Решение задач по теоретической механике

На странице размещены готовые решения заданий и задач по теоретической механике с лекциями и примерами выполнения. К каждому разделу прикреплена большая теоретическая часть, содержащая основные теоремы и формулы теоретической механики, которые могут быть полезны при решении и выполнении задач.

Содержание:

• Статика твердого тела

1. Основные законы статики 
2. Плоская система сил
3. Система сходящихся сил
4. Равновесие твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил
5. Теорема о трех непараллельных силах
6. Метод проекций
7. Момент силы относительно точки. Равновесие твердого тела с одной неподвижной  точкой
8. Произвольная плоская система сил
9. Случай параллельных сил
10. Равновесие твердого тела при наличии плоской системы сил
11. Опрокидывание твердых тел
12. Приведение произвольной плоской системы сил к простейшему виду
13. Равновесие системы твердых тел 
14. Равновесие тел при наличии трения
15. Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения
16. Равновесие твердого тела при наличии трения качения
17. Равновесие твердых тел при наличии трения гибких тел
18. Графическая статика и методы расчета ферм
19. Равновесие произвольной плоской системы сил
20. Применение метода веревочного многоугольника к плоской системе сил
21. Расчет усилий в стержнях фермы
22. Определение усилий в стержнях фермы построением диаграммы Максвелла — Кремоны
23. Определение усилий в стержнях фермы методом сечений
24. Пространственная система сил
25. Система сходящихся сил
26. Произвольная пространственная система сил
27. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве
28. Приведение к одному центру сил, произвольно расположенных в пространстве
29. Приведение произвольной пространственной системы сил к простейшему виду
30. Центр тяжести

• Кинематика

1. Движение точки
2. Траектория и уравнения движения точки
3. Переход от уравнений движения в декартовых координатах к естественному уравнению движения
4. Скорость и ускорение точки
5. Простейшие движения твердого тела
6. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
7. Преобразование простейших движений 
8. Сложное движение точки
9. Абсолютное, переносное и относительное движения точки 
10. Сложение движений. Определение траекторий и уравнении  движения в относительном и абсолютном движениях точки 
11. Сложение скоростей. Определение скорости точки  в относительном, переносном и абсолютном движениях 
12. Сложение ускорений
13. Определение ускорении точки при переносном поступательном и произвольном переносном  движениях
14. Скорость и ускорение точки в полярных, сферических и цилиндрических координатах
15. Кинематика колебаний
16. Гармонические колебания
17. Негармонические колебания
18. Плоское движение твердого тела
19. Уравнения плоского движения твердого тела. Уравнения движения точки плоской фигуры 
20. Определение уравнений плоского движения твердого тела и уравнений движения точки плоской фигуры
21. Определение положении центра конечного вращения плоском фигуры
22. Скорости точек плоской фигуры 
23. Подвижная и неподвижная центроиды 
24. Ускорения точек плоской фигуры 
25. План скоростей и план ускорений 
26. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей 
27. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки и сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Общий случай движения твердого тела
28. Определение скоростей н ускорений точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки 
29. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей 
30. Общий случай движения твердого тела. Сложение поступательных и вращательных движений 
31. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае движения
32. Сложение поступательных и вращательных движений твердого тела
33. Международная система единиц (СИ) 
34. Определения основных единиц 
35. Некоторые переводные множители

• Динамика

1. Дифференциальные уравнения динамики материальной точки
2. Основные формы дифференциальных уравнений динамики материальной точки
3. Определение сил по заданному движению
4. Определение движения по заданным силам
5. Колебательное движение
6. Восстанавливающая сила
7. Свободные колебания материальной точки
8. Влияние силы сопротивления, пропорциональной скорости, на свободные колебания материальной точки
9. Вынужденные коле6ания материальной точки. Возмущающая сила
10. Относительное движение
11. Общие теоремы динамики
12. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек
13. Теорема о движении центра инерции системы материальных точек
14. Центр инерции системы материальных точек
15. Теорема о движении центра инерции системы материальных точек
16. Случай сохранения скорости центра инерции системы материальных точек
17. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек
18. Импульс силы. Главный вектор количеств движения системы материальных точек
19. Теорема об изменении количества движения материальной точки (в интегральной форме)
20. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек (в интегральной форме)
21. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек в приложении к сплошным средам (теорема Эйлера)
22. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек. Моменты инерции твердых тел
23. Главный момент количеств движения системы материальных точек
24. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
25. Случай сохранения момента количества движения материальной точки
26. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек
27. Случай сохранения главного момента количеств движения системы материальных точек
28. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
29. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек в относительном движении по отношению к центру инерции
30. Моменты инерции и эллипсоид инерции
31. Динамика плоского движения твердого тела
32. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек
33. Работа силы
34. Кинетическая энергия материальной точки и системы материальных точек
35. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
36. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек
37. Потенциальная энергия
38. Закон сохранения механической энергии
39. Динамика несвободной системы материальных точек
40. Классификация связей. Число степеней свободы. Классификация сил
41. Метод кинетостатики
42. Силы инерции. Приведение сил инерции к главному вектору и главному моменту
43. Метод кинетостатики и его применение
44. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения
45. Принцип возможных перемещений
46. Возможные перемещения. Идеальные связи
47. Принцип возможных перемещений и его определение
48. Рычаг Жуковского
49. Общее уравнение динамики системы материальных точек
50. Уравнения Лагранжа второго рода
51. Обобщенные координаты. Обобщенные силы
52. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода
53. Приближенная теория гироскопов
54. Динамика твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
55. Движение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную точку
56. Регулярная прецессия симметричного твердого тела, имеющего неподвижную точку
57. Методов решения задач динамики
58. Задачи динамики материальной точки
59. Задачи динамики системы материальных точек
60. Задачи динамики твердого тела
61. Общие замечания по решению задач динамики
62. Специальные задачи динамики
63. Динамика материальной точки переменной массы

• Готовые решения задач и примеры по теоретической механике с подробной теорией

1. Статика
2. Основные понятия и определения
3. Аксиомы статики
4. Простейшие теоремы статики
5. Статика. Равновесие системы сходящихся сил
6. Равновесие плоской системы сил
7. Равновесие системы тел
8. Кинематика
9. Кинематика точки
10. Скорость точки
11. Ускорение точки
12. Векторный способ изучения движения
13. Координатный способ изучения движения
14. Кинематика точки и как её определять и решать
15. Плоское движение твердого тела
16. Определение угловой скорости плоской фигуры
17. Определение скоростей точек плоской фигуры
18. Определение углового ускорения
19. Определение ускорений точек плоской фигуры
20. Динамика
21. Основные аксиомы классической механики
22. Системы единиц
23. Две основные задачи динамики точки
24. Динамика механической системы и твердого тела, геометрия масс
25. Теорема об изменении количества движения механической системы

• Лекции по теоретической механике

Статика твердого тела

Статика твёрдого тела – часть механики, изучающая условия равновесия твёрдого тела. Действие сил на тело вызывает его деформацию. Поэтому, изучая условия равновесия тела, мы имеем дело с деформированным телом, т.е. с другим телом.

Основные законы статики 

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную. В основе теоретической механики лежат экспериментально установленные законы, справедливость которых проверена многовековой практической деятельностью человека. Основные определения и законы даны ниже. 

Изолированной называется материальная точка, действием на которую других материальных тел можно пренебречь. 

Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно. Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 

Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия (рис. I.I). 

Эти две силы называются уравновешивающимися. Вообще силы 
называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому 
приложены эти силы, находится в покое. 

3акон 3. Не нарушая состояния *) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы. 

Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела. 

Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела. 

Равнодействующей называется сила, которая эквивалентна данной системе сил. 

Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой диагонали (рис. 1.2).

 
По модулю равнодействующая равна 

Закон 5 (закон равенства действия и противодействия). Силы, с которыми два 
равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой, т. е. 

Следует иметь в виду, что  действие — сила, приложенная к телу  и противодействие— сила, приложенная к телу А, не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам. 

Закон 6 (закон отвердевания), тела не нарушается при его затвердевании. 

Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела. Так, абсолютно жесткий стержень может находиться в 
равновесии под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль стержня либо друг к другу, либо друг от друга (т. е. под действием как сжимающих, так и растягивающих сил), а нить, соответствующая этому стержню, может находиться в равновесии только под действием двух сил, направленных друг от друга. Под действием сил, направленных друг к другу, нить сомнется. 

Твердое тело называется свободным, если его движение ничем не ограничено. В большей части технических задач встречаются лишь несвободные твердые тела. 

 

Несвободным называется такое твердое тело, на которое наложены связи, ограничивающие его движение в некоторых направлениях. Так, для лампы, подвешенной на шнуре, связью является шпур; для книги, лежащей па с голе, связью является стол; для лестницы, приставленной к стене, связями являются пол и стена. Для шара, катящегося по бильярдному столу, связью является поверхность стола и его борта. 
Сила, характеризующая действие связи па твердое тело, называется реакцией связи. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила — действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу. 

Все силы, действующие на твердое тело, можно разделить па две группы: 
силы активные и реакции связей *). При этом активными следует считать все 
силы, не являющиеся реакциями связей. Таким образом, какая-либо неизвестная 
сила, не являющаяся реакцией связи, также являются активной силой.

Закон 7 (закон освобождаемости  от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей. 

Этот закон дает возможность, в частности, применить к несвободному твердому телу условия равновесия, справедливые для свободного твердого тела. При этом следует, отбросив связи, наложенные на твердое тело, заменить их соответствующими реакциями связей. Затем надлежит рассмотреть равновесие этого несвободного твердого тела, как тела свободного, под действием активных сил  и реакций связей. 

В большинстве задач па равновесие твердого тела следует, если это возможно, сразу указать направление реакций связей, а затем определить их модули в ходе решения задач. Для облегчения определения направления реакций связей рекомендуется внимательно ознакомиться с приведенными ниже примерами. 

1. Если твердое тело опирается па идеально гладкую (без трения) поверхность, то реакция поверхности направлена по нормали к ней и точке соприкосновение т. е. перпендикулярно к, касательной плоскости в данной точке поверхности (рис. 1.4). Такая реакция называется нормальной реакцией. 

2. Если твердое тело в точках А и В (рис. 1.5) опирается на ребра двугранных углов, а в точке С—на гладкую плоскость, то для направления реакций связи в точках А и В следует применить 
метод обращения, т. е. представить, что двугранный угол опирается на твердое тело 
(рис. 1.6), являющееся для него связью. Эта обращенная задача сводится к рассмотренному 
выше случаю 1, т. е. опорная реакция  направляется по соответствующей нормали. Снова 
обратив задачу, определяют искомое направление реакций в точках А и В, причем на основании закона равенства действия и противодействия:  Реакция  в соответствии со случаем 1, направляется перпендикулярно к горизонтальной плоскости (см. рис. 1.5). 

3. Если твердое тело упирается острием в угол (например, лестница в выступ пола), то подобную связь следует рассматривать как двойную: угол А (рис. 1.7) препятствует перемещению твердого тела по горизонтали палено и по вертикали вниз. Поэтому две составляющие опорной реакции   следует направить противоположно 
этим перемещениям: первую — направо, вторую — вверх. (В подобных случаях реакцию 
зачастую ошибочно направляют вдоль АВ.) 

4. Цилиндрическим шарниром называется совокупность неподвижного валика А и надетой на него втулки В, соединенной с твердым телом D (рис. 1.8). При этом твердое тело может поворачиваться вокруг оси валика. В точке соприкосновения С втулки с валиком возникает опорная 

реакция, направленная по нормали к отдельно гладким поверхностям соприкасающихся тел в точке касания. Так как положение точки С соприкосновение валика А с втулкой В заранее известно, то невозможно сразу указать направление реакции R. При решении задач 
реакция R заменяется двумя взаимно перпендикулярными составляющими  Определив в ходе решения задачи  находят модуль и направление реакции R. Нетрудно видеть, что реакцию можно разложить на составляющие по любым двум направлениям, например на  или на  (рис. 1.9) и т. д. 

Обычно, пренебрегая диаметром валика, по сравнению с другими размерами, составляющие  прилагают в центре О. 
5. В случае сферического шарнира (рис. 1.10) также нельзя заранее указать положение точки соприкосновения и, следовательно, направление реакции R. При решении задач реакция R сферического шарнира заменяется тремя взаимно перпендикулярными составляющими  (рис. 1.11). 

6. Если на твердое тело наложена гибкая связь (нить, канат, трос, пень и др.), то реакция приложена к твердому телу в точке его прикрепления к гибким связям. Реакция гибкой связи направлена по касательной к связи в точке ее наложения (рис. 1.12). 

7. Если абсолютно жесткий невесомый прямолинейный стержень, концы которого соединены шарнирами с другими частями конструкции, находится в равновесии под действием сил, приложенных по его концам, то следует реакции направить вдоль стержня. 

Действительно, если к стержню со стороны других частей конструкции приложены силы в каждом из его концов, т. е. в шарнирах, то после сложения сил оказывается, что и каждом из шарниров приложено по одной силе. В результате стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных в шарнирах. Согласно второму закону эти силы по модулю равны и направлены в противоположные стороны по общей линии действия, т. е. вдоль стержня. При этом стержень подвергается растяжению силами  (рис. 1.13, а) либо сжатию силами (рис. 1.13, б), причем  и  Если стержень подвержен растяжению, то реакции стержня  приложенные к шарнирам, на основании закона равенства действия и противодействия направлены вдоль стержня друг к 

другу (рис. 1.13, а). Если стержень подвержен сжатию, то реакции стержня  приложенные к шарнирам, направлены вдоль стержня друг от друга (рис. 1.13, б). Следовательно, 

(рис. 1.13, а), а также 

(рис. 1.13, б). Так как 
то получим: 

Решение задач на равновесие твердого тела, независимо от взаимного расположения приложенных к телу сил, рекомендуется проводить в следующем порядке: 

• 1) выделить твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть для отыскания неизвестных величин; 
• 2) изобразить активные силы; 
• 3) если твердое тело несвободно, то, примени» закон освобождаемости от связей, приложить к нему соответствующие реакции связей; 
• 4) рассмотреть равновесие данного несвободного твердого тела, как тела свободного, находящегося под действием активных сил и реакций связей; 
• 5) использовать необходимые и достаточные условия (уравнения) равновесия в соответствии со взаимным расположением сил, приложенных к твердому телу, и определить искомые величины. 

Обращаем внимание читателя на то, что этот порядок является общим при решении любых задач на равновесие твердого тела. Методы применения пятого пункта и дополнительные рекомендации будут сделаны в соответствующих параграфах. 

Напомним, что в технической системе единиц сила измеряется в  а в системе единиц СИ — в  (ньютонах), причем 
 
 

Плоская система сил

Система сил, действующих на плоскости, называется плоской системой сил. Особенностью плоской системы сил заключается в том, что линии действия этих сил уже не пересекаются в одной точке.

Система сходящихся сил

Система сил, линии которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Так как точки приложения сходящихся сил можно перенести по линиям их действия (в силу следствия из аксиомы №2) в точку пересечения этих линий, то систему сходящихся сил всегда можно заменить системой сил приложенных в одной точке.

Равновесие твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. После переноса всех сил по их линиям действия в эту точку получается эквивалентная система сил, приложенных в одной точке. 

Равнодействующая R системы сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке и 
изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах, т. е. равнодействующая R равна векторной сумме слагаемых сил: 

При построении суммы векторов (рис. 1.14) надо к концу первого 
слагаемого вектора  приложить вектор  равный второму слагаемому вектору  к концу второго слагаемого вектора  присоединить вектор  равный третьему слагаемому вектору  и т. д. 
Суммой векторов R является замыкающий вектор, начало которого совмещено с началом первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего слагаемого вектора. Если векторы изображают силы, то многоугольник OABCD, построенный на рисунке для четырех слагаемых сил, называется силовым, а его замыкающая сторона OD является равнодействующей R. 

Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины силового многоугольника оказываются лежащими из одной прямой. Равнодействующая R этой системы сил лежит на той же прямой. На рис. 1.15 изображена равнодействующая четырех сил и  лежащих на одной прямой. (Для ясности изображения линии действия сил несколько смещены друг относительно друга.) 

Для равновесия твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма этих сил равнялась нулю:  т.е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. Это значит, что конец вектора последней слагаемой силы должен 
совместиться с началом вектора первой слагаемой силы. На рис. 1.16 изображен замкнутый силовой многоугольник, построенный на пяти слагаемых силах. 

В случае равновесия твердого тела, к которому приложены силы, лежащие" на одной прямой, вершины замкнутого силового многоугольника оказываются лежащими на прямой, вдоль которой в обоих направлениях отложены слагаемые силы, векторная сумма которых 
равна нулю (рис. 1.17). 

При решении задач на равновесие твердого тела, к которому приложена плоская система сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных к начале книги, на стр. 15.

Затем: 

• 5) построить замкнутый силовой многоугольник (построение надо начинать с силы, известной как по модулю, так и но направлению); 
• 6) решив силовой многоугольник, определить искомые величины. Если число активных сил и реакций связей, приложенных к твердому телу, находящемуся в равновесии, равно трем, то задача сводится к построению и решению силового треугольника. 

Задача 1.1. Однородный цилиндр М, вес которого  лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Сверху на цилиндр давит вертикальная сила  линия действия которой проходит через центр тяжести цилиндра. 

Определить давление цилиндра на горизонтальную плоскость. 

Решение:

 Рассмотрим равновесие несвободного цилиндра М (рис. а). К цилиндру приложены дне активные силы: Р — вес, F —вертикальная сила давления. Вес цилиндра приложен в его центре тяжести С и направлен по вертикали вниз. Сила давления совпадает по направлению с весом цилиндра. 

На цилиндр наложена одна связь — гладкая горизонтальная плоскость, препятствующая перемещению цилиндра по вертикали вниз. 
Применив закон освобождаемоcти от связей, заменим действие горизонтальной плоскости на цилиндр соответствующей реакцией R (рис. б). 
Направим реакцию R в сторону, противоположную тому перемещению, которое ограничено горизонтальной плоскостью, т. е. по вертикали вверх. 
Теперь данное несвободное твердое тело можно рассматривать как тело свободное, 
к которому приложены активные силы Р и F и реакция горизонтальной плоскости R. 
Эти три силы лежат на одной прямой. 

Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины силового многоугольника оказываются расположенными на той же прямой. Изобразим вектор, равный силе Р, поместив его начало в произвольной точке. Из конца его, т. е. из точки А, проведем вектор, равный силе F. В конце его, т. е. в точке В, находится начало вектора R (рис. в). 

Так как при равновесии твердого тела сумма сил Р, F и R должна быть равна нулю, то конец вектора R должен совпасть в точке О с началом первой слагаемой силы Р (на рис. в для яс- 
ясности изображения линии действия сил Р и F и силы R несколько смещены друг относительно друга). Как следует из рис. в, Подставив численные значения, получим 

Давление твердого тела на горизонтальную плоскость равно но модулю реакции R этой плоскости и направлено ей противоположно, т. е. по вертикали вниз. 

Задача 1.2. Однородный шар весом  опирается в точке А на гладкую наклонную плоскость, образующую угол  с горизонтом, а в точке В на выступ, находящийся на одной горизонтали с точкой А. 

Определить опорные реакции наклонной плоскости и выступа. 

Решение:

Рассмотрим равновесие шара. К шару приложена одна активная сила — его вес Р, направленный по вертикали вниз. Шар находится в равновесии при наличии двух связей: наклонной плоскости и выступа. Применив закон освобождаемости, заменим действие 
на шар мысленно отброшенных связей соответствующими реакциями. Реакция  гладкой наклонной плоскости направлена к ней перпендикулярно. В точке В проведем касательную (рис. б) и направим опорную реакцию перпендикулярно к касательной. Следовательно, 
линия действия  проходит через центр тяжести шара С. 

Теперь можно рассмотреть шар как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием плоской системы трех сил:  линии действия которых пересекаются в точке С. Для 

равновесия шара необходимо и достаточно, чтобы сумма этих трех сил равнялась нулю. Поэтому силы образуют замкнутый силовой треугольник. 

Построение силового треугольника начнем с силы Р,  известной как по величине, так и но направлению. Из произвольной точки О (рис. в) проведем вектор, который равен силе Р. К концу силы Р  надо приложить начало силы  Выбираем в качестве следующей стороны силового треугольника реакцию выступа  Так как направление силы известно, то проведем через точку А прямую АК, параллельную линии действия реакции  Для последующего построения силового треугольника надо к концу приложить начало силы  Сделать это невозможно, так как модуль силы  неизвестен. Несмотря на возникшее затруднение, построение силового треугольника можно успению завершить. Следует учесть, что при равновесии шара силовой треугольник должен быть замкнут. При этом конец вектора реакции  должен совместиться с началом вектора силы Р, т. е. попасть в точку О. Поэтому проведем через точку О прямую OL, параллельную линии действия силы  . Точка В пересечения прямых АК и OL определяет положение третьей вершины В силового треугольника ОАВ. В построенном силовом треугольнике должно иметь место единое направление стрелок, т. е. в каждой из вершин треугольника должен быть расположен конец 
только одной из трех сил. 

Для определения модулей опорных реакций  остается решить силовой треугольник ОАВ. Нетрудно видеть из рис. в, что углы, образованные линией действия силы Р с линиями действия реакций  равны  таким образом, силовой треугольник 
оказывается равносторонним и, следовательно, 

Если бы при построении силового треугольника мы к концу силы Р приложили начало силы  (а не  как это было сделано выше), то получили бы силовой треугольник ОАО (рис. г), равный силовому треугольнику ОАВ. Решение этого силового треугольника, естественно, привело бы к тем же результатам. 

Задача 1.3. Через гвоздь, вбитый в стену, переброшен трос (рис. а). Один конец троса прикреплен к полу под углом 30° к горизонту. К другому концу троса поднесен груз, вес которого  Определить величину реакции стены, в которую вбит гвоздь. 
Весом гвоздя пренебречь. Трос расположен в вертикал! ной плоскости. 

Решение:

Предварительно рассмотрим равновесие груза (рис. б). К грузу приложены: вес Р, направленный по вертикали вниз, и реакция троса Т, направленная по вертикали вверх. Воспользовавшись вторым законом о равновесии твердого тела под действием 
двух сил, получим: 

Переходим к рассмотрению равновесия гвоздя. Мысленно рассекая левую и правую ветви троса вблизи гвоздя, заменим действие отброшенных частей троса 
его реакциями (рис. в). Силы  равны 
по модулю силе Т, но различны по направлению: 
Связью, наложенной на гвоздь, является стена. 

Гвоздь находится в равновесии под действием активных сил ,  и реакции R стены, направление которой неизвестно. Так как 

линии действия этих трех сил пересекаются в одной точке, то можно построить силовой треугольник на силах  В данном силовом треугольнике две силы  известны как по величине, так и но направлению. Проведя из произвольной точки О силу, векторно равную силе  приложим к ее концу силу, векторно равную силе  (рис. г). 

Так как при равновесии гвоздя силовой треугольник должен быть замкнут, то, соединив начало О силы  с концом В силы определим реакцию стены  Конец силы должен находиться в исходной точке О. При этом силовой треугольник ОАВ оказывается замкнутым. 

Для решения силового треугольника ОАВ воспользуемся вспомогательными построениями. Проведем из точки В направо горизонталь и продолжим ОА по вертикали вниз до пересечения с горизонталью в точке D. В треугольнике ABD угол ABD равен углу наклона левой ветви троса к горизонту, т. е. 30°. Следовательно, угол BAD равен 60°. Угол BAD является внешним по отношению к силовому треугольнику ОАВ. Замечая, что силовой треугольник ОАВ является равнобедренным (силы  по модулю равны), имеем:   Теперь из треугольника ОАВ без труда находим искомый модуль реакций R стены: 

 

Задача 1.4. Два абсолютно жестких стержня АВ и АС соединены шарниром в точке А и прикреплены к полу шарнирами В и С, образуя с полом соответственно углы 45° и 60° (рис. а). К валику шарнира А подвешен па нерастяжимой нити груз D, вес которого 

Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и АС. Весом стержней пренебречь. 

Решение:

Для определения усилий в стержнях АВ и АС следует рассмотреть равновесие шарнира А. Однако непосредственно приступить к исследованию равновесия узла А невозможно, так как он находится в равновесии под действием трех неизвестных сил: 
реакций стержней АВ и АС и реакции нити AD. Поэтому для определения реакции нити предварительно рассмотрим равновесие груза D. Груз D находится в равновесии под действием двух сил: веса Р и реакции нити Т. Эти силы направлены в противоположные стороны (рис. б). Учитывая условие равновесия груза, получим, что 

Теперь, когда одна из трех сил, приложенных к шарниру А, известна, можно изучить равновесие шарнира А. К нему приложена одна известная сила — реакция нити  направленная по вертикали вниз (на основании закона равенства действия и противодействия   Реакции  стержней АВ и АС направлены вдоль 
стержней (см. на стр. 14 и 15 пример 7 направления реакции связей). 
На рис. в эти три силы изображены приложенными в шарнире А (в общем случае трудно заранее указать, направлены ли силы  и  вдоль стержней вверх или вниз; это будет уточнено в ходе последующего решения задачи). 

При равновесии шарнира А равнодействующая этих сил должна быть равна нулю, следовательно, силы  образуют замкнутый силовой треугольник. 

Построение силового треугольника (рис. г) начнем с силы  известной по величине и по направлению. Взяв произвольную точку О, приложим к ней силу  Затем, проведя через начало и конец силы  прямые OL и SK, соответственно параллельные стержням АС и АВ, получим в пересечении третью вершину Q силового треугольника OSQ. Изобразив на сторонах треугольника SQ  и QO стрелки так, чтобы сумма трех сил  равнялась 
нулю (в каждой из вершин силового треугольника OSQ должен быть расположен конец только одной из трех сил), получим направления реакций 

Перейдя к решению силового треугольника, заметим, что 
как углы с соответственно параллельными сторонами. Следовательно, Применив теорему синусов, получим: 

откуда 

Подставив численные значения, находим: 

Задача 1.5. На рис. а изображен механизм антипараллелограмма ABCD, состоящий из абсолютно жестких стержней АВ, ВС и CD, шарнирно соединенных между собой в точках В и С и прикрепленных шарнирами А и D к неподвижному звену 
AB = CD. К валику шарнира С приложена направленная по горизонтали налево сила  (Впредь для краткости валик шарнира 
мы будем называть шарниром.) 

Определить величину силы  приложенной в шарнире В и направленной по вертикали вниз, если механизм находится и равновесии и положении, указанном на рис. а, т. е. при и  Весом стержней пренебречь.

 

Решение:

Для определения величины силы Fe следует рассмотреть равновесие шарнира В. Однако непосредственно это сделав невозможно, так как ни одна из трех сил, приложенных к шарниру В (сила  и реакции стержней АВ и ВС), неизвестна по неличное. Поэтому для определения величины реакции стержня ВС предварительно рассмотрим равновесие шарнира С. К шарниру С приложена  активная сила  и реакции стержней CD и СВ. Так как стержни 
соединены шарнирами, то реакции направлены вдоль соответствующих стержней. 

На рис. в изображен силовой треугольник для узла С. Из произвольной точки О проведена сила  Через начало и конец силы  проведены прямые ОК и ЕL, соответственно параллельные стержням СВ и CD. В точке пересечения этих прямых найдем третью вершину N силового треугольника OЕN. Направим векторы и так, чтобы сумма сил  оказалась равной нулю.

Для определения углов в треугольнике OEN вернемся к рис. а. Соединив точки В и D, рассмотрим треугольники ABD и DCB. Эти треугольники раины по трем сторонам, так как по условию AD = BC, АB = CD, а сторона BD у них общая. Воспользовавшись равенством 
треугольников, найдем, что  Теперь легко доказать равенство треугольников AMD и СМВ. Действительно, 
Следовательно, 

Обратившись теперь к силовому треугольнику OEN, нетрудно заметить, что  Так как  то получим: 

Теперь мы можем определить искомую силу  рассмотрев равновесие шарнира В (рис. г). К шарниру В приложены активная сила  и реакции стержней АВ и ВС, направленные вдоль стержней. При этом реакции  стержня нам известна. Она равна по модулю силе 
определенной из силового треугольника OEN, и противоположно ей направлена, т. е. (см. на стр. 14 и 15 пример 7 направления реакций связей). 

Начнем построение силового треугольника для узла В с реакции  отложив ее от произвольной точки Р (рис. д). Затем, проведя через начало и конец  прямые  соответственно параллельные линиям действия искомой силы  и стержню АВ, получим в их точке пересечения третью вершину  силового треугольника PRS. Направим векторы  так, чтобы силовой треугольник PRS оказался замкнутым. Так как линии действия сил и  соответственно параллельны стержням СВ и АВ, то  
Заметив, что  как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, найдем из силового треугольника PRS: 

Подставив значение  из формулы (1) получим: 

Теорема о трех непараллельных силах

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил 
пересекаются в одной точке (рис. 1.18).

 

Следует иметь в виду, что пересечение линий действия трех непараллельных сил в одной точке является лишь необходимым условием для равновесия твердого тела. Пересечение линий действия трех сил в одной точке не является достаточным условием, так как равнодействующая этих сил может оказаться не равной нулю. Следовательно, достаточным условием является наличие замкнутого силового треугольника при одновременном пересечении линий действия трех сил в одной точке. 

Теорема о трех непараллельных силах значительно облегчает решение задач на равновесие твердого тела в тех случаях, когда направление одной из трех уравновешивающихся сил неизвестно. Действительно, определив точку пересечения линий действия двух сил,  направления которых известны, можно указать направление линии действия третьей силы, так как она должна пройти через точку приложения этой силы и точку пересечения линий действия первых двух сил. 

Задача 1.6. На рис. а изображена схема суппорта универсального металлорежущего станка с закрепленным в нем резцом. К резцу в точке D со стороны обтачиваемого изделия (На рисунке изделие не показано) приложено давление N, образующее угол 30° с вертикалью и равное по модулю  Схематизируя опоры суппорта, считаем, что опорой А является цилиндрический шарнир, а в точке В суппорт поддерживается пружиной. 

Пренебрегая весом суппорта, определить реакцию опоры и силу упругости пружины. Размеры указаны па рисунке. 
 

Решение:

Рассмотрим равновесие суппорта, к которому приложены силы: N—давление обтачиваемого изделия на упругости пружины, направленная но вертикали резец, F — сила 
вверх. Применив 

закон освобождаемое от связей, мысленно отбросим цилиндрический шарнир А и компенсируем его действие на суппорт соответствующей реакцией  Обычно мы не можем заранее указать направление этой реакции (см. пример 4 направления реакций на 
стр. 13 и 14). Однако в данном случае суппорт находится в равновесии под действием трех непараллельных сил:  Поэтому можно воспользоваться теоремой о трех непараллельных силах, согласно которой линии действия сил  должны пересекаться в одной точке. Так как линии действия сил N и F пересекаются в точке Е, 
то линия действия силы  также должна проходить через эту точку  (см. рис. б). 

Построение силового треугольника (см. рис. в) начнем с силы N, приложив ее в произвольной точке О, взятой вне основного рисунка. Через начало О и конец Q вектора N проведем прямые, параллельные линиям действия сил  В точке пересечения этих прямых 
найдем третью вершину М силового треугольника  Направим векторы  так, чтобы силовой треугольник оказался замкнутым, т. е. чтобы в каждой из его вершин был расположен конец только одной силы. 

Для решения силового треугольника выполним на рис. б вспомогательное построение: проведем через точку D вертикаль до пересечения в точке   с прямой АЕ. Нетрудно видеть, что треугольники ОMQ (рис. в) и DLE (рис. б) подобны, ибо имеют соответственно 
параллельные стороны. Определим длины сторон треугольника DLE. Из прямоугольного треугольника DKE, и котором, по условию,  имеем  Поэтому 

Средняя линия CL треугольника ВАЕ равна 

Значит,  Для определения LE предварительно вычислим АЕ из прямоугольного треугольника  Имеем 
Так как  Итак, стороны треугольника DLE равны  

Использовав подобие треугольников ОMQ и DLE, запишем: 

откуда 

Подставив значения LE, DE и DL из формул (2), а также значение  получим: 

 

Задача 1.7. Однородная палочка весом Р и длиной 2а опирается концом А о гладкую внутреннюю поверхность полусферической чаши радиуса  Промежуточной точкой В палочка опирается о ребро чаши. 

Определить величину угла а, образуемого палочкой с горизонтом в положении равновесия, и опорные реакции в точках А и В. С — центр тяжести палочки, М — центр сферы, половина которой образует чашу рис. а). 

Решение:

Если опустить палочку концом А в полусферическую чашу, то она займет и ней положение равновесия при некотором фиксированном значении угла  образуемого палочкой с горизонтом. При этом угол  зависит от длины палочки 2а и радиуса чаши 
 

В случае равновесия угол  должен быть таким, чтобы линии действия трех сил, приложенных к палочке, — веса Р и реакций  и — пересекались в одной точке. Реакцию  направим по нормали к поверхности и данной точке, т. е. по радиусу AM, а реакцию  — перпендикулярно к палочке (рис. б). Пусть О — точка пересечения линий действия этих трех сил. Такого построения оказывается достаточно для определения значения угла  Рассматривая равнобедренный треугольник АМВ, имеем   Так как    Угол АВО вписанный в окружность радиуса  является по построению прямым. Он должен опираться на диаметр окружности; поэтому  Из треугольника AOS находим  Из треугольника ACS имеем 
(Так как центр тяжести однородной палочки расположен в ее середине, то Следовательно, 

Заменив  через  получим: 

или 

Решив это квадратное уравнение, найдем: 

Так как  Поэтому, отбросив отрицательное значение  окончательно получим:

 
Для определения опорных реакций  построим замкнутый силовой треугольник (рис. в). Из произвольной точки К проводим вектор, равный силе Р. Проведя через начало вектора Р прямую параллельную реакции  а через конец вектора Р — прямую LD,  параллельную реакции  получим в точке пересечения этих прямых третью вершину N силового треугольника KLN. Из сравнения рис. б и в нетрудно видеть, что  и, следовательно, 

Применив к силовому треугольнику KLN теорему синусов, запишем: 

откуда 

где  определяется по формуле (2). 

Метод проекций

Ортогональная проекция силы па ось, подобно проекции любого вектора на ось, раина произведению модуля силы на косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлением проектируемой силы (рис. 1.19): 

Проекция силы па ось является алгебраической величиной. Если угол между положительным направлением оси проекций и вектором 

заключен в пределах от 0° до 90°, либо от 270° до 360°, то проекция силы на ось положительна. Если же он лежит в пределах oт 90° до 270°, то проекция силы на ось отрицательна. Если сила перпендикулярна к оси, то проекция силы на ось равна нулю. По этому способу определяются ортогональные проекции силы на координатные оси х и у (рис. 1.20) 

Впредь для краткости будем обозначать: 

либо 
Следовательно, 

С помощью этих формул, зная модуль и направление силы, можно определить ее проекции на оси ортогональных декартовых координат. 

В случае решения обратной задачи, т. е. при определении модуля и направления силы по заданным проекциям на оси декартовых координат, вычисление ведется по формулам: 

Нельзя отождествлять понятия проекции силы и ее составляющей. На рис. 1.21 изображена сила F, разложенная на две составляющие  силы  направленные параллельно соответствующим осям координат, т. е.  Составляющая силы является вектором, 
который можно представить в виде произведения проекции силы на орт (единичный вектор) соответствующей оси, т. е. 

Следовательно, разложение силы на составляющие можно записать в виде 

Орты осей координат всегда направлены в положительных направлениях соответствующих осей. Знак проекции силы определяет направление ее составляющей, т. е. если проекция силы положительна, то направление составляющей силы совпадает с положительным направлением соответствующей оси, если же проекция силы отрицательна, то направление составляющей силы противоположно положительному направлению соответствующей оси. 

Переходим к определению равнодействующей плоской системы сходящихся сил методом проекций. Пусть даны силы  В плоскости действия сил построена система осей декартовых координат ху. Разложения данных сил по ортам этих осей координат 
имеют вид 

Разложение равнодействующей плоской системы сходящихся сил по ортам этих осей координат дается формулой:  где  — проекции равнодействующей на соответствующие оси. 
Проекции равнодействующей на оси декартовых координат равны алгебраическим суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси 

Определив по этим формулам проекции равнодействующей, можно вычислить ее модуль 
и направляющие косинусы 

Уравнения равновесия твердого тела при наличии плоской системы сходящихся сил. Для равновесия твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на оси декартовых координат равнялись нулю: 

или, в более краткой записи, 

Задача называется статически определенной, если число неизвестных равно числу независимых уравнений равновесия. Если же число неизвестных больше числа независимых уравнений равновесия, то задача называется статически неопределенной. В последнем случае 
одними уравнениями статики задача не может быть решена. Для ее решения следует привлечь уравнения, даваемые другими дисциплинами, например сопротивлением материалов. 

Задача на равновесие твердого тела под действием плоской системы сходящихся сил является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более двух. Так, если известны направления всех слагаемых сил и модули всех сил, кроме двух, то можно определить неизвестные модули двух сил. Если одна из сил не известна пи по величине, ни по направлению, то все остальные слагаемые силы должны быть заданы. 

Преимущества аналитического метода проекций по сравнению с геометрическим методом силового многоугольника особенно заметны в задачах на равновесие твердого тела при наличии более трех сходящихся сил. Действительно, решение силового четырех-, пяти- и 
угольника представляет известные трудности, в то время как решение задачи методом проекций лишь незначительно усложняется при увеличении числа проектируемых сил. 

При решении методом проекций задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием плоской системы сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Затем: 

• 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных не более двух; 
• 6) выбрать в плоскости действия сил систему осей декартовых координат ху; 
• 7) составить уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси декартовых координат (7*); 
• 8) решить систему составленных уравнений равновесия и определить искомые величины; если величина какой-либо из неизвестных сил окажется отрицательной, то это означает, что направление силы противоположно тому, которое было указано на рисунке. 

Если по условию задачи требуется определить равнодействующую, то после выполнения первых четырех пунктов решения задачи надо вычислить проекции равнодействующей  но формулам (4*), затем определить модуль равнодействующей и ее направляющие косинусы по формулам (5*) и (6*). 

При выборе осей декартовых координат целесообразно их направить так, чтобы они были параллельны либо перпендикулярны большинству слагаемых сил. При определении проекции силы на ось можно пользоваться следующим приемом: вычислить модуль проекции силы как произведение модуля силы па косинус острого угла между линией действия силы 

и прямой, лежащей на оси проекций. Для определения знака проекции силы надо смотреть па проектируемую силу и ось проекции так, чтобы плоскость, проходящая через них, была видна в виде прямой. Если при этом направления силы и осп совпадают, то проекция силы положительна, если же направления силы и оси противоположны, то проекция силы отрицательна. 

Например, проекции на ось х сил  изображенных на рис. 1.22, а, положительны, и можно сразу записать: 

вместо того чтобы производить вычисления 

Проекции же сил  показанных на рис. 1.22,6, отрицательны, так как непосредственно ясно, что 

Сложнее было бы вычислить проекции формально: 

Задача 1.8. Решить задачу методом проекций. 

Решение:

Воспользуемся изображением сил  данным па рис. й к задаче 1.4. Направим ось х по горизонтали право и ось у по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия шарнира А в проекциях на оси х и у: 

Решив эту систему уравнений, найдем 

Решение этой задачи аналитическим методом проще геометрического метода (см. решение задачи 1.4). 

Задача 1.9. На рисунке изображены четыре силы приложенные к твердому телу в точке О и лежащие в одной плоскости. 

Определить модуль и направление силы  которую следует приложить в точке О для того, чтобы твердое тело находилось в равновесии. Дано:  
 

Решение:

Для решения задачи методом проекций направим оси декартовых координат: ось х — по горизонтали направо, ось у — по вертикали вверх. Уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси х и у имеют вид 

или 

где  — проекции неизвестной силы  на оси х и у. Так как число неизвестных равно числу уравнений, то задача является статически определенной. 

Вычислим проекции четырех заданных сил  на оси х и у: 

Подставляя эти значения в уравнения (1) и (2), получим: 

Из уравнений (3) и (4) найдем  Модуль искомой силы  равен 

Вычислим направляющие косинусы: 

откуда 

Определение искомой силы методом проекций не составило особого труда. При геометрическом методе решения этой задачи пришлось бы построить силовой пятиугольник и затем определить модуль и направление силы . Преимущества метода проекций бесспорны. 

Задача 1.10. При монтаже колонны МN для подъема груза С весом Р на вершину колонны использованы два крана. Груз поднимается с помощью троса ВСА, прикрепленного концом В к неподвижному левому крану (кран на рис. а не изображен), а концом А — к тележке правого крана. При движении тележки по горизонтали направо груз — полый цилиндр, скользит вдоль колонны MN вверх. Длина троса равна L. Расстояние от неподвижного левого конца В 
троса до колонны MN равно 

Считая, что груз С находится в покое, определить натяжение троса и давление груза на колонну. Угол, образованный левой ветвью троса с колонной равен а. Весом троса и трением груза о колонну пренебречь. 

Решение:

Для определения неизвестных рассмотрим равновесие груза С. К грузу приложена одна активная сила — его вес Р. На груз наложены связи: трос ВСА и колонна MN. Реакция R гладкой колонны перпендикулярна к ее оси (см. рис. б). Изобразим ее по горизонтали налево. Мысленно рассечем обе ветви троса вблизи точки С. Реакции  направлены вдоль ветвей троса, причем 

Направим ось х по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. Обозначив угол  запишем уравнения проекций всех сил, приложенных к грузу С, на оси х и у. 

Из уравнения (2) найдем: 

Использовав значение (З) в уравнении (1), получим: 

Остается выразить  Обозначим:  По условию 

Из треугольника  имеем: 

Воспользовавшись треугольником  и выражениями (5) и (6), запишем: 

Теперь нетрудно вычислить  С помощью результата (7), после несложных преобразований, получим: 

Подставив значения окончательно получим: 

По мере подъема груза С угол  увеличивается, стремясь к 90° (значит,  При этом модуль реакции троса также растет. Груз С невозможно поднять на уровень горизонтали АВ, ибо при этом  и величина T неограниченно возрастает.

Искомые натяжение троса и давление груза С на колонну соответственно равны по модулям силам Т и R. 

Решение этой задачи с помощью силового многоугольника значительно сложнее, ибо приходится решать замкнутый силовой четырехугольник, построенный на силах 

Момент силы относительно точки. Равновесие твердого тела с одной неподвижной 
точкой

Момент силы F относительно точки О, который записывается в виде  для плоской системы сил равен по абсолютной величине произведению модуля силы F на расстояние h от точки О до линии действия силы F, называемое плечом. 

Если сила F стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, то 
момент силы положителен, если же в направлении часовой стрелки, то отрицателен. 
(В дальнейшем вместо: «сила стремится повернуть тело вокруг точки О ...», будем говорить: «сила видна направленной вокруг точки О»). Например (рис. 1.23), 

Размерность момента силы в технической системе единиц —  а в системе  (джоуль), причем 

Следует помнить, что плечо h является отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Иногда ошибочно в качестве плеча изображают отрезок, соединяющий точку, относительно которой вычисляется момент, с точкой приложения силы.  

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно нулю. Например: 

Теорема Вариньо- на для системы сходящихся сил (теорема о моменте равнодействующей): момент относительно точки равнодействующей R системы сходящихся сил расположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки: 

Здесь 

Удобство применения теоремы Вариньона заключается в том, что, минуя непосредственное определение равнодействующей, можно вычислить ее момент относительно точки, 
зная моменты всех слагаемых сил относительно той же точки. Выражение момента силы F относительно точки А через проекции силы на оси декартовых координат- имеет 
вид 

где  — проекции силы F на оси декартовых координат, х и у — координаты точки В приложения силы F, а и b — координаты точки А (рис. 1.24). 

Этой формулой рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда определение величины плеча h связано с вычислительными трудностями. 

В частности, если момент силы F определяется относительно начала координат О, т. с. a = b= 0, то формула принимает вид 

где  — проекции силы F на оси декартовых координат, х и у — координаты точки приложения силы F. 

Перейдем к рассмотрению задач на равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой. Если единственной связью, наложенной на твердое тело, находящееся в равновесии, является неподвижная точка (например, шарнир), то ее реакция должна уравновешиваться с равнодействующей всех активных сил. Следовательно, при равновесии твердого тела линия действия равнодействующей всех активных сил должна проходить через неподвижную точку. В противном случае происходит опрокидывание твердого тела. 

Для определения условий, обеспечивающих равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой, к которому приложена плоская система сходящихся сил, необходимо направить линию действия равнодействующей активных сил через точку пересечения линий действия 
активных сил и неподвижную точку. 

Эти же задачи можно решать с помощью теоремы Вариньона, записанной относительно неподвижной точки. Так как при этом момент равнодействующей активных сил, проходящих через неподвижную точку, равен нулю, то сумма моментов всех активных сил относительно неподвижной точки также равна нулю: 

где О — неподвижная точка. 

Задача 1.11. Тонкий однородный стержень АВ весом Р может поворачиваться вокруг шарнира В, прикрепленного к полу. Определить величину силы F, которую нужно приложить по горизонтали вправо в конце стержня А для того, чтобы стержень оставался в равновесии, образуя угол  с вертикалью (рис. а). 

Решение:

Рассмотрим условия равновесия стержня АВ. К стержню приложены две активные силы: Р и F, линии действия которые пересекаются в точке О. Единственной связью, наложенной на стержень, является шарнир В. Линия действия реакции N шарнира согласно теореме о трёх непараллельных силах должна проходить через точку О. 

Итак, стержень АВ находится в равновесии под действием трех сходящихся сил Р, F и N. Для того чтобы не произошло опрокидывания стержня АВ вокруг шарнира В, линия действия равнодействующей R активных сил Р и F должна проходить через точки О и В, т. е. должна составлять с вертикалью угол OBD, который мы обозначим через  Учтя, что вес Р приложен в середине стержня, получим АС=СВ. При этом АО = OD. Так как то 

Построив на рис. б равнодействующую R активных сил Р и F под углом C к вертикали, найдем из прямоугольного треугольника KLM: 

При выполнении этого условия стержень АВ будет находиться в равновесии. Если  то стержень опрокинется вокруг шарнира В в направлении по часовой стрелке, если же  то против часовой, стрелки. 

Данную задачу проще всего решить, применив условие равновесия рычага (11*) которое здесь имеет вид 

Так как 

то, подставив эти значения в формулу (1), получим: 

откуда 

Произвольная плоская система сил

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости. Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил: R = ΣFk.

Случай параллельных сил

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону. Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются системой параллельных сил. При этом силы, линии действия которых параллельны, но векторы направлены в противоположные стороны, называют антипараллельными.

Равновесие твердого тела при наличии плоской системы сил

Напомним сначала, что равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, раина по модулю 
сумме модулей данных сил и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей делит внутренним образом расстояние между линиями действия данных сил па части, обратно пропорциональные этим силам. Таким образом (рис. 1.25), 

Равнодействующая двух параллельных сил, не равных по модулю (пусть  и направленных в разные стороны, равна по модулю разности модулей этих сил и направлена в сторону большей 

силы. Линия действия равнодействующей делит внешним образом расстояние между линиями действия данных сил на части, обратно пропорциональные этим силам. Таким образом (рис. 1.26), 

Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в разные стороны, называется парой сил (рас. 1.27).

 

Расстояние между линиями действия этих сил называется плечом пары. Так как две силы, равные по модулю и направленные в разные стороны, не лежат на одной линии действия, то твердое тело, к которому приложена пара сил, не находится 
в равновесии. Пара сил стремится повернуть твердое тело, к которому она приложена. 

Мерой действия пары сил является алгебраическая величина, называемая ее моментом. Момент пары сил равен по абсолютной величине произведению модуля одной из сил пары на плечо. Если пара сил видна направленной против часовой стрелки, то момент пары 
положителен, если по часовой стрелке, то отрицателен. Примеры даны на рис. 1.28. 

Теория пар сил на плоскости сводится к четырем теоремам. 

Теорема 1. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки плоскости не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары. 

Теорема 2. Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия. 

Теорема 3. Пары сил, моменты которых равны, эквивалентны. (Пары сил называются эквивалентными, если одну из пар можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.) 

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно изменять величину плеча либо величину силы, сохраняя при этом неизменным момент пары сил (рис. 1.29). 

Теорема 4 (сложение пар сил на плоскости). При сложении нескольких пар сил на плоскости получается равнодействующая пара, момент которой  равен сумме моментов слагаемых пар: 

На рис. 1.30, а показаны три пары сил с моментами 
 а на рис. 1.30,6 представлена их равнодействующая пара с моментом 

Для равновесия твердого тела под действием пар сил, лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов данных пар равнялась нулю: 

Приведение силы к данной точке. При приведении силы к данной точке добавляется присоединенная пара сил, момент которой равен моменту данной силы относительно центра приведения. 

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно силу F приложить в точке В (рис. 1.31), добавив присоединенную пару сил, момент которой равен моменту заданной силы F относительно центра приведения В. Приведением силы к данной точке широко пользуются при преобразовании произвольной плоской системы сил к простейшему виду. 

Главным вектором V называется векторная сумма сил, приложенных к твердому телу, т. е. 

Проекции главного вектора   на оси декартовых координат равны суммам 
проекций данных сил на соответствующие оси: 

Модуль главного вектора

Направляющие косинусы главного вектора определяются по формулам: 

Главным моментом  относительно центра О называется сумма моментов сил, приложенных к твердому телу, относительно этого центра, т. е. 

В соответствии с определением главный вектор V является статическим инвариантом, т. е. величина и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения системы. Главный момент системы при перемене центра, вообще говоря, меняется. Главный момент  плоской системы сил относительно нового центра приведения А равен сумме главного момента этой системы сил относительно старого центра О и момента относительно нового центра А главного вектора V, приложенного в старом центре О: 

Приведение к одному центру сил, произвольно расположенных па плоскости. В результате приведения сил, произвольно расположенных на плоскости, к одному центру О система сил преобразуется к приложенной в этом центре силе, равной главному вектору V, и паре сил, момент которой равен главному моменту 

Не следует отождествлять силу V с равнодействующей R, так как равнодействующая — это одна сила, которая эквивалентна данной системе сил, а сила V эквивалентна данной системе сил только в совокупности с парой сил, момент которой равен главному моменту Частные случаи приведения сил, произвольно расположенных на плоскости, а) Главный вектор равен нулю, но главный момент не равен нулю, т. е.  Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (в этом случае главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения). 

б) Главный вектор не равен нулю, но главный момент равен нулю, т. е.  Система сил приводится к равнодействующей  приложенной в центре приведения системы. 

в) Главный вектор и главный момент системы не равны пулю, т. е. Система сил приводится к равнодействующей  линия действия которой отстоит от линии действия силы V на расстоянии  Положение линии действия равнодействующей  должно быть таким, чтобы знак момента равнодействующей относительно центра приведения О совпадал со знаком главного момента системы сил  относительно центра О. 

Сила V и равнодействующая R равны по модулю и параллельны (рис. 1.32).

 

Теорема Вариньона для произвольной плоской системы сил. Если система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен 
сумме моментов данных сил относительно той же точки (теорема Вариньона): 

г) Главный вектор V и главный момент системы равны нулю  Твердое тело, к которому приложена данная система сил, находится в равновесии. 

Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил. Для равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на произвольно выбранные оси декартовых координат х и у и сумма моментов этих сил относительно произвольно выбранной точки О 
равнялись нулю: 

В случае произвольной плоской системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех. 

Можно ограничиться составлением одного уравнения проекций, например на ось х, по при этом составить два уравнения моментов относительно двух произвольных точек: 

При этом следует иметь ввиду, что ось, относительно которой составляется уравнение проекций, не должна быть расположена перпендикулярно к прямой, проходящей через две точки, относительно которых составляются уравнения моментов. Если это условие не будет 
выполнено, то уравнение проекций окажется следствием уравнений моментов и решение подобной системы уравнений равновесия даст возможность определить только две неизвестные величины вместо трех. 

Можно, минуя составление уравнений проекций сил, составить три уравнения моментов относительно трех произвольно выбранных точек: 

При этом следует иметь в виду, что эти три точки не должны лежать на одной прямой, так как иначе одно из уравнений равновесия окажется следствием двух других. 

Уравнения равновесия твердого тела под действием плоской системы параллельных сил имеют вид 

причем ось х не перпендикулярна данным силам. Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более двух. 

Можно обойтись без уравнений проекций и составить два уравнения моментов относительно двух произвольно выбранных точек: 

Следует иметь в виду, что эти две точки не должны лежать на прямой, параллельной данным силам, так как в противном случае одно из уравнений равновесия окажется следствием другого. 

При решении задач на равновесие твердого тела, к которому приложена плоская система параллельных сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги на стр. 15. Затем: 

• 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. число алгебраических неизвестных величин не более двух; 
• 6) выбрать систему осей декартовых координат; 
• 7) составить уравнения равновесия системы параллельных сил; 
• 8) решив уравнения равновесия, определить неизвестные величины. 

Если величина какой-либо неизвестной силы окажется отрицательной, то это означает, что направление этой силы противоположно тому, которое было изображено на рисунке. 

Оси декартовых координат целесообразно направлять так, чтобы одна из них оказалась параллельной всем силам, приложенным к твердому телу. Уравнение моментов рекомендуется составлять относительно точки, лежащей на линии действия неизвестной силы. Это 
дает возможность определить одну из неизвестных величин непосредственно из уравнения моментов. 

При решении задачи с помощью двух уравнений моментов шестой пункт решения задачи отпадает. При этом не следует забывать, что точки, относительно которых составляются уравнения моментов, не должны лежать па прямой, параллельной силам.

Задача 1.12. В кузове грузовой автомашины весом Р лежит груз D весом Q = P/2. 

Пренебрегая силами трения, определить давления передних и задних колес автомашины на шоссе. Размеры указаны на рис. а, С — центр тяжести автомашины. 

Решение:

Рассмотрим равновесие автомашины. К ней приложены активные силы: Р — вес автомашины, Q — вес груза. Применив закон освобождаемости от связей, мысленно отбросим связь — шоссе. Реакции шоссе  приложенные к колесам, при отсутствии трения 
направлены перпендикулярно к шоссе, т. е. вертикально вверх (рис. б). Конечно,  являются суммарными реакциями соответственно двух задних и двух передних колес. 

Итак, автомашина находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил:  Задача является статически определенной, ибо число алгебраических неизвестных равно двум. 

Направим ось х параллельно силам вертикально вверх, а уравнение моментов составим относительно точки А. Тогда, применив уравнения (4*), запишем: 

Из уравнения (2), приняв во внимание, что Q = Р/2, найдем Подставив в это значение в уравнение (1), получим  Итак, 

 

Искомые давления колес автомашины на шоссе равны по модулю соответствующим реакциям и направлены противоположно, т. е. вертикально вниз. 

Эту задачу можно было решить с помощью уравнений равновесия, в каждое из которых входит лишь одна неизвестная величина. Для этого вместо уравнения (1), содержащего две неизвестные величины  следует составить уравнение моментов относительно 
точки В. Это уравнение удобно тем, что в него не входит  (момент силы  относительно точки В равен нулю):  

Из уравнения (4) при Q = P/2 непосредственно получим (ср. формулу (3)). 

Задача 1.13. Консольная балка AD весом  лежит на двух опорах В и D, причем опора В расположена на катках. На конце А к балке приложена вертикальная сосредоточенная сила  На участке CD на балке находится равномерно распределенная нагрузка интенсивности  (интенсивностью называется величина силы, действующей на единицу длины). На участке АВ к балке приложена пара сил с моментом 

Определить опорные реакции в В и D. Размеры указаны на рисунке. 

Решение:.

Рассмотрим равновесие консольной балки AD (участок балки АВ, расположенный вне опор, называется консолью). На балку действуют активные силы: вес балки Р, приложенный в ее середине, вертикальная сила F, равнодействующая 
распределенной нагрузки приложенная в середине участка CD и направленная по вертикали вниз, и, наконец, пара сил с моментом 

Применив закон освобождаемости от связей, направим опорную реакцию  по вертикали 
вверх. При равновесии балки главный вектор и главный момент равны нулю. Главный вектор равен сумме вертикальных сил  и опорной реакции (главный вектор пары сил равен нулю). Для того чтобы главный вектор был равен нулю, опорная реакция  должна быть направлена вертикально. 

Итак, балка находится в равновесии под действием системы параллельных сил (пару сил можно, не нарушая равновесия балки, повернуть так, чтобы силы, входящие в ее состав, были направлены вертикально), в число которых входят две неизвестные по модулю силы  Следовательно, задача является статически определенной. 

При решении этой задачи целесообразнее, минуя составление уравнения проекций на ось, параллельную приложенным силам, составить два уравнения моментов относительно точек приложения В и D неизвестных сил  При этом учитываем, что сумма моментов 
сил, входящих в состав пары сил, вычисленная относительно любой точки, равна моменту этой пары сил. Сумму моментов сил распределенной нагрузки CD заменяем на основании теоремы Вариньона 

моментом равнодействующей силы  Получим: 

 

Удобство составленных уравнений заключается в том, что в каждое из них входит только одна неизвестная величина. Из уравнений (1) и (2) находим: 

Отрицательное значение  указывает, что направление силы  противоположно тому, которое изображено на рисунке, т. е. опорная реакция  направлена по вертикали вниз. 

Задача 1.14. Однородная горизонтальная балка АВ весом Р=800 и в сечении D защемлена в стене (рис. а). К балке приложены: вертикальная сосредоточенная сила F=1200н и пара сил, 
стремящаяся повернуть балку по часовой стрелке. Момент пары равен — длина свободного конца балки, равная 2 м. 

Определить реакцию и момент реактивной пары в защемленном сечении D. Размеры указаны на рисунке. Длиной защемленной части балки пренебречь. 

Решение:

Рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: Р, F и пара сил 
с моментом  Глухая заделка балки в стену препятствует перемещению балки по вертикали вниз, а также ее повороту в вертикальной плоскости под действием активных сил по часовой стрелке. Поэтому, применив закон освобождаемости от связей и мысленно отбросив стену, мы должны компенсировать ее действие на балку реакцией  и реактивной парой сил, стремящейся повернуть балку против часовой стрелки (рис. б). Главный вектор является суммой Р, F и реакции  (напомним, что главный вектор каждой из пар равен нулю). Так как при равновесии балки главный вектор равен нулю, а силы Р и F вертикальны, то реакция  также направлена вертикально (рис. б). 

Повернув активную и реактивную пары так, чтобы входящие в них силы были направлены вертикально, мы получим плоскую систему параллельных сил. Данная задача является статически определенной, ибо число неизвестных равно двум Переходим 

к составлению уравнений равновесия. Составим уравнение проекций на вертикальную ось у и уравнение моментов относительно точки D: 

 

Из первого уравнения находим  а из второго получим  Положительные значения указывают, что направления силы  и реактивной пары с моментом были выбраны правильно. 

Рекомендуем решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, издания 1950 г. и последующих лет: 78, 87, 89, 90. 

Переходим к решению задач на равновесие твердого тела, к которому приложена произвольная плоская система сил. При решении этих задач надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги на стр. 15. Затем: 

• 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число неизвестных величин не более трех; 
• 6) выбрать направления осей декартовых координат и точку (или точки), относительно которой предполагается составить уравнение моментов; 
• 7) составить уравнения равновесия твердого тела; 
• 8) решить систему полученных уравнений равновесия и определить неизвестные величины. 

Уравнения равновесия можно составить в любом возможном виде (см. выше, стр. 44, формулы 

Следует стремиться к получению таких уравнений равновесия, в каждое из которых входила бы только одна неизвестная величина. В этом случае можно каждую из неизвестных величин непосредственно определить из соответствующего уравнения. Для этого оси координат 
целесообразно направить так, чтобы некоторые неизвестные силы оказались перпендикулярными к этим осям. Тогда величины этих неизвестных сил-в соответствующее уравнение проекций не войдут. Центр моментов, т. е. точку, относительно которой должно быть составлено уравнение моментов, следует выбрать в точке пересечения линий 
действия двух неизвестных сил. Это дает возможность непосредственно определить из соответствующего уравнения моментов величину третьей неизвестной силы. Если, однако, этот центр моментов расположен так, что вычисление плеч при определении моментов сил представляет значительные трудности, то лучше составить относительно другого центра такое уравнение моментов, в которое войдут величины двух неизвестных сил, и затем совместно решить полученную систему уравнений. 

Если направление какой-либо реакции связи неизвестно, то следует заменить ее двумя составляющими, направив их параллельно осям координат в сторону положительного отсчета. Если в результате решения знак величины какой-либо силы окажется отрицательным, то это означает, что направление силы противоположно тому, которое было предварительно указано на рисунке. 

В тех случаях, когда по условию задачи требуется определить давления твердого тела на опоры, нужно найти равные по модулю этим давлениям соответствующие реакции связей, а затем направить искомые давления противоположно этим реакциям. 

Задача 1.15 Горизонтальная однородная балка АВ длиной и весом  прикрепленная шарниром А к стене, удерживается 

в равновесии тросом DE, расположенным под углом 45° к горизонту; DB=1 м. К свободному концу балки В приложена сосредоточенная сила F = 2T, образующая угол 60° с горизонтом. 

Определить давление балки на шарнир А и натяжение троса DE. 

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ, на которую действуют две активные силы: вес балки Р, приложенный в ее середине  и сосредоточенная сила F, приложенная в конце балки В. 

На балку наложены две связи, шарнир А и трос DE. Мысленно оборвав трос DE, заменяем действие троса на балку реакцией троса Т, направленной от точки D в сторону обрыва. Направление реакции шарнира А заранее указать нельзя. Поэтому изобразим две взаимно 
перпендикулярные составляющие этой реакции. Направим ось х вдоль оси балки по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. Составляющие реакции  направим вдоль осей координат в сторону их возрастания. 

Теперь балку можно рассматривать как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием пяти сил, причем лишь величины трех сил  неизвестны. Следовательно, задача является статически определенной. 

Составим уравнения равновесия балки в проекциях на оси х и у и уравнение моментов относительно точки А. Выбор точки А в качестве центра моментов удобен, так как моменты двух неизвестных по величине сил  относительно точки А равны нулю и в 
уравнение моментов войдет лишь одна неизвестная Т. Уравнения равновесия имеют вид 

Из уравнения (З) находим 

Так как 

то 

Подставив это значение T в уравнения (1) и (2), получим: 

Знак минус, стоящий в выражении  указывает, что направление составляющей реакции шарнира  противоположно тому, которое было указано на рис. б, т. е. сила  направлена по горизонтали налево; аналогично сила  направлена по вертикали вниз. 

Искомые давления балки на связи направлены противоположно соответствующим реакциям связей и равны им по модулю, т. е. горизонтальная составляющая силы, действующей на шарнир, равна 3,96 Т и направлена по горизонтали направо, вертикальная составляющая силы, действующей на шарнир, равна 0,23 Т и направлена вверх, натяжение троса равно по модулю 4,2 Т. 

Задача 1.16. На рис. а изображена симметричная стропильная ферма длиной  весом  стоящая на двух опорах, причем левая опора А расположена на катках, которые могут перемещаться вдоль горизонтальной плоскости. Перпендикулярно к АЕ 
в точке D, на расстоянии AD=2 м, приложена сосредоточенная сила 

Определить опорные реакции в точках А и В. 

Решение:

Рассмотрим равновесие фермы, к которой приложены две активные силы: вес фермы Р и сосредоточенная сила F. 

Так как катки не препятствуют перемещению фермы в горизонтальном направлении, то опорная реакция RA направлена перпендикулярно к горизонтальной плоскости. Указать заранее направления опорной реакции в точке В невозможно. Поэтому в опоре В следует 
изобразить две взаимно перпендикулярные  составляющие реакции (рис. б). 

Направим ось х по горизонтали направо, ось у по вертикали вверх, а составляющие реакции параллельно соответствующим координатным осям. 

Итак, к ферме приложены пять сил, в том числе три неизвестные по модулю силы:  Следовательно, задача является статически определенной. 

Используем уравнения равновесия фермы в проекциях на оси х и у и уравнение моментов 
относительно точки А. Составление уравнений проекций на оси х и у целесообразно потому, что силы  перпендикулярны к оси х, а сила  перпендикулярна к оси у. Следовательно, эти три неизвестные по модулю силы в соответствующие уравнения проекций не войдут. Выбор точки А в качестве центра моментов удобен потому, что линии действия сил пересекаются в этой точке. Следовательно, моменты этих сил относительно точки А равны нулю и в уравнение моментов войдет лишь неизвестная величина силы 
Уравнения равновесия имеют вид 

Из уравнения (3) находим: 

Учитывая, что AD = 2 м, АК=5 м, АВ—10 м, F=4 Т, Р=12 Т, получаем, что  Подставив это значение  в уравнение (2), имеем  Из уравнения (2) находим, что 
 

Знак минус, полученный в выражении для указывает, что направление составляющей опорной реакции  противоположно тому, которое было указано на рисунке, т. е. сила  направлена по горизонтали налево. 

При решении системы уравнений (1), (2) и (3) модули неизвестных сил  были непосредственно определены из уравнений (1) и (3). Лишь величину силы  пришлось вычислить из уравнения (2), подставив в него значение  Однако можно составить такую 
систему уравнений равновесия, чтобы из каждого уравнения была, независимо от других, определена каждая из неизвестных. Действительно, сохранив уравнения (1) и (3), составим вместо уравнения (2) такое уравнение моментов, чтобы в него вошла лишь одна неизвестная  Для этого необходимо, чтобы моменты двух других неизвестных сил, т. е.  оказались равными нулю. Этому условию легко удовлетворить, выбрав за центр моментов точку пересечения линий действия этих сил, т. е. точку В. Итак, вместо уравнения (2) 
составим уравнение моментов сил относительно точки В: 

Из уравнения (4) непосредственно находим: 

Учитывая, что KB = 5 м, АВ= 10 м, NB = MB — MN=AB cos 30° — 

Задача 1.17. Ознакомившись с условием и решением задачи 1.6, определить силы  с учетом веса суппорта, приложенного в его центре тяжести С и равного 

Решение:

В задаче 1.6 мы рассмотрели равновесие суппорта под действием трех сил:  использовав теорему о трех непараллельных силах. Теперь к этим силам добавляется вес суппорта Р. Это лишает нас возможности применить теорему о трех непараллельных силах, с помощью которой мы смогли определить положение линии действия реакции цилиндрического шарнира А. Поэтому заменим силу  двумя взаимно перпендикулярными составляющими. Направив ось х по горизонтали направо, а ось у но 
вертикали вверх, изобразим на рис. б составляющие 

Итак, суппорт находится в равновесии под действием плоской системы пяти сил:  Задача является статически определенной, ибо число алгебраических неизвестных равно трем: F, 

Составим уравнения проекций на оси х и у и уравнение моментов относительно точки В. Выбор точки В целесообразен, ибо линии действия двух неизвестных сил и F пересекаются в точке В. Значит, моменты этих сил относительно точки В равны нулю. В уравнение моментов войдет лишь одна неизвестная величина  которую непосредственно можно будет определить. Уравнения равновесия имеют вид 

Из уравнения (3) получим: 

По условию: Из треугольника BSE имеем (здесь использована формула (1) задачи 1.6). Подставив эти значения в (4), находим: 

Затем из уравнений (1) и (2) имеем  Итак, 

Использовав результаты (5) и (6), вычислим модуль реакции цилиндрического шарнира А по формуле 

Получим: 

Как и следовало ожидать, учет силы тяжести Р суппорта сказался на увеличении реакции  и силы упругости F. Напомним, что при решении задачи 1.6 без учета веса суппорта эти силы были по модулю равны:  (см. формулу (3) задачи 1.6). 

Как и в предыдущей задаче, вместо уравнения (2) можно составить уравнение моментов относительно точки А. Это дало бы нам возможность сразу определить силу F. 

Конечно, задачу 1.6 можно также решить с помощью системы уравнений (1), (2), (3). Действительно, приняв в этих уравнениях Р=0, мы получим:  и, следовательно, 

Опрокидывание твердых тел

При исследовании покоя твердого тела (конструкций) встречаются задачи, в которых следует определить предельные значения сил или размеров, обеспечивающих сохранение этого состояния. В этих задачах обычно при величине силы, превышающей наибольшее допустимое значение, обеспечивающее покой твердого тела, происходит опрокидывание тела вокруг одной из точек опоры. 

Такие задачи решаются в предположении, что твердое тело начинает отрываться от одной из опор. Поэтому реакции этой опоры не следует учитывать. Тогда при равновесии твердого тела реакция оставшейся опоры должна уравновешиваться с равнодействующей всех 
активных сил. Это значит, что линия действия равнодействующей всех активных сил проходит через оставшуюся опору и, следовательно, момент равнодействующей относительно точки опоры равен нулю. Таким образом, в соответствии с теоремой Вариньона сумма моментов 
всех активных сил относительно точки опоры О равна нулю: 

Из этого уравнения определяются предельные значения сил или размеров твердого тела, при которых еще не наступает опрокидывание. 

Решение задач на опрокидывание твердых тел надо проводить в следующем порядке: 

• 1) изобразить активные силы; 
• 2) определить опору, относительно которой может произойти опрокидывание твердого тела; 
• 3) составить уравнение моментов активных сил относительно этой точки опоры; 
• 4) решив уравнение, определить искомую величину (предельную силу или предельный размер). 

Задача 1.18. Горизонтальная консольная балка АС весом Р лежит на опорах А и В, причем опора А расположена на катках, не препятствующих перемещению вверх. К консольному концу С балки приложена сосредоточенная вертикальная сила F. 

Определить наибольшее значение силы F, при котором балка остается в покое. Размеры указаны на рисунке. 

Решение:

На балку действуют две активные силы: вес балки Р, приложенный в середине балки, т. е. па расстоянии 1 м от опоры В, F—сосредоточенная сила, приложенная в конце консоли, 
т. е. в точке С. 

Нетрудно видеть, что при большом значении силы F произойдет опрокидывание балки вокруг опоры В в направлении по часовой стрелке. 

Для определения наибольшего значения силы F надо сумму моментов активных сил относительно точки В приравнять нулю: 

откуда  Если сила  то происходит опрокидывание балки вокруг опоры В в направлении по часовой стрелке. 

Задача 1.19. Подъемный кран установлен на грузовой автомашине. Вес противовеса В равен  Вес автомашины с краном без противовеса, равный  приложен в точке С. 

Определить наименьшее расстояние DE между осями колес автомашины и наибольший вес 
поднимаемого груза А, при наличии которых автомашина не опрокинется как с грузом А, так и без него. Размеры указаны на рисунке. 

Решение:

К грузовой автомашине с установленным на ней подъемным краном приложены активные силы:  — вес автомашины с краном без противовеса В, — вес противовеса В. При наличии груза А приложен также его вес 

При подвешенном грузе А может произойти опрокидывание автомашины в направлении против часовой стрелки вокруг точки касания D 

переднего колеса с землей. При отсутствии груза А может совершиться опрокидывание автомашины под действием противовеса В и направлении по часовой стрелке вокруг точки касания Е заднего колеса с землей. Иные варианты опрокидывания не рассматриваем 
как практически неинтересные. 
Для определения наибольшей величины веса  поднимаемого груза А и наименьшего расстояния DE между осями колес, обеспечивающего равновесие автомашины, надо составить:

1) уравнение моментов активных сил относительно точки D с учетом момента веса 

2) уравнение моментов активных сил относительно точки Е без учета момента веса Эти уравнения имеют вид 

Решив эту систему уравнений равновесия при находим:  Таковы предельные значения  обеспечивающие равновесие автомашины. 

В случае  произойдет опрокидывание автомашины вокруг точки D в направлении против часовой стрелки. 

В случае  при отсутствии груза А произойдет опрокидывание автомашины вокруг точки Е в направлении но часовой стрелке. 

Приведение произвольной плоской системы сил к простейшему виду

Рекомендуется следующий порядок выполнения приведения: 

• 1) выбрать оси декартовых координат; 
• 2) выбрать центр приведения системы сил; 
• 3) вычислить проекции главного вектора системы сил по формулам 
• 
• 4) определить модуль главного вектора  и направляющие косинусы 
• 
• 5) вычислить главный момент системы сил относительно центра приведения по формуле 
• 
• где О — центр приведения системы сил; 
• 6) в зависимости от значений  возможны четыре случая: 

а) если  то следует систему принести к равнодействующей R, равной силе V, отстоящей от нее на расстоянии  и расположенной так, чтобы знак момента равнодействующей относительно центра О совпадал со знаком главного момента 

б) если  то система сил приводится к равнодействующей, совпадающей с V; 

в) если   то система сил приводится к паре сил с моментом 

г) если то система сил находится в равновесии. Уравнение линии действия равнодействующей в случаях а) и 6) имеет вид 
 
где  a x и у — текущие координаты точки линии действия равнодействующей, О — начало координат. 

Оси декартовых координат следует направлять так, чтобы силы и возможно большем числе оказались параллельными либо перпендикулярными к этим осям. Центр приведения системы следует выбирать гак, чтобы моменты сил относительно этого центра в возможно большем числе обратились в нуль, т. е. чтобы линии действия этих сил проходили бы через центр приведения системы. 

При переходе от одного центра приведения (О) к другому центру приведения (А) следует иметь в виду, что главный вектор V от выбора центра приведения не зависит (главный вектор является статическим инвариантом), а главный момент системы изменяется и соответствии с формулой 

Задача 1.20 Произвольная плоская система сил была приведена к центру О. В результате приведения были получены сила V (см. рисунок) и пара сил, момент которой равен главному моменту 

Определить главный момент этой системы сил при переходе к новому центру приведения А, находящемуся на расстоянии ОА = а от старого центра по оси х. 

Решение:

Выбираем оси декартовых координат так, как это изображено на рисунке. 

Задачу можно решить двумя способами. 

1. Приведем силу V к точке А. Для этого приложим в точке А две уравновешивающиеся силы  так, чтобы одна из них была векторно равна силе V. Теперь сила V оказалась приведенной к точке А. При этом добавилась пара сил (присоединенная пара), 
в состав которой входят сила V, приложенная в точке О, и сила  приложенная в точке А. Момент присоединенной пары  равен 

Следовательно, помимо силы V, приложенной в точке А, мы имеем две пары сил с моментами  Эти две пары сил эквивалентны равнодействующей паре сил с моментом 
равным Величина  является искомым главным моментом системы сил относительно нового центра приведения А. 

Итак, в результате перехода от старого центра приведения О к новому центру А главный момент системы изменился. 

2. Эту задачу можно решить, воспользовавшись тем, что сила V, равная главному 
вектору системы сил, является статическим инвариантом, т. е. не зависит от выбора 
центра приведения, а главный момент системы изменяется. Как известно, главный момент произвольной плоской системы сил относительно нового центра приведения равен алгебраической сумме главного момента этой системы относительно старого центра и момента относительно нового центра главного вектора системы, приложенного в старом центре, т.е.  Учитывая, что по условию  находим 

Задача 1.21. К диску приложены четыре силы:  

Привести эту систему сил к простейшему виду. 

Решение:

Взяв начало координат в центре О диска, направим ось х по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. За центр приведения системы примем точку О. Определим главный вектор V и главный момент  данной системы сил. Так как 

то предварительно вычислим проекции  главного вектора V на декартовые оси координат и сумму моментов  всех сил 

относительно точки О: 

где буквой а обозначен радиус диска. Из (2) — (4) получим:  Теперь формулы (1) принимают вид: V=0, 

Итак, главный вектор V и главный момент  оказались равными нулю. Как известно, это условие является необходимым и достаточным для равновесия твердого тела. Значит, диск под действием данной системы сил находится в покое. 

Задача 1.22. Вдоль сторон равностороннего треугольника направлены три равные но модулю силы  Длина стороны треугольника равна а. 

Привести  систему сил к простейшему виду. 

Выбрав начало осей декартовых координат в вершине треугольника А, направим ось х по горизонтали направо и ось у по вертикали вверх. Определим главный вектор и главный 
момент данной плоской системы сил. Выберем в качестве центра приведения точку А. 

Модуль главного вектора данных сил вычислим по формуле 

Следовательно, главный вектор равен нулю: 
Вычислим главный момент данной системы сил относительно центра приведения А. Учитывая, что 

получим: 

Итак, выбрав в качестве центра приведения данной системы сил точку А, мы нашли: 

т. е. установили, что система сил приводится к паре сил с моментом Как известно, в случае приведения системы сил к паре сил главный момент не зависит от выбора центра приведения. 

Эту задачу можно было решить иначе. Так, например, совершив перенос силы  по ее линии действия в точку А, можно сложить силы  приложенные в точке А (рис. б). Суммой этих сил будет сила  являющаяся диагональю ромба, угол при вершине которого равен 120°. В этом случае диагональ ромба равна его стороне, т. е. Итак, данная система сил оказалась приведенной к паре сил, в состав которой входят силы  плечом  Момент этой пары сил равен 
 

Второй вариант решения задачи оказался более коротким. Однако следует иметь в виду, что в первом варианте использован более общий прием приведения произвольной плоской системы сил к простейшему виду, которым неизменно следует пользоваться при решении более сложных задач. 

Задача 1.23. Привести к простейшему виду систему сил и  изображенную на рис. а. Силы  направлены по противоположным сторонам, а сила  — по диагонали прямоугольника ABCD, сторона AD которого равна 

Решение:

Выбрав начало осей декартовых координат в вершине прямоугольника А, направим ось х по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. (Выбор таких направлений осей х и у удобен, так как две силы из трех параллельны оси у и не дают проекций на ось х.) 

Приведем данную систему сил к главному вектору и главному моменту. Выберем в качестве центра приведения системы сил начало координат А. Найдем сначала проекции главного вектора на оси координат: 

Модуль главного вектора V равен 

а направляющие косинусы будут: 

Сила V изображена на рис. б. 
Переходим к определению главного момента системы сил относительно центра приведения А.

Учитывая, что 

находим: 

Итак, система сил оказалась приведенной к силе V и паре сил с моментом  направленным против часовой стрелки. 

Известно, что если   то систему сил можно привести к равнодействующей силе R. Для этого изобразим пару сил, соответствующую главному моменту  так, чтобы силы, входящие в состав пары сил, равнялись по модулю силе V, причем одна из них 
 лежала бы на одной линии действия с силой V и была направлена ей противоположно. При этом вторая сила, входящая в состав пары сил, приложенная в точке К, окажется векторно равной силе V. Плечо пары  следует подобрать так, чтобы момент этой нары 
сил был равен главному моменту  откуда Воспользовавшись формулами (1) и (2), находим  Теперь мы получили систему, состоящую из трех сил. Модуль каждой из этих сил равен модулю главного вектора V. Две 
силы, приложенные в точке А, равные по модулю и направленные в противоположные стороны по общей линии действия, уравновешиваются. Эти силы можно отбросить, не нарушая состояния твердого тела. Остается одна сила V, приложенная в точке К, эквивалентная данной системе сил. Следовательно, эта сила, равная главному вектору V, является равнодействующей  Таким образом, нам удалось привести данную систему сил к равнодействующей R. 

Определим уравнение линии действия равнодействующей R, воспользовавшись уравнением 

Проекции равнодействующей  на оси декартовых координат равны проекциям главного вектора V па соответствующие оси, т. е.  Сумма моментов всех данных сил относительно начала координат А является главным моментом  определяемым формулой (2): 

 

Подставив значения в уравнение (3), находим уравнение линии действия равнодействующей 

Это — уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным —  откуда следует, что угол, образованный этой прямой с осью х, составляет 150°. 

Найдем точки пересечения линии действия равнодействующей 
с осями координат. Имеем: при  при Следовательно, равнодействующая направлена по диагонали DB прямоугольника ABCD. 

Равновесие системы твердых тел 

В статике твердого тела наряду с равновесием одного тела рассматриваются сочлененные системы материальных тел, т. е. совокупности твердых тел, касающихся друг друга своими поверхностями или соединенных друг с другом шарнирами, гибкими нитями или 
стержнями. 

Важной задачей статики системы твердых тел является определение реакций связей. Для этого основным является способ расчленения, при котором наряду с равновесием . всей системы тел рассматривается равновесие отдельных тел (или групп тел системы). При этом все остальные тела системы и соответствующие связи мысленно отбрасываются, а их действие на тело, равновесие которого рассматривается, заменяется реакциями. 

Следует заметить, что при рассмотрении равновесия всей системы твердых тел реакции связей между телами, входящими в систему, не должны учитываться; они не входят в уравнения равновесия, как 
внутренние, взаимно уравновешенные силы. А при рассмотрении равновесия каждого тела в отдельности или какой-либо группы тел, входящих в систему, соответствующие реакции связей, которые были мысленно расчленены, становятся внешними силами и входят в уравнения равновесия. 

Задачи на равновесие системы твердых тел, находящихся под действием произвольной плоской системы сил, решаются путем применения уравнений равновесия твердого тела, разобранных в § 2 (уравнения (1*) или (2*), или (3*)). 

Рассмотрим в качестве примера системы твердых тел, изображенные на 
рис. 1.33, 1.34. 

Шатунно-кривошипный механизм ОАВ (рис. 1.33) состоит из трех твердых тел: кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В. Эти тела соединены друг с другом шарнирами А и В. Кроме того, на них наложены еще две связи: шарнирное закрепление в точке О и горизонтальные направляющие, препятствующие вертикальному перемещению ползуна В. 

Цилиндрический стакан (рис. 1.34) поставлен вверх дном на горизонтальный пол, внутри стакана покоятся два шара. Эта система состоит из трех твердых тел: шара   и шара 
 и стакана, находящихся друг с другом в контакте. На эту систему тел наложена 
одна внешняя связь: гладкий горизонтальный пол. 

При решении задач на равновесие системы тел недостаточно, как правило, рас- 
рассмотреть равновесие этой системы в целом. Для всей системы условия равновесия сводятся или к трем уравнениям равновесия для плоской системы сил, или к двум уравнениям для плоской системы параллельных сил. В этом случае число неизвестных может быть больше числа перечисленных уравнений. 

Однако это обстоятельство еще не делает систему статически неопределимой, так как если разделить систему на отдельные твердые тела и составить уравнения равновесия для каждого из них, то число новых неизвестных может быть меньше числа новых уравнений равновесия. Если число всех составленных таким образом независимых уравнений равновесия для всей системы и отдельных ее частей будет равно числу всех неизвестных, то такая задача является статически определенной. 

Поясним это на примере трех шарнирной арки (рис. 1.35, a). Apкa состоит из двух симметричных полуарок, соединенных в точке С шарниром. В точках А и В арка шарнирно прикреплена к фундаменту. На арку действуют две активные известные силы: горизонтальная 
сила Q, приложенная в точке D, и вертикальная сила Р, приложенная в точке Е. Применяя принцип освобождаемости от связей, отбросим мысленно шарнирные закрепления в точках А и В и заменим их действие силами реакций. Величины и направление этих реакций 
неизвестны. Следовательно, их можно представить двумя составляющими каждую:  Таким образом, для системы 

твердых тел, состоящей из двух полуарок (рис. 1.35, б), можно cocтавить три уравнения равновесия, в то время как число неизвестных сил равно четырем. Чем не менее задача является статически определенной. Рассмотрим равновесие каком-либо одной полуарки 
(рис. 1.35, в). На левую полуарку действует одна сила Q. Отбрасывая мысленно шарниры А и С вместе с правой полуаркой, заменяем их действие реакциями. Реакция в точке А представлена двумя ранее выбранными составляющими  реакция в точке С, также неизвестная по величине и по направлению, определена составляющими  Для левой полуарки ложно составить три уравнения равновесия, между тем как новых неизвестных только два; Таким образом, рассматривая равновесие всей арки и левой полуарки, имеем шесть уравнений равновесия и шесть неизвестных, т. е. задача является статически определенной. Эта же задача может быть решена и другим способом, если рассмотреть равновесие левой полуарки (рис. 1.35, в) и отдельно равновесие правой полуарки 
(рис. 1.35, г) И в этом случае число уравнений равновесия равно числу неизвестных (шести). На основании пятого закона (закон равенства действия и противодействия) составляющие  реакции шарнира С, приложенные к правой полуарке, равны по модулю и направлены прямо противоположно соответствующим составляющим реакции того же шарнира С, приложенным к левой полуарке. 

При решении задач па равновесие твердых тел надо выполнить четыре первых пункта указанных в начале книги, на стр. 15. При этом следует выделить систему твердых тел и отдельные твердые тела, входящие в систему, равновесие которых надо рас- 
рассмотреть.

Затем: 

• 5) сопоставить число неизвестных величин и число независимых уравнений равновесия; эти числа должны быть равны, если задача является статически определенной; 
• 6) выбрать наиболее удобные системы координат; при этом для каждого тела и для всей системы тел может быть избрана своя система координат; 
• 7) составить уравнения равновесия для каждого твердого тела или для каждой системы твердых тел, равновесие которых исследуется; 
• 8) решить систему всех уравнений равновесия. 

Если система твердых тел разделяется па отдельные тела, то при замене их взаимодействия реакциями связей следует ввести реакции, приложенные к одному телу, и на основании закона равенства действия и противодействия выбрать реакции, действующие на второе тело, равными по модулю и направленными прямо противоположно 
(см., например, рис. 1.35, в и рис. 1.35, г). 

В том случае, когда значение неизвестной силы окажется по ответу отрицательным, направление этой силы следует взять противоположным тому, которое было изображено на рисунке. 

При составлении уравнений равновесия целесообразно оси координат и точки, относительно которых составляются уравнения моментов сил, выбирать так, чтобы в каждое уравнение входила только одна неизвестная величина. 

Если по условию задачи требуется определить лишь некоторые неизвестные величины, то надо составить только те из уравнений равновесия, которые необходимы для получения ответа. 

Задача 1.24. Два гладких цилиндра А и В помещены в ящик (рис. а). Цилиндр А весит  и его радиус R = 80 мм; цилиндр В весит  и его радиус 

Определить реакции вертикальных стен в точках С и Е, горизонтального пола в точке D и давление между цилиндрами, если ширина ящика 250 мм. 
 

Решение:

Отбросим мысленно стены и пол ящика и рассмотрим равновесие каждого цилиндра в отдельности. Цилиндр В находится в равновесии под действием трех сил: веса Р, горизонтальной реакции стены F и реакции N цилиндра А, направленной по прямой, соединяющей центры  обоих цилиндров (рис. б). 

Чтобы найти угол  образованный реакцией N с горизонтом, рассмотрим треугольник  (рис. в). В этом треугольнике сторона 

Пользуясь теоремой Пифагора, находим длину второго катета  Таким образом, 

Составим уравнения равновесия для цилиндра В. Так как линии действия сил, приложенных к цилиндру, пересекаются в центре цилиндра, то достаточно составить два уравнения, приравняв нулю сумму проекций всех сил на оси х и у (рис. а): 

Подставляя значение  находим: 

Цилиндр А находится в равновесии под действием четырех сил: веса Q, горизонтальной реакции стены S, вертикальной реакции пола Т и реакции N' цилиндра В, равной по величине и направленной противоположно силе N. Все четыре силы (рис. г) пересекаются в точке 
О, центре цилиндра А. Составим два уравнения равновесия этих сил. Суммы проекций сил на ось х и ось у равны нулю: 

Отсюда находим: 

Следует заметить, что эта задача может быть решена и другим, графическим способом. Действительно, зная величину и направление силы Р, а также направления сил N и F, строим силовой замкнутый треугольник. Этот треугольник совпадает с треугольником (рис. в), если сторону  положить равной силе Р. Тогда сторона ОН даст в этом же масштабе силу F, а сторона  силу N. 

Далее строим замкнутый силовой многоугольник для сил, приложенных к цилиндру А. Построение начинаем с известных по величине и направлению сил N' и Q. Проводя из конца силы Q прямую, параллельную S, а из начала силы N' прямую, параллельную Т, получаем 
замкнутый силовой многоугольник (рис. д), стороны которого в избранном масштабе и определяют неизвестные силы. 
 

Задача 1.25. Блоки А и В весом соответственно удерживаются в равновесии на гладкой плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту, силой Р, параллельной  и при помощи рычага OD, перпендикулярного к наклонной плоскости (рис. а). Тросы, соединяющие рычаг с блоками, также параллельны плоскости  
Определить, пренебрегая трением, усилия в тросах и величину силы Р. Расстояния 

Решение:

Рассмотрим равновесие каждого блока в отдельности и равновесие рычага. Блок А (рис. б) находится в равновесии под действием четырех сил: веса  натяжения параллельного наклонной плоскости, реакции  блока В и реакции наклонной плоскости 
 перпендикулярных к плоскости 
Выберем оси координат ху (рис. а) и составим уравнения равновесия: 

Из первого уравнения найдем: 

Блок В (рис. в) находится в равновесии мод действием трех сил: веса  реакции  перпендикулярной к плоскости  и натяжения тpoca  параллельного  Составим уравнения равновесия: 

Отсюда находим: 

Из второго уравнения системы (1) получим: 

 

Зная натяжение тросов, рассмотрим равновесие рычага (рис. г), находящегося под действием сил:  и реакции шарнира 

О, которую представим и виде ее проекции  Уравнения равновесия для рычага будут: 

Отсюда находим: 

Задача 1.26. В приборе (рис. а) тела А и В могут скользить по сторонам угла К; одна из сторон вертикальна, а другая образует угол 20° с горизонтом. Наклонная плоскость соприкосновения обоих тел составляет угол 40° с вертикалью. Сжатая пружина давит вниз 
с силой  на тело А. 

Пренебрегая весом тел и предполагая, что все соприкасающиеся поверхности гладкие, найти горизонтальную силу Q, удерживающую систему в равновесии. 

Решение:

Отбросим мысленно стороны угла К и рассмотрим отдельно равновесие тела А и тела В. На тело А (рис. б) действуют 

три силы: давление пружины Р, направленное по вертикали вниз, реакция вертикальной стены  направленная по горизонтали влево, и реакция F отброшенного тела В, перпендикулярная к наклонной плоскости соприкосновения обоих тел. Линии действия этих сил пересекаются в одной точке, так как тело А находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Следовательно, для них достаточно составить два уравнения равновесия, приравняв нулю сумму проекций всех сил на оси хну. Выберем оси так, как это показано на рис. а. Тогда 

Подставляя значение силы Р, находим из уравнений 
На тело В (рис. в) действуют три силы: реакция  тела А, равная известной уже силе F, но направленная в .соответствии с законом равенства действия и противодействия и противоположную сторону, неизвестная по величине горизонтальная сила и реакция . перпендикулярная к наклонной стороне угла, составляющая, следовательно, с вертикалью угол 20°. Запишем для этих трех сил, пересекающихся в одной точке, два уравнения равновесия:
Подставляя в эти уравнения найденное ранее значение определяем остальные силы

Задача 1.27. Двухпролетная балка (рис. а) с промежуточным шарниром  закреплена шарнирно в точке точках балка опирается при помощи катков на горизонтальные направляющие.
Определить реакции опор и усилие в шарнире , если на балку действуют: пара сил с моментом , сила , сила  Даны размеры:  

Решение:

Система твердых тел состоит из двух балок. Рассмотрим равновесие каждой из балок отдельно. Па балку действуют (рис. б) активная сила Р и активная пара сил с моментом М. Кроме того, на балку наложены связи — шарниры А и С, подвижная опора В. Отбрасывая мысленно связи, заменяем их действие реакциями. Так как реакция шарнира А неизвестна по направлению и величине, заменяем ее двумя составляющими Аналогично реакция шарнира С также изобразится двумя составляющими  Реакцию опоры В представим вертикальной силой  Рассмотрим, далее, равновесие балки АС как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием шести сил и одной пары сил. Выберем оси координат с началом в точке А, ось абсцисс направим по горизонтали вправо, ось ординат по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия балки АС:

Можно было бы вместо второго уравнения равновесия составить сумму моментов всех сил относительно точки С. В это уравнение вошли бы только две неизвестные силы  так как линии действия остальных неизвестных сил пересекаются в точке С. Однако в обоих случаях уравнение (1) является независимым от остальных уравнений и содержит два неизвестных; уравнения (2) и (3) связаны между собой и содержат три неизвестных.

Таким образом, из полученной системы ни одно из неизвестных не может быть определено. Рассмотрим поэтому равновесие второй балки СD (рис. в). На балку действует одна активная сила Q. Применяя закон освобождаемости от связей, заменим действие шарнира С и опоры О реакциями связей. Реакция направлена по вертикали, перпендикулярно к горизонтальной плоскости, на которую опираются катки. Реакция шарнира С неизвестна по величине и направлению. На основании закона равенства действия и противодействия составляющие этой реакции равны по модулю составляющим реакции шарнира, приложенным к балке АС, и направлены в прямо противоположные стороны (рис. в). Таким образом, имеем свободное твердое тело — балку СD, находящуюся в равновесии под действием пяти сил. Cоставим уравнения равновесия, выбрав оси координат с началом в точке С; ось абсцисс направим по балке вправо, ось ординат — вертикально вверх. Имеем:

В этих трех уравнениях равновесия только одна новая неизвестная  А всего в шести уравнениях равновесия шесть неизвестных. Из уравнений (4) и (1) следует:

Из уравнения (6) находим:

а из (5) получаем:

Знак минус показывает, что в действительности направления составляющих противоположны принятым на рисунке.
Далее, из (3) имеем:

и, наконец, из (2) находим:

Знак минус указывает, что и реакция , направлена не вверх, как предполагалось, а по вертикали вниз.

Задача 1.28. Через блок с неподвижной осью О и радиуса R (рис. а) перекинута нить, к концам которой подвешены два одинаковых груза Правый конец нити свисает вертикально. Левый конец нити огибает блок с подвижной осью и радиуса r. Вес блока с подвижной осью . Ось нижнего блока насажена на конец стержня длиной l, другой конец которого закреплен на оси верхнею блока.
Пренебрегая весом стержня, определить угол а, который образует стержень с вертикалью в положении равновесия, и усилие в стержне

Решение:

Рассмотрим равновесие системы твердых тел, состоящей из двух блоков и стержня, соединяющего их центры (рис. б). Для этого мысленно отбросим ось О, поддерживающую верхний блок, и заменим ее реакцией N. Кроме того, на систему действуют внешние силы Реакция N вертикальна, так как все остальные силы заведомо вертикальны. Составим для данной системы параллельных сил два уравнения равновесия:

Из первого уравнения определим реакцию N:

Из второго уравнения находим угол а:

откуда

Для определения усилия в стержне рассмотрим равновесие блока с подвижной осью. Он находится в равновесии под действием четырех сил (рис. в): веса двух равных но величине реакций нити и Т, а также реакции стержня S, направленной по стержню, но неизвестной по величине. Таким образом, геометрическая сумма этих четырех сил должна быть равна нулю:

Так как угол a известен и то проще всего величину S определить графически, построением силового многоугольника. Отложим из точки а (рис. г) две вертикальные силы в избранном для сил масштабе. Далее, из точки с, конца силы как из центра, проведем дугу окружности радиусом, равным по величине  На этой дуге должен находиться конец силы Т и начало силы S, составляющей угол с вертикалью. Проведя из точки а под углом 30° к вертикали прямую до пересечения с дугой окружности в точке d, соединим прямой точки d и с. Отрезок da и определит величину усилия в стержне. Измерив его в избранном для сил масштабе, находим, что усилие в стержне

Задача 1.29. Рама состоит из двух жестких частей АС и ВС (рис. а), соединенных шарниром С и прикрепленных к фундаменту шарнирными опорами А и В.
Определить реакции в шарнирах А, В, С, если в точке D приложена вертикальная сила . Задачу решить графически.

Решение:

Реакции шарниров А и В неизвестны по величине и направлению. Следовательно, если рассматривать равновесие всей системы АСВ, отбросив опоры А и В и заменив их действие реакциями, то число неизвестных будет равно четырем, а уравнений равновесия будет три.

Рассмотрим поэтому отдельно равновесие левой части рамы (рис. б). К этому твердому телу никаких активных сил не приложено. Применяя закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно шарниры A и С и заменим их действие реакциями. Часть рамы АС находится в равновесии под действием двух сил: Согласно второму закону статики эти силы должны быть равны но величине и направлены по одной прямой в разные стороны. Так как одна сила приложена в точке А, а другая — в точке С, то общей линией действия этих сил будет АС.

Рассмотрим, далее, равновесие правой части ВС рамы. К ней приложена одна активная сила Р. Освобождаясь мысленно от двух связей: шарниров В и С, заменяем их действие реакциями. Реакция  на основании закона равенства действия и противодействия равна по величине  и направлена в противоположную сторону по АС (рис. в).

Направление реакции может быть определено на основании теоремы о трех непараллельных силах. Действительно, часть ВС находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Линии действия двух сил известны они пересекаются в точке О. Согласно теореме линия действия третьей силы реакции должна также проходить через точку О. Три силы  линии действия которых пересекаются в точке О, находятся и равновесии. Следовательно, они должны образовать замкнутый треугольник. Откладываем из произвольной точки (рис. г) силу Р, известную по величине и направлению. Из конца силы Р проводим линию, параллельную АС, т. е. линии действия силы Из начала силы Р проводим линию, параллельную ОВ, т. е. линии действия силы Получаем замкнутый силовой треугольник, стороны которого и определяют в принятом для силы Р масштабе величины искомых реакций: Согласно ранее доказанному реакция шарнира А равна

Решение задачи об определении реакций шарниров трехшарнирной арки осложняется, если среди активных сил, действующих на трехшарнирную арку, имеется одна сила, приложенная к шарниру С. Рассмотрим в этом случае трехшарнирную арку как составленную из трех тел: двух полуарок и шарнирного болта. Полуарки не соприкасаются друг с другом. Шарнирный болт соприкасается с каждой из них.

Рассмотрим три возможных варианта задачи.
В первом варианте (рис. д) активная сила Р приложена к шарнирному болту, а к полуаркам никаких задаваемых сил не приложено. В эюм случае на левую полуарку, находящуюся в равновесии, действуют две равные силы (рис. б), направленные по прямой АС в противоположные стороны. Совершенно аналогично па правую полуарку действуют две взаимно уравновешивающиеся силы направленные по прямой ВС. Рассмотрим равновесие шарнирного болта С. к которому приложены три силы: сила Р, реакции левой и правой полуарок (рис. е), причем сила Р известна по величине и направлению, а у реакций полуарок известны только линии действия. Строя замкнутый треугольник (рис. ж), находим величины реакций  и следовательно, равные им величины

Во втором варианте (рис. з) активные силы, кроме шарнирного болта С, приложены только к одной правой полуарке (сила Q). Рассмотрим равновесие левой полуарки (рис. б). Направление реакций совпадает с прямой АС.

Далее, присоединяем шарнирный болт С вместе с приложенной к нему активной силой Р к правой полуарке и рассматриваем се равновесие (рис. и) под действием сил: и реакции , которую раскладываем па две составляющие

Замечая, что — образует угол 45° с горизонталью, составляем три уравнения равновесия:

откуда и определяются все три неизвестные.

В третьем варианте (рис. к) активные силы приложены, кроме шарнирного болта, и к обеим полуаркам.

В этом случае сначала определяем реакции шарниров А и В. Для этого рассмотрим равновесие всей арки, отбросив мысленно шарниры А и В и заменив их действие реакциями (рис. л). Три уравнения равновесия будут:

В этих трех уравнениях четыре неизвестных:
Чтобы составить четвертое недостающее уравнение равновесия, рассмотрим равновесие любой полуарки (например, левой), присоеденив к ней шарнирный болт с приложенной к нему силой Р (рис. м). При этом составляем уравнение равновесия, в которое бы не входила реакция правой полуарки на болт. Таким уравнением равновесия будет равенство нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирного болта С

Из этой системы четырех уравнений определяются  Далее, составляя остальные уравнения равновесия для левой полуарки, находим — составляющие реакции правой полуарки на болт.

Для определения реакции левой полуарки на болт (она в этом случае не равна реакции на болт правой полуарки) необходимо рассмотреть отдельно равновесие правой полуарки.

Задача 1.30. Цилиндрический стакан радиуса поставлен открытой стороной на гладкий горизонтальный пол. Внутри стакана находятся два одинаковых шара радиуса r и весом Р каждый.

Определить вес Q цилиндрического стакана, при котором шары не опрокинут его. Стенки стакана абсолютно гладкие.

Решение:

Для определения искомого веса стакана рассмотрим отдельно равновесие двух шаров (рис. б) и равновесие стакана (рис. в).

На систему двух шаров действуют силы: вес каждого шара Р, приложенный в центре шара и направленный по вертикали вниз; реакция гладкого пола Т, направленная по вертикали вверх; реакции стенок стакана  и направленные по горизонтали и приложенные в точках D и С

Проведем оси координат: ось х горизонтально, ось у вертикально. Уравнения равновесия для системы, состоящей из двух шаров, имеют

Третье уравнение — уравнение моментов — составлено относительно точки О, где пересекаются линии действия трех сил, в том числе двух неизвестных. Из первого уравнения следует:

Из третьего уравнения находим:

Рассмотрим, далее, равновесие цилиндрического стакана (рис. в). На стакан действуют силы: вес Q по вертикали вниз, реакции шаров
 приложенные в точках D и С, реакции пола в точках H и К. (Ясно, что и ) В момент опрокидывания стакана, который мы рассматриваем, давление в точке Н на пол и, следовательно, реакция пола обращаются в нуль и стакан опирается на горизонтальную плоскость только в точке К

Составим уравнение моментов относительно точки К

Далее из (6), учитывая (4), имеем:

Подставляя в это равенство значение N, определенное формулой (5), имеем:

но и, следовательно, для равновесия необходимо, чтобы выполнялось неравенство 
(знак неравенства соответствует случаю, когда давление па горизонтальную плоскость будет распределяться по всему ободу).

Задача 1.31. Два однородных стержня АВ и СО длиной 2l и весом Р каждый опираются в точках D и В на гладкий горизонтальный пол и соединены посередине шарниром О. Концы стержней А и С соединены нитью. Между верхними половинами стержней лежит гладкий диск радиуса r и весом Q Угол
Определить натяжение нити.

Решение:

Для нахождения реакций пола в точках D и В рассмотрим равновесие системы твердых тел (два стержня, скрепленных шарниром и нитью, и диск), отбросив мысленно пол и заменив ею действие вертикальными реакциями (рис. б). Кроме реакций пола, к системе твердых тел приложены: в центре диска его вес Q, в шарнире О вес стержней 2Р, оси координат показаны на рисунке. Составляем два уравнения:
сумма проекций всех параллельных сил на вертикаль равна нулю
сумма моментов всех сил относительно точки D равна нулю
Решая совместно эти уравнения, находим:

Как и следовало ожидать, реакции пола равны между собой.

Рассмотрим, далее, равновесие диска, отбросив стержни и заменив их действие на диск реакциями , (рис. b). Реакции и соответствен но перпендикулярны к стержням АВ и СD так как трение между диском и стержнями по условию отсутствует. Следовательно, и образуют с горизонталью равные углы а. Кроме реакций, на диск действует сила тяжести Q. Линии действия всех трех сил пересекаются в центре диска. Напишем уравнения равновесия диска:

Решая совместно эти два уравнения, имеем:

Таким образом, реакции стержней равны между собой, что очевидно и но соображениям симметрии.

