Решение задач по теоретической механике

Решение задач по теоретической механике теормеху с примерами онлайн

 

Если у вас нету времени на решение задач по теоретической механике вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по теоретической механике теормеху помощь в учёбе

 

 

Статика

В статике твердого тела рассматриваются свойства сил, приложенных к твердому телу. В частности, изучается приведение сложных систем сил к более простому виду и устанавливаются условия равновесия различных систем сил

Теоретическая механика, как и всякая другая наука, имеет свои понятия и определения, которые используются для формулирования ее аксиом и теорем. Статика базируется на аксиомах, из которых по законам логики, вводя новые понятия, получают все необходимые следствия в удобной для применения форме

 

Основные понятия и определения

Материальной точкой называют простейшую модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

• Механической системой называется любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называют механическую систему, расстояния между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях. Все тела в природе в той или иной мере деформируемы, но в некоторых задачах деформациями тел можно пренебречь, считая тела твердыми. При рассмотрении движения Земли вокруг Солнца ее можно считать абсолютно твердым телом и даже материальной точкой, хотя в действительности она не твердая, так как на ней есть океаны, воздушная оболочка и т. д.

Силой в механике называют меру механического действия одного материального объекта на другой, например на твердое тело со стороны других тел.

Меры действия бывают разные. Силой называют ту меру, которая, действуя на пружину динамометра в пределах ее упругости, деформирует эту пружину (сжимает или растягивает) пропорционально действующей силе. Таким образом, силы различной природы определяются через линейную силу упругости. Сила характеризуется точкой приложения, числовым значением и направлением действия.
т. е. является векторной величиной. Механическое действие материальных тел друг на друга осуществляется при их соприкосновении (давление стула на пол в местах соприкосновения его ножек о полом) или как действие на расстоянии при посредстве силовых полей (притяжение Луны Землей и т. п.).

Силу как величину векторную обозначают какой-либо буквой со знаком вектора, например . Для выражения числового значения силы или ее модуля используется знак модуля от вектора, т. е. , или те же буквы, но без знака вектора, т. е. F, Р.

Системой сил называют совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело или в более общем случае — на точки механической системы. Можно рассматривать систему сил, приложенных к одной материальной точке.

Системой сил, эквивалентной нулю (или равновесной системой сил), называют такую систему сил, действие которой на твердое тело или материальную точку, находящиеся в покое или двужущиеся по инерции, не приводит к изменению состояния покоя или движения по инерции этого тела или материальной точки.

Две системы сил называются эквивалентными, если их действие по отдельности на одно и то же твердое тело или материальную точку одинаково при прочих равных условиях, т. е. если одна система сил приводит твердое тело или материальную точку в какое-то движение, например, из состояния покоя, то другая система сил, эквивалентная первой, сообщит такое же движение. Движения, вызванные действием эквивалентных систем сил, имеют одинаковые характеристики для каждого момента времени. Условие эквивалентности двух систем сил , выражают в форме

где n и k — число сил в системах.

Равнодействующей силой рассматриваемой системы сил называют силу, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию этой системы сил. Равнодействующая сила обозначается R*, и условие ее эквивалентности рассматриваемой системе сил выражается в виде

Равновесная система сил имеет равнодействующую, равную нулю.

Уравновешивающей силой заданной системы сил считается такая сила, добавление которой к заданной дает новую систему, эквивалентную нулю. Если является уравновешивающей еилой системы сил то, согласно определению, она удовлетворяет условию

В дальнейшем убедимся, что не всякая система сил имеет равнодействующую и уравновешивающую силы. Есть системы сил, которые не находятся в равновесии и не эквивалентны одной силе.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Теоретическая механика задачи с решением

 

 

Аксиомы статики

Справедливость аксиом механики проверяется на опыте как непосредственно, так и по тем следствиям, которые из них получают.

 

I. Аксиома о равновесии системы двух сил. Для равновесия системы двух сил, приложенных к точкам твердого тела, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по величине и действовали вдоль одной прямой, проходящей через точки их приложения, в противоположных направлениях (рис. 1). Этой аксиомой устанавливается простейшая система сил, эквивалентная нулю. Если силы находятся в равновесии, то, естественно, они образуют систему сил, эквивалентную

 

нулю. Действие такой системы сил на покоящееся твердое тело не изменяет состояния покоя этого тела. Аксиома справедлива и для сил, приложенных к одной точке тела или одной материальной точке.

 

II Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю. Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить (отбросить) систему сил, эквивалентную нулю. Полученная после добавления (отбрасывания) новая система сил является эквивалентной первоначальной системе сил. Под действием заданной системы сил и новой, полученной после добавления (отбрасывания) равновесной системы сил, тело будет двигаться (или находиться в покое) совершенно одинаково при прочих равных условиях В частности, к любой системе сил можно добавить (отбросить) простейшую равновесную систему сил, состоящую из двух равных по величине сил, действующих вдоль одной прямой в противоположных направлениях и приложенных в одной или разных точках твердого тела в соответствии а первой аксиомой

 

III. Аксиома параллелограмма сил. Две силы, действующие в одной точке твердого тела или на одну материальную точку, можно заменить одной равнодействующей си гой, равной по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на заданных силах (рис. 2). Очевидно, справедливо и обратное. Одну силу, приняв за равнодействующую, можно разложить по правилу параллелограмма на две составляющие силы.

Эту аксиому долгое время в истории развития механики пытались доказать и, следовательно, считали теоремой. Тщательный анализ таких доказательств, часто очень остроумных, показал, что для этого обязательно используются положения, принимаемые за аксиомы.
Замену двух сил одной равнодействующей силой по правилу параллелограмма называют векторным сложением этих сил. Векторное сложение сил математически выражают так:

Если еилы направлены по одной прямой в одну или противоположные стороны, то векторное сложение переходит в алгебраическое сложение.

Модуль равнодействующей силы R* как величину векторной «уммы сил вычисляют по формуле диагонали параллелограмма

Применяя теорему синусов к одному из треугольников параллелограмма, определяют синусы углов, которые образует равнодействующая R* с составляющими ее силами

Более предпочтительным способом определения числовой величины и направления равнодействующей силы по отношению к каким-либо прямоугольным осям координат является метод проекций, который особенно удобен в случае векторного сложения более чем двух сил. Этот метод рассматривается дальше, при изучении систем сходящихся сил.

