Решение задач по теоретической механике

На странице размещены готовые решения заданий и задач по теоретической механике с лекциями и примерами выполнения. К каждому разделу прикреплена большая теоретическая часть, содержащая основные теоремы и формулы теоретической механики, которые могут быть полезны при решении и выполнении задач.

Содержание:

  1. Основные законы статики 
  2. Плоская система сил
  3. Система сходящихся сил
  4. Равновесие твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил
  5. Теорема о трех непараллельных силах
  6. Метод проекций
  7. Момент силы относительно точки. Равновесие твердого тела с одной неподвижной  точкой
  8. Произвольная плоская система сил
  9. Случай параллельных сил
  10. Равновесие твердого тела при наличии плоской системы сил
  11. Опрокидывание твердых тел
  12. Приведение произвольной плоской системы сил к простейшему виду
  13. Равновесие системы твердых тел 
  14. Равновесие тел при наличии трения
  15. Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения
  16. Равновесие твердого тела при наличии трения качения
  17. Равновесие твердых тел при наличии трения гибких тел
  18. Графическая статика и методы расчета ферм
  19. Равновесие произвольной плоской системы сил
  20. Применение метода веревочного многоугольника к плоской системе сил
  21. Расчет усилий в стержнях фермы
  22. Определение усилий в стержнях фермы построением диаграммы Максвелла — Кремоны
  23. Определение усилий в стержнях фермы методом сечений
  24. Пространственная система сил
  25. Система сходящихся сил
  26. Произвольная пространственная система сил
  27. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве
  28. Приведение к одному центру сил, произвольно расположенных в пространстве
  29. Приведение произвольной пространственной системы сил к простейшему виду
  30. Центр тяжести
  1. Движение точки
  2. Траектория и уравнения движения точки
  3. Переход от уравнений движения в декартовых координатах к естественному уравнению движения
  4. Скорость и ускорение точки
  5. Простейшие движения твердого тела
  6. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
  7. Преобразование простейших движений 
  8. Сложное движение точки
  9. Абсолютное, переносное и относительное движения точки 
  10. Сложение движений. Определение траекторий и уравнении  движения в относительном и абсолютном движениях точки 
  11. Сложение скоростей. Определение скорости точки  в относительном, переносном и абсолютном движениях 
  12. Сложение ускорений
  13. Определение ускорении точки при переносном поступательном и произвольном переносном  движениях
  14. Скорость и ускорение точки в полярных, сферических и цилиндрических координатах
  15. Кинематика колебаний
  16. Гармонические колебания
  17. Негармонические колебания
  18. Плоское движение твердого тела
  19. Уравнения плоского движения твердого тела. Уравнения движения точки плоской фигуры 
  20. Определение уравнений плоского движения твердого тела и уравнений движения точки плоской фигуры
  21. Определение положении центра конечного вращения плоском фигуры
  22. Скорости точек плоской фигуры 
  23. Подвижная и неподвижная центроиды 
  24. Ускорения точек плоской фигуры 
  25. План скоростей и план ускорений 
  26. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей 
  27. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки и сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Общий случай движения твердого тела
  28. Определение скоростей н ускорений точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки 
  29. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей 
  30. Общий случай движения твердого тела. Сложение поступательных и вращательных движений 
  31. Скорости и ускорения точек твердого тела в общем случае движения
  32. Сложение поступательных и вращательных движений твердого тела
  33. Международная система единиц (СИ) 
  34. Определения основных единиц 
  35. Некоторые переводные множители
  1. Дифференциальные уравнения динамики материальной точки
  2. Основные формы дифференциальных уравнений динамики материальной точки
  3. Определение сил по заданному движению
  4. Определение движения по заданным силам
  5. Колебательное движение
  6. Восстанавливающая сила
  7. Свободные колебания материальной точки
  8. Влияние силы сопротивления, пропорциональной скорости, на свободные колебания материальной точки
  9. Вынужденные коле6ания материальной точки. Возмущающая сила
  10. Относительное движение
  11. Общие теоремы динамики
  12. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек
  13. Теорема о движении центра инерции системы материальных точек
  14. Центр инерции системы материальных точек
  15. Теорема о движении центра инерции системы материальных точек
  16. Случай сохранения скорости центра инерции системы материальных точек
  17. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек
  18. Импульс силы. Главный вектор количеств движения системы материальных точек
  19. Теорема об изменении количества движения материальной точки (в интегральной форме)
  20. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек (в интегральной форме)
  21. Теорема об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек в приложении к сплошным средам (теорема Эйлера)
  22. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек. Моменты инерции твердых тел
  23. Главный момент количеств движения системы материальных точек
  24. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
  25. Случай сохранения момента количества движения материальной точки
  26. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек
  27. Случай сохранения главного момента количеств движения системы материальных точек
  28. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
  29. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек в относительном движении по отношению к центру инерции
  30. Моменты инерции и эллипсоид инерции
  31. Динамика плоского движения твердого тела
  32. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек
  33. Работа силы
  34. Кинетическая энергия материальной точки и системы материальных точек
  35. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
  36. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек
  37. Потенциальная энергия
  38. Закон сохранения механической энергии
  39. Динамика несвободной системы материальных точек
  40. Классификация связей. Число степеней свободы. Классификация сил
  41. Метод кинетостатики
  42. Силы инерции. Приведение сил инерции к главному вектору и главному моменту
  43. Метод кинетостатики и его применение
  44. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения
  45. Принцип возможных перемещений
  46. Возможные перемещения. Идеальные связи
  47. Принцип возможных перемещений и его определение
  48. Рычаг Жуковского
  49. Общее уравнение динамики системы материальных точек
  50. Уравнения Лагранжа второго рода
  51. Обобщенные координаты. Обобщенные силы
  52. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах. Уравнения Лагранжа второго рода
  53. Приближенная теория гироскопов
  54. Динамика твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
  55. Движение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную точку
  56. Регулярная прецессия симметричного твердого тела, имеющего неподвижную точку
  57. Методов решения задач динамики
  58. Задачи динамики материальной точки
  59. Задачи динамики системы материальных точек
  60. Задачи динамики твердого тела
  61. Общие замечания по решению задач динамики
  62. Специальные задачи динамики
  63. Динамика материальной точки переменной массы
  1. Статика
  2. Основные понятия и определения
  3. Аксиомы статики
  4. Простейшие теоремы статики
  5. Статика. Равновесие системы сходящихся сил
  6. Равновесие плоской системы сил
  7. Равновесие системы тел
  8. Кинематика
  9. Кинематика точки
  10. Скорость точки
  11. Ускорение точки
  12. Векторный способ изучения движения
  13. Координатный способ изучения движения
  14. Кинематика точки и как её определять и решать
  15. Плоское движение твердого тела
  16. Определение угловой скорости плоской фигуры
  17. Определение скоростей точек плоской фигуры
  18. Определение углового ускорения
  19. Определение ускорений точек плоской фигуры
  20. Динамика
  21. Основные аксиомы классической механики
  22. Системы единиц
  23. Две основные задачи динамики точки
  24. Динамика механической системы и твердого тела, геометрия масс
  25. Теорема об изменении количества движения механической системы

Статика твердого тела

Статика твёрдого тела – часть механики, изучающая условия равновесия твёрдого тела. Действие сил на тело вызывает его деформацию. Поэтому, изучая условия равновесия тела, мы имеем дело с деформированным телом, т.е. с другим телом.

Основные законы статики 

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную. В основе теоретической механики лежат экспериментально установленные законы, справедливость которых проверена многовековой практической деятельностью человека. Основные определения и законы даны ниже. 

Изолированной называется материальная точка, действием на которую других материальных тел можно пренебречь. 

Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно. Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 

Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия (рис. I.I). 

Решение задач по теоретической механике
Эти две силы называются уравновешивающимися. Вообще силы 
называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому 
приложены эти силы, находится в покое. 

3акон 3. Не нарушая состояния *) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы. 

Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела. 

Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела. 

Равнодействующей называется сила, которая эквивалентна данной системе сил. 

Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой диагонали (рис. 1.2).

 Решение задач по теоретической механике
По модулю равнодействующая равна 
Решение задач по теоретической механике

Закон 5 (закон равенства действия и противодействия). Силы, с которыми два 
равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой, т. е. 
Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
Следует иметь в виду, что  действие — сила, приложенная к телу Решение задач по теоретической механике и противодействие— сила, приложенная к телу А, не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам. 

Закон 6 (закон отвердевания), тела не нарушается при его затвердевании. 

Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела. Так, абсолютно жесткий стержень может находиться в 
равновесии под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль стержня либо друг к другу, либо друг от друга (т. е. под действием как сжимающих, так и растягивающих сил), а нить, соответствующая этому стержню, может находиться в равновесии только под действием двух сил, направленных друг от друга. Под действием сил, направленных друг к другу, нить сомнется. 

Твердое тело называется свободным, если его движение ничем не ограничено. В большей части технических задач встречаются лишь несвободные твердые тела. 

 

Несвободным называется такое твердое тело, на которое наложены связи, ограничивающие его движение в некоторых направлениях. Так, для лампы, подвешенной на шнуре, связью является шпур; для книги, лежащей па с голе, связью является стол; для лестницы, приставленной к стене, связями являются пол и стена. Для шара, катящегося по бильярдному столу, связью является поверхность стола и его борта. 
Сила, характеризующая действие связи па твердое тело, называется реакцией связи. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила — действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу. 

Все силы, действующие на твердое тело, можно разделить па две группы: 
силы активные и реакции связей *). При этом активными следует считать все 
силы, не являющиеся реакциями связей. Таким образом, какая-либо неизвестная 
сила, не являющаяся реакцией связи, также являются активной силой.

Закон 7 (закон освобождаемости  от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей. 

Этот закон дает возможность, в частности, применить к несвободному твердому телу условия равновесия, справедливые для свободного твердого тела. При этом следует, отбросив связи, наложенные на твердое тело, заменить их соответствующими реакциями связей. Затем надлежит рассмотреть равновесие этого несвободного твердого тела, как тела свободного, под действием активных сил  и реакций связей. 

В большинстве задач па равновесие твердого тела следует, если это возможно, сразу указать направление реакций связей, а затем определить их модули в ходе решения задач. Для облегчения определения направления реакций связей рекомендуется внимательно ознакомиться с приведенными ниже примерами. 

1. Если твердое тело опирается па идеально гладкую (без трения) поверхность, то реакция поверхности направлена по нормали к ней и точке соприкосновение т. е. перпендикулярно к, касательной плоскости в данной точке поверхности (рис. 1.4). Такая реакция называется нормальной реакцией

Решение задач по теоретической механике

2. Если твердое тело в точках А и В (рис. 1.5) опирается на ребра двугранных углов, а в точке С—на гладкую плоскость, то для направления реакций связи в точках А и В следует применить 
метод обращения, т. е. представить, что двугранный угол опирается на твердое тело 
(рис. 1.6), являющееся для него связью. Эта обращенная задача сводится к рассмотренному 
выше случаю 1, т. е. опорная реакция Решение задач по теоретической механике направляется по соответствующей нормали. Снова 
обратив задачу, определяют искомое направление реакций в точках А и В, причем на основании закона равенства действия и противодействия: Решение задач по теоретической механике Реакция Решение задач по теоретической механике в соответствии со случаем 1, направляется перпендикулярно к горизонтальной плоскости (см. рис. 1.5). 

Решение задач по теоретической механике

3. Если твердое тело упирается острием в угол (например, лестница в выступ пола), то подобную связь следует рассматривать как двойную: угол А (рис. 1.7) препятствует перемещению твердого тела по горизонтали палено и по вертикали вниз. Поэтому две составляющие опорной реакции  Решение задач по теоретической механике следует направить противоположно 
этим перемещениям: первую — направо, вторую — вверх. (В подобных случаях реакцию Решение задач по теоретической механике
зачастую ошибочно направляют вдоль АВ.) 

Решение задач по теоретической механике

4. Цилиндрическим шарниром называется совокупность неподвижного валика А и надетой на него втулки В, соединенной с твердым телом D (рис. 1.8). При этом твердое тело может поворачиваться вокруг оси валика. В точке соприкосновения С втулки с валиком возникает опорная 
Решение задач по теоретической механике

реакция, направленная по нормали к отдельно гладким поверхностям соприкасающихся тел в точке касания. Так как положение точки С соприкосновение валика А с втулкой В заранее известно, то невозможно сразу указать направление реакции R. При решении задач 
реакция R заменяется двумя взаимно перпендикулярными составляющими Решение задач по теоретической механике Определив в ходе решения задачи Решение задач по теоретической механике находят модуль и направление реакции R. Нетрудно видеть, что реакцию можно разложить на составляющие по любым двум направлениям, например на Решение задач по теоретической механике или на Решение задач по теоретической механике (рис. 1.9) и т. д. 
Решение задач по теоретической механике

Обычно, пренебрегая диаметром валика, по сравнению с другими размерами, составляющие Решение задач по теоретической механике прилагают в центре О. 
5. В случае сферического шарнира (рис. 1.10) также нельзя заранее указать положение точки соприкосновения и, следовательно, направление реакции R. При решении задач реакция R сферического шарнира заменяется тремя взаимно перпендикулярными составляющими Решение задач по теоретической механике (рис. 1.11). 

Решение задач по теоретической механике
6. Если на твердое тело наложена гибкая связь (нить, канат, трос, пень и др.), то реакция приложена к твердому телу в точке его прикрепления к гибким связям. Реакция гибкой связи направлена по касательной к связи в точке ее наложения (рис. 1.12). 

Решение задач по теоретической механике

7. Если абсолютно жесткий невесомый прямолинейный стержень, концы которого соединены шарнирами с другими частями конструкции, находится в равновесии под действием сил, приложенных по его концам, то следует реакции направить вдоль стержня. 

Действительно, если к стержню со стороны других частей конструкции приложены силы в каждом из его концов, т. е. в шарнирах, то после сложения сил оказывается, что и каждом из шарниров приложено по одной силе. В результате стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных в шарнирах. Согласно второму закону эти силы по модулю равны и направлены в противоположные стороны по общей линии действия, т. е. вдоль стержня. При этом стержень подвергается растяжению силами Решение задач по теоретической механике (рис. 1.13, а) либо сжатию силами Решение задач по теоретической механике(рис. 1.13, б), причем Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике Если стержень подвержен растяжению, то реакции стержня Решение задач по теоретической механике приложенные к шарнирам, на основании закона равенства действия и противодействия направлены вдоль стержня друг к 
Решение задач по теоретической механике

другу (рис. 1.13, а). Если стержень подвержен сжатию, то реакции стержня Решение задач по теоретической механике приложенные к шарнирам, направлены вдоль стержня друг от друга (рис. 1.13, б). Следовательно, 

Решение задач по теоретической механике

(рис. 1.13, а), а также 

Решение задач по теоретической механике
(рис. 1.13, б). Так как Решение задач по теоретической механике
то получим: 
Решение задач по теоретической механике
Решение задач на равновесие твердого тела, независимо от взаимного расположения приложенных к телу сил, рекомендуется проводить в следующем порядке: 

  • 1) выделить твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть для отыскания неизвестных величин; 
  • 2) изобразить активные силы; 
  • 3) если твердое тело несвободно, то, примени» закон освобождаемости от связей, приложить к нему соответствующие реакции связей; 
  • 4) рассмотреть равновесие данного несвободного твердого тела, как тела свободного, находящегося под действием активных сил и реакций связей; 
  • 5) использовать необходимые и достаточные условия (уравнения) равновесия в соответствии со взаимным расположением сил, приложенных к твердому телу, и определить искомые величины. 

Обращаем внимание читателя на то, что этот порядок является общим при решении любых задач на равновесие твердого тела. Методы применения пятого пункта и дополнительные рекомендации будут сделаны в соответствующих параграфах. 

Напомним, что в технической системе единиц сила измеряется в Решение задач по теоретической механике а в системе единиц СИ — в Решение задач по теоретической механике (ньютонах), причем 
 Решение задач по теоретической механике
 

Плоская система сил

Система сил, действующих на плоскости, называется плоской системой сил. Особенностью плоской системы сил заключается в том, что линии действия этих сил уже не пересекаются в одной точке.

Система сходящихся сил

Система сил, линии которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Так как точки приложения сходящихся сил можно перенести по линиям их действия (в силу следствия из аксиомы №2) в точку пересечения этих линий, то систему сходящихся сил всегда можно заменить системой сил приложенных в одной точке.

Равновесие твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. После переноса всех сил по их линиям действия в эту точку получается эквивалентная система сил, приложенных в одной точке. 

Равнодействующая R системы сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке и 
изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах, т. е. равнодействующая R равна векторной сумме слагаемых сил: 
Решение задач по теоретической механике

При построении суммы векторов (рис. 1.14) надо к концу первого 
слагаемого вектора Решение задач по теоретической механике приложить вектор Решение задач по теоретической механике равный второму слагаемому вектору Решение задач по теоретической механике к концу второго слагаемого вектора Решение задач по теоретической механике присоединить вектор Решение задач по теоретической механике равный третьему слагаемому вектору Решение задач по теоретической механике и т. д. 
Суммой векторов R является замыкающий вектор, начало которого совмещено с началом первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего слагаемого вектора. Если векторы изображают силы, то многоугольник OABCD, построенный на рисунке для четырех слагаемых сил, называется силовым, а его замыкающая сторона OD является равнодействующей R. 

Решение задач по теоретической механике

Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины силового многоугольника оказываются лежащими из одной прямой. Равнодействующая R этой системы сил лежит на той же прямой. На рис. 1.15 изображена равнодействующая четырех сил Решение задач по теоретической механикеи Решение задач по теоретической механике лежащих на одной прямой. (Для ясности изображения линии действия сил несколько смещены друг относительно друга.) 

Решение задач по теоретической механике

Для равновесия твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма этих сил равнялась нулю: Решение задач по теоретической механике т.е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. Это значит, что конец вектора последней слагаемой силы должен 
совместиться с началом вектора первой слагаемой силы. На рис. 1.16 изображен замкнутый силовой многоугольник, построенный на пяти слагаемых силах. 

В случае равновесия твердого тела, к которому приложены силы, лежащие" на одной прямой, вершины замкнутого силового многоугольника оказываются лежащими на прямой, вдоль которой в обоих направлениях отложены слагаемые силы, векторная сумма которых 
равна нулю (рис. 1.17). 
Решение задач по теоретической механике

При решении задач на равновесие твердого тела, к которому приложена плоская система сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных к начале книги, на стр. 15.

Затем: 

  • 5) построить замкнутый силовой многоугольник (построение надо начинать с силы, известной как по модулю, так и но направлению); 
  • 6) решив силовой многоугольник, определить искомые величины. Если число активных сил и реакций связей, приложенных к твердому телу, находящемуся в равновесии, равно трем, то задача сводится к построению и решению силового треугольника. 

Задача 1.1. Однородный цилиндр М, вес которого Решение задач по теоретической механике лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Сверху на цилиндр давит вертикальная сила Решение задач по теоретической механике линия действия которой проходит через центр тяжести цилиндра. 

Определить давление цилиндра на горизонтальную плоскость. 

Решение:

 Рассмотрим равновесие несвободного цилиндра М (рис. а). К цилиндру приложены дне активные силы: Р — вес, —вертикальная сила давления. Вес цилиндра приложен в его центре тяжести С и направлен по вертикали вниз. Сила давления совпадает по направлению с весом цилиндра. 

На цилиндр наложена одна связь — гладкая горизонтальная плоскость, препятствующая перемещению цилиндра по вертикали вниз. 
Применив закон освобождаемоcти от связей, заменим действие горизонтальной плоскости на цилиндр соответствующей реакцией R (рис. б). 
Направим реакцию R в сторону, противоположную тому перемещению, которое ограничено горизонтальной плоскостью, т. е. по вертикали вверх. 
Теперь данное несвободное твердое тело можно рассматривать как тело свободное, 
к которому приложены активные силы Р и F и реакция горизонтальной плоскости R. 
Эти три силы лежат на одной прямой. 

Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины силового многоугольника оказываются расположенными на той же прямой. Изобразим вектор, равный силе Р, поместив его начало в произвольной точке. Из конца его, т. е. из точки А, проведем вектор, равный силе F. В конце его, т. е. в точке В, находится начало вектора R (рис. в). 

Так как при равновесии твердого тела сумма сил Р, F и R должна быть равна нулю, то конец вектора R должен совпасть в точке О с началом первой слагаемой силы Р (на рис. в для яс- 
ясности изображения линии действия сил Р и F и силы R несколько смещены друг относительно друга). Как следует из рис. в, Решение задач по теоретической механикеПодставив численные значения, получим Решение задач по теоретической механике

Давление твердого тела на горизонтальную плоскость равно но модулю реакции R этой плоскости и направлено ей противоположно, т. е. по вертикали вниз. 

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.2. Однородный шар весом Решение задач по теоретической механике опирается в точке А на гладкую наклонную плоскость, образующую угол Решение задач по теоретической механике с горизонтом, а в точке В на выступ, находящийся на одной горизонтали с точкой А. 

Определить опорные реакции наклонной плоскости и выступа. 

Решение:

Рассмотрим равновесие шара. К шару приложена одна активная сила — его вес Р, направленный по вертикали вниз. Шар находится в равновесии при наличии двух связей: наклонной плоскости и выступа. Применив закон освобождаемости, заменим действие 
на шар мысленно отброшенных связей соответствующими реакциями. Реакция Решение задач по теоретической механике гладкой наклонной плоскости направлена к ней перпендикулярно. В точке В проведем касательную (рис. б) и направим опорную реакцию перпендикулярно к касательной. Следовательно, 
линия действия Решение задач по теоретической механике проходит через центр тяжести шара С. 

Теперь можно рассмотреть шар как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием плоской системы трех сил: Решение задач по теоретической механике линии действия которых пересекаются в точке С. Для 

Решение задач по теоретической механике

равновесия шара необходимо и достаточно, чтобы сумма этих трех сил равнялась нулю. Поэтому силы образуют замкнутый силовой треугольник. 

Построение силового треугольника начнем с силы Р,  известной как по величине, так и но направлению. Из произвольной точки О (рис. в) проведем вектор, который равен силе Р. К концу силы Р  надо приложить начало силы Решение задач по теоретической механике Выбираем в качестве следующей стороны силового треугольника реакцию выступа Решение задач по теоретической механике Так как направление силы Решение задач по теоретической механикеизвестно, то проведем через точку А прямую АК, параллельную линии действия реакции Решение задач по теоретической механике Для последующего построения силового треугольника надо к концу Решение задач по теоретической механикеприложить начало силы Решение задач по теоретической механике Сделать это невозможно, так как модуль силы Решение задач по теоретической механике неизвестен. Несмотря на возникшее затруднение, построение силового треугольника можно успению завершить. Следует учесть, что при равновесии шара силовой треугольник должен быть замкнут. При этом конец вектора реакции Решение задач по теоретической механике должен совместиться с началом вектора силы Р, т. е. попасть в точку О. Поэтому проведем через точку О прямую OL, параллельную линии действия силы  . Точка В пересечения прямых АК и OL определяет положение третьей вершины В силового треугольника ОАВ. В построенном силовом треугольнике должно иметь место единое направление стрелок, т. е. в каждой из вершин треугольника должен быть расположен конец 
только одной из трех сил. 

Для определения модулей опорных реакций Решение задач по теоретической механике остается решить силовой треугольник ОАВ. Нетрудно видеть из рис. в, что углы, образованные линией действия силы Р с линиями действия реакций Решение задач по теоретической механике равны Решение задач по теоретической механике таким образом, силовой треугольник 
оказывается равносторонним и, следовательно, Решение задач по теоретической механике

Если бы при построении силового треугольника мы к концу силы Р приложили начало силы Решение задач по теоретической механике (а не Решение задач по теоретической механике как это было сделано выше), то получили бы силовой треугольник ОАО (рис. г), равный силовому треугольнику ОАВ. Решение этого силового треугольника, естественно, привело бы к тем же результатам. 

Задача 1.3. Через гвоздь, вбитый в стену, переброшен трос (рис. а). Один конец троса прикреплен к полу под углом 30° к горизонту. К другому концу троса поднесен груз, вес которого Решение задач по теоретической механике Определить величину реакции стены, в которую вбит гвоздь. 
Весом гвоздя пренебречь. Трос расположен в вертикал! ной плоскости. 

Решение:

Предварительно рассмотрим равновесие груза (рис. б). К грузу приложены: вес Р, направленный по вертикали вниз, и реакция троса Т, направленная по вертикали вверх. Воспользовавшись вторым законом о равновесии твердого тела под действием 
двух сил, получим: 
Решение задач по теоретической механике

Переходим к рассмотрению равновесия гвоздя. Мысленно рассекая левую и правую ветви троса вблизи гвоздя, заменим действие отброшенных частей троса 
его реакциями Решение задач по теоретической механике(рис. в). Силы  равны 
по модулю силе Т, но различны по направлению: Решение задач по теоретической механике
Связью, наложенной на гвоздь, является стена. 

Гвоздь находится в равновесии под действием активных сил ,Решение задач по теоретической механике  и реакции R стены, направление которой неизвестно. Так как 
Решение задач по теоретической механике

линии действия этих трех сил пересекаются в одной точке, то можно построить силовой треугольник на силах Решение задач по теоретической механике В данном силовом треугольнике две силы Решение задач по теоретической механике известны как по величине, так и но направлению. Проведя из произвольной точки О силу, векторно равную силе Решение задач по теоретической механике приложим к ее концу силу, векторно равную силе Решение задач по теоретической механике (рис. г). 

Так как при равновесии гвоздя силовой треугольник должен быть замкнут, то, соединив начало О силы Решение задач по теоретической механике с концом В силы определим реакцию стены Решение задач по теоретической механике Конец силы должен находиться в исходной точке О. При этом силовой треугольник ОАВ оказывается замкнутым. 

Для решения силового треугольника ОАВ воспользуемся вспомогательными построениями. Проведем из точки В направо горизонталь и продолжим ОА по вертикали вниз до пересечения с горизонталью в точке D. В треугольнике ABD угол ABD равен углу наклона левой ветви троса к горизонту, т. е. 30°. Следовательно, угол BAD равен 60°. Угол BAD является внешним по отношению к силовому треугольнику ОАВ. Замечая, что силовой треугольник ОАВ является равнобедренным (силы Решение задач по теоретической механике по модулю равны), имеем: Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике Теперь из треугольника ОАВ без труда находим искомый модуль реакций R стены: 
Решение задач по теоретической механике
 

Задача 1.4. Два абсолютно жестких стержня АВ и АС соединены шарниром в точке А и прикреплены к полу шарнирами В и С, образуя с полом соответственно углы 45° и 60° (рис. а). К валику шарнира А подвешен па нерастяжимой нити груз D, вес которого 
Решение задач по теоретической механике

Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и АС. Весом стержней пренебречь. 

Решение:

Для определения усилий в стержнях АВ и АС следует рассмотреть равновесие шарнира А. Однако непосредственно приступить к исследованию равновесия узла А невозможно, так как он находится в равновесии под действием трех неизвестных сил: 
реакций стержней АВ и АС и реакции нити AD. Поэтому для определения реакции нити предварительно рассмотрим равновесие груза D. Груз D находится в равновесии под действием двух сил: веса Р и реакции нити Т. Эти силы направлены в противоположные стороны (рис. б). Учитывая условие равновесия груза, получим, что Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Теперь, когда одна из трех сил, приложенных к шарниру А, известна, можно изучить равновесие шарнира А. К нему приложена одна известная сила — реакция нити Решение задач по теоретической механике направленная по вертикали вниз (на основании закона равенства действия и противодействия  Решение задач по теоретической механике Реакции Решение задач по теоретической механике стержней АВ и АС направлены вдоль 
стержней (см. на стр. 14 и 15 пример 7 направления реакции связей). 
На рис. в эти три силы изображены приложенными в шарнире А (в общем случае трудно заранее указать, направлены ли силы Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике вдоль стержней вверх или вниз; это будет уточнено в ходе последующего решения задачи). 

При равновесии шарнира А равнодействующая этих сил должна быть равна нулю, следовательно, силы Решение задач по теоретической механике образуют замкнутый силовой треугольник. 

Построение силового треугольника (рис. г) начнем с силы Решение задач по теоретической механике известной по величине и по направлению. Взяв произвольную точку О, приложим к ней силу Решение задач по теоретической механике Затем, проведя через начало и конец силы Решение задач по теоретической механике прямые OL и SK, соответственно параллельные стержням АС и АВ, получим в пересечении третью вершину Q силового треугольника OSQ. Изобразив на сторонах треугольника SQ  и QO стрелки так, чтобы сумма трех сил Решение задач по теоретической механике равнялась 
нулю (в каждой из вершин силового треугольника OSQ должен быть расположен конец только одной из трех сил), получим направления реакций Решение задач по теоретической механике

Перейдя к решению силового треугольника, заметим, что Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике
как углы с соответственно параллельными сторонами. Следовательно, Решение задач по теоретической механикеПрименив теорему синусов, получим: 
Решение задач по теоретической механике
откуда 
Решение задач по теоретической механике
Подставив численные значения, находим: 
Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике

Задача 1.5. На рис. а изображен механизм антипараллелограмма ABCD, состоящий из абсолютно жестких стержней АВ, ВС и CD, шарнирно соединенных между собой в точках В и С и прикрепленных шарнирами А и D к неподвижному звену 
AB = CD. К валику шарнира С приложена направленная по горизонтали налево сила Решение задач по теоретической механике (Впредь для краткости валик шарнира 
мы будем называть шарниром.) 

Определить величину силы Решение задач по теоретической механике приложенной в шарнире В и направленной по вертикали вниз, если механизм находится и равновесии и положении, указанном на рис. а, т. е. при Решение задач по теоретической механикеи Решение задач по теоретической механике Весом стержней пренебречь.

Решение задач по теоретической механике

 

Решение:

Для определения величины силы Fe следует рассмотреть равновесие шарнира В. Однако непосредственно это сделав невозможно, так как ни одна из трех сил, приложенных к шарниру В (сила Решение задач по теоретической механике и реакции стержней АВ и ВС), неизвестна по неличное. Поэтому для определения величины реакции стержня ВС предварительно рассмотрим равновесие шарнира С. К шарниру С приложена  активная сила Решение задач по теоретической механике и реакции стержней CD и СВ. Так как стержни 
соединены шарнирами, то реакции направлены вдоль соответствующих стержней. 

На рис. в изображен силовой треугольник для узла С. Из произвольной точки О проведена сила Решение задач по теоретической механике Через начало и конец силы Решение задач по теоретической механике проведены прямые ОК и ЕL, соответственно параллельные стержням СВ и CD. В точке пересечения этих прямых найдем третью вершину N силового треугольника OЕN. Направим векторы Решение задач по теоретической механикеи Решение задач по теоретической механикетак, чтобы сумма сил Решение задач по теоретической механике оказалась равной нулю.

Для определения углов в треугольнике OEN вернемся к рис. а. Соединив точки В и D, рассмотрим треугольники ABD и DCB. Эти треугольники раины по трем сторонам, так как по условию AD = BC, АB = CD, а сторона BD у них общая. Воспользовавшись равенством 
треугольников, найдем, что Решение задач по теоретической механике Теперь легко доказать равенство треугольников AMD и СМВ. Действительно, Решение задач по теоретической механике
Следовательно, Решение задач по теоретической механике

Обратившись теперь к силовому треугольнику OEN, нетрудно заметить, что Решение задач по теоретической механике Так как Решение задач по теоретической механике то получим: 

Решение задач по теоретической механике

Теперь мы можем определить искомую силу Решение задач по теоретической механике рассмотрев равновесие шарнира В (рис. г). К шарниру В приложены активная сила Решение задач по теоретической механике и реакции стержней АВ и ВС, направленные вдоль стержней. При этом реакции Решение задач по теоретической механике стержня нам известна. Она равна по модулю силе Решение задач по теоретической механике
определенной из силового треугольника OEN, и противоположно ей направлена, т. е. Решение задач по теоретической механике(см. на стр. 14 и 15 пример 7 направления реакций связей). 

Начнем построение силового треугольника для узла В с реакции Решение задач по теоретической механике отложив ее от произвольной точки Р (рис. д). Затем, проведя через начало и конец  прямые Решение задач по теоретической механике соответственно параллельные линиям действия искомой силы Решение задач по теоретической механике и стержню АВ, получим в их точке пересечения третью вершину Решение задач по теоретической механике силового треугольника PRS. Направим векторы Решение задач по теоретической механике так, чтобы силовой треугольник PRS оказался замкнутым. Так как линии действия сил Решение задач по теоретической механикеи Решение задач по теоретической механике соответственно параллельны стержням СВ и АВ, то Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике
Заметив, что Решение задач по теоретической механике как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, найдем из силового треугольника PRS: 
Решение задач по теоретической механике
Подставив значение Решение задач по теоретической механике из формулы (1) получим: 
Решение задач по теоретической механике

Теорема о трех непараллельных силах

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил 
пересекаются в одной точке (рис. 1.18).

 Решение задач по теоретической механике

Следует иметь в виду, что пересечение линий действия трех непараллельных сил в одной точке является лишь необходимым условием для равновесия твердого тела. Пересечение линий действия трех сил в одной точке не является достаточным условием, так как равнодействующая этих сил может оказаться не равной нулю. Следовательно, достаточным условием является наличие замкнутого силового треугольника при одновременном пересечении линий действия трех сил в одной точке. 

Теорема о трех непараллельных силах значительно облегчает решение задач на равновесие твердого тела в тех случаях, когда направление одной из трех уравновешивающихся сил неизвестно. Действительно, определив точку пересечения линий действия двух сил,  направления которых известны, можно указать направление линии действия третьей силы, так как она должна пройти через точку приложения этой силы и точку пересечения линий действия первых двух сил. 

Задача 1.6. На рис. а изображена схема суппорта универсального металлорежущего станка с закрепленным в нем резцом. К резцу в точке D со стороны обтачиваемого изделия (На рисунке изделие не показано) приложено давление N, образующее угол 30° с вертикалью и равное по модулю Решение задач по теоретической механике Схематизируя опоры суппорта, считаем, что опорой А является цилиндрический шарнир, а в точке В суппорт поддерживается пружиной. 

Пренебрегая весом суппорта, определить реакцию опоры и силу упругости пружины. Размеры указаны па рисунке. 
 

Решение:

Рассмотрим равновесие суппорта, к которому приложены силы: N—давление обтачиваемого изделия на упругости пружины, направленная но вертикали резец, F — сила 
вверх. Применив 

Решение задач по теоретической механике

закон освобождаемое от связей, мысленно отбросим цилиндрический шарнир А и компенсируем его действие на суппорт соответствующей реакцией Решение задач по теоретической механике Обычно мы не можем заранее указать направление этой реакции (см. пример 4 направления реакций на 
стр. 13 и 14). Однако в данном случае суппорт находится в равновесии под действием трех непараллельных сил: Решение задач по теоретической механике Поэтому можно воспользоваться теоремой о трех непараллельных силах, согласно которой линии действия сил Решение задач по теоретической механике должны пересекаться в одной точке. Так как линии действия сил N и F пересекаются в точке Е
то линия действия силы Решение задач по теоретической механике также должна проходить через эту точку  (см. рис. б). 

Построение силового треугольника (см. рис. в) начнем с силы N, приложив ее в произвольной точке О, взятой вне основного рисунка. Через начало О и конец Q вектора N проведем прямые, параллельные линиям действия сил Решение задач по теоретической механике В точке пересечения этих прямых 
найдем третью вершину М силового треугольника Решение задач по теоретической механике Направим векторы Решение задач по теоретической механике так, чтобы силовой треугольник оказался замкнутым, т. е. чтобы в каждой из его вершин был расположен конец только одной силы. 

Для решения силового треугольника выполним на рис. б вспомогательное построение: проведем через точку D вертикаль до пересечения в точке  Решение задач по теоретической механике с прямой АЕ. Нетрудно видеть, что треугольники ОMQ (рис. в) и DLE (рис. б) подобны, ибо имеют соответственно 
параллельные стороны. Определим длины сторон треугольника DLE. Из прямоугольного треугольника DKE, и котором, по условию, Решение задач по теоретической механике имеем Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Поэтому Решение задач по теоретической механике

Средняя линия CL треугольника ВАЕ равна Решение задач по теоретической механике

Значит, Решение задач по теоретической механике Для определения LE предварительно вычислим АЕ из прямоугольного треугольника Решение задач по теоретической механике Имеем Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике
Так как  Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеИтак, стороны треугольника DLE равны  Решение задач по теоретической механике

Использовав подобие треугольников ОMQ и DLE, запишем: 
Решение задач по теоретической механике
откуда 

Решение задач по теоретической механике

Подставив значения LE, DE и DL из формул (2), а также значение Решение задач по теоретической механике получим: 
Решение задач по теоретической механике
 

Задача 1.7. Однородная палочка весом Р и длиной опирается концом А о гладкую внутреннюю поверхность полусферической чаши радиуса Решение задач по теоретической механике Промежуточной точкой В палочка опирается о ребро чаши. 

Определить величину угла а, образуемого палочкой с горизонтом в положении равновесия, и опорные реакции в точках А и ВС — центр тяжести палочки, М — центр сферы, половина которой образует чашу рис. а). 

Решение:

Если опустить палочку концом А в полусферическую чашу, то она займет и ней положение равновесия при некотором фиксированном значении угла Решение задач по теоретической механике образуемого палочкой с горизонтом. При этом угол Решение задач по теоретической механике зависит от длины палочки и радиуса чаши Решение задач по теоретической механике
 

В случае равновесия угол Решение задач по теоретической механике должен быть таким, чтобы линии действия трех сил, приложенных к палочке, — веса Р и реакций Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике— пересекались в одной точке. Реакцию Решение задач по теоретической механике направим по нормали к поверхности и данной точке, т. е. по радиусу AM, а реакцию Решение задач по теоретической механике — перпендикулярно к палочке (рис. б). Пусть О — точка пересечения линий действия этих трех сил. Такого построения оказывается достаточно для определения значения угла Решение задач по теоретической механике Рассматривая равнобедренный треугольник АМВ, имеем Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике Так как Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике  Угол АВО вписанный в окружность радиуса Решение задач по теоретической механике является по построению прямым. Он должен опираться на диаметр окружности; поэтому Решение задач по теоретической механике Из треугольника AOS находим Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Из треугольника ACS имеем Решение задач по теоретической механике
(Так как центр тяжести однородной палочки расположен в ее середине, то Решение задач по теоретической механикеСледовательно, 
Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Заменив Решение задач по теоретической механике через Решение задач по теоретической механике получим: 
Решение задач по теоретической механике
или 
Решение задач по теоретической механике
Решив это квадратное уравнение, найдем: 
Решение задач по теоретической механике
Так как Решение задач по теоретической механике Поэтому, отбросив отрицательное значение Решение задач по теоретической механике окончательно получим:

 Решение задач по теоретической механике
Для определения опорных реакций Решение задач по теоретической механике построим замкнутый силовой треугольник (рис. в). Из произвольной точки К проводим вектор, равный силе Р. Проведя через начало вектора Р прямую Решение задач по теоретической механикепараллельную реакции Решение задач по теоретической механике а через конец вектора Р — прямую LD,  параллельную реакции Решение задач по теоретической механике получим в точке пересечения этих прямых третью вершину N силового треугольника KLN. Из сравнения рис. б и в нетрудно видеть, что Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике и, следовательно, Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Применив к силовому треугольнику KLN теорему синусов, запишем: 
Решение задач по теоретической механике
откуда 

Решение задач по теоретической механике
где Решение задач по теоретической механике определяется по формуле (2). 

Метод проекций

Ортогональная проекция силы па ось, подобно проекции любого вектора на ось, раина произведению модуля силы на косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлением проектируемой силы (рис. 1.19): 
Решение задач по теоретической механике
Проекция силы па ось является алгебраической величиной. Если угол между положительным направлением оси проекций и вектором 

Решение задач по теоретической механике

заключен в пределах от 0° до 90°, либо от 270° до 360°, то проекция силы на ось положительна. Если же он лежит в пределах oт 90° до 270°, то проекция силы на ось отрицательна. Если сила перпендикулярна к оси, то проекция силы на ось равна нулю. По этому способу определяются ортогональные проекции силы на координатные оси х и у (рис. 1.20) 
Решение задач по теоретической механике
Впредь для краткости будем обозначать: 

либо Решение задач по теоретической механике
Следовательно, 
Решение задач по теоретической механике
С помощью этих формул, зная модуль и направление силы, можно определить ее проекции на оси ортогональных декартовых координат. 
Решение задач по теоретической механике
В случае решения обратной задачи, т. е. при определении модуля и направления силы по заданным проекциям на оси декартовых координат, вычисление ведется по формулам: 
Решение задач по теоретической механике
Нельзя отождествлять понятия проекции силы и ее составляющей. На рис. 1.21 изображена сила F, разложенная на две составляющие  силы Решение задач по теоретической механике направленные параллельно соответствующим осям координат, т. е. Решение задач по теоретической механике Составляющая силы является вектором, 
который можно представить в виде произведения проекции силы на орт (единичный вектор) соответствующей оси, т. е. 
Решение задач по теоретической механике
Следовательно, разложение силы на составляющие можно записать в виде 

Решение задач по теоретической механике
Орты осей координат всегда направлены в положительных направлениях соответствующих осей. Знак проекции силы определяет направление ее составляющей, т. е. если проекция силы положительна, то направление составляющей силы совпадает с положительным направлением соответствующей оси, если же проекция силы отрицательна, то направление составляющей силы противоположно положительному направлению соответствующей оси. 

Переходим к определению равнодействующей плоской системы сходящихся сил методом проекций. Пусть даны силы Решение задач по теоретической механике В плоскости действия сил построена система осей декартовых координат ху. Разложения данных сил по ортам этих осей координат 
имеют вид 
Решение задач по теоретической механике
Разложение равнодействующей плоской системы сходящихся сил по ортам этих осей координат дается формулой: Решение задач по теоретической механике где Решение задач по теоретической механике — проекции равнодействующей на соответствующие оси. 
Проекции равнодействующей на оси декартовых координат равны алгебраическим суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси 
Решение задач по теоретической механике
Определив по этим формулам проекции равнодействующей, можно вычислить ее модуль Решение задач по теоретической механике
и направляющие косинусы 
Решение задач по теоретической механике
Уравнения равновесия твердого тела при наличии плоской системы сходящихся сил. Для равновесия твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на оси декартовых координат равнялись нулю: 

Решение задач по теоретической механике
или, в более краткой записи, 
Решение задач по теоретической механике
Задача называется статически определенной, если число неизвестных равно числу независимых уравнений равновесия. Если же число неизвестных больше числа независимых уравнений равновесия, то задача называется статически неопределенной. В последнем случае 
одними уравнениями статики задача не может быть решена. Для ее решения следует привлечь уравнения, даваемые другими дисциплинами, например сопротивлением материалов. 

Задача на равновесие твердого тела под действием плоской системы сходящихся сил является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более двух. Так, если известны направления всех слагаемых сил и модули всех сил, кроме двух, то можно определить неизвестные модули двух сил. Если одна из сил не известна пи по величине, ни по направлению, то все остальные слагаемые силы должны быть заданы. 

Преимущества аналитического метода проекций по сравнению с геометрическим методом силового многоугольника особенно заметны в задачах на равновесие твердого тела при наличии более трех сходящихся сил. Действительно, решение силового четырех-, пяти- и 
Решение задач по теоретической механикеугольника представляет известные трудности, в то время как решение задачи методом проекций лишь незначительно усложняется при увеличении числа проектируемых сил. 

При решении методом проекций задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием плоской системы сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Затем: 

  • 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных не более двух; 
  • 6) выбрать в плоскости действия сил систему осей декартовых координат ху
  • 7) составить уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси декартовых координат (7*); 
  • 8) решить систему составленных уравнений равновесия и определить искомые величины; если величина какой-либо из неизвестных сил окажется отрицательной, то это означает, что направление силы противоположно тому, которое было указано на рисунке. 

Если по условию задачи требуется определить равнодействующую, то после выполнения первых четырех пунктов решения задачи надо вычислить проекции равнодействующей Решение задач по теоретической механике но формулам (4*), затем определить модуль равнодействующей и ее направляющие косинусы по формулам (5*) и (6*). 

При выборе осей декартовых координат целесообразно их направить так, чтобы они были параллельны либо перпендикулярны большинству слагаемых сил. При определении проекции силы на ось можно пользоваться следующим приемом: вычислить модуль проекции силы как произведение модуля силы па косинус острого угла между линией действия силы 
Решение задач по теоретической механике
и прямой, лежащей на оси проекций. Для определения знака проекции силы надо смотреть па проектируемую силу и ось проекции так, чтобы плоскость, проходящая через них, была видна в виде прямой. Если при этом направления силы и осп совпадают, то проекция силы положительна, если же направления силы и оси противоположны, то проекция силы отрицательна. 

Например, проекции на ось х сил Решение задач по теоретической механике изображенных на рис. 1.22, а, положительны, и можно сразу записать: 
Решение задач по теоретической механике
вместо того чтобы производить вычисления 
Решение задач по теоретической механике
Проекции же сил Решение задач по теоретической механике показанных на рис. 1.22,6, отрицательны, так как непосредственно ясно, что 
Решение задач по теоретической механике
Сложнее было бы вычислить проекции формально: 

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.8. Решить задачу Решение задач по теоретической механикеметодом проекций. 

Решение:

Воспользуемся изображением сил Решение задач по теоретической механике данным па рис. й к задаче 1.4. Направим ось х по горизонтали право и ось у по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия шарнира А в проекциях на оси х и у
Решение задач по теоретической механике
Решив эту систему уравнений, найдем 
Решение задач по теоретической механике

Решение этой задачи аналитическим методом проще геометрического метода (см. решение задачи 1.4). 

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.9. На рисунке изображены четыре силы Решение задач по теоретической механикеприложенные к твердому телу в точке О и лежащие в одной плоскости. 

Определить модуль и направление силы Решение задач по теоретической механике которую следует приложить в точке О для того, чтобы твердое тело находилось в равновесии. Дано: Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике
 

Решение:

Для решения задачи методом проекций направим оси декартовых координат: ось х — по горизонтали направо, ось у — по вертикали вверх. Уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси х и у имеют вид 
Решение задач по теоретической механике
или 
Решение задач по теоретической механике
где Решение задач по теоретической механике — проекции неизвестной силы Решение задач по теоретической механике на оси х и у. Так как число неизвестных равно числу уравнений, то задача является статически определенной. 

Решение задач по теоретической механике

Вычислим проекции четырех заданных сил Решение задач по теоретической механике на оси х и у
Решение задач по теоретической механике
Подставляя эти значения в уравнения (1) и (2), получим: 
Решение задач по теоретической механике

Из уравнений (3) и (4) найдем Решение задач по теоретической механике Модуль искомой силы Решение задач по теоретической механике равен 
Решение задач по теоретической механике

Вычислим направляющие косинусы: 
Решение задач по теоретической механике
откуда 
Решение задач по теоретической механике

Определение искомой силы Решение задач по теоретической механикеметодом проекций не составило особого труда. При геометрическом методе решения этой задачи пришлось бы построить силовой пятиугольник и затем определить модуль и направление силы Решение задач по теоретической механике. Преимущества метода проекций бесспорны. 

Задача 1.10. При монтаже колонны МN для подъема груза С весом Р на вершину колонны использованы два крана. Груз поднимается с помощью троса ВСА, прикрепленного концом В к неподвижному левому крану (кран на рис. а не изображен), а концом А — к тележке правого крана. При движении тележки по горизонтали направо груз — полый цилиндр, скользит вдоль колонны MN вверх. Длина троса равна L. Расстояние от неподвижного левого конца В 
троса до колонны MN равно Решение задач по теоретической механике

Считая, что груз С находится в покое, определить натяжение троса и давление груза на колонну. Угол, образованный левой ветвью троса с колонной равен а. Весом троса и трением груза о колонну пренебречь. 

Решение:

Для определения неизвестных рассмотрим равновесие груза С. К грузу приложена одна активная сила — его вес Р. На груз наложены связи: трос ВСА и колонна MN. Реакция R гладкой колонны перпендикулярна к ее оси (см. рис. б). Изобразим ее по горизонтали налево. Мысленно рассечем обе ветви троса вблизи точки С. Реакции Решение задач по теоретической механике направлены вдоль ветвей троса, причем Решение задач по теоретической механике

Направим ось х по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. Обозначив угол Решение задач по теоретической механике запишем уравнения проекций всех сил, приложенных к грузу С, на оси х и у. 
Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (2) найдем: 
Решение задач по теоретической механике
Использовав значение (З) в уравнении (1), получим: 
Решение задач по теоретической механике
Остается выразить Решение задач по теоретической механике Обозначим: Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеПо условию 
Решение задач по теоретической механике
Из треугольника Решение задач по теоретической механике имеем: 
Решение задач по теоретической механике
Воспользовавшись треугольником Решение задач по теоретической механике и выражениями (5) и (6), запишем: 

Решение задач по теоретической механике
Теперь нетрудно вычислить Решение задач по теоретической механике С помощью результата (7), после несложных преобразований, получим: 

Решение задач по теоретической механике
Подставив значения Решение задач по теоретической механикеокончательно получим: 
Решение задач по теоретической механике
По мере подъема груза С угол Решение задач по теоретической механике увеличивается, стремясь к 90° (значит, Решение задач по теоретической механике При этом модуль реакции троса также растет. Груз С невозможно поднять на уровень горизонтали АВ, ибо при этом Решение задач по теоретической механике и величина T неограниченно возрастает.

Искомые натяжение троса и давление груза С на колонну соответственно равны по модулям силам Т и R. 

Решение этой задачи с помощью силового многоугольника значительно сложнее, ибо приходится решать замкнутый силовой четырехугольник, построенный на силах Решение задач по теоретической механике

Момент силы относительно точки. Равновесие твердого тела с одной неподвижной 
точкой

Момент силы относительно точки О, который записывается в виде Решение задач по теоретической механике для плоской системы сил равен по абсолютной величине произведению модуля силы F на расстояние h от точки О до линии действия силы F, называемое плечом

Если сила F стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, то 
момент силы положителен, если же в направлении часовой стрелки, то отрицателен. 
(В дальнейшем вместо: «сила стремится повернуть тело вокруг точки О ...», будем говорить: «сила видна направленной вокруг точки О»). Например (рис. 1.23), Решение задач по теоретической механике

Размерность момента силы в технической системе единиц — Решение задач по теоретической механике а в системе Решение задач по теоретической механике (джоуль), причем Решение задач по теоретической механике

Следует помнить, что плечо h является отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Иногда ошибочно в качестве плеча изображают отрезок, соединяющий точку, относительно которой вычисляется момент, с точкой приложения силы.  

Решение задач по теоретической механике

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно нулю. Например: Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Теорема Вариньо- на для системы сходящихся сил (теорема о моменте равнодействующей): момент относительно точки равнодействующей системы сходящихся сил Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикерасположенных в одной плоскости, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки: 
Решение задач по теоретической механике
Здесь 
Решение задач по теоретической механике

Удобство применения теоремы Вариньона заключается в том, что, минуя непосредственное определение равнодействующей, можно вычислить ее момент относительно точки, 
зная моменты всех слагаемых сил относительно той же точки. Выражение момента силы F относительно точки А через проекции силы на оси декартовых координат- имеет 
вид 
Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике — проекции силы F на оси декартовых координат, х и у — координаты точки В приложения силы F, а и b — координаты точки А (рис. 1.24). 

Решение задач по теоретической механике

Этой формулой рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда определение величины плеча h связано с вычислительными трудностями. 

В частности, если момент силы F определяется относительно начала координат О, т. с. a = b= 0, то формула принимает вид 

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике — проекции силы F на оси декартовых координат, х и у — координаты точки приложения силы F. 

Перейдем к рассмотрению задач на равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой. Если единственной связью, наложенной на твердое тело, находящееся в равновесии, является неподвижная точка (например, шарнир), то ее реакция должна уравновешиваться с равнодействующей всех активных сил. Следовательно, при равновесии твердого тела линия действия равнодействующей всех активных сил должна проходить через неподвижную точку. В противном случае происходит опрокидывание твердого тела. 

Для определения условий, обеспечивающих равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой, к которому приложена плоская система сходящихся сил, необходимо направить линию действия равнодействующей активных сил через точку пересечения линий действия 
активных сил и неподвижную точку. 

Эти же задачи можно решать с помощью теоремы Вариньона, записанной относительно неподвижной точки. Так как при этом момент равнодействующей активных сил, проходящих через неподвижную точку, равен нулю, то сумма моментов всех активных сил относительно неподвижной точки также равна нулю: 
Решение задач по теоретической механике
где О — неподвижная точка. 

Задача 1.11. Тонкий однородный стержень АВ весом Р может поворачиваться вокруг шарнира В, прикрепленного к полу. Определить величину силы F, которую нужно приложить по горизонтали вправо в конце стержня А для того, чтобы стержень оставался в равновесии, образуя угол Решение задач по теоретической механике с вертикалью (рис. а). 

Решение:

Рассмотрим условия равновесия стержня АВ. К стержню приложены две активные силы: Р и F, линии действия которые пересекаются в точке О. Единственной связью, наложенной на стержень, является шарнир В. Линия действия реакции N шарнира согласно теореме о трёх непараллельных силах должна проходить через точку О. 

Решение задач по теоретической механике

Итак, стержень АВ находится в равновесии под действием трех сходящихся сил Р, F и N. Для того чтобы не произошло опрокидывания стержня АВ вокруг шарнира В, линия действия равнодействующей R активных сил Р и F должна проходить через точки О и В, т. е. должна составлять с вертикалью угол OBD, который мы обозначим через Решение задач по теоретической механике Учтя, что вес Р приложен в середине стержня, получим АС=СВ. При этом АО = OD. Так как Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикето Решение задач по теоретической механике

Построив на рис. б равнодействующую R активных сил Р и под углом C к вертикали, найдем из прямоугольного треугольника KLM

Решение задач по теоретической механике
При выполнении этого условия стержень АВ будет находиться в равновесии. Если Решение задач по теоретической механике то стержень опрокинется вокруг шарнира В в направлении по часовой стрелке, если же Решение задач по теоретической механике то против часовой, стрелки. 

Данную задачу проще всего решить, применив условие равновесия рычага (11*) которое здесь имеет вид 
Решение задач по теоретической механике

Так как 
Решение задач по теоретической механике

то, подставив эти значения в формулу (1), получим: 
Решение задач по теоретической механике
откуда 

Решение задач по теоретической механике

Произвольная плоская система сил

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости. Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил: R = ΣFk.

Случай параллельных сил

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону. Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются системой параллельных сил. При этом силы, линии действия которых параллельны, но векторы направлены в противоположные стороны, называют антипараллельными.

Равновесие твердого тела при наличии плоской системы сил

Напомним сначала, что равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, раина по модулю 
сумме модулей данных сил и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей делит внутренним образом расстояние между линиями действия данных сил па части, обратно пропорциональные этим силам. Таким образом (рис. 1.25), 
Решение задач по теоретической механике

Равнодействующая двух параллельных сил, не равных по модулю (пусть Решение задач по теоретической механике и направленных в разные стороны, равна по модулю разности модулей этих сил и направлена в сторону большей 

Решение задач по теоретической механике

силы. Линия действия равнодействующей делит внешним образом расстояние между линиями действия данных сил на части, обратно пропорциональные этим силам. Таким образом (рис. 1.26), 

Решение задач по теоретической механике
Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в разные стороны, называется парой сил (рас. 1.27).

 Решение задач по теоретической механике

Расстояние между линиями действия этих сил называется плечом пары. Так как две силы, равные по модулю и направленные в разные стороны, не лежат на одной линии действия, то твердое тело, к которому приложена пара сил, не находится 
в равновесии. Пара сил стремится повернуть твердое тело, к которому она приложена. 

Мерой действия пары сил является алгебраическая величина, называемая ее моментом. Момент пары сил равен по абсолютной величине произведению модуля одной из сил пары на плечо. Если пара сил видна направленной против часовой стрелки, то момент пары 
положителен, если по часовой стрелке, то отрицателен. Примеры даны на рис. 1.28. 

Теория пар сил на плоскости сводится к четырем теоремам. 

Теорема 1. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки плоскости не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары. 

Теорема 2. Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия. 

Теорема 3. Пары сил, моменты которых равны, эквивалентны. (Пары сил называются эквивалентными, если одну из пар можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.) 

Решение задач по теоретической механике

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно изменять величину плеча либо величину силы, сохраняя при этом неизменным момент пары сил (рис. 1.29). 

Решение задач по теоретической механике

Теорема 4 (сложение пар сил на плоскости). При сложении нескольких пар сил на плоскости получается равнодействующая пара, момент которой Решение задач по теоретической механике равен сумме моментов слагаемых пар: 

Решение задач по теоретической механике

На рис. 1.30, а показаны три пары сил с моментами Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике
 а на рис. 1.30,6 представлена их равнодействующая пара с моментом Решение задач по теоретической механике

Для равновесия твердого тела под действием пар сил, лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов данных пар равнялась нулю: 

Решение задач по теоретической механике

Приведение силы к данной точке. При приведении силы к данной точке добавляется присоединенная пара сил, момент которой равен моменту данной силы относительно центра приведения. 

Решение задач по теоретической механике

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно силу F приложить в точке В (рис. 1.31), добавив присоединенную пару сил, момент которой равен моменту заданной силы F относительно центра приведения В. Приведением силы к данной точке широко пользуются при преобразовании произвольной плоской системы сил к простейшему виду. 

Решение задач по теоретической механике

Главным вектором V называется векторная сумма сил, приложенных к твердому телу, т. е. 

Решение задач по теоретической механике

Проекции главного вектора  Решение задач по теоретической механике на оси декартовых координат равны суммам 
проекций данных сил на соответствующие оси: 

Решение задач по теоретической механике

Модуль главного вектора

Решение задач по теоретической механике

Направляющие косинусы главного вектора определяются по формулам: 

Решение задач по теоретической механике

Главным моментом Решение задач по теоретической механике относительно центра О называется сумма моментов сил, приложенных к твердому телу, относительно этого центра, т. е. 

Решение задач по теоретической механике
В соответствии с определением главный вектор V является статическим инвариантом, т. е. величина и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения системы. Главный момент системы при перемене центра, вообще говоря, меняется. Главный момент Решение задач по теоретической механике плоской системы сил относительно нового центра приведения А равен сумме главного момента этой системы сил относительно старого центра О и момента относительно нового центра А главного вектора V, приложенного в старом центре О
Решение задач по теоретической механике

Приведение к одному центру сил, произвольно расположенных па плоскости. В результате приведения сил, произвольно расположенных на плоскости, к одному центру О система сил преобразуется к приложенной в этом центре силе, равной главному вектору V, и паре сил, момент которой равен главному моменту Решение задач по теоретической механике

Не следует отождествлять силу V с равнодействующей R, так как равнодействующая — это одна сила, которая эквивалентна данной системе сил, а сила V эквивалентна данной системе сил только в совокупности с парой сил, момент которой равен главному моменту Решение задач по теоретической механикеЧастные случаи приведения сил, произвольно расположенных на плоскости, а) Главный вектор равен нулю, но главный момент не равен нулю, т. е. Решение задач по теоретической механике Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту Решение задач по теоретической механике(в этом случае главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения). 

б) Главный вектор не равен нулю, но главный момент равен нулю, т. е. Решение задач по теоретической механике Система сил приводится к равнодействующей Решение задач по теоретической механике приложенной в центре приведения системы. 

в) Главный вектор и главный момент системы не равны пулю, т. е. Решение задач по теоретической механикеСистема сил приводится к равнодействующей Решение задач по теоретической механике линия действия которой отстоит от линии действия силы на расстоянии Решение задач по теоретической механике Положение линии действия равнодействующей Решение задач по теоретической механике должно быть таким, чтобы знак момента равнодействующей Решение задач по теоретической механикеотносительно центра приведения О совпадал со знаком главного момента системы сил Решение задач по теоретической механике относительно центра О. 

Сила V и равнодействующая R равны по модулю и параллельны (рис. 1.32).

 Решение задач по теоретической механике

Теорема Вариньона для произвольной плоской системы сил. Если система сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен 
сумме моментов данных сил относительно той же точки (теорема Вариньона): 
Решение задач по теоретической механике

г) Главный вектор V и главный момент Решение задач по теоретической механикесистемы равны нулю Решение задач по теоретической механике Твердое тело, к которому приложена данная система сил, находится в равновесии. 

Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил. Для равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на произвольно выбранные оси декартовых координат х и у и сумма моментов этих сил относительно произвольно выбранной точки О 
равнялись нулю: 
Решение задач по теоретической механике
В случае произвольной плоской системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех. 

Можно ограничиться составлением одного уравнения проекций, например на ось х, по при этом составить два уравнения моментов относительно двух произвольных точек: 
Решение задач по теоретической механике

При этом следует иметь ввиду, что ось, относительно которой составляется уравнение проекций, не должна быть расположена перпендикулярно к прямой, проходящей через две точки, относительно которых составляются уравнения моментов. Если это условие не будет 
выполнено, то уравнение проекций окажется следствием уравнений моментов и решение подобной системы уравнений равновесия даст возможность определить только две неизвестные величины вместо трех. 

Можно, минуя составление уравнений проекций сил, составить три уравнения моментов относительно трех произвольно выбранных точек: 

Решение задач по теоретической механике

При этом следует иметь в виду, что эти три точки не должны лежать на одной прямой, так как иначе одно из уравнений равновесия окажется следствием двух других. 

Уравнения равновесия твердого тела под действием плоской системы параллельных сил имеют вид 
Решение задач по теоретической механике
причем ось х не перпендикулярна данным силам. Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более двух. 

Можно обойтись без уравнений проекций и составить два уравнения моментов относительно двух произвольно выбранных точек: 
Решение задач по теоретической механике

Следует иметь в виду, что эти две точки не должны лежать на прямой, параллельной данным силам, так как в противном случае одно из уравнений равновесия окажется следствием другого. 

При решении задач на равновесие твердого тела, к которому приложена плоская система параллельных сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги на стр. 15. Затем: 

  • 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. число алгебраических неизвестных величин не более двух; 
  • 6) выбрать систему осей декартовых координат; 
  • 7) составить уравнения равновесия системы параллельных сил; 
  • 8) решив уравнения равновесия, определить неизвестные величины. 

Если величина какой-либо неизвестной силы окажется отрицательной, то это означает, что направление этой силы противоположно тому, которое было изображено на рисунке. 

Оси декартовых координат целесообразно направлять так, чтобы одна из них оказалась параллельной всем силам, приложенным к твердому телу. Уравнение моментов рекомендуется составлять относительно точки, лежащей на линии действия неизвестной силы. Это 
дает возможность определить одну из неизвестных величин непосредственно из уравнения моментов. 

При решении задачи с помощью двух уравнений моментов шестой пункт решения задачи отпадает. При этом не следует забывать, что точки, относительно которых составляются уравнения моментов, не должны лежать па прямой, параллельной силам.

Задача 1.12. В кузове грузовой автомашины весом Р лежит груз D весом Q = P/2. 

Пренебрегая силами трения, определить давления передних и задних колес автомашины на шоссе. Размеры указаны на рис. а, С — центр тяжести автомашины. 

Решение:

Рассмотрим равновесие автомашины. К ней приложены активные силы: Р — вес автомашины, Q — вес груза. Применив закон освобождаемости от связей, мысленно отбросим связь — шоссе. Реакции шоссе Решение задач по теоретической механике приложенные к колесам, при отсутствии трения 
направлены перпендикулярно к шоссе, т. е. вертикально вверх (рис. б). Конечно, Решение задач по теоретической механике являются суммарными реакциями соответственно двух задних и двух передних колес. 

Итак, автомашина находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил: Решение задач по теоретической механике Задача является статически определенной, ибо число алгебраических неизвестных равно двум. 

Направим ось х параллельно силам вертикально вверх, а уравнение моментов составим относительно точки А. Тогда, применив уравнения (4*), запишем: 
Решение задач по теоретической механике
Из уравнения (2), приняв во внимание, что Q = Р/2, найдем Решение задач по теоретической механикеПодставив в это значение в уравнение (1), получим Решение задач по теоретической механике Итак, 
Решение задач по теоретической механике
 

Искомые давления колес автомашины на шоссе равны по модулю соответствующим реакциям и направлены противоположно, т. е. вертикально вниз. 

Эту задачу можно было решить с помощью уравнений равновесия, в каждое из которых входит лишь одна неизвестная величина. Для этого вместо уравнения (1), содержащего две неизвестные величины Решение задач по теоретической механике следует составить уравнение моментов относительно 
точки В. Это уравнение удобно тем, что в него не входит Решение задач по теоретической механике (момент силы Решение задач по теоретической механике относительно точки В равен нулю):  

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (4) при Q = P/2 непосредственно получим Решение задач по теоретической механике(ср. формулу (3)). 

Задача 1.13. Консольная балка AD весом Решение задач по теоретической механике лежит на двух опорах В и D, причем опора В расположена на катках. На конце А к балке приложена вертикальная сосредоточенная сила Решение задач по теоретической механике На участке CD на балке находится равномерно распределенная нагрузка интенсивности Решение задач по теоретической механике (интенсивностью называется величина силы, действующей на единицу длины). На участке АВ к балке приложена пара сил с моментом Решение задач по теоретической механике

Определить опорные реакции в В и D. Размеры указаны на рисунке. 

Решение:.

Рассмотрим равновесие консольной балки AD (участок балки АВ, расположенный вне опор, называется консолью). На балку действуют активные силы: вес балки Р, приложенный в ее середине, вертикальная сила F, равнодействующая Решение задач по теоретической механике
распределенной нагрузки Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеприложенная в середине участка CD и направленная по вертикали вниз, и, наконец, пара сил с моментом Решение задач по теоретической механике

Применив закон освобождаемости от связей, направим опорную реакцию Решение задач по теоретической механике по вертикали 
вверх. При равновесии балки главный вектор и главный момент равны нулю. Главный вектор равен сумме вертикальных сил Решение задач по теоретической механике и опорной реакции Решение задач по теоретической механике(главный вектор пары сил равен нулю). Для того чтобы главный вектор был равен нулю, опорная реакция Решение задач по теоретической механике должна быть направлена вертикально. 

Итак, балка находится в равновесии под действием системы параллельных сил (пару сил можно, не нарушая равновесия балки, повернуть так, чтобы силы, входящие в ее состав, были направлены вертикально), в число которых входят две неизвестные по модулю силы Решение задач по теоретической механике Следовательно, задача является статически определенной. 

При решении этой задачи целесообразнее, минуя составление уравнения проекций на ось, параллельную приложенным силам, составить два уравнения моментов относительно точек приложения В и D неизвестных сил Решение задач по теоретической механике При этом учитываем, что сумма моментов 
сил, входящих в состав пары сил, вычисленная относительно любой точки, равна моменту этой пары сил. Сумму моментов сил распределенной нагрузки CD заменяем на основании теоремы Вариньона 

Решение задач по теоретической механике

моментом равнодействующей силы Решение задач по теоретической механике Получим: 
Решение задач по теоретической механике
 

Удобство составленных уравнений заключается в том, что в каждое из них входит только одна неизвестная величина. Из уравнений (1) и (2) находим: 
Решение задач по теоретической механике

Отрицательное значение Решение задач по теоретической механике указывает, что направление силы Решение задач по теоретической механике противоположно тому, которое изображено на рисунке, т. е. опорная реакция Решение задач по теоретической механике направлена по вертикали вниз. 

Задача 1.14. Однородная горизонтальная балка АВ весом Р=800 и в сечении D защемлена в стене (рис. а). К балке приложены: вертикальная сосредоточенная сила F=1200н и пара сил, 
стремящаяся повернуть балку по часовой стрелке. Момент пары равен Решение задач по теоретической механике— длина свободного конца балки, равная 2 м. 

Определить реакцию и момент реактивной пары в защемленном сечении D. Размеры указаны на рисунке. Длиной защемленной части балки пренебречь. 

Решение:

Рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: Р, F и пара сил 
с моментом Решение задач по теоретической механике Глухая заделка балки в стену препятствует перемещению балки по вертикали вниз, а также ее повороту в вертикальной плоскости под действием активных сил по часовой стрелке. Поэтому, применив закон освобождаемости от связей и мысленно отбросив стену, мы должны компенсировать ее действие на балку реакцией Решение задач по теоретической механике и реактивной парой сил, стремящейся повернуть балку против часовой стрелки (рис. б). Главный вектор является суммой Р, F и реакции Решение задач по теоретической механике (напомним, что главный вектор каждой из пар равен нулю). Так как при равновесии балки главный вектор равен нулю, а силы Р и F вертикальны, то реакция Решение задач по теоретической механике также направлена вертикально (рис. б). 

Повернув активную и реактивную пары так, чтобы входящие в них силы были направлены вертикально, мы получим плоскую систему параллельных сил. Данная задача является статически определенной, ибо число неизвестных равно двум Решение задач по теоретической механикеПереходим 

Решение задач по теоретической механике

к составлению уравнений равновесия. Составим уравнение проекций на вертикальную ось у и уравнение моментов относительно точки D: 
Решение задач по теоретической механике
 

Из первого уравнения находим Решение задач по теоретической механике а из второго получим Решение задач по теоретической механике Положительные значения Решение задач по теоретической механикеуказывают, что направления силы Решение задач по теоретической механике и реактивной пары с моментом Решение задач по теоретической механикебыли выбраны правильно. 

Рекомендуем решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, издания 1950 г. и последующих лет: 78, 87, 89, 90. 

Переходим к решению задач на равновесие твердого тела, к которому приложена произвольная плоская система сил. При решении этих задач надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги на стр. 15. Затем: 

  • 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число неизвестных величин не более трех; 
  • 6) выбрать направления осей декартовых координат и точку (или точки), относительно которой предполагается составить уравнение моментов; 
  • 7) составить уравнения равновесия твердого тела; 
  • 8) решить систему полученных уравнений равновесия и определить неизвестные величины. 

Уравнения равновесия можно составить в любом возможном виде (см. выше, стр. 44, формулы Решение задач по теоретической механике

Следует стремиться к получению таких уравнений равновесия, в каждое из которых входила бы только одна неизвестная величина. В этом случае можно каждую из неизвестных величин непосредственно определить из соответствующего уравнения. Для этого оси координат 
целесообразно направить так, чтобы некоторые неизвестные силы оказались перпендикулярными к этим осям. Тогда величины этих неизвестных сил-в соответствующее уравнение проекций не войдут. Центр моментов, т. е. точку, относительно которой должно быть составлено уравнение моментов, следует выбрать в точке пересечения линий 
действия двух неизвестных сил. Это дает возможность непосредственно определить из соответствующего уравнения моментов величину третьей неизвестной силы. Если, однако, этот центр моментов расположен так, что вычисление плеч при определении моментов сил представляет значительные трудности, то лучше составить относительно другого центра такое уравнение моментов, в которое войдут величины двух неизвестных сил, и затем совместно решить полученную систему уравнений. 

Если направление какой-либо реакции связи неизвестно, то следует заменить ее двумя составляющими, направив их параллельно осям координат в сторону положительного отсчета. Если в результате решения знак величины какой-либо силы окажется отрицательным, то это означает, что направление силы противоположно тому, которое было предварительно указано на рисунке. 

В тех случаях, когда по условию задачи требуется определить давления твердого тела на опоры, нужно найти равные по модулю этим давлениям соответствующие реакции связей, а затем направить искомые давления противоположно этим реакциям. 

Задача 1.15 Горизонтальная однородная балка АВ длиной Решение задач по теоретической механикеи весом Решение задач по теоретической механике прикрепленная шарниром А к стене, удерживается 
Решение задач по теоретической механике
в равновесии тросом DE, расположенным под углом 45° к горизонту; DB=1 м. К свободному концу балки В приложена сосредоточенная сила F = 2T, образующая угол 60° с горизонтом. 

Определить давление балки на шарнир А и натяжение троса DE. 

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ, на которую действуют две активные силы: вес балки Р, приложенный в ее середине Решение задач по теоретической механике и сосредоточенная сила F, приложенная в конце балки В. 

На балку наложены две связи, шарнир А и трос DE. Мысленно оборвав трос DE, заменяем действие троса на балку реакцией троса Т, направленной от точки D в сторону обрыва. Направление реакции шарнира А заранее указать нельзя. Поэтому изобразим две взаимно 
перпендикулярные составляющие этой реакции. Направим ось х вдоль оси балки по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. Составляющие реакции Решение задач по теоретической механике направим вдоль осей координат в сторону их возрастания. 

Теперь балку можно рассматривать как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием пяти сил, причем лишь величины трех сил Решение задач по теоретической механике неизвестны. Следовательно, задача является статически определенной. 

Составим уравнения равновесия балки в проекциях на оси х и у и уравнение моментов относительно точки А. Выбор точки А в качестве центра моментов удобен, так как моменты двух неизвестных по величине сил Решение задач по теоретической механике относительно точки А равны нулю и в 
уравнение моментов войдет лишь одна неизвестная Т. Уравнения равновесия имеют вид 
Решение задач по теоретической механике
Из уравнения (З) находим 

Решение задач по теоретической механике
Так как 
Решение задач по теоретической механике
то 
Решение задач по теоретической механике
Подставив это значение в уравнения (1) и (2), получим: 
Решение задач по теоретической механике
Знак минус, стоящий в выражении Решение задач по теоретической механике указывает, что направление составляющей реакции шарнира Решение задач по теоретической механике противоположно тому, которое было указано на рис. б, т. е. сила Решение задач по теоретической механике направлена по горизонтали налево; аналогично сила Решение задач по теоретической механике направлена по вертикали вниз. 

Искомые давления балки на связи направлены противоположно соответствующим реакциям связей и равны им по модулю, т. е. горизонтальная составляющая силы, действующей на шарнир, равна 3,96 Т и направлена по горизонтали направо, вертикальная составляющая силы, действующей на шарнир, равна 0,23 Т и направлена вверх, натяжение троса равно по модулю 4,2 Т. 

Задача 1.16. На рис. а изображена симметричная стропильная ферма длиной Решение задач по теоретической механике весом Решение задач по теоретической механике стоящая на двух опорах, причем левая опора А расположена на катках, которые могут перемещаться вдоль горизонтальной плоскости. Перпендикулярно к АЕ 
в точке D, на расстоянии AD=2 м, приложена сосредоточенная сила Решение задач по теоретической механике

Определить опорные реакции в точках А и В. 

Решение:

Рассмотрим равновесие фермы, к которой приложены две активные силы: вес фермы Р и сосредоточенная сила F. 

Так как катки не препятствуют перемещению фермы в горизонтальном направлении, то опорная реакция RA направлена перпендикулярно к горизонтальной плоскости. Указать заранее направления опорной реакции в точке В невозможно. Поэтому в опоре В следует 
изобразить две взаимно перпендикулярные Решение задач по теоретической механике составляющие реакции (рис. б). 

Направим ось х по горизонтали направо, ось у по вертикали вверх, а составляющие реакции Решение задач по теоретической механикепараллельно соответствующим координатным осям. 

Итак, к ферме приложены пять сил, в том числе три неизвестные по модулю силы: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Следовательно, задача является статически определенной. 

Используем уравнения равновесия фермы в проекциях на оси х и у и уравнение моментов 
относительно точки А. Составление уравнений проекций на оси х и у целесообразно потому, что силы Решение задач по теоретической механике перпендикулярны к оси х, а сила Решение задач по теоретической механике перпендикулярна к оси у. Следовательно, эти три неизвестные по модулю силы в соответствующие уравнения проекций не войдут. Выбор точки А в качестве центра моментов удобен потому, что линии действия сил Решение задач по теоретической механикепересекаются в этой точке. Следовательно, моменты этих сил относительно точки А равны нулю и в уравнение моментов войдет лишь неизвестная величина силы Решение задач по теоретической механике
Уравнения равновесия имеют вид 

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (3) находим: 

Решение задач по теоретической механике
Учитывая, что AD = 2 м, АК=5 м, АВ—10 м, F=4 Т, Р=12 Т, получаем, что Решение задач по теоретической механике Подставив это значение Решение задач по теоретической механике в уравнение (2), имеем Решение задач по теоретической механике Из уравнения (2) находим, что Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике
 

Знак минус, полученный в выражении для Решение задач по теоретической механикеуказывает, что направление составляющей опорной реакции Решение задач по теоретической механике противоположно тому, которое было указано на рисунке, т. е. сила Решение задач по теоретической механике направлена по горизонтали налево. 

При решении системы уравнений (1), (2) и (3) модули неизвестных сил Решение задач по теоретической механике были непосредственно определены из уравнений (1) и (3). Лишь величину силы Решение задач по теоретической механике пришлось вычислить из уравнения (2), подставив в него значение Решение задач по теоретической механике Однако можно составить такую 
систему уравнений равновесия, чтобы из каждого уравнения была, независимо от других, определена каждая из неизвестных. Действительно, сохранив уравнения (1) и (3), составим вместо уравнения (2) такое уравнение моментов, чтобы в него вошла лишь одна неизвестная Решение задач по теоретической механике Для этого необходимо, чтобы моменты двух других неизвестных сил, т. е. Решение задач по теоретической механике оказались равными нулю. Этому условию легко удовлетворить, выбрав за центр моментов точку пересечения линий действия этих сил, т. е. точку В. Итак, вместо уравнения (2) 
составим уравнение моментов сил относительно точки В: 
Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (4) непосредственно находим: 

Решение задач по теоретической механике
Учитывая, что KB = 5 м, АВ= 10 м, NB = MB — MN=AB cos 30° — 
Решение задач по теоретической механике

Задача 1.17. Ознакомившись с условием и решением задачи 1.6, определить силы Решение задач по теоретической механике с учетом веса суппорта, приложенного в его центре тяжести С и равного Решение задач по теоретической механике

Решение:

В задаче 1.6 мы рассмотрели равновесие суппорта под действием трех сил: Решение задач по теоретической механике использовав теорему о трех непараллельных силах. Теперь к этим силам добавляется вес суппорта Р. Это лишает нас возможности применить теорему о трех непараллельных силах, с помощью которой мы смогли определить положение линии действия реакции Решение задач по теоретической механикецилиндрического шарнира А. Поэтому заменим силу Решение задач по теоретической механике двумя взаимно перпендикулярными составляющими. Направив ось х по горизонтали направо, а ось у но 
вертикали вверх, изобразим на рис. б составляющие Решение задач по теоретической механике

Итак, суппорт находится в равновесии под действием плоской системы пяти сил: Решение задач по теоретической механике Задача является статически определенной, ибо число алгебраических неизвестных равно трем: F, Решение задач по теоретической механике

Составим уравнения проекций на оси х и у и уравнение моментов относительно точки В. Выбор точки В целесообразен, ибо линии действия двух неизвестных сил Решение задач по теоретической механикеи F пересекаются в точке В. Значит, моменты этих сил относительно точки В равны нулю. В уравнение моментов войдет лишь одна неизвестная величина Решение задач по теоретической механике которую непосредственно можно будет определить. Уравнения равновесия имеют вид 
Решение задач по теоретической механике
Из уравнения (3) получим: 
Решение задач по теоретической механике

По условию: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеИз треугольника BSE имеем Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике(здесь использована формула (1) задачи 1.6). Подставив эти значения в (4), находим: 
Решение задач по теоретической механике

Затем из уравнений (1) и (2) имеем Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Итак, 
Решение задач по теоретической механике

Использовав результаты (5) и (6), вычислим модуль реакции Решение задач по теоретической механикецилиндрического шарнира А по формуле 

Решение задач по теоретической механике

Получим: 

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Как и следовало ожидать, учет силы тяжести Р суппорта сказался на увеличении реакции Решение задач по теоретической механике и силы упругости F. Напомним, что при решении задачи 1.6 без учета веса суппорта эти силы были по модулю равны: Решение задач по теоретической механике (см. формулу (3) задачи 1.6). 

Как и в предыдущей задаче, вместо уравнения (2) можно составить уравнение моментов относительно точки А. Это дало бы нам возможность сразу определить силу F. 

Конечно, задачу 1.6 можно также решить с помощью системы уравнений (1), (2), (3). Действительно, приняв в этих уравнениях Р=0, мы получим: Решение задач по теоретической механике и, следовательно, Решение задач по теоретической механике

Опрокидывание твердых тел

При исследовании покоя твердого тела (конструкций) встречаются задачи, в которых следует определить предельные значения сил или размеров, обеспечивающих сохранение этого состояния. В этих задачах обычно при величине силы, превышающей наибольшее допустимое значение, обеспечивающее покой твердого тела, происходит опрокидывание тела вокруг одной из точек опоры. 

Такие задачи решаются в предположении, что твердое тело начинает отрываться от одной из опор. Поэтому реакции этой опоры не следует учитывать. Тогда при равновесии твердого тела реакция оставшейся опоры должна уравновешиваться с равнодействующей всех 
активных сил. Это значит, что линия действия равнодействующей всех активных сил проходит через оставшуюся опору и, следовательно, момент равнодействующей относительно точки опоры равен нулю. Таким образом, в соответствии с теоремой Вариньона сумма моментов 
всех активных сил относительно точки опоры О равна нулю: 

Решение задач по теоретической механике

Из этого уравнения определяются предельные значения сил или размеров твердого тела, при которых еще не наступает опрокидывание. 

Решение задач на опрокидывание твердых тел надо проводить в следующем порядке: 

  • 1) изобразить активные силы; 
  • 2) определить опору, относительно которой может произойти опрокидывание твердого тела; 
  • 3) составить уравнение моментов активных сил относительно этой точки опоры; 
  • 4) решив уравнение, определить искомую величину (предельную силу или предельный размер). 

Задача 1.18. Горизонтальная консольная балка АС весом Р лежит на опорах А и В, причем опора А расположена на катках, не препятствующих перемещению вверх. К консольному концу С балки приложена сосредоточенная вертикальная сила F. 

Определить наибольшее значение силы F, при котором балка остается в покое. Размеры указаны на рисунке. 

Решение:

На балку действуют две активные силы: вес балки Р, приложенный в середине балки, т. е. па расстоянии 1 м от опоры В, F—сосредоточенная сила, приложенная в конце консоли, 
т. е. в точке С. 

Нетрудно видеть, что при большом значении силы F произойдет опрокидывание балки вокруг опоры В в направлении по часовой стрелке. 

Для определения наибольшего значения силы F надо сумму моментов активных сил относительно точки В приравнять нулю: 

Решение задач по теоретической механике
откуда Решение задач по теоретической механике Если сила Решение задач по теоретической механике то происходит опрокидывание балки вокруг опоры В в направлении по часовой стрелке. 

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.19. Подъемный кран установлен на грузовой автомашине. Вес противовеса В равен Решение задач по теоретической механике Вес автомашины с краном без противовеса, равный Решение задач по теоретической механике приложен в точке С

Определить наименьшее расстояние DE между осями колес автомашины и наибольший вес Решение задач по теоретической механике
поднимаемого груза А, при наличии которых автомашина не опрокинется как с грузом А, так и без него. Размеры указаны на рисунке. 

Решение:

К грузовой автомашине с установленным на ней подъемным краном приложены активные силы: Решение задач по теоретической механике — вес автомашины с краном без противовеса В, Решение задач по теоретической механике— вес противовеса В. При наличии груза А приложен также его вес 

При подвешенном грузе А может произойти опрокидывание автомашины в направлении против часовой стрелки вокруг точки касания

Решение задач по теоретической механике

переднего колеса с землей. При отсутствии груза А может совершиться опрокидывание автомашины под действием противовеса В и направлении по часовой стрелке вокруг точки касания Е заднего колеса с землей. Иные варианты опрокидывания не рассматриваем 
как практически неинтересные. 
Для определения наибольшей величины веса Решение задач по теоретической механике поднимаемого груза А и наименьшего расстояния DE между осями колес, обеспечивающего равновесие автомашины, надо составить:

1) уравнение моментов активных сил относительно точки D с учетом момента веса Решение задач по теоретической механике

2) уравнение моментов активных сил относительно точки Е без учета момента весаРешение задач по теоретической механике Эти уравнения имеют вид 
Решение задач по теоретической механике

Решив эту систему уравнений равновесия при Решение задач по теоретической механикенаходим: Решение задач по теоретической механике Таковы предельные значения Решение задач по теоретической механике обеспечивающие равновесие автомашины. 

В случае Решение задач по теоретической механике произойдет опрокидывание автомашины вокруг точки D в направлении против часовой стрелки. 

В случае Решение задач по теоретической механике при отсутствии груза А произойдет опрокидывание автомашины вокруг точки Е в направлении но часовой стрелке. 

Приведение произвольной плоской системы сил к простейшему виду

Рекомендуется следующий порядок выполнения приведения: 

  • 1) выбрать оси декартовых координат; 
  • 2) выбрать центр приведения системы сил; 
  • 3) вычислить проекции главного вектора системы сил по формулам 
  • Решение задач по теоретической механике
  • 4) определить модуль главного вектора Решение задач по теоретической механике и направляющие косинусы 
  • Решение задач по теоретической механике
  • 5) вычислить главный момент системы сил относительно центра приведения по формуле 
  • Решение задач по теоретической механике
  • где О — центр приведения системы сил; 
  • 6) в зависимости от значений Решение задач по теоретической механике возможны четыре случая: 

а) если Решение задач по теоретической механике то следует систему принести к равнодействующей R, равной силе V, отстоящей от нее на расстоянии Решение задач по теоретической механике и расположенной так, чтобы знак момента равнодействующей относительно центра О совпадал со знаком главного момента Решение задач по теоретической механике

б) если Решение задач по теоретической механике то система сил приводится к равнодействующей, совпадающей с V; 

в) если  Решение задач по теоретической механике то система сил приводится к паре сил с моментом Решение задач по теоретической механике

г) если Решение задач по теоретической механикето система сил находится в равновесии. Уравнение линии действия равнодействующей в случаях а) и 6) имеет вид 
Решение задач по теоретической механике 
где Решение задач по теоретической механике a x и у — текущие координаты точки линии действия равнодействующей, О — начало координат. 

Оси декартовых координат следует направлять так, чтобы силы и возможно большем числе оказались параллельными либо перпендикулярными к этим осям. Центр приведения системы следует выбирать гак, чтобы моменты сил относительно этого центра в возможно большем числе обратились в нуль, т. е. чтобы линии действия этих сил проходили бы через центр приведения системы. 

При переходе от одного центра приведения (О) к другому центру приведения (А) следует иметь в виду, что главный вектор V от выбора центра приведения не зависит (главный вектор является статическим инвариантом), а главный момент системы изменяется и соответствии с формулой 

Задача 1.20 Произвольная плоская система сил была приведена к центру О. В результате приведения были получены сила V (см. рисунок) и пара сил, момент которой равен главному моменту Решение задач по теоретической механике

Определить главный момент этой системы сил при переходе к новому центру приведения А, находящемуся на расстоянии ОА = а от старого центра по оси х. 

Решение:

Выбираем оси декартовых координат так, как это изображено на рисунке. 

Задачу можно решить двумя способами. 

1. Приведем силу V к точке А. Для этого приложим в точке А две уравновешивающиеся силы Решение задач по теоретической механике так, чтобы одна из них была векторно равна силе V. Теперь сила V оказалась приведенной к точке А. При этом добавилась пара сил (присоединенная пара), 
в состав которой входят сила V, приложенная в точке О, и сила Решение задач по теоретической механике приложенная в точке А. Момент присоединенной пары Решение задач по теоретической механике равен Решение задач по теоретической механике

Следовательно, помимо силы V, приложенной в точке А, мы имеем две пары сил с моментами Решение задач по теоретической механике Эти две пары сил эквивалентны равнодействующей паре сил с моментом Решение задач по теоретической механике
равным Решение задач по теоретической механикеВеличина Решение задач по теоретической механике является искомым главным моментом системы сил относительно нового центра приведения А. 

Итак, в результате перехода от старого центра приведения О к новому центру А главный момент системы изменился. 

2. Эту задачу можно решить, воспользовавшись тем, что сила V, равная главному 
вектору системы сил, является статическим инвариантом, т. е. не зависит от выбора 
центра приведения, а главный момент системы изменяется. Как известно, главный момент произвольной плоской системы сил относительно нового центра приведения равен алгебраической сумме главного момента этой системы относительно старого центра и момента относительно нового центра главного вектора системы, приложенного в старом центре, т.е. Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Учитывая, что по условию Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикенаходим Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.21. К диску приложены четыре силы: Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике

Привести эту систему сил к простейшему виду. 

Решение:

Взяв начало координат в центре О диска, направим ось х по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. За центр приведения системы примем точку О. Определим главный вектор V и главный момент Решение задач по теоретической механике данной системы сил. Так как 
Решение задач по теоретической механике
то предварительно вычислим проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора на декартовые оси координат и сумму моментов Решение задач по теоретической механике всех сил 

Решение задач по теоретической механике

относительно точки О: 
Решение задач по теоретической механике

где буквой а обозначен радиус диска. Из (2) — (4) получим: Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеТеперь формулы (1) принимают вид: V=0, Решение задач по теоретической механике

Итак, главный вектор V и главный момент Решение задач по теоретической механике оказались равными нулю. Как известно, это условие является необходимым и достаточным для равновесия твердого тела. Значит, диск под действием данной системы сил находится в покое. 

Задача 1.22. Вдоль сторон равностороннего треугольника направлены три равные но модулю силы Решение задач по теоретической механике Длина стороны треугольника равна а. 

Привести  систему сил к простейшему виду. 

Решение задач по теоретической механике

Выбрав начало осей декартовых координат в вершине треугольника А, направим ось х по горизонтали направо и ось у по вертикали вверх. Определим главный вектор и главный 
момент данной плоской системы сил. Выберем в качестве центра приведения точку А. 

Модуль главного вектора данных сил вычислим по формуле 
Решение задач по теоретической механике

Следовательно, главный вектор равен нулю: Решение задач по теоретической механике
Вычислим главный момент данной системы сил относительно центра приведения А. Учитывая, что 

Решение задач по теоретической механике

получим: 

Решение задач по теоретической механике
Итак, выбрав в качестве центра приведения данной системы сил точку А, мы нашли: 
Решение задач по теоретической механике
т. е. установили, что система сил приводится к паре сил с моментом Решение задач по теоретической механикеКак известно, в случае приведения системы сил к паре сил главный момент не зависит от выбора центра приведения. 

Эту задачу можно было решить иначе. Так, например, совершив перенос силы Решение задач по теоретической механике по ее линии действия в точку А, можно сложить силы Решение задач по теоретической механике приложенные в точке А (рис. б). Суммой этих сил будет сила Решение задач по теоретической механике являющаяся диагональю ромба, угол при вершине которого равен 120°. В этом случае диагональ ромба равна его стороне, т. е. Решение задач по теоретической механикеИтак, данная система сил оказалась приведенной к паре сил, в состав которой входят силы Решение задач по теоретической механике плечом Решение задач по теоретической механике Момент этой пары сил равен Решение задач по теоретической механике
 

Второй вариант решения задачи оказался более коротким. Однако следует иметь в виду, что в первом варианте использован более общий прием приведения произвольной плоской системы сил к простейшему виду, которым неизменно следует пользоваться при решении более сложных задач. 

Задача 1.23. Привести к простейшему виду систему сил Решение задач по теоретической механикеи Решение задач по теоретической механике изображенную на рис. а. Силы Решение задач по теоретической механике направлены по противоположным сторонам, а сила Решение задач по теоретической механике — по диагонали прямоугольника ABCD, сторона AD которого равна Решение задач по теоретической механике

Решение:

Выбрав начало осей декартовых координат в вершине прямоугольника А, направим ось х по горизонтали направо, а ось у по вертикали вверх. (Выбор таких направлений осей х и у удобен, так как две силы из трех параллельны оси у и не дают проекций на ось х.) 

Приведем данную систему сил к главному вектору и главному моменту. Выберем в качестве центра приведения системы сил начало координат А. Найдем сначала проекции главного вектора на оси координат: 
Решение задач по теоретической механике
Модуль главного вектора V равен 
Решение задач по теоретической механике
а направляющие косинусы будут: 

Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механикеСила V изображена на рис. б. 
Переходим к определению главного момента системы сил относительно центра приведения А.

Учитывая, что 
Решение задач по теоретической механике
находим: 
Решение задач по теоретической механике

Итак, система сил оказалась приведенной к силе V и паре сил с моментом Решение задач по теоретической механике направленным против часовой стрелки. 
Решение задач по теоретической механике

Известно, что если  Решение задач по теоретической механике то систему сил можно привести к равнодействующей силе R. Для этого изобразим пару сил, соответствующую главному моменту Решение задач по теоретической механике так, чтобы силы, входящие в состав пары сил, равнялись по модулю силе V, причем одна из них 
Решение задач по теоретической механике лежала бы на одной линии действия с силой V и была направлена ей противоположно. При этом вторая сила, входящая в состав пары сил, приложенная в точке К, окажется векторно равной силе V. Плечо пары Решение задач по теоретической механике следует подобрать так, чтобы момент этой нары 
сил был равен главному моменту Решение задач по теоретической механике откуда Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеВоспользовавшись формулами (1) и (2), находим Решение задач по теоретической механике Теперь мы получили систему, состоящую из трех сил. Модуль каждой из этих сил равен модулю главного вектора V. Две 
силы, приложенные в точке А, равные по модулю и направленные в противоположные стороны по общей линии действия, уравновешиваются. Эти силы можно отбросить, не нарушая состояния твердого тела. Остается одна сила V, приложенная в точке К, эквивалентная данной системе сил. Следовательно, эта сила, равная главному вектору V, является равнодействующей Решение задач по теоретической механике Таким образом, нам удалось привести данную систему сил к равнодействующей R. 

Определим уравнение линии действия равнодействующей R, воспользовавшись уравнением 
Решение задач по теоретической механике

Проекции равнодействующей Решение задач по теоретической механике на оси декартовых координат равны проекциям главного вектора V па соответствующие оси, т. е. Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Сумма моментов всех данных сил относительно начала координат А является главным моментом Решение задач по теоретической механике определяемым формулой (2): 
Решение задач по теоретической механике
 

Подставив значенияРешение задач по теоретической механике в уравнение (3), находим уравнение линии действия равнодействующей Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
Это — уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным — Решение задач по теоретической механике откуда следует, что угол, образованный этой прямой с осью х, составляет 150°. 

Найдем точки пересечения линии действия равнодействующей 
с осями координат. Имеем: при Решение задач по теоретической механике при Решение задач по теоретической механикеСледовательно, равнодействующая направлена по диагонали DB прямоугольника ABCD. 

Равновесие системы твердых тел 

В статике твердого тела наряду с равновесием одного тела рассматриваются сочлененные системы материальных тел, т. е. совокупности твердых тел, касающихся друг друга своими поверхностями или соединенных друг с другом шарнирами, гибкими нитями или 
стержнями. 

Важной задачей статики системы твердых тел является определение реакций связей. Для этого основным является способ расчленения, при котором наряду с равновесием . всей системы тел рассматривается равновесие отдельных тел (или групп тел системы). При этом все остальные тела системы и соответствующие связи мысленно отбрасываются, а их действие на тело, равновесие которого рассматривается, заменяется реакциями. 

Следует заметить, что при рассмотрении равновесия всей системы твердых тел реакции связей между телами, входящими в систему, не должны учитываться; они не входят в уравнения равновесия, как 
внутренние, взаимно уравновешенные силы. А при рассмотрении равновесия каждого тела в отдельности или какой-либо группы тел, входящих в систему, соответствующие реакции связей, которые были мысленно расчленены, становятся внешними силами и входят в уравнения равновесия. 

Задачи на равновесие системы твердых тел, находящихся под действием произвольной плоской системы сил, решаются путем применения уравнений равновесия твердого тела, разобранных в § 2 (уравнения (1*) или (2*), или (3*)). 

Рассмотрим в качестве примера системы твердых тел, изображенные на 
рис. 1.33, 1.34. 

Шатунно-кривошипный механизм ОАВ (рис. 1.33) состоит из трех твердых тел: кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В. Эти тела соединены друг с другом шарнирами А и В. Кроме того, на них наложены еще две связи: шарнирное закрепление в точке О и горизонтальные направляющие, препятствующие вертикальному перемещению ползуна В. 

Цилиндрический стакан (рис. 1.34) поставлен вверх дном на горизонтальный пол, внутри стакана покоятся два шара. Эта система состоит из трех твердых тел: шара  Решение задач по теоретической механике и шара 
Решение задач по теоретической механике и стакана, находящихся друг с другом в контакте. На эту систему тел наложена 
одна внешняя связь: гладкий горизонтальный пол. 

При решении задач на равновесие системы тел недостаточно, как правило, рас- 
рассмотреть равновесие этой системы в целом. Для всей системы условия равновесия сводятся или к трем уравнениям равновесия для плоской системы сил, или к двум уравнениям для плоской системы параллельных сил. В этом случае число неизвестных может быть больше числа перечисленных уравнений. 

Однако это обстоятельство еще не делает систему статически неопределимой, так как если разделить систему на отдельные твердые тела и составить уравнения равновесия для каждого из них, то число новых неизвестных может быть меньше числа новых уравнений равновесия. Если число всех составленных таким образом независимых уравнений равновесия для всей системы и отдельных ее частей будет равно числу всех неизвестных, то такая задача является статически определенной. 
Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
Поясним это на примере трех шарнирной арки (рис. 1.35, a). Apкa состоит из двух симметричных полуарок, соединенных в точке С шарниром. В точках А и В арка шарнирно прикреплена к фундаменту. На арку действуют две активные известные силы: горизонтальная 
сила Q, приложенная в точке D, и вертикальная сила Р, приложенная в точке Е. Применяя принцип освобождаемости от связей, отбросим мысленно шарнирные закрепления в точках А и В и заменим их действие силами реакций. Величины и направление этих реакций 
неизвестны. Следовательно, их можно представить двумя составляющими каждую: Решение задач по теоретической механике Таким образом, для системы 
Решение задач по теоретической механике
твердых тел, состоящей из двух полуарок (рис. 1.35, б), можно cocтавить три уравнения равновесия, в то время как число неизвестных сил равно четырем. Чем не менее задача является статически определенной. Рассмотрим равновесие каком-либо одной полуарки 
(рис. 1.35, в). На левую полуарку действует одна сила Q. Отбрасывая мысленно шарниры А и С вместе с правой полуаркой, заменяем их действие реакциями. Реакция в точке А представлена двумя ранее выбранными составляющими Решение задач по теоретической механике реакция в точке С, также неизвестная по величине и по направлению, определена составляющими Решение задач по теоретической механике Для левой полуарки ложно составить три уравнения равновесия, между тем как новых неизвестных только два; Решение задач по теоретической механикеТаким образом, рассматривая равновесие всей арки и левой полуарки, имеем шесть уравнений равновесия и шесть неизвестных, т. е. задача является статически определенной. Эта же задача может быть решена и другим способом, если рассмотреть равновесие левой полуарки (рис. 1.35, в) и отдельно равновесие правой полуарки 
(рис. 1.35, г) И в этом случае число уравнений равновесия равно числу неизвестных (шести). На основании пятого закона (закон равенства действия и противодействия) составляющие Решение задач по теоретической механике реакции шарнира С, приложенные к правой полуарке, равны по модулю и направлены прямо противоположно соответствующим составляющим реакции того же шарнира С, приложенным к левой полуарке. 

При решении задач па равновесие твердых тел надо выполнить четыре первых пункта указанных в начале книги, на стр. 15. При этом следует выделить систему твердых тел и отдельные твердые тела, входящие в систему, равновесие которых надо рас- 
рассмотреть.

Затем: 

  • 5) сопоставить число неизвестных величин и число независимых уравнений равновесия; эти числа должны быть равны, если задача является статически определенной; 
  • 6) выбрать наиболее удобные системы координат; при этом для каждого тела и для всей системы тел может быть избрана своя система координат; 
  • 7) составить уравнения равновесия для каждого твердого тела или для каждой системы твердых тел, равновесие которых исследуется; 
  • 8) решить систему всех уравнений равновесия. 

Если система твердых тел разделяется па отдельные тела, то при замене их взаимодействия реакциями связей следует ввести реакции, приложенные к одному телу, и на основании закона равенства действия и противодействия выбрать реакции, действующие на второе тело, равными по модулю и направленными прямо противоположно 
(см., например, рис. 1.35, в и рис. 1.35, г). 

В том случае, когда значение неизвестной силы окажется по ответу отрицательным, направление этой силы следует взять противоположным тому, которое было изображено на рисунке. 

При составлении уравнений равновесия целесообразно оси координат и точки, относительно которых составляются уравнения моментов сил, выбирать так, чтобы в каждое уравнение входила только одна неизвестная величина. 

Если по условию задачи требуется определить лишь некоторые неизвестные величины, то надо составить только те из уравнений равновесия, которые необходимы для получения ответа. 

Задача 1.24. Два гладких цилиндра А и В помещены в ящик (рис. а). Цилиндр А весит Решение задач по теоретической механике и его радиус R = 80 мм; цилиндр В весит Решение задач по теоретической механике и его радиус Решение задач по теоретической механике

Определить реакции вертикальных стен в точках С и Е, горизонтального пола в точке D и давление между цилиндрами, если ширина ящика 250 мм. 
 

Решение:

Отбросим мысленно стены и пол ящика и рассмотрим равновесие каждого цилиндра в отдельности. Цилиндр В находится в равновесии под действием трех сил: веса Р, горизонтальной реакции стены F и реакции N цилиндра А, направленной по прямой, соединяющей центры Решение задач по теоретической механике обоих цилиндров (рис. б). 

Чтобы найти угол Решение задач по теоретической механике образованный реакцией N с горизонтом, рассмотрим треугольник Решение задач по теоретической механике (рис. в). В этом треугольнике сторона 
Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механикеПользуясь теоремой Пифагора, находим длину второго катета Решение задач по теоретической механике Таким образом, 
Решение задач по теоретической механике
Составим уравнения равновесия для цилиндра В. Так как линии действия сил, приложенных к цилиндру, пересекаются в центре цилиндра, то достаточно составить два уравнения, приравняв нулю сумму проекций всех сил на оси х и у (рис. а): 

Решение задач по теоретической механике

Подставляя значение Решение задач по теоретической механике находим: 
Решение задач по теоретической механике
Цилиндр А находится в равновесии под действием четырех сил: веса Q, горизонтальной реакции стены S, вертикальной реакции пола Т и реакции N' цилиндра В, равной по величине и направленной противоположно силе N. Все четыре силы (рис. г) пересекаются в точке 
О, центре цилиндра А. Составим два уравнения равновесия этих сил. Суммы проекций сил на ось х и ось у равны нулю: 

Решение задач по теоретической механике
Отсюда находим: 
Решение задач по теоретической механике

Следует заметить, что эта задача может быть решена и другим, графическим способом. Действительно, зная величину и направление силы Р, а также направления сил N и F, строим силовой замкнутый треугольник. Этот треугольник совпадает с треугольником Решение задач по теоретической механике(рис. в), если сторону Решение задач по теоретической механике положить равной силе Р. Тогда сторона ОН даст в этом же масштабе силу F, а сторона Решение задач по теоретической механике силу N. 

Далее строим замкнутый силовой многоугольник для сил, приложенных к цилиндру А. Построение начинаем с известных по величине и направлению сил N' и Q. Проводя из конца силы Q прямую, параллельную S, а из начала силы N' прямую, параллельную Т, получаем 
замкнутый силовой многоугольник (рис. д), стороны которого в избранном масштабе и определяют неизвестные силы. 
 

Задача 1.25. Блоки А и В весом соответственно Решение задач по теоретической механикеудерживаются в равновесии на гладкой плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту, силой Р, параллельной Решение задач по теоретической механике и при помощи рычага OD, перпендикулярного к наклонной плоскости (рис. а). Тросы, соединяющие рычаг с блоками, также параллельны плоскости  Решение задач по теоретической механике
Определить, пренебрегая трением, усилия в тросах и величину силы Р. Расстояния Решение задач по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие каждого блока в отдельности и равновесие рычага. Блок А (рис. б) находится в равновесии под действием четырех сил: веса Решение задач по теоретической механике натяжения Решение задач по теоретической механикепараллельного наклонной плоскости, реакции Решение задач по теоретической механике блока В и реакции наклонной плоскости 
Решение задач по теоретической механике перпендикулярных к плоскости Решение задач по теоретической механике
Выберем оси координат ху (рис. а) и составим уравнения равновесия: 
Решение задач по теоретической механике
Из первого уравнения найдем: 
Решение задач по теоретической механике

Блок В (рис. в) находится в равновесии мод действием трех сил: веса Решение задач по теоретической механике реакции Решение задач по теоретической механике перпендикулярной к плоскости Решение задач по теоретической механике и натяжения тpoca Решение задач по теоретической механике параллельного Решение задач по теоретической механике Составим уравнения равновесия: 
Решение задач по теоретической механике

Отсюда находим: 
Решение задач по теоретической механике

Из второго уравнения системы (1) получим: 

Решение задач по теоретической механике
 

Зная натяжение тросов, рассмотрим равновесие рычага (рис. г), находящегося под действием сил: Решение задач по теоретической механике и реакции шарнира 
Решение задач по теоретической механике
О, которую представим и виде ее проекции Решение задач по теоретической механике Уравнения равновесия для рычага будут: 
Решение задач по теоретической механике
Отсюда находим: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Задача 1.26. В приборе (рис. а) тела А и В могут скользить по сторонам угла К; одна из сторон вертикальна, а другая образует угол 20° с горизонтом. Наклонная плоскость соприкосновения обоих тел составляет угол 40° с вертикалью. Сжатая пружина давит вниз 
с силой Решение задач по теоретической механике на тело А. 

Пренебрегая весом тел и предполагая, что все соприкасающиеся поверхности гладкие, найти горизонтальную силу Q, удерживающую систему в равновесии. 

Решение:

Отбросим мысленно стороны угла К и рассмотрим отдельно равновесие тела А и тела В. На тело А (рис. б) действуют 
Решение задач по теоретической механике

три силы: давление пружины Р, направленное по вертикали вниз, реакция вертикальной стены Решение задач по теоретической механике направленная по горизонтали влево, и реакция F отброшенного тела В, перпендикулярная к наклонной плоскости соприкосновения обоих тел. Линии действия этих сил пересекаются в одной точке, так как тело А находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Следовательно, для них достаточно составить два уравнения равновесия, приравняв нулю сумму проекций всех сил на оси хну. Выберем оси так, как это показано на рис. а. Тогда 
Решение задач по теоретической механике

Подставляя значение силы Р, находим из уравнений Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике
На тело В (рис. в) действуют три силы: реакция Решение задач по теоретической механике тела А, равная известной уже силе F, но направленная в .соответствии с законом равенства действия и противодействия и противоположную сторону, неизвестная по величине горизонтальная сила Решение задач по теоретической механике и реакция Решение задач по теоретической механике. перпендикулярная к наклонной стороне угла, составляющая, следовательно, с вертикалью угол 20°. Запишем для этих трех сил, пересекающихся в одной точке, два уравнения равновесия:Решение задач по теоретической механике
Подставляя в эти уравнения найденное ранее значение Решение задач по теоретической механике определяем остальные силы Решение задач по теоретической механике

Задача 1.27. Двухпролетная балка Решение задач по теоретической механике (рис. а) с промежуточным шарниром Решение задач по теоретической механике закреплена шарнирно в точке Решение задач по теоретической механике точках Решение задач по теоретической механике балка опирается при помощи катков на горизонтальные направляющие.Решение задач по теоретической механике
Определить реакции опор Решение задач по теоретической механике и усилие в шарнире Решение задач по теоретической механике, если на балку действуют: пара сил с моментом Решение задач по теоретической механике , сила Решение задач по теоретической механике, сила Решение задач по теоретической механике Даны размеры: Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике

Решение:

Система твердых тел состоит из двух балок. Рассмотрим равновесие каждой из балок отдельно. Па балку Решение задач по теоретической механике действуют (рис. б) активная сила Р и активная пара сил с моментом М. Кроме того, на балку наложены связи — шарниры А и С, подвижная опора В. Отбрасывая мысленно связи, заменяем их действие реакциями. Так как реакция шарнира А неизвестна по направлению и величине, заменяем ее двумя составляющими Решение задач по теоретической механике Аналогично реакция шарнира С также изобразится двумя составляющими Решение задач по теоретической механике Реакцию опоры В представим вертикальной силой Решение задач по теоретической механике Рассмотрим, далее, равновесие балки АС как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием шести сил и одной пары сил. Выберем оси координат с началом в точке А, ось абсцисс направим по горизонтали вправо, ось ординат по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия балки АС:Решение задач по теоретической механике

Можно было бы вместо второго уравнения равновесия составить сумму моментов всех сил относительно точки С. В это уравнение вошли бы только две неизвестные силы Решение задач по теоретической механике так как линии действия остальных неизвестных сил пересекаются в точке С. Однако в обоих случаях уравнение (1) является независимым от остальных уравнений и содержит два неизвестных; уравнения (2) и (3) связаны между собой и содержат три неизвестных.

Таким образом, из полученной системы ни одно из неизвестных не может быть определено. Рассмотрим поэтому равновесие второй балки СD (рис. в). На балку действует одна активная сила Q. Применяя закон освобождаемости от связей, заменим действие шарнира С и опоры О реакциями связей. Реакция Решение задач по теоретической механике направлена по вертикали, перпендикулярно к горизонтальной плоскости, на которую опираются катки. Реакция шарнира С неизвестна по величине и направлению. На основании закона равенства действия и противодействия составляющие этой реакции равны по модулю составляющим реакции шарнира, приложенным к балке АС, и направлены в прямо противоположные стороны (рис. в). Таким образом, имеем свободное твердое тело — балку СD, находящуюся в равновесии под действием пяти сил. Cоставим уравнения равновесия, выбрав оси координат с началом в точке С; ось абсцисс направим по балке вправо, ось ординат — вертикально вверх. Имеем:Решение задач по теоретической механике

В этих трех уравнениях равновесия только одна новая неизвестная Решение задач по теоретической механике А всего в шести уравнениях равновесия шесть неизвестных. Из уравнений (4) и (1) следует:

Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (6) находим:

Решение задач по теоретической механике

а из (5) получаем:

Решение задач по теоретической механике

Знак минус показывает, что в действительности направления составляющих Решение задач по теоретической механике противоположны принятым на рисунке.
Далее, из (3) имеем:

Решение задач по теоретической механике

и, наконец, из (2) находим:

Решение задач по теоретической механике

Знак минус указывает, что и реакция Решение задач по теоретической механике, направлена не вверх, как предполагалось, а по вертикали вниз.

Задача 1.28. Через блок с неподвижной осью О и радиуса R (рис. а) перекинута нить, к концам которой подвешены два одинаковых груза Решение задач по теоретической механике Правый конец нити свисает вертикально. Левый конец нити огибает блок с подвижной осью Решение задач по теоретической механике и радиуса r. Вес блока с подвижной осью Решение задач по теоретической механике. Ось нижнего блока насажена на конец стержня длиной l, другой конец которого закреплен на оси верхнею блока.Решение задач по теоретической механике
Пренебрегая весом стержня, определить угол а, который образует стержень с вертикалью в положении равновесия, и усилие в стержне Решение задач по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие системы твердых тел, состоящей из двух блоков и стержня, соединяющего их центры (рис. б). Для этого мысленно отбросим ось О, поддерживающую верхний блок, и заменим ее реакцией N. Кроме того, на систему действуют внешние силы Решение задач по теоретической механике Реакция N вертикальна, так как все остальные силы заведомо вертикальны. Составим для данной системы параллельных сил два уравнения равновесия:Решение задач по теоретической механике

Из первого уравнения определим реакцию N:
Решение задач по теоретической механике

Из второго уравнения находим угол а:
Решение задач по теоретической механике
откуда Решение задач по теоретической механике

Для определения усилия в стержне рассмотрим равновесие блока с подвижной осью. Он находится в равновесии под действием четырех сил (рис. в): веса Решение задач по теоретической механикедвух равных но величине реакций нити Решение задач по теоретической механике и Т, а также реакции стержня S, направленной по стержню, но неизвестной по величине. Таким образом, геометрическая сумма этих четырех сил должна быть равна нулю:Решение задач по теоретической механике

Так как угол a известен и Решение задач по теоретической механике то проще всего величину S определить графически, построением силового многоугольника. Отложим из точки а (рис. г) две вертикальные силы Решение задач по теоретической механике в избранном для сил масштабе. Далее, из точки с, конца силы Решение задач по теоретической механике как из центра, проведем дугу окружности радиусом, равным по величине Решение задач по теоретической механике На этой дуге должен находиться конец силы Т и начало силы S, составляющей угол Решение задач по теоретической механике с вертикалью. Проведя из точки а под углом 30° к вертикали прямую до пересечения с дугой окружности в точке d, соединим прямой точки d и с. Отрезок da и определит величину усилия в стержне. Измерив его в избранном для сил масштабе, находим, что усилие в стержне Решение задач по теоретической механике

Задача 1.29. Рама состоит из двух жестких частей АС и ВС (рис. а), соединенных шарниром С и прикрепленных к фундаменту шарнирными опорами А и В.
Определить реакции в шарнирах А, В, С, если в точке D приложена вертикальная сила Решение задач по теоретической механике. Задачу решить графически.

Решение:

Реакции шарниров А и В неизвестны по величине и направлению. Следовательно, если рассматривать равновесие всей системы АСВ, отбросив опоры А и В и заменив их действие реакциями, то число неизвестных будет равно четырем, а уравнений равновесия будет три.

Рассмотрим поэтому отдельно равновесие левой части рамы (рис. б). К этому твердому телу никаких активных сил не приложено. Применяя закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно шарниры A и С и заменим их действие реакциями. Часть рамы АС находится в равновесии под действием двух сил: Решение задач по теоретической механике Согласно второму закону статики эти силы должны быть равны но величине и направлены по одной прямой в разные стороны. Так как одна сила приложена в точке А, а другая — в точке С, то общей линией действия этих сил будет АС.

Рассмотрим, далее, равновесие правой части ВС рамы. К ней приложена одна активная сила Р. Освобождаясь мысленно от двух связей: шарниров В и С, заменяем их действие реакциями. Реакция Решение задач по теоретической механике на основании закона равенства действия и противодействия равна по величине Решение задач по теоретической механике и направлена в противоположную сторону по АС (рис. в).Решение задач по теоретической механике

Направление реакцииРешение задач по теоретической механике может быть определено на основании теоремы о трех непараллельных силах. Действительно, часть ВС находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Линии действия двух сил известны они пересекаются в точке О. Согласно теореме линия действия третьей силы реакции Решение задач по теоретической механике должна также проходить через точку О. Три силы Решение задач по теоретической механике линии действия которых пересекаются в точке О, находятся и равновесии. Следовательно, они должны образовать замкнутый треугольник. Откладываем из произвольной точки (рис. г) силу Р, известную по величине и направлению. Из конца силы Р проводим линию, параллельную АС, т. е. линии действия силы Решение задач по теоретической механике Из начала силы Р проводим линию, параллельную ОВ, т. е. линии действия силы Решение задач по теоретической механикеПолучаем замкнутый силовой треугольник, стороны которого и определяют в принятом для силы Р масштабе величины искомых реакций: Решение задач по теоретической механикеСогласно ранее доказанному реакция шарнира А равна Решение задач по теоретической механике

Решение задачи об определении реакций шарниров трехшарнирной арки осложняется, если среди активных сил, действующих на трехшарнирную арку, имеется одна сила, приложенная к шарниру С. Рассмотрим в этом случае трехшарнирную арку как составленную из трех тел: двух полуарок и шарнирного болта. Полуарки не соприкасаются друг с другом. Шарнирный болт соприкасается с каждой из них.

Рассмотрим три возможных варианта задачи.
В первом варианте (рис. д) активная сила Р приложена к шарнирному болту, а к полуаркам никаких задаваемых сил не приложено. В эюм случае на левую полуарку, находящуюся в равновесии, действуют две равные силы Решение задач по теоретической механике (рис. б), направленные по прямой АС в противоположные стороны. Совершенно аналогично па правую полуарку действуют две взаимно уравновешивающиеся силы Решение задач по теоретической механике направленные по прямой ВС. Рассмотрим равновесие шарнирного болта С. к которому приложены три силы: сила Р, реакции левой и правой полуарок Решение задач по теоретической механике (рис. е), причем сила Р известна по величине и направлению, а у реакций полуарок известны только линии действия. Строя замкнутый треугольник (рис. ж), находим величины реакций Решение задач по теоретической механике и следовательно, равные им величины Решение задач по теоретической механике

Во втором варианте (рис. з) активные силы, кроме шарнирного болта С, приложены только к одной правой полуарке (сила Q). Рассмотрим равновесие левой полуарки (рис. б). Направление реакций Решение задач по теоретической механике совпадает с прямой АС.

Далее, присоединяем шарнирный болт С вместе с приложенной к нему активной силой Р к правой полуарке и рассматриваем се равновесие (рис. и) под действием сил: Решение задач по теоретической механике и реакции Решение задач по теоретической механике, которую раскладываем па две составляющие Решение задач по теоретической механике

Замечая, что —Решение задач по теоретической механике образует угол 45° с горизонталью, составляем три уравнения равновесия:

Решение задач по теоретической механике

откуда и определяются все три неизвестные.

В третьем варианте (рис. к) активные силы приложены, кроме шарнирного болта, и к обеим полуаркам.

В этом случае сначала определяем реакции шарниров А и В. Для этого рассмотрим равновесие всей арки, отбросив мысленно шарниры А и В и заменив их действие реакциями (рис. л). Три уравнения равновесия будут:

Решение задач по теоретической механике

В этих трех уравнениях четыре неизвестных: Решение задач по теоретической механике
Чтобы составить четвертое недостающее уравнение равновесия, рассмотрим равновесие любой полуарки (например, левой), присоеденив к ней шарнирный болт с приложенной к нему силой Р (рис. м). При этом составляем уравнение равновесия, в которое бы не входила реакция правой полуарки на болт. Таким уравнением равновесия будет равенство нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирного болта С

Решение задач по теоретической механике

Из этой системы четырех уравнений определяются Решение задач по теоретической механике Далее, составляя остальные уравнения равновесия для левой полуарки, находимРешение задач по теоретической механике — составляющие реакции правой полуарки на болт.

Для определения реакции левой полуарки на болт (она в этом случае не равна реакции на болт правой полуарки) необходимо рассмотреть отдельно равновесие правой полуарки.

Задача 1.30. Цилиндрический стакан радиуса поставлен открытой стороной на гладкий горизонтальный пол. Внутри стакана находятся два одинаковых шара радиуса r и весом Р каждый.

Определить вес Q цилиндрического стакана, при котором шары не опрокинут его. Стенки стакана абсолютно гладкие.

Решение:

Для определения искомого веса стакана рассмотрим отдельно равновесие двух шаров (рис. б) и равновесие стакана (рис. в).

На систему двух шаров действуют силы: вес каждого шара Р, приложенный в центре шара и направленный по вертикали вниз; реакция гладкого пола Т, направленная по вертикали вверх; реакции стенок стакана Решение задач по теоретической механике и направленные по горизонтали и приложенные в точках D и С

Проведем оси координат: ось х горизонтально, ось у вертикально. Уравнения равновесия для системы, состоящей из двух шаров, имеютРешение задач по теоретической механике

Третье уравнение — уравнение моментов — составлено относительно точки О, где пересекаются линии действия трех сил, в том числе двух неизвестных. Из первого уравнения следует:

Решение задач по теоретической механике

Из третьего уравнения находим:

Решение задач по теоретической механике

Рассмотрим, далее, равновесие цилиндрического стакана (рис. в). На стакан действуют силы: вес Q по вертикали вниз, реакции шаровРешение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике приложенные в точках D и С, реакции пола в точках H и К. (Ясно, что Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике) В момент опрокидывания стакана, который мы рассматриваем, давление в точке Н на пол и, следовательно, реакция пола обращаются в нуль и стакан опирается на горизонтальную плоскость только в точке К

Составим уравнение моментов относительно точки К

Решение задач по теоретической механике

Далее из (6), учитывая (4), имеем:

Решение задач по теоретической механике

Подставляя в это равенство значение N, определенное формулой (5), имеем:
Решение задач по теоретической механике

но Решение задач по теоретической механике и, следовательно, для равновесия необходимо, чтобы выполнялось неравенство Решение задач по теоретической механике
(знак неравенства соответствует случаю, когда давление па горизонтальную плоскость будет распределяться по всему ободу).

Задача 1.31. Два однородных стержня АВ и СО длиной 2l и весом Р каждый опираются в точках D и В на гладкий горизонтальный пол и соединены посередине шарниром О. Концы стержней А и С соединены нитью. Между верхними половинами стержней лежит гладкий диск радиуса r и весом Угол Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике
Определить натяжение нити.

Решение:

Для нахождения реакций пола в точках D и В рассмотрим равновесие системы твердых тел (два стержня, скрепленных шарниром и нитью, и диск), отбросив мысленно пол и заменив ею действие вертикальными реакциями Решение задач по теоретической механике (рис. б). Кроме реакций пола, к системе твердых тел приложены: в центре диска его вес Q, в шарнире О вес стержней , оси координат показаны на рисунке. Составляем два уравнения:
сумма проекций всех параллельных сил на вертикаль равна нулюРешение задач по теоретической механике
сумма моментов всех сил относительно точки D равна нулюРешение задач по теоретической механике
Решая совместно эти уравнения, находим:
Решение задач по теоретической механике
Как и следовало ожидать, реакции пола равны между собой.

Рассмотрим, далее, равновесие диска, отбросив стержни и заменив их действие на диск реакциями Решение задач по теоретической механике, (рис. b). Реакции Решение задач по теоретической механике и соответствен но перпендикулярны к стержням АВ и СD так как трение между диском и стержнями по условию отсутствует. Следовательно, и образуют с горизонталью равные углы а. Кроме реакций, на диск действует сила тяжести Q. Линии действия всех трех сил пересекаются в центре диска. Напишем уравнения равновесия диска:

Решение задач по теоретической механике

Решая совместно эти два уравнения, имеем:

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, реакции стержней равны между собой, что очевидно и но соображениям симметрии.

Далее, рассмотрим равновесие одного из стержней, заменив действие пола известной реакцией Решение задач по теоретической механике и давление диска найденной величиной N (рис. г). На стержень, кроме того, действуют следующие силы: неизвестное но величине натяжение нити S, неизвестная по величине и направлению реакция шарнира О, которую представляем двумя составляющими Решение задач по теоретической механике и вес стержня Р. Благодаря тому, что ранее были найдены реакции Решение задач по теоретической механике. число неизвестных сил, действующих на стержень, равно трем, т. е. задача является статически определенной. Так как по условию требуется найти только натяжение нити, то достаточно составить одно уравнение равновесия, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно точки О:

Решение задач по теоретической механике

Отсюда

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.32. Нить AЕВ прикреплена к потолку в точках A и В и пропущена черен два отверстия в балке СD (рис. а). В середине E нити подвешен груз Р. Вес балки СD равен Q. Расстояние СD между отверстиями в балке равно АВ.

Полагая нить и балку абсолютно гладкими, определить угол a, образованный в положении равновесия балкой и нижними отрезками нити, натяжение нити и реакции между балкой и нитью в точках С и D

Решение:

Для определения натяжения нити разрежем мысленно АС и ВD и рассмотрим равновесие нижней части системы (рис. б) под действием веса груза Р, веса балки Q и реакций нитей и Проведя оси координат (рис. б), составляем два уравнения равновесия:

Решение задач по теоретической механике

Решая совместно эти два уравнения, имеем:
Решение задач по теоретической механике
что, впрочем, очевидно вследствие симметрии системы.

Для нахождения угла а рассмотрим равновесие сил, приложенных к точке Е (рис. в). Следует заметить, что натяжение во всех частях

Решение задач по теоретической механике


нити по модулю одно и то же, так как в точках С и D где нить проходит через отверстия к балке, трение отсутствует. Если бы в этих точках между нитью и балкой существовало трение, то натяжения нити но разные стороны от отверстия были бы различны.

В точке Е приложены вес Р и натяжения Решение задач по теоретической механике нитей, образующих угол а. с горизонталью. Для определения угла а достаточно составить одно уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на вертикаль равна нулю):

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Второе уравнение равновесия (сумма проекций всех сил на горизонталь равна пулю) составлять нет необходимости, так как оно только вновь подтвердит ранее установленное равенство натяжений в левой и правой половинах нити Решение задач по теоретической механике Для определения реакции между балкой и нитью рассмотрим равновесие нити в точке С, отбросив балку и заменив ее действие реакцией, составляющие которой обозначим через Решение задач по теоретической механике (рис. г). Кроме того, на нить в точке С действуют натяжения Решение задач по теоретической механикеотрезков нитей АС и ЕС. Составляем уравнения равновесия точки С:

Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (2) находим:

Решение задач по теоретической механике

Уравнение (1) дает:

Решение задач по теоретической механике

Равновесие тел при наличии трения

Равновесие при наличии трения. Если к твердому телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, приложить горизонтальную силу F, то действие этой силы вызовет появление силы сцепления Fсц = -F, представляющей собой силу противодействия плоскости смещению тела.

Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения

Силы трения скольжения возникают между шероховатым телом и шероховатой поверхностью, если равнодействующая активных сил R не направлена по нормали к поверхности, на которой покоится тело (рис. 1.36). При равновесии тела необходимо, чтобы реакция шероховатой поверхности S (рис. 1.37) равнялась по величине R и была направлена в прямо противоположную сторону. Разложим активную силу R на нормальную составляющую N и касательную составляющую Т, реакцию шероховатой поверхности на нормальную составляющую Решение задач по теоретической механике и касательную составляющую F, называемую силой трения скольжения или силой трении первого рода. При равновесии должны соблюдаться равенства

Решение задач по теоретической механике

Из опыта известно, что при изменении величины составляющей Т в определенных пределах равновесие тела не нарушается. Следовательно, и сила трения скольжения согласно уравнению (2*) будет меняться в этих пределах.

Таким образом, сила трения скольжения при покое есть составляющая реакции связи, возникающая при действии активных сил, стремящихся сдвинуть тело. Эта составляющая реакции направлена в сторону, противоположную возможному движению тела. Величина силы трения может меняться от нуля до некоторого предела, в зависимости от величины и направления активных сил, с тем чтобы
Решение задач по теоретической механике
воспрепятствовать перемещению тела. Отличие силы трения от других реакций связей заключается и том, что ее модуль не может превысить определенного предела.

Зависимость между силой трения и нормальным давлением определяется законом Кулона: наибольшая величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению тела на поверхность

Решение задач по теоретической механике

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную возможному относительному движению.

Постоянная f называется коэффициентом трения скольжения. Экспериментально установлено, что этот коэффициент зависит от материала соприкасающихся тел и их шероховатости (чистоты обработки). Для абсолютно гладких тел коэффициент f равен нулю. Для реальных тел

Решение задач по теоретической механике

Коэффициент трения не зависит от силы нормального давления и площади соприкосновения.

Угол Решение задач по теоретической механике между нормалью к поверхности и полной ее реакцией в положении предельного равновесия, когда Решение задач по теоретической механике, называется углом трения (рис. 1.38). Этот угол определяется равенством

Решение задач по теоретической механике

Построим в точке соприкосновения нормаль к поверхности и прямую ОА, составляющую с ней угол Решение задач по теоретической механике. Конус, описанный этой прямой как образующей, называется конусом трения.

Если линия действия равнодействующей активных сил, приложенных к твердому телу, лежит внутри конуса трения, то вне, зависимости от ее модуля тело останется в покое. Это объясняется тем, что в этом случае движущая сила будет меньше предельной силы трения.
Решение задач по теоретической механике
Действительно, рассмотрим равновесие тела, находящегося на горизонтальной плоскости S (рис. 1.39). К телу приложена равнодействующая активных сил Q пол углом а к нормали (вес тела входит в Q). Коэффициент трения скольжения  Решение задач по теоретической механике  известен. Полагая Решение задач по теоретической механике, составим уравнение равновесия, приравняв нулю сумму проекций всех сил на направление нормали (рис. 1.40):

Решение задач по теоретической механике

Проектируя все силы на горизонтальное направление, находим:

Решение задач по теоретической механике

Замечая, что наибольшее значение силы трения равно

Решение задач по теоретической механике

и учитывая, что Решение задач по теоретической механике  заключаем:

Решение задач по теоретической механике

Следовательно, сила Q, линия действия которой находится внутри конуса трения, не может сдвинуть тело с места, как бы велика она ни была. На этом свойстве основаны некоторые самотормозящиеся устройства.

Если из Q выделить вес тела Р, то неравенство (9*) примет вид 

Решение задач по теоретической механике   

Следовательно, сила не может нарушить равновесие тела при

Решение задач по теоретической механике

Сила трения может принимать различные значения от нуля до наибольшей величины. Поэтому уравнения равновесия твердого тела, которые выражались равенствами (§2, уравнения (1*), (2*), (3*)), при наличии сил трения превращаются в неравенства. В связи с этим при решении задач, как правило, рассматривают наибольшее значение силы трения и находят при этом из уравнений равновесия предельные (наибольшие и наименьшие) значения искомых величин.

