Решение статически неопределимых задач

Содержание:

  1. Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии.
  2. Пример решения задачи 1
  3. Пример решения задачи 2.
  4. Расчеты в связи с изменением температуры. Напряжения в сечении стержня также будут возникать даже при отсутствии внешних нагрузок.
  5. Пример решения задачи 2.
  6. Основы расчета статически неопределимых систем, работающих на изгиб. Анализ структуры простейших стержневых систем
  7. Метод сил. Основная система.
  8. Расчет статически неопределимых рамных систем

Стержневая система в широком смысле слова - это всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. К таким конструкциям, в частности, относятся фермы, рамы, балки.

Напомним, что статически неопределимыми называют конструкции (стержневые системы) реакции опор и внутренние силовые факторы, в которых, не могут быть определены при помощи уравнений равновесия (статики).

Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии.

Цель расчета бруса и стержневой системы (состоящей из отдельных брусьев - стержней), как и любой конструкции - определение размеров поперечных сечении стержней, при которых обеспечивается прочность или жесткость, или и то и другое. Исходя из условий прочности и жесткости при центральном растяжении-сжатии, видим, что в первую очередь необходимо знать экстремальное значение продольной силы.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

На рис. 13.1 а стержень опирается на две жесткие опоры. Возникают две реакции Решение статически неопределимых задач и Решение статически неопределимых задач (рис. 13.1 б), величина и направление которых неизвестны, т.к. можно составить только одно уравнение равновесия. В уравнении - два неизвестных осевых усилия:

Решение статически неопределимых задач

Задача один раз статически неопределима. Одна связь (опора) - «лишняя».

На рис. 13.1 в - стержневая система, составленная из трех стержней, соединенных шарнирно.

Решение статически неопределимых задач

Один раз статически неопределимые системы

Пример решения задачи 1

(рис. 13.1 в).

В стержнях действуют три усилия, направленные вдоль этих стержней. Можно составить только два уравнения равновесия (рис. 13.1 г):

Решение статически неопределимых задач

Задача один раз статически неопределима, одна связь (стержень) - «лишняя».

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения

Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями

Метод сечений решение задач по сопромату

Сопромат готовые задачи с решением

«Лишними» такие связи называют потому, что они не являются необходимыми обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяемости (деформа-стержней и соответствующие ей перемещения отдельных точек систать только от действия внешних сил).

Наличие этих связей обусловлено требованиями к прочности и жесткости конструкции или условиями ее работы.

Для решения задачи по определению неизвестных усилий (говорят - для раскрытия статической неопределимости) необходимо составить дополнительные уравнения. Их количество равно степени статической неопределимости. неизвестных или степень статической неопределимо разностью между числом неизвестных усилий и числом статики. Дополнительные уравнения составляются на основе общего принципа: услов! iccTHocTH деформаций: т.к. стержни соединяются между собой определенным обршарнирно, жестко или в соединении имеются некоторые зазоры, стержни этой cистемы деформируются совместно.

Методику раскрытия статической неопределимости рассмотрим на примере системы (рис. 13.1 в).

Примем, что площадь поперечного сечения боковых стержней одинакова Решение статически неопределимых задач а средний стержень имеет площадь Решение статически неопределимых задач

  • 1. Силовая сторона задачи. Составляют уравнения равновесия (в данном случае -два). Они нами составлены ранее. Имеем три неизвестных усилия и два уравнения статики. Система один раз статически неопределима.
  • 2. Геометрическая сторона задачи. Рассмотрим перемещения стержней, сходящихся в точке Решение статически неопределимых задач (рис. 13.2). Под действием внешней силы исследуемая точка переместится в положение Решение статически неопределимых задач Концы стержней Решение статически неопределимых задач соединены шарнирно в точке Решение статически неопределимых задач поэтому они получат соответствующие удлинения. Причем эти стержни деформируются совместно, в соответствии с геометрией системы.

Решение статически неопределимых задач

Мысленно рассоединим стержни в ненагруженном состоянии (в т. Решение статически неопределимых задач и соединим их в положении после нагружения (в т. Решение статически неопределимых задач Концы крайних стержней переместятся по дуге из т. Решение статически неопределимых задач соответственно в т. Решение статически неопределимых задач и, удлинившись, соединятся в т. Решение статически неопределимых задач Вертикальное перемещение точки Решение статически неопределимых задач весьма мало; угол Решение статически неопределимых задач равен углу Решение статически неопределимых задач дуги можно заменить прямыми, поэтому углы Решение статически неопределимых задач - прямые.