IV. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия — один из основных законов классической механики, сформулированных Ньютоном, —утверждает: всякой силе действия есть равная, но противоположная сила противодействия. По отношению к двум материальным точкам эта аксиома утверждает, что еилы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой, проходящей через взаимодействующие точки. Материальные точки при этом могут взаимодействовать как через посредство силовых полей, т. е. на расстоянии, так и путем соприкосновения друг с другом, если их считать твердыми телами очень малых размеров.

В статике эту аксиому применяют для твердых тел. Силы взаимодействия двух твердых тел (при взаимодействии путем соприкосновения или на расстоянии при посредстве силовых полей) равны по модулю и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия всегда приложены к разным телам или к различным взаимодействующим точкам одного и того же гела.

Таким образом, в природе силы встречаются всегда по две: силы действия и противодействия.

 

V. Аксиома связей. Связью для твердого тела или материальной точки называют материальные объекты (тела и точки), которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого твердого тела или
материальной точки. Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить силой, реакцией связей (в простейшем случае) или системой сил (в общем случае). Эта аксиома фактически уже содержится в определении силы, но в истории развития механики это не было осознано сразу. Длительное время после формулировки Ньютоном основных законов классической механики их применение к несвободным твердым телам и механическим системам встречалось с трудностями, пока не была дополнительно сформулирована аксиома

 

связей. Учитывая большое значение аксиомы связей для дальнейшего изложения теоретической механики, оставим эту аксиому как самостоятельную.

Почти все теоремы и окончательные результаты теоретической механики формулируются для материальной точки или твердого тел а, освобожденных от связей, т. е когда связи заменены силами реакций связей Поэтому очень важно уметь правильно заменять отброшенные связи силами реакций связей. Это одна из главных задач при изучении статики, которой следует уделить наибольшее внимание.

Силы реакций связей для рассматриваемого тела или точки зависят прежде всего от приложенных сил и от вида связей. При движении силы реакций связей зависят еще и от характеристик движения Так, при движении тела в воздухе сила реакции воздуха на движущееся тело зависит от скорости движения тела относительно воздуха.

Приведем примеры связей и их замены силами реакций связей. Если связью для твердого тела (рис. 3, а) является абсолютно гладкая поверхность другого тела, то сила реакции такой поверхности, если соприкосновение происходит в одной точке, направлена по нормали к общей касательной соприкасающихся поверхностей тел независимо от сил, приложенных к рассматриваемому телу (рис. 3, б). Сила реакции связи N направлена в сторону, противоположную направлению, в котором связь препятствует перемещению рассматриваемого тела. Числовое значение силы реакции при равновесии определяется приложенными к телу силами, которые в отличие от сил реакций связей часто называют активными силами.

Если соприкосновение происходит не в одной точке, а по некоторой площади поверхности, то реакция такой связи сводится к системе распределенных по поверхности сил, которые в некоторых случаях удается заменить одной равнодействующей силой реакции связи. В общем случае система распределенных сил может не иметь равнодействующей.
В тех случаях, когда сила реакции связей не только по модулю, но и по направлению зависит от приложенных сил, ее обычно раскладывают по правилу параллелограмма на составляющие параллельно осям координат. Через составляющие легко определяется как модуль силы реакции, так и ее направление.

Неизвестную по модулю и направлению силу реакции создают ц и-линдричевкий (плоский) ишаровой шарниры. Пусть имеем балку АВ, находящуюся в равновесии под действием силы F и закрепленную на одном конце с помощью цилиндрического шарнира А,

а на другом — катковой опоры В (рис. 4,а). Цилиндрическим шарниром называют устройство, позволяющее балке поворачиваться в плоскости вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Устройство катковой опоры ясно из рисунка. На рис. 4, б показана та же балка после освобождения от связей. Сила реакции катковой опоры направлена по нормали к общей касательной, если поверхности соприкосновения

гладкие. Неизвестная по модулю и направлению реакция цилиндрического шарнира разложена на две составляющие , предположительно направленные в положительном направлении осей координат.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по теоретической механике заказать

 

В случае шарового шарнира силу реакции раскладывают на три составляющие, параллельные осям координат.

Гибкие связи (канаты, тросы, нити) дают силы реакции связей (силы натяжения), направленные по касательной к гибкой связи. На рис. 5, а, б сила натяжения нити 3 заменяет действие нити на груз. На рис. 6, а, б показаны силы натяжения провода в сечениях А и В, действующих на часть провода АВ,
На рис. 7, а, б показаны силы реакции цилиндрического шарнира А и стержня ВС на балку АВ. Стержень ВС, имеющий на концах шарниры В и С,создает силу реакции на балку АВ только в направлении самого стержня ВС, если на этот стержень не действуют другие силы между его шарнирами В и С. Действительно, если рассмотреть находящийся в равновесии стержень ВС, то на него действуют только две еилы в точках В и С. Согласно первой аксиоме, эти силы должны быть направлены по одной прямой, проходящей через точки В и С. Следовательно, сила реакции стержня Y в на балку А В направлена по ВС, так как действие балки на стержень дает силу, направленную по стержню.

Силы реакций других наиболее часто встречающихся связей рассматриваются в примерах.

VI. Аксиома затвердевания. Если деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие его без изменения системы приложенных сил не нарушится от наложения на точки тела дополнительных связей, включая превращение деформируемого тела в абсолютно твердое. С помощью этой аксиомы устанавливается, в частности, связь между условиями равновесия сил, приложенных к твердому и деформируемому телам. Из аксиомы следует, что условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, необходимы и для равновесия деформируемого тела. Но условия равновесия сил, приложенных к твердому телу, не являются достаточными для равновесия деформируемого тела.

Сформулированные аксиомы и являются той основой, на которой строится вся статика сил, приложенных к твердому телу.

Аксиомы статики характеризуют свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу или одной точке. Но они не учитывают материальных свойств тела или точки, характеризуемых их массой, а для тела — еще распределением массы в теле, влияние которых существенно при их движении.

Совместный учет действия сил и материальных свойств тел или точки содержится в аксиомах динамики. Такие аксиомы статики, как аксиома о параллелограмме сил, о равенстве сил действия и противодействия, аксиома связей, справедливы и в динамике. Так как в статике рассматриваются свойства и неравновесных систем сил, под действием которых твердое тело или точка не могут находиться в покое относительно инерциальной системы отсчета, то для оправдания этого в статике можно считать, что эти системы сил являются частями более укрупненных равновесных систем сил, под действием которых тело или материальная точка находится в покое или совершает движение по инерции.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по теоретической механике теормеху онлайн

Простейшие теоремы статики

Теорема о переносе силы вдоль линии действия. Действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль своей линии действия.

Пусть в точке А твердого тела приложена сила F (риб. 8). К этой силе на ее линии действия в точке В в соответствии с аксиомой II добавим систему сил , эквивалентную нулю, для которой Выберем силу равную силе Полученная система трех сил эквивалентна, согласно аксиоме о добавлении равновесной системы сил, силе т. е.

Система сил , согласно аксиоме I, эквивалентна нулю,_и согласно аксиоме II ее можно отбросить. Получится одна сила приложенная в точке В, т. е.

Окончательно получаем

Сила F приложена в точке А. Она эквивалентна такой же по модулю и направлению силе , приложенной в точке В, где точка В — любая точка линии действия силы F. Теорема доказана. Таким образом, точка приложения силы в абсолютно твердом теле несущественна.

Силу для твердого тела можно считать приложенной в любой точке линии действия. Векторные величины, которые можно прикладывать в любой точке линии действия, называют скользящими. Сила, приложенная к твердому телу, есть вектор скользящий. В деформируемом теле силу нельзя переносить вдоль линии действия. Сила в этом случае не является скользящим вектором.
Теорема о трех силах. Если твердое тело под действием трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таких трех сил пересекаются в одной точке.

Обратная теорема неверна, т. е. если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то такая система сил не обязательно является равновесной.

Пусть имеем систему трех сил » Два из которых, например , пересекаются в одной точке А (рис. 9). Докажем, что если тело находится в равновесии под действием этих трех сил, то линия действия силы пройдет через точку А, т. е. линии действия трех сил пересекаются в одной точке.

Силы линии действия которых перёсекаются в точке А, перенесем в эту точку и заменим их равнодействующей по аксиоме параллелограмма сил. Система трех сил свелась к эквивалентной системе двух сил находящихся в равновесии, так как твердое тело, на которое они действуют, по условиям теоремы находится в равновесии. Согласно аксиоме I, такие две силы должны быть

направлены по одной прямой, проходящей через точки их приложения. Следовательно, линия действия силы должна пройти через точку приложения силы , т. е. точку пересечения сил Таким образом, три силы пересекутся в одной точке.
Теорема о трех силах позволяет в некоторых случаях определить линию действия неизвестной силы, приложенной к твердому телу.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по теоретической механике теормеху заказать готовую онлайн

 

Задача 1

Определить графически усилия в стержнях фермы (рис. а) способом вырезания узлов.

• Решение:

Для определения усилий в стержнях фермы необходимо сперва найти реакции опор. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие па ферму реакциями Эти реакции направлены по вертикали вверх, так как активные силы направлены по вертикали вниз. Кроме того, опора Е может воспринимать только вертикальные усилия. Для определения величины реакций

рассмотрим ферму как твердое тело, находящееся в покое под действием активных сил, включая реакции опор (рис. б).

Уравнение моментов относительно точки А будет:

откуда

Уравнение моментов относительно точки Е будет:

откуда

Определив реакции опор, переходим к нахождению усилии в стержнях. Обозначим стержни цифрами 1, 2, 3....7.

Первым вырежем тот узел, в котором имеется только две неизвестные силы, например узел А. К узлу А приложены три силы: реакция опоры , реакции перерезанных стержней 1, 2. Реакция известна по величине и направлению, реакции стержней направлены вдоль стержней, по величина их неизвестна. Напомним, что совпадение направления реакций со стержнями соблюдается всегда, если прямолинейные стержни закреплены шарнирно своими концами и все силы приложены только в узлах.

Для определения величины реакций стержней строим треугольник откладывая их в том порядке, в каком они встречаются при обходе узла по часовой стрелке. Первой откладываем в масштабе известную величину (рис. в), из ее конца и начала проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пересечения. Стороны полученного треугольника определяют реакции и Чтобы найти их направление, обходим треугольник сил в направлении, указанном известной силой . При равновесии узла стрелки в замкнутом силовом многоугольнике идут в одном направлении. Перенося реакцию на стержень 1, находим, что она направлена к узлу, следовательно, стержень 1 сжат. Перенося реакцию на стержень 2, находим, что она направлена от узла А, следовательно, стержень 2 растянут.

Следующим вырезаем узел К нему приложены четыре силы: две неизвестные реакции п стержней 3 и 4, известная реакция стержня /, которая равна по величине реакции 5), приложенной к узлу А, но направлена в противоположную сторону (обозначим ее через ), активная сила Р. Строим многоугольник этих сил. Первой откладываем в масштабе силу (рис. г), к концу ее прикладываем активную силу Р, а затем через конец силы Р проводим прямую, параллельную стержню 4, а через начало силы — прямую, параллельную сгержшо 3, до их пересечения. Стороны полученного четырехугольника определяют реакции и . Чтобы найти их направление, обходим четырехугольник в направлении, указанном известными силами. Перенося реакцию 53 на стержень 3, находим, что опа направлена от узла В, следовательно, стержень 3 растянут. Перенося реакцию S₄ из стержень 4, находим, что она направлена к узлу В, следовательно, стержень 4 сжат.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по теоретической механике теормеху расчетно графическая работа

 

Следующим вырезаем узел С. К нему приложены четыре силы: две неизвестные реакции и S6 стержней 5 и 6 и две известные реакции стержней 2 и 3, которые по величине равны реакциям и , приложенным соответственно к узлам , но направлены в противоположные стороны (обозначим их через S₂ и S₃). Строим многоугольник этих сил. Первой откладываем известную силу S, к ней прибавляем также известную силу S, затем через конец силы и начало силы Sj проводим прямые, параллельные стержням 5 и б,
до их пересечения. Обходя полученный многоугольник сил в направлении, указанном известными силами, находим направление реакций 5S н Перенося реакцию на стержень 5, находим, что опа направлена к узлу С, с.чедовагельпо, стержень s сжат. Перенося реакцию па стержень 6, находим, что она направлена от узла С, следовательно, стержень 6 растянут.

Следующим вырезаем узел ,9. К нему приложены четыре силы: одна неизвестная реакция стержня 7, активная сила 2Р и известные реакции St и $3, которые равны по величине реакциям и $3, приложенным соответственно к узлам В и С, но направлены в противоположные стороны (обозначим их через Sj и Sj). Строим многоугольник сил. Первой откладываем силу S₁ (рис. е), к ней присоединяем силу п активную силу . Затем соединяем конец силы 2Р с началом силы п получаем искомую реакцию S₇. Перенося реакцию S7 на стержень 7, находим, что она направлена к узлу D. Следовательно, стержень 7 сжат. Построение этого многоугольника одновременно служит и проверкой правильности построения всех многоугольников, так как найденная сила 5, должна быть параллельна стержню 7, если построение сделано верно.

4т Определение усилий в стержнях фермы построением диаграммы Максвелла — Кремоны. Способ вырезания узлов, рассмотренный в предыдущем пункте, позволяет сравнительно просто найти усилия в стержнях фермы. К недостаткам этого способа следует отнести повторное построение усилий в стержнях, которые один раз проводятся в одном направлении, а другой раз — в противоположном. Кроме того, построение силовых многоугольников для каждою узла в отдельности не создает общей картины распределения усилий в стержнях фермы. Определение усилий построением диаграммы Максвелла — Кремоны позволяет устранить эти недостатки.

Построение диаграммы Максвелла — Кремоны заключается в соединении силовых многоугольников, построенных для всех узлов фермы, в один чертеж так, чтобы ни одно из усилий не повторялось дважды.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по теоретической механике теормеху с решением

 

При расчете фермы способом Максвелла — Кремоны следует придерживаться следующих правил и последовательности действий:

1) определяем из условий равновесия всей фермы как тпердого тела, находящегося под действием плоской системы сил, опорные реакции; это делается графически, построением веревочного многоугольника, причем результат затем проверяется аналитически, при помощи уравнений равновесия;

2) отбрасываем опоры и изображаем все приложенные к ферме внешние силы, включая реакции опор, так, чтобы эти векторы располагались вне контура фермы;
3) части плоскости, ограниченные контуром фермы и линиями действия внешних сил, обозначаем буквами; обозначаем буквами также части плоскости, ограниченные стержнями фермы; узлы фермы обозначаем римскими цифрами; стержни нумеруем арабскими цифрами;

4) строим замкнутый многоугольник внешних сил, откладывая силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе фермы; направление обхода выбирается произвольно (по часовой или против часовой стрелки); силы обозначаем двумя малыми буквами того же наименования, что и большие буквы, обозначающие смежные участки плоскости, между которыми проходит линия действия данной силы;

5) последовательно строим на этом же рисунке замкнутые силовые многоугольники для каждого узла; при этом узлы выбираем в таком порядке, чтобы каждый раз число неизвестных усилий в стержнях равнялось двум (в последнем узле получится при этом одно неизвестное усилие); обход каждого узла делаем в том же направлении, которое было избрано для внешних сил (по часовой пли против часовой стрелки); в этом же порядке откладываем встречающиеся внешние силы и усилия в стержнях;

6) для определения того, сжат или растянут стержень, в каждом замкнутом силовом многоугольнике мысленно направляем стрелки в одном направлении, указанном известными силами, и переносим найденное усилие на стержень; стержень сжат, если усилие направлено к узлу, и растянут, если усилие идет от узла;

7) измеряем на диаграмме отрезки, изображающие искомые усилия в стержнях фермы, и находим, учитывая принятый масштаб сил, величины усилий.

 

 

Кинематика

ВВЕДЕНИЕ

В кинематике изучается движение материальных объектов (точки, твердого тела, сплошной среды) без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение. Такое изучение движения материальных объектов не требует учета материальных характеристик этих объектов — массы, моментов инерции и др.

В кинематике рассматривают такие характеристики движения, как скорость и ускорение точки, угловые скорость и ускорение твердого тела и др.

Движение материальных объектов, в частности материальной точки, совершается в пространстве при изменении времени. Пространство в классической механике считается эвклидовым, не зависящим от времени и движущихся в нем материальных объектов. Время принимается универсальным, не связанным и пространством и не зависящим как от движения наблюдателя, е точки зрения которого рассматривается движение материального объекта, так и от движения самого материального объекта.

Движение материального объекта всегда следует рассматривать относительно какого-либо твердого тела — тела отсчета, т. е. движение является относительным. С телом отсчета скрепляют систему осей координат, например декартовых, принимая ее за систему отсчета, относительно которой рассматривается движение материального объекта. Системой отсчета для трехмерного эвклидова пространства не может служить одна точка, линия, или плоскость, а должны быть три оси, не обязательно прямолинейные, но не лежащие в одной плоскости.

• Независимость времени от движения означает, что во всех системах отсчета, произвольно движущихся друг относительно друга, оно одно и то же, если за начало отсчета выбрано общее для них событие.

В кинематике сплошной среды телами отсчета, относительно которых рассматривается движение, могут быть также деформируемые тела.
В курсе теоретической механики обычно изучаются движение точки и твердого тела. Соответственно кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. В настоящем курсе дополнительно излагаются также основы кинематики сплошной среды.

 

Кинематика точки

В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и то же движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы отсчета и криволинейным относительно другой. Например, если с летящего горизонтально Земле с постоянной скоростью самолета отцеплен груз, то, пренебрегая сопротивлением роздуха и учитывая только действие силы тяжести, получим в качестве 1раектории движения центра масс груза относительно самолета прямую линию, а относительно Земли — параболу.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

• Решение задач

 

Скорость точки

 

Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1).
Положение движущейся точки М относительно рассматриваемой системы отсчета определяется в момент времени радиус-вектором

который соединяет неподвижную точку О а этой точкой. В другой момент времени движущаяся точка займет положение .и ее радиус-гектором будет За время St радиус-вектор движущейся точки изменится на

Средней скоростью ц.р точки за время St называют отношение , т. е.

Средняя скорость параллельна вектору Sr. В общем случае она зависит от времени осреднения St. У нее нет конкретной точки приложения на траектории.

Введем скорость точки v в момент /, которая определяется как предел средней скорости, если промежуток времени, за который определяется средняя скорость, стремится к нулю, т. е.

Скорость точки направлена в сторону ее движения по предельному направлению вектора при стремящемся к нулю, т. е. по предельному направлению секущей MMlt которая совпадает а касательной к траектории в точке М. Таким образом, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора. Она направлена но касательной к траектории в сторону движения точки.

Начало радиус-вектора движущейся точки можно выбрать в любой неподвижной точке. На рис. 1 представлен случай, в котором радиус-вектором является также р о началом в точке О`. Радиус-векторы имеют одинаковые изменения за время и поэтому

Размерность скорости получаем из (1):

Часто скорость выражают в

Для характеристики переменного вектора используют понятие его годографа. Годографом вектора называют геометрическое место его концов, если переменный вектор в различные моменты откладывать от одной и той же общей точки»

Траектория точки, очевидно, является годографом радиус-вектора г или р (рис. I). Последовательные положения вектора г в различные моменты времени откладываются в этом случае отточки О, а вектора р — от точки О'.

Первая производная по времени от радиус-вектора есть скорость точки, направленная по касательной к траектории. Следовательно, параллельно касательной к годографу направлена первая производная по скалярному аргументу от любого переменного вектора.

Годографом вектора скорости является кривая линия, на которой располагаются концы этого вектора в различные моменты времени, если их начала совместить в одной общей точке. Для построения годографа вектора скорости выбираем точку, например OL (рис. 2, б), и начала векторов скорости для различных моментов времени переносим в эту точку, не изменяя их величин и направлений.
Каждой точке траектории М (рис. 2, а) будет соответствовать своя изображающая точка М' на годографе вектора скорости (рис. 2, б). Масштаб для скоростей при построении годографа вектора скорости может быть выбран отличным от масштаба для скоростей, изображаемых в точках траектории. При движении точки по траектории соответствующая ей изображающая точка движемся по годографу вектора скорости.

При равномерном движении точки по прямой годографом вектора скорости является одна точка; при неравномерном движении — отрезок прямой, параллельный траектории.

 

Ускорение точки

 

Пусть движущаяся точка M в момент времени I имеет скорость В момент времени эта течка занимает положение М₁ имея скорость (рис. 3, а). Чтобы изобразить приращение скорости перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку М.

Средним
ускорением точки за время называют отношение

Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости
Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной точки приложения п изображено в точке М условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени

Ускорением точки а в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю, т. е.

Таким образом, ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки.
Приращение скорости и, следовательно, среднее ускорение направлены внутрь вогнутости траектории. Так же направлены и их предельные значения при стремящемся к нулю. Поэтому ускорение точки направлено тоже внутрь вогнутости траектории. Кроме того, ускорение как первая производная по времени от скорости, по свойству годографа вектора, параллельна касательной к годографу вектора скорости (рис. 3, б).

Размерность ускорения в СИ получаем из (2):

 

Векторный способ изучения движения

 

Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета при векторном способе изучения движения задается радиус-вектором

этой точки (рис. 4). Движение точки считается заданным ’если известей радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т. е.

Задание вектор ного движения (3) движение точки.

Траекторией точки является годограф радиус-вектора. Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, согласно ее определению, по формуле

Для ускорения точки соответственно имеем

Таким образом, если движение точки задано векторным способом, то скорость и ускорение вычисляются по формулам (4) и (5).

Определение скорости и ускорения точки сводится к чисто математической задаче вычисления первой и второй производной по времени от радиус-вектора этой точки. Для практического вычисления скорости и ускорения обычно используют координатный и естественный способы изучения движения. Векторный способ ввиду его краткости и компактности удобен для теоретического изложения кинематики точки.

 

 

Координатный способ изучения движения

Задание движения и траектория

Движение точки можно изучать, используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовых прямоугольных осей координат, которые являются также системой отсчета, относительно которой рассматривается движение точки. Движение точки в декартовых коорди-
патах считается заданным, если известны координаты точки как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени (рис. 5), т. е. заданы уравнения движения точки в декартовых координатах:

Уравнения движения точки в декартовых координатах полностью определяют движение точки. Они позволяют найти положение точки, ее скорость и ускорение в любой момент времени. Уравнения движения (б) есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время t.



Уравнения траектории в координатной форме из (6) получают исключением параметра . Исключая время, например, из первых двух уравнений и затем из второго и третьего, получим уравнения двух поверхностей:

Это и есть уравнения траектории в координатной форме. Траекторией является линия пересечения двух поверхностей Эти поверхности являются цилиндрическими, так как их уравнения не содержат одной из координат: первое — координаты г, второе — координаты х. Ось первой цилиндрической поверхности параллельна оси Ог, второй — оси Ох,

Исключая время из уравнений движения в другом порядке, получим траекторию точки как линию пересечения двух других цилиндрических поверхностей, например

При исключении параметра е из уравнений движения могут быть по лучены отрезки линий или точки, которые не содержатся в уравнениях (6). Эти дополнительные точки не следует считать точками траектории.

 

 

Задача 2

 

Кривошип ON длиной а вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через точку О. Угол <р между неподвижной осью Ох и кривошипом изменяется пропорционально времени:

Составить уравнения движения точки N в декартовой системе координат. Найти уравнение ее траектории. Определить время одного полного оборота точки N и момент времени, когда обе координаты точки равны между собой.

• Решение:

Для составления уравнений движения точки N надо выразить ее координаты как функции времени. Из рисунка находим координаты х, у точки N:

или

Это и будут искомые уравнения движения точки N

Чтобы найти уравнение траектории точки н явной форме, надо исключить из уравнений движения время. Для этого возведем каждое уравнение движения в квадрат:

и сложим уравнения (3) и (4):

Это уравнение траектории точки N определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Определим время одного полного оборота точки N. Это время Т, течение которого угол изменится на радиан:

откуда

Определим момент времени, когда обе координаты точки N равны между собой:

Это равенство возможно при


Из (5) определяются моменты времени, когда координаты точки равны между собой

 

 

Задача 3

Точка движется согласно уравнениям:

Определить уравнение траектории точки. Как меняется траектория точки при увеличении разности фаз от 0 до ?

• Решение:

Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо из уравнений движения исключить время. Для этого преобразуем первое уравнение движения:

Решая уравнения (2) и (3) относительно находим:

Возведем эти равенства в квадрат и сложим их:

или окончательно:

Уравнение (4) при произвольном значении е есть уравнение эллипса. Из этого уравнения видно, что наибольшие и наименьшие значения

переменных соответственно будут для у. Таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольник со сторонами

Будем теперь менять значения При уравнение (4) принимает следующий вид:

Следовательно, когда фазы обеих составляющих взаимно перпендикулярных колебаний одинаковы, эллипс вырождается в две совпадающие прямые линии, являющиеся диагональю прямоугольника (рис. <т).

При увеличении эллипс, одна из осей которого совпадает по направлению с диагональю прямоугольника, постепенно расширяется (рис. б). При уравнение (4) примет вид (рис. в)

т. е. уравнение эллипса принимает каноническую форму. При дальнейшем увеличении е эллипс снова сужается (рис. г) до тех нор, пока при не выродится в другую диагональ прямоугольника (рис. д). При этом уравнение (4) принимает вид

Далее, с увеличением процесс повторяется, являясь зеркальным отображением первой половины процесса (рис. е, ж, з).

Если, как в разобранном примере, частоты обоих взаимно перпендикулярных колебаний равны, то разность фаз остается постоянной и эллиптическая траектория точки неизменна. Если же, как это бывает в большинстве технических приложений, между частотами обоих колебаний существует малая разница, то траектория колеблющейся точки может быть представлена с достаточной точностью одним эллипсом лишь для нескольких периодов. Затем этот эллипс меняется в соответствии с изменением величины е со временем, проходя разобранные выше стадии.

 

 

 

Динамика

 

Основные положения динамики и уравнения движения точки

ВВЕДЕНИЕ

В динамике изучаются механические движения материальных объектов под действием сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка. Это модель материального тела любой формы, размерами которого в рассматриваемых задачах можно пренебречь и принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. Более сложные материальные объекты — механические системы и сплошные тела — считают состоящими из материальных точек. Сплошное материальное тело представляют состоящим из малых по сравнению с размерами самого тела частиц, на которые мысленно разбивается тело. Каждую такую частицу считают материальной точкой.

Сила, как известно, является одной из мер действия одного тела на другое. В качестве силы берут векторную меру, модуль которой при действии, например, на пружину динамометра пропорционален деформации пружины в пределах ее упругости. Свойства сил, приложенных к твердому телу и одной точке, рассматривались в статике. В динамике силы оцениваются по их динамическому действию, т. е. по изменению ими характеристик движения материальных объектов.

Движение материальных объектов всегда следует рассматривать относительно определенной системы отсчета. Оно совершается в пространстве с течение?)! времени. В классической механике, в основу которой положены аксиомы Ньютона, пространство считается трехмерным, эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов. Положение точки в таком пространстве относительно какой-либо системы отсчета определяется тремя независимыми параметрами или координатами точки. В общей теории относительности свойства пространства зависят от находящихся в нем материальных объектов и их движения.

Время в классической механике универсально. Оно не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга, оно протекает одинаково. В теории относительности пространство и время связаны друг с другом. Они рассматриваются как единое четырехмерное пространство — время. Время при этом зависит от того, в какой системе отсчета оно рассматривается. В классической механике время опреде-
ляется по какому-либо периодическому процессу, как, например, вращение Земли вокруг своей оси, колебания маятника часов и т. д.

Все положения динамики получают из ее аксиом, используя законы логики и вводя удобные для применения понятия. В основу классической механики положены аксиомы Ньютона, которые были даны в его труде «Математические начала натуральной философии», опубликованные впервые в 1687 г. Классическую механику часто называют механикой Ньютона в отличие, например, от механики теории относительности .

Для формулировки аксиом Ньютона необходимо дать определение инерциальных систем отсчета, для которых справедливы аксиомы Ньютона. Достаточно предварительно определить одну исходную или основную инерциальную систему отсчета. В дальнейшем будет показано, что инерциальных систем отсчета бесконечно много. Ньютон считал, что существует абсолютное, неподвижное пространство, с которым и следует скрепить исходную инерциальную систему отсчета. Ньютоновское определение абсолютного пространства породило споры и возражения. В настоящее время целесообразно определить исходную инерциальную систему отсчета как систему осей координат, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на одни и те же удаленные звезды все время. Такую систему координат называют гелиоцентрической. Ее использование в качестве инерациальной системы отсчета, как показывает опыт, не приводит к заметным погрешностям.

 

Основные аксиомы классической механики

Всякая система аксиом должна быть полной и независимой, т. е. отдельные аксиомы не должны, например, быть частным случаем или следовать из других аксиом. Аксиомы классической механики (или ее законы) не являются независимыми. Они не образуют и замкнутой системы, удовлетворяющей условию полноты и другим требованиям, предъявляемым к системам аксиом. Предпринималось немало попыток заменить систему аксиом Ньютона более совершенной системой, но эти попытки не были успешными. Поэтому примем за основу аксиомы Ньютона в современной их форме применительно к простейшей модели тела — материальной точке.

Первой аксиомой, или законом .классической механики, является закон инерции, который был открыт еще Галилеем: материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета. Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, называется изолированной материальной точкой.

Равномерное и прямолинейное движение точки называют движением по инерции. Частным случаем движения по инерции является покой точки, при котором скорость ее равна кулю. Первая аксиома содержит в себе утверждение, что простейшее материальное тело, а следовательно, и любые другие материальные тела обладают свойством инерции, т. е. свойством сохранять свое прямолинейное и равномерное движение относительно инерциальной системы отсчета.

Согласно Ньютону, все материальные тела обладают врожденной способностью сопротивляться изменению своего движения по инерции. Это внутреннее свойство всех материальных тел, зависящее только от самих тел и не зависящее от присутствия в пространстве других тел. При движении материальной точки по инерции ее ускорение равно нулю. Ускорение точки, таким образом, является мерой отклонения ее движения от движения по инерции.

Вторая аксиома, или основной закон динамик и, принадлежащий Ньютону, устанавливает зависимость ускорения точки относительно инерциальной системы отсчета от действующей на нее силы и массы точки: ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе (рис. 1). Если F есть приложенная к точке сила и a — ее ускорение относительно инерциальной системы отсчета Gxyz, то основной закон можно выразить в форме

Положительный коэффициент пропорциональности tn, характеризующий инертные свойства материальной точки, называется инертной массой точки. Инертная масса в классической механике считается величиной постоянной, зависящей только от самой материальной точки и не зависящей от характеристик ее движения, т. е. скорости и ускорения. Масса также не зависит от природы силы, приложенной к точке. Она одна и та же для сил тяготения, сил упругости, электромагнитных сил, сил трения и других сил.

В отличие от инертной массы масса, входящая в закон тяготения Ньютона

называется гравитационной массой. В этом законе G — постоянная тяготения; т, М — гравитационные массы притягивающихся точек и г — расстояние между ними. Гравитационные массы т и М в этом законе выполняют роль своеобразных зарядов, если сравнивать закон тяготения о законом Кулона для взаимодействия покоящихся электрических зарядов. С большой степенью точности экспериментально установлена эквивалентность инертной и гравитационной масс.

Массу обычно определяют по силе тяготения Р и ускорению свободного падения у поверхности Земли. Согласно (1), в этом случае имеем

Это определение массы широко используется в механике Ньютона.

Основной закон механики является также критерием, который позволяет устанавливать, какую силу следует считать приложенной
к материальной точке. Сила, приложенная к материальной точке, всегда имеет материальный источник в виде других материальных тел, которые действуют на точку путем контакта при непосредственном соприкосновении с ней или на расстоянии через посредство силовых полей. Приложенная к точке сила должна создавать у нее ускорение относительно инерциальной системы отсчета в соответствии с основным законом динамики. Только приложенная сила является причиной ускорения точки в классической механике. Это определяет наблюдателя, с точки зрения которого следует судить в механике

Ньютона о взаимодействии тел, определяющих силы. Таким наблюдателем является наблюдатель, находящийся в инерциальной системе отсчета.

Из (1), если сила , следует, что ускорение , т. е. материальная точка имеет постоянную по числовой величине и направлению скорость относительно инерциальной системы отсчета. В основном законе содержится часть утверждения аксиомы инерции. Другая чаегь этой аксиомы о свойстве инерции материальной точки и всех других материальных тел в основном законе динамики не содержится.

Третья аксиома, или закон о равенстве сил действия в противодействия, определяет свойство сил взаимодействия между двумя материальными точками с точки зрения инерциального наблюдателя: силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению (рис. 2), т. е.

независимо от удаления точек друг от друга. Эти силы в классической механике считаются действующими вдоль одной прямой. Если не требовать этого, то и силу Лоренца, возникающую при действии одного электрического заряда на другой, движущийся заряд, можно считать тоже силой взаимодействия.

Если сила действия, например изменяется, то синхронно с ней должна, согласно (3), изменяться и сила противодействия. Это возможно для любых расстояний между взаимодействующими точками только при условии, что силовое взаимодействие распространяется мгновенно, т. е. с бесконечно большой скоростью.

Четвертая аксиома, или закон независимого действия сил (закон суперпозиции сил), не является самостоятельной аксиомой, если принять, что силы, действующие на материальную точку, складываются по правилу параллелограмма.

Эта аксиома следует из аксиомы сложения сил. Закон независимого действия сил утверждает: при одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил. Между силами нет взаимного влияния друг на друга в создании ускорения точки. Если к материальной точке приложена система сил , то согласно этой аксиоме ускорение от действия каждой из этих сил определяется по (1):

Ускорение при одновременном действии всех сил является векторной суммой ускорений, созданных отдельными силами, т. е.

Суммируя (4) и используя (5), получаем основное н и е динамики точки:

Закон независимого действия сил следует понимать как закон суперпозиции сил, т. е. как закон сложения ускорений от действия отдельных сил. Это не означает, что приложенные к точке силы являются независимыми, особенно если среди приложенных сил есть силы реакций связей, которые всегда зависят от активных сил.

Основное уравнение динамики точки остается справедливым и для несвободной материальной точки, на которую наложены связи. Следует только в число приложенных сил включить и силы реакций связей.

Аксиомы классической механики и их следствия хорошо ^согласуются с результатами опытов для не очень больших скоростей движения по сравнению со скоростью света в пустоте. Для скоростей движения, сравнимых со скоростью света, следует применять механику специальной теории относительности, для которой классическая механика является ее первым приближением при малых скоростях.

 

Системы единиц

 

Основной закон динамики (1) показывает, что единицы ускорения, массы и силы связаны между собой, а потому нельзя выбрать их независимо друг от друга. Размерность ускорения, в свою очередь, выражается через размерности длины и времени. Таким образом, единицы длины, времени, массы и силы должны определяться с учетом основного закона динамики. Независимыми из них являются только три величины. В общепринятой СИ в качестве единицы времени принята секунда (с), длины—метр (м), массы—килограмм (кг). Для них существуют эталоны. Единица силы — ныотон (Н) — является производной от указанных независимых единиц. Сила в 1 Н равна силе, сообщающей телу массой в 1 кг ускорение, равное 1 м/с2

Существуют и другие системы единиц, как, например, абсолютная, или CGS, и техническая. Абсолютная система единиц отличается от СИ тем, что в ней используются более мелкие единицы. За единицу длины принят 1 см, за единицу массы — 1 г. Тогда сила выразится в динах: 1 дина — .дин.

В технической системе единиц в качестве независимых принимаются: для времени — секунда, длины — метр и для силы — килограмм-сила (кгс). Единица массы является производной от этих единиц. Масса выражается в технических единицах массы (т. е. м.). Одну техническую единицу массы имеет тело, которое под действием силы в 1 кгс получает ускорение в 1 м/с². Из (2) получаем, что массу в 1 т. е. м. имеет тело, сила тяжести которого равна 9,8 кгс.

 

 

Две основные задачи динамики точки

Используя дифференциальные уравнения движения материальной точки в той или другой сисюме координат, можно решать две основные задачи динамики точки.

 

 

Первая задача. Зная массу точки и ее закон движения, можно найти действующую на точку си чу Действительно, если, например, заданы уравнения движения точки в декартовой си-деме координат

то проекции силы на оси координат определяются из дифференциальных уравнений движения точки (9), т. е.

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и косинусы углов силы с осями координат.

 

Задача 4

Точка, имеющая массу /и (рис. 5), так, что уравнениями ее движения являются

где — постоянные величины и t — время

Найти силу, под действием которой точка совершает это движение

• Решение:

уравнение траектория точки в координатной ({юрме, исключая время из уравнений движения:

Траекторией точки является эллипс с полуосями а и Ь. На основании дифференциальных уравнений движения точки (10)

или, вводя координаты движущейся точки,

где г — радиус-вектор движущейся точки. Косинусы углов силы с осями координат

Отсюда можно заключить, что сила имеет направление, противоположное вектору .

 

Задача 5

Точка, имеющая массу m (рис. 6), движется нз состояния покоя по окружности радиусом R с постоянным касательным ускорением Определить действующую на точку силу в момент, когда она пройдет по траектории расстояние

• Решение:

Применяя дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси, имеем:

Так как движение происходит с постоянным касательным ускорением без начальной скорости, то

Тогда

В момент, когда и, следовательно Тогда

Тангенс угла а между радиусом окружности и силой

Из рассмотрения первой задачи динамики точки видно, что по заданной массе точки и уравнениям ее движения сила полностью определяется как по величине, так и по направлению

 

 

Вторая задача. По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила F, а следовательно, и ее проекции на координатные оси могут зависеть от времени, координат движущейся точки, ее скорости, ускорения и т. д. Для простоты ограничимся случаем зависимости силы и ее проекций на оси координат от времени, координат и скорости. Дифференциальные уравнения движения точки (9) имеют вид

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных:

Каждая из координат х, у, г движущейся точки после интегрирования системы уравнений (9) зависит от времени t и всех шести произвольных постоянных, т. е.

Если продифференцировать уравнения (13) по времени, от определяются проекции скорости точки на координатные оси:

Таким образом, задание силы не определяет конкретного движения материальной точки, а выделяет целый класс движений, характеризующийся шестью произвольными постоянными. Деиствующая сила определяет только ускорение движущейся точки, а скорость и положение точки на траектории могут зависеть еще от скорости, которая сообщена точке в начальный момент, и от начального положения точки. Так, например, материальная точка, двигаясь вблизи поверхности Земли под действием силы тяжести, имеет ускорение g, если не учитывать сопротивление воздуха. Но точка будет иметь различные скорости и положение в пространстве в один и тот же момент времени и различную форму траектории в зависимости от того, из какой точки пространства началось движение и с какой по величине и направлению начальной скоростью.

Для выделения конкретного вида движения материальной точки надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные, которых в общем случае будет шесть. В качестве таких условий обычно задают так называемые т. е. в начальные условия, какой-то определенный момент времени, например при t = 0 (рис 7), задают координаты движущейся точки и проекции ее скорости

Используя эти начальные условия и формулы (13) и (14), получаем шесть следующих уравнений для определения шести произвольных постоянных:

Если система уравнений (10) удовлетворяет условиям разрешимости, то из нее можно определить все шесть произвольных постоянных.

Начальные условия в форме (15) определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений (9') при соблюдении соответствующих условий теории дифференциальных уравнений. Условия в других формах, как, например, задание двух точек, через которые должна проходить траектория движущейся точки, могут дать или несколько решений, удовлетворяющих этим условиям, или не дать ни одного решения.

При движении точки в плоскости Оху имеется два дифференциальных уравнения движения. В решения этих уравнений входят четыре произвольные постоянные. Постоянные определяются из начальных условий

В случае прямолинейного движения точки имеется только одно дифференциальное уравнение и в его решение входят две произвольные постоянные. Для их определения необходимо задать начальные условия:

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) при заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, его решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной зависимости силы от времени t, координаты х и скорости v. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (9), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (9).

Если из системы (9) удается найти три независимых первых интеграла, то задача интегрирования упрощается, так как вместо интегрирования системы дифференциальных уравнений второго порядка достаточно проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, которую представляют эти первые интегралы.

В дальнейшем будет рассмотрен способ получения первых интегралов дифференциальных уравнений движения точки из так называемых общих теорем динамики в некоторых частных случаях движения точки.

Для выяснения особенностей решения второй основной задачи динамики, имеющей прикладное значение, рассмотрим ее решение как для случая прямолинейного, так и криволинейного движения материальной точки.

 

 

 

Задача 6

Точка массой т (рис. 9) падает вертикально вниз без начальной скорости под действием силы тяжести, испытывая силу сопротивления воздуха , модуль которой пропорционален

квадрату скорости и массе точки, т. е, — постоянный коэффициент. Найти уравнение движения точки.

• Решение:

Направим ось Ох по вертикали вниз, выбрав за начало координат положение точки в момент начала движении. В этот же момент считаем В произвольный момент времени прикладываем к точке действующие на нее силы Р и и составляем дифференциальное уравнение ее движения. Имеем

Скорость в этом случае можно определить в зависимости от времени t или от координаты х, используя подстановки

Последняя подстановка позволяет исключить из дифференциального уравнения время при определении скорости. Эта подстановка получается из первой умно» жеиием и одновременным делением на dx:

Используя первую подстановку, получаем дифференциальное уравнение движения точки в следующем виде:

Разделяя переменные н беря интегралы от обеих частей, имеем

Для того чтобы не искать дополнительно произвольную постоянную интегрирования, интегралы возьмем определенные, сохраняя верхний предел переменным для последующего интегрирования, а для нижних пределов используя следующее условие: при Выполняя интегрирование и подставляя пределы получаем

Потенцируя и решая относителъно , получаем

Переходя в (а) к пределу при t, стремящемуся к бесконечности, имеем

Для достижения предельной скорости 1ребуется бесконечно большое время. Как показывают более подробные расчеты, скорость, близкая к предельной, устанавливается довольно быстро.

Отметим, что для свободного падения парашютиста вблизи Земли без раскрытия парашюта предельная скорость равна 50—60 м/с для авиационной бомбы опа составляет 200—300 м/с.
Для нахождения закона движения подставляем в (а) вместо скорости о ег значение . Тогда

Интегрируя это уравнение, после разделения переменных имеем

или