Сопромат для чайников

Сопромат для чайников: примеры с решение онлайн

При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой, на первый взгляд, незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции.

  • Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость.

Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

Деформации многих конструкций при действии некоторого вида нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках же, превышающих (даже весьма незначительно) критические значения, деформации конструкций резко возрастают. Простейший пример такого явления представляет так называемый продольный изгиб сжатого стержня — при некотором значении сжимающей силы происходит выпучивание прямолинейного стержня, практически равносильное разрушению. Такое качественное изменение характера деформации конструкции при увеличении нагрузки называется потерей устойчивости. Расчет конструкции, имеющий целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость.

При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его дешевизной, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материала.

Совокупность наук о прочности, жесткости и устойчивости сооружений называется строительной механикой*. Одним из разделов строительной механики является сопротивление материалов. Другими ее разделами являются теория упругости (математическая и прикладная), теория пластичности и теория сооружений (включая статику, динамику и устойчивость сооружений **).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций и вопросы расчета некоторых простейших конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций при действии внешних сил изменяют свою форму и размеры, т.е. деформируются.

В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, в которых изучаются свойства различных материалов.

Сопротивление материалов является экспериментально-теоретической наукой, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций. Брусом (или стержнем) называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров (рис. 1.1,а). Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.

Ось бруса представляет собой геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т.е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной основе.

Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой (рис. 1.1,6).
Сопромат для чайников

Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.

Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластинкой (рис. 1.1,в).

Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (например, сплошная опора моста), называется массивным телом (рис. 1.1,г).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод сечений решение задач по сопромату

Сопромат готовые задачи с решением

Сопромат решение простых задач

Пособие по решению задач по сопромату

Расчетная схема. нагрузки

Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему.

В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса.

Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет.

На рис. 2.1,а показан брус и действующие на него (в плоскости чертежа) внешние сосредоточенные силы Сопромат для чайников На рис. 2.1,6 дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами Сопромат для чайников и моментами Сопромат для чайников приложенными к его оси.

Сопромат для чайников
Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений* на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.

Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии***.

Например, нагрузка Сопромат для чайников равномерно распределенная по части поверхности бруса, показанная на рис. 3.1,а, заменяется на расчетной схеме (рис. 3.1,6) нагрузкой Сопромат для чайников равномерно распределенной по длине оси бруса.

При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при переменной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной.

Нагрузка, распределенная по поверхности, характеризуется ее интенсивностью Сопромат для чайников представляющей собой предел отношения равнодействующей нагрузки Сопромат для чайников приходящейся на весьма малую площадку, к величине этой площадки Сопромат для чайников когда она стремится к нулю, т. е.

Сопромат для чайников

Таким образом, интенсивность Сопромат для чайников является мерой нагрузки, распределенной по поверхности сооружения; ее размерность — Сопромат для чайников и т. д.

Мерой нагрузки, распределенной по линии (например, подлине оси бруса —рис. 3.1,6), является ее интенсивность Сопромат для чайников размерность которой Сопромат для чайников и т. д. Такая нагрузка иногда называется погонной.

Сплошная нагрузка, распределенная по линии, изображается обычно в виде графика, показывающего (в определенном масштабе), как изменяется ее интенсивность по длине оси бруса. Такой график называется эпюрой нагрузки. При равномерной нагрузке эпюра ограничена прямой, параллельной оси бруса (рис. 3.1,6), а при неравномерной—прямой, наклонной к оси бруса, или кривой линией (в зависимости от закона изменения интенсивности).

Нагрузки, распределенные по объему тела (например, вес сооружения, силы инерции), называются объемными силами; их интенсивность имеет размерность Сопромат для чайников и т. д.

К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок—активных сил, относятся также реакции связей — реактивные силы.

Нагрузки, распределенные по линии и сосредоточенные в точках, реально не существуют. Их можно получить лишь в результате схематизации реальных нагрузок, распределенных по объему (объемных сил) и по поверхности.