Ввиду симметрии системы, абсолютные удлинения крайних стержней будут равны между собой: Решение статически неопределимых задач Геометрически эти деформации определяются отрезками Решение статически неопределимых задач Средний стержень удлинится на величину отрезка Решение статически неопределимых задач и его удлинение Решение статически неопределимых задач

Рассматривая прямоугольные треугольники Решение статически неопределимых задач можем записать соотношение сторон: Решение статически неопределимых задач

Уравнение (13.2) и есть уравнение совместности деформаций рассматриваемой системы.

3. Физическая сторона задачи. В уравнении совместности деформаций выразим абсолютную деформацию через продольные силы по закону Гука:

Решение статически неопределимых задач

Ввиду малости перемещений длина стержней мало меняется и Решение статически неопределимых задач

После преобразований получим зависимость

Решение статически неопределимых задач

4. Решение системы уравнений (синтез). Решаем систему уравнений (13.1 и 13.3) и после преобразований получим зависимости, с помощью которых определяются искомые усилия в стержнях:

Решение статически неопределимых задач

Видим, что с увеличением площади среднего стержня (с увеличением коэффициента Решение статически неопределимых задач усилие в нем уменьшится; усилия в крайних стержнях также изменятся. В этом отличительная особенность статически неопределимых систем от статически определимых:

повышение жесткости Решение статически неопределимых задач одних элементов приводит к увеличений усилий и, обычно, к снижению усилий в других элементах. В статически определимых системах усилия в элементах не зависят от их жесткости.

Уравнение равновесия составлено нами ранее:

Решение статически неопределимых задач

Рассмотрим геометрическую сторону задачи и составим уравнение совместности деформаций для опорных сечений, в которых перемещения равны нулю.

Отбросим мысленно нижнюю опору (рис. 13.3 б). Это опорное сечение станет свободным и переместится вниз за счет абсолютной линейной деформации Решение статически неопределимых задач участка длиной Решение статически неопределимых задач под действием силы Решение статически неопределимых задач С другой стороны, рассматриваемое опорное сечение - неподвижно, следовательно, перемещение его должно равно нулю. Это условие будет выполняться, если реакция на опоре Решение статически неопределимых задач будет по величине и направлению такой, что абсолютная линейная деформация от ее действия Решение статически неопределимых задач окажется равной по величине и противоположной по направлению деформации Решение статически неопределимых задачУсловие совместности деформаций запишется в виде:

Решение статически неопределимых задач По закону Гука:

Решение статически неопределимых задач

Таким образом, Решение статически неопределимых задач Статическая неопределимость раскрыта.

13.1.1. Расчеты в связи с наличием натягов при сборке конструкций. На практике встречаются и другие задачи, например связанные с неточностью изготовления элементов (стержней).

Неточность изготовления (даже незначительные погрешности) требует приложения дополнительных усилий для сборки узла, при этом возникают натяги и соответствующие монтажные напряжения.

Пример 1 - средний стержень в стержневой системе изготовлен короче проектного размера на малую величину Решение статически неопределимых задач (рис. 13.4 а). Для сборки стержней в узле Решение статически неопределимых задач необходимо средний стержень растянуть, а крайние стержни сжать (рис. 13.4 6).

Решение статически неопределимых задач

Уравнения равновесия:

Решение статически неопределимых задач

Неизвестны два усилия. Задача 1 раз статически неопределима. (13.10) Рассмотрим геометрическую сторону задачи (рис. 13.4 в). Крайние стержни будут укорачиваться на величину Решение статически неопределимых задач а средний стержень удлинится на величину Решение статически неопределимых задач Тогда уравнение совместности деформаций запишется в виде:

Решение статически неопределимых задач

Ход дальнейшего решения аналогичен порядку решения в предыдущих примерах. Видим, что средний стержень, еще до нагружения внешней силой будет растянут некоторой нагрузкой, т.е. напряжения от натяга будут суммироваться с напряжениями от эксплуатационных нагрузок, что не учитывается в обычных расчетах и может привести к потере прочности.

