Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

Ряды Лорана. Изолированные особые точки и их классификация

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Тейлора служат эффективным средством для изучения функций, аналитических в круге zol Для исследования функций, аналитических в кольцевой области, оказывается возможным построение разложений по положительным и отрицательным степеням (z - zq) вида обобщающим тейлоровские разложения. Ряд (1), понимаемый как сумма двух рядов называется рядом Лорана. Ясно, что областью сходимости ряда (1) является общая часть областей сходимости каждого из рядов (2).

Найдем ее. Областью сходимости первого ряда является круг радиус которого определяется по формуле Коши—Адамара Внутри круга сходимости ряд (3) сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса , он сходится абсолютно и равномерно. Второй ряд представляет собой степенной ряд относительно переменного Ряд (5) сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного m-*oo причем в любом круге меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно, ^го означает, что областью сходимости ряда (4) является внешность круга.

Если то существует общая область сходимости рядов (3) и (4) — круговое кольцо в котором ряд (1) сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце , он сходится абсолютно и равномерно. Пример 1. Определить область сходимости рада Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация М Область сходи мости первого ряда — внешность круга а область с ходи мости второго ряда — внутренность круга Тем самым, данный ряд сходится в колы»о Теорема 15.

Любую функцию f(z), однозначную и аполитичную в круговом котьце можно представить в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда коэффициенты Сп которого определены однозначно и вычисляются по формулам где 7р — окружность радиуса м Зафиксируем внутри кольца Я произвольную точку z. Построим окружности центрами в точке го, радиусы которых удовлетворяют неравенствам и рассмотрим новое кольцо По интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем Преобразуем отдельно каждый из интегралов в сумме (8).

Для всех точек £ по окружности 7д* выполняется соотношение де суммы равномерно сходящегося ряда 1 1 Поэтому дробь ^ можно представить в ви- /' / Умножая обе части на непрерывную функцию (О и проводя почленное интегрирование вдоль окружности , получим, что Преобразование второго интеграла проведем несколько по-иному.

Для всех точек £ на окружности ir> выполнено соотношение Поэтому дробь ^ можно представить в виде суммы равномерно сходящегося ряда Умножая обе части на непрерывную функцию ) и интегрируя почленно вдоль окружности 7/, получи м, что Заметим, что подынтегральные функции в формулах (10) и (12) являются аналитическими функциями в круговом кольце . Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся, если заменить окружности 7/г и 7г/ любой окружностью .

Это позволяет объединить формулы (10) и (12), Заменяя интегралы в правой части формулы (8) их выражениями (9) и (11) соответственно, получим нужное разложение Так как z — произвольная точка кольца , то отсюда следует, что ряд (14) сходится к функции f(z) всюду в этом кольце, причем в любом кольце ряд сходится к этой функции абсолютно и равномерно.

Докажем теперь, что разложение вида (6) единственно. Предположим, что имеет место еще одно разложение Тогда всюду внутри кольца R будем иметь На окружности ряды (15) сходятся равномерно. Умножим обе части равенства (где т — фиксированное целое число, и проинтегрируем оба ряда почленно. В результате получим в левой части , а в правой — Сщ. Таким образом, (4, = Ст. Так как m — произвольное число, то последнее равенство доказывает единственность разложения. Ряд (6), коэффициенты которого вычисляются поформулам (7), называется рядом Лорана функции f(z) в кольце.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Основные свойства гидростатического давления
Преобразование скорости и ускорения при переходе в другую систему отсчёта
Проведение проецирующей плоскости через прямую линию
Практические приемы расчета на сдвиг и смятие. Расчет болтовых соединений

Совокупность членов этого ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, а с отрицательными — его главной частью.

Формулы (7) для коэффициентов ряда Лорана на практике применяются редко, ибо, как правило, требуют громоздких вычислений. Обычно, если это возможно, используются готовые тейлоровские разложения элементарных функций. На основании единственности разложения любой законный прием приводит к одному и тому же результату. Пример 2. Рассмотреть разложения в ряд Лорана функции различных областях, приняв Фуисция /(г) имеет две особые точки: .

Следовательно, имеется три кольцевых области, с центром в точке го = 0. в каждой из которых функция /(г) является аналитической: а) круг кольцо внешность круга (рис.27). Найдем лорановские разложения функции /(z) в каждой из этих областей. Представим /(z) в виде суммы элементарных дробей а) Круг Преобразуем соотношение (16) следующим обра- Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получим Подставим найденные разложения в формулу (17): Это разложение является рядом Тейлора функции /(z). б)

Кольцо для функции —г остается сходящимся в этом кольце, так как Ряд (19) для функции j^j при |z| > 1 расходится. Поэтому преобразуем функцию /(z) следующим образом: вновь применяя формулу (19), получим, что Этот ряд сходится для . Подставляя разложения (18) и (21) в соотношение (20), получим в) Внешность круга для функции —г при |z| > 2 расходится, а ряд (21) для функ- Представим функцию /(z) в следующем виде: /<*> Используя формулы (18) и (19), получим ИЛИ 1

Эгот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) лорановское разложение, вообще говоря, имеет различный вид для разных колец. Пример 3. Найти разложение 8 ряд Лорана функции Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация а кольцевой области А Воспользуемся представлением функции f(z) в следующем виде: и преобразуем второе слагаемое Используя формулу для суммы членов геометричесхой прогрессии, получим Подставляя найденные выражения в формулу (22), имеем Пример 4.

Разложить в ряд Лорана функцию

в окреслюсти тонки zq = 0. Для любою комплексного имеем Положим Это разложение справедливо для любой точки z Ф 0. В данном случае кольцевая область представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z — 0. Эту область можно определить следующим соотношением: Данная функция является аналитической в области Из формул (13) для коэффициентов ряда Лорана такими же рассуждениями, что и в предыдущем параграфе, можно получить неравенства Kouiw.

если функция f(z) ограничена на окружности , где М — постоянная),то Изолированные особые точки Точка zo называется изолированной особой точкой функции / (z), если существует кольцевая окрестность точки (это множество иногда называют также проколотой окрестностью точки 2о), в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке zo функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции /(г) при приближении к точке zo различаются три типа особых точек.

Изолированная особая точка называется: 1) устранимой, если существует конечный 2) пмюсач, если 3) существенно особой точкой, если функция f(z) не имеет предела при Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции выколотым центром го. Теорема 16. Изолированная особая точка z0 функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в тач случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки zo не содержит главной части, т. е. имеет вид.

Пусть zo — устранимая особая точка. Тогда существует конечный , следо- вательно, функция f(z) ограничена впрокологой окрестности точки го, Положим В силу неравенств Коши Так как р моямо выбрать скольугодно малым, то все коэффициенты при отрицательных степенях (z - 20) равны нулю: Обратно, пусть лорановское разложение функции /(г) в окрестности точки zq содержит только правильную часть, т. е. имеет вид (23) и, следовательно, является тейлоровским. Нетрудно видеть, что при z —* z0 У фуниции /(г) существует предельное значение:

Теорема 17. Изолированная особая точка zq функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция J(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки zq, Згмечаи не. Пусть го — устранимая особая точка функции /(г). Полагая мы получим, чтофункция /(г) аналитична в некотором к руге с центром в точке го.

Это определяет название точки — устранимая. Теорема 18. Изолированная особая точка zq функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная частьлорановскогоразложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) числоотличных от нуля членов, т. е. имеет вид 4 Пусть z0 — полюс. Так как то существует проколотая окрестность точки z0, в которой функция f(z) аналитична и отлична от нуля.

Тогда в этой окрестности определена аналитическая функция причем Следовательно, точка zq является устранимой особой точкой (нулем) функции или где h(z) — аналитическая функция, h(z0) Ф 0. Тогда аналитична и h(zo) ф 0, то функция щ аналитична в окрестности точки zq, и следовательно, откуда получаем, что Предположим теперь, что функция f(z) имеет в проколотой окрестности точки zо разложение вида (24). Это означает, что в этой окрестности функция f(z) аналитична вместе с функцией . Для функции g(z) справедливо разложение из которого видно, что zq — устранимая особая точка функции g(z) и существует.

Тогда функция при 0 стремится — полюс функции Имеет место еще один простой факт. Точка Zq — полюс функции f{z) в том и только в том случае, когда функцию g(z) = ущ можно доопределить до аналитической функции в окрестности точки zq, положив g(z0) = 0. Порядком полюса функции f(z) называется порядок нуля функции jfa.

Из теорем 16 и 18 вытекает следующее утверждение. Теорема 19. Изолированная особая тонка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов. Пример 5. Особой точкой функции является zo = 0. Имеем Ряды Лорана Изолированные особые точки и их классификация.

Следовательно, zo = О — устранимая особая точка. Разложение функции /(z) в ряд Лорана в окрестности нулевой точки содержит только правильную часть: Пример7. /(г) = Особая точка функции f(z) есть zq = 0. Рассмотрим поведение этой функции на действительной и мнимой осях: на действительной оси при х 0, на мнимой оси Следовательно, ни конечного, ни бесконечного предела f(z) при z -* 0 не существ ует. Значит, точка го = 0 — существенно особая точка функции f(z). Найдем лорановское разложение функции f(z) в окрестности нулевой точки. Для любого комплексного С имеем Положим . Тогда Лорановское разложение содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z.