Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике с примерами онлайн

 

Если у вас нету времени на решение задач по технической механике вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по технической механике помощь в учёбе

 

Техническая механика — дисциплина, включающая в себя основные положения о взаимодействии твердых тел, прочности материалов и методы расчета конструктивных элементов машин и механизмов. Дисциплина «Техническая механика» рассматривается в учебнике в объеме, предписанном программой для машиностроительных специальностей начального профессионального образования. Основная цель этой программы — дать общее представление об устройстве и принципе действия механических частей машин, методах обеспечения работоспособности, а также общих методах расчета и проектирования элементов машин.

Усвоив изложенный материал, будущий механик сможет выполнить ориентировочный расчет основных деталей машин и передач, т.е. приобретет теоретическую базу для профессионального роста.

 

 

Произвольная система сил

 

Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линии действия которых расположены в плоскости произвольным образом.

Лемма Пуаисо (лемма о параллельном переносе силы). Механическое состояние твердого тела не нарушится, если данную силу перенести параллельно самой себе в произвольную точку тела, добавив при этом пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Пусть на тело действует сила Решение задач по технической механике (рис. 2.20), приложенная в точке Решение задач по технической механике Выберем произвольную точку Решение задач по технической механике (центр приведения) и на основании аксиомы III приложим в этой точке параллельно силе Решение задач по технической механике две уравновешенные силы Решение задач по технической механике причем модули всех сил равны: Решение задач по технической механике Решение задач по технической механике Систему сил Решение задач по технической механике можно представить как силу Решение задач по технической механике перенесенную параллельно самой себе в произвольно выбранную точку Решение задач по технической механике и пару сил Решение задач по технической механике момент которой равен моменту силы Решение задач по технической механике относительно центра приведения Решение задач по технической механикев которую сила переносится:

Решение задач по технической механике (2.4)

Рассмотрим приведение плоской системы сил к центру приведения. Теорема. Плоская система произвольно расположенных сил в общем случае эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения, и одной паре сил.

Пусть на тело действует произвольная плоская система сил Решение задач по технической механике Решение задач по технической механике (рис. 2.21, а). Перенесем все силы в произвольно выбранный центр приведения Решение задач по технической механике добавив при этом Решение задач по технической механике пар (рис. 2.21, б):

Решение задач по технической механике

Плоская система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна равнодействующей — главному вектору данной системы:

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

или

Решение задач по технической механике

Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения. Необходимо учитывать, что главный вектор не является равнодействующей плоской произвольной системы сил, поскольку на систему также оказывает действие приведенный момент. Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле

Решение задач по технической механике (2.5)

где Решение задач по технической механике — сумма проекций всех сил системы соответственно на ось Решение задач по технической механике Плоская система пар, в свою очередь, эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, т. е.

Решение задач по технической механике

или

Решение задач по технической механике

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

 

Курсовая работа по технической механике заказать готовую онлайн

 

 

Рассмотрим три формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Теорема. Для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранной точки были равны нулю.

Первая форма уравнения равновесия. Учитывая выражение (2.5), можно сделать вывод, что для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат х и у равнялись нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю:

Решение задач по технической механике (2.6)

Вторая форма уравнения равновесия. Для решения конкретных задач часто бывает удобно заменить одно уравнение проекций сил уравнением суммы моментов относительно другой точки:

Решение задач по технической механике

При этом необходимо так выбирать расположения точек Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике чтобы они не лежали на прямой, перпендикулярной к оси Решение задач по технической механике

Третья форма уравнения равновесия. Можно заменить два уравнения проекций (см. формулу (2.6)) уравнениями суммы моментов относительно других точек:

Решение задач по технической механике

При этом необходимо, чтобы точки А, В и С не находились на одной прямой.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по технической механике онлайн

 

Решение задач

 

Задача 2.2.

