Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совладение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами (резонанс напряжений)

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
Для цели на рис.1 имеет место

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

где

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
В зависимости от соотношения величин и Резонансные явления в цепях синусоидального тока возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. Резонансные явления в цепях синусоидального тока а следовательно,

Резонансные явления в цепях синусоидального тока Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
2. В цепи преобладает емкость, т.е. Резонансные явления в цепях синусоидального тока а значит, Резонансные явления в цепях синусоидального тока Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,6.

3. Резонансные явления в цепях синусоидального тока - случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Мощность в электрических цепях

Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Условие резонанса напряжений

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
При этом, как следует из (1) и (2), Резонансные явления в цепях синусоидального тока .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цели на рис. 1 Резонансные явления в цепях синусоидального тока. Тогда Резонансные явления в цепях синусоидального тока , и, соответственно, Резонансные явления в цепях синусоидального тока.

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае Резонансные явления в цепях синусоидального тока, и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений Резонансные явления в цепях синусоидального тока.

Как показывает анализ уравнения (з), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и С, а также частоты. Па основании (3) для резонансной частоты можно записать

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые 1(f); Резонансные явления в цепях синусоидального тока для цепи на рис 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
и характеризующая "избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

или с учетом (4) и (5) для Резонансные явления в цепях синусоидального тока можно записать:

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами (резонанс токов)


Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Для цели рис. 4 имеем

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

где

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
В зависимости от соотношения величин Резонансные явления в цепях синусоидального тока, как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
В цепи преобладает индуктивность, т.е. Резонансные явления в цепях синусоидального тока, а следовательно, Резонансные явления в цепях синусоидального тока. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. Резонансные явления в цепях синусоидального тока, а значит, Резонансные явления в цепях синусоидального тока .Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,6.

Резонансные явления в цепях синусоидального тока случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов Резонансные явления в цепях синусоидального тока или

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
При этом, как следует из (8) и (9), Резонансные явления в цепях синусоидального тока. Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. 8 частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты 8 цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
Например, для цепи на рис. б имеем

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
Поскольку в режиме резонанса мнимая часть Резонансные явления в цепях синусоидального тока должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления Резонансные явления в цепях синусоидального тока или входной проводимости Резонансные явления в цепях синусоидального тока определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно Резонансные явления в цепях синусоидального тока нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления Резонансные явления в цепях синусоидального тока или входной реактивной проводимости Резонансные явления в цепях синусоидального тока следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням Резонансные явления в цепях синусоидального тока ,т.е. Резонансные явления в цепях синусоидального тока или Резонансные явления в цепях синусоидального тока. Тогда корни уравнения Резонансные явления в цепях синусоидального тока дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения Резонансные явления в цепях синусоидального тока - значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее количество резонансных частот в восьмом контуре уменьшается за счет уменьшения количества этих элементов в схеме с наименьшим числом (с использованием эквивалентных преобразований), тем самым уменьшая количество индуктивных и емкостных элементов в контуре из исходной схемы. Один меньше. Характерным в этом случае является то, что резонансные моды напряжения и тока чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Резонансные явления в цепях синусоидального тока
Из решения уравнения Резонансные явления в цепях синусоидального тока получаем частоту Резонансные явления в цепях синусоидального тока, соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения Резонансные явления в цепях синусоидального тока - частоту Резонансные явления в цепях синусоидального тока, соответствующую резонансу токов.