Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Содержание:

  1. Понятие о сечениях геометрических тел
  2. Сечение призмы плоскостью
  3. Сечение цилиндра плоскостью
  4. Сечение пирамиды плоскостью
  5. Сечение прямого кругового конуса плоскостью
  6. Развертка сферической поверхности

Разверткой (выкройкой) поверхности тела называется плоская фигура, полученная путем совмещения всех точек данной поверхности с плоскостью без разрывов и складок. Построение разверток выполняется обычно графическими приемами, с применением способов, предлагаемых начертательной геометрией.

Понятие о сечениях геометрических тел

Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геомет­рические поверхности, рассеченные плоскостями (рис. 175). Кроме того, иногда необходимо выпо­лнить развертки поверхности полых деталей, усе­ченных плоскостью. Это применяется в раскрое листового материала, из которого изготовляются полые детали. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, венти­ляционных устройств, кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. (рис. 176)

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 175

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 176

Построения прямоугольных и аксонометричес­ких проекций усеченных тел, а также определе­ние истинного вида сечений и разверток повер­хностей геометрических тел часто используются на практике.

Рассекая геометрическое тело плоскостью, по­лучают сечение — ограниченную замкнутую линию. все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.

При пересечении плоскостью многогранника (например, призмы, пирамиды) в сечении получа­ется многоугольник с вершинами, расположенны­ми на ребрах многогранника. При пересечении плоскостью тел вращения (например, цилиндра, конуса) фигура сечения часто ограничена кривой линией. Точки этой кривой находят с помощью вспомогательных линий — прямых или окружнос­тей, взятых на поверхности тела. Точки пересечения этих линий с секущей плоскостью будут искомыми точками контура криволинейного сече­ния.

Пример сечения плоскостью Р геометрического тела — куба, лежащего на горизонтальной плос­кости проекции Н, показан на рис. 177.

В первом случае (рис 177, а) куб усечен фронтально-проецирующей плоскостью Р. Фигурой сечения является прямоугольник.

При построении двух проекций такого сечения (рис. 177, б) следует иметь в виду, что фронталь­ная проекция фигуры сечения совпадает с фрон­тальным следом секущей плоскости РV.

Горизонтальная проекция фигуры сечения — прямоугольник.

Во втором случае (рис. 177, в) куб усечен горизонтально-проецирующей плоскостью Р. Фигура сечения — прямоугольник.

На рис. 177, г приведено построение проекции этого сечения. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальным следом РН секущей плоскости. Фронтальной проекцией сече­ния будет прямоугольник, одной стороной которо­го является линия пересечения плоскости Р с плоскостью передней грани куба.

Если куб пересечен плоскостью общего положе­ния (рис. 177, д, е), то полученная фигура сече­ния в данном случае (треугольник) проецируется на плоскости проекции V и H с искажением.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 177

Сечение призмы плоскостью

Фигура сечения прямой пятиугольной приз­мы фронтально -проецирующей плоскостью Р (рис. 178, а) представляет собой плоский пяти­угольник 12345.

Для построения проекций фигуры сечения на­ходят проекции точек пересечения плоскости Р с ребрами призмы и соединяют их прямыми линия­ми. Фронтальные проекции этих точек получают­ся при пересечении фронтальных проекций ребер призмы с фронтальным следом PV  секущей плос­кости Р (точки 1’...5').

Горизонтальные проекции точек пересечения 1...5 совпадают с горизонтальными проекциями ребер. Имея две проекции этих точек, с помощью линий связи находят профильные проекции 1''5''. Полученные точки 1''5'' соединяют пря­мыми линиями и получают профильную проекцию фигуры сечения.

Действительный вид фигуры сечения можно определить любым из способов: вращения, совме­щения или перемены плоскостей проекций (см. гл. 15).

В данном примере (рис. 178, а) применен способ перемены плоскостей проекций. Гори­зонтальная плоскость проекций заменена но­вой Н1, причем ось х1 (для упрощения по­строений) совпадает с фронтальным следом плоскости Р.

Для нахождения новой горизонтальной проек­ции какой-либо точки фигуры сечения (например, точки 1) необходимо выполнить следующие по­строения. Из точки 1 восставляют перпендику­ляр к новой оси х1 и откладывают на нем расстоя­ние от прежней оси х до прежней горизонтальней проекции точки 1, т.е. отрезок п. В результате получают точку 1(). Так же находят и новые гори­зонтальные проекции точек 2...5. Соединив пря­мыми линиями новые горизонтальные проекции 1().5о , получают действительный вил фигуры се­чения.

Разверткой называется плоская фигура, полу­ченная при совмещении поверхности геометричес­кого тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Развертку боковой поверхности (рис. 178, б) с основанием и фигурой сечения призмы строят следующим образом. Проводят прямую, на кото­рой откладывают пять отрезков, равных длинам сторон пятиугольника, лежащего в основании призмы. Из полученных точек проводят перпен­дикуляры, на которых откладывают действитель­ные длины ребер усеченной призмы, беря их с фронтальной или профильной проекции (рис. 178, а), получают развертку боковой повер­хности призмы.

К развертке боковой поверхности пристраивают фигуру нижнего основания — пятиугольник и фигуру сечения. При этом используют метод три­ангуляции (см. рис. 50, б) или метод координат, известный из геометрического черчения. На рис. 178, а показано построение вершины 5 метолом триангуляции. Линии сгиба по ГОСТ 2.303-68 показывают на развертке штрихпунктирной линией с двумя точками.

Для наглядности выполним построение усечен­ного тела в аксонометрической проекции. На рис. 178, в построена изометрическая проекция усеченной призмы. Порядок построения изометри­ческой проекции следующий. Строят изометричес­кую проекцию основания призмы; проводят в вертикальном направлении линии ребер, на кото­рых от основания откладывают их действительные длины, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы. Полученные точки сое­диняют прямыми линиями.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 178

Сечение цилиндра плоскостью

Построение сечения прямого кругового цилин­дра аналогично построению сечения призмы, так как прямой круговой цилиндр можно рассматри­вать как прямую призму с бесчисленным множес­твом ребер — образующих цилиндра (рис. 179, а).

Выполнение чертежа начинают с построения трех проекций прямого кругового цилиндра. На поверхности цилиндра проводят несколько равно­мерно расположенных образующих, в данном примере двенадцать. Для этого горизонтальную проекцию основания делят па 12 равных частей. С помощью линий связи проводят фронтальные проекции образующих цилиндра (рис. 179, а).

Из комплексного чертежа видно, что плоскость Р пересекает не только боковую поверхность, но и верхнее основание цилиндра. Как известно, плоскость, расположенная под углом к оси цилин­дра, пересекает его по эллипсу. Следовательно, фигура сечения в данном случае представляет собой часть эллипса (рис. 179, в).

Фронтальная проекция фигуры сечения совпа­дает с фронтальным сладом РV плоскости Р. Гори­зонтальная проекция этой фигуры совпадает с горизонтальной проекцией основания цилиндра.

Профильная проекция фигуры сечения пред­ставляет собой проекцию части эллипса и может быть построена по нескольким точкам, которые строятся с помощью линий связи по горизонталь­ной и фронтальной проекциям фигуры сечения. Полученные таким образом профильные проекции точек фигуры сечения соединяют кривой по лекалу.

Действительный вид фигуры сечения получен на рис. 179, а способом перемены плоскостей про­екций. Горизонтальная плоскость проекций заме­нена новой. Новая ось проекций x1 может быть проведена параллельно следу РV на произвольном расстоянии, но для упрощения построений она выполнена совпадающей с РV (аналогично рис 178). От оси x1 откладывают отрезки 5'50 = 55x, 4'40 = 44x, т.е. отрезки т, п и т.д., так как расстояние от новой проекции этой точки до но­вой оси проекций равно расстоянию от прежней проекции этой точки до прежней оси проекции.

Развертка боковой поверхности усеченного цилиндра с основанием и фигурой сечения пока­зана на рис. 179, б.

Для построения развертки боковой поверхности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности основания, равную πD и делят ее на 12 равных частей. Из точек деления восставляют перпендикуляры к отрезку πD, на них откладыва­ют действительные длины образующих цилиндра от основания до секущей плоскости Р, которые взяты с фронтальной или профильной проекции цилиндра. Полученные точки 11—91 соединяют по лекалу плавной кривой. Затем фигуру сечения соединяют с частью верхнего основания цилиндра, ограниченного хордой l191 (сегмент), а фигуру нижнего основания цилиндра (окружность) соеди­няют с нижней частью развертки.

Изометрическую проекцию усеченного цилин­дра строят следующим образом (рис. 179, в). Сна­чала строят изометрию нижнего основания (овал) и части верхнего основания — сегмента (часть овала). На диаметре окружности нижнего основа­ния от центра О' откладывают отрезки а, b и т.д., взятые с горизонтальной проекции основания. Затем из намеченных точек проводят прямые, параллельные оси цилиндра до пересечения с осью эллипса.