Так, например, рассматривая равновесие лестницы АВ (рис. 1.41), опирающейся на гладкую стену и шероховатый пол, мы найдем наименьшее значение угла а, при котором лестница будет в покое, если возьмем максимальное значение силы трения. Положений равновесия лестницы будет при этом бесчисленное множество, так как при любом значении угла а, большем найденного, но меньшем 90°, для равновесия необходима сила трения меньшая, чем ее максимальная величина.

При решении задач на равновесие твердого тела при наличии сил трения следует выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. При этом следует реакцию шероховатой поверхности представить двумя составляющими — нормальной реакцией и силой трения, или же. не раскладывая эту реакцию на составляющие, направить ее под углом трения Решение задач по теоретической механике к нормали к поверхности (при максимальной силе трения);

  • 5) сопоставить число неизвестных величии и число независимых уравнений равновесия, которые должны быть равны для статически определенных задач; при этом к уравнениям равновесия твердого тела следует добавить зависимость силы трения от нормального давления;
  • 6) выбрать систему координат;
  • 7)составить систему уравнений равновесия для сил, приложенных к твердому телу или к системе твердых тел;
  • 8) решив систему уравнений равновесия, определить искомые величины.

Задача 1.33. Определить модуль силы Р, при которой начнется движение блока (рис. а). Вес блока (Решение задач по теоретической механике высота Решение задач по теоретической механике ширина Решение задач по теоретической механике. Сила Р, приложенная в точке В, образует угол 30'-' с горизонтом. Коэффициент трения между блоком и горизонтальным полом = 0,2.

Решение:

 Движение блока может начаться в двух случаях: а) если начнется скольжение блока но плоскости вправо (рис. б) н б) если блок начнет опрокидываться вокруг ребра (рис. в).

Рассмотрим первый случай. В этом случае точка приложения реакции пола N неизвестна. Составим уравнения равновесия — приравняем суммы проекций всех сил на оси координат (рис. б) нулю

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, учтем зависимость силы трения от нормального давления

Решение задач по теоретической механике

Определим из данной системы уравнений силу Р. Исключая силы Решение задач по теоретической механике, и N, находим:Решение задач по теоретической механике

Если величина силы Р станет больше этого значения, то блок начнет скользить вправо.

Решение задач по теоретической механике
Рассмотрим второй случай. В случае возможного опрокидывания блока вокруг ребра А нормальная реакция N и сила трения Р будут приложены в точке А (рис. в).

Составим три уравнения равновесия и четвертое уравнение — зависимость силы трения от нормального давления

Решение задач по теоретической механике

Для нахождения величины силы Р достаточно найти ее значение из (3):

Решение задач по теоретической механике

Если модуль силы Р станет больше этого значения, то блок начнет опрокидываться около ребра А.

Уравнения (1), (2), (4) смогут быть использованы для определения нормальной реакции и силы трения.

Сопоставляя значения модуля силы Р в первом и во втором случаях, заключаем, что гак как величина силы Р при скольжении меньше ее величины при опрокидывании, то при возрастании модуля силы Р от нуля до максимума блок начнет сначала скользить, а не опрокидываться.

Задача 1.34. Для подъема (рис. а) или опускания (рис. б) каменного блока А, весящего 2000 кГ, применили два клина В и С. Коэффициент трения для соприкасающихся поверхностей АВ и АС равен = 0,2, а для поверхностей ВD и СD равен Решение задач по теоретической механике = 0,25.


Решение задач по теоретической механике
Найти равные по величине горизонтальные силы Р, сжимающие клинья, необходимые для подъема блока А. Определить силы Р, растягивающие клинья, необходимые для опускания блока А. Наклонные плоскости соприкосновения блока с клиньями образуют угол 10° с горизонтом.

Решение:

Рассмотрим равновесие системы тел, состоящей из блока А и клиньев В и С. При подъеме блока (рис. а) силы Р сжимают клинья. Рассмотрим отдельно равновесие блока и равновесие клина. Отбросив мысленно клинья, заменим их действие на блок нормальными реакциями N и силами трения Р (рис. в). Кроме того, на блок действует известная сила — вес С). Составим два уравнения равновесия, приравняв нулю суммы проекций всех сил на оси х и у:

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, запишем зависимость сил трения от нормального давления

Решение задач по теоретической механике

Тогда находим:

Решение задач по теоретической механике

Перейдем, далее, к рассмотрению равновесия клина В (рис. г). На клин действуют: реакция блока, которая раскладывается на нормальную составляющую — Решение задач по теоретической механике, и силу трения — Решение задач по теоретической механике активная сила Р и реакция полз, разложенная на нормальную силу S и силу трения Т. Напишем уравнения равновесия для клипа В:

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, имеем зависимость силы трения от нормального давления

Решение задач по теоретической механике

Отсюда, пользуясь найденными ранее значениями реакций, найдем 

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, для равновесия системы при подъеме блока получено необходимое граничное значение силы Решение задач по теоретической механике Если же Решение задач по теоретической механике то начнется подъем блока; система придет в движение.

Перейдем к определению величины силы Р при спуске блока. Блок А находится в равновесии (рис. д) под действием активной силы — веса Q нормальных реакций клиньев Решение задач по теоретической механике и сил трения Решение задач по теоретической механике Силы трения в этом случае направлены вдоль наклонной плоскости вверх. Это сразу видно из рассмотрения равновесия клипа В (рис. е), так как в связи с изменением направления силы Р па прямо противоположные силы Т и — меняют свое направление на противоположное по сравнению с предыдущим случаем (рис. г). Уравнения равновесия для блока А будут:

Решение задач по теоретической механике

Кроме тою, зависимость силы трения от нормального давления дается равенствами

Решение задач по теоретической механике

Отсюда находим:

Решение задач по теоретической механике

Уравнения равновесия для клина В (рис. е) будут:

Решение задач по теоретической механике

Сила трения выражается через нормальное давление

Решение задач по теоретической механике

Отсюда, пользуясь ранее найденными значениями реакции Решение задач по теоретической механике найдем:

Решение задач по теоретической механике

Найденное значение Р является граничным при равновесии системы в случае опускания блока.

Таким образом, на основании проведенного исследования можно заключить, что система будет находиться в равновесии, если проекция силы Р лежит в пределах

Решение задач по теоретической механике

Если модуль каждой из сил Р будет больше 641 кГ, то при их направлении, указанном на рис. а, начнется подъем блока. Для того чтобы блок начал опускаться, нужно приложить силы Р в противоположном направлении, причем их модуль должен превышать 273 кГ.

Задача 1.35. Полуцилиндр весом Р и радиуса R лежит на негладкой горизонтальной плоскости (рис. а). Однородный стержень ОА длиной l и весом Q шарнирно закреплен в точке О. Он опирается па гладкую поверхность полуцилиндра, образуя угол а с вертикалью Решение задач по теоретической механике

Определить наименьшую величину коэффициента трения скольжения f между полуцилиндром и горизонтальной плоскостью при равновесии.

Решение:

Полуцилиндр и стержень являются системой твердых тел, находящихся в равновесии. Под действием веса стержня полуцилиндр может начать движение вправо (при недостаточной силе трения между полуцилиндром н полом). Для определения искомой наименьшей величины коэффициента трения скольжения между полуцилиндром и горизонтальной плоскостью рассмотрим отдельно равновесие стержня и полуцилиндра.

Рассматривая равновесие стержня ОА (рис. б), отбросим мысленно шарнир О и заменим его действие реакцией. Реакция шарнира приложена в точке О и неизвестна по величине и направлению. Представим поэтому реакцию двумя составляющими Решение задач по теоретической механике Отбрасывая мысленно полуцилиндр, заменим его действие на стержень реакцией Решение задач по теоретической механике направленной перпендикулярно к стержню, так как согласно условию трение между стержнем и полуцилиндром отсутствует. Величина реакции Решение задач по теоретической механике неизвестна. Кроме указанных реакций, к стержню в его середине приложен вес Q направленный по вертикали.

На рис. в представлены силы, действующие на полуцилиндр при равновесии. Полуцилиндр находится в равновесии под действием трех сил: веса Р, реакции стержня Решение задач по теоретической механике и реакции негладкой горизонтальной плоскости. Вес Р направлен по вертикальной оси симметрии полуцилиндра и, следовательно, линия действия этой силы проходит через точку С, лежащую на оси цилиндра. Реакция стержня Решение задач по теоретической механике согласно пятому закону (закон равенства действия и противодействия) равна по величине Решение задач по теоретической механике и направлена противоположно. Следовательно реакция Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике


перпендикулярна к стержню, совпадающему по направлению с касательной к полуцилиндру, и направлена но радиусу . Этот радиус образует с горизонтальным диаметром полуцилиндра угол a, так как стороны АО и ВО, образующие угол а, соответственно перпендикулярны к прямой и горизонтальному диаметру. Равнодействующая реакций негладкой горизонтальной плоскости должна быть приложена в точке С. Действительно, полуцилиндр находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Следовательно, линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке. Но силы Решение задач по теоретической механике пересекаются в точке С. Значит, и линия действия равнодействующей реакции негладкой плоскости должна проходить через точку С. А это возможно только в том случае, если эта реакция приложена в точке С. Разложим реакцию горизонтальней плоскости на две составляющие: нормальную реакцию Решение задач по теоретической механике и силу трения Решение задач по теоретической механике Перейдем к составлению уравнений равновесия обоих тел. Составим для стержня сумму проекций всех сил на оси x и у и приравняем их к нулю:

Решение задач по теоретической механике

Уравнение моментов относительно точки О будет:

Решение задач по теоретической механике

Точка О выбрана за центр моментов, так как при этом составляющие реакции шарнира О не входят в уравнение моментов. Таким образом, из последнего уравнения непосредственно находится неизвестная сила Решение задач по теоретической механике, а только эта сила из входящих в систему уравнения (1) — (3) и войдет далее в уравнения равновесия полуцилиндра. Уравнения (1) — (2) могут быть использованы для нахождения неизвестных составляющих реакций шарнираРешение задач по теоретической механике

Из уравнения (3), пользуясь очевидным равенством

Решение задач по теоретической механике

найдем:

Решение задач по теоретической механике

Перейдем к составлению уравнений равновесия для полуцилиндра. Проектируя силы, приложенные к полуцилиндру, на оси координат, получим два уравнения равновесия:

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, сила трения связана с нормальной    реакцией зависимостью

Решение задач по теоретической механике

Учитывая равенство Решение задач по теоретической механике получим систему четырех уравнений (5) — (8) с четырьмя неизвестными Решение задач по теоретической механике Для нахождения наименьшего значения коэффициента трения Решение задач по теоретической механике исключим из рассматриваемой системы остальные неизвестные. Внося (5) и (8) в уравнение (6), получим:

Решение задач по теоретической механике

Подставляя (5) в (7), найдем:

Решение задач по теоретической механике

Исключая из полученных уравнений (9) и (10) реакцию Решение задач по теоретической механике получим окончательно:

Решение задач по теоретической механике
Это и есть наименьшее значение коэффициента трения, при котором полуцилиндр и стержень будут находиться в равновесии.

Задача 1.36. Крутящий момент мотора электрической лебедки ранен Решение задач по теоретической механике Для остановки мотора служат тормозные колодки тормоза А (рис. а), прижимающиеся силами Р к тормозному диску В, жестко связанному с ротором мотора. Радиус тормозного диска Решение задач по теоретической механике 

Определить силу давления Р, необходимую для удержания ротора в равновесии, если коэффициент трения между деревянными колодками и чугунным тормозным диском равен Решение задач по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие тормозного диска В (рис. б). К диску приложена активная пара — крутящий момент М. Отбрасывая мысленно тормозные колодки, заменяем их действие реакциями.
Решение задач по теоретической механике
Каждая реакция раскладывается на две составляющие: нормальное давление Р и силу трения F. Зависимость между нормальным давлением и силой трения выражается при помощи коэффициента трения

Решение задач по теоретической механике

Для равновесия диска необходимо, чтобы сумма моментов всех сил, приложенных к диску, равнялась нулю. Силы Р взаимно уравновешиваются и в уравнение моментов не входят. Силы трения образуют пару сил; крутящий момент представляет собой также пару сил. Сумма моментов сил, составляющих пару относительно любой точки, равна моменту нары. Таким образом,

Решение задач по теоретической механике

Подставляя значение силы трения (1) в уравнение (2), имеем:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Задача. 1.37. Электрическая лебедка (рис. а) весом Решение задач по теоретической механике кренится к фундаменту при помощи шести болтов. Максимальная сила тяги Т равна 8 Т и направлена под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения между основанием лебедки и фундаментом равен = 0,5.

Определить силу затяжки болтов, при которой срезывающее усилие в них равно нулю и лебедка удерживается от сдвига одной силой трения.

Решение:

Рассмотрим равновесие лебедки. К ней приложены две активные силы: вес Q и сила тяги Т. Отбрасывая мысленно связи — болты и фундамент, заменим их действие реакциями (рис. б). Полагая затяжку всех шести болтов одинаковой, заменяем их действие двумя силами по 3Р каждая. Реакцию фундамента раскладываем на нормальную составляющую и силу трения F. Силу трения направляем но горизонтали влево, в сторону, противоположную возможному сдвигу
Решение задач по теоретической механике
лебедки. Так как срезывающее усилие в болтах равно нулю, то следует рассмотреть равновесие лебедки как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием сил: Решение задач по теоретической механике 

Выберем оси координат: ось х направим по горизонтали вправо, ось у вертикально вверх. Составим сумму проекций всех сил на ось у и приравняем ее нулю:Решение задач по теоретической механике

Из этого уравнения определяется нормальная составляющая реакции фундамента, равная по величине нормальному давлению на фундамент:Решение задач по теоретической механике

Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось х, имеем:
Решение задач по теоретической механике

Из этого уравнения определяется необходимая для равновесия сила тренияРешение задач по теоретической механике


Зависимость между силой трения и нормальным давлением дается формулой
Решение задач по теоретической механике

Подставив в это выражение значение силы трения (2), нормального давления (1) и коэффициента трения, получим:
Решение задач по теоретической механике

откуда определим необходимую величину затяжки болтов
Решение задач по теоретической механике
Таким образом, для того чтобы болты не испытывали срезывающих усилий и лебедка удерживалась от сдвига силой трения, необходимо и достаточно, чтобы затяжка каждою болта удовлетворяла условию
Решение задач по теоретической механике

Задача 1.38. Однородный прямолинейный стержень АВ весом Q (рис. а) опирается в точке В на шероховатую вертикальную стену. Коэффициент трения между стержнем и стеной равен f. В точке А стержень опирается на горизонтальный гладкий пол. Стержень удерживается в равновесии нитью AD, перекинутой через блок D. К концу нити подвешен груз Р.Решение задач по теоретической механике

Определить пределы, в которых можно изменять величину груза P, чтобы не нарушить равновесия стержня.

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня АВ. На него действует одна активная сила, вес стержня Q приложенный посредине стержня в точке С и направленный по вертикали вниз. На стержень наложены три связи: горизонтальный пол, вертикальная стена и нить АD. На основании закона освобождаемости от связей отбросим мысленно связи и заменим их действие реакциями. Реакция гладкого пола Решение задач по теоретической механике направлена перпендикулярно к полу, натяжение нити Р направлено по горизонтали вправо, реакция шероховатой вертикальной стены может быть представлена двумя составляющими: нормальной реакцией направленной по горизонтали влево, и силой трения Решение задач по теоретической механике. Сила трения направлена по вертикали: 1) в случае, когда груз Р наименьшей величины и, следовательно, возможное направление движения точки — вниз, сила трения Решение задач по теоретической механике направлена вверх (рис. б), в сторону, противоположную возможному движению; 2) в случае, когда груз Р наибольшей величины, точка В может начать скользить но стене вверх и, следовательно, сила трения Решение задач по теоретической механике (рис. в) направлена но вертикали вниз, опять-таки в сторону, противоположную возможному движению.

Рассматривая равновесие стержня АВ как свободного твердого тела, находящегося под действием пяти сил: Решение задач по теоретической механике (рис. б), найдем минимальное значение веса груза Решение задач по теоретической механике Выберем оси координат — ось х направляем по горизонтали вправо, ось у вертикально вверх. Составим уравнения равновесия (рис. б):Решение задач по теоретической механике

Через l в последнем уравнении обозначена длина стержня АВ. Кроме того, напишем зависимость силы трения от нормального давления
Решение задач по теоретической механике

Задача является статически определенной, так как система из четырех уравнений содержит четыре неизвестных: Решение задач по теоретической механике Решая совместно эту систему уравнений, находим искомое минимальное значение величины груза Р:
Решение задач по теоретической механике

Для определения наибольшей величины груза Р рассмотрим равновесие стержня АВ (рис. в) как свободного твердого тела, находящегося под действием пяти сил: Решение задач по теоретической механике Тогда уравнения равновесия имеют видРешение задач по теоретической механике

кроме того,

Решение задач по теоретической механике

Решая совместно эту систему уравнений, находим наибольшую величину груза Р, при которой стержень будет в равновесии:

Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (1) следует, что Решение задач по теоретической механике неограниченно возрастает, если Решение задач по теоретической механике. При Решение задач по теоретической механикедля возможности подъема стержня (скольжения точки В вверх по стене) необходимо, чтобы сила Q) была направлена вверх но вертикали, что невозможно. Таким образом, в этом случае не существует силы Решение задач по теоретической механике которая могла бы нарушить равновесие лестницы.

Таким образом, равновесие стержня возможно при изменении веса груза Р в пределах

Решение задач по теоретической механике

Эта задача может быть решена и несколько иным путем. Замечаем, что но условию задачи не требуется определения неизвестной реакции гладкого пола Решение задач по теоретической механике Поэтому из возможных уравнений равновесия стержня (рис. б) выберем такие, которые не содержат Решение задач по теоретической механике Составим уравнение моментов всех сил относительно точки A:

Решение задач по теоретической механике

Второе уравнение равновесия — равенство нулю суммы проекций всех сил на горизоиальную ось х. В него также не войдет неизвестная сила Решение задач по теоретической механике:

Решение задач по теоретической механике

К этим двум уравнениям добавляется соотношение между нормальной реакцией и силой трения в точке В:

Решение задач по теоретической механике

Подставив значение Решение задач по теоретической механике, из (5) в (3) и учитывая (4), сразу получим.

Решение задач по теоретической механике

Аналогично для нахождения наибольшего значения силы Р составим такие же уравнения равновесия (рис. в):

Решение задач по теоретической механике

Решив совместно эту систему уравнений, определим максимальное значение силы Р:

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, как и следовало ожидать, мы пришли к результату, выражаемому формулой (2).

Сопоставляя оба решения, мы видим, что в нервом случае мы применили общий метод составления уравнений равновесия для твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил, не учитывая особенностей данной задачи. Достоинство общих методов и заключается в том, что они ведут к цели, несмотря на различия в условиях задач.

Иногда такой путь не является самым простым и коротким. На примере второю способа решения мы видим, что при учете особенности данной задачи (в задаче не требуется определить величину реакции гладкого пола Решение задач по теоретической механике) удалось составить меньшее число уравнений равновесия, которые проще и скорее привели к пели.

Задача 1.39. Два одинаковых однородных стержня АВ и ВС, весом Р и длиной l каждый, шарнирно соединены между собой. В течке А стержень шарнирно прикреплен к вертикальной стене.

Решение задач по теоретической механике

Точка А находится на высоте h над горизонтальным полом, па который концом С свободно опирается стержень ВС.

Зная коэффициент трения между стержнем ВС и горизонтальным полом, определить угол Решение задач по теоретической механике при равновесии.

Решение:

Рассмотрим отдельно равновесие стержня ВС (рис. б) и стержня АВ (рис. в). Отбросив мысленно связи, заменим их действие реакциями. К стержню ВС приложены силы: вес Р, нормальная реакция горизонтального пола N и сила трения F, направленная в сторону, противоположную возможному движению; реакция шарнира В не известна ни по величине, ни по направлению (представим се двумя составляющими Решение задач по теоретической механике).

К стержню АВ приложены силы: вес Р; составляющие реакции шарнира В, равные и противоположные силам, приложенным в точке В к стержню ВС (обозначим эти составляющие через Решение задач по теоретической механике), составляющие реакции шарнира А, названные Решение задач по теоретической механике.

Составим уравнения предельного равновесия для стержня ВС.

Решение задач по теоретической механике

Уравнение моментов (3) составлено относительно точки В, уравнение (4) дает зависимость силы трения ог нормального давления. Уравнения равновесия для стержня АВ будут:

Решение задач по теоретической механике

Здесь сумма моментов сил (7) составлена относительно точки А.

Чтобы найти уравнения, определяющие зависимость между углами Решение задач по теоретической механике решим совместно составленные уравнения, кроме уравнений (5) и (6), так как последние содержат Решение задач по теоретической механике и которые согласно условию задачи находить не нужно. Из уравнения (1), (2) и (4) найдем:

Решение задач по теоретической механике

Исключи» из уравнения (3) неизвестные F, N, получим:

Решение задач по теоретической механике

Разделив это равенство на Решение задач по теоретической механике и воспользовавшись равенством (8), найдем:

Решение задач по теоретической механике

С другой стороны, разделив уравнение (7) на Решение задач по теоретической механике и воспользовавшись равенством (8), получим:

Решение задач по теоретической механике

Исключив из уравнений (10) и (11) найдем:

Решение задач по теоретической механике

Это — первое уравнение, определяющее углы Решение задач по теоретической механике в положении равновесия.
Второе уравнение найдем из геометрического равенства

Решение задач по теоретической механике

откуда получим:

Решение задач по теоретической механике

Исключив из равенств (12) и (14) угол а, найдем:

Решение задач по теоретической механике

Если Решение задач по теоретической механике — корень этого уравнения, то равновесие системы будет при любом Решение задач по теоретической механике

Задача 1.40. Однородный стержень АВ длиной l опирается концом А на внутреннюю гладкую поверхность пустотелого полуцилиндра радиуса r и концом В на шероховатый горизонтальный пол Решение задач по теоретической механике. В положении равновесия центр тяжести стержня С находится на вертикальном диаметре полуцилиндра.

Определить угол Решение задач по теоретической механике составляемый стержнем с полом в положении равновесия, и коэффициент трения скольжения f между стержнем и иолом, полагая, что сила трения достигает в этом положении стержня своего предельного значения 

Решение задач по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня АВ. На стержень действует одна активная сила, вес стержня Р. Так как центр тяжести стержня С лежит на одной вертикали с центром цилиндра О, то линия действия силы тяжести проходит через точку О. На стержень наложены две связи: гладкая поверхность полуцилиндра и шероховатый пол. Применим закон освобождаемое от связей. Отбросим мысленно связи (рис. б) и заменим их действие реакциями. Реакция гладкой стенки полуцилиндра направлена нормально к его поверхности, т. е. по радиусу АО. Изобразим ее силой Т. Следовательно, в точке О пересекаются линии действия двух сил: реакции Т и веса Р. Но стержень находится в равновесии под действием трех сил: Т, Р и реакции пола к точке В. Согласно теореме о трех непараллельных силах линия действия реакции пола R должна также пересекать точку О. Направим реакцию R по линии ВО (рис. б). Угол между нормалью к полу и реакцией R есть угол трения Решение задач по теоретической механике, причем Решение задач по теоретической механике Из треугольника ОВD найдем:

Решение задач по теоретической механике

Обозначим угол между силой Т и линией горизонта буквой a. Тогда, опуская перпендикуляр АN из точки А на вертикальный диаметр, имеем Решение задач по теоретической механике или

Решение задач по теоретической механике

Аналогично Решение задач по теоретической механике следовательно

Решение задач по теоретической механике

Сопоставив (1) и (2), найдем:

Решение задач по теоретической механике

Обозначив для краткости Решение задач по теоретической механике (гак как по условию Решение задач по теоретической механике), найдем из (2) и (3), что

Решение задач по теоретической механике

Возведем равенства (5) и (в) в квадрат и сложим. После несложных преобразований получим:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Следовательно,
Решение задач по теоретической механике

Знак минус перед вторым корнем должен быть отброшен, так как

Решение задач по теоретической механике

и значение Решение задач по теоретической механике будет при этом мнимым. Итак, окончательноРешение задач по теоретической механике

Решение этой задачи отличается от большинства задач на равновесие при наличии трения тем, что мы не разлагаем реакцию шероховатой поверхности на нормальную составляющую и силу трения.

Задача 1.41. Две одинаковые призмы А и В образуют лестницу. Ступени нагружены силами Р и Q, точки приложения которых заданы (рис. а). Призма А опирается на вертикальную стену и наклоненную под углом а плоскость второй призмы. Призма В опирается на горизонтальный пол.

Определить условия равновесия, учитывая трение всех контактирующих поверхностей. Коэффициенты трения призм о горизонтальный пол, вертикальную стену и друг о друга одинаковы и равны Решение задач по теоретической механике Собственными весами призм можно пренебречь по сравнению с силами Р и Q.

Решение:

Рассмотрим равновесие каждой из призм, отбросив мысленно стену, пол и другую призму, заменив их действия нормальными реакциями Решение задач по теоретической механике и силами трения Решение задач по теоретической механике Расчетные схемы показаны на рис. б для верхней призмы и на рис. в для нижней. 

Максимальные значения касательных сил (сил трения) при равновесии равны Решение задач по теоретической механике

В проекциях на координатные оси уравнения равновесия имеют вид: 
для призмы А 
Решение задач по теоретической механике
для призмы В
Решение задач по теоретической механике
Решив эту систему уравнений равновесия, найдем: 
Решение задач по теоретической механике
или, после подстановки Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике и несложных тригонометрических преобразований, 
Решение задач по теоретической механике

Отсюда видно, что решение существует, если Решение задач по теоретической механике Таким образом, условие равновесия лестницы, образованной двумя призмами, будет: 

Решение задач по теоретической механике
Эта задача наряду с приведенным аналитическим решением может быть решена и графически. 

Решение задач по теоретической механике

Если заменить касательную и нормальную составляющую реакции в каждом случае одним вектором (рис. г): 
Решение задач по теоретической механике
то к каждой из призм будет приложено три силы (см. рис. г) и можно воспользоваться теоремой о трех силах. Графическое решение - комбинация двух замкнутых силовых  треугольников — представлено на рис. д

Задача имеет решение только при Решение задач по теоретической механике Это учтено на рис. г, где угол Решение задач по теоретической механике начерчен достаточно большим. 

Задача 1.42. Однородный стержень АС длиной Решение задач по теоретической механике и весом Решение задач по теоретической механике опирается концом А на гладкую горизонтальную плоскость, а промежуточной точкой В на прямоугольную призму, стоящую на 
той же гладкой плоскости. Угол трения между стержнем и призмой равен Решение задач по теоретической механике

Определить, какой вес должна иметь призма, чтобы система была в равновесии. Стержень составляет с горизонтом угол Решение задач по теоретической механике Размеры призмы известны (рис. а). 

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня и призмы в отдельности. Отбросив мысленно горизонтальную плоскость и призму, заменим их действие на стержень реакциями. На стержень в) действуют (рис. б): вес G, нормальная реакция гладкой плоскости Решение задач по теоретической механике нормальная реакция призмы Решение задач по теоретической механике касательная реакция призмы Решение задач по теоретической механике (сила трения). 
Составим уравнение моментов относительно точки А: 
Решение задач по теоретической механике
откуда получим: 
Решение задач по теоретической механике

Рассмотрим, далее, предельное равновесие призмы, отбросив мысленно пол и стержень. На призму действуют (рис. в): вес Q, давление стержня — Решение задач по теоретической механике сила трения — Решение задач по теоретической механике и нормальная реакция Решение задач по теоретической механике плоскости. 

Решение задач по теоретической механике

 

Где следует приложить равнодействующую нормальной реакции плоскости? Правее силы Q она не может быть приложена, так как относительно такой точки не будет выполнено равенство нулю суммы моментов всех сил. Значит, точка приложения реакции лежит на. левой половине отрезка ОЕ. Крайнее возможное положение ее, соответствующее критическому равновесию, в точке О, когда призма может начать поворачиваться вокруг ребра О. На рис. в изображены силы в положении критического равновесия. 

Горизонтальная составляющая нормального давления — Решение задач по теоретической механике на призму не должна превышать по модулю горизонтальной составляющей силы трения — Решение задач по теоретической механике в предельном положении равновесия. Это условие может быть записано так: 

Решение задач по теоретической механике

При этом знак неравенства следует понимать в том смысле, что сила трения не достигает своего максимального значения и, следовательно, равновесие системы не будет нарушено. 

Подставив в это неравенство максимальное значение Решение задач по теоретической механике равное Решение задач по теоретической механике получим: 
Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
Составим уравнение моментов сил, приложенных к призме относительно точки О: 
Решение задач по теоретической механике

Подставив предельное значение силы трения

Решение задач по теоретической механике

 и значение Решение задач по теоретической механике найденное ранее, в предыдущее равенство, получим: 
Решение задач по теоретической механике
Отсюда найдем: 
Решение задач по теоретической механике
или окончательно 
Решение задач по теоретической механике
Из этой формулы также следует, что задача имеет решение при Решение задач по теоретической механике ибо в противном случае вес призмы получится отрицательным, что невозможно. Чем ближе угол наклона стержня к углу трения, тем более легкой может быть призма; в случае когда Решение задач по теоретической механике даже 
невесомая призма удерживается в равновесии. 

Задача 1.43. Квадратный ящик весом Q находится в покое на горизонтальном негладком полу. Коэффициент трения между полом и ящиком равен f. Через ящик перекинут трос, закрепленный своими концами в О и Решение задач по теоретической механике Ветви троса образуют с полом углы 30° и 60°. 

Пренебрегая трением между ящиком и тросом, определить натяжение троса, при котором ящик будет оставаться в покое (рис. а). 

Решение:

Рассмотрим равновесие ящика (рис. б). На ящик действует одна активная сила — вес Q, приложенная в центре и направленная но вертикали вниз. На ящик наложены две связи—трос и 

Решение задач по теоретической механике
пол. Отбрасывая мысленно эти связи, заменим их действие реакциями. Так как трение между ящиком и тросом отсутствует, то натяжение троса Т будет везде одинаковым. Натяжение троса будет действовать на ящик по направлениям ОА и Решение задач по теоретической механике (рис. а). Разложим реакцию пола на нормальную реакцию N и касательную реакцию F, являющуюся силой трения. 

Рассмотрим равновесие ящика как свободного тела, находящегося под действием пяти сил, указанных на рисунке. Составим уравнения равновесия, приравняв пулю сумму проекций всех сил на оси х и у

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, имеем зависимость между силой трения и нормальным давлением (по модулю равным нормальной реакции), а именно: 
Решение задач по теоретической механике 
Из (2) находим: 
Решение задач по теоретической механике
Подставляя это значение в (3) и затем в (1), имеем: Решение задач по теоретической механике

Решая уравнение (5) относительно неизвестного Т, находим натяжение троса в предельном случае

 Решение задач по теоретической механике

Ящик будет находиться в покое при 

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.44. Два цилиндра с радиусами Решение задач по теоретической механике и весами Решение задач по теоретической механике, и Решение задач по теоретической механике опираются на горизонтальный пол и вертикальную стену так, что прямая Решение задач по теоретической механике соединяющая центры цилиндров, образует угол Решение задач по теоретической механике с горизонтом.

Решение задач по теоретической механике

Коэффициенты трения: между первым цилиндром и горизонтальным полом Решение задач по теоретической механике между вторым цилиндром и вертикальной стеной Решение задач по теоретической механике и между цилиндрами f

Определить минимальные значения этих коэффициентов, при которых система может находиться в равновесии, а также нормальные реакции пола, степы и реакции между цилиндрами. 

Решение:

Рассмотрим равновесие каждого из цилиндров в отдельности (рис. б и в), отбросив мысленно пол, стену и другой цилиндр, заменив их действие реакциями. Каждую реакцию разложим на нормальную составляющую и силу трения. Тогда первый цилиндр можно рассматривать как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием пяти сил: веса, двух нормальных реакций и двух сил трения (рис. б). Аналогично рассматривается равновесие второго цилиндра (рис. в). Силы трения направлены по касательным, проведенным к цилиндрам в точках соприкосновения в сторону, противоположную возможному движению цилиндра. 

Составим уравнения равновесия для первого цилиндра: 

Решение задач по теоретической механике

Уравнения равновесия для второго цилиндра будут:

Решение задач по теоретической механике

К этим уравнениям равновесия следует добавить зависимости предельных сил трения от нормального давления

Решение задач по теоретической механике

Решив совместно систему из девяти уравнений (1) — (3), найдем:

Решение задач по теоретической механике

 

Полученные значения коэффициентов трения являются минимальными; если они будут превышать эти величины, то равновесие системы сохранится, а силы трения при этом не будут достигать своих предельных значений.

Задача 1.46. Шкив радиуса Решение задач по теоретической механике насажен на вал радиуса а, который может вращаться в подшипниках. Коэффициент трения между валом и подшипниками Решение задач по теоретической механике

Определить наибольшую величину силы Р, которая удержит шкив в покое, если к шкиву приложена сила Решение задач по теоретической механике образующая с силой Р угол Решение задач по теоретической механике (рис. а). Найти значение силы Р, когда Решение задач по теоретической механике и когда силы Р и Q) параллельны.

Решение:

Отбросив мысленно подшипники, рассмотрим равновесие вала вместе со шкивом, заменив действие подшипников нормальной реакцией N и моментом сил трения Решение задач по теоретической механике Момент сил трения (относительно точки О) может быть представлен в виде

Решение задач по теоретической механике

Момент сил трении будет направлен в сторону, противоположную по направлению с моментом меньшей силы. Таким образом,  этот момент будет совпадать 

Решение задач по теоретической механике

с моментом меньшей силы. Положив Решение задач по теоретической механике составим уравнение равновесия вала со шкивом, приравняв нулю сумму моментов всех сил относительно центра О:

Решение задач по теоретической механике

С другой стороны, нормальная реакция N определится по величине как равнодействующая двух сил Р и Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Подставив это значение в уравнение (2) и освободившись от радикала, получим:

Решение задач по теоретической механике

Величина Р равна большему корню этого квадратною уравнения. Меньший корень Р будет соответствовать случаю Решение задач по теоретической механике В случае, когда Р и Решение задач по теоретической механике параллельны, решение упрощается. Действительно, при этом

Решение задач по теоретической механике

и, следовательно, из (2) после несложных преобразований находим:Решение задач по теоретической механике

В случае Решение задач по теоретической механике силы Р и Решение задач по теоретической механике взаимно перпендикулярны, и из (4) получим:

Решение задач по теоретической механике

Знак минус не удовлетворяет условию задачи, так как при этом

Решение задач по теоретической механике

и, следовательно,  Решение задач по теоретической механике что противоречит условию. Неравенство (8)

вытекает из того, что функция

Решение задач по теоретической механике

при Решение задач по теоретической механике принимает значение Решение задач по теоретической механике и при Решение задач по теоретической механике монотонно убывает. Действительно,

Решение задач по теоретической механике при Решение задач по теоретической механике

а в рассматриваемом случае

Решение задач по теоретической механике
Знак минус в равенстве (7) соответствует случаю Решение задач по теоретической механике когда момент трения будет совпадать по направлению с моментом силы Р.

Равновесие твердого тела при наличии трения качения

Между катком и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы трения, если приложить к оси катка силу S (рис. 1.42), стремящуюся его двигать но плоскости. Рассмотрим случай, когда сила S параллельна горизонтальной плоскости.

Из опыта известно, что при изменении величины силы S от нуля до некоторого предельного значения Решение задач по теоретической механике каток остается в покое, т. е. силы, действующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил: веса Р и силы S, к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равновесия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости Решение задач по теоретической механике должна проходить через центр катка О, так как две другие силы приложены к этой точке.

Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена па некоторое расстояние Решение задач по теоретической механике от вертикали, проходящей через центр колеса, иначе реакция Решение задач по теоретической механике не будет иметь горизонтальной 

Решение задач по теоретической механике

составляющей, необходимой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плоскости Решение задач по теоретической механике на две составляющие: нормальную составляющую N и касательную реакцию Решение задач по теоретической механикеявляющуюся силой трения (рис. 1.43).

Таким образом, в предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил Решение задач по теоретической механике с моментом Решение задач по теоретической механике (где Решение задач по теоретической механике — радиус катка) и вторая пара сил Решение задач по теоретической механикеудерживающая каток в равновесии. Момент второй пары, называемый моментом трения качения, определяется формулой

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механикекоэффициент трения качения, измеряемый в единицах длины. Этот коэффициент можно рассматривать как расстояние, на которое смещается реакция N от вертикали, проходящей через центр катка.

Для того чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения Решение задач по теоретической механике была меньше но величине, чем максимальная сила трения скольжения

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механикекоэффициент трения скольжения.

Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, «следствии чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит по некоторой поверхности, смещенной от нижней точки катка в сторону возможного движения. При решении задач на равновесие твердого тела при наличии трения качения надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. При этом следует реакцию шероховатой поверхности направить из точки, отстоящей на расстоянии коэффициента трения качения Решение задач по теоретической механике от нормали, проведенной из центра катка так, чтобы она проходила через точку О пересечения двух других сил, действующих на каток (рис. 1.42), или заменить реакцию Решение задач по теоретической механике двумя составляющими — нормальной реакцией N и силой трения Решение задач по теоретической механике

  • 5) сопоставить число неизвестных и число уравнений равновесия, добавив к ним зависимость момента трения от нормального давления; число неизвестных должно быть равно числу уравнений, если задача является статически определенной;
  • 6) составить систему уравнений равновесия для твердого тела;
  • 7) решив полученную систему уравнений, определить искомые величины;
  • 8) сопоставив величину силы трения с максимальной силой л рения скольжения, убедиться в том, что первая сила меньше второй.

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.46. Цилиндрический каток диаметра 60 см и весом Решение задач по теоретической механике приводится в равномерное движение человеком, который давит на рукоятку Решение задач по теоретической механикес постоянной силой Р в направлении АО. Высота точки А над горизонтальной дорогой 1,2 м. Коэффициент трения качения катка равен Решение задач по теоретической механике

Определить величину силы Р, силу трения при качении и нормальную составляющую реакции горизонтальной плоскости (рис. а). Коэффициент трения скольжения между катком и дорогой Решение задач по теоретической механике

Решение:

При равномерном качении катка все силы, действующие на каток, уравновешиваются. К катку приложены две активные силы: вес катка Решение задач по теоретической механике и сила давления человека Р. На каток наложена одна связь — горизонтальная плоскость. Применив закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно горизонтальную плоскость и
Решение задач по теоретической механике

заменим ее действие реакцией Решение задач по теоретической механике Эта реакция приложена в точке С, находящейся на расстоянии Решение задач по теоретической механикеот вертикали, проведенной через центр колеса. Реакция Решение задач по теоретической механике направлена по прямой СО, так как согласно теореме о трех непараллельных силах в случае равновесия линии их действия пересекаются и одной точке О (рис. б). Реакцию плоскости Решение задач по теоретической механике раскладываем на две составляющие: нормальную составляющую Решение задач по теоретической механике перпендикулярную к плоскости, и касательную составляющую — силу трения при качении Решение задач по теоретической механике направленную вдоль плоскости.

Рассмотрим равновесие катка как твердого тела, находящегося под действием четырех сил: Решение задач по теоретической механике

Выберем систему декартовых координат. Ось х направим по горизонтальной плоскости вправо, ось у — вертикально вверх через центр катка. Составим уравнения равновесия. Обозначив буквой Решение задач по теоретической механике угол между горизонталью (осью х) и рукояткой ОА, получим:

Решение задач по теоретической механике

В уравнении (3) буквой Решение задач по теоретической механике обозначен радиус катка.

При составлении суммы моментов сил относительно точки С сила Р, приложенная в центре катка О, разложена на две составляющие — горизонтальную Решение задач по теоретической механике и вертикальную Решение задач по теоретической механике и использована теорема Вариньона. При этом, как принято всегда делать, при вычислении момента горизонтальной составляющей силы Р мы пренебрегли изменением ее плеча, считая, что оно равно радиусу катка Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (3) найдем величину искомой силы Р:

Решение задач по теоретической механике

Равенство (2) даст:

Решение задач по теоретической механике

Из уравнения (1) определяем величину силы трения:

Решение задач по теоретической механике

Проверим, сопоставляя величины силы трения при качении Решение задач по теоретической механике и силы трения скольжения, будет ли в данном случае чистое качение или же будет иметь место скольжение. Сила трения скольжения равна

Решение задач по теоретической механике

Таким образом/ сила трения скольжения больше силы трения при качении

Решение задач по теоретической механике

и каток будет катиться без скольжения.

Задача 1.47. Цилиндрический каток радиуса Решение задач по теоретической механике и весом Решение задач по теоретической механике (рис. а) удерживается в равновесии па наклонной плоскости, составляющей угол Решение задач по теоретической механике с горизонтом, нитью, перекинутой через блок А. К копну нити подвешен груз весом Р. Коэффициент трения качения катка равен Решение задач по теоретической механике

Определить наименьшую и наибольшую величины веса Р, при которых каток будет в равновесии. Найти наименьшее значение коэффициента трения скольжения Решение задач по теоретической механике при котором в случае движения каток будет катиться без скольжения.

Решение:

Рассмотрим равновесие катка в двух случаях.

В первом случае, когда величина Р имеет наименьшее значение, возможное направление движения катка но наклонной плоскости — вниз (рис. (б). Точка С, где приложена реакция плоскости, в этом случае смещена на расстояние Решение задач по теоретической механике влево от перпендикуляра, опушенного из центра катка О на наклонную плоскость. К катку приложены две активные силы: вес Решение задач по теоретической механике и натяжение нити Решение задач по теоретической механике

Отбрасывая мысленно связь, наложенную на каток, — наклонную плоскость, заменяем ее действие реакцией, которую раскладываем на нормальную составляющую N и касательную составляющую (силу трения F). Составляющая N перпендикулярна к наклонной плоскости, сила трения направлена вдоль наклонной плоскости в сторону, противоположную возможному движению центра катка.

Рассмотрим равновесие катка как равновесие свободного твердого тела, находящегося пол действием четырех сил: Решение задач по теоретической механике Так как по условию требуется найти только минимальное и максимальное значения силы Р при равновесии, то из трех уравнений равновесия

Решение задач по теоретической механике
составим одно уравнение, выражающее равенство нулю суммы моменте» всех сил относительно точки С:

Решение задач по теоретической механике
В это уравнение не вошли неизвестные силы N и F, nак как они приложены в точке С.

При составлении уравнения мы разложили силу Решение задач по теоретической механике на две составляющие: Решение задач по теоретической механике направленную перпендикулярно к наклонной плоскости (плечо этой составляющей относительно точки С равно коэффициенту трения качения Решение задач по теоретической механике и составляющую Решение задач по теоретической механике направленную параллельно наклонной плоскости и отстоящую на расстоянии Решение задач по теоретической механике от нее. Решая уравнение (1) относительно Решение задач по теоретической механике имеем:

Решение задач по теоретической механике
Рассмотрим теперь второй случай, когда сила Р достигает максимальной величины, при которой возможно равновесие. В этом случае возможное направление движения катка — вверх по наклонной плоскости (рис. в). Силы Решение задач по теоретической механике направлены аналогично первому случаю и приложены по-прежнему в центре катка О. Реакция наклонной

плоскости на этот раз приложена в точке Решение задач по теоретической механике смешанной на расстояние Решение задач по теоретической механике вправо по наклонной плоскости.

