Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии с примерами онлайне

 

Если у вас нету времени на решение задач по начертательной геометрии вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по начертательной геометрии помощь в учёбе

 

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных фигур на плоскости и способов решения и исследования геометрических задач по заданным изображениям.

  • Прямой задачей начертательной геометрии является задача построения чертежа, т. с. изображения предмета на плоскости и изучение способов этого построения. Обратной задачей является воссоздание по проекционному чертежу формы, размеров оригинала, взаимного расположения его элементов и других геометрических параметров.

Решение задач по начертательной геометрии
Правила построения изображений на плоскости (или другой поверхности) основаны на методе проецирования.

Проецирование - это процесс изображения геометрического образа на плоскости путем проведения через все его точки воображаемых лучей до пересечения с плоскостью проекций.

Совокупность точек, полученных при пересечении лучей с плоскостью проекций, даст изображение пространственной фигуры - проекцию (рисунок 2.1).
Решение задач по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Методы проецирования

1) Центральное проецирование Центральным называется проецирование, при котором вес проецирующие лучи выходят из одной точки Л\ называемой центром проецирования (рисунок 2.2).
2) Параллельное проецирование

Частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования S удален в бесконечность от плоскости проекций (рисунок 2.3).
Решение задач по начертательной геометрии

Косоугольное проецирование -проецирующие лучи составляют с плоскостью проекций угол, не равный 90° (рисунок 2.4).
Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии

Прям угол (ортогональное) проецирование - проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рисунок 2.5).
Основные свойства параллельного проецирования

  • 1. Свойство однозначности. Проекцией точки на плоскость есть точка.
  • 2. Свойство прямолинейности. Проекцией прямой линии на плоскость есть прямая.
  • 3. Свойство принадлежности. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции этой линии.
  • 4. Свойство сохранения параллельности. Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые.
  • 5. Свойство деления отрезка в отношении. Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении.
  • 6. Свойство параллельного переноса. Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций.

Образование комплексного чертежа. Точка в системе двух и трех плоскостей проекций

Чертеж, составленный из двух и более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала, называется комплексным чертежом.

Принцип образования чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем совмещают с плоскостью чертежа. Этот метод был изложен французским геометром Гаспаром Мопжсм (1746-1818) и назван методом Монжа.

1) Система плоскостей проекций Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 2.6)
Решение задач по начертательной геометрии

Система плоскостей проекций Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 2.7)

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии — горизонтальная плоскость проекций,

Решение задач по начертательной геометрии - фронтальная плоскость проекций,

Решение задач по начертательной геометрии - профильная плоскость проекций,

Решение задач по начертательной геометрии - оси проекций (линии пересечения плоскостей проекций),

Решение задач по начертательной геометрии - горизонтальная проекция точки Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии - фронтальная проекция точки Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии - профильная проекция точки Решение задач по начертательной геометрии
3) Система прямоугольных координат

Координаты точки - числа, выражающие собой расстояния от точки до плоскостей проекций. Например, координаты точки Решение задач по начертательной геометрии где

Решение задач по начертательной геометрии - расстояние точки до плоскости Решение задач по начертательной геометрии (ширина точки Решение задач по начертательной геометрии );

Решение задач по начертательной геометрии - расстояние точки до плоскости Решение задач по начертательной геометрии (глубина точки Решение задач по начертательной геометрии );

Решение задач по начертательной геометрии - расстояние точки до плоскости Решение задач по начертательной геометрии (высота точки Решение задач по начертательной геометрии ).

4) Четверти пространства

Две плоскости делят пространство на четыре части - четверти (рисунок 2.8). Точки в различных четвертях пространства (рисунок 2.9)

Решение задач по начертательной геометрии

5) Различные положения точки в пространстве

а) Общего положения (ни одна из координат не равна нулю) (рисунок 2.10)

Решение задач по начертательной геометрии
б) Частного положения:

Точки принадлежат одной из плоскостей проекции (одна из координат равна нулю, одна проекция совпадает с самой точкой). Точка Решение задач по начертательной геометрии принадлежит плоскости Решение задач по начертательной геометрии точка Решение задач по начертательной геометрии точка Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 2.11)
Решение задач по начертательной геометрии
Точки лежат на одной из осей (две координаты точки равны нулю, две проекции точки совпадают с самой точкой), а третья проекция находится в начале координат. Точка А принадлежит оси ОХ, В - оси OY, точка С - оси OZ (рисунок 2.12).
Решение задач по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Начертательная геометрия

 

Прямая линия. Способы задания. Положение относительно плоскостей проекций

Прямая может быть задана либо проекциями двух точек, либо проекциями одной точки и направлением. Прямая в пространстве безгранична. Ограниченную часть прямой называют отрезком.

