Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Основные понятия и аксиомы статики

Под равновесием понимается состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам.

Абсолютно твердое тело - это тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается постоянным.

Чтобы твердое тело под действием некоторой системы сил находилось в равновесии (в покое), необходимо, чтобы эти силы удовлетворяли определенным условиям равновесия данной системы сил.

Основными задачами статики являются:

  • 1. Сложение сил и приведение системы сил, действующих на твердое тело, к простейшему виду.
  • 2. Определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

Состояние равновесия или движение тела зависит от характера его механических взаимодействий с другими телами.

Сила - это величина количественной меры механического взаимодействия материальных тел.

Рассматриваемые в механике величины разделяют на векторные и скалярные.

Скалярные величины характеризуются только численными значениями.

Векторные величины характеризуются численными значениями и направлением в пространстве.

Сила является векторной величиной и ее действие на тело определяется численной величиной, или мерой силы, направлением силы, точкой приложением силы.

Сила (в механике) измеряется в Ньютонах (Силы в теоретической механике).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Основные определения

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.

Совокупность сил, действующих на какое-либо тело называется системой сил.

Тело, не связанное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

Если одну систему сил, действующую на тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояние данной системы, то такие две системы сил называются эквивалентными.

Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покос, называется уравновешенной или эквивалентной нулю.

Равнодействующая сила - это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело.

Сила, равная равнодействующей силе по модулю, но противоположно направленная по той же прямой, называется уравновешивающей.

Силы бывают внешними и внутренними:

Внешние силы действуют со стороны других материальных тел.

Внутренние - это силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

Сила, приложенная к телу в какой-либо точке, называется сосредоточенной.

Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Формулы теоретической механики

Твердое тело теоретическая механика

Система сил теоретическая механика

Опоры и реакции по теоретической механике

Аксиомы статики

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств. Эти положение называются аксиомами статики.

  • Аксиома 1. Если на свободное, абсолютно твердое тело действуют две силы, то твердое тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы будут равны по модулю (Силы в теоретической механике) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.1). Следовательно, тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

Силы в теоретической механике

  • Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или отнять уравновешивающую систему сил.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом таково: действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Этим принципом можно пользоваться тогда, когда определяются условия равновесия той или иной конструкции и не рассматриваются возникающие в ее частях внутренние усилия. Следовательно, при определении внутренних усилий переносить точку приложения силы вдоль линии действия нельзя.

  • Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, изображаемую диагональю параллелограмма, построенную на этих силах как на сторонах (рис. 1.2).

Силы в теоретической механике

  • Аксиома 4. При всяком действии силы материального тела на другое имеет место такое же по величине, противоположное по направлению противодействие (рис. 1.3).

Силы в теоретической механике

  • Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Связи и их реакции

Тело, которое из данного положения может совершать любые перемещения в пространстве, называется свободным.

Тело, перемещению которого препятствуют другие скрепленные или соединенные с ним тела, называется несвободным.

Все то, что ограничивает перемещение данного тела в пространстве, называется связью.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется реакцией связи.

Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не даст перемещаться телу (при решении задач очень важно правильно определить направление реакций связи).

1. Гладкая поверхность или опора. Реакция Силы в теоретической механике гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке (рис. 1.4).

Силы в теоретической механике

2. Нить. Реакция Силы в теоретической механике натянутой нити направлена вдоль нити к точке ее подвеса (рис. 1.5).

Силы в теоретической механике

3. Цилиндрический шарнир. Реакция Силы в теоретической механике цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира (рис. 1.6).

4. Шаровой шарнир и подпятник. Реакция Силы в теоретической механике шарового шарнира и подпятника может иметь любое направление в пространстве (рис. 1.7).

Силы в теоретической механике

Аксиома связей. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей (рис. 1.8).

Силы в теоретической механике

Реакции связи - это исходные данные, которые необходимо знать при расчете конструкций на прочность.

Сложение сил. система сходящихся сил

Величина геометрической суммы сил называется главным вектором системы сил. Геометрическая сумма - это нсравнодсйствующая сил, т.е. для многих систем равнодействующих вообще не существует, а геометрическую сумму можно вычислить для любой системы сил.

Сложение двух сил

Геометрическая сумма Силы в теоретической механике двух сил Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике находится или по правилу параллелограмма или посредством построения силового треугольника (рис. L9).

Силы в теоретической механике

Модуль Силы в теоретической механике определяется как сторона Силы в теоретической механике треугольника Силы в теоретической механике из равенства

Силы в теоретической механике

где Силы в теоретической механике - угол между силами, Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Углы Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике находятся по теореме синусов. Учитывая, что Силы в теоретической механике получаем

Силы в теоретической механике

Сложение системы сил

Правило параллепипеда. Геометрическая сумма Силы в теоретической механике трех сил Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллепипеда (рис. 1.10), построенного на этих силах.

Геометрическая сумма любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Рассмотрим второй способ как наиболее простой.

Для нахождения суммы сил Силы в теоретической механике методом силового многоугольника выполняются следующие построения: все силы в выбранном масштабе откладываются последовательно одна за другой (рис. 1.11). Соединяя начало первого вектора с концом последнего вектора, получаем главный вектор (.геометрическую сумму слагаемых сил). В каком порядке откладываются силы, значения не имеет, так как величина R не изменится:

Силы в теоретической механике

Необходимо учесть, что при построении векторного многоугольника у всех векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону, а у вектора Силы в теоретической механике - в противоположную.

Силы в теоретической механике

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, получаем, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору Силы в теоретической механике) этих сил и приложенную в точке их пересечения.

Разложение сил

Разложение сил - это разложение равнодействующей силы на систему сил. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий.

