Решение задач на нахождение пределов

Содержание:

1. Пример 4:
2. Пример 5:
3. Пример 7:
4. Пример 8:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

При решении задач на отыскание пределов следует помнить некоторые пределы, чтобы каждый раз не вычислять их заново. Комбинируя эти известные пределы, будем находить при помощи свойств, указанных в § 4, новые пределы. Для удобства приведем наиболее часто встречающиеся пре делы:

Пределы 1 lim х — а х а 2 lim 1 = 0 3 lim х— ± со X ± 00 4 lim -L, = оо Х->о\Х\ 5 lim sin*-l X -о X 6 lim f(x) = f(a), если f (x) непрерывна x a Если известно, что функция непрерывна, то вместо нахождения предела вычисляем значение функции. Пример 1. Найти lim (х*—6л:+ 8). Так как много- Х->2

член—функция непрерывная, то lim (х*—6x4- 8) = 2*—6-2 + 8 = 4. х-+2 х*_2х 4-1 Пример 2. Найти lim —г . . Сначала находим пре- Х-+1 х ~гъх дел знаменателя: lim [хг-\-Ъх)= 12 + 5-1 =6; он не равен Х-У1 нулю, значит, можно применить свойство 4 § 4, тогда x™i *' + &* ~~ lim {х2 Ъх) - 12 + 5-1 ""6 1 . Предел знаменателя X • X равен нулю, поэтому свойство 4 § 4 применить нельзя. Так как числитель—постоянное число, а знаменатель [х2х)—>-0 при х——1, то вся дробь неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е. lim ' 1 Х-*- - 1 х* + х

Пример 4:

Найти lim \—ll*"!"» « Предел знаменателя равен нулю: lim (хг—6лг+ 8) = 2*—6-2 + 8 = 0, поэтому X свойство 4 § 4 неприменимо. Но предел числителя тоже равен нулю: lim (х2 — 5д; + 6) = 22 — 5-2-f 6 = 0. Итак, пре- делы числителя и знаменателя одновременно равны нулю. Однако число 2 является корнем и числителя и знаменателя, поэтому дробь можно сократить на разность х—2 (по теореме Безу). В самом деле, х*—5х + 6 (х—2) (х—3) х—3 х'—6х + 8~ (х—2) (х—4) ~~ х—4 ' следовательно, хг—-f- 6 г х—3 —1 1

Пример 5:

Найти lim хп (п целое, положительное). X со Имеем хп = X* X . . • X, п раз Так как каждый множитель неограниченно растет, то и произведение также неограниченно растет, т. е. lim хп=оо. х оо Пример 6. Найти lim хп(п целое, положительное). X —> — СО Имеем хп = х х ... х. Так как каждый множитель растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, то в случае четной степени произведение будет неограниченно расти, оставаясь положительным, т. е. lim *п= + оо (при п четном). *-*•-со

В случае нечетной степени абсолютная величина произведения растет, но оно остается отрицательным, т. е. lim хп =— оо (при п нечетном). п -- 00

Пример 7:

Найти lim . х х-*- со * Если т>пу то можно написать: m = n + kt где k>0. Поэтому хт Ь lim -=- = lim —=-= lim x . уП Yn х —х> А х ю Пришли к примеру 6. Если же ти уТЛ xm I lim lim lim т. X —► О х-* ю Л X ->со Здесь числитель остается постоянным, а знаменатель растет по абсолютной величине, поэтому lim -ь = 0. Х-*оо X* Результат этого примера рекомендуется запомнить в следующем виде: Степенная функция растет тем быстрее, чем больше показатель степени. $хв_Зхг + 7

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 8:

Найти lim g L —г-=.В этом примере х-*® «J* "Г ЬХ —ох—о и числитель и знаменатель неограниченно возрастают. Разделим и числитель и знаменатель на старшую степень х, т. е. на хв, тогда 3 7_ Пример 9. Найти lira . Совершая преобразова- * г ^ ния, получим lira . . ^ = lim X СО + 3 7 3 Так как lim -5 = 0, lim -, = 0, то предел знаменателя раде-*® Х X-+-CD Х вен нулю, в то время как предел числителя равен 1. Следовательно, вся дробь неограниченно возрастает, т. е. t. 7х hm Х-+ ю

Найти lim Вычислим предел S знаменателя, помня, что cos*—функция непрерывная: lira (2 +cos x) = 2 + cosy =2. Тогда х->- S lim (l-fsin*) Пример 15. Найдем lim *<*-e>2 и lim е"(Х'а)\ Поло- Х-+ ± со X ± СО жим (л: — a)2 = z; так как (л;—а)2 всегда неотрицательно и неограниченно растет вместе с х, то при х—► ±оо новое переменное z—*ос. Поэтому получаем цт £<*-«)* = X -> ± 00 s=lim ег = оо (см. замечание к §5). г -*■ со Аналогично lim е~(Х-а)2 = lim e~z=Q, так как х ± оо г м — (х— а)г неограниченно убывает при х—>±оо (см. замечание к §