При составлении расчетной схемы в ряде случаев реальные нагрузки нельзя заменить одними лишь сосредоточенными и распределенными силовыми нагрузками. В этих случаях, кроме силовых, появляются и моментные нагрузки (см. рис. 2.1,6) в виде сосредоточенных моментов (пар сил) и моментов, распределенных по линии (длине) или по поверхности. Сосредоточенные моменты имеют размерности Сопромат для чайников и т. д.; моменты, распределенные по линии,— Сопромат для чайников и т. д., а моменты, распределенные по поверхности,— Сопромат для чайниковСопромат для чайников и т. д.

Нагрузки (силовые и моментные) различаются не только по способу их приложения (распределенные и сосредоточенные), но также по длительности действия (постоянные и временные) и характеру воздействия на конструкцию (статические и динамические).

Постоянные нагрузки (например, собственный вес конструкции) действуют на протяжении всего периода эксплуатации конструкции. Временные нагрузки (например, вес поезда) действуют в течение ограниченного промежутка времени. Величина статической нагрузки медленно возрастает от нуля до ее конечного значения, а потому эта нагрузка вызывает в конструкции весьма малые ускорения, в связи с чем возникающими при этом силами инерции можно в расчете пренебречь. Динамическая нагрузка (например, ударная) вызывает в конструкции или отдельных ее элементах большие ускорения, которыми при расчете пренебречь нельзя. Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки времени.

Временная нагрузка может сохранять более или менее постоянную величину в течение всего периода ее действия, а может непрерывно изменяться по некоторому закону; в последнем случае она называется переменной нагрузкой.

Если переменная нагрузка изменяется по циклическому (повторяющемуся) закону, то она называется циклической.

Напряжения

Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки.

Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных

Сопромат для чайников

по площади сечения. Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна

Сопромат для чайников

где Сопромат для чайников равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке Сопромат для чайников проведенного сечения (рис. 7.1,а).

Разложим силу Сопромат для чайников на две составляющие: касательную Сопромат для чайников и нормальную Сопромат для чайников из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости. Интенсив-

ность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается Сопромат для чайников а интенсивность нормальных сил—нормальным напряжением и обозначается Сопромат для чайников (сигма). Напряжения Сопромат для чайников выражаются формулами

Сопромат для чайников

Напряжения имеют размерность Сопромат для чайников и т. д.

Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения Сопромат для чайников в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1,6). Очевидно, что

Сопромат для чайников

Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкций, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение —интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений Сопромат для чайников в каждой точке элемента зависят от направления сечения у проведенного через эту точку.

Совокупность напряжений Сопромат для чайников действующих по различным площадкам проходящим через рассматриваемую точкуу представляет собой напряженное состояние в этой точке.

Нормальные и касательные напряжения имеют в сопротивлении материалов весьма важное значение, так как от их величин зависит прочность сооружения.

Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении бруса связаны определенными зависимостями с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Для получения таких зависимостей рассмотрим элементарную площадку Сопромат для чайников поперечного сечения Сопромат для чайников бруса с действующими по этой площадке нормальными Сопромат для чайников и касательными напряжениями Сопромат для чайников (рис. 8.1). Разложим напряжения Сопромат для чайников на составляющие Сопромат для чайников параллельные соответственно осям Сопромат для чайников На площадку Сопромат для чайников действуют элементарные силы Сопромат для чайников параллельные соответственно осям Сопромат для чайников Проекции всех элементарных сил (действующих на все элементарные площадки Сопромат для чайников сечения Сопромат для чайников на оси Сопромат для чайников и их моменты относительно этих осей определяются выражениями

Сопромат для чайников

В левых частях этих выражений указаны внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях бруса, а именно: Сопромат для чайников — продольная сила; Сопромат для чайников поперечные силы, параллельные соответственно осям Сопромат для чайников Сопромат для чайников крутящий момент; Сопромат для чайников —изгибающий

момент относительно оси Сопромат для чайников (действующий в плоскости Сопромат для чайников — изгибающий момент относительно оси Сопромат для чайников (действующий в плоскости Сопромат для чайников

Деформации и перемещения


Под действием нагрузки конструкция деформируется, т. е. ее форма и размеры изменяются. Рассмотрим, что представляют собой деформация и перемещение.