В качестве примера положительного эффекта от натяга можно привести примеры монтажа бандажа на колесо (металлическое кольцо разогревается и насаживается на колесо, при охлаждении кольцо обжимает колесо), а также предварительно напряженные железобетонные конструкции (в растянутой зоне бетонной плиты располагают предварительно напряженную сжимающими напряжениями стальную арматуру).

Пример решения задачи 2.

Стержень, имеющий жесткость Решение статически неопределимых задач изготовлен короче заданной длины на величину Решение статически неопределимых задач (рис. 13.5 а). Вид расчетной схемы и порядок решения будут зависеть от величины перемещения нижнего сечения (определяемого величиной и положением по длине силы Решение статически неопределимых задач а также жесткостью стержня):

а) величина перемещения нижнего сечения меньше величины зазора - абсолютная линейная деформация стержня Решение статически неопределимых задач Задача статически определима.

б) величина перемещения нижнего сечения больше или равна величине зазора - абсолютная линейная деформация стержня Решение статически неопределимых задач Задача статически неопределима.

Решение статически неопределимых задач

Таким образом, в первую очередь, необходимо определить величину перемещения нижнего сечения, которое будет определяться деформацией участка бруса длиной Решение статически неопределимых задач от действия силы Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Решение для случая Решение статически неопределимых задач традиционно для решения статически определимых задач.

В случае, если Решение статически неопределимых задач необходимо раскрыть статическую неопределимость.

На опорах возникнут две реакции, величины которых неизвестны (рис. 13.5 б). Уравнение равновесия:

Решение статически неопределимых задач

Уравнение совместности деформаций получим, рассматривая схему (рис. 13.5 б):

Решение статически неопределимых задач

В соответствии с законом Гука

Решение статически неопределимых задач

Получаем: Решение статически неопределимых задач Статическая неопределимость раскрыта.

Расчеты в связи с изменением температуры. Напряжения в сечении стержня также будут возникать даже при отсутствии внешних нагрузок.

Рассмотрим стержень длиной Решение статически неопределимых задач и площадью Решение статически неопределимых задач изготовленный из материала с модулем упругости Решение статически неопределимых задач Оба конца стержня жестко защемлены (рис. 13.6 а). Начальная температура стержня Решение статически неопределимых задач Определить напряжения, которые возникнут в сечении стержня, если он нагревается до температуры Решение статически неопределимых задач Пусть градиент температуры будет положительным:

Решение статически неопределимых задач

Как известно, при нагреве материалы расширяются, т.е. стержень будет стремиться удлиниться и распирать опорные сечения, но из-за наличия этих жестких опор, в них возникнут реакции Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Уравнение равновесия: Решение статически неопределимых задач

Стержень один раз статически неопределим.

В связи с жестким опиранием, длина стержня Решение статически неопределимых задач изменяться не будет. Т.е. перемещения опорных сечений равны нулю, следовательно, температурная линейная деформация Решение статически неопределимых задач отсутствие одной из опор, например правой (рис. 13.6 б), стержень удлинится на величину Решение статически неопределимых задач Это удлинение должно компенсироваться абсолютной линейной деформацией от действия реакции Решение статически неопределимых задач

Уравнение совместности деформаций: Решение статически неопределимых задач

По известной из курса физики формуле определим температурную деформацию стержня:

Решение статически неопределимых задач

где Решение статически неопределимых задач - коэффициент линейного температурного расширения материала стержня, град

N2I

По закону Гука Решение статически неопределимых задач Сила сжимает стержень!

Приравняв полученные зависимости, определим значение реакции на опоре и соответствующие температурные напряжения:

Решение статически неопределимых задач Отметим, что температурные (при нагреве стержня) напряжения по знаку - сжимающие. Следовательно, в случае охлаждения такого стержня Решение статически неопределимых задач нормальные напряжения будут растягивающими. Кроме того, видим, что на величину напряжений не влияет длина стержня. Эти обстоятельства следует учитывать в случае использования хрупких материалов, а также, если стержень подвергается действию изменяющихся по величине и знаку температур.

Отметим, что на практике встречаются достаточно сложные схемы стержневых систем, и в каждом конкретном случае задача сводится к геометрическому анализу деформаций и составлению соответствующих уравнений совместности деформаций.

В заключение рассмотрим еще один пример.

Пример решения задачи 2.