Составляем уравнение моментов относительно точки Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

откуда имеем:

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, каток будет находиться в равновесии па наклонной плоскости, если величина силы Р лежит в пределах

Решение задач по теоретической механике

Перейдем к определению наименьшего значения коэффициента трения скольжения Решение задач по теоретической механике при котором в случае движения цилиндр будет катиться, а не скользить. Рассмотрим вначале случай, когда вес груза Р имеет наименьшую величину.

Приравняем нулю суммы проекций всех сил на ось х, параллельную наклонной плоскости, и на ось у, перпендикулярную к ней (рис. б). Подставляя в первое уравнение

Решение задач по теоретической механике

значение Решение задач по теоретической механике соответствующее ('2), находим силу трения при качении

Решение задач по теоретической механике

Второе уравнение равновесия

Решение задач по теоретической механике

позволяет определить нормальное давление, равное по величине нормальной реакции

Решение задач по теоретической механике

Условием, при котором будет чистое скольжение, является:

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике —коэффициент трения скольжения. Внося в (4) значения Решение задач по теоретической механикенаходим:

Решение задач по теоретической механике

Рассмотрим, далее, случай, когда вес груза Р имеет наибольшую величину (рис. в). В этом случае уравнения проекций будут:

Решение задач по теоретической механике

Внося в уравнение (6) значение Решение задач по теоретической механике находим:

Решение задач по теоретической механике

Подставляя эти значения в (4), получаем условие чистого качения

Решение задач по теоретической механике

которое совпадает с условием (5).

Задача 1.48. Стальной цилиндр радиуса Решение задач по теоретической механике зажат между двумя параллельными направляющими, из которых нижняя закреплена неподвижно, а верхняя может перемещаться прямолинейно, оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Верхняя направляющая прижимается вертикальной силой Р к диску (рис. а). Коэффициенты трения качения между палиндром, нижней и верхней направляющими соответственно равны Решение задач по теоретической механике

Пренебрегая весом цилиндра и направляющих, найти максимальную силу Решение задач по теоретической механике приложенную к верхней направляющей, при которой цилиндр еще будет оставаться в покое.

Решение:

Рассмотрим равновесие цилиндра (рис. б), отбросив мысленно нижнюю и верхнюю направляющие, заменив их действие реакциями. Тогда на цилиндр будут действовать со стороны нижней направляющей нормальная реакция Решение задач по теоретической механике и сила трения Решение задач по теоретической механике со стороны верхней направляющей нормальная реакция Решение задач по теоретической механике и сила трения Решение задач по теоретической механике При этом точка приложения реакции нижней направляющей будет смещена вправо от вертикального диаметра на расстояние Решение задач по теоретической механике а точка приложения реакции верхней направляющей будет смещена па расстояние Решение задач по теоретической механике от вертикального диаметра влево, т. е. в сторону 

Решение задач по теоретической механике

возможного перемещения цилиндра по отношению к каждой из направляющих.

С другой стороны, если рассмотреть равновесие цилиндра вместе с верхней направляющей, то, проектируя силы на вертикаль, получим:

Решение задач по теоретической механике

Тогда, возвращаясь к рассмотрению цилиндра (рис. б), имеем, проектируя силы на вертикаль:

Решение задач по теоретической механике

Составим, далее, сумму моментов всех сил относительно точки Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

откуда искомая максимальная сила равна

Решение задач по теоретической механике

Если коэффициенты трения качения равны

Решение задач по теоретической механике

то тогда

Решение задач по теоретической механике

Равновесие твердых тел при наличии трения гибких тел

Предположим, что на неподвижный цилиндр навита нить, к одному концу которой подвешен груз весом Р. Угол охвата цилиндра нитью равен Решение задач по теоретической механике(рис. 1.44). Коэффициент трения нити о шероховатую поверхность цилиндра равен Решение задач по теоретической механикеТогда сила Т, необходимая для удержания груза Р в равновесии, определяется по формуле Эйлера:

Решение задач по теоретической механике

где е — основание натуральных логарифмов. Таким образом, сила Т, уравновешивающая груз Р, не зависит от диаметра цилиндра и является функцией угла охвата и коэффициента трения.

При решении задач на равновесие твердых тел при наличии трения гибких нитей надо выполнить

Решение задач по теоретической механике

четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Далее следует:

  • 5) сопоставить число неизвестных величии и число уравнении равновесия, добавив к уравнениям равновесия зависимость (14*) между силами натяжения нити с обеих сторон охватываемого тела, и убедиться с том, что число независимых уравнений равно числу неизвестных и, следовательно, задача является статически определенной;
  • 6) выбрать систему координат;
  • 7)    составить уравнения равновесия твердого тела;
  • 8)    решив эту систему уравнения, определить неизвестные величины.

Задача 1.49. При швартовке судна матрос накладывает канат восьмеркой на чугунные столбы. Натяжение каната равно Решение задач по теоретической механике сила, с которой матрос удерживает канат, равна Решение задач по теоретической механике Угол охвата канатом каждого столба равен 210°.

Определить коэффициент трения каната о столбы, если известно, что матрос может удержать канат, наложив три восьмерки. Полагая коэффициент трения каната о чугунный столб равным Решение задач по теоретической механике определить величину натяжения, которое матрос способен удержать, если сила Решение задач по теоретической механике

Решение:

Угол охвата канатом одного столба равен

Решение задач по теоретической механике

При наложении трех восьмерок угол охвата канатом столбов будет в шесть раз больше, т. е. Решение задач по теоретической механике Тогда зависимость натяжений двух концов каната определится формулой

Решение задач по теоретической механике

Логарифмируя, находим искомый коэффициент трения между канатом и чугунным столбом:

Решение задач по теоретической механике

Из (1) имеем:

Решение задач по теоретической механике

Отсюда при заданных значениях Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, наложив три восьмерки на чугунные столбы, матрос может удержать в равновесии канат, ко второму концу которого приложена сила, равная Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.50. Через два неподвижных вала с центрами Решение задач по теоретической механике (рис. а) перекинут трос, к концам которого подвешены грузы Решение задач по теоретической механикеи причем Решение задач по теоретической механике

Определить минимальное значение коэффициента трения между валами и тросом, при котором грузы будут находиться в равновесии. Полагая коэффициент трения троса о вал равным Решение задач по теоретической механикенайти груз Р, который можно удержать в равновесии грузом Решение задач по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие части троса, охватывающего левый вал (рис. б). На трос действует активная сила Р. Отбрасывая мысленно правый вал, разрезаем трос между валами и заменяем действие правой части силой натяжения троса Т.
Решение задач по теоретической механике
Для равновесия этой части троса должно удовлеворяться равенство
Решение задач по теоретической механике
где угол обхвата Решение задач по теоретической механике равен Решение задач по теоретической механике Итак,
Решение задач по теоретической механике
Рассмотрим, далее, равновесие правого вала (рис. в), отбросив мысленно левый вал, разрезав трос и заменив его действие силой Решение задач по теоретической механикеСогласно закону равенства действия и противодействия натяжения Т и Решение задач по теоретической механике равны но величине. Для равновесия части троса, охватывающей правый вал, должно удовлетворяйся равенство

Решение задач по теоретической механике
так как и у правого вала угол охвата Решение задач по теоретической механике

Решая совместно уравнения (1) и (2), исключая натяжение троса между валами Решение задач по теоретической механике находим:
Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Эта же задача может быть решена и другим способом. Рассматривая равновесие всего троса (рис. а) и замечая, что полный угол охвата тросом двух валов равен

Решение задач по теоретической механике

находим зависимость между силами Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
откуда имеем:
Решение задач по теоретической механике
Для определения величины груза Р, который может быть удержан в равновесии грузом Решение задач по теоретической механике из (3) находим:

Решение задач по теоретической механике
Тогда
Решение задач по теоретической механике
Таким образом, грузом Решение задач по теоретической механике равным Решение задач по теоретической механике можно удержать в равновесии груз Р, равный Решение задач по теоретической механике

Задача 1.51. Трос АВ охватывает барабан, вращающийся вокруг центра О. Коэффициент трения троса о барабан равен Решение задач по теоретической механике Концы троса А и В прикреплены к рычагу Решение задач по теоретической механике который может поворачиваться вокруг точки Решение задач по теоретической механике Расстоянии Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
Определить натяжение троса в точках А и В. Пренебрегая весом рычага Решение задач по теоретической механике найти расстояние Решение задач по теоретической механике на котором надо подвесить к рычагу груз Решение задач по теоретической механике чтобы давление в точке Решение задач по теоретической механике равнялось нулю.

Решение:

Рассмотрим равновесие троса, охватывающею барабан, отбросив мысленно рычаг (рис. 6) и заменив ею действие реакциями троса Решение задач по теоретической механике

Согласно уравнению (14*) зависимость между этими натяжениями определится формулой

Решение задач по теоретической механике

так как угол охвата тросом барабана равен Решение задач по теоретической механике Показатель степени в (1) положителен, ибо при заданном направлении вращения барабана натяжение Решение задач по теоретической механике

Рассмотрим, далее, равновесие рычага Решение задач по теоретической механике полагая в согласии с условием задачи, что давление в точке Решение задач по теоретической механике и следовательно, реакция шарнира D равны нулю. На рычаг действует активная сила Решение задач по теоретической механике Отбросим мысленно трос и заменим его действие реакциями Решение задач по теоретической механике (рис. в). Очевидно, что Решение задач по теоретической механике

Выберем оси координат и составим уравнения равновесия

Решение задач по теоретической механике

Мы получили систему из трех уравнений (1), (2), (3) с тремя неизвестными: Решение задач по теоретической механике Из уравнений (I) и (2) получим:

Решение задач по теоретической механике

Подставив эти значения натяжений в уравнение (3), найдем искомое расстояние с:

Решение задач по теоретической механике

Вместо уравнений равновесия (2) и (3) можно составить два уравнения моментов относительно точек А и В. К этим точкам приложены неизвестные но величине реакции Решение задач по теоретической механике Следовательно, каждое уравнение моментов будет содержать только одну неизвестную величину силы и искомое расстояние с:

Решение задач по теоретической механике

Решая эти уравнения совместно с равенством (1), приходим к ранее полученным ответам.

Задача 1.52. Ремень пропущен через пять неподвижных валиков, как это показано на рис. а. Коэффициент трения ремня о валик Решение задач по теоретической механике Расстояние между центрами валиков, расположенными на одной прямой, равно Решение задач по теоретической механике Диаметр валиков Решение задач по теоретической механике  Слева к ремню приложена сила Решение задач по теоретической механике

Каково минимальное значение силы Решение задач по теоретической механике при котором ремень будет находиться в покое.

Решение:

Обозначим угол охвата валика ремнем через Решение задач по теоретической механике Тогда для отрезка ремня, охватывающего каждый валик, можно записать
Решение задач по теоретической механике
соотношение между натяжениями ремня по обе стороны от валика:

Решение задач по теоретической механике

Исключая из этой системы уравнений промежуточные усилия Решение задач по теоретической механике(перемножая все равенства), находим

Решение задач по теоретической механике

Угол а определится из равных прямоугольных треугольников Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике(рис. б):

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Тогда из (1) находим:

Решение задач по теоретической механике

 

Задача 1.53. На неподвижный цилиндр навита веревка, к одному из концов которой подвешен груз Решение задач по теоретической механике

Сколько раз надо намотать верейку на цилиндр, чтобы груз Решение задач по теоретической механикеможно было удержать вертикальной силой Р, приложенном к другому концу веревки? Коэффициент трении веревки о цилиндр равен Решение задач по теоретической механике

Решение:

 Воспользуемся формулой Эйлера, согласно которой при предельном равновесии минимальное значение модуля силы Р равно

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике — угол охвата веревкой цилиндра. Этот угол равен

Решение задач по теоретической механике
где Решение задач по теоретической механике — число полных витков веревки, к которым добавляется но углу Решение задач по теоретической механике со стороны действия каждой из сил. Таким образом,

Решение задач по теоретической механике

Логарифмируя, находим:

Решение задач по теоретической механике
откуда
Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Задача 1.54. Прямолинейный стержень АВ, длиной Решение задач по теоретической механике и весом Р, центр тяжести С которого находится от конца А  на расстоянии
Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике опирается в точке В на шероховатую вертикальную степу, а в точке А — на гладкий горизонтальный пол. Коэффициент трения между стержнем и вертикальной стеной Решение задач по теоретической механике В точке А к стержню прикреплена нить, перекинутая через неподвижный круглый цилиндр

(рис. а). К концу нити подвешен груз Решение задач по теоретической механике Коэффициент трения между нитью и цилиндром равен Решение задач по теоретической механике

Пренебрегая весом нити, определить, в каких границах может изменяться угол а при равновесии.

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня АВ, отбросив мысленно вертикальную стену, горизонтальный иол и горизонтальную нить и заменив их действие реакциями. Отдельно рассмотрим равновесие нити, охватывающей цилиндр (рис. г). Решение задачи распадается на два случая.

Случай минимального угла Решение задач по теоретической механике При этом точка А может начать двигаться влево, точка В— вниз. Следовательно, сила трения Решение задач по теоретической механике будет направлена вверх (рис. б), а силы трения, приложенные к ниш на цилиндре (рис. г), будут направлены по часовой стрелке. Таким образом, стержень АВ (рис. б) будет находиться в равновесии под действием следующих сил: нормальной реакции Решение задач по теоретической механике натяжения нити Т, веса Р, нормальной реакции Решение задач по теоретической механике и силы трения Р. Составим уравнения равновесия для стержня АВ:

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, запишем зависимость силы трения от нормального давления в точке В:

Решение задач по теоретической механике

Зависимость натяжения нити Решение задач по теоретической механике от силы Решение задач по теоретической механике учитывая, что силы трения на цилиндре направлены но часовой стрелке, будет (формула Эйлера):

Решение задач по теоретической механике

Из данной системы уравнений найдем:

Решение задач по теоретической механике

Подставив значения Решение задач по теоретической механике в уравнение (3), получим окончательно: 

Решение задач по теоретической механике

Этой формулой определяется минимальное значение угла Решение задач по теоретической механике при равновесии стержня.

Случай максимального угла Решение задач по теоретической механике При этом точка А может начать двигаться вправо, точка В — вверх. Следовательно, сила трения Решение задач по теоретической механике будет направлена вниз (рис. в), а силы трения, приложенные к нити на цилиндре, будут направлены против часовой стрелки.

Уравнения равновесия стержня АВ будут:

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, зависимость силы трения от нормального давления

в точке В определяется равенством

Решение задач по теоретической механике

Натяжение нити будет:

Решение задач по теоретической механике 

Из этой системы, исключив Решение задач по теоретической механикенайдем:

Решение задач по теоретической механике

Далее, подставив в уравнение моментов значения N и Т, получим:

Решение задач по теоретической механике

Этой формулой определяется максимальное значение угла Решение задач по теоретической механике при равновесии.

Графическая статика и методы расчета ферм

Графический метод расчета ферм является дополнением к аналитическим методам расчета, которые вы изучили в предыдущем параграфе.

Равновесие произвольной плоской системы сил

Метод последовательного сложения. Если твердое тело находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, то путем последовательного графического сложения таких сил можно определить значение неизвестных из условий равновесия. При этом число неизвестных не должно превышать трех для системы сил, приложенных к одному твердому телу, иначе задача будет статически неопределенной. Этот графический метод решения задач целесообразно применять, если общее число сил, действующих па твердое тело, невелико. По сравнению с аналитическим метолом решения задач на равновесие плоской системы сил указанный графический способ более нагляден, но его применение при большом числе сил очень громоздко.

Метод последовательного сложения сил можно применять в двух вариантах.

Если твердое тело находится в равновесии под действием заданной плоской системы сил и трех реакций, линии действия которых известны Решение задач по теоретической механике а величины реакций требуется определить, то рекомендуется такая последовательность действий (первый вариант):

  • 1) складываем последовательно графически все известные активные силы и получаем их равнодействующую;
  • 2) находим точку пересечения линии действия равнодействующей с линией действия одной из реакций Решение задач по теоретической механике
  • 3) переносим равнодействующую в эту точку и разлагаем ее на две силы: одну, направленную вдоль линии Решение задач по теоретической механикеа другую, направленную в точку пересечения линии действия двух остальных реакций Решение задач по теоретической механике
  • 4) составляющая равнодействующей активных сил, направленная по линии Решение задач по теоретической механике определяет величину первой реакции;
  • 5) вторую составляющую равнодействующей активных сил переносим в точку пересечения линий действия двух остальных реакций и, разлагая по направлениям их действия Решение задач по теоретической механике находим искомые величины двух последних реакций.

Если твердое тело находится в равновесии под действием заданной плоской системы сил и двух реакций, причем для одной реакции известна только точка приложения Решение задач по теоретической механике а для второй — линия действия Решение задач по теоретической механике то рекомендуется такая последовательность действий (второй вариант):

  • 1) складываем последовательно графически все известные активные силы и получаем их равнодействующую;
  • 2) переносим равнодействующую в точку пересечения ее линии действия с линией действия второй реакции Решение задач по теоретической механике
  • 3) в точке пересечения разлагаем равнодействующую на две составляющие: одну по линии действия второй реакции, а другую по направлению к точке Решение задач по теоретической механике Первая составляющая определяет вторую реакцию, а вторая составляющая — величину и направление реакции в точке Решение задач по теоретической механике

Задача 1.55. Вертикальный гладкий стержень Решение задач по теоретической механике весом Р опирается в точках Решение задач по теоретической механике (рис. а) на цилиндрические шарниры, а концом Решение задач по теоретической механике на гладкую плоскость, наклоненную к горизонту под углом Решение задач по теоретической механике

Определить графически реакции в точках Решение задач по теоретической механике если Решение задач по теоретической механике

Решение:

Для определения реакций в точках Решение задач по теоретической механике рассмотрим равновесие стержня Решение задач по теоретической механике 11а стержень действует одна активная сила — сила тяжести Р, направленная по стержню. Стержень находится в равновесии под действием четырех сил: веса Р, реакций наклонной плоскости и цилиндрических шарниров Решение задач по теоретической механике Применяя закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно связи и заменим их действие на стержень реакциями (рис. б).

Реакция гладкой наклонной плоскости Решение задач по теоретической механике приложена в точке Решение задач по теоретической механике и направлена перпендикулярно к поклонной плоскости. Реакция цилиндрического шарнира направлена перпендикулярно к оси шарнира, так как перемещению вдоль оси такой шарнир не препятствует. Обозначим эти реакции Решение задач по теоретической механике(рис. б). Таким образом, стержень Решение задач по теоретической механике находится в равновесии как свободное твердое тело, на которое действуют четыре силы: Решение задач по теоретической механике

Продолжаем линии действия реакций Решение задач по теоретической механике до их пересечения в точке Решение задач по теоретической механике(рис. б). Линия действия равнодействующей этих двух сил проходит через точку К. Линии действия двух других сил Решение задач по теоретической механике пересекаются в В. Следовательно, линия действия их равнодействующей проходит через точку В.

Итак, все силы, действующие на стержень Решение задач по теоретической механике приведены к двум силам, одну из которых перенесем по линии действия в К, а другую— в В. Таким образом, стержень Решение задач по теоретической механике находится в равновесии под действием двух сил, приложенных и В и К. Следовательно, эти силы направлены но одной прямой ВК в противоположные стороны.

Откладываем (рис. в) в избранном масштабе известную по величине и направлению силу Р. К ее концу присоединяем силу Решение задач по теоретической механике конец которой находится в точке пересечения с прямой, параллельной ВК

Решение задач по теоретической механике
и проведенной из начала силы Р. При этом условии равнодействующая сил Решение задач по теоретической механике а будет направлена от В к К.

Затем из конца силы Решение задач по теоретической механике проводим горизонтальную прямую, соответствующую линии действия силы Решение задач по теоретической механике до пересечения с линией, параллельной Решение задач по теоретической механике и проведенной из начала силы Р. Равнодействующая сил Решение задач по теоретической механике направлена при этом от К и В. Таким образом, графически определены реакции Решение задач по теоретической механике Замечая, что угол между Решение задач по теоретической механике и вертикалью равен Решение задач по теоретической механике находим:

Решение задач по теоретической механике

Задача может быть решена и аналитически. Замечая, что Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике составляем три уравнения равновесия (ось х направляем по горизонтали вправо, ось у—вертикально вверх):

Решение задач по теоретической механике

Решая совместно полученную систему уравнений, находим:

Решение задач по теоретической механике

Применение метода веревочного многоугольника к плоской системе сил

Сложение сил, расположенных в одной плоскости, при помощи метода веревочного многоугольника, является столь же общим методом решения задач статики на плоскости, как и аналитический, рассмотренный ранее.

Для графического сложения сил Решение задач по теоретической механике   обходимо изобразить силы на рисунке (рис. 1.45, а). Далее, строим силовой многоугольник(рис. 1.45,6), откладывая из произвольной точки вектор, равный первой силе Решение задач по теоретической механике из его копна вектор Решение задач по теоретической механике и из конца вектора Решение задач по теоретической механике вектор Решение задач по теоретической механике Начало первой силы соединяем вектором Решение задач по теоретической механике с концом последней силы. Вектор Решение задач по теоретической механике определяет величину и направление равнодействующей.

Для нахождения линии действия равнодействующей выбираем произвольную точку О за полюс и соединяем полюс с началом и концом каждой силы прямыми линиями, называемыми лучами. Первый луч обозначается через Решение задач по теоретической механике луч, идущий в конец первой и начало второй силы, 1 — 2, и т. д. вплоть до последнего луча, обозначенного через Решение задач по теоретической механике

Далее (рис. 1.45, а) проводим из произвольной точки Решение задач по теоретической механике прямую, параллельную лучу Решение задач по теоретической механике до пересечения с линией действия силы Решение задач по теоретической механике из этой точки проводим прямую, параллельную лучу 1— 2, до пересечения с линией действия силы Решение задач по теоретической механике из этой точки проводим прямую,

Решение задач по теоретической механике

параллельную лучу 2—3, до пересечения с линией действия последней силы Решение задач по теоретической механике Из этой точки проводим прямую, параллельную лучу Решение задач по теоретической механике Далее, продолжаем полученные лучи Решение задач по теоретической механике до их пересечения в точке В, которая и является одной из точек, лежащих на линии действия равнодействующей. Перенеся в точку В найденный из многоугольника сил вектор Решение задач по теоретической механике можем считать задачу о нахождении равнодействующей системы сил Решение задач по теоретической механике разрешенной. Построенная на рис. 1.45, а ломаная линия называется веревочным многоугольником. Этот метод решения применим для любого числа сил, лежащих в одной плоскости.

Если система сил находится в равновесии, то силовой многоугольник и веревочный многоугольник должны быть замкнуты. Следовательно, на рис. 1.45, вконец последней силы должен совпасть с началом первой силы; па рис. 1.45, а лучи Решение задач по теоретической механике должны быть направлены но одной прямой. Система сил приводится к паре сил, если силовой многоугольник замкнут, а веревочный многоугольник не замкнут. В этом случае в силовом многоугольнике лучи а и ш сольются в одну прямую, а в веревочном многоугольнике лучи Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике будут параллельны друг другу.

При решении задач на определение равнодействующей плоской системы сил способом веревочного многоугольника рекомендуется такая последовательность действий:

  • 1) изображаем в избранном масштабе на рисунке твердое тело с приложенными к нему силами;
  • 2) строим отдельно силовой многоугольник и находим его замыкающую Решение задач по теоретической механике
  • 3) выбираем произвольную точку за полюс и соединяем ее с вершинами силового многоугольника прямыми линиями — лучами, обозначаемыми Решение задач по теоретической механике
  • 4) строим на первом рисунке, где изображено твердое тело с приложенными силами, веревочный многоугольник;
  • 5) продолжая до пересечения лучи Решение задач по теоретической механикеверевочного многоугольника, находим точку на линии действия равнодействующей;
  • 6) через полученную точку проводим равнодействующую Решение задач по теоретической механике параллельно главному вектору силового многоугольника.

При решении задач на определение реакций опор твердого тела, находящегося в равновесии под действием плоской системы сил, следует придерживаться такого порядка действий:

  • 1)  изображаем в избранном масштабе твердое тело с активными силами;
  • 2)  отбросив мысленно опоры, заменяем их действие искомыми реакциями;
  • 3) строим на отдельном рисунке силовой многоугольник, из которого определяется сумма искомых реакций, но не каждая из них;
  • 4) выбирая производлльную точку за полюс, соединяем ее лучами с вершинами силовою многоугольника;
  • 5) строим на первом рисунке веревочный многоугольник, замыкая который, находим направление недостающего луча, разделяющего реакции опор;
  • 6) перенося найденное направление недостающего луча па рисунок силового многоугольника, находим каждую из искомых реакций опор.

Задача 1.56. На балку Решение задач по теоретической механике действуют силы: Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеСилы Решение задач по теоретической механике направлены по вертикали. Силы Решение задач по теоретической механике действуют соответственно под углами 60° и 30° к балке (рис. а).

Определить построением веревочного многоугольника равнодействующую данной системы сил.

Решение:

Для определения равнодействующей данной системы сил строим силовой многоугольник (рис. б). Для этого в избранном масштабе для сил из произвольно выбранной точки с (рис. б) проводим вектор, по величине и направлению равный силе Решение задач по теоретической механике из в конца этого вектора проводим второй вектор, по величине и направлению равный силе Решение задач по теоретической механике из конца этого вектора откладываем вектор,  равный Решение задач по теоретической механике и из конца последнего откладываем вектор, равный Решение задач по теоретической механике Построенный силовой многоугольник оказался незамкнутым; следовательно, силы приводятся к равнодействующей.

Решение задач по теоретической механике

Соединив  начало вектора Решение задач по теоретической механике с концом вектора Решение задач по теоретической механикенаходим вектор Решение задач по теоретической механике замыкающий силовой многоугольник; этот вектор по величине и направлению равен равнодействующей данной системы сил. При обходе силового многоугольника все составляющие силы направлены в одну сторону, тогда как вектор Решение задач по теоретической механике направлен в противоположную.

Чтобы найти точку приложения равнодействующей, строим веревочный многоугольник. Для этого из произвольно выбранной точки О (рис. б) проводим луч Решение задач по теоретической механике в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 1—2 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 2—3 в начало вектора Решение задач по теоретической механике и луч 3—4 в начало вектора Решение задач по теоретической механике В конец вектора Решение задач по теоретической механике проводим луч Решение задач по теоретической механике Из произвольной точки Решение задач по теоретической механике (рис. в) вблизи силы Решение задач по теоретической механикепроводим прямую, параллельную лучу Решение задач по теоретической механике до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 1—2, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Из точки пересечения этих линий проводим прямую, параллельную лучу 2—3, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике и из этой точки проводим прямую, параллельную лучу 3—4, до пересечения с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Из точки пересечения луча 3—4 с линией действия силы Решение задач по теоретической механике проводим прямую, параллельную лучу Решение задач по теоретической механике

Продолжая прямые, параллельные лучам Решение задач по теоретической механике до их пересечения в точке е, проводим через точку е прямую, параллельную вектору Решение задач по теоретической механике Точку пересечения этой прямой с балкой обозначим через Решение задач по теоретической механике Это и есть точка приложения равнодействующей заданных сил на балке АВ.

Измеряя длину вектора Решение задач по теоретической механике находим, пользуясь избранным масштабом, величину равнодействующей. Она равна 17,4 Т. Принят масштаб Решение задач по теоретической механике в 1 мм.

Задача 1.57. Балка АВ (рис. а) длиной 12 м закреплена шарнирно концом А и опирается концом В на опору, установленную на катках. К балке приложены силы: Решение задач по теоретической механикеРасстояния: Решение задач по теоретической механике

Определить построением веревочного многоугольника реакции опор А и В.

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ. На балку действуют активные силы: Решение задач по теоретической механике Применяя закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно опоры А и В и заменим их действие реакциями. Реакция опоры В, установленной на катках, направлена перпендикулярно к плоскости, на которую опираются катки, т. е. по вертикали вверх. Направление реакции шарнира А, вообще говоря, неизвестно, но так как все силы, действующие на балку, направлены вертикально, то ясно, что и реакция шарнира А должна быть вертикальной; если бы эта реакция не была вертикальной, то ее составляющая по горизонтали ничем не уравновешивалась бы и равновесие балки было бы невозможно.

Обозначим реакцию опоры А через Решение задач по теоретической механике реакцию опоры В через Решение задач по теоретической механике и построим силовой многоугольник для пяти сил, действующих на балку. Из произвольно выбранной точки с (рис. б) проводим в некотором масштабе вектор, изображающий силу Решение задач по теоретической механике из конца этого

вектора проводим второй вектор, изображающий силу Решение задач по теоретической механике и аналогично изображаем силу Решение задач по теоретической механике

Реакции опор Решение задач по теоретической механике известны только по их направлениям. Ввиду того, что балка находится в равновесии, силовой многоугольник должен быть замкнут и конец вектора Решение задач по теоретической механике должен совпадать с началом вектора Решение задач по теоретической механике (в точке с), а начало вектора Решение задач по теоретической механике— с концом вектора Решение задач по теоретической механике (и точке Решение задач по теоретической механике Таким образом, вектор суммы реакций известен. Для определения величии каждой из слагаемых этой суммы проведем из произвольно выбранной точки о луч А 4—1 в начало вектора Решение задач по теоретической механике и конец вектора Решение задач по теоретической механике луч 1 — 2 в начало вектора Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике
луч 2 — 3 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 3 — В в начало вектора Решение задач по теоретической механике (совпадающее с концом вектора Решение задач по теоретической механике в точке Решение задач по теоретической механике Направление луча ВА неизвестно, так как неизвестны величины реакций Решение задач по теоретической механике

Далее переходим к построению веревочного многоугольника. Для этого из точки е (рис. в) на линии действия реакции Решение задач по теоретической механике проводим прямую, параллельную лучу А — 1, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 1— 2, до пересечения с линией действия силы Решение задач по теоретической механике таким же образом проводим прямые, параллельные лучам 2 — 3, 3 — В, до пересечения их с линиями действия сил Решение задач по теоретической механике и реакций Решение задач по теоретической механике

Так как система сил находится в равновесии, то веревочный многоугольник должен быть замкнут, и, следовательно, прямая между линиями действия реакций Решение задач по теоретической механике должна проходить через точку е. Теперь мы можем провести из полюса о луч В—А, параллельный этой прямой; он поделит отрезок Решение задач по теоретической механике на отрезки, равные реакциям Решение задач по теоретической механике (для наглядности на рис. б реакции Решение задач по теоретической механике смешены несколько влево). Измеряя найденные величины реакций в принятом масштабе, находим их значения: Решение задач по теоретической механике

Задача 1.58. На балку АК, находящуюся в равновесии, шарнир по закрепленную в точке А и свободно опертую при помощи катков в точке В, действуют силы: Решение задач по теоретической механике пара сил момент которой равен Решение задач по теоретической механике и распределенная нагрузка интенсивностью Решение задач по теоретической механике

Определить с помощью построения веревочного многоугольника реакции опор А и В (рис. а). Размеры заданы: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Решение:

Для определения реакций опор, применяя закон освобождаемого от связей, мысленно отбрасываем опоры и заменяем их

Решение задач по теоретической механике
действие на балку реакциями опор Решение задач по теоретической механике (рис. в). Обе реакции направлены вертикально вверх, так как все активные силы направлены вертикально вниз, а сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. Так как действие пары сил не изменится, если перенести ее в любое место плоскости, сохранив момент пары неизменным, заменим пару силами Решение задач по теоретической механике равными по модулю Решение задач по теоретической механике каждая и приложенными соответственно в точках Решение задач по теоретической механике расположенных на расстоянии 2 м друг от друга. Сила Решение задач по теоретической механике равная Решение задач по теоретической механике и приложенная в точке С, уравновесится силой Решение задач по теоретической механике равной Решение задач по теоретической механике и в дальнейшем в расчет приниматься не будет.

Чтобы решить задачу с помощью веревочного многоугольника, распределенную нагрузку необходимо заменить сосредоточенной силой Решение задач по теоретической механике Модуль этой силы равен
Решение задач по теоретической механике
и приложена она в точке N в середине отрезка ЕВ

Переходим к построению силового многоугольника. Для этого из произвольной точки Решение задач по теоретической механике (рис. б) откладываем в выбранном масштабе вектор, но модулю и направлению равный силе Решение задач по теоретической механике Из конца этого вектора проводим вектор, по модулю и направлению равный силе Решение задач по теоретической механике Из конца этого вектора проводим вектор, равный силе Решение задач по теоретической механике Ввиду того, что балка находится в равновесии, многоугольник сил должен быть замкнут, и поэтому начало вектора, соответствующего реакции Решение задач по теоретической механике должно совпадать с концом вектора, соответствующего силе Решение задач по теоретической механике а конец вектора, соответствующего реакции Решение задач по теоретической механике — с началом силы Решение задач по теоретической механике в точке Решение задач по теоретической механике Для наглядности реакции Решение задач по теоретической механике (рис. б) проведем несколько левее. Затем из произвольно выбранной точки о проводим луч А — 3 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 3— 2 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 2 — 5 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 5 — В и начало вектора Решение задач по теоретической механике луч В — А в начало вектора Решение задач по теоретической механике провести пока нельзя, так как неизвестны модули сил Решение задач по теоретической механике

Далее переходим к построению веревочного многоугольника. Для этого из произвольной точки М (рис. в) на линии действия реакции Решение задач по теоретической механике проводим прямую, параллельную лучу А — 3, до пересечения с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 3 — 2, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 2—5, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу 5 — В, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Так как рассматриваемая система сил находится в равновесии, веревочный многоугольник должен быть замкнут. Поэтому прямая между линиями действия сил Решение задач по теоретической механике должна пройти через точку М, лежащую на направлении силы Решение задач по теоретической механике(рис. в). Теперь можно провести луч ВА параллельно этой прямой из точки о (рис. б). Этот луч разделит отрезок Решение задач по теоретической механике на секторы, равные реакциям Решение задач по теоретической механике Измерив эти векторы и умножив на выбранный масштаб, находим, что Решение задач по теоретической механике

Задача 1.59. На балку АВ, шарнирно закрепленную в точке А и опертую при помощи катков в точке В, действуют силы Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике силы Решение задач по теоретической механике направлены но вертикали. Силы Решение задач по теоретической механике направлены соответственно под углами 60° и Решение задач по теоретической механике к балке.

Определить построением веревочного многоугольника реакции опор (рис. а).

Решение:

Для определения реакций опор применяем закон освобождаемости от связей, отбрасываем мысленно опоры и заменяем их действия реакциями Решение задач по теоретической механике Реакция Решение задач по теоретической механике направлена но вертикали вверх, так как опора В установлена на катках и, следовательно, не может препятствовать перемещению вдоль плоскости, на которую опираются катки. Реакция шарнира Решение задач по теоретической механике может быть любого направления (рис. в).

Для определения реакций опор способом веревочного многоугольника строим сперва с выбранном масштабе силовой многоугольник для активных сил и реакций опор. Активные силы известны по величине и направлению, реакция опоры Решение задач по теоретической механике известна только по направлению ,реакция опоры Решение задач по теоретической механике не известна ни но величине, пи по однако можно сказать, что конец ее в силовом многоугольнике должен совпасть с началом силы Решение задач по теоретической механике так как балка находится в равновесии и силовой многоугольник должен быть замкнут.

Из произвольной точки с (рис. б) проводим вектор, по величине и направлению равный силе Решение задач по теоретической механике из конца этого вектора проводим вектор, но величине и направлению равный силе Решение задач по теоретической механике Таким же образом проводим векторы, по величине и направлению равные силам Решение задач по теоретической механике Из конца вектора, равного силе Решение задач по теоретической механике проводим направление реакции Решение задач по теоретической механикекотором должен лежать конец вектора, равного реакции Решение задач по теоретической механике

Дальше из произвольного полюса о проводим луч А — 1 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 1 — 2 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 2 — 3 в начало вектора Решение задач по теоретической механике луч 3 — 4 в начало вектора Решение задач по теоретической механике и луч 4— В в начало вектора Решение задач по теоретической механике Луч В — А в начало вектора Решение задач по теоретической механике провести нельзя, так как величина реакции Решение задач по теоретической механикенеизвестна.

Для определения величины реакции Решение задач по теоретической механике переходим к построению

веревочного многоугольника. Для этого проводим через точку А (рис. в) (так как эго единственная известная точка на линии действия реакции Решение задач по теоретической механике прямую, параллельную лучу А — 1, до пересечения се с линией действия силы Решение задач по теоретической механикеЧерез эту точку пересечения проводим прямую, параллельную лучу 1 — 2, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механикеЧерез эту точку пересечении проводим прямую, параллельную лучу 2— 3, до пересечения ее с линией действия силы Решение задач по теоретической механике Таким же образом проводим прямые, параллельные лучам 3 — 4 и 4 — В, до пересечения их с линиями действия сил Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Прямая, параллельная лучу 4 — В, пересекает направление реакции Решение задач по теоретической механике в точке Решение задач по теоретической механике

Ввиду того, что при равновесии системы веревочный многоугольник должен быть замкнут, соединяем точку Решение задач по теоретической механике с точкой А, где было начато построение веревочного многоугольника. Теперь можно провести луч ВА через полюс о (рис. б) параллельно прямой Решение задач по теоретической механике Луч ВА пересекает направление реакции Решение задач по теоретической механике в точке е, которая и определяет конец вектора Решение задач по теоретической механике Величина и направление реакции Решение задач по теоретической механике найдутся, если соединить конец вектора Решение задач по теоретической механике с началом вектора Решение задач по теоретической механике Измерив отрезки, изображающие реакции, и учтя принятый масштаб, найдем Решение задач по теоретической механике

Для приобретения навыков в решении задач на равновесие тел и сложение сил способом веревочного многоугольника рекомендуется решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике».

Расчет усилий в стержнях фермы

Способ вырезания узлов. Фермой (рис. 1.46) называется геометрически неизменяемая конструкция, образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом концами при помощи шарниров. Шарнирные соединения концов стержней называются узлами. Ферма является статически определимой, если число узлов п и число стержней Решение задач по теоретической механике удовлетворяют уравнению

Решение задач по теоретической механике

Если число стержней не удовлетворяет этому равенству, то возможны два случая:

Решение задач по теоретической механике

ферма является в этом случае статически неопределимой;

Решение задач по теоретической механике

конструкция перестает быть геометрически неизменяемой, получает подвижность (становится механизмом).

Расчет усилий в стержнях фермы методами статики (в том числе и графостатики) может быть произведен только для статически определимых ферм *).
Решение задач по теоретической механике

В дальнейшем мы будем полагать, что заданные активные силы приложены в узлах фермы и лежат в одной плоскости с фермой, трение в шарнирах отсутствует. При выполнении этих условий стержни будут или сжаты, или растянуты, следовательно, реакции стержней будут совпадать по направлению со стержнями.

Расчет статически определимых ферм проводится одним из трех способов:

  • а) способом вырезания узлов;
  • б) построением диаграммы Максвелла — Кремоны,
  • в) методом сечений.

Расчет сводится к определению усилий в стержнях фермы. Активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях в этом случае— внутренние силы. Поэтому для определения усилий необходимо, согласно общему правилу, рассмотреть равновесие части фермы, для которой искомые усилия являются внешними силами.

При расчете ферм способом вырезания узлов можно пользоваться аналитическим и графическим методами.

При аналитическом методе решения задач на расчет ферм способом вырезания узлов надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Затем:

  • 5)определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело, или при помощи веревочного многоугольника;
  • 6) вырезать узел, в котором сходятся два стержня, и рассмотреть его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней; определить эти реакции из двух уравнений проекций сил, приложенных к узлу, на декартовы оси координат;
  • 7) переходя от узла к узлу, рассматривать аналогично равновесие каждого узла; при этом в каждом узле должно быть только два неизвестных усилия в стержнях; составляя для каждого узла два уравнения равновесия в проекциях на оси хну, определить все искомые усилия в стержнях.

Задача 1.60. Определить усилия в стержнях фермы (рис. а) аналитическим методом вырезания узлов.
Решение задач по теоретической механике
 

Решение:

Для определения усилий в стержнях сначала надо найти реакции опор А и Н. Для этого мысленно отбрасываем опоры и заменяем их действие па ферму реакциями Решение задач по теоретической механике Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опор равны друг другу и каждая по величине равна Решение задач по теоретической механике Когда реакции опор определены, переходим к определению усилий в стержнях. Для этого надо рассматривать равновесие каждого узла, мысленно отбросив сходящиеся в них стержни и заменяя их действие па узел реакциями. Первым надо рассмотреть узел, к которому приложены только две неизвестные силы. Начнем с узла А. Узел А находится и равновесии под действием известной реакции Решение задач по теоретической механике и неизвестных реакции стержней Решение задач по теоретической механике Будем обозначать реакции стержней соответственно через Решение задач по теоретической механике (рис. б) и направлять их от узла, предполагая таким образом, что стержни растянуты. Затем через точку А проводим оси х и у  и составляем систему уравнений равновесия узла А, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на эти оси.

Уравнение проекций на оси х и у будут:

Решение задач по теоретической механике

Отсюда находим:

Решение задач по теоретической механике

Отрицательное значение реакции Решение задач по теоретической механике показывает, что в действительности она направлена в противоположную сторону и стержень 1 не растянут, как мы предполагали, а сжат.

Теперь переходим к исследованию равновесия узла В. В узле В сходятся три стержня, из которых стержни 1 и 3 направлены по одной прямой, а стержень 4 под углом к ним. Никаких активных сил к узлу В не приложено. Следовательно, точка В находится в равновесии под действием трех реакций стержней. Это возможно только и случае, если усилие в стержне 4 равно нулю, так как только оно проектируется на направление, перпендикулярное к стержням 1 и 3. Итак, усилия в стержнях 1 и 3 одинаковы, а усилие в стержне 4 равно нулю.

Переходим к узлу С. Узел С находится в равновесии под действием двух неизвестных реакций Решение задач по теоретической механике активной силы Решение задач по теоретической механикеи известной реакции Решение задач по теоретической механике которая по величине равна реакции Решение задач по теоретической механике приложенной к узлу А, по направлена в противоположною сторону (рис. с). Проводим оси координат через точку С и составляем уравнения равновесия для узла С.

Уравнения проекций на оси х и у будут:

Решение задач по теоретической механике

Отсюда находим:

Решение задач по теоретической механике

Следовательно, стержни 5 и 6, как мы и предполагали, растянуты.

Ввиду полной симметрии фермы и приложенной в узлах нагрузки достаточно определить усилия в стержнях левой половины фермы. Так, например, усилия в стержнях 1 и 11, 2 и 10 будут ввиду симметрии равными.

Задача 1.61. Определить графически усилия в стержнях фермы (рис. а) способом вырезания узлов.

Решение:

Для определения усилий и стержнях фермы необходимо сперва найти реакции опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями Решение задач по теоретической механике Эти реакции направлены по вертикали вверх, так как активные силы направлены по вертикали вниз. Кроме того, опора Е может воспринимать только вертикальные усилия. Для определения величины реакций
Решение задач по теоретической механике
рассмотрим ферму как твердое тело, находящееся в покое под действием активных сил, включая реакции опор (рис. б). Уравнение моментов относительно точки А будет:

Решение задач по теоретической механике
откуда
Решение задач по теоретической механике

Уравнение моментов относительно точки Е будет:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Определив реакции опор, переходим к нахождению усилий в стержнях. Обозначим стержни цифрами 1, 2, 3, ..., 7.

Первым вырежем тот узел, в котором имеется только две неизвестные силы, например узел А. К узлу А приложены три силы: реакция опоры Решение задач по теоретической механике реакции Решение задач по теоретической механике перерезанных стержней 1, 2. Реакция Решение задач по теоретической механике известна по величине и направлению, реакции стержней направлены вдоль стержней, но величина их неизвестна. Напомним, что совпадение направления реакций со стержнями соблюдается всегда, если прямолинейные стержни закреплены шарнирно своими концами и все силы приложены только в узлах.

Для определения величины реакций стержней строим треугольник сил, откладывая их в том порядке, в каком они встречаются при обходе узла по часовой стрелке. Первой откладываем в масштабе известную величину Решение задач по теоретической механике (рис. в), из ее конца и начала проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пересечения. Стороны полученного треугольника определяют реакции Решение задач по теоретической механике Чтобы найти их направление, обходим треугольник сил в направлении, указанном известной силой Решение задач по теоретической механике При равновесии узла стрелки в замкнутом силовом многоугольнике идут в одном направлении. Перенося реакцию Решение задач по теоретической механикена стержень Решение задач по теоретической механике находим, что она направлена к узлу, следовательно, стержень Решение задач по теоретической механике сжат. Перенося реакцию Решение задач по теоретической механике на стержень 2, находим, что она направлена от узла А, следовательно, стержень 2 растянут.

Следующим вырезаем узел В. К нему приложены четыре силы: две неизвестные реакции Решение задач по теоретической механике стержней 3 и 4, известная реакция стержня /, которая равна по величине реакции Решение задач по теоретической механике приложенной к узлу А, по направлена в противоположную сторону (обозначим ее через Решение задач по теоретической механике активная сила Р. Строим многоугольник этих сил. Первой откладываем в масштабе силу Решение задач по теоретической механике (рис. г), к концу ее прикладываем активную силу Р, а затем через конец силы Р проводим прямую, параллельную стержню 4, а через начало силы Решение задач по теоретической механике — прямую, параллельную стержню 3, до их пересечения. Стороны полученного четырехугольника определяют реакции Решение задач по теоретической механике Чтобы найти их направление, обходим четырехугольник в направлении, указанном известными силами. Перенося реакцию Решение задач по теоретической механике на стержень 3, находим, что она направлена от узла В, следовательно, стержень 3 растянут. Перенося реакцию Решение задач по теоретической механике на стержень 4, находим, что она направлена к узлу В, следовательно, стержень 4 сжат.

Следующим вырезаем узел С. К нему приложены четыре силы: две неизвестные реакции Решение задач по теоретической механике стержней 5 и 6 и две известные реакции стержней 2 и 3, которые по величине равны реакциям Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике приложенным соответственно к узлам А и В, по направлены в противоположные стороны (обозначим их через Решение задач по теоретической механике Строим многоугольник этих сил. Первой откладываем известную силу Решение задач по теоретической механике к ней прибавляем также известную силу Решение задач по теоретической механике затем через конец силы Решение задач по теоретической механике и начало силы Решение задач по теоретической механикепроводим прямые, параллельные стержням 5 и 6, до их пересечения. Обходя полученный многоугольник сил п направлении, указанном известными силами, находим направление реакций Решение задач по теоретической механике Перенося реакцию Решение задач по теоретической механике на стержень 5, находим, что она направлена к узлу С, следовательно, стержень 5 сжат. Перенося реакцию Решение задач по теоретической механике на стержень 6, находим, что она направлена от узла С, следовательно, стержень 6 растянут.

Следующим вырезаем узел D. К нему приложены четыре силы: одна неизвестная реакция стержня 7, активная сила и известные реакции Решение задач по теоретической механике которые равны по величине реакциям Решение задач по теоретической механике приложенным соответственно к узлам В и С, но направлены в противоположные стороны (обозначим их через Решение задач по теоретической механике Строим многоугольник сил. Первой откладываем силу Решение задач по теоретической механике (рис. е), к ней присоединяем силу Решение задач по теоретической механике и активную силу 2Р. Затем соединяем конец силы с началом силы Решение задач по теоретической механике и получаем искомую реакцию Решение задач по теоретической механике Перенося реакцию на стержень 7, находим, что она направлена к узлу D. Следовательно, стержень 7 сжат. Построение этого многоугольника одновременно служит проверкой правильности построения всех многоугольников, так как найденная сила Решение задач по теоретической механике должна быть параллельна стержню 7, если построение сделано верно.

Определение усилий в стержнях фермы построением диаграммы Максвелла — Кремоны

Способ вырезания узлов, рассмотренный в предыдущем пункте, позволяет сравнительно просто найти усилия в стержнях фермы. К недостаткам этого способа следует отнести повторное построение усилий в стержнях, которые один раз провозятся в одном направлении, а другой раз — в противоположном. Кроме того, построение силовых многоугольников для каждого узла в отдельности не создает общей картины распределения усилий в стержнях фермы. Определение усилий построением диаграммы Максвелла — Кремоны позволяет устранить эти недостатки.

Построение диаграммы Максвелла — Кремоны заключается в соединении силовых многоугольников, построенных для всех узлов фермы, в один чертеж так, чтобы ни одно из усилий не повторялось дважды.

При расчете фермы способом Максвелла — Кремоны следует придерживаться следующих правил и последовательности действий:

  • 1) определяем из условий равновесия всей фермы как твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил, опорные реакции; это делается графически, построением веревочного многоугольника, причем результат затем проверяется аналитически, при помощи уравнений равновесия;
  • 2) отбрасываем опоры и изображаем все приложенные к ферме внешние силы, включая реакции опор, так, чтобы эти векторы располагались вне контура фермы;
  • 3) части плоскости, ограниченные контуром фермы и линиями действия внешних сил, обозначаем буквами; обозначаем буквами также части плоскости, ограниченные стержнями фермы; узлы фермы обозначаем римскими цифрами; стержни нумеруем арабскими цифрами;
  • 4) строим замкнутый многоугольник внешних сил, откладывая силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе фермы; направление обхода выбирается произвольно (но часовой или против часовой стрелки); силы обозначаем двумя малыми буквами тою же наименования, что и большие буквы, обозначающие смежные участки плоскости, между которыми проходит линия действия данной силы;
  • 5) последовательно строим на этом же рисунке замкнутые силовые многоугольники для каждого узла; при этом узлы выбираем в таком порядке, чтобы каждый раз число неизвестных усилий в стержнях равнялось двум (в последнем узле получится при этом одно неизвестное усилие); обход каждого узла делаем в том же направлении, которое было избрано для внешних сил (по часовой или против часовой стрелки); в этом же порядке откладываем встречающиеся внешние силы и усилия в стержнях;
  • 6) для определения того, сжат или растянут стержень, в каждом замкнутом силовом многоугольнике мысленно направляем стрелки в одном направлении, указанном известными силами, и переносим найденное усилие на стержень; стержень сжат, если усилие направлено к узлу, и растянут, если усилие идет от узла;
  • 7) измеряем на диаграмме отрезки, изображающие искомые усилия в стержнях фермы, и находим, учитывая принятый масштаб сил, величины усилий.

Задача 1.62. Определить усилия в стержнях фермы (рис. а) построением диаграммы Максвелла — Кремоны.

Решение:

Для определения усилий в стержнях фермы необходимо прежде всего найти реакцию опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями. Реакция опоры В направлена по вертикали вверх, так как опора установлена на катках, которые не могут препятствовать перемещению вдоль плоскости, на которую опираются катки. Величина и направление реакции опоры А неизвестны, поэтому найдем ее составляющие по осям х и у. Для этого составим уравнения равновесия фермы как свободного твердого тела, находящегося в равновесии под действием актив-пых сил и реакций опор.

Уравнение моментов относительно точки А будет:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Уравнения проекций на оси х и у будут:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Тогда модуль реакции шарнира А равен

Решение задач по теоретической механике
Определим направление реакции опоры А. Для этого найдем угол Решение задач по теоретической механике образованный реакцией с осью х:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

После того как реакции опор найдены, можно перейти непосредственно к построению диаграммы Максвелла — Кремоны.

Изображаем все приложенные к ферме внешние силы, включая реакции опор, так, чтобы их векторы расположились вне контура фермы (рис. б). Части плоскости, ограниченные контуром фермы и линиями действия внешних сил, обозначим буквами Решение задач по теоретической механике плоскости, ограниченные стержнями фермы, обозначим буквами Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеузлы фермы обозначим римскими цифрами Решение задач по теоретической механике стержни нумеруем арабскими цифрами 1—9.

Строим вначале многоугольник внешних сил (рис. в), который должен быть замкнут, так как ферма находится в равновесии. Откладываем силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе фермы но часовой стрелке, и обозначаем их двумя малыми буквами, соответствующими тем большим буквам, которыми обозначены две смежные области, разграниченные линией действия данной силы при обходе фермы по часовой стрелке. Откладываем в масштабе вектор Решение задач по теоретической механике соответствующий реакции Решение задач по теоретической механике к нему прибавляем вектор Решение задач по теоретической механике соответствующий силе Р, таким же образом откладываем векторы Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике соответствующие силам Решение задач по теоретической механике

Получив замкнутый многоугольник внешних сил, приступаем к построению .многоугольников сил, приложенных к узлам фермы, начиная с того узла, в котором есть только две неизвестные силы, например с узла Решение задач по теоретической механике Многоугольники строим, также обходя узлы по часовой стрелке и обозначая усилия в стержнях двумя малыми буквами, соответствующими тем большим буквам, которыми обозначены дне смежные области, разграниченные данным стержнем. Согласно принятым обозначениям многоугольник сил, приложенных к узлу Решение задач по теоретической механикедолжен состоять из векторов Решение задач по теоретической механике соответствующих но величине и направлению силе  Решение задач по теоретической механике усилиям стержней 1, 4.

Поскольку все стержни прямолинейны, соединены между собой шарнирами и внешние силы приложены только к узлам, то усилия в каждом стержне направлены вдоль стержня, так как он находится
Решение задач по теоретической механике
в равновесии под действием только двух сил, реакций шарниров. Стержень при указанных условиях может быть только сжат или растянут.

Вектор Решение задач по теоретической механике на рисунке уже есть; чтобы найти векторы Решение задач по теоретической механике достаточно через точку с провести прямую, параллельную стержню Решение задач по теоретической механике а через точку Решение задач по теоретической механике — прямую, параллельную стержню 4, и в точке их пересечения поставить букву Решение задач по теоретической механике

Переходим к узлу III. Многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов Решение задач по теоретической механикеВекторы Решение задач по теоретической механике на рисунке уже есть; чтобы найти векторы Решение задач по теоретической механике достаточно провести через точку Решение задач по теоретической механике прямую, параллельную стержню 7, а через точку Решение задач по теоретической механике прямую, параллельную стержню 2, и в точке их пересечения поставить букву Решение задач по теоретической механике

Переходим к узлу II. Многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов Решение задач по теоретической механике Векторы Решение задач по теоретической механике на рисунке уже есть; чтобы найти векторы Решение задач по теоретической механике проводим через точку е прямую, параллельную стержню 5, а через точку і — прямую, параллельную стержню 8, и в точка их пересечения ставим точку Решение задач по теоретической механике

Переходим к узлу V. Многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов Решение задач по теоретической механике Векторы  Решение задач по теоретической механике на рисунке уже есть; чтобы найти векторы Решение задач по теоретической механике проводим через точку Решение задач по теоретической механике прямую, параллельную стержню 9, а через точку Решение задач по теоретической механике—прямую, параллельную стержню 3, и в точке их пересечения ставим букву Решение задач по теоретической механике

Многоугольник сил, приложенных к узлу IV, должен состоять из векторов Решение задач по теоретической механике Векторы Решение задач по теоретической механике на рисунке уже есть; чтобы найти вектор Решение задач по теоретической механике соединяем прямой точку Решение задач по теоретической механике с точкой е. Эта прямая должна быть параллельна стержню 6, так как вектор Решение задач по теоретической механике соответствует усилию и стержне 6. Таким образом, параллельность этого вектора стержню 6 является проверкой правильности построения диаграммы.

Переходя к узлу VI, видим, что многоугольник сил, приложенных к нему, должен состоять из векторов Решение задач по теоретической механике которые уже есть на рисунке. Таким образом, усилия всех девяти стержней найдены и осталось только определить, какие стержни растянуты и какие сжаты. Для этого векторы силовых многоугольников каждого узла мысленно переносим на соответствующие стержни и определяем, куда они направлены: если к рассматриваемому узлу, значит, стержень сжат, если от узла — растянут. Силовой многоугольник Решение задач по теоретической механике характеризует равновесие узла Решение задач по теоретической механике Силы в этом треугольнике направлены от Решение задач по теоретической механикеот Решение задач по теоретической механике Следовательно, вектор Решение задач по теоретической механике направлен к узлу Решение задач по теоретической механике значит, стержень 4 сжат; вектор Решение задач по теоретической механике направлен от узла Решение задач по теоретической механике значит, стержень 1 растянут. Силовой четырехугольник Решение задач по теоретической механике характеризует равновесие узла III. Силы в этом четырехугольнике направлены от Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике  следовательно, вектор Решение задач по теоретической механике направлен от узла III, значит, стержень 7 растянут; вектор Решение задач по теоретической механике направлен от узла III, следовательно, стержень 2 растянут. Рассуждая таким образом дальше, находим, что стержни 3, 9 также растянуты, а стержни 5, 6, 8 сжаты. Чтобы найти величины усилий стержней, измеряем их на диаграмме и умножаем па масштаб сил.

Определение усилий в стержнях фермы методом сечений

Рассмотренный способ расчета фермы путем построения диаграммы Максвелла — Кремоны является графическим приемом. В отличие от него метод разрезов фермы позволяет определить усилия в стержнях аналитически.

При расчете ферм методом сечений рекомендуется такая последовательность действий:

  • 1) определяем опорные реакции, рассматривая равновесие фермы как твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил;
  • для этого составляем три уравнения равновесия или применяем способ веревочного многоугольника;
  • 2) разрезаем мысленно ферму, к которой приложены все внешние силы, на две части так, чтобы число разрезанных стержней не превышало трех, и заменяем действие отброшенной части искомыми усилиями стержней, полагая все стержни растянутыми;
  • 3) составляем уравнения равновесия для части фермы так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие; для этого составляем уравнения моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестны к усилий; если два стержня параллельны, то составляем уравнение проекций на ось, перпендикулярную к этим стержням, в которое также войдет одно неизвестное усилие;
  • 4) решая каждое из составленных уравнений, находим искомой усилие в стержнях; если в ответе получается знак минус, то это означает, что стержень сжат, а не растянут.

Задача 1.63. Определить усилия в стержнях фермы методом сечений (рис. а).

Решение:

Для определения усилий в стержнях фермы сначала надо определить реакции опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями Решение задач по теоретической механике Рассматриваем

Решение задач по теоретической механике

ферму как твердое тело, находящееся в равновесии под действием семи активных сил и двух неизвестных реакций опор. Ввиду симметрии фермы и нагрузки реакции опор равны друг другу и каждая по величине равна .

После того как реакции опор определены, переходим к определению усилий в стержнях фермы. Разрезаем мысленно ферму по стержням, усилия в которых надо определить (рис. б), например но стержням 8, 9, 10, и удаляем правую часть фермы, заменив действие ее реакциями стержней Решение задач по теоретической механике Направим эти реакции вдоль перерезанных стержней от узлов Решение задач по теоретической механике предположив таким образом, что стержни 8, 9, 10 растянуты. Теперь левая часть фермы (рис. б)

находится в равновесии под действием реакции опоры Решение задач по теоретической механике трех активных сил и реакции стержней Решение задач по теоретической механике Чтобы найти величины этих реакций, составим уравнения равновесия- для левой части фермы, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно точек Решение задач по теоретической механике в которых пересекаются линии действия двух искомых неизвестных сил. Благодаря этому уравнение моментов будет содержать только одно неизвестное. Так, уравнение моментов относительно точки Решение задач по теоретической механике будет:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Отрицательное значение величины реакции Решение задач по теоретической механике говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т. е. к узлу Е, и, следовательно, стержень 8 сжат. Уравнение моментов относительно точки Решение задач по теоретической механике будет:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Стержень 10, как мы и предполагали, растянут.

Так как усилия Решение задач по теоретической механике параллельны, то не существует точки их пересечения, поэтому для определения усилия Решение задач по теоретической механике вместо уравнения моментов составляем уравнение проекций всех сил на вертикальную ось, перпендикулярную к стержням 8 и 10 :

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике
Отрицательное значение реакции Решение задач по теоретической механике говорит о том, что в действительности эта реакция направлена в сторону, противоположную принятой, т. е. к узлу Решение задач по теоретической механике и стержень 9 сжат. Аналогично могут быть определены методом сечений усилия в любых стержнях этой фермы.

Пространственная система сил

Пространственная cистема сил – система сил, линии действия которых расположены в пространстве.

Система сходящихся сил

Пространственная система сходящихся сил, подобно плоской, также приводится к равнодействующей Решение задач по теоретической механике

Равнодействующая Решение задач по теоретической механике пространственной системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия слагаемых сил и является замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на этих силах, т. е.

Решение задач по теоретической механике

В отличие от соответствующей плоской задачи силовой многоугольник не является плоским, т. е. он представляет собой ломаную пространственную линию.

Проекции равнодействующей силы Решение задач по теоретической механике на оси декартовых координат х, у, Решение задач по теоретической механике равны суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси, т. е.

Решение задач по теоретической механике

Модуль равнодействующей Решение задач по теоретической механике равен

Решение задач по теоретической механике

направляющие косинусы даются формулами:

Решение задач по теоретической механике

Для равновесия твердого тела, к которому приложена пространственная система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю: Решение задач по теоретической механике т. е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид:

Решение задач по теоретической механике

Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех (предполагается, что все силы не лежат на одной прямой или в одной плоскости). Так, если известны направления всех сил, то можно определить модули трех сил.

При решении задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием пространственной  системы сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале. Затем:

  • 5) убедиться в том, что задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных величин не более трех;
  • 6) выбрать систему осей декартовых координат .с, У, г;
  • 7) составить уравнения равновесия (5*) твердою тела в проекциях на оси декартовых координат;
  • 8) решить полученную систему уравнений, т.е. определить неизвестные величины.

Если требуется найти равнодействующую пространственной системы сходящихся сил, то после выполнения первых шести пунктов следует определить проекции Решение задач по теоретической механике    равнодействующей Решение задач по теоретической механике по формулам (2*), затем вычислить модуль равнодействующей Решение задач по теоретической механике и направляющие косинусы по формулам (3*), (4*).

Начало осей декартовых координат рекомендуется выбрать в точке пересечения линий действия слагаемых сил, а координатные оси направить параллельно либо перпендикулярно к большинству этих сил.

Иногда при определении проекции силы на координатную ось, например силы Решение задач по теоретической механике на ось х, бывает неизвестен угол между осью х и линией действия силы, но зато задан угол Решение задач по теоретической механике  образованный силой Решение задач по теоретической механике и координатной плоскостью ху (рис. 2.1), а также угол Решение задач по теоретической механике между осью проекций х и проекцией Решение задач по теоретической механике силы Решение задач по теоретической механике на координатную плоскость ху. (Не следует забывать, что, в то время как проекция силы

Решение задач по теоретической механике

на ось является алгебраическом величиной, проекция силы на плоскость есть вектор.) В этом случае для определения проекции Решение задач по теоретической механике силы Решение задач по теоретической механике на ось х надо, во-первых, найти проекцию Решение задач по теоретической механике силы Решение задач по теоретической механике на координатную плоскость ху, а затем вычислить проекцию вектора Решение задач по теоретической механике на ось х, т. е.

Решение задач по теоретической механике

Аналогично проекция силы Решение задач по теоретической механике на ось у имеет вид

Решение задач по теоретической механике

Далее,

Решение задач по теоретической механике

Итак,

Решение задач по теоретической механике

Не следует смешивать понятия проекции силы на ось и составляющей силы (рис. 2.2). Составляющая силы является век юром, равным произведению соответствующей проекции силы на орт оси проекций, т. е.

Решение задач по теоретической механике

Разложение силы Решение задач по теоретической механике по ортам осей декартовых координат имеет вид

Решение задач по теоретической механике

Если проекция силы на ось отрицательна, то соответствующая составляющая силы направлена в сторону, противоположную положительному направлению этой оси.

Задача 2.1. Определить равнодействующую пространственной системы сходящихся сил, изображенной на рисунке.

Силы Решение задач по теоретической механике расположены в плоскости ху, сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости Решение задач по теоретической механике а сила Решение задач по теоретической механике — в плоскости Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Решение:

Можно определить равнодействующую Решение задач по теоретической механике как замыкающую сторону силового многоугольника, построенного на силах Решение задач по теоретической механике Однако этот многоугольник представляет пространственную ломаную и поэтому непосредственное определение модуля и направления вектора Решение задач по теоретической механике требует либо построения модели, либо применения сложных методов начертательной геометрии.

Решение задач по теоретической механике

Эту задачу можно решить значительно проще, воспользовавшись методом проекции. Как известно, проекции равнодействующей Решение задач по теоретической механике определяются по формулам (2*).

В данном случае эти формулы имеют вид

Решение задач по теоретической механике

Вычислим проекции сил  Решение задач по теоретической механике на оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
Подставив эти значенья в формулы (1), получим:

Решение задач по теоретической механике

откуда, использовав заданные в условии числовые значения, находим:

Решение задач по теоретической механике

Теперь легко найти модуль равнодействующей Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
и ее направляющие косинусы:

Решение задач по теоретической механике

откуда

Решение задач по теоретической механике

Зная модуль и направление равнодействующей Решение задач по теоретической механике можно изобразить ее в системе координатных осей Решение задач по теоретической механике

Задача 2.2. Измерительный прибор весом Решение задач по теоретической механике установлен па треножнике— трех стержнях Решение задач по теоретической механике равной длины Решение задач по теоретической механике соединенных шарниром С (рис. а). Стержни Решение задач по теоретической механике образуют с вертикалью угол 30°, а стержень АС — угол 45°.

Решение задач по теоретической механике

Определить реакции стержней Решение задач по теоретической механике Размерами прибора и весом стержней пренебречь. Опорные точки Решение задач по теоретической механикерасположены в горизонтальной плоскости, причем  Решение задач по теоретической механике

Решение: 

Для определения искомых реакций стержней рассмотрим равновесие прибора С. К прибору приложена одна активная сила — его вес Р, изображенный на рис. б. На прибор наложены три связи — стержни Решение задач по теоретической механике Применив закон освобождаемости, отбросим мысленно связи и заменим их действие на прибор реакциями. Направим реакции Решение задач по теоретической механике вдоль соответствующих стержней от концов к их серединам, тем самым предполагая, что стержни растягиваются (при направлении сил Решение задач по теоретической механике мы воспользовались седьмым примером направления реакций связей, рассмотренным в начале книги, на стр. 14 и 15).    

Теперь мы можем изучить равновесие прибора как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием пространственной системы четырех сходящихся сил:Решение задач по теоретической механикеПри этом следует составить три уравнения проекций на оси декартовых   координат. Так как число алгебраических неизвестных также равно трем Решение задач по теоретической механике то задача является статически определенной.

Проведем ось х вдоль линии действия силы Р и выберем начало координат О в точке пересечения оси Решение задач по теоретической механике с горизонтальной плоскостью, в которой лежат точки Решение задач по теоретической механике Направим оси х и у в этой плоскости соответственно параллельно и перпендикулярно к вспомогательной прямой Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Составляя уравнения равновесия, мы встретимся с трудностями при проектировании сил Решение задач по теоретической механике на оси х и у, так как неизвестны углы между линиями действия этих сил и осями х и у. Поэтому предварительно спроектируем силы Решение задач по теоретической механике на плоскость ху, а затем Э1 и проекции Решение задач по теоретической механике спроектируем на оси х и у. Модули сил Решение задач по теоретической механике равны

Решение задач по теоретической механике

Для проектирования векторов Решение задач по теоретической механике на оси х и у займемся определением углов между линиями действия этих сил и осями х и у. Из прямоугольных треугольников Решение задач по теоретической механике следует, что Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике— длина каждого из стержней. Так как по условию Решение задач по теоретической механике также равно Решение задач по теоретической механике то треугольник Решение задач по теоретической механике является равносторонним; значит, угол образованный ОВ и осью х, равен Решение задач по теоретической механике

Переходим к составлению уравнения проекций сил на ось х. Проекции сил Решение задач по теоретической механике на ось х; равны нулю (сила Р перпендикулярна к оси х, а Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости Решение задач по теоретической механике перпендикулярной к этой оси). Для вычисления проекций сил Решение задач по теоретической механике надо векторы Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике спроектировать на ось х. Эти проекции соответственно равны: Решение задач по теоретической механике Значит, уравнение проекций на ось х имеет вид

Решение задач по теоретической механике

Приняв во внимание равенства (1), запишем:

Решение задач по теоретической механике

При проектировании сил на ось у мы, кроме проекций сил Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике соответственно равных: Решение задач по теоретической механике получим также проекцию силы Решение задач по теоретической механике которая равна — Решение задач по теоретической механике (сила Р перпендикулярна к оси у). Значит, уравнение проекций на ось у запишется в виде

Решение задач по теоретической механике

Учтя равенства (1), получим: 

Решение задач по теоретической механике

Легко составить уравнение проекций на ось Решение задач по теоретической механике так как нам известны углы, образованные линиями действия каждой из сил и осью Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Остается решить систему уравнений (2) — (4). Из уравнения (2) следует Решение задач по теоретической механике Вычтя (4) из (3) и приняв во внимание, что Решение задач по теоретической механике получим Решение задач по теоретической механике Подставив полученные значения Решение задач по теоретической механике в уравнение (3), находим Решение задач по теоретической механике

Знаки минус, стоящие в ответах, показывают, что найденные силы направлены не так, как мы их предположительно изобразили на рис. б, а прямо противоположно. Это означает, что стержни Решение задач по теоретической механике подвержены не растяжению, а сжатию.

Задача 2.3. На гладкой прямоугольной наклонной плоскости Решение задач по теоретической механике расположенной под углом 30° к горизонту, лежит груз Е весом Р. Груз удерживается ь равновесии посредством двух взаимно перпендикулярных равных по длине тросов Решение задач по теоретической механике лежащих на наклонной плоскости и прикрепленных к ней в точках А и В.

Определить реакции тросов и наклонной плоскости. Размерами груза пренебречь.

Решение:

Для определения неизвестных рассмотрим равновесие груза Е. К грузу приложена одна активная сила — его вес Р (рис. б). На груз Е наложены три связи: гладкая наклонная плоскость и тросы АЕ и ВЕ. Применив закон освобождаемости от связей, отбросим связи и компенсируем их действие на груз соответствующими реакциями. Так как наклонная плоскость является гладкой, то ее реакция Решение задач по теоретической механике направлена перпендикулярно к плоскости. Реакции гибких связей направляются по касательным к ним в точках обрыва связей. В данном случае реакции тросов Решение задач по теоретической механике направлены вдоль Решение задач по теоретической механике (см. рис. б).

Теперь мы можем рассмотреть равновесие груза Е как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием четырех сил: Решение задач по теоретической механике образующих пространственную систему сходящихся сил. Для этой системы мы можем составить три уравнения равновесия. Так как число алгебраических неизвестных также равно трем Решение задач по теоретической механике то задача является статически определенной.

Учитывая, что тросы Решение задач по теоретической механике и, следовательно, силы Решение задач по теоретической механике взаимно перпендикулярны, направим оси х и у вдоль линий действия этих сил, а ось Решение задач по теоретической механике — перпендикулярно к этой плоскости, т. е. вдоль линии действия силы Решение задач по теоретической механике При этом выборе направлений осей

Решение задач по теоретической механике

координат проекции сил Решение задач по теоретической механике будут либо равны нулю, либо величине соответствующей силы. Некоторые трудности приходится преодолеть лишь при проектировании силы Р, так как нам неизвестны углы, которые образует линия действия силы Р с осями х и у. Поэтому, предварительно спроектировав силу Р на плоскость ху, найдем вектор Решение задач по теоретической механике (проекция вектора на плоскость также является вектором) и затем уже спроэктрируем Решение задач по теоретической механикена оси х и у. Модуль вектора Решение задач по теоретической механике равен

Решение задач по теоретической механике

Переходим к составлению уравнений равновесия пространственной системы сходящихся сил. Для этого суммы проекций всех сил на оси декартовых координат Решение задач по теоретической механике надо приравнять нулю. Эти уравнения в данной задаче имеют вид

Решение задач по теоретической механике

После подстановки значений проекций сил:

Решение задач по теоретической механике

эти уравнения примут вид

Решение задач по теоретической механике

Для определения неизвестных остается решить систему уравнений (2) — (4), приняв при этом во внимание равенство (1). Получим Решение задач по теоретической механике

При составлении уравнений равновесия нам пришлось столкнуться с трудностями при проектировании силы Р на оси х и у, так как предварительно пришлось проектировать Р на плоскость ху. Этих трудностей можно избежать, направив ось Решение задач по теоретической механике по биссектрисе угла Решение задач по теоретической механике ось Решение задач по теоретической механике — по оси Решение задач по теоретической механике а ось Решение задач по теоретической механике — так, чтобы вместе с осями Решение задач по теоретической механике она образовала правую систему осей координат. Теперь сила Р оказывается лежащей в плоскости Решение задач по теоретической механике и, следовательно, ее проекции на оси Решение задач по теоретической механике имеют вид

Решение задач по теоретической механике

Уравнения равновесия груза в проекциях на оси Решение задач по теоретической механике запишутся так:

Решение задач по теоретической механике
Сравним системы уравнений (2) —(4) и (5) — (7). При тождестве уравнений (4) и (7) составление уравнений (5) и (6) проще и потому предпочтительнее составлению уравнений (2) и (3). Объем же вычислений при решении систем (2) — (4) и (5) — (7) примерно одинаков, поэтому выбор осей координат Решение задач по теоретической механике является более целесообразным.

Произвольная пространственная система сил

Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости. Согласно основной теореме статики (теореме Пуансо) любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы (главного вектора системы) и пары сил (главного момента системы сил ).

Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве

В случае плоской системы сил момент силы относительно точки был определен как алгебраическая величина: Решение задач по теоретической механике

При пространственном расположении сил этого определения

Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

недостаточно, так как плоскости, проходящие через линии действия сил и точку, относительно которой вычисляются моменты, различны. Поэтому момент Решение задач по теоретической механике силы Решение задач по теоретической механике относительно точки О в пространстве определяют как векторное произведение Решение задач по теоретической механике где Решение задач по теоретической механике — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы. Таким образом, вектор Решение задач по теоретической механике направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей линию действия силы и точку О, так что сила с конца его видна направленной вокруг точки против часовой стрелки (рис. 2.3). Модуль вектора Решение задач по теоретической механике равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линии действия силы (плечо), т. е.

Решение задач по теоретической механике

Момент силы относительно оси Решение задач по теоретической механике (рис. 2.4) определяется как алгебраическая величина, абсолютное значение которой равно произведению модуля проекции силы Решение задач по теоретической механике на плоскость Р, перпендикулярную к оси Решение задач по теоретической механике на расстояние Решение задач по теоретической механике от точки О пересечения оси с этой плоскостью до линии действия проекции силы на плоскость Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Если с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится поверить тело вокруг точки О против часовой стрелки, то момент положителен, если по часовой стрелке, то отрицателен, т. е.

Решение задач по теоретической механике

Момент силы Решение задач по теоретической механике изображенной на рис. 2.4, относительно оси Решение задач по теоретической механике положителен.

Итак, момент силы относительно точки — вектор, момент силы относительно оси — алгебраическая величина. Если точка лежит на оси, то момент силы относительно оси равен проекции момента силы относительно точки на эту ось, т. е. Решение задач по теоретической механике(рис. 2.5).

Зная моменты силы относительно осей декартовых координат Решение задач по теоретической механике можно определить величину момента силы Решение задач по теоретической механике относительно начала координат О и его направляющие косинусы но формулам:

Решение задач по теоретической механике

причем Решение задач по теоретической механике

Выражения моментов силы относительно осей декартовых координат через проекции силы на эти оси даются формулами:

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Здесь Решение задач по теоретической механике— проекции силы Решение задач по теоретической механике на оси декартовых координат, Решение задач по теоретической механике — координаты точки А приложения силы (рис. 2.6).

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы и ось лежат в одной плоскости (рис. 2.7), т. е.:

  • а) если сила параллельна оси (при этом проекция Решение задач по теоретической механике силы Решение задач по теоретической механике на перпендикулярную к оси плоскость Решение задач по теоретической механике обращается в нуль: Решение задач по теоретической механике
  • б) если линия действия силы пересекает ось (при этом Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
В случае пространственной системы сил главным моментом относительно точки называется векторная сумма моментов всех сил системы относительно той же точки:

Решение задач по теоретической механике

Главным моментом пространственной системы сил относительно оси называется сумма моментов всех сил системы относительно этой оси:

Решение задач по теоретической механике

Зная главные моменты системы сил относительно осей декартовых координат, можно определить модуль главного момента относительно начала координат О и его направляющие косинусы по формулам:

Решение задач по теоретической механике
Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то согласно теореме Вариньона момент равнодействующей силы относительно точки ранен векторной сумме моментов всех сил системы относительно той же точки:
Решение задач по теоретической механике

Та же теорема относительно осей декартовых координат формулируется так: момент равнодействующей силы относительно оси ранен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси:

Решение задач по теоретической механике

Момент пары сил в пространстве определяется как вектор, перпендикулярный к плоскости пары, причем с конца его пара видна направленной против часовой стрелки (рис. 2.8). Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на расстояние между линиями действия сил (плечо): Решение задач по теоретической механике

Теория пар в пространстве дается двумя теоремами.

Теорема 1. Пары, векторные моменты которых равны, эквивалентны; следовательно, не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскость, параллельную данной.

Теорема 2. Момент равнодействующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар.

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием пар сил в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов этих пар была равна нулю Решение задач по теоретической механике

Вычисление моментов сил и главных моментов систем сил относительно осей является важной составной частью решения задач на равновесие твердых тел под действием произвольных пространственных

Решение задач по теоретической механике

систем сил, а также задач на приведение этих систем сил к простейшему виду.

Вычисление главных моментов систем сил относительно осей рекомендуется проводить в следующем порядке:

  • 1) провести плоскость, перпендикулярную к оси, относительно которой требуется определить главный момент системы сил;
  • 2) найти точку пересечения оси с этой плоскостью;
  • 3) спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси;
  • 4) опустить перпендикуляр (плечо) из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы па плоскость, определенную в предыдущем пункте;
  • 5) записать модуль момента силы относительно оси в виде произведения модуля проекции силы на найденное плечо;
  • 6) определить знак момента силы относительно оси;
  • 7) повторить построения и выкладки, сделанные в третьем, четвертом, пятом и шестом пунктах для каждой из сил системы;
  • 8) вычислить главные моменты системы сил относительно осей в виде сумм моментов данных сил относительно этих осей.

Если определение проекции силы па плоскость, перпендикулярную к оси, затруднительно, то следует разложить силу па составляющие. Затем вместо момента силы относительно оси надо, применив теорему Вариньона, вычислить сумму моментов сил составляющих относительно этой оси.

Если этот прием также затруднителен, то надо найти проекции силы Решение задач по теоретической механике на оси, записать координаты Решение задач по теоретической механике точки приложения силы и вычислить моменты силы относительно осей декартовых координат по формулам (3*).

Если оси декартовых координат в условии задачи не залаиы, то целесообразно выбрать эти оси так, чтобы моменты возможно большего числа сил обратились в нуль. Значит, надо направить оси параллельно силам либо так, чтобы оси пересекали линии действия сил.

Задача 2.4. Вычислить моменты относительно осей координат х, у и z силы Р, направленной но диагонали боковой грани прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке, если длина ребра, параллельного оси х, равна а.

Решение:

Линия действия силы Решение задач по теоретической механике пересекает ось х, поэтому момент силы Решение задач по теоретической механике относительно оси х равен нулю:

Решение задач по теоретической механике

Для определения момента силы Решение задач по теоретической механике относительно оси у спроектируем эту силу на плоскость Решение задач по теоретической механике перпендикулярную к оси у, т. е. определим Решение задач по теоретической механике Нетрудно видеть, что Решение задач по теоретической механике Остается взять момент силы Решение задач по теоретической механике относительно точки пересечения оси у с перпендикулярной плоскостью Решение задач по теоретической механике т. точки О. Плечом является ребро Решение задач по теоретической механике С конца оси у видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело в плоскости Решение задач по теоретической механике вокруг точки О по часовой стрелке, следовательно, момент силы отрицателен. Итак,

Решение задач по теоретической механике
Остается определить момент силы Решение задач по теоретической механике относительно оси z. Для этого найдем величину проекции Решение задач по теоретической механике силы на плоскость ху, перпендикулярную к оси z. Легко видеть, что Решение задач по теоретической механике Теперь вычисляем момент силы Решение задач по теоретической механике относительно точки О пересечения оси Решение задач по теоретической механике с перпендикулярной плоскостью Решение задач по теоретической механике Плечом оказывается отрезок Решение задач по теоретической механике Знак момента положителен, так как с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело в плоскости Решение задач по теоретической механике вокруг точки О против часовой стрелки. Значит,

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Задача 2.5. Определить моменты относительно осей Решение задач по теоретической механике силы Решение задач по теоретической механике изображенной на рисунке. Сила Решение задач по теоретической механике приложенная в точке А, лежащей на оси у, образует с плоскостью Решение задач по теоретической механике угол 30°, причем ее проекция на эту плоскость образует с осью у угол ОАС, равный 45°; ОА = а.

Решение:

Как и в предыдущей задаче, находим без труда моменты силы Решение задач по теоретической механике относительно осей Решение задач по теоретической механике (линия действия силы Решение задач по теоретической механике пересекает ось Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике -модуль проекции силы Решение задач по теоретической механике на плоскость Решение задач по теоретической механике перпендикулярную к оси Решение задач по теоретической механике-Длина перпендикуляра, опущенного из точки О пересечения оси Решение задач по теоретической механике с плоскостью Решение задач по теоретической механике на линию действия силы Решение задач по теоретической механике (Знак момента отрицателен, так как с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело в плоскости Решение задач по теоретической механике вокруг точки О по часовой стрелке.) Итак,

Решение задач по теоретической механике
Труднее найти момент силы F относительно оси x, так как неизвестен угол между силой F и перпендикулярной к оси х плоскостью уz. Здесь целесообразно прибегнуть к приему, упомянутому в обзоре теории, — разложить силуна две составляющие. 

Разложим силу на составляющие Решение задач по теоретической механике (см. рисунок). Таким образом, Решение задач по теоретической механике где Решение задач по теоретической механике

Теперь для определения момента силы относительно оси х применим теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. В данном случае

Решение задач по теоретической механике

Так как линия действия силы Решение задач по теоретической механике пересекает ось х, то Решение задач по теоретической механике Момент силы Решение задач по теоретической механике относительно оси х равен Решение задач по теоретической механике Учитывая, что Решение задач по теоретической механике окончательно получим:

Решение задач по теоретической механике

Для вычисления момента силы Решение задач по теоретической механике относительно оси х можно было также воспользоваться формулой

Решение задач по теоретической механике

где у и х — координаты точки А приложения силы Решение задач по теоретической механике — проекции силы Решение задач по теоретической механике на оси Решение задач по теоретической механикеВ данном случае Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике
Подставив эти значения в формулу (4), получим результат формулы (3), т. е. Решение задач по теоретической механике

Как показывает решение этой задачи, в случаях, когда вычисление момента силы относительно оси обычным приемом затруднительно, следует прибегать к разложению силы на составляющие, с последующим применением теоремы Вариньона, либо к выражениям (3 *) моментов силы относительно осей через проекции силы на эти оси.

Решение задач по теоретической механике

Задача 2.6. Вычислить главные моменты относительно осей Решение задач по теоретической механике у и Решение задач по теоретической механике точки О пространственной системы сил, изображенной на рисунке. Сила Решение задач по теоретической механике лежит на ребре куба, а силы Решение задач по теоретической механике— на диагоналях его боковых граней. Ребро куба а равно 2 м, Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Решение:

Главные моменты системы сил относительно осей равны суммам моментов данных сил относительно этих осей, т. е.

Решение задач по теоретической механике

в данной задаче
Решение задач по теоретической механике
Моменты сил Решение задач по теоретической механике относительно осей Решение задач по теоретической механике имеют следующий вид: Решение задач по теоретической механике (линия действия силы Решение задач по теоретической механике пересекает ось х ), Решение задач по теоретической механике (сила Решение задач по теоретической механике параллельна оси Решение задач по теоретической механике далее,

Решение задач по теоретической механике

(линия действия силы Решение задач по теоретической механике проходит через точку О. т. е. пересекает оси Решение задач по теоретической механике

Внеся эти значения моментов сил в формулы (1), получим:
Решение задач по теоретической механике
или, подставляя численные значения:

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Главные моменты системы сил Решение задач по теоретической механике относительно осей декартовых координат Решение задач по теоретической механике одновременно являются проекциями главного момента Решение задач по теоретической механике относительно начала координат О на соответствующие оси, т. е. Решение задач по теоретической механике Использовав формулы (7*) и (8*), найдем теперь модуль главного момента системы сил относительно точки О и его направляющие косинусы:

Решение задач по теоретической механике

Приведение к одному центру сил, произвольно расположенных в пространстве

Главным вектором Решение задач по теоретической механикесистемы сил называется векторная сумма этих сил, т. е. Решение задач по теоретической механике

Проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора V на оси декартовых координат равны суммам проекций сил на соответствующие оси:

Решение задач по теоретической механике

Модуль главного вектора V и направляющие косинусы определяются по формулам:

Решение задач по теоретической механике

Главный момент Решение задач по теоретической механике пространственной системы сил относительно центра О равен векторной сумме моментов всех сил относительно этого центра:

Решение задач по теоретической механике

Проекции главного момента Решение задач по теоретической механике на оси декартовых координат называются главными моментами Решение задач по теоретической механике соответствующих осей, т. е. Решение задач по теоретической механике

Главные моменты пространственной системы сил Решение задач по теоретической механике относительно осей Решение задач по теоретической механике определяются по формулам (5 *), (6*). Зная Решение задач по теоретической механикеможно определить модуль и направляющие косинусы Решение задач по теоретической механике по формулам (7 *) и (8 *).

В результате приведения сил, произвольно расположенных в пространстве, к одному центру система сил оказывается эквивалентной силе, равной главному вектору V, и паре сил, момент которой векторно равен главному моменту Решение задач по теоретической механике

При перемене астра приведения системы сил главный момент системы, вообще говори, меняется, причем зависимость главного момента пространственной системы сил от выбора контра приведения выражаемся так: главный момент Решение задач по теоретической механике пространственной системы сил относительно нового центра А равен векторной сумме главного момента Решение задач по теоретической механике этой системы сил относительно старого центра О и момента относительно нового центра А силы Решение задач по теоретической механике приложенной и старом центре ОРешение задач по теоретической механике

Статическими инвариантами пространственной системы сил называются такие характеристики этой системы, которые остаются неизменными при перемене центра приведения. Статических инвариантов существует два:

первый статический инвариант — главный вектор V системы сил; в соответствии с определением величина и направление главного вектора V не зависят, от выбора центра приведения:

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике определяются по формулам (9*);

второй статический инвариант — скалярное произведение главного вектора Решение задач по теоретической механике и главного момента Решение задач по теоретической механике — не зависит от выбора центра приведения:

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике определяются соответственно по формулам (9*) и (5*), (6*).

Не следует отождествлять силу V с равнодействующей силой Решение задач по теоретической механике так как равнодействующая Решение задач по теоретической механике — это одна сила, которая эквивалентна данной пространственной системе сил, а сила Решение задач по теоретической механике эквивалентна данной системе сил только в совокупности с парой сил, момент которой равен главному моменту Решение задач по теоретической механике

Различные случаи приведении сил, произвольно расположенных в пространстве

  • а) Главный вектор равен нулю, но главный момент не равен нулю, т. е. Решение задач по теоретической механикеСистема сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту Решение задач по теоретической механике (В этом случае главный момент системы сил то не зависит от выбора центра приведения.)
  • б) Главный вектор не равен пулю, но главный момент равен нулю, т. е. Решение задач по теоретической механике

Система сил приводится к равнодействующей Решение задач по теоретической механике приложенной в центре приведения системы.

1) Главный вектор и главный момент системы не равны нулю и притом взаимно перпендикулярны, т. е.

Решение задач по теоретической механике

Система сил приводится к равнодействующей  Решение задач по теоретической механикелиния действия которой параллельна линии действия силы V и отстоит от нее на расстоянии Решение задач по теоретической механике Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление момента равнодействующей Решение задач по теоретической механике относительно центра приведения О совпадало с направлением главного момента системы сил Решение задач по теоретической механике относительно центра О.

Сила V и равнодействующая Решение задач по теоретической механике равны по модулю, параллельны и отличаются, вообще говоря, только линиями действия (рис. 2.9).

Решение задач по теоретической механике

  • г) Главный вектор и главный момент системы не равны нулю и притом не взаимно перпендикулярны, т. е.

Решение задач по теоретической механике
Система сил приводится к динаме (силовому винту) — совокупности силы V и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе.

Линия действия силы V называется центральной осью. Центральная ось является геометрическим местом центров приведения, для которых главный момент Решение задач по теоретической механике имеет наименьшее значение и направлен вдоль этой оси (рис. 2.10). Уравнения центральной оси имеют вид

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике имеют прежние значения, Решение задач по теоретической механике — текущие координаты.

  • д) Главный вектор и главный момент системы равны нулю, т. е. Решение задач по теоретической механике

Твердое тело, к которому приложена данная пространственная система сил, находится в равновесии.

Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил. Для равновесия твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех данных сил на произвольно выбранные оси декартовых координат Решение задач по теоретической механике и суммы моментов всех сил относительно этих осей равнялись нулю:

Решение задач по теоретической механике

Первые три уравнения называются уравнениями проекций; они обеспечивают равенство нулю главного вектора V. Три последних уравнения называются уравнениями моментов; они обеспечивают равенство нулю главного момента Решение задач по теоретической механике

В случае произвольной пространственной системы сил задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более шести.

В случае равновесия твердого тела с одной неподвижной точкой, например со сферическим шарниром (рис. 2.1]), система активных сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через неподвижную точку. Три проекции реакции неподвижной точки Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике на оси декартовых координат определяются из уравнений (12*).

Из уравнений моментов (13*) могут быть определены неизвестные величины трех активных сил (напомним, что активными называются все силы, не являющиеся реакциями связей).

В случае равновесия твердого тела с двумя закрепленными точками, например с двумя сферическими шарнирами или двумя подпятниками (рис. 2.12), можно определить величины четырех составляющих опорных реакций Решение задач по теоретической механике перпендикулярных к оси, проходящей через неподвижные точки. Величины составляющих опорных реакций Решение задач по теоретической механике направленных вдоль этой оси, не могут быть в отдельности определены. Можно найти только их сумму Решение задач по теоретической механике Если одна из опор выполнена в виде подшипника В (рис. 2.13), допускающего перемещение вдоль оси Решение задач по теоретической механике то отсутствует составляющая реакция Решение задач по теоретической механике И этом случае из уравнений равновесия можно определить величины пяти составляющих опорных реакций Решение задач по теоретической механике и величину одной активной силы.

Решение задач по теоретической механике

Различные случаи приведения к одному центру параллельных сил в пространстве. Эти силы могут быть приведены:

  • а) к паре сил, если главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю: Решение задач по теоретической механике
  • б) к равнодействующей, если главный вектор не равен нулю, Решение задач по теоретической механике
  • Решение задач по теоретической механике
  • в) к равнодействующей, если главный вектор и главный момент не равны нулю: Решение задач по теоретической механике в случае системы параллельных сил вектор V и вектор Решение задач по теоретической механике всегда взаимно перпендикулярны;
  • г) твердое тело находится в равновесии, если главный вектор и главный момент системы равны нулю: Решение задач по теоретической механике

Уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Решение задач по теоретической механике имеют вид

Решение задач по теоретической механике

Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех.

При решении задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных вначале книги, на стр. 15.

Затем:

  • 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных не более шести;
  • 6) выбрать систему осей декартовых координат;
  • 7) составить шесть уравнений равновесия твердого тела (12*) и (13*).

В случае системы параллельных сил отпадают два уравнения проекций сил на оси, перпендикулярные к силам, и одно уравнение моментов сил относительно оси, параллельной силам. Так, если силы параллельны оси х, то уравнения равновесия имеют вид

Решение задач по теоретической механике

8) решив систему уравнений, составленных в предыдущем пункте, найти неизвестные величины.

Оси декартовых координат рекомендуется выбирать так, чтобы они оказались параллельными либо перпендикулярными к возможно большему числу неизвестных сил, а также чтобы линии действия неизвестных сил пересекали эти оси.

Задача 2.7. На рис. а изображена косозубая шестерня радиуса Решение задач по теоретической механике закрепленная на горизонтальном валу. Вал лежит в двух опорах: упорном подшипнике А и цилиндрическом подшипнике В. В точке К, расположенной в вертикальной плоскости симметрии шестерни, к ее зубу приложено давление Т со стороны другой шестерни, находящейся с ней в зацеплении (на рис. а сила Т и вторая шестерня не изображены). Давление Т разложено на три составляющие Решение задач по теоретической механике которые соответственно параллельны осям координат Решение задач по теоретической механике (начало координат взято в точке А, ось х направлена вдоль вала, ось z — по вертикали вверх, ось у — так, чтобы вместе с осями х и z была образована правая система координат). К валу, вращающемуся равномерно, приложена пара сил с вращающим моментом Решение задач по теоретической механике так, что ее моменты относительно осей равны: Решение задач по теоретической механике

Определить реакции опор А и В и вращающий момент Решение задач по теоретической механике Даны модули составляющих Решение задач по теоретической механикедавления Т на зуб шестерни. Размеры указаны на рисунке. Весом шестерни и вала пренебречь.

Решение:

 Для определения неизвестных реакций опор А и В и вращающего момента Решение задач по теоретической механике рассмотрим равновесие вала с сидящей на нем шестерней. (Под равновесием вала мы понимаем не только покой, но н его равномерное вращение, упомянутое в условии задачи.)

К валу и шестерне приложены следующие активные силы, изображенные на рисунке: три составляющие Решение задач по теоретической механике давления Т и пара сил, момент которой Решение задач по теоретической механике требуется определить (в дайной задаче момент активной нары сил неизвестен).

Связями, наложенными па вал, являются две опоры: упорный подшипник А и подшипник В. Мысленно отбросим связи и компенсируем их действия па вал реакциями. Подшипник В допускает перемещение вала вдоль оси х, поэтому составляющая реакция вдоль оси х отсутствует, и мам остается изобразить лишь две составляющие Решение задач по теоретической механике перпендикулярные к оси вала. (Мы направляем на рис. б эти составляющие в сторону возрастания соответствующих координат. Если в действительности направление какой-либо составляющей противоположно, то ответ окажется отрицательным.) Упорный подшипник А, в отличие от подшипника В, не допускает перемещения вала вдоль оси х. Поэтому в точке А мы изображаем все три составляющиеРешение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикереакции.

Решение задач по теоретической механике
Итак, нам предстоит рассмотреть равновесие свободного вала с шестерней под действием активных сил Решение задач по теоретической механике и пары сил с моментом Решение задач по теоретической механике а также составляющих реакций Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеВсе эти силы образуют пространственную систему сил, для которой надо записать шесть уравнений равновесия. Так как число алгебраических неизвестных также равно шести Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике то задача является статически определенной.

Составим уравнения проекций сил на оси декартовых координат Решение задач по теоретической механике Все силы либо перпендикулярны, либо параллельны этим осям. Поэтому их проекции равны пулю, или величине соответствующей силы. Так, силы Решение задач по теоретической механике и пара сил перпендикулярны к оси х, и, следовательно, их проекции на эту ось равны нулю.

Из проекций на ось х лишь Решение задач по теоретической механике отличны от нуля, причем обе проекции положительны. Итак,

Решение задач по теоретической механике

Диалогично запишем уравнении проекций сил на оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

(Напомним, что проекция пары сил на любую ось рампа пулю, ибо главный вектор пары сил равен нулю.)

Переходим к составлению уравнений моментов сил относительно осей Решение задач по теоретической механике Предварительно заметим, что составление этих уравнений и данной задаче производится достаточно просто. Действительно, линии действия сил параллельны или пересекают оси координат и, значит, имеют моменты, равные нулю, либо силы лежат в плоскостях, перпендикулярных к осям и, следовательно, отпадает необходимость в проектировании этих сил на плоскости, перпендикулярные к осям.

При составлении уравнения моментов сил относительно оси х предварительно заметим, что силы Решение задач по теоретической механике параллельны оси х, а линии действия сил Решение задач по теоретической механике пересекают ось х. Следовательно, их моменты равны пулю. Значит, в уравнение моментов войдут лишь моменты силы Решение задач по теоретической механике и пары сил.

По условию момент нары относительно оси х равен Решение задач по теоретической механике т. е.

Решение задач по теоретической механике

Сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Из точки О пересечения оси с плоскостью опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия Решение задач по теоретической механике Момент положителен, так как с конца оси х видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки. Итак,

Решение задач по теоретической механике

Использовав формулы (4) и (5), запишем уравнение моментов относительно оси х:

Решение задач по теоретической механике

При составлении уравнения моментов относительно оси у заметим, что силы Решение задач по теоретической механике параллельны оси у, а линии действия сил Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике пересекают ось у. Следовательно, моменты их равны нулю. Кроме того, по условию момент пары сил Решение задач по теоретической механике равен нулю. Значит, отличными от нуля являются только моменты сил Решение задач по теоретической механике Все эти силы лежат в плоскости Решение задач по теоретической механике перпендикулярной к оси у. Плоскость Решение задач по теоретической механике пересекается с осью у в точке А. Поэтому из точки А опускаем перпендикуляры на линии действия сил Решение задач по теоретической механике Соответственно получим: Решение задач по теоретической механике Момент силы Решение задач по теоретической механике отрицателен, так как с конца оси у видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки А по часовой стрелке, а моменты сил Решение задач по теоретической механике положительны, ибо они видны противоположно направленными. Итак,

Решение задач по теоретической механике

Приняв во внимание формулы (7), запишем уравнение моментов относительно оси у в виде

Решение задач по теоретической механике

При составлении уравнения моментов относительно оси Решение задач по теоретической механике надо учесть, что силы Решение задач по теоретической механике параллельны оси Решение задач по теоретической механике а линии действия сил Решение задач по теоретической механике пересекают эту ось. Поэтому моменты этих сил относительно оси Решение задач по теоретической механике равны пулю. Кроме того, по условию момент пары сил относительно оси Решение задач по теоретической механике также равен нулю. Значит, в уравнение войдут только моменты сил Решение задач по теоретической механике

Сила Решение задач по теоретической механике лежит в горизонтальной плоскости, перпендикулярной к оси Решение задач по теоретической механике Из точки М пересечения оси Решение задач по теоретической механике с этой плоскостью опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия Решение задач по теоретической механике Момент силы Решение задач по теоретической механике относительно оси Решение задач по теоретической механике отрицателен, так как с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело по часовой стрелке. Значит,

Решение задач по теоретической механике

Сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости Решение задач по теоретической механике перпендикулярной к оси Решение задач по теоретической механике Из точки А пересечения этой плоскости с осью Решение задач по теоретической механике опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия Решение задач по теоретической механике Момент отрицателен, ибо с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки А по часовой стрелке. Итак,

Решение задач по теоретической механике

Приняв во внимание формулы (9) и (10), запишем уравнение моментов сил относительно оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Итак, уравнения равновесия вала с закрепленной на нем шестерней имеют вид

Решение задач по теоретической механике

Теперь переходим к решению этой системы шести уравнений с шестью неизвестными Решение задач по теоретической механике Из уравнения (6) имеем Решение задач по теоретической механике Искомый вращающий момент пары, как и следовало ожидать, оказался отрицательным. Действительно, с конца оси х вращение пары видно в направлении по часовой стрелке. Из уравнения (8) получим:

Решение задач по теоретической механике
Из уравнения (11) находим:
Решение задач по теоретической механике
Теперь, подставив значение Решение задач по теоретической механике в уравнение (2), а Решение задач по теоретической механике в (3), соответственно имеем:

Решение задач по теоретической механике

Наконец, из (1) следует Решение задач по теоретической механике

Значения Решение задач по теоретической механике и оказались отрицательными. Это означает, что направления сил Решение задач по теоретической механике противоположны тем, которые предположительно были" нами указаны на рисунке. Знак Решение задач по теоретической механике может быть выяснен только после подстановки численных значений Решение задач по теоретической механике

Задача 2.8. Багажная полка железнодорожного вагона прикреплена к стене вагона двумя петлями (цилиндрическими шарнирами) А и В и стержнем МS. Стержень, присоединенный шарнирами М и S к полке и стене, образует угол 30° с горизонтальной плоскостью полки.

Определить реакции петель А и В и стержня МS, если вес полки Решение задач по теоретической механике Размеры указаны на рисунке.

Решение:

Для определения искомых реакций петель А и В и стержня MS рассмотрим равновесие полки Решение задач по теоретической механике На полку действует одна активная сила — ее вес Решение задач по теоретической механике приложенный в центре тяжести С полки (в точке пересечения диагоналей прямоугольника Решение задач по теоретической механике(рис. б)).

Применив закон освобождаемости, мысленно отбросим связи, т. е. петли А и В и стержень Решение задач по теоретической механике и компенсируем их действие на полку соответствующими реакциями связей. Реакция Решение задач по теоретической механике стержня направлена вдоль стержня от Решение задач по теоретической механике Сразу указать направление реакций петель А и В мы не можем. Так как, однако, петли — цилиндрические шарниры — не препятствуют перемещению полки вдоль оси АВ, то отсутствуют составляющие реакций вдоль этой оси. Значит, реакции направлены перпендикулярно к оси АВ и каждая из них может быть разложена на две взаимно перпендикулярные доставляющие.

Выбрав начало декартовых осей координат в петле А, изобразим ось х вдоль АВ, ось у по горизонтали направо и ось Решение задач по теоретической механике по вертикали вверх. В соответствии с выбором осей координат изобразим составляющие реакций Решение задач по теоретической механике в петле А и Решение задач по теоретической механике в петле В (см. рис. б).

Итак, полка Решение задач по теоретической механике находится в равновесии под действием активной силы — веса Р и пяти неизвестных сил: Решение задач по теоретической механике Так как все эти силы образуют пространственную систему сил, то число уравнений равновесия равно шести. Значит, задача является

Решение задач по теоретической механике
статически определенной, причем одно из уравнений должно быть зависимым от остальных пяти или тождественно обратиться в нуль.

Займемся составлением уравнений равновесия. Так как все силы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси х, то проекция каждой силы на эту ось равна нулю, и уравнение проекций на ось х обращается в тождество

Решение задач по теоретической механике

Из остальных пяти уравнений равновесия мы сможем определить все пять неизвестных.

При составлении уравнения проекций на ось у заметим, что силы Решение задач по теоретической механике перпендикулярны к оси. Значит, отличными от нуля

являются только проекции сил Решение задач по теоретической механике Силы Решение задач по теоретической механике параллельны оси у и их проекции на эту ось равны Решение задач по теоретической механике а проекция силы Т равна — Решение задач по теоретической механике поэтому уравнение проекций на ось у имеет вид

Решение задач по теоретической механике

Составляя уравнение проекций на ось Решение задач по теоретической механике учтем, что силы Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике перпендикулярны к оси Решение задач по теоретической механике и их проекции равны нулю. Силы Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике и Р параллельны оси Решение задач по теоретической механике и их проекции на эту ось равны Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике и — Р. Наконец, проекция силы Т равна Решение задач по теоретической механике Значит, уравнение проекций на ось Решение задач по теоретической механике имеет вид

Решение задач по теоретической механике

Переходим к составлению уравнений моментов относительно осей Решение задач по теоретической механике Моменты сил Решение задач по теоретической механике относительно оси х равны пулю, так как линии действия этих сил пересекают ось Решение задач по теоретической механике Значит, отличными от нуля являются только моменты относительно оси  Решение задач по теоретической механике

Сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Из точки Е пересечения этой плоскости с осью х опускаем перпендикуляр ЕС на линию действия силы Р. Момент силы Р относительно оси х отрицателен, так как с конца оси х видно, что сила Р стремится повернуть тело вокруг точки Е по часовой стрелке. Итак,

Решение задач по теоретической механике

Сила Т лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Решение задач по теоретической механике Из точки N пересечения этой плоскости с осью х опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия силы Т. Момент силы Т относительно оси х положителен, ибо с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Т стремится повернуть тело вокруг точки N против часовой стрелки. Значит,

Решение задач по теоретической механике

Приняв во внимание формулы (4) и (5), запишем уравнение моментов относительно оси х:

Решение задач по теоретической механике

При составлении уравнения моментов относительно оси у следует учесть, что моменты сил Решение задач по теоретической механике равны нулю (сила Решение задач по теоретической механике параллельна оси у, а линии действия сил Решение задач по теоретической механике пересекают эту ось). Значит, отличными от нуля являются только моменты относительно оси у сил Решение задач по теоретической механике

Сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у. Из точки Решение задач по теоретической механике пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия силы Р. Момент силы Р относительно оси у отрицателен, так как с конца оси у видно, что сила Р стремится повернуть тело вокруг точки Решение задач по теоретической механике по часовой стрелке. Значит,

Решение задач по теоретической механике

Столь же просто определяется момент силы Решение задач по теоретической механике относительно оси у. Действительно, сила Решение задач по теоретической механикележит в плоскости Решение задач по теоретической механике перпендикулярной к оси у. Из точки А пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр АВ на линию действия силы Решение задач по теоретической механике Момент положителен, ибо с конца оси у видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки А против часовой стрелки. Итак,

Решение задач по теоретической механике

Несколько труднее вычислить момент силы Т относительно оси у, так как сила Т не лежит в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Поэтому предварительно спроектируем силу Т на плоскость, проходящую через точку М, перпендикулярно к оси у. Проекцией является сила Решение задач по теоретической механике (напомним, что проекция вектора на плоскость — также вектор). Из точки О пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия силы Решение задач по теоретической механике Так как с конца оси у видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки, то момент силы Т относительно оси у положителен, т. е.

Решение задач по теоретической механике

Теперь, использовав выражения (7), (8) и (9), запишем уравнение моментов относительно оси у:

Решение задач по теоретической механике

Остается составить уравнение моментов относительно оси Решение задач по теоретической механике Сразу отметим, что моменты сил Решение задач по теоретической механике относительно оси Решение задач по теоретической механике равны пулю (силы Решение задач по теоретической механике параллельны оси Решение задач по теоретической механике а линия действия силы Решение задач по теоретической механике пересекает эту ось). Значит, отличными от нуля являются лишь моменты относительно оси Решение задач по теоретической механике сил Решение задач по теоретической механике Сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости Решение задач по теоретической механике перпендикулярной к оси Решение задач по теоретической механике Из точки А пересечения этой плоскости с осью Решение задач по теоретической механике  опускаем перпендикуляр АВ на линию действия силы Решение задач по теоретической механике Так как с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки А по часовой стрелке, то момент ее отрицателен, т. е.

Решение задач по теоретической механике

Для вычисления момента силы Т относительно оси Решение задач по теоретической механикепредварительно найдем проекцию Решение задач по теоретической механике силы Т на плоскость Решение задач по теоретической механике Из точки А пересечения этой плоскости с осью Решение задач по теоретической механике опустим перпендикуляр АN на линию действия силы Решение задач по теоретической механике Момент силы Т относительно оси Решение задач по теоретической механикеположителен, так как с конца оси Решение задач по теоретической механике видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки А против часовой стрелки. Значит,

Решение задач по теоретической механике

Теперь, приняв во внимание формулы (11) и (12), запишем уравнение моментов относительно оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Итак, для определения пяти неизвестных Решение задач по теоретической механике мы составили пять уравнений (2), (3), (6), (10) и (13). Прежде чем перейти к решению этой системы, вычислим модули сил Решение задач по теоретической механике а также длины отрезков (плеч) Решение задач по теоретической механике входящих в уравнения (6), (10) и (13). Имеем: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Обозначим буквой а ширину полки. Тогда

Решение задач по теоретической механике

Кроме того, по условию Решение задач по теоретической механике

Теперь система уравнений (2), (3), (0), (10) и (13) примет вид

Решение задач по теоретической механике

Остается решить эти уравнения.

Из уравнения (10) имеем Решение задач по теоретической механике Подставив это значение Т в уравнения (17) и (18), получим: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеТеперь из уравнений (14) и (15), подставив в них полученные значения Решение задач по теоретической механикенаходим:  Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеЗнаки минус, полученные в ответах для Решение задач по теоретической механике показывают, что направления сил Решение задач по теоретической механике противоположны тем, которые указаны на рис. б.

Составляя уравнения моментов, мы столкнулись с некоторыми трудностями при вычислении моментов силы Т относительно осей у и Решение задач по теоретической механике так как пришлось силу Т проектировать на плоскости, перпендикулярные к этим осям. Этих трудностей можно избежать, направив координатные оси Решение задач по теоретической механике так, чтобы моменты силы Т относительно этих осей равнялись нулю. Для этого возьмем начало координат в точке направим ось Решение задач по теоретической механике вдоль оси Решение задач по теоретической механике а оси Решение задач по теоретической механике — соответственно параллельно осям у и Решение задач по теоретической механике (см. рис. б). Нетрудно видеть, что моменты силы Т относительно осей Решение задач по теоретической механике обратятся в нуль, так как линия действия силы Т пересекает эти оси. Составим уравнения равновесия полки, воспользовавшись осями координат Решение задач по теоретической механике При неизменности уравнений (14), (15) и (16) уравнения (17) и (18) примут вид

Решение задач по теоретической механике

В уравнения (19) и (20) не входит сила Т и поэтому составить их проще, чем уравнения (17) и (18). Однако решение системы уравнений (14)—(18) легче, чем решение системы (14), (15), (16), (19) и (20). Значит, выбрав оси Решение задач по теоретической механике вместо осей Решение задач по теоретической механике мы добились упрощения составления уравнений моментов относительно осей Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике но усложнили решение системы уравнений равновесия. Объем вычислений в обоих случаях примерно одинаков.

Задача 2.9. На рис. а изображена квадратная крышка АВСD грузового люка. Крышка прикреплена посредством сферического шарнира А и петли (подшипника) В. Подняв крышку над горизонтом на угол 30°, ее закрепили с помощью оттяжки , образующей угол 60° с плоскостью крышки.

Определить опорные реакции сферического шарнира A и петли B также реакцию оттяжки DЕ. Вес крышки равен Р.

Решение:

Для определения неизвестных рассмотрим равновесие крышки АВСD.

К крышке приложена одна активная сила — ее вес Р. Точка О приложения силы Р расположена в центре квадратной крышки (рис. б).

На крышку наложены три связи: сферический шарнир А, петля В и оттяжка . Применив закон освобождаемости, мысленно отбросим эти связи и заменим их действие на крышку соответствующими реакциями. Оборвав оттяжку в точке D, направим реакцию Т вдоль нее от D к Е. Сферический шарнир А является неподвижной точкой, поэтому сразу указать направление реакции невозможно, и ее следует заменить тремя взаимно перпендикулярными составляющими. Петля В допускает перемещение вдоль АВ, значит, в этом направлении отсутствует составляющая реакции, т. е. в петле В имеются только две составляющие, перпендикулярные к АВ.

Выберем начало координат в точке В, ось х направим вдоль АВ, ось у — вдоль ВС, а ось Решение задач по теоретической механике — перпендикулярно к плоскости крышки,
Решение задач по теоретической механике
так чтобы она вместе с осями х и у образовала правую систему осей координат (см. рис. 6) В соответствии с этими осями изобразим три составляющие Решение задач по теоретической механике реакции сферического шарнира А и две составляющие  Решение задач по теоретической механике и реакции петли В.

Теперь мы можем рассмотреть равновесие крышки как равновесие свободного твердого тела, находящегося под действием активной силы Р и реакций Решение задач по теоретической механике Все эти силы образуют пространственную систему сил, для которой следует составить шесть уравнений равновесия. Так как число алгебраических неизвестных также равно шести Решение задач по теоретической механике то задача является статически определенной.

Составляя уравнения равновесия, мы столкнемся с трудностями при рассмотрении силы Т, так как нам неизвестны углы, которые образует эта сила с координатными осями х и у. Поэтому разложим силу Т на две составляющие Решение задач по теоретической механике так, чтобы сила Решение задач по теоретической механике лежала в плоскости Решение задач по теоретической механике а сила Решение задач по теоретической механике была к ней перпендикулярна (см. рис. б), т. е. параллельна оси Решение задач по теоретической механике Модули этих сил равны

Решение задач по теоретической механике

Аналогично поступим с силой Р, разложив ее на составляющие силы Решение задач по теоретической механике (сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х; поэтому ее проекция на ось х равна нулю). Для модулей этих сил имеем:

Решение задач по теоретической механике

Впредь при составлении уравнений равновесия мы вместо проекции силы Т на ось будем вычислять сумму проекций сил Решение задач по теоретической механике на эту ось, а вместо момента силы Т относительно оси будем, на основании теоремы Вариньона, вычислять сумму моментов сил Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике относительно соответствующей оси.

Займемся составлением уравнений проекций сил на оси декартовых координат.

Силы Решение задач по теоретической механике перпендикулярны к оси х и проекции их на эту ось равны нулю. Значит, отличными от нуля являются только проекции сил Решение задач по теоретической механике Итак,

Решение задач по теоретической механике

Подставив значение Решение задач по теоретической механике из формулы (1), имеем:

Решение задач по теоретической механике

Силы Решение задач по теоретической механике перпендикулярны к оси у и проекции их на эту ось равны нулю, значит, в уравнение проекций на ось у войдут только проекции сил Решение задач по теоретической механике Итак,

Решение задач по теоретической механике

Подставив значение Решение задач по теоретической механике из формулы (1), получим:

Решение задач по теоретической механике

Силы Решение задач по теоретической механике перпендикулярны к оси Решение задач по теоретической механике и, следовательно, их проекции на эту ось равны нулю, поэтому в уравнение проекций на ось Решение задач по теоретической механике войдут лишь проекции сил Решение задач по теоретической механике Итак,

Решение задач по теоретической механике

Переходим к составлению уравнений моментов относительно осей Решение задач по теоретической механике

Линии действия сил Решение задач по теоретической механике пересекают ось х, поэтому моменты этих сил относительно оси х равны нулю. Отличными от нуля являются только моменты сил Решение задач по теоретической механике

Сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Эта плоскость пересекается с осью х в точке М. Опускаем из точки М перпендикуляр МО на линию действия Решение задач по теоретической механике Момент силы отрицателен, так как с конца оси х видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки М по часовой стрелке. Значит, Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеЕсли длину стороны квадратной крышки мы обозначим буквой а, то Решение задач по теоретической механике Приняв во внимание формулу (2), запишем:

Решение задач по теоретической механике

Заметим, что для вычисления момента силы Р относительно оси х не было нужды в разложении силы Р на составляющие Решение задач по теоретической механике первая из которых дает момент, равный пулю. Действительно, сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х. Из точки М пересечения оси х с этой плоскостью опускаем перпендикуляр ML на линию действия силы Р. Тогда Решение задач по теоретической механике Из треугольника Решение задач по теоретической механике имеем Решение задач по теоретической механике Значит, Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике что соответствует формуле (6). Разложением силы Р на ее составляющие Решение задач по теоретической механике целесообразно будет воспользоваться при вычислении ее моментов относительно осей Решение задач по теоретической механике так как сила Р не лежит в плоскостях, перпендикулярных к этим осям.

Сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Решение задач по теоретической механике Из точки А пересечения этой плоскости с осью х опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия силы Решение задач по теоретической механике Момент положителен, так как с конца оси х видно, что cила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки А против часовой стрелки. Значит, Решение задач по теоретической механике Приняв во внимание формулу (1), имеем:

Решение задач по теоретической механике

Итак, использовав формулы (6) и (7), запишем уравнение моментов относительно оси х:

Решение задач по теоретической механике

При составлении уравнения моментов относительно оси у надо учесть, что линии действия сил Решение задач по теоретической механике пересекают ось у, а линии действия сил Решение задач по теоретической механике параллельны оси у. Поэтому моменты всех этих сил относительно оси у равны нулю. Значит, в уравнение моментов относительно оси у войдут лишь силы: Решение задач по теоретической механике

Сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости хz, перпендикулярной к оси у. Из точки В пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия Решение задач по теоретической механике Момент Решение задач по теоретической механике. отрицателен, ибо с конца оси у видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки В но часовой стрелке. Значит,

Решение задач по теоретической механике

Сила Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у. Из точки К пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия Решение задач по теоретической механике Момент положителен, так как с конца оси у видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки К против часовой стрелки. Итак, Решение задач по теоретической механикеПриняв во внимание формулу (1), имеем:

Решение задач по теоретической механике

СилаРешение задач по теоретической механике лежит в плоскости, перпендикулярной к оси у. Из точки С пересечения этой плоскости с осью у опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия силы Решение задач по теоретической механике Момент отрицателен, ибо с конца оси у видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки С по часовой стрелке. Значит, Решение задач по теоретической механике Приняв во внимание формулу (1), запишем:

Решение задач по теоретической механике

После использования формул (9), (10) и (11) уравнение моментов относительно оси у примет вид

Решение задач по теоретической механике

Остается составить уравнение моментов относительно оси 2. Заметим, что линии действия сил Решение задач по теоретической механике пересекают ось z, а силы Решение задач по теоретической механике параллельны этой оси. Поэтому моменты этих сил относительно оси z равны пулю. Значит, в уравнение моментов войдут только моменты двух сил:Решение задач по теоретической механике

Силы Решение задач по теоретической механике лежат в плоскости xy, перпендикулярной к оси z. Из точки В пересечения плоскости ху с осью г опускаем перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия Решение задач по теоретической механике и перпендикуляр Решение задач по теоретической механике на линию действия Решение задач по теоретической механике Момент силы Решение задач по теоретической механике отрицателен, а Решение задач по теоретической механике положителен, так как с конца оси z видно, что сила Решение задач по теоретической механике стремится повернуть тело вокруг точки В по часовой, а сила Решение задач по теоретической механике — против часовой cрелки. Значит,

Решение задач по теоретической механике

(В формуле (14) учтен результат (2).)

Запишем уравнение моментов относительно оси z, использовав
выражения (13) и (14):

Решение задач по теоретической механике   

Итак, уравнения равновесия крышки имеют вид

Решение задач по теоретической механике
Для определения неизвестных остается решить эту систему шести уравнений с шестью неизвестными.

Из уравнений (8) и (15) непосредственно находим Решение задач по теоретической механике Сложив уравнения (8) и (12), получим Решение задач по теоретической механике Далее из (3) вычислим Решение задач по теоретической механике из (4) — Решение задач по теоретической механике и из (5) — Решение задач по теоретической механике

Приводим ответы: Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Если, решая задачу, мы испытываем затруднения при вычислении моментов относительно осей какой-либо силы, то достаточно выбрать начало координат на линии действия этой силы для того, чтобы эта сила в уравнения моментов не вошла. Так, для того чтобы в данной задаче сила Т не вошла в уравнения моментов, достаточно взять начало координат в точке D приложения силы Т, а осиРешение задач по теоретической механике направить соответственно параллельно осям Решение задач по теоретической механике При этом уравнения проекций на оси Решение задач по теоретической механике будут иметь вид, тождественный уравнениям (3), (4) и (5) проекций на оси Решение задач по теоретической механике Так как линия действия силы Т пересекает оси Решение задач по теоретической механике то эта сила не войдет
в соответствующие уравнения моментов. Поэтому

Решение задач по теоретической механике

Теперь для определения неизвестных надо решить систему уравнений (3), (4), (5), (16), (17) и (18).

Степень трудности составления уравнений моментов (8), (12) и (15) относительно осей Решение задач по теоретической механике и уравнений моментов (16), (17) и (18) относительно осей Решение задач по теоретической механике примерно одинакова. Объем вычислений при решении системы уравнений (3), (4), (5), (8), (12) и (15) и системы (3), (4), (5), (16), (17) и (18) также примерно одинаков.

Если бы и условии данной задачи петля В была заменена сферическим шарниром, то в точке В добавилась бы составляющая реакции Решение задач по теоретической механике алгебраических неизвестных стало бы семь Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике и задача оказалась бы статически не определенной. Если бы одновременно с введением сферического шарнира В оттяжка Решение задач по теоретической механике была заменена силой Т, известной по величине и направлению, то, хотя число неизвестных стало бы равным шести Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике задача осталась бы статически неопределенной. Действительно, выбрав прежние направления осей Решение задач по теоретической механике нетрудно видеть, что Решение задач по теоретической механике войдут только в одно из шести уравнений равновесия — в уравнение (3) проекций на ось х, которое при этом примет вид

Решение задач по теоретической механике

Из этого уравнения можно определить только сумму Решение задач по теоретической механике, а каждое из этих неизвестных найти невозможно. Тем самым подтверждается указание, сделанное в обзоре теории этого пункта, что задача на равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками (в данном случае с двумя сферическими шарнирами) является статически неопределенной.

С учетом того, что в решениях задач 2.7—2.9 дано подробное изложение методики составления уравнений равновесия, в следующих двух задачах эти уравнения составлены без дополнительных пояснений.

Задача 2.10. На рисунке изображен поворотный кран, ось вращения которого имеет две опоры: подпятник А и подшипник В. С помощью троса, переброшенного через блок D при вращении крана вокруг оси АВ происходит подъем либо опускание груза Е, подвешенного к концу троса. Вес крана, приложенный в его центре тяжести С, равен Решение задач по теоретической механике Вес поднимаемого груза Е равен Решение задач по теоретической механике Конструкция крана совмещена с плоскостью рисунка, т. е. лежит в плоскости уz. Ось x направлена на нас. В точке К крепления троса к крану проведены оси Решение задач по теоретической механике соответственно параллельные осям Решение задач по теоретической механике

Наклонная ветвь троса образует с горизонтальной плоскостью Решение задач по теоретической механике угол, равный 60°. Проекция этой ветви троса на плоскость Решение задач по теоретической механике образует с осямиРешение задач по теоретической механике соответственно углы 120° и 30° (см. рисунок).

Определить опорные реакции подпятника А и подшипника В, а также величину вращающего момента Решение задач по теоретической механике который надо приложить к крану вокруг оси вращения z для того, чтобы он находился в равновесии; Решение задач по теоретической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие крана, к которому приложена одна активная сила — его вес Решение задач по теоретической механике приложенный в центре тяжести С крана, а также искомый вращающий момент Решение задач по теоретической механике На кран наложены связи: подпятник А, подшипник В и трос, прикрепленный к крану в точке К. Так как подпятник А является неподвижной точкой, то его реакцию Решение задач по теоретической механике представляем тремя составляющими Решение задач по теоретической механике Подшипник В допускает перемещение вдоль оси вращения z, поэтому здесь отсутствует составляющая реакции, лежащая на оси, и следует ввести только две боковые составляющие Решение задач по теоретической механике Оборвав трос возле точки крепления К, направляем его реакцию Т вдоль троса. Здесь часто совершают грубую ошибку, изображая вместо силы Т вес Решение задач по теоретической механике груза Е, приложенный в точке Е и направленный по вертикали вниз. Надо мысленно рассечь трос вблизи точки крепления К и заменить отброшенный трос реакцией Т, направленной по тросу.

Решение задач по теоретической механике

Из условия равновесия груза Е находим Решение задач по теоретической механике

Теперь рассмотрим равновесие крапа под действием вращающего момента Решение задач по теоретической механике и сил: Решение задач по теоретической механике

Число неизвестных равно шести Решение задач по теоретической механике и задача является статически определенной.

Составление уравнений равновесия затруднено пространственным положением силы Т, поэтому предварительно разложим силу Т на три составляющие Решение задач по теоретической механике параллельные осям Решение задач по теоретической механике Модули их равны
Решение задач по теоретической механике

Использовав (1), находим:

Решение задач по теоретической механике

Теперь составим уравнения равновесия крана:

Решение задач по теоретической механике

Учитывая при решении системы значения Решение задач по теоретической механике а также численные данные, находим:

Решение задач по теоретической механике

Допустим, что условие этой задачи изменено: искомый вращающий момент Решение задач по теоретической механике задан, а вместо подшипника В имеется подпятник. Тогда в точке В добавляется неизвестная составляющая реакции Решение задач по теоретической механике Видоизмененная задача оказывается статически неопределенной, хотя при этом число алгебраических неизвестных остается равным числу уравнений, т. е. шести Решение задач по теоретической механике Действительно, Решение задач по теоретической механике входят только в уравнение проекций на ось Решение задач по теоретической механике которое принимает вид

Решение задач по теоретической механике

Из этого уравнения можно определить только сумму Решение задач по теоретической механике а каждое из этих неизвестных найти невозможно.

Полученный результат подтверждает указание, сделанное в обзоре теории этого пункта, что задача на равновесие твердого тела с двумя закрепленными точками (в данном случае подпятниками А и В), несмотря на соответствие числа неизвестных числу уравнений, является статически неопределенной.

Задача 2.11. Однородный стержень АВ весом Р, образующий с иолом угол 45°, упирается концом А в негладкий плинтус комнаты (рис. а), а концом В в гладкую вертикальную стену. В точке В к стержню прикреплен горизонтальный трос ВЕ.

Проверить, может ли стержень оставаться в равновесии, а также определить реакции плинтуса, стены и троса, если коэффициент трения скольжения о плинтус Решение задач по теоретической механике а угол ОАD равен 30°. Оси Решение задач по теоретической механике изображены на рисунке.

Решение:

Стержень не мог бы оставаться в равновесии, если бы плинтус был гладким. В этом случае конец стержня А начал бы скользить вдоль плинтуса. Равновесие возможно лишь при наличии силы трения Решение задач по теоретической механике направленной противоположно возможному движению, т. е. от к О, причем модуль силы трения должен быть меньше или равен его наибольшей величине:

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике—коэффициент трения скольжения, а Решение задач по теоретической механике — модуль нормальной реакции плинтуса. В случае невыполнения условия (1) стержень придет в движение.

Решение задач по теоретической механике
К cтержню приложена одна активная сила — его вес Р (рис. б). Так как по условию стена является гладкой, то ее реакция Решение задач по теоретической механике перпендикулярна к плоскости стены, т. е. параллельна оси х. Реакция Т троса направлена от В к Е. О направлении силы трения Решение задач по теоретической механике было указано выше. Нормальная реакция Решение задач по теоретической механике плинтуса расположена в плоскости Решение задач по теоретической механике но направление ее пока неизвестно. Поэтому разложим силу Решение задач по теоретической механике на две взаимно перпендикулярные составляющие Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Задача является статически определенной, ибо число неизвестных равно пяти: Решение задач по теоретической механике

Обозначив длину стержня через Решение задач по теоретической механике составим пять уравнений равновесия:

Решение задач по теоретической механике

Решая систему уравнений (3)—(7), найдем Решение задач по теоретической механике из (5), Т из (6), Решение задач по теоретической механике из (7); затем получим Решение задач по теоретической механике из (3) и Решение задач по теоретической механике из (4). Итак, искомые силы по модулю равны

Решение задач по теоретической механике

Остается проверить, может ли стержень оставаться в равновесии. В соответствии с формулой (2) запишем:

Решение задач по теоретической механике

Внеся значения Решение задач по теоретической механике из (8) в формулу (9), найдем:

Решение задач по теоретической механике

Подставив в неравенство (1) значения Решение задач по теоретической механике из (8) и (10), при Решение задач по теоретической механике получим:

Решение задач по теоретической механике

Так как условие (1) выполнено, то стержень находится в равновесии.

В заключение вычислим наименьшее значение коэффициента трения скольжения Решение задач по теоретической механике при котором стержень будет оставаться в равновесии. Отбросив в формуле (1) знак неравенства, найдем:

Решение задач по теоретической механике

Если бы по условию коэффициент трения скольжения был меньше чем 0,41, то стержень не мог бы остаться в равновесии и качал бы двигаться.

Рекомендуем решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, издания 1950 г. и последующих лет: 24(5, 254, 257, 262, 264, 265, 267, 268, 271, 272, 276, 277, 278.

Приведение произвольной пространственной системы сил к простейшему виду

Приведение произвольной пространственной системы сил к простейшему виду рекомендуется выполнять в следующем порядке:

  • 1)    выбрать оси декартовых координат;
  • 2)    взять центр приведения системы сил в начале координат О;
  • 3)    вычислить проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора V системы сил но формулам (9*);
  • 4)    определить модуль главного вектора V и направляющие косинусы по формулам (10*) и (11*), причем
  • Решение задач по теоретической механике
  • 5)    найти главные моменты Решение задач по теоретической механике системы сил относительно осей Решение задач по теоретической механике по формулам (5*), (6*);
  • 6) определить модуль главного момента Решение задач по теоретической механике и его направляющие косинусы по формулам (7*) и (8*), причем

Решение задач по теоретической механике

  • 7) выяснить, к какому простейшему виду приводится заданная система сил:
  • а)    если Решение задач по теоретической механике то твердое тело, к которому приложена данная система сил, находится в равновесии;
  • б)    если Решение задач по теоретической механике то система сил приводится к паре сил с моментом Решение задач по теоретической механике
  • в)    если Решение задач по теоретической механике то система сил приводится к равнодействующей Решение задач по теоретической механике Уравнения линии действия равнодействующей в этом случае будут:
  • Решение задач по теоретической механике
  • где Решение задач по теоретической механике — проекции главного вектора V, определенные в третьем пункте, Решение задач по теоретической механике — текущие координаты линии действия равнодействующей;
  • г)    если Решение задач по теоретической механике то следует выяснить, не являются ли V и Решение задач по теоретической механике взаимно перпендикулярными.

В случае взаимной перпендикулярности V и Решение задач по теоретической механике их скалярное произведение Решение задач по теоретической механике равно нулю. Поэтому надо проверить, выполняется ли равенство

Решение задач по теоретической механике

Если равенство имеет место, то система сил приводится к равнодействующей Решение задач по теоретической механике Уравнения линии действия равнодействующей Решение задач по теоретической механике в этом случае имеют вид

Решение задач по теоретической механике

Если равенство Решение задач по теоретической механике не имеет места, то главный вектор V и главный момент Решение задач по теоретической механике не взаимно перпендикулярны и система сил приводится к динаме. Уравнения центральной оси также определяются по формулам (16*).

Главный вектор Решение задач по теоретической механике динамы определен в четвертом пункте. Главный момент Решение задач по теоретической механике динамы для центров приведения, взятых на центральной оси, лежит на этой оси. Его проекцию на центральную ось (минимальный момент) следует определить по формуле

Решение задач по теоретической механике

При приведении пространственной системы сил к простейшему виду оси декартовых координат следует выбрать так, чтобы возможно большее число сил оказалось параллельно либо перпендикулярно к этим

осям, а также чтобы линии действия сил в возможно большем числе пересекали эти координатные оси.

Задача 2.12. Пространственная система сил была приведена к центру О, взятому в начале координат системы Решение задач по теоретической механике В результате приведения были получены: сила Решение задач по теоретической механике и пара сил, момент которой векторно равен главному моменту системы Решение задач по теоретической механике причем Решение задач по теоретической механике

Определить силу и пару сил, к которым приведется данная система сил, если за центр приведения принять точку А, лежащую на оси у и отстоящую от начала координат на расстоянии Решение задач по теоретической механике (рис. а).

Решение:

При приведении пространственной системы сил к новому центру сила остается равной главному вектору V, а главный момент меняется в соответствии с формулой

Решение задач по теоретической механике

Поэтому строим в точке А силу Решение задач по теоретической механике Затем переносим Решение задач по теоретической механике в точку А и изображаем момент относительно нового центра А силы V, приложенной в старом центре О, т. е. Решение задач по теоретической механике Так как Решение задач по теоретической механике надо направить перпендикулярно к плоскости, проходящей через Решение задач по теоретической механике и точку А, т. е- к плоскости Решение задач по теоретической механике и притом так, чтобы с конца его сила Решение задач по теоретической механике была видна направленной вокруг центра А против часовой стрелки, то вектор Решение задач по теоретической механике параллелен оси х, но направлен в противоположную сторону (рис. а). При этом Решение задач по теоретической механике

Итак, для определения главного моментаРешение задач по теоретической механике относительно нового центра А надо, следуя формуле (1), сложить векторы Решение задач по теоретической механике приложенные в точке А, т. е.

Решение задач по теоретической механике

На рис. а вектор Решение задач по теоретической механике получаем как диагональ параллелограмма, построенного на векторах Решение задач по теоретической механике

Из найденного результата Решение задач по теоретической механикеследует, что Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеТаким образом, главный момент Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

по модулю равен Решение задач по теоретической механике Направляющие косинусы определяем по формулам:

Решение задач по теоретической механике
откуда

Решение задач по теоретической механике

Эту задачу можно решить, не прибегая к формуле (1) — зависимости между главными моментами пространственной системы сил, определенными относительно двух центров.

Можно построить в центре А две уравновешивающиеся силы Решение задач по теоретической механике (рис. б). Тогда сила V оказывается приведенной к центру А, но при этом добавляется присоединенная пара в составе сил: V, приложенной в точке О, и V', приложенной в точке А. Момент этой присоединенной пары Решение задач по теоретической механике перпендикулярен к плоскости пары, т. е. к плоскости Решение задач по теоретической механике причем с его конца приложенная пара видна направленной против часовой стрелки, т. е. параллельно оси Решение задач по теоретической механике но в сторону, противоположную положительному направлению этой

оси. По модулю Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеНетрудно заметить, что Решение задач по теоретической механике (из первого варианта решения задачи) векторно равны, т. е. Решение задач по теоретической механике Для определения главного момента относительно центра А остается сложить  Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеоткуда находим значение Решение задач по теоретической механике полученное в первом варианте решения задачи.

Оба метода решения задачи по объему вычислений примерно равноценны.

Задача 2.13. На рисунке изображена пирамида АОВС, две боковые грани которой расположены в координатных плоскостях Решение задач по теоретической механике а основание лежит в плоскости Решение задач по теоретической механике Ребра АВ и АС образуют с ребром — высотой АО — углы 30°. К пирамиде приложена система пяти сил. Силы Решение задач по теоретической механике 

Решение задач по теоретической механике

направлены по ребрам АВ и АС, силы Решение задач по теоретической механике — вертикальны, а линия действия силы Решение задач по теоретической механике совмещена с высотой Решение задач по теоретической механике основания Решение задач по теоретической механике

Определить модули сил Решение задач по теоретической механике если пирамида находится в равновесии. Дано: Решение задач по теоретической механике

Решение:

Примем за центр приведения начало координат О. При равновесии пирамиды главный вектор V и главный момент Решение задач по теоретической механике системы сил, приложенных к пирамиде, равны нулю: Решение задач по теоретической механике Так как по модулю

Решение задач по теоретической механике

то

Решение задач по теоретической механике

Вычислим проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора V по формулам:

Решение задач по теоретической механике
В данном случае получим:

Решение задач по теоретической механике
Вычислим главные моменты Решение задач по теоретической механике относительно осей Решение задач по теоретической механике по формулам:

Решение задач по теоретической механике

Введя обозначения: Решение задач по теоретической механике для данной системы сил имеем:

Решение задач по теоретической механике
Приняв во внимание условия (1), запишем (2)— (6) в виде

Решение задач по теоретической механике

Так как по условию Решение задач по теоретической механике то из уравнений (11) и (12) находим Решение задач по теоретической механике а из уравнения (8) получим Решение задач по теоретической механике При этих значениях Решение задач по теоретической механике уравнения (9) и (10) тождественно обращаются в нуль.

Итак, пирамида АОВС находится в равновесии под действием дайной системы пяти сил при условии:

Решение задач по теоретической механике

Задача 2.14. Привести к простейшему виду систему сил Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеприложенных к вершинам С, В и Е куба, ребро которого равно аРешение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике Направления сил указаны на рис. а.

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Направляем оси Решение задач по теоретической механике вдоль ребер куба (рис. а). Определим проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора V на оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Подставив значения модулей данных сил, имеем:

Решение задач по теоретической механике

Следовательно, главный вектор V системы сил равен нулю. Переходим к определению главного момента Решение задач по теоретической механике Находим сначала главные моменты Решение задач по теоретической механике системы сил относительно осей Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Подставив значения модулей данных сил, имеем:

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, главный момент Решение задач по теоретической механике а его модуль Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Итак, данная система сил оказалась приведенной к силе Решение задач по теоретической механике и паре сил с моментом Решение задач по теоретической механике изображенным на рис. б (пара сил расположена в плоскости, перпендикулярной к Решение задач по теоретической механике так что пара с конца Решение задач по теоретической механике видна направленной против часовой стрелки).

Задача 2.15. Привести к простейшему виду систему сил Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике приложенных в вершинах А, К и С прямоугольного параллелепипеда Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Определяем проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора V на оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Подставив значения модулей сил, получим:

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, главный вектор Решение задач по теоретической механике а его модуль Решение задач по теоретической механике

Найдем теперь главные моменты Решение задач по теоретической механике данной системы сил относительно осей Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

или, подставив значения модулей сил, имеем:

Решение задач по теоретической механике

Следовательно, главный момент Решение задач по теоретической механике относительно центра О равен нулю.

Так как главный момент системы оказался равным нулю, то сила V является равнодействующей Решение задач по теоретической механике т. е. система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О, причем

Решение задач по теоретической механике

Теперь найдем уравнения линии действия равнодействующей но формуле (15*). Воспользовавшись формулами (1), получим уравнение линии действия равнодействующей в виде
Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Задача 2.16. Привести к простейшему виду систему сил, изображенных на рис. а. Силы приложены к вершинам куба, ребро которого равно а; Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике
 

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Оси декартовых координат Решение задач по теоретической механике изображены на рис. а. Определяем проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора V на оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Подставив значения модулей данных сил, имеем:

Решение задач по теоретической механике

откуда главный вектор

Решение задач по теоретической механике

а его модуль

Решение задач по теоретической механике

Определяем главные моменты Решение задач по теоретической механике системы сил относительно осей Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Подставив значения модулей данных сил, получим:

Решение задач по теоретической механике

Следовательно, главный момент относительно центра О

Решение задач по теоретической механике

а его модуль

Решение задач по теоретической механике

В соответствии с формулами (2) и (5) на рис. б изображены сила V и главный момент Решение задач по теоретической механике системы сил.

Так как V и Решение задач по теоретической механике оказались взаимно перпендикулярными, то систему сил можно привести к равнодействующей Решение задач по теоретической механике причем Решение задач по теоретической механике Найдем уравнения линии действия равнодействующей по формулам (16*). Воспользовавшись формулами (1) и (4), запишем (16*) в виде

Решение задач по теоретической механике
откуда Решение задач по теоретической механике т. е. линия действия равнодействующей Решение задач по теоретической механике лежит в плоскости Решение задач по теоретической механике параллельна оси Решение задач по теоретической механике и отстоит от нее на расстоянии Решение задач по теоретической механике (рис. б).

Положение линии действия равнодействующей Решение задач по теоретической механике можно было определить, не пользуясь уравнением (7). На рис. в изображены сила V и главный момент Решение задач по теоретической механике приложенные в точке О. Так как главный момент Решение задач по теоретической механике лежит на оси у, то пара сил, соответствующая главному моменту Решение задач по теоретической механике, расположена в плоскости, перпендикулярной к Решение задач по теоретической механике, т. е. в плоскости Решение задач по теоретической механике так, что с конца Решение задач по теоретической механике пара видна направленной против часовой стрелки. Одну из сил Решение задач по теоретической механике входящих в состав пары, изображаем противоположно V, причем Решение задач по теоретической механике Тогда линия действия второй силы V, входящей в состав пары сил, должна отстоять от линии действия первой силы на расстоянии Решение задач по теоретической механике Так как Решение задач по теоретической механике Итак, система сил оказалась приведенной к трем силам: силам V и V', приложенным в точке О, и силе V, приложенной в точке М. Первые две силы уравновешиваются, и их можно отбросить. Поэтому система сил приводится к одной силе V, приложенной в точке М, которая, следовательно, является равнодействующей Решение задач по теоретической механике Линия действия равнодействующей  Решение задач по теоретической механике параллельна оси Решение задач по теоретической механике и отстоит от нее на расстоянии Решение задач по теоретической механике (рис. в).

Следует иметь в виду, что общим приемом определения уравнений линии действия равнодействующей  Решение задач по теоретической механике является применение формулы (7).

Задача 2.17. Привести к простейшему виду систему, состоящую из двух скрещивающихся сил Решение задач по теоретической механике изображенных на рис. а;Решение задач по теоретической механике Сила Решение задач по теоретической механике параллельна оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике
 

Решение:

Принимаем за центр приведения точку О. Подобно решению предыдущих задач, определяем проекции Решение задач по теоретической механике главного вектора V на оси Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Учитывая, что Решение задач по теоретической механике имеем:

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, главный вектор

Решение задач по теоретической механике

а его модуль

Решение задач по теоретической механике

Найдем теперь главные моменты Решение задач по теоретической механике системы сил относительно осей Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Так как Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Таким образом, главный момент

Решение задач по теоретической механике

а его модуль

Решение задач по теоретической механике

Итак, система скрещивающихся сил приведена к изображенным на рис. б силе Решение задач по теоретической механике и паре сил, момент которой равен главному моменту относительно центра О, т. е. Решение задач по теоретической механике

В данном случае отсутствие перпендикулярности векторов V и Решение задач по теоретической механике очевидно. В более сложных задачах можно воспользоваться скалярным произведением Решение задач по теоретической механике которое в случае взаимной перпендикулярности векторов Решение задач по теоретической механике должно обратиться в нуль. В нашей задаче, воспользовавшись формулами (2) и (6), получим Решение задач по теоретической механике Итак, векторы Решение задач по теоретической механике не взаимно перпендикулярны. Это значит, что система сил приводится к динаме.

Найдем уравнения центральной оси по формуле (16*). Эти уравнения в данном случае, если принять во внимание формулы (2) и (6), имеют вид
Решение задач по теоретической механике

Таким образом, центральная ось лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Решение задач по теоретической механике отстоит от нее на расстоянии Решение задач по теоретической механике и параллельна биссектрисе Решение задач по теоретической механике

Остается определить главный момент Решение задач по теоретической механике относительно центров приведения, лежащих на центральной оси. Как известно, вектор Решение задач по теоретической механике лежит на центральной оси. Его проекция на направление главного вектора определяется по формуле (17*).

Использовав равенства (2), (4) и (6), получим:
Решение задач по теоретической механике

Главный момент Решение задач по теоретической механике изображен на рис. в.

Итак, данная система скрещивающихся сил оказалась приведенной к динаме, т. е. к силе Решение задач по теоретической механике и паре сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к Решение задач по теоретической механике Проекция момента Решение задач по теоретической механике этой пары

на направление главного вектора V (минимальный момент) определяется формулой (10).

Эту задачу можно было решить с помощью простых построений, минуя метод проекций. Изобразив на рис. г заданные силы Решение задач по теоретической механике приведем их к одному центру. Выбрав за центр приведения точку А приложения силы Решение задач по теоретической механике построим в точке А две уравновешивающиеся силы Решение задач по теоретической механике Находим силу V как сумму сил Решение задач по теоретической механике приложенных в точке А. Так как Решение задач по теоретической механике взаимно перпендикулярны и по модулю равны, то модуль силы V равен Решение задач по теоретической механике  (в данном случае параллелограмм сил превратился в квадрат, параллельный плоскости Решение задач по теоретической механике а сила V параллельна биссектрисе MN).

При приведении силы Решение задач по теоретической механике к центру А добавилась присоединенная пара в составе силы Решение задач по теоретической механике приложенной в точке О, и силы Решение задач по теоретической механике приложенной в точке А. Плечо пары ОА равно а (рис. г). Так как присоединенная пара сил лежит в плоскости Решение задач по теоретической механике то момент этой пары, являющийся главным моментом Решение задач по теоретической механике направлен перпендикулярно к плоскости Решение задач по теоретической механике т. е. параллелен оси х. По модулю: Решение задач по теоретической механике

Разложим главный момент Решение задач по теоретической механике на две составляющие: Решение задач по теоретической механике где вектор Решение задач по теоретической механике совпадает с направлением главного вектора Решение задач по теоретической механике перпендикулярен к главному вектору. Нетрудно видеть, что параллелограмм моментов, являющийся в данном случае квадратом, также лежит в плоскости, параллельной плоскости Решение задач по теоретической механике Находим:

Решение задач по теоретической механике

Вектор Решение задач по теоретической механике от выбора центра приведения не зависит. От вектора Решение задач по теоретической механике перпендикулярного к силе V, можно избавиться посредством перехода к новому центру приведения. Для этого построим пару сил, соответствующую моменту Решение задач по теоретической механике Одну из сил, входящих в пару, обозначим Решение задач по теоретической механике и направим так, чтобы она уравновешивалась с силой V. Тогда плечо АВ пары расположится по оси у и в точке В окажется приложенной вторая сила V, входящая в состав пары с моментом Решение задач по теоретической механике (напоминаем, что эта пара сил должна лежать в плоскости, перпендикулярной к Решение задач по теоретической механике и притом ее следует изобразить так, чтобы с конца Решение задач по теоретической механике эта пара была видна направленной против часовой стрелки). Плечо пары АВ

вычисляется без труда: Решение задач по теоретической механике откуда Решение задач по теоретической механике Так как  Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Силы V и V', приложенные в точке А, уравновешиваются, и их можно отбросить. Теперь система сил оказалась приведенной к силе V, приложенной в точке В, и паре сил с моментом Решение задач по теоретической механике который можно параллельно перенести и направить вдоль силы V. Линия действия силы V, приложенной в точке В, является центральной осью,

параллельной биссектрисе Решение задач по теоретической механике Так как Решение задач по теоретической механике

Окончательно Решение задач по теоретической механике что совпадает с результатами,

порченными в первом варианте решения задачи.

Следует иметь в виду, что метод непосредственных построений, примененный во втором варианте решения этой задачи, может быть успешно использован только в простейших случаях. Так, при равных по модулю силах Решение задач по теоретической механике все углы, получившиеся при построениях, оказались равными 45°. Если бы мы несколько усложнили задачу, взяв не равные по модулю силы Решение задач по теоретической механике то определение положения центральной оси оказалось бы довольно затруднительным.

В этом случае целесообразно пользоваться уравнениями центральной оси (16*).

Применив формулы (1) и (6), мы бы получили: Решение задач по теоретической механике

откуда Решение задач по теоретической механике (отсюда при условии данной задачи Решение задач по теоретической механике

имеем Решение задач по теоретической механике ) т. е. центральная ось лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости Решение задач по теоретической механике и отстоит от нее на расстоянии Решение задач по теоретической механике

Рекомендуем решить следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, издания 1950 г. и последующих лет: 232, 234, 236, 237, 240, 241.

Центр тяжести

Дана система параллельных сил Решение задач по теоретической механике которые приводятся к равнодействующей. Будем считать точки приложения сил фиксированными.

Центром параллельных сил называется точка приложения равнодействующей силы, обладающая тем свойством, что при повороте всех параллельных сил на один угол, с сохранением их параллельности, равнодействующая поворачивается вокруг центра параллельных сил С на тот же угол.

Координаты центра параллельных сил даются формулами:

Решение задач по теоретической механике

здесь Решение задач по теоретической механике — координаты точки приложения силы Решение задач по теоретической механике где Решение задач по теоретической механике В этих формулах Решение задач по теоретической механике — величина силы, а Решение задач по теоретической механике— проекция силы Решение задач по теоретической механике на ось, параллельную силам. При этом проекция силы считается положительной, если направления силы Решение задач по теоретической механике и параллельной оси совпадают, и отрицательной, если направления силы Решение задач по теоретической механике и параллельной оси противоположны.

Если твердое тело находится вблизи поверхности земли, то к каждой материальной частице этого тела приложена сила тяжести (считаем, что материальные частицы распределены в твердом теле непрерывно). Эти силы тяжести приближенно образуют систему параллельных сил (линии действия сил тяжести двух материальных частиц, лежащих на земной поверхности и отстоящих друг от друга на расстоянии 31 м, образуют угол, равный одной секунде).

Центр параллельных сил тяжести Решение задач по теоретической механике называется центром тяжести С твердого тела, а сумма сил тяжести всех его материальных частиц называется весом Р твердого тела:

Решение задач по теоретической механике

Координаты Решение задач по теоретической механике центра тяжести С твердого тела даются приближенными формулами:

Решение задач по теоретической механике

Эти формулы являются приближенными, так как координаты Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеточки приложения веса Решение задач по теоретической механике материальной частицы определяются с точностью до размеров этой частицы.

Положение центра тяжести С твердого тела по отношению к его материальным частицам не зависит от состояния твердого тела.

Впредь будут рассматриваться однородные твердые тела, для которых удельный вес всех их материальных частиц постоянен.

Координаты Решение задач по теоретической механике центра тяжести С однородного тела приближенно имеют вид

Решение задач по теоретической механике

Здесь Решение задач по теоретической механике материальной частицы, Решение задач по теоретической механике — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, V—объем твердого тела: Решение задач по теоретической механике Для повышения точности результата подсчета следует разбивать твердое тело на материальные частицы возможно меньшего объема.

Координаты Решение задач по теоретической механике центра тяжести С однородной поверхности приближенно даются формулами:

Решение задач по теоретической механике

Здесь Решение задач по теоретической механике — площадь поверхности Решение задач по теоретической механике материальной частицы, Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, S — площадь поверхности твердого тела:

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

В случае однородной пластинки, расположенной в плоскости хy (рис. 2.14) формулы (2*) принимают вид

Решение задач по теоретической механике
Здесь суммы Решение задач по теоретической механике называются статическими моментами площадиРешение задач по теоретической механике   — статический момент площади однородной плоской фигуры относительно оси Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике — статический момент площади однородной плоской фигуры относительно оси х.

Если центр тяжести С однородной плоской фигуры лежит на некоторой оси, то статический момент площади относительно этой оси равен нулю. Например, если центр тяжести С лежит на оси х, то

Решение задач по теоретической механике
Координаты Решение задач по теоретической механике центра тяжести С однородной линии приближенно имеют вид

Решение задач по теоретической механике

Здесь Решение задач по теоретической механике — длина Решение задач по теоретической механике материальной частицы, Решение задач по теоретической механике — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, L — длина тела (например, проволоки): Решение задач по теоретической механике В случае плоской кривой, лежащей в плоскости xy, координатаРешение задач по теоретической механике

В тех случаях, когда объемы, площади или длины каждой частицы, а также их центры тяжести могут быть определены точно, формулы (1*), (2*), (3*) дают не приближенные, а точные значения координат центра тяжести всего тела. Если же упомянутые выше величины не могут быть определены точно, то читатель, владеющий методами интегрального исчисления, может вместо приближенных формул (1*), (2*), (3*) и (4*) пользоваться точными формулами:

а) в случае однородного твердого тела

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике (интегрирование распространено по всему объему твердого тела);

б) в случае однородной поверхности

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике (интегрирование распространено по всей поверхности твердого тела);

в) в случае однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

Решение задач по теоретической механике
г) в случае однородной линии

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике (интегрирование распространено по всей длине тела).

Если линия является плоской и лежит в плоскости xy, то Решение задач по теоретической механике

Если в однородном твердом теле имеется плоскость симметрии, то центр тяжести С лежит в этой плоскости. Если же в теле имеется ось симметрии, то центр тяжести С лежит на этой оси.

Иногда для определения положений центров тяжести линий и площадей плоских фигур пользуются теоремами Гульдина.

Первая теорема Гульдина. Площадь боковой поверхности тела вращения (рис. 2.15), описанной плоской кривой (АВ), вращающейся вокруг оси (у), расположенной в плоскости кривой и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги L на длину окружности Решение задач по теоретической механике, описываемой центром тяжести С дуги: Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

Вторая теорема Гульдина. Объем тела вращения (рис. 2.16), описанного плоской фигурой, вращающейся вокруг оси (y) расположенной в плоскости этой фигуры и не пересекающей ее контура, равен произведению площади фигуры S на длину окружности описанной ее центром тяжести С, т. е. Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике


Положения центров тяжести некоторых твердых тел простейшей геометрической формы:

  • а) центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке пересечения его диагоналей;
  • б) центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан;
  • в) центр тяжести дуги однородной окружности (рис. 2.17) находится на оси симметрии, и его положение определяется координатами:
  • Решение задач по теоретической механике — радиус окружности, а —половина центрального угла;
  • г) центр тяжести площади однородного кругового сектора (рис. 2.18) расположен на оси симметрии и имеет координаты: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике где r — радиус окружности, а — половина центрального угла;
  • д) центр тяжести С однородной призмы находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести Решение задач по теоретической механике и верхнего и нижнего оснований этой призмы (рис. 2.19), т. е. Решение задач по теоретической механике
  • е) центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину О пирамиды с центром тяжести Решение задач по теоретической механике ее основания,

Решение задач по теоретической механике

на расстоянии  Решение задач по теоретической механике этого отрезка Решение задач по теоретической механике от центра тяжести Решение задач по теоретической механике основания

пирамиды (рис. 2.20), т. е. Решение задач по теоретической механике

  • ж) центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстоянии 1/4 высоты от основания конуса (рис. 2.21), т. е. Решение задач по теоретической механике

При решении задач на определение положения центра тяжести однородного твердого тела существенную роль играет удачный выбор осей координат.

Если в твердом теле имеется плоскость симметрии, то одну из осей координат, например z, следует направить перпендикулярно к этой плоскости. Так как центр тяжести лежит в плоскости симметрии, т. е. в плоскости xy, тоРешение задач по теоретической механике и остается определить только две координаты: Решение задач по теоретической механике

Если в твердом теле имеется ось симметрии, то одну из координатных осей, например х, следует совместить с осью симметрии. Так как центр тяжести лежит на оси симметрии, т. е. на оси х, то Решение задач по теоретической механике и остается определить только одну координату Решение задач по теоретической механике

Наиболее распространенным приемом использования формул (1*), (2*), (3*) или (4*) является мысленная разбивка однородного твердого тела на такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно, либо легко может быть определено.

Так, например, при разбивке площади однородной плоской фигуры, изображенной на рис. 2.22, на три части положение ее центра тяжести С Решение задач по теоретической механике определяется по формулам (3*):Решение задач по теоретической механике

здесь Решение задач по теоретической механике — координаты центра тяжести Решение задач по теоретической механике первой части плоской фигуры; Решение задач по теоретической механике — площадь первой части и т. д.

Решение задач по теоретической механике

В некоторых случаях целесообразно заменить твердое тело не суммой, а разностью отдельных его частей. Так, например, в случае пластинки с двумя вырезами, изображенной на рис. 2.23, ее площадь можно записать в виде разности площадей сплошной плоской фигуры I и двух вырезов 2 и 3, т. е. Решение задач по теоретической механике В этом случае положение центра тяжести Решение задач по теоретической механике однородной плоской фигуры определяется по формулам

Решение задач по теоретической механике
здесь Решение задач по теоретической механике — координаты центра тяжести Решение задач по теоретической механике сплошной плоской фигуры I, площадь которой равна Решение задач по теоретической механике — координаты центра тяжести Решение задач по теоретической механике выреза 2, площадь которого равна Решение задач по теоретической механике и т. д.

Следует иметь в виду, что прием разбивки однородного твердого тела на отдельные части приводит при использовании формул (1*), (2*), (3*) или (4*) к точному результату только в том случае, когда координаты центров тяжести отдельных частей, а также их площади (либо объемы, либо длины) могут быть точно определены. Поэтому в случаях твердых фигур с криволинейными контурами или твердых тел с поверхностями сложной формы точность результатов оказывается недостаточной (для повышения точности результата приходится разбивать тело на большее число частей, что усложняет решение задачи) и рекомендуется применять точные формулы (5*), (6*), (7*) или (8*).

Теоремами Гульдина удобно пользоваться в тех случаях, когда в число данных и неизвестных входят:

  • а) длина вращаемой дуги, расстояние от центра тяжести этой дуги до оси вращения и площадь поверхности вращения, описанной дугой (первая теорема Гульдина);
  • б) площадь вращаемой плоской фигуры, расстояние от центра тяжести плоской фигуры до оси вращения и объем тела вращения, описанного этой плоской фигурой (вторая теорема Гульдина).

Задача 2.18. Определить положение центра тяжести С однородного проволочного контура ОАВD, состоящего из двух прямолинейных отрезков Решение задач по теоретической механике, расположенных под углом 60° друг к другу Решение задач по теоретической механике=60°), и полуокружности ABD диаметра АD (рис. а).

Решение:

Проволочный контур имеет ось симметрии, вдоль которой мы проводим ось х. Взяв начало координат в точке О, направляем ось у по вертикали вверх.

Решение задач по теоретической механике

Так как центр тяжести С контура лежит на оси симметрии х, то Решение задач по теоретической механике Для определения координаты Решение задач по теоретической механике воспользуемся формулой (4*):
Решение задач по теоретической механике

В данном случае целесообразно разбить весь проволочный контур на три части: два прямолинейных отрезка ОА и ОD длиной а каждый и полуокружность ABD радиуса а/2. Такая разбивка является удобной, так как положения центров тяжести каждой из этих частей нетрудно определить. Обозначим отрезок ОА номером 1, отрезок ОD — номером 2, полуокружность АВD — номером 3. Тогда формулу (1) можно записать в виде

Решение задач по теоретической механике

гдеРешение задач по теоретической механике — абсциссы центров тяжести Решение задач по теоретической механике отрезков ОА и ОD, Решение задач по теоретической механике — абсцисса центра тяжести Решение задач по теоретической механике полуокружности АВD, а Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике — длины этих частей проволочного контура. Как видно из рисунка,

Решение задач по теоретической механике

Для определения Решение задач по теоретической механике воспользуемся тем, что расстояние Решение задач по теоретической механике от центра окружности до центра тяжести дуги Решение задач по теоретической механике определяется формулой

Решение задач по теоретической механике

В данном случае Решение задач по теоретической механике и, следовательно, так как Решение задач по теоретической механике имеем Решение задач по теоретической механике Поэтому

Решение задач по теоретической механике
Кроме того, имеем:
Решение задач по теоретической механике

Подставив (3), (4) и (5) в формулу (2), получим:

Решение задач по теоретической механике

Итак, центр тяжести проволочного контура Решение задач по теоретической механике находится в точке С с координатами: Решение задач по теоретической механике

Задача 2.19. Определить положение центра тяжести С площади поперечного сечения однородного штампа, изображенного на рис. а.

Решение:

Заметив, что сечение имеет ось симметрии, проведем вдоль оси симметрии ось х и перпендикулярно к ней, по вертикали вверх, ось у. Так как центр тяжести С сечения лежит на оси симметрии, т. е. на оси х, то необходимо определить лишь координату Решение задач по теоретической механике

Проведя вспомогательные линии МР и NS, разобьем площадь сечения на сумму площадей трех прямоугольников. Обозначим прямоугольник Решение задач по теоретической механике номером 1, прямоугольник Решение задач по теоретической механике — номером 2 и прямоугольник Решение задач по теоретической механике — номером 3. Тогда формулу (3*) можно записать в виде

Решение задач по теоретической механике

Так как центры тяжести Решение задач по теоретической механике прямоугольников лежат в точках пересечения их диагоналей, то имеем:

Решение задач по теоретической механике

Площади прямоугольников равны

Решение задач по теоретической механике

Воспользовавшись (2) и (3), запишем формулу (1) в виде

Решение задач по теоретической механике

Итак, центр тяжести площади сечения штампа находится в точке С с координатами: Решение задач по теоретической механике

Эту задачу можно решить несколько иначе, проведя вспомогательную прямую АL (рис. б) и представив площадь данного сечения в виде разности площадей прямоугольников Решение задач по теоретической механике. Обозначив прямоугольник Решение задач по теоретической механике номером 1, а прямоугольник Решение задач по теоретической механике номером 2, запишем формулу (3*) в виде 

Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике — абсцисса центра тяжести Решение задач по теоретической механике прямоугольника Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механике — абсцисса центра тяжести Решение задач по теоретической механике прямоугольника Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике — соответственно площади этих прямоугольников. Находим:

Решение задач по теоретической механике

Подставив (5) в формулу (4), получим:

Решение задач по теоретической механике

Второй прием решения задачи оказался более коротким. Этот прием замены площади данной плоской фигуры разностью двух площадей удобно также применить при решении следующей задачи.

Задача 2.20. Определить положение центра тяжести однородного кругового сегмента Решение задач по теоретической механике если радиус окружности равен r, а центральный угол равен Решение задач по теоретической механике

Решение:

Выберем оси координат: направим ось х вдоль оси симметрии, начало координат возьмем в центре окружности О, а ось у направим по вертикали вверх. Так как центр тяжести кругового сегмента АМВ лежит на его оси симметрии, т. е. на оси х, то Решение задач по теоретической механике Остается определить абсциссу Решение задач по теоретической механике центра тяжести С. Для этого представим площадь S сегмента АМВ как разность двух площадей: площади Решение задач по теоретической механике кругового сектора ОАМВ и площади Решение задач по теоретической механике равнобедренного треугольника ОАВ, т. е. Решение задач по теоретической механике

Теперь формулу (3*) можно записать в виде

Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике
гдеРешение задач по теоретической механике— соответственно абсциссы центров тяжести Решение задач по теоретической механике кругового сектора ОАМВ и треугольника ОАВ. Находим:Решение задач по теоретической механике

(положения центров тяжести треугольника и кругового сектора указаны выше, в обзоре теории). Подставив (2) в формулу (I), получим:Решение задач по теоретической механике

Итак, координаты центра тяжести С кругового сегмента имеют
вид
Решение задач по теоретической механике
 

Задача 2.21. Определить положение центра тяжести однородного полукольца, если его внешний и внутренний радиусы соответственно равныРешение задач по теоретической механике

Решение:

Направив ось х вдоль оси симметрии полукольца (рис. а), имеем Решение задач по теоретической механике Начало координат взято в центре О полукольца, ось у направлена по вертикали вверх.

Для определения абсциссы Решение задач по теоретической механике центра тяжести С представим площадь полукольца в виде разности двух площадей полукругов радиусов Решение задач по теоретической механике где Решение задач по теоретической механике — площадь полукруга радиуса Решение задач по теоретической механике — площадь полукруга радиуса r. Теперь формулу (3*) можно записать в виде

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике — соответственно абсциссы центров тяжести Решение задач по теоретической механике полукругов радиусов Решение задач по теоретической механике

Можно определить Решение задач по теоретической механике как абсциссу центра тяжести кругового сектора (рис. б) при Решение задач по теоретической механике Так как Решение задач по теоретической механике  (см. обзор теории), то при  Решение задач по теоретической механике  имеем Решение задач по теоретической механике Аналогично Решение задач по теоретической механике
Итак,
Решение задач по теоретической механике
Значения Решение задач по теоретической механике можно было также получить из формулы (3) предыдущей задачи, считая полукруг круговым сегментом при Решение задач по теоретической механике
Действительно, Решение задач по теоретической механике При Решение задач по теоретической механике имеем Решение задач по теоретической механике 

Аналогично Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике
Записав значения площадей Решение задач по теоретической механике полукругов радиусов Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике
подставляем (2) и (3) в формулу (1). Имеем:
Решение задач по теоретической механике

Итак, искомые координаты центра тяжести С полукольца имеют вид
Решение задач по теоретической механике
Эту задачу можно было решить иначе, применив вторую теорему Гульдина: Решение задач по теоретической механике где S — площадь полукольца, Решение задач по теоретической механике — искомая абсцисса его центра тяжести С, V — объем тела вращения, описанного полукольцом вокруг оси у, т. е. объем полого шара, у которого внешний радиус равен Решение задач по теоретической механике а внутренний Решение задач по теоретической механике Следовательно,
Решение задач по теоретической механике
Учитывая, что Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механикеподставляем эти значения S и в формулу (5)

Решение задач по теоретической механике

и получаем:
Решение задач по теоретической механике
Сопоставляя оба способа решения задачи, следует отдать предпочтение второму. Решение оказалось короче, кроме того, не было необходимости пользоваться формулой, определяющей абсциссу Решение задач по теоретической механике центра тяжести С кругового сектора Решение задач по теоретической механике

Однако следует заметить, что применение второй теоремы Гуль-дина оказалось эффективным потому, что вычисление площади плоской фигуры — полукольца и объема тела вращения — полого шара не представило затруднений. Если вычисление объема тела вращения оказывается громоздким, то применение второй теоремы Гульдина нецелесообразно.

Вместе с тем, если по условию задачи площадь плоской фигуры и положение ее центра тяжести известны, то применение второй теоремы Гульдина является удобным приемом для вычисления объема тела вращения (см. задачу 2.24).

Задача 2.22. На рисунке изображена схема корпуса баржи. Определить положение центра тяжести площади однородной поверхности, ограниченной снизу боковой поверхностью полуцилиндра, с торцов — плоскостями Решение задач по теоретической механикес боков—плоскостями Решение задач по теоретической механике

и Решение задач по теоретической механике сверху — плоскостью Решение задач по теоретической механике Дано: Решение задач по теоретической механике— равные квадраты со стороной Решение задач по теоретической механике — прямоугольник со стороной АВ, равной 10а. Оси Решение задач по теоретической механике изображены на рис. а.

Решение:

Нетрудно видеть, что данная поверхность имеет ось симметрии, совмещенную с осью Решение задач по теоретической механике Значит, центр тяжести С площади этой поверхности лежит на оси Решение задач по теоретической механике и две его координаты Решение задач по теоретической механике и Решение задач по теоретической механике равны нулю. Таким образом, нам остается определить лишь координату Решение задач по теоретической механике

Для этого мысленно разобьем данную поверхность на несколько поверхностей, так чтобы положение центра тяжести площади каждой из них можно было легко определить: 1 и 2 — поверхности квадратов Решение задач по теоретической механике 3 и 4 — поверхности полукругов Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике

5 — поверхность прямоугольника Решение задач по теоретической механике 6 и 7— поверхности прямоугольников Решение задач по теоретической механике 8— боковая поверхность полуцилиндра Решение задач по теоретической механике

Координата центра тяжести Решение задач по теоретической механике площади дайной поверхности, определяемая по формуле (2*): Решение задач по теоретической механике в данном случае, при Решение задач по теоретической механике имеет вид
Решение задач по теоретической механике
Вычислим площади поверхностей Решение задач по теоретической механике при Решение задач по теоретической механике Получим: Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Затем определим значения координат Решение задач по теоретической механике центров тяжести площадей поверхностей при Решение задач по теоретической механике

Центры тяжести площадей квадратов 1 и 2 расположены в их центрах, т. е. Решение задач по теоретической механике

В справочных данных о положении центров тяжести некоторых однородных тел был рассмотрен случай г): центр тяжести площади кругового сектора расположен на его оси симметрии и отстоит от центра окружности на расстоянии, равном Решение задач по теоретической механике где Решение задач по теоретической механике — радиус окружности, а Решение задач по теоретической механике — половина центрального угла. В случае полукруга 3 Решение задач по теоретической механике Значит, Решение задач по теоретической механике а координата Решение задач по теоретической механикецентра тяжести Решение задач по теоретической механике полукруга 3 равна Решение задач по теоретической механике Решение задач по теоретической механикеИтак, Решение задач по теоретической механике

Центры тяжести площадей прямоугольников 5, 6, 7 находятся в их центрах, т. е. Решение задач по теоретической механике

Для определения координаты Решение задач по теоретической механике центра тяжести площади боковой поверхности полуцилиндра используем случай в), рассмотренный для дуги однородной окружности. Ее центр тяжести отстоит от центра окружности на расстоянии Решение задач по теоретической механике — радиус окружности, а Решение задач по теоретической механике — половина центрального угла. В данном случае Решение задач по теоретической механике а

Решение задач по теоретической механике Значит, Решение задач по теоретической механике а искомая координата Решение задач по теоретической механикеравна Решение задач по теоретической механике

Итак, подсчеты площадей и координат центров тяжести площадей отдельных частей данной поверхности дали следующие результаты:

Решение задач по теоретической механике

Подставив эти значения в формулу (1), получим Решение задач по теоретической механике

Значит, положение центра тяжести С площади данной однородной поверхности определяется координатами: Решение задач по теоретической механике

Задача 2.23. Твердое тело состоит из однородного полого цилиндра высотой Н с внешним и внутренним радиусами оснований, равными Решение задач по теоретической механике и однородного сплошного конуса II с основанием радиуса Решение задач по теоретической механике и высотой h.

Решение задач по теоретической механике
Определить положение центра тяжести твердого тела, если Решение задач по теоретической механикеРешение задач по теоретической механике

Система осей Решение задач по теоретической механике изображена на рисунке.

Решение:

Так как ось симметрии твердого тела совмещена с осью у, то Решение задач по теоретической механике

Остается определить ординату Решение задач по теоретической механике центра тяжести С. Обозначим центр тяжести цилиндра через Решение задач по теоретической механике и через Решение задач по теоретической механике — центр тяжести конуса.

Для вычисления Решение задач по теоретической механикевоспользуемся формулой (1*), которая в данном случае имеет вид

Решение задач по теоретической механике

где Решение задач по теоретической механике — ординаты центров тяжести цилиндра А и конуса В, а Решение задач по теоретической механике— соответственно объемы этих тел. Находим:

Решение задач по теоретической механике

(напомним, что центр тяжести Решение задач по теоретической механике конуса отстоит на расстоянии одной четверти высоты от основания конуса).

Воспользовавшись соотношениями (2), запишем формулу (1) в видеРешение задач по теоретической механике

Учитывая, что по условию Решение задач по теоретической механике окончательно имеем:

Решение задач по теоретической механике

Итак, положение центра тяжести С данного твердого тела определяется координатами:

Решение задач по теоретической механике
 

Задача 2.24. Однородный тор образован вращением круга радиуса Решение задач по теоретической механике около оси, лежащей в плоскости этого круга. Расстояние от центра тяжести круга до оси вращения равно Решение задач по теоретической механике
Решение задач по теоретической механике
Определить площадь поверхности и объем тора.

Решение:

Направим ось Решение задач по теоретической механике вдоль оси вращения и, следовательно, оси симметрии тора.

Так как расстояние Решение задач по теоретической механике от центра тяжести С круга до оси вращения дано, а также известны длина окружности и площадь круга радиуса Решение задач по теоретической механике то, применив обе теоремы Гульдина, можно легко определить площадь поверхности и объем тора.

Действительно, согласно первой теореме Гульдина Решение задач по теоретической механике где Решение задач по теоретической механике — расстояние от центра тяжести С линии, описывающей данную поверхность, до оси вращения, — длина этой линии,—площадь поверхности тела вращения.

В данном случае Решение задач по теоретической механике и, следовательно, искомая площадь S поверхности тора равна

Решение задач по теоретической механике

Для определения объема тела вращения применим вторую теорему Гульдина: Решение задач по теоретической механике — расстояние от центра тяжести С плоской фигуры, описывающей данный объем, до оси вращения, S — площадь этой плоской фигуры, V — объем тела вращения.

В данном случае Решение задач по теоретической механике следовательно, искомый объем V тора равен Решение задач по теоретической механике

Применение обеих теорем Гульдина оказалось весьма эффективным.

Использование других приемов решения этой задачи, например формул интегрального исчисления, является более громоздким.

Кинематика

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором изучаются движения тела безотносительно к причинам, их вызывающим.

При движении тел относительно друг друга расстояния между точками этих тел могут изменяться. Эти изменения обычно определяются по отношению к некоторой системе отсчета, системе координат, которая и заменяет при изучении движений одно из тел. Если выбранная система координат условно принята за неподвижную, то движение других тел но отношению к этой системе отсчета называют абсолютным движением.

В классической механике время считают одинаковым для любых систем отсчета, что является приближением к истине, достаточно точным, если скорости рассматриваемых движений малы по сравнению со скоростью света.

За единицу времени принята секунда. Начало отсчета времени выбирается произвольно.

Движение точки

Движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Виды движений:

  • А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки.
  • Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.
  • В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.
  • Г) Гармоническое колебательное движение.

Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.

Траектория и уравнения движения точки

Основные определения: Траекторией точки называется линии, описываемая движущейся точкой в пространстве. Траектория может быть плоской или пространственной кривой. Движение точки определяется заданием закона движения. Закон (уравнение) движения точки устанавливает зависимость положения точки в пространстве от времени.

Движение точки М в неподвижной системе координат Решение задач по теоретической механике определяется заданием трех функций (рис. 3.1)

Решение задач по теоретической механике

которые называются уравнениями движения точки. Подставив в уравнения (1*) значение времени Решение задач по теоретической механике можно определить координаты и, следовательно, положение точки в пространстве в этот момент времени. Уравнения (1*) представляют параметрические уравнения траектории точки. Для нахождения уравнений траектории точки в координатной форме необходимо из уравнений (1*) исключить время и получить зависимости вида