Решение задач по математике

Если у вас нет времени на выполнение заданий по математике, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Решение задач по математикеwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Решение задач по математике

Решение задач по математикеОтветы на вопросы по заказу заданий по математике:

Решение задач по математике

Решение задач по математикеСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Решение задач по математикеКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Решение задач по математикеЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Решение задач по математикеМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Решение задач по математикеКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Решение задач по математикеКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Решение задач по математикеВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Решение задач по математике

Решение задач по математикеНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Математика", если у вас есть желание и много свободного времени!

Решение задач по математике

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
  2. Предел функции
  3. Предел функции на бесконечности
  4. Вычисление предела функции на бесконечности
  5. Решение примеров
  6. Пример задачи 1.
  7. Решение:
  8. Предел функции в точке
  9. Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций
  10. Пример задачи 2.
  11. Решение:
  12. Пример задачи 3.
  13. Решение:
  14. Пример задачи 4.
  15. Решение:
  16. Приращение аргумента. Приращение функции
  17. Пример задачи 5.
  18. Решение:
  19. Пример задачи 6.
  20. Решение:
  21. Пример задачи 7.
  22. Решение:
  23. Пример задачи 8.
  24. Решение:
  25. Пример задачи 9.
  26. Решение:
  27. Пример задачи 10.
  28. Пример задачи 11.
  29. Решение:
  30. Пример задачи 12.
  31. Решение:
  32. Решение:
  33. Пример задачи 13.
  34. Решение:
  35. Пример задачи 14.
  36. Решение:
  37. Пример задачи 15.
  38. Решение:
  39. Пример задачи 16.
  40. Решение:

Предел функции

Предел функции на бесконечности

Равенство Решение задач по математике

означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции Решение задач по математике (рис. 105). Напомним, что аргумент п принимает только натуральные значения.

Решение задач по математике

Пусть теперь дана функция y=f (х), в области определения которой содержится луч Решение задач по математике, и пусть пря- мая у = b является горизонтальной асимптотой графика (рис. 106) функции у =f(x). Естественно, что математики в этом случае по аналогии с приведенным выше равенством (1) решили использовать запись:

Решение задач по математике

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении х к плюс бесконечности равен Решение задач по математике).

Если же дана функция y=f (х), в области определения которой содержится луч Решение задач по математике, и прямая у =Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) (рис. 107), то в этом случае используют запись:

Решение задач по математикеРешение задач по математике

(читают: предел функции у = f(x) при стремлении х к минус бесконечности равен Ь).

Если одновременно выполняются два соотношения:

Решение задач по математике

то можно объединить их одним соотношением: Решение задач по математике Но условились использовать более экономную запись:

Решение задач по математике

(читают: предел функции у =f(x) при стремлении х к бесконечности равен Ь).

Решение задач по математике

Рис. 108

В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) как бы с двух сторон (рис. 108).

Вычисление предела функции на бесконечности

Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями)

1) Для любого натурального показателя т и любого коэффициента k справедливо соотношение

Решение задач по математике

2) Если Решение задач по математике

а) предел суммы равен сумме пределов:

Решение задач по математике

б) предел произведения равен произведению пределов:

Решение задач по математике

в) предел частного равен частному от деления пределов (разумеется, при условии, что Решение задач по математике):

Решение задач по математике

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Решение задач по математике

Решение примеров

Пример задачи 1.

Вычислить Решение задач по математике

Решение:

Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на Решение задач по математике:

Решение задач по математике

Осталось воспользоваться правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0 = 2, а предел знаменателя равен 1 -0 = 1, то предел дроби равен Решение задач по математике

Ответ: Решение задач по математике

Замечание. Сравните только что решенный пример с примером 6 из § 30: все то же самое — та же идея, те же рассуждения. Отличие только одно: там переменная л принимала лишь натуральные значения, а здесь переменная х принимает любые действительные значения (кроме, разумеется, значений -2 и 2, которые обращают в нуль знаменатель дроби, содержащейся под знаком предела).