1) Прямая общего положения

Решение задач по начертательной геометрии

Прямая общего положения называется прямая , не параллельная ни одной из плоскостей проекциц Решение задач по начертательной геометрии ( рис.2.13)
 

Прямая линия. Способы задания. Положение относительно плоскостей проекций

 

Прямая может быть задана либо проекциями двух точек, либо проекциями одной точки и направлением. Прямая в пространстве безгранична. Ограниченную часть прямой называют отрезком.

1) Прямая общего положения

Решение задач по начертательной геометрии

Прямой общего положения называется прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 2.13)
2) Прямые частного положения

Прямые частного положения - это прямые, которые либо параллельны (прямые уровня, таблица 2.1), либо перпендикулярны - (проецирующие прямые, таблица 2.2) одной из плоскостей проекций.

Решение задач по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по начертательной геометрии заказать

 

Следы прямой

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой (рисунок 2.14):

Решение задач по начертательной геометрии - горизонтальный слсд прямой;

Решение задач по начертательной геометрии - фронтальный слсд прямой.

Если прямая параллельна плоскости проекций, то Рисунок 2.14 - Следы прямой на дашюй плоскости проекций у нес нет следа.

Решение задач по начертательной геометрии

 

 

Плоскость. Способы задания. Положение плоскости относительно плоскостей проекций

1) Задание плоскости

Плоскость на чертеже может быть задана следующими способами (таблица 2.3).

Решение задач по начертательной геометрии
2) Положение плоскостей в пространстве

а) Плоскость общего положения
Плоскость, пс перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рисунок 2.15).
Решение задач по начертательной геометрии

б) Плоскости частного положения

Плоскости частного положения - это плоскости, которые либо перпендикулярны (проецирующие плоскости, таблица 2.4), либо параллельны одной из плоскостей проекций (плоскости уровня, таблица 2.5).

б) Плоскости частного положения

Плоскости частного положения - это плоскости, которые либо перпендикулярны (проецирующие плоскости, таблица 2.4), либо параллельны одной из плоскостей проекций (плоскости уровня, таблица 2.5).

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по начертательной геометрии онлайн

 

Многогранники. Основные понятия и определения. Классификация. Образование и задание многогранников на чертеже

Деталь любой формы - совокупность геометрических тел. Геометрическое тело - замкнутая часть пространства, ограниченная плоскими (гран-ными) или кривыми поверхностями. Многогранная поверхность - поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии (рисунок 2.16).

Решение задач по начертательной геометрии

  • Многогранник - геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Элементами гранных поверхностей, кроме граней, являются: ребра - линии пересечения смежных граней, вершины - точки пересечения ребер. Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называют выпуклым, все его грани - выпуклые.
  • Призма - многогранник, верхними и нижними основаниями которого являются многоугольники, а вес боковые ребра параллельны между собой. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основанию, и наклонной, сели не перпендикулярны. Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники.
  • Пирамида - многогранник, основанием которого является многоугольник, а все боковые грани - треугольники. Пирамида называется правильной, сели се основание - правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника. Если пирамиду отсечь плоскостью параллельной основанию, то получим усеченную пирамиду.

Построение проекций многогранников сводится к построению проекций их элементов: вершин (точек), ребер (отрезков прямых) и граней (плоских многоугольников).

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по начертательной геометрии заказать готовую онлайн

 

Способ аксонометрического проецирования. Сущность и основные понятия. Расположение осей. Коэффициенты искажения

Сущность аксонометрического проецирования состоит в том, что предмет вместе с осями координат параллельными лучами проецируется на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций (или картинной плоскостью) (рисунок 2.17). Проекции осей координат на аксонометрическую плоскость называются аксонометрическими осями.

Решение задач по начертательной геометрии

Коэффициенты искажения - числа, показывающие в каком отношении изменяются длины отрезков, параллельных осям координат в ортогональных проекциях, при проецировании их на аксонометрическую плоскость. В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции делятся на изометрические (коэффициенты по всем трем осям одинаковые), димстричсскис (коэффициенты по двум осям одинаковые) и тримстричсскис (коэффициенты по всем осям не равны).

