Решение задач по теории вероятности

Если у вас нет времени на выполнение заданий по теории вероятности, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Решение задач по теории вероятностиwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятностиОтветы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:

Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятностиСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Решение задач по теории вероятностиКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Решение задач по теории вероятностиЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Решение задач по теории вероятностиМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Решение задач по теории вероятностиКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Решение задач по теории вероятностиКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Решение задач по теории вероятностиВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятностиНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Теория вероятностей", если у вас есть желание и много свободного времени!

Решение задач по теории вероятности

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
  2. Случайные события и их вероятности
  3. Задача 1.
  4. Решение:
  5. Задача 2.
  6. Решение:
  7. Задача 3.
  8. Решение:
  9. Задача 4.
  10. Решение:
  11. Задача 5.
  12. Решение:
  13. Задача 6.
  14. Решение:
  15. Задача 7.
  16. Решение:
  17. Задача 8.
  18. Решение:
  19. Задача 9.
  20. Решение:
  21. Относительная частота события и случайные величины
  22. Решим задачу:
  23. Задача 10.
  24. Решение:
  25. Важнейшие свойства вероятности случайного события
  26. Графические представления информации о выборке
  27. Задача 11.
  28. Решение:
  29. Сведения о статистике
  30. Задача 12.
  31. Решение:
  32. Задача 13.
  33. Решение:
  34. Задача 14.
  35. Решение:
  36. Комбинации и бином ньютона
  37. Задача 15.
  38. Обратите внимание! Полагают также, что для любого
  39. Задача 16.
  40. Решение:
  41. Задача 17.
  42. Решение:
  43. Задача 18.
  44. Решение:
  45. Задача 19.
  46. Решение:
  47. Задача 20.
  48. Решение:
  49. Задача 21.
  50. Решение:
  51. Задача 22.
  52. Решение:
  53. Размещения и перестановки
  54. Задача 23.
  55. Решение:
  56. Задача 24.
  57. Решение:
  58. Задача 25.
  59. Решение:
  60. Рассмотрим несколько таких уравнений
  61. Задача 26.
  62. Решение:
  63. Задача 27.
  64. Решение:
  65. Задача 28.
  66. Решение:
  67. Задача 29.
  68. Решение:
  69. Задача 30.
  70. Решение:
  71. Задача 31.
  72. Решение:
  73. Комбинаторика. правила суммы и произведения
  74. Рассмотрим два основных правила, с помощью которых решается много комбинаторных задач
  75. Задача 32.
  76. Решение:
  77. Задача 33.
  78. Решение:
  79. Задача 34.
  80. Решение:
  81. Задача 35.
  82. Решение:
  83. Задача 36.
  84. Решение:
  85. Задача 37.
  86. Решение:
  87. Задача 38.
  88. Решение:

Случайные события и их вероятности

Построением и исследованием моделей различных процессов, связанных с понятием случайности, занимаются математическая статистика и теория вероятностей. К таким процессам, например, относятся риски (рискованные операции) на производстве и в банковском деле, массовые заболевания среди растений, животных или людей, азартные игры.

  • Из предыдущих классов вы уже имеете некоторые представления о теории вероятностей, теперь немного расширим и углубим их.

Важнейшими понятиями теории вероятностей являются вероятностный эксперимент (испытаниеу наблюдение), событие (следствие испытания) и вероятность события. Приведём примеры испытаний и их отдельных последствий — некоторых событий.

Решение задач по теории вероятности

Последнее событие невозможное, поскольку на гранях игрального кубика нет нуля. Событие 3 достоверное, так как после зимы всегда наступает весна. События 1 и 2 случайные.

Вообще, событие называется невозможным, если оно никогда не может произойти, достоверным — если оно всегда происходит. Если событие может произойти или не произойти, его называют случайным.

Принято считать, что невозможное и достоверное события — частные случаи случайного события.

События обозначают большими латинскими буквами А, В, С,..., или одной латинской буквой с индексом: Решение задач по теории вероятности Содержание события подают в фигурных скобках. Например, третье событие из таблицы можно записать так:

Решение задач по теории вероятности = {весна наступила}.

Сказать заранее о случайном событии, что оно состоится или не состоится, нельзя. Если же это событие массовое, выполняется много раз и при одинаковых условиях, то вероятность его наступления можно характеризовать некоторым числом.

Это можно сделать тогда, когда последствия испытаний равновозможные и составляют конечное множество, т.е. в условиях проведённого испытания нет оснований считать появление одного из следствий более или менее возможным, чем других.

Рассмотрим пример. Бросают один раз правильный однородный игорный кубик (рис. 159) и фиксируют количество очков на грани, оказавшейся вверху. Результатом такого испытания могут стать 6 различных событий: Решение задач по теории вероятностиРешение задач по теории вероятности

Эти шесть событий охватывают и исчерпывают все возможные последствия эксперимента. Они попарно несовместимы, ибо каждый раз выпадает только одно количество очков. Все шесть событий одинаково возможны, поскольку речь идёт об однородном кубике правильной формы и ловкость игрока исключается. В таком случае говорят, что для осуществления каждого из этих событий существует один шанс из шести.

Каждое из событий Решение задач по теории вероятности вышеописанного испытания называют элементарным, а всё их множество — пространством элементарных событий.

Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством элементарных событии и обозначают греческой буквой Решение задач по теории вероятности (омега).

Если пространство элементарных событий для некоторого испытания состоит из Решение задач по теории вероятностиравновозможных несовместимых событий, то вероятность каждого из них равна Решение задач по теории вероятности. Например, вероятность того, что на подброшенном игорном кубике выпадет 5 очков, равна Решение задач по теории вероятности . А вероятность того, что подброшенная монета упадёт вверх гербом, равна Решение задач по теории вероятности. Вероятность события А обозначают Р(А). Если первое из этих событий обозначить буквой А, а второе — буквой В, то Решение задач по теории вероятности

Есть события неэлементарные.

Рассмотрим, например, такое событие:

С = {появление пластинки домино с 10 очками}.

Поскольку пластинок домино всего 28, то испытание, связаНное с выбором одной пластинки, исчерпывается 28 равновозможными и независимыми последствиями. Следовательно, пространство элементарных событий для данного испытания состоит из 28 элементарных событий Решение задач по теории вероятности где Решение задач по теории вероятности- 1,2, ..., 28. Событие С может произойти, если произойдёт одно из двух элементарных событий (рис. 160):

Решение задач по теории вероятности

1) Решение задач по теории вероятности - {появление пластинки Решение задач по теории вероятности };

2) Решение задач по теории вероятности = {появление пластинки Решение задач по теории вероятности }.

Говорят, что событию С способствуют два элементарных события (Решение задач по теории вероятности, Решение задач по теории вероятности) из возможных 28, поэтому Решение задач по теории вероятности .

Рассмотрим общий случай. Пусть испытание имеет конечное количество (Решение задач по теории вероятности) равновозможных и несовместимых последствий и А — некоторое случайное событие, связанное с данным испытанием.

Будем называть элементарное событие Решение задач по теории вероятности благоприятным для случайного события А, если наступление события Решение задач по теории вероятности в результате испытания приводит к наступлению события А.

Если количество последствий (элементарных событий), благоприятных событию А, обозначить через Решение задач по теории вероятности, то вероятность случайного события А определяется по формуле: Решение задач по теории вероятности Вероятностью случайного события А называют отношение числа Решение задач по теории вероятности благоприятных для события А элементарных событий к числу Решение задач по теории вероятностивсех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания. Такое определение вероятности называют классическим.

Перечислим важнейшие свойства вероятности случайного события.

  • 1. Если С — событие невозможное, то Р(С) = 0.
  • 2. Если В — событие достоверное, то Р(В) = 1.
  • 3. Если X — событие случайное, то Решение задач по теории вероятности.
  • 4. Если Решение задач по теории вероятности — элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, тоРешение задач по теории вероятности

Задача 1.

Во время тестирования стиральной машины выяснилось, что одна из пяти деталей Решение задач по теории вероятности имеет дефект. Есть возможность за один раз проверить три детали, которые механик произвольно выбирает из определённых. Чему равна вероятность того, что: а) будет проверена деталь Решение задач по теории вероятности (событие М); б) будут проверены детали Решение задач по теории вероятностии Решение задач по теории вероятности (событие N); в) будет проверена хотя бы одна из деталей Решение задач по теории вероятностии Решение задач по теории вероятности(событие К)?

Решение:

Построим пространство элементарных событий для данного испытания (из 5 деталей выбирают 3). Имеем: Решение задач по теории вероятности

а) Событию M способствуют 6 элементарных событий из 10: Решение задач по теории вероятности. Можем найти вероятность события М.

Решение задач по теории вероятности

б) Событию N способствуют 3 элементарных события из 10 (Решение задач по теории вероятности), поэтому вероятность события N равна Решение задач по теории вероятности .

в) Событию К способствуют 9 элементарных событий из 10 (все, кроме Решение задач по теории вероятности) поэтому вероятность события К равна Решение задач по теории вероятности.

Вычислять вероятности событий часто помогают правила и формулы комбинаторики.

Задача 2.

На вершину горы ведут 4 одинаково удобные тропы. Какова вероятность того, что вы подниметесь на гору и спуститесь с неё тем же маршрутом, которым проходил там ваш товарищ?

Решение:

Всего существует 4 • 4 = 16 различных маршрутов. Поскольку все они одинаково удобны, то вероятность пройтись по одному из них равна Решение задач по теории вероятности .

Ответ. Решение задач по теории вероятности.

Задача 3.

Ученик цифрами 1, 2, 3, 4, 5 написал неизвестное вам пятизначное число. Какова вероятность того, что вы сразу отгадаете это число?

Решение:

Всего таких чисел есть Решение задач по теории вероятности = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Вероятность угадать одно из них равна Решение задач по теории вероятности . Ответ: Решение задач по теории вероятности.

Задача 4.

В корзине есть 20 яблок, одинаковых на вид, 15 из них — сладкие, а 5 — кислые. Какова вероятность того, что взятые наугад два яблока окажутся кислыми?

Решение:

Выбрать пару из всех 20 яблок можно Решение задач по теории вероятностиспособами, а из 5 яблок — Решение задач по теории вероятностиспособами. Решение задач по теории вероятности Следовательно, искомая вероятность Решение задач по теории вероятности

Задача 5.

Есть карточки с цифрами 3, 4,5, б, 7. Три из них выбирают наугад. Какова вероятность того, что из них можно составить арифметическую прогрессию?

Решение:

Три карты из пяти можно выбрать Решение задач по теории вероятности = 10 способами. Арифметические прогрессии можно составить только из таких наборов: (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7) и (3, 5, 7). Всего этих наборов 4. Следовательно, искомая вероятность Решение задач по теории вероятности

Задача 6.

Из перевёрнутых 28 костяшек домино наугад берут одну. Какова вероятность того, что на одной из её частей окажется 1 очко (событие А)?

Решение:

Подсчитаем, сколько существует костяшек домино, содержащих одно очко:Решение задач по теории вероятности. Их есть 7.

Всего возможностей выбора 28, покольку взять можно любую из 28 костяшек. Следовательно, Решение задач по теории вероятности

Ответ: 0,25.

Задача 7.

На каждой из четырёх карточек написано одну из букв А, Й, Р, К. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово КРАЙ?

Решение:

Из четырёх данных букв можно образовать Решение задач по теории вероятности перестановки. Из них условие задачи удовлетворяет только одна. Следовательно, искомая вероятность Решение задач по теории вероятности .

Ответ. Решение задач по теории вероятности

Задача 8.

На 1000 билетов лотереи приходится 1 выигрыш в 5000 грн, 10 выигрышей по 1000 грн, 50 — по 200 грн, 100 — по 50 грн. Остальные билеты невыигрышные. Найдите вероятность выигрыша на один билет, не менее чем 200 грн.

Решение:

Билетов, на которые приходятся выигрыши, не меньше 200 грн, всего 1 + 10 + 50 = 61. Общее количество билетов 1000. Поэтому искомая вероятность 61:1000 = 0,061.

Ответ.0,061.

Задача 9.

Студент пришёл на экзамен, зная ответы только на 20 из 25 вопросов программы. Найдите вероятность того, что он из трёх предложенных вопросов знает ответы минимум на два.

Решение:

Всего вариантов троек вопросов Решение задач по теории вероятности. Из них Решение задач по теории вероятности троек таких, на которые он может ответить полностью. Может он ответить и на Решение задач по теории вероятности пар вопросов.

Если к каждой такой паре вопросов присоединить один из 5 вопросов, которые он не знает, получим еще 5Решение задач по теории вероятности троек. Следовательно, искомая вероятность

Решение задач по теории вероятности

Ответ. Решение задач по теории вероятности

Относительная частота события и случайные величины

До сих пор речь шла о классическом понимании вероятности. Её вычисляют, исходя из того, что все рассматриваемые элементарные события одинаково вероятны. Такое случается сравнительно редко.

Представьте, что игральный кубик сделан так, что его грань с шестью очками находится дальше от центра масс, чем противоположная грань. Такой кубик и падает чаще вверх гранью с 6 очками. При этом наблюдается интересная и очень важная закономерность. Когда кто-то один подбросил такой кубик 1000 раз и он упал, например, 300 раз вверх гранью с 6-ю очками, то и другие экспериментаторы имели бы примерно такие же результаты. Много массовых случайных событий имеют свойство устойчивости. При достаточно большом числе независимых испытаний частота появления наблюдаемого события колеблется около одного и того же числа.

В справедливости этого многие специалисты убедились экспериментально. А математики Я. Бернулли, П. Чебышев и др. обосновали это утверждение и теоретически (закон больших чисел). Поэтому для таких (статистически устойчивых) событий есть смысл ввести понятие вероятности.

Если в Решение задач по теории вероятностииспытаниях событие А происходит Решение задач по теории вероятностираз, то дробь Решение задач по теории вероятности определяет относительную частоту события А. Во многих реальных случаях с увеличением Решение задач по теории вероятностиотносительная частота событий стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числа Решение задач по теории вероятности(когда Решение задач по теории вероятности то Решение задач по теории вероятности). Это число Решение задач по теории вероятностиназывают вероятностью события А.

Таково статистическое определение вероятности. Объем определённого им понятия гораздо шире того, что соответствует классическому определению (см. с. 314). Классическая вероятность — отдельный вид статистической. И всё же отличаются они существенно. Классическую вероятность вычисляют математическими методами, а статистическую в основном определяют экспериментально.

  • Теперь, говоря о вероятности, специалисты в основном подразумевают статистическую вероятность. Поэтому современная теория вероятностей тесно связана с математической статистикой. Объединение математической статистики и теории вероятностей называют стохастикой. Стохастический — значит случайный, вероятный.

Что такое экзит-пол? На каких основаниях ему доверяют? Экзит-пол — это опрос социологическими службами избирателей на выходе их из избирательных участков с целью предсказать результаты выборов до получения их от избирательных комиссий. Ему доверяют на основе устойчивости относительной частоты события. Если за какую-то партию или кандидата из правильно выбранных 100 избирателей проголосовали, например, 20 % избирателей участка, то можно надеяться (с погрешностью около 5 %), что так проголосовали и все избиратели участка.

Одно из важнейших понятий стохастики — случайная величина. Величину называют случайной, если она может принимать заранее неизвестные числовые значения, зависящие от случайных обстоятельств. Примеры:

  • 1) выигрыш на лотерейный билет;
  • 2) расстояние от точки попадания пули к центру мишени.

Значение первой из этих случайных величин — некоторые целые числа. Такие величины называют дискретными. Множество значений второй величины — некоторый непрерывный отрезок числовой прямой. Такие величины называют непрерывными.

Решим задачу:

Выпущено 100 лотерейных билетов. Из них 5 должны выиграть по 10 грн, 10 — по 5 грн, 40 — по 1 грн, остальные — безвыигрышные. Какой средний выигрыш приходится на один билет?

Решить эту задачу можно арифметическим способом:

(5 • 10 грн +10-5 грн + 40 • 1 грн): 100 = 1,4 грн.

Мы проиллюстрируем на этой задаче понятие случайной величины. Здесь выигрыш — случайная величина, которая может принимать значения 0, 1,5, 10 (грн) соответственно с вероятностями 0,45; 0,4; 0,1 и 0,05. Это — дискретная случайная величина Решение задач по теории вероятности Описанной ситуации соответствует такая таблица:Решение задач по теории вероятности

Обратите внимание! Сумма вероятностей, имеющихся во второй строке таблицы, равна 1. Говорят, что данную случайную величину Решение задач по теории вероятностираспределено по вероятностям.

Если случайная величина Решение задач по теории вероятности принимает значения Решение задач по теории вероятностис вероятностями соответственно Решение задач по теории вероятности то говорят, что величину Решение задач по теории вероятностираспределено по такому закону:

Решение задач по теории вероятности

Её среднее значение называют математическим ожиданием и обозначают Решение задач по теории вероятности.

Решение задач по теории вероятности

Например, для предыдущей задачи

Решение задач по теории вероятности

Меру рассеиваний случайной величины вокруг ее математического ожидания называют её дисперсией. Дисперсию случайной величины Решение задач по теории вероятности обозначают символом Решение задач по теории вероятности и вычисляют по формуле Решение задач по теории вероятности. Здесь Решение задач по теории вероятности — математическое ожидание величины Решение задач по теории вероятности — квадраты отклонений значений Решение задач по теории вероятности от Решение задач по теории вероятности. Величина Решение задач по теории вероятности также случайная, её математическое ожидание Решение задач по теории вероятности — дисперсия случайной величины Решение задач по теории вероятности.

Например, чтобы найти дисперсию рассмотренной выше случайной величины Решение задач по теории вероятности сначала найдём отклонения всех её значений от математического ожидания:

Решение задач по теории вероятности

Квадраты этих отклонений: 1,96, 0,16,12,96, 73,96. Найдём математическое ожидание случайной величины:Решение задач по теории вероятности

1,96 • 0,45 + 0,16 • 0,4 + 12,96 • 0,1 4- 73,96 • 0,05 = 5,94.

Это и есть дисперсия рассматриваемой случайной величины: Решение задач по теории вероятности= 5,94.

Если случайная величина дискретная и вероятности всех её значений равны, то говорят, что она имеет равномерное дискретное распределение вероятностей. По равномерному распределению выпадает число очков при подбрасывании правильного игрального кубика. А бывают другие распределения.

Для многих природных и общественных явлений характерны биномиальные распределения вероятностей. Биномиальное распределение возникает при последовательном проведении в одинаковых независимых условиях случайных опытов.

Английский математик А. Муавр ещё в XVIII в. измерил рост 1375 наугад выбранных женщин. На рисунке 164 изображена диаграмма, которая соответствует результатам его измерений.

Решение задач по теории вероятности

Если «успехом» назвать тот факт, что следующая встреченная женщина имеет рост, который находится в определённых пределах, то число женщин такой категории среди 1375 встреченных является случайной величиной с биномиальным распределением. Относительно параметра Решение задач по теории вероятностиможно утверждать, что этим числом может служить относительная частота женщин выделенной категории роста, поскольку число проведённых опытов достаточно большое и эта частота стабилизировалась. Английский психолог Ф. Гальтон сконструировал прибор (доску Гальтона), который наглядно показывает, как формируется случайная величина, распределённая по биномиальному закону, правда при Решение задач по теории вероятности (рис. 165). В верхний резервуар насыпаются шарики. Скатываясь по наклонной доске и обходя равномерно забитые в неё колышки, шарики заполняют нижние ячейки согласно биномиальному распределению вероятностей.

Если шариков достаточно много, то внизу они образуют симметричную горку колоколообразной формы. Верхний предел этой горки образует полигон, который при росте числа шариков приближается к кривой Гаусса — так называемой кривой плот ности стандартного нормального закона.

Решение задач по теории вероятности

В рассмотренном выше примере результаты измерения роста женщин разбиты на 18 групп с разностью Решение задач по теории вероятности— 2,5 см. Если бы разбили их на большее количество групп, чтобы эта разность равнялась, например, 0,5 см, и построили соответствующий полигон, то образовалась бы ломаная из многих отрезков. А если бы разность Решение задач по теории вероятностипродолжали уменьшать, то соответствующий полигон приближался бы к непрерывной кривой, изображённой на рисунке 164. Это — кривая плотности нормального распределения вероятностей.