Мысленно через точку Сопромат для чайников тела в направлениях осей Сопромат для чайников проведем бесконечно малые отрезки Сопромат для чайников длина которых Сопромат для чайников(рис. 9.1). Обозначим Сопромат для чайников изменения длин этих отрезков

после приложения нагрузки к телу (когда точки Сопромат для чайников переместятся в положения Сопромат для чайниковСопромат для чайников Отношение Сопромат для чайников представляет собой линейную деформацию Сопромат для чайников (эпсилон) в точке Сопромат для чайников т. е. Сопромат для чайников Аналогично

Сопромат для чайников

Изменение первоначально прямого угла между отрезками Сопромат для чайников после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию Сопромат для чайников (гамма) в точке Сопромат для чайников в плоскости Сопромат для чайников Аналогично Сопромат для чайников представляют собой угловые деформации в плоскостях Сопромат для чайников

Деформации конструкции в каждой ее точке по любым направлениям известны, если определены линейные деформации Сопромат для чайниковнаправлениях осей Сопромат для чайников прямоугольной системы координат и угловые деформации Сопромат для чайников в плоскостях Сопромат для чайников

Линейные и угловые деформации—величины безразмерные. Деформацию Сопромат для чайников часто называют относительной линейной деформацией а деформацию Сопромат для чайников—относительным сдвигом.

Совокупность линейных деформаций Сопромат для чайников по различным направлениям и угловых деформаций Сопромат для чайников по различным плоскостям у проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точке.

Деформации Сопромат для чайников возникающие в каждой точке тела под действием нагрузки, вызывают, как уже отмечалось, изменение его формы и размеров. В результате этого точки тела перемещаются в новые положения, а элементарные (бесконечно малые) отрезки, соединяющие каждую пару близко расположенных друг к другу точек, поворачиваются.

Для примера рассмотрим рис. 10.1, на котором сплошной линией показан брус до приложения к нему нагрузки, а штриховой—деформированный брус. Отметим на брусе произвольную точку Сопромат для чайников и проведем через нее короткий отрезок прямой, соединяющий точки Сопромат для чайников (отрезок Сопромат для чайников В результате деформации бруса точка Сопромат для чайников перейдет в положение Сопромат для чайников а отрезок Сопромат для чайников —в положение

Сопромат для чайников

Сопромат для чайников Расстояние Сопромат для чайников представляет собой линейное перемещение (смещение) Сопромат для чайников точки Сопромат для чайников а угол Сопромат для чайников между направлениями отрезков Сопромат для чайников поворот отрезка Сопромат для чайников (угловое перемещение).

Продольная сила

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, изгибающие моменты и крутящий момент) равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием).

Сопромат для чайников

На рис. 1.2у а изображен прямой брус, закрепленный одним концом и нагруженный на другом конце силой Сопромат для чайников направленной вдоль его оси.

Во всех поперечных сечениях этого бруса возникают только продольные растягивающие силы и, следовательно, такой брус по всей длине является центрально растянутым. При противоположно направленной силе Сопромат для чайников (рис. 1.2,6) брус по всей длине испытывает сжатие*.

Брус, изображенный на рис. 1.2,6, испытывает центральное растяжение только на участках Сопромат для чайников на участке Сопромат для чайников брус не является центрально растянутым, так как, например, в сечении Сопромат для чайников кроме продольной силы, действуют также поперечная сила и изгибающий момент.


Растягивающие продольные силы принято считать положительнымиу а сжимающие—отрицательными.

На рис. 2.2, а изображен брус, нагруженный силами Сопромат для чайников направленными вдоль его оси, двумя силами Сопромат для чайников параллельными оси и приложенными на равных расстояниях от нее в поперечном сечении Сопромат для чайников а также двумя силами Сопромат для чайников направленными под углом Сопромат для чайников к оси бруса и приложенными в поперечном сечении Сопромат для чайников на равных расстояниях от оси.