На «невесомую» Г-образную балку Решение задач по технической механике (рис. 2.22, a) действует сила Решение задач по технической механике кН и момент Решение задач по технической механике кН-м. Сила Решение задач по технической механике действует под углом Решение задач по технической механике к линии горизонта. Определить реакцию жесткой заделки при следующих данных: Решение задач по технической механике

Решение:

Заменим связи реакциями связей. В общем случае реакцией жесткой заделки является сила Решение задач по технической механике (рис. 2.22, б) и момент заделки Решение задач по технической механике Направление силы Решение задач по технической механике неизвестно, поэтому представим ее двумя составляющими: Решение задач по технической механике Направления действия силы и момента заделки выяснятся в процессе решения задачи.

Решение задач по технической механике

Заменим внешнюю силу Решение задач по технической механике двумя проекциями на оси координат:

Решение задач по технической механике

Исходя из основного условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил и выбрав в качестве центра моментов точку Решение задач по технической механике находим

Решение задач по технической механике

После подстановки исходных данных в эти уравнения получим

Решение задач по технической механике

Знак Решение задач по технической механике означает, что фактические направления силы Решение задач по технической механике и момента Решение задач по технической механике противоположны указанным на рис. 2.22, б. Находим реакцию заделки Решение задач по технической механике как геометрическую сумму проекций Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по технической механике расчетно графическая работа

 

 

Задача 2.3.

Балка Решение задач по технической механике (рис. 2.23, а) закреплена на двух опорах — шарнирно-неподвижной и шарнирно-подвижной. На балку воздействуют внешние нагрузки — момент Решение задач по технической механике и сила Решение задач по технической механике приложенная под углом Решение задач по технической механике Определить реакции шарниров Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике если известно, что Решение задач по технической механике а сила Решение задач по технической механике приложена к центру балки.

Решение:

Как и в предыдущем примере, заменим связи реакциями связей (рис. 2.23, б). Направление реакции неподвижного шарнира Решение задач по технической механике нам неизвестно. Поэтому разложим реакцию Решение задач по технической механике на составляющие, спроецированные на оси координат, — Решение задач по технической механике Направление реакции подвижного шарнира Решение задач по технической механике нам известно. Реакция Решение задач по технической механике направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Решение задач по технической механике

Составим уравнения равновесия для нашей системы. В качестве центра моментов выберем точку Решение задач по технической механике Как уже говорилось, положение центра моментов можно выбрать произвольно в любом месте, но необходимо стремиться к упрощению задачи. Выбор точки Решение задач по технической механике в качестве центра моментов позволит не учитывать силы Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике в уравнении равновесия моментов, так как их плечи относительно этой точки равны нулю. Таким образом, уравнения равновесия будут такими:

Решение задач по технической механике

откуда

Решение задач по технической механике (2.9)

Подставив исходные данные в эти уравнения, получим: из уравнения (2.7)

Решение задач по технической механике

из уравнения (2.9) Решение задач по технической механике

из уравнения (2.8) Решение задач по технической механике

Находим реакцию шарнира Решение задач по технической механике как геометрическую сумму проекций Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по технической механике с решением

 

Пространственная система сил

Система сил, линии действия которых расположены в различных плоскостях, называется пространственной системой сил.

Момент силы относительно оси. Пусть к телу в произвольной точке Решение задач по технической механике (рис. 2.24) приложена сила Решение задач по технической механике а также задано направление оси Решение задач по технической механике Разложим силу Решение задач по технической механике на три взаимно-перпендикулярные составляющие Решение задач по технической механике Вращательный эффект относительно оси Решение задач по технической механике будет создаваться только силой Решение задач по технической механике Сила Решение задач по технической механике параллельна оси z и будет стремиться сместить тело вдоль оси. Сила Решение задач по технической механике перпендикулярна оси Решение задач по технической механике и не будет оказывать на тело относительно этой оси никакого действия. Из рис. 2.24 видно, что сила Решение задач по технической механике лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Решение задач по технической механике Запишем момент силы Решение задач по технической механике относительно точки Решение задач по технической механике (см. формулу (2.4)):

Решение задач по технической механике

Момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно тонки их пересечения: Рис. 2.24.

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — угол между силой Решение задач по технической механике и плоскостью Решение задач по технической механике

При этом момент силы относительно оси будет положительным, если при наблюдении со стороны положительного конца оси сила будет вращать тело по часовой стрелке. В противном случае момент будет отрицательным.

Три основных свойства момента силы относительно оси:

  • 1) момент силы относительно оси не зависит от выбора точки Решение задач по технической механике на оси;
  • 2) момент силы относительно оси не зависит от положения силы на ее линии действия, так как при этом ни плечо, ни проекция силы не изменяются;
  • 3) момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости. При этом возможны два случая: а) сила параллельна оси, тогда Решение задач по технической механике а Решение задач по технической механике б) сила пересекает ось, тогда плечо Решение задач по технической механике и соответственно момент равен нулю.

Аналитическое условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил. Приведение пространственной системы сил аналогично приведению плоской системы сил (см. под-разд. 2.4). Пространственная система сил приводится к главному вектору, который проецируется на оси координат Решение задач по технической механике и к трем моментам относительно этих осей.

Для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из трех осей координат была равна нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой их этих осей была равна нулю:

Решение задач по технической механике

 

 

 

Задача 2.4.

На валу Решение задач по технической механике (рис. 2.25) посажены звездочка 1 цепной передачи диаметром Решение задач по технической механике мм и зубчатое косозубое колесо 2 диаметром Решение задач по технической механикеРешение задач по технической механике мм. К звездочке приложена касательная сила Решение задач по технической механике под углом Решение задач по технической механике к линии горизонта, а к зубчатому колесу — горизонтальная касательная сила Решение задач по технической механике Определить реакции опор Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике и силу Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

Массой деталей пренебречь. Расстояния между элементами указаны на рисунке.

Решение:

Направление реакций каждой из опор неизвестно. Спроецируем их на оси координат, составим уравнения равновесия и определим каждую проекцию.

При нахождении моментов сил относительно осей необходимо учесть, что сила Решение задач по технической механике расположена под углом к плоскостям Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике Следовательно, при нахождении момента силы относительно осей Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике необходимо сначала спроецировать эту силу на плоскость, перпендикулярную к оси. За точку привидения примем точку Решение задач по технической механике При составлении уравнений равновесия необходимо помнить, что если сила пересекает ось или параллельна ей, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Составляем уравнения равновесия

Решение задач по технической механике

Подставив исходные данные, получим: из уравнения (2.14)

Решение задач по технической механике

из уравнения (2.13)

Решение задач по технической механике

из уравнения (2.15)

Решение задач по технической механике

из уравнения (2.12)

Решение задач по технической механике

из уравнения (2.10)

Решение задач по технической механике

Находим равнодействующие реакций опор Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

 

 

 

Трение

 

При решении задач статики с учетом трения рассматривают реальные тела, т.е. тела которые, во-первых, имеют шероховатую поверхность, во-вторых, — могут деформироваться под действием внешних сил. Трение — явление сопротивления относительному перемещению, возникающему между двумя телами в зонах соприкосновения поверхностей по касательным к ним. Трение имеет как положительные, так и отрицательные стороны. На трении основана работа ременных передач, тормозных устройств, фрикционных муфт, резьбовых соединений и т.п. В то же время трение является вредным сопротивлением, снижающим КПД подшипников, червячных передач, направляющих станков.

Трение скольжения. Сопротивление, возникающее при движении одного тела по поверхности другого, называется трением скольжения. Сила трения скольжения Решение задач по технической механике возникает только при наличии сдвигающей силы Решение задач по технической механике и направлена в противоположную ей сторону (рис. 2.26).

Законы трения скольжения были экспериментально установлены французскими учеными Г.Амонтоном и III. Кулоном.

