Сложное сопротивление

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Сложное сопротивление 1.1. Общие понятия 1.2. Косой изгиб 1.3. Нормальные напряжения при косом изгибе 1.4. Перемещение при косом изгибе 1.5. Примеры расчетов на косой изгиб 1.6. Изгиб с растяжением или сжатием 1.7. Внецентренное растяжение или сжатие стержней большой жесткости 1.8. Ядро сечения 1.9. Пример построения ядра сечения 1.10. Изгиб с кручением стержней круглого сечения Библиографический список 4 1. Сложное сопротивление 1.1

Общие понятия Под сложным сопротивлением понимают совокупность простых видов деформаций бруса, при которых в его поперечных сечениях одновременно возникает более одного внутреннего силового фактора. Исключением является прямой поперечный изгиб, который не принято рассматривать, как случай сложного сопротивления, хотя при этом в сечениях и возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.

Этот вид деформации рассматривается как простой потому, что в подавляющем большинстве случаев расчеты на прочность и жесткость ведутся без учета влияния поперечных сил, т. е. по одному силовому фактору – изгибающему моменту. Напряжения и деформации при сложном сопротивлении могут быть в большинстве случаев вычислены на основании принципа независимости действия сил. Для этого сложная деформация раскладывается на простые.

Для каждой простой деформации находят напряжения и перемещения. Суммарное напряжение или перемещение определяют алгебраическим или геометрическим их сложением. Среди случаев сложного сопротивления стержней наиболее часто встречаются следующие сочетания простых видов нагружения: косой изгиб (рис. 1.1, а), внецентренное растяжение или сжатие (рис. 1.1, б) и одновременное действие кручения с изгибом (рис. 1.1, в), изгиб с растяжением или сжатием и т. д. Рис. 1.1 1.2.

Косой изгиб Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении бруса не проходит ни через 5 одну из главных центральных осей этого сечения, или не совпадает ни с одной из главных плоскостей (рис. 1.2). Под главной плоскостью понимают плоскость, проходящую через продольную ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения (рис. 1.2, г) – это плоскости, проходящие через оси ZX, YX.

Косой изгиб можно подразделить на плоский и пространственный. Плоский косой изгиб – это вид сложного сопротивления, когда все внешние силы расположены в одной плоскости (рис. 1.1, а,1.2, а), называемой силовой, и эта плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей. Пространственный косой изгиб отличается от плоского лишь тем, что внешние силы не находятся в одной плоскости и изогнутая ось балки будет уже не плоской, а пространственной кривой.

Плоский косой изгиб представляет собой частный случай пространственного изгиба. Рис. 1.2 1.3. Нормальные напряжения при косом изгибе 6 Рассмотрим определение напряжений при косом изгибе (рис. 1.2, а). Прежде всего, все нагрузки, действующие в произвольной плоскости, разложим на составляющие, расположенные в главных плоскостях (рис. 1.2, б), и построим эпюры изгибающих моментов Мz и Му (рис. 1.2, в), т. е. приведем сложный изгиб к двум плоским изгибам М Мz2 М у2 .

В произвольном сечении с координатой х установим величину и направление изгибающих моментов Мz и Му (1.2, в). Напряжение в какой-либо точке сечения найдём в соответствии с принципом независимости действия сил (рис. 1.3.): Знак нормальных напряжений зависит от направления изгибающих моментов. Например, для точки В (рис. 1.3, а) оба слагаемых положительны, так как оба момента Мz и Му вызывают в точке В растяжение, растягивающее напряжение. В точке D напряжение определяется как где уD и zD – координаты точки.

Для произвольной точки сечения напряжения определяются по формуле (1.2) Все параметры, входящие в эту формулу, подставляются по модулю, а знаки перед составляющими слагаемыми определяем из физических соображений: если изгибающий момент Мz или Му вызывает в точке растягивающее напряжение, то перед составляющей должен быть знак плюс, сжимающее напряжение – знак минус. Опасные точки в сечении при косом изгибе определяются по положению нейтральной линии.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Металлическая связь примеры

Моменты инерции относительно параллельных осей

Окрестности в метрическом пространстве. Свойство отделимости. Шар конечного радиуса

Взаимное положение двух прямых

Нейтральная линия – это геометрическое место точек, в которых нормальные напряжения равны нулю. Уравнение нейтральной линии при косом изгибе имеет вид (1.4) где β – угол наклона нейтральной линии. По положению нейтральной линии определяется положение точки в сечении, как наиболее удалённой от нейтральной оси, например точка В и точка D (рис. 1.3). В опасных точках напряжения достигают наибольшей величины.

Для пластичных материалов условие прочности запишется для одной, наиболее удалённой точки от нейтральной оси (рис.1.3): где ув и zв – координаты опасной точки. Для сечений типа прямоугольного, двутавра, швеллера и т.д. имеющих ярко выраженные угловые точки, условие прочности можно записать в виде: – осевые моменты сопротивления. Для хрупких материалов условие прочности записывают для двух опасных точек, наиболее удалённых от нейтральной линии (точки В и т. D): координаты опасных точек. 8 1.4.

Перемещение при косом изгибе Определим прогиб консольно-защемленной балки, нагруженной на конце силой Р, действующей под углом α к вертикали. Разложим силу Р на составляющие РуР soc. (рис. 1.4). Прогиб на свободном конце балки по оси у от силы Ру составит аналогично Суммарный прогиб балки Рис. 1.4 1.5. Примеры расчетов на косой изгиб Пример 1.1 Рассмотрим балку длиной l = 3 м, составленную из двух швеллеров № 16 и нагруженную силами Р1 = 6 кН и Р2 = 4 кН, как показано на рис. 1.5.

Угол наклона сечения к горизонту α = 15є (рис. 1.5, б). 9 Найти величину наибольшего напряжения в опасном сечении и величину и направление полного перемещения сечения С. Рис. 1.5 Решение 1. Геометрические характеристики сечения. Находим по сортаменту геометрические характеристики для швеллера №16 и с учетом этого вычисляем их для рассматриваемого сечения (рис. 1.5): где 18,1 – координата центра тяжести швеллера (рис. 1.5, в).

10 Тогда осевые моменты сопротивления Wz и Wу определяется по зависимости – ширина полки швеллера. 2. Найдем проекции внешних сил на главные оси сечения. 3.Определяем реакции опор в главных плоскостях и строим эпюры изгибающих моментов (рис. 1.6) в этих плоскостях. Плоскость Плоскость Выполняем проверку правильности определение реакции Аналогично Реакции определены, верно. Вычисляем изгибающие моменты в характерных сечениях: Строим эпюры Мz и Му (рис. 1.6, а,б) Рис. 1.6 4.

Находим максимальные напряжения в сечении С: Максимальное напряжение в сечении D Видим, что опасным является сечение D 5. Устанавливаем положение нейтральной линии в сечении С. Используем формулу (1.4): Отсюда находим угол наклона β нейтральной линии: β=25є30’ (отсчитывается от оси Z). 6. Направление полного перемещения перпендикулярно к нейтральной линии (отсчитывается таким же углом β=25є30’ от оси У (рис. 1.5)). 7. Найдём вертикальную составляющую ∆у полного перемещения (рис. 1.5).

Для этого используем интеграл Мора и формулу Верещагина. 12 Приложим к сечению С единичную силу и построим эпюру единичных моментов (рис 1.6, в). Тогда прогиб в вертикальной плоскости: Аналогично определяются перемещения в горизонтальной плоскости где М 2 – эпюра изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в точке С параллельно оси Z (в горизонтальной плоскости): Полный прогиб определяем как геометрическую сумму прогибов в вертикальной и горизонтальной плоскостях: 1.6.

Изгиб с растяжением или сжатием Изгибом с растяжением (сжатием) называется такой вид сложного сопротивления, при котором в поперечном сечении стержня возникают продольная сила и изгибающий момент (моменты). Если на балку действуют силы, пересекающие ее ось, но не лежащие ни в одной из главных плоскостей, то имеет место сложный изгиб с растяжением или сжатием (рис. 1.8, а). При расчете прежде всего показываем расчётную схему (рис. 1.8, б) стержня.

Для этого разложим все нагрузки на составляющие по главным осям сечения (Z, У), продольной оси Х балки и построим эпюры внутренних усилий (рис. 1.8, в). Для других точек (например, точки D) нормальные напряжения будут определятся по формуле (1.6) т. е. знаки минус связаны с тем, что силовые факторы Мz и Му вызывают в точке D деформацию сжатие. Таким образом, если силовые факторы – продольная сила N, моменты Мz, Му вызывают в рассматриваемой точке сжатие, то вводится знак минус перед соответствующим членом уравнения, если растяжение, то плюс. С учетом этого формула (1.6) для нормальных напряжений имеет вид (1.7)

Для проверки прочности балки необходимо найти опасную точку в сечении, в которой нормальные напряжения достигнут максимальной величины.

Опасные точки в сечении определяются по положению нейтральной линии. Это точки наиболее удалённые от нее. Рис. 1.8 При выводе уравнения нейтральной линии введём условность: главные центральные оси (У, Z) направлять таким образом, чтобы в первом квадранте складывались напряжения одного и того же знака (рис. 1.8, г). Эта условность позволяет при записи уравнения нейтральной линии опустить знаки перед составляющими в формуле (1.7).

С учётом этого уравнение нейтральной линии имеет вид (1.8) где у0 и z0 – координаты точек, лежащих на нейтральной линии. Из формулы (1.8) видим, что нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения и представляет собой прямую, отсекающую отрезки на осях координат. Отрезки, отсекаемые ею на осях координат: при 0 , (1.9) Знак минус в формуле (1.9) означает, что отрезки должны быть отложены в сторону, противоположную направлению главных центральных осей Z, Y.

Для сечения (рис. 1.9) наиболее опасными точками являются точка В и точка D. Рис. 1.9 Для хрупких материалов опасных точек в сечении две – это точки В и D как наиболее удалённые от нейтральной оси. В этом случае условие прочности для двух опасных точек где индекс " р ” – означает растяжение, "c” – сжатие. 1.7. Внецентренное растяжение или сжатие стержней большой жесткости. 16 Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором равнодействующая внешних сил параллельна оси стержня, но смещена относительно этой оси. Точка приложения силы называется полюсом п (рис. 1.10,а).

Расстояние l от полюса до центра тяжести сечения называется эксцентриситетом силы. Эксцентриситеты силы (zр и ур) относительно главных осей У и Z являются координатами полюса. Рис. 1.10 Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) силой Р в поперечных сечениях возникают три внутренних силовых фактора, постоянных по длине стержня (рис. 1.10, б): Следовательно, внецентренное растяжение (сжатие) представляет собой совокупность изгиба и осевого растяжения (сжатия).

Нормальные напряжения в произвольной точке какого-либо сечения с координатами z, у определяются по формуле, аналогично формуле (1.7) где знаки слагаемых можно определить, исходя из характера деформации, также как при изгибе с растяжением (сжатием). Подставив сюда выражение (1.10), получим Из раздела "Геометрические характеристики плоских сечений” известно, что где iz и iу – радиусы инерции сечения. Подставив (1.12) в (1.10), получим формулу для определения нормальных напряжений в этом виде: Уравнение нейтральной линии находим из условия, что σ = 0, тогда где у и z – координаты текущей точки нейтральной линии.

Из выражения (1.14) видно, что нейтральная линия не проходит через начало координат, и ее положение удобнее находить по отрезкам, отсекаемым ею на координатных осях (рис. 1.11), либо по формуле (1.9). (1.15) Формулы (1.15) показывают, что отрезки ay иaz имеют знаки, противоположные координатам точки приложения ур и zр. Так, если внешняя сила Р приложена в точке первого квадранта, то нейтральная линия отсекает отрезки ay и z a в третьем квадранте (рис. 1.12).

Чем ближе полюс к центру тяжести сечения, тем дальше от него нейтральная линия и наоборот. Рис. 1.12 Зная положение нейтральной линии и определив координаты опасных точек уоп и zоп, как наиболее удаленных от неё, можно записать формулы для нормальных напряжений в этих точках и условие прочности (1.16) В случае, представленном на рис. 1.11, опасными являются точки В и D. 1.8. Ядро сечения 19 Существуют некоторые материалы, которые плохо сопротивляются растяжению (кирпич, камень, бетон и т.п.).

Для рационального проектирования конструкций из таких материалов необходимо, чтобы в сечениях элементов не появлялись растягивающие напряжения. Этого можно добиться, если точка приложения силы будет размещена в некоторой области вокруг центра тяжести сечения, называемой ядром сечения. Ядро сечения характеризуется тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения нормальные напряжения одного знака.

Для построения ядра сечения рекомендуется задавать возможные положения нейтральной линии так, чтобы она касалась контура сечения, не пересекая его, и находить соответствующую точку приложения силы, соответствующую одной из вершин ядра сечения. При повороте нейтральной линии вокруг угла контура сечения точки полюса будут находиться на линии, соединяющей вершины ядра. 1.9. Пример построения ядра сечения Рассмотрим методику построения ядра сечения на примере прямоугольной фигуры (рис. 1.13). Рис. 1.13

Сечение имеет размеры В Ч Н; его геометрические характеристики Пусть нейтральная линия занимает положение 1-1, тогда отрезки, отсекаемые ею на координатных осях, По формуле (1.15) найдём координаты первой точки (приложения силы (вершины ядра сечения)): Если повторить подобные рассуждения для положенной нейтральной линии 2- 2, 3-3 и 4-4, то получим координаты точек 2, 3 и 4. Соединив эти точки прямыми линиями, получим ядро сечения для прямоугольника.

Таким образом, ядро сечения имеет форму прямоугольника, содержащего столько строк, сколько касательных можно провести к данному сечению. Пример 1.2 Колонна, поперечное сечение которой показано на рис.1.14, нагружена сжимающей силой Р=240кН, приложенной в точке К. Размеры сечения В1=16 см, Н1=4 см, В2=2 см, Н2=20 см. Требуется: 1. Определить положение нейтральной линии. 2. Определить наибольше растягивающее и сжимающее напряжения. 3. Построить плоскую эпюру напряжений. 21 Рис. 1.14 Решение 1.

Вычисляем геометрические характеристики сечения: - Площади элементов сечения А1=16 ּ4=64 см2; А2=20 ּ2=40 см2; А=А1+ А2=64+40=104 см2; - Положение центра тяжести - Проводим центральную ось Z. - Расстояние между осями Z1, Z2 простых фигур и центральной осью Z: - Моменты инерции относительно центральных осей: - Квадраты радиусов инерции сечения: 2. Координаты полюса: 2. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат: 3. Проводим нейтральную линию в сечении (рис.1.15).

Опасные точки сечения: точка D – наибольшие сжимающие напряжения; координаты точки zD=-8,0 см; уD=-6,6 см; точка В – наибольшие растягивающие напряжения; 23 координаты точки zВ=8,0 см; уВ=-2,6 см. Рис. 1.15 5. Находим напряжения в опасных точках по формуле (1.16) Напряжения сжатия: Напряжения растяжения: 6. Строим эпюру напряжений (рис. 1.15). 24 1.10.

Изгиб с кручением стержней круглого сечения Это такой вид сложного сопротивления, когда в поперечных сечениях стержня (вала) возникают изгибающий и крутящий моменты. Сочетания изгиба с кручением стержней круглого поперечного сечения чаще всего встречается при расчёте валов. Силы, действующие на вал (давление зубчатых колёс или натяжение ремней, собственный вес шкивов и вала), вызывают в поперечных сечениях в общем случае крутящий момент (Мк), изгибающие моменты (Мz , Му) и поперечные силы (Qу , Qz) в двух плоскостях (рис. 1.16).

В поперечном сечении круглого стержня возникают нормальные напряжения от изгиба, а также касательные напряжения от кручения и изгиба. Вследствие малой величины касательными напряжениями от поперечных сил можно пренебречь. Для расчёта стержней круглого поперечного сечения прежде всего необходимо построить эпюры изгибающих и крутящих моментов от заданных внешних сил. Нагрузки раскладывают на составляющих вдоль координатных осей и строят эпюры изгибающих моментов Мz и Му (рис. 1.16).

Поскольку вал имеет круглое поперечное сечение, то любая ось, проходящая через центр тяжести его, является главной осью. Следовательно, при действии изгибающих моментов в разных плоскостях не будет косого изгиба, а будет происходить лишь плоский изгиб в плоскости действующего результирующего изгибающего момента ММM и zу 22 . (1.17) По эпюрам результирующего изгибающего и крутящего моментов (рис. 1.16, г, д) находят опасное сечение, где эти моменты достигают наибольшего значения. 25 Рис. 1.16

На участках вала, где линии, очерчивающие эпюры моментов, пересекают базовую ось в одной точке, эпюра результирующих моментов очерчивается прямой линией (крайний правый участок ВС). На участках CD и DE эпюра результирующих моментов очерчивается параболой, так как вышесказанное условие не соблюдается. Здесь силовые линии в каждом смежном сечении меняют своё положение. Рассмотрим произвольное сечение вала на расстоянии х от правого конца. В этом сечении (рис. 1.17), как следует из построенных эпюр, действуют изгибающие моменты Mz, M y, крутящий момент Mк и поперечные силы. Рис. 1.17

Наибольшие касательные напряжения при кручении в данном поперечном сечении действуют на поверхность вала и определяются по зависимости xam, где Mк крутящий момент в рассматриваемом сечении; полярный момент сопротивления; радиус сечения. Для сплошного круглого сечения . Наибольшее нормальное напряжение от результирующего изгибающего момента Ми определяется по зависимости Wи WzWy момент сопротивления при изгибе. Для круглого сечения Сопоставляя Wи с W , можно заметить, что WWи.

Точки, в которых действуют максимальные нормальные напряжения, находятся на пересечении границы контура (окружности) плоскостью результирующего изгибающего момента (рис. 1.18) Рис.1.18 27 Таким образом, наибольшие нормальные напряжения будут в точках В и D, а так же наибольшие касательные напряжения от кручения, а следовательно, и главные напряжения. Причем касательные напряжения действуют в плоскости поперечного сечения, а нормальные перпендикулярно сечению (рис. 1.19). Рис. 1.19

Ввиду того что нормальное и касательное напряжения взаимно перпендикулярны, материал испытывает плоское напряженное состояние, и расчет на прочность ведется с использованием теорий прочности. Третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений) и четвертая (энергетическая теория) используются для пластичных материалов, а теория Мора - для хрупких.

В соответствии с третьей теорией прочности условие прочности записывается через эквивалентные напряжения экв и имеет вид (1.20) а по четвертой теории прочности (1.21) Подставляя в эту формулу выражения для напряжений (1.19) и (1.18), получим где называют приведенным моментом по четвертой теории прочности. При расчете по третьей теории 28 Если вал выполнен из хрупкого материала, то следует пользоваться теорией прочности Мора:

Обратим внимание, что если материал пластичный, то тогда из (1.24) вытекает третья теория прочности. Пример 1.3 Стальной вал круглого поперечного сечения (рис. 1.20) вращается с постоянной скоростью и передает мощность N=81,2 кВт посредством зубчатого колеса с окружным усилием Р и шкива, усилия в ведущей и ведомой ветвях которого соответственно равны 2t и t. Ветви ремня параллельны друг другу и наклонены к горизонту под углом , а окружное усилие действует под углом β 0.

Частота вращения вала n 970 об/мин. Диаметр шкива D1=650 мм, диаметр зубчатого колеса D2=400 мм. Длины участков: l150 мм. Допускаемое напряжение []=100 МПа. Требуется: 29 1. Изобразить расчетную схему вала и перенести на нее все внешние силы и моменты (включая реакции опор). 2. Разложить окружное усилие и усилия ветвей ремня на составляющие в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Построить эпюры изгибающих и крутящих

Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов. 3. Установить опасное сечение вала и определить его диаметр, используя четвертую теорию прочности. 30 Рис. 1.20 Решение 1. Угловая скорость вращения вала 2. Крутящий момент, подаваемый на вал 3. Усилия, действующие на вал: 4 Нк. 4. Проекция внешних сил на координатные оси и реакции опор: плоскость XOУ: плоскость XOZ: 5.

Расчетная схема вала с нагрузками показана на рис. 1.20, б. 6. Находим значения изгибающих моментов в характерных сечениях и строим эпюры моментов: Эпюры изгибающих моментов МZ и M у показаны на рис. 1.20, в, г. 7. Строим суммарную эпюру изгибающих моментов Эпюра суммарных изгибающих моментов показана на рис. 1.20, д. Эпюра крутящих моментов – на рис. 1.3, е. 8. Опасным является левое опорное сечение, где Ми 1,618 м и 9.

Приведенный момент по четвертой теории прочности 10. Из условия прочности требуемая геометрическая характеристика Учитывая, что 0,1 3, найдем требуемый диаметр вала 11. Окончательно принимаем значение диаметра d в соответствии со стандартными значениями, которые в интервале от 50 до 100 мм кратные пяти, а в интервале от 100 и выше кратные десяти. Для нашего случая принимаем d5 5 мм.