Разложение силы по двум заданным направлениям. Для того чтобы разложить силу Силы в теоретической механике необходимо знать направление, по которым будет выполнено разложение.

Силы в теоретической механике

Например, по направлению прямых Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике Сила Силы в теоретической механике является диагональю в параллелограмме, а силы, на которые она раскладывается, сторонами этого параллелограмма. Аналогичное разложение можно выполнить с помощью силового треугольника (рис. 1.12).

Разложение силы по трем заданным направлениям. Решение этой задачи сводится к построению такого параллепипеда, у которого диагональю является данная сила Силы в теоретической механике а ребра параллельны заданным направлениям.

Пример. Кронштейн состоит из стержней Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике соединенных со стеной и друг с другом шарнирами. Силы в теоретической механике к шарниру Силы в теоретической механике подвешен груз весом Силы в теоретической механике Пренебрегая весом стержней, найти силу, сжимающую стержни. Реакции стержней направлены вдоль стержней (Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике). Приложим в точке Силы в теоретической механике силу Силы в теоретической механике и разложим по направлениям стержней Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Из треугольника Силы в теоретической механике получим, что

Силы в теоретической механике

Из того же треугольника найдем, что стержень Силы в теоретической механике растягивается с

Силы в теоретической механике

Далее рассмотрим проекцию силы на ось и на плоскость.

Силы в теоретической механике

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная величине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, сели перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси (совпадает по направлению), и знак минус, если в отрицательном (рис. 1.13).

Из вышесказанного определения следует, что проекции силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

Проекции силы на ось записываются с индексом, соответствующим данной оси:

Силы в теоретической механике

На рисунке видно, что

Силы в теоретической механике

Следовательно,

Силы в теоретической механике

Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Проекция силы будет положительной, если этот угол - острый, и отрицательной, если тупой.

Если сила перпендикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю. Проекцией силы на плоскость Силы в теоретической механике называется вектор Силы в теоретической механике заключенный между проекциями начала и конца силы Силы в теоретической механике на эту плоскость.

Силы в теоретической механике

Проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется численным значением и направлением в плоскости (рис. 1.14):

Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Аналитический способ задания сил

Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Силы в теоретической механике В механике пользуются правой системой координат.

Величины модуля силы Силы в теоретической механике углов Силы в теоретической механике которые сила образует с осями координат, определяют данную силу Силы в теоретической механике Точки приложения силы задаются координатами Силы в теоретической механике (рис. 1.15).

Силы в теоретической механике

Для решения задач статики более удобно задавать силу ее проекциями:

Силы в теоретической механике

Возведя равенство 1 почленно в квадрат и складывая их получим

Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Когда все рассматриваемые силы лежат в одной плоскости, то каждую из сил можно задать се проекциями на две оси Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Аналитический способ сложения сил

Сложение сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора силы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 1.16).

Если вектор силы

Силы в теоретической механике

то

Силы в теоретической механике

где Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Для любой системы сил равнодействующая (или главный вектор Силы в теоретической механике) будет равна Силы в теоретической механике Согласно теореме будем иметь следующее:

Силы в теоретической механике

Зная Силы в теоретической механике получим

Силы в теоретической механике

Формулы (1.1) и (1.2) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически. Для сил, лежащих в одной плоскости, формулы (1.1) и (1.2) примут вид

Силы в теоретической механике

Равновесие плоской системы сходящихся сил

Твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешивающие внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение «по инерции». Например, поступательное равномерное или прямолинейное движение тела. Отсюда можно сделать следующие выводы:

  • 1. Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».
  • 2. В покос тело будет находиться лишь в том случае, если оно было в покос и до момента приложения к нему уравновешенных сил.
  • 3. Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сил была равна нулю.
  • 4. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.

Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут.

Аналитическое условие равновесия. Так как Силы в теоретической механике то равнодействующая Силы в теоретической механике только в том случае, когда

Силы в теоретической механике

или

Силы в теоретической механике

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю:

Силы в теоретической механике

Теорема о трех силах. Если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке.

При решении задач о равновесии несвободного тела реакции наложенных связей являются величинами неизвестными. Соответствующая задача статики может быть решена только тогда, когда число неизвестных реакций связей не превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции. Такие задачи называются статически определимыми.

Задачи, в которых число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции, называются статически неопределимыми (рис. 1.17).

Силы в теоретической механике

Например, груз подвешен на трех стержнях. В этом случае для плоской системы сходящихся сил можно составить только два уравнения равновесия, а неизвестных усилий будет три. Поэтому данная система статически неопределима.

Момент силы относительно центра или точки

Под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра.

Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом.

Моментом силы Силы в теоретической механике относительно центра Силы в теоретической механике называется произведение модуля силы на длину плеча, взятое с соответствующим знаком (рис. 1.18):

Силы в теоретической механике
где Силы в теоретической механике - плечо, т.е. перпендикуляр, опущенный из центра Силы в теоретической механике на линию действия силы, или наикратчайшее расстояние от центра до линии действия сиы.

Силы в теоретической механике

Правило знаков для момента. Момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки.

Момент имеет знак минус, если сила стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки.

Основные свойства момента силы:

  • 1. Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
  • 2. Момент силы относительно центра Силы в теоретической механике равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр Силы в теоретической механике (плечо равно нулю).

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Силы в теоретической механике

Силы в теоретической механике

Аналитические условия равновесия сходящихся сил можно выразить не только через проекции этих сил, но и через моменты (рис. 1.19). На основании теоремы Вариньона можно записать еще одну форму условий равновесия плоской системы сходящихся сил:

Силы в теоретической механике

где Силы в теоретической механике и Силы в теоретической механике - любые точки, не лежащие на одной прямой с точкой Силы в теоретической механике в которой сходятся силы.