Схема построения графика функции

Содержание:

  1. Направления выпуклости кривой
  2. Теорема:

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

Схема построения графика функции

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

возможных схем исследования функции и построения се графика разлагается на следующие этапы решения задачи: 1. Область определения функции (О.О.Ф.). 2. Точки разрыва функции, их характер. Вертикальные асимптоты. 3. Четность, нечетность, периодичность функции. 4. Точки пересечения графика с осями координат. 5. Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимптоты. 6. Интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума. 7.

Направления выпуклости кривой

Точки перегиба. 8. График функции. Пример 1. Построить график функции у = 1 . (верэиора или локон Марии Аньеэи). — вся числовая ось. 2. Точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет. 3. Функция четная: , так что график ее симметричен относительно оси Оу\ непериодическая.

Из четности функции следует, что достато^о построить ее график на полупрямой х ^ О, а затем зеркально отразить его в оси Оу. 4. При х = 0 имеем Ух, так что график функции лежит в верхней полуплоскости у > 0. Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных что график имеет горизонтальную асимптоту у = О, наклонных асимптот нет.

Так то функция возрастает при и убывает, когда. Точка х = 0 — критическая. При переходе х через точку х = 0 производная у'(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка х = 0 — точка максимума, y(Q) = I. Результат этот достаточно очевиден: /(х) = T^IV*. Вторая производная обращается в нуль в точках х = . Исследуем точку х = 4- (далее соображение симметрии). При имеем . кривая выпукла вниз; при получаем (кривая выпукла вверх). Следовательно, точка х = = — — точка перегиба графика функции.

Результаты исследования сведем в таблицу: Точка перегиба max Точка перегиба В таблице стрелка •У» указывает на возрастание функции, стрелка «\» — на ее убывание. График функции изображен на рис. 33. Пример 2. Построить график функции (трезубец Ньютона). — вся числовая ось, исключая точку 2. Точка разрыва функции . Имеем так что прямая х = 0 — вертикальная асимптота. 3. Функция не является ни четной, ни нечетной [функция общего положения), непериодическая.

Полагая получаем график функции пересекает ось Ох в точке (-1,0). наклонных и гори- зонтальных асимптот нет. откуда критическая точка. Вторая производная функции в точке , так что х = — точка минимума. Вторая производная обращается в ууль в точке и меняет свой знак при переходе через эту точку. Следовательно, точка — точка перегиба кривой. Для ) имеем е. выпуклость кривой направлена вниз; для -I имеем . выпуклость кривой направлена вверх.

Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Точка перегиба Не существует. Вертикальная асимптота торая производная обращается в нуль при х = е,/2. и при переходе х через эту точку у" меняет знак Следовательно, — абсцисса точки перегиба кривой. Результаты исследования сводим в таблицу: Точка перегиба. График функции изображен на рис. 37. Пример 4. Построить график функции вся числовая ось, исключая точку Точка точка разрыва 2-го рода функции. Так как Km . то прямая вертикальная асимптота графика функции.

Функция общего положения, непериодическая. Полагая у = 0, имеем , откуда так что график функции пересекает ось Ох в точке Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту Из условия получаем — критическая точка. Вторая производная функции у" = Д > 0 всюду в области определения, в частности, в точке — точка минимума функции. 7. Поскольку , то всюду в области определения функции выпуклость ее графика направлена вниз. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует. х = 0 -вертикальная асимптота График функции изображен на рис. Пример 5.

Построить график функции вся числовая ось.

2. Непрерывна всюду. Вертикальных асимптот нет. 3. Общего положения, непериодическая. 4. Функция обращается в нуль при 5. Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту Производная обращается в нуль в точке и не существует при . При переходе х через точку ) производная не меняет знак, так что в точке х = 0 экстремума нет. При переходе точки х через точку производная ) меняет знак с « + » на Значит в функция имеет максимум.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Приложения двойных и тройных интегралов
Линии применяемые на чертеже
Оптимальность по Парето. Множество. Метод идеальной точки
Координаты и компоненты вектора

 

При переходе х через точку х = 3 (х > I) производная у'(х) меняет знак т. е. в точсе х = 3 функция имеет минимум. 7. Находим вторую производную Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Вторая производная у"(х) не существует в точке х = 0 и при переходе х через точку х = 0 у" меняет знак с • + • на так что точка (0,0) кривой — точка перегиба с вертикальной касательной.

В точке х = 3 перегиба графика нет. Всюду в полуплоскости х > 0 выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует Не существует Точка перегиба (0.0) с вертикальной касательной График функции представлен на рис. 39. §7. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Для отыскания точек максимума и минимума функций может быть использована формула Тейлора.

Теорема:

Пусть функция /(х) в некоторой окрестности точки xq имеет производную п-го порядка, непрерывную в точке хо- Пусть 0. Тогда если число п — нечетное, то функция f{x) в точке х0 не имеет экстремума; когда же п — четное, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если /(п)(х0) < 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, что в интервале , разность - /(х0) сохраняет знак.