Абсолютно жесткий брус (рис. 13.7 а) на стержнях, прикрепленных шарнирами, и нагружен силой Решение статически неопределимых задач Площадь стержней, соответственно, равна Решение статически неопределимых задач Длина стержней Решение статически неопределимых задач Определить значение допускаемой силы Решение статически неопределимых задач из расчета по допускаемым напряжениям и из расчета по разрушающим (предельным) нагрузкам. Материал стержней - сталь Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Можно составить два уравнения равновесия для силовой схемы (рис. 13.7 б). Т.к. стержни соединены с жестким брусом посредством шарниров, то усилия в стержнях будут направлены вдоль оси этих стержней:

Решение статически неопределимых задач

Первое из них включает и неизвестную реакцию, т.е. имеем три неизвестных. Во втором уравнении неизвестных два - усилия Решение статически неопределимых задач в стержнях. Следовательно, в решении удобнее использовать второе уравнение равновесия.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи (рис. 13.7 в). Под действием внешней силы Решение статически неопределимых задач брус, оставаясь прямым (абсолютно жесткий брус - не деформирующийся), повернется вокруг шарнира Решение статически неопределимых задач на некоторый угол. Стержни в местах крепления удлинятся, т.е. точки Решение статически неопределимых задач и Решение статически неопределимых задач переместятся вертикально в положения Решение статически неопределимых задач Отрезки Решение статически неопределимых задач- абсолютные линейные деформации стержней. Из подобия треугольников Решение статически неопределимых задач имеем:

Решение статически неопределимых задач

Получили уравнение совместности деформаций.

Подставляем в полученное уравнение усилия в соответствии с формулой закона Гука (физическая сторона задачи).

Решение статически неопределимых задач

Решаем систему уравнений Решение статически неопределимых задач Получаем значения усилий в стержнях в долях силы Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Расчет по допускаемым напряжениям.

Из условия прочности Решение статически неопределимых задач с учетом, что максимальные нормальные напряжения возникают во втором стержне, имеем:

Решение статически неопределимых задач

Решаем уравнении относительно силы Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Расчет по разрушающей нагрузке (см. 5.2.2).

Материал стержней - сталь, т.е. пластичный материал. Следовательно, после достижения напряжения во втором стержне (как в более нагруженном) значения предела текучести, этот стержень нагружаться не будет (напряжения не растут, увеличиваются деформации - см. диаграмму растяжения на площадке текучести). Нагрузку будет воспринимать первый стержень. Таким образом, Решение статически неопределимых задач и уравнение (5.30) примет вид: Решение статически неопределимых задачРешение статически неопределимых задач

Откуда получаем значение силы, при котором в обоих стержнях напряжения достигнут предела текучести - предельная грузоподъемность системы:

Решение статически неопределимых задач

Разделим предельное значение силы на коэффициент запаса Решение статически неопределимых задач и получим допускаемое значение силы:

Решение статически неопределимых задач

Видим, что при расчете во втором случае допускаемая нагрузка выше, чем в первом на величину Решение статически неопределимых задач т.е. расчет по разрушающим нагрузкам дает возможность в большей степени использовать свойства материала и особенности стержневой системы.

Основы расчета статически неопределимых систем, работающих на изгиб. Анализ структуры простейших стержневых систем

Указанный анализ проведем на примере рам. В зависимости от взаимного расположения осей стержней и силовых плоскостей, рамы подразделяются на:

плоские стержневые системы (рамы, балки) - оси стержней и все внешние силы лежат в одной плоскости (рис. 13.8 а, б)\

плоско-пространственная системы - оси составляющих элементов в недеформиро-ванном состоянии лежат в одной плоскости, а внешние нагрузки лежат в другой - перпендикулярной плоскости (рис. 13.8 в);

пространственная система - силы и оси стержней могут находиться в произвольно расположенных плоскостях (рис. 13.8 г).

Решение статически неопределимых задач

Понятие о степенях свободы и связях. Известно, что в пространстве тело обладает шестью степенями свободы, а в плоскости - тремя. Независимая координата определяющая положение тела в плоскости или пространстве , называется степенью свободы.

Ограничения которые накладываются на тело называются связями. Каждая связь снимает одну степень свободы.

Количество связей накладывемых на тело ( стержневую систему) может быть любым . Для обеспечения равновесия и неподвижности тела в плоскости или пространстве необходимо и достаточно снять соответствующие количество степеней свободы - иначе говоря наложить соответсвующие число связей Решение статически неопределимых задач Эти связи - необходимые .

Всякая связь наложенная сверх необходимой - дополнительная ( лишняя) связь . В сопротивлении материалов и строительной механике связи разделяются на внешние ( опорные) Решение статически неопределимых задач и внутренние Решение статически неопределимых задач

Опорные связи - связи, накладываемые опорными устройствами, (рис. 13.9 а):

• шарнирно-подвижная опора накладывает одну связь (снимает одну степень свободы);

• шарнирно-неподвижная - соответственно две;

• в заделке на опорное сечение стержня накладывается три связи.

Внутренние связи ограничивают взаимное перемещение стержней в сечениях, где они соединяются (рис. 13.9 б):

• жесткое соединение двух стержней накладывает три связи; • шарнирное соединение двух стержней - две связи;

• три стержня, соединенные жестко, - шесть связей;

• три стержня, соединенные шарнирно, - четыре связи. Таким образом, шарнир снимает одну связь.

Анализ рис. 13.9 б позволяет сделать вывод о том, что шарнир, включенный в узел, где сходятся Решение статически неопределимых задач стержней, снижает степень статической неопределимости на Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Определение степени статической неопределимости. Реакции, возникающие в «лишних» связях - «лишние» неизвестные. Уравнений равновесия оказывается недостаточно для решения задачи - определения опорных реакций. Как известно, такие задачи называют статически неопределимыми. Степень статической неопределимости определяется числом лишних связей.

В строительной механике используются различные формулы для определения степени статической неопределимости или числа лишних связей Л. Приведем одну из них:

Решение статически неопределимых задач

где Решение статически неопределимых задач - число стержней (в строительной механике - дисков).

Рассмотрим примеры стержневых систем - плоских рам (рис. 13.10) и определим степень их статической неопределимости расчетом по формуле (13.18).

• рис.13.10 а):

число лишних связей Решение статически неопределимых задач т.е. система статически определима;

• рис. 13.10 6):

Решение статически неопределимых задач т.е. система 2 раза статически неопределима (внешним образом, т.к. лишними являются 2 опорные связи);

• рис. 13.10 в):

Решение статически неопределимых задач т.е. система 3 раза статически неопределима (внутренним образом, т.к. лишними являются 3 внутренние связи).

Заметим, что жесткий замкнутый контур трижды статически неопределим (внутренним образом);

• рис. 13.10 г):

Решение статически неопределимых задач т.е. система 6 раз статически неопределима (3 раза внешним образом и 3 раза - внутренним образом). Заметим, что в данной схеме фактически имеем два жестких замкнутых контура;

Геометрическая и кинематическая неизменяемость. Геометрический и кинематический анализ стержневых систем подробно излагается в дисциплине «Строительная механика».

Под действием нагрузок сооружение (стержневая система) деформируется, и его точки перемещаются (при этом изменяется также и форма сооружения).

Если указанные перемещения возможны только за счет деформации стержней (элементов сооружения), то стержневая система называется геометрически неизменяемой (рис. 13.11 а). Иначе говоря, в элементах конструкции должны отсутствовать перемещения точек, не связанные с деформацией этих элементов под действием нагрузки. В сопротивлении материалов и строительной механике рассматриваются только такие конструкции (в том числе и стержневые системы).

а - система соединенных между собой ные перемещения стержней деформации. Геометрически изменяемые системы (рис. 13.11 б) - это по сути механизмы. Перемещения точек элементов такой системы возможны без деформирования стержней (элементов конструкции).

изменяемая система - система соединенных между собой стержней, допускающая конечные перемещения стержней

без их деформации.

Решение статически неопределимых задач

Кинематически изменяемая система (ее еще называют мгное мая система)- система соединенных между собой стержней, допускающая мации тела бесконечно малые относительные перемещения, после чего система

становится неизменяемой. Геометрическими признаками мгновенно изменяемых систем являются следующие:

• шарниры или шарнир и стержень находятся на одной прямой;

• стержни параллельны или пересекаются в одной точке.

Метод сил. Основная система.

Для раскрытия статической неопределимости стержневых систем в машиностроении применяют метод сил.

Неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил» (в строительной механике применяется также и метод перемещений).

Метод сил заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от лишних связей, а их действие заменяется усилиями по направлению этих связей.