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по начертательной геометрии расчетно графическая работа

 

Стандартные аксонометрические проекции

Стандартом (ГОСТ 2.317-69) предусмотрены пять аксонометрических проекций: 1) прямоугольная изометрическая; 2) прямоугольная димстричс-ская; 3) косоугольная фронтальная изометрическая; 4) косоугольная фронтальная димстричсская; 5) косоугольная горизонтальная изометрическая.

Расположение осей наиболее распространенных аксонометрических проекций приведено в таблице 2.6. Примеры построения овалов даны в таблице 2.7. Примеры построения аксонометрических проекций различных геометрических фигур даны в таблице 2.8. Пример построения аксонометрических проекций детали дай па рисунке 2.18.

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач

Задачи на принадлежность: принадлежность точки и прямой, точки и плоскости, прямой и плоскости
Решение задач по начертательной геометрии
Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям прямой (рисунок 3.1, а). Точка принадлежит

плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей плоскости (рисунок 3.1, б). Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через: 1) две точки, принадлежащие данной плоскости (рисунок 3.2, а); 2) точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости (рисунок 3.2, б).

Решение задач по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по начертательной геометрии с решением

 

Особые (главные) линии плоскости


1) Линии уровня горизонталь, фронталь, профильная прямая.

Горизонталь плоскости Решение задач по начертательной геометрии- прямая в плоскости параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали всегда параллельна оси X (в случае плоскости общего положения).
Фронталь плоскости h - прямая в плоскости параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали всегда праллсльна оси X (рисунок 3.3).

2. Линии наибольшего наклона (ската) плоскости, линии, перпендикулярные к соответствующим линиям уровня.

Взаимное положение прямых. Конкурирующие точки
Решение задач по начертательной геометрии
Точки, лежащие на одном проецирующем луче называются конкурирующими (рисунок 3.4, в).

 

Параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей


Решение задач по начертательной геометрии
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, находящейся в этой плоскости (рисунок 3.5).
Две плоскости параллельны, если две псрссс-кающисся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рисунок 3.6).

Решение задач по начертательной геометрии
 

Пересечение плоскостей

При построении линии пересечения двух плоскостей возможны три случая:

1. Обе плоскости частного положения (рисунок 3.7).

2. Одна плоскость частного положения, а другая - общего (рисунок 3.8).
Решение задач по начертательной геометрии Решение задач по начертательной геометрии
3. Обе плоскости общего положения.

Линия пересечения двух плоскостей общего положения может быть построена двумя способами: 1) по точкам пересечения прямых 2) используя метод плоскостсй-линий одной плоскости с другой посредников (рисунок 3.9, б). плоскостью (рисунок 3.9, а):

Решение задач по начертательной геометрии

 

Сущность преобразования чертежа

Способы преобразования чертежа делятся на два вида:

  • 1) геометрический объект при преобразовании остается неподвижным, а плоскости проекций меняют свое положение так, чтобы объект находился относительно них в частном положении (способ замены плоскостей проекций);
  • 2) плоскости проекций при преобразовании остаются неподвижными, а объект меняет свое положение так, чтобы относительно плоскостей проекций он занял частное положение (способ вращения вокруг проецирующей оси, способ совмещения, способ вращения вокруг линий уровня, способ плос-копараллсльного перемещения).

Существует четыре исходные задачи преобразования чертежа:

  • 1) прямую общего положения сделать прямой уровня;
  • 2) прямую уровня сделать проецирующей;
  • 3) плоскость общего положения сделать проецирующей плоскостью:
  • 4) проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей состоит в том, что пространственное положение объектов остается неизменным, а меняется система плоскостей проекций путем ввода дополнительных плоскостей проекций, при этом сохраняется взаимная перпендикулярность двух плоскостей проекций (рисунок 4.1).
Решение задач по начертательной геометрии

При решении четырех исходных задач выполняют следующее: для первой дополнительную плоскость выбирают параллельно заданной прямой общего положения; для второй - дополнительную плоскость выбирают перпендикулярно заданной прямой уровня (рисунок 4.2); для третьей - в заданной плоскости общего положения построить линию уровня и дополнительную плоскость выбирают перпендикулярно ей; для четвертой - дополнительную плоскость выбирают параллельно проецирующей плоскости (рисунок 4.3).
Решение задач по начертательной геометрии

 

Способ вращения вокруг проецирующей прямой


Способ заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси до положения параллельного какой-либо плоскости проекций.
Решение задач по начертательной геометрии
При вращении точки вокруг проецирующей прямой на плоскости перпендикулярной оси вращения, проекция точки перемещается по дуге окружности, а на плоскости, параллельной оси вращения - по прямой линии, параллельной оси (рисунки 4.4 и 4.5).

Решение задач по начертательной геометрии

 

Определение положения точек и линий на поверхности многогранника

Построение проекций точек и линий на поверхности многогранника осуществляется аналогично построению точек, принадлежащих прямым (ребра многогранника) или плоскостям (грани многогранника). Примеры построения проекций точек показаны на рисунках 4.7 и 4.8.
Решение задач по начертательной геометрии
Пересечения многогранников плоскостью. Определение ^ натуральной величины сечения

Фигура сечения многогранника - многоугольник, число сторон которого равно числу граней, пересекаемых плоскостью (рисунок 4.6). Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер секущей плоскостью, а сторонами линии пересечения граней с секущей плоскостью. Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой с секущей плоскостью (метод ребер) или к задаче по построению линий пересечения плоскостей (метод граней). Пример построения ссчсния призмы фронтально-проецирующей плоскостью приведен на рисунке 4.7, пирамиды - горизонтально-проецирующей плоскостью на рисунке 4.8.
Решение задач по начертательной геометрии

 

Пересечение прямой с поверхностью многогранника


Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника производится аналогично построению точки пересечения прямой с плоскостью: через прямую проводят вспомогательную плоскость частного положения, строят ссчснис многогранника вспомогательной плоскостью и находят общие точки прямой и построенного ссчсния. Полученные точки являются точками встречи прямой с поверхностью многогранника (точки входа и выхода).
Решение задач по начертательной геометрии
В частных случаях: при построении точек пересечения прямой с поверхностью многогранника, когда прямая или грани многогранника являются проецирующими, следует использовать «вырождение» их проекций в точку или прямые.

 

Взаимное пересечение многогранников

Линия пересечения многогранников может быть построена несколькими способами, например, определив точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и наоборот. Гели точки не определяются непосредственно, для их построения выбираются вспомогательные секущие плоскости - посредники: проецирующие плоскости либо плоскости уровня. Искомые точки определяются как общие точки линии пересечения секущих плоскостей с заданными многогранниками.

Объединение найденных точек в линию пересечения производится путем обхода по граням одного из многогранников.

 

Кривые линии. Основные понятия и определения. Свойства ортогональных проекций кривой линии.

Кривая - совокупность последовательных положений точки, перемещающейся в пространстве. Кривые делятся на плоские, всс точки которых лежат в одной плоскости (окружность, эллипс, парабола) и пространственные (винтовые), на закономерные, которые могут быть выражены аналитически, и случайные, которые задаются только графически.

Цилиндрическая винтовая линия - линия, описываемая точкой при равномерном движении по прямой, если эта прямая равномерно вращается вокруг параллельной ей оси (рисунок 5.1).
Решение задач по начертательной геометрии

Некоторые свойства проекций кривых

  • 1. Если точка лежит на кривой, то ее проекции лежат па одноименных проекциях этой кривой на одной линии связи.
  • 2. Плоская кривая, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в прямую.

Поверхность. Формообразование поверхностей. Задание поверхностей на чертеже. Классификация поверхностей

В начертательной геометрии основным способом образования поверхностей является кинематический способ (рисунок 5.2). В этом случае поверхность рассматривается как геометрическое место последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Линия, посредством которой получена поверхность, называется образующей (t). Линия, из которой перемещается образующая, называется направляющей (m).

Решение задач по начертательной геометрии

 

Задание поверхности на комплексном чертеже

Для задания поверхности на комплексном чертеже необходимо иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют построить каждую се точку.

При задании поверхностей кинематическим способом образования используют понятие определителя. Определитель - это совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. Структурная формула определителя произвольной поверхности имеет следующий вид: Ф (Г) [Л], где Г - геометрическая часть, Л - алгоритмическая.

Множество точек или линий, определяющих поверхность, называют се каркасом.

Самый распространенный графический способ задания поверхности очерками.
Решение задач по начертательной геометрии
При проецировании произвольной поверхности на плоскость проекций некоторые из проецирующих лучей будут касаться этой поверхности и образовывать проецирующую поверхность Ф. Линия касания этих поверхностей называется контурной линией, а ее проекция на плоскость очерком. Иными словами очерк поверхности это граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекций.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

 

Классификация поверхностей

В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения поверхности можно разделить на следующие основные группы.

  • 1. Линейчатые, образующая которых является прямая линия и нелинейчатые, образованные движением кривой.
  • 2. Развертывающиеся поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрыва и складок и неразвертывающиеся, поверхности которые не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок.
  • 3. Поверхности с постоянной образующей и поверхности с переменной образующей.
  • 4. Закономерные и незакономерные поверхности.
  • 5. Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым движением образующей.

 

Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Определитель такой поверхности имеет вид: Решение задач по начертательной геометрии где t - прямолинейная образующая; Решение задач по начертательной геометрии - в общем случае криволинейные направляющие. Алгоритмическую часть определителя можно записать так: прямолинейная образующая в своем движении пересекает всс три направляющие.

 

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостьюпараллелизма

В зависимости от формы направляющих различают следующие поверхности: цилиндроид, коноид и гиперболический параболоид (косая плоскость). Цилиндроид - линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, у которой обе направляющие являются кривыми линиями (рисунок 5.4, а). У коноида, в отличие от цилиндроида, одна из направляющих прямая. Гиперболический параболоид получается в результате перемещения прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим (рисунок 5.4, б).
Решение задач по начертательной геометрии

Линейчатые поверхности с одной направляющей: цилиндрическая, коническая, торсовая. Коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей. При этом образующая проходит через некоторую неподвижную точку S, которая называется вершиной (рисунок 5.5, а). Геометрическая часть определителя конической поверхности включает направляющую к и вершину S.

Цилиндрическая поверхность получается в том случае, когда все прямолинейные образующие проходят через направляющую к и пересекаются в несобственной точке S (рисунок 5.5, б). Геометрическая часть определителя конической поверхности включает направляющую к и несобственную вершину S (направляющий вектор).

Торс (поверхность с ребром возврата) образуется движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой, называемой ребром возврата (от франц. tors - 'витой, крученный').
Решение задач по начертательной геометрии

 

Поверхности вращения

поверхности образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рисунок 5.6). Каждая точка образующей описывает окружность с центром О, плоскость которой перпендикулярна оси /. Эти окружности называют параллелями (А). Наибольшая и наименьшая параллели называются соответственно экватором и горлом.
5.1.4 Поверхности вращения
Решение задач по начертательной геометрии

Линии, плоскость которых проходит через ось вращения Решение задач по начертательной геометрии называют меридианами. Если меридиапальная плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость меридиан проецируется без искажения. Такой меридиан называется главным.

На чертеже поверхность вращения однозначно задастся своим определителем. Однако для наглядности чертеж поверхности дополняют очерками.

Поверхности, образованные вращением прямой линии:

  • а) цилиндрическая поверхность вращения - получена вращением прямой Решение задач по начертательной геометрии вокруг параллельной ей оси Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 5.7, а);
  • б) коническая поверхность вращения - образована вращением прямой Решение задач по начертательной геометрии вокруг пересекающейся с ней осью Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 5.7, б);
  • в) однополостный гиперболоид вращения - это поверхность, полученная вращением прямой Решение задач по начертательной геометрии вокруг скрещивающейся с ней осью Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 5.7, в).

Решение задач по начертательной геометрии

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка (уравнение такой кривой па плоскости в декартовой системе координат - алгебраическое второй степени):

  • а) сфера - поверхность, образованная вращением окружности вокруг прямой, проходящей через ее центр (рисунок 5.8);
  • б) тор - поверхность, полученная при вращении окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, по пс проходящей через ее центр (рисунок 5.8);
  • в) эллипсоид вращения - поверхность, полученная вращением эллипса вокруг его оси;
  • г) параболоид вращения - получается во вращательном движении параболы вокруг се оси;
  • д) двухполостпый гиперболоид вращения - поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг се действительной оси;
  • с) однополостный гиперболоид вращения - поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг се мнимой оси.

Решение задач по начертательной геометрии

Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Винтовым движением называется сложное движение, состоящее из равномерного вращательного движения вокруг оси и равномерного прямолинейного движения, параллельного этой оси. Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью, или геликоидом.

Циклические поверхности

Циклическая поверхность - это множество последовательных положений окружности постоянного или переменного радиуса, перемещающейся в пространстве. Циклическая поверхность общего вида задастся тремя направляющими Решение задач по начертательной геометрии

На рисунке 5.9, а показана поверхность, называемая эллиптическим цилиндром, а на рисунке 5.9, б - поверхность эллиптического конуса.
Решение задач по начертательной геометрии
Принадлежность точки и линии поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь линии, принадлежащей поверхности. Для построения точек, лежащих на поверхностях, пользуются графически простыми линиями (прямыми или окружностями) этой поверхности. Примеры построения недостающих проекций точек и линий рассмотрены ниже.

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат поверхности.

 

 

Пересечение поверхности плоскостью. Построение натуральной величины фигуры сечения

Для построения линии пересечения поверхности плоскостью в общем случае применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. Точки искомой линии определяются как точки пересечения линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость. При подборе вспомогательных плоскостей предпочтение следует отдавать проецирующим плоскостям, пересекающим заданную поверхность по простым линиям.

Определение проекций линий сечения рекомендуется начинать с построения его опорных (характерных) точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), точки, удаленные на экстремальные расстояния от плоскостей проекций и некоторые другие. После этого определяют промежуточные точки сечения.

Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение.

В этом случае одна из проекций сечения находится на слсдс плоскости, т. с. известна. Для построения линии ссчсния в данном случае необходимо:

  • 1) определить форму линии ссчсния в пространстве;
  • 2) определить форму проекций линии ссчсния;
  • 3) на проекции линии ссчсния, вырожденной в прямую линию, обозначить проекции опорных точек искомой линии: а) точек, проецирующихся па очерки проекций поверхности (делящих линию на видимую и невидимую части); б) точек, по которым можно построить графическим приемом всю линию: для эллипса - концы сопряженных диаметров, для параболы и гиперболы вершины и концы наибольшей хорды, для многоугольника - его вершины;
  • 4) построить недостающие проекции опорных точек;
  • 5) построить проекции промежуточных точек;
  • 6) полученные точки последовательно соединить с учетом видимости.

При пересечении поверхности с плоскостью общего положения заданную плоскость можно преобразовать в проецирующую способом замены плоскостей проекций, а затем решить задачу по вышеуказанному алгоритму и вернуться к исходным проекциям.

 

Сечение цилиндра вращения

В сечении цилиндрической поверхности вращения плоскостью может получиться (рисунки 5.10; 5.11):

  • 1) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра;
  • 2) две образующие, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра;
  • 3) эллипс, сели секущая плоскость наклонена к оси цилиндра.

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии

Сечение конуса вращения В сечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены (рисунки 5.12; 5.13):

  • 1) окружность, сели секущая плоскость перпендикулярна оси вращения;
  • 2) эллипс, сели секущая плоскость пересекает вес образующие;
  • 3) парабола, сели секущая плоскость параллельна только одной образующей поверхности;
  • 4) гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим;
  • 5) две прямые, если секущая плоскость проходит через вершину поверхности.

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии
На рисунке 5.14 показано построение гипербол, полученных при пересечении конуса вращения горизонтально-проецирующими плоскостями, образующими грани правильной шестигранной призмы.

Решение задач по начертательной геометрии

Сечение сферы

При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то такая окружность проецируется на эту плоскость без искажения. Если же она не параллельна - проекция ссчсния представляет собой эллипс (рисунок 5.15).
Решение задач по начертательной геометрии

Построение натуральной величины фигуры сечения

Натуральный вид линии пересечения определяется на плоскости, параллельной секущей плоскости, как правило, с применением способа замены плоскостей проекций.

Пересечение прямой линии с поверхностью

Для определения точек пересечения прямой линии и поверхности, как правило, пользуются вспомогательной секущей плоскостью, проходящую через данную прямую (рисунок 5.16). Точки пересечения прямой с полученной фигурой ссчсния являются искомыми точками пересечения прямой с поверхностью. Очевидно, что вспомогательную секущую плоскость нужно выбирать так, чтобы проекция ссчсния представляла по возможности графически простые линии: прямые или окружности.

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии

 

Общий принцип нахождения линии пересечения поверхностей

Линию пересечения поверхностей строят по се отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностей-посредников (рисунок 6.1). Суть способа: обе поверхности пересекают вспомогательной поверхностью; затем определяются линии пересечения данных поверхностей и вспомогательной, после чего на пересечении этих линий определяются точки, принадлежащие одновременно обеим данным поверхностям, т. с. их линии пересечения.

Чаще всего в качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы. Исходя из этого различают следующие способы построения проекций линии пересечения двух поверхностей: способ вспомогательных плоскостей (проецирующих и плоскостей общего положения); способ вспомогательных сфер (концентрических и эксцентрических)

Проекции линии пересечения всегда находятся в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей. Построение линии пересечения начинают с нахождения опорных точек. Они позволяют определить пределы расположения проекции линии пересечения и зоны, где имеет смысл находить случайные точки для более точного построения линии пересечения. Определение видимости линии пересечения проводят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости. Видимость участка совпадает с видимостью любой случайной точки этого участка.

 

Пересечения поверхностей, если одна или две занимают проецирующее положение

Задача упрощается, сели одна из поверхностей занимает проецирующее положение. Тогда эта поверхность вырождается в окружность (цилиндрическая) или многоугольник (призматическая). Одна из проекций искомой линии будет находиться на вырожденной проекции поверхности, а значит, известна. Вторая проекция линии находится из условия принадлежности ее нспросцирующсй поверхности. На рисунках показано построение линии пересечения цилиндрической и сферической поверхностей вращения (рисунок 6.2, с/), призматической и конической (рисунок 6.2, б).

Решение задач по начертательной геометрии

Частные случаи пересечения поверхностей (соосных поверхностей вращения, конусов с общей вершиной, цилиндров с параллельными образующими

Две цилиндрические поверхности с параллельными осями пересекаются по прямым линиям, соединяющим точки пересечения оснований цилиндров.

Две конические поверхности с общей вершиной пересекаются по прямым линиям, соединяющим вершину и точки пересечения оснований.

Сооспыс поверхности вращения второго порядка пересекаются по окружностям, фронтальная проекция которых является прямыми линиями. Сооспыс со сферой тела вращения пересекаются по окружностям, фронтальная или горизонтальная проекции которых являются прямыми линиями.

На рисунке 6.3 приведены примеры частных случаев пересечения поверхностей.
Решение задач по начертательной геометрии
Метод вспомогательных секущих плоскостей. Диапазон введения вспомогательных плоскостей

Построение точек линии пересечения поверхностей указанным способом состоит в проведении проецирующих плоскостей, пересекающих обе данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий, принадлежащих разным поверхностям и лежащим в одной секущей плоскости, определяет точки общие для обеих поверхностей - точки принадлежащие линии их пересечения (рисунок 6.4).
Решение задач по начертательной геометрии

 

Метод сфер с постоянным центром. Условия применимости. Диапазон радиусов

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосныс поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумиридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения псрссскаст эту поверхность по одной или нескольким окружностям.

Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии (рисунок 6.5).
Решение задач по начертательной геометрии

Способ вспомогательных концентрических сфер (сфер с постоянным центром) применяют при выполнении следующих условий (рисунок 6.6):

  • а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;
  • б) оси этих поверхностей должны пересекаться (точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер);
  • в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).

Решение задач по начертательной геометрии

Теорема Монжа о пересечении двух поверхностей второго порядка

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в псе, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в отрезки прямых.

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии

 

 

Ортогональная проекция прямого угла


Теорема о проецировании прямого угла: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, в другая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину (рисунок 7.1).

Решение задач по начертательной геометрии

Деление отрезка в заданном отношении

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же отношении (рисунок 7.2).
Решение задач по начертательной геометрии

Построение взаимно перпендикулярных фигур (прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей)

Таблица 7.1 - Построение взаимно перпендикулярных фигур
Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии


Определение расстояний между геометрическими объектами (точкой, прямой, плоскостью)

Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости, поверхности)

1. Расстояние между двумя точками определяется длиной отрезка, соединяющего эти точки.

2. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

3. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

4. Расстояние от точки до поверхности определяется как расстояние от точки до ближайшей образующей поверхности.

Ниже приведены алгоритмы решения задач без преобразования чертежа.

 

Расстояние между двумя точками

Натуральная величина отрезка является гипотенузой прямоугольного треугольника, один катет которого - проекция на эту плоскость проекций, а второй - разность расстояний концов отрезка от данной плоскости проекций (рисунок 7.6). Угол между катетом - проекцией и гипотенузой является углом наклона прямой к данной плоскости проекции.

