Решение задач по экономике

Экономика - это система хозяйствования включает отрасли материального производства и нематериальные сферы, которые обеспечивают общество материальными и нематериальными благами. На этой странице собрано много решений задач по экономике на разные темы.

Содержание:

1. Что такое экономика
2. Примеры решения типовых задач по экономике на разные темы
3. Ответы на вопросы по заказу заданий по экономике
4. Решение задач с примерами
5. Использование матричного вычисления при решении экономических задач
6. Задачи балансового анализа 
7. Задачи экономического содержания
8. Экономические задачи, связанные с последовательностью и ее границей (элементы математики финансов)
9. Понятие процента 
10. Три основные задачи на проценты 
11. Формула простого процента 
12. Формула сложного процента 
13. Формула, когда проценты начисляются непрерывно
14. Дисконтирование
15. Использование матрицы затрат
16. Формула простых процентов
17. Модель «спрос-предложение»
18. Определение результатов деятельности предприятия
19. Определение простых и сложных процентов
20. Задача о производительности труда
21. Предельный анализ
22. Эластичность функции
23. Свойства эластичности функции
24. Применение производной в экономической теории
25. Расчёт производительности ресурса
26. Применение функций нескольких переменных в исследованиях экономических процессов
27. Понятие о эмпирических формулах и метод наименьших квадратов
28. Взаимосвязь между производительностью и основными средствами
29. Применение интегралов в некоторых экономических задачах
30. Нахождение производственной функции
31. Кривая Лоренца
32. Кривая обучения
33. Закон спроса и предложения
34. Задача дисконтирования
35. Определение предельного дохода
36. Использование дифференциальных и разностных уравнений в экономических задачах
37. Воспроизведение общих издержек производства по предельным характеристикам
38. Нахождение функций затрат, спроса, цены товара с их эластичностью
39. Модель естественного роста
40. Модель естественного роста выпуска продукции
41. Модель естественного роста при насыщенности рынка
42. Динамика рыночных цен
43. Использование разностных уравнений в экономике
44. Паутинная модель рынка
45. Модель развития Самуэльсона-Хикса
46. Определение издержек производства
47. Расчёт текущей стоимости ценных бумаг
48. Задача межотраслевого баланса
49. Нахождения расходов сырья, топлива и трудовых ресурсов
50. Оптимизация с экономическим содержанием
51. Рост инвестиций

Ответы на вопросы по заказу задачи и заданий по экономике:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Слово «экономика» греческого происхождения (oikonomike— «искусство домохозяйства»), оно означает «законы хозяйствования». В целом под термином «экономика» понимают хозяйство, в широком смысле этого слова — науку о хозяйстве и хозяйствовании, а также отношениях между людьми в процессе хозяйствования. Экономика, как и любая учебная дисциплина, имеет свой предмет изучения.

• Во-первых, экономика — это хозяйственная система, обеспечивающая удовлетворение потребностей людей и общества в целом созданием необходимых благ (экономика отрасли, региональная экономика (района, края, области, страны), мировая экономика).
• Во-вторых, экономика — это совокупность экономических (производственных) отношений между людьми, складывающихся в процессе производства, распределения, обмена и потребления материальных благ и услуг.
• В-третьих, экономика — это наука о выборе наиболее эффективных (рациональных) способов удовлетворения безграничных потребностей людей ограниченными экономическими ресурсами.

Существуют и другие определения предмета экономики, но общепризнанным в последние годы считается следующее. Экономика—это наука об оптимальном, эффективном использовании редких, ограниченных экономических ресурсов с целью удовлетворения безграничных и постоянно меняющихся потребностей людей, фирмы и общества в целом.

Экономика выполняет методологическую, научно-познавательную, критическую и практическую функции.

Экономика анализирует хозяйственную деятельность в основном на двух различных уровнях: микроэкономическом и макроэкономическом.

Решение задач с примерами

Задача З6

На рынке некоторого качественного товара кривая спроса задана следующей функцией: где — величина спроса; цена товара; цена товара-комплемента. Определите:

a) значение коэффициента прямой эластичности спроса

b) значение коэффициента перекрестной эластичности спроса при

c) значение эластичности спроса по доходу при если в ответ на увеличение дохода на 10% кривая спроса сдвинулась на 5 единиц при каждом уровне цены;

d) до какого значения изменилось значение коэффициента прямой эластичности спроса при

e) до какого значения изменилось значение коэффициента перекрестной эластичности спроса при

Решение:

а)

б)

c) поскольку товар классифицируется как качественный, то

При

d) После увеличения дохода уравнение кривой спроса принимает вид

e) Рассчитаем при после увеличения дохода:

Ответы:

Задача 40.

Линейная кривая предложения сдвинулась параллельно вверх вдоль оси цен на 5 единиц, где одна единица равна одному рублю, если цены измеряются в рублях. Ценовая эластичность первоначальной кривой предложения в точке, где цена была равна 8, составляла 3. Определите ценовую эластичность кривой предложения, полученной в результате вышеописанного сдвига, в точке, где цена равна 11.

Решение:

Если

Если

Ответ:

Задача 46

Точечная эластичность линейной кривой спроса в точке составляет -2, а дуговая эластичность на отрезке равна -1,5. Определите значение точечной эластичности данной кривой спроса в точке

Решение:

Используя решение задачи № 20, получаем, что

Пусть тогда Поскольку дуговая эластичность рассчитывается в средней точке, то, согласно той же формуле, Значит, — средняя точка отрезка следовательно, Теперь можем найти и все по той же формуле рассчитать эластичность в точке

Ответ:

Задача 10.

Производственная функция в краткосрочном периоде имеет вид Каково значение предельного продукта труда при использовании 16 единиц труда? Какова производительность труда при найме 16 единиц труда?

Решение:

Данная производственная функция показывает зависимость объема выпуска продукции от количества нанятых работников

Ответ:

Задача 22.

Информация о деятельности фирмы, кроме представленной в таблице, оказалась в очередной раз утраченной. Восстановите недостающую информацию. Какой объем выпуска следует выбрать фирме?

Решение:

— данный расчет является ключевым, поскольку постоянные издержки являются константой и имеют одно и то же значение при любом выпуске.

Приведем другие необходимые при расчетах формулы и в качестве примера рассчитаем значения остальных показателей пятой строки.

В пятой строке:

Для расчета по известному значению предельной прибыли необходимо знать величину общей прибыли из 4-й строки. Пусть — значение объема продукции в 4-й строке, тогда

Значения остальных неизвестных параметров из таблицы рассчитываются аналогично. См. также задачу N2 2.

Цель фирмы — получение максимальной прибыли, следовательно, оптимальный выпуск:

Ответ:

Задача 30.

Кривая спроса на билеты в театре задана обратным уравнением спроса: — цена одного билета в рублях. Определите:

a) какую цену на билеты должна установить администрация, чтобы получить максимальную выручку;

b) изменится ли ваш ответ, если дополнительно известно, что число посадочных мест в театре равно 50.

Решение:

b) В данном случае функция выручки — парабола, с ветвями вниз, выходящая из начала координат. Координаты вершины: При функция увеличивается при увеличении объема проданной продукции, следовательно, если максимально возможный объем равен 50, то максимума выручки фирма не достигает и оптимальным будет производить объем Цена соответственно будет установлена на уровне:

Данную задачу также можно решать исходя из взаимосвязи эластичности линейной функции и выручки. Выручка максимальна в точке единичной эластичности линейной функции спроса (середина графика, т. е. при На эластичном участке — при — выручка возрастает с ростом выпуска, следовательно, наиболее близкая точка (из доступных), при которой фирма получает наибольшую выручку.

Ответы:

Задача 36

А Фирма, имевшая положительную экономическую прибыль, увеличила производство продукции с 100 до 200 единиц в год. В результате средние затраты уменьшились на 50 р. и цена снизилась на 20 р.

• a) Как в результате данных событий изменилась прибыль фирмы?
• b) Как изменится ответ на вопрос задачи, если предположить, что вначале фирма получала нормальную прибыль?
• c) Как изменится ответ на вопрос задачи, если предположить, что вначале фирма получала убытки?

Б Фирма, имевшая положительную экономическую прибыль, увеличила производство продукции с 100 до 200 единиц в год. В результате средние затраты уменьшились на 10 р. и цена снизилась на 20 р.

• a) Как в результате данных событий изменилась прибыль фирмы?
• b) Как изменится ответ на вопрос задачи, если предположить, что вначале фирма получала нормальную прибыль?
• c) Как изменится ответ на вопрос задачи, если предположить, что вначале фирма получала убытки?

Решение .1.

а) Обозначим цену и средние затраты при как и при как Тогда

а прибыль соответственно составит

так как то и прибыль выросла.

b) В п. а) получили выражение для изменения прибыли:

Тот факт, что фирма до описанных изменений получала нормальную прибыль, означает, что ее экономическая прибыль была нулевой (нормальная прибыль включается в издержки)

прибыль выросла.

c) Допустим, что вначале фирма получала убытки, т. е. Тогда из

следует, что изменение прибыли может быть разным в зависимости от первоначальной величины убытков:

т. е. прибыль увеличилась в том случае, если первоначальные убытки были менее 6000;

т. е. прибыль не изменилась, если первоначальные убытки были равны 6000;

т. е. прибыль упала, если первоначально убытки превышали 6000.

Ответы: а) прибыль выросла; Ь) прибыль выросла; с) если убытки были меньше 6000, то прибыль выросла; если убытки были равны 6000, то прибыль не изменилась; если убытки были больше 6000, то прибыль упала.

Решение .2.

а) Обозначим цену и средние затраты при как и при как Тогда

а прибыль соответственно составит

Так как может быть величиной положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от соотношения и 2000:

если прибыль выросла;

если прибыль не изменилась;

если прибыль уменьшилась.

b) Воспользуемся соотношением между полученным в п. а): Предположение о том, что вначале фирма получала нормальную прибыль, означает, что экономическая прибыль была нулевой (нормальная прибыль включается в издержки) =>

прибыль упала.

c) Допустим, что вначале фирма получала убытки, т. е. Тогда из

следует, что убытки стали еще больше, т. е. прибыль упала:

Ответы: а) если прибыль была больше 2000, то прибыль выросла; если прибыль была равна 2000, то прибыль не изменилась; если прибыль была меньше 2000, то прибыль упала; Ь) прибыль упала; с) прибыль упала.

Задача 40.

Кривая спроса на поездки в маршрутном такси от станции метро «Коньково» до станции «Юго-Западная» задается уравнением — цена одной поездки в рублях, a — ежедневное количество поездок.

a) Если цена одной поездки равна 20 р., то какова ежедневная выручка транспортной компании на этом маршруте? Какова ценовая эластичность спроса на поездки в маршрутном такси при данной цене? Если данная компания хочет увеличить выручку, что ей следует сделать: увеличить или понизить цену?

b) Каковы будут ваши ответы, если бы изначальная цена составляла не 20, а 22,5 р. за поездку?

c) Каковы будут ваши ответы, если бы изначальная цена составляла не 20, а 25 р. за поездку?

Решение:

а) Если

в данном случае для увеличения выручки фирме необходимо увеличивать цену. К этому выводу можно прийти и без проведенных расчетов, так как а при неэластичном по цене спросе для увеличения общей выручки необходимо повышать цену (соответственно уменьшая объем).

b) Из решения п. а) получили, что является ценой, при которой общая выручка компании будет максимальной. При

цену и объем выпуска менять не следует.

c) — цена, максимизирующая общую выручку фирмы в данном случае для увеличения выручки фирме необходимо снизить цену. К этому выводу можно прийти и без проведенных расчетов, так как а при эластичном по цене спросе для увеличения общей выручки необходимо снижать цену (соответственно увеличивая объем) для получения большей выручки.

Ответы: a) цену увеличить; b) цену не менять; с) цену снизить.

Задача 42.

Кривая рыночного спроса для поездок на пригородном автобусе задается функцией

где — стоимость проезда в рублях, a — ежедневное количество поездок.

a) Если цена равна 50 р. за поездку, какую ежедневную выручку будет иметь автостанция? Какова ценовая эластичность спроса на автобусные поездки? Если автостанция хочет повысить выручку, что ей следует сделать: увеличить или понизить цену?

b) Как изменятся ваши ответы, если начальная цена составляет не 50, а 80 р. за поездку?

Решение:

а) При

Выручка максимальна при единичном значении по модулю ценовой эластичности спроса. При данном значении цены (при фирма работает на эластичном участке (значение ценовой эластичности спроса по абсолютной величине больше 1), следовательно, необходимо уменьшать цену и соответственно увеличивать объем для получения большей выручки.

Ь) При

Рассуждение аналогично п. а), следовательно, и в данном случае фирме необходимо уменьшать цену.

Ответы: цену уменьшить; цену уменьшить.

Задача 44.

Во сколько раз изменятся общая и предельная выручка фирмы со снижением объема продаж вдвое при функции спроса с постоянной эластичностью:

Решение:

а) Выручка максимальна в точке единичной эластичности. Соответственно для функции спроса с постоянной ценовой эластичностью значение выручки одинаково и максимально при любых значениях цены и объема. Таким образом, ни общая, ни предельная выручка в данном случае не изменятся.

Ь) Восстановим общий вид функции спроса:

с) Восстановим общий вид функции спроса:

Ответы: а) не изменятся; b) изменится в 2 раза, изменится в 4 раза; с) изменится в 0,7071 раза, изменится в 1,4142 раза.

Возможно, вас также заинтересует:

• Заказать работу по экономике помощь в учёбе
• Контрольная работа по экономике заказать
• Помощь по экономике онлайн
• Курсовая работа по экономике заказать готовую онлайн
• РГР по экономике расчетно графическая работа
• Задачи по экономике с решением
• Решение задач

Использование матричного вычисления при решении экономических задач

Решение примеров:

Пример 1.107 

Два железобетонных завода выпускают изделия  высшей, первой и второй категории качества. Количество выпущенных каждым заводом изделий по каждой категорией качества характеризуется следующей таблицей: 

Какой общий выпуск изделий по определениям качества?

Решение. Количество изделий, выпущенных первым заводом, можно рассмотреть как элементы матрицы  а вторым заводом - как элементы матрицы 

Сложив их, получим матрицу  которая обозначает общее число изделий по определенным категориям качества: 

Пример 1.108. 

При изготовлении деталей четырех видов материалов, рабочей силы и электроэнергии задаются следующей таблицей (в условных единицах): 

Вычислить общую потребность в материалах  рабочей силы   и электроэнергии  для изготовления заданного количества деталей каждого вида: 

Решение. Общая потребность в материалах, рабочей силы и электроэнергии для изготовления количества   деталей каждого вида определяется уравнением  где 

 - матрица общей потребности в ресурсах;

 - матрица норм трат ресурсов; 

 - матрица количества изделий (по видам).

При  из уравнения  получим: 

то есть для изготовления заданного количества деталей каждого вида необходимо 28 единиц материалов, 47 единиц рабочей силы, 32 единицы электроэнергии. 

Пример 1.109 

В следующей таблице в выбранных единицах приведен состав витаминов в пищевых продуктах 

1. Сколько витаминов каждого вида содержится в рационе, что включает 5 единиц продукта  10 единиц продукта  и 8 единиц продукта 

2. Учитывая только стоимость витаминов каждого продукта с расчета соответственно 10, 20, 25 и 50 рублей за единицу каждого продукта. 

3. Рассчитать стоимость рациона, состав которого приведен в п. 1. 

Решение. Введем такие определения:   - количество единиц продукта  - нного вида в рационе, 

  - количество витаминов,  - ного вида в единице  - нного вида, 

  - стоимость единицы витамина  - ного вида

1. Обозначим   - количество витамина  - ного вида,

что содержатся в рационе. Тогда, 

2. Обозначим   - количество  единицы продукции  - нного вида,  Тогда 

3. Обозначим через  - стоимость рациона, состав которого приведен в п. 1.

Тогда, 

Пример 1.110. 

Из некоторого материала необходимо выкроить 200 заготовок типа  260 - типа   и  290 - типа 

При этом можно использовать три способа раскроя. Количество заготовок, полученных из каждого листа при каждом способе раскройки, приведена в таблице. Записать в математической формы условия выполнения задания. Установить, сколько листов нужно для выкройки определенного количества раскроек. 

Решение. Обозначим через  - количество листов материала, что раскроены соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда по первому способу раскройки  листов будет получено  заготовок типа   а вторым -  третьим -  Для полного выполнения задания по заготовкам типа   сумма  должна быть равна 200, то есть 

Аналогично получим уравнения: 

которым должны удовлетворять неизвестные  для того, чтобы выполнить задания по заготовкам  и 

Система линейных уравнений

выражается в математической формы условия выполнения всего задания по заготовкам 

Для решения системы используем метод Гаусса. Перепишем полученную систему в виде 

Преобразуем расширенную матрицу системы 

Запишем упрощенную систему в соответствие расширенной матрицы

Следует, 

Пример 1.111 

Пусть функция, которая характеризирует валовый доход предприятия, имеет вид  где  - валовый доход,  - выпуск продукции за период  Наблюдения охватывают только два периода, для которых значения   приведены в следующей таблице: 

1. Выходя из матричной формы задания функции валовой прибыли

где  сложить с вычислением проведенных наблюдений систему уравнений для определения параметров  и решить их. 

2. Обозначить всю совокупность функции валовой прибыли, что удовлетворяет указанной в п. 1 системе уравнений. 

Решение. Запишем функцию валовой прибыли в виде:

Подставим заданные значения из таблицы: 

Получим систему: 

Решим ее методом Гаусса: 

Ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы совпадают и равны 2. Система совместима. Так как  то система имеет множество решений: 

2. Вся совокупность валовой прибыли 

Задачи балансового анализа 

К экономическим задачам, что приводятся к системам линейных уравнений, относятся задачи балансового анализа. Цели балансового анализа - ответить на вопросы, что возникают в макроэкономики и связаны с эффективностью ведения многоотраслевого государства: каким может быть объем производства каждого из  отраслей, чтобы удовлетворить все потребности продукции этой отрасти? При этом, каждая отрасль выступает с одной стороны - как производитель некоторой продукции, а с второй стороны - как потребитель и своей, и произведенный другими отраслями продукции. 

Связь между отраслями, как правило получается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, что позволяет их анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом В. Леонтьевым. Рассмотрим досконально модель Леонтьева многоотраслевой экономики. 

Предположим, что рассматриваются  отраслей промышленности, каждая из которых вырабатывает свою продукцию. Часть продукции идет на внутреннее - производственное потребление данной отрасли и других отраслей, а остаток предназначен для  личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства, например, за год. 

Введем такие понятия:  общий (валовый) объем продукции  - нной отрасли   - объем продукции  - нной отрасли, что потребляется  - нной отрасли в процессе производства   - объем конечного продукта  - нной отрасли для непроизводственного потребления.

Поскольку валовый объем продукции любой  - нной отрасли равен суммарному объему продукции, что потребляется  отраслями и конечного продукта, то 

Это соотношение баланса. Будем рассматривать стоимость межотраслевого баланса, когда все величины, что входят в уравнение баланса, имеют стоимость выражения. 

Введем коэффициенты прямых затрат: 

что показывают затраты продукции  - нной отрасли на производство единицы  - нной отрасли. Можно считать, что в некотором промежутке времени коэффициенты  будут постоянными и зависят от технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть 

Так построенная модель межотраслевого баланса получила название линейной. 

Запишем соотношение баланса в виде

Введем обозначения: 

где  - вектор валового выпуска;  - вектор конечного продукта;  - матрица прямых затрат.

Тогда соотношение баланса в матричном виде является 

Основная задача международного баланса заключается в поиске такого вектора валового выпуска  который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта 

Перепишем соотношения баланса в виде

Эта система линейных уравнений относительно  

Если матрица    неособенный, то есть  то существует единственное решение системы, что находится матричным способом

 Матрица  называется матрицей полных затрат. 

Чтобы выяснить экономическое содержание элементов матрицы  будем задаваться единичными векторами конечного продукта  Тогда поскольку  соответственные векторы валового выпуска будут   Следует, каждый элемент  матрицы   есть валовый выпуск продукции  - нной отрасли, необходимый для обеспечения выпуска единицы конечного продукта  - нной отрасли 

Соответственно к экономическому содержанию задачи значения  должны быть отрицательными при отрицательных значениях 

Матрица  называется продуктивной, если для любого вектора  существует решение  системы 

В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной. 

Примеры решения задач балансового анализа: 

Пример 1.112. 

В таблице приведены данные для вычисления баланса за отчетный период. 

Вычислить необходимый объем валового выпуска в каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличивается вдвое, а машиностроение остается в прежнем количестве. 

Решение. По условию  

Находим коэффициенты прямых затрат по формуле 

Матрица прямых затрат 

Она не имеет отрицательных элементов и удовлетворяет критерию продуктивности 

Потому для любого вектора конечного продукта  можно найти необходимый объем валового выпуска  по формуле 

Находим матрицу полный трат  

Поскольку  то 

По условию вектор конечного продукта  Тогда вектор валового выпуска  обозначается так: 

Следует, валовый выпуск в энергетической области нужно увеличить к 179, 28 условных единиц, а в машиностроении - к 111, 28 условных единиц. 

Задачи экономического содержания

Рассмотрим некоторые примеры использования линейной зависимости в экономике. 

1. Если через  обозначить тариф перевозки груза за единицу расстояния,  - затраты при перевозке груза, что не зависит от расстояния  то общая стоимость  перевозки груза на расстояние   можно вычислить с помощью формулы 
2. Если обозначить через  затраты производства в течении месяца при выпуске  единиц однородной продукции, то может быть обозначенной по формуле  где величина  будет обозначать переменные траты, что зависят от объема выпуска. Величина  обозначает постоянные затраты предприятия. которые не зависят от объема продукции, что выпускается. 

Примеры решения задач:

Задача 2.76 

Валовая продукция на 1 га сельскохозяйственных пастбищ за 4 года увеличилась на 24%.  Сложить уравнение прямой, которая отображает изменение валовой продукции на 1 га на протяжении четырех лет по условию, что валовая продукция в процентах изменяется пропорционально времени. Исследовать влияние расширения тракторного парка к возрастанию урожая зерновых. 

Решение. Валовую продукцию, выпущенную в первый год, примем за 100% и будем искать уравнение прямой в виде 

следует,  где  -время.

Задача 2.77 

В 1980 году страна имела 108,5 тысяч тракторов и получила из одного гектара 8,5 ц зерновых. В 1995 году страна имела 510 тысяч тракторов и получила из одного гектара 21 ц зерновых. 

Решение. обозначим время - , количество тысяч тракторов -  урожай, который получили из одного гектара, обозначим - . 

По условию задачи имеют четыре точки: 

найдем уравнение прямых - графиков возрастания тракторного парка и урожайности зерновых из одного гектара за 1980 - 1995 годы в виде  - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Используя уравнение прямой, что проходит через две заданные точки, получим:

таким образом. угловой коэффициент прямой возрастания тракторного парка будет: 

Используя точки  и  аналогично находим уравнение прямой возрастания урожайности зерновых из одного гектара. 

Следует ее угловой коэффициент будет: 

Из условий задачи можно сделать вывод, что при возрастании траекторного парка урожайности зерновых из 1 га возрастает. Но угловой коэффициент   графика возрастания количества тракторов значительно больший угловой коэффициент  графика возрастания урожайности зерновых. Таким образом, возрастания тракторного парка способствует возрастания урожайности. Зерновых, но не пропорционально. Возрастание количества тракторов - возрастание энерговооруженности сельского государства не является основным фактором в повышении эффективности сельского государства. Необходимо учитывать влияние других факторов, например, качества сена, культуру агротехники.

Задача 2.78

Транспортные затраты перевозки единицы груза  железнодорожным и автомобильным транспортом на расстояние   находим по формуле: 

 и 

где  измеряется десятками км. Обозначить рентабельность транспортной поставки. 

Решение. Построим графики графики транспортных затрат перевозки (см. рис. 2.19). Графики прямых пересекаются в точке  Для проверки координат точки  найдем точку пересечения аналитично: 

Графики затрат позволяют сделать вывод: 

а) когда  то есть  транспортные затраты при перевозке автотранспортом ниже затрат перевозки железнодорожным транспортом; 

б) когда  то есть  более рентабельным будет железнодорожный транспорт. 

Приведем примеры задач, связанные с использованием уравнений второго порядка. 

Задача 2.79.

Исследованием выявлено, что затраты топлива судном на подводных поршнях возрастают пропорционально квадрату скорости судна. Нужно найти аналитическую зависимость между затратами топлива  и скоростью судна  учитывая, что при  км/час потрачено 20 л топлива за час, а также обозначить затраты топлива за час при скорости  км/час. 

Решение. Согласно с условием задачи искомую зависимость записать в виде: 

где  - некоторый коэффициент пропорциональности. 

Уравнение этой формулы с уравнением параболы  позволяет сделать вывод, что затраты топлива изменяются по параболическому закону. При  скорость  то есть парабола проходит через начало системы координат  Согласно с условием задачи, парабола проходит через точку  потому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы 

Таким образом, аналитическая зависимость между затратами топлива и скоростью судна будет: 

График этой зависимости изображен на рис. 2.20. Из последней формулы получается, что при скорости 60 км/час затраты топлива (в литрах) за время должны быть равны: 

(литров).

Задача 2.80 

Два однотипных предприятия  и  выполняют продукции с одной и той же оптовой ценой  за одно изделие. Однако, автопарк что обслуживает предприятие  оснащенный новейшими и мощными грузовыми автомобилями. Потому транспортные затраты на перевозки одного изделия считают за 1 км: для предприятия    - 10 руб.. а для предприятия  - 20 руб.  Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально может быть разделенный рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы траты потребителя для того, чтобы траты потребителя на отгрузку товаров и их транспортировки были минимальными? 

Решения. Обозначим через  и  расстояние к рынку от пунктов   и  соответственно. Тогда затраты потребителей складывают: 

Найдем множество точек, для которых  то есть случаи размещения рынка, когда 

Это круг. Таким образом, для потребителя посередине угла выгоднее покупать в пункте   за кругом - в пункте  а на круге - одинаково. 

Задача 2.81 

Компания производит изделия  и продает их по 2 доллара за каждый. Руководство компании установило, что сумма  общих еженедельных затрат (в долларах) на изготовление изделий  количества  имеет такую закономерность: 

Обозначить еженедельное количество изготовления и продажи изделий , которая обеспечивает равновесие затрат и дохода. 

Решение. Доходы от продажи  тысяч изделий  стоимостью 2 доллара за каждый будет: 

Для равновесия дохода и затрат нужно чтобы выполнялось равенство: 

Следует, эта задача имеет две точки равновесия. Компания может выполнять  изделий  с доходом и затратами 4000 долларов, или  изделий с доходом и затратами 10000 долларов. 

Рассмотрим на этом примере возможности компании. обозначим еженедельную прибыль  тогда

Из полученного равенства получается, что при    или  получим  то есть эти значения  будут точками равновесия. 

Когда   тогда  и получим  То есть компания получит прибыль. При других значениях  то есть когда  получим  - компания понесет убытка. 

Экономические задачи, связанные с последовательностью и ее границей (элементы математики финансов)

Рассмотрим общепринятые в рыночной экономике алгоритмы расчета процента в зависимости от термина ссуды, типа процентов, схемы их расчета. 

Понятие процента 

Процентом от числа   называется сотая часть этого числа. Запись  означает 

Например,  числа   = 

 Для того чтобы найти процентное выражение заданного числа, достаточно умножить это число на 100.

Пример 3.123 

Процентное выражение числа 5 является  числа  -  для того, чтобы найти число по его процентному выражению достаточно поделить процентное выражение на 100. 

Пример 3.124

 

Три основные задачи на проценты 

1 задача. Найти полный процент заданного числа. Заданное число  делиться на 100 и умножается на соответственное число процентов. 

Пример 3.125 

Полное процентное произведение угля на шахте должно составлять 3000 т. Шахта выполняет процентный план на 120%. Сколько тонн угля она произвела? 

2 задача. Найти число по известному значению его процента. Заданное значение процента искомого числа делим на число, что выражает этот процент, а результат умножим на 100. 

Пример 3.126 

Масса сахара - 12,5% массы переработанных свеклы. Сколько нужно свеклы для получения 5000 т сахара? 

3 задача. Найти выражение данного числа в дробях другого. Делим одно число на другое и результат умножим на 100.

 Пример 3.125  

Плановое добывание нефти должно составлять 160 млн т, фактическое добывание достигает 164 млн т. На сколько процентов был выполнен план добычи нефти? 

Формула простого процента 

Отношение данного процента определенного числа к тому же числу называется процентной ставкой и обозначается 

Удельной процентной суммой (нормой процента) называется соотношение: 

Если определенный процент некоторой денежной суммы складывается к этой сумме, то говорят про накопление денег. 

Если процент не начисляется на первый процент, что складывается к начальному числу, говорят про простой процент. 

Обозначим через  первичную сумм. если процентная ставка равна  а удельная процентная ставка равна  то после первого года: 

после второго года: 

Следует 

 Пример 3.128 

Если  а процентная ставка  то накопительная на  протяжении трех лет сумма будет такая: 

Если процент начального числа складывается к этому числу, а далее процент начисляется на полученную сумму, то есть на большее число, то говорят про сложные проценты. 

Формула сложного процента 

Пусть на начальное число   начисляется сложный процент по определенной нормой на протяжении  лет. Тогда получим такую последовательность сумм: 

после 1-го года: 

после 2-го года: 

после  - ого года: 

остаточная (конечная) сумма    при начислении сложного процента на протяжении  лет становиться 

Основная формула сложного процента начисляется на протяжении  лет, выполняется такая зависимость: 

 

Выражение  называется коэффициентом сложного процента. 

Пример 3.129

Пусть определенный вклад  ден. ед. Вложим на 4 года под сложные проценты по ставке 100% годовых,  Найдем значение вклада в течении нескольких лет. 

Решение. Обозначим   - возрастание значения вклада на конец  - ого года. Поскольку  ден. ед.   то по формуле:  получим: 

Сложим таблицу: 

Формула, когда проценты начисляются непрерывно

Пусть проценты начисляются равномерно  раз на протяжении года, каждый раз по норме  на новый остаток вклада, тогда общий член ее последовательности будет иметь вид: 

Пусть проценты теперь начисляются непрерывно, то есть  тогда получим, 

Следует, 

Эту формулу можно использовать для любых вычислений, связанных с сложными процентами. 

 Пример 3.130 

Сумма 2000 ден. ед  положена в банк по схеме непрерывного начисления процентов по ставке 10% за год. Найти увеличенную на протяжении года сумму  при 

Решение 

Результаты вычислений приведем в таблице: 

Дисконтирование

Приведенные выше формулы связывают переменные величины   где  - процентная ставка. Зная три из них, можно найти четвертую. 

Например, из основной формуле для начисления сложенных процентов  после несложных преобразований, получим следующие формулы: 

Разницей  между конечной суммой  и суммой  что дисконтируются, называется дисконтом:  

Если денежные средства  вложить под простые проценты на  лет с удельной процентной ставкой  то остальная сумма будет такая: 

Следует, дисконтированные денежные средства станут: 

в случае сложных процентов получим:  а дисконтированное значение денежной суммы: 

Коэффициенты  называют коэффициентом дисконта. 

Пример 3.131 

Нужно найти суммарное значение долга, полная сумма через 3 года получится 7 млн ден. ед. Проценты начисляются со следующей ставкой 20% в конце каждого года. 

Решение 

 где  (ден. ед.), 

Примеры решения задач:

Пример 3.132

Пусть 2 млн ден. ед. выдано в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% за месяц. Найти увеличенное значение долга на конец каждого месяца.  

Решение. Обозначим  - возрастание значения долга на конец   - го месяца. Поскольку  млн ден. ед.,  то исходя из формулы  получим  Описанный результат предоставим в виде таблицы: 

Увидим, что последовательность  - арифметическая прогрессия с начальным числом  млн ден. ед. и разницу 200 тыс. ден. единиц. 

Пример 3.133 

Сумма 800 тыс. ден. ед. инвестируется на 3 года под сложные проценты по ставке 80% годовых. Найти увеличенную функцию за этот период. 

Решение. Воспользуемся формулой  где  тыс. ден. ед. , 

 (тыс. ден. ед.). 

Использование матрицы затрат

Пример 1.1. Три мебельных комбината - Харьковский, Днепропетровский и Ужгородский - производят 5 типов продукции: кухни, передние, гостиные, спальни, уголки с мягкой мебелью. В бухгалтерии этих комбинатов поступают сведения об объемах производства, которые заносятся в учетную документацию и там накапливаются. Эти данные представляются в виде матрицы. На 1 июня матрица продукции имела вид:

где, (мебельные комбинаты), , (продукция: кухни, передние, гостиные, спальни, уголки с мягкой мебелью). Например, Харьковский комбинат произвел 102 кухни.

На конец июня аналогичная матрица имела вид:

Найти объем каждого типа продукции, произведенной в июне.

Решение. Объем продукции которая  была произведена в июне, определяется матрицей . Следовательно, 

Пример 1.2. Строительная фирма «Надежная крыша» производит металлочерепицу трех видов: цветная, устойчивая, экологическая. При этом применяются различные технологические операции, соответствующие рабочим местам № 1-5.
Сделать расчет заработной платы, приходящейся на каждый заказ при изготовлении изделий каждого типа, если известно
а) затраты времени (в часах) на каждом рабочем месте на изготовление единицы продукции соответствующего вида, приведены в таблице:

б) количество изделий (в единицах) в каждом заказе:

в) заработная плата за один час (в рублях) на каждом рабочем месте:

Решение. Затраты времени на каждом рабочем месте, количество изделий и заработную плату за один час можно рассматривать как элементы матриц и соответственно:

Поскольку матрица задает линейную зависимость между размером заработной платы и затратами рабочего времени на каждом рабочем месте, а матрица - между затратами времени на данном рабочем месте и единицей выпускаемого изделия, то матрица характеризует начисления заработной платы, приходящейся на единицу каждого из видов изделий.
Следовательно, 

Поскольку матрица означает количество изделий в каждом заказе, то произведение означает размер заработной платы, приходящаяся на выполнение каждого заказа.
Таким образом,

то есть на выполнение заказа Иванова И. И. начисления заработной платы составляет 99,60 грн, заказ Петрова П. В. - 81,90 грн, заказ Сидорова С. И. - 102,55 грн.

Пример 1.3. Машиностроительный завод «Дормаш» выпускает тракторы трех видов: ДМТ-100, ДМТ-300 и ДМТ-500. При этом используется сталь трех марок: Ст4пс, Ст2кп и Ст20кп. Нормы расходов каждой марки стали (в тоннах) на один трактор, а также запасы стали приведены в таблице:

Сколько тракторов каждого вида может выпустить завод при условии использования всего запаса стали.

Решение. Обозначим количество тракторов каждого вида через соответствии с перечнем. Очевидно, что . В отношении расходов стали каждой марки имеем систему уравнений: 

Решим эту систему тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса.
1. Правило Крамера. Вычислим определитель системы .

Поскольку , то система имеет единственное решение. Вычислим определители и

По формулам Крамера имеем:

то есть 

2. Матричный способ. Для решения системы с помощью обратной матрицы обозначим 

В матричном виде система записывается так:  отсюда , где - матрица, обратная к матрице .

где  - алгебраические дополнения элементов матрицы ,
а именно: 

Тогда

Получено то же решение:  

3. Метод Жордана-Гаусса. Решение системы уравнений подаем в таблице (схема Жордана-Гаусса).

Таким образом, получаем: 

Итак, машиностроительный завод, используя все запасы стали, выпускает один трактор вида ДМТ-100, один трактор вида ДМТ-300 и два трактора вида ДМТ-500. 

Пример 1.4. Семейная фирма производит напитки «Лето» и «Водограй». Для производства 1 л напитка «Лето» нужно 0,02 часов работы оборудования, а для 1 л напитка «Водограй» - 0,04 часов. Расходы основных веществ напитков равны 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л напитков «Лето» и «Водограй» соответственно. В день фирма располагает 16 кг основных составляющих веществ и 24 часа работы оборудования. Прибыль фирмы от продажи 1 л напитков
«Лето» и «Водограй» составляет 0,1 и 0,4 грн соответственно. Прибыль за один рабочий день составляет 160 грн.

Определить, сколько напитков каждого типа производит фирма ежедневно, если известно, что все ресурсы используются полностью.

Решение. Запишем условие задачи в виде таблицы:

Обозначим через количество литров напитка «Лето», через - напитка «Водограй» товары ежедневно, а через - остаток рабочего времени оборудования, который фирма использует для его ремонта.
Составим математическую модель задачи. Это система линейных уравнений:

Решим систему методом Жордана - Гаусса. проведем эквивалентные преобразования расширенной матрицы системы:

Рангах матрицы системы и расширенной матрицы равны 2, а количество переменных - 3. Это означает, что система имеет множество решений.
По преобразованной матрицей запишем систему уравнений в виде:

где  и  - базисные неизвестные, а  - свободная неизвестна.

Определим базисные неизвестные через свободные

и запишем решение системы в матричной форме 

Система имеет множество решений в зависимости от того, каких значений приобретает свободная неизвестна . Поскольку , найдем, в каких пределах может изменяться :

то есть . Таким образом, для любого из промежутка  будем получать неотъемлемые частные решения системы уравнений.

Проанализируем полученный результат. Пусть фирма будет производить 800 л напитка «Лето» , но тогда она должна производить 200 л напитка «Водограй» , и чтобы рабочее время оборудования использовался полностью, поскольку . Таким образом, имеем частное решение системы: . В этих условиях прибыль фирмы составит. Однако, если фирме необходимо иметь резерв времени для технического осмотра оборудования, то она может перепланировать выпуск продукции. Например, если ч., То из уравнения получим, что фирма может выпускать 600 л напитка «Лето» , а из уравнения имеем, что напитка «Водограй» следует выпускать 250 л . При этом прибыль остается той же, то есть 160 грн . Итак, по такому предположению получено еще один из частных решений системы: .

Пример 1.5. В таблице приведено межотраслевой баланс за отчетный период в условных денежных единицах:

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли необходимо увеличить вдвое, а машиностроения - оставить на прежнем уровне.

Решение. Обозначим через валовой выпуск энергетической отрасли, через - валовой выпуск машиностроения, через - количество продукции энергетической отрасли потребляется самой энергетической отраслью при производстве единицы продукции, - количество энергетической продукции идет на производство единицы продукции машиностроения, через и - количества продукции машиностроения, используемых при производстве единицы продукции энергетической и машиностроительной отраслями соответственно, а через и - конечный спрос на энергетическую и машиностроительную продукции соответственно.

Модель Леонтьева «затраты-выпуск» имеет вид:

По условиям задачи имеем:  Также: 

Отсюда найдем коэффициенты прямых затрат. Имеем:

Запишем матрицу прямых затрат в виде:

Все элементы матрицы являются неотъемлемыми. Проверим, является ли эта матрица продуктивной. Найдем собственные значения матрицы с характеристическим уравнением:

то есть:

Характеристический многочлен матрицы имеет вид:

или

Отсюда находим: 

Следовательно, - положительное собственное число, , то есть  - простой корень характеристического многочленов. Поскольку , это означает, что матрица продуктивна, то есть для произвольной матрицы конечного спроса с неотъемлемыми компонентами существует матрица валового выпуска , все компоненты которой неотделимы. Для определения объема валового выпуска применяют формулу:

Рассмотрим случай, когда конечное потребление энергетической отрасли увеличилось вдвое, а в машиностроении - осталось на прежнем уровне. В этом случае имеем:

Вычислим определитель матрицы: 

Следовательно, существует обратная матрица 

Тогда:

то есть валовой выпуск продукции в энергетической отрасли нужно увеличить до 177,2 условной единицы, а в машиностроении - до 99,1 условной единицы.

Пример 1.6. Найти соотношение национальных доходов Казахстана, Украина и Беларусь для сбалансированной торговли, если структурная матрица имеет вид: 

Решение. Составляем матричное уравнение: 

где  - матрица-столбец, определяет национальные доходы стран.

Имеем: 

Это матричное уравнение можно представить в виде системы алгебраических уравнений: 

После эквивалентных преобразований система принимает вид: 

отсюда имеем общее решение: 

Пусть  тогда 

Итак, сбалансированность торговли Казахстана, Украины и Беларуси достигается, если их национальные доходы определяются соответственно по соотношению 

Формула простых процентов

Пусть осуществляется вклад сбережений в банк под простые проценты - проценты, начисляемые только на первоначальную сумму вклада. Какая сумма подлежит выплате вкладчику через несколько лет?

Введем обозначения величин, указанных в условии задачи:

 начальная (исходная, основная) сумма взноса;

 проценты которые начисляются за год (ставка простых процентов)

 количество лет, за которые начисляется простой процент;

 сумма, подлежащая выплате вкладчику через лет.

По условию задачи за один год вклад увеличится на сумму , тогда через лет начисления составят сумму в раз больше.

Следовательно, 

где множитель  называют коэффициентом наращивания суммы простых процентов, а соотношение (7.28) - формулой простых процентов.

Формула простых процентов содержит две переменные величины и , которые находятся между собой в линейной зависимости.

Модель «спрос-предложение»

Следующая задача требует знаний некоторых экономических понятий, связанных с товарным рынком:

спрос - потребность в товарах рынка со стороны покупателей, а предложение - представлена ​​на рынке возможность приобрести товар;
закон спроса - закон, согласно которому снижение цены приводит соответствующий рост величины спроса, и наоборот;
закон спроса и предложения - цена любого товара изменяется, чтобы уравновесить спрос (объема ) и предложение (объема ).
равновесие товарного рынка - состояние рынка, когда для продажи предлагается такое количество товара, которое потребитель готов купить;
равновесная цена - цена, которая уравновешивает спрос и предложение;
равновесный объем - объем предложения и объем спроса в условиях, когда уравновешиваются спрос и предложение; если спрос на товар превышает предложение товара, возникает дефицит предложения, или избыточный спрос; если спрос на товар ниже предложения товара, возникает избыток предложения, или дефицит спроса.

Экономическую модель, описывающую процесс ценообразования на рынке, называют моделью «спрос-предложение».

Простейший случай математической модели получаем в случае линейной зависимости объемов спроса и предложения от цены товара и наоборот. На рис. 7.14 схематично воспроизведено прямую спроса (рис. 7.14 а), прямую предложения (рис. 7.14 б), точку равновесия (рис. 7.14 в):

Рис. 7.14

Рассмотрим конкретный пример задачи о спросе и предложении.
По данным таблицы 7.2 найти точку равновесия товарного рынка.

Исходные данные для построения модели «спрос-предложение»                     Таблица 7.2

Зависимость спроса и предложения от цены товара линейная (приросты одинаковы).

Решение задачи сводится к нахождению точки пересечения прямых, описывающих спрос и предложение.
Для записи уравнений прямых спроса и предложения воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (7.12).

Уравнение прямой спроса имеет вид:

а уравнение прямой предложения -

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными при условии, что имеет место равенство 

Получено значение равновесной цены и равновесного спроса (6).

При , спрос на товар составляет , что превышает предложение . Таким образом, на рынке наблюдается товарный дефицит.

Определение результатов деятельности предприятия

Пример  2.1. За плановый период предприятие изготовило 200 единиц продукции первого вида, 150 единиц второго и 100 единиц третьего вида. Прибыль от реализации единицы каждого вида составляет соответственно 3, 5 и 10 грн.

Вычислить прибыль от реализации всей продукции.

Решение. Доходы от реализации каждой единицы продукции можно считать координатами вектора , а объем произведенной продукции трех видов опишем вектором . Тогда прибыль от реализации всей продукции можно определить как скалярное произведение . Следовательно,

Пример 2.2. Расходы предприятия на изготовление 10 единиц продукции составляет 1000 грн, а на 50 единиц этой же продукции - 2000 грн. Определить затраты предприятия на изготовление 30 единиц продукции при условии, что общие затраты на производство продукции является линейной функцией от объема.

Решение. По условию задачи затраты на производство являются линейной функцией от объема. Уравнение соответствующей линии будем искать как уравнение прямой, проходящей через две точки:

Используя условие задачи, имеем:

Отсюда:

Следовательно, мы получили функцию, характеризующий зависимость издержек производства от объема. Теперь найдем значение этой функции при :

Ответ: на производство 30 единиц товара расходуется 1500 грн.

Пример 2.3. Через пункты и проходит шоссейная дорога. На плане местности эти пункты имеют координаты  и . Завод , который в том же плане имеет координаты , необходимо соединить кратчайшей дорогой с этим шоссе. Найти на шоссе точку вхождения в него дороги.

Решение. Сначала найдем уравнение прямой, по которой на плане местности проходит шоссейная дорога. Для этого запишем уравнение прямой , проходящей через точки и

Итак:

Короткая прямая, которая пройдет через точку , является перпендикуляром к прямой . Найдем угловой коэффициент прямой . Условие перпендикулярности прямых можно записать следующим образом: . Отсюда вычислим угловой коэффициент прямой . Для того чтобы записать уравнение прямой , надо использовать уравнения прямой, проходящей через точку в заданном направлении: . Итак, имеем:

 или 

Теперь найдем точку пересечения прямых и :

Таким образом, точка имеет координаты: .

Ответ:

Пример 2.4. В прошлом году цена единицы некоторого товара составила 50 грн, а в текущем - увеличилось до 60 грн. Найти зависимость цены товара от номера года, если предположить, что цена ежегодно будет увеличиваться на ту же величину. Составить прогноз цены на 3 и на 5 лет вперед.

Решение. Обозначим номер предыдущего года через 1, тогда текущем году будет отвечать номер 2.

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки, а именно через точки и :

Через три года, то есть для года, номер которого равен , цена товара составит (грн), а через 5 лет (при ) цена товара достигнет (грн).

Пример 2.5. Предложение и спрос на сахар в некоторый период на рынке описывались функциями:

где  цена одного кг сахара в грн, а и - вес в кг.

Найти рыночную цену на сахар в этот период.

Решение. Рыночная цена определяется условием , а именно:

отсюда 

Пример 2.6. Предприятие тратит на производство единицы продукции 20 грн. Расходы, которые не зависят от объема продукции, например, зарплата, амортизационные отчисления и т.п. равны 200 грн в неделю. Найти себестоимость единицы продукции.

Решение. Пусть количество единиц продукции, изготовленной в течение недели. Затраты на производство этой продукции составляют расходы на производство единицы продукции:

или 

Таким образом, затраты на производство единицы продукции обратно пропорционально зависят от объема производства, а именно: при росте себестоимость продукции спадает и направляется к .

Пример 2.7. Зависимость объема производства от затрат ресурсов двух видов и задается производственной функцией:

Определить затраты ресурсов на изготовление 23 единиц продукции.

Решение. По условию задачи , следовательно, соотношение между  и  описывается уравнением:

Сведем это уравнение линии 2-го порядка к каноническому виду:

Следовательно, мы получили уравнение, которое определяет эллипс с центром в точке , а его полуоси равны

Для каждого значения объема расходов ресурса первого вида, описываются значением из промежутка , объем расходов второго ресурса y принимает значение из промежутка . Например, если расходы первого ресурса равны 2 (ед.), То расходы y второго ресурса, которые определяются по уравнению эллипса, равны

Пример 2.8. Расстояние между двумя торговыми организациями равно 8 км. Найти множество возможных мест расположения базы таким образом, чтобы сумма расстояний от базы к этим организациям была постоянной величиной и равна 10 км.

Решение. Выберем оси координат следующим образом: торговые организации обозначим точками и , которые лежат на оси , а ось проходит через середину отрезка . В этой системе координат точки, соответственно, имеют координаты и . Если база расположена в точке , то по условию задачи:

Определим и как расстояние между двумя точками:

Тогда:

или

Возносим обе части данного соотношения в квадрат и получаем:

Поднимем еще раз обе части соотношения в квадрат:

Поделив обе части данного соотношения на 225, получим уравнение эллипса в канонической форме:

Ответ: если база расположена на линии, которая является эллипсом: то сумма расстояний от нее до торговых организаций составляет 10 км.

Определение простых и сложных процентов

Пример  3.1. Клиент положил 10000 грн в банк по ставке 7%. Найти накопления через 5 лет в случае: а) простых процентов; б) сложных процентов. Результаты сравнить.

Решение. В случае простых процентов накопленная сумма вычисляется по формуле

Следовательно, 

Если предполагается капитализация процентов, то есть начисление процентов на проценты, то накопленная сумма вычисляется по формуле

Тогда 

Сравнивая результаты, видим, что более выгодным является вложение денег под сложные проценты.

Пример 3.2. 150000 грн положено в банк по ставке 18% на 5 лет. Построить числовую последовательность для характеристики денежных накоплений с учетом сложных процентов.

Решение. Для построения числовой последовательности применяем формулу

где 

Результаты вычислений приведены в таблице

Пример 3.3. Спрос на бумагу в канцелярии университета в течение определенного месяца составил 20 пачек и от того ежемесячно растет на 5%. Определите, за какое время спрос увеличится вдвое, если эта тенденция сохранится.

Решение. Применяя формулу , по условию задачи получаем:

Прологарифмируем обе части:

отсюда

Итак, через 14 месяцев спрос на бумагу в канцелярии увеличится вдвое.

Пример 3.4. Предприниматель решил инвестировать в проект по строительству нового отеля 10 млн грн, рассчитывая получить через 3 года 20 млн грн. Определите, какой должна быть для этого процентная ставка.

Решение. По формуле сложных процентов

необходимо найти . Подставим данные задачи:

Далее имеем:

отсюда 

Следовательно, для того чтобы через три года получить 20 млн грн, процентная ставка должна быть 26%.

Пример 3.5. Универмаг продает за день 150 пар обуви. После открытия еще одного отдела было решено довести ежедневный продажу в 750 пар. Сколько для этого нужно времени, если ежедневно увеличение продаж составит 25%?

Решение. По формуле

имеем:

Отсюда 

Значит, надо 7 дней, чтобы увеличить ежедневный продажа обуви до 750 пар.

Пример 3.6. Клиент положил деньги в банк под сложные проценты по ставке 8%. Через пять лет он получил 29 386,6 грн. Какую сумму было положено в банк?

Решение. По формуле сложных процентов имеем:

откуда

Таким образом, было положено в банк 20 000 грн.

Пример 3.7. Численность населения Украины в 2010 году составляла 47 млн. Найти численность населения Украины через 5 лет, если она будет расти ежегодно: а) на 0,5%; б) на 1,5%.

Решение. Если - численность населения на начало расчета, тогда через  лет численность составит 

а именно:

Следовательно, при росте численности населения на 0,5%, через 5 лет она составит 48190000, а при росте на 1,5% - 50660000.

Пример 3.8. Студент, получивший на конкурсе премию 10 000 грн, положил ее на 3 года в банк по схеме непрерывного начисления процентов по ставке 10%. Построить числовую последовательность накоплений при ,

Решение. Для построения числовой последовательности применяем формулу

а именно:

Результаты вычислений представим в виде таблицы.

Задача о производительности труда

Пусть функция выражает количество продукции за время , и необходимо знать производительность труда в момент  Очевидно, за период времени от  до  количество произведенной продукции изменится от значения до значения Тогда средняя производительность труда за этот срок составляет Производительность труда в момент можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , то есть

Следовательно, производная объема произведенной продукции по времени   является производительностью труда в момент В этом экономический смысл производной.

Максимизация прибыли:

Максимизация прибыли является одним из основных критериев оценки деятельности производственной или коммерческой структуры. Прибыль (revenue) является некоторой функцией от объема реализованной продукции 

Исследования, проведенные фирмой, показали еженедельную продажу в зависимости от еженедельного прибыли описывается соотношением, которое представлено в виде функции: Понятно, что областью определения функции является Определим, при каких условиях фирма будет иметь максимальный еженедельный прибыль.

Найдем все стационарные точки из условия равенства нулю производной функции прибыли

С целью идентификации этой точки находим

Значит, точка является точкой локального максимума. При этом

Таким образом, для максимизации своей прибыли фирма должна еженедельно реализовывать 2000 единиц продукции. При этом ее доход будет максимальным и составит 1500 гривен.

Предельный анализ

В практике экономических исследований широко применяются производственные функции, которые используют для установления зависимостей, например, выпуска продукции от затрат ресурсов, издержек производства от объема дохода от продажи товара и т. д. В предположении дифференцированности производственных функций важное значение приобретают их дифференциальные характеристики, связанные с понятием производной. Анализ, основанный на использовании предельных величин (относительных приростов) для исследования экономических процессов, называется предельным, или маржинальным анализом.

Рассмотрим производные для указанных типов производственных функций.
1. Пусть производственная функция - функция совокупных издержек производства (total cost), зависит от количества
Предположим, что количество продукции увеличилось на . Количество продукции соответствуют издержки производства Следовательно, приросту количества продукции соответствует прирост совокупных издержек производства продукции на величину

Средний прирост совокупных издержек производства определяется как 
Это прирост совокупных издержек производства на единицу прироста количества продукции.

Предельными издержками производства (marginal cost) называются дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Они определяются как предел отношения изменения совокупных расходов количеству дополнительной продукции, которая была изготовлена

Предельные издержки производства совпадают со скоростью изменения издержек производства. Величина характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

2. Обозначим совокупный доход (total revenue) от продажи единиц товара.

Предельным доходом (marginal revenue) называется дополнительный доход, полученный от реализации дополнительной единицы продукции. Он определяется как предел отношения изменения совокупного дохода количеству реализованной продукции его обусловила

3. Пусть производственная функция устанавливает зависимость общего объема выпуска продукции (total product) от затрат ресурса 

Предельным продуктом (marginal product) называется дополнительный продукт, произведенный при использовании дополнительной единицы ресурса. Он определяется как предел отношения изменения количества продукта с количеством используемого ресурса, его обусловила

Эластичность функции

Понятие эластичности было введено Альфредом Маршаллом, лидером кембриджской школы маржинализма, в конце XIX века в связи с анализом функции спроса. Сейчас это понятие широко используется для характеристики и других экономических функций.

Сначала введем некоторые понятия. В экономике часто используется понятие относительных изменений определенной величины. Пусть функция определена на интервале и точка , причем Возьмем приращение аргумента такой, что  Отношение называется относительным изменением функции в точке , что обусловлено изменением аргумента

Относительное изменение величины часто выражают в процентах

Рассмотрим отношение

которое показывает относительное изменение функции в точке приходящейся на одну единицу изменение аргумента. Предположим, что существует конечное производная тогда существует предел 

Отношение называется скоростью относительного изменение функции в точке . В случае, когда аргумент функции интерпретируется как время, то скорость относительного изменение функции называют темпом прироста функции. Если достаточно мало, то отношение (17.1) приближенно равна скорости относительного изменение функции в точке

В том случае, когда единицы измерения аргумента такие, что (равное единице) можно считать достаточно малым изменением x, то скорость относительного изменение функции приближенно равен относительному изменению функции при изменении аргумента на единицу.

Пусть точка такая, что Возьмем такое что  и рассмотрим относительное изменение аргумента в точке

Тогда величина 

будет определять относительное изменение функции, приходящейся на единицу относительного изменение аргумента.

Пусть задана функция , для которой существует производная
Эластичностью функции относительно переменной называют предел отношения относительного прироста функции в к относительному приросту переменной  при

Ее обозначают Следовательно,

Величину при заданном значении называют также показателем, или коэффициентом эластичности. Эластичность по аргументу определяет приближенный относительный прирост функции (в процентах), что соответствует относительному приросту независимой переменной на

Свойства эластичности функции

1. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичности этих функций:

2. Эластичность доли двух функций равна разности эластичности этих функций:

3. Если то

Эластичность функции применяется для анализа спроса и потребления. Например, эластичность спроса в отношении цены (или прибыли ) - коэффициент, показывающий приближенно, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при условии изменения цены (или прибыли) на Если эластичность спроса (по абсолютной величине) то спрос считают эластичным, если - нейтральным, если - не эластичным относительно цены (или прибыли). Вообще, высокий коэффициент эластичности означает слабая степень удовлетворения потребности; низкий - указывает на большую потребность в данном товаре.

Цена за единицу продукции представлена функцией

где измеряется в гривнах, - в штуках холодильников, пользующихся спросом у потребителей. Фирма хочет определить эластичность спроса для 2000 холодильников.

Имеем 

Далее, 

Значит, если цена одного холодильника уменьшить на 0,2%, то спрос на холодильники увеличится на 1% (с 2000 штук увеличится до 2020 штук).

На этом примере мы видим, что можно рассматривать и обратную зависимость:

Тогда для нашего примера имеем: 

Это значит, что увеличение цены на один холодильник на 1% приводит к уменьшению спроса на холодильники на 5% (с 2000 штук уменьшится до 1900 штук).

Пусть совокупные издержки производства в зависимости от количества выпускаемой продукции, определяются функцией . Найдем предельные издержки производства и коэффициент эластичности, если объем продукции составляет 100 и 20 единиц.

1. Предельные издержки производства определяются как производная от функции издержек 

При соответствующих объемах продукции:

Таким образом, увеличение количества производимой продукции, приводит к замедлению роста затрат на ее выпуск. 

2. Эластичность функции

В данном примере 

Следовательно, если при объеме производства 100 единиц увеличить выпуск продукции на 1%, то есть на одну единицу, то относительные издержки производства увеличатся примерно на 0,67%; при объеме 20 единиц увеличение выпуска продукции на 1% приведет к увеличению относительных затрат примерно на 0,95%.

Применение производной в экономической теории

Рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма (теорема 16.1).
Сначала сформулируем один из базовых законов теории производства: оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

То есть уровень выпуска является оптимальным для производителя, если  где - предельные издержки, а - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли Тогда где  - совокупный доход от производства единиц продукции, а - совокупные расходы. Очевидно, что оптимальным является такой уровень производства, при котором прибыль будет максимальной, то есть такой объем выпуска , при котором функция будет иметь экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке выполняется необходимое условие экстремума: Поскольку то соответственно

Второе важное понятие теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, которому соответствуют минимальные средние издержки (average cost) на производство товара. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние расходы определяются как , то есть затраты на производство товара, разделены на произведенное количество этого товара. Минимального значения эта величина достигает в критической точке функции , координаты которой определяются с необходимого условия экстремума:

Отсюда получаем или следовательно, то есть средние издержки равны предельным.

Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории.

Одним из самых известных экономических законов является закон убывающей доходности, по отношению к которому с увеличением производства объем дополнительной продукции, полученной на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологическому и т. д.), с некоторого момента возрастает более медленно, чем растет фактор производства .

Другими словами, величина  где - прирост ресурса, а - прирост выпуска продукции, уменьшается при увеличении Таким образом, на языке математики закон убывающей доходности формулируется так: функция выражающий зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой вверх.

Другим базовым понятием экономической теории является функция полезности где - товар, а - полезность. Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом.

Закон убывающей полезности формулируется так: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента спадает. Очевидно, что на языке математики этот закон можно представить следующим образом: функция полезности является выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей предельной полезности является исходным пунктом для математического исследования в теории спроса и предложения.

Предприятие производит единиц продукции по цене  а совокупные издержки производства задаются функцией

Найти оптимальный для предприятия объем выпуска продукции и соответствующий ему максимальный выпуск.

Пусть - валовой доход, - прибыль от реализации единиц продукции по цене тогда

где  - известные функции.

Для решения задачи следует исследовать функцию на экстремум. При этом прибыль будет максимальной для такого объема выпуска продукции, для которого (необходимое условие экстремума) и (достаточное условие экстремума, поскольку функция исследуется на максимум).

Проведем это исследование.

1. Формируем находим и, решив уравнение находим критическую точку. Учтем, что 

получаем

или 

Следовательно,  - это критическая точка.

2. Находим и определяем ее знак при

Следовательно, - точка максимума функции то есть оптимальный объем производства составляет 150 единиц продукции.

3. Находим максимальную прибыль производства, то есть 

При объеме производства цена за единицу продукции составляет а валовой доход достигает
Издержки производства равны

следовательно, имеем максимальную прибыль от продажи  

Расчёт производительности ресурса

Пример 4.1. Функция выпуска продукции имеет вид

Найти предельную производительность ресурса (скорость изменения выпуска), если расходы ресурса составляют 2 условные единицы.
Решение. Скорость изменения выпуска найдем по производной

Следовательно, если расходы составляют 2 усл. ед., то скорость изменения выпуска составляет 8 усл. ед.

Пример 4.2. Объем продукции, произведенной бригадой рабочих в течение одной рабочей смены, определяется уравнением

где - рабочее время (в часах). Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения: а) через час после начала работы; б) за час до ее окончания.
Решение. Производительность труда в любой момент времени - это производная от объема продукции, следовательно,

Скорость - это производная от производительности труда, то есть производная второго порядка от объема

Темп изменения производительности труда есть производная от логарифма производительности или отношение скорости к производительности

При имеем: 

При имеем:

Следовательно, производительность труда в конце рабочего дня уменьшается.

Пример 4.3. Вычислить эластичность функции расходов y от объема , если известно, что эта функция имеет вид

а также определить средние и предельные издержки по объему продукции, который составляет 5 единиц.
Решение. Для вычисления эластичности функции применяем формулу

Находим  

Тогда 

Следовательно, 

То есть при производстве продукции объемом 5 единиц увеличение выпуска на 1% приведет к увеличению расходов на 0,33%.
Функция средних затрат определяется как отношение функции расходов y к объему продукции

Если объем продукции составляет 5 единиц, то 

Для нахождения предельных издержек находим производную от функции затрат:

и вычисляем ее при получаем

Следовательно, в случае выпуска 5 единиц продукции средние и предельные издержки составляют соответственно 150 и 50 условных единиц.

Пример 4.4. Опытным путем было установлено функцию спроса 

и функцию предложения , где - цена товара, и - количество товара в соответствии предлагается и покупается в единицу времени. Найти: 1) равновесную цену; 2) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Решение.
Равновесная цена определяется при

или

отсюда - не подходит, так как цена не может быть отрицательной).

Следовательно, цена равновесия единицы товара равна 2 условных единицы.
Найдем эластичности спроса и предложения по формуле

Поскольку цена равновесия , то

Следовательно, спрос и предложение данного товара при цене равновесия не эластичные относительно цены, потому что значение эластичности по абсолютной величине меньше единицы. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения, а именно: если цена p увеличится на 1%, то спрос уменьшится на 0,2%, а предложение увеличится на 0,5%.

Пример 4.5. Предприятие производит x единиц продукции еженедельно и реализует ее по цене

Суммарные издержки производства составляют

При каком объеме производства прибыль предприятия будет наибольшей?
Решение. Определяем прибыль

следовательно,

Исследуем функцию на экстремум.
Находим ее производную:

Дальше необходимым условием экстремума получаем значение критической точки:

Теперь определяем вторую производную следовательно, прибыль предприятия будет максимальным при объеме производства единиц и составит (гр. Ед.).

Пример 4.6. Пусть функция издержек имеет вид:

Вычислить предельные издержки производства, если объем производства составляет При каких значениях функция затрат возрастает (убывает) медленнее (быстрее)?

Решение. Для вычисления предельных издержек находим производную от функции издержек

и вычисляем ее в соответствующих точках:  и 

Следовательно, если объем производства растет, предельные издержки падают.
Область определения функции: Учитывая, что  - объем производства, имеем: На этом интервале
Найдем производную второго порядка:

Следовательно, функция затрат растет медленнее, потому что а для

Пример 4.7. Фирма планирует выпускать пластиковые окна. Опытным путем установлена зависимость спроса цены в окно: где - количество окон. Расходы фирмы на выпуск окон составляют

Определить максимальную прибыль.
Решение. Валовая прибыль равна Прибыль от реализации окон

Из уравнения получаем

Тогда 

или 

Находим производные

За необходимым условием экстремума:

отсюда и , то есть при функция достигает максимума.
Вычисляем: Следовательно, максимальная прибыль составляет 2900 условных единиц.

Пример 4.8. Функция спроса на товар имеет вид

где - цена на товар. Найти предельный спрос. Определить, по какой цене спрос:

1) будет самым наибольшим; 2) исчезнет. Найти темп изменения спроса.
Решение. Предельный спрос - это производная от функции спроса, а именно:

За необходимым условием экстремума имеем

Следовательно, по цене спрос будет наибольшим и будет равен:

Спрос равен , если

откуда (не подходит, потому - цена товара).

Темп изменения спроса находим по производной второго порядка от функции спроса, а именно:

Если цена возрастает до  то спрос тоже растет и становится максимальным, а именно  Далее при росте цены от до спрос падает и исчезает, если цена  Таким образом, на промежутке спрос растет тогда как на промежутке - приходит

Предельный спрос определяется формулой Максимальный спрос достигается ценой товара Спрос исчезает, если цена

Пример 4.9. Зависимость издержек производства от объема задана функцией

При каком объеме продукции издержки производства начнут спадать?

Решение. Найдем производную:

Расходы падают, когда , то есть

отсюда

Учитывая, что , остается:

Следовательно, расходы начнут спадать, если объем производства

Пример 4.10. Пусть функция устанавливает зависимость расходов фирмы от количества произведенной продукции, а - зависимость спроса от цены. Найти максимальный объем производства. Сравнить оптимальную цену с предельными издержками.

Решение. Прибыль фирмы составляет

где - цена единицы продукции; - количество произведенной продукции; - затраты.

Из уравнения q получаем, что

Тогда

или

Следовательно, надо исследовать эту функцию на экстремум.
По необходимым условием экстремума:. Найдем:
Тогда откуда - это максимальный объем производства, поскольку

Соответствующая цена Предельные издержки при этом составляют:

Сравниваем оптимальную цену с предельными издержками:

Следовательно, максимальный объем продукции фирмы составляет 15 единиц, соответствующая цена - 12,5 грн, наиболее выгодная цена для фирмы в 2,5 раза больше предельных издержек.

Применение функций нескольких переменных в исследованиях экономических процессов

Функции нескольких переменных широко применяются в различных областях знаний, в том числе и в экономике для описания различных процессов и явлений. Обратим внимание на то, что методы нахождения локальных или глобальных экстремумов функции нескольких переменных положены в основу методов построения экономических моделей и определение стратегии управления экономическими процессами с целью оптимизации работы экономических систем. Остановимся на некоторых важных примерах.

Понятие о эмпирических формулах и метод наименьших квадратов

Пусть при исследовании какого-либо явления или процесса (в частности, экономического) ведется наблюдение за двумя переменными величинами и , в результате которого получено пар значений , которые обычно представляются в виде таблицы (табл. 20.1).

Результаты наблюдений                                                                                                           Таблица 20.1

Необходимо по данным эксперимента найти функциональную зависимость от , которая наилучшим образом описывала результаты наблюдений.

Эмпирическими формулами называются функциональные зависимости, построенные по результатам эксперимента. Поскольку значения зависимой переменной (функции) , которые вычисляются по эмпирическим формулам , могут отличаться от результатов измерений для соответствующего значения , то значение, вычисленные по эмпирическим формулам, обозначаются

Построение эмпирической формулы осуществляется в два этапа.

Первый этап предусматривает определение множества возможных функций, к которой может, согласно теоретическим предположениям, принадлежать искомая зависимость. Выбор функции, которую целесообразно использовать для приближенного описания (аппроксимации) результатов исследований, осуществляется на основе теоретических предположений относительно природы явления, которое исследуется, или по результатам визуального анализа расположения точек на плоскости.
Каждый класс функций характеризуется несколькими числовыми параметрами  количество которых зависит от типа функции. Например, линейная зависимость содержит два параметра: - угловой коэффициент, - величина отрезка, прямая отсекает на оси ординат; квадратичная зависимость описывается формулой, зависит от трех числовых параметров и тому подобное. Соответственно, значение функции, которого он приобретет по эмпирической формуле, зависит не только от значения аргумента, но и от этих параметров, поэтому параметры тоже вносят в символическую запись эмпирической формуле:

На втором этапе вычисляют значения числовых параметров, определяющих каждую из выбранных функций Они должны быть такими, чтобы функция лучше описывала изучаемое явление. Следует отметить, что построение эмпирических формул является одной из задач, которые исследует математическая статистика с помощью регрессионного анализа.

Одним из самых распространенных методов, применяемых для нахождения параметров эмпирических формул, является метод наименьших квадратов (МНК). Его базовый принцип заключается в том, что функция считается лучшей для аппроксимации эмпирических данных, если сумма квадратов разностей между эмпирическими значениями зависимой переменной и значениями, вычисленными с помощью функции при одном и том же значении аргумента , является минимальной (рис. 20.1).

Рис. 20.1

Разница между значениями полученными в результате исследований, и вычисленным по эмпирической формуле

то есть отклонения эмпирических значений функциональной переменной от теоретических, является погрешностями модели. Эти погрешности обозначают через
Следовательно,

Согласно принципу МНК неизвестные параметры функции, с помощью которой осуществляется аппроксимация, выбирают так, чтобы сумма квадратов ошибок была минимальной:

Функция (20.1) называется функцией ошибок. Понятно, что она зависит от параметров модели , то есть Следовательно, согласно методу наименьших квадратов, мы функцию переменной, для которой нужно найти минимум и указать значения параметров при которых он достигается.

Нахождение параметров эмпирических формул осуществляется по следующему алгоритму:

1) составляют сумму квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от ее теоретических значений, то есть по формуле (20.1) образуют функцию погрешностей
2) записывают необходимое условие локального экстремума функции как систему уравнений вида
3) решают систему, полученную в пункте 2), и находят числа которые обеспечивают минимальное значение функции

Доказано, что соответствующая стационарная точка является точкой минимума функции

Рассмотрим построение эмпирической формулы в случае, когда аппроксимирующей есть линейная функция Функция погрешностей в данном случае имеет вид:

За необходимым условием экстремума находим ее частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю. Получаем систему уравнений:

Для всех сумм, которые содержит полученная система, существуют специальные обозначения, принятые в математической статистике:

С использованием этих обозначений необходимое условие экстремума можно записать в виде системы уравнений

или в матричной форме:

Эта система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров эмпирической формулы. Отсюда определяем, что

Решение системы (20.2) дает наилучшие значения искомых параметров, при которых для выбранного вида функции сумма квадратов погрешностей будет наименьшей.

В случае, когда зависимость между переменными и следует аппроксимировать функцией, которая не является линейной, применение метода наименьших квадратов требует предварительной линеаризации модели, то есть введение новых переменных таким образом, чтобы зависимость между этими новыми переменными была линейной.

Например, если зависимость переменной  от переменной описывается гиперболической функцией, то есть то вводят переменную и систему нормальных уравнений (20.2) записывают в отношении этой переменной .

Если зависимость является степенной, то есть то функцию сначала надо прологарифмировать по любой основой (например, десятичной):

Введем новые переменные: С их помощью укладываем систему нормальных уравнений (20.2), и по этой системе определяем параметры модели и После их вычисления необходимо вернуться к исходным переменных.

Пусть приближением функции является квадратный трехчлен, то есть имеем:

Тогда функция ошибок, которую нужно минимизировать, имеет вид:

Определим ее частные производные по неизвестным и и по необходимым условием экстремума составим систему уравнений:

Преобразуем эту систему с целью сведения к системе нормальных уравнений:

Поделив обе части каждого уравнения на (количество измерений), получим систему нормальных уравнений:

Следует отметить, что значения параметров определенной функции, вычисления которых проводилось по методу наименьших квадратов, обеспечивают наименьшую сумму квадратов ошибок по сравнению с другими параметрами этой функции. Однако, если для аппроксимации применить другую функцию, то можно получить меньшее значение суммы квадратов погрешностей.

Покажем это на примере. В таблице 20.2 приведены данные по численности населения Харьковской области за последние 10 лет.

Численность населения харьковской области                                                                 Таблица 20.2

Определим функцию, по которой целесообразно осуществлять аппроксимацию эмпирических данных с целью последующей сборки краткосрочного прогноза. Для этого по исходным данным построим график (рис. 20.2), что позволит визуально оценить вид аппроксимирующей функции.

Рассмотрим сначала простейшую модель - линейную. То есть по виду графика предположим, что население с годами уменьшается по линейной функцией. Для упрощения вычислений вместо года в модели будем использовать его номер. Следовательно, будем искать параметры эмпирической формулы 

где  - номер года.

Приведем вычисления в виде таблицы.

Расчет параметров линейной модели                                                                                  Таблица 20.3

Подставляя средние значения из последней строки таблицы в формулы (20.3), получаем параметры линейной модели:

Следовательно, аппроксимирующая функцию найдена в виде:

Рис. 20.2

Вычислим за этим приближением теоретические значения функции и определим сумму квадратов ошибок (последние два столбца табл. 20.3). Оказалось, что сумма квадратов погрешностей в этом случае равна 0,00032. Это наименьшая величина по сравнению с тем, которую мы получили с помощью других линейных функций. Если эту формулу использовать для прогноза, то в 2012 году можно ожидать, что количество населения составит:

Рассмотрим аппроксимацию с помощью квадратного трехчлена, что тоже можно предположить, исходя из вида графика (рис. 20.2):

Определив все коэффициенты системы нормальных уравнений (20.4) и решив эту систему (предлагаем сделать это самостоятельно), получаем соответствующую аппроксимирующую функцию:

Применив эту модель, также вычислим значения которые соответствуют эмпирическим данным, и определим сумму квадратов отклонений между эмпирическими и теоретическими данными (предлагаем тоже сделать это самостоятельно). Как следствие, мы получили, что сумма квадратов отклонений при применении квадратичной функции составляет 0,0001, что меньше, чем при применении линейной аппроксимации. Следовательно, для прогнозирования целесообразно использовать последнюю модель. Таким образом, если принять модель, которая базирующаяся на квадратичной зависимости, то в 2012 году следует ожидать такое количество населения:

Предположим, что количество населения в зависимости от года определяется гиперболой, то есть

Тогда получим следующую формулу для определения 

Соответственно сумма квадратов отклонений при применении этой функции равен 0,0078, то есть в 20 раз больше, чем при применении линейной модели.

Следовательно, лучшей моделью данной задачи можно считать квадратичную модель (сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретической линии - наименьшая).

Взаимосвязь между производительностью и основными средствами

Пример  5.1. Найти эмпирическую формулу, описывающую зависимость между стоимостью основных средств и выработкой на одного рабочего, которые заданы таблицей.

Решение. По берем стоимость основных средств, а за - выработка продукции на одного рабочего. Перенесем данные таблицы на график: Визуальный анализ графика показывает, что точки размещаются вдоль прямой: Следовательно, параметры и найдем из системы нормальных уравнений:

Рис. к задаче 5.1

Чтобы составить эту систему, надо найти 

Результаты расчетов размещаем в таблице:

Используя суммы (последняя строка таблицы), записываем систему нормальных уравнений:

Обе части первого уравнения разделим на 6, а второго - на 21.
В результате получаем систему:

Решив систему уравнений, получим: 

Следовательно, эмпирическая формула имеет вид: 

Сравним значения и , для чего проведем расчеты, подставляя в полученное уравнение значения  Эти расчеты записываем в 6-й столбец таблицы. Теперь видим, что значение и не отличаются друг от друга.

Отметим, что сумма, полученная по уравнению, и эмпирическая (3-й столбец) с точностью до десятых совпали (39,5).

На графике приведена линия, уравнением которой является Видно, что эмпирические точки размещены вблизи построенной прямой, то есть эмпирическая формула отражает рассматриваемую зависимость.

Кстати, из этого уравнения следует, что выработка продукции на одного рабочего увеличится на 1,13 тыс. грн, если стоимость основных средств увеличится на 1 млн грн.

Пример 5.2. Найти эмпирическую формулу, описывающую зависимость между стоимостью основных средств и себестоимости единицы продукции, которые заданы таблицей.

Решение. По берем стоимость основных средств, а за - себестоимость единицы изделия. Для того чтобы подобрать эмпирическую формулу, перенесем данные таблицы на график.

По содержанию задачи и видом графика можно сделать вывод, что «лучшей» линией для определения зависимости является гипербола. Поэтому эмпирическую формулу будем искать в виде:

Сначала линеаризуемо эту зависимость.

Обозначим тогда относительно новой переменной имеем линейную связь:

Параметры и этой зависимости найдем по методу наименьших квадратов как решение системы нормальных уравнений.

Результаты вспомогательных расчетов для определения коэффициентов системы нормальных уравнений представим в виде таблицы:

Используя суммы последней строки таблицы, имеем:

С этой системы получаем: 

Следовательно, эмпирическая формула относительно переменной имеет вид:

Теперь вернемся к исходной переменной

Для оценки адекватности эмпирической формулы вычислим для каждого значения и сравним с Расчеты записываем в 7-м столбце таблицы.

Пример 5.3. Зависимость между стоимостью основных средств и месячным выпуском продукции задана таблицей:

Найти эмпирическую формулу, описывающую зависимость между стоимостью основных средств и ежемесячным выпуском продукции

Решение. Эмпирическую формулу будем искать в виде:

Применяя метод наименьших квадратов, параметры определяем из системы нормальных уравнений:

Для того чтобы составить систему нормальных уравнений, необходимо вычислить   Результаты всех вспомогательных вычислений приведем в следующей таблице:

Система нормальных уравнений принимает вид:

Эту систему линейных уравнений можно решить, например, по методу Жордана-Гаусса. Для этого удобно проводить преобразования не с самыми уравнениями, а с расширенной матрицей системы, а именно:

Следовательно, решением системы являются: а эмпирическая формула имеет вид:

Вычислим значение для всех и занесем результаты в последний столбец таблицы. Сравнивая и видим, что отклонения невелики, что свидетельствует об адекватности эмпирической формулы.

Пример 5.4. Пусть выпуск некоторого товара характеризуется производственной функцией: , где и - факторы производства. Найти закон изменения производственной функции в зависимости от каждого фактора. Вычислить эластичность и
Решение. Скорость любого процесса характеризует производная функции. Чтобы определить изменение производственной функции в зависимости от фактора , необходимо взять от функции частную производную по переменной :

Для определения изменения производственной функции в зависимости от фактора необходимо найти от функции частную производную по переменной

Вычисляем эластичности  и 

Тогда

При имеем:

Ответ: с ростом фактора на 1% (при условии что не меняется) функция увеличивается на 0,4%. С ростом фактора на 1% (при условии что  не меняется) производственная функция увеличивается на 0,74%.

Пример 5.5. Фирма производит два вида продукции, которые продает по ценам 500 и 600 грн за единицу. Объемы выпуска продукции составляют и соответственно. Функция затрат имеет вид: Найти такой план выпуска продукции, по которым полученную прибыль будет максимальной. Вычислить эту прибыль.

Решение. Прибыль от продажи продукции обоих видов составит С учетом функции издержек фирма получит такую прибыль:

Проведем исследование этой функции на экстремум. находим стационарные точки, для чего определяем частные производные:

За необходимым условием существования экстремума:  то есть: 

откуда 

Проверим, что при таком объеме продукции прибыль будет максимальной. Для этого построим матрицу Гессе (матрицу производных второго порядка) и вычислим ее определитель в точке (200. 50).

Тогда поэтому при фирма получает максимальную прибыль, который составляет:

Ответ: прибыль в размере 65 000 грн фирма получит, если производить 200 единиц продукции по цене 500 грн и 50 единиц продукции по цене 600 грн.

Пример 5.6. Фирма реализует часть товара на внутреннем рынке, где цена единицы товара составляет единиц, и связана с количеством товара зависимости , а другую часть товара поставляет на экспорт, где цена товара и его количество повязкам связанные зависимостью Суммарные затраты равны Определить, какое количество товара необходимо реализовать на внутреннем рынке, а какую поставить на экспорт, чтобы фирма получила максимальную прибыль.

Решение. По уравнению   находим цену реализации единицы товара на внутреннем рынке:

а из уравнения - цена реализации единицы товара, который поставляется на экспорт:

Прибыль от реализации товаров составляет:

С учетом затрат фирма имеет прибыль:

или

Находим частные производные первого порядка функции по каждой переменной:

По необходимым условием существования экстремума имеем:

откуда ед., ед.

При достаточным условием экстремума проверим, что при , фирма будет иметь максимальную прибыль. Найдем вторые частные производные функции в точке

Поскольку то в стационарной точке
функция имеет экстремум. Кроме того, это свидетельствует о том, что точка является точкой локального максимума.

Ответ: фирма будет иметь максимальную прибыль, если на внутреннем рынке реализовывать 90 единиц, а на внешнем - 120 единиц товара, при этом (гр. ед.).

Пример  5.7. Стоимость строительства фасада равна грн, других стен - грн, крыши - грн. Определить, при каких размеров дома стоимость его строительства (с учетом верхнего покрытия) будет наименьшей при заданной кубатуре, если стоимость описывается формулой:

где - длина фасада (м); - ширина здания (м); - высота здания (м); - объем здания.

Решение. Найдем частные производные первого порядка от функции стоимости строительства:

По необходимым условием экстремума составим систему уравнений относительно координат стационарной точки:

Из второго уравнения найдем и подставим его в первое:

Теперь из первого уравнения последней системы имеем:

Тогда

Проверим, имеет функция минимум при этих значениях и
Находим частные производные второго порядка этой функции:

Для проверки достаточного условия экстремума вычисляем где - значение частных производных  в стационарной точке:

Имеем: следовательно, экстремум есть. Поскольку то функция в стационарной точке имеет минимум.

Ответ: стоимость будет минимальной при таких размерах дома:

Пример 5.8. На предприятии используют два вида ресурсов в количествах и единиц. Стоимость единицы каждого из ресурсов равна 1 и 2 грн. Для приобретения ресурсов выделено 10000 грн. Определить оптимальное распределение ресурсов, которое обеспечивает предприятию максимальную прибыль, если известно, что суммарная прибыль в зависимости от затрат ресурсов описывается функцией:

Решение. Надо найти такие значения и , которые удовлетворяют условию  и при каких функция имеет максимум.
Решим уравнение относительно и подставим полученное выражение в функцию Следовательно, тогда:

Мы получили функцию одной переменной. Найдем ее производную:

За необходимым условием экстремума:

откуда тогда

Проверяем, есть ли найденная стационарная точка точкой максимума функции. Для этого определяем в ней знак второй производной:
Следовательно, действительно, в стационарной точке функция имеет максимальное значение.

Ответ: на выделенные средства необходимо приобрести 9994 единицы первого ресурса и 3 единицы второго. Прибыль при этом составит

Пример 5.9. Функция общих затрат предприятия имеет вид:

где и - количества единиц товаров видов и соответственно.

Общее количество произведенной продукции должен составлять 1000 единиц. Определить количества единиц товаров и , которые необходимо изготовить, чтобы затраты на их изготовление были минимальными.
Решение. Надо найти такие значения и , при которых функция 

имеет минимум при

Для исследования этой функции на условный экстремум составим функцию Лагранжа:

Находим ее частные производные первого порядка:

При необходимым условием экстремума имеем:

Отсюда: Следовательно, нашли стационарную точку функции Лагранжа.

Для проверки достаточного условия экстремума определяем частные производные второго порядка

Составляем второй дифференциал функции Лагранжа при фиксированном

С учетом условия имеем:

Следовательно, Поскольку то имеем условный минимум (ус. ед.).

Ответ: минимальные затраты составят 821 000 (ум. ед.), Если предприятие изготовит 600 единиц продукции и 400 единиц продукции

Пример 5.10. Годовые расходы предприятия (амортизация, ремонт, вклады на восстановление и т.п.) в зависимости от объема двух видов продукции и описываются функцией:

где - положительные постоянные.

Определить условия хозяйствования предприятия.
Решение. Исследуем на экстремум функцию
Находим частные производные первого порядка этой функции:

При необходимом условии экстремума составляем систему уравнений:

Вычитаем из первого уравнения второе и получаем: 

откуда 

Подставляем в первое уравнение системы, в результате чего
получаем:

Отсюда, объем продукции второго вида равна:

Теперь в соотношение подставляем найденное и получаем объем продукции первого вида:

Проверим, имеет функция минимум при этих значениях и
Найдем частные производные второго порядка:

Определим знак где - значение частных производных второго порядка  в стационарной точке:

Каждое слагаемое является положительным, так , а это значит, что экстремум есть. Поскольку , то функция в стационарной точке имеет минимум.

Ответ: расходы предприятия будут минимальными, если оно будет производить продукцию в таких объемах:

Применение интегралов в некоторых экономических задачах

Интегрирование в экономике имеет широкий спектр использования. Например, для нахождения функций затрат, прибыли, потребления, если известны соответствующие функции предельных издержек, предельного дохода, предельного потребления и тому подобное. Для определения произвольной постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие. При нахождении функции затрат используется условие: при количестве продукции значение функции прибыли расходов равна фиксированным затратам, а при нахождении функции прибыли - условие: при количестве продукции значение функции прибыли равна нулю (прибыль равна нулю, если изделия не проданы) .

Рассмотрим ряд экономических задач, для решения которых используется понятие неопределенного и определенного интегралов.

Нахождение производственной функции

Для данного предприятия определены функции предельного дохода в зависимости от объема продукции:

Найдем функцию прибыли этого предприятия как первоначальную для функции предельного дохода:

Эта функция должна удовлетворять определенные условия. Так, при и поэтому Таким образом, функция прибыли принимает вид:

Пусть функция предельных издержек предприятия при производстве единиц продукции имеет вид:

Необходимо:

1) найти функцию затрат, если расходы на 100 единиц продукции составляют 7 тыс. Грн;
2) найти фиксированные расходы;
3) определить, какими будут затраты на производство 250 единиц продукции;
4) найти максимальное значение прибыли, если цена составляет 65,5 грн за единицу продукции.

Решение этой задачи, как и предыдущей, сводится к неопределенному интегрированию функции предельных издержек с последующим исследованием восстановленной функции издержек.

1) Найдем функцию затрат как первоначальную для функции предельных издержек предприятия:

Вычислим произвольную постоянную при начальным условием: получим:

Таким образом, функция издержек имеет вид:

2) Для нахождения фиксированных расходов вычислим функцию затрат при 

3) Затраты на производство 250 ед. продукции составляют:

4) Прибыль предприятия определяем по формуле:

, где - цена единицы продукции,

следовательно, 

Для определения максимального значения прибыли проведем исследование функции прибыли на экстремум. Сначала находим критические точки функции прибыли

(но объем производства не может быть отрицательным).
Определим знак второй производной в критической точке:

При имеем: то есть функция прибыли при имеет максимум. Значение функции прибыли в этой точке составляет: Таким образом, если реализовывать продукцию по цене 65,5 грн за единицу, то предприятие не будет иметь прибыли.

Известно, что издержки производства в зависимости от его объема описываются с помощью функции
Объем производства меняется от 100 до 200 единиц. Определить средние издержки производства.
Для того чтобы определить средние издержки производства, используем теорему о среднем (23.16):

По известной подынтегральной функции и пределами интегрирования получаем:

Следовательно, средние издержки производства составляют 2233 гр. ед.

Кривая Лоренца

Рассмотрим известную в экономике задачу об определении коэффициента Джини, характеризующий степень неравенства в распределении доходов населения страны. Пусть функция - это зависимость процента доходов от процента населения, их нет. График этой функции называется кривой Лоренца. Например, если то это означает, что 80% населения получают 60% совокупного дохода. Очевидно, что

На рис. 24.20 приведен график функции - кривой Лоренца.

Рис. 24.20

Если распределение доходов равномерное (в идеале), то функцией, которая характеризует такое распределение, является прямая линия Отклонение реального распределения от идеального измеряется отношением площади фигуры, ограниченной прямой и кривой Лоренца (на рисунке она закрашена серым цветом), к площади треугольника, образованного прямыми  и осью Это отношение и является коэффициентом Джини.

Обозначим его через следовательно, Отметим, что коэффициент Джини всегда При этом, если то распределение доходов среди населения равномерное, если - неравномерность распределения доходов наибольшая.

Пусть для одной из стран кривая Лоренца задается уравнением где - доля населения, - доля дохода, которую получает население.

Вычислим коэффициент Джини: где 

Следовательно,

Таким образом, существенное по сравнению с нулем значение указывает на неравномерное распределение доходов среди населения страны.

Кривая обучения

Рассмотрим некоторые вопросы, возникающие при освоении производства новой продукции. Пусть функция описывает время, затрачиваемое на производство первых единиц продукции. Тогда примерно равно времени, которое тратится на производство-й единицы продукции. Обычно используют функции вида где - затраты времени на первое изделие - показатель производственного процесса График такой функции называется кривой обучения. Эту кривую изображено на рис. 24.21.

Рис. 24.21

Действительно, функция является убывающей, так как время, необходимо для выполнения некоторой операции, повторяется несколько раз, приходит при росте числа повторов.

Время, которое будет потрачено на производство единицы продукции с номерами от к  определяется формулой:

Пусть после производства 100 часов оказалось, что время, нужное для производства следующих изделий, приходит в соответствии с формулой: Найдем время, которое будет затрачено на производство еще 20 часов.

Согласно формуле имеем:

Закон спроса и предложения

Пусть кривая спроса на некоторый товар описывается функцией а кривая предложения на тот же товар - функцией Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков.

Вдоль оси откладывается количество товара а вдоль оси - его стоимость На рис. 24.22 приведены графики этих кривых.

Рис. 24.22

Традиционно кривая спроса обозначается буквой а кривая предложения - буквой Точка пересечения этих кривых которой соответствует рыночная цена продукции, называется точкой равновесия. Понятно, что некоторые потребители смогут заплатить за товар цену

Найдем выигрыш потребителей от установленной цены Разобьем отрезок на частичных промежутков точками

На каждом частичном промежутке возьмем произвольную точку Выигрыш потребителей на этом отрезке составляет где

Тогда средний выигрыш на промежутке будет такой:

Если функция спроса непрерывная и а то эта интегральная сумма имеет предел:

Таким образом, выигрыш потребителей равен:

Аналогично находим выигрыш поставщиков:

Очевидно, что выигрыш потребителей равен площади между кривой спроса и прямой Выигрыш поставщиков равна площади между прямой и кривой предложения

Найдем выигрыше потребителей и поставщиков, если функция спроса имеет вид а функция предложения - 

Сначала определим точку рыночного равновесия:

или

Корни квадратного уравнения  Тогда при имеем  По формуле (24.18) выигрыш потребителя составляет: 

По формуле (24.19) определяем выигрыш поставщика:

Задача дисконтирования

Еще одной реальной экономической задачей, к решению которой применяется интегральное исчисление, является задача дисконтирования. Определение первоначальной суммы капиталовложений за ее конечной стоимости, полученная в течение времени (как правило, это годы) по известному годовым процентом, или процентной ставке называется дисконтированием. То есть дисконтирование позволяет определить стоимость всех будущих денежных потоков, которую они имели в начальный момент времени. Задача дисконтирования рассматривается при определении экономической эффективности капиталовложений.

Пусть вычисления прибыли происходит в течение периода Тогда - сумма, накопленная за лет (будущая стоимость),  - сумма, дисконтированная на начало периода (начальная стоимость - удельная процентная ставка, или ставка дисконта. Обычно при планировании денежных потоков промежутки времени определяются в годах, поэтому расчеты осуществляются по формуле сложных процентов (проценты начисляются не только на основной капитал, но и на проценты предыдущего периода).
Таким образом, сумма в конце -го года составит

Отсюда определим начальную сумму:

 

Если поступления осуществляются ежегодно в течение определенного промежутка времени, то дисконтированная стоимость определяется как сумма по всем периодам поступления денег:

где  - текущая стоимость (present value).

По формуле (24.20) предполагается, что стала процентная ставка действует в течение всего промежутка времени. Если ежегодный доход меняется со временем, то будущие поступления целесообразно рассматривать как непрерывный денежный поток, характеризующийся определенной интенсивностью - прибылью за единицу времени.

Разобьем весь период времени на равные промежутки Пусть мгновенное значение интенсивности потока в момент времени задано функцией На достаточно малом промежутке времени интенсивность потока можно считать постоянной, среднее значение которой равно  где Тогда величина поступлений исчисляется как а их текущая стоимость составляет Для приближенного вычисления общей стоимости денежных потоков, соответствует текущему моменту, получаем соотношение:

Формула (24.21) описывает интегральную сумму. Если перейти к границе этой суммы при условии, что то получаем соотношение для точного определения современной стоимости:

Если вместо ставки дисконта применить другую характеристику - силу роста, которая определяется формулой то получаем следующее соотношение:

Предположим, что фирма предполагает выпуск продукции в течение года и за этот период планирует получить прибыль 100 млн грн.
Продажа продукции осуществляется равномерно в течение года.
Ставка дисконта составляет 15%.

Текущую стоимость будущих поступлений можно приближенно оценить, если рассматривать дискретный денежный поток с периодом, составляет 1 год. Так, по формуле (24.20) при имеем:

Однако такой расчет является приближенным, так как денежный поток является непрерывным. По условию задачи средства от реализации продукции поступают регулярно в течение года, поэтому будем считать интенсивность потока постоянной величиной, равной 100 млн грн / год. Определяем, что сила роста составляет и подставляем эти данные в формулу (24.23):

Значение свидетельствует о том, что общая прибыль, который фирма будет получать в течение года и мы оцениваем как 100 млн грн, в начале года составляет 93320000 грн.

Определение предельного дохода

Пример  6.1. Пусть задана функция предельного дохода в зависимости от объема: Найти функцию дохода и закон спроса на продукцию.

Решение. Поскольку то

Доход равен нулю, если не реализовано ни одного изделия, поэтому имеем: откуда Таким образом, функция дохода такова:

Если - цена единицы продукции, то доход определяется по формуле: Итак, если поделить доход на то найдем функцию спроса:

6.2. Найти объем продукции, которую будет производить малое предприятие за первые три часа работы, если функция производительности труда имеет вид:

Решение. Объем продукции исчисляется по формуле

Следовательно, 

Пример 6.3. Найти объем продукции, произведенной за два часа, если известна функция производительности

Решение. Для нахождения объема продукции вычислим определенный интеграл:

Пример 6.4. На изготовление 100 почтовых конвертов (1 единица продукции) было потрачено 50 минут. В дальнейшем при изготовлении менялся по формуле: Сколько минут потребуется для изготовления 300 конвертов после того, как 400 уже было изготовлено?

Решение. Вычисляем интеграл:

Пример 6.5. Найти среднее значение затрат, если объем производства изменяется от 3 до 5 условных единиц, когда известно, что расходы в зависимости от объема производства можно описать функцией: При каком объеме производства затраты приобретают среднего значения?

Решение. Используем теорему о среднем значении функции:

в результате чего получим:

Следовательно, средние издержки производства равны (гр. ед.).

Теперь найдем объем производства продукции, при котором расходы приобретают значение т.е. решим уравнение: или Получаем: (учитываем, что объем производства продукции не может быть отрицательным).

Следовательно, при (ум. ед.) расходы приобретают среднего значения.

Пример 6.6. Функция предельных издержек имеет вид: Фиксированные расходы составляют 1200 гр. ед. в месяц, стоимость одного изделия - 98 гр. ед. Найти функцию затрат. Расходы нужны для производства 200 изделий? Определить максимальную прибыль.

Решение. По условию задачи известно, что тогда функцию затрат найдем неопределенным интегрированием функции предельных издержек:

Фиксированные расходы составляют 1200 гр. ед., поэтому имеем:

Вычислим расходы на производство 200 изделий:

Прибыль в зависимости от объема составляет:

или 

Для определения максимальной прибыли находим производную:

Дальше необходимым условием существования экстремума имеем: откуда . Прибыль будет максимальной при , поскольку  и составит:

Следующим образом: функция издержек затраты на производство 200 изделий составляют 12 800 гр. ед.; максимальную прибыль равна 13 200 гр. ед.

Пример 6.7. Пусть известны законы спроса и предложения:
Найти выигрыш потребителя и выигрыш поставщика.

Решение. Найдем точку рыночного равновесия для которой

откуда  (не подходит).

Если количество товара составляет 8 усл. ед., то рыночная цена составляет: (гр. ед.).

Тогда цена всего товара равна (гр. ед.).
Некоторые потребители могут заплатить за товар больше рыночной цены.
Тогда выигрыш потребителя (24.18) составит:

Выигрыш поставщика (24.19) составит:

Следовательно, выигрыш потребителя приближенно составляет 341,3 (гр. ед.), а выигрыш поставщика - 21,3 (гр. ед.).

Пример  6.8. Функция совокупных затрат предприятия и уравнение спроса на товар задаются следующими функциями: При каком объеме производства предприятие будет иметь максимальную прибыль?

Решение. Выигрыш потребителя определяется формулой:

где - объем производства, - равновесная цена.

Прибыль предприятия составляет:

Находим производную и критические точки функции

откуда - не подходит.

следовательно, при прибыль максимальна:

Тогда 

Таким образом, потребитель имеет выигрыш:

Следовательно, если объем производства составляет 6 единиц, то предприятие имеет максимальную прибыль, а потребитель - выигрыш 198 денежных единиц.

Пример 6.9. Определить дисконтированную (начальную) прибыль за 5 лет, если процентная ставка равна 8%, а годовой доход является функцией времени:

Решение. На промежутке времени дисконтированный доход вычисляется с помощью определенного интеграла:

По условию задачи имеем:

Для вычисления интеграла применим формулу интегрирования по частям:

Таким образом, дисконтированный доход за 5 лет, если процентная ставка равна 8%, составит денежных единиц.

Пример 6.10. Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренца: Какую долю дохода получают 10% наиболее незащищенного населения? Вычислить коэффициент неравномерного распределения совокупного дохода.

Решение. Найдем долю дохода, которую получают 10% наиболее незащищенного населения:

Итак, 10% наиболее незащищенного населения получают 2,89% совокупного дохода.

Вычислим коэффициент неравномерного распределения совокупного дохода, равный отношению площади фигуры, ограниченной кривой и прямой к площади фигуры, ограниченной прямыми (рис . 24.17). Следовательно, коэффициент Джини равен:

Определяем соответствующие площади, а именно:

Тогда 

Таким образом, коэффициент неравномерного распределения совокупного дохода (коэффициент Джини) составляет 0,2634.

Пример 6.11. Пусть после изготовления 50 мобильных телефонов оказалось, что время на изготовление следующих телефонов уменьшается по формуле Найти время, необходимое для изготовления еще 10 телефонов.

Решение. Время, необходимое на производство единицы продукции с номерами от к определяется по формуле:

Для данной задачи:

Следовательно, на изготовление дополнительно 10 телефонов необходимо потратить 49,47 единицы времени.

Использование дифференциальных и разностных уравнений в экономических задачах

Рассмотрим ряд традиционных задач, математическими моделями которых являются дифференциальные и разностные уравнения.

Воспроизведение общих издержек производства по предельным характеристикам

Среди основных видов издержек производства экономическая теория рассматривает в частности такие:

валовые расходы (общие расходы) как сумму постоянных и переменных издержек для каждого конкретного объема производства;
предельные издержки - расходы, необходимые для выпуска дополнительной единицы продукции.

Нахождение за предельными издержками общих расходов сводится к решению простого дифференциального уравнения:

то есть к обретению первоначальной для заданной функции с помощью неопределенного интегрирования:

и определения значения произвольной постоянной

Пусть функция предельных издержек в зависимости от объема производства x имеет вид:

и 

Найдем функцию общих издержек производства. Для этого интегрируем дифференциальное уравнение и получим множество функций общих расходов:

Найдем одну из них по заданной начальным условием - постоянными затратами при нулевом объеме производства:

функция общих затрат.

Пусть функция предельного дохода в зависимости от объема производства x имеет вид:

Найдем функцию прибыли как решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения. Начальное условие в таких задачах очевидна: при имеем

Множество первобытных находим интегрированием по частям:

По начальным условием имеем:
Итак, функцией прибыли в зависимости от объема производства является функция

Нахождение функций затрат, спроса, цены товара с их эластичностью

Напомним, что эластичностью функции одной переменной называется произведение аргумента на темп изменения функции а именно:

Если эластичность функции задано, то тем самым задано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции
Найдем функцию затрат в зависимости от объема производства если эластичность этой функции является постоянной величиной, то есть

Согласно условию задачи и по формуле (31.3) имеем уравнение:

 или 

Решаем его:

Итак, общим решением уравнения является функция 

Найдем функцию спроса где  - объем товара, - его цена, если известно значение цены в точке а эластичность спроса имеет вид:

Согласно определению (31.3) по условию задачи имеем дифференциальное уравнение:

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Надо найти его частное решение, удовлетворяющее заданную начальную условие

Определяем общее решение:

Таким образом, имеем:

Значение постоянной найдем по начальным условием:

Окончательно функция спроса в зависимости от цены товара имеет вид:

Найдем цену товара как функцию его объема если цена единицы товара составляет а эластичность цены имеет вид:

Согласно определению (31.3) по условию задачи имеем дифференциальное уравнение:

Находим его общее решение:

Следовательно, 

По начальном условии определяем постоянную

Цена товара в зависимости от объема товара описывается функцией:

Модель естественного роста

Предположим, что функция в точке меняется со скоростью, пропорциональной значению функции в этой точке, то есть:

где - коэффициент пропорциональности.

Функция удовлетворяет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решение которого получаем в виде общего интеграла:

или в явном виде

Впервые это уравнение получил Якоб Бернулли. оно называется уравнением естественного роста и описывает много различных процессов в природе и обществе. В экономике этим уравнением описывают: процессы кредитования, выпуск продукции, рост денежного взноса в банке, рост населения.

Задача Бернулли о кредитовании. Пусть заемщик за пользование кредитом ежегодно выплачивает кредитору проценты от первоначальной суммы  Определим, сколько он должен заплатить за год за каждую единицу занятой суммы, если проценты растут непрерывно.

По условию задачи проценты растут непрерывно, следовательно скорость уменьшения суммы долга в момент времени пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени с коэффициентом пропорциональности

Отсюда имеем уравнение:

Общим решением этого уравнения является функция По начальным условием задачи при позаимствована сумма поэтому

Таким образом, за каждую единицу занятой суммы заемщик обязан платить сумму 

а за год эта сумма составит: гр. ед.

Модель естественного роста выпуска продукции

Найдем закон роста выпуска продукции при условии, что рынок не насыщается.

Предположим, что некоторый товар продается по цене а количество товара на момент времени определяется как Тогда прибыль, полученная на момент времени составляет Если рынок не насыщается, то предприятие в течение некоторого времени получит прибыль, часть которого будет тратиться на расширение производства.

Пусть на инвестиции в расширение производства расходуется -я часть дохода, то есть:

Благодаря расширению производства растет прибыль, и его -я часть тоже используется на расширение выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска которая будет пропорциональной увеличению инвестиций:

 или 

В результате получили дифференциальное уравнение вида (31.4), где то есть уравнение естественного роста. Общим решением этого уравнения является функция которая показывает, как быстро растет объем производства, если постоянно вкладывать часть прибыли в его расширения.

Модель естественного роста при насыщенности рынка

В приведенных выше примерах решением дифференциального уравнения естественного роста является функция которая быстро растет со временем и может быть использована только для ограниченных промежутков времени, как правило, в начале производства новой продукции. В реальных задачах со временем рынок насыщается, потому что рост числа потребителей продукции (и населения в целом) не может быть бесконечным.

Противоречие между моделью (31.4) - (31.5) и реальностью, возникает на достаточно длительном промежутке времени, учитывается в модели роста, в которой коэффициент пропорциональности считается функцией переменной Например, для роста численности населения была предложена зависимость

 где  и - постоянные.

То есть в отличие от уравнения (31.4) коэффициент является убывающей функцией при росте величины
Уравнение (31.7) является дифференциальным уравнением первого порядка. Отделив в нем переменные, находим:

Интегрируя обе части последнего равенства, получим общий интеграл уравнения: 

Отсюда находим общее решение - функцию

описывающей процесс роста населения в условиях насыщенности рынка.

Аналогичную модель можно также использовать для роста выпуска продукции в условиях конкуренции.
В частном случае, если в (31.8) положить и и поделить числитель и знаменатель дроби на то получим функцию

которая называется логистической функцией, а ее график - логистической кривой (рис. 31.1).

Рис. 31.1

Прямая называется прямой насыщенности.
Логистическая функция используется в статистических моделях для прогнозирования того, состоится или нет определенное событие. В терминах математической статистики, изучается позже, функцию (31.9) называют функцией распределения вероятностей логистического распределения случайной величины.

Рассмотрим пример применения модели (31.7).
Пусть население некоторого региона в зависимости от времени удовлетворяет уравнению:

В начальный момент времени численность населения составляла 1000 человек.
Определить, через сколько лет она увеличится в четыре раза.
На основании (31.7) по условию задачи тогда согласно (31.8) получаем:

Определяем постоянную при начальным условием

Итак, частным решением дифференциального уравнения является функция

По условию задачи необходимо определить, при каком значении аргумента функция будет иметь значения Решим уравнение:

С последнего равенства имеем:

Следовательно, население региона вырастет в 4 раза примерно через 9 лет.

Динамика рыночных цен

Спрос и предложение являются основными экономическими категориями рыночных отношений. Обозначим через функцию спроса в зависимости от цены единицы товара а через - соответствующее предложение, которое также является функцией цены единицы товара.

Рассмотрим простейшую модель, в которой спрос и предложение являются линейными функциями цены единицы товара, а именно:

Уравнения отражают динамику рынка: спрос в зависимости от цены товара должен падать с ростом а предложение, наоборот, - расти. В случае низких цен спрос будет превышать предложение а если цена будет слишком большой - наоборот, предложение будет превышать спрос Рынок будет сбалансированным, если спрос будет равен предложения: Напомним, что соответствующее значение цены единицы товара в этом случае называется ценой равновесия, или равновесной ценой, а спрос и предложение - равновесными.
Найдем равновесную цену из условия
По формулам (31.10) имеем:

откуда

При равновесной цене рынок на определенном промежутке времени является сбалансированным, и цена на товар остается постоянной. В действительности спрос далеко не всегда соответствует предложению, то есть или Следовательно, возникает необходимость рассмотреть динамическую модель, в которой цена товара изменяется в течение времени, то есть и дать ответ на вопрос, насколько близкой к равновесной цены будет рыночная цена на определенном промежутке времени.
Определим функцию в предположении, что скорость изменения цены в любой момент времени является прямо пропорциональной разницы между спросом и предложением в тот же момент времени. Итак примем

С учетом (31.10) получим равенство:

Запишем равенство (31.12) несколько иначе:

Таким образом, динамическая модель описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Время (31.13) является уравнением с разделяющимися переменными.
Отделим их, учитывая (31.11):

Интегрируя левую и правую части уравнения (31.14), получим его общий интеграл:

Таким образом, общее решение уравнения (31.13) имеет вид:

Найдем постоянную по начальным условием - цена в начальный момент времени равна

Итак,

При неограниченном времени реализации товара рыночная цена приближается к равновесной:

в таких случаях говорят, что рынок динамично стабильный.

Заключение (с (31.17)): необходимым и достаточным условием динамической стабилизации рынка является выполнение неравенства
В зависимости от соотношения между ценой в момент времени и равновесной ценой имеем такие случаи (их геометрическая иллюстрация приведена на рис. 31.2):

Рис. 31.2

1) - рынок стабилен;
2) - кривая расположена выше прямой равновесия
3) - кривая расположена ниже прямой равновесия где, напомним,

Рассмотрим задачу спроса и предложения в несколько иной постановке. Как отмечалось ранее, спрос и предложение - это основные экономические категории товарного производства, функционирующих на рынке. При этом и спрос, и предложение являются функциями цены товара и основная проблема рыночных отношений заключается в приведении в соответствие спроса и предложения в зависимости от времени. Необходимо определить такую ​​зависимость цены от времени, чтобы между спросом и предложением сохранялось равновесие.
Если функция - цена в зависимости от времени, то ее производная определяет так называемую тенденцию формирования цены на рынке. В зависимости от различных факторов спрос и предложение могут быть различными функциями цены, а также тенденций формирования цены. Простейший случай - это когда спрос и предложение описываются линейными функциями относительно цены и тенденции ее формирования:

При условии равенства  получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

или

Общим интегралом этого уравнения является равенство:

Окончательно:

где - постоянная величина, которая определяется по начальным условием:

Функции спроса и предложения имеют вид:

Найти зависимость равновесной цены от времени, если при

Определим равновесную цену при условии, что решая соответствующее дифференциальное уравнение:

Отсюда находим:

Определяем постоянную при условии Тогда равновесная цена в зависимости от времени имеет вид: 
Отметим, что при равновесная цена имеет конечную границу = 5; в этом случае говорят, что она является устойчивой. При росте рыночная цена уменьшается по сравнению с начальной:
Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

1. Найти зависимость равновесной цены от времени, если
2. Найти и проверить, есть ли равновесная цена стойкой.

Для нахождения равновесной цены приравниваем спрос и предложение и получаем уравнение:

Отсюда,

Итак,

По начальным условием имеем:

Итак,
Найдем Отсюда следует, что равновесная цена не является устойчивой, поскольку не имеет конечного предела, она неограниченно растет во времени.
Пусть спрос и предложение на товар определяются соотношениями:

 

где - цена товара; - тенденция формирования цены; - темп изменения цены. Пусть также в начальный момент времени

Исходя из требования соответствия спроса предложения, найти зависимость цены от времени.
Из условия равновесия спроса и предложения: имеем соотношение:

которое является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами:

Соответствующее однородное уравнение:

Характеристическое уравнение имеет корни

Общее решение однородного уравнения запишется следующим образом:

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

тогда: 

Подставив эти значения в дифференциальное уравнение, получим:

Итак, общее решение неоднородного уравнения таков:

Учтем начальные условия и определим

Тогда

Находим производные при 

Учитывая, что по условию задачи и находим

Итак, зависимость цены от времени описывается функцией:

Использование разностных уравнений в экономике

Рассмотрим некоторые экономические задачи, математическими моделями которых разностные уравнения. Отметим, что в задачах, которые сводятся к дифференциальным уравнениям, рассматривается функция или на данном этапе времени независимо от того, какой процесс эта функция описывает. Однако возможны случаи, когда математической моделью задачи является соотношение между значением функции, которую нужно определить на данном этапе времени, и ее значениями на предыдущих этапах времени: и др. Задача в такой постановке сводится не к дифференциальных, а в разностных уравнений.
Традиционными моделями задач такого типа является паутинная модель рынка и экономическая модель развития Самуэльсона-Хикса.

Паутинная модель рынка

Рассмотрим задачу по спросу и предложению в такой постановке. Предположим, что цена товара на рынке является функцией времени а предложение рассматривается в зависимости от цены товара на предыдущем временном этапе тогда как спрос зависит от цены товара в данный момент времени То есть спрос и предложение описываются уравнениями:

где - положительные постоянные (параметры функциональных зависимостей).

Исходя из условий соответствия спроса (в момент времени ) и предложения (в момент времени ), имеем разностное уравнение для нахождения равновесной цены в момент времени :

или

При стабильности рынка на данный момент времени: получаем один из частных решений этого уравнения: (31.11).

Общее решение разностного уравнения 1-го порядка является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частные решения данного неоднородного уравнения:

Найдем общее решение однородного уравнения:

Ему соответствует характеристическое уравнение корнем которого является Итак, общим решением однородного разностного уравнения является последовательность а общим решением исходного неоднородного уравнения - последовательность

Если  то последовательность имеет колебательный характер и совпадает с ценой равновесия (рис. 31.3 а). В случае цена периодически колеблется относительно цены равновесия (рис. 31.3 б). Если то при имеем: - равновесие неустойчиво (рис. 31.3 в).

Рис. 31.3

В действительности бесконечно растущие колебания невозможны, поэтому при больших отклонениях от равновесия линейные модели зависимости спроса и предложения от цены на практике не реализуются.

Модель развития Самуэльсона-Хикса

Пусть функция описывает национальный доход, а является функцией потребления на данном этапе Предположим, что на данном этапе потребления запаздывает от национального дохода, то есть зависит от национального дохода на предыдущем этапе времени. В соответствии

где - максимальная скорость потребления, которая показывает, на сколько увеличивается потребление, если прибыль растет на единицу: - постоянные расходы.

Предположим также, что предприниматели вкладывают инвестиции после того, как убедятся, что прирост национального дохода является устойчивым.
То есть

где - фактор акселерации
Условие равновесия спроса и предложения имеет вид:

или

Уравнение (31.24) называется уравнением Хикса. Если величины являются постоянными, то уравнение Хикса является линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами; в стандартной форме записи оно выглядит так:

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

Самым интересным для исследований является случай комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения (в этом случае решение имеет колебательный характер). Это имеет место, когда дискриминант уравнения (31.25) отрицательный:

и корнями характеристического уравнения является комплексно-сопряженные числа:

Таким образом, общим решением однородного разностного уравнения является последовательность:

где

Частное решение разностного уравнения (31.24) искать в виде Подставим последовательность в уравнение, определим постоянную и запишем

Общим решением разностного уравнения Хикса является последовательность:

В реальных задачах экономики и При таких значениях предельной скорости потребления и фактора акселерации решение уравнения Хикса является неустойчивым и имеет колебательный характер. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер и периоды роста сменяются периодами спада.

Решим уравнение Хикса, если
При таких условиях уравнение (31.24) принимает вид:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, для чего составляем и решаем его характеристическое уравнение:

Тогда общее решение однородного уравнения таков:

Итак,

Найдем частное решение данного уравнения. По виду правой части имеем: так как пара правой части уравнения не совпадает с парой корней характеристического уравнения.

Подставим в исходное уравнение и получим:

Таким образом, общим решением неоднородного разностного уравнения является последовательность с общим членом

Определение издержек производства

Пример 7.1. Пусть функция предельных издержек имеет вид: Найти функцию издержек производства.
Решение. Данное уравнение перепишем так:

Поскольку дифференциалы уровне, то интегралы от них тоже равны с точностью до константы. Итак,

То есть функция издержек имеет вид:

Значение произвольной постоянной определяется, если задана начальная условие.

Пример 7.2. Пусть функция предельного дохода имеет вид: Найти функцию прибыли
Решение. Преобразуем исходное уравнение:

отсюда

Понятно, что при прибыль равна нулю, поэтому
Следовательно, функция прибыли имеет вид:

Пример 7.3. Найти цену товара как функцию объема x, если цена единицы товара а эластичность цены имеет вид:
Решение. Используя формулу

имеем:

 или 

Интегрируем:

Отсюда 

С учетом начального условия находим значение постоянной

Следовательно, цена товара как функции объема такова:

Пример 7.4. Найти функцию спроса где - объем товара, - его цена, если известна цена при заданном объеме товара, а эластичность спроса имеет вид:
Решение. По определению эластичности имеем:

Итак, дифференциальное уравнение имеет вид:

Далее интегрируем:

и получаем

Постоянную находим с учетом начального условия

Следовательно, функция спроса имеет вид:

Пример 7.5. Найти производственную функцию если известно, что а зависимость эластичности производственной функции от количества вложенных средств x определяется функцией: где - объем производства ( в единицах стоимости).
Решение. Известно, что по определению эластичность производственной функции определяется как

Итак, имеем дифференциальное уравнение:

которое является однородным уравнением.

Сделаем замену переменной: или тогда После выполнения подстановки уравнение примет вид:

Таким образом, мы получили уравнение с обособленными переменными. Далее интегрируем

и отсюда получаем:

или

Поскольку то

Найдем значение постоянной при заданной начальным условием Возносим к квадрату обе части и имеем откуда

Тогда 

Итак, имеем производственную функцию:

Пример 7.6. Полные издержки производства зависят от общего объема
продукции x. Известно, что предельные и полные затраты для всех значений удовлетворяют уравнению: Найти функцию полных затрат, которая удовлетворяет начальное условие:
Решение. Для нахождения функции полных затрат y надо решить дифференциальное уравнение:

которое является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение будем искать в виде: где - вспомогательные неизвестные функции. Отсюда тогда уравнение запишется так:

Далее рассматриваем систему дифференциальных уравнений:

Из первого уравнения этой системы находим функцию как его частное решение:

Выражение для функции подставляем во второе уравнение системы:

Переменные отделены, следовательно, можно осуществлять интегрирование:

Применив интегрирование по частям, имеем:

Тогда получаем общее решение уравнения:

По начальным условием находим значение произвольной постоянной

Теперь определяем частное решение:

Следовательно, функция полных издержек, удовлетворяет начальное условие имеет вид:

Пример 7.7. Функции спроса x и предложения y в зависимости от равновесной цены имеют вид: Найти зависимость равновесной цены от времени, если
Решение. Если спрос и предложение совпадают, то

Откуда

Итак, получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Тогда 

или

По заданной начальным условием найдем постоянную

Итак, или
Таким образом, зависимость равновесной цены от времени имеет следующий вид:

Пример 7.8. Пусть спрос и предложение на определенный товар определяются в соответствии соотношениями: где - цена за единицу товара, - тенденция формирования цены. В начальный момент времени цена за единицу товара составляла 5 гр. Ед. Найти зависимость равновесной цены от времени. Определить, есть ли равновесная цена стойкой.
Решение. Исходя из условия, что имеем:

Мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

откуда

или

По начальным условием имеем:

Теперь Равновесная цена является устойчивой, потому что
Итак, для равновесия спроса и предложения необходимо, чтобы цена в зависимости от времени менялась по закону:

Пример 7.9. Численность населения некоторого региона удовлетворяет дифференциальное уравнение где время измеряется годами. В начальный момент времени численность населения составляла 10 000 граждан. Определить, через сколько лет население возрастет в 10 раз.
Решение. Найдем решение уравнения:

откуда

Интегрируем:

Дробь - подаем в виде суммы простейших дробей:

Отсюда имеем уравнение для определения коэффициентов и

с которого, если если
Тогда:

Итак,

 где 

Найдем используя начальное условие

Тогда имеем:

Теперь определим, через сколько лет численность населения возрастет в 10 раз:

Таким образом, в данном регионе население возрастет в 10 раз примерно через 48 лет.

Пример 7.10. Пусть скорость роста общих потребностей населения относительно процента прибыли данной слои населения описывается функцией Найти функцию, характеризующий зависимость общих потребностей от процента прибыли для любых слоев населения.
Решение. По условию задачи ее математической моделью является дифференциальное уравнение:

Это уравнение второго порядка, в котором отсутствуют функция и ее первая производная Уравнение перепишем так:

Интегрируем обе части уравнения, в результате чего слева получим производную первого порядка от функции

Интегрируя второй раз, получим:

Итак, мы определили общее решение уравнения.
Поскольку без получения доходов потребления невозможно, то есть начальное условие: Понятно, что при отсутствии прибыли, скорость прироста потребностей тоже равна нулю, то есть имеем еще одну начальное условие: Итак, для нахождения постоянных и есть две начальные условия. Используем их:

Подставляем найдены и в общее решение и получаем:

Итак, зависимость общих потребностей населения от процента прибыли описывается функцией:

Пример 7.11. Пусть спрос и предложение на товар определяются в соответствии соотношениями: где - цена товара, - тенденция формирования цены, - темпы изменения цены. Найти зависимость равновесной цены от времени, учитывая начальные условия:
Решение. По условию тогда

откуда

Находим решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - некоторое частное решение данного неоднородного уравнения.

Запишем соответствующее однородное уравнение: Его характеристическое уравнение имеет корни Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

Далее будем искать некоторое частное решение выходного
неоднородного уравнения в виде:
Определяем производные и подставляем их и саму функцию в заданное уравнение:

Следовательно, 

Находим и  используя начальные условия:

1)
2) поскольку то:

Следовательно, зависимость цены от времени, учитывая начальные условия, описывается функцией:

Пример 7.12. Пусть спрос и предложение некоторого товара на рынке описывается соответственно уравнениями: Найти зависимость цены от времени, если
Решение. Исходя из условий соответствия спроса и предложения, имеем разностное уравнение для нахождения равновесной цены в момент времени

или

При начальном условии имеем равновесную цену: Найдем общее решение разностного уравнения, рассматривается. Он представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и любого частных решений неоднородного:

Однородной уравнению соответствует характеристическое: откуда тогда
Частное решение неоднородного уравнения уже было найдено:
Следовательно, имеем общее решение разностного уравнения Хикса:

Поскольку то делаем вывод, что равновесие является неустойчивой.

Пример 7.13. Найти решение разностного уравнения Хикса:
Решение. Общее решение ищем как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частных решений данного неоднородного уравнения:

Частное решение уравнения берем в виде:
Подставляем в заданное уравнение:

Находим общее решение однородного уравнения:

Ему соответствует характеристическое уравнение: которое имеет комплексно-сопряженные корни
Следовательно,

где 

Таким образом,

Расчёт текущей стоимости ценных бумаг

Пример 8.1. Определить текущую стоимость ценных бумаг, срок погашения которых составляет 5 лет, если процентная ставка по ним составляет 7%, ежегодные расходы достигают 5 усл. ед., а стоимость на момент погашения равна 200 усл. Ед.
Решение. По исходным данным задачи текущая стоимость ценных бумаг составит:

Первые пять слагаемых образуют частичную сумму ряда убывающей геометрической прогрессии, где:

Использовав формулу

имеем:

Тогда

Итак, текущая стоимость ценных бумаг составляет примерно 163,1 усл. ед.

Пример 8.2. Вычислить количество производимой продукции в течение первого часа работы, если известно, что производительность труда в течение дня меняется как (в единицах стоимости продукции за единицу времени).

Решение. Количество производимой продукции за промежуток времени вычисляется по формуле:

По условию задачи тогда:

Поскольку первоначальную от подынтегральной функции могут быть в виде конечного числа элементарных функций, то вычислим этот интеграл приближенно с помощью рядов. Используем расписание функции в ряд:

Для функции производительности получаем соотношение:

Тогда

Вычислим, например, сумму первых четырех членов ряда:

Погрешность не превышает по абсолютному значению первого из отброшенных членов ряда
Следовательно, количество производимой продукции в течение часа, составляет примерно 0,37 усл. ед.

Задача межотраслевого баланса

В некоторых задачах макроэкономики ставится вопрос об эффективное ведение многоотраслевого хозяйства. Здесь каждая отрасль является и производителем, и потребителем некоторой продукции (как своей, так и продукции, произведенной другими отраслями).
Однако, с экономической точки зрения, межотраслевой баланс является более
эффективным в стоимостном выражении. При этом объединение отдельных отраслей в подгруппы облегчает составление балансов продукции.

Введем следующие обозначения:
x_i — общая стоимость продукции, произведенной в i-й отрасли (план валового выпуска продукции) (i = 1, 2, ..., n);
x_ij — стоимость продукции i-й отрасли, необходимой для выпуска продукции j-го подразделения (j = 1,2, ..., n);
y_i — стоимость продукции i-ой отрасли, предназначенной для реализации (конечный продукт).
Прямые расходы единиц i-й отрасли, используемые для выпуска единицы изделия продукции j-й отрасли, а также конечный продукт заданы таблицей:


Связь между этими величинами запишем в виде системы уравнений:
 

Уравнения этой системы называются балансовыми.
Обозначим a_ij — стоимость продукции i-й отрасли, необходимой для выпуска единицы продукции j-й отрасли:

Матрица, составленная из величин a_ij
A =    
а ее элементы — коэффициентами прямых затрат.
Учитывая, что x_ij = a_ij x_j, исходная система запишется так:

  или  

Обозначим через
   X и назовем вектор-планом X,  а     и назовем вектором конечных продуктов Y.

Предыдущая система запишется в виде матричного уравнения X – AX = Y, или EX – AX = Y, отсюда (E – A) X = Y,    где E — единичная матрица.

Обозначим E – A = B, тогда система линейных алгебраических уравнений запишется так  BX = Y.

Умножим слева обе части уравнения на B^-1:  B^-1BX = B^-1Y.   Отсюда X = B^-1Y.
То есть вектор-план X можно найти, умножив B^-1 на вектор конечных продуктов.

Матрица B^-1 называется матрицей полных затрат. Элементы этой матрицы включают прямые и косвенные затраты.

Задача 1. Прямые затраты трех отраслей производства, а также объемы конечных продуктов (в денежных единицах) заданы в таблице:

Нужно найти:
1) матрицу полных затрат;
2) план каждой отрасли;
3) производственную программу отраслей;
4) коэффициенты косвенных затрат.

Решение. Из таблицы видно, что матрица прямых затрат будет:
A = .
Обозначим через Х — вектор–план отраслей производства, Y — вектор конечных продуктов:

Связь между величинами, записанными в таблице, представим в виде системы линейных уравнений:

В матричной форме имеем: Х – AХ = Y, или (E – A) X = Y.

Обозначим E – A = B. Система линейных алгебраических уравнений запишется в матричной форме: BX = Y. Отсюда X = B^-1Y.

В нашей задаче

Для нахождения обратной В^-1 к матрице В, вычислим определитель:

Поэтому для матрицы В существует обратная В¹.  Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы В:

Матрица из этих алгебраических дополнений будет:

а присоединенная.

Обратная матрица имеет вид:

Элементы этой матрицы B^-1 — это коэффициенты полных затрат, а сама матрица является матрицей коэффициентов полных затрат.
2) Для нахождения плана каждой отрасли, умножим B^-1 на вектор конечных продуктов Y:

Значит: x₁ = 821; x₂ = 1402; x₃ = 1577. 

Итак, если известен объем конечной продукции (в денежных единицах) y₁ = 50; y₂ = 80; y3 = 100, то нужно запланировать такие объемы производства для первой отрасли — 821, для второй — 1402 и для третьей — 1577.

3) Для нахождения производственной программы каждой отрасли, найдем произведение коэффициентов прямых затрат и валового выпуска продукции:

Разность между матрицей полных затрат B^-1 и матрицей прямых расходов A определяет матрицу косвенных (посреднических) расходов C:

Таким образом, элементы с_ij матрицы C и являются коэффициентами косвенных (посреднических) расходов.

Нахождения расходов сырья, топлива и трудовых ресурсов

Задача 2. (задача нахождения расходов сырья, топлива и трудовых ресурсов.) Используя исходные данные и результаты вычислений предыдущей задачи 1, нужно найти:
1. Суммарные затраты сырья, топлива и трудовых ресурсов для выполнение программы производства.
2. Коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу продукции каждой отрасли.
3. Полные затраты сырья, топлива и труда отдельными отраслями и хозяйством в целом.
4. Внутрипроизводственные расходы отраслей.
5. Внутрипроизводственные затраты на каждую единицу товарной продукции.

При этом известны расходные нормы сырья и топлива на производство единицы продукции каждой отрасли, трудоемкость в человеко-часах на единицу продукции, их стоимость, и представлены таблицей:

Решение. Запишем матрицу D, составленную из норм расходования сырья, топлива и труда, а также матрицу-строку P стоимости этих показателей
Запишем также результаты вычислений предыдущей задачи:

где X — матрица-столбец плана валового выпуска продукции; B^-1 — матрица коэффициентов полных затрат.
1) Умножив матрицу D норм расходования сырья, топлива и труда и матрицу-столбец плана валового выпуска продукции X, получим матрицу-столбец суммарных затрат сырья, топлива и трудовых ресурсов:

Итак, для выполнения программы производства нужно израсходовать 3951 единиц сырья, 7720 единиц топлива и 21463 рабочих человеко-часов.

2) Произведение матрицы D норм расходования сырья, топлива и труда и матрицы коэффициентов полных затрат B^-1 определяет матрицу коэффициентов прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу продукции каждой отрасли:

Здесь элементы первого столбца означают количество расходов сырья, второго — топлива и третьего — рабочих человеко-часов, которые нужны для изготовления единицы продукции 1-й, 2-й и 3-й отраслей.

3) Произведения матриц-столбцов норм расходования сырья, топлива и труда и планового выпуска продукции выражают расхода сырья, топлива и труда каждого из трех отраслей:

Таким образом, матрица полных затрат сырья, топлива и труда по трем отраслям имеет вид:

4) Умножив матрицу-строку стоимости сырья, топлива и труда на матрицу полных затрат этих показателей, получим матрицу-строку стоимости расходов каждой из трех отраслей:

Это означает, что стоимость расходов первой отрасли составляет 14778 единиц, второй — 27339 и третьей — 35797,9.

5) Произведение матрицы-строки стоимости P на матрицу прямых затрат V сырья, топлива и труда дает внутрипроизводственные затраты на каждую единицу товарной продукции:

Задача 3. Для изготовления детских игрушек используются отходы полотняных материалов (М₁, М₂, М₃) различных размеров. Вычислить количество материала, который расходуется при раскрое тремя способами, если количество заготовок, полученных с каждого материала, а также количество необходимых заготовок представлены в таблице:

Решение. Если  x₁, x₂, x₃ — количество исходного материала  (М₁, М₂, М₃), который используется для раскроя соответственно первым, вторым и третьим способами, то для выполнения поставленной задачи, нужно решить систему линейных уравнений:

Решим ее методом Гаусса. Исключим неизвестную величину x₁ из второго и третьего уравнений. Для этого умножим первое уравнение на "–2", "–4" и прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям:

Исключим неизвестную x₂ из третьего уравнения. При этом умножим второе уравнение на "5" и добавим к третьему уравнению:

Отсюда, решение системы линейных уравнений будет х₁ = 15;  х₂ = 18;  х₃ = 25. Следовательно, при определенных методах раскроя материала, нужно иметь 15 шт. материала М₁, 18 шт. материала М₂ и 25 шт. материала М3 .

Задача 4. Для изготовления четырех видов продукции P₁ , P₂ , P₃ , P₄ используются три вида сырья S₁, S₂, S₃. Нормы расхода и запасы сырья приведены в таблице:

Определить количество продукции P₁ , P₂ , P₃ , P₄ , если ресурсы полностью исчерпаны.

Решение. Обозначим через x₁ , x₂ , x₃ , x₄ количество единиц продукции P₁ , P₂ , P₃ , P₄ . Условие нашей задачи можно записать в виде системы линейных уравнений:

Решим ее методом Жордана-Гаусса в табличной форме. В качестве первой таблицы запишем коэффициенты, стоящие при неизвестных, и столбец из свободных членов. Столбец (Σ) является контрольным, представляющий сумму чисел соответствующей строки.

Таблица 1. В качестве ключевого элемента взято число "1" в третьей строке и первом столбце. Для образования нулей в ключевом столбце на месте цифр "2", "3", умножим элементы ключевого строки на "–2" и "–3", и прибавим к соответствующим элементам второй и первой строк. Этим исключим неизвестное x₁ в первом и втором уравнениях.

Таблица 2. В качестве ключевого элемента возьмем число "1" (вторая строка и второй столбец). Умножим элементы второй строки на числа "4" и "–2" и добавим к элементам первой и третьей строк. При этом произошел процесс исключения неизвестного x₂ в
первом и третьем уравнениях.

Таблица 3. За ключевой элемент возьмем число "–12". Поделим на него все элементы первой строки. Запишем полученные числа элементами первой строки следующей таблицы.

Таблица 4. Умножим элементы первой строки на "–6" и "2" и добавим к элементам третьей и второй строки таблицы 3.
Результаты вычислений запишем второй и третьей строками этой таблицы. Полученные нули третьего столбца выражают исключения неизвестного x₃ из второго и третьего уравнений.
Последней таблице соответствует система линейных уравнений

Она совместима по теореме Кронекера-Капелли, поскольку ранг основной и расширенной матриц равен 3. Так как это число (3) меньше, чем количество неизвестных (4), то система линейных уравнений имеет множество решений. Неизвестные x₁ , x₂ , x₃ являются базисными, поскольку определитель, составленный из коэффициентов, стоящих при неизвестных, отличный от нуля.
Поэтому

Поскольку x₁ , x₂ , x₃ выражают количество реализованной продукции, поэтому x_i ≥0. Значит

     то есть    
Из последней системы следует, что

Итак, произвольному значению соответствует неотрицательное решение, которое удовлетворяет условию задачи. Например, для  

 

Задача 1. Бюро экономического анализа предприятия установило, что при производстве x комплектов мебели ежеквартальные расходы V (x) выражаются формулой V (x) = 2050 + 15x (рублей), а доход D (x), полученный от продажи x комплектов мебели, определяется по формуле D (x) = 25 x - 0,1x² (рублей).

Каждый квартал предприятие производит 80 комплектов, но стремится увеличить выпуск мебели до 110 единиц. Вычислить приращение расходов, доходов и прибыли. Найти среднюю величину приращения прибыли на единицу приращения продукции.

Решение. Планируемое приращение продукции будет (единиц продукции).
Приращение расходов:
= V (110) – V (80) = (2050 + 15 ⋅ 110) – (2050 + 15 ⋅ 80) = 3700 – 3250 = 450.
Приращение дохода:
= D (110) – D (80) = (25 ⋅ 110 – 0,1 ⋅ 110²) – (25 ⋅ 80 – 0,1 ⋅ 80²) = 1540 – 1360 = 180.

Обозначим прибыль через Р (x). Тогда прибыль будет:

(x) = D (x) – V (x) = 25 x – 0,1x² – 2050 – 15 x = –2050 + 10x –0,1x².

Приращение прибыли будет таким:
= Р (110) – Р (80) = –2050 – 10 ⋅ 110 – 0,1 ⋅ 110²  – (2050 – 10 ⋅ 80 – 0,1 ⋅ 80²) = 1100 – 1210 – 800 + 640 = –270,
то есть уменьшится на 270 рублей. Средняя величина прибыли на единицу приращения продукции будет: 

Задача 2. В одном из областных центров во всех высших учебных заведениях учится 35 тыс. студентов. Ежегодно количество студентов увеличивается на 3%. Какое количество студентов будет в указанном областном центре через восемь лет?

Решение. Используем формулу возрастания по сложным процентам:

где  — сумма вклада, накопленная за t лет, — начальная сумма вклада; р — ежегодное процентное приращение; t — период возрастания в годах;     1 + i = r —коэффициент сложных процентов.

На основании формулы возрастания по сложным процентам имеем:
(тыс. студентов).

Задача 3. Вкладчик предоставляет банку 2000 рублей под сложные проценты с условием их непрерывного роста на 12 % годовых. Вычислить накопления капитала за 4 года.

Решение. Используем формулу непрерывного возрастания по сложным процентам
Если , формула называется показательным законом возрастания, а при  

—показательным законом убывания.

На основании формулы непрерывного возрастания по сложным процентам, получаем такой ответ:
 тыс. руб.

Оптимизация с экономическим содержанием

Задача 1. На предприятии отходов жестяных листов прямоугольной формы размерами 8 дм × 5 дм решили изготавливать открытые сверху ящики наибольшего объема, вырезав по углам равные квадратики и загнув жесть, чтобы получить боковые стенки. Какой длины
должны быть стороны вырезанных квадратов?

Рис. 11.

Решение. Пусть x — стороны вырезанных квадратов (рис.11). Тогда размеры ящика будут 8 –2x, 5 – 2x и x. Объем ящика V = x (5 – 2x) (8 – 2x). Найдем наибольшее значение этой функции при условии, что  :  Вычислим производную 
Приравняв ее к нулю, найдем критические точки первого рода:

Поскольку точка     не входит в указанный промежуток, то она откидывается.

Найдем вторую производную V '':  

Итак, в точке x = 1 функция V достигает максимума. При x = 0 и x = 2,5, V = 0.

Ответ: достигается при x = 1 (дм).

Задача 2. Надо изготовить открытый цилиндрический бак объема V. Материал, из которого изготавливают дно бака, стоит  рублей за м², а стоимость материала боковой поверхности —  рублей за м² . При каком соотношении радиуса дна к высоте расходы на материал будут наименьшими?

Решение. Пусть r — радиус основания, а h — высота бака. Тогда объем бака , а затраты на материал  .
Выразим из формулы объема    и подставим в выражение для Z. Получим функцию одной переменной:
  Найдем производную
Находим критические точки:

вторая точка  r = 0 не входит в область определения функции.

Найдем 

Итак, в точке   функция затрат Z имеет минимум.

Находим  

Найдем соотношение 

Итак, радиус дна к высоте бака должен относиться как цена материала дна к цене материала боковой поверхности.

Задача 3. Фирма решила выпускать новые радиоприемники. Экономическим подразделением фирмы установлено, что при выпуске x приемников ежеквартально затраты будут V (x) = 90000 + 30 x (рублей), а количество проданных приемников в зависимости от цены  (рублей) за один приемник составит  При каком выпуске фирма будет иметь наибольшие доход и прибыль? Какие наибольшие доход и прибыль, и при какой цене, если фирма ежеквартально может выпускать до 5000 приемников?

Решение. Найдем цену р:
  Тогда доход от реализации радиоприемников:

Найдем маржинальный доход и, приравняв его к нулю, найдем критические точки:

Поскольку      а точка x = 4500 единственная входит в данный промежуток [0; 5000], то в этой точке D (x) достигает наибольшего значения. (рублей).

Достигается это значение дохода при цене на приемник
  (рублей).

Прибыль  ищем как разность между доходом D (x) и затратами V (x):

Находим маржинальную прибыль и, приравняв его к нулю, критические точки:
.
Поскольку     а точка x = 4050 единственная входит в промежуток [0; 5000], то в этой точке   достигает наибольшего значения:
(рублей).

Из формулы прибыли видно, что максимальная прибыль достигается, если D' (x) = V' (x), то есть когда маржинальные затраты равны маржинальному доходу.

Максимальная прибыль достигается при выпуске и продаже 4050 приемников по цене (рублей).

Следовательно, максимальная выручка (доход) 675 000 руб. достигается при выпуске и реализации 4500 радиоприемников по цене 150 руб. за приемник, а максимальная прибыль в 456 219 руб. — при выпуске и реализации 4050 радиоприемников по цене 165 руб. за приемник.

 

Задача 1. Полные затраты К — функция объема производства x. Найти функцию К затрат, если известно, что скорость роста затрат для всех значений x равна средним затратам.

Решение. Скорость роста затрат является производной  , а средние затраты  .   По условию задачи  , а это уравнение с разделяющимися переменными.
Итак,  K = Cx — искомая функция затрат.
Отсюда,   — средние затраты постоянны.

Задача 2. Количество населения y является функцией времени t, то есть со временем количество населения меняется. Скорость изменения приращения населения пропорциональна количеству населения. Надо найти формулу для определения количества населения в любой момент времени t.

Решение. По условию задачи скорость изменения приращения населения пропорциональна численности населения. Это можно записать так:
,   где k — коэффициент пропорциональности.

В полученном дифференциальном уравнении разделим переменные:
.
Далее будем получим:
                                                                                                    (7.19)

Получена формула для определения количества населения как функции времени. Она содержит произвольную постоянную, которая может принимать любые числовые значения.

Покажем на примере как по формуле (7.19) можно прогнозировать рост населения. Для удобства возьмем приблизительные данные.

Пусть по переписи 1980 населения на Земле было, например, 5 млрд. Начнем отсюда отсчет, то есть t₀ = 0. А в 1990 году населения на Земле стало 6 млрд., то есть t = 10 (лет). Тогда, использовав эти начальные условия, получим: 5 = С · е^k·0; C = 5.

Подставим найденное C = 5 в формулу y = Ce^kt, имеем:

Мы нашли коэффициент пропорциональности.

Учитывая, что    формулу y = Ce^kt  запишем в виде:
   или                                                  (7.20)

Формула (7.20) дает возможность найти численность населения в любой момент времени t, например, найдем количество населения в 2010 году (t = 30):

Задача 3. Пусть в момент времени t величина вклада в банк g = g (t). Очевидно, что увеличение (изменение) вклада пропорционально его величине: 

                                                                                      (7.21)

Пусть при t = 0 первоначальный взнос в банк был g₀, тогда g₀ = Ce⁰  и  формула (7.21) запишется:
                                                                                                                (7.22)

Пусть величина вклада меняется непрерывно со временем и за месяц возрастает на N %:
   (t = 1 месяц), откуда   

Подставим k в (7.22):   

Последняя формула дает возможность определить величину вклада в банк в любой момент времени t.

Рост инвестиций

Задача 4.  Экономисты установили, что скорость роста инвестированного капитала в любой момент времени t пропорциональна величине капитала с коэффициентом пропорциональности, равным согласованному проценту R непрерывного роста капитала. Надо найти закон возрастания инвестированного капитала, учитывая величину начальной (при t = 0) инвестиции K₀.

Решение. Обозначим K (t) — величина инвестированного капитала в момент времени t (искомая функция).
Тогда  — скорость изменения величины инвестиций,

По условию задачи имеем:   

Получили задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Общим решением дифференциального уравнения будет функция

Согласно начальным условием при t = 0 имеем  .

Итак, решением задачи будет функция .  Это означает, что по данным условиям задачи инвестиции со временем растут по экспоненциальному закону.

 

Задача 5. Известно, что эластичность спроса η определяется по формуле
 ,  где x — количество единиц некоторого товара стоимостью p за каждую единицу. Найти функцию спроса на этот товар, если эластичность спроса постоянна и равна –1.

Решение. По условию задачи:   

Нашли зависимость между количеством товара и его стоимостью, то есть функцию спроса.

Что такое экономика

1. Государство оказывает двоякое воздействие на экономику:

• Непосредственно влияет на совокупный спрос, осуществляя государственные закупки (в тождестве национальных счетов компонент
• Влияет на доходы домашних хозяйств, взимая налоги и выплачивая трансферты. Введем понятие чистых налогов:

2. Государство, становясь субъектом рынка, осуществляет государственные закупки, что меняет функцию совокупных плановых расходов следующим образом:

3. Влияние изменения государственных закупок аналогично влиянию изменения автономных плановых инвестиций, а мультипликатор государственных закупок считается по такой же формуле:

4. В случае введения автономных налогов функция плановых расходов примет следующий вид:

5. Увеличение автономных налогов сдвигает функцию плановых расходов параллельно вниз на величину изменения потребительских расходов где

6. Мультипликатор автономных налогов рассчитывается по следующей формуле:

7. Сравнивая мультипликатор расходов (в том числе и государственных закупок) и мультипликатор налогов, можно сказать, что, во-первых, мультипликатор налогов действует в противоположном направлении, о чем свидетельствует минус перед дробью, а, во- вторых, налоговый мультипликатор меньше мультипликатора расходов, так как налоги действуют не прямо, а косвенно, через располагаемый доход. Это приводит к тому, что изменение в потреблении меньше, чем изменение налогов, так как изменение в располагаемом доходе распределяется на изменение в потреблении и изменение в сбережении.

8. Норвежским экономистом Т. Хаавельмо выведена теорема сбалансированного бюджета, согласно которой, независимо от того, каково исходное состояние государственного бюджета, при одновременном и одинаковом росте государственных закупок и налоговых поступлений и неизменных инвестициях, национальный доход возрастает на величину роста государственных закупок, а сам мультипликатор сбалансированного бюджета равен 1

9. В случае введения в анализ пропорционального налогообложения налоги можно выразить в виде налоговой функции:

где - предельная налоговая ставка, а - автономные чистые налоги. При предположении, что равны нулю, функция потребления примет следующий вид:

10. При сохранении прежней склонности к потреблению уже по отношению не ко всему, а только к располагаемому доходу, склонность к потреблению по отношению ко всему доходу превращается в Например, если равна 0,8, а ставка налога равна 0,25, то по отношению ко всему доходу равна

Графически это означает, что меняется наклон функции плановых расходов, он становится меньше, потому что населению теперь приходится отдавать какую-то часть каждого полученного рубля в виде налогов, так что в его распоряжении остается только от каждого рубля.

11. В экономике с системой подоходного налогообложения мультипликатор расходов рассчитывается по следующей формуле:

а мультипликатор автономных налогов - по формуле:

Фискальная политика - это политика государства в определении государственных расходов и налогов. Ее цель - воздействие на совокупный спрос (совокупные плановые расходы) с тем, чтобы приблизить экономику к уровню полной занятости при неинфляционном развитии.

Фискальную политику, в зависимости от механизмов ее реагирования на изменение экономической ситуации, подразделяют на дискреционную и автоматическую фискальную политику.

Дискреционная фискальная политика - это сознательное манипулирование государственными закупками и налогами. Ее цель - в максимальном приближении равновесного дохода к уровню дохода при полной занятости.

Необходимое изменение плановых расходов можно рассчитать по следующей формуле:

Фискальная политика, которая приводит к расширению совокупного спроса, называется экспансионистской, или стимулирующей фискальной политикой.

Добиться увеличения совокупного спроса (совокупных плановых расходов) можно двумя путями:

1. Увеличить государственные закупки;

2. Уменьшить налоги.

Фискальная политика, которая приводит к уменьшению совокупного спроса, называется рестриктивной, или сдерживающей фискальной политикой.

Добиться сокращения совокупного спроса (совокупных плановых расходов) можно либо за счет уменьшения государственных закупок, либо за счет роста налогов.

В своей простейшей форме дискреционная фискальная политика должна приводить к дефициту государственного бюджета в период экономического спада и к активному сальдо бюджета в период быстрого роста цен.

Примеры решения типовых задач по экономике на разные темы

Задача 1

Функция потребления автономные налоги составляют

100 ед., автономные инвестиции и автономные государственные закупки - по 50 ед.

A) запишите вид функции плановых расходов и определите равновесный уровень дохода;

B) как изменится уровень дохода, если государственные закупки возрастут на 20 ед.?

C) как изменится уровень дохода, если автономные налоги уменьшатся на 20 ед.?

Д) что произойдет, если государство одновременно увеличит налоги и государственные закупки на 20 ед.?

Решение:

1. По условию задачи в экономике действуют только автономные налоги, поэтому функция плановых расходов может быть представлена следующим образом:

В равновесии

2. Увеличение государственных закупок приводит к мультипликативному увеличению национального дохода. Помним, что

Соответственно, увеличение государственных закупок на 20 ед. приводит к увеличению равновесного выпуска на 100 ед.

На графике кейнсианского креста функция плановых расходов сдвигается параллельно вверх на величину государственных закупок (20 ед.), что приводит к увеличению равновесного уровня дохода на 100 ед.

3. Уменьшение автономных налогов увеличивает располагаемый доход и, соответственно потребительские расходы на величину

Графически произойдет сдвиг функции плановых расходов вверх на величину Обратите внимание, что функция не сдвигается вверх на величину изменения налогов, так как налоги действуют не прямо, а косвенно, через располагаемый доход.

Это приводит к тому, что изменение в потреблении меньше, чем изменение налогов, так как изменение в располагаемом доходе распределяется на изменение в потреблении и изменение в сбережении.

Изменение в равновесном уровне национального дохода можно рассчитать двояко: либо умножив величину на мультипликатор расходов, равный 5, либо умножив величину изменения налогов на налоговый мультипликатор.

Мультипликатор автономных налогов рассчитывается по следующей

формуле: Соответственно,

Видим, что налоги - менее эффективный инструмент, чем государственные закупки.

4. При одновременном увеличении государственных закупок и автономных налогов на 20 ед. срабатывает теорема сбалансированного бюджета, согласно которой национальный доход возрастет на величину

Графически это можно проиллюстрировать следующим образом: увеличение государственных закупок сдвигает функцию плановых расходов вверх на 20 ед., но одновременно, в результате увеличения автономных налогов, она сдвигается параллельно вниз на 16 ед. В результате функция плано-

вых расходов сдвигается вверх на 4 ед., что, с учетом мультипликатора расходов, приводит к увеличению равновесного выпуска на 20 ед.

Задача 2

Известны следующие данные: автономное потребление составляет 1000 млрд. долл., государственные закупки - 1000 млрд. долл., равна 0,8, предельная налоговая ставка - 0, 375.

A) определите равновесный уровень дохода;

B) насколько возрастет равновесный доход, если государственные закупки вырастут на 250 млрд. долл.?

C) покажите, что рост государственных закупок на 250 млрд. долл. сдвигает уровень равновесного дохода в большей степени, нежели уменьшение на туже величину автономных чистых налогов. Объясните это обстоятельство.

Решение:

1. В экономике с системой пропорционального налогообложения и отсутствием автономных налогов функция плановых расходов принимает следующий вид:

В равновесии Следовательно,

2. Если государственные закупки возрастут на 250, то равновесный уровень дохода вырастет в соответствии с эффектом мультипликатора расходов на величину

В экономике с системой подоходного налогообложения мультипликатор расходов рассчитывается по следующей формуле:

Отсюда

3. В экономике с системой подоходного налогообложения мультипликатор автономных налогов рассчитывается по формуле:

Следовательно, при уменьшении автономных налогов на 250, равновесный уровень дохода вырастет в соответствии с эффектом мультипликатора автономных налогов на величину

Задача 3

Функция потребления задана как ; инвестиции: фискальная политика описывается параметрами

A) каков равновесный уровень дохода в экономике?

B) какова величина мультипликатора расходов в этой экономике?

C) чему равен бюджетный избыток когда инвестиции равны 50?

Д) чему равен бюджетный избыток, когда инвестиции возрастают до 100? За счет чего произошли изменения в бюджетном избытке?

E) в предположении, что уровень дохода при полной занятости равен 1200, рассчитайте бюджетный избыток при полной занятости при

F) чему равен если по прежнему равен 1200? Объясните, почему для оценки направленности фискальной политики используется а не просто

Решение:

1. В лекции было введено понятие чистых налогов: общие налоги, а - трансферты.

Тогда функция плановых расходов может быть представлена следующим образом:

В равновесии Следовательно,

2. В экономике с системой подоходного налогообложения мультипликатор расходов рассчитывается по следующей формуле:

3. Из лекции помним, что

Запишем для нашей задачи формулу бюджетного избытка:

Таким образом, в исходной ситуации, когда инвестиции равны 50 ед., государственный бюджет сводится с дефицитом.

4. Если в экономике выросли инвестиции на 50 ед., то соответственно, мультипликативно растет национальный доход:

Новый равновесный уровень дохода равняется 1125 ед. В результате роста дохода растут и налоговые поступления в бюджет, что ведет к изменению бюджетного избытка: Теперь бюджет сводится с положительным сальдо, однако этот результат является следствием автоматической фискальной политики, а не сознательных действий правительства.

5. Бюджетный избыток при полной занятости рассчитывается по той же формуле, только фактический доход заменяется на потенциальный:

Обратите внимание, что бюджетный избыток при полной занятости не зависит от величины инвестиций в экономике. От них зависит фактический уровень дохода, по величине которого мы рассчитываем налоговые поступления в бюджет. При расчете же бюджетного избытка при полной занятости мы в качестве основы для расчета величины налоговых поступлений берем потенциальный уровень дохода, а он не зависит от величины инвестиций.

6. В исходной ситуации (см. пп. 1-3) экономика находится в рецессион-ном разрыве, следовательно, правительство решается на проведение стимулирующей фискальной политики. Увеличение государственных закупок до 250 ед. приводит к тому, что бюджетный избыток при полной занятости становится отрицательным:

Для оценки направленности фискальной политики используется а не фактический так как дефицит бюджета как показатель направленности фискальной политики при расчете фактического может быть вызван вовсе не действиями правительства, а дальнейшим углублением экономического спада (сокращением фактического уровня дохода).

Задача 4

Предполагается, что станок будет служить 3 года, принося ежегодный доход в 2000 долл. Его остаточная стоимость к концу третьего года составит 6000 долл. Определите цену станка, полностью направляемую на покрытие издержек, если:

A) ставка процента составляет 8%;

B) ставка процента составляет 10%;

С) ставка процента равна 8%, но предполагаемая инфляция составит 7%

в год.

Решение:

Чтобы определить цену станка, целиком направляемую на покрытие издержек, следует суммировать текущие дисконтированные стоимости, приведенные в таблице 1.

Ответы:

Задача 5

Экономика страны характеризуется следующими данными: функция потребления дана в виде инвестиционная функция: государственные расходы и налоги составляют по 100 ед.

A) начертите кривую для данной страны (при в диапазоне от 0 до 8% )

B) предположим, что госрасходы возрастают со 100 до 150. Насколько сдвинется кривая

Решение:

А) Для того, чтобы начертить кривую необходимо вначале вывести уравнение этой кривой.

Используем условие равновесия:

отсюда

Далее чертим график полученной линейной функции:

В) Для определения величины сдвига кривой воспользуемся формулой мультипликатора государственных закупок:

Соответственно, увеличение государственных закупок на 50 ед. приводит к увеличению равновесного выпуска на 200 ед. На графике кривая сдвигается параллельно вправо на 200 ед.

Соответственно, меняется и уравнение кривой:

Задача 6

В экономике без участия государства и заграницы функции сбережений и инвестиций имели соответственно следующий вид; С появлением государства была введена постоянная ставка подоходного налога 10%, и все собранные налоги расходовались на покупку благ. Функция сбережений тогда приобретает вид:

Определить линию до и после появления государства графически и аналитически.

Решение:

Для выведения кривой используем второе условие равновесия товарного макрорынка:

то есть плановые инвестиции должны равняться сбережениям.

Преобразовав, получим уравнение

С появлением государства меняется функция сбережений, теперь национальный доход не совпадает с располагаемым:

Меняется и условие равновесия: По условию задачи все собранные налоги расходовались на покупку благ, то есть

Преобразовав, получим уравнение

При построении графиков следует обратить внимание не только на сдвиг кривой но и на изменение угла наклона, что связано с изменением в обществе предельной склонности к потреблению и сбережению, вызванному введением подоходного налога.

Услуги:

1. Заказать экономику помощь в учёбе
2. Контрольная работа по экономике заказать
3. Помощь по экономике онлайн
4. Курсовая работа по экономике заказать готовую онлайн
5. РГР по экономике расчетно графическая работа