Три основных свойства силы трения скольжения:

1) модуль максимальной силы трения скольжения пропорционален нормальной составляющей реакции в момент начала скольжения:

Решение задач по технической механике (2.16)

где Решение задач по технической механике — максимальная сила трения скольжения, Решение задач по технической механике — коэффициент трения скольжения; Решение задач по технической механике — нормальная составляющая реакции опоры, Решение задач по технической механике.

Полная реакция Решение задач по технической механике составляет с нормалью к опорной поверхности угол ф, который называется углом трения. Из рис. 2.26 следует, что

Решение задач по технической механике (2.17)

Приравняв правые части уравнений (2.16) и (2.17), получим

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

2) сила трения скольжения не зависит от размеров трущихся поверхностей. При увеличении площади трущихся поверхностей увеличивается количество сцепляющихся неровностей, что, казалось бы, должно увеличивать силу трения. Но уменьшается давление на единицу площади, соответственно сопротивление относительному перемещению остается прежним;

3) коэффициент трения скольжения зависит от материалов трущихся тел и наличия смазочного материала:

Решение задач по технической механике

Необходимо отметить, что коэффициент трения скльжения при движении обычно меньше, чем в момент возникновения движения.

 

 

 

Задача 2.5.

Определить максимальную силу сжатия Решение задач по технической механике пружины 4 (рис. 2.27, а), необходимую для срабатывания (пробуксовки) предохранительной фрикционной полумуфты 3. Рабочий крутящий момент Решение задач по технической механике ведущей полумуфты 1 составляет Решение задач по технической механике Полумуфты 1 и 3 выполнены из стали, фрикционная обкладка 2 — из асбеста. Сцепление полумуфт происходит на диаметре Решение задач по технической механике

Решение:

Рассмотрим равновесие ведомой полумуфты 3, отбросив связи и заменив их реакциями связей. На асбестовую обкладку действует крутящий момент Решение задач по технической механике уравновешенный силами трения Frp (рис. 2.27, б). Составим уравнение равновесия относительно точки Решение задач по технической механикеРешение задач по технической механике

откуда

Решение задач по технической механике

Определим искомую силу сжатия пружины, используя зависимость (2.16):

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

Во избежание пробуксовки при незначительных случайных перегрузках силу сжатия пружины увеличим примерно на 5 % до Решение задач по технической механике Решение задач по технической механике

 

 

Растяжение и сжатие

Как отмечено ранее, при растяжении или сжатии в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила Решение задач по технической механике

Построение эпюр. Рассмотрим брус (рис. 3.6), один конец которого защемлен, а на другой вдоль оси действуют силы Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике Брус имеет два участка с разной площадью поперечного сечения Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике При выборе границ характерных участков руководствуются местонахождением точек приложения внешних нагрузок и изменением поперечного сечения бруса. Внутри характерного участка не должно изменяться поперечное сечение бруса. На рис. 3.6 можно выделить три характерных участка. Первый участок — от конца бруса с приложенной силой Решение задач по технической механике до точки приложения силы Решение задач по технической механике второй — от точки приложения силы Решение задач по технической механике до точки изменения сечения бруса, третий — от точки изменения сечения до начала бруса. Брус принято рассматривать с какого-либо конца, так как это позволяет последовательно вычислять значение внутреннего силового фактора в каждом сечении от начала до конца бруса и не приводит к путанице. Применив метод сечений, определяем продольные силы Решение задач по технической механике и Решение задач по технической механике на соответствующих участках (заменяя от

Решение задач по технической механике

брошенную часть бруса внутренним силовым фактором). Растягивающие силы, направленные от сечения, считаются положительными, а сжимающие (направленные к сечению) — отрицательными. Будем рассматривать брус справа налево.

В сечении 1 — 1

Решение задач по технической механике, откуда Решение задач по технической механике

В сечении 2 —2 и сечении 3 — 3

Решение задач по технической механике откуда Решение задач по технической механике

На основе полученных данных строим эпюры продольной силы Решение задач по технической механике

Продольная сила в поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону сечения.

При растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения Решение задач по технической механике, МПа, вычисляемые по формуле

Решение задач по технической механике (3.1)

гдеРешение задач по технической механике — продольная сила в сечении, Решение задач по технической механике — площадь поперечного сечения, мм2.

Пользуясь формулой (3.1), найдем нормальные напряжения в рассматриваемых сечениях, причем для нормальных напряжений применяется то же правило знаков, что и для продольных сил.

В сечении 1 — 1

Решение задач по технической механике

В сечении 2 — 2

Решение задач по технической механике

В сечении 3 — 3

Решение задач по технической механике

Затем построим эпюры нормальных напряжений. Эпюры позволяют наглядно увидеть опасные участки рассматриваемого бруса. В данном примере опасным является первый участок, в котором нормальное напряжение максимально.

Таблица 3.1. Допускаемые напряжения при растяжении и сжатии для некоторых материалов

Решение задач по технической механике

Формула для определения допускаемого напряжения при растяжении и сжатии. В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения Решение задач по технической механике при которых происходит разрушение детали.

Принимая для пластичных материалов необходимый коэффициент запаса Решение задач по технической механике для хрупких Решение задач по технической механике можно определить допускаемое напряжение:

Решение задач по технической механике

  • При этом условие прочности детали заключается в том, что рабочее максимальное напряжение не должно превышать допускаемое:

Решение задач по технической механике

Рабочее напряжение — это напряжение, при котором рассматриваемая деталь под действием внешних нагрузок функционирует заданное время не разрушаясь. Допускаемое напряжение — это предельное рабочее напряжение, при превышении которого деталь может разрушиться. Ориентировочные значения допускаемого напряжения приведены в табл. 3.1.

 

 

 

Задача 3.1.

Для стального бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса (рис. 3.7).

Решение задач по технической механике

Решение:

Брус по сечениям будем рассматривать слева направо, так как в этом случае не потребуется определять реакцию заделки. Разделим брус на три характерные части, в которых и будем рассматривать сечения.

В сечении 1 — 1

Решение задач по технической механике, откуда Решение задач по технической механике

В сечении 2 — 2

Решение задач по технической механике откуда Решение задач по технической механике

В сечении 3 — 3

Решение задач по технической механике откуда Решение задач по технической механике

На основе полученных значений построим эпюру продольной силы Решение задач по технической механике Находим нормальные напряжения для каждого сечения бруса. В сечении 1 — 1

Решение задач по технической механике

В сечении 2 — 2

Решение задач по технической механике

В сечении 3 — 3

Решение задач по технической механике

Строим эпюру нормальных напряжений. Из полученных значений можно сделать вывод, что опасным является сечение 3 — 3.

 

 

 

Задача 3.2.

Определить диаметр штока гидроцилиндра подъемной машины, который будет испытывать сжимающую нагрузку Решение задач по технической механике Материал штока — легированная конструкционная сталь.

Решение:

Исходя из условия прочности находим минимальный диаметр штока. Для предложенной стали принимаем допускаемое нормальное напряжение Решение задач по технической механике Так как на шток кроме сжимающей силы никакие нагрузки не действуют, продольная сила будет равна внешней сжимающей силе: Решение задач по технической механике

Тогда из формулы (3.1) следует, что площадь поперечного сечения штока

Решение задач по технической механике

кроме того:

Решение задач по технической механике

Приравняв правые части последних зависимостей, находим диаметр штока гидроцилиндра:

Решение задач по технической механике

С учетом запаса прочности принимаем стандартный диаметр штока Решение задач по технической механике

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

 

Сдвиг

Детали, служащие для соединения отдельных элементов машин (шпонки, штифты, заклепки, болты и т.п.), воспринимают нагрузки, перпендикулярные к их продольной оси. Поперечная нагрузка в данных деталях приводит к прямолинейному перемещению одних слоев относительно других. В результате в сечении возникают касательные напряжения Решение задач по технической механике

Рассмотрим элемент, одна грань которого неподвижна, а другая сместилась под действием силы Решение задач по технической механике (рис. 3.8). В результате деформации элемент принимает форму параллелограмма. Мерой деформации сдвига служит изменение первоначального прямого угла между гранями элемента, называемое углом сдвига. Касательные напряжения, в известных пределах, прямо пропорциональны углу сдвига — закон Гука при сдвиге:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — упругая постоянная материала, называемая модулем сдви-гау или модулем упругости второго рода, МПа; Решение задач по технической механике — угол сдвига, рад.

Между тремя упругими постоянными — модулем упругости первого рода £, коэффициентом Пуассона Решение задач по технической механике (табл. 3.2) и модулем сдвига Решение задач по технической механике — существует следующая зависимость:

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

Для стали Решение задач по технической механике Расчеты деталей при сдвиге базируются на следующих допущениях:

в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор — поперечная сила Решение задач по технической механике

касательные напряжения распределены равномерно по площади поперечного сечения;

если соединение осуществлено несколькими одинаковыми крепежными деталями (например, заклепками), считается, что все они нагружены одинаково.

Критический сдвиг в случае разрушения детали называется срезом. Условие прочности для деталей, работающих на срез, имеет следующий вид:

Решение задач по технической механике

где Решение задач по технической механике — расчетное касательное напряжение среза, МПа; Решение задач по технической механике — поперечная сила, Решение задач по технической механике — площадь поперечного сечения, Решение задач по технической механике — допускаемое касательное напряжение среза, МПа; Решение задач по технической механике — общая нагрузка в соединении, Решение задач по технической механике — число деталей (заклепок, болтов и т.п.).

 

 

 

Задача 3.3.

Проверить прочность штифтового соединения коромысла с валом (рис. 3.9), если Решение задач по технической механике длина штифта Решение задач по технической механике Остальные данные указаны на рисунке.

Решение задач по технической механике

Решение:

Силу среза Решение задач по технической механике действующую на штифт, определим из условия равновесия. Для этого составим уравнение равновесия моментов относительно центра вала:

Решение задач по технической механике

откуда Решение задач по технической механике

Определим касательное напряжение среза:

Решение задач по технической механике

Фактическое касательное напряжение меньше допускаемого, следовательно, условие прочности для данного штифтового соединения выполнено.

 

 

Кручение

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент.

Рассмотрим кручение цилиндра (рис. 3.10), один конец которого жестко заделан, а второй нагружен крутящим моментом Решение задач по технической механике Введем некоторые допущения:

ось цилиндра остается прямолинейной;

расстояние вдоль оси бруса между поперечными сечениями не изменится.

поперечные сечения бруса поворачиваются на некоторый угол Решение задач по технической механике оставаясь при этом плоскими.

Пояснить это можно, если представить, что кручению подвергается не брус, а стопка монет. Вращая верхнюю монету, мы будем вращать и последующие — каждую на свой угол, при этом плоскостность, а также толщина монет сохранятся.

При кручении слои бруса сдвигаются относительно друг друга. Влияние геометрических параметров ноиеречного сечения бруса назначения касательных напряжений. При кручении внутренний силовой фактор (крутящий момент) действует в плоскости сечения бруса, в результате чего возникают только касательные напряжения Решение задач по технической механике Касательные напряжения по сечению распределены неравномерно: максимальны на поверхности и уменьшаются до нуля к центру бруса (рис. 3.11). При этом касательные напряжения зависят не только от площади поперечного сечения, но и от его формы:

Решение задач по технической механике

Таблица 3.3. Геометрические параметры плоских сечений при кручении

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике (3.2)

где Решение задач по технической механике — действующее касательное напряжение, МПа; Решение задач по технической механике — крутящий момент, Решение задач по технической механике — момент сопротивления кручению, мм3 (табл. 3.3). Построение эпюр. Рассмотрим брус (рис. 3.12), находящийся под действием крутящих моментов Решение задач по технической механике На нем можно выделить три характерных участка. Применив метод сечений, определим крутящие моменты Решение задач по технической механике на соответствующих участках (заменив отброшенную часть бруса внутренним силовым фактором).

  • Правило знаков. Если когда мы смотрим на сечение крутящий момент направлен против хода часовой стрелки, он считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Будем рассматривать брус слева направо и для этого найдем реакцию заделки из условия равновесия:

Решение задач по технической механике,

откуда Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

В сечении 1 — 1 и сечении 2 — 2

Решение задач по технической механике

откуда Решение задач по технической механике

В сечении 3 — 3

Решение задач по технической механике

откуда Решение задач по технической механике

На основе полученных данных строим эпюры крутящих моментов. В качестве проверки можно применить метод сечений повторно, при этом рассматривая сечения справа налево. При правильном построении вид эпюры не изменится.

По формуле (3.2) найдем касательные напряжения.

В сечении 1 — 1

Решение задач по технической механике

В сечении 2 — 2

Решение задач по технической механике

В сечении 3 — 3

Решение задач по технической механике

Затем строим эпюру касательных напряжений (см. рис. 3.12). Формулы для расчета на прочность при кручении. Считают, что условие прочности бруса при кручении соблюдено, если наибольшие касательные напряжения не превышают допускаемого напряжения:

Решение задач по технической механике

Можно принять допускаемые касательные напряжения, ориентируясь на допускаемые нормальные напряжения для растяжения или сжатия:

для сталей Решение задач по технической механике

для чугуновРешение задач по технической механике

 

 

 

Задача 3.4.

Ступенчатый вал круглого сечения нагружен тремя моментами Решение задач по технической механике (рис. 3.13). Построить эпюры крутящих моментов и касательных напряжений. Проверить прочность вала при Решение задач по технической механике при следующих данных: Решение задач по технической механике Решение задач по технической механике Моменты Решение задач по технической механике приложены на концах вала, а момент Решение задач по технической механике — в середине центральной ступени вала.

Решение:

Разбиваем вал на характерные участки, находим внутренний силовой фактор для выбранных сечений и строим эпюру крутящих моментов.

В сечении 1 — 1 и сечении 2 — 2

Решение задач по технической механике

откуда Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

В сечении 3 — 3 и сечении 4 — 4

Решение задач по технической механике

откуда Решение задач по технической механике

При построении эпюры мы рассматривали вал слева направо, при этом значение момента Решение задач по технической механике для расчетов не потребовалось.

По формуле (3.2) находим касательные напряжения для каждого сечения и строим эпюру с соблюдением знаков.

В сечении 1 — 1

Решение задач по технической механике

В сечении 2 — 2

Решение задач по технической механике

Решение задач по технической механике

В сечении 3 — 3

Решение задач по технической механике

В сечении 4 — 4

Решение задач по технической механике

Из полученных значений касательных напряжений можно сделать вывод, что четвертое сечение 4 — 4 не отвечает условию прочности, так как фактическое касательное напряжение больше допускаемого.

В этом месте вал разрушится. Для предотвращения этого необходимо либо снизить нагрузку на данном участке, либо увеличить диаметр вала.

 

 

 

Задача 3.5.

Два одинаковых вала соединены муфтой (рис. 3.14). Определить наибольший допускаемый крутящий момент, передаваемый муфтой, при Решение задач по технической механике Считать, что прочность валов и штифтов соблюдена. Размеры муфты: Решение задач по технической механике

Решение:

Находим допускаемый момент из условия прочности втулки:

Решение задач по технической механике

Передаваемый момент не должен превышать Решение задач по технической механике