Примерно так распределяются вероятности масс новорождённых, скоростей газовых молекул и многих других случайных величин физической, биологической или социальной природы. Биномиальное распределение характерно для многих дискретных случайных величин, а нормальное — для непрерывных. Если известно, что распределение вероятностей случайной величины нормальное, то достаточно знать только две её числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию), чтобы полностью описать распределение вероятностей.

Понимание сути нормального распределения необходимо всем учёным, исследующим закономерности живой или неживой природы и особенно — человеческого общества. Не случайно это распределение называют нормальным, оно — естественное. Именно так чаще всего распределяются не только массы, возрасты, физические возможности людей и человеческих сообществ, но и многие другие их характеристики. Не понимая этого, нельзя быть настоящим учёным.

Задача 10.

Найдите математическое ожидание случайной величины х, если закон её распределения представлен в таблице.

Решение задач по теории вероятности

Решение:

Решение задач по теории вероятности = 1 • 0,2 + 5 • 0,3 4- 10 • 0,4 + 15 • 0,1 = 7,2.

Ответ. 7,2.

Задачи в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества, называют комбинаторными.

  • Если элемент некоторого множества А можно выбрать Решение задач по теории вероятностиспособами, а элемент множества В Решение задач по теории вероятности способами, то элемент из множества А или из множества В можно выбрать Решение задач по теории вероятности способами. Это — правило суммы.

Если первый компонент пары можно выбрать Решение задач по теории вероятностиспособами, а второй — Решение задач по теории вероятностиспособами, то такую пару можно выбрать Решение задач по теории вероятности способами. Это — правили произведения.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до Решение задач по теории вероятностиназывают Решение задач по теории вероятностифакториалом и обозначают Решение задач по теории вероятности

Упорядоченные Решение задач по теории вероятности-элементные подмножества Решение задач по теории вероятности-элементного множества называют размещениями из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятности. Их число обозначают Решение задач по теории вероятности.

Для любых натуральных Решение задач по теории вероятности и Решение задач по теории вероятности верны равенства:

Решение задач по теории вероятности или Решение задач по теории вероятности .

Число размещений из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятности равно произведению Решение задач по теории вероятности последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых Решение задач по теории вероятности.

Размещения из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятностиназывают перестановками из Решение задач по теории вероятностиэлементов. Их число обозначают Решение задач по теории вероятности

Число перестановок из Решение задач по теории вероятностиэлементов равно Решение задач по теории вероятности, т. е. Решение задач по теории вероятности

Комбинацией из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятностиназывают любое Решение задач по теории вероятности-элементное подмножество Решение задач по теории вероятности-элементного множества. Число комбинаций из Решение задач по теории вероятности элементов по Решение задач по теории вероятности обозначают Решение задач по теории вероятности и вычисляют по формуле Решение задач по теории вероятности

Статистика — это наука, которая занимается сбохюм, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями.

Мода выборки — ее варианта с наибольшей частотой. Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её вариантов.

Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством эле ментарных событии и обозначают греческой буквой Решение задач по теории вероятности (омега).

Вероятностью случайного события А называют отношение числа Решение задач по теории вероятности благоприятных для события А элементарных событий к числу Решение задач по теории вероятностивсех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания: Решение задач по теории вероятности.

Такое определение вероятности называют классическим.

Важнейшие свойства вероятности случайного события

1. Если С — событие невозможное, то Р(С) = 0.

2. Если В — событие достоверное, то Р(В) = 1.

3. Если X — событие случайное, то Решение задач по теории вероятности.

4. Если Решение задач по теории вероятности— элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, то Решение задач по теории вероятности

Если в Решение задач по теории вероятностииспытаниях событие А происходит Решение задач по теории вероятности раз, то дробь Решение задач по теории вероятности

определяет относительную частоту события А. Во многих реальных случаях с увеличением Решение задач по теории вероятностиотносительная частота события стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числаРешение задач по теории вероятности (когда Решение задач по теории вероятности, то Решение задач по теории вероятности). Это число Решение задач по теории вероятности называют вероятностью события А. Таково статистическое определение вероятности.

Графические представления информации о выборке

Статистические данные сводят в таблицы. Статистическая таблица — это особая форма рационального и систематизированного изложения обобщающих характеристик статистической совокупности. Как и грамматическое предложение, статистическая таблица имеет подлежащее и сказуемое. В подлежащем приводится перечень элементов, явлений, признаков, указанных в таблице. В сказуемом таблицы подаются количественные характеристики. Например, в приведённой ниже таблице сбора зерна в некоторых странах в 1995 г. подлежащим является левая колонка. Числовые данные в других — сказуемое таблицы.

Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятности Информацию о той или иной выборке часто подают графически, чаще всего в форме диаграмм. Слово диаграмма в переводе с греческого означает рисунок, чертёж. Правда, теперь этим словом называют не любой рисунок, а схематическое изображение отношений между множествами, различные структуры, алгоритмы действий и т. д. Отношения (соотношения) между множествами и объёмами понятий зачастую изображают в виде диаграмм-деревьев или диаграмм Эйлера {рис. 137,135).

Структуры моделей, различные диаграммы классов, состояний удобно подавать в виде круговых (секторных) диаграмм.

На рисунках 144 и 145 на секторной и столбчатой диаграммах изображены соотношения между численностью граждан разных национальностей (согласно переписи 2001 г.).

Столбчатую диаграмму из соединённых прямоугольников называют гистограммой. На рисунке 146 изображена гистограмма, которая соответствует приведённой ниже таблице распределения рабочих цеха по тарифным разрядам. Решение задач по теории вероятности Иногда вместо гистограммы строят полигон распределения, соединяя отрезками середины верхних оснований последовательных прямоугольников гистограммы (рис. 147). Бывают и другие диаграммы.

Информацию о динамике того или иного явления графически удобно изображать с помощью столбчатых диаграмм или графиков. Например, на рисунке 148 приведена диаграмма динамики рождаемости от 1960 до 2002 года; на рисунке 149 —

Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятности графики, отражающие динамику количества учеников, классов и школ в сёлах.

В социологии диаграммы часто строят на основе полярной системы координат. На двух следующих диаграммах (рис. 150. 151) большим расстояниям от полюса 0 соответствуют большие значения величин. Проанализируйте эти диаграммы.

Решение задач по теории вероятности

Задача 11.