Предел функции в точке

Рассмотрим функции, графики которых изображены на рис. 109—111. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее это три разные функции, они отличаются друг

Решение задач по математике

от друга своим поведением в точке х =а. Для функции у = f(x), график которой изображен на рис. 109, значение f(a) не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции у = f(x), график которой изображен на рис. 110, значение Да) существует, но оно «неудачное», оно отлично, от, казалось бы, естественного значения Ь. Наконец, для функции у = f(х), график которой изображен на рис. 111, значение Да) существует, и оно «удачное». Если же точку х=а исключить из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

Для всех трех случаев используется одна и та же запись:

Решение задач по математике

(читаем: «предел функции у =f(x) при стремлении Решение задач по математике равен Ь»).

Содержательный смысл приведенной выше записи заключается в следующем: если значения аргумента выбираются все ближе и ближе к значению х =а, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Ь. Можно сказать и так: в достаточно малой окрестности точки а справедливо приближенное равенство:

f(x)=b

(причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается). При этом, подчеркнем еще раз, сама точка х =а исключается из рассмотрения.

А теперь ответьте на вопрос: какую из рассмотренных трех функций естественно считать непрерывной в точке х=а? Ответ очевиден: непрерывной естественно считать третью функцию, которая удовлетворяет условию

Решение задач по математике

В каких случаях мы с вами до сих пор использовали понятие «непрерывная функция»? Мы говорили, что функция непрерывна, если видели, что ее график представляет собой сплошную линию, т.е. не имеет «проколов» и «скачков». На самом деле график функции изображают в виде сплошной линии (без «проколов» и «скачков») только тогда, когда установлена непрерывность функции. При этом функцию y~f(x) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение:

Решение задач по математике

  • Иными словами, функцию y = f(x) называют непрерывной в точке х=а, если предел функции Решение задач по математике при стремлении хка равен значению функции в точке х=а.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

В курсе алгебры 7—9-го классов мы отмечали, что функции: Решение задач по математике — натуральное число, — непрерывны на всей числовой прямой. Отмечали также, что функция Решение задач по математике непрерывна на луче Решение задач по математике — натуральное число) непрерывна на промежутках Решение задач по математике, но претерпевает разрыв в точке х = 0.

Говоря о тригонометрических функциях, мы отмечали непрерывность функций Решение задач по математике на всей числовой прямой, а также непрерывность функций Решение задач по математике в каждом промежутке из области их определения. До сих пор мы опирались на наглядные представления и интуицию. Математики доказали, опираясь на определение непрерывности, что все упомянутые утверждения верны. Так что теперь мы будем ими пользоваться на законных основаниях.

Между прочим, математики доказали более сильное утверждение:

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (х).

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций

Пример задачи 2.

Вычислить: Решение задач по математике

Решение:

Выражение х3 -2Х2 +5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция Решение задач по математикенепрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: Решение задач по математике

Ответ: 7.

Пример задачи 3.

Вычислить: Решение задач по математике

Решение:

Выражение Решение задач по математике определено в любой точке Решение задач по математике, в частности, в точке х =2. Следовательно, функция Решение задач по математике непрерывна в точке х =2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: Решение задач по математике

Ответ: 0.

Вы заметили, наверное, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример задачи 4.

Вычислить Решение задач по математике

Решение:

Если подставить значение х =-З в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

Решение задач по математике

Значит, функции Решение задач по математике тождественны при условии

Решение задач по математике. Но (внимание!) при вычислении предела функции при Решение задач по математике саму точку Решение задач по математике можно исключить из рассмотрения, мы об этом говорили выше. Значит, Решение задач по математике

Ответ: -1,5.

Вернемся снова к названию раздела математики, который мы начали изучать, — математический анализ. В начале главы 4 мы отметили: анализируют в этом разделе математики то, как ведет себя функция около, конкретной точки. Теперь мы можем сказать точнее: в окрестности конкретной точки. Именно этим мы и занимались, делая выводы о функциях, графики которых изображены на рис. 109—111. Проведенный краткий анализ привел нас к понятию предела функции в точке и к понятию непрерывности функции в точке.

Важное замечание. Теория пределов — достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное, основанное на интуиции и наглядных представлениях. Продолжая это «шапочное» знакомство, получим один очень существенный для высшей математики результат. При этом опятьбудем использовать не строгие рассуждения (нам пока это не по силам), а рассуждения, основанные на интуиции, наглядности, правдоподобии. Такие рассуждения математики часто называют рассуждениями «на пальцах».

Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое положительное значение t, отметим на окружности точку Af(l) и ее ординату,

Решение задач по математике

т.е. Решение задач по математике; t — это длина дуги AM, Решение задач по математике — это длина перпендикуляра МР (рис. 112). Для достаточно малых значений t выполняется приближенное равенство Решение задач по математике, т.е.

Решение задач по математике и, следовательно, Решение задач по математике. Например, Решение задач по математике Решение задач по математике

Естественно предположить, что

Решение задач по математике

В курсе математического анализа доказано, что это утверждение верно.

Приращение аргумента. Приращение функции

Изучая поведение функции Решение задач по математике около конкретной точки Решение задач по математике, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используются понятия приращений аргумента и функции.

Определение 1. Пусть функция Решение задач по математике определена в точках Решение задач по математике и х,. Разность х, - Решение задач по математике называют приращением аргумента (при переходе от точки Решение задач по математике), а разность Решение задач по математике) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Решение задач по математике (читают: «дельта икс»; Решение задач по математике — прописная буква греческого алфавита «дельта», а соответствующая строчная буква пишется так: Решение задач по математике). Приращение функции обозначают Решение задач по математике

Итак, Решение задач по математике значит, Решение задач по математике

Решение задач по математике значит,

Решение задач по математике

Пример задачи 5.

Найти приращение функции Решение задач по математике при переходе от точки Решение задач по математике к точкам: Решение задач по математике

Решение:

а) Решение задач по математике

Решение задач по математике

б) Решение задач по математике

Обратите внимание на полученный в примере 5 ответ: приращение функции (как, впрочем, и приращение аргумента) может быть и положительным, и отрицательным числом, так что не истолковывайте термин «приращение» как «прирост».

А теперь посмотрим на определение непрерывной функции с точки зрения приращений аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке х =а выглядит так: Решение задач по математике. Здесь Решение задач по математике значит, Решение задач по математике При этом Решение задач по математике значит, Решение задач по математике

Получаем новое истолкование понятия непрерывности функции в точке.

Функция y=f(x) непрерывна в точке х =а, если в точке х =а выполняется следующее условие:

если Решение задач по математике

Пример задачи 6.

Для функции Решение задач по математике найти:

а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке Решение задач по математике

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а)Имеем:

Решение задач по математике

Итак, для заданной линейной функции Решение задач по математике получили: Решение задач по математике

б) Нужно вычислить Решение задач по математике. Имеем:

Решение задач по математике

Итак, для заданной линейной функции Решение задач по математике получили:

Решение задач по математике

На рис. 113 изображен график линейной функции Решение задач по математике, выделена фиксированная точка графика Решение задач по математике? отмечены приращения аргумента и функции при переходе от точки х к точке Решение задач по математике. Чертеж подсказывает, что Решение задач по математике тангенс угла между прямойРешение задач по математике

уРешение задач по математике и положительным направлением оси х, а это — угловой коэффициент прямой. Значит, Решение задач по математикечто фактически и получено при решении примера 6, но с помощью формальных преобразований.

Пример задачи 7.

Для функции у = гРешение задач по математике наити:

а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке Решение задач по математике

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) Имеем:

Решение задач по математике

Итак, для функции Решение задач по математике получили: Решение задач по математике

б) Нужно вычислить Решение задач по математике

Имеем: Решение задач по математике

При вычислении последнего предела мы учли, что х — фиксированная точка, т.е. постоянное число, а Решение задач по математике — переменная: если Решение задач по математике, то Решение задач по математике

Итак, для заданной функции Решение задач по математике получили: Решение задач по математике

Пример задачи 8.

Решение задач по математике

Решение:

При Решение задач по математике аргумент Решение задач по математике, а множитель Решение задач по математике будет при этом колебаться между -1 и +1, ни стремясь ни к какому определенному числу, т.е. этот множитель не имеет предела, но является величиной ограниченной Решение задач по математике. Поэтому данная функция, представляющая произведение бесконечно малой х на величину, ограниченнук Решение задач по математике есть бесконечно малая величина, а её предел равен нулю Решение задач по математике

Пример задачи 9.

При Решение задач по математике найти пределы следующих функций

Решение задач по математике

Решение:

Каждая из данных функций представляет сумму Решение задач по математике членов арифметической прогрессии. Разность первой прогрессии Решение задач по математике -второй Решение задач по математике и третьей Решение задач по математике. Выполняя сложение и переходя к предел найдем:

Решение задач по математике

В этих задачах, при Решение задач по математике функции Решение задач по математике являются суммам бесконечно малых величин, число которых неограниченно возраста< вместе с Решение задач по математике. Полученные результаты показывают, что Решение задач по математике есть величина бесконечно большая, Решение задач по математике- величина, стремящаяся к Решение задач по математике - величина бесконечно малая.

Следовательно, решение этой задачи показывает: если число ела гаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма можег оказаться любой величиной.

Пример задачи 10.

Доказать, что Решение задач по математике при любом значении х.

Решение:

Каково бы не было значение х, всегда найдутся таки два последовательных целых положительных числа Решение задач по математике, межд; которыми заключается Решение задач по математике

Исходя из этого, получим очевидное неравенство: Решение задач по математике

Первый множитель Решение задач по математике не зависит от n и при любом данном значении х является

постоянным, второй множитель Решение задач по математике при Решение задач по математике будет величиной бесконечно

малой, ибо Решение задач по математике Поэтому Решение задач по математике, как произведение постоянной величины на

бесконечно малую есть величина бесконечно малая. Вследствие этого функция

Решение задач по математике также будет величиной бесконечно малой, т.е. Решение задач по математике при любом значении x.

 

Пример задачи 11.

Показать, что элементарные функции: 1) Решение задач по математике;

2) Решение задач по математике непрерывны во всей своей области определения.

Решение:

Найдем область определения функции и затем убедим ся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непре рывна в этой же области.

1) Областью определения функции у является вся числовая ось Далее, придадим аргументу х произвольное приращение Дх и, подста вив в данное выражение функции вместо х наращенное значенш Решение задач по математике, найдем наращенное значение функции: Решение задач по математике Вычитая из этого наращенного значения функции ее первоначально! значение, найдем приращение функции:

Решение задач по математике

Пусть теперь Решение задач по математике. Тогда Решение задач по математике при любом значении х.

Следовательно, согласно определению непрерывности, функция у будет непрерывна при любом значении х, т.е. во всей своей области определения.

2) Тригонометрическая функция cosecx определена на всей чи еловой оси, за исключением точек Решение задач по математике Повторяя ука занные выше рассуждения, найдем приращение функции Решение задач по математике и затет его предел при Решение задач по математике:

Решение задач по математике

При всех значениях x, кроме Решение задач по математике

Следовательно, область непрерывности и область определения эле ментарной функции Решение задач по математике полностью совпадают.

Пример задачи 12.

Найти точки разрыва функций, если они существуют, и ска чок функции в каждой точке разрыва:

Решение задач по математике

Решение:

Функция Решение задач по математике определена, т.е. может быть вычислен: при всех значениях х, кроме Решение задач по математике. Эта функция элементарная, поэто му она непрерывна во всей области своего определения:Решение задач по математике Решение задач по математике. Она не определена в точках Решение задач по математике определена вблизи этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдени: 1-го условия непрерывности, данная функция в точках х, и х2 имее разрывы.

Для определения скачка функции в найденных ее точках разрыв: вычислим односторонние пределы этой функции при стремлении аргу мента х к точкам разрыва слева и справа: a) lРешение задач по математике,так как при Решение задач по математике величина Решение задач по математике является положительной бесконечг малой, а обратная ей величина Решение задач по математике является положительной бесконечно большой; Решение задач по математике,так как при Решение задач по математике величина Решение задач по математике является отрицательной бесконечно малой, а обратная ей велич, на является отрицательной бесконечно большой.

Следовательно, в точке х = -2 функция имеет бесконечный разрыв

б) Решение задач по математике так как приРешение задач по математике величина Решение задач по математике есть отрицательная бесконечно малая, а обратная ей величина есть отриц тельная бесконечно большая;

Решение задач по математике ,так как при Решение задач по математике величина Решение задач по математике есть положительная бесконечно малая, а обратная ей величина есть положительн; бесконечно большая. Следовательно, и в точке х = 2 разрыв функцк бесконечный.

Решение задач по математике

2) Решение задач по математике

Решение:

Элементарная функция Решение задач по математике определена на всей числ, вой оси (хотя она дробная, но корни знаменателя комплексные). Поэт, му она и непрерывна на всей числовой оси, т.е. не имеет точек разрыва.

Пример задачи 13.

Решение задач по математике

Решение:

Элементарная функция Решение задач по математике определена, а следова тельно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 0. В точк х = 0 функция имеет разрыв, поскольку она определена в любой окре стности этой точки, за исключением самой точки. Найдем односторон ние пределы функции в этой точке: Решение задач по математике , Решение задач по математике

Следовательно, разрыв функции конечный; при х = 0 она имеет конечный скачок Решение задач по математике

Решение задач по математике

Пример задачи 14.

Решение задач по математике

Решение:

Функция Решение задач по математике определена и непрерывна на всей число вой оси, кроме точки х = 3. Из этого следует, что в точке х = 3 функци: имеет разрыв.

Исследуем эту точку разрыва:

Решение задач по математике так как при всяком значении х < 3 эта функция равна -1

Решение задач по математике, так как при всяком значении х > 3 эта функция равна +1.

Следовательно, в точке х = 3 функция имеет конечный разрыв; е, скачок в этой точке разрыва конечный: Решение задач по математике

Решение задач по математике

Пример задачи 15.

Решение задач по математике

Решение:

Логарифмическая функция Решение задач по математике определена тольк для положительных значений своего аргумента и. Поэтому элемента) ная функция Решение задач по математике будет определена и непрерывна для зне чений х, удовлетворяющих неравенству Решение задач по математике. Решая это неравег ство, найдем область определения и область непрерывности функции, она будет состоять из двух интервалов числово оси: Решение задач по математике

Во всех точках отрезка Решение задач по математике данная функция не определен; однако точками её разрыва являются только граничные точки х = -3 х = 0. В этих граничных точках функция не определена, но она опреде лена в сколь угодно близких точках слева от точки х = -3 и справа о точки х = 0.

Все остальные внутренние точки отрезка [—3;0], в которы функция явно не определена, как и в точках х = -3 и х = 0, не являютс; точками разрыва потому, что вблизи этих внутренних точек функция не определена. Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.

Найдя односторонние пределы функции

Решение задач по математике

при стремлении х к точкам разрыва изнутри области определения функции Решение задач по математике

Решение задач по математике заключаем, что в точках х = -3 и х = 0 функция имеет бесконечные разрывы.

Пример задачи 16.

Решение задач по математике

Решение:

Функции у = х, у = sinx и у = 1 непрерывны на всег числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется её аналитическое выражение, т.е. в точках Решение задач по математике. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значенш функции.

В точке Решение задач по математике имеем:

Решение задач по математике

Таким образом в этой точке Решение задач по математике

функция имеет разрыв первого рода и непрерывна слева.

Скачок функции Решение задач по математике

Аналогично, для точки Решение задач по математике получим:

Решение задач по математике

а значение Решение задач по математике не определено. Отсюда следует, что Решение задач по математике точка

устранимого разрыва для функции Решение задач по математике

Решение задач по математике

Возможно, вас также заинтересует: