Сходимость знакочередующихся рядов

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Знакочередующиеся ряды

Абсолютная и не абсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда.

Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов

Знакопеременный сходящийся ряд (1) называется неабсолютно сходящимся, если ряд (2) расходится.

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящейся.

Знакочередующийся ряд (знаки членов которого строго чередуются) сходится,

если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т. е. если (Признак Лейбница.) " я-+в)

При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:

Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда* суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Примеры с решением

Пример 1.

Исследовать сходимость знакопеременного ряда. (Определить, является ли он абсолютно сходящимся, неабсолютно сходящимся или расходящимся.)

Решение: 

1) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или неабсолютно,

исследуем ряд с положительными членами составленный из абсолютных значений членов данного ряда. Применяя интегральный признак

заключаем, что ряд с положительными членами расходится.

Следовательно, данный ряд 1) сходится иеабсолютно.

2) Заменим члены данного знакопеременного ряда, где.

любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученныи ряд с положительными членами. Сравним его

с геометрической бесконечно убывающей прогрессией которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена геометрической прогрессии: Поэтому согласно признаку сравнения

ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд 2) сходится абсолютно.

3) Члены данного знакочередующегося ряда убывают по

абсолютному значению, стремясь к нулю:

Поэтому согласно признаку Лейбница он сходится. Ряд составленный из абсолютных значений членов данного ряда, также сходится согласно интегральному признаку

Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся. 4) Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: не существует [см. решение задачи 38(3)].

Вследствие этого он расходится.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Сходимость функционального ряда

Знакочередующиеся ряды

Неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл: примеры решения

Пример 2.

Проверить, что знакочередующийся ряд сходится и вычислить приближенное значение его суммы с точностью до 0,01.

Решение: 

Проверяем сходимость ряда по признаку Лейбница: убеждаемся, что его члены убывают по абсолютному

значению и что

Далее вычисляем несколько последовательных первых членов данного ряда, пока не получим такой член, абсолютное значение которого меньше 0,01:

Согласно указанному выше свойству знакочередующихся сходящихся рядов для вычисления суммы данного ряда с точностью до 0,01 достаточно взять сумму четырех его первых членов:

Знакочередующиеся ряды

Теорема 9 (Лейбниц). Если последовательность убывает и стремится к нулю, т. е.

то ряд

сходится, причем, если то

при любом выполняется неравенство

Прежде всего отметим, что из условия (30.31) следует, что

в силу чего члены ряда (30.32) поочередно то то

Ряды вида (30.32) при называются знакочередующимися. Частичные суммы с четными номерами ряда (30.32) возрастают и неотрицательны. В самом деле,

ибо в силу убывания последовательности значения всех выражений, стоящих в круглых скобках, неотрицательны. Кроме того, последовательность ограничена сверху:

ибо

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел

при этом из неравенств (30.35) и (30.36) следует, что (рис. 123)

Покажем, что тот же предел имеет и последовательность частичных сумм с нечетными номерами. Действительно,

поэтому

Из (30.37), (30.39) следует, что последовательность всех частичных сумм ряда (30.32) имеет конечный предел т. е. этот ряд сходится, и является его суммой. Докажем неравенство (30.33). Имеем

где в правой части стоит ряд Применив к нему неравенство (30.38), получим

поэтому

Пример 3.

Ряд сходится. Это сразу следует из теоремы 9. n=1

Решение: 

Выше (см. следствие теоремы 6 в п. 30.4) было показано, что если у двух знакопостоянных рядов

их члены эквивалентны: (см. (30.22)), то они одновременно сходятся или расходятся. Для не знакопостоянных рядов аналогичное утверждение уже не имеет места. Например, если

то

т. е. Однако в силу признака Лейбница ряд

сходится, а ряд расходится, ибо расходится гармонический ряд

Очевидно, что Таким образом, добавляя к членам ряда бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с членами ряда, можно изменить сходимость ряда: из сходящегося ряда получить расходящийся.