РГР по сопромату

РГР по сопромату расчетно графическая работа

 

Если у вас нету времени на ргр по сопротивлению материалов вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по сопромату помощь в учёбе

 

Растяжение и сжатие

Основные понятия и зависимости

На рис. 1.1 показан простейший частный случай растяжения, а на рис. 1.2—сжатия бруса. При растяжении — сжатии внутренние силы упругости, возникающие в поперечном сечении бруса, приводятся к одному внутреннему силовому фактору — продольной (нормальной). силе, обозначаемой РГР по сопромату (или РГР по сопромату).

РГР по сопромату

Продольная сила РГР по сопромату определяется с помощью метода сечений: она численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось РГР по сопромату бруса всех внешних сил, расположенных по одну сторону от мысленно проведенного сечения (рис. 1.3). При растяжении принято считать, что РГР по сопромату а при сжатии - РГР по сопромату

В поперечном сечении бруса при растяжении — сжатии возникают только нормальные напряжения, вычисляемые по формуле РГР по сопромату где РГР по сопромату - площадь поперечного сечения бруса. Правило знаков для РГР по сопромату принимается то же, что и для РГР по сопромату Размерность напряжения: РГР по сопромату соответственно единицы физических величин РГР по сопромату или РГР по сопромату

При использовании Международной системы единиц основная единица РГР по сопромату а также соответствующие кратные и дольные единицы, например, РГР по сопромату

Относительное удлинение при растяжении (или относительное укорочение при сжатии) бруса по рис. 1.1 (или 1.2) РГР по сопромату где РГР по сопроматуРГР по сопромату — абсолютное удлинение (или абсолютное укорочение) бруса; РГР по сопромату - первоначальная длина бруса.Относительное изменение поперечного размера бруса РГР по сопромату Здесь РГР по сопромату

При растяжении считают, что РГР по сопромату следовательно РГР по сопромату а при сжатии - наоборот.

Величины РГР по сопромату и РГР по сопромату называют также линейными деформациями.

Абсолютная величина отношения РГР по сопромату к РГР по сопромату называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона: РГР по сопромату

Коэффициент Пуассона для всех изотропных материалов РГР по сопромату Между относительным удлинением и нормальным напряжением существует зависимость: РГР по сопромату Эта зависимость является аналитическим выражением закона Гука при линейном напряженном состоянии.

Здесь РГР по сопромату - модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода; размерность РГР по сопромату та же, что и напряжения.

Абсолютное удлинение (укорочение) бруса (при РГР по сопромату и РГР по сопромату) определяется по формуле РГР по сопромату

При переменных РГР по сопромату и РГР по сопромату для отдельных участков бруса различны, РГР по сопромату

Отсюда как частный случай следует формула РГР по сопромату применимая при условии, что продольная сила и площадь сечения в пределах отдельных участков бруса постоянны (см. пример 1.1).

Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений бруса равно удлинению (укорочению) той его части, которая заключена между этими сечениями.

Условие прочности РГР по сопромату

где РГР по сопромату - нормальное напряжение и продольная сила в опасном поперечном сечении (т. е. сечении, в котором возникают наибольшие напряжения)? РГР по сопромату - площадь опасного сечения; РГР по сопромату - допускаемое напряжение.

Требуемая площадь поперечного сечения РГР по сопромату

Величина допускаемой (безопасной) продольной силы РГР по сопромату РГР по сопромату

По найденному значению РГР по сопромату на основе метода сечений (для статически неопределимых систем дополнительно составляют уравнения перемещений) определяют допускаемую величину внешних сил.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение сопромата онлайн на заказ

 

Статически определимые случаи растяжения — сжатия

 

Пример РГР 1

Для заданного бруса (рис. 1.4,а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение:

Разобьем брус на пять отдельных участков, начиная от его свободного конца; границами участков служат сечения, где приложены внешние силы, а также места изменения размеров поперечного сечения (на рис. 1.4, а эти участки отмечены римскими цифрами). Проведем произвольное сечение РГР по сопромату на участке РГР по сопромату и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим условие равновесия оставленной (нижней) части, изображенной отдельно на рис. 1.4,6.

