Сопромат для чайников

Сопромат для чайников: примеры с решение онлайн

При проектировании различных конструкций (сооружений, машин, приборов и др.) необходимо проводить расчеты на прочность. Неправильный расчет самой, на первый взгляд, незначительной детали может повлечь за собой очень тяжелые последствия, привести к разрушению всей конструкции.

• Кроме расчетов на прочность, во многих случаях проектирования производят расчеты на жесткость и устойчивость.

Целью расчетов на жесткость является определение таких размеров элементов конструкций, при которых перемещения (деформации) не превышают заданных (обычно весьма малых) величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

Деформации многих конструкций при действии некоторого вида нагрузок незначительны, пока величины этих нагрузок меньше так называемых критических значений. При нагрузках же, превышающих (даже весьма незначительно) критические значения, деформации конструкций резко возрастают. Простейший пример такого явления представляет так называемый продольный изгиб сжатого стержня — при некотором значении сжимающей силы происходит выпучивание прямолинейного стержня, практически равносильное разрушению. Такое качественное изменение характера деформации конструкции при увеличении нагрузки называется потерей устойчивости. Расчет конструкции, имеющий целью не допустить потери устойчивости, называется расчетом на устойчивость.

При проведении расчетов необходимо сочетать надежность работы сооружения с его дешевизной, получать необходимые прочность, жесткость и устойчивость при наименьшем расходе материала.

Совокупность наук о прочности, жесткости и устойчивости сооружений называется строительной механикой*. Одним из разделов строительной механики является сопротивление материалов. Другими ее разделами являются теория упругости (математическая и прикладная), теория пластичности и теория сооружений (включая статику, динамику и устойчивость сооружений **).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций и вопросы расчета некоторых простейших конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

В отличие от теоретической механики, в которой все тела рассматриваются как абсолютно твердые, в сопротивлении материалов учитывается, что элементы конструкций при действии внешних сил изменяют свою форму и размеры, т.е. деформируются.

В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики (в первую очередь статики) и математического анализа, а также используются данные из разделов физики, в которых изучаются свойства различных материалов.

Сопротивление материалов является экспериментально-теоретической наукой, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

Основное внимание в сопротивлении материалов уделяется изучению брусьев, являющихся наиболее распространенными элементами многих конструкций. Брусом (или стержнем) называется элемент, длина которого значительно больше его поперечных размеров (рис. 1.1,а). Горизонтальный (или наклонный) брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.

Ось бруса представляет собой геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести площадей поперечных сечений бруса, т.е. сечений, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к указанной основе.

Элемент конструкции, длина и ширина которого во много раз превышают его толщину, называется оболочкой (рис. 1.1,6).

Геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.

Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластинкой (рис. 1.1,в).

Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (например, сплошная опора моста), называется массивным телом (рис. 1.1,г).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод сечений решение задач по сопромату

Сопромат готовые задачи с решением

Сопромат решение простых задач

Пособие по решению задач по сопромату

Расчетная схема. нагрузки

Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему.

В сопротивлении материалов расчет реальной конструкции на действие реальных внешних нагрузок производится с помощью так называемых расчетных схем. При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которых малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса.

Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки. На расчетной схеме вместо бруса изображается его ось. При составлении расчетной схемы конструкции применяются и другие упрощения, облегчающие ее расчет.

На рис. 2.1,а показан брус и действующие на него (в плоскости чертежа) внешние сосредоточенные силы На рис. 2.1,6 дана расчетная схема этого бруса с сосредоточенными силами и моментами приложенными к его оси.

Указанная схематизация основана на так называемом принципе Сен-Венана, согласно которому распределение напряжений* на достаточно большом расстоянии от места приложения нагрузки, превышающем размеры загруженного участка, не зависит от характера нагрузки, а зависит только от ее статического эквивалента.

Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными (не сосредоточенными) по поверхности или приводятся к распределенным по линии***.

Например, нагрузка равномерно распределенная по части поверхности бруса, показанная на рис. 3.1,а, заменяется на расчетной схеме (рис. 3.1,6) нагрузкой равномерно распределенной по длине оси бруса.

При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при переменной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной.

Нагрузка, распределенная по поверхности, характеризуется ее интенсивностью представляющей собой предел отношения равнодействующей нагрузки приходящейся на весьма малую площадку, к величине этой площадки когда она стремится к нулю, т. е.

Таким образом, интенсивность является мерой нагрузки, распределенной по поверхности сооружения; ее размерность — и т. д.

Мерой нагрузки, распределенной по линии (например, подлине оси бруса —рис. 3.1,6), является ее интенсивность размерность которой и т. д. Такая нагрузка иногда называется погонной.

Сплошная нагрузка, распределенная по линии, изображается обычно в виде графика, показывающего (в определенном масштабе), как изменяется ее интенсивность по длине оси бруса. Такой график называется эпюрой нагрузки. При равномерной нагрузке эпюра ограничена прямой, параллельной оси бруса (рис. 3.1,6), а при неравномерной—прямой, наклонной к оси бруса, или кривой линией (в зависимости от закона изменения интенсивности).

Нагрузки, распределенные по объему тела (например, вес сооружения, силы инерции), называются объемными силами; их интенсивность имеет размерность и т. д.

К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок—активных сил, относятся также реакции связей — реактивные силы.

Нагрузки, распределенные по линии и сосредоточенные в точках, реально не существуют. Их можно получить лишь в результате схематизации реальных нагрузок, распределенных по объему (объемных сил) и по поверхности.

При составлении расчетной схемы в ряде случаев реальные нагрузки нельзя заменить одними лишь сосредоточенными и распределенными силовыми нагрузками. В этих случаях, кроме силовых, появляются и моментные нагрузки (см. рис. 2.1,6) в виде сосредоточенных моментов (пар сил) и моментов, распределенных по линии (длине) или по поверхности. Сосредоточенные моменты имеют размерности и т. д.; моменты, распределенные по линии,— и т. д., а моменты, распределенные по поверхности,— и т. д.

Нагрузки (силовые и моментные) различаются не только по способу их приложения (распределенные и сосредоточенные), но также по длительности действия (постоянные и временные) и характеру воздействия на конструкцию (статические и динамические).

Постоянные нагрузки (например, собственный вес конструкции) действуют на протяжении всего периода эксплуатации конструкции. Временные нагрузки (например, вес поезда) действуют в течение ограниченного промежутка времени. Величина статической нагрузки медленно возрастает от нуля до ее конечного значения, а потому эта нагрузка вызывает в конструкции весьма малые ускорения, в связи с чем возникающими при этом силами инерции можно в расчете пренебречь. Динамическая нагрузка (например, ударная) вызывает в конструкции или отдельных ее элементах большие ускорения, которыми при расчете пренебречь нельзя. Величина этой нагрузки значительно изменяется за малые промежутки времени.

Временная нагрузка может сохранять более или менее постоянную величину в течение всего периода ее действия, а может непрерывно изменяться по некоторому закону; в последнем случае она называется переменной нагрузкой.

Если переменная нагрузка изменяется по циклическому (повторяющемуся) закону, то она называется циклической.

Напряжения

Как уже известно, внешние сосредоточенные (т. е. приложенные в точке) нагрузки реально не существуют. Они представляют собой статический эквивалент распределенной нагрузки.

Аналогично сосредоточенные внутренние силы и моменты, характеризующие взаимодействие между отдельными частями элемента (или между отдельными элементами конструкции), являются также лишь статическим эквивалентом внутренних сил, распределенных

по площади сечения. Эти силы, так же как и внешние нагрузки, распределенные по поверхности, характеризуются их интенсивностью, которая равна

где равнодействующая внутренних сил на весьма малой площадке проведенного сечения (рис. 7.1,а).

Разложим силу на две составляющие: касательную и нормальную из которых первая расположена в плоскости сечения, а вторая перпендикулярна к этой плоскости. Интенсив-

ность касательных сил в рассматриваемой точке сечения называется касательным напряжением и обозначается а интенсивность нормальных сил—нормальным напряжением и обозначается (сигма). Напряжения выражаются формулами

Напряжения имеют размерность и т. д.

Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения в рассматриваемой точке по данному сечению (рис. 7.1,6). Очевидно, что

Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкций, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение —интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения. Величины напряжений в каждой точке элемента зависят от направления сечения у проведенного через эту точку.

Совокупность напряжений действующих по различным площадкам проходящим через рассматриваемую точкуу представляет собой напряженное состояние в этой точке.

Нормальные и касательные напряжения имеют в сопротивлении материалов весьма важное значение, так как от их величин зависит прочность сооружения.

Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении бруса связаны определенными зависимостями с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Для получения таких зависимостей рассмотрим элементарную площадку поперечного сечения бруса с действующими по этой площадке нормальными и касательными напряжениями (рис. 8.1). Разложим напряжения на составляющие параллельные соответственно осям На площадку действуют элементарные силы параллельные соответственно осям Проекции всех элементарных сил (действующих на все элементарные площадки сечения на оси и их моменты относительно этих осей определяются выражениями

В левых частях этих выражений указаны внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях бруса, а именно: — продольная сила; поперечные силы, параллельные соответственно осям крутящий момент; —изгибающий

момент относительно оси (действующий в плоскости — изгибающий момент относительно оси (действующий в плоскости

Деформации и перемещения

Под действием нагрузки конструкция деформируется, т. е. ее форма и размеры изменяются. Рассмотрим, что представляют собой деформация и перемещение.

Мысленно через точку тела в направлениях осей проведем бесконечно малые отрезки длина которых (рис. 9.1). Обозначим изменения длин этих отрезков

после приложения нагрузки к телу (когда точки переместятся в положения Отношение представляет собой линейную деформацию (эпсилон) в точке т. е. Аналогично

Изменение первоначально прямого угла между отрезками после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию (гамма) в точке в плоскости Аналогично представляют собой угловые деформации в плоскостях

Деформации конструкции в каждой ее точке по любым направлениям известны, если определены линейные деформации направлениях осей прямоугольной системы координат и угловые деформации в плоскостях

Линейные и угловые деформации—величины безразмерные. Деформацию часто называют относительной линейной деформацией а деформацию —относительным сдвигом.

Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций по различным плоскостям у проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точке.

Деформации возникающие в каждой точке тела под действием нагрузки, вызывают, как уже отмечалось, изменение его формы и размеров. В результате этого точки тела перемещаются в новые положения, а элементарные (бесконечно малые) отрезки, соединяющие каждую пару близко расположенных друг к другу точек, поворачиваются.

Для примера рассмотрим рис. 10.1, на котором сплошной линией показан брус до приложения к нему нагрузки, а штриховой—деформированный брус. Отметим на брусе произвольную точку и проведем через нее короткий отрезок прямой, соединяющий точки (отрезок В результате деформации бруса точка перейдет в положение а отрезок —в положение

Расстояние представляет собой линейное перемещение (смещение) точки а угол между направлениями отрезков поворот отрезка (угловое перемещение).

Продольная сила

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, изгибающие моменты и крутящий момент) равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием).

На рис. 1.2у а изображен прямой брус, закрепленный одним концом и нагруженный на другом конце силой направленной вдоль его оси.

Во всех поперечных сечениях этого бруса возникают только продольные растягивающие силы и, следовательно, такой брус по всей длине является центрально растянутым. При противоположно направленной силе (рис. 1.2,6) брус по всей длине испытывает сжатие*.

Брус, изображенный на рис. 1.2,6, испытывает центральное растяжение только на участках на участке брус не является центрально растянутым, так как, например, в сечении кроме продольной силы, действуют также поперечная сила и изгибающий момент.