По формуле Тейлора как по условию , то из (1) получаем 1оусловию/(п*(г) непрерывна вточкего и Ф Поэтому в силуустойчивости нака непрерывной функции существует такое , что в интервале () не меняется и совпадает со знаком /(п)(хо). Рассмотрим возможные случаи: 1) п — четное число и / Тогда I потому в силу (2) .

Согласно определению это означает, что точка го есть точка минимума функции /(г). 2) п — четное и. Тогда будем иметь i вместе с этим и Поэтому точка го будет в этом :лучае точкой максимума функции /(г). 3) п — нечетное число, /- Тогда при х > х0 знак >удет совпадать со знаком /(п)(го), а при г го будет противоположным. Поэтому 1ри сколь угодно малом 0 знак разности /(г) - /(го) не будет одним и тем же 1ля всех х е (го - 6, го + £). Следовательно, в этом случае функция /(г) в точке го жстремума не имеет.

Пример. Рассмотрим функции Л Легко видеть, что точка х = 0 является критической точкой обеих функций. Для функции у = х4 первая из отличных от нуля производных в точке х = 0 есть производная 4-го порядка: Таким образом, здесь п = 4 — четное и . Следовательно, в точке х = 0 функция у = х4 имеет минимум. Для функции у = х} первая из отличных от нуля в точке х = 0 производных есть производная 3-го порядка. Так что в этом случае п = 3 — нечетное, и в точке х = 0 функция у = х3 экстремума не имеет. Замечание.

С помошью формулы Тейлора

можно доказать следующую теорему, выражающую достаточные условия точки перегиба. 'еорема 12. Пусть функция /(г) в некоторой окрестности точки г0 имеет производп-го порядка, непрерывную в точке xq. Пусть , но /(п)(*о) Ф 0- Тогда, если п — нечетное число, то точка Мо(х0, f(xо)) есть точка перегиба графика функции у = f(x). Простейший пример доставляет функция . §8.

Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Задача состоит в нахождении действительного корня уравнения Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]; 2) числа /(а) и f{b) противоположны по знаку: 3) на отрезке [а, 6] существуют производные f'(x) и f"(x), сохраняющие на этом отрезке постоянный знак. Из условий 1) и 2) в силу теоремы Больцано—Коши (с. 220) следует, что функция /(ж) обращается в нуль по крайней мере в одной точке £ € (а, Ь), т. е. уравнение (1) имеет по крайней мере один действительный корень £ в интервале (а, 6).

Так как в силу условия 3) производная /'(х) на [а, Ь\ сохраняет постоянный знак, то f(x) монотонна на [а, Ь] и поэтому в интервале (а, Ь) уравнение (1) имеет только один действительный корень Рассмотрим метод вычисления приближенного значения этого единственного действительного корня £ € (а, 6) уравнения (I) с любой степенью точности. Возможны четыре случая (рис. 40): 1) Рис. 40 Возьмем для определенности случай, когда f\x) > 0, f"(x) > 0 на отрезке [а, 6) (рис.41). Соединим точки А(а, /(а)) и В(Ь, f(b)) хордой А В.

Это отрезок прямой, проходящей через точки А и В, уравнение которой Точка aj, в которой хорда АВ пересекает ось Ох, расположена между аи( и является лучшим приближением к чем а. Полагая в (2) у = 0, найдем Из рис. 41 нетрудно заметить, что точка а\ будет всегда расположена с той стороны от в которой знаки f(x) и f"(x) противоположны. Проведем теперь касательную к кривой у = /(х) в точке B(b, f(b)), т. е. в том конце дуги ^АВ, в котором f(x) и /"(я) имеют один и тот же знак. Это существенное условие: без его соблюдения точка пересечения касательной с осью Ох может вовсе не давать приближение к искомому корню.

Точка Ь\, в которой касательная пересекает ось Ох, расположена между £ и b с той же стороны, что и 6, и является лучшим приближением к чем Ь. Касательная эта определяется уравнением Полагая в (3) у = 0, найдем Ь\: Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Таким образом, имеем Пусть абсолютная погрешность приближения С корня £ задана заранее. За абсолютную погрешность приближенных значений aj и 6, корня £ можно взять величину |6i - ai|.

Если эта погрешность больше допустимой, то, принимая отрезок за исходный, найдем следующие приближения корня где . Продолжая этот процесс, получим две последовательности приближенных значений Последовательности {ап} и {bn} монотонные и ограниченные и, значит, имеют пределы. Пусть Можно показать, что если выполнены сформулированные выше условия 1 единственному корню уравнения / Пример. Найти корень ( уравнения г2 — 1=0 на отрезке [0,2). Результат очевиден: . Попытаемся его получить методом хорд. Функция /(х) = х2 - 1 1) непрерывна на отрезке [0, 2); сохраняют знак на отрезке [0, 2].

Таким образом, выполнены все условия, обеспечивающие существование единственного корня ( уравнения х2 - 1 = 0 на отрезке [0, 2]. и метод должен сработать. 8 нашем случае а = 0, b = 2. При п = I из (4) и (5) находим При п = 2 получаем что дает приближение к точному значению корня ( с абсолютной погрешностью Упражнения Постройте графики функций: Найдите наибольшее и наименьшее значение функций на заданных отрезках: Исследуйте поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков: Ответы