Величина усилий подбирается таким образом, чтобы перемещения по их направлениям соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему

Рассмотрим метод сил на примере статически неопределимой рамы. Решение задачи (раскрытие статической неопределимости) начинаем с отбрасывания лишних связей. Система освобождается от лишних связей и становится статически определимой.

Статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем отбрасывания «лишних» связей - основная система.

Таких систем можно составить сколь угодно много. Примеры основных систем, составленные для заданной статически неопределимой системы (рис. 13.12 а) приведены на рис. 13.12 б-з. Схема (рис. 13.12 и) - не является основной, т.к. три шарнира располагаются на одной прямой. Это кинематически изменяемая система.

Решение статически неопределимых задач

Эквивалентная система.

Продолжая решение задачи, в основной системе приложим внешние нагрузки и усилия (силовые факторы) по направлению отброшенных связей, которые мы назвали «лишними» неизвестными. Усилиями по направлению отброшенных связей являются силы и моменты. Силы ограничивают линейные перемещения, а моменты - соответствующие угловые перемещения.

Направление усилий выбирают произвольно:

• вверх или вниз;

• вправо или влево;

• по часовой или против часовой стрелки.

Неизвестные усилия обозначаем Решение статически неопределимых задач - номер силового фактора. Число этих неизвестных будет соответствовать степени статической неопределимости, причем направления этих связей Решение статически неопределимых задач являются взаимными.

Основная система, в которой приложены внешние нагрузки и усилия по направлению отброшенных связей называется эквивалентной системой.

Каждой основной системе будет соответствовать своя эквивалентная система (рис.13.13). Решение статически неопределимых задач

Рассмотрим, например, заданную схему (рис. 13.12 а), выберем для нее основную (рис. 13.12 б) и изобразим эквивалентную системы (рис. 13.14). В заданной схеме линейные перемещения (горизонтальное и вертикальное) на опоре Решение статически неопределимых задач и линейные и угловое перемещения в сечении Решение статически неопределимых задач на верхнем ригеле запрещены. Но они же разрешены в основной системе. Неизвестные усилия, показанные в эквивалентной системе, по величине и направлению должны обеспечить равенство нулю указанных перемещений.

Взаимное смещение точек системы условимся обозначать следующим образом

Решение статически неопределимых задач где:

первый индекс - направление по которому определяется перемещение, второй индекс - причина, вызвавшая это перемещение,

Решение статически неопределимых задач - направление перемещения (по направлению неизвестных сил Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач - сила, вызвавшая перемещение (неизвестные силы Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач - любая система внешних нагрузок. Решение статически неопределимых задач

В точках Решение статически неопределимых задач (рис. 13.14) перемещения будут определяться действием всех сил, приложенных к системе - как внешних нагрузок Решение статически неопределимых задач так и неизвестных усилий Решение статически неопределимых задач При этом, в соответствии с особенностями расчетной схемы, эти перемещения должны быть равны нулю. Запишем, систему уравнений Решение статически неопределимых задач

Используя принцип независимости действия сил, для любого количества Решение статически неопределимых задач неизвестных можно записать: Решение статически неопределимых задач

В этих формулах индексы Решение статически неопределимых задач - номера неизвестных сил.

Введем обозначения:

Решение статически неопределимых задач - единичное перемещение по направлению силы Решение статически неопределимых задач от действия единичной силы Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач - единичное перемещение по направлению силы Решение статически неопределимых задач от действия единичной силы Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач - единичное перемещение по направлению силы Решение статически неопределимых задач от действия единичной силы Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач - соответственно, перемещения в направлении единичных сил Решение статически неопределимых задач от действия системы внешних сил Решение статически неопределимых задач

Известно, что перемещения пропорциональны действующим силам. Тогда

Решение статически неопределимых задач

Обобщая, имеем Решение статически неопределимых задач

Учитывая (13.21) перепишем (13.20) и получаем:

каноническое уравнение метода сил Решение статически неопределимых задач

где

Решение статически неопределимых задач - главные коэффициенты уравнений,

Решение статически неопределимых задач - побочные коэффициенты уравнений (по теореме Максвелла их значения попарно равны),

Решение статически неопределимых задач - свободные члены уравнений.

Количество записываемых канонических уравнений метода сил соответствует количеству «лишних» неизвестных (степени статической неопределимости). Остается определить коэффициенты уравнений и, решив систему уравнений, найти значения и направления

Решение статически неопределимых задач

Для понимания геометрического смысла коэффициентов уравнений рассмотрим два раза статически неопределимую раму (рис. 13.15), где графически покажем рассмотренные выше перемещения.

Коэффициенты определяются методом Мора, чаще перемножением эпюр по способу Верещагина.

При определении коэффициентов канонических уравнений методом перемножения эпюр (по Верещагину):

1. Строим единичные эпюры изгибающих моментов. Единичные эпюры строятся для основной системы от каждого «лишнего» неизвестного, т.е. в основной системе поочередно прикладываются неизвестные, равные единице, определяются реакции и строится единичная эпюра.

Решение статически неопределимых задач

Единичных эпюр, должно быть столько, какова степень статической неопределимости рамы.

Получим единичные эпюры изгибающих моментов Решение статически неопределимых задач

2. Строим грузовую эпюру изгибающих моментов. Эта эпюра также строится для основной системы: в этой системе прикладываются все внешние нагрузки (силы, моменты, распределенные нагрузки), которые имеются на заданной схеме, определяются опорные реакции и стоится грузовая эпюра Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

3. Перемножаем эпюры по способу Верещагина и находим значения коэффициентов канонических уравнений:

главные коэффициенты получаем, перемножая единичные эпюры «сами на себя», т.е. в качестве грузовой рассматривается та же единичная эпюра: Решение статически неопределимых задач Или по формуле Верещагина

Решение статически неопределимых задач

побочные коэффициенты определяются перемножением единичных эпюр в соответствии с записью Решение статически неопределимых задач т.е. одна из единичных условно считается грузовой. По Верещагину

Решение статически неопределимых задач

свободные члены определяются перемножением грузовой эпюры, поочередно, на единичные в соответствии с записью Решение статически неопределимых задач По Верещагину

Решение статически неопределимых задач

4. Подставляем значения вычисленных коэффициентов в систему канонических уравнений, решаем ее и определяем значения Решение статически неопределимых задач

Если значения некоторых неизвестных получаем со знаком минус, это значит, что действительное направление их обратно по отношению к принятому в эквивалентной системе. Желательно при продолжении решения (при построении окончательных эпюр) поменять направление этих неизвестных.

5. В эквивалентной системе вместо неизвестных усилий Решение статически неопределимых задач прикладываем их значения (в положительном направлении), определяем опорные реакции и строим эпюры Решение статически неопределимых задач

6. Проводится проверка правильности расчетов (см. 11.3.2).

Расчет статически неопределимых рамных систем

Рациональный выбор основной системы.

Основная система (удовлетворяющая выше приведенным требованиям) может быть любой, но трудоемкость расчетов будет различной:

а) учитывая, что в процессе решения нужно строить и перемножать эпюры, лучше выбирать такой вариант основной системы, для которого легче эти эпюры строить;

б) протяженность эпюр и их очертания должны быть, по возможности, простыми;

в) для некоторых схем рам возможно использование свойств симметрии и кососим-метрии (рис.13.16).

Решение статически неопределимых задач

Положительный эффект учета свойств симметрии и кососимметрии поясним на примере (рис. 13.17). В заданной схеме рамы приложена кососимметричная нагрузка. Основная система и неизвестные усилия являются симметричными.

Прикладываем в основной системе поочередно неизвестные усилия и внешнюю нагрузку и строим эпюры изгибающих моментов. Получаем симметричные и кососимметричные эпюры.

Следовательно, соответствующие коэффициенты канонических уравнений будут равны нулю, и решение этих уравнений упрощается. Например: Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Таким образом, в нашем примере будут равны нулю коэффициенты:

Решение статически неопределимых задач

и система канонических уравнений

Решение статически неопределимых задач

упрощается:

Решение статически неопределимых задач

Следовательно Решение статически неопределимых задач Получим одно уравнение:

Решение статически неопределимых задач

Таким образом, вместо решения системы трех уравнений, достаточно решить одно уравнение. Соответственно, вместо трижды статически неопределимой системы имеем один раз статически неопределимую систему.

В том случае, если в рассмотренном примере внешние нагрузки будут приложены симметрично (так, как показано на рис. 13.16 ), то и эпюра Решение статически неопределимых задач будет симметричной. Тогда

Решение статически неопределимых задач

Получаем систему уравнений

Решение статически неопределимых задач

Видим, что в этом случае только Решение статически неопределимых задач равно нулю, т.е. необходимо решать систему двух уравнений.

Проверка правильности расчетов.

Проверка должна проводиться на всех этапах решения:

• правильность выбора основной системы; соответствие эквивалентной системы выбранной основной; правильность определения реакций во всех расчетных схемах; правильность построения эпюр: единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов;

правильность определения коэффициентов канонических уравнений; правильность решения системы уравнений;

• правильность построения окончательных эпюр Решение статически неопределимых задач

Однако, подтверждением правильности решения задачи, является так называемая деформационная проверка. Деформационная проверка заключается в том, что исполнитель расчета должен убедиться, что перемещения по направлению любой из отброшенных связей.

Для этого окончательную эпюру изгибающих моментов перемножают поочередно на каждую из единичных эпюр. И желательно на те единичные, которые не использовались в расчете, т.е. для другой основной системы. Более надежной является проверка, которая проводится путем сравнения некоторых сумм коэффициентов уравнений (полученных в расчете) и результатов перемножения эпюр.

Дополнительно строят суммарную единичную эпюру Решение статически неопределимых задач Ее легко построить графически, суммировав единичные эпюры Решение статически неопределимых задач

А) построчная проверка заключается в сравнении сумм коэффициентов по строкам с результатом перемножения суммарной единичной эпюры с каждой из единичных:

Решение статически неопределимых задач

Б) универсальная проверка заключается в сравнении суммы всех главных Решение статически неопределимых задач побочных Решение статически неопределимых задач коэффициентов с результатом перемножения суммарной единичной эпюры самой на себя:

Решение статически неопределимых задач Рассмотрим пример расчета статически неопределимой плоской рамы методом сил.

Для рамы (рис. 13.18 а) построить эпюры Решение статически неопределимых задач Определить вертикальное перемещение точки Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

1. Определяем степень статической неопределимости

Решение статически неопределимых задач

2. Выбираем основную систему и строим для нее эквивалентную систему

3. Записываем систему из двух канонических уравнений метода сил:

Решение статически неопределимых задач

4. Строим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов. Для уменьшения объема рисунка совместили единичные и грузовую схемы с соответствующими эпюрами.

5 Метод Верещагина определяем коэффициенты канонических уравнений

Решение статически неопределимых задач

Коэффициенты вида Решение статически неопределимых задач имеют размерность Решение статически неопределимых задач В данной задаче все коэффициенты безразмерны, т.к. нагрузки и размеры заданы в общем виде. При перемножении эпюр учитываем общие границы участков.

6. Подставляем найденные значения коэффициентов в систему канонических уравнений. Определяем значения Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

7. Прикладываем найденные значения неизвестных усилий в эквивалентной системе (рис. 13.18 б). Вслучае если найденное значение неизвестного усилия получаем со знаком (-), его направление меняем на противоположное.

8. Строим эпюры Решение статически неопределимых задач

9. Контроль правильности построения эпюр и всего расчета (деформационная проверка).

9.1. Перемножаем по методу Верещагина эпюру Решение статически неопределимых задач поочередно на единичные эпюры Решение статически неопределимых задач и определяем вертикальное и горизонтальное перемещения шарнирно неподвижной опоры.

Перемножим эпюры Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач

Погрешность расчета (в сравнении с нулем): Решение статически неопределимых задач

Перемножим эпюры Решение статически неопределимых задач Решение статически неопределимых задач

Погрешность расчета (в сравнении с нулем): Решение статически неопределимых задач

Решение выполнено правильно. Рассмотрим другой возможный вариант основной системы (рис. 13.19). Решение статически неопределимых задач

Видим, что очертания эпюр совпадают с такими же единичными эпюрами на рис. 13.18 (отличаются только значения ординат на эпюре Решение статически неопределимых задач Следовательно, и результаты перемножения совпадут.

Правильность решения задачи подтверждается.

Проведем проверки, рекомендованные ранее. Для этого построим суммарную единичную эпюру Решение статически неопределимых задач (рис. 13.20), сложив единичные эпюры Решение статически неопределимых задач (см. рис. 13.18). Решение статически неопределимых задач

Построчная проверка

Решение статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач Универсальная проверка:

Решение статически неопределимых задач

Результаты проверки подтверждают правильность решения задачи.