Через полученные точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрез­ки, взятые с действительного вида сечения. Полу­ченные точки соединяют но лекалу. Заканчивают построение проведением очерковых образующих, касательных к основаниям — овалам.

Пылесборник машины для очистки литых дета­лей (рис. 179, г) представляет собой усеченный цилиндр. Форма крышки А трубы пылесборника является фигурой сечения прямого кругового ци­линдра и представляет собой эллипс.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 179

Сечение пирамиды плоскостью

Правильная шестиугольная пирамида, пересе­ченная фронтально-проецирующей плоскостью Р, показана на рис 180.

Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным сле­дом РV плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, кото­рые являются точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды.

Действительный вид фигуры сечения в этом примере определяется способом совмещения.

Развертка боковой поверхности усеченной пи­рамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рис. 180, б.

Сначала строят развертку неусеченной пирами­ды, все грани которой, имеющие форму треуголь­ника. одинаковы. На плоскости намечают точку s1 (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s''e'' или s''b'', так как зги ребра парал­лельны плоскости W и изображаются на ней дей­ствительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, например а1, откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника — основания пира­миды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок ab).Точки а1… f1 соединяют прямыми с вершиной s1. Затем от вершины а1 на этих пря­мых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.

На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков — s''5 и s''2. Действительные длины ос­тальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершину s. Например, повер­нув отрезок s''6" около оси до положения, парал­лельного плоскости W, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку 6" провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребра SE или SB. Отрезок s''6" 0 (см. рис. 180).

Полученные точки 11, 21, 31 и т.д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.

Построение изометрической проекции усечен­ной пирамиды начинают с построения изометри­ческой проекции основания пирамиды по разме­рам, взятым с горизонтальной проекции комплек­сного чертежа. Затем на плоскости основания по координатам точек 1...6 строят горизонтальную проекцию сечения (см. тонкие синие линии на рис. 180, а, в). Из вершин полученного шести­угольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фронтальной или профильной проекций призмы, на­пример, отрезки К1 К2, К3 И т.д. Полученные точки I...6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1...6  с вершинами шестиугольни­ка, основания пирамиды, получим изометричес­кую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 180

Пример сечения треугольной неправильной пирамиды фронтально-проецируемой плоскостью показан на рис. 181.

Все ребра на трех плоскостях проекций изображены с искажением. Горизонтальная проекция основания представляет собой его действительный вид, так как основание пирамиды расположено на плоскости Н.

Действительный вид 10, 20, 30 фигуры сечения получен способом перемены плоскостей проекций. В данном примере горизонтальная плоскость про­екций Н заменена новой плоскостью, которая параллельна плоскости Р\ новая ось х1 совмещена со следом (рис. 181, а).

Развертку поверхности пирамиды строят следу­ющим образом. Способом вращения находят дей­ствительную длину ребер пирамиды и их отрезков от основания до секущей плоскости Р.

Например, действительные длины ребра SC и его отрезка СЗ равна соответственно длине фрон­тальной проекции s'с' ребра и отрезка с'1 31 после поворота.

Затем строят развертку треугольной неправиль­ной пирамиды (рис. 181, в). Для этого из произвольной точки S проводят прямую, на которой откладывают действительную длину ребра SA. Из точки s делают засечку радиусом R1 равным действительной длине ребра SB ,а из точки А — засечку радиусом R2, равным стороне основания пирамиды AB, в результате чего получают точку b1 и грань s1b1а1 пирамиды. Затем из точек s и b1, как из центров, делают засечки радиусами, равными действительной длине ребра SC и его стороне ВС, и получают грань s1b1c1  пирамиды. Также строится грань s1с1а1.

От точек а1b1 и c1 откладывают действительные длины отрезков ребер, которые берут на фрон­тальной проекции (отрезки а'11'1, b'12'1 c'13'1). Используя метод триангуляции, пристраивают основание и фигуру cечения.

Для построения изометрической проекции усе­ченной пирамиды (рис. 181. б) проводят изомет­рическую ось х. По координатам т и п строят основание пирамиды АВС. Сторона основания АС параллельна оси х или совпадает с осью х. Как и в предыдущем примере, строят изометрическую проекцию горизонтальной проекции фигуры сече­ния 122232 (используя точки I, III и IV). Из этих точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают отрезки, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы К1, К2 и К3. Полу­ченные точки 1, 2. 3 соединяют прямыми между собой и с вершинами основания.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 181

Сечение прямого кругового конуса плоскостью

В зависимости от расположения секцией плос­кости Р относительно оси прямого кругового кону­са получаются различные фигуры сечения, ограниченные кривыми линиями.

Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р рассматривается на рис. 182. Основание конуса расположено на плос­кости Н. Фигура сечения в данном случае будет ограничена эллипсом.

Фронтальная проекция фигуры сечения распо­ложена на фронтальном следе плоскости Р (рис. 182. а).

Для построения горизонтальной проекции кон­тура фигуры сечения горизонтальную проекцию основания конуса (окружности) делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях прово­дят вспомогательные образующие. Сначала нахо­дят фронтальные проекции точек сечения 1'...12', лежащих на плоскости Р1. Затем с по­мощью линии связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей s2, прое­цируется на горизонтальную проекцию этой же образующей в точку 2.

Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу. Действи­тельный вид фигуры сечения в данном примере найден способом перемены плоскости проекции. Плоскость H заменяется новой плоскостью проек­ции H1.

На фронтальной плоскости проекции V фигура сечения — эллипс изображается в виде прямой 1'7', совпадающей с фронтальной проекцией секущей плоскости Р. Эта прямая 1'7’ является большой осью эллипса. Малая ось эллипса а'Ь' перпендикулярна к большой оси 1'7' и проходит через ее середину. Чтобы найти малую ось сече­ния, через середину большой оси 1'7' эллипса проводят горизонтальную плоскость N, которая рассечет конус по окружности, диаметр которой будет равняться малой оси эллипса (a0b0).

Построение развертки поверхности конуса (рис. 182, б) начинают с проведения дуги окружности радиусом, равным длине образующей кону­са из точки s0. Длина дуги определяется углом α:

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

где d диаметр окружности основания конуса; l — длина образующей конуса .

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s0. От вершины откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости Р.

Действительные длины этих отрезков находят, как и в примере с пирамидой, способом вращения около вертикальной оси, проводящей через вер­шину конуса. Так, например, чтобы получить действительную длину отрезка S2, надо из 2‘ про­вести горизонтальную прямую до пересечения в точке Ь' с контурной образующей конуса, являю­щейся действительной ее длиной.

К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.

Построение изометрической проекции усечен­ного конуса (рис. 182, в) начинают с построения основания—эллипса. Изометрическую проекцию любой точки кривой сечения находят с помощью трех координат, как показано на рис. 182, в.

На оси х откладывают точки I…VII, взятые с горизонтальной проекции конуса. Из полученных точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты z, взятые с фронтальной проекции. Через полученные на наклонной оси эллипса точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрезки 6080 и 40100,  взятые на действительном виде сечения.

Найденные точки соединяют по лекалу. Край­ние очерковые образующие проводят по каса­тельной к контуру основания конуса и эллипса.

Пример сечения прямого кругового конуса при­веден на рис. 182, г. Колпак сепаратора представ­ляет собой сварную конструкцию из тонкой лис­товой стали и состоит из двух конусов.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 182

Развертка сферической поверхности

Горизонтальную проекцию сферической поверхности делим горизонтально-проецирующими плоскостями на несколько равных частей (клинь­ев), например на 12 (рис. 183, а). Фронтальную проекцию сферы поверхности тоже делят на не­сколько равных частей (желательно на 12).

Через полученные точки деления II... VI прово­дят фронтально- проецирующие плоскости РV1… РV5 (рис. 183, а).

Для построения развертки сферической повер­хности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности диаметра D, равную πD (рис. 183, б). Полученный отрезок делят на 12 равных частей.

Через середину каждого деления проводят пер­пендикуляр и откладывают на нем отрезок IVII, равный 0.5 длине окружности диаметра D. Отрезок I—VII делят на 6 равных частей, через полу­ченные точки деления проводят горизонтальные прямые, на которых откладывают отрезки, равные 1/12 части окружности соответствующего радиуса, например, отрезок с1с2 соответствует 1/12 длине окружности радиуса I—II, взятого с горизонталь­ной проекции. Полученные точки соединяют по лекалу. Развертки остальных одиннадцати клинь­ев строят аналогично.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 183

На рис. 184 и 185 приведены примеры исполь­зования развертки сферической поверхности.

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 184

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Рис. 185

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Способы преобразования чертежа
  19. Кривые линии
  20. Кривые поверхности
  21. Трёхгранник Френе
  22. Проецирование многогранников
  23. Проецирование тел вращения
  24. Развёртывание поверхностей
  25. Проекционное черчение
  26. Проецирование
  27. Проецирование точки
  28. Проецирование отрезка прямой линии
  29. Проецирование плоских фигур
  30. Способы преобразования проекций
  31. Аксонометрическое проецирование
  32. Проекции геометрических тел
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы