РГР по математике

Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
2. Вычисление производных. Формулы дифференцирования
3. РГР Пример 1.
4. Решение:
5. РГР Пример 2.
6. Решение:
7. Правила дифференцирования
8. РГР Пример 3.
9. Решение:
10. РГР Пример 4.
11. Решение:
12. РГР Пример 5.
13. Решение:
14. РГР Пример 6.
15. Решение:
16. Дифференцирование функции
17. РГР Пример 7.
18. Решение:
19. РГР Пример 2.6.5.
20. Решение:
21. РГР Пример 2.6.6.
22. Решение:
23. РГР Пример 2.6.7.
24. Решение:
25. РГР Пример 2.6.8.
26. Решение:
27. РГР Пример 2.6.9.
28. Решение:
29. РГР Пример 2.6.10.
30. Решение:
31. РГР Пример 2.6.11.
32. Решение:

Вычисление производных. Формулы дифференцирования

Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например:

Вы, конечно, узнали эти формулы - они были получены нами в §32.

Список формул дифференцирования будет постепенно пополняться. Здесь мы добавим три формулы, которые выводятся по алгоритму, приведенному в §32. Определенные технические трудности при этом, естественно, возникают. Поступим так: сначала укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем несколько примеров, а в конце п.1 докажем новые формулы.

Итак, сообщаем новые формулы дифференцирования:

РГР Пример 1.

Найти значение производной данной функции в данной точке:

а) б) в) г) д) е)

Решение:

а) Имеем: значит, производная равна 3 в любой точке в частности, в заданной точке

Итак, производная функции в точке равна 3; на математическом языке это удобнее записать так:

б) Имеем: значит,

в) Имеем: значит

г) Имеем: значит

д) Имеем: значит

е) Имеем: значит

Рис. 123

Важное замечание. Когда в главе 1 мы строили график функции то обратили ваше внимание на следующее обстоятельство: из начала координат синусоида выходит как бы под углом 45° (рис.123). и там же сознались: почему это так, мы пока пояснить вам не можем, соответствующий разговор будет поднее. "Момент истины" наступил.

Мы только что видели, что для функции выполняется равенство: в данном случае - это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке Если угловой коэффициент прямой равен 1, то прямая образует с положительным направление оси угол 45°. Это обстоятельство и учитывается при построении графика функции

РГР Пример 2.

Составим уравнение касательной к графику функции в точке

Решение:

Уравнение касательной, как и уравнение всякой прямой, имеет вид Найдем сначала - это угловой коэффициент касательной, который, как мы знаем, равен

Имеем: значит,

Итак, т.е. уравнение касательной надо искать в виде

Осталось найти значение коэффициента Для этого воспользуемся тем, что касательная проходит через точку на параболе с абсциссой т.е. через точку (1; 1). Имеем:

Рис. 124

Итак, уравнение касательной имеет вид На рис. 124 изображена парабола и построена прямая чертеж наглядно демонстрирует, что эта прямая касается параболы в точке (1; 1). Ответ:

А теперь выполним данное выше обещание: Выведем новые формулы дифференцирования.

Найдем производную функции

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Для фиксированного значения (разумеется мы полагаем, что ) имеем:

2) В точке имеем:

3)

4) Здесь полезно применить искусственный прием: домножить и числитель, и знаменатель дроби на выражение Что это даст? В числителе мы получим "разность квадратов": , т.е. или а сама дробь примет вид: т.е.

Итак,

5)

Таким образом,

В процессе рассуждений мы воспользовались тем, что если то и

Найдем производную функции

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Для фиксированного значения имеем:

2) В точке имеем:

3) Преобразуем полученное выражение, воспользовавшись формулой "разности синусов"

4) В правой части полученного равенства - обратите внимание - три раза содержится выражение Есть смысл обозначить его буквой Получим

5)

А далее рассуждаем так: значит и под знаком предела вместо условия можно записать условие

Таким образом,

Получили произведение пределов. Первый предел равен 1 (см. п.2 §31). А второй предел равен В итоге получаем

Итак,

Аналогично выводится формула

Правила дифференцирования

Здесь речь пойдет о правилах нахождения производных суммы, произведения, частного функций. Приведем эти правила.

Правило 1. Если функции и имеют производную в точке то и их сумма имеет производную в точке причем производная суммы равна сумме производных:

На практике это правило формулируют короче: производная суммы равна сумме производных. При этом речь может идти о дифференцировании суммы любого числа функций.

Например,

Правило 2. Если функция имеет производную в точке то и функция имеет производную в точке причем:

На практике это правило формулируют короче: постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Например,

Правило 3. Если функции и имеют производную в точке то и их произведение имеет производную в точке причем:

На практике это правило формулируют так: производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых.

Первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Например:

Правило 4. Если функции и имеют производную в точке причем в этой точке то и частное имеет производную в точке причем:

Например,

Дальнейший план изложения материала в этом пункте будет таким. Сначала мы выведем первые два правида дифференцирования - это сравнительно не трудно. Затем рассмотрим ряд примеров на использование правил и формул дифференцирования, чтобы вы к ним привыкли. В самом конце пункта мы приведем доказательство третьего правила дифференцирования - для тех, кому это интересно.

Выведем правило дифференцирования функции

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной:

1) Положим, ради удобства, Для фиксированного значения имеем:

2) В точке имеем:

3)

Итак,

4)

5)

Итак,

Выведем правило дифференцирования функции

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Положим, ради удобства, Для фиксированного значения имеем:

2) В точке имеем:

3)

Итак,

4)

5)

Получим

РГР Пример 3.

Найти производную функции

Решение:

Имеем:

Мы воспользовались первым и вторым правилами, а также формулами дифференцирования линейной функции и функции

Ответ:

РГР Пример 4.

Найти производные функций а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Представим в виде и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

Итак,

б) Представим в виде и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

Итак,

в) Представим в виде и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

Итак,

Ответ: а) ; б) ; в) .

А теперь сравним пять формул: две формулы, которые мы знали раньше, и те три формулы, которые мы вывели в примере 4. Смотрите:

Возникает естественная гипотеза: для любого натурального показателя справедлива формула дифференцирования:

(1)

Важное замечание. "Естественная гипотеза" - это стилистический оборот из области интуиции. Интуиция хороша для открытия новых фактов, но не для обоснования. Формулу (1) мы "прочувствовали", но строго не обосновали. Приведем (для интересующихся) строгое доказательство.

Мы знаем, что Эту формулу можно переписать в виде . Значит формула (1) верна для

Предположим, что формула (1) верна для натурального числа т.е. предположим, что верно равенство . Докажем, что формула (1) верна и для следующего натурального числа т.е. докажем, что .

В самом деле имеем:

Итак, для формула (1) верна - это мы проверили. Далее, мы доказали, что если формула (1) верна для то она верна и для Воспользуемся этим: формула (1) верна для значит, она верна и для следующего числа так как она верна для то она верна и для следующего числа и т.д. Значит формула (1) верна для любого натурального числа

Использованный здесь метод рассуждения носит в математике название метод математической индукции.

Пользуясь формулой (1) и соответствующими правилами дифференцирования, можно найти производную любого многочлена.

РГР Пример 5.

Найти точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси .

Решение:

Имеем: Если касательная параллельна оси то ее угловой коэффициент равен нулю. Но, с другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Значит, нам нужно найти точки, в которых производная обращается в нуль. Имеем: находим:

Далее,

Рис. 125

Итак, касательная, проведенная к графику функции в точке (1; 0) или в точке (-1; 4), будет параллельна оси На рис. 125 дана геометрическая иллюстрация полученного результата — построен график функции При этом мы учли, что т.е. график пересекает ось абсцисс в точке

РГР Пример 6.

Найти производные функций: а) б)

Решение:

а) Воспользуемся тем, что , и правилом дифференцирования частного. Получим:

Таким образом, мы вывели еще одну формулу дифференцирования:

Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значениях т.е. при

б) Рассуждая аналогично (советуем вам выполнить соответствующие рассуждения), получим:

В математике наряду с прямой задачей часто решают обратную. До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нужно саму функцию. Если, например, известно, что то в самом деле, производная от равна Если известно, что , то нетрудно догадаться, что ; в самом деле, .

Далее в §37 мы подробнее поговорим о решении обратных задач, т.е. о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.

Завершая этот пункт, выполним данное выше обещание, выведем правило дифференцирования произведения, т.е. функции

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Положим, ради удобства, Для фиксированного значения имеем:

2) В точке имеем:

3)

4)

5)

Итак,

Дифференцирование функции

Мы знаем, чему равны производные функций: Нередко на практике приходится находить производные функций и т.д. Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции то как вычислить производную функции

С функцией можно поступить так. Известно, что Тогда:

Воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что

Хорошо, скажете вы, а как быть с производной функций Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выведенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не а Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется известная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту при Например, справедливы следующие формулы:

Вообще, справедливо следующее утверждение.

Теорема. Производная функции вычисляется по формуле

Доказательство теоремы приведем после решения примера.

РГР Пример 7.

Найти значение производной функции где , в точке

Решение:

Сначала найдем производную в произвольной точке Известно, что . По этой формуле найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства: 1) под знаком корня напишем не а 2) укажем дополнительный множитель, равный -2,16, — это коэффициент при Таким образом,

Чтобы вычислить в полученное выражение подставим :

Ответ:

Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.

Введем обозначение и заметим, что если аргументу придать приращение то переменная получит приращение В самом деле,

А теперь применим известный алгоритм из пяти шагов для отыскания производной.

1) Положим, ради удобства, Для фиксированного значения имеем:

2) В точке имеем:

3)

4)

5)

Итак,

РГР Пример 2.6.5.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2, 1].

Решение:

Так как функция дифференцируема на всей числовой оси, то подозрительные на экстремум точки совпадают со стационарными точками, которые находим из условия .

Точки =0 и =-1 являются внутренними для отрезка [-2, 1].

Находим затем - значения функции в граничных точках отрезка =-2 и =1,

Сравнивая найденные значения, видим, что наибольшее значение достигается в точке =-2 и равно 11, а наименьшее - в точках = ±1 и равно 2.

РГР Пример 2.6.6.

Найти дифференциал функции .

Решение:

Находим производную данной функции:

тогда

РГР Пример 2.6.7.

Найти дифференциал второго порядка функции

Решение:

Имеем:

.

Тогда .

РГР Пример 2.6.8.

Вычислить приращение стороны куба, если известно, что его объем увеличится от 27 до 27,1 м³.

Решение:

Если - объем куба, то его сторона По условию задачи = 27, = 0,1. Тогда приращение стороны куба

РГР Пример 2.6.9.

Найти приближенно 31°.

Решение:

. Полагаем тогда

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешность аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается неизвестной.

Пусть требуется вычислить значение функция при некотором значении аргумента истинная величина которого нам неизвестна, но дано его приближенное значение с абсолютной погрешностью . Тогда

.

Отсюда видно, что .

Относительная погрешность функции выражается формулой

Например, если в примере 2.6.7 принять = 0,017, то

РГР Пример 2.6.10.

Удовлетворяет ли функция условиям теоремы Ферма на отрезке [1,4]?

Решение:

Данная функция условиям теоремы Ферма на отрезке [1, 4] не удовлетворяет, так сак она монотонно убывает на этом отрезке и, следовательно, принимает наибольшее значение при = 1 и наименьшее значение при = 4, т. е. не во внутренних точках отрезка [1,4]. Поэтому теорема Ферма здесь неприменима; иными словами, нельзя утверждать, что . Действительно, , .

РГР Пример 2.6.11.

Справедлива ли теорема Ролля:

1) для функции на отрезке [-5,-1];

2) для функции на отрезке [0, 8]?

Решение:

1) Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех и ее значения на концах отрезка [-5,-1] равны, т.е. , то в данном случае все условия теоремы Ролля выполняются. Значение , при котором производная обращается в нуль, найдем из уравнения , откуда .

2) Функция непрерывна на отрезке [0,8], кроме того, ; значит, два условия теоремы Ролля выполнены.

Однако производная не существует во внутренней точке интервала (0,8) и, следовательно, третье условие теоремы Ролля не выполняется. Таким образом, эта теорема к данной функции неприменима. В самом деле, на отрезке [0, 8].

Возможно, вас также заинтересует:

• Заказать работу по математике помощь в учёбе
• Решение задач по математике помощь с примерами онлайн
• Контрольная работа по математике заказать
• Помощь по математике онлайн
• Заказать РГР расчетно-графическую работу