сопромат готовые задачи (рис. 2.5, б). .Предполагаем, что все стержни растянуты, т. е. направляем усилия от шарниров Сопромат готовые задачи

2. Определяем усилия в стержнях

Сопромат готовые задачи

где Сопромат готовые задачи — угол между Сопромат готовые задачи и горизонталью

Сопромат готовые задачи

откуда

Сопромат готовые задачи

Знак минус указывает, что стержень Сопромат готовые задачи сжат.

Сопромат готовые задачи

3. Определяем требуемые площади сечении стержней и их диаметры:

Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Б. Статически неопределимые системы

Задача готовая с решением 2.4.

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и натруженного вдоль оси силами Сопромат готовые задачи приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 2.6, а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

  • Решение:

В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой, и статика дает лишь одно уравнение равновесия

Сопромат готовые задачи

или

Сопромат готовые задачи

Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, например правую, и заменим ее действие на брус соответствующей силой реакции Сопромат готовые задачи В результате получен брус, защемленный одним концом (статически определимый брус) и нагруженный, кроме заданных сил Сопромат готовые задачи неизвестной пока силой Сопромат готовые задачи (рис. 2-6, б).

Брус по рис. 2.6, б нагружен так же, как заданный — эквивалентен заданному. Следовательно, перемещение сечения Сопромат готовые задачи рассматриваемого бруса равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) это сечение жестко заделано

Сопромат готовые задачи

Подчеркиваем, что Сопромат готовые задачи — суммарное перемещение сечения Сопромат готовые задачи т. е. от действия всех сил Сопромат готовые задачи Применив принцип независимости действия сил, представим уравнение перемещений в виде

Сопромат готовые задачи

т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности:
Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи — удлинению участка Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи — сумме удлинений участков Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи -сумме укороченных участков Сопромат готовые задачи

Подчеркнем еще раз, что определяя перемещение ссчсния Сопромат готовые задачи от каждой силы в отдельности, предполагаем, что она действует только одна (конечно, с соответствующей ей реакцией опоры Сопромат готовые задачи а остальные силы в это время отсутствуют.

Подставив найденные значения Сопромат готовые задачи в уравнение перемещений, получим

Сопромат готовые задачи

откуда Сопромат готовые задачи Окончательно получаем Сопромат готовые задачи

Конечно, можно не определять специально реакцию Сопромат готовые задачи левой заделки, так как она численно равна продольной силе в сечениях крайнего левого участка бруса, а эпюру продольных сил можно строить, начиная с правого конца.

Построение эпюры продольных сил и нормальных напряжений ничем не отличается от рассмотренного в задаче 2.1, так как после определения реакции Сопромат готовые задачи брус по рис. 2.6, б представляет собой статически определимый брус, нагруженный известными силами. Упомянутые эпюры представлены на рис. 2.6, в, г.

Эпюру перемещений строим, начиная с левого конца бруса; при построении используем эпюру Сопромат готовые задачи Построение эпюры перемещении служит в некоторой степени для контроля правильности решения задачи. Действительно, начиная строить эпюру от левого заделанного конца и получая в сечении Сопромат готовые задачи ординату эпюры, равную нулю, мы тем самым имеем подтверждение правильности определения реакции. Вычисления характерных ординат эпюры не приводим, ограничиваясь их указанием на чертеже (рис. 2.6, й).

Для контроля правильности решения рассмотренной в подобных ей задач можно проверить, соблюдается ли равенство потенциальной энергия деформации бруса и работы приложенных к нему внешних сил.

Выполним згу проверку для решенной задачи.

Потенциальная энергия деформации бруса ступенчато-переменною поперечного сечения, нагруженного сосредоточенными силами, определяется по формуле

Сопромат готовые задачи

Применительно к данной задаче имеем:
Сопромат готовые задачи
Работа внешних сосредоточенных сил определяется по формуле

Сопромат готовые задачи

где Сопромат готовые задачи — перемещение точки приложения сил Сопромат готовые задачи вызванное действием всех приложенных к брусу сил.

Значение Сопромат готовые задачиберем из построенной эпюры перемещений Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Таким образом, равенство Сопромат готовые задачи выполняется.

Кратко остановимся ва особенностях решения некоторых задач, аналогичных рассмотренной.

1. Предположим, что до нагружения бруса между его правым торцом н заделкой имелся малый зазор Сопромат готовые задачи Если при нагружении бруса зазор не закрывается, то система статически определима (см. задачу 2.1). Если величина абсолютного удлинения бруса (в предположении, что он может деформироваться свободно, т. е. правая чадепкя вообще отсутствует) больше зазора, то между правым торцом бруса и заделкой после его нагружения возникнет сила взаимодействия, определить которую с помощью одних лишь уравнений сипни нельзя — система будет статически неопределима. Отличие ее от предыдущей (2.4) состоит в том, что суммарное (от заданных сил и правой опорной реакции) перемещение правого торца бруса следует приравнять не нулю, а величине зазора

Сопромат готовые задачи

В остальном решение не отличается от рассмотренного.

2. Если брус, подобный рассмотренному в задаче 2.4, подвергается нагреву (или охлаждению) на Сопромат готовые задачи то, составляя выражение для суммарного перемещения сечения Сопромат готовые задачи надо учесть свободное температурное удлинение (укорочение) бруса. Например, если брус нагревается по всей длине, то

Сопромат готовые задачи

где Сопромат готовые задачи — коэффициент температурного линейного расширения;

Сопромат готовые задачи — длина бруса.

В случае наличия зазора (до нагружения и нагрева) между торцом бруса и заделкой суммарное перемещение, вычисленное с учетом влияния температуры, следует, как уже указывалось, приравнять величине зазора. Конечно, это имеет смысл лишь при условии, что при нагружении и нагреве бруса зазор закрывается, в противном случае — система статически определима.

Задача готовая с решением 2.5.

Между двумя брусьями, каждый из которых жестко защемлен одним концом, при отсутствии нагрузки имеется небольшой зазор Сопромат готовые задачи (рис. 2.7). Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжении и перемещений поперечных сечений, возникающих при нагружении брусьев заданной системой сил (см. рис. 2.7). Материал брусьев одинаков.

  • Решение:

В зависимости от величины зазора, размеров брусьев, их вшрузкн и материала, из которого они изготовлены, могут быть два основных варианта работы заданной системы.

1. При нагружении брусьев заданной системой сил (см. рис. 2.7)

сечения Сопромат готовые задачи верхнего и Сопромат готовые задачи нижнего брусьев не соприкасаются друг с другом, т. е. зазор между брусьями не закрывается. При этом каждый брус работает независимо от другого и представляет собой статически определимую систему. То же будет при условии, что сечения Сопромат готовые задачи лишь сомкнутся, но сил взаимодействия между брусьями не возникнет.

2. При нагружении брусьев зазор закрывается и между ними возникают силы взаимодействия. В этом случае система из двух брусьев, работающих совместно, окажется статически неопределимой — получается, по существу говоря, один брус, жестко защемленный обоими концами; из предыдущего (см. задачу 2.4) известно, что такая система статически неопределима.

Для выяснения вопроса о том, какой из двух указанных вариантов работы системы имеет место в действительности, определим, какие перемещения имели бы сечения Сопромат готовые задачи если каждый брус работал независимо от другого.

Перемещение сечения Сопромат готовые задачи верхнего бруса от действия сил Сопромат готовые задачи равное удлинению участков Сопромат готовые задачи (сечение Сопромат готовые задачи перемещается вниз):

Сопромат готовые задачи

Перемещение сечения Сопромат готовые задачи нижнего бруса от действия силы Сопромат готовые задачи равное укорочению участка Сопромат готовые задачи (сечение Сопромат готовые задачи перемещается вниз):

Сопромат готовые задачи

Оказалось, что Сопромат готовые задачи т. е. хотя сечения Сопромат готовые задачи перемещается вниз, во сечение Сопромат готовые задачи как бы «догоняет» его, зазор закрывается и между брусьями возникает сила взаимодействия, которую в дальнейшем будем обозначать Сопромат готовые задачи (заметим, что если бы оказалось Сопромат готовые задачи то это означало бы закрытие зазора без возникновения силы взаимодействия между брусьями).

Для определения силы Сопромат готовые задачи составим уравнение перемещений, рассматривая каждый из брусьев нагруженным помимо заданных сил так же и силой Сопромат готовые задачи (рис. 2.8, а). Для каждого из брусьев, очевидно, сила Сопромат готовые задачи будет сжимающей. На рис. 2.8, б сплошными линиями показаны недеформированные брусья, а штриховыми — их деформации. Из этой схемы следует, что

Сопромат готовые задачи

это есть уравнение перемещений для рассматриваемой задачи. Подчеркнем, что истинные перемещения сечений Сопромат готовые задачи конечно, отличаются от перемещений Сопромат готовые задачи определенных в предположении отсутствия взаимодействия между брусьями,— совершенно очевидно, что Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи
Применив принцип независимости действия сил, составим выражения для определения перемещений

Сопромат готовые задачи

Подставив эти значения в уравнение перемещений и учтя, что Сопромат готовые задачи получим:

Сопромат готовые задачи

откуда

Сопромат готовые задачи

На рис. 2.9, а изображены заданные брусья в деформированном состоянии, т. е. при закрывшемся зазоре; силы Сопромат готовые задачи как внутренние для рассматриваемой системы, естественно, не показаны.

Эпюру продольных сил строим, ориентируясь на рис. 2.8, о, т. е. рассматривая каждый брус отдельно. Проводя произвольное поперечное сечение на участке Сопромат готовые задачи находим:

Сопромат готовые задачи

для участка Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Аналогично определяем значения продольных сил для остальных участков; соответствующая эпюра изображена на рис. 2.9, б.

Эпюра нормальных напряжений, построение которой не нуждается в дополнительных пояснениях, показана на рис. 2.9, е.

Для построения эпюры перемещений вновь обратимся к рис. 2.8, с, а величины продольных сил возьмем с построенной Эпюры Сопромат готовые задачи (см. рис. 2.9, б). Для верхнего бруса имеем (перемещения вниз, возникающие от растяжения отдельных участков этого бруса, условимся считать положительными):

Сопромат готовые задачи

( здесь и далее для сокращения записей вводим обозначение Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

Эпюра перемещений, построенная по этим данным, изображена на рис. 2.9, г. Скачок на эпюре равен начальному зазору Сопромат готовые задачи хотя на рис. 2.9, а сечения Сопромат готовые задачи совмещены, но не надо забывать, что второе из этих сечений переместилось вниз от своего начального положения ва величину Сопромат готовые задачи меньшую, чем переместилось сечение Сопромат готовые задачи Таким образом, сечению Сопромат готовые задачи на рис. Z9, а на эпюре Сопромат готовые задачи соответствуют две отличающихся на Сопромат готовые задачи друг от друга ординаты.

Дополнительно остановимся на особенностях решения задачи, аналогичной предыдущей, но отличающейся от нее тем, что направление силы Сопромат готовые задачи действующей на нижний брус, изменено на противоположное (рис. 2.10, а). Сопоставляя условия этой и предыдущей задач, заключаем, что если при нагружении системы по рис. 2.7, как было установлено, зазор закрывается, то тем более он закроется в системе по рис. 2.10, а, т. е. система будет работать как статически неопределимая.

Для определения силы Сопромат готовые задачи взаимодействия между брусьями (рис. 2.10, б) надо составить уравнение перемещений, приняв какое-либо из возможных предположений о характере деформаций системы. Можно, в частности, принять, что сечение Сопромат готовые задачи перемещается вниз, а сечение Сопромат готовые задачи — вверх, т. е. сечения смыкаются где-то в пределах начального зазора (рис. 2.10, в). При этом, как следует из схемы, уравнение перемещений будет иметь вид:

Сопромат готовые задачи

Подставляя выражения для перемещений и величины зазора, получаем:
Сопромат готовые задачи

Сопромат готовые задачи

( в скобки заключены слагаемые, дающие отдельно величины Сопромат готовые задачи

Отсюда

Сопромат готовые задачи

Если принять, что сечение Сопромат готовые задачи перемещается вниз на величину, большую чем Сопромат готовые задачи то сечение Сопромат готовые задачи также перемещается вниз; при этом для составления уравнения перемещении будем иметь схему, показанную на рис. 2.10, г. Из этой схемы следует, что

Сопромат готовые задачи

Подставляя сюда выражения для перемещений и величины зазора, получаем:

Сопромат готовые задачи

откуда следует прежний результат

Сопромат готовые задачи
Сопромат готовые задачи

Обращаем внимание на знаки в правой части уравнения: перемещение сечения Сопромат готовые задачи принято вниз (см. рис. 2.10, г), поэтому перемещение от силы Сопромат готовые задачи взято со знаком плюс — она вызывает перемещение сечения Сопромат готовые задачи в принятом направлении, а от силы Сопромат готовые задачи — со знаком минус, так как эта сила, действуя независимо, вызвала бы перемещение в направлении, обратном принятому.

Рекомендуем читателю самостоятельно выполнить все выкладки, необходимые для построения эпюр Сопромат готовые задачи для возможности самоконтроля на рис. 2.11, а, б, в изображена заданная система после закрытия зазора и даны эпюры Сопромат готовые задачи