Далее, рассмотрим равновесие одного из стержней, заменив действие пола известной реакцией  и давление диска найденной величиной N (рис. г). На стержень, кроме того, действуют следующие силы: неизвестное но величине натяжение нити S, неизвестная по величине и направлению реакция шарнира О, которую представляем двумя составляющими и вес стержня Р. Благодаря тому, что ранее были найдены реакции . число неизвестных сил, действующих на стержень, равно трем, т. е. задача является статически определенной. Так как по условию требуется найти только натяжение нити, то достаточно составить одно уравнение равновесия, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно точки О:

Отсюда

Задача 1.32. Нить AЕВ прикреплена к потолку в точках A и В и пропущена черен два отверстия в балке СD (рис. а). В середине E нити подвешен груз Р. Вес балки СD равен Q. Расстояние СD между отверстиями в балке равно АВ.

Полагая нить и балку абсолютно гладкими, определить угол a, образованный в положении равновесия балкой и нижними отрезками нити, натяжение нити и реакции между балкой и нитью в точках С и D

Решение:

Для определения натяжения нити разрежем мысленно АС и ВD и рассмотрим равновесие нижней части системы (рис. б) под действием веса груза Р, веса балки Q и реакций нитей и Проведя оси координат (рис. б), составляем два уравнения равновесия:

Решая совместно эти два уравнения, имеем:

что, впрочем, очевидно вследствие симметрии системы.

Для нахождения угла а рассмотрим равновесие сил, приложенных к точке Е (рис. в). Следует заметить, что натяжение во всех частях

нити по модулю одно и то же, так как в точках С и D где нить проходит через отверстия к балке, трение отсутствует. Если бы в этих точках между нитью и балкой существовало трение, то натяжения нити но разные стороны от отверстия были бы различны.

В точке Е приложены вес Р и натяжения нитей, образующих угол а. с горизонталью. Для определения угла а достаточно составить одно уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на вертикаль равна нулю):

откуда

Второе уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на горизонталь равна пулю) составлять нет необходимости, так как оно только вновь подтвердит ранее установленное равенство натяжений в левой и правой половинах нити Для определения реакции между балкой и нитью рассмотрим равновесие нити в точке С, отбросив балку и заменив ее действие реакцией, составляющие которой обозначим через (рис. г). Кроме того, на нить в точке С действуют натяжения отрезков нитей АС и ЕС. Составляем уравнения равновесия точки С:

Из уравнения (2) находим:

Уравнение (1) дает:

Равновесие тел при наличии трения

Равновесие при наличии трения. Если к твердому телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, приложить горизонтальную силу F, то действие этой силы вызовет появление силы сцепления Fсц = -F, представляющей собой силу противодействия плоскости смещению тела.

Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения

Силы трения скольжения возникают между шероховатым телом и шероховатой поверхностью, если равнодействующая активных сил R не направлена по нормали к поверхности, на которой покоится тело (рис. 1.36). При равновесии тела необходимо, чтобы реакция шероховатой поверхности S (рис. 1.37) равнялась по величине R и была направлена в прямо противоположную сторону. Разложим активную силу R на нормальную составляющую N и касательную составляющую Т, реакцию шероховатой поверхности на нормальную составляющую и касательную составляющую F, называемую силой трения скольжения или силой трении первого рода. При равновесии должны соблюдаться равенства

Из опыта известно, что при изменении величины составляющей Т в определенных пределах равновесие тела не нарушается. Следовательно, и сила трения скольжения согласно уравнению (2*) будет меняться в этих пределах.

Таким образом, сила трения скольжения при покое есть составляющая реакции связи, возникающая при действии активных сил, стремящихся сдвинуть тело. Эта составляющая реакции направлена в сторону, противоположную возможному движению тела. Величина силы трения может меняться от нуля до некоторого предела, в зависимости от величины и направления активных сил, с тем чтобы

воспрепятствовать перемещению тела. Отличие силы трения от других реакций связей заключается и том, что ее модуль не может превысить определенного предела.

Зависимость между силой трения и нормальным давлением определяется законом Кулона: наибольшая величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению тела на поверхность

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную возможному относительному движению.

Постоянная f называется коэффициентом трения скольжения. Экспериментально установлено, что этот коэффициент зависит от материала соприкасающихся тел и их шероховатости (чистоты обработки). Для абсолютно гладких тел коэффициент f равен нулю. Для реальных тел

Коэффициент трения не зависит от силы нормального давления и площади соприкосновения.

Угол между нормалью к поверхности и полной ее реакцией в положении предельного равновесия, когда , называется углом трения (рис. 1.38). Этот угол определяется равенством

Построим в точке соприкосновения нормаль к поверхности и прямую ОА, составляющую с ней угол . Конус, описанный этой прямой как образующей, называется конусом трения.

Если линия действия равнодействующей активных сил, приложенных к твердому телу, лежит внутри конуса трения, то вне, зависимости от ее модуля тело останется в покое. Это объясняется тем, что в этом случае движущая сила будет меньше предельной силы трения.

Действительно, рассмотрим равновесие тела, находящегося на горизонтальной плоскости S (рис. 1.39). К телу приложена равнодействующая активных сил Q пол углом а к нормали (вес тела входит в Q). Коэффициент трения скольжения    известен. Полагая , составим уравнение равновесия, приравняв нулю сумму проекций всех сил на направление нормали (рис. 1.40):

Проектируя все силы на горизонтальное направление, находим:

Замечая, что наибольшее значение силы трения равно

и учитывая, что  заключаем:

Следовательно, сила Q, линия действия которой находится внутри конуса трения, не может сдвинуть тело с места, как бы велика она ни была. На этом свойстве основаны некоторые самотормозящиеся устройства.

Если из Q выделить вес тела Р, то неравенство (9*) примет вид 

  

Следовательно, сила не может нарушить равновесие тела при

Сила трения может принимать различные значения от нуля до наибольшей величины. Поэтому уравнения равновесия твердого тела, которые выражались равенствами (§2, уравнения (1*), (2*), (3*)), при наличии сил трения превращаются в неравенства. В связи с этим при решении задач, как правило, рассматривают наибольшее значение силы трения и находят при этом из уравнений равновесия предельные (наибольшие и наименьшие) значения искомых величин.

Так, например, рассматривая равновесие лестницы АВ (рис. 1.41), опирающейся на гладкую стену и шероховатый пол, мы найдем наименьшее значение угла а, при котором лестница будет в покое, если возьмем максимальное значение силы трения. Положений равновесия лестницы будет при этом бесчисленное множество, так как при любом значении угла а, большем найденного, но меньшем 90°, для равновесия необходима сила трения меньшая, чем ее максимальная величина.

При решении задач на равновесие твердого тела при наличии сил трения следует выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. При этом следует реакцию шероховатой поверхности представить двумя составляющими — нормальной реакцией и силой трения, или же. не раскладывая эту реакцию на составляющие, направить ее под углом трения к нормали к поверхности (при максимальной силе трения);

• 5) сопоставить число неизвестных величии и число независимых уравнений равновесия, которые должны быть равны для статически определенных задач; при этом к уравнениям равновесия твердого тела следует добавить зависимость силы трения от нормального давления;
• 6) выбрать систему координат;
• 7)составить систему уравнений равновесия для сил, приложенных к твердому телу или к системе твердых тел;
• 8) решив систему уравнений равновесия, определить искомые величины.

Задача 1.33. Определить модуль силы Р, при которой начнется движение блока (рис. а). Вес блока ( высота  ширина . Сила Р, приложенная в точке В, образует угол 30'-' с горизонтом. Коэффициент трения между блоком и горизонтальным полом f = 0,2.

Решение:

 Движение блока может начаться в двух случаях: а) если начнется скольжение блока но плоскости вправо (рис. б) н б) если блок начнет опрокидываться вокруг ребра (рис. в).

Рассмотрим первый случай. В этом случае точка приложения реакции пола N неизвестна. Составим уравнения равновесия — приравняем суммы проекций всех сил на оси координат (рис. б) нулю

Кроме того, учтем зависимость силы трения от нормального давления

Определим из данной системы уравнений силу Р. Исключая силы , и N, находим:

Если величина силы Р станет больше этого значения, то блок начнет скользить вправо.

Рассмотрим второй случай. В случае возможного опрокидывания блока вокруг ребра А нормальная реакция N и сила трения Р будут приложены в точке А (рис. в).

Составим три уравнения равновесия и четвертое уравнение — зависимость силы трения от нормального давления

Для нахождения величины силы Р достаточно найти ее значение из (3):

Если модуль силы Р станет больше этого значения, то блок начнет опрокидываться около ребра А.

Уравнения (1), (2), (4) смогут быть использованы для определения нормальной реакции и силы трения.

Сопоставляя значения модуля силы Р в первом и во втором случаях, заключаем, что гак как величина силы Р при скольжении меньше ее величины при опрокидывании, то при возрастании модуля силы Р от нуля до максимума блок начнет сначала скользить, а не опрокидываться.

Задача 1.34. Для подъема (рис. а) или опускания (рис. б) каменного блока А, весящего 2000 кГ, применили два клина В и С. Коэффициент трения для соприкасающихся поверхностей АВ и АС равен f = 0,2, а для поверхностей ВD и СD равен = 0,25.

Найти равные по величине горизонтальные силы Р, сжимающие клинья, необходимые для подъема блока А. Определить силы Р, растягивающие клинья, необходимые для опускания блока А. Наклонные плоскости соприкосновения блока с клиньями образуют угол 10° с горизонтом.

Решение:

Рассмотрим равновесие системы тел, состоящей из блока А и клиньев В и С. При подъеме блока (рис. а) силы Р сжимают клинья. Рассмотрим отдельно равновесие блока и равновесие клина. Отбросив мысленно клинья, заменим их действие на блок нормальными реакциями N и силами трения Р (рис. в). Кроме того, на блок действует известная сила — вес С). Составим два уравнения равновесия, приравняв нулю суммы проекций всех сил на оси х и у:

Кроме того, запишем зависимость сил трения от нормального давления

Тогда находим:

Перейдем, далее, к рассмотрению равновесия клина В (рис. г). На клин действуют: реакция блока, которая раскладывается на нормальную составляющую — , и силу трения — активная сила Р и реакция полз, разложенная на нормальную силу S и силу трения Т. Напишем уравнения равновесия для клипа В:

Кроме того, имеем зависимость силы трения от нормального давления

Отсюда, пользуясь найденными ранее значениями реакций, найдем 

Таким образом, для равновесия системы при подъеме блока получено необходимое граничное значение силы Если же то начнется подъем блока; система придет в движение.

Перейдем к определению величины силы Р при спуске блока. Блок А находится в равновесии (рис. д) под действием активной силы — веса Q нормальных реакций клиньев и сил трения Силы трения в этом случае направлены вдоль наклонной плоскости вверх. Это сразу видно из рассмотрения равновесия клипа В (рис. е), так как в связи с изменением направления силы Р па прямо противоположные силы Т и — меняют свое направление на противоположное по сравнению с предыдущим случаем (рис. г). Уравнения равновесия для блока А будут:

Кроме тою, зависимость силы трения от нормального давления дается равенствами

Отсюда находим:

Уравнения равновесия для клина В (рис. е) будут:

Сила трения выражается через нормальное давление

Отсюда, пользуясь ранее найденными значениями реакции найдем:

Найденное значение Р является граничным при равновесии системы в случае опускания блока.

Таким образом, на основании проведенного исследования можно заключить, что система будет находиться в равновесии, если проекция силы Р лежит в пределах

Если модуль каждой из сил Р будет больше 641 кГ, то при их направлении, указанном на рис. а, начнется подъем блока. Для того чтобы блок начал опускаться, нужно приложить силы Р в противоположном направлении, причем их модуль должен превышать 273 кГ.

Задача 1.35. Полуцилиндр весом Р и радиуса R лежит на негладкой горизонтальной плоскости (рис. а). Однородный стержень ОА длиной l и весом Q шарнирно закреплен в точке О. Он опирается па гладкую поверхность полуцилиндра, образуя угол а с вертикалью

Определить наименьшую величину коэффициента трения скольжения f между полуцилиндром и горизонтальной плоскостью при равновесии.

Решение:

Полуцилиндр и стержень являются системой твердых тел, находящихся в равновесии. Под действием веса стержня полуцилиндр может начать движение вправо (при недостаточной силе трения между полуцилиндром н полом). Для определения искомой наименьшей величины коэффициента трения скольжения между полуцилиндром и горизонтальной плоскостью рассмотрим отдельно равновесие стержня и полуцилиндра.

Рассматривая равновесие стержня ОА (рис. б), отбросим мысленно шарнир О и заменим его действие реакцией. Реакция шарнира приложена в точке О и неизвестна по величине и направлению. Представим поэтому реакцию двумя составляющими Отбрасывая мысленно полуцилиндр, заменим его действие на стержень реакцией направленной перпендикулярно к стержню, так как согласно условию трение между стержнем и полуцилиндром отсутствует. Величина реакции неизвестна. Кроме указанных реакций, к стержню в его середине приложен вес Q направленный по вертикали.

На рис. в представлены силы, действующие на полуцилиндр при равновесии. Полуцилиндр находится в равновесии под действием трех сил: веса Р, реакции стержня  и реакции негладкой горизонтальной плоскости. Вес Р направлен по вертикальной оси симметрии полуцилиндра и, следовательно, линия действия этой силы проходит через точку С, лежащую на оси цилиндра. Реакция стержня  согласно пятому закону (закон равенства действия и противодействия) равна по величине  и направлена противоположно. Следовательно реакция 

перпендикулярна к стержню, совпадающему по направлению с касательной к полуцилиндру, и направлена но радиусу DС. Этот радиус образует с горизонтальным диаметром полуцилиндра угол a, так как стороны АО и ВО, образующие угол а, соответственно перпендикулярны к прямой DС и горизонтальному диаметру. Равнодействующая реакций негладкой горизонтальной плоскости должна быть приложена в точке С. Действительно, полуцилиндр находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Следовательно, линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке. Но силы пересекаются в точке С. Значит, и линия действия равнодействующей реакции негладкой плоскости должна проходить через точку С. А это возможно только в том случае, если эта реакция приложена в точке С. Разложим реакцию горизонтальней плоскости на две составляющие: нормальную реакцию и силу трения  Перейдем к составлению уравнений равновесия обоих тел. Составим для стержня сумму проекций всех сил на оси x и у и приравняем их к нулю:

Уравнение моментов относительно точки О будет:

Точка О выбрана за центр моментов, так как при этом составляющие реакции шарнира О не входят в уравнение моментов. Таким образом, из последнего уравнения непосредственно находится неизвестная сила , а только эта сила из входящих в систему уравнения (1) — (3) и войдет далее в уравнения равновесия полуцилиндра. Уравнения (1) — (2) могут быть использованы для нахождения неизвестных составляющих реакций шарнира

Из уравнения (3), пользуясь очевидным равенством

найдем:

Перейдем к составлению уравнений равновесия для полуцилиндра. Проектируя силы, приложенные к полуцилиндру, на оси координат, получим два уравнения равновесия:

Кроме того, сила трения связана с нормальной    реакцией зависимостью

Учитывая равенство получим систему четырех уравнений (5) — (8) с четырьмя неизвестными Для нахождения наименьшего значения коэффициента трения исключим из рассматриваемой системы остальные неизвестные. Внося (5) и (8) в уравнение (6), получим:

Подставляя (5) в (7), найдем:

Исключая из полученных уравнений (9) и (10) реакцию  получим окончательно:

Это и есть наименьшее значение коэффициента трения, при котором полуцилиндр и стержень будут находиться в равновесии.

Задача 1.36. Крутящий момент мотора электрической лебедки ранен Для остановки мотора служат тормозные колодки тормоза А (рис. а), прижимающиеся силами Р к тормозному диску В, жестко связанному с ротором мотора. Радиус тормозного диска  

Определить силу давления Р, необходимую для удержания ротора в равновесии, если коэффициент трения между деревянными колодками и чугунным тормозным диском равен

Решение:

Рассмотрим равновесие тормозного диска В (рис. б). К диску приложена активная пара — крутящий момент М. Отбрасывая мысленно тормозные колодки, заменяем их действие реакциями.

Каждая реакция раскладывается на две составляющие: нормальное давление Р и силу трения F. Зависимость между нормальным давлением и силой трения выражается при помощи коэффициента трения

Для равновесия диска необходимо, чтобы сумма моментов всех сил, приложенных к диску, равнялась нулю. Силы Р взаимно уравновешиваются и в уравнение моментов не входят. Силы трения образуют пару сил; крутящий момент представляет собой также пару сил. Сумма моментов сил, составляющих пару относительно любой точки, равна моменту нары. Таким образом,

Подставляя значение силы трения (1) в уравнение (2), имеем:

откуда

Задача. 1.37. Электрическая лебедка (рис. а) весом кренится к фундаменту при помощи шести болтов. Максимальная сила тяги Т равна 8 Т и направлена под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения между основанием лебедки и фундаментом равен f = 0,5.

Определить силу затяжки болтов, при которой срезывающее усилие в них равно нулю и лебедка удерживается от сдвига одной силой трения.

Решение:

Рассмотрим равновесие лебедки. К ней приложены две активные силы: вес Q и сила тяги Т. Отбрасывая мысленно связи — болты и фундамент, заменим их действие реакциями (рис. б). Полагая затяжку всех шести болтов одинаковой, заменяем их действие двумя силами по 3Р каждая. Реакцию фундамента раскладываем на нормальную составляющую R и силу трения F. Силу трения направляем но горизонтали влево, в сторону, противоположную возможному сдвигу

лебедки. Так как срезывающее усилие в болтах равно нулю, то следует рассмотреть равновесие лебедки как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием сил:  

Выберем оси координат: ось х направим по горизонтали вправо, ось у вертикально вверх. Составим сумму проекций всех сил на ось у и приравняем ее нулю:

Из этого уравнения определяется нормальная составляющая реакции фундамента, равная по величине нормальному давлению на фундамент:

Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось х, имеем:

Из этого уравнения определяется необходимая для равновесия сила трения

Зависимость между силой трения и нормальным давлением дается формулой

Подставив в это выражение значение силы трения (2), нормального давления (1) и коэффициента трения, получим:

откуда определим необходимую величину затяжки болтов

Таким образом, для того чтобы болты не испытывали срезывающих усилий и лебедка удерживалась от сдвига силой трения, необходимо и достаточно, чтобы затяжка каждою болта удовлетворяла условию

Задача 1.38. Однородный прямолинейный стержень АВ весом Q (рис. а) опирается в точке В на шероховатую вертикальную стену. Коэффициент трения между стержнем и стеной равен f. В точке А стержень опирается на горизонтальный гладкий пол. Стержень удерживается в равновесии нитью AD, перекинутой через блок D. К концу нити подвешен груз Р.

Определить пределы, в которых можно изменять величину груза P, чтобы не нарушить равновесия стержня.

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня АВ. На него действует одна активная сила, вес стержня Q приложенный посредине стержня в точке С и направленный по вертикали вниз. На стержень наложены три связи: горизонтальный пол, вертикальная стена и нить АD. На основании закона освобождаемости от связей отбросим мысленно связи и заменим их действие реакциями. Реакция гладкого пола направлена перпендикулярно к полу, натяжение нити Р направлено по горизонтали вправо, реакция шероховатой вертикальной стены может быть представлена двумя составляющими: нормальной реакцией направленной по горизонтали влево, и силой трения . Сила трения направлена по вертикали: 1) в случае, когда груз Р наименьшей величины и, следовательно, возможное направление движения точки — вниз, сила трения направлена вверх (рис. б), в сторону, противоположную возможному движению; 2) в случае, когда груз Р наибольшей величины, точка В может начать скользить но стене вверх и, следовательно, сила трения (рис. в) направлена но вертикали вниз, опять-таки в сторону, противоположную возможному движению.

Рассматривая равновесие стержня АВ как свободного твердого тела, находящегося под действием пяти сил: (рис. б), найдем минимальное значение веса груза Выберем оси координат — ось х направляем по горизонтали вправо, ось у вертикально вверх. Составим уравнения равновесия (рис. б):

Через l в последнем уравнении обозначена длина стержня АВ. Кроме того, напишем зависимость силы трения от нормального давления

Задача является статически определенной, так как система из четырех уравнений содержит четыре неизвестных:  Решая совместно эту систему уравнений, находим искомое минимальное значение величины груза Р:

Для определения наибольшей величины груза Р рассмотрим равновесие стержня АВ (рис. в) как свободного твердого тела, находящегося под действием пяти сил: Тогда уравнения равновесия имеют вид

кроме того,

Решая совместно эту систему уравнений, находим наибольшую величину груза Р, при которой стержень будет в равновесии:

Из уравнения (1) следует, что неограниченно возрастает, если . При для возможности подъема стержня (скольжения точки В вверх по стене) необходимо, чтобы сила Q) была направлена вверх но вертикали, что невозможно. Таким образом, в этом случае не существует силы которая могла бы нарушить равновесие лестницы.

Таким образом, равновесие стержня возможно при изменении веса груза Р в пределах

Эта задача может быть решена и несколько иным путем. Замечаем, что но условию задачи не требуется определения неизвестной реакции гладкого пола Поэтому из возможных уравнений равновесия стержня (рис. б) выберем такие, которые не содержат  Составим уравнение моментов всех сил относительно точки A:

Второе уравнение равновесия — равенство нулю суммы проекций всех сил на горизоиальную ось х. В него также не войдет неизвестная сила :

К этим двум уравнениям добавляется соотношение между нормальной реакцией и силой трения в точке В:

Подставив значение , из (5) в (3) и учитывая (4), сразу получим.

Аналогично для нахождения наибольшего значения силы Р составим такие же уравнения равновесия (рис. в):

Решив совместно эту систему уравнений, определим максимальное значение силы Р:

Таким образом, как и следовало ожидать, мы пришли к результату, выражаемому формулой (2).

Сопоставляя оба решения, мы видим, что в нервом случае мы применили общий метод составления уравнений равновесия для твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил, не учитывая особенностей данной задачи. Достоинство общих методов и заключается в том, что они ведут к цели, несмотря на различия в условиях задач.

Иногда такой путь не является самым простым и коротким. На примере второю способа решения мы видим, что при учете особенности данной задачи (в задаче не требуется определить величину реакции гладкого пола ) удалось составить меньшее число уравнений равновесия, которые проще и скорее привели к пели.

Задача 1.39. Два одинаковых однородных стержня АВ и ВС, весом Р и длиной l каждый, шарнирно соединены между собой. В течке А стержень AВ шарнирно прикреплен к вертикальной стене.

Точка А находится на высоте h над горизонтальным полом, па который концом С свободно опирается стержень ВС.

Зная коэффициент трения f между стержнем ВС и горизонтальным полом, определить угол при равновесии.

Решение:

Рассмотрим отдельно равновесие стержня ВС (рис. б) и стержня АВ (рис. в). Отбросив мысленно связи, заменим их действие реакциями. К стержню ВС приложены силы: вес Р, нормальная реакция горизонтального пола N и сила трения F, направленная в сторону, противоположную возможному движению; реакция шарнира В не известна ни по величине, ни по направлению (представим се двумя составляющими ).

К стержню АВ приложены силы: вес Р; составляющие реакции шарнира В, равные и противоположные силам, приложенным в точке В к стержню ВС (обозначим эти составляющие через ), составляющие реакции шарнира А, названные .

Составим уравнения предельного равновесия для стержня ВС.

Уравнение моментов (3) составлено относительно точки В, уравнение (4) дает зависимость силы трения ог нормального давления. Уравнения равновесия для стержня АВ будут:

Здесь сумма моментов сил (7) составлена относительно точки А.

Чтобы найти уравнения, определяющие зависимость между углами решим совместно составленные уравнения, кроме уравнений (5) и (6), так как последние содержат и которые согласно условию задачи находить не нужно. Из уравнения (1), (2) и (4) найдем:

Исключи» из уравнения (3) неизвестные F, N, получим:

Разделив это равенство на и воспользовавшись равенством (8), найдем:

С другой стороны, разделив уравнение (7) на и воспользовавшись равенством (8), получим:

Исключив из уравнений (10) и (11) найдем:

Это — первое уравнение, определяющее углы  в положении равновесия.
Второе уравнение найдем из геометрического равенства

откуда получим:

Исключив из равенств (12) и (14) угол а, найдем:

Если  — корень этого уравнения, то равновесие системы будет при любом 

Задача 1.40. Однородный стержень АВ длиной l опирается концом А на внутреннюю гладкую поверхность пустотелого полуцилиндра радиуса r и концом В на шероховатый горизонтальный пол . В положении равновесия центр тяжести стержня С находится на вертикальном диаметре полуцилиндра.

Определить угол  составляемый стержнем с полом в положении равновесия, и коэффициент трения скольжения f между стержнем и иолом, полагая, что сила трения достигает в этом положении стержня своего предельного значения 

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня АВ. На стержень действует одна активная сила, вес стержня Р. Так как центр тяжести стержня С лежит на одной вертикали с центром цилиндра О, то линия действия силы тяжести проходит через точку О. На стержень наложены две связи: гладкая поверхность полуцилиндра и шероховатый пол. Применим закон освобождаемое от связей. Отбросим мысленно связи (рис. б) и заменим их действие реакциями. Реакция гладкой стенки полуцилиндра направлена нормально к его поверхности, т. е. по радиусу АО. Изобразим ее силой Т. Следовательно, в точке О пересекаются линии действия двух сил: реакции Т и веса Р. Но стержень находится в равновесии под действием трех сил: Т, Р и реакции пола к точке В. Согласно теореме о трех непараллельных силах линия действия реакции пола R должна также пересекать точку О. Направим реакцию R по линии ВО (рис. б). Угол между нормалью к полу и реакцией R есть угол трения , причем Из треугольника ОВD найдем:

Обозначим угол между силой Т и линией горизонта буквой a. Тогда, опуская перпендикуляр АN из точки А на вертикальный диаметр, имеем или

Аналогично  следовательно

Сопоставив (1) и (2), найдем:

Обозначив для краткости  (гак как по условию ), найдем из (2) и (3), что

Возведем равенства (5) и (в) в квадрат и сложим. После несложных преобразований получим:

откуда

Следовательно,

Знак минус перед вторым корнем должен быть отброшен, так как

и значение будет при этом мнимым. Итак, окончательно

Решение этой задачи отличается от большинства задач на равновесие при наличии трения тем, что мы не разлагаем реакцию шероховатой поверхности на нормальную составляющую и силу трения.

Задача 1.41. Две одинаковые призмы А и В образуют лестницу. Ступени нагружены силами Р и Q, точки приложения которых заданы (рис. а). Призма А опирается на вертикальную стену и наклоненную под углом а плоскость второй призмы. Призма В опирается на горизонтальный пол.

Определить условия равновесия, учитывая трение всех контактирующих поверхностей. Коэффициенты трения призм о горизонтальный пол, вертикальную стену и друг о друга одинаковы и равны  Собственными весами призм можно пренебречь по сравнению с силами Р и Q.

Решение:

Рассмотрим равновесие каждой из призм, отбросив мысленно стену, пол и другую призму, заменив их действия нормальными реакциями  и силами трения  Расчетные схемы показаны на рис. б для верхней призмы и на рис. в для нижней. 

Максимальные значения касательных сил (сил трения) при равновесии равны 

В проекциях на координатные оси уравнения равновесия имеют вид: 
для призмы А 

для призмы В

Решив эту систему уравнений равновесия, найдем: 

или, после подстановки  и несложных тригонометрических преобразований, 

Отсюда видно, что решение существует, если  Таким образом, условие равновесия лестницы, образованной двумя призмами, будет: 

Эта задача наряду с приведенным аналитическим решением может быть решена и графически. 

Если заменить касательную и нормальную составляющую реакции в каждом случае одним вектором (рис. г): 

то к каждой из призм будет приложено три силы (см. рис. г) и можно воспользоваться теоремой о трех силах. Графическое решение - комбинация двух замкнутых силовых  треугольников — представлено на рис. д. 

Задача имеет решение только при  Это учтено на рис. г, где угол  начерчен достаточно большим. 

Задача 1.42. Однородный стержень АС длиной  и весом  опирается концом А на гладкую горизонтальную плоскость, а промежуточной точкой В на прямоугольную призму, стоящую на 
той же гладкой плоскости. Угол трения между стержнем и призмой равен 

Определить, какой вес должна иметь призма, чтобы система была в равновесии. Стержень составляет с горизонтом угол  Размеры призмы известны (рис. а). 

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня и призмы в отдельности. Отбросив мысленно горизонтальную плоскость и призму, заменим их действие на стержень реакциями. На стержень в) действуют (рис. б): вес G, нормальная реакция гладкой плоскости  нормальная реакция призмы  касательная реакция призмы  (сила трения). 
Составим уравнение моментов относительно точки А: 

откуда получим: 

Рассмотрим, далее, предельное равновесие призмы, отбросив мысленно пол и стержень. На призму действуют (рис. в): вес Q, давление стержня —  сила трения —  и нормальная реакция  плоскости. 

 

Где следует приложить равнодействующую нормальной реакции плоскости? Правее силы Q она не может быть приложена, так как относительно такой точки не будет выполнено равенство нулю суммы моментов всех сил. Значит, точка приложения реакции лежит на. левой половине отрезка ОЕ. Крайнее возможное положение ее, соответствующее критическому равновесию, в точке О, когда призма может начать поворачиваться вокруг ребра О. На рис. в изображены силы в положении критического равновесия. 

Горизонтальная составляющая нормального давления —  на призму не должна превышать по модулю горизонтальной составляющей силы трения —  в предельном положении равновесия. Это условие может быть записано так: 

При этом знак неравенства следует понимать в том смысле, что сила трения не достигает своего максимального значения и, следовательно, равновесие системы не будет нарушено. 

Подставив в это неравенство максимальное значение  равное  получим: 

Составим уравнение моментов сил, приложенных к призме относительно точки О: 

Подставив предельное значение силы трения

 и значение  найденное ранее, в предыдущее равенство, получим: 

Отсюда найдем: 

или окончательно 

Из этой формулы также следует, что задача имеет решение при  ибо в противном случае вес призмы получится отрицательным, что невозможно. Чем ближе угол наклона стержня к углу трения, тем более легкой может быть призма; в случае когда  даже 
невесомая призма удерживается в равновесии. 

Задача 1.43. Квадратный ящик весом Q находится в покое на горизонтальном негладком полу. Коэффициент трения между полом и ящиком равен f. Через ящик перекинут трос, закрепленный своими концами в О и  Ветви троса образуют с полом углы 30° и 60°. 

Пренебрегая трением между ящиком и тросом, определить натяжение троса, при котором ящик будет оставаться в покое (рис. а). 

Решение:

Рассмотрим равновесие ящика (рис. б). На ящик действует одна активная сила — вес Q, приложенная в центре и направленная но вертикали вниз. На ящик наложены две связи—трос и 

пол. Отбрасывая мысленно эти связи, заменим их действие реакциями. Так как трение между ящиком и тросом отсутствует, то натяжение троса Т будет везде одинаковым. Натяжение троса будет действовать на ящик по направлениям ОА и (рис. а). Разложим реакцию пола на нормальную реакцию N и касательную реакцию F, являющуюся силой трения. 

Рассмотрим равновесие ящика как свободного тела, находящегося под действием пяти сил, указанных на рисунке. Составим уравнения равновесия, приравняв пулю сумму проекций всех сил на оси х и у: 

Кроме того, имеем зависимость между силой трения и нормальным давлением (по модулю равным нормальной реакции), а именно: 
 
Из (2) находим: 

Подставляя это значение в (3) и затем в (1), имеем: 

Решая уравнение (5) относительно неизвестного Т, находим натяжение троса в предельном случае

 

Ящик будет находиться в покое при 

Задача 1.44. Два цилиндра с радиусами и весами , и  опираются на горизонтальный пол и вертикальную стену так, что прямая соединяющая центры цилиндров, образует угол с горизонтом.

Коэффициенты трения: между первым цилиндром и горизонтальным полом между вторым цилиндром и вертикальной стеной и между цилиндрами f. 

Определить минимальные значения этих коэффициентов, при которых система может находиться в равновесии, а также нормальные реакции пола, степы и реакции между цилиндрами. 

Решение:

Рассмотрим равновесие каждого из цилиндров в отдельности (рис. б и в), отбросив мысленно пол, стену и другой цилиндр, заменив их действие реакциями. Каждую реакцию разложим на нормальную составляющую и силу трения. Тогда первый цилиндр можно рассматривать как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием пяти сил: веса, двух нормальных реакций и двух сил трения (рис. б). Аналогично рассматривается равновесие второго цилиндра (рис. в). Силы трения направлены по касательным, проведенным к цилиндрам в точках соприкосновения в сторону, противоположную возможному движению цилиндра. 

Составим уравнения равновесия для первого цилиндра: 

Уравнения равновесия для второго цилиндра будут:

К этим уравнениям равновесия следует добавить зависимости предельных сил трения от нормального давления

Решив совместно систему из девяти уравнений (1) — (3), найдем:

 

Полученные значения коэффициентов трения являются минимальными; если они будут превышать эти величины, то равновесие системы сохранится, а силы трения при этом не будут достигать своих предельных значений.

Задача 1.46. Шкив радиуса  насажен на вал радиуса а, который может вращаться в подшипниках. Коэффициент трения между валом и подшипниками

Определить наибольшую величину силы Р, которая удержит шкив в покое, если к шкиву приложена сила  образующая с силой Р угол  (рис. а). Найти значение силы Р, когда  и когда силы Р и Q) параллельны.

Решение:

Отбросив мысленно подшипники, рассмотрим равновесие вала вместе со шкивом, заменив действие подшипников нормальной реакцией N и моментом сил трения  Момент сил трения (относительно точки О) может быть представлен в виде

Момент сил трении будет направлен в сторону, противоположную по направлению с моментом меньшей силы. Таким образом,  этот момент будет совпадать 

с моментом меньшей силы. Положив  составим уравнение равновесия вала со шкивом, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно центра О:

С другой стороны, нормальная реакция N определится по величине как равнодействующая двух сил Р и 

Подставив это значение в уравнение (2) и освободившись от радикала, получим:

Величина Р равна большему корню этого квадратною уравнения. Меньший корень Р будет соответствовать случаю  В случае, когда Р и  параллельны, решение упрощается. Действительно, при этом

и, следовательно, из (2) после несложных преобразований находим:

В случае  силы Р и  взаимно перпендикулярны, и из (4) получим:

Знак минус не удовлетворяет условию задачи, так как при этом

и, следовательно,   что противоречит условию. Неравенство (8)

вытекает из того, что функция

при  принимает значение  и при  монотонно убывает. Действительно,

 при 

а в рассматриваемом случае

Знак минус в равенстве (7) соответствует случаю  когда момент трения будет совпадать по направлению с моментом силы Р.

Равновесие твердого тела при наличии трения качения

Между катком и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы трения, если приложить к оси катка силу S (рис. 1.42), стремящуюся его двигать но плоскости. Рассмотрим случай, когда сила S параллельна горизонтальной плоскости.

Из опыта известно, что при изменении величины силы S от нуля до некоторого предельного значения  каток остается в покое, т. е. силы, действующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил: веса Р и силы S, к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равновесия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости  должна проходить через центр катка О, так как две другие силы приложены к этой точке.

Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена па некоторое расстояние  от вертикали, проходящей через центр колеса, иначе реакция  не будет иметь горизонтальной 

составляющей, необходимой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плоскости  на две составляющие: нормальную составляющую N и касательную реакцию являющуюся силой трения (рис. 1.43).

Таким образом, в предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил  с моментом  (где  — радиус катка) и вторая пара сил удерживающая каток в равновесии. Момент второй пары, называемый моментом трения качения, определяется формулой

где  — коэффициент трения качения, измеряемый в единицах длины. Этот коэффициент можно рассматривать как расстояние, на которое смещается реакция N от вертикали, проходящей через центр катка.

Для того чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения  была меньше но величине, чем максимальная сила трения скольжения

где —коэффициент трения скольжения.

Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, «следствии чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит по некоторой поверхности, смещенной от нижней точки катка в сторону возможного движения. При решении задач на равновесие твердого тела при наличии трения качения надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. При этом следует реакцию шероховатой поверхности направить из точки, отстоящей на расстоянии коэффициента трения качения  от нормали, проведенной из центра катка так, чтобы она проходила через точку О пересечения двух других сил, действующих на каток (рис. 1.42), или заменить реакцию  двумя составляющими — нормальной реакцией N и силой трения 

• 5) сопоставить число неизвестных и число уравнений равновесия, добавив к ним зависимость момента трения от нормального давления; число неизвестных должно быть равно числу уравнений, если задача является статически определенной;
• 6) составить систему уравнений равновесия для твердого тела;
• 7) решив полученную систему уравнений, определить искомые величины;
• 8) сопоставив величину силы трения с максимальной силой л рения скольжения, убедиться в том, что первая сила меньше второй.

Задача 1.46. Цилиндрический каток диаметра 60 см и весом  приводится в равномерное движение человеком, который давит на рукоятку с постоянной силой Р в направлении АО. Высота точки А над горизонтальной дорогой 1,2 м. Коэффициент трения качения катка равен 

Определить величину силы Р, силу трения при качении и нормальную составляющую реакции горизонтальной плоскости (рис. а). Коэффициент трения скольжения между катком и дорогой 

Решение:

При равномерном качении катка все силы, действующие на каток, уравновешиваются. К катку приложены две активные силы: вес катка  и сила давления человека Р. На каток наложена одна связь — горизонтальная плоскость. Применив закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно горизонтальную плоскость и

заменим ее действие реакцией  Эта реакция приложена в точке С, находящейся на расстоянии от вертикали, проведенной через центр колеса. Реакция  направлена по прямой СО, так как согласно теореме о трех непараллельных силах в случае равновесия линии их действия пересекаются и одной точке О (рис. б). Реакцию плоскости  раскладываем на две составляющие: нормальную составляющую  перпендикулярную к плоскости, и касательную составляющую — силу трения при качении  направленную вдоль плоскости.

Рассмотрим равновесие катка как твердого тела, находящегося под действием четырех сил: 

Выберем систему декартовых координат. Ось х направим по горизонтальной плоскости вправо, ось у — вертикально вверх через центр катка. Составим уравнения равновесия. Обозначив буквой  угол между горизонталью (осью х) и рукояткой ОА, получим:

В уравнении (3) буквой  обозначен радиус катка.

При составлении суммы моментов сил относительно точки С сила Р, приложенная в центре катка О, разложена на две составляющие — горизонтальную  и вертикальную  и использована теорема Вариньона. При этом, как принято всегда делать, при вычислении момента горизонтальной составляющей силы Р мы пренебрегли изменением ее плеча, считая, что оно равно радиусу катка 

Из уравнения (3) найдем величину искомой силы Р:

Равенство (2) даст:

Из уравнения (1) определяем величину силы трения:

Проверим, сопоставляя величины силы трения при качении  и силы трения скольжения, будет ли в данном случае чистое качение или же будет иметь место скольжение. Сила трения скольжения равна

Таким образом/ сила трения скольжения больше силы трения при качении

и каток будет катиться без скольжения.

Задача 1.47. Цилиндрический каток радиуса  и весом  (рис. а) удерживается в равновесии па наклонной плоскости, составляющей угол  с горизонтом, нитью, перекинутой через блок А. К копну нити подвешен груз весом Р. Коэффициент трения качения катка равен 

Определить наименьшую и наибольшую величины веса Р, при которых каток будет в равновесии. Найти наименьшее значение коэффициента трения скольжения  при котором в случае движения каток будет катиться без скольжения.

Решение:

Рассмотрим равновесие катка в двух случаях.

В первом случае, когда величина Р имеет наименьшее значение, возможное направление движения катка но наклонной плоскости — вниз (рис. (б). Точка С, где приложена реакция плоскости, в этом случае смещена на расстояние  влево от перпендикуляра, опушенного из центра катка О на наклонную плоскость. К катку приложены две активные силы: вес  и натяжение нити 

Отбрасывая мысленно связь, наложенную на каток, — наклонную плоскость, заменяем ее действие реакцией, которую раскладываем на нормальную составляющую N и касательную составляющую (силу трения F). Составляющая N перпендикулярна к наклонной плоскости, сила трения направлена вдоль наклонной плоскости в сторону, противоположную возможному движению центра катка.

Рассмотрим равновесие катка как равновесие свободного твердого тела, находящегося пол действием четырех сил:  Так как по условию требуется найти только минимальное и максимальное значения силы Р при равновесии, то из трех уравнений равновесия

составим одно уравнение, выражающее равенство нулю суммы моменте» всех сил относительно точки С:

В это уравнение не вошли неизвестные силы N и F, nак как они приложены в точке С.

При составлении уравнения мы разложили силу  на две составляющие:  направленную перпендикулярно к наклонной плоскости (плечо этой составляющей относительно точки С равно коэффициенту трения качения  и составляющую  направленную параллельно наклонной плоскости и отстоящую на расстоянии  от нее. Решая уравнение (1) относительно  имеем:

Рассмотрим теперь второй случай, когда сила Р достигает максимальной величины, при которой возможно равновесие. В этом случае возможное направление движения катка — вверх по наклонной плоскости (рис. в). Силы  направлены аналогично первому случаю и приложены по-прежнему в центре катка О. Реакция наклонной

плоскости на этот раз приложена в точке  смешанной на расстояние  вправо по наклонной плоскости.

Составляем уравнение моментов относительно точки 

откуда имеем:

Таким образом, каток будет находиться в равновесии па наклонной плоскости, если величина силы Р лежит в пределах

Перейдем к определению наименьшего значения коэффициента трения скольжения  при котором в случае движения цилиндр будет катиться, а не скользить. Рассмотрим вначале случай, когда вес груза Р имеет наименьшую величину.

Приравняем нулю суммы проекций всех сил на ось х, параллельную наклонной плоскости, и на ось у, перпендикулярную к ней (рис. б). Подставляя в первое уравнение

значение  соответствующее ('2), находим силу трения при качении

Второе уравнение равновесия

позволяет определить нормальное давление, равное по величине нормальной реакции

Условием, при котором будет чистое скольжение, является:

где  —коэффициент трения скольжения. Внося в (4) значения находим:

Рассмотрим, далее, случай, когда вес груза Р имеет наибольшую величину (рис. в). В этом случае уравнения проекций будут:

Внося в уравнение (6) значение  находим:

Подставляя эти значения в (4), получаем условие чистого качения

которое совпадает с условием (5).

Задача 1.48. Стальной цилиндр радиуса  зажат между двумя параллельными направляющими, из которых нижняя закреплена неподвижно, а верхняя может перемещаться прямолинейно, оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Верхняя направляющая прижимается вертикальной силой Р к диску (рис. а). Коэффициенты трения качения между палиндром, нижней и верхней направляющими соответственно равны 

Пренебрегая весом цилиндра и направляющих, найти максимальную силу  приложенную к верхней направляющей, при которой цилиндр еще будет оставаться в покое.

Решение:

Рассмотрим равновесие цилиндра (рис. б), отбросив мысленно нижнюю и верхнюю направляющие, заменив их действие реакциями. Тогда на цилиндр будут действовать со стороны нижней направляющей нормальная реакция  и сила трения  со стороны верхней направляющей нормальная реакция  и сила трения  При этом точка приложения реакции нижней направляющей будет смещена вправо от вертикального диаметра на расстояние  а точка приложения реакции верхней направляющей будет смещена па расстояние  от вертикального диаметра влево, т. е. в сторону 

возможного перемещения цилиндра по отношению к каждой из направляющих.

С другой стороны, если рассмотреть равновесие цилиндра вместе с верхней направляющей, то, проектируя силы на вертикаль, получим:

Тогда, возвращаясь к рассмотрению цилиндра (рис. б), имеем, проектируя силы на вертикаль:

Составим, далее, сумму моментов всех сил относительно точки 

откуда искомая максимальная сила равна

Если коэффициенты трения качения равны

то тогда

Равновесие твердых тел при наличии трения гибких тел

Предположим, что на неподвижный цилиндр навита нить, к одному концу которой подвешен груз весом Р. Угол охвата цилиндра нитью равен (рис. 1.44). Коэффициент трения нити о шероховатую поверхность цилиндра равен Тогда сила Т, необходимая для удержания груза Р в равновесии, определяется по формуле Эйлера:

где е — основание натуральных логарифмов. Таким образом, сила Т, уравновешивающая груз Р, не зависит от диаметра цилиндра и является функцией угла охвата и коэффициента трения.

При решении задач на равновесие твердых тел при наличии трения гибких нитей надо выполнить

четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Далее следует:

• 5) сопоставить число неизвестных величии и число уравнении равновесия, добавив к уравнениям равновесия зависимость (14*) между силами натяжения нити с обеих сторон охватываемого тела, и убедиться с том, что число независимых уравнений равно числу неизвестных и, следовательно, задача является статически определенной;
• 6) выбрать систему координат;
• 7)    составить уравнения равновесия твердого тела;
• 8)    решив эту систему уравнения, определить неизвестные величины.

Задача 1.49. При швартовке судна матрос накладывает канат восьмеркой на чугунные столбы. Натяжение каната равно  сила, с которой матрос удерживает канат, равна  Угол охвата канатом каждого столба равен 210°.

Определить коэффициент трения каната о столбы, если известно, что матрос может удержать канат, наложив три восьмерки. Полагая коэффициент трения каната о чугунный столб равным  определить величину натяжения, которое матрос способен удержать, если сила 

Решение:

Угол охвата канатом одного столба равен

При наложении трех восьмерок угол охвата канатом столбов будет в шесть раз больше, т. е.  Тогда зависимость натяжений двух концов каната определится формулой

Логарифмируя, находим искомый коэффициент трения между канатом и чугунным столбом:

Из (1) имеем:

Отсюда при заданных значениях 

Таким образом, наложив три восьмерки на чугунные столбы, матрос может удержать в равновесии канат, ко второму концу которого приложена сила, равная 

Задача 1.50. Через два неподвижных вала с центрами  (рис. а) перекинут трос, к концам которого подвешены грузы и причем 

Определить минимальное значение коэффициента трения между валами и тросом, при котором грузы будут находиться в равновесии. Полагая коэффициент трения троса о вал равным найти груз Р, который можно удержать в равновесии грузом 

Решение:

Рассмотрим равновесие части троса, охватывающего левый вал (рис. б). На трос действует активная сила Р. Отбрасывая мысленно правый вал, разрезаем трос между валами и заменяем действие правой части силой натяжения троса Т.

Для равновесия этой части троса должно удовлеворяться равенство

где угол обхвата  равен  Итак,

Рассмотрим, далее, равновесие правого вала (рис. в), отбросив мысленно левый вал, разрезав трос и заменив его действие силой Согласно закону равенства действия и противодействия натяжения Т и  равны но величине. Для равновесия части троса, охватывающей правый вал, должно удовлетворяйся равенство

так как и у правого вала угол охвата 

Решая совместно уравнения (1) и (2), исключая натяжение троса между валами  находим:

откуда

Эта же задача может быть решена и другим способом. Рассматривая равновесие всего троса (рис. а) и замечая, что полный угол охвата тросом двух валов равен

находим зависимость между силами 

откуда имеем:

Для определения величины груза Р, который может быть удержан в равновесии грузом  из (3) находим:

Тогда

Таким образом, грузом  равным  можно удержать в равновесии груз Р, равный 

Задача 1.51. Трос АВ охватывает барабан, вращающийся вокруг центра О. Коэффициент трения троса о барабан равен  Концы троса А и В прикреплены к рычагу  который может поворачиваться вокруг точки  Расстоянии 

Определить натяжение троса в точках А и В. Пренебрегая весом рычага  найти расстояние  на котором надо подвесить к рычагу груз  чтобы давление в точке  равнялось нулю.

Решение:

Рассмотрим равновесие троса, охватывающею барабан, отбросив мысленно рычаг (рис. 6) и заменив ею действие реакциями троса 

Согласно уравнению (14*) зависимость между этими натяжениями определится формулой

так как угол охвата тросом барабана равен  Показатель степени в (1) положителен, ибо при заданном направлении вращения барабана натяжение 

Рассмотрим, далее, равновесие рычага  полагая в согласии с условием задачи, что давление в точке  и следовательно, реакция шарнира D равны нулю. На рычаг действует активная сила  Отбросим мысленно трос и заменим его действие реакциями  (рис. в). Очевидно, что 

Выберем оси координат и составим уравнения равновесия

Мы получили систему из трех уравнений (1), (2), (3) с тремя неизвестными:  Из уравнений (I) и (2) получим:

Подставив эти значения натяжений в уравнение (3), найдем искомое расстояние с:

Вместо уравнений равновесия (2) и (3) можно составить два уравнения моментов относительно точек А и В. К этим точкам приложены неизвестные но величине реакции  Следовательно, каждое уравнение моментов будет содержать только одну неизвестную величину силы и искомое расстояние с:

Решая эти уравнения совместно с равенством (1), приходим к ранее полученным ответам.

Задача 1.52. Ремень пропущен через пять неподвижных валиков, как это показано на рис. а. Коэффициент трения ремня о валик  Расстояние между центрами валиков, расположенными на одной прямой, равно  Диаметр валиков   Слева к ремню приложена сила 

Каково минимальное значение силы  при котором ремень будет находиться в покое.

Решение:

Обозначим угол охвата валика ремнем через  Тогда для отрезка ремня, охватывающего каждый валик, можно записать

соотношение между натяжениями ремня по обе стороны от валика:

Исключая из этой системы уравнений промежуточные усилия (перемножая все равенства), находим

Угол а определится из равных прямоугольных треугольников  и (рис. б):

откуда

Тогда из (1) находим:

 

Задача 1.53. На неподвижный цилиндр навита веревка, к одному из концов которой подвешен груз 

Сколько раз надо намотать верейку на цилиндр, чтобы груз можно было удержать вертикальной силой Р, приложенном к другому концу веревки? Коэффициент трении веревки о цилиндр равен 

Решение:

 Воспользуемся формулой Эйлера, согласно которой при предельном равновесии минимальное значение модуля силы Р равно

где  — угол охвата веревкой цилиндра. Этот угол равен

где  — число полных витков веревки, к которым добавляется но углу  со стороны действия каждой из сил. Таким образом,

Логарифмируя, находим:

откуда

Задача 1.54. Прямолинейный стержень АВ, длиной  и весом Р, центр тяжести С которого находится от конца А  на расстоянии

 опирается в точке В на шероховатую вертикальную степу, а в точке А — на гладкий горизонтальный пол. Коэффициент трения между стержнем и вертикальной стеной  В точке А к стержню прикреплена нить, перекинутая через неподвижный круглый цилиндр

(рис. а). К концу нити подвешен груз  Коэффициент трения между нитью и цилиндром равен 

Пренебрегая весом нити, определить, в каких границах может изменяться угол а при равновесии.

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня АВ, отбросив мысленно вертикальную стену, горизонтальный иол и горизонтальную нить и заменив их действие реакциями. Отдельно рассмотрим равновесие нити, охватывающей цилиндр (рис. г). Решение задачи распадается на два случая.

Случай минимального угла  При этом точка А может начать двигаться влево, точка В— вниз. Следовательно, сила трения  будет направлена вверх (рис. б), а силы трения, приложенные к ниш на цилиндре (рис. г), будут направлены по часовой стрелке. Таким образом, стержень АВ (рис. б) будет находиться в равновесии под действием следующих сил: нормальной реакции  натяжения нити Т, веса Р, нормальной реакции  и силы трения Р. Составим уравнения равновесия для стержня АВ:

Кроме того, запишем зависимость силы трения от нормального давления в точке В:

Зависимость натяжения нити  от силы  учитывая, что силы трения на цилиндре направлены но часовой стрелке, будет (формула Эйлера):

Из данной системы уравнений найдем:

Подставив значения  в уравнение (3), получим окончательно: 

Этой формулой определяется минимальное значение угла  при равновесии стержня.

Случай максимального угла  При этом точка А может начать двигаться вправо, точка В — вверх. Следовательно, сила трения  будет направлена вниз (рис. в), а силы трения, приложенные к нити на цилиндре, будут направлены против часовой стрелки.

Уравнения равновесия стержня АВ будут:

Кроме того, зависимость силы трения от нормального давления

в точке В определяется равенством

Натяжение нити будет:

 

Из этой системы, исключив найдем:

Далее, подставив в уравнение моментов значения N и Т, получим:

Этой формулой определяется максимальное значение угла  при равновесии.

Графическая статика и методы расчета ферм

Графический метод расчета ферм является дополнением к аналитическим методам расчета, которые вы изучили в предыдущем параграфе.

Равновесие произвольной плоской системы сил

Метод последовательного сложения. Если твердое тело находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, то путем последовательного графического сложения таких сил можно определить значение неизвестных из условий равновесия. При этом число неизвестных не должно превышать трех для системы сил, приложенных к одному твердому телу, иначе задача будет статически неопределенной. Этот графический метод решения задач целесообразно применять, если общее число сил, действующих па твердое тело, невелико. По сравнению с аналитическим метолом решения задач на равновесие плоской системы сил указанный графический способ более нагляден, но его применение при большом числе сил очень громоздко.

Метод последовательного сложения сил можно применять в двух вариантах.

Если твердое тело находится в равновесии под действием заданной плоской системы сил и трех реакций, линии действия которых известны  а величины реакций требуется определить, то рекомендуется такая последовательность действий (первый вариант):

• 1) складываем последовательно графически все известные активные силы и получаем их равнодействующую;
• 2) находим точку пересечения линии действия равнодействующей с линией действия одной из реакций 
• 3) переносим равнодействующую в эту точку и разлагаем ее на две силы: одну, направленную вдоль линии а другую, направленную в точку пересечения линии действия двух остальных реакций 
• 4) составляющая равнодействующей активных сил, направленная по линии  определяет величину первой реакции;
• 5) вторую составляющую равнодействующей активных сил переносим в точку пересечения линий действия двух остальных реакций и, разлагая по направлениям их действия  находим искомые величины двух последних реакций.

Если твердое тело находится в равновесии под действием заданной плоской системы сил и двух реакций, причем для одной реакции известна только точка приложения  а для второй — линия действия  то рекомендуется такая последовательность действий (второй вариант):

• 1) складываем последовательно графически все известные активные силы и получаем их равнодействующую;
• 2) переносим равнодействующую в точку пересечения ее линии действия с линией действия второй реакции 
• 3) в точке пересечения разлагаем равнодействующую на две составляющие: одну по линии действия второй реакции, а другую по направлению к точке  Первая составляющая определяет вторую реакцию, а вторая составляющая — величину и направление реакции в точке 

Задача 1.55. Вертикальный гладкий стержень  весом Р опирается в точках  (рис. а) на цилиндрические шарниры, а концом  на гладкую плоскость, наклоненную к горизонту под углом 

Определить графически реакции в точках  если 

Решение:

Для определения реакций в точках  рассмотрим равновесие стержня  11а стержень действует одна активная сила — сила тяжести Р, направленная по стержню. Стержень находится в равновесии под действием четырех сил: веса Р, реакций наклонной плоскости и цилиндрических шарниров  Применяя закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно связи и заменим их действие на стержень реакциями (рис. б).

Реакция гладкой наклонной плоскости  приложена в точке  и направлена перпендикулярно к поклонной плоскости. Реакция цилиндрического шарнира направлена перпендикулярно к оси шарнира, так как перемещению вдоль оси такой шарнир не препятствует. Обозначим эти реакции (рис. б). Таким образом, стержень  находится в равновесии как свободное твердое тело, на которое действуют четыре силы: 

Продолжаем линии действия реакций  до их пересечения в точке (рис. б). Линия действия равнодействующей этих двух сил проходит через точку К. Линии действия двух других сил  пересекаются в В. Следовательно, линия действия их равнодействующей проходит через точку В.

Итак, все силы, действующие на стержень  приведены к двум силам, одну из которых перенесем по линии действия в К, а другую— в В. Таким образом, стержень  находится в равновесии под действием двух сил, приложенных и В и К. Следовательно, эти силы направлены но одной прямой ВК в противоположные стороны.

Откладываем (рис. в) в избранном масштабе известную по величине и направлению силу Р. К ее концу присоединяем силу  конец которой находится в точке пересечения с прямой, параллельной ВК

и проведенной из начала силы Р. При этом условии равнодействующая сил  а будет направлена от В к К.

Затем из конца силы  проводим горизонтальную прямую, соответствующую линии действия силы  до пересечения с линией, параллельной  и проведенной из начала силы Р. Равнодействующая сил  направлена при этом от К и В. Таким образом, графически определены реакции  Замечая, что угол между  и вертикалью равен  находим:

Задача может быть решена и аналитически. Замечая, что  составляем три уравнения равновесия (ось х направляем по горизонтали вправо, ось у—вертикально вверх):

Решая совместно полученную систему уравнений, находим:

Применение метода веревочного многоугольника к плоской системе сил

Сложение сил, расположенных в одной плоскости, при помощи метода веревочного многоугольника, является столь же общим методом решения задач статики на плоскости, как и аналитический, рассмотренный ранее.

Для графического сложения сил    обходимо изобразить силы на рисунке (рис. 1.45, а). Далее, строим силовой многоугольник(рис. 1.45,6), откладывая из произвольной точки вектор, равный первой силе  из его копна вектор  и из конца вектора  вектор  Начало первой силы соединяем вектором  с концом последней силы. Вектор  определяет величину и направление равнодействующей.

Для нахождения линии действия равнодействующей выбираем произвольную точку О за полюс и соединяем полюс с началом и концом каждой силы прямыми линиями, называемыми лучами. Первый луч обозначается через  луч, идущий в конец первой и начало второй силы, 1 — 2, и т. д. вплоть до последнего луча, обозначенного через 

Далее (рис. 1.45, а) проводим из произвольной точки  прямую, параллельную лучу  до пересечения с линией действия силы  из этой точки проводим прямую, параллельную лучу 1— 2, до пересечения с линией действия силы  из этой точки проводим прямую,

параллельную лучу 2—3, до пересечения с линией действия последней силы  Из этой точки проводим прямую, параллельную лучу  Далее, продолжаем полученные лучи  до их пересечения в точке В, которая и является одной из точек, лежащих на линии действия равнодействующей. Перенеся в точку В найденный из многоугольника сил вектор  можем считать задачу о нахождении равнодействующей системы сил  разрешенной. Построенная на рис. 1.45, а ломаная линия называется веревочным многоугольником. Этот метод решения применим для любого числа сил, лежащих в одной плоскости.

Если система сил находится в равновесии, то силовой многоугольник и веревочный многоугольник должны быть замкнуты. Следовательно, на рис. 1.45, вконец последней силы должен совпасть с началом первой силы; па рис. 1.45, а лучи  должны быть направлены но одной прямой. Система сил приводится к паре сил, если силовой многоугольник замкнут, а веревочный многоугольник не замкнут. В этом случае в силовом многоугольнике лучи а и ш сольются в одну прямую, а в веревочном многоугольнике лучи  и  будут параллельны друг другу.

При решении задач на определение равнодействующей плоской системы сил способом веревочного многоугольника рекомендуется такая последовательность действий:

• 1) изображаем в избранном масштабе на рисунке твердое тело с приложенными к нему силами;
• 2) строим отдельно силовой многоугольник и находим его замыкающую 
• 3) выбираем произвольную точку за полюс и соединяем ее с вершинами силового многоугольника прямыми линиями — лучами, обозначаемыми 
• 4) строим на первом рисунке, где изображено твердое тело с приложенными силами, веревочный многоугольник;
• 5) продолжая до пересечения лучи веревочного многоугольника, находим точку на линии действия равнодействующей;
• 6) через полученную точку проводим равнодействующую  параллельно главному вектору силового многоугольника.

При решении задач на определение реакций опор твердого тела, находящегося в равновесии под действием плоской системы сил, следует придерживаться такого порядка действий:

• 1)  изображаем в избранном масштабе твердое тело с активными силами;
• 2)  отбросив мысленно опоры, заменяем их действие искомыми реакциями;
• 3) строим на отдельном рисунке силовой многоугольник, из которого определяется сумма искомых реакций, но не каждая из них;
• 4) выбирая производлльную точку за полюс, соединяем ее лучами с вершинами силовою многоугольника;
• 5) строим на первом рисунке веревочный многоугольник, замыкая который, находим направление недостающего луча, разделяющего реакции опор;
• 6) перенося найденное направление недостающего луча па рисунок силового многоугольника, находим каждую из искомых реакций опор.

Задача 1.56. На балку  действуют силы:  Силы  направлены по вертикали. Силы  действуют соответственно под углами 60° и 30° к балке (рис. а).

Определить построением веревочного многоугольника равнодействующую данной системы сил.

Решение:

Для определения равнодействующей данной системы сил строим силовой многоугольник (рис. б). Для этого в избранном масштабе для сил из произвольно выбранной точки с (рис. б) проводим вектор, по величине и направлению равный силе  из в конца этого вектора проводим второй вектор, по величине и направлению равный силе  из конца этого вектора откладываем вектор,  равный  и из конца последнего откладываем вектор, равный  Построенный силовой многоугольник оказался незамкнутым; следовательно, силы приводятся к равнодействующей.

Соединив  начало вектора  с концом вектора находим вектор  замыкающий силовой многоугольник; этот вектор по величине и направлению равен равнодействующей данной системы сил. При обходе силового многоугольника все составляющие силы направлены в одну сторону, тогда как вектор  направлен в противоположную.

Чтобы найти точку приложения равнодействующей, строим веревочный многоугольник. Для этого из произвольно выбранной точки О (рис. б) проводим луч  в начало вектора  луч 1—2 в начало вектора  луч 2—3 в начало вектора  и луч 3—4 в начало вектора  В конец вектора  проводим луч  Из произвольной точки  (рис. в) вблизи силы проводим прямую, параллельную лучу  до пересечения ее с линией действия силы  Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 1—2, до пересечения ее с линией действия силы  Из точки пересечения этих линий проводим прямую, параллельную лучу 2—3, до пересечения ее с линией действия силы  и из этой точки проводим прямую, параллельную лучу 3—4, до пересечения с линией действия силы  Из точки пересечения луча 3—4 с линией действия силы  проводим прямую, параллельную лучу 

Продолжая прямые, параллельные лучам  до их пересечения в точке е, проводим через точку е прямую, параллельную вектору  Точку пересечения этой прямой с балкой обозначим через  Это и есть точка приложения равнодействующей заданных сил на балке АВ.

Измеряя длину вектора  находим, пользуясь избранным масштабом, величину равнодействующей. Она равна 17,4 Т. Принят масштаб  в 1 мм.

Задача 1.57. Балка АВ (рис. а) длиной 12 м закреплена шарнирно концом А и опирается концом В на опору, установленную на катках. К балке приложены силы: Расстояния: 

Определить построением веревочного многоугольника реакции опор А и В.

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ. На балку действуют активные силы:  Применяя закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно опоры А и В и заменим их действие реакциями. Реакция опоры В, установленной на катках, направлена перпендикулярно к плоскости, на которую опираются катки, т. е. по вертикали вверх. Направление реакции шарнира А, вообще говоря, неизвестно, но так как все силы, действующие на балку, направлены вертикально, то ясно, что и реакция шарнира А должна быть вертикальной; если бы эта реакция не была вертикальной, то ее составляющая по горизонтали ничем не уравновешивалась бы и равновесие балки было бы невозможно.

Обозначим реакцию опоры А через  реакцию опоры В через  и построим силовой многоугольник для пяти сил, действующих на балку. Из произвольно выбранной точки с (рис. б) проводим в некотором масштабе вектор, изображающий силу  из конца этого

вектора проводим второй вектор, изображающий силу  и аналогично изображаем силу 

Реакции опор  известны только по их направлениям. Ввиду того, что балка находится в равновесии, силовой многоугольник должен быть замкнут и конец вектора  должен совпадать с началом вектора  (в точке с), а начало вектора — с концом вектора  (и точке  Таким образом, вектор суммы реакций известен. Для определения величии каждой из слагаемых этой суммы проведем из произвольно выбранной точки о луч А 4—1 в начало вектора  и конец вектора  луч 1 — 2 в начало вектора 

луч 2 — 3 в начало вектора  луч 3 — В в начало вектора  (совпадающее с концом вектора  в точке  Направление луча В — А неизвестно, так как неизвестны величины реакций 

Далее переходим к построению веревочного многоугольника. Для этого из точки е (рис. в) на линии действия реакции  проводим прямую, параллельную лучу А — 1, до пересечения ее с линией действия силы  из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 1— 2, до пересечения с линией действия силы  таким же образом проводим прямые, параллельные лучам 2 — 3, 3 — В, до пересечения их с линиями действия сил  и реакций 

Так как система сил находится в равновесии, то веревочный многоугольник должен быть замкнут, и, следовательно, прямая между линиями действия реакций  должна проходить через точку е. Теперь мы можем провести из полюса о луч В—А, параллельный этой прямой; он поделит отрезок  на отрезки, равные реакциям  (для наглядности на рис. б реакции  смешены несколько влево). Измеряя найденные величины реакций в принятом масштабе, находим их значения: 

Задача 1.58. На балку АК, находящуюся в равновесии, шарнир по закрепленную в точке А и свободно опертую при помощи катков в точке В, действуют силы:  пара сил момент которой равен  и распределенная нагрузка интенсивностью 

Определить с помощью построения веревочного многоугольника реакции опор А и В (рис. а). Размеры заданы: 

Решение:

Для определения реакций опор, применяя закон освобождаемого от связей, мысленно отбрасываем опоры и заменяем их

действие на балку реакциями опор  (рис. в). Обе реакции направлены вертикально вверх, так как все активные силы направлены вертикально вниз, а сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. Так как действие пары сил не изменится, если перенести ее в любое место плоскости, сохранив момент пары неизменным, заменим пару силами  равными по модулю  каждая и приложенными соответственно в точках  расположенных на расстоянии 2 м друг от друга. Сила  равная  и приложенная в точке С, уравновесится силой  равной  и в дальнейшем в расчет приниматься не будет.

Чтобы решить задачу с помощью веревочного многоугольника, распределенную нагрузку необходимо заменить сосредоточенной силой  Модуль этой силы равен

и приложена она в точке N в середине отрезка ЕВ. 

Переходим к построению силового многоугольника. Для этого из произвольной точки  (рис. б) откладываем в выбранном масштабе вектор, но модулю и направлению равный силе  Из конца этого вектора проводим вектор, по модулю и направлению равный силе  Из конца этого вектора проводим вектор, равный силе  Ввиду того, что балка находится в равновесии, многоугольник сил должен быть замкнут, и поэтому начало вектора, соответствующего реакции  должно совпадать с концом вектора, соответствующего силе  а конец вектора, соответствующего реакции  — с началом силы  в точке  Для наглядности реакции  (рис. б) проведем несколько левее. Затем из произвольно выбранной точки о проводим луч А — 3 в начало вектора  луч 3— 2 в начало вектора  луч 2 — 5 в начало вектора  луч 5 — В и начало вектора  луч В — А в начало вектора  провести пока нельзя, так как неизвестны модули сил 

Далее переходим к построению веревочного многоугольника. Для этого из произвольной точки М (рис. в) на линии действия реакции  проводим прямую, параллельную лучу А — 3, до пересечения с линией действия силы  Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 3 — 2, до пересечения ее с линией действия силы  Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 2—5, до пересечения ее с линией действия силы  Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 5 — В, до пересечения ее с линией действия силы  Так как рассматриваемая система сил находится в равновесии, веревочный многоугольник должен быть замкнут. Поэтому прямая между линиями действия сил  должна пройти через точку М, лежащую на направлении силы (рис. в). Теперь можно провести луч В — А параллельно этой прямой из точки о (рис. б). Этот луч разделит отрезок  на секторы, равные реакциям  Измерив эти векторы и умножив на выбранный масштаб, находим, что 

Задача 1.59. На балку АВ, шарнирно закрепленную в точке А и опертую при помощи катков в точке В, действуют силы  силы  направлены но вертикали. Силы  направлены соответственно под углами 60° и  к балке.

Определить построением веревочного многоугольника реакции опор (рис. а).

Решение:

Для определения реакций опор применяем закон освобождаемости от связей, отбрасываем мысленно опоры и заменяем их действия реакциями  Реакция  направлена но вертикали вверх, так как опора В установлена на катках и, следовательно, не может препятствовать перемещению вдоль плоскости, на которую опираются катки. Реакция шарнира  может быть любого направления (рис. в).

Для определения реакций опор способом веревочного многоугольника строим сперва с выбранном масштабе силовой многоугольник для активных сил и реакций опор. Активные силы известны по величине и направлению, реакция опоры  известна только по направлению ,реакция опоры  не известна ни но величине, пи по однако можно сказать, что конец ее в силовом многоугольнике должен совпасть с началом силы  так как балка находится в равновесии и силовой многоугольник должен быть замкнут.

Из произвольной точки с (рис. б) проводим вектор, по величине и направлению равный силе  из конца этого вектора проводим вектор, но величине и направлению равный силе  Таким же образом проводим векторы, по величине и направлению равные силам  Из конца вектора, равного силе  проводим направление реакции котором должен лежать конец вектора, равного реакции 

Дальше из произвольного полюса о проводим луч А — 1 в начало вектора  луч 1 — 2 в начало вектора  луч 2 — 3 в начало вектора  луч 3 — 4 в начало вектора  и луч 4— В в начало вектора  Луч В — А в начало вектора  провести нельзя, так как величина реакции неизвестна.

Для определения величины реакции  переходим к построению

веревочного многоугольника. Для этого проводим через точку А (рис. в) (так как эго единственная известная точка на линии действия реакции  прямую, параллельную лучу А — 1, до пересечения се с линией действия силы Через эту точку пересечения проводим прямую, параллельную лучу 1 — 2, до пересечения ее с линией действия силы Через эту точку пересечении проводим прямую, параллельную лучу 2— 3, до пересечения ее с линией действия силы  Таким же образом проводим прямые, параллельные лучам 3 — 4 и 4 — В, до пересечения их с линиями действия сил 

Прямая, параллельная лучу 4 — В, пересекает направление реакции  в точке 

Ввиду того, что при равновесии системы веревочный многоугольник должен быть замкнут, соединяем точку  с точкой А, где было начато построение веревочного многоугольника. Теперь можно провести луч В — А через полюс о (рис. б) параллельно прямой  Луч В — А пересекает направление реакции  в точке е, которая и определяет конец вектора  Величина и направление реакции  найдутся, если соединить конец вектора  с началом вектора  Измерив отрезки, изображающие реакции, и учтя принятый масштаб, найдем 

Для приобретения навыков в решении задач на равновесие тел и сложение сил способом веревочного многоугольника рекомендуется решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике».

Расчет усилий в стержнях фермы

Способ вырезания узлов. Фермой (рис. 1.46) называется геометрически неизменяемая конструкция, образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом концами при помощи шарниров. Шарнирные соединения концов стержней называются узлами. Ферма является статически определимой, если число узлов п и число стержней  удовлетворяют уравнению

Если число стержней не удовлетворяет этому равенству, то возможны два случая:

ферма является в этом случае статически неопределимой;

конструкция перестает быть геометрически неизменяемой, получает подвижность (становится механизмом).

Расчет усилий в стержнях фермы методами статики (в том числе и графостатики) может быть произведен только для статически определимых ферм *).

В дальнейшем мы будем полагать, что заданные активные силы приложены в узлах фермы и лежат в одной плоскости с фермой, трение в шарнирах отсутствует. При выполнении этих условий стержни будут или сжаты, или растянуты, следовательно, реакции стержней будут совпадать по направлению со стержнями.

Расчет статически определимых ферм проводится одним из трех способов:

• а) способом вырезания узлов;
• б) построением диаграммы Максвелла — Кремоны,
• в) методом сечений.

Расчет сводится к определению усилий в стержнях фермы. Активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях в этом случае— внутренние силы. Поэтому для определения усилий необходимо, согласно общему правилу, рассмотреть равновесие части фермы, для которой искомые усилия являются внешними силами.

При расчете ферм способом вырезания узлов можно пользоваться аналитическим и графическим методами.

При аналитическом методе решения задач на расчет ферм способом вырезания узлов надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Затем:

• 5)определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело, или при помощи веревочного многоугольника;
• 6) вырезать узел, в котором сходятся два стержня, и рассмотреть его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней; определить эти реакции из двух уравнений проекций сил, приложенных к узлу, на декартовы оси координат;
• 7) переходя от узла к узлу, рассматривать аналогично равновесие каждого узла; при этом в каждом узле должно быть только два неизвестных усилия в стержнях; составляя для каждого узла два уравнения равновесия в проекциях на оси хну, определить все искомые усилия в стержнях.

Задача 1.60. Определить усилия в стержнях фермы (рис. а) аналитическим методом вырезания узлов.

 

Решение:

Для определения усилий в стержнях сначала надо найти реакции опор А и Н. Для этого мысленно отбрасываем опоры и заменяем их действие па ферму реакциями  Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опор равны друг другу и каждая по величине равна  Когда реакции опор определены, переходим к определению усилий в стержнях. Для этого надо рассматривать равновесие каждого узла, мысленно отбросив сходящиеся в них стержни и заменяя их действие па узел реакциями. Первым надо рассмотреть узел, к которому приложены только две неизвестные силы. Начнем с узла А. Узел А находится и равновесии под действием известной реакции  и неизвестных реакции стержней  Будем обозначать реакции стержней соответственно через  (рис. б) и направлять их от узла, предполагая таким образом, что стержни растянуты. Затем через точку А проводим оси х и у  и составляем систему уравнений равновесия узла А, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на эти оси.

Уравнение проекций на оси х и у будут:

Отсюда находим:

Отрицательное значение реакции  показывает, что в действительности она направлена в противоположную сторону и стержень 1 не растянут, как мы предполагали, а сжат.

Теперь переходим к исследованию равновесия узла В. В узле В сходятся три стержня, из которых стержни 1 и 3 направлены по одной прямой, а стержень 4 под углом к ним. Никаких активных сил к узлу В не приложено. Следовательно, точка В находится в равновесии под действием трех реакций стержней. Это возможно только и случае, если усилие в стержне 4 равно нулю, так как только оно проектируется на направление, перпендикулярное к стержням 1 и 3. Итак, усилия в стержнях 1 и 3 одинаковы, а усилие в стержне 4 равно нулю.

Переходим к узлу С. Узел С находится в равновесии под действием двух неизвестных реакций  активной силы и известной реакции  которая по величине равна реакции  приложенной к узлу А, по направлена в противоположною сторону (рис. с). Проводим оси координат через точку С и составляем уравнения равновесия для узла С.

Уравнения проекций на оси х и у будут:

Отсюда находим:

Следовательно, стержни 5 и 6, как мы и предполагали, растянуты.

Ввиду полной симметрии фермы и приложенной в узлах нагрузки достаточно определить усилия в стержнях левой половины фермы. Так, например, усилия в стержнях 1 и 11, 2 и 10 будут ввиду симметрии равными.

Задача 1.61. Определить графически усилия в стержнях фермы (рис. а) способом вырезания узлов.

Решение:

Для определения усилий и стержнях фермы необходимо сперва найти реакции опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями  Эти реакции направлены по вертикали вверх, так как активные силы направлены по вертикали вниз. Кроме того, опора Е может воспринимать только вертикальные усилия. Для определения величины реакций

рассмотрим ферму как твердое тело, находящееся в покое под действием активных сил, включая реакции опор (рис. б). Уравнение моментов относительно точки А будет:

откуда

Уравнение моментов относительно точки Е будет:

откуда

Определив реакции опор, переходим к нахождению усилий в стержнях. Обозначим стержни цифрами 1, 2, 3, ..., 7.

Первым вырежем тот узел, в котором имеется только две неизвестные силы, например узел А. К узлу А приложены три силы: реакция опоры  реакции  перерезанных стержней 1, 2. Реакция  известна по величине и направлению, реакции стержней направлены вдоль стержней, но величина их неизвестна. Напомним, что совпадение направления реакций со стержнями соблюдается всегда, если прямолинейные стержни закреплены шарнирно своими концами и все силы приложены только в узлах.

Для определения величины реакций стержней строим треугольник сил, откладывая их в том порядке, в каком они встречаются при обходе узла по часовой стрелке. Первой откладываем в масштабе известную величину  (рис. в), из ее конца и начала проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пересечения. Стороны полученного треугольника определяют реакции  Чтобы найти их направление, обходим треугольник сил в направлении, указанном известной силой  При равновесии узла стрелки в замкнутом силовом многоугольнике идут в одном направлении. Перенося реакцию на стержень  находим, что она направлена к узлу, следовательно, стержень  сжат. Перенося реакцию  на стержень 2, находим, что она направлена от узла А, следовательно, стержень 2 растянут.

Следующим вырезаем узел В. К нему приложены четыре силы: две неизвестные реакции  стержней 3 и 4, известная реакция стержня /, которая равна по величине реакции  приложенной к узлу А, по направлена в противоположную сторону (обозначим ее через  активная сила Р. Строим многоугольник этих сил. Первой откладываем в масштабе силу  (рис. г), к концу ее прикладываем активную силу Р, а затем через конец силы Р проводим прямую, параллельную стержню 4, а через начало силы  — прямую, параллельную стержню 3, до их пересечения. Стороны полученного четырехугольника определяют реакции  Чтобы найти их направление, обходим четырехугольник в направлении, указанном известными силами. Перенося реакцию  на стержень 3, находим, что она направлена от узла В, следовательно, стержень 3 растянут. Перенося реакцию  на стержень 4, находим, что она направлена к узлу В, следовательно, стержень 4 сжат.

Следующим вырезаем узел С. К нему приложены четыре силы: две неизвестные реакции  стержней 5 и 6 и две известные реакции стержней 2 и 3, которые по величине равны реакциям  и  приложенным соответственно к узлам А и В, по направлены в противоположные стороны (обозначим их через  Строим многоугольник этих сил. Первой откладываем известную силу  к ней прибавляем также известную силу  затем через конец силы  и начало силы проводим прямые, параллельные стержням 5 и 6, до их пересечения. Обходя полученный многоугольник сил п направлении, указанном известными силами, находим направление реакций  Перенося реакцию  на стержень 5, находим, что она направлена к узлу С, следовательно, стержень 5 сжат. Перенося реакцию  на стержень 6, находим, что она направлена от узла С, следовательно, стержень 6 растянут.

Следующим вырезаем узел D. К нему приложены четыре силы: одна неизвестная реакция стержня 7, активная сила 2Р и известные реакции  которые равны по величине реакциям  приложенным соответственно к узлам В и С, но направлены в противоположные стороны (обозначим их через  Строим многоугольник сил. Первой откладываем силу  (рис. е), к ней присоединяем силу  и активную силу 2Р. Затем соединяем конец силы 2Р с началом силы  и получаем искомую реакцию  Перенося реакцию на стержень 7, находим, что она направлена к узлу D. Следовательно, стержень 7 сжат. Построение этого многоугольника одновременно служит проверкой правильности построения всех многоугольников, так как найденная сила  должна быть параллельна стержню 7, если построение сделано верно.

Определение усилий в стержнях фермы построением диаграммы Максвелла — Кремоны

Способ вырезания узлов, рассмотренный в предыдущем пункте, позволяет сравнительно просто найти усилия в стержнях фермы. К недостаткам этого способа следует отнести повторное построение усилий в стержнях, которые один раз провозятся в одном направлении, а другой раз — в противоположном. Кроме того, построение силовых многоугольников для каждого узла в отдельности не создает общей картины распределения усилий в стержнях фермы. Определение усилий построением диаграммы Максвелла — Кремоны позволяет устранить эти недостатки.

Построение диаграммы Максвелла — Кремоны заключается в соединении силовых многоугольников, построенных для всех узлов фермы, в один чертеж так, чтобы ни одно из усилий не повторялось дважды.

При расчете фермы способом Максвелла — Кремоны следует придерживаться следующих правил и последовательности действий:

• 1) определяем из условий равновесия всей фермы как твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил, опорные реакции; это делается графически, построением веревочного многоугольника, причем результат затем проверяется аналитически, при помощи уравнений равновесия;
• 2) отбрасываем опоры и изображаем все приложенные к ферме внешние силы, включая реакции опор, так, чтобы эти векторы располагались вне контура фермы;
• 3) части плоскости, ограниченные контуром фермы и линиями действия внешних сил, обозначаем буквами; обозначаем буквами также части плоскости, ограниченные стержнями фермы; узлы фермы обозначаем римскими цифрами; стержни нумеруем арабскими цифрами;
• 4) строим замкнутый многоугольник внешних сил, откладывая силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе фермы; направление обхода выбирается произвольно (но часовой или против часовой стрелки); силы обозначаем двумя малыми буквами тою же наименования, что и большие буквы, обозначающие смежные участки плоскости, между которыми проходит линия действия данной силы;
• 5) последовательно строим на этом же рисунке замкнутые силовые многоугольники для каждого узла; при этом узлы выбираем в таком порядке, чтобы каждый раз число неизвестных усилий в стержнях равнялось двум (в последнем узле получится при этом одно неизвестное усилие); обход каждого узла делаем в том же направлении, которое было избрано для внешних сил (по часовой или против часовой стрелки); в этом же порядке откладываем встречающиеся внешние силы и усилия в стержнях;
• 6) для определения того, сжат или растянут стержень, в каждом замкнутом силовом многоугольнике мысленно направляем стрелки в одном направлении, указанном известными силами, и переносим найденное усилие на стержень; стержень сжат, если усилие направлено к узлу, и растянут, если усилие идет от узла;
• 7) измеряем на диаграмме отрезки, изображающие искомые усилия в стержнях фермы, и находим, учитывая принятый масштаб сил, величины усилий.

Задача 1.62. Определить усилия в стержнях фермы (рис. а) построением диаграммы Максвелла — Кремоны.

Решение:

Для определения усилий в стержнях фермы необходимо прежде всего найти реакцию опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями. Реакция опоры В направлена по вертикали вверх, так как опора установлена на катках, которые не могут препятствовать перемещению вдоль плоскости, на которую опираются катки. Величина и направление реакции опоры А неизвестны, поэтому найдем ее составляющие по осям х и у. Для этого составим уравнения равновесия фермы как свободного твердого тела, находящегося в равновесии под действием актив-пых сил и реакций опор.

Уравнение моментов относительно точки А будет:

откуда

Уравнения проекций на оси х и у будут:

откуда

Тогда модуль реакции шарнира А равен

Определим направление реакции опоры А. Для этого найдем угол  образованный реакцией с осью х:

откуда

После того как реакции опор найдены, можно перейти непосредственно к построению диаграммы Максвелла — Кремоны.

Изображаем все приложенные к ферме внешние силы, включая реакции опор, так, чтобы их векторы расположились вне контура фермы (рис. б). Части плоскости, ограниченные контуром фермы и линиями действия внешних сил, обозначим буквами  плоскости, ограниченные стержнями фермы, обозначим буквами  узлы фермы обозначим римскими цифрами  стержни нумеруем арабскими цифрами 1—9.

Строим вначале многоугольник внешних сил (рис. в), который должен быть замкнут, так как ферма находится в равновесии. Откладываем силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе фермы но часовой стрелке, и обозначаем их двумя малыми буквами, соответствующими тем большим буквам, которыми обозначены две смежные области, разграниченные линией действия данной силы при обходе фермы по часовой стрелке. Откладываем в масштабе вектор  соответствующий реакции  к нему прибавляем вектор  соответствующий силе Р, таким же образом откладываем векторы  соответствующие силам 

Получив замкнутый многоугольник внешних сил, приступаем к построению .многоугольников сил, приложенных к узлам фермы, начиная с того узла, в котором есть только две неизвестные силы, например с узла  Многоугольники строим, также обходя узлы по часовой стрелке и обозначая усилия в стержнях двумя малыми буквами, соответствующими тем большим буквам, которыми обозначены дне смежные области, разграниченные данным стержнем. Согласно принятым обозначениям многоугольник сил, приложенных к узлу должен состоять из векторов  соответствующих но величине и направлению силе  усилиям стержней 1, 4.

Поскольку все стержни прямолинейны, соединены между собой шарнирами и внешние силы приложены только к узлам, то усилия в каждом стержне направлены вдоль стержня, так как он находится

в равновесии под действием только двух сил, реакций шарниров. Стержень при указанных условиях может быть только сжат или растянут.

Вектор  на рисунке уже есть; чтобы найти векторы  достаточно через точку с провести прямую, параллельную стержню  а через точку  — прямую, параллельную стержню 4, и в точке их пересечения поставить букву 

Переходим к узлу III. Многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов Векторы  на рисунке уже есть; чтобы найти векторы  достаточно провести через точку  прямую, параллельную стержню 7, а через точку  прямую, параллельную стержню 2, и в точке их пересечения поставить букву 

Переходим к узлу II. Многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов  Векторы  на рисунке уже есть; чтобы найти векторы  проводим через точку е прямую, параллельную стержню 5, а через точку і — прямую, параллельную стержню 8, и в точка их пересечения ставим точку 

Переходим к узлу V. Многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов  Векторы   на рисунке уже есть; чтобы найти векторы  проводим через точку  прямую, параллельную стержню 9, а через точку —прямую, параллельную стержню 3, и в точке их пересечения ставим букву 

Многоугольник сил, приложенных к узлу IV, должен состоять из векторов  Векторы  на рисунке уже есть; чтобы найти вектор  соединяем прямой точку  с точкой е. Эта прямая должна быть параллельна стержню 6, так как вектор  соответствует усилию и стержне 6. Таким образом, параллельность этого вектора стержню 6 является проверкой правильности построения диаграммы.

Переходя к узлу VI, видим, что многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов  которые уже есть на рисунке. Таким образом, усилия всех девяти стержней найдены и осталось только определить, какие стержни растянуты и какие сжаты. Для этого векторы силовых многоугольников каждого узла мысленно переносим на соответствующие стержни и определяем, куда они направлены: если к рассматриваемому узлу, значит, стержень сжат, если от узла — растянут. Силовой многоугольник  характеризует равновесие узла  Силы в этом треугольнике направлены от от  Следовательно, вектор  направлен к узлу  значит, стержень 4 сжат; вектор  направлен от узла  значит, стержень 1 растянут. Силовой четырехугольник  характеризует равновесие узла III. Силы в этом четырехугольнике направлены от   следовательно, вектор  направлен от узла III, значит, стержень 7 растянут; вектор  направлен от узла III, следовательно, стержень 2 растянут. Рассуждая таким образом дальше, находим, что стержни 3, 9 также растянуты, а стержни 5, 6, 8 сжаты. Чтобы найти величины усилий стержней, измеряем их на диаграмме и умножаем па масштаб сил.

Определение усилий в стержнях фермы методом сечений

Рассмотренный способ расчета фермы путем построения диаграммы Максвелла — Кремоны является графическим приемом. В отличие от него метод разрезов фермы позволяет определить усилия в стержнях аналитически.

При расчете ферм методом сечений рекомендуется такая последовательность действий:

• 1) определяем опорные реакции, рассматривая равновесие фермы как твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил;
• для этого составляем три уравнения равновесия или применяем способ веревочного многоугольника;
• 2) разрезаем мысленно ферму, к которой приложены все внешние силы, на две части так, чтобы число разрезанных стержней не превышало трех, и заменяем действие отброшенной части искомыми усилиями стержней, полагая все стержни растянутыми;
• 3) составляем уравнения равновесия для части фермы так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие; для этого составляем уравнения моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестны к усилий; если два стержня параллельны, то составляем уравнение проекций на ось, перпендикулярную к этим стержням, в которое также войдет одно неизвестное усилие;
• 4) решая каждое из составленных уравнений, находим искомой усилие в стержнях; если в ответе получается знак минус, то это означает, что стержень сжат, а не растянут.

Задача 1.63. Определить усилия в стержнях фермы методом сечений (рис. а).

Решение:

Для определения усилий в стержнях фермы сначала надо определить реакции опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями  Рассматриваем

ферму как твердое тело, находящееся в равновесии под действием семи активных сил и двух неизвестных реакций опор. Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опор равны друг другу и каждая по величине равна 6Р.

После того как реакции опор определены, переходим к определению усилий в стержнях фермы. Разрезаем мысленно ферму по стержням, усилия в которых надо определить (рис. б), например но стержням 8, 9, 10, и удаляем правую часть фермы, заменив действие ее реакциями стержней  Направим эти реакции вдоль перерезанных стержней от узлов  предположив таким образом, что стержни 8, 9, 10 растянуты. Теперь левая часть фермы (рис. б)

находится в равновесии под действием реакции опоры  трех активных сил и реакции стержней  Чтобы найти величины этих реакций, составим уравнения равновесия- для левой части фермы, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно точек  в которых пересекаются линии действия двух искомых неизвестных сил. Благодаря этому уравнение моментов будет содержать только одно неизвестное. Так, уравнение моментов относительно точки  будет:

откуда

Отрицательное значение величины реакции  говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т. е. к узлу Е, и, следовательно, стержень 8 сжат. Уравнение моментов относительно точки  будет:

откуда

Стержень 10, как мы и предполагали, растянут.

Так как усилия  параллельны, то не существует точки их пересечения, поэтому для определения усилия  вместо уравнения моментов составляем уравнение проекций всех сил на вертикальную ось, перпендикулярную к стержням 8 и 10 :

откуда

Отрицательное значение реакции  говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т. е. к узлу  и стержень 9 сжат. Аналогично могут быть определены методом сечений усилия в любых стержнях этой фермы.

Пространственная система сил

Пространственная cистема сил – система сил, линии действия которых расположены в пространстве.

Система сходящихся сил

Пространственная система сходящихся сил, подобно плоской, также приводится к равнодействующей 

Равнодействующая  пространственной системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия слагаемых сил и является замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на этих силах, т. е.

В отличие от соответствующей плоской задачи силовой многоугольник не является плоским, т. е. он представляет собой ломаную пространственную линию.

Проекции равнодействующей силы  на оси декартовых координат х, у,  равны суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси, т. е.

Модуль равнодействующей  равен

направляющие косинусы даются формулами:

Для равновесия твердого тела, к которому приложена пространственная система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю:  т. е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид:

Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех (предполагается, что все силы не лежат на одной прямой или в одной плоскости). Так, если известны направления всех сил, то можно определить модули трех сил.

При решении задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием пространственной  системы сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале. Затем:

• 5) убедиться в том, что задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных величин не более трех;
• 6) выбрать систему осей декартовых координат .с, У, г;
• 7) составить уравнения равновесия (5*) твердою тела в проекциях на оси декартовых координат;
• 8) решить полученную систему уравнений, т.е. определить неизвестные величины.

Если требуется найти равнодействующую пространственной системы сходящихся сил, то после выполнения первых шести пунктов следует определить проекции     равнодействующей  по формулам (2*), затем вычислить модуль равнодействующей  и направляющие косинусы по формулам (3*), (4*).

Начало осей декартовых координат рекомендуется выбрать в точке пересечения линий действия слагаемых сил, а координатные оси направить параллельно либо перпендикулярно к большинству этих сил.

Иногда при определении проекции силы на координатную ось, например силы  на ось х, бывает неизвестен угол между осью х и линией действия силы, но зато задан угол   образованный силой  и координатной плоскостью ху (рис. 2.1), а также угол  между осью проекций х и проекцией  силы  на координатную плоскость ху. (Не следует забывать, что, в то время как проекция силы

на ось является алгебраическом величиной, проекция силы на плоскость есть вектор.) В этом случае для определения проекции  силы  на ось х надо, во-первых, найти проекцию  силы  на координатную плоскость ху, а затем вычислить проекцию вектора  на ось х, т. е.

Аналогично проекция силы  на ось у имеет вид

Далее,

Итак,

Не следует смешивать понятия проекции силы на ось и составляющей силы (рис. 2.2). Составляющая силы является век юром, равным произведению соответствующей проекции силы на орт оси проекций, т. е.

Разложение силы  по ортам осей декартовых координат имеет вид

Если проекция силы на ось отрицательна, то соответствующая составляющая силы направлена в сторону, противоположную положительному направлению этой оси.

Задача 2.1. Определить равнодействующую пространственной системы сходящихся сил, изображенной на рисунке.

Силы  расположены в плоскости ху, сила  лежит в плоскости  а сила  — в плоскости 

Решение:

Можно определить равнодействующую  как замыкающую сторону силового многоугольника, построенного на силах  Однако этот многоугольник представляет пространственную ломаную и поэтому непосредственное определение модуля и направления вектора  требует либо построения модели, либо применения сложных методов начертательной геометрии.

Эту задачу можно решить значительно проще, воспользовавшись методом проекции. Как известно, проекции равнодействующей  определяются по формулам (2*).

В данном случае эти формулы имеют вид

Вычислим проекции сил   на оси 

Подставив эти значенья в формулы (1), получим:

откуда, использовав заданные в условии числовые значения, находим:

Теперь легко найти модуль равнодействующей 

и ее направляющие косинусы:

откуда

Зная модуль и направление равнодействующей  можно изобразить ее в системе координатных осей 

Задача 2.2. Измерительный прибор весом  установлен па треножнике— трех стержнях  равной длины  соединенных шарниром С (рис. а). Стержни  образуют с вертикалью угол 30°, а стержень АС — угол 45°.

Определить реакции стержней  Размерами прибора и весом стержней пренебречь. Опорные точки расположены в горизонтальной плоскости, причем  

Решение: 

Для определения искомых реакций стержней рассмотрим равновесие прибора С. К прибору приложена одна активная сила — его вес Р, изображенный на рис. б. На прибор наложены три связи — стержни  Применив закон освобождаемости, отбросим мысленно связи и заменим их действие на прибор реакциями. Направим реакции  вдоль соответствующих стержней от концов к их серединам, тем самым предполагая, что стержни растягиваются (при направлении сил  мы воспользовались седьмым примером направления реакций связей, рассмотренным в начале книги, на стр. 14 и 15).    

Теперь мы можем изучить равновесие прибора как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием пространственной системы четырех сходящихся сил:При этом следует составить три уравнения проекций на оси декартовых   координат. Так как число алгебраических неизвестных также равно трем  то задача является статически определенной.

Проведем ось х вдоль линии действия силы Р и выберем начало координат О в точке пересечения оси  с горизонтальной плоскостью, в которой лежат точки  Направим оси х и у в этой плоскости соответственно параллельно и перпендикулярно к вспомогательной прямой 

Составляя уравнения равновесия, мы встретимся с трудностями при проектировании сил  на оси х и у, так как неизвестны углы между линиями действия этих сил и осями х и у. Поэтому предварительно спроектируем силы  на плоскость ху, а затем Э1 и проекции  спроектируем на оси х и у. Модули сил  равны

Для проектирования векторов  на оси х и у займемся определением углов между линиями действия этих сил и осями х и у. Из прямоугольных треугольников  следует, что  — длина каждого из стержней. Так как по условию  также равно  то треугольник  является равносторонним; значит, угол образованный ОВ и осью х, равен 

Переходим к составлению уравнения проекций сил на ось х. Проекции сил  на ось х; равны нулю (сила Р перпендикулярна к оси х, а  лежит в плоскости  перпендикулярной к этой оси). Для вычисления проекций сил  надо векторы  и  спроектировать на ось х. Эти проекции соответственно равны:  Значит, уравнение проекций на ось х имеет вид

Приняв во внимание равенства (1), запишем:

При проектировании сил на ось у мы, кроме проекций сил  и  соответственно равных:  получим также проекцию силы  которая равна —  (сила Р перпендикулярна к оси у). Значит, уравнение проекций на ось у запишется в виде

Учтя равенства (1), получим: 

Легко составить уравнение проекций на ось  так как нам известны углы, образованные линиями действия каждой из сил и осью 

Остается решить систему уравнений (2) — (4). Из уравнения (2) следует  Вычтя (4) из (3) и приняв во внимание, что  получим  Подставив полученные значения  в уравнение (3), находим 

Знаки минус, стоящие в ответах, показывают, что найденные силы направлены не так, как мы их предположительно изобразили на рис. б, а прямо противоположно. Это означает, что стержни  подвержены не растяжению, а сжатию.

Задача 2.3. На гладкой прямоугольной наклонной плоскости  расположенной под углом 30° к горизонту, лежит груз Е весом Р. Груз удерживается ь равновесии посредством двух взаимно перпендикулярных равных по длине тросов  лежащих на наклонной плоскости и прикрепленных к ней в точках А и В.

Определить реакции тросов и наклонной плоскости. Размерами груза пренебречь.

Решение:

Для определения неизвестных рассмотрим равновесие груза Е. К грузу приложена одна активная сила — его вес Р (рис. б). На груз Е наложены три связи: гладкая наклонная плоскость и тросы АЕ и ВЕ. Применив закон освобождаемости от связей, отбросим связи и компенсируем их действие на груз соответствующими реакциями. Так как наклонная плоскость является гладкой, то ее реакция  направлена перпендикулярно к плоскости. Реакции гибких связей направляются по касательным к ним в точках обрыва связей. В данном случае реакции тросов  направлены вдоль  (см. рис. б).

Теперь мы можем рассмотреть равновесие груза Е как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием четырех сил:  образующих пространственную систему сходящихся сил. Для этой системы мы можем составить три уравнения равновесия. Так как число алгебраических неизвестных также равно трем  то задача является статически определенной.

Учитывая, что тросы  и, следовательно, силы  взаимно перпендикулярны, направим оси х и у вдоль линий действия этих сил, а ось  — перпендикулярно к этой плоскости, т. е. вдоль линии действия силы  При этом выборе направлений осей

координат проекции сил  будут либо равны нулю, либо величине соответствующей силы. Некоторые трудности приходится преодолеть лишь при проектировании силы Р, так как нам неизвестны углы, которые образует линия действия силы Р с осями х и у. Поэтому, предварительно спроектировав силу Р на плоскость ху, найдем вектор  (проекция вектора на плоскость также является вектором) и затем уже спроэктрируем на оси х и у. Модуль вектора  равен

Переходим к составлению уравнений равновесия пространственной системы сходящихся сил. Для этого суммы проекций всех сил на оси декартовых координат  надо приравнять нулю. Эти уравнения в данной задаче имеют вид

После подстановки значений проекций сил:

эти уравнения примут вид

Для определения неизвестных остается решить систему уравнений (2) — (4), приняв при этом во внимание равенство (1). Получим 

При составлении уравнений равновесия нам пришлось столкнуться с трудностями при проектировании силы Р на оси х и у, так как предварительно пришлось проектировать Р на плоскость ху. Этих трудностей можно избежать, направив ось  по биссектрисе угла  ось  — по оси  а ось  — так, чтобы вместе с осями  она образовала правую систему осей координат. Теперь сила Р оказывается лежащей в плоскости  и, следовательно, ее проекции на оси  имеют вид

Уравнения равновесия груза в проекциях на оси  запишутся так:

Сравним системы уравнений (2) —(4) и (5) — (7). При тождестве уравнений (4) и (7) составление уравнений (5) и (6) проще и потому предпочтительнее составлению уравнений (2) и (3). Объем же вычислений при решении систем (2) — (4) и (5) — (7) примерно одинаков, поэтому выбор осей координат  является более целесообразным.

Произвольная пространственная система сил

Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости. Согласно основной теореме статики (теореме Пуансо) любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы (главного вектора системы) и пары сил (главного момента системы сил ).

Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве

В случае плоской системы сил момент силы относительно точки был определен как алгебраическая величина: 

При пространственном расположении сил этого определения

недостаточно, так как плоскости, проходящие через линии действия сил и точку, относительно которой вычисляются моменты, различны. Поэтому момент  силы  относительно точки О в пространстве определяют как векторное произведение  где  — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы. Таким образом, вектор  направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей линию действия силы и точку О, так что сила с конца его видна направленной вокруг точки против часовой стрелки (рис. 2.3). Модуль вектора  равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линии действия силы (плечо), т. е.

Момент силы относительно оси  (рис. 2.4) определяется как алгебраическая величина, абсолютное значение которой равно произведению модуля проекции силы  на плоскость Р, перпендикулярную к оси  на расстояние  от точки О пересечения оси с этой плоскостью до линии действия проекции силы на плоскость 

Если с конца оси  видно, что сила  стремится поверить тело вокруг точки О против часовой стрелки, то момент положителен, если по часовой стрелке, то отрицателен, т. е.

Момент силы  изображенной на рис. 2.4, относительно оси  положителен.

Итак, момент силы относительно точки — вектор, момент силы относительно оси — алгебраическая величина. Если точка лежит на оси, то момент силы относительно оси равен проекции момента силы относительно точки на эту ось, т. е. (рис. 2.5).

Зная моменты силы относительно осей декартовых координат  можно определить величину момента силы  относительно начала координат О и его направляющие косинусы но формулам:

причем 

Выражения моментов силы относительно осей декартовых координат через проекции силы на эти оси даются формулами:

Здесь — проекции силы  на оси декартовых координат,  — координаты точки А приложения силы (рис. 2.6).

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы и ось лежат в одной плоскости (рис. 2.7), т. е.:

• а) если сила параллельна оси (при этом проекция  силы  на перпендикулярную к оси плоскость  обращается в нуль: 
• б) если линия действия силы пересекает ось (при этом 

В случае пространственной системы сил главным моментом относительно точки называется векторная сумма моментов всех сил системы относительно той же точки:

Главным моментом пространственной системы сил относительно оси называется сумма моментов всех сил системы относительно этой оси:

Зная главные моменты системы сил относительно осей декартовых координат, можно определить модуль главного момента относительно начала координат О и его направляющие косинусы по формулам:

Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то согласно теореме Вариньона момент равнодействующей силы относительно точки ранен векторной сумме моментов всех сил системы относительно той же точки:

Та же теорема относительно осей декартовых координат формулируется так: момент равнодействующей силы относительно оси ранен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси:

Момент пары сил в пространстве определяется как вектор, перпендикулярный к плоскости пары, причем с конца его пара видна направленной против часовой стрелки (рис. 2.8). Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на расстояние между линиями действия сил (плечо): 

Теория пар в пространстве дается двумя теоремами.

Теорема 1. Пары, векторные моменты которых равны, эквивалентны; следовательно, не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскость, параллельную данной.

Теорема 2. Момент равнодействующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар.

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием пар сил в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов этих пар была равна нулю 

Вычисление моментов сил и главных моментов систем сил относительно осей является важной составной частью решения задач на равновесие твердых тел под действием произвольных пространственных

систем сил, а также задач на приведение этих систем сил к простейшему виду.

Вычисление главных моментов систем сил относительно осей рекомендуется проводить в следующем порядке:

• 1) провести плоскость, перпендикулярную к оси, относительно которой требуется определить главный момент системы сил;
• 2) найти точку пересечения оси с этой плоскостью;
• 3) спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси;
• 4) опустить перпендикуляр (плечо) из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы па плоскость, определенную в предыдущем пункте;
• 5) записать модуль момента силы относительно оси в виде произведения модуля проекции силы на найденное плечо;
• 6) определить знак момента силы относительно оси;
• 7) повторить построения и выкладки, сделанные в третьем, четвертом, пятом и шестом пунктах для каждой из сил системы;
• 8) вычислить главные моменты системы сил относительно осей в виде сумм моментов данных сил относительно этих осей.

Если определение проекции силы па плоскость, перпендикулярную к оси, затруднительно, то следует разложить силу па составляющие. Затем вместо момента силы относительно оси надо, применив теорему Вариньона, вычислить сумму моментов сил составляющих относительно этой оси.

Если этот прием также затруднителен, то надо найти проекции силы  на оси, записать координаты  точки приложения силы и вычислить моменты силы относительно осей декартовых координат по формулам (3*).

Если оси декартовых координат в условии задачи не залаиы, то целесообразно выбрать эти оси так, чтобы моменты возможно большего числа сил обратились в нуль. Значит, надо направить оси параллельно силам либо так, чтобы оси пересекали линии действия сил.

Задача 2.4. Вычислить моменты относительно осей координат х, у и z силы Р, направленной но диагонали боковой грани прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке, если длина ребра, параллельного оси х, равна а.

Решение:

Линия действия силы  пересекает ось х, поэтому момент силы  относительно оси х равен нулю:

Для определения момента силы  относительно оси у спроектируем эту силу на плоскость  перпендикулярную к оси у, т. е. определим  Нетрудно видеть, что  Остается взять момент силы  относительно точки пересечения оси у с перпендикулярной плоскостью  т. точки О. Плечом является ребро  С конца оси у видно, что сила  стремится повернуть тело в плоскости  вокруг точки О по часовой стрелке, следовательно, момент силы отрицателен. Итак,

Остается определить момент силы  относительно оси z. Для этого найдем величину проекции  силы F на плоскость ху, перпендикулярную к оси z. Легко видеть, что  Теперь вычисляем момент силы  относительно точки О пересечения оси  с перпендикулярной плоскостью  Плечом оказывается отрезок  Знак момента положителен, так как с конца оси  видно, что сила  стремится повернуть тело в плоскости  вокруг точки О против часовой стрелки. Значит,

Задача 2.5. Определить моменты относительно осей  силы  изображенной на рисунке. Сила  приложенная в точке А, лежащей на оси у, образует с плоскостью  угол 30°, причем ее проекция на эту плоскость образует с осью у угол ОАС, равный 45°; ОА = а.

Решение:

Как и в предыдущей задаче, находим без труда моменты силы  относительно осей  (линия действия силы  пересекает ось  -модуль проекции силы  на плоскость  перпендикулярную к оси -Длина перпендикуляра, опущенного из точки О пересечения оси  с плоскостью  на линию действия силы  (Знак момента отрицателен, так как с конца оси  видно, что сила  стремится повернуть тело в плоскости  вокруг точки О по часовой стрелке.) Итак,

Труднее найти момент силы F относительно оси x, так как неизвестен угол между силой F и перпендикулярной к оси х плоскостью уz. Здесь целесообразно прибегнуть к приему, упомянутому в обзоре теории, — разложить силу F на две составляющие. 

Разложим силу на составляющие  (см. рисунок). Таким образом,  где 

Теперь для определения момента силы F относительно оси х применим теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. В данном случае

Так как линия действия силы  пересекает ось х, то  Момент силы  относительно оси х равен  Учитывая, что  окончательно получим:

Для вычисления момента силы  относительно оси х можно было также воспользоваться формулой

где у и х — координаты точки А приложения силы  — проекции силы  на оси В данном случае 

Подставив эти значения в формулу (4), получим результат формулы (3), т. е. 

Как показывает решение этой задачи, в случаях, когда вычисление момента силы относительно оси обычным приемом затруднительно, следует прибегать к разложению силы на составляющие, с последующим применением теоремы Вариньона, либо к выражениям (3 *) моментов силы относительно осей через проекции силы на эти оси.

Задача 2.6. Вычислить главные моменты относительно осей  у и  точки О пространственной системы сил, изображенной на рисунке. Сила  лежит на ребре куба, а силы — на диагоналях его боковых граней. Ребро куба а равно 2 м,

Решение:

Главные моменты системы сил относительно осей равны суммам моментов данных сил относительно этих осей, т. е.

в данной задаче

Моменты сил  относительно осей  имеют следующий вид:  (линия действия силы  пересекает ось х ),  (сила  параллельна оси  далее,

(линия действия силы  проходит через точку О. т. е. пересекает оси 

Внеся эти значения моментов сил в формулы (1), получим:

или, подставляя численные значения:

Главные моменты системы сил  относительно осей декартовых координат  одновременно являются проекциями главного момента  относительно начала координат О на соответствующие оси, т. е.  Использовав формулы (7*) и (8*), найдем теперь модуль главного момента системы сил относительно точки О и его направляющие косинусы:

Приведение к одному центру сил, произвольно расположенных в пространстве

Главным вектором системы сил называется векторная сумма этих сил, т. е. 

Проекции  главного вектора V на оси декартовых координат равны суммам проекций сил на соответствующие оси:

Модуль главного вектора V и направляющие косинусы определяются по формулам:

Главный момент  пространственной системы сил относительно центра О равен векторной сумме моментов всех сил относительно этого центра:

Проекции главного момента  на оси декартовых координат называются главными моментами  соответствующих осей, т. е. 

Главные моменты пространственной системы сил  относительно осей  определяются по формулам (5 *), (6*). Зная можно определить модуль и направляющие косинусы  по формулам (7 *) и (8 *).

В результате приведения сил, произвольно расположенных в пространстве, к одному центру система сил оказывается эквивалентной силе, равной главному вектору V, и паре сил, момент которой векторно равен главному моменту 

При перемене астра приведения системы сил главный момент системы, вообще говори, меняется, причем зависимость главного момента пространственной системы сил от выбора контра приведения выражаемся так: главный момент  пространственной системы сил относительно нового центра А равен векторной сумме главного момента  этой системы сил относительно старого центра О и момента относительно нового центра А силы  приложенной и старом центре О: 

Статическими инвариантами пространственной системы сил называются такие характеристики этой системы, которые остаются неизменными при перемене центра приведения. Статических инвариантов существует два:

первый статический инвариант — главный вектор V системы сил; в соответствии с определением величина и направление главного вектора V не зависят, от выбора центра приведения:

где  определяются по формулам (9*);

второй статический инвариант — скалярное произведение главного вектора  и главного момента  — не зависит от выбора центра приведения:

где  определяются соответственно по формулам (9*) и (5*), (6*).

Не следует отождествлять силу V с равнодействующей силой  так как равнодействующая  — это одна сила, которая эквивалентна данной пространственной системе сил, а сила  эквивалентна данной системе сил только в совокупности с парой сил, момент которой равен главному моменту 

Различные случаи приведении сил, произвольно расположенных в пространстве

• а) Главный вектор равен нулю, но главный момент не равен нулю, т. е. Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту  (В этом случае главный момент системы сил то не зависит от выбора центра приведения.)
• б) Главный вектор не равен пулю, но главный момент равен нулю, т. е. 

Система сил приводится к равнодействующей  приложенной в центре приведения системы.

1) Главный вектор и главный момент системы не равны нулю и притом взаимно перпендикулярны, т. е.

Система сил приводится к равнодействующей  линия действия которой параллельна линии действия силы V и отстоит от нее на расстоянии  Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление момента равнодействующей  относительно центра приведения О совпадало с направлением главного момента системы сил  относительно центра О.

Сила V и равнодействующая  равны по модулю, параллельны и отличаются, вообще говоря, только линиями действия (рис. 2.9).

• г) Главный вектор и главный момент системы не равны нулю и притом не взаимно перпендикулярны, т. е.

Система сил приводится к динаме (силовому винту) — совокупности силы V и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе.

Линия действия силы V называется центральной осью. Центральная ось является геометрическим местом центров приведения, для которых главный момент  имеет наименьшее значение и направлен вдоль этой оси (рис. 2.10). Уравнения центральной оси имеют вид

где  имеют прежние значения,  — текущие координаты.

• д) Главный вектор и главный момент системы равны нулю, т. е. 

Твердое тело, к которому приложена данная пространственная система сил, находится в равновесии.

Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил. Для равновесия твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех данных сил на произвольно выбранные оси декартовых координат  и суммы моментов всех сил относительно этих осей равнялись нулю:

Первые три уравнения называются уравнениями проекций; они обеспечивают равенство нулю главного вектора V. Три последних уравнения называются уравнениями моментов; они обеспечивают равенство нулю главного момента 

В случае произвольной пространственной системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более шести.

В случае равновесия твердого тела с одной неподвижной точкой, например со сферическим шарниром (рис. 2.1]), система активных сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через неподвижную точку. Три проекции реакции неподвижной точки   на оси декартовых координат определяются из уравнений (12*).

Из уравнений моментов (13*) могут быть определены неизвестные величины трех активных сил (напомним, что активными называются все силы, не являющиеся реакциями связей).

В случае равновесия твердого тела с двумя закрепленными точками, например с двумя сферическими шарнирами или двумя подпятниками (рис. 2.12), можно определить величины четырех составляющих опорных реакций  перпендикулярных к оси, проходящей через неподвижные точки. Величины составляющих опорных реакций  направленных вдоль этой оси, не могут быть в отдельности определены. Можно найти только их сумму  Если одна из опор выполнена в виде подшипника В (рис. 2.13), допускающего перемещение вдоль оси  то отсутствует составляющая реакция  И этом случае из уравнений равновесия можно определить величины пяти составляющих опорных реакций  и величину одной активной силы.

Различные случаи приведения к одному центру параллельных сил в пространстве. Эти силы могут быть приведены:

• а) к паре сил, если главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю: 
• б) к равнодействующей, если главный вектор не равен нулю, 
• 
• в) к равнодействующей, если главный вектор и главный момент не равны нулю:  в случае системы параллельных сил вектор V и вектор  всегда взаимно перпендикулярны;
• г) твердое тело находится в равновесии, если главный вектор и главный момент системы равны нулю: 

Уравнения равновесия системы сил, параллельных оси  имеют вид

Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех.

При решении задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных вначале книги, на стр. 15.

Затем:

• 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных не более шести;
• 6) выбрать систему осей декартовых координат;
• 7) составить шесть уравнений равновесия твердого тела (12*) и (13*).

В случае системы параллельных сил отпадают два уравнения проекций сил на оси, перпендикулярные к силам, и одно уравнение моментов сил относительно оси, параллельной силам. Так, если силы параллельны оси х, то уравнения равновесия имеют вид

8) решив систему уравнений, составленных в предыдущем пункте, найти неизвестные величины.

Оси декартовых координат рекомендуется выбирать так, чтобы они оказались параллельными либо перпендикулярными к возможно большему числу неизвестных сил, а также чтобы линии действия неизвестных сил пересекали эти оси.

Задача 2.7. На рис. а изображена косозубая шестерня радиуса  закрепленная на горизонтальном валу. Вал лежит в двух опорах: упорном подшипнике А и цилиндрическом подшипнике В. В точке К, расположенной в вертикальной плоскости симметрии шестерни, к ее зубу приложено давление Т со стороны другой шестерни, находящейся с ней в зацеплении (на рис. а сила Т и вторая шестерня не изображены). Давление Т разложено на три составляющие  которые соответственно параллельны осям координат  (начало координат взято в точке А, ось х направлена вдоль вала, ось z — по вертикали вверх, ось у — так, чтобы вместе с осями х и z была образована правая система координат). К валу, вращающемуся равномерно, приложена пара сил с вращающим моментом  так, что ее моменты относительно осей равны: 

Определить реакции опор А и В и вращающий момент  Даны модули составляющих давления Т на зуб шестерни. Размеры указаны на рисунке. Весом шестерни и вала пренебречь.

Решение:

 Для определения неизвестных реакций опор А и В и вращающего момента  рассмотрим равновесие вала с сидящей на нем шестерней. (Под равновесием вала мы понимаем не только покой, но н его равномерное вращение, упомянутое в условии задачи.)

К валу и шестерне приложены следующие активные силы, изображенные на рисунке: три составляющие  давления Т и пара сил, момент которой  требуется определить (в дайной задаче момент активной нары сил неизвестен).

Связями, наложенными па вал, являются две опоры: упорный подшипник А и подшипник В. Мысленно отбросим связи и компенсируем их действия па вал реакциями. Подшипник В допускает перемещение вала вдоль оси х, поэтому составляющая реакция вдоль оси х отсутствует, и мам остается изобразить лишь две составляющие  перпендикулярные к оси вала. (Мы направляем на рис. б эти составляющие в сторону возрастания соответствующих координат. Если в действительности направление какой-либо составляющей противоположно, то ответ окажется отрицательным.) Упорный подшипник А, в отличие от подшипника В, не допускает перемещения вала вдоль оси х. Поэтому в точке А мы изображаем все три составляющие реакции.

Итак, нам предстоит рассмотреть равновесие свободного вала с шестерней под действием активных сил  и пары сил с моментом  а также составляющих реакций  Все эти силы образуют пространственную систему сил, для которой надо записать шесть уравнений равновесия. Так как число алгебраических неизвестных также равно шести  то задача является статически определенной.

Составим уравнения проекций сил на оси декартовых координат  Все силы либо перпендикулярны, либо параллельны этим осям. Поэтому их проекции равны пулю, или величине соответствующей силы. Так, силы  и пара сил перпендикулярны к оси х, и, следовательно, их проекции на эту ось равны нулю.

Из проекций на ось х лишь  отличны от нуля, причем обе проекции положительны. Итак,

Диалогично запишем уравнении проекций сил на оси 

(Напомним, что проекция пары сил на любую ось рампа пулю, ибо главный вектор пары сил равен нулю.)

Переходим к составлению уравнений моментов сил относительно осей  Предварительно заметим, что составление этих уравнений и данной задаче производится достаточно просто. Действительно, линии действия сил параллельны или пересекают оси координат и, значит, имеют моменты, равные нулю, либо силы лежат в плоскостях, перпендикулярных к осям и, следовательно, отпадает необходимость в проектировании этих сил на плоскости, перпендикулярные к осям.

При составлении уравнения моментов сил относительно оси х предварительно заметим, что силы  параллельны оси х, а линии действия сил  пересекают ось х. Следовательно, их моменты равны пулю. Значит, в уравнение моментов войдут лишь моменты силы  и пары сил.

По условию момент нары относительно оси х равен  т. е.

Сила  лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Из точки О пересечения оси с плоскостью опускаем перпендикуляр  на линию действия  Момент положителен, так как с конца оси х видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки. Итак,

Использовав формулы (4) и (5), запишем уравнение моментов относительно оси х:

При составлении уравнения моментов относительно оси у заметим, что силы  параллельны оси у, а линии действия сил  пересекают ось у. Следовательно, моменты их равны нулю. Кроме того, по условию момент пары сил  равен нулю. Значит, отличными от нуля являются только моменты сил  Все эти силы лежат в плоскости  перпендикулярной к оси у. Плоскость  пересекается с осью у в точке А. Поэтому из точки А опускаем перпендикуляры на линии действия сил  Соответственно получим:  Момент силы  отрицателен, так как с конца оси у видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки А по часовой стрелке, а моменты сил  положительны, ибо они видны противоположно направленными. Итак,

Приняв во внимание формулы (7), запишем уравнение моментов относительно оси у в виде

При составлении уравнения моментов относительно оси  надо учесть, что силы  параллельны оси  а линии действия сил  пересекают эту ось. Поэтому моменты этих сил относительно оси  равны пулю. Кроме того, по условию момент пары сил относительно оси  также равен нулю. Значит, в уравнение войдут только моменты сил 

Сила  лежит в горизонтальной плоскости, перпендикулярной к оси  Из точки М пересечения оси  с этой плоскостью опускаем перпендикуляр  на линию действия  Момент силы  относительно оси  отрицателен, так как с конца оси  видно, что сила  стремится повернуть тело по часовой стрелке. Значит,

Сила  лежит в плоскости  перпендикулярной к оси  Из точки А пересечения этой плоскости с осью  опускаем перпендикуляр  на линию действия  Момент отрицателен, ибо с конца оси  видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки А по часовой стрелке. Итак,

Приняв во внимание формулы (9) и (10), запишем уравнение моментов сил относительно оси 

Итак, уравнения равновесия вала с закрепленной на нем шестерней имеют вид

Теперь переходим к решению этой системы шести уравнений с шестью неизвестными  Из уравнения (6) имеем  Искомый вращающий момент пары, как и следовало ожидать, оказался отрицательным. Действительно, с конца оси х вращение пары видно в направлении по часовой стрелке. Из уравнения (8) получим:

Из уравнения (11) находим:

Теперь, подставив значение  в уравнение (2), а  в (3), соответственно имеем:

Наконец, из (1) следует 

Значения  и оказались отрицательными. Это означает, что направления сил  противоположны тем, которые предположительно были" нами указаны на рисунке. Знак  может быть выяснен только после подстановки численных значений 

Задача 2.8. Багажная полка железнодорожного вагона прикреплена к стене вагона двумя петлями (цилиндрическими шарнирами) А и В и стержнем МS. Стержень, присоединенный шарнирами М и S к полке и стене, образует угол 30° с горизонтальной плоскостью полки.

Определить реакции петель А и В и стержня МS, если вес полки  Размеры указаны на рисунке.

Решение:

Для определения искомых реакций петель А и В и стержня MS рассмотрим равновесие полки  На полку действует одна активная сила — ее вес  приложенный в центре тяжести С полки (в точке пересечения диагоналей прямоугольника (рис. б)).

Применив закон освобождаемости, мысленно отбросим связи, т. е. петли А и В и стержень  и компенсируем их действие на полку соответствующими реакциями связей. Реакция  стержня направлена вдоль стержня от  Сразу указать направление реакций петель А и В мы не можем. Так как, однако, петли — цилиндрические шарниры — не препятствуют перемещению полки вдоль оси АВ, то отсутствуют составляющие реакций вдоль этой оси. Значит, реакции направлены перпендикулярно к оси АВ и каждая из них может быть разложена на две взаимно перпендикулярные доставляющие.

Выбрав начало декартовых осей координат в петле А, изобразим ось х вдоль АВ, ось у по горизонтали направо и ось  по вертикали вверх. В соответствии с выбором осей координат изобразим составляющие реакций  в петле А и  в петле В (см. рис. б).

Итак, полка  находится в равновесии под действием активной силы — веса Р и пяти неизвестных сил:  Так как все эти силы образуют пространственную систему сил, то число уравнений равновесия равно шести. Значит, задача является

статически определенной, причем одно из уравнений должно быть зависимым от остальных пяти или тождественно обратиться в нуль.

Займемся составлением уравнений равновесия. Так как все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси х, то проекция каждой силы на эту ось равна нулю, и уравнение проекций на ось х обращается в тождество

Из остальных пяти уравнений равновесия мы сможем определить все пять неизвестных.

При составлении уравнения проекций на ось у заметим, что силы  перпендикулярны к оси. Значит, отличными от нуля

являются только проекции сил  Силы  параллельны оси у и их проекции на эту ось равны  а проекция силы Т равна —  поэтому уравнение проекций на ось у имеет вид

Составляя уравнение проекций на ось  учтем, что силы  перпендикулярны к оси  и их проекции равны нулю. Силы  и Р параллельны оси  и их проекции на эту ось равны  и — Р. Наконец, проекция силы Т равна  Значит, уравнение проекций на ось  имеет вид

Переходим к составлению уравнений моментов относительно осей  Моменты сил  относительно оси х равны пулю, так как линии действия этих сил пересекают ось  Значит, отличными от нуля являются только моменты относительно оси  

Сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Из точки Е пересечения этой плоскости с осью х опускаем перпендикуляр ЕС на линию действия силы Р. Момент силы Р относительно оси х отрицателен, так как с конца оси х видно, что сила Р стремится повернуть тело вокруг точки Е по часовой стрелке. Итак,

Сила Т лежит в плоскости, перпендикулярной к оси  Из точки N пересечения этой плоскости с осью х опускаем перпендикуляр  на линию действия силы Т. Момент силы Т относительно оси х положителен, ибо с конца оси  видно, что сила Т стремится повернуть тело вокруг точки N против часовой стрелки. Значит,

Приняв во внимание формулы (4) и (5), запишем уравнение моментов относительно оси х:

При составлении уравнения моментов относительно оси у следует учесть, что моменты сил  равны нулю (сила  параллельна оси у, а линии действия сил  пересекают эту ось). Значит, отличными от нуля являются только моменты относительно оси у сил 

Сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у. Из точки  пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр  на линию действия силы Р. Момент силы Р относительно оси у отрицателен, так как с конца оси у видно, что сила Р стремится повернуть тело вокруг точки  по часовой стрелке. Значит,

Столь же просто определяется момент силы  относительно оси у. Действительно, сила лежит в плоскости  перпендикулярной к оси у. Из точки А пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр АВ на линию действия силы  Момент положителен, ибо с конца оси у видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки А против часовой стрелки. Итак,

Несколько труднее вычислить момент силы Т относительно оси у, так как сила Т не лежит в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Поэтому предварительно спроектируем силу Т на плоскость, проходящую через точку М, перпендикулярно к оси у. Проекцией является сила  (напомним, что проекция вектора на плоскость — также вектор). Из точки О пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр  на линию действия силы  Так как с конца оси у видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, то момент силы Т относительно оси у положителен, т. е.

Теперь, использовав выражения (7), (8) и (9), запишем уравнение моментов относительно оси у:

Остается составить уравнение моментов относительно оси  Сразу отметим, что моменты сил  относительно оси  равны пулю (силы  параллельны оси  а линия действия силы  пересекает эту ось). Значит, отличными от нуля являются лишь моменты относительно оси  сил  Сила  лежит в плоскости  перпендикулярной к оси  Из точки А пересечения этой плоскости с осью   опускаем перпендикуляр АВ на линию действия силы  Так как с конца оси  видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки А по часовой стрелке, то момент ее отрицателен, т. е.

Для вычисления момента силы Т относительно оси предварительно найдем проекцию  силы Т на плоскость  Из точки А пересечения этой плоскости с осью  опустим перпендикуляр АN на линию действия силы  Момент силы Т относительно оси положителен, так как с конца оси  видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки А против часовой стрелки. Значит,

Теперь, приняв во внимание формулы (11) и (12), запишем уравнение моментов относительно оси 

Итак, для определения пяти неизвестных  мы составили пять уравнений (2), (3), (6), (10) и (13). Прежде чем перейти к решению этой системы, вычислим модули сил  а также длины отрезков (плеч)  входящих в уравнения (6), (10) и (13). Имеем:  Обозначим буквой а ширину полки. Тогда

Кроме того, по условию 

Теперь система уравнений (2), (3), (0), (10) и (13) примет вид

Остается решить эти уравнения.

Из уравнения (10) имеем  Подставив это значение Т в уравнения (17) и (18), получим: Теперь из уравнений (14) и (15), подставив в них полученные значения находим:  Знаки минус, полученные в ответах для  показывают, что направления сил  противоположны тем, которые указаны на рис. б.

Составляя уравнения моментов, мы столкнулись с некоторыми трудностями при вычислении моментов силы Т относительно осей у и  так как пришлось силу Т проектировать на плоскости, перпендикулярные к этим осям. Этих трудностей можно избежать, направив координатные оси  так, чтобы моменты силы Т относительно этих осей равнялись нулю. Для этого возьмем начало координат в точке N направим ось  вдоль оси  а оси  — соответственно параллельно осям у и  (см. рис. б). Нетрудно видеть, что моменты силы Т относительно осей  обратятся в нуль, так как линия действия силы Т пересекает эти оси. Составим уравнения равновесия полки, воспользовавшись осями координат  При неизменности уравнений (14), (15) и (16) уравнения (17) и (18) примут вид

В уравнения (19) и (20) не входит сила Т и поэтому составить их проще, чем уравнения (17) и (18). Однако решение системы уравнений (14)—(18) легче, чем решение системы (14), (15), (16), (19) и (20). Значит, выбрав оси  вместо осей  мы добились упрощения составления уравнений моментов относительно осей  и  но усложнили решение системы уравнений равновесия. Объем вычислений в обоих случаях примерно одинаков.

Задача 2.9. На рис. а изображена квадратная крышка АВСD грузового люка. Крышка прикреплена посредством сферического шарнира А и петли (подшипника) В. Подняв крышку над горизонтом на угол 30°, ее закрепили с помощью оттяжки DЕ, образующей угол 60° с плоскостью крышки.

Определить опорные реакции сферического шарнира A и петли B также реакцию оттяжки DЕ. Вес крышки равен Р.

Решение:

Для определения неизвестных рассмотрим равновесие крышки АВСD.

К крышке приложена одна активная сила — ее вес Р. Точка О приложения силы Р расположена в центре квадратной крышки (рис. б).

На крышку наложены три связи: сферический шарнир А, петля В и оттяжка DЕ. Применив закон освобождаемости, мысленно отбросим эти связи и заменим их действие на крышку соответствующими реакциями. Оборвав оттяжку DЕ в точке D, направим реакцию Т вдоль нее от D к Е. Сферический шарнир А является неподвижной точкой, поэтому сразу указать направление реакции невозможно, и ее следует заменить тремя взаимно перпендикулярными составляющими. Петля В допускает перемещение вдоль АВ, значит, в этом направлении отсутствует составляющая реакции, т. е. в петле В имеются только две составляющие, перпендикулярные к АВ.

Выберем начало координат в точке В, ось х направим вдоль АВ, ось у — вдоль ВС, а ось  — перпендикулярно к плоскости крышки,

так чтобы она вместе с осями х и у образовала правую систему осей координат (см. рис. 6) В соответствии с этими осями изобразим три составляющие  реакции сферического шарнира А и две составляющие   и реакции петли В.

Теперь мы можем рассмотреть равновесие крышки как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием активной силы Р и реакций  Все эти силы образуют пространственную систему сил, для которой следует составить шесть уравнений равновесия. Так как число алгебраических неизвестных также равно шести  то задача является статически определенной.

Составляя уравнения равновесия, мы столкнемся с трудностями при рассмотрении силы Т, так как нам неизвестны углы, которые образует эта сила с координатными осями х и у. Поэтому разложим силу Т на две составляющие  так, чтобы сила  лежала в плоскости  а сила  была к ней перпендикулярна (см. рис. б), т. е. параллельна оси  Модули этих сил равны

Аналогично поступим с силой Р, разложив ее на составляющие силы  (сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х; поэтому ее проекция на ось х равна нулю). Для модулей этих сил имеем:

Впредь при составлении уравнений равновесия мы вместо проекции силы Т на ось будем вычислять сумму проекций сил  на эту ось, а вместо момента силы Т относительно оси будем, на основании теоремы Вариньона, вычислять сумму моментов сил  относительно соответствующей оси.

Займемся составлением уравнений проекций сил на оси декартовых координат.

Силы  перпендикулярны к оси х и проекции их на эту ось равны нулю. Значит, отличными от нуля являются только проекции сил  Итак,

Подставив значение  из формулы (1), имеем:

Силы  перпендикулярны к оси у и проекции их на эту ось равны нулю, значит, в уравнение проекций на ось у войдут только проекции сил  Итак,

Подставив значение  из формулы (1), получим:

Силы  перпендикулярны к оси  и, следовательно, их проекции на эту ось равны нулю, поэтому в уравнение проекций на ось  войдут лишь проекции сил  Итак,

Переходим к составлению уравнений моментов относительно осей 

Линии действия сил  пересекают ось х, поэтому моменты этих сил относительно оси х равны нулю. Отличными от нуля являются только моменты сил 

Сила  лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Эта плоскость пересекается с осью х в точке М. Опускаем из точки М перпендикуляр МО на линию действия  Момент силы отрицателен, так как с конца оси х видно, что сила  стремится повернуть тело вокруг точки М по часовой стрелке. Значит,  Если длину стороны квадратной крышки мы обозначим буквой а, то  Приняв во внимание формулу (2), запишем:

Заметим, что для вычисления момента силы Р относительно оси х не было нужды в разложении силы Р на составляющие  первая из которых дает момент, равный пулю. Действительно, сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Из точки М пересечения оси х с этой плоскостью опускаем перпендикуляр ML на линию действия силы Р. Тогда  Из треугольника  имеем  Значит,  что соответствует формуле (6). Разложением силы Р на ее составляющие  целесообразно будет воспользоваться при вычислении ее моментов относительно осей  так как сила Р не лежит в плоскостях, перпендикулярных к этим осям.

Сила  лежит в плоскости, перпендикулярной к оси  Из точки А пересечения этой плоскости с осью х опускаем перпендикуляр  на линию действия силы  Момент положителен, так как с конца оси х видно, что cила  стремится повернуть тело вокруг точки А против часовой стрелки. Значит,  Приняв во внимание формулу (1), имеем:

Итак, использовав формулы (6) и (7), запишем уравнение моментов относительно оси х:

При составлении уравнения моментов относительно оси у надо учесть, что линии действия сил  пересекают ось у, а линии действия сил  параллельны оси у. Поэтому моменты всех этих сил относительно оси у равны нулю. Значит, в уравнение моментов относительно оси у войдут лишь силы: 

Сила лежит в плоскости хz, перпендикулярной к оси у. Из точки В пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр на линию действия  Момент . отрицателен, ибо с конца оси у видно, что сила стремится повернуть тело вокруг точки В но часовой стрелке. Значит,

Сила лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у. Из точки К пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр на линию действия Момент положителен, так как с конца оси у видно, что сила стремится повернуть тело вокруг точки К против часовой стрелки. Итак, Приняв во внимание формулу (1), имеем:

Сила лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у. Из точки С пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр на линию действия силы Момент отрицателен, ибо с конца оси у видно, что сила стремится повернуть тело вокруг точки С по часовой стрелке. Значит, Приняв во внимание формулу (1), запишем:

После использования формул (9), (10) и (11) уравнение моментов относительно оси у примет вид

Остается составить уравнение моментов относительно оси 2. Заметим, что линии действия сил пересекают ось z, а силы параллельны этой оси. Поэтому моменты этих сил относительно оси z равны пулю. Значит, в уравнение моментов войдут только моменты двух сил:

Силы лежат в плоскости xy, перпендикулярной к оси z. Из точки В пересечения плоскости ху с осью г опускаем перпендикуляр на линию действия  и перпендикуляр  на линию действия  Момент силы отрицателен, а положителен, так как с конца оси z видно, что сила стремится повернуть тело вокруг точки В по часовой, а сила — против часовой cрелки. Значит,

(В формуле (14) учтен результат (2).)

Запишем уравнение моментов относительно оси z, использовав
выражения (13) и (14):

   

Итак, уравнения равновесия крышки имеют вид

Для определения неизвестных остается решить эту систему шести уравнений с шестью неизвестными.

Из уравнений (8) и (15) непосредственно находим Сложив уравнения (8) и (12), получим  Далее из (3) вычислим из (4) — и из (5) —

Приводим ответы:

Если, решая задачу, мы испытываем затруднения при вычислении моментов относительно осей какой-либо силы, то достаточно выбрать начало координат на линии действия этой силы для того, чтобы эта сила в уравнения моментов не вошла. Так, для того чтобы в данной задаче сила Т не вошла в уравнения моментов, достаточно взять начало координат в точке D приложения силы Т, а оси направить соответственно параллельно осям При этом уравнения проекций на оси  будут иметь вид, тождественный уравнениям (3), (4) и (5) проекций на оси Так как линия действия силы Т пересекает оси то эта сила не войдет
в соответствующие уравнения моментов. Поэтому

Теперь для определения неизвестных надо решить систему уравнений (3), (4), (5), (16), (17) и (18).

Степень трудности составления уравнений моментов (8), (12) и (15) относительно осей и уравнений моментов (16), (17) и (18) относительно осей примерно одинакова. Объем вычислений при решении системы уравнений (3), (4), (5), (8), (12) и (15) и системы (3), (4), (5), (16), (17) и (18) также примерно одинаков.

Если бы и условии данной задачи петля В была заменена сферическим шарниром, то в точке В добавилась бы составляющая реакции алгебраических неизвестных стало бы семь  и задача оказалась бы статически не определенной. Если бы одновременно с введением сферического шарнира В оттяжка была заменена силой Т, известной по величине и направлению, то, хотя число неизвестных стало бы равным шести задача осталась бы статически неопределенной. Действительно, выбрав прежние направления осей  нетрудно видеть, что войдут только в одно из шести уравнений равновесия — в уравнение (3) проекций на ось х, которое при этом примет вид

Из этого уравнения можно определить только сумму , а каждое из этих неизвестных найти невозможно. Тем самым подтверждается указание, сделанное в обзоре теории этого пункта, что задача на равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками (в данном случае с двумя сферическими шарнирами) является статически неопределенной.

С учетом того, что в решениях задач 2.7—2.9 дано подробное изложение методики составления уравнений равновесия, в следующих двух задачах эти уравнения составлены без дополнительных пояснений.

Задача 2.10. На рисунке изображен поворотный кран, ось вращения которого имеет две опоры: подпятник А и подшипник В. С помощью троса, переброшенного через блок D при вращении крана вокруг оси АВ происходит подъем либо опускание груза Е, подвешенного к концу троса. Вес крана, приложенный в его центре тяжести С, равен Вес поднимаемого груза Е равен Конструкция крана совмещена с плоскостью рисунка, т. е. лежит в плоскости уz. Ось x направлена на нас. В точке К крепления троса к крану проведены оси соответственно параллельные осям

Наклонная ветвь троса образует с горизонтальной плоскостью угол, равный 60°. Проекция этой ветви троса на плоскость  образует с осями соответственно углы 120° и 30° (см. рисунок).

Определить опорные реакции подпятника А и подшипника В, а также величину вращающего момента который надо приложить к крану вокруг оси вращения z для того, чтобы он находился в равновесии;

Решение:

Рассмотрим равновесие крана, к которому приложена одна активная сила — его вес приложенный в центре тяжести С крана, а также искомый вращающий момент На кран наложены связи: подпятник А, подшипник В и трос, прикрепленный к крану в точке К. Так как подпятник А является неподвижной точкой, то его реакцию представляем тремя составляющими Подшипник В допускает перемещение вдоль оси вращения z, поэтому здесь отсутствует составляющая реакции, лежащая на оси, и следует ввести только две боковые составляющие  Оборвав трос возле точки крепления К, направляем его реакцию Т вдоль троса. Здесь часто совершают грубую ошибку, изображая вместо силы Т вес  груза Е, приложенный в точке Е и направленный по вертикали вниз. Надо мысленно рассечь трос вблизи точки крепления К и заменить отброшенный трос реакцией Т, направленной по тросу.

Из условия равновесия груза Е находим 

Теперь рассмотрим равновесие крапа под действием вращающего момента и сил:

Число неизвестных равно шести и задача является статически определенной.

Составление уравнений равновесия затруднено пространственным положением силы Т, поэтому предварительно разложим силу Т на три составляющие  параллельные осям Модули их равны

Использовав (1), находим:

Теперь составим уравнения равновесия крана:

Учитывая при решении системы значения  а также численные данные, находим:

Допустим, что условие этой задачи изменено: искомый вращающий момент  задан, а вместо подшипника В имеется подпятник. Тогда в точке В добавляется неизвестная составляющая реакции  Видоизмененная задача оказывается статически неопределенной, хотя при этом число алгебраических неизвестных остается равным числу уравнений, т. е. шести  Действительно,  входят только в уравнение проекций на ось  которое принимает вид

Из этого уравнения можно определить только сумму  а каждое из этих неизвестных найти невозможно.

Полученный результат подтверждает указание, сделанное в обзоре теории этого пункта, что задача на равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками (в данном случае подпятниками А и В), несмотря на соответствие числа неизвестных числу уравнений, является статически неопределенной.

Задача 2.11. Однородный стержень АВ весом Р, образующий с иолом угол 45°, упирается концом А в негладкий плинтус комнаты (рис. а), а концом В в гладкую вертикальную стену. В точке В к стержню прикреплен горизонтальный трос ВЕ.

Проверить, может ли стержень оставаться в равновесии, а также определить реакции плинтуса, стены и троса, если коэффициент трения скольжения о плинтус  а угол ОАD равен 30°. Оси  изображены на рисунке.

Решение:

Стержень не мог бы оставаться в равновесии, если бы плинтус был гладким. В этом случае конец стержня А начал бы скользить вдоль плинтуса. Равновесие возможно лишь при наличии силы трения  направленной противоположно возможному движению, т. е. от A к О, причем модуль силы трения должен быть меньше или равен его наибольшей величине:

где —коэффициент трения скольжения, а  — модуль нормальной реакции плинтуса. В случае невыполнения условия (1) стержень придет в движение.

К cтержню приложена одна активная сила — его вес Р (рис. б). Так как по условию стена является гладкой, то ее реакция  перпендикулярна к плоскости стены, т. е. параллельна оси х. Реакция Т троса направлена от В к Е. О направлении силы трения  было указано выше. Нормальная реакция  плинтуса расположена в плоскости  но направление ее пока неизвестно. Поэтому разложим силу  на две взаимно перпендикулярные составляющие 

Задача является статически определенной, ибо число неизвестных равно пяти: 

Обозначив длину стержня через  составим пять уравнений равновесия:

Решая систему уравнений (3)—(7), найдем  из (5), Т из (6),  из (7); затем получим  из (3) и  из (4). Итак, искомые силы по модулю равны

Остается проверить, может ли стержень оставаться в равновесии. В соответствии с формулой (2) запишем:

Внеся значения  из (8) в формулу (9), найдем:

Подставив в неравенство (1) значения  из (8) и (10), при  получим:

Так как условие (1) выполнено, то стержень находится в равновесии.

В заключение вычислим наименьшее значение коэффициента трения скольжения  при котором стержень будет оставаться в равновесии. Отбросив в формуле (1) знак неравенства, найдем:

Если бы по условию коэффициент трения скольжения был меньше чем 0,41, то стержень не мог бы остаться в равновесии и качал бы двигаться.

Рекомендуем решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, издания 1950 г. и последующих лет: 24(5, 254, 257, 262, 264, 265, 267, 268, 271, 272, 276, 277, 278.

Приведение произвольной пространственной системы сил к простейшему виду

Приведение произвольной пространственной системы сил к простейшему виду рекомендуется выполнять в следующем порядке:

• 1)    выбрать оси декартовых координат;
• 2)    взять центр приведения системы сил в начале координат О;
• 3)    вычислить проекции  главного вектора V системы сил но формулам (9*);
• 4)    определить модуль главного вектора V и направляющие косинусы по формулам (10*) и (11*), причем
• 
• 5)    найти главные моменты  системы сил относительно осей  по формулам (5*), (6*);
• 6) определить модуль главного момента  и его направляющие косинусы по формулам (7*) и (8*), причем

• 7) выяснить, к какому простейшему виду приводится заданная система сил:
• а)    если  то твердое тело, к которому приложена данная система сил, находится в равновесии;
• б)    если  то система сил приводится к паре сил с моментом 
• в)    если  то система сил приводится к равнодействующей  Уравнения линии действия равнодействующей в этом случае будут:
• 
• где  — проекции главного вектора V, определенные в третьем пункте,  — текущие координаты линии действия равнодействующей;
• г)    если  то следует выяснить, не являются ли V и  взаимно перпендикулярными.

В случае взаимной перпендикулярности V и  их скалярное произведение  равно нулю. Поэтому надо проверить, выполняется ли равенство

Если равенство имеет место, то система сил приводится к равнодействующей  Уравнения линии действия равнодействующей  в этом случае имеют вид

Если равенство  не имеет места, то главный вектор V и главный момент  не взаимно перпендикулярны и система сил приводится к динаме. Уравнения центральной оси также определяются по формулам (16*).

Главный вектор  динамы определен в четвертом пункте. Главный момент  динамы для центров приведения, взятых на центральной оси, лежит на этой оси. Его проекцию на центральную ось (минимальный момент) следует определить по формуле

При приведении пространственной системы сил к простейшему виду оси декартовых координат следует выбрать так, чтобы возможно большее число сил оказалось параллельно либо перпендикулярно к этим

осям, а также чтобы линии действия сил в возможно большем числе пересекали эти координатные оси.

Задача 2.12. Пространственная система сил была приведена к центру О, взятому в начале координат системы  В результате приведения были получены: сила  и пара сил, момент которой векторно равен главному моменту системы  причем 

Определить силу и пару сил, к которым приведется данная система сил, если за центр приведения принять точку А, лежащую на оси у и отстоящую от начала координат на расстоянии  (рис. а).

Решение:

При приведении пространственной системы сил к новому центру сила остается равной главному вектору V, а главный момент меняется в соответствии с формулой

Поэтому строим в точке А силу  Затем переносим  в точку А и изображаем момент относительно нового центра А силы V, приложенной в старом центре О, т. е.  Так как  надо направить перпендикулярно к плоскости, проходящей через  и точку А, т. е- к плоскости  и притом так, чтобы с конца его сила  была видна направленной вокруг центра А против часовой стрелки, то вектор  параллелен оси х, но направлен в противоположную сторону (рис. а). При этом 

Итак, для определения главного момента относительно нового центра А надо, следуя формуле (1), сложить векторы  приложенные в точке А, т. е.

На рис. а вектор  получаем как диагональ параллелограмма, построенного на векторах 

Из найденного результата следует, что Таким образом, главный момент 

по модулю равен  Направляющие косинусы определяем по формулам:

откуда

Эту задачу можно решить, не прибегая к формуле (1) — зависимости между главными моментами пространственной системы сил, определенными относительно двух центров.

Можно построить в центре А две уравновешивающиеся силы  (рис. б). Тогда сила V оказывается приведенной к центру А, но при этом добавляется присоединенная пара в составе сил: V, приложенной в точке О, и V', приложенной в точке А. Момент этой присоединенной пары  перпендикулярен к плоскости пары, т. е. к плоскости  причем с его конца приложенная пара видна направленной против часовой стрелки, т. е. параллельно оси  но в сторону, противоположную положительному направлению этой

оси. По модулю  Нетрудно заметить, что  (из первого варианта решения задачи) векторно равны, т. е.  Для определения главного момента относительно центра А остается сложить   откуда находим значение  полученное в первом варианте решения задачи.

Оба метода решения задачи по объему вычислений примерно равноценны.

Задача 2.13. На рисунке изображена пирамида АОВС, две боковые грани которой расположены в координатных плоскостях  а основание лежит в плоскости  Ребра АВ и АС образуют с ребром — высотой АО — углы 30°. К пирамиде приложена система пяти сил. Силы  

направлены по ребрам АВ и АС, силы  — вертикальны, а линия действия силы  совмещена с высотой  основания 

Определить модули сил  если пирамида находится в равновесии. Дано: 

Решение:

Примем за центр приведения начало координат О. При равновесии пирамиды главный вектор V и главный момент  системы сил, приложенных к пирамиде, равны нулю:  Так как по модулю

то

Вычислим проекции  главного вектора V по формулам:

В данном случае получим:

Вычислим главные моменты  относительно осей  по формулам:

Введя обозначения:  для данной системы сил имеем:

Приняв во внимание условия (1), запишем (2)— (6) в виде

Так как по условию  то из уравнений (11) и (12) находим  а из уравнения (8) получим  При этих значениях  уравнения (9) и (10) тождественно обращаются в нуль.

Итак, пирамида АОВС находится в равновесии под действием дайной системы пяти сил при условии:

Задача 2.14. Привести к простейшему виду систему сил  приложенных к вершинам С, В и Е куба, ребро которого равно а;  Направления сил указаны на рис. а.

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Направляем оси  вдоль ребер куба (рис. а). Определим проекции  главного вектора V на оси 

Подставив значения модулей данных сил, имеем:

Следовательно, главный вектор V системы сил равен нулю. Переходим к определению главного момента  Находим сначала главные моменты  системы сил относительно осей 

Подставив значения модулей данных сил, имеем:

Таким образом, главный момент  а его модуль 

Итак, данная система сил оказалась приведенной к силе  и паре сил с моментом  изображенным на рис. б (пара сил расположена в плоскости, перпендикулярной к  так что пара с конца  видна направленной против часовой стрелки).

Задача 2.15. Привести к простейшему виду систему сил  приложенных в вершинах А, К и С прямоугольного параллелепипеда 

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Определяем проекции  главного вектора V на оси 

Подставив значения модулей сил, получим:

Таким образом, главный вектор  а его модуль 

Найдем теперь главные моменты  данной системы сил относительно осей 

или, подставив значения модулей сил, имеем:

Следовательно, главный момент  относительно центра О равен нулю.

Так как главный момент системы оказался равным нулю, то сила V является равнодействующей  т. е. система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О, причем

Теперь найдем уравнения линии действия равнодействующей но формуле (15*). Воспользовавшись формулами (1), получим уравнение линии действия равнодействующей в виде

Задача 2.16. Привести к простейшему виду систему сил, изображенных на рис. а. Силы приложены к вершинам куба, ребро которого равно а; 

 

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Оси декартовых координат  изображены на рис. а. Определяем проекции  главного вектора V на оси 

Подставив значения модулей данных сил, имеем:

откуда главный вектор

а его модуль

Определяем главные моменты  системы сил относительно осей 

Подставив значения модулей данных сил, получим:

Следовательно, главный момент относительно центра О

а его модуль

В соответствии с формулами (2) и (5) на рис. б изображены сила V и главный момент  системы сил.

Так как V и  оказались взаимно перпендикулярными, то систему сил можно привести к равнодействующей  причем  Найдем уравнения линии действия равнодействующей по формулам (16*). Воспользовавшись формулами (1) и (4), запишем (16*) в виде

откуда  т. е. линия действия равнодействующей  лежит в плоскости  параллельна оси  и отстоит от нее на расстоянии  (рис. б).

Положение линии действия равнодействующей  можно было определить, не пользуясь уравнением (7). На рис. в изображены сила V и главный момент  приложенные в точке О. Так как главный момент  лежит на оси у, то пара сил, соответствующая главному моменту , расположена в плоскости, перпендикулярной к , т. е. в плоскости  так, что с конца  пара видна направленной против часовой стрелки. Одну из сил  входящих в состав пары, изображаем противоположно V, причем  Тогда линия действия второй силы V, входящей в состав пары сил, должна отстоять от линии действия первой силы на расстоянии  Так как  Итак, система сил оказалась приведенной к трем силам: силам V и V', приложенным в точке О, и силе V, приложенной в точке М. Первые две силы уравновешиваются, и их можно отбросить. Поэтому система сил приводится к одной силе V, приложенной в точке М, которая, следовательно, является равнодействующей  Линия действия равнодействующей   параллельна оси  и отстоит от нее на расстоянии  (рис. в).

Следует иметь в виду, что общим приемом определения уравнений линии действия равнодействующей   является применение формулы (7).

Задача 2.17. Привести к простейшему виду систему, состоящую из двух скрещивающихся сил  изображенных на рис. а; Сила  параллельна оси 

 

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Подобно решению предыдущих задач, определяем проекции  главного вектора V на оси 

Учитывая, что  имеем:

Таким образом, главный вектор

а его модуль

Найдем теперь главные моменты  системы сил относительно осей 

Так как 

Таким образом, главный момент

а его модуль

Итак, система скрещивающихся сил приведена к изображенным на рис. б силе  и паре сил, момент которой равен главному моменту относительно центра О, т. е. 

В данном случае отсутствие перпендикулярности векторов V и  очевидно. В более сложных задачах можно воспользоваться скалярным произведением  которое в случае взаимной перпендикулярности векторов  должно обратиться в нуль. В нашей задаче, воспользовавшись формулами (2) и (6), получим  Итак, векторы  не взаимно перпендикулярны. Это значит, что система сил приводится к динаме.

Найдем уравнения центральной оси по формуле (16*). Эти уравнения в данном случае, если принять во внимание формулы (2) и (6), имеют вид

Таким образом, центральная ось лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости  отстоит от нее на расстоянии  и параллельна биссектрисе 

Остается определить главный момент  относительно центров приведения, лежащих на центральной оси. Как известно, вектор  лежит на центральной оси. Его проекция на направление главного вектора определяется по формуле (17*).

Использовав равенства (2), (4) и (6), получим:

Главный момент  изображен на рис. в.

Итак, данная система скрещивающихся сил оказалась приведенной к динаме, т. е. к силе  и паре сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к  Проекция момента  этой пары

на направление главного вектора V (минимальный момент) определяется формулой (10).

Эту задачу можно было решить с помощью простых построений, минуя метод проекций. Изобразив на рис. г заданные силы  приведем их к одному центру. Выбрав за центр приведения точку А приложения силы  построим в точке А две уравновешивающиеся силы  Находим силу V как сумму сил  приложенных в точке А. Так как  взаимно перпендикулярны и по модулю равны, то модуль силы V равен   (в данном случае параллелограмм сил превратился в квадрат, параллельный плоскости  а сила V параллельна биссектрисе MN).

При приведении силы  к центру А добавилась присоединенная пара в составе силы  приложенной в точке О, и силы  приложенной в точке А. Плечо пары ОА равно а (рис. г). Так как присоединенная пара сил лежит в плоскости  то момент этой пары, являющийся главным моментом  направлен перпендикулярно к плоскости  т. е. параллелен оси х. По модулю: 

Разложим главный момент  на две составляющие:  где вектор  совпадает с направлением главного вектора  перпендикулярен к главному вектору. Нетрудно видеть, что параллелограмм моментов, являющийся в данном случае квадратом, также лежит в плоскости, параллельной плоскости  Находим:

Вектор  от выбора центра приведения не зависит. От вектора  перпендикулярного к силе V, можно избавиться посредством перехода к новому центру приведения. Для этого построим пару сил, соответствующую моменту  Одну из сил, входящих в пару, обозначим  и направим так, чтобы она уравновешивалась с силой V. Тогда плечо АВ пары расположится по оси у и в точке В окажется приложенной вторая сила V, входящая в состав пары с моментом  (напоминаем, что эта пара сил должна лежать в плоскости, перпендикулярной к  и притом ее следует изобразить так, чтобы с конца  эта пара была видна направленной против часовой стрелки). Плечо пары АВ

вычисляется без труда:  откуда  Так как  

Силы V и V', приложенные в точке А, уравновешиваются, и их можно отбросить. Теперь система сил оказалась приведенной к силе V, приложенной в точке В, и паре сил с моментом  который можно параллельно перенести и направить вдоль силы V. Линия действия силы V, приложенной в точке В, является центральной осью,

параллельной биссектрисе  Так как 

Окончательно  что совпадает с результатами,

порченными в первом варианте решения задачи.

Следует иметь в виду, что метод непосредственных построений, примененный во втором варианте решения этой задачи, может быть успешно использован только в простейших случаях. Так, при равных по модулю силах  все углы, получившиеся при построениях, оказались равными 45°. Если бы мы несколько усложнили задачу, взяв не равные по модулю силы  то определение положения центральной оси оказалось бы довольно затруднительным.

В этом случае целесообразно пользоваться уравнениями центральной оси (16*).

Применив формулы (1) и (6), мы бы получили: 

откуда  (отсюда при условии данной задачи 

имеем  ) т. е. центральная ось лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости  и отстоит от нее на расстоянии 

Рекомендуем решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, издания 1950 г. и последующих лет: 232, 234, 236, 237, 240, 241.

Центр тяжести

Дана система параллельных сил  которые приводятся к равнодействующей. Будем считать точки приложения сил фиксированными.

Центром параллельных сил называется точка приложения равнодействующей силы, обладающая тем свойством, что при повороте всех параллельных сил на один угол, с сохранением их параллельности, равнодействующая поворачивается вокруг центра параллельных сил С на тот же угол.

Координаты центра параллельных сил даются формулами:

здесь  — координаты точки приложения силы  где  В этих формулах  — величина силы, а — проекция силы  на ось, параллельную силам. При этом проекция силы считается положительной, если направления силы  и параллельной оси совпадают, и отрицательной, если направления силы  и параллельной оси противоположны.

Если твердое тело находится вблизи поверхности земли, то к каждой материальной частице этого тела приложена сила тяжести (считаем, что материальные частицы распределены в твердом теле непрерывно). Эти силы тяжести приближенно образуют систему параллельных сил (линии действия сил тяжести двух материальных частиц, лежащих на земной поверхности и отстоящих друг от друга на расстоянии 31 м, образуют угол, равный одной секунде).

Центр параллельных сил тяжести  называется центром тяжести С твердого тела, а сумма сил тяжести всех его материальных частиц называется весом Р твердого тела:

Координаты  центра тяжести С твердого тела даются приближенными формулами:

Эти формулы являются приближенными, так как координаты  точки приложения веса  материальной частицы определяются с точностью до размеров этой частицы.

Положение центра тяжести С твердого тела по отношению к его материальным частицам не зависит от состояния твердого тела.

Впредь будут рассматриваться однородные твердые тела, для которых удельный вес всех их материальных частиц постоянен.

Координаты  центра тяжести С однородного тела приближенно имеют вид

Здесь  материальной частицы,  — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, V—объем твердого тела:  Для повышения точности результата подсчета следует разбивать твердое тело на материальные частицы возможно меньшего объема.

Координаты центра тяжести С однородной поверхности приближенно даются формулами:

Здесь — площадь поверхности материальной частицы,  — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, S — площадь поверхности твердого тела:

В случае однородной пластинки, расположенной в плоскости хy (рис. 2.14) формулы (2*) принимают вид

Здесь суммы называются статическими моментами площади:    — статический момент площади однородной плоской фигуры относительно оси  — статический момент площади однородной плоской фигуры относительно оси х.

Если центр тяжести С однородной плоской фигуры лежит на некоторой оси, то статический момент площади относительно этой оси равен нулю. Например, если центр тяжести С лежит на оси х, то

Координаты центра тяжести С однородной линии приближенно имеют вид

Здесь — длина материальной частицы,  — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, L — длина тела (например, проволоки): В случае плоской кривой, лежащей в плоскости xy, координата

В тех случаях, когда объемы, площади или длины каждой частицы, а также их центры тяжести могут быть определены точно, формулы (1*), (2*), (3*) дают не приближенные, а точные значения координат центра тяжести всего тела. Если же упомянутые выше величины не могут быть определены точно, то читатель, владеющий методами интегрального исчисления, может вместо приближенных формул (1*), (2*), (3*) и (4*) пользоваться точными формулами:

а) в случае однородного твердого тела

где (интегрирование распространено по всему объему твердого тела);

б) в случае однородной поверхности

где  (интегрирование распространено по всей поверхности твердого тела);

в) в случае однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

г) в случае однородной линии

где (интегрирование распространено по всей длине тела).

Если линия является плоской и лежит в плоскости xy, то

Если в однородном твердом теле имеется плоскость симметрии, то центр тяжести С лежит в этой плоскости. Если же в теле имеется ось симметрии, то центр тяжести С лежит на этой оси.

Иногда для определения положений центров тяжести линий и площадей плоских фигур пользуются теоремами Гульдина.

Первая теорема Гульдина. Площадь боковой поверхности тела вращения (рис. 2.15), описанной плоской кривой (АВ), вращающейся вокруг оси (у), расположенной в плоскости кривой и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги L на длину окружности , описываемой центром тяжести С дуги: 

Вторая теорема Гульдина. Объем тела вращения (рис. 2.16), описанного плоской фигурой, вращающейся вокруг оси (y) расположенной в плоскости этой фигуры и не пересекающей ее контура, равен произведению площади фигуры S на длину окружности описанной ее центром тяжести С, т. е.

Положения центров тяжести некоторых твердых тел простейшей геометрической формы:

• а) центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке пересечения его диагоналей;
• б) центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан;
• в) центр тяжести дуги однородной окружности (рис. 2.17) находится на оси симметрии, и его положение определяется координатами:
• — радиус окружности, а —половина центрального угла;
• г) центр тяжести площади однородного кругового сектора (рис. 2.18) расположен на оси симметрии и имеет координаты:  где r — радиус окружности, а — половина центрального угла;
• д) центр тяжести С однородной призмы находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести  и верхнего и нижнего оснований этой призмы (рис. 2.19), т. е.
• е) центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину О пирамиды с центром тяжести ее основания,

на расстоянии   этого отрезка от центра тяжести основания

пирамиды (рис. 2.20), т. е.

• ж) центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстоянии 1/4 высоты от основания конуса (рис. 2.21), т. е.

При решении задач на определение положения центра тяжести однородного твердого тела существенную роль играет удачный выбор осей координат.

Если в твердом теле имеется плоскость симметрии, то одну из осей координат, например z, следует направить перпендикулярно к этой плоскости. Так как центр тяжести лежит в плоскости симметрии, т. е. в плоскости xy, то и остается определить только две координаты:

Если в твердом теле имеется ось симметрии, то одну из координатных осей, например х, следует совместить с осью симметрии. Так как центр тяжести лежит на оси симметрии, т. е. на оси х, то и остается определить только одну координату

Наиболее распространенным приемом использования формул (1*), (2*), (3*) или (4*) является мысленная разбивка однородного твердого тела на такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно, либо легко может быть определено.

Так, например, при разбивке площади однородной плоской фигуры, изображенной на рис. 2.22, на три части положение ее центра тяжести С определяется по формулам (3*):

здесь — координаты центра тяжести первой части плоской фигуры;  — площадь первой части и т. д.

В некоторых случаях целесообразно заменить твердое тело не суммой, а разностью отдельных его частей. Так, например, в случае пластинки с двумя вырезами, изображенной на рис. 2.23, ее площадь можно записать в виде разности площадей сплошной плоской фигуры I и двух вырезов 2 и 3, т. е. В этом случае положение центра тяжести однородной плоской фигуры определяется по формулам

здесь — координаты центра тяжести сплошной плоской фигуры I, площадь которой равна — координаты центра тяжести  выреза 2, площадь которого равна и т. д.

Следует иметь в виду, что прием разбивки однородного твердого тела на отдельные части приводит при использовании формул (1*), (2*), (3*) или (4*) к точному результату только в том случае, когда координаты центров тяжести отдельных частей, а также их площади (либо объемы, либо длины) могут быть точно определены. Поэтому в случаях твердых фигур с криволинейными контурами или твердых тел с поверхностями сложной формы точность результатов оказывается недостаточной (для повышения точности результата приходится разбивать тело на большее число частей, что усложняет решение задачи) и рекомендуется применять точные формулы (5*), (6*), (7*) или (8*).

Теоремами Гульдина удобно пользоваться в тех случаях, когда в число данных и неизвестных входят:

• а) длина вращаемой дуги, расстояние от центра тяжести этой дуги до оси вращения и площадь поверхности вращения, описанной дугой (первая теорема Гульдина);
• б) площадь вращаемой плоской фигуры, расстояние от центра тяжести плоской фигуры до оси вращения и объем тела вращения, описанного этой плоской фигурой (вторая теорема Гульдина).

Задача 2.18. Определить положение центра тяжести С однородного проволочного контура ОАВD, состоящего из двух прямолинейных отрезков , расположенных под углом 60° друг к другу =60°), и полуокружности ABD диаметра АD (рис. а).

Решение:

Проволочный контур имеет ось симметрии, вдоль которой мы проводим ось х. Взяв начало координат в точке О, направляем ось у по вертикали вверх.

Так как центр тяжести С контура лежит на оси симметрии х, то  Для определения координаты воспользуемся формулой (4*):

В данном случае целесообразно разбить весь проволочный контур на три части: два прямолинейных отрезка ОА и ОD длиной а каждый и полуокружность ABD радиуса а/2. Такая разбивка является удобной, так как положения центров тяжести каждой из этих частей нетрудно определить. Обозначим отрезок ОА номером 1, отрезок ОD — номером 2, полуокружность АВD — номером 3. Тогда формулу (1) можно записать в виде

где — абсциссы центров тяжести отрезков ОА и ОD, — абсцисса центра тяжести полуокружности АВD, а — длины этих частей проволочного контура. Как видно из рисунка,

Для определения воспользуемся тем, что расстояние от центра окружности до центра тяжести дуги определяется формулой

В данном случае и, следовательно, так как  имеем  Поэтому

Кроме того, имеем:

Подставив (3), (4) и (5) в формулу (2), получим:

Итак, центр тяжести проволочного контура находится в точке С с координатами:

Задача 2.19. Определить положение центра тяжести С площади поперечного сечения однородного штампа, изображенного на рис. а.

Решение:

Заметив, что сечение имеет ось симметрии, проведем вдоль оси симметрии ось х и перпендикулярно к ней, по вертикали вверх, ось у. Так как центр тяжести С сечения лежит на оси симметрии, т. е. на оси х, то необходимо определить лишь координату

Проведя вспомогательные линии МР и NS, разобьем площадь сечения на сумму площадей трех прямоугольников. Обозначим прямоугольник номером 1, прямоугольник  — номером 2 и прямоугольник  — номером 3. Тогда формулу (3*) можно записать в виде

Так как центры тяжести прямоугольников лежат в точках пересечения их диагоналей, то имеем:

Площади прямоугольников равны

Воспользовавшись (2) и (3), запишем формулу (1) в виде

Итак, центр тяжести площади сечения штампа находится в точке С с координатами: 

Эту задачу можно решить несколько иначе, проведя вспомогательную прямую АL (рис. б) и представив площадь данного сечения в виде разности площадей прямоугольников . Обозначив прямоугольник номером 1, а прямоугольник номером 2, запишем формулу (3*) в виде 

где — абсцисса центра тяжести прямоугольника   — абсцисса центра тяжести  прямоугольника и  — соответственно площади этих прямоугольников. Находим:

Подставив (5) в формулу (4), получим:

Второй прием решения задачи оказался более коротким. Этот прием замены площади данной плоской фигуры разностью двух площадей удобно также применить при решении следующей задачи.

Задача 2.20. Определить положение центра тяжести однородного кругового сегмента если радиус окружности равен r, а центральный угол равен

Решение:

Выберем оси координат: направим ось х вдоль оси симметрии, начало координат возьмем в центре окружности О, а ось у направим по вертикали вверх. Так как центр тяжести кругового сегмента АМВ лежит на его оси симметрии, т. е. на оси х, то Остается определить абсциссу центра тяжести С. Для этого представим площадь S сегмента АМВ как разность двух площадей: площади кругового сектора ОАМВ и площади равнобедренного треугольника ОАВ, т. е. 

Теперь формулу (3*) можно записать в виде

где— соответственно абсциссы центров тяжести кругового сектора ОАМВ и треугольника ОАВ. Находим:

(положения центров тяжести треугольника и кругового сектора указаны выше, в обзоре теории). Подставив (2) в формулу (I), получим:

Итак, координаты центра тяжести С кругового сегмента имеют
вид

 

Задача 2.21. Определить положение центра тяжести однородного полукольца, если его внешний и внутренний радиусы соответственно равны

Решение:

Направив ось х вдоль оси симметрии полукольца (рис. а), имеем Начало координат взято в центре О полукольца, ось у направлена по вертикали вверх.

Для определения абсциссы центра тяжести С представим площадь полукольца в виде разности двух площадей полукругов радиусов где  — площадь полукруга радиуса  — площадь полукруга радиуса r. Теперь формулу (3*) можно записать в виде

где  — соответственно абсциссы центров тяжести  полукругов радиусов 

Можно определить  как абсциссу центра тяжести кругового сектора (рис. б) при  Так как   (см. обзор теории), то при    имеем  Аналогично 
Итак,

Значения  можно было также получить из формулы (3) предыдущей задачи, считая полукруг круговым сегментом при 
Действительно,  При  имеем  

Аналогично 
Записав значения площадей  полукругов радиусов 

подставляем (2) и (3) в формулу (1). Имеем:

Итак, искомые координаты центра тяжести С полукольца имеют вид

Эту задачу можно было решить иначе, применив вторую теорему Гульдина:  где S — площадь полукольца,  — искомая абсцисса его центра тяжести С, V — объем тела вращения, описанного полукольцом вокруг оси у, т. е. объем полого шара, у которого внешний радиус равен  а внутренний  Следовательно,

Учитывая, что подставляем эти значения S и V в формулу (5)

и получаем:

Сопоставляя оба способа решения задачи, следует отдать предпочтение второму. Решение оказалось короче, кроме того, не было необходимости пользоваться формулой, определяющей абсциссу  центра тяжести С кругового сектора 

Однако следует заметить, что применение второй теоремы Гуль-дина оказалось эффективным потому, что вычисление площади плоской фигуры — полукольца и объема тела вращения — полого шара не представило затруднений. Если вычисление объема тела вращения оказывается громоздким, то применение второй теоремы Гульдина нецелесообразно.

Вместе с тем, если по условию задачи площадь плоской фигуры и положение ее центра тяжести известны, то применение второй теоремы Гульдина является удобным приемом для вычисления объема тела вращения (см. задачу 2.24).

Задача 2.22. На рисунке изображена схема корпуса баржи. Определить положение центра тяжести площади однородной поверхности, ограниченной снизу боковой поверхностью полуцилиндра, с торцов — плоскостями с боков—плоскостями 

и  сверху — плоскостью  Дано: — равные квадраты со стороной 2а,  — прямоугольник со стороной АВ, равной 10а. Оси  изображены на рис. а.

Решение:

Нетрудно видеть, что данная поверхность имеет ось симметрии, совмещенную с осью  Значит, центр тяжести С площади этой поверхности лежит на оси  и две его координаты  и  равны нулю. Таким образом, нам остается определить лишь координату 

Для этого мысленно разобьем данную поверхность на несколько поверхностей, так чтобы положение центра тяжести площади каждой из них можно было легко определить: 1 и 2 — поверхности квадратов  3 и 4 — поверхности полукругов 

5 — поверхность прямоугольника  6 и 7— поверхности прямоугольников  8— боковая поверхность полуцилиндра 

Координата центра тяжести  площади дайной поверхности, определяемая по формуле (2*):  в данном случае, при  имеет вид

Вычислим площади поверхностей  при  Получим: 

Затем определим значения координат  центров тяжести площадей поверхностей при 

Центры тяжести площадей квадратов 1 и 2 расположены в их центрах, т. е. 

В справочных данных о положении центров тяжести некоторых однородных тел был рассмотрен случай г): центр тяжести площади кругового сектора расположен на его оси симметрии и отстоит от центра окружности на расстоянии, равном  где  — радиус окружности, а  — половина центрального угла. В случае полукруга 3  Значит,  а координата центра тяжести  полукруга 3 равна Итак, 

Центры тяжести площадей прямоугольников 5, 6, 7 находятся в их центрах, т. е. 

Для определения координаты  центра тяжести площади боковой поверхности полуцилиндра используем случай в), рассмотренный для дуги однородной окружности. Ее центр тяжести отстоит от центра окружности на расстоянии  — радиус окружности, а  — половина центрального угла. В данном случае  а

 Значит,  а искомая координата равна 

Итак, подсчеты площадей и координат центров тяжести площадей отдельных частей данной поверхности дали следующие результаты:

Подставив эти значения в формулу (1), получим 

Значит, положение центра тяжести С площади данной однородной поверхности определяется координатами: 

Задача 2.23. Твердое тело состоит из однородного полого цилиндра I высотой Н с внешним и внутренним радиусами оснований, равными  и однородного сплошного конуса II с основанием радиуса  и высотой h.

Определить положение центра тяжести твердого тела, если 

Система осей  изображена на рисунке.

Решение:

Так как ось симметрии твердого тела совмещена с осью у, то 

Остается определить ординату  центра тяжести С. Обозначим центр тяжести цилиндра через  и через  — центр тяжести конуса.

Для вычисления воспользуемся формулой (1*), которая в данном случае имеет вид

где  — ординаты центров тяжести цилиндра А и конуса В, а — соответственно объемы этих тел. Находим:

(напомним, что центр тяжести  конуса отстоит на расстоянии одной четверти высоты от основания конуса).

Воспользовавшись соотношениями (2), запишем формулу (1) в виде

Учитывая, что по условию  окончательно имеем:

Итак, положение центра тяжести С данного твердого тела определяется координатами:

 

Задача 2.24. Однородный тор образован вращением круга радиуса  около оси, лежащей в плоскости этого круга. Расстояние от центра тяжести круга до оси вращения равно 

Определить площадь поверхности и объем тора.

Решение:

Направим ось  вдоль оси вращения и, следовательно, оси симметрии тора.

Так как расстояние  от центра тяжести С круга до оси вращения дано, а также известны длина окружности и площадь круга радиуса  то, применив обе теоремы Гульдина, можно легко определить площадь поверхности и объем тора.

Действительно, согласно первой теореме Гульдина  где  — расстояние от центра тяжести С линии, описывающей данную поверхность, до оси вращения, L — длина этой линии, S —площадь поверхности тела вращения.

В данном случае  и, следовательно, искомая площадь S поверхности тора равна

Для определения объема тела вращения применим вторую теорему Гульдина:  — расстояние от центра тяжести С плоской фигуры, описывающей данный объем, до оси вращения, S — площадь этой плоской фигуры, V — объем тела вращения.

В данном случае  следовательно, искомый объем V тора равен 

Применение обеих теорем Гульдина оказалось весьма эффективным.

Использование других приемов решения этой задачи, например формул интегрального исчисления, является более громоздким.

Кинематика

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором изучаются движения тела безотносительно к причинам, их вызывающим.

При движении тел относительно друг друга расстояния между точками этих тел могут изменяться. Эти изменения обычно определяются по отношению к некоторой системе отсчета, системе координат, которая и заменяет при изучении движений одно из тел. Если выбранная система координат условно принята за неподвижную, то движение других тел но отношению к этой системе отсчета называют абсолютным движением.

В классической механике время считают одинаковым для любых систем отсчета, что является приближением к истине, достаточно точным, если скорости рассматриваемых движений малы по сравнению со скоростью света.

За единицу времени принята секунда. Начало отсчета времени выбирается произвольно.

Движение точки

Движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Виды движений:

• А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки.
• Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.
• В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.
• Г) Гармоническое колебательное движение.

Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.

Траектория и уравнения движения точки

Основные определения: Траекторией точки называется линии, описываемая движущейся точкой в пространстве. Траектория может быть плоской или пространственной кривой. Движение точки определяется заданием закона движения. Закон (уравнение) движения точки устанавливает зависимость положения точки в пространстве от времени.

Движение точки М в неподвижной системе координат  определяется заданием трех функций (рис. 3.1)

которые называются уравнениями движения точки. Подставив в уравнения (1*) значение времени  можно определить координаты и, следовательно, положение точки в пространстве в этот момент времени. Уравнения (1*) представляют параметрические уравнения траектории точки. Для нахождения уравнений траектории точки в координатной форме необходимо из уравнений (1*) исключить время и получить зависимости вида