РГР по математике

На этой странице собран решения ргр математики для школьников и студентов, с помощью этой теории и практики примеров решения можно быстро освежить всю базовую программу, но если у вас нету времени и вам нужна срочная помощь вы всегда можете написать мне и я помогу.


Вычисление производных

Формулы дифференцирования

Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например:

РГР по математике

Вы, конечно, узнали эти формулы - они были получены нами в §32.

Список формул дифференцирования будет постепенно пополняться. Здесь мы добавим три формулы, которые выводятся по алгоритму, приведенному в §32. Определенные технические трудности при этом, естественно, возникают. Поступим так: сначала укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем несколько примеров, а в конце п.1 докажем новые формулы.

Итак, сообщаем новые формулы дифференцирования:

РГР по математике

РГР Пример 1.

Найти значение производной данной функции в данной точке:

а) РГР по математике б) РГР по математике в) РГР по математике г) РГР по математике д) РГР по математике е) РГР по математике РГР по математике

Решение:

а) Имеем: РГР по математике значит, производная равна 3 в любой точке РГР по математике в частности, в заданной точке РГР по математике

Итак, производная функции РГР по математике в точке РГР по математике равна 3; на математическом языке это удобнее записать так: РГР по математике

б) Имеем: РГР по математикезначит, РГР по математике

в) Имеем: РГР по математике значит РГР по математике

г) Имеем: РГР по математике значит РГР по математике

д) Имеем: РГР по математике значит РГР по математике

е) Имеем: РГР по математике значит РГР по математике

РГР по математике

Рис. 123

Важное замечание. Когда в главе 1 мы строили график функции РГР по математике то обратили ваше внимание на следующее обстоятельство: из начала координат синусоида выходит как бы под углом 45° (рис.123). и там же сознались: почему это так, мы пока пояснить вам не можем, соответствующий разговор будет поднее. "Момент истины" наступил.

Мы только что видели, что для функции РГР по математике выполняется равенство: РГР по математике в данном случае - это угловой коэффициент касательной к графику функции РГР по математике в точке РГР по математике Если угловой коэффициент прямой равен 1, то прямая образует с положительным направление оси РГР по математикеугол 45°. Это обстоятельство и учитывается при построении графика функции РГР по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по математике помощь в учёбе

РГР Пример 2.

Составим уравнение касательной к графику функции РГР по математике в точке РГР по математике

Решение:

Уравнение касательной, как и уравнение всякой прямой, имеет вид РГР по математике Найдем сначала РГР по математике - это угловой коэффициент касательной, который, как мы знаем, равен РГР по математике

Имеем: РГР по математике значит, РГР по математике

Итак, РГР по математике т.е. уравнение касательной надо искать в виде РГР по математике

Осталось найти значение коэффициента РГР по математике Для этого воспользуемся тем, что касательная проходит через точку на параболе РГР по математике с абсциссой РГР по математике т.е. через точку (1; 1). Имеем:

РГР по математике

РГР по математике

Рис. 124

Итак, уравнение касательной имеет вид РГР по математике На рис. 124 изображена парабола РГР по математике и построена прямая РГР по математике чертеж наглядно демонстрирует, что эта прямая касается параболы в точке (1; 1). Ответ: РГР по математике

А теперь выполним данное выше обещание: Выведем новые формулы дифференцирования.

Найдем производную функции РГР по математике

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Для фиксированного значения РГР по математике (разумеется мы полагаем, что РГР по математике) имеем: РГР по математике

2) В точке РГР по математике имеем: РГР по математике

3) РГР по математике

4) РГР по математике Здесь полезно применить искусственный прием: домножить и числитель, и знаменатель дроби на выражение РГР по математике Что это даст? В числителе мы получим "разность квадратов": РГР по математике, т.е. РГР по математике или РГР по математике а сама дробь примет вид: РГР по математике т.е. РГР по математике

Итак, РГР по математике

5) РГР по математике

Таким образом, РГР по математике

В процессе рассуждений мы воспользовались тем, что если РГР по математике то РГР по математике и РГР по математике

Найдем производную функции РГР по математике

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Для фиксированного значения РГР по математике имеем: РГР по математике

2) В точке РГР по математике имеем: РГР по математике

3) РГР по математике Преобразуем полученное выражение, воспользовавшись формулой "разности синусов" РГР по математике

РГР по математике

4) РГР по математикеРГР по математике В правой части полученного равенства - обратите внимание - три раза содержится выражение РГР по математике Есть смысл обозначить его буквой РГР по математике Получим РГР по математике

5) РГР по математике

А далее рассуждаем так: РГР по математике значит РГР по математике и под знаком предела вместо условия РГР по математике можно записать условие РГР по математике

Таким образом,

РГР по математике

Получили произведение пределов. Первый предел равен 1 (см. п.2 §31). А второй предел равен РГР по математике В итоге получаем РГР по математике

Итак,

РГР по математике

Аналогично выводится формула

РГР по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по математике помощь с примерами онлайн

Правила дифференцирования

Здесь речь пойдет о правилах нахождения производных суммы, произведения, частного функций. Приведем эти правила.

Правило 1. Если функции РГР по математике и РГР по математике имеют производную в точке РГР по математике то и их сумма имеет производную в точке РГР по математике причем производная суммы равна сумме производных:

РГР по математике

На практике это правило формулируют короче: производная суммы равна сумме производных. При этом речь может идти о дифференцировании суммы любого числа функций.

Например, РГР по математике

Правило 2. Если функция РГР по математике имеет производную в точке РГР по математике то и функция РГР по математике имеет производную в точке РГР по математике причем:

РГР по математике

На практике это правило формулируют короче: постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Например,

РГР по математике

Правило 3. Если функции РГР по математике и РГР по математике имеют производную в точке РГР по математике то и их произведение имеет производную в точке РГР по математике причем:

РГР по математике

На практике это правило формулируют так: производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых.

Первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Например: РГР по математике РГР по математике

Правило 4. Если функции РГР по математике и имеют производную в точке РГР по математике причем в этой точке РГР по математике то и частное РГР по математике имеет производную в точке РГР по математике причем:

РГР по математике

Например, РГР по математикеРГР по математике

Дальнейший план изложения материала в этом пункте будет таким. Сначала мы выведем первые два правида дифференцирования - это сравнительно не трудно. Затем рассмотрим ряд примеров на использование правил и формул дифференцирования, чтобы вы к ним привыкли. В самом конце пункта мы приведем доказательство третьего правила дифференцирования - для тех, кому это интересно.

Выведем правило дифференцирования функции РГР по математике

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Положим, ради удобства, РГР по математике Для фиксированного значения РГР по математике имеем: РГР по математике

2) В точке РГР по математике имеем: РГР по математике

3) РГР по математикеРГР по математикеРГР по математике

Итак, РГР по математике

4) РГР по математике

5) РГР по математикеРГР по математике

Итак,

РГР по математике

Выведем правило дифференцирования функции РГР по математике

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Положим, ради удобства, РГР по математике Для фиксированного значения РГР по математике имеем: РГР по математике

2) В точке РГР по математике имеем: РГР по математике

3) РГР по математикеРГР по математике

Итак, РГР по математике

4) РГР по математике

5) РГР по математике

Получим РГР по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по математике заказать

РГР Пример 3.

Найти производную функции РГР по математике

Решение:

Имеем:

РГР по математикеРГР по математике

Мы воспользовались первым и вторым правилами, а также формулами дифференцирования линейной функции РГР по математике и функции РГР по математике

Ответ: РГР по математике

РГР Пример 4.

Найти производные функций а) РГР по математике; б) РГР по математике; в) РГР по математике.

Решение:

а) Представим РГР по математике в виде РГР по математике и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

РГР по математике

Итак,

РГР по математике

б) Представим РГР по математике в виде РГР по математике и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

РГР по математике

Итак, РГР по математике

в) Представим РГР по математике в виде РГР по математике и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

РГР по математике

Итак, РГР по математике

Ответ: а) РГР по математике; б) РГР по математике; в) РГР по математике.

А теперь сравним пять формул: две формулы, которые мы знали раньше, и те три формулы, которые мы вывели в примере 4. Смотрите:

РГР по математике

Возникает естественная гипотеза: для любого натурального показателя РГР по математике справедлива формула дифференцирования:

РГР по математике (1)

Важное замечание. "Естественная гипотеза" - это стилистический оборот из области интуиции. Интуиция хороша для открытия новых фактов, но не для обоснования. Формулу (1) мы "прочувствовали", но строго не обосновали. Приведем (для интересующихся) строгое доказательство.

Мы знаем, что РГР по математике Эту формулу можно переписать в виде РГР по математике. Значит формула (1) верна для РГР по математике

Предположим, что формула (1) верна для натурального числа РГР по математике т.е. предположим, что верно равенство РГР по математике. Докажем, что формула (1) верна и для следующего натурального числа РГР по математике т.е. докажем, что РГР по математике.

В самом деле имеем:

РГР по математике РГР по математике

Итак, для РГР по математике формула (1) верна - это мы проверили. Далее, мы доказали, что если формула (1) верна для РГР по математике то она верна и для РГР по математикеВоспользуемся этим: формула (1) верна для РГР по математике значит, она верна и для следующего числа РГР по математике так как она верна для РГР по математике то она верна и для следующего числа РГР по математике и т.д. Значит формула (1) верна для любого натурального числа РГР по математике

Использованный здесь метод рассуждения носит в математике название метод математической индукции.

Пользуясь формулой (1) и соответствующими правилами дифференцирования, можно найти производную любого многочлена.

РГР Пример 5.

Найти точки, в которых касательная к графику функции РГР по математике параллельна оси РГР по математике.

Решение:

Имеем: РГР по математике Если касательная параллельна оси РГР по математике то ее угловой коэффициент равен нулю. Но, с другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Значит, нам нужно найти точки, в которых производная обращается в нуль. Имеем: РГР по математике находим:РГР по математике

Далее, РГР по математике

РГР по математике

РГР по математике

Рис. 125

Итак, касательная, проведенная к графику функции РГР по математике в точке (1; 0) или в точке (-1; 4), будет параллельна оси РГР по математике На рис. 125 дана геометрическая иллюстрация полученного результата — построен график функции РГР по математике При этом мы учли, что РГР по математике т.е. график пересекает ось абсцисс в точке РГР по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по математике онлайн

РГР Пример 6.

Найти производные функций: а) РГР по математике б) РГР по математике

Решение:

а) Воспользуемся тем, что РГР по математике, и правилом дифференцирования частного. Получим:

РГР по математике

Таким образом, мы вывели еще одну формулу дифференцирования:

РГР по математике

Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значениях РГР по математике т.е. при РГР по математике

б) Рассуждая аналогично (советуем вам выполнить соответствующие рассуждения), получим:

РГР по математике

В математике наряду с прямой задачей часто решают обратную. До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нужно саму функцию. Если, например, известно, что РГР по математике то РГР по математике в самом деле, производная от РГР по математике равна РГР по математике Если известно, что РГР по математике, то нетрудно догадаться, что РГР по математике; в самом деле, РГР по математике.

Далее в §37 мы подробнее поговорим о решении обратных задач, т.е. о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.

Завершая этот пункт, выполним данное выше обещание, выведем правило дифференцирования произведения, т.е. функции РГР по математике

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Положим, ради удобства, РГР по математике Для фиксированного значения РГР по математике имеем: РГР по математике

2) В точке РГР по математике имеем: РГР по математикеРГР по математике РГР по математике

3) РГР по математикеРГР по математикеРГР по математике

4) РГР по математике РГР по математике

5) РГР по математикеРГР по математике РГР по математике

Итак,

РГР по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по математике онлайн

Дифференцирование функции

Мы знаем, чему равны производные функций: РГР по математике РГР по математике РГР по математике Нередко на практике приходится находить производные функцийРГР по математике РГР по математике и т.д. Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции РГР по математике то как вычислить производную функции РГР по математике

С функцией РГР по математике можно поступить так. Известно, что РГР по математике Тогда:

РГР по математикеРГР по математикеРГР по математикеРГР по математике

Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что

РГР по математике

Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций РГР по математике Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции РГР по математике Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не РГР по математике а РГР по математике Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при РГР по математике Например, справедливы следующие формулы:

РГР по математике

РГР по математике

Вообще, справедливо следующее утверждение.

Теорема. Производная функции РГР по математике вычисляется по формуле

РГР по математике

Доказательство теоремы приведем после решения примера.

РГР Пример 7.

Найти значение производной функции РГР по математике где РГР по математике, в точке РГР по математике

Решение:

Сначала найдем производную в произвольной точке РГР по математике Известно, что РГР по математике. По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства: 1) под знаком корня напишем не РГР по математике а РГР по математике 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при РГР по математике Таким образом,

РГР по математике РГР по математике

Чтобы вычислить РГР по математике в полученное выражение подставим РГР по математике:

РГР по математике

Ответ: РГР по математике

Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.

Введем обозначение РГР по математике и заметим, что если аргументу РГР по математике придать приращение РГР по математике то переменная РГР по математике получит приращение РГР по математике В самом деле,

РГР по математике

А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.

1) Положим, ради удобства, РГР по математике Для фиксированного значения РГР по математике имеем: РГР по математике

2) В точке РГР по математике имеем: РГР по математикеРГР по математике

3) РГР по математике

4) РГР по математикеРГР по математике

5) РГР по математике

Итак, РГР по математике

РГР Пример 2.6.5.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции РГР по математике на отрезке [-2, 1].

Решение:

Так как функция РГР по математике дифференцируема на всей числовой оси, то подозрительные на экстремум точки совпадают со стационарными точками, которые находим из условия РГР по математикеРГР по математике.

Точки РГР по математике=0 и РГР по математике=-1 являются внутренними для отрезка [-2, 1].

Находим РГР по математике затем - значения функции в граничных точках отрезка РГР по математике=-2 и РГР по математике=1, РГР по математике

Сравнивая найденные значения, видим, что наибольшее значение достигается в точке РГР по математике=-2 и равно 11, а наименьшее - в точках РГР по математике = ±1 и равно 2.

РГР Пример 2.6.6.

Найти дифференциал функции РГР по математике.

Решение:

Находим производную данной функции:

РГР по математике тогда РГР по математике

РГР Пример 2.6.7.

Найти дифференциал второго порядка функции РГР по математике

Решение:

Имеем: РГР по математике

РГР по математике РГР по математике.

Тогда РГР по математике.

РГР Пример 2.6.8.

Вычислить приращение стороны куба, если известно, что его объем увеличится от 27 до 27,1 м³.

Решение:

Если РГР по математике - объем куба, то его сторона РГР по математике По условию задачи РГР по математике = 27, РГР по математике = 0,1. Тогда приращение стороны куба

РГР по математике

РГР Пример 2.6.9.

Найти приближенно РГР по математике 31°.

Решение:

РГР по математике. Полагаем РГР по математике тогда РГР по математике

РГР по математике РГР по математике

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции РГР по математике, если известна абсолютная погрешность РГР по математике аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается неизвестной.

Пусть требуется вычислить значение функция РГР по математике при некотором значении аргумента РГР по математике истинная величина которого нам неизвестна, но дано его приближенное значение РГР по математике с абсолютной погрешностью РГР по математике. Тогда

РГР по математике.

Отсюда видно, что РГР по математике.

Относительная погрешность функции РГР по математике выражается формулой

РГР по математике

Например, если в примере 2.6.7 принять РГР по математике = 0,017, то

РГР по математике

РГР по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР Пример 2.6.10.

Удовлетворяет ли функция РГР по математике условиям теоремы Ферма на отрезке [1,4]?

Решение:

Данная функция условиям теоремы Ферма на отрезке [1, 4] не удовлетворяет, так сак она монотонно убывает на этом отрезке и, следовательно, принимает наибольшее значение при РГР по математике = 1 и наименьшее значение при РГР по математике = 4, т. е. не во внутренних точках отрезка [1,4]. Поэтому теорема Ферма здесь неприменима; иными словами, нельзя утверждать, что РГР по математике. Действительно, РГР по математике, РГР по математике.

РГР Пример 2.6.11.

Справедлива ли теорема Ролля:

1) для функции РГР по математике на отрезке [-5,-1];

2) для функции РГР по математике на отрезке [0, 8]?

Решение:

1) Так как функция РГР по математике непрерывна и дифференцируема при всех РГР по математике и ее значения на концах отрезка [-5,-1] равны, т.е. РГР по математике, то в данном случае все условия теоремы Ролля выполняются. Значение РГР по математике, при котором производная РГР по математике обращается в нуль, найдем из уравнения РГР по математике, откуда РГР по математике.

2) Функция непрерывна на отрезке [0,8], кроме того, РГР по математике; значит, два условия теоремы Ролля выполнены.

Однако производная РГР по математике не существует во внутренней точке РГР по математике интервала (0,8) и, следовательно, третье условие теоремы Ролля не выполняется. Таким образом, эта теорема к данной функции неприменима. В самом деле, РГР по математике на отрезке [0, 8].