По данным таблицы «Структура валового сбора зерновых культур в мире (%)» постройте секторную диаграмму.Решение задач по теории вероятности

Решение:

На 100 % приходится 360°, а на 1% — 3,6°. Умножив 3,6° на данные таблицы, получим: 100,8°; 93,6°; 90°; 36°; 7,2°; 7,2°; 25,2°. Построив центральные углы с соответствующими градусными мерами, получим нужную диаграмму (рис. 152). Достаточно просто построить такую диаграмму с помощью программы Microsoft Graf (через команды Вставка / Объект / Диаграмма Microsoft Graf ) или программы Excel.Решение задач по теории вероятности

Сведения о статистике

Статистика — это наука, которая занимается сбором, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями. Статистические сведения о какой-то большой совокупности объектов (генерал ьной совокупности) получают в основном в результате анализа только незначительной её части — выборки. Чтобы узнать, например, о наиболее распространённом размере мужской обуви, достаточно опросить несколько десятков мужчин. Предположим, что, опросив 60 мужчин, получили результаты, приведённые в таблице:

Решение задач по теории вероятности

Это — частотная таблица, в ней числа второй строки — частоты. Например, частота обуви размера 29 равна б. Относительная частота этого размера

6:60-0,1=10%.

Проанализировав такую выборку, делают общий вывод: примерно 10 % мужской обуви надо делать 29 размера, а размера 26 — вдвое меньше. Это — приближённые отношения, но для практики таких приближений бывает достаточно.

Математическим анализом различных выборок занимается математическая статистика. Её основная задача — разрабатывать эффективные методы изучения больших совокупностей объектов на основе сравнительно небольших выборок.

Каждый элемент выборки называют её вариантой. Выборка, полученная в результате наблюдений, бывает неупорядоченной. Упорядочив её, получают вариационный ряд. Разность между крайними членами вариационного ряда — размах выборки. Пусть дано выборку

4, 3, 7, 9, 6, 8, 2, 6, 1, 7, 7, 3, 2, 5.

Упорядочив её по возрастанию вариант, получим вариационный ряд:

1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9.

Размах данной выборки Решение задач по теории вероятности— 9 - 1 = 8.

Мода выборки — её варианта с найбольшей частотой (обозначается Решение задач по теории вероятности). Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам (обозначается Решение задач по теории вероятности).

Следовательно, для данной выборки Решение задач по теории вероятности

Средним значением выборки называют середнее арифметическое всех её вариантов.

Например, если дано выборку 1, 2, 3, 3, 5, 6, 8, то её среднее значение

Решение задач по теории вероятности

Если варианты выборки повторяются, то суммы равных слагаемых можно заменить произведениями.

Задача 12.

Рабочих бригады ежемесячно получают по 3000 грн, 8 — по 4500 грн, а 5 — по 5000 грн. Определите среднюю месячную зарплату рабочего этой бригады.

Решение:

Всего рабочих в бригаде 7 + 8 + 5 = 20. Поэтому искомая средняя зарплата

Решение задач по теории вероятности Ответ. 4100 грн.

Моду, медиану и среднее значение выборки называют цент ральными тенденциями выборки.

В статистике часто используют и среднее квадратичное. Если дано Решение задач по теории вероятности чисел Решение задач по теории вероятности, то их среднее квадратичное а определяется по формуле: Решение задач по теории вероятности

С помощью среднего квадратичного чаще оценивают совокупности погрешностей или отклонений от нормы. Рассмотрим пример. Желая выточить деталь радиуса Решение задач по теории вероятности, токарь практически вытачивает деталь радиуса Решение задач по теории вероятности, где Решение задач по теории вероятности — некоторое отклонение (положительное или отрицательное). Пусть два токаря, выточив по 6 таких деталей, допустили такие ошибки (в десятых долях миллиметра): первый: 2, -5, 4, -3, -3, 5; второй: 3, -1, 4,1, 1, 2.

Кто из них выполнил задание качественнее? Чтобы ответить на вопрос, вычисляют средние квадратичные допущенных отклонений:

Решение задач по теории вероятности

Качественнее работу выполнил второй токарь. Если разности между вариантами выборки и её средним значением равны Решение задач по теории вероятности, то среднее арифметическое их квадратов называется дисперсией выборки (лат. dispersio — рассеяние). Дисперсия равна квадрату среднего квадратичного всех отклонений и вычисляется по формуле: Решение задач по теории вероятности

Подробнее о дисперсии см. на с. 325.

В математике, в частности в математической статистике, нередко используют также среднее геометрическое (Решение задач по теории вероятности) и среднее гармоническое (Решение задач по теории вероятности), вычисляемые по формулам:

Решение задач по теории вероятности

Для любого количества положительных чисел Решение задач по теории вероятности всегда справедливы неравенства

Решение задач по теории вероятности

Например, для положительных чисел Решение задач по теории вероятностии Решение задач по теории вероятностивсегда

Решение задач по теории вероятности

Докажите эти неравенства и приведите их геометрическую модель.

Задача 13.

В результате выборочного анализа выручки (в тыс. грн) туристической фирмы за неделю получили выборку объёмом Решение задач по теории вероятностиРешение задач по теории вероятности

Для заданной выборки: а) найдите размах выборки; б) составьте частотную таблицу.

Решение:

а) Выпишем различные значения вариант, попавших в выборку: 87, 94, 99, 90, 85, 82, 81, 97. Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 81, 82, 85,87,90,94,97,99. Размах выборки равен 99 - 81 = 18.

б) Вычислим частоту каждой варианты и составим частотную таблицу: Решение задач по теории вероятности

Задача 14.

В результате анализа производства мяса (тыс. т) в январе-октябре 2010 года во всех областях Украины получили такую совокупность данных.

166, 73, 90, 206, 115, 52, 50, 63, 73, 211, 47, 47, 129, 34, 50, 52, 55, 44, 41, 90, 55, 50, 363, 47, 47.

Найдите: моду, медиану и размах выборки.

Решение:

Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 34, 41, 44, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 50, 52, 52, 55, 55, 63, 73, 73, 90, 90, 115, 129, 166, 206, 211, 363.

Тогда мода выборки равна 47 (встречается 4 раза), медиана — 55 (имеет 13-й порядковый номер из 25), а размах — 329 (363 — 34).

Комбинации и бином ньютона

Пусть дано множество из трёх элементов: Решение задач по теории вероятности. Его двухэлементных подмножеств (не упорядоченных) существует всего три: Решение задач по теории вероятности. Говорят, что существует 3 комбинации из трёх элементов по два. Пишут: Решение задач по теории вероятности

I Комбинацией из Решение задач по теории вероятности элементов по Решение задач по теории вероятностиназывают любое Решение задач по теории вероятности-элементное подмножество Решение задач по теории вероятности-элементного множества.

Число комбинаций из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятностиобозначают Решение задач по теории вероятности В отличие от размещений, комбинации — подмножества неупорядоченные.

Сравните: Решение задач по теории вероятности, а Решение задач по теории вероятности. При тех же значениях Решение задач по теории вероятности и Решение задач по теории вероятности значение Решение задач по теории вероятности менше Решение задач по теории вероятности. Можно также указать, во сколько раз меньше. Каждую Решение задач по теории вероятности элементную комбинацию можно упорядочить Решение задач по теории вероятности способами. В результате из одной комбинации получают Решение задач по теории вероятности размещений (упорядоченных подмножеств) из тех же элементов. Итак, число Решение задач по теории вероятности-элементных комбинаций в Решение задач по теории вероятности раз меньше числа размещений из тех же Решение задач по теории вероятности элементов.

То есть, Решение задач по теории вероятности отсюда

Решение задач по теории вероятности или Решение задач по теории вероятности

Задача 15.

Решение задач по теории вероятности Обратите внимание! Решение задач по теории вероятности Полагают также, что Решение задач по теории вероятности для любого Решение задач по теории вероятности

Задача 16.

Сколькими способами из 25 учеников можно выбрать на конференцию двух делегатов?

Решение:

Здесь Решение задач по теории вероятности, порядок учеников не имеет значения.

Решение задач по теории вероятности

Ответ. 300-ми способами.

Докажем, что для натуральных значений Решение задач по теории вероятности правильно тождество Решение задач по теории вероятности

Доказательство. Пусть дано Решение задач по теории вероятности различных элементов:

Решение задач по теории вероятности Всего из них можно образовать Решение задач по теории вероятности различных Решение задач по теории вероятности-элементных комбинаций. Это количество комбинаций вычислим другим способом. Из данных Решение задач по теории вероятностиэлементов, кроме последнего Решение задач по теории вероятности , можно образовать Решение задач по теории вероятности комбинаций. Остальные Решение задач по теории вероятности-элементные комбинации из всех данных элементов можно образовать, если к каждой комбинации из нервых Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятности дописать элемент Решение задач по теории вероятности. Таких комбинаций Решение задач по теории вероятности.

Следовательно, Решение задач по теории вероятности .А это и требовалось доказать.

Такое комбинаторное тождество можно доказать также, воспользовавшись формулой числа комбинаций.

С комбинациями тесно связана формула бинома Ньютона. Вспомните формулу квадрата двучлена: Решение задач по теории вероятности. Умножив Решение задач по теории вероятности на Решение задач по теории вероятности и на Решение задач по теории вероятности, получим формулы:

Решение задач по теории вероятности

Эти три формулы можно записать и так:

Решение задач по теории вероятности

Оказывается, для каждого натурального значения Решение задач по теории вероятностиправильна и общая формула:

Решение задач по теории вероятности

Это тождество называют формулой бинома Ньютона, а её правую чисть разложением бинома Ньютона. Бином — латинское название двучлена. Пользуясь этой формулой, возведём, например, двучлен Решение задач по теории вероятности в пятую степень. Поскольку Решение задач по теории вероятностиРешение задач по теории вероятности

Доказать формулу бинома Ньютона можно методом математической индукции.

Доказательство. Предположим, что формула Решение задач по теории вероятности верна для некоторого натурального показателя степени Решение задач по теории вероятности. Покажем, что тогда она верна и для следующего за ним значения Решение задач по теории вероятности.

Решение задач по теории вероятности

Выражения в скобках преобразованы согласно формулы

Решение задач по теории вероятности

  • Следовательно, если формула бинома Ньютона верна для Решение задач по теории вероятности то она правильна и для Решение задач по теории вероятности. Для Решение задач по теории вероятности она правильна, так как Решение задач по теории вероятности. Поэтому на основе аксиомы математической индукции можно утверждать, что формула верна для любого натурального показателя Решение задач по теории вероятности.

Вычислять коэффициенты разложения бинома Ньютона можно не по формуле числа комбинаций, а пользуясь числовым треугольником Паскаля — своеобразным способом вычисления коэффициентов разложения бинома Ньютона Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятности

Треугольник Паскаля можно продолжать как угодно далеко.

Это следует из тождества Решение задач по теории вероятности . Его крайние числа — единицы, а каждое другое равно сумме двух ближайших к нему чисел сверху.

Например, прибавляя числа шестой строки (для Решение задач по теории вероятности), получим числа следующей строки (для Решение задач по теории вероятности): 1, 6, 15, 20,15, 6,1. Следовательно, Решение задач по теории вероятности

Общий член разложения бинома Решение задач по теории вероятности можно определить по

формуле Решение задач по теории вероятности

Например:

  • • первый член — Решение задач по теории вероятности
  • • второй член — Решение задач по теории вероятности
  • • третий член — Решение задач по теории вероятности

Задача 17.

В турнире по шашкам приняли участие 5 девушек и 7 юношей. Каждый участник сыграл один раз с каждым другим. Сколько партий было: а) между девушками; б) между юношами; в) между юношами и девушками?

Решение:

а) Речь идёт о 2-элементных подмножествах (неупорядоченных) множества, состоящего из 5 элементов. Это — комбинации Решение задач по теории вероятности

б) Аналогично Решение задач по теории вероятности

в) Воспользуемся правилом умножения. Поскольку каждой из 5 девушек предстоит сыграть с каждым из 7 юношей, возможных случаев 5*7 = 35.

Задача 18.

Для дежурства в столовой приглашают 3-х учеников из 7 класса и 2-х учеников из 10 класса. Сколькими способами это можно сделать, если в 7 классе учится 24 ученика, а в 10 классе — 18.

Решение:

Речь идёт о неупорядоченных подмножествах двух разных множеств. Это — комбинации.

Решение задач по теории вероятности

По нравилу произведения имеем 2024 • 153 — 309 672 способов выбрать учащихся для дежурства.

Задача 19.

Сколько разных делителей имеет число 1001?

Решение:

Разложим заданное число на простые множители: 1001 = 7-11-13. Если число Решение задач по теории вероятности— делитель числа 1001, то оно должно быть одним из чисел 7, 11,13 (три случая) или любым их произведением. Различных произведений может быть Решение задач по теории вероятности. Делителем данного числа есть ещё единица. Следовательно, число 1001 имеет 3 + 4 + 1=8 делителей.

Задача 20.

Докажите, что выпуклый Решение задач по теории вероятности-угольник имеет Решение задач по теории вероятности диагоналей.

Решение:

Отрезков, концами которых являются Решение задач по теории вероятностивершин данного Решение задач по теории вероятности-угольника, существует Решение задач по теории вероятности. Среди них есть и Решение задач по теории вероятности сторон данного Решение задач по теории вероятности-угольника. Поэтому диагоналей он имеет Решение задач по теории вероятностиРешение задач по теории вероятности

Задача 21.

Докажите тождество

Решение задач по теории вероятности

Сделайте обобщение.

Решение:

Все члены разложения бинома Ньютона Решение задач по теории вероятности такие же, как и члены разложения бинома Решение задач по теории вероятности, только их члены с чётными номерами отрицательные.

Задача 22.

Найдите номер члена разложения Решение задач по теории вероятности, который не содержит Решение задач по теории вероятности.

Решение:

Воспользуемся формулой общего члена разложения бинома. Имеем:

Решение задач по теории вероятности

По условию задачи Решение задач по теории вероятности, то есть Решение задач по теории вероятности. Отсюда Решение задач по теории вероятности Следовательно, не содержит х шестой член разложения бинома.

Размещения и перестановки

Задача 23.

Сколькими способами собрание из 20 человек может избрать председателя и секретаря?

Решение:

Председателя можно выбрать 20-ю способами, секретаря — из остальных 19 человек — 19-ю способами. По правилу произведения председателя и секретаря собрания могут выбрать 20 • 19 = 380 способами.

Обобщим задачу. Сколько упорядоченных Решение задач по теории вероятности-элементных подмножеств можно составить из п различных элементов? На первое место можно поставить любой из данных Решение задач по теории вероятности элементов. На второе место — любой из остальных Решение задач по теории вероятности элементов и т. д. На последнее Решение задач по теории вероятности-е место можно поставить любой из остальных Решение задач по теории вероятности элементов. Из правила произведения следует, что из данных Решение задач по теории вероятностиэлементов можно получить Решение задач по теории вероятности Решение задач по теории вероятности-элементных упорядоченных подмножеств.

Например, из 4 элементов Решение задач по теории вероятности упорядоченных двухэлементных подмножеств можно образовать всего 4 • 3 = 12: Решение задач по теории вероятностиРешение задач по теории вероятности

Упорядоченое Решение задач по теории вероятности-елементное подмножество Решение задач по теории вероятности-элементного - множества называют размещением из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятности. Их число обозначают Решение задач по теории вероятности .

Из предыдущих рассуждений следует, что Решение задач по теории вероятности и что для любых натуральных Решение задач по теории вероятности и Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятности

В правой части этого равенства Решение задач по теории вероятностимножителей. Поэтому результат можно сформулировать в виде такого утверждения.

Число размещений из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятности равно произведению Решение задач по теории вероятности последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых Решение задач по теории вероятности.

Примеры.Решение задач по теории вероятности

Задача 24.

Сколькими способами можно составить дневное расписание из пяти разных уроков, если класс изучает 10 различных предметов?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 5-элементных подмножествах некоторого множества, состоящего из 10 элементов.

Это размещения.Решение задач по теории вероятности

Ответ. 30 240 способами.

Число размещений из Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятности можно вычислять и по другой формуле: Решение задач по теории вероятности (проверьте самостоятельно).

Размещение Решение задач по теории вероятностиэлементов по Решение задач по теории вероятностиназывают перестановками из Решение задач по теории вероятности элементов. Их число обозначают Решение задач по теории вероятности.

Например, из трёх элементов Решение задач по теории вероятности можно образовать 6 различных перестановок: Решение задач по теории вероятности

Следовательно, Решение задач по теории вероятности

Подставив в формулу числа размещений Решение задач по теории вероятности, получим, что Решение задач по теории вероятности

Число перестановок из Решение задач по теории вероятностиэлементов равно Решение задач по теории вероятности

Примеры.Решение задач по теории вероятности

Задача 25.

Сколькими способами можно составить список из 10 фамилий?

Решение:

Решение задач по теории вероятности

Ответ. 3 628 800 способами.

Некоторые комбинаторные задачи сводятся к решению уравнений, в которых переменная указывает на количество элементов в некотором множестве или подмножестве.

Рассмотрим несколько таких уравнений

Задача 26.

Решите уравнение Решение задач по теории вероятности.

Решение:

Пользуясь формулой размещений, данное уравнение можно заменить таким:

Решение задач по теории вероятности, или Решение задач по теории вероятности, отсюдаРешение задач по теории вероятности. По условию задачи Решение задач по теории вероятности— натуральное число, поэтому Решение задач по теории вероятности — посторонний корень. Следовательно, Решение задач по теории вероятности.

Задача 27.

Решите уравнение Решение задач по теории вероятности

Решение:

Запишем выражения Решение задач по теории вероятности и Решение задач по теории вероятности через произведения.

Имеем: Решение задач по теории вероятности Поскольку по смыслу задачи Решение задач по теории вероятности, то Решение задач по теории вероятности и Решение задач по теории вероятности. Поэтому последнее уравнение можно сократить на произведение Решение задач по теории вероятности. Тогда Решение задач по теории вероятности, Решение задач по теории вероятности Но уравнение Решение задач по теории вероятности удовлетворяет только одно значение: Решение задач по теории вероятности.

Задача 28.

Команда из трёх человек выступает в соревнованиях по художественной гимнастике, в которых принимают участие ещё 27 спортсменок. Сколькими способами могут распределиться места между членами команды, при условии, что на этих соревнованиях ни одно место не делится?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 3-элементных подмножествах множества, состоящего из 30 элементов. Это — размещения. Решение задач по теории вероятности

Задача 29.

Сколькими способами можно разместить на полке 5 дисков?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 5-элементных множествах. Искомое количество способов равно Решение задач по теории вероятности

Ответ. 120 способами.

Задача 30.

Изображённое на рисунке 140 кольцо раскрашено в 7 цветов. Сколько существует таких колец, раскрашенных теми же цветами только в других последовательностях?

Решение задач по теории вероятности

Решение:

Зафиксируем одну какую-нибудь часть кольца, окрашенную одним цветом. 6 других частей можно раскрасить Решение задач по теории вероятности способами.

Решение задач по теории вероятности

Ответ. 720 колец.

Задача 31.

Сколько можно составить различных неправильных дробей, числителями и знаменателями которых есть числа 3,5, 7, 9,11,13?

Решение:

Способ 1. Дробей, у которых числитель не равен знаменателю, можно составить Решение задач по теории вероятности , то есть 6 • 5 = 30. Из этих дробей только половина — неправильных, то есть — 15.

Неправильными являются также дроби, у которых числитель равен знаменателю. Таких дробей в нашем случае 6. Итак, всего можно составить 15 + 6 = 21 (дробь).

Способ 2. Если знаменатель неправильной дроби 3, то его числителями могут быть все 6 данных чисел. Если знаменатель 5, то числителями неправильной дроби могут быть 5 чисел (5, 7, 9, 11, 13) и т.д. Наконец, если знаменатель — число 13, то существует только 1 неправильная дробь, со знаменателем 13. Всего таких неправильных дробей существует G 4- 5 + 4 + 3 + 24-1 = 21.

Ответ. 21 дробь.

Комбинаторика. правила суммы и произведения

Вспомните, что в математике любые совокупности называют множествами. Объекты, входящие в множества, называют его элементами. Множества обозначают большими латинскими буквами, а их элементы записывают в фигурных скобках. Считают, что все элементы множества различны.

Например, Решение задач по теории вероятности.

Множества бывают конечными и бесконечными. Если множество не содержит ни одного элемента, его называют пустым и обозначают символом Решение задач по теории вероятности

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если А — часть множества В, то его называют подмножеством множества В и записывают Решение задач по теории вероятности. Наглядно это изображают с помощью диаграммы Эйлера (рис. 135. а). В частности, для числовых множеств правильные такие соотношения: Решение задач по теории вероятности

  • Случается, что множества А и В имеют общие элементы. Если множество Р содержит все общие элементы множеств А и В и только их, то множество Р называют пересечением множеств А и В. Записывают это так: Решение задач по теории вероятности. Диаграммой Эйлера пересечение изображают, как ноказано на рисунке 135, б. Множество, содержащее каждый элемент каждого из множеств А и В и только эти элементы, называется объединением множеств А и В. Если К — объединение множеств А и В, то пишут Решение задач по теории вероятности (рис. 135, в).

Решение задач по теории вероятности

Разницей множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Его обозначают Решение задач по теории вероятности. Например, еслиРешение задач по теории вероятностиРешение задач по теории вероятности

Говоря «множество«подмножество», порядок их элементов не учитывают. Говорят, что они не упорядочены. Рассматривают и упорядоченные множества. Так называют множества с фиксированным порядком элементов. Их обозначают не фигурными, а круглыми скобками. Например, из элементов множества Решение задач по теории вероятности можно образовать 6 трёхэлементных упорядоченных множеств: (а, Ь, с), (а, с, 6), (b, а, с), (Ь, с, а), (с, а, Ь)> (с, Ь, а).

Как множества, все они равны, как упорядоченные множества — разные. Существуют задачи, в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества. Их называют комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач, называют комбинаторикой.

Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Рассмотрим два основных правила, с помощью которых решается много комбинаторных задач

Задача 32.

В городе N есть два университета — политехнический и экономический. Абитуриенту нравятся три факультета в политехническом университете и два — в экономическом. Сколько возможностей имеет студент для поступления в университет?

Решение:

Обозначим буквой А множество факультетов, которые выбрал абитуриент в политехническом университете, а буквой В — в экономическом: Решение задач по теории вероятностиПоскольку эти множества не имеют общих элементов, то в целом абитуриент имеет 3 + 2 = 5 возможностей для поступления в университет.

Описанную ситуацию можно обобщить в виде утверждения, которое называется правилом суммы.

Если элемент некоторого множества А можно выбрать Решение задач по теории вероятности способами, а элемент множества В Решение задач по теории вероятности способами, то элемент из множества А или из множества В можно выбрать Решение задач по теории вероятности способами.

Правило суммы распространяется и на большее количество множеств.

Задача 33.

Планируя летний отдых, семья определилась с местами его проведения: в Одессе — 1, в Евпатории — 3, в Ялте — 2, в Феодосии — 2. Сколько возможностей выбора летнего отдыха имеет семья?

Решение:

Поскольку все базы отдыха разные, то для решения задачи достаточно найти сумму элементов всех множеств, о которых говорится: 1 + 3 + 2-1-2 = 8. Следовательно, семья может выбирать отдых из 8 возможных.

Задача 34.

От пункта А до пункта В ведут три тропинки, а от В до С — две. Сколько маршрутов можно проложить от пункта А до пункта С?

Решение:

Чтобы пройти от пункта А до пункта В, надо выбрать одну из трёх тропинок: 1, 2 или 3 (рис. 136). После этого следует выбрать одну из двух других троп: 4 или 5. Всего от пункта А до пункта С ведут 6 маршрутов, потому что 3*2 = 6. Все эти маршруты можно обозначить с помощью пар: (1;4),(1;5),(2;4),(2;5),(3;4),(3;5).

Обобщим описанную ситуацию.

Если первый компонент пары можно выбрать Решение задач по теории вероятности способами, а второй — Решение задач по теории вероятностиспособами, то такую пару можно выбрать Решение задач по теории вероятности способами.

Это — правило произведения, его часто называют основным правилом комбинаторики. Обратите внимание: речь идёт об упорядоченных парах, составленных из различных компонентов.

Правило произведения распространяется и на упорядоченные тройки, четвёрки и любые другие упорядоченные конечные множества. В частности, если первый компонент упорядоченной тройки можно выбрать т способами, второй — Решение задач по теории вероятностиспособами, третий — Решение задач по теории вероятностиспособами, то такую упорядоченную тройку можно выбрать Решение задач по теории вероятности способами. Например, если столовая на обед приготовила 2 первых блюда — борщ (б) и суп (с ), 3 вторых — котлеты (к), вареники (в), голубцы (г) и 2 десертных — пирожные (п) и мороженое (м), то всего из трёх блюд столовая может предложить 12 различных наборов, поскольку 2 • 3 • 2 = 12.

Решение задач по теории вероятности

Описанной ситуации соответствует диаграмма, изображённая на рисунке 137. Такие диаграммы называют деревьями.

Задача 35.

Сколько разных поездов можно составить из 6 вагонов, если каждый из вагонов можно поставить на любом месте?

Решение:

Первым можно поставить любой из 6 вагонов. Имеем 6 выборов. Второй вагон можно выбрать из оставшихся 5 вагонов. Поэтому, согласно правилу умножения, два первых вагона можно выбрать 6 • 5 способами. Третий вагон можно выбрать из 4 вагонов, которые остались. Поэтому три первых вагона можно выбрать 6•5•4 способами. Продолжая подобные рассуждения, приходим к ответу: всего можно составить 6•5•4•3•2•1 = 720 различных поездов.

Обратите внимание на решение последней задачи. Оно свелось к вычислению произведения всех натуральных чисел от 1 до 6. В комбинаторике подобные произведения вычисляют часто.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до Решение задач по теории вероятностиназывают Решение задач по теории вероятностифакториалом и обозначают Решение задач по теории вероятности

Например:

5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120, 7! = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040.

Условились считать, что 1! = 1 и 0! = 1.

Языком теории множеств правила суммы и произведения можно сформулировать следующим образом.

Если пересечение множеств А и В пустое, то количество элементов в их объединении Решение задач по теории вероятностиравно сумме количества элементов множеств А и В: Решение задач по теории вероятности

Если множества А и В имеют общие элементы, то Решение задач по теории вероятности

Если множества А и В конечны, то количество возможных пар Решение задач по теории вероятности, гдеРешение задач по теории вероятности, равно произведению количества элементов множеств А и В: Решение задач по теории вероятности

Задача 36.

В розыгрыше на первенство города по баскетболу принимают участие команды из 12 школ. Сколькими способами могут быть распределены первое и второе места?

Решение:

Первое место может получить одна из 12 команд. После того, как определён обладатель первого места, второе место может получить одна из 11 команд. Следовательно, общее количество способов, которыми можно распределить первое и второе места, равно 12Решение задач по теории вероятности11 = 132. Ответ. 132.

Задача 37.

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр

0, 1, 2, 3, 4, 5, если ни одна цифра не повторяется?

Решение:

Первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр

1, 2, 3, 4, 5. Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5-ю способами, третья — 4-мя, четвёртая — 3-мя. Согласно правилу умножения общее число способов равно:

5 • 5 • 4 • 3 = 300. Ответ. 300.

Задача 38.

Упростите выражение Решение задач по теории вероятности

Решение:

Решение задач по теории вероятностиРешение задач по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует: