РГР по теории вероятности

Если у вас нет времени на выполнение заданий по теории вероятности, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в РГР по теории вероятностиwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

РГР по теории вероятности

РГР по теории вероятностиОтветы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:

РГР по теории вероятности

РГР по теории вероятностиСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

РГР по теории вероятностиКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

РГР по теории вероятностиЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

РГР по теории вероятностиМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

РГР по теории вероятностиКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

РГР по теории вероятностиКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

РГР по теории вероятностиВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

РГР по теории вероятности

РГР по теории вероятностиНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Теория вероятностей", если у вас есть желание и много свободного времени!

РГР по теории вероятности

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
  2. Классическое определение вероятности
  3. РГР 1.
  4. Решение:
  5. РГР 2.
  6. Решение:
  7. РГР 3.
  8. Решение:
  9. РГР 4.
  10. Решение:
  11. РГР 5.
  12. Решение:
  13. РГР 6.
  14. Решение:
  15. РГР 7.
  16. Решение:
  17. РГР 8.
  18. Решение:
  19. РГР 9.
  20. Решение:
  21. РГР 10.
  22. Решение:
  23. РГР 11.
  24. Решение:
  25. РГР 12.
  26. Решение:
  27. РГР 13.
  28. Решение:
  29. РГР 14.
  30. Решение:
  31. РГР 15.
  32. Решение:
  33. Геометрические вероятности
  34. РГР 16.
  35. Решение:
  36. РГР 17.
  37. Решение:
  38. РГР 18.
  39. Решение:
  40. РГР 19.
  41. Решение:
  42. РГР 20.
  43. Решение:

Классическое определение вероятности

Вероятность события РГР по теории вероятностиравна

РГР по теории вероятности (1)

В этой формуле РГР по теории вероятности - число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности; РГР по теории вероятности- число всех равновозможных несовместных неходов испытания, образующих полную группу.

При вычислении вероятностей пользуются формулами теории соединений. Основными из них являются формулы для определения: РГР по теории вероятности - числа перестановок из РГР по теории вероятностиэлементов, РГР по теории вероятности числа размещений из РГР по теории вероятностиэлементов по РГР по теории вероятностии РГР по теории вероятности - числа сочетаний из РГР по теории вероятности элементов по РГР по теории вероятности. Число перестановок из РГР по теории вероятности элементов равно

РГР по теории вероятности (2)

где РГР по теории вероятности Принято, что 0! = 1. Число размещений из РГР по теории вероятности элементов по РГР по теории вероятности равно

РГР по теории вероятности (3)

Число сочетаний из РГР по теории вероятности элементов по РГР по теории вероятности равно

РГР по теории вероятности(4)

РГР 1.

В программе для компьютера, написанной в Турбо Паскале, использована функция Random(x), генерирующая целые случайные числа от 1 до РГР по теории вероятности. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появится число, делящееся на 5, если РГР по теории вероятности = 100?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - при значении РГР по теории вероятности = 100 появится число, делящееся на 5. Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1).

При значении РГР по теории вероятности = 100 может появиться любое из 100 имеющихся целых чисел, следовательно, общее число исходов испытания РГР по теории вероятности = 100.

Для того, чтобы найти число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, воспользуемся признаком делимости чисел на 5. На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрами 0 или 5. Среди 100 целых чисел есть 20 таких чисел; следовательно, число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности равно РГР по теории вероятности= 20.

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 2.

Готовясь к докладу, студент выписал из книги цитату, но, забыв номер страницы, на которой она находится, написал номер наудачу. Какова вероятность того, что студент записал нужный номер, если он помнит, что номер выражается двузначным числом с различными цифрами?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - студент записал нужный номер.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1).

Общее число п исходов испытания получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 10 цифр, т.е. число элементовРГР по теории вероятности в каждое соединение входит по 2 цифры, т.е. РГР по теории вероятности ; порядок цифр (элементов) существенен при образовании двузначных чисел, следовательно, надо найти число размещений из 10 элементов по 2. По формуле (3) получим: РГР по теории вероятности Из общего числа полученных размещений следует исключить те 9 размещений, которые начинаются с цифры 0, а именно: 01, 02, ..., 09. Таким образом, РГР по теории вероятности

Число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, равно РГР по теории вероятности= 1, так как цитата находится на одной определенной странице.

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 3.

Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероятность того, что, разложив в ряд буквы К, И, Р, Д, А, Н, 3, П, он составит слово ПРАЗДНИК?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - ребенок составит слово ПРАЗДНИК.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1).

Общее числоРГР по теории вероятности исходов испытания получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 8 элементов - 8 букв; в образовании различных соединений участвуют все 8 элементов; различные соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения являются перестановками из 8-ми элементов. По формуле (2) получим: РГР по теории вероятности

Число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, равно РГР по теории вероятности, так как требуется составить слово с буквами, расставленными в определенном порядке, и эти буквы различны.

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 4.

Имеется 8 карточек; одна сторона каждой из них чистая, а на другой написаны буквы: И, Я, Л, 3, Г, О, О, О. Карточки кладут на стол чистой стороной вверх, перемешивают, а затем последовательно одну за другой переворачивают. Какова вероятность того, что при последовательном появлении букв будет составлено слово ЗООЛОГИЯ?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - будет составлено слово ЗООЛОГИЯ.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1). Числа РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности входящие в эту формулу, определим, воспользовавшись формулами теории соединений.

Общее число исходов испытания, как и в задаче 3, равно РГР по теории вероятностиРГР по теории вероятности

Пронумеруем все карточки в соответствии с местами, которые занимают буквы в слове ЗООЛОГИЯ (рис.1). Будем считать, что буквы 3, Л, Г, И, Я написаны соответственно на карточках 1,4, 6,7, 8. Буква О написана на карточках 2, 3 и 5. Закрепим буквы 3, Л, Г, И, Я на местах 1,4,6,7, 8, а карточки 2,3 и 5 будем менять местами (варианты: 2-3-5; 2-5-3; 5-3-2; 5-2-3; 3-2г-5; 3-5-2). В результате таких изменений будем получать слово ЗООЛОГИЯ. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности равно РГР по теории вероятности

Буквы: ЗООЛОГИЯ Номера мест: 1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 1

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 5.

Любитель музыки, пронумеровав пять прослушанных новых компактдисков цифрами 1, 2, 3, 4, 5, поставил их в кассетницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что диски №1 и №2 будут расположены в кассетнице рядом и притом в порядке возрастания номеров?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности- компактдиски №1 и №2 будут расположены в кассетнице рядом и притом в порядке возрастания номеров.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1).

Общее число РГР по теории вероятности исходов испытания получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 5 элементов - 5 пронумерованных компактдисков. Эти элементы представлены на рис. 2 символами РГР по теории вероятности и помечены номерами от 1 до 5.

В образовании различных соединений участвуют все 5 элементов, причем соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения являются перестановками из 5-ти элементов. Воспользовавшись формулой (2), получим: РГР по теории вероятности

Найдем число РГР по теории вероятности исходов, благоприягствующих событию РГР по теории вероятности.

РГР по теории вероятности

Пусть элементы №1 и №2 занимают соответственно первое и второе места. В этом случае остальные три элемента можно переставлять друг с другом всевозможными способами, занимая три оставшиеся свободными места. Число способов этих перемен местами элементов №3, №4 и №5 равно РГР по теории вероятности

Рассмотрим, сколько различных положений могут занимать элементы №1 и №2, когда они находятся рядом и расположены в заданном порядке. На рис. 2 возможные положения этих элементов показаны знаками v. Как видно из рис. 2, таких положений всего 4. Следовательно, РГР по теории вероятности

Искомая вероятность РГР по теории вероятности

РГР 6.

Из колоды карт вынули 4 туза и 4 короля. Эти карты перемешали и разложили в ряд. Какова вероятность того, что все 4 короля окажутся расположенными рядом?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - 4 короля окажутся расположенными рядом. Вероятность события РГР по теории вероятности найдем по формуле (1).

