Собственные частоты и главные формы колебаний

Собственные частоты и основные формы вибрации. Использование уравнения с уравнением. дает тот же результат, но это становится ясно из уравнения.. Рассматриваемая система, амплитуда свободной вибрации системы. Система из линейных однородных уравнений для неизвестного числа . для любого значения ? существует только тривиальное решение условием существования нетривиального решения является то, что определитель системы равен нулю.

Уравнение является уравнением степени относительно , которое имеет корней, каждый из которых определяет собственную частоту системы. Поэтому упругая система имеет такое же количество собственных частот колебаний, как и степеней свободы. Предположим, что все корни уравнения . различны. Правда, коэффициент соответствия и масса товара будут равны только в том случае, если они примут совершенно однозначное значение. Так как корни бывают разные, то достаточно немного изменить жесткость элементов или системы по массе. Поэтому случай равных корней не может представлять собой качественный признак, и не стоит останавливаться на нем подробно.

Перенумеровать уравнения Кории в порядке возрастания.Соответствующая собственная частота. Если ввести значение в систему ненулевое решение. Совокупность амплитуд, соответствующих определенной собственной частоте, называется основной. Основная форма колебаний обладает свойством ортогональности, которое выражается следующим уравнением Чтобы доказать это, поместите перепишите это уравнение. Умножьте стороны на и суммируйте их по индексу . Но вы также можете действовать подругому.

Частота, как и время, является одной из наиболее точно измеряемых физических величин: до относительной точности вики

Примеры решения в задачах

То есть возьмем перепишем это уравнение в следующий вид если вы умножаете его на и суммируете его по индексу, это выглядит так Для равенства .и . левая сторона одинакова, а правая сторона двойная одинакова. Поскольку но следовательно, знак равенства. поскольку двойная сумма равна нулю, ортогональное отношение . выполняется. До сих пор мы неявно предполагали, что корни частотного уравнения все действительные и положительные числа.

Вы можете доказать . фактически, мы предполагаем, что является комплексным числом. Тогда нам нужен й корень , который является комплексным конъюгатом. Величина числа главной формы также становится комплексной в виде а величина числа главной формы становится комплексно сопряженной нахожусь в состоянии. Однако это равенство невозможно, потому что с левой стороны все члены положительны. С другой стороны, величина ?, полученная в результате решения уравнения ., всегда равна факт, введите. и запишите это уравнение следующим образом, опуская надстрочные знаки. Сумма слева всегда положительна, потому что все члены положительны. Сумма справа в раза больше потенциальной энергии системы, которая нагружается силой см. формулу. Однако, независимо от мощности, энергия всегда положительна, поэтому количество в раза на правой стороне является положительным Образец. Балки с опорами длиной а имеют одинаковые массы и равноудалены между собой и от опоры. Сначала составим диаграмму момента от единичной силы и найдем коэффициент влияния по методу моля для любого значения амплитуды .Поэтому также должен быть положительным.

Амплитуда, соответствующая каждой из основных форм колебаний, определяется решением линейной однородной системы Уравнения, следовательно, они, как известно, точны для уточните выбор амплитуды основных колебательных режимов, подчините их условиям нормализации. Здесь нужно взять , в . факт, всегда нужно учитывать только . в этом случае можно использовать первое и второе уравнения. из амплитуды можно установить произвольно. Например, рассмотрим во всех случаях. Легко проверить амплитуда каждой основной формы может быть умножена на любое числов любом случае выберите это число, чтобы выполнить условие нормализации. Нормализованный основной сигнал выглядит следующим образом.

Методические указания и учебники	решения и формулы
задачи и методички	теория

В природе известны периодические процессы с частотами. вики