Надставленную часть действуют сила РГР по сопромату и искомое усилие РГР по сопромату

Проектируя на ось РГР по сопромату силы, действующие на оставленную часть, получаем РГР по сопромату

РГР по сопромату

Продольная сила РГР по сопромату получилась со знаком плюс, т. е. она действительно направлена от сечения, как и было принято предварительно (рис. 1.4,6). Таким образом, первый участок бруса испытывает растяжение.

Сопоставляя рис. 1.4,6 и 1.4,в, заключаем, что РГР по сопроматуРГР по сопромату

Проведем произвольное сечение РГР по сопромату на участке РГР по сопромату отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим равновесие оставленной нижней его части, изображенной отдельно на рис. 1.4,г. На оставленную часть действуют силы РГР по сопромату и искомое усиление РГР по сопромату Проектируя эти силы на ось РГР по сопромату, получаем РГР по сопроматуРГР по сопромату

как минус указывает, что в действительности сила РГР по сопромату направлена к сечению, а не от сечения, как было предположено (см. рис. 1.4, г). Следовательно, участок РГР по сопромату испытывает сжатие.

Аналогично найдены значения продольных сил в сечениях РГР по сопромату (рис. 1.4, д) и РГР по сопромату (рис. 1.4, е).

РГР по сопромату

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется продольная сила по длине бруса. Проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе найденные значения продольных сил по оси ординат.

Положительные значения продольных сил откладываем вправо от оси эпюры, а отрицательные — влево (рис. 1.4,ж). Эпюру нормальных напряжений получим,раздел их значения РГР по сопромату на величины соответствующих площадей поперечных сечений бруса (рис. 1.4,з).

 

 

Пример РГР 2

Для стального бруса (рис. 1.5,а) построить эпюру перемещений поперечных сечений. РГР по сопромату Собственный вес бруса не учитывать.

Решение:

Эпюру перемещений следует строить, начиная от закрепленного конца. Перемещение произвольного сечения РГР по сопромату принадлежащего нижней части бруса, РГР по сопромату т. е. перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону.

Перемещение сечения РГР по сопромату равно нулю, так как оно закреплено. Перемещение сечения РГР по сопромату РГР по сопроматуРГР по сопромату

Перемещения поперечных сечений верхней части бруса (выше сечения РГР по сопромату) одинаковы и равны РГР по сопромату (так как эта часть бруса не деформируется). Эпюра перемещений показана на рис. 1.5, б.

 

Возможно, вас также заинтересует этот блок ссылок:

Сопромат решение задач

Заказать решение задачи по сопромату

Сопромат помощь в решении задач

Контрольные по сопромату с решением онлайн

 
Пример РГР 3

Для стального бруса (рис. 1.6,а) , имеющего форму усеченного конуса, построить эпюру нормальных напряжений и вычислить перемещение свободного конца. Собственный вес бруса не учитывать РГР по сопромату

Решение:

Продольная сила в любом поперечном сечении одинакова: РГР по сопромату

Площадь произвольного поперечного сечения (см. рис. 1.6,а)

РГР по сопромату

Нормальное напряжение (в произвольном поперечном сечении)

РГР по сопромату

т. е. по длине бруса РГР по сопромату изменяется по гиперболическому закону. Для построения эпюры РГР по сопромату вычисляем три частных значения:

РГР по сопромату

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Эпюра а представлена на рис. 1.6,6. В рассматриваемом примере площадь поперечного сечения бруса изменяется по его высоте непрерывно, и хотя продольная сила постоянна, для определения удлинения бруса нужно применить общую формулу:

РГР по сопроматуРГР по сопромату

 

 

Пример РГР 4

Для стального бруса (рис, 1.7,а) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определить его абсолютное удлинение, если РГР по сопромату ерхняя часть бруса находится -под действием равномерно распределенной по ее длине осевой нагрузки интенсивностью РГР по сопромату

Решение:

Применяя метод сечений, устанавливаем законы изменения продольных сил по длине каждого из участков бруса.

На первом участке (рис. 1.7,б) РГР по сопромату

На втором участке (рис 1.7,в)РГР по сопромату

На этом участке продольная сила изменяется по линейному закону. В начале участка РГР по сопромату в конце - РГР по сопромату РГР по сопромату Эпюра продольных сил показана на рис. 1.7, г.

Определяем нормальные напряжения.

На первом участке и в начале второго участка (при РГР по сопромату)

РГР по сопромату

В конце второго участка РГР по сопромату

Эпюра РГР по сопромату представлена на рис. 1.7, д.

РГР по сопромату

Абсолютное удлинение бруса

РГР по сопромату

 

 

 

Статически неопределимые случаи растяжения — сжатия

 

Пример РГР 5

Для бруса, жестко закрепленного обоими концами (рис. 1.27,а), определить реакции заделок, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, если РГР по сопромату РГР по сопромату

Решение:

Рассматриваемая задача относится к категория статически неопределимых — внутренние усилия не могут быть определены с помощью лишь одних уравнений статики, дополнительно должны быть составлены уравнения (в данном случае одно) перемещений.

Под действием внешней силы возникают опорные реакции РГР по сопромату и РГР по сопромату

Статика дает одно уравнение с двумя неизвестными: РГР по сопромату

Из условия деформации бруса очевидно, что перемещения сечений РГР по сопромату и РГР по сопромату равны нулю (так как они закреплены). Отбросим нижнее закрепление и заменим действие нижнего закрепления неизвестной пока реакцией РГР по сопромату Таким образом, получим статически определимый брус, нагруженный силами РГР по сопромату и РГР по сопромату (рис. 1.27,6).

Перемещение сечения РГР по сопромату от неизвестной внешней силы РГР по сопромату РГР по сопроматуРГР по сопромату

РГР по сопромату

Составим выражения для перемещения сечения РГР по сопромату от неизвестной силы РГР по сопромату

РГР по сопромату

Перемещение сечения РГР по сопромату от совместного действия сил РГР по сопромату равно (на основании принципа независимости действия сил) алгебрической сумме перемещений от известной и искомой сил:

РГР по сопромату

Но перемещение сечения РГР по сопромату равно нулю: РГР по сопромату или РГР по сопромату откуда РГР по сопромату

Подставляя числовые значения, получаем

РГР по сопромату

Из уравнения равновесия имеем

РГР по сопромату

Эпюра продольных сил представлена на рис; 1.27, в, а эпюра нормальных напряжений — на рис. 1.27, г.

Приведенные записи значительно упрощаются после введения коэффициента жесткости РГР по сопромату РГР по сопромату Удлинение бруса записывается в виде РГР по сопромату Уравнение совместимости деформации здесь РГР по сопроматуРГР по сопромату а при условии равновесия - РГР по сопромату Решая совместно эти уравнения, находят

РГР по сопромату

Поскольку РГР по сопромату из полученных соотношений следует, что усилия в стержнях пропорциональны их жесткостям.

 

Возможно, вас также заинтересует этот блок ссылок:

Решение задач по сопромату с примерами онлайн

Помощь по сопромату онлайн

Курсовая работа по сопромату заказать готовую онлайн

Задачи по сопромату с решением

 

Температурные напряжения

 

Пример РГР 6

Стальной брус, жестко закрепленный обоими концами в неподвижных опорах (рис. 1.31), нагревается на РГР по сопромату по сравнению с температурой,, при которой брус был закреплен. Вычислить напряжения, возникающие в поперечных сечейиях бруса в результате его нагрева, если РГР по сопроматуРГР по сопромату

Решение:

При нагреве бруса в его закреплениях возникают реакции РГР по сопромату и РГР по сопромату (на рисунке они не показаны), для определения которых статика дает лишь одно уравнение: РГР по сопроматуРГР по сопромату Следовательно, задача статически неопределима.

РГР по сопромату

Дальнейший ход решения аналогичен решению примера 1.9; отбрасываем правую заделку и заменяем ее действие на брус искомой реактивной силой РГР по сопромату

Перемещения сечения РГР по сопромату от нагрева (при отброшенной заделке) РГР по сопромату Укорочение бруса от действия силы РГР по сопромату

РГР по сопромату Тогда РГР по сопромату Отсюда РГР по сопроматуРГР по сопромату

Напряжения в поперечных сечениях средней части стержня

РГР по сопромату

Напряжения в поперечных сечениях крайних частей стержня

РГР по сопромату

Минусы поставлены потому, что напряжения сжимающие.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

 

Начальные и монтажные напряжения

 

Пример РГР 7

В представленной на рис. 1.33,а системе стальных стержней средний стержень был изготовлен короче, чем требуется, на РГР по сопромату Определить напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержней после сборки системы, если РГР по сопромату РГР по сопромату

Решение:

После сборки в стержнях возникнут в среднем растягивающее, в крайних — сжимающие усилия.

На рис. 1.33,6 показаны усилия, действующие на узел РГР по сопромату Для такой системы сил статика дает два уравнения равновесия. Следовательно, задача статически неопределима. Составим уравнения равновесия для узла РГР по сопромату РГР по сопромату РГР по сопромату РГР по сопромату

Площади сечений одинаковы, следовательно, РГР по сопромату

Третье уравнение можно получить из условия деформации системы. После сборки шарнир РГР по сопромату займет некоторое положение РГР по сопромату промежуточное между РГР по сопромату и РГР по сопромату

РГР по сопромату

Как видно из рис. 1.33, а, в, РГР по сопроматуРГР по сопромату где РГР по сопроматуРГР по сопромату РГР по сопромату Но РГР по сопромату тогда РГР по сопромату

Учитывая, что РГР по сопроматуРГР по сопромату получаем РГР по сопромату РГР по сопромату

откуда

РГР по сопромату

 

 

 

Теория напряженного и деформированного состояния

 

Основные сведения из теории

Напряжения, возникающие на различно ориентированных площадках, проходящих через данную точку тела, в общем случае нагружения тела не одинаковы. Совокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку, характеризует напряженное состояние в этой точке.

В окрестности денной точки всегда можно выделить элементарный параллелепипед таким образом, чтобы на его гранях не было касательных напряжений. Иными словами, через точку можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых не возникает касательных напряжений (в некоторых частных случаях таких площадок можно провести бесчисленное множество). Указанные площадки называют главными. Возникающие на них нормальные напряжения называют главными напряжениями; их обозначают РГР по сопромату Индексы расставляют так, чтобы выполнялись неравенства РГР по сопромату (неравенства алгебраические, напряжения сжатия считают отрицательными), т. е. сначала надо определить все главные напряжения, а потом расставить индексы. Для данной точки РГР по сопромату - наибольшее, а РГР по сопромату - наименьшее напряжение.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, наг ряженное состояние называют объемным, или трехосным (рис. 2.1,а). Если только два главных напряжения не равны нулю, напряженное состояние плоское, или двухосное (рис. 2.1,6). Если лишь одно из главных напряжений отлично от нуля, напряженное состояние линейное, или одноосное (рис. 2.1, в).

Семейством, или серией, площадок называют совокупность бесчисленного множества площадок, параллельных одиой и той же прямой (перпендикулярных одиой и той же грани элементарного параллелепипеда). Напряжения на площадках, принадлежащих серии площадок, параллельных какому-либо из главных напряжений, ие зависят от этого последнего.

РГР по сопромату

Например, нормальное и касательное напряжения на площадке, параллельной о3 и расположенной так, что нормаль к ней составляет угол РГР по сопромату с направлением РГР по сопромату (рис. 2.2), определяются по формулам

РГР по сопромату

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Для рассматриваемой серии площадок наибольшее касательное напряжение возникает на площадке, биссекторной по отношению к главным площадкам; оно определяется, по формуле

РГР по сопромату

Это касательное напряжение не максимально для данной точки. Максимальное касательное напряжение возникает на площадке, параллельной РГР по сопромату и биссектрисой к площадкам действия РГР по сопромату и РГР по сопромату его величина определяется по формуле

РГР по сопромату

Взамен аналитического определения РГР по сопромату и РГР по сопромату могут быть найдены графоаналитически при помощи круга Мора, построенного для данной серии площадок. Круг Мора — это геометрическое место точек, абсциссы и ординаты которых равны соответственно нормальным и касательным напряжениям, возникающим на площадках данной серии. Применение круга Мора для определения РГР по сопромату и РГР по сопромату показано в примере 2.2.

Из формул (2.1), (2.2) как частный случай получаются зависимости для одноосного растяжения РГР по сопромату РГР по сопромату

РГР по сопромату

В случае одноосного сжатия РГР по сопромату в формулы (2.5) и (2.6) взамен РГР по сопромату следует подставить РГР по сопромату и при вычислениях учесть, что величина РГР по сопромату отрицательна.

Приведенные сведения об исследовании напряженного состояния относились к случаям, когда заданными (исходными) были главные напряжения. Кроме того, исследование ограничивалось сериями площадок, параллельных главным напряжениям; определение напряжений на площадках, ие принадлежащих указанным сериям, выходит за рамки программы.

РГР по сопромату

При плоском напряженном состоянии в окрестности исследуемой точки можно выделить элементарный параллелепипед таким образом, чтобы две его противолежащих грани были свободны от напряжений (рис. 2.3). Ограничиваясь исследованием напряжений для серии площадок, перпендикулярных свободной от напряжений грани элемента; имеем следующие зависимости (рис. 2.4):

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Среди площадок исследуемой серии имеются две взаимно перпендикулярных главных площадки; их положение определяется углами РГР по сопромату и РГР по сопромату значения которых находят из выражения

РГР по сопромату

Величины главных напряжений

РГР по сопромату

Индексы у главных напряжений устанавливают после вычисления этих напряжений. При пользовании формулами (2.7)—(2.9) знак касательного напряжения принимают в соответствии с рис. 2.5, Характерны частные случаи плоского напряженного состояния;

а) Так называемое упрощенное плоское напряженное состояние, для которого РГР по сопромату При этом элементарный параллелепипед может быть выделен так, что одно из исходных нормальных напряжений окажется равным нулю (рис. 2.6). Взамен формул-(2.9), (2.10), для этого случая получается

РГР по сопромату

РГР по сопромату РГР по сопромату

РГР по сопромату

б) Чистый сдвиг, для которого РГР по сопромату В этом случае есть возможность выделите элементарный параллелепипед так, что на четырех его гранях будут только равные по модулю касательные напряжения, а две грани будут от напряжений свободны (рис. 2.7). При этом.указанные касательные напряжения экстремальны и связаны с главными напряжениями зависимостью РГР по сопромату

РГР по сопромату

Главные площадки составляют, углы РГР по сопромату с площадками действия экстремальных касательных напряжений.

Исследование плоского напряженного состояния с помощью кругов Мора для случаев, когда исходные площадки не главные, показано в примерах 2.4, 2.5.

Через данную точку тела можно провести три взаимно перпендикулярных оси, углы между которыми и после деформации останутся прямыми. Это так называемые главные оси деформации; их направления совпадают с направлениями главных напряжений. Линейные деформации в направлениях главных осей' называют главными деформациям и; их величины связаны с соответствующими главными напряжениями обобщенным законом Гука:

РГР по сопромату

Если выделить в окрестности точки элемент не главными площадками (на гранях элемента будут как нормальные, так и касательные напряжения), то формулы (2.14) для линейных деформаций в направлениях каждого из нормальных напряжений (не главных!) остаются в силе, следует лишь изменить индексы:

РГР по сопромату

Относительное изменение объема в окрестности данной точки тела определяется по формуле

РГР по сопромату

Удельная потенциальная энергия деформации для данной точки тела связана с главными напряжениями зависимостью

РГР по сопромату

Полная удельная потенциальная энергия деформации может быть разложена на удельную энергию, связанную с изменением объема элемента

РГР по сопромату

и на удельную энергию, связанную с изменением формы элемента

РГР по сопромату

 

 

Аналитическое и графоаналитическое исследование напряженного состояния

 

Пример РГР 8

Определить аналитически и с помощью кругов Мора нормальные и касательные напряжения в точке РГР по сопромату сечения РГР по сопромату и в точке РГР по сопромату сечения РГР по сопромату бруса по рис. 2.8, а. Вычислить максимальные касательные напряжения, возникающие в указанных точках.

Решение:

Для поперечного сечения, проходящего через точку РГР по сопромату, РГР по сопромату и соответственно номральное напряжение в указанном поперечном сечении, являющееся главным напряжением точки РГР по сопромату,

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Аналогично для точки РГР по сопромату

РГР по сопромату

Эпюра продольных сил показана на рис. 2.8, б. Напряжение в поперечном сечении, проходящем через точку РГР по сопромату, РГР по сопромату

РГР по сопромату

На рис. 2.9, а показан (в проекции на плоскость чертежа) элемент, выделенный в окрестности точки РГР по сопромату поперечными и продольными сечениями; там же показана площадка, параллельная сечению РГР по сопромату напряжения на которой подлежат определению.

По формулам (2.5), (2.6) находим

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Максимальное касательное напряжение в точке РГР по сопромату

РГР по сопромату

Строим круг Мора (рис. 2.9, б) для серии площадок, перпендикулярных плоскости чертежа. По оси абсцисс откладываем от начала координат отрезок РГР по сопромату равный в выбранном масштабе РГР по сопромату Точка РГР по сопромату изображает площадку действия главного напряжения РГР по сопромату точка РГР по сопромату — площадку, перпендикулярную предыдущей (нулевую главную площадку). Разделив пополам расстояние РГР по сопромату получим центр круга Мора точку РГР по сопромату и проведем окружность. Через точки РГР по сопромату и РГР по сопромату проводим линии, параллельные нормалям к площадкам, изображаемым этими точками. Эти линии (лучи) пересекаются в точке РГР по сопромату, которая, следовательно, является полюсом (главной или особой точкой) круга Мора. Напоминаем что полюс обладает тем свойством, что в нем пересекаются лучи, параллельные нормалям ко всем площадкам данной серии.

Для нахождения точки, изображающей сечение РГР по сопромату проводим из точки РГР по сопромату луч, параллельный нормали к сечению РГР по сопромату и в пересечении этого луча с окружностью получаем искомую точку РГР по сопромату Ее абсцисса и ордината в принятом масштабе дают соответственно величины нормального и касательного напряжений, возникающих по сечению РГР по сопромату

Очевидно, площадка действия максимального касательного напряжения изображается точкой РГР по сопромату получаемой в пересечении окружности с ее вертикальным диаметром. Для определения положения указанной площадки соединяем точку РГР по сопромату с полюсом — линия РГР по сопромату параллельна нормали к площадке действия РГР по сопромату Величина нормального напряжения на этой площадке определяется абсциссой точки РГР по сопромату. Напряжения на площадках, изображаемых точками РГР по сопромату показаны на рис: 2.9,6.

Все нормальные напряжения положительны (напряжения растяжения). Касательное напряжение на площадке, изображаемой точкой РГР по сопромату отрицательно (точка под осью абсцисс), поэтому для получения направления РГР по сопромату поворачиваем внешнюю нормаль к площадке на РГР по сопромату в направлении, противоположном движению часовой стрелки (рис. 2.9,6).

Для точки РГР по сопромату сечения РГР по сопромату элемент показан на рис. 2.10, а. Нормальное и касательное напряжения получаем по формулам (2.5), (2.6), учитывая, что РГР по сопромату заменяем на РГР по сопромату и это напряжение отрицательно:

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Максимальное касательное напряжение для точки РГР по сопроматуРГР по сопромату

Круг Мора для точки РГР по сопромату построен на рис. 2.10, б. Так как построение его принципиально не отличается от выполненного для точки РГР по сопромату то пояснений не приводим, подчеркнем лишь, что круг расположен влево от начала координат РГР по сопромату и, следовательно, на любой площадке, проходящей через точку РГР по сопромату, нормельное напряжение отрицательно (напряжение сжатия).

 

 

Применение обобщенного закона Гука

 

Пример РГР 9

Алюминиевый кубик свободно, но без зазоров вставлен в прорезь массивной (недеформируемой) детали (рис. 2.24) и сжатой силой РГР по сопромату

РГР по сопромату

Определить главные напряжения и главные деформации для произвольной точки кубика. Вычислить относительное и абсолютное изменения объема кубика. Определить удельную потенциальную энергию деформации (полную, изменения объема и изменения формы). Принять РГР по сопромату РГР по сопромату

Решение:

Кубик находится в однородном (одинаковом для всех его точек) напряженном состоянии, и, следовательно, обобщенный закон Гука можно применять к кубику в целом. Торцовая грань кубика (на рис. 2.24 заштрихована) от напряжений свободна, т. е. РГР по сопромату Напряжения на верхней и нижней гранях кубика (предпологается, что сила РГР по сопромату равномерно распределена по верхней грани):

РГР по сопромату

Напряжение РГР по сопромату определим, определим, использовав условие, что в направлении оси РГР по сопромату деформация равна нулю РГР по сопромату так как принято, что деталь, в которую вставлен кубик, абсолютная жестокая.

Применив обобщенный закон Гука, получим

РГР по сопромату

откуда

РГР по сопромату

Окончательно имеем РГР по сопромату РГР по сопромату РГР по сопромату РГР по сопромату

Вычисляем величины главных деформаций: РГР по сопромату

РГР по сопромату

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Относительное изменение объема

РГР по сопромату

Абсолютное изменение объема

РГР по сопромату

Полная удельная потенциальная энергия деформации

РГР по сопромату

Удельная потенциальная энергия деформации, связанные с изменением объема,

РГР по сопромату

Удельная потенциальная энергия деформации, связанные с изменением формы,

РГР по сопромату

РГР по сопромату

 

 

 

Пример РГР 10

Жесткая обойма состоит из двух половин, стянутых восьмью болтами (рис. 2.25). В обойме сжимают призму из пластмассы, коэффициент Пуассона для которой РГР по сопромату Сила, сжимающая пластмассовую призму вдоль оси обоймы, РГР по сопромату Определить требуемый диаметр болтов, пренебрегая их деформацией и не учитывая влияния кручения при затяжке. Принять для болтов РГР по сопромату

Решение:

При сжатии пластмассового бруса размеры его поперечного сечения должны увеличиваться, но этому увеличению препятствуют стенки обоймы. В результате возникают силы взаимодействия между поверхностями пластмассового бруса и стенками обоймы. Брус находится в однородном напряженном состоянии.

Учитывая, что по условию задачи обойма абсолютно жесткая и деформации болтов не принимаются во внимание, заключаем, что деформации бруса в направлениях осей РГР по сопромату и РГР по сопромату равны нулю. Учитывая далее, что по условию симметрия РГР по сопромату и применяя обобщенный закон Гука, получаем РГР по сопромату откуда РГР по сопромату РГР по сопромату где РГР по сопромату РГР по сопромату

РГР по сопромату

Полное усилие, действующее на болты.

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Усилие, приходящее на один болт,

РГР по сопромату

Иребуемое по условию прочности сечение болта (по внутреннему диаметру резьбы)

РГР по сопромату

По ГОСТ 9150-59 принимаем болты с резьбой РГР по сопромату имеющей внутренний диаметр РГР по сопромату

 

 

Пример РГР 11

На растягиваемом образце установлен тензометр РГР по сопромату как изображено на рис. 2.26,а. База тензометра РГР по сопромату коэффициент увеличения тензометра РГР по сопромату показание тензометра при заданной нагрузке РГР по сопромату Определить коэффициент Пуассона для материала образца, если известно, что РГР по сопромату РГР по сопромату

Решение:

Выделим из бруса элемент плоскостями, параллельными базе тензометра и ей перпендикулярными (рис. 2.26, б). Зная напряжения в поперечном сечении бруса

РГР по сопромату

найдем нормальные напяржения, возникающие на гранях выделенного элемента: РГР по сопромату РГР по сопромату

Составим выражение для определения линейной деформации в направлении базы тензометра: РГР по сопромату

По условию задачи можно определить численное значение указанной деформации РГР по сопромату

Таким образом,

РГР по сопромату

Отсюда РГР по сопромату РГР по сопромату

 

 

Практические расчеты на срез и смятие

 

Основные понятия и расчетные формулы

Возникающие в сечении РГР по сопромату (рис. 3.1) касательные напряжения (напряжения сдвига или среза) вычисляют по формуле РГР по сопромату Здесь РГР по сопромату - внутренний силовой фактор, называемый поперечной силой. В данном случае РГР по сопромату

РГР по сопромату

РГР по сопромату

Условие прочности при срезе РГР по сопромату РГР по сопромату При статической нагрузке РГР по сопромату где РГР по сопромату — допускаемое напряжение на растяжение для того же материала.

Напряжения смятия РГР по сопромату возникают по площадкам контакта между поверхностями отверстий и соединительных элементов.

Условие прочности на смятие РГР по сопромату нагрузка, приходящаяся на одну соединительную деталь; РГР по сопромату ну соединительную деталь; [огсм] — — допускаемое напряжение на смятие; РГР по сопромату РГР по сопромату — расчетная площадь смятия.

РГР по сопромату

При контакте по цилиндрической поверхности (по поверхности полуцилиндра) РГР по сопромату условно равна площади проекции цилиндрической поверхности контакта на диаметральную нлоскость(рис. 3.2): РГР по сопромату

При контакте по плоскости (рис. 3.3) РГР по сопромату

Здесь РГР по сопромату — размер шпонки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа.

При различной толщине соединяемых деталей в формулу подставляется РГР по сопромату

 

 

Расчет заклепочных соединений

 

Пример РГР 12

Проверить прочность заклепочного соединения (рис. 3.4), если РГР по сопромату РГР по сопромату РГР по сопромату

Решение:

1. Вычисляем напряжение в листах по ослабленному сечению РГР по сопромату Предварительно определяем площадь сечения:

РГР по сопромату

РГР по сопромату

РГР по сопромату

2. Проверяем прочность заклепок на срез, учитывая, что заклепки двухсрезные РГР по сопромату

РГР по сопромату

Здесь РГР по сопромату - число заклепок по одну сторону стыка.

3. Проверяем прочность заклепочного соединения на смятие

(учитываем, что РГР по сопромату):

РГР по сопромату

Следовательно, прочность соединения обеспечена.

 

 

Пример РГР 13

Стержень из двух равнобоких уголков (рис. З.б), растянутый силой РГР по сопромату прикреплен к фасоиному листу толщиной РГР по сопромату заклепками диаметром РГР по сопромату Материал - сталь Ст. 2.

Подобрать профиль уголков и определить необходимое число заклепок в соединении, если РГР по сопромату РГР по сопромату РГР по сопромату

Решение:

1. Подбор сечения стержня. В опасном сечении РГР по сопромату уголки ослаблены отверстиями. Поэтому расчет ведем по РГР по сопромату

Необходимая рабочая (нетто) площадь сечения уголков РГР по сопромату

Площадь сечения РГР по сопромату уголков будет несколько больше. Пользуясь таблицей сортамента, выбираем РГР по сопромату Тогда РГР по сопромату

Проверяем напряжения в сечении РГР по сопромату стержня:

РГР по сопромату

РГР по сопромату

2. Определение числа заклепок из условий прочности на срез и смятие:

а) допускаемое усилие на одну заклепку из условия прочности на срез (заклепки двухсрезные РГР по сопромату)

РГР по сопромату

б) допускаемое усилие на одну заклепку из условия прочности на смятие РГР по сопромату где РГР по сопромату (толщина косынки меньше удвоенной толщины полки уголка, поэтому расчетная площадь смятия определяется по толщине косынки).

Необходимое число заклепок определяем из условия прочности на срез, так как РГР по сопромату принимаем РГР по сопромату