На рис. 2.2,6 изображена расчетная схема, полученная путем замены бруса его осью и переноса внешних нагрузок к этой оси.

Силы Сопромат для чайников на расчетной схеме действуют вдоль оси бруса; силы Сопромат для чайников и силы Сопромат для чайников показанные на рис. 2.2, а, приводятся соответственно к силам Сопромат для чайников также направленным вдоль оси. Таким образом, на расчетной схеме (рис. 2.2,6) все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следова-тельно, в поперечных [сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные силы.

Определим в качестве примера продольную силу Сопромат для чайников в сечении Сопромат для чайников (рис. 2.2,6). На рис. 2.2,6, г показаны продольные силы Сопромат для чайников действующие на левую (относительно сечения Сопромат для чайников и на правую части бруса. Направления этих сил приняты в предположении, что они являются растягивающими (т. е. положительными). Если в результате расчета значение Сопромат для чайников получается со знаком «минус», то это означает, что в действительности брус в сечении Сопромат для чайников сжат.

Для определения силы Сопромат для чайников воспользуемся методом сечений. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на левую его часть (рис. 2.2, в):

Сопромат для чайников

откуда

Сопромат для чайников

Этот же результат можно получить и не составляя уравнения равновесия, а используя то положение, что на основании метода

сечений проекция внутренних сил на ось бруса (т. е. продольная сила), действующих со стороны левой его части на правую, равна сумме проекций на эту же ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Следовательно,

Сопромат для чайников

Силы Сопромат для чайников взяты со знаком «плюс», потому что их направление совпадает с положительным направлением силы Сопромат для чайников действующей на правую часть бруса.

Аналогично найдем продольные силы в сечениях Сопромат для чайниковСопромат для чайников (рис. 2.2,6), проектируя силы, приложенные слева от этих сечений, на ось бруса:

Сопромат для чайников

Очевидно, что на всем участке Сопромат для чайников (между точками приложения сил Сопромат для чайников продольная сила постоянна и равна Сопромат для чайников аналогично и на других участках (между точками приложения внешних сил) продольные силы имеют постоянные значения.

Построим график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называемый эпюрой продольных сил (эпюрой Сопромат для чайников Для этого проведем ось эпюры Сопромат для чайников параллельную оси бруса (рис. 2.2, д), и перпендикулярно к ней отложим ординаты, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил в поперечных сечениях бруса.

Полученную таким путем эпюру принято штриховать (так же как и эпюры других внутренних усилий, рассматриваемые в последующих главах курса) прямыми линиями, перпендикулярными к ее оси. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса.

В поперечном сечении у в котором к брусу приложена сосредоточенная сила у не перпендикулярная к его осиу значение продольной силы изменяется скачкообразно: слева от этого сечения, продольная сила имеет одно, а справа—другое значение, отличающееся на величину проекции (на ось бруса) указанной сосредоточенной силы. В соответствии с этим эпюра, изображенная на рис. 2.2, д, имеет скачки (уступы) в точках Сопромат для чайников, равные соответственно величинам Сопромат для чайников и значению реакции опорного закрепления бруса.

Для построения эпюр внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях бруса, нет необходимости изображать и брус с действующими на него нагрузками и расчетную схему, а достаточно привести один из этих чертежей.

Точно так же нет необходимости изображать отдельные части бруса, на которые он расчленяется поперечными сечениями.

Например, для решения рассмотренной задачи можно изобразить лишь брус (рис. 2.2у а) или его расчетную схему (рис. 2.2,6), а также эпюру продольных сил Сопромат для чайников (рис. 2.2, д) и мысленно представить остальные схемы, приведенные на рис. 2.2.

При действии на брус внешней распределенной осевой (т. е. направленной вдоль оси бруса) нагрузки продольные силы на участке, на котором такая нагрузка приложена, изменяются непрерывно. Для примера на рис. 3.2,6 показана эпюра продольных сил для бруса, изображенного на рис. 3.2, а. На этот брус, кроме двух сосредоточенных сил Сопромат для чайников действует распределенная нагрузка (собственный вес бруса) интенсивностью Сопромат для чайников Эпюра Сопромат для чайников (рис. 3.2,6) построена на основе уравнений продольных сил, составленных для сечений, отстоящих от верхнего конца бруса на расстоянии Сопромат для чайников

а) для сечения Сопромат для чайников

Сопромат для чайников


Сопромат для чайников

Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса

Продольная сила Сопромат для чайников возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):

Сопромат для чайников

здесь Сопромат для чайников —нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке Сопромат для чайников площадь поперечного сечения бруса.

Произведение Сопромат для чайников представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку Сопромат для чайников

Величину продольной силы Сопромат для чайников в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения же величин напряжений Сопромат для чайников в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой Сопромат для чайников

Выражение (1.2) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений Сопромат для чайников (например, при эпюрах Сопромат для чайников изображенных на рис. 4.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо провести эксперимент.

Проведем на бокозой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 5.2). Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса.

При нагружении бруса осевой силой Сопромат для чайников эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 5.2 штриховыми линиями). Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), сформулированную.

Представим мысленно брус состоящим из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси. Два любых поперечных
Сопромат для чайников
сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой. Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину Сопромат для чайников за знак интеграла. Таким образом,

Сопромат для чайников

откуда

Сопромат для чайников
Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

При наличии ослаблений некоторых сечений бруса (например, отверстиями для заклепок), определяя напряжения в этих сечениях, следует учитывать фактическую площадь ослабленного сечения Сопромат для чайников равную полной площади Сопромат для чайников уменьшенной на величину площади ослабления Сопромат для чайников

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений. Построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня рассмотрено в примере 1.2.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.

Обозначим Сопромат для чайников угол между наклонным сечением Сопромат для чайников и поперечным сечением Сопромат для чайников (рис. 6.2, а). Угол Сопромат для чайников условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения Сопромат для чайников во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением Сопромат для чайниковt (рис. 6.2,6). Из условий ее равновесия следует, что напряжения Сопромат для чайников параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Сопромат для чайников а внутренняя сила Сопромат для чайников действующая в сечении Сопромат для чайников равна Сопромат для чайников Здесь Сопромат для чайников —площадь наклонного сечения Сопромат для чайников равная Сопромат для чайников (где Сопромат для чайников — площадь поперечного сечения Сопромат для чайников бруса).

Следовательно,
Сопромат для чайников

откуда

Сопромат для чайников

где Сопромат для чайников нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение Сопромат для чайников на два составляющих напряжения: нормальное Сопромат для чайников перпендикулярное к плоскости сечения Сопромат для чайников и касательное Сопромат для чайников параллельное этой плоскости (рис. 6.2, в).

Сопромат для чайников

Значения Сопромат для чайников получим из выражений

Сопромат для чайников

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке.

На рис. 6.2, в показано положительное касательное напряжение Сопромат для чайников а на рис. 6.2, г — отрицательное.

Из формулы (6.2) следует, что нормальные напряжения Сопромат для чайников имеют значения от Сопромат для чайников до нуля Сопромат для чайников Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Из формулы (7.2) следует, что касательные напряжения имеют значения от Сопромат для чайниковСопромат для чайников отрицательный угол а показан на рис. 6.2, г. Значение Сопромат для чайников равно нулю при Сопромат для чайников (т. е. в поперечных сечениях бруса) и при Сопромат для чайников Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Определим значение касательных напряжений Сопромат для чайников в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 7.2).

Углы Сопромат для чайников наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости Сопромат для чайников По формуле (7.2)

Сопромат для чайников

Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку.

Если продольная сила или размеры поперечных сечений бруса переменны по длине его оси, то напряжения Сопромат для чайников в различных точках наклонного сечения имеют различные значения. Они могут определяться по формулам (6.2) и (7.2), но для каждой точки в эти формулы следует подставлять соответствующее значение Сопромат для чайников подсчитанное для поперечного сечения, проходящего через рассматриваемую точку.

Продольные и поперечные деформации


Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длимой Сопромат для чайников заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Сопромат для чайников (рис. 8.2, а). Под действием силы Сопромат для чайников брус удлиняется на некоторую величину Сопромат для чайников которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние и, следовательно, линейные деформации Сопромат для чайников для всех его точек одинаковы. Поэтому значение Сопромат для чайников можно определить как отношение абсолютного удлинения Сопромат для чайников к первоначальной длине бруса Сопромат для чайников т. е. Сопромат для чайников Линейную деформациюСопромат для чайников при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают Сопромат для чайников

Следовательно,

Сопромат для чайников

Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 8.2, а), а деформацию сжатия—отрицательной (рис. 8.2,6).

Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности (см. § 6.1, п. 4), опытом установлена следующая зависимость:

Сопромат для чайников

Здесь Сопромат для чайников -—продольная сила в поперечных сечениях бруса; Сопромат для чайников — площадь поперечного сечения бруса; Сопромат для чайников —коэффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса Сопромат для чайников получаем

Сопромат для чайников

откуда

Сопромат для чайников

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

Сопромат для чайников

т. е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.). Формулы (10.2)—(13.2) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса.

Более общей является следующая формулировка закона Гука [см. формулы (11.2) и (12.2)]: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина Сопромат для чайников входящая в формулы (10.2)—(13.2), называется модулем упругости первого рода (сокращенно—модулем упругости) *. Эта величина—физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Сопромат для чайников тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация.

Произведение Сопромат для чайников назовем жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

В приложении Сопромат для чайников приведены значения модулей упругости Сопромат для чайников для различных материалов.

Формулой (13.2) можно пользоваться для вычисления абсолютной продольной деформации участка бруса длиной Сопромат для чайников лишь при условии, что сечение бруса в пределах этого участка постоянно и продольная сила Сопромат для чайников во всех поперечных сечениях одинакова.

Кроме продольной деформации, при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении —уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимаюших сил Сопромат для чайников обозначить Сопромат для чайников а после приложения этих сил Сопромат для чайников (рис. 9.2), то величина Сопромат для чайников будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса.

Сопромат для чайников

Отношение Сопромат для чайников является относительной поперечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости (см. § 6.1, п. 3), относительная поперечная деформация Сопромат для чайников прямо пропорциональна относительной продольной деформации Сопромат для чайников но имеет обратный знак:

Сопромат для чайников

Коэффициент пропорциональности Сопромат для чайников в формуле (14.2) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение относительной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т. е.

Сопромат для чайников

Коэффициент Пуассона Сопромат для чайников наряду с модулем упругости Сопромат для чайников характеризует упругие свойства материала.

Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25—0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36. Ориентировочные значения коэффициента Пуассона для различных материалов приведены в приложении Сопромат для чайников

Примеры расчета с решением задач

Пример решения задачи 1.2.

Для стального бруса, изображенного на рис. 37.2, а, построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещений этих сечении, а также определить потенциальную энергию деформации. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

  • Решение:

Продольную силу в поперечном сечении определяем, проектируя внешние силы, приложенные ниже рассматриваемого сечения, на ось бруса:

а) на участках Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

б) на участке Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

По полученным значениям строим эпюру продольных сил Сопромат для чайников (рис. 37.2,6).

В поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, величины которых определяются по формуле (3.2):

а) на участке Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

б) на участке Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

в) на участке Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений Сопромат для чайников (рис. 37.2, в).

Поперечные сечения бруса под действием нагрузки смещаются по вертикали вниз. Величина Сопромат для чайников смещения сечения, расположенного на расстоянии Сопромат для чайников от верхнего конца бруса, равна деформации участка длиной Сопромат для чайников:

а) для сечений на участке Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

перемещение сечения Сопромат для чайников (при Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

для сечении на участке Сопромат для чайников
Сопромат для чайников

перемещение сечения Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

в) для сечений на участке Сопромат для чайников

Сопромат для чайников

перемещение сечения Сопромат для чайников
Сопромат для чайников

Во все полученные выражения Сопромат для чайников координата Сопромат для чайников входит в первой степени, т. е. зависимость между Сопромат для чайников линейная. Это позволяет по подсчитанным перемещениям сечений Сопромат для чайников и по известному перемещению Сопромат для чайников сечения Сопромат для чайников построить эпюру перемещений Сопромат для чайников (рис. 37.2,

Для вычисления потенциальной энергии деформации бруса воспользуемся формулой (28.2):

Сопромат для чайников

Пример решения задачи 2.2

Определить напряжения в поперечных сечениях стального бруса, имеющего форму усеченного конуса, изображенного на рис. 38.2, а также перемещение верхнего сечения и потенциальную энергию деформации бруса. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять Сопромат для чайников

  • Решение:

Продольная сила во всех поперечных сечениях бруса одинакова: Сопромат для чайников (сжатие). Нормальные напряжения в поперечном

сечении бруса, отстоящем на расстояние Сопромат для чайников от верхнего конца, определяются по формуле (3.2):

Сопромат для чайников

где

Сопромат для чайников

Поэтому

Сопромат для чайников

Перемещение верхнего конца бруса (вниз) равно укорочению всего бруса и определяется по формуле (18.2):

Сопромат для чайников
Потенциальную энергию деформации бруса находим по формуле (31.2):

Сопромат для чайников

Проверяем равенство потенциальной энергии деформации работе внешней силы Сопромат для чайников [см. формулу (21.2)]:

Сопромат для чайников

Пример решения задачи 3.2

Стальной стержень площадью поперечного сечения Сопромат для чайников закреплен верхним концом и находится под действием собственного веса (рис. 39.2,о). Найти наибольшую, допустимую по условию прочности длину стержня Сопромат для чайников потенциальную энергию деформации этого стержня, а также перемещение его нижнего конца и сечения Сопромат для чайников

Объемный вес стали Сопромат для чайников Допускаемое напряжение на растяжение Сопромат для чайников Модуль упругости Сопромат для чайниковСопромат для чайников

  • Решение:

Обозначим Сопромат для чайников расстояние от нижнего конца стержня до произвольного поперечного сечения. Продольная сила Сопромат для чайников в сечении Сопромат для чайников равна [см. формулу (32.2)]:

Сопромат для чайников

где Сопромат для чайников в см.

Нормальные растягивающие напряжения в этом сечении

Сопромат для чайников

Наибольшие напряжения возникают в верхнем сечении стержня:

Сопромат для чайников

При наибольшей допустимой длине стержня напряжения в опасном (верхнем) сечении должны быть равны допускаемому напряжению; условие прочности для данной задачи имеет вид
Сопромат для чайников

откуда

Сопромат для чайников

Таким образом, допустимая по условию прочности длина стержня получается очень большой. Поэтому учет собственного веса вертикальных стержней необходим только в редких случаях —при весьма большой их длине, например при расчете тросов подъемников в глубоких шахтах. В большинстве же практических случаев расчет таких стержней производится без учета собственного веса.

Потенциальная энергия деформации стержня на основании формулы (37.2) равна:

Сопромат для чайников

где Сопромат для чайников — вес стержня.

Перемещение нижнего конца стержня равно полному его удлинению и может быть определено по формуле (35.2).

Следовательно,
Сопромат для чайников

Перемещение Сопромат для чайников сечения Сопромат для чайников стержня равно деформации его верхнего участка длиной Сопромат для чайников Для вычисления этой деформации определяем вес участка стержня Сопромат для чайников ниже сечения Сопромат для чайников и вес Сопромат для чайников верхнего участка

Сопромат для чайников

Сила Сопромат для чайников при определении деформации верхнего участка стержня рассматривается как сосредоточенная сила, приложенная к его нижнему концу, а сила Сопромат для чайников является собственным весом этого участка и вызванное ею удлинение определяется по формуле (35.2), т. е. так/ как если бы эта сила была приложена в центре тяжести рассматриваемого участка (рис. 39.2,6). Таким образом,
Сопромат для чайников