Решение задач по матрицам

Если у вас нет времени на выполнение заданий по матрицам, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Решение задач по матрицамwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицамОтветы на вопросы по заказу заданий по матрицам:

Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицамСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Решение задач по матрицамКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Решение задач по матрицамЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Решение задач по матрицамМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Решение задач по матрицамКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Решение задач по матрицамКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Решение задач по матрицамВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицамНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в теме вычисления и решения Матриц, если у вас есть желание и много свободного времени!

Решение задач по матрицам

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по матрицам:
  2. Основные сведения о матрицах
  3. Задача 1.1
  4. Задача 1.2
  5. Задача 1.3
  6. Операции над матрицами и их свойства
  7. Задача 2.1
  8. Задача 2.2
  9. Сложение матриц
  10. Вычитание матриц
  11. Задача 2.4
  12. Задача 2.5
  13. Задача 2.6
  14. Задача 2.7
  15. Умножение матриц
  16. Задача 2.8
  17. Задача 2.9
  18. Задача 2.10
  19. Задача 2.11
  20. Задача 2.12
  21. Задача 2.13
  22. Задача 2.14
  23. Задача 2.15
  24. Задача 2.17

Основные сведения о матрицах

Определение Матрицей Решение задач по матрицам размера Решение задач по матрицам называется прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая Решение задач по матрицам строк и Решение задач по матрицам столбцов. Числа Решение задач по матрицам определяют размер матрицы. Условимся обозначать матрицы прописными буквами латинского алфавита: Решение задач по матрицам

  • Числа, функции или алгебраические выражения, образующие матрицу, называются матричными элементами. Будем обозначать их строчными буквами с двумя индексами. Первый индекс Решение задач по матрицам указывает номер строки, а второй индекс Решение задач по матрицам помер столбца, в которых располагается соответствующий элемент.

Таким образом, Решение задач по матрицам Здесь и в некоторых последующих формулах под символом матрицы указан ее размер. Часто используется обозначение Решение задач по матрицам матрицы (1.1), в котором Решение задач по матрицам и Решение задач по матрицам

Определение Две матрицы Решение задач по матрицам одинакового размера называются равнылш, если они совпадают поэлементно, т. е. Решение задач по матрицам для всех Решение задач по матрицам

Определение Матрица Решение задач по матрицам состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица

Решение задач по матрицам

состоящая из одного столбца, — матрицей-столбцом.

Определение Матрица называется квадратной Решение задач по матрицам порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно Решение задач по матрицам Решение задач по матрицам

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по матрицам заказать готовую онлайн

Задача 1.1

Решение задач по матрицам

— квадратная матрица третьего порядка.

Определение Матричные элементы Решение задач по матрицам квадратной матрицы Решение задач по матрицам называются диагональными Решение задач по матрицам

Определение Последовательность Решение задач по матрицам диагональных матричных элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого верхнего угла в правый нижний угол. Последовательность Решение задач по матрицам матричных элементов образует побочную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, т. е. Решение задач по матрицам при Решение задач по матрицам то такая матрица называется диагональной.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по матрицам онлайн

Задача 1.2

Решение задач по матрицам

— диагональная матрица второго порядка

Решение задач по матрицам — диагональная матрица третьего порядка.

Определение Если у диагональной матрицы Решение задач по матрицам порядка Решение задач по матрицам все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется единичной матрицей Решение задач по матрицам порядка.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по матрицам расчетно графическая работа

Задача 1.3

Решение задач по матрицам

— единичная матрица третьего порядка.

Определение Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей^ если все ее элементы равны нулю: Решение задач по матрицам В отличие от чисел, где число 0 единственно, нулевых матриц бесконечно много, т. к. каждому размеру матриц соответствует нулевая матрица этого размера.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по матрицам с решением

Операции над матрицами и их свойства

2.1 Умножение матрицы на число Определение Произведением Решение задач по матрицам матрицы Решение задач по матрицам на число Решение задач по матрицам называется матрица Решение задач по матрицам элементы которой

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам

Задача 2.1

Если

Решение задач по матрицам

Следствие Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

Задача 2.2

Сложение матриц

Определение Суммой Решение задач по матрицам двух матриц Решение задач по матрицам одинакового размера Решение задач по матрицам называется матрица Решение задач по матрицам элементы которой

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам

Задача 2.3

Решение задач по матрицам

Согласно правилу сложения матриц Решение задач по матрицам где Решение задач по матрицам — произвольная матрица, а Решение задач по матрицам — нулевая матрица того же размера, что и Решение задач по матрицам

Вычитание матриц

Определение Разность Решение задач по матрицам двух матриц одинакового размера определяется с помощью операции умножения матрицы Решение задач по матрицам на число —1 и последующего сложения матриц Решение задач по матрицам т. е.

Решение задач по матрицам

Некоторые свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами. В частности, из определений операций умножения матрицы на число и сложения матриц следует, что

Решение задач по матрицам — свойство коммутативности при сложении матриц.

Доказательство. Так как операция сложения определена только для матриц одинакового размера, причем сумма матриц является матрицей того же размера, что и слагаемые матрицы, то очевидно, что размер матрицы

Решение задач по матрицам

равен размеру матрицы

Решение задач по матрицам

Докажем, что и все элементы матрицы Решение задач по матрицам равны соответствующим элементам матрицы Решение задач по матрицам Из определения суммы двух матриц следует, что

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам и Решение задач по матрицам Согласно определению равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицам — свойство ассоциативности при сложении матриц.

  • Доказательство. Нетрудно убедиться, что размер матрицы Решение задач по матрицам совпадает с размером матрицы Решение задач по матрицам (см. доказательство предыдущего свойства).

Докажем, что все элементы матрицы Решение задач по матрицам равны соответствующим элементам матрицы Решение задач по матрицам Предварительно введем обозначения

Решение задач по матрицам

и определим новые матрицы

Решение задач по матрицам

Из определения операции сложения матриц следует, что

для всех Решение задач по матрицам Согласно определению равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицам — свойство ассоциативности при умножении чисел и матрицы.

Доказательство. Отметим, что согласно определению операция умножения матрицы на число не изменяет ее размера. Поэтому матрицы

Решение задач по матрицам

имеют один и тот же размер.

Докажем что все элементы матрицы Решение задач по матрицам равны соответствующим элементам матрицы Решение задач по матрицам Введем обозначение

Решение задач по матрицам

Тогда

Решение задач по матрицам

Из определения операции умножения матрицы на число следует, что

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицам — свойство дистрибутивности при умножении суммы матриц на число.

Доказательство. Так как при умножении матрицы на число ее размер сохраняется, а операция сложения матриц определена только для матриц одинакового размера, то очевидно, что размер матрицы Решение задач по матрицам равен размеру матрицы Решение задач по матрицам

Докажем, что все элементы матрицы Решение задач по матрицам равны соответствующим элементам матрицы Решение задач по матрицам Введем обозначения

Решение задач по матрицам

и определим новые матрицы:

Решение задач по матрицам

Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицам — свойство дистрибутивности при умножении суммы чисел на матрицу.

Доказательство. Очевидно, что размер матрицы Решение задач по матрицам совпадает с размером матрицы Решение задач по матрицам (см. доказательство предыдущего свойства).

Докажем, что все элементы матрицы Решение задач по матрицам равны соответствующим элементам матрицы Решение задач по матрицам Введем обозначения

Решение задач по матрицам

и определим новую матрицу:

Решение задач по матрицам

Из определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

Задача 2.4

Вычислить Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам

Задача 2.5

Найти сумму матриц

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Сумма не существует т. к. матрицы Решение задач по матрицам имеют разные размеры.

Задача 2.6

Вычислить Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам

Замечание 2.1 Введенное нами понятие матриц, которые можно сравнивать между собой и для которых определены операции сложения, вычитания и умножения на число, позволяет представить совокупность различных алгебраических соотношений в компактной, "матричной" форме.

Например, 4 соотношения

Решение задач по матрицам

в которых Решение задач по матрицам — некоторые числа, можно представить в виде одного матричного соотношения

Решение задач по матрицам

где

Решение задач по матрицам

Из уравнения (2.2) нетрудно выразить матрицу Решение задач по матрицам через матрицы Решение задач по матрицам Прибавим к левой и правой частям (2.2) матрицу — Решение задач по матрицам Так как Решение задач по матрицам то мы получим:

Решение задач по матрицам

Очевидно, что как и в случае чисел, преобразование матричного уравнения (2.2) к виду (2.4) представляет собой простой перепое матрицы Решение задач по матрицам в правую часть равенства (2.2) с изменением знака коэффициента при ней (равного единице) па противоположный. Из (2.4) найдем, что

Решение задач по матрицам

Учитывая свойство дистрибутивности при умножении суммы матриц на число, а также свойство ассоциативности при умножении чисел и матрицы, получим окончательно:

Решение задач по матрицам

Заметим, что (2.5) может быть получено из (2.4) простым умножением на число 1/2.

Подставляя в (2.5) матрицы Решение задач по матрицам из (2.3) и учитывая определение равенства двух матриц, найдем: Решение задач по матрицам

Из (2.6) получим:

Решение задач по матрицам

Эти же выражения можно было бы получить и с помощью той же последовательности преобразований каждого из четырех уравнений (2.1).

Таким образом, использование матричной формы записи позволяет избежать многократного повторения одних и тех же преобразований алгебраических выражений. Это обстоятельство играет важную роль при решении систем алгебраических уравнений, которые также можно представить в матричной форме.

Задача 2.7

Решить систему матричных уравнений

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Выразим матрицу Решение задач по матрицам из второго уравнения системы (2.7):

Решение задач по матрицам

Подставим это выражение в первое из уравнений (2.7). В результате получим: Решение задач по матрицам

Умножив (2.9) па число 1/7, найдем:

Решение задач по матрицам

Подставляя (2.10) в (2.8), найдем: Решение задач по матрицам

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Умножение матриц

Определение Умножение матрицы Решение задач по матрицам на матрицу Решение задач по матрицам определено, лишь когда число столбцов первой матрицы в произведении равно числу строк второй. Тогда произведением матриц Решение задач по матрицам называется матрица Решение задач по матрицам каждый элемент которой Решение задач по матрицам равен сумме попарных произведений элементов Решение задач по матрицам строки матрицы Решение задач по матрицам на соответствующие элементы Решение задач по матрицам столбца матрицы Решение задач по матрицам т. е.

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам

Обратим внимание на размеры матрицы Решение задач по матрицам число строк матрицы-произведения совпадает с числом строк первой, а число столбцов — с числом столбцов второй из перемножаемых матриц (см. Рис. 1).

Решение задач по матрицам

Задача 2.8

Вычислить произведение матриц Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Определим размер матрицы-произведения: Решение задач по матрицам

Вычислим элементы матрицы-произведения:

Решение задач по матрицам

Задача 2.9

Вычислить произведение матриц Решение задач по матрицам если Решение задач по матрицам

  • Решение:

Определим размер матрицы-произведения Решение задач по матрицам Вычислим элементы матрицы-произведения:

Решение задач по матрицам

Задача 2.10

Вычислить произведение матриц

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам

Задача 2.11

Вычислить произведения матриц Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам Произведение Решение задач по матрицам не существует т. к. число столбцов матрицы Решение задач по матрицам (равное четырем) не равно числу строк матрицы Решение задач по матрицам (равному трем). Имеют место следующие свойства:

1. Свойство дистрибутивности относительно суммы матриц: если сумма Решение задач по матрицам и произведение Решение задач по матрицам существуют, то Решение задач по матрицам

Доказательство. В самом деле, если сумма Решение задач по матрицам существует, то это означает, что матрицы Решение задач по матрицам и

Решение задач по матрицам

имеют один и тот же размер. Поэтому, если определено произведение

Решение задач по матрицам

то определены произведения

Решение задач по матрицам

и сумма

Решение задач по матрицам

причем матрицы Решение задач по матрицам имеют один и тот же размер.

Пусть Решение задач по матрицам — число столбцов матрицы Решение задач по матрицам Используя правила сложения и умножения матриц, получаем, что

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

Аналогично можно доказать, что если сумма Решение задач по матрицам и произведение Решение задач по матрицам существуют, то Решение задач по матрицам

2. Свойство ассоциативности относительно числового множителя: если произведение Решение задач по матрицам существует, то Решение задач по матрицам

Доказательство. Так как при умножении матрицы на число ее размеры не меняются, то из предположения о существовании произведения

Решение задач по матрицам

следует, что произведения

Решение задач по матрицам

в которых

Решение задач по матрицам

также существуют. При этом матрицы Решение задач по матрицам и

Решение задач по матрицам

имеют один и тот же размер.

Пусть Решение задач по матрицам — число столбцов матрицы Решение задач по матрицам Используя определения операций произведения матриц и умножения матрицы на число, получаем, что Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

3. Свойство ассоциативности при умножении матриц: если произведения Решение задач по матрицам существуют, то Решение задач по матрицам

Доказательство. Выберем размеры матриц Решение задач по матрицам таким образом, чтобы произведения Решение задач по матрицам существовали:

Решение задач по матрицам

Тогда произведения

Решение задач по матрицам

и

Решение задач по матрицам

также существуют и являются матрицами одного и того же размера.

Докажем, что все элементы матрицы Решение задач по матрицам равны соответствующим элементам матрицы Решение задач по матрицам Используя определение операции умножения матриц, получим, что

Решение задач по матрицам

для всех Решение задач по матрицам В соответствии с определением равенства матриц, это означает, что Решение задач по матрицам

Операция умножения матриц имеет ряд специфических свойств, отличающих ее от аналогичной операции для обычных чисел.

• Если произведение матриц Решение задач по матрицам существует, то произведение Решение задач по матрицам может не существовать.

Задача 2.12

Вычислить произведения Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам

Произведение Решение задач по матрицам не существует, т. к. число столбцов матрицы Решение задач по матрицам (равное трем) не равно числу строк матрицы Решение задач по матрицам (равному двум).

• Если даже произведения Решение задач по матрицам существуют, то они могут оказаться матрицами разных размеров.

Задача 2.13

Вычислить произведения матриц Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам Замечание 2.2 В примерах 2.11 и 2.13 возникают матрицы размера Решение задач по матрицам состоящие из одной строки и одного столбца. Эти матрицы не могут быть отождествлены с обычными числами: Решение задач по матрицам в самом даче, согласно данному па стр. 6 определению, на произвольное число Решение задач по матрицам можно умножить любую матрицу, в то время как на матрицу размера Решение задач по матрицам можно умножить справа лишь матрицу-столбец, а слева — лишь матрицу-строку.

Задача 2.14

Вычислить произведения матриц Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам • Легко понять, что оба произведения Решение задач по матрицам существуют и являются матрицами одинакового размера лишь в случае квадратных матриц Решение задач по матрицам одного и того же порядка. Однако, даже в этом случае коммутативный (переместительный) закон умножения может не иметь места, т. е. Решение задач по матрицам может не равняться Решение задач по матрицам

Задача 2.15

По данным

Решение задач по матрицам

найти Решение задач по матрицам

  • Решение:

Решение задач по матрицам

Таким образом, Решение задач по матрицам Из данного примера видно, что из равенства Решение задач по матрицам еще не следует, что Решение задач по матрицам или Решение задач по матрицам

Нетрудно убедиться, что при умножении единичная матрица играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел: единичная матрица Решение задач по матрицам порядка перестановочна с любой квадратной матрицей Решение задач по матрицам того же порядка, причем

Решение задач по матрицам

Чтобы доказать это, введем обозначения: Решение задач по матрицам Используя правило умножения матриц и определение единичной матрицыРешение задач по матрицам

находим, что для всех Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицам

Обратим внимание на то, что квадратная матрица Решение задач по матрицам является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (2.12) при ее умножении на любую квадратную матрицу Решение задач по матрицам того же порядка. Действительно, если бы существовала еще матрица Решение задач по матрицам с таким же свойством, то мы имели бы Решение задач по матрицам т. е. Решение задач по матрицам

Замечание 2.3 Отметим, что с помощью единичной матрицы операция умножения матрицы на число Решение задач по матрицам может быть представлена как умножение этой матрицы на некоторую другую матрицу:

Решение задач по матрицам

где Решение задач по матрицам — диагональная матрица вида

Решение задач по матрицам

Замечание 2.4 Если Решение задач по матрицам при любом Решение задач по матрицам Если Решение задач по матрицам при любом Решение задач по матрицам

Доказательство. В самом деле, выбирая в качестве матрицы Решение задач по матрицам единичную матрицу Решение задач по матрицам получим: Решение задач по матрицам Полагая же Решение задач по матрицам найдем: Решение задач по матрицам Пример 2.16 Вычислить произведения Решение задач по матрицам и Решение задач по матрицам если

Решение задач по матрицам

Решение. Сначала найдем произведение Решение задач по матрицам

Решение задач по матрицам

Для того, чтобы найти Решение задач по матрицам достаточно в произведении Решение задач по матрицам выполнить замену Решение задач по матрицам Из результата (2.14) видно, что полученное выражение симметрично относительно указанной замены. Поэтому Решение задач по матрицам

Задача 2.17

Доказать, что матрица

Решение задач по матрицам

перестановочна с матрицей

Решение задач по матрицам

в которой Решение задач по матрицам — произвольные действительные числа.

  • Решение:

Решение задач по матрицам

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по матрицам помощь в учёбе