Решение задач по начертательной геометрии

Расстояние от точки до прямой

Алгоритм решения:

1) через точку провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой;

2) найти точку встречи заданной прямой с проведенной плоскостью;

3) соединить полученные точки (это будет перпендикуляр из точки на прямую);

4) определить натуральную величину построенной прямой.
Решение задач по начертательной геометрии

Расстояние от точки до плоскости Алгоритм решения:

1) из точки опустить перпендикуляр на заданную плоскость;

2) найти точку встречи перпендикуляра с плоскостью;

3) определить натуральную величину расстояния между заданной и найденной точками.

В таблице 7.2 приведены решения задач способом замены плоскостей проекций.

Таблица 7.2 - Определение расстояний между геометрическими объектами

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии

Таблица 7.3 - Определение расстояний между фигурами

Определение расстояния между параллельными фигурами

Решение задач по начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрииРешение задач по начертательной геометрии
Решение задачи сводится к определению расстояния от точки до плоскости (см. рисунок 7.9)
Решение задачи сводится к определению расстояния от точки до плоскости (см. рисунок 7.9).
Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется отрезком перпендикуляра между ними. Для решения задачи необходимо одну из прямых преобразовать в положение проецирующей прямой, аналогично задаче по определению расстояния между параллельными прямыми (см. рисунок 7.10).

Определение углов

Таблица 7.4 Определение углов между геометрическими объектами

Решение задач по начертательной геометрии

Угол между пересекающимися прямыми - величина наименьшего из плоских углов, образованных этими прямыми (рисунок 7.11).
Решение задач по начертательной геометрии
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым
Угол между прямой и плоскостью может быть определен или через дополнительный (угол между заданной прямой и перпендикуляром к заданной плоскости) или непосредственно.

Угол между плоскостями - двугранный угол, измеряется линейным утлом, полученным от пересечения граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру
Решение задач по начертательной геометрии
Угол между прямой и поверхностью измеряется углом между прямой и плоскостью, касательной к поверхности в точке пересечения этой прямой с поверхностью.

Развертывание поверхностей

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности с плоскостью без разрывов и складок. В начертательной геометрии различают развертки точные, приближенные и условные.

 

Построение разверток многогранных поверхностей

Для построения развертки многогранной поверхности нужно совместить все грани этой поверхности с одной плоскостью так, чтобы образовалась плоская фигура. При этом смежными будут две грани, имеющие общее ребро. Всс грани на развертке изображаются в натуральную величину, поэтому ее построение в общем случае сводится к нахождению натуральных величин отдельных граней поверхности.

Существуют три способа построения разверток многогранных поверхностей:

  • 1) способ нормального сечения;
  • 2) способ раскатки;
  • 3) способ треугольников (триангуляции).

Первые два способа применяются при построении разверток призматических поверхностей, третий - для пирамидальных поверхностей.

Внимание! Над разверткой необходимо проставить условный знак Решение задач по начертательной геометрии
Способ треугольников Способ основан па возможности построения единственного (по форме) треугольника по его заданным сторонам (рисунок 7.16).

Решение задач по начертательной геометрии

Способ нормального сечения Способ применим для призматических поверхностей, у которых боковые ребра представляют собой линии уровня.

Решение задач по начертательной геометрии
Его применение возможно для таких призматических поверхностей, у которых боковые ребра и плоскости оснований являются прямыми и плоскостями уровня. Суть метода заключается в последовательном вращении граней призмы вокруг се боковых ребер до положения совмещения с плоскостью, которая проходит через одно из ребер и параллельна плоскости проекций (рисунок 7.18).

 

Приближенные развертки развертывающихся поверхностей

Построение разверток цилиндрических и конических поверхностей осуществляется аналогично построению разверток призматических и пирамидальных поверхностей. При этом цилиндрическая поверхность заменяется призматической с наибольшим количеством граней (не менее 12), а коническая-пирамидальной (рисунок 7.19, а, б).

Решение задач по начертательной геометрии

Решение задач по начертательной геометрии

Для некоторых линейчатых развертывающихся поверхностей нет необходимости в их замене многогранными поверхностями. Гак, например, отсек цилиндрической поверхности вращения радиуса Решение задач по начертательной геометрии и высотой h имеет разверткой прямоугольник со сторонами Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 7.20, а).

Разверткой конической поверхности вращения высотой h и основанием радиуса Решение задач по начертательной геометрии является сектор радиуса Решение задач по начертательной геометрии с углом Решение задач по начертательной геометрии (рисунок 7.20, б).

Решение задач по начертательной геометрии