Растягивающие продольные силы принято считать положительнымиу а сжимающие—отрицательными.

На рис. 2.2, а изображен брус, нагруженный силами направленными вдоль его оси, двумя силами параллельными оси и приложенными на равных расстояниях от нее в поперечном сечении а также двумя силами направленными под углом к оси бруса и приложенными в поперечном сечении на равных расстояниях от оси.

На рис. 2.2,6 изображена расчетная схема, полученная путем замены бруса его осью и переноса внешних нагрузок к этой оси.

Силы на расчетной схеме действуют вдоль оси бруса; силы и силы показанные на рис. 2.2, а, приводятся соответственно к силам также направленным вдоль оси. Таким образом, на расчетной схеме (рис. 2.2,6) все внешние силы действуют вдоль оси бруса. Следова-тельно, в поперечных [сечениях рассматриваемого бруса возникают только продольные силы.

Определим в качестве примера продольную силу в сечении (рис. 2.2,6). На рис. 2.2,6, г показаны продольные силы действующие на левую (относительно сечения и на правую части бруса. Направления этих сил приняты в предположении, что они являются растягивающими (т. е. положительными). Если в результате расчета значение получается со знаком «минус», то это означает, что в действительности брус в сечении сжат.

Для определения силы воспользуемся методом сечений. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций на ось бруса всех сил, действующих на левую его часть (рис. 2.2, в):

откуда

Этот же результат можно получить и не составляя уравнения равновесия, а используя то положение, что на основании метода

сечений проекция внутренних сил на ось бруса (т. е. продольная сила), действующих со стороны левой его части на правую, равна сумме проекций на эту же ось всех внешних сил, приложенных к левой части. Следовательно,

Силы взяты со знаком «плюс», потому что их направление совпадает с положительным направлением силы действующей на правую часть бруса.

Аналогично найдем продольные силы в сечениях (рис. 2.2,6), проектируя силы, приложенные слева от этих сечений, на ось бруса:

Очевидно, что на всем участке (между точками приложения сил продольная сила постоянна и равна аналогично и на других участках (между точками приложения внешних сил) продольные силы имеют постоянные значения.

Построим график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называемый эпюрой продольных сил (эпюрой Для этого проведем ось эпюры параллельную оси бруса (рис. 2.2, д), и перпендикулярно к ней отложим ординаты, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил в поперечных сечениях бруса.

Полученную таким путем эпюру принято штриховать (так же как и эпюры других внутренних усилий, рассматриваемые в последующих главах курса) прямыми линиями, перпендикулярными к ее оси. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину продольной силы в соответствующем поперечном сечении бруса.

В поперечном сечении у в котором к брусу приложена сосредоточенная сила у не перпендикулярная к его осиу значение продольной силы изменяется скачкообразно: слева от этого сечения, продольная сила имеет одно, а справа—другое значение, отличающееся на величину проекции (на ось бруса) указанной сосредоточенной силы. В соответствии с этим эпюра, изображенная на рис. 2.2, д, имеет скачки (уступы) в точках , равные соответственно величинам и значению реакции опорного закрепления бруса.

Для построения эпюр внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях бруса, нет необходимости изображать и брус с действующими на него нагрузками и расчетную схему, а достаточно привести один из этих чертежей.

Точно так же нет необходимости изображать отдельные части бруса, на которые он расчленяется поперечными сечениями.

Например, для решения рассмотренной задачи можно изобразить лишь брус (рис. 2.2у а) или его расчетную схему (рис. 2.2,6), а также эпюру продольных сил (рис. 2.2, д) и мысленно представить остальные схемы, приведенные на рис. 2.2.

При действии на брус внешней распределенной осевой (т. е. направленной вдоль оси бруса) нагрузки продольные силы на участке, на котором такая нагрузка приложена, изменяются непрерывно. Для примера на рис. 3.2,6 показана эпюра продольных сил для бруса, изображенного на рис. 3.2, а. На этот брус, кроме двух сосредоточенных сил действует распределенная нагрузка (собственный вес бруса) интенсивностью Эпюра (рис. 3.2,6) построена на основе уравнений продольных сил, составленных для сечений, отстоящих от верхнего конца бруса на расстоянии

а) для сечения

Напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса

Продольная сила возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):

здесь —нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке площадь поперечного сечения бруса.

Произведение представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку

Величину продольной силы в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения же величин напряжений в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой

Выражение (1.2) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений (например, при эпюрах изображенных на рис. 4.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо провести эксперимент.

Проведем на бокозой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 5.2). Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса.

При нагружении бруса осевой силой эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 5.2 штриховыми линиями). Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), сформулированную.

Представим мысленно брус состоящим из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси. Два любых поперечных

сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой. Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину за знак интеграла. Таким образом,

откуда

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

При наличии ослаблений некоторых сечений бруса (например, отверстиями для заклепок), определяя напряжения в этих сечениях, следует учитывать фактическую площадь ослабленного сечения равную полной площади уменьшенной на величину площади ослабления

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений. Построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня рассмотрено в примере 1.2.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.

Обозначим угол между наклонным сечением и поперечным сечением (рис. 6.2, а). Угол условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением t (рис. 6.2,6). Из условий ее равновесия следует, что напряжения параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе а внутренняя сила действующая в сечении равна Здесь —площадь наклонного сечения равная (где — площадь поперечного сечения бруса).

Следовательно,

откуда

где нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение на два составляющих напряжения: нормальное перпендикулярное к плоскости сечения и касательное параллельное этой плоскости (рис. 6.2, в).

Значения получим из выражений

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке.

На рис. 6.2, в показано положительное касательное напряжение а на рис. 6.2, г — отрицательное.

Из формулы (6.2) следует, что нормальные напряжения имеют значения от до нуля Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Из формулы (7.2) следует, что касательные напряжения имеют значения от отрицательный угол а показан на рис. 6.2, г. Значение равно нулю при (т. е. в поперечных сечениях бруса) и при Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Определим значение касательных напряжений в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 7.2).

Углы наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости По формуле (7.2)

Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку.

Если продольная сила или размеры поперечных сечений бруса переменны по длине его оси, то напряжения в различных точках наклонного сечения имеют различные значения. Они могут определяться по формулам (6.2) и (7.2), но для каждой точки в эти формулы следует подставлять соответствующее значение подсчитанное для поперечного сечения, проходящего через рассматриваемую точку.

Продольные и поперечные деформации

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длимой заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой (рис. 8.2, а). Под действием силы брус удлиняется на некоторую величину которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине бруса т. е. Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают

Следовательно,

Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 8.2, а), а деформацию сжатия—отрицательной (рис. 8.2,6).

Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности (см. § 6.1, п. 4), опытом установлена следующая зависимость:

Здесь -—продольная сила в поперечных сечениях бруса; — площадь поперечного сечения бруса; —коэффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса получаем

откуда

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

т. е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.). Формулы (10.2)—(13.2) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса.

Более общей является следующая формулировка закона Гука [см. формулы (11.2) и (12.2)]: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина входящая в формулы (10.2)—(13.2), называется модулем упругости первого рода (сокращенно—модулем упругости) *. Эта величина—физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация.

Произведение назовем жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

В приложении приведены значения модулей упругости для различных материалов.

Формулой (13.2) можно пользоваться для вычисления абсолютной продольной деформации участка бруса длиной лишь при условии, что сечение бруса в пределах этого участка постоянно и продольная сила во всех поперечных сечениях одинакова.

Кроме продольной деформации, при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении —уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимаюших сил обозначить а после приложения этих сил (рис. 9.2), то величина будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса.

Отношение является относительной поперечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости (см. § 6.1, п. 3), относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации но имеет обратный знак:

Коэффициент пропорциональности в формуле (14.2) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение относительной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т. е.

Коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости характеризует упругие свойства материала.

Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25—0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36. Ориентировочные значения коэффициента Пуассона для различных материалов приведены в приложении

Примеры расчета с решением задач

Пример решения задачи 1.2.

Для стального бруса, изображенного на рис. 37.2, а, построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещений этих сечении, а также определить потенциальную энергию деформации. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять

• Решение:

Продольную силу в поперечном сечении определяем, проектируя внешние силы, приложенные ниже рассматриваемого сечения, на ось бруса:

а) на участках

б) на участке

По полученным значениям строим эпюру продольных сил (рис. 37.2,6).

В поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, величины которых определяются по формуле (3.2):

а) на участке

б) на участке

в) на участке

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений (рис. 37.2, в).

Поперечные сечения бруса под действием нагрузки смещаются по вертикали вниз. Величина смещения сечения, расположенного на расстоянии от верхнего конца бруса, равна деформации участка длиной :

а) для сечений на участке

перемещение сечения (при

для сечении на участке


перемещение сечения

в) для сечений на участке

перемещение сечения

Во все полученные выражения координата входит в первой степени, т. е. зависимость между линейная. Это позволяет по подсчитанным перемещениям сечений и по известному перемещению сечения построить эпюру перемещений (рис. 37.2,

Для вычисления потенциальной энергии деформации бруса воспользуемся формулой (28.2):

Пример решения задачи 2.2

Определить напряжения в поперечных сечениях стального бруса, имеющего форму усеченного конуса, изображенного на рис. 38.2, а также перемещение верхнего сечения и потенциальную энергию деформации бруса. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять

• Решение:

Продольная сила во всех поперечных сечениях бруса одинакова: (сжатие). Нормальные напряжения в поперечном

сечении бруса, отстоящем на расстояние от верхнего конца, определяются по формуле (3.2):

где

Поэтому

Перемещение верхнего конца бруса (вниз) равно укорочению всего бруса и определяется по формуле (18.2):

Потенциальную энергию деформации бруса находим по формуле (31.2):

Проверяем равенство потенциальной энергии деформации работе внешней силы [см. формулу (21.2)]:

Пример решения задачи 3.2

Стальной стержень площадью поперечного сечения закреплен верхним концом и находится под действием собственного веса (рис. 39.2,о). Найти наибольшую, допустимую по условию прочности длину стержня потенциальную энергию деформации этого стержня, а также перемещение его нижнего конца и сечения

Объемный вес стали Допускаемое напряжение на растяжение Модуль упругости

• Решение:

Обозначим расстояние от нижнего конца стержня до произвольного поперечного сечения. Продольная сила в сечении равна [см. формулу (32.2)]:

где в см.

Нормальные растягивающие напряжения в этом сечении

Наибольшие напряжения возникают в верхнем сечении стержня:

При наибольшей допустимой длине стержня напряжения в опасном (верхнем) сечении должны быть равны допускаемому напряжению; условие прочности для данной задачи имеет вид

откуда

Таким образом, допустимая по условию прочности длина стержня получается очень большой. Поэтому учет собственного веса вертикальных стержней необходим только в редких случаях —при весьма большой их длине, например при расчете тросов подъемников в глубоких шахтах. В большинстве же практических случаев расчет таких стержней производится без учета собственного веса.

Потенциальная энергия деформации стержня на основании формулы (37.2) равна:

где — вес стержня.

Перемещение нижнего конца стержня равно полному его удлинению и может быть определено по формуле (35.2).

Следовательно,


Перемещение сечения стержня равно деформации его верхнего участка длиной Для вычисления этой деформации определяем вес участка стержня ниже сечения и вес верхнего участка

Сила при определении деформации верхнего участка стержня рассматривается как сосредоточенная сила, приложенная к его нижнему концу, а сила является собственным весом этого участка и вызванное ею удлинение определяется по формуле (35.2), т. е. так/ как если бы эта сила была приложена в центре тяжести рассматриваемого участка (рис. 39.2,6). Таким образом,