Общее число РГР по теории вероятности возможных исходов испытания получим аналогично тому, как это сделано в задаче 5. Всего имеется 8 элементов - 8 карт. Эти элементы представлены на рис. 3, они помечены номерами от одного до восьми. Элементы 1-4 - короли, они представлены символами РГР по теории вероятности, а элементы 5-8 - тузы, они представлены символами РГР по теории вероятности. В образовании различных соединений участвуют все 8 элементов, причем соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения представляют собой перестановки из 8-ми элементов. Воспользовавшись формулой (2), получим: РГР по теории вероятности

РГР по теории вероятности

Найдем число РГР по теории вероятности исходов, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности.

Пусть короли (элементы 1-4) расположатся впереди тузов, т. е. займут соответственно места 1-4. В этом случае тузы (элементы 5-8) можно переставлять всевозможными способами, занимая оставшиеся свободными 4 места. Число этих способов равно РГР по теории вероятности

Рассмотрим, какие положения могут занимать элементы 1-4, если они находятся рядом и расставлены в определенном порядке. На рис. 3 возможные положения этих элементов показаны знаками v. Как видно из рисунка, таких положений всего 5. Следовательно, число способов разместить в ряду четырех королей так, чтобы они были расположены рядом и в определенном порядке, равно 4!*5 = 5!.

Число способов, которыми можно переставлять между собой местами четырех королей, равно РГР по теории вероятности

Соединяя каждый первый способ расположения карт (короли расположены рядом и в определенном порядке) со вторым (короли расположены рядом, но в произвольном порядке), получим: РГР по теории вероятности

Искомая вероятность события РГР по теории вероятности равна

РГР по теории вероятности

РГР 7.

Подготовлены для посадки на садовом участке и случайно смешаны саженцы двух сортов черной смородины: 6 саженцев сорта Селеченская и 8 - сорта Вологда. Какова вероятность того, что первыми будут посажены 3 саженца смородины сорта Селеченская?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - первыми будут посажены 3 саженца смородины сорта Селеченская.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1). Числа РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности, входящие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соединений.

РГР по теории вероятности

Имеется 14 элементов - 14 саженцев смородины. Эти элементы представлены на рис. 4 символами РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности и помечены номерами от 1 до 14. На рис. 4 саженцы смородины сорта Селеченская помечены номерами от 1 до 6, а сорта Вологда - от 7 до 14.

По условию в каждое соединение из 14 элементов входят 3 элемента, различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не играет. Возможными будут такие соединения: 1—3—6; 1-7-8; 3-4-6; 11-13-14 и т. п. Таким образом, общее число равновозможных исходов испытания равно числу сочетаний из 14 элементов по 3, т.е. РГР по теории вероятности. По формуле (4) найдем: РГР по теории вероятности

Благоприятствующими событию РГР по теории вероятности будут соединения из 6 элементов (саженцев смородины сорта Селеченская), в каждое из которых входят 3 элемента, различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не играет. Благоприятствующими событию РГР по теории вероятности будут соединения: 1-2-6; 4-3-2; 1-5-3 и т. п. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, равно числу сочетаний из 6-ти элементов по 3. По формуле (4) найдем РГР по теории вероятности

Искомая вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 8.

На полке в почвенной лаборатории случайно смешаны бюксы с различными образцами почвы: 8 бюксов с влажной почвой и 6 - с сухой. Найти вероятность того, что три из пяти наудачу взятых с этой полки бюксов будут с сухой почвой.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - среди 5-ти взятых с полки бюксов будут 3 бюкса с сухой почвой.

Вероятность события РГР по теории вероятности найдем по формуле (1). Числа РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности, входящие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соединений.

Всего имеется 14 элементов - 14 бюксов с почвой. Эти элементы представлены на рис. 5 символами РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности и помечены номерами от 1 до 14. Бюксы с сухой почвой помечены номерами от 1 до 6, бюксы с влажной почвой - номерами от 7 до 14.

РГР по теории вероятности

Общее число РГР по теории вероятности возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 5 бюксов из 14. В каждое соединение из 14 элементов входят 5 элементов, различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не играет. Возможны соединения: 1-3-2-7-8; 13-2-7-9-14; 2-4-6-10-11; 9-10-11-12-14 и т. п. Таким образом, РГР по теории вероятности

Найдем число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности. Бюксы с сухой почвой отнесем к первой группе бюксов, а с влажной почвой - ко второй. Три бюкса с сухой почвой можно взять из имеющихся шести бюксов с сухой почвой РГР по теории вероятности способами, где РГР по теории вероятности (варианты: 1-4-5; 2-3-5; 2-4-6 и т.п.). Остальные 2 бюкса из пяти отобранных должны быть с влажной почвой. Взять 2 бюкса с влажной почвой из имеющихся 8-ми можно РГР по теории вероятности способами, где РГР по теории вероятности (варианты: 7-9; 10-14 и т. п.).

Любую из комбинаций бюксов первой группы можно соединить с любой из комбинаций бюксов второй группы. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, равно РГР по теории вероятности

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 9.

В партии из РГР по теории вероятности изделий имеется к стандартных. Для проверки наудачу выбрали РГР по теории вероятности изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий ровно РГР по теории вероятностистандартных.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - среди отобранных РГР по теории вероятности изделий имеется РГР по теории вероятностистандартных.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1). Числа РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности, входящие в эту формулу, получим, используя формулы теории соединений.

Всего имеется РГР по теории вероятности элементов - РГР по теории вероятности изделий партии. Эти элементы представлены на рис. 6. Стандартные изделия изображены символами РГР по теории вероятности, а нестандартные - символами РГР по теории вероятности. Число стандартных изделий в партии равно РГР по теории вероятности , а число нестандартных равно РГР по теории вероятности (рис.6, а).

РГР по теории вероятности

Общее число п возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать РГР по теории вероятности элементов из РГР по теории вероятности. В каждое соединение из РГР по теории вероятностиэлементов входят РГР по теории вероятности элементов. Различные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок элементов роли не играет. Следовательно, эти соединения представляют собой сочетания из РГР по теории вероятности элементов по РГР по теории вероятности. Таким образом, РГР по теории вероятности

Найдем число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности. Среди отобранных РГР по теории вероятности изделий имеются РГР по теории вероятности стандартных и РГР по теории вероятности нестандартных (рис. 6, 6). Стандартные изделия отнесем к первой группе изделий, а нестандартные - ко второй.

Число способов, которыми можно взять нужные РГР по теории вероятности стандартных изделий из имеющихся в партии к стандартных изделий равно РГР по теории вероятности Число способов, которыми можно взять РГР по теории вероятности нестандартных изделий из имеющихся в партии РГР по теории вероятности таких изделий равно РГР по теории вероятности

Любую из комбинаций изделий первой группы можно соединить с любой из комбинаций изделий второй группы. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, равно РГР по теории вероятности Вероятность события РГР по теории вероятности равна

РГР по теории вероятности

РГР 10.

Лифт в пятиэтажном доме отправляется вверх с первого этажа с тремя пассажирами. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира, предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - на каждом этаже выйдет не более одного пассажира.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1).

Каждый пассажир имеет четыре возможности для выхода из лифта (на втором, третьем, четвертом, пятом этажах). Следовательно, для двух пассажиров имеется РГР по теории вероятностивозможностей выйти из лифта (каждая возможность выхода первого пассажира может сочетаться с каждой возможностью выхода второго), для трех пассажиров - РГР по теории вероятности возможностей. Следовательно, общее число возможных исходов испытания равно РГР по теории вероятности

По условию на каждом этаже должно выйти не более одного пассажира. Из этого следует, что первый пассажир может выйти на каждом из четырех этажей, а для второго остаются возможности выйти на каждом из трех оставшихся этажей, для третьего - на каждом из двух остальных этажей. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности у равно РГР по теории вероятности

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 11.

Группа из 11 человек, в том числе Иванов и Петров, располагается за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым будут сидеть 3 человека.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - между Ивановым и Петровым за столом будут сидеть 3 человека.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (1). Числа РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности, входящие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 11 элементов - 11 человек. В образовании различных соединений (то есть в распределении людей за столом) участвуют все 11 элементов, различные соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения представляют собой перестановки из 11 элементов. Таким образом, общее число исходов испытания РГР по теории вероятностиПо формуле (2) найдем РГР по теории вероятности

Если места Иванова и Петрова зафиксированы, например, места 1 и 5, а между ними должно сесть 3 человека, то число различных способов разместить людей на остальные 9 мест равно РГР по теории вероятностиОбщее число способов, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, в 11 раз больше, т. е. равно РГР по теории вероятности поскольку имеется 11 различных способов посадить Иванова и Петрова так, чтобы между ними было 3 человека (Иванова и Петрова можно посадить на места 1 и 5, или 2 и 6, или 3 и 7 и т. д. до мест 11 и 4).

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности то есть не зависит от числа человек, которые будут сидеть между Ивановым и Петровым.

РГР 12.

Какова вероятность того, что в трехзначном числе, наудачу выбранном из таблицы случайных чисел,

а) все цифры одинаковые;

б) содержится одна цифра 5, а две другие - различные, причем среди них них нет цифры 0?

Решение:

Рассмотрим события:

РГР по теории вероятности -в наудачу выбранном трехзначном числе все цифры одинаковые;

РГР по теории вероятности - в наудачу выбранном трехзначном числе имеется одна цифра 5, а две другие - различные и среди них нет цифры 0.

Найдем вероятности событий РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности, применив формулу (1).

а) Имеется 900 трехзначных чисел (от 100 до 999) и 9 трехзначных чисел, составленных из одинаковых цифр (это числа 111, 222..... 999), поэтому общее число исходов испытания равно РГР по теории вероятности а число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, равно РГР по теории вероятностиВероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

б) Имеется 900 трехзначных чисел, поэтому при определении вероятности события РГР по теории вероятности общее число исходов испытания РГР по теории вероятности Найдем число РГР по теории вероятности исходов испытания, благоприятствующих событиюРГР по теории вероятности. Варианты, благоприятствующие событию РГР по теории вероятности, схематически представлены на рис. 7.

РГР по теории вероятности

Цифра 5 в трехзначном числе может занимать одно из трех возможных мест. В исходах испытания, относящихся к вариантам первого, второго и третьего видов, цифра 5 стоит соответственно на первом, втором и третьем местах. В вариантах первого вида два свободные места могут быть заняты какими-либо двумя цифрами из оставшихся 8-ми (по условию цифра 0 исключается). Число благоприятных способов, которыми могут быть заняты эти два места, равно РГР по теории вероятности числу размещений из 8-ми элементов по два, так как в каждое соединение входит 2 элемента из восьми имеющихся и соединения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком (порядок элементов важен).

Применив формулу (3), вычислим: РГР по теории вероятности В каждом из вариантов второго и третьего видов число благоприятных способов, которыми могут быть заняты свободные два места, также равноРГР по теории вероятности .

Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию РГР по теории вероятности, равно РГР по теории вероятности

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

1.2. Относительная частота и статистическая вероятность

Относительная частота (частость) события РГР по теории вероятностиопределяется равенством

РГР по теории вероятности (5)

где РГР по теории вероятности - общее число проведенных испытаний; РГР по теории вероятности - число испытаний, в которых событие РГР по теории вероятностинаступило (иначе - частота события РГР по теории вероятности). При статистическом определении за вероятность события принимают его относительную частоту, найденную по результатам большого числа испытаний.

РГР 13.

При определении всхожести партии семян взяли пробу из 1000 единиц. Из отобранных семян не взошло 90. Какова относительная частота появления всхожего семени?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности- отобрано всхожее семя. Найдем относительную частоту события РГР по теории вероятности, применив формулу (5). Общее число проведенных испытаний РГР по теории вероятности Число испытаний, в которых событие А наступило, равно РГР по теории вероятности

Относительная частота события РГР по теории вероятностиравна РГР по теории вероятности

РГР 14.

Для проведения исследований на некотором поле взяли случайную выборку из 200 колосьев пшеницы. Относительная частота (частость) колосьев, имеющих по 12 колосков в колосе, оказалась равной 0,125, а по 18 колосков - 0,05. Найти для этой выборки частоты колосьев, имеющих по 12 и по 18 колосков.

Решение:

Рассмотрим события: РГР по теории вероятности- взят колос, имеющий 12 колосков; РГР по теории вероятности- взят колос, имеющий 18 колосков.

Найдем частоты РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности событий РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности, применив формулу (5).

Обозначим через РГР по теории вероятности относительную частоту события РГР по теории вероятности, а через РГР по теории вероятности - относительную частоту события РГР по теории вероятности. Так как число проведенных испытаний РГР по теории вероятности то РГР по теории вероятностиРГР по теории вероятности

РГР 15.

Многолетними наблюдениями установлено, что в некоторой области ежегодно в среднем в тридцати хозяйствах из каждых ста среднегодовой удой молока от одной коровы составляет 4 100-4 300 кг. Какова вероятность того, что в текущем году в одном из хозяйств этой области, отобранном случайным образом, будет получен такой среднегодовой удой?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности- в текущем году в хозяйстве области, отобранном случайным образом, среднегодовой удой молока от одной коровы составит 4 100-4 300 кг.

Вероятность события РГР по теории вероятности найдем, воспользовавшись ее статистическим определением.

Располагая статистическими данными, найдем, что относительная частота хозяйств области, в которых ежегодно имеют указанный среднегодовой удой молока от одной коровы, равна 0,3. Так как эти данные получены в результате проведения большого числа наблюдений, выполняемых в течение многих лет, то можно принять, что вероятность события РГР по теории вероятностиравна РГР по теории вероятности

Геометрические вероятности

Пусть отрезок РГР по теории вероятностисоставляет часть отрезка РГР по теории вероятности. На отрезок РГР по теории вероятностинаудачу поставлена точка. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок РГР по теории вероятностипропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка РГР по теории вероятности. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок РГР по теории вероятностиопределяется равенством

РГР по теории вероятности (6)

Пусть плоская фигура РГР по теории вероятности составляет часть плоской фигуры РГР по теории вероятности. На фигуру РГР по теории вероятности наудачу брошена точка. Предполагается, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру РГР по теории вероятностипропорциональна площади РГР по теории вероятности этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно фигуры РГР по теории вероятности, ни от формы фигур РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности. В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру РГР по теории вероятностиопределяется равенством

РГР по теории вероятности (7)

где РГР по теории вероятности - площадь фигуры РГР по теории вероятности.

Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру РГР по теории вероятности, которая составляет часть фигуры РГР по теории вероятности.

РГР 16.

На отрезок РГР по теории вероятности имеющий длину 40 см, помещен меньший отрезок РГР по теории вероятности длиной 15 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок РГР по теории вероятности пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на отрезке РГР по теории вероятности.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - точка, наудачу поставленная на отрезок РГР по теории вероятности, попадет также и на отрезок РГР по теории вероятности.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (6):

РГР по теории вероятности

РГР 17.

Внутрь круга радиуса РГР по теории вероятности наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в треугольник пропорциональна площади треугольника и не зависит от его расположения относительно круга.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - точка, наудачу брошенная в круг, окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (7).

Площадь круга радиуса РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности ; площадь вписанного в круг правильного треугольника равна РГР по теории вероятности, где РГР по теории вероятности - сторона треугольника. Известно, что РГР по теории вероятности поэтому РГР по теории вероятности. Следовательно, вероятность события РГР по теории вероятности равнаРГР по теории вероятности

РГР 18.

Задача о встрече. Два товарища условились встретиться в определенном месте между 12 часами и половиной первого дня. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча товарищей состоится, если каждый из них наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 часов до половины первого) и моменты прихода обоих независимы.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - встреча товарищей состоится.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (7).

Обозначим момент прихода одного из них через РГР по теории вероятности, мин., а момент прихода другого через РГР по теории вероятности, мин. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: РГР по теории вероятности

Будем изображать РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности как декартовы координаты точек плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту (рис. 9). РГР по теории вероятности Все возможные исходы испытания изображаются точками фигуры, ограниченной квадратом, сторона которого равна 30; площадь этого квадрата равна РГР по теории вероятности

НеравенствоРГР по теории вероятности равносильно системе неравенств:

РГР по теории вероятности

Исходы испытания, благоприятствующие событию РГР по теории вероятности, удовлетворяют системе неравенств:

РГР по теории вероятности

Решениями этой системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рис. 9 в заштрихованной области, то есть меаду граничными прямыми: РГР по теории вероятностиРГР по теории вероятности и на самих граничных прямых. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию РГР по теории вероятности. Площадь заштрихованной фигуры равна РГР по теории вероятности

Искомая вероятность события РГР по теории вероятности равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:

РГР по теории вероятности

РГР 19.

Коэффициенты РГР по теории вероятности квадратного уравнения РГР по теории вероятности выбирают наудачу в промежутке (0; 2). Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - корни данного уравнения будут действительными числами.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, применив формулу (7). Пусть коэф-фициены РГР по теории вероятности квадратного уравнения - наудачу взятые числа. Их возможные значения: РГР по теории вероятностиПредставим РГР по теории вероятности как прямоугольные декартовы координаты точек плоскости. Возможные значения РГР по теории вероятности в системе координат РГР по теории вероятности будут представлены точками, расположенными внутри и на границах представленного на рис. 10 квадрата, площадь которого РГР по теории вероятности

РГР по теории вероятности Корни квадратного уравнения являются действительными числами в том случае, когда дискриминант РГР по теории вероятности этого уравнения неотрицателен.

Поэтому благоприятствующие событию РГР по теории вероятности исходы испытания удовлетворяют условию: РГР по теории вероятности, откуда следует, что РГР по теории вероятности.

Построим границы области, которой принадлежат точки плоскости, удовлетворяющие условиям:

РГР по теории вероятности

Граничные прямые РГР по теории вероятности являются сторонами квадрата, ограничивающего область возможных значений РГР по теории вероятности. Граничная кривая РГР по теории вероятности представляет собой параболу. Решениями составленной системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рис. 10 в заштрихованной области, то есть между граничными линиями РГР по теории вероятности и на самих этих линиях. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию РГР по теории вероятности. Площадь запприхованной области равна РГР по теории вероятности

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

РГР 20.

Наудачу взяты два неотрицательных числа РГР по теории вероятности, каждое из которых не больше единицы. Найти вероятность того, что сумма РГР по теории вероятности этих чисел не превышает единицы, а их произведение РГР по теории вероятности не больше РГР по теории вероятности.

Решение:

Обозначим событие: РГР по теории вероятности - сумма РГР по теории вероятности взятых наудачу двух чисел РГР по теории вероятностиРГР по теории вероятности не превышает 1, а произведение этих чисел не больше 2/9.

Найдем вероятность события РГР по теории вероятности, воспользовавшись формулой (7).

Пусть РГР по теории вероятности - наугад взятые числа. Их возможные значения: РГР по теории вероятности. Будем считать, что РГР по теории вероятности - прямоугольные декартовы координаты точек плоскости. Возможные значения РГР по теории вероятности будут являться координатами точек, расположенных в системе координат РГР по теории вероятности внутри и на границах квадрата, площадь которого РГР по теории вероятности (рис. 11).

РГР по теории вероятности

Благоприятствующие событию РГР по теории вероятности исходы испытания удовлетворяют системе неравенств:

РГР по теории вероятности

Построим границы области, координаты точек которой являются решениями этой системы. Граничные прямые РГР по теории вероятности представляют собой стороны квадрата, ограничивающего область возможных значений точек с координатами РГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности. Граничная прямая РГР по теории вероятности делит квадрат пополам, причем область, в которой РГР по теории вероятности представляет собой нижний треугольник. Граничная линия, заданная уравнением РГР по теории вероятности или РГР по теории вероятности, является гиперболой. Прямая РГР по теории вероятности и гипербола РГР по теории вероятности пересекаются в точках с абсциссамиРГР по теории вероятности и РГР по теории вероятности.

Решениями составленной системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рис. 11 в заштрихованной области, то есть между граничными линиями: РГР по теории вероятностиРГР по теории вероятности. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию РГР по теории вероятности.

Площадь заштрихованной области равна сумме площадей следующих трех фигур: площади трапеции ОСВА, криволинейной трапеции ABMD, треугольника MDN. Так как РГР по теории вероятности, то сумма площадей трапеции ОСВА и треугольника MND равна площади прямоугольника ОСКА; Площадь этого прямоугольника равна РГР по теории вероятности Таким образом, площадь заштрихованной области равна

РГР по теории вероятности

Вероятность события РГР по теории вероятности равна РГР по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует: