Решение сопромата

Если у вас нет времени на выполнение заданий по сопромату, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Решение сопроматаwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Решение сопромата

Решение сопроматаОтветы на вопросы по заказу заданий по сопромату:

Решение сопромата

Решение сопроматаСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Решение сопроматаКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Решение сопроматаЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Решение сопроматаМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Решение сопроматаКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Решение сопроматаКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Решение сопроматаВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Решение сопромата

Решение сопроматаНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Сопротивление материалов", если у вас есть желание и много свободного времени!

Решение сопромата

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по сопромату:
  2. Внутренние силы. Метод сечений
  3. Основные виды деформаций бруса
  4. Напряжения
  5. Основные виды деформаций бруса
  6. Пример с решением 1.
  7. Пример с решением 2.
  8. Нормальное напряжение. продольная, поперечная и объемная деформации
  9. Пример с решением 3.
  10. Пример с решением 4.
  11. Пример с решением 5.
  12. Пример с решением 6.
  13. Пример с решением 7.
  14. Пример с решением 8.
  15. Пример с решением 10.
  16. Пример с решением 11.
  17. Пример с решением 13.

Сопротивление материалов — наука, в которой изложены принципы и методы расчета частей сооружений и машин на прочность, жесткость и устойчивость.

Расчет на прочность служит для определения минимально необходимых размеров элементов конструкций, исключающих возможность разрушения под действием нагрузок.

Расчет на жесткость связан с определением деформаций и перемещений, возникающих в элементах конструкций. Жесткость считают обеспеченной, если упругие перемещения не превосходят заданных величин, допустимых при эксплуатации конструкции.

Под устойчивостью элементов сооружений подразумевают способность сохранять при действии нагрузки свою первоначальную форму.

Основной расчетный объект в курсе сопротивления материалов — брус, т. е. тело, поперечные размеры которого малы по сравнению с длиной. Брус с прямолинейной осью часто называют стержнем.

Осью бруса является линия, проходящая через центры тяжести всех его последовательно проведенных поперечных сечений, т. е. сечений, перпендикулярных к оси. В сопротивлении материалов принимают ряд допущений, упрощающих расчеты, .но в то же время обеспечивающих необходимую степень точности. К числу таких допущений относят:

  • а) допущение об однородности и непрерывности материала, т. е. принимают, что свойства материала не зависят от формы и размеров тела и одинаковы во всех его точках;
  • б) допущение о малости рассматриваемых перемещений. Предполагают, что перемещения, возникающие в конструкции в результате ее деформации, настолько малы, что по сравнению с размерами элементов ими можно пренебречь;
  • в) допущение о линейной зависимости между силами, действующими на конструкцию, и вызываемыми ими перемещениями. Согласно этому допущению величины упругих перемещений, возникающих в конструкции, прямо пропорциональны величинам вызвавших их сил;
  • г) допущение об идеальной упругости материала. Предполагают, что материал обладает способностью полностью восстанавливать первоначальные размеры и форму после устранения нагрузок. Это допущение справедливо при ограниченных нагрузках, выше которых в материале возникают остаточные деформации, не исчезающие после удаления нагрузки;
  • д) допущение, называемое принципом независимости действия сил. Согласно этому принципу, результат воздействия на сооружение системы нагрузок, приложенных одновременно, равен сумме результатов воздействия тех же нагрузок, прикладываемых к телу по отдельности. Использование принципа независимости действия сил возможно при условии соблюдения допущений Решение сопромата
  • е) допущение, именуемое гипотезой плоских сечений (Я. Бернулли), на основании которой предполагают, что плоские поперечные сечения, проведенные в брусе до деформации, остаются плоскими и нормальным,и к продольной оси и после деформации.

Внутренние силы. Метод сечений

Внутренними силами называют силы действия одних частей тела на другие. Если на данное твердое тело не действуют никакие внешние силы, то внутренние силы все же в нем имеются; они и обеспечивают существование тела как такового. Приложение к этому телу внешних сил приведет к некоторому изменению внутренних сил; иначе говоря, вследствие приложения к телу внешних сил в нем возникают дополнительные внутренние силы. Эти силы сопротивляются стремлению внешних сил изменить форму тела, отделить одну его часть от другой.

В сопротивлении материалов изучают только дополнительные внутренние силы, возникающие в результате деформаций, вызванных внешними силам.

Для определения внутренних сил, возникающих в брусе от действия внешних нагрузок, применяют метод сечения. Решение сопромата Пусть на брус действует уравновешенная система внешних сил Решение сопромата расположенных в одной плоскости (рис. 1, а). Мысленно рассечем брус на две част,и сечением Решение сопромата Затем одну из частей отбросим, например правую (рис. 1, б). Оставшаяся левая часть под действием внешних сил окажется неуравновешенной, так как до рассечения бруса она уравновешивалась теми внутренними силами, которые действовали на нее со стороны правой части. Поскольку связь между частями нарушена, необходимо для восстановления равновесия левой части приложить по сечению Решение сопромата те внутренние силы, которые заменяют действие отброшенной правой части на левую.

Следовательно, применив метод сечений, рассматриваем равновесие отсеченной части бруса (левой или правой), находящейся под действием заданных нагрузок, приложенных к ней, и внутренних сил, действующих по сечению.

При этом силы, внутренние для тела в целом, оказываются внешними для его оставленной (отсеченной) части.

Так как закон распределения внутренних сил по сечению не известен, то следует воспользоваться правилами статики и привести систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор Решение сопромата и главный момент Решение сопромата внутренних сил, возникающих в рассматриваемом сечении (рис. 1, о). Выберем далее систему

Решение сопромата

координат Решение сопромата и, разложив главный вектор по осям Решение сопромата получим для плоской системы сил две неизвестные силы Решение сопромата и неизвестный момент Решение сопромата которые определяют из трех уравнений статики, записанных для сил, приложенных к оставленной части бруса.

При пространственном расположении внешних сил получим шесть составляющих: три силы и три момента (рис. 2). Эти составляющие называют внутренними силовыми факторами. Составляющую главного вектора Решение сопромата по нормали к сечению Решение сопромата называют продольной (или нормальной) силой в сечении.

Силы Решение сопромата называют поперечными. Момент относительно продольной оси Решение сопромата называют крутящим, а моменты Решение сопромата —изгибающими относительно осей Решение сопромата

Для определения этих шести усилий необходимо использовать шесть уравнений равновесия.

Основные виды деформаций бруса

О виде деформации бруса судят по тому, .какие внутренние силовые факторы возникают в его поперечных сечениях:

а) если на каком-то участке бруса в поперечных сечениях возникает только продольная сила Решение сопромата (рис. 3, а), а прочие внутренние усилия обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие

Решение сопромата

в зависимости от направления силы Решение сопромата (при растяжении продольная сила направлена от сечения);

б) если в поперечном сечении возникает только поперечная сила Решение сопромата (рис. 3, б), то соответствующая часть бруса работает на срез (сдвиг);

в) если в поперечных сечениях бруса возникает только момент Решение сопромата (рис. 3, в), то брус работает на кручение

г) в случае, когда в поперечных сечениях бруса возникает только изгибающий момент Решение сопромата (или Решение сопромата (рис. 3, г), то имеет место прямой чистый изгиб в плоскости Решение сопромата

Чаще всего в поперечном сечении бруса, наряду с изгибающим моментом (например, Решение сопромата возникает и поперечная сила Решение сопромата Тогда имеет место прямой поперечный изгиб.

Возможны случаи нагрузок, когда брус работает одновременно на изгиб и растяжение (сжатие), на кручение и изгиб и т. п. (эти случаи иногда называют сложным сопротивлением).

Итак, для нахождения внутренних силовых факторов в некотором поперечном сечении бруса следует:

а) рассечь брус плоскостью, совпадающей с этим сечением;

б) отбросить одну часть бруса;

в) приложить в месте проведенного сечения к оставшейся части бруса внутренние силы и моменты, заменяющие действие отброшенной части на оставленную;

т) найти значения этих сил и моментов из уравнений статики.

При определении внутренних силовых факторов к деформируемым телам применяют уравнения статики абсолютно твердого тела. Однако здесь же следует указать на ограниченность их применения, а именно: все приемы статики — сложение, разложение сил и их перенос —допустимы только в отношении сил, действующих по одну сторону от сечения. Иными словами, эти приемы можно применять только после проведения разреза и отбрасывания одной части бруса.

Напряжения

Внутренние усилия в сечении бруса, выражающие силу взаимодействия между двумя его частями, представляют собой равнодействующую тех действительных усилий взаимодействия, которые возникают в каждой точке сечения.

Допустим, что около некоторой точки Решение сопромата сечения выделена элементарная площадку Решение сопромата (рис. 4). Величина внутренней силы, возникающей на данной площадке, равна Решение сопромата Предел отношения Решение сопромата к элементу площади Решение сопромата при безграничном уменьшении Решение сопромата т. е.

Решение сопромата

называют полным напряжением в точке Решение сопромата по площадке Решение сопромата

Основные виды деформаций бруса

О виде деформации бруса судят по тому, .какие внутренние силовые факторы возникают в его поперечных сечениях:

а) если на каком-то участке бруса в поперечных сечениях возникает только продольная сила Решение сопромата (рис. 3, а), а прочие внутренние усилия обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие

Решение сопромата

в зависимости от направления силы Решение сопромата (при растяжении продольная сила направлена от сечения);

б) если в поперечном сечении возникает только поперечная сила Решение сопромата (рис. 3, Решение сопромата то соответствующая часть бруса работает на срез (сдвиг);

в) если в поперечных сечениях бруса возникает только момент Решение сопромата (рис. 3, в)} то брус работает на кручение-,

г) в случае, когда в поперечных сечениях бруса возникает только изгибающий момент Решение сопромата (рис. 3, г), то имеет место прямой чистый изгиб в плоскости Решение сопромата

Чаще всего в поперечном сечении бруса, наряду с изгибающим моментом (например, Решение сопромата возникает и поперечная сила Решение сопромата Тогда имеет место прямой поперечный изгиб.

Возможны случаи нагрузок, когда брус работает одновременно на изгиб и растяжение (сжатие), на кручение и изгиб и т. п. (эти случаи иногда называют сложным сопротивлением).

Итак, для нахождения внутренних силовых факторов в некотором поперечном сечении бруса следует:

а) рассечь брус плоскостью, совпадающей с этим сечением;

б) отбросить одну часть бруса;

в) приложить в месте проведенного сечения к оставшейся части бруса внутренние силы и моменты, заменяющие действие отброшенной части на оставленную;

т) найти значения этих сил и моментов из уравнений статики.

•При определении внутренних силовых факторов к деформируемым телам применяют уравнения статики абсолютно твердого тела. Однако здесь же следует указать на ограниченность их применения, а именно: все приемы статики — сложение, разложение сил и их перенос —допустимы только в отношении сил, действующих по одну сторону от сечения. Иными словами, эти приемы можно применять только после проведения разреза и отбрасывания одной части бруса.

Внутренние усилия в сечении бруса, выражающие силу взаимодействия между двумя его частями, представляют собой равнодействующую тех действительных усилий взаимодействия, которые возникают в каждой точке сечения.

Допустим, что около некоторой точки Решение сопромата сечения выделена элементарная площадку Решение сопромата (рис. 4). Величина внутренней силы, возникающей на данной площадке, равна Решение сопромата Предел отношения Решение сопромата к элементу площади Решение сопромата при безграничном уменьшении Решение сопромата т. е.

Решение сопромата

называют полным напряжением в точке Решение сопромата по площадке Решение сопромата левой части, найдем величину этого усилия. Проектируя все силы на ось Решение сопромата бруса, имеем

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

т. е. продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения. Если продольная сила в рассматриваемом сечении направлена от сечения —по внешней нормали к сечению. то рассматриваемая часть бруса работает ,на растяжение (рис. 7, а). Если продольная сила направлена к сечению, то

Пример с решением 1.

На рис. 8, а изображен брус, закрепленный одним концом и нагруженный силами Решение сопромата направленными вдоль его оси. Определить продольные силы, возникающие в поперечных сечениях бруса, и построить эпюру продольных сил. Силу тяжести бруса не учитывать.

Решение:

Рассматриваемый брус имеет три участка: Решение сопромата Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы (см. рис. 8, а). Так как силы Решение сопромата действуют вдоль оси Решение сопромата бруса, то в его поперечных сечениях возникают только продольные силы.

Конец бруса закреплен. Очевидно, опорная реакция будет направлена по оси бруса. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось Решение сопромата

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

(ниже будет показано, что в данной задаче можно обойтись без определения опорной реакции, так как все связи наложены в одном сечении).

Определим продольную силу в произвольном поперечном сечении Решение сопромата участка Решение сопромата бруса (заметим, что это сечение можно выбрать в любом месте между сечениями, проведенными через точки Решение сопромата Для этого мысленно разрежем брус по сечению Решение сопромата отбросим его верхнюю часть и приложим к оставшейся нижней части сечения

Решение сопромата

Решение сопромата искомую продольную силу Решение сопромата Примем, что эта сила направлена от сечения. Составим уравнение равновесия для поставленной (рис. 8,6) части бруса:

Решение сопромата

или

Решение сопромата

Продольная сила Решение сопромата получилась положительной, следовательно, ее направление выбрано правильно и участок Решение сопромата бруса работает на растяжение.

Найдем продольную силу в сечении Решение сопромата участка Решение сопромата Сделаем разрез по этому сечению, отбросим верхнюю часть бруса и к сечению Решение сопромата оставшейся части приложим продольную силу Решение сопромата направив ее от сечения

(рис. 8, в). Как видно из рис. 8, в, рассматриваемая часть находится в равновесии под действием внешних сил Решение сопроматаРешение сопромата и продольной силы Решение сопромата Составив уравнение равновесия. получим

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

Знак «плюс» показывает, что направление продольной силы Решение сопромата было выбрано правильно, т. е. участок Решение сопромата бруса работает на растяжение.

Найдем продольную силу в поперечных сечениях участка Решение сопромата бруса, для чего проведем сечение Решение сопромата Так как опорная реакция Решение сопромата найдена, то проще отбросить нижнюю часть бруса и рассмотреть равновесие верхней части, приложив к сечению Решение сопромата продольную силу Решение сопромата направив ее по-прежнему от сечения (рис. 8, г). Верхняя часть находится в равновесии под действием внешней силы Решение сопромата и продольной силы Решение сопромата Составив уравнение равновесия, получим

Решение сопромата

или

Решение сопромата

Таким образом, участок Решение сопромата бруса также работает на растяжение.

Нетрудно видеть, что то же значение продольной силы Решение сопромата получим, если отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим равновесие нижней части (рис. 8, д). Точно так же, приложив в сечении Решение сопромата продольную силу Решение сопромата и составив уравнение равновесия, получим

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

Построим эпюру продольных сил. Эпюра продольных сил Решение сопромата представляет собой график, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса. Для построения графика проводим прямую линию Решение сопромата параллельную оси бруса — эта линия ось или база эпюры.

Перпендикулярно к этой прямой откладываем в выбранном масштабе ординаты, пропорциональные величинам продольных сил (рис. 8, е), возникающих в соответствующих поперечных сечениях бруса.

Этот график принято штриховать линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждый штрих (ордината) в принятом масштабе представляет собой величину продольной силы в поперечном сечении бруса, соответствующем данной точке оси. Из эпюры продольных «сил видно, что точках Решение сопромата и Решение сопромата значения продольных сил изменяются скачкообразно. Решение сопромата

В расмотренном примере все продольные силы имеют положительные значения, поэтому на эпюре все ординаты расположены но одну сторону от оси (базы) эпюры.

Пример с решением 2.

Построить эпюру продольных сил для бруса, нагруженного, как указано на рис. 9, а. Силу тяжести бруса не учитывать.

Решение:

Рассмотрим сечение Решение сопромата верхнего участка бруса Решение сопромата Отбросим нижнюю часть и рассмотрим равновесие верхней отсеченной части, приложив в сечение Решение сопромата продольную силу Решение сопромата (рис. 9, б). Составив уравнение .равновесия, получим

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

Знак «минус» показывает, что направление силы Решение сопромата обратно предположенному, т. е. в действительности она направлена к сечению Решение сопромата соответствующий участок бруса испытывает сжатие. Следовательно, весь участок Решение сопромата бруса работает на сжатие. Продольная сила, сжимающая этот участок, Решение сопромата

Рассмотрим сечение Решение сопромата участка Решение сопромата (рис. 9, в). После отбрасывания нижней части и приложения в сечении Решение сопромата продольной силы Решение сопромата направленной от сечения, будем иметь уравнение равновесия

Решение сопромата или Решение сопромата

т. е. в любом сечении участка Решение сопромата возникает продольная сжимающая сила Решение сопромата направленная к сечению Решение сопромата оставленной части.

Рассмотрим произвольное сечение Решение сопромата участка Решение сопромата После отбрасывания части, лежащей ниже этого сечения, и приложения в сечении Решение сопромата продольной силы Решение сопромата направленной от сечения (рис. 9, г), рассмотрим равновесие верхней ча-сти, находящейся под действием сил Решение сопромата

Приравняв нулю алгебраическую сумму проекций на ось бруса всех сил, действующих на оставленную часть бруса, получим

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

Положительный результат показывает, что участок Решение сопромата бруса работает на растяжение, т. е. предположительное направление силы верно.

Построим эпюру продольных сил (рис. 9, д). Для этого проведем прямую, параллельную оси стержня. Из точек Решение сопромата перпендикулярно оси в выбранном масштабе отложим величины соответствующих продольных сил, причем растягивающие силы будем откладывать вправо от прямой Решение сопромата а сжимающие — влево, после чего нанесем штриховку.

Нормальное напряжение. продольная, поперечная и объемная деформации

Напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса,

Решение сопромата

где Решение сопромата — продольная сила в сечении;

Решение сопромата— площадь поперечпого сечения (рис. 10).

Продольную деформацию бруса (рис. 10, а) характеризуют абсолютным удлинением Решение сопромата которое при растяжении считают положительным

Решение сопромата

где Решение сопромата — начальная длина бруса;

Решение сопромата— его конечная длина, и относительным удлинением

Решение сопромата

Поперечная деформация характеризуется абсолютной поперечной деформацией

Решение сопромата

где Решение сопромата — первоначальным поперечный размер;

Решение сопромата — соответствующий размер деформированного бруса,

и относительной поперечной деформацией

Решение сопромата

Опытом установлено, что для каждого материала в пределах упругости соотношение между относительной поперечной и относительной продольной деформациями при растяжении (или сжатии) является величиной постоянной. Это отношение называют коэффициентом Пуассона, или коэффициентом поперечной деформации:

Решение сопромата

Величина Решение сопромата для различных материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5.

Объемная деформация стержня характеризуется относительным изменением объема:

Решение сопромата

Объем стержня при растяжении увеличивается, при сжатии — уменьшается.

Зависимость между напряжением и относительным удлинением выражается законом Гука:

Решение сопромата

Величина Решение сопромата представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости (модуль упругости первого рода, модуль Юнга). Модуль упругости имеет ту же размерность, что и напряжение.

Абсолютное удлинение стержня постоянного поперечного сечения при постоянной продольной силе

Решение сопромата

Пример с решением 3.

Стальной брус длиной Решение сопромата и площадью поперечного сечения Решение сопромата растягивается силой Решение сопромата (рис. 10, а). Определить нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, а также его абсолютное и относительное удлинение. Модуль продольной упругости

Решение сопромата

Решение:

В любом сечении бруса возникает продольная сила Решение сопромата (рис. 10,6).

Нормальное напряжение в поперечном сечении

Решение сопромата

Абсолютное удлинение

Решение сопромата Относительное удлинение

Решение сопромата

Пример с решением 4.

Полая чугунная колонна высотой Решение сопроматаРешение сопромата несет сжимающую нагрузку Решение сопромата Наружный диаметр колонны Решение сопромата толщина стенки Решение сопроматаРешение сопромата Вычислить напряжение в поперечном сечении, а также относительное и абсолютное укорочение колонны. Решение сопромата

Решение:

В любом поперечном сечении колонны возникает продольная сжимающая сила Решение сопроматаРешение сопромата

Внутренний диаметр колонны

Решение сопромата

Площадь поперечного сечения колонны

Решение сопромата

Напряжение сжатия в поперечном сечении

Решение сопромата

Относительное укорочение колонны

Решение сопромата

Абсолютное укорочение колонны

Решение сопромата

Пример с решением 5.

Стальной брус ступенчато переменного сечения растянут силой Решение сопромата (рис. И, а). Определить напряжения в сечениях Решение сопромата если первое представляет собой квадрат со стороной Решение сопромата а второе — круглое, диаметром Решение сопромата Построить эпюру нормальных напряжении, а также определить полное удлинение бруса.

Решение:

Поскольку по оси бруса, на конце его, приложена единственная нагрузка Решение сопромата то во всех поперечных сечениях бруса возникает продольная сила Решение сопромата равная Решение сопромата

Решение сопромата Напряжение в сечении Решение сопромата бруса

Решение сопромата Напряжение в сечении Решение сопромата бруса

Решение сопромата По полученным значениям напряжений строим эпюру нормальных напряжений (рис. 11, б). Построение эпюры нормальных напряжений (или графика напряжений) аналогично

Решение сопромата

построению эпюры продольных сил. Проведем прямую Решение сопромата параллельно оси бруса — это ось или база эпюры. Перпендикулярно этой прямой отложим в выбранном масштабе ординаты, пропорциональные величинам напряжений. Этот график, как и график продольных сил, также штрихуем.

Каждый штрих— ордината графика — в принятом масштабе представляет собой величину нормального напряжения в поперечном сечении бруса, соответствующем данной точке оси.

Абсолютное удлинение левой части бруса

Решение сопромата

Абсолютное удлинение правой части бруса

Решение сопромата

Полное удлинение всего бруса

Решение сопромата

Пример с решением 6.

По оси стального ступенчатого бруса приложены силы Решение сопромата (рис. 12, а). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений; найти полное удлинение бруса Решение сопромата

Решение:

Определим продольные силы, возникающие в поперечных сечениях бруса. Решение сопромата

В произвольном сечении Решение сопромата участка Решение сопромата возникает продольная сила Решение сопромата Величину этой силы определим из уравнения равновесия отсеченной части бруса, расположенной ниже этого сечения (рис. 12, б):

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

Продольная сила Решение сопромата положительна, следовательно, участок Решение сопромата бруса работает на растяжение. Проведя сечение Решение сопромата на участке Решение сопромата и рассматривая равновесие нижней отсеченной части (рис. 12, в), находящейся под действием сил Решение сопромата получим

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

Аналогично, на участке Решение сопромата в сечении Решение сопромата имеем продольную силу Решение сопромата (рис. 12, г), величину которой определяем из уравнения равновесия

Решение сопромата

откуда

Решение сопромата

По полученным значениям строим эпюру продольных сил (рис. 12, д).

В поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения. На участке Решение сопромата площадь поперечного сечения бруса по всей длине участка постоянна; следовательно, напряжения во всех сечениях этого участка бруса будут одинаковы:

Решение сопромата

Участок Решение сопромата следует разбить на два: Решение сопромата площадью Решение сопромата и Решение сопромата площадью Решение сопромата Нормальные напряжения в поперечных сечениях этих участков

Решение сопромата В поперечных сечениях участка Решение сопромата

Решение сопромата

Строим эпюру нормальных напряжений. Проводим прямую линию Решение сопромата параллельно оси стержня. Перпендикулярно этой прямой откладываем в выбранном масштабе ординаты, пропорциональные величинам напряжений (рис. 12, д). Этот график, как и график продольных сил, штрихуем.

Вычислим полное удлинение бруса, равное алгебраической сумме удлинений отдельных его частей.

Удлинение части бруса длиной Решение сопромата

Решение сопромата

Укорочение части бруса длиной Решение сопромата

Решение сопромата

Укорочение части бруса длиной Решение сопромата

Решение сопромата

Удлинение части бруса длиной Решение сопромата

Решение сопромата

Полное удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений отдельных его частей:

Решение сопромата

Пример с решением 7.

Кронштейн Решение сопромата (рис. 13, а) состоит из двух стальных стержней круглого сечения диаметром Решение сопромата Крепления стержней шарнирные. Определить напряжения в стержнях.

Решение сопромата

Решение:

Шарниры считаем идеальными, т. е. та-ким.и, трен-ие в которых отсутствует. Как известно из статики твердого тела, реакции в шарнирах будут направлены вдоль осей стержней. Следовательно, в поперечных сечениях стержней возникают только продольные силы. Вырежем узел Решение сопромата и в местах разреза стержней приложим продольные силы Решение сопромата предполагая их растягивающими (р.ис. 13, б).

Составим уравнения равновесия для отсеченной части системы:

Решение сопромата

Из уравнения (2)

Решение сопромата Знак «минус» показывает, что стержень работает на сжатие.

Из уравнения (1) имеем

Решение сопромата

Решение сопромата (растяжение).

Зная диаметры стержней, вычислим площади их поперечных сечений:

Решение сопромата

Стержень Решение сопромата работает на растяжение. Нормальное напряжение

Решение сопромата

Стержень Решение сопромата работает на сжатие. Нормальное напряжение

Решение сопромата

Пример с решением 8.

Поперечина Решение сопромата (рис. 14, а) подвешена на двух стальных тягах Решение сопромата Посередине поперечины приложена сила Решение сопромата Диаметр тяги Решение сопроматаРешение сопромата

Крепления стержней шарнирные. Определить удлинения каждой тяги и перемещение точки Решение сопромата приложения груза Решение сопромата считая поперечину Решение сопромата абсолютно жесткой.

Решение:

Разрежем систему по сечению Решение сопромата на две части. Отбросим верхнюю часть и в местах разреза приложим продольные силы Решение сопромата уравновешивающие нижнюю часть (.рис. 14, б). Так как нагрузка Решение сопромата приложена посередине поперечины, то продольные силы в стержнях Решение сопромата одинаковы:

Решение сопромата

Решение сопромата Вычислим площади сечений Решение сопромата стержней Решение сопромата и Решение сопромата

Решение сопромата

Определим абсолютные удлинения Решение сопромата стержней Решение сопромата (рис. 14, Решение сопромата Удлинение стержня Решение сопромата

Решение сопромата

Удлинение стержня Решение сопромата

Решение сопромата

Горизонтальное перемещение точки Решение сопромата равно удлинению стержня Решение сопромата

Решение сопромата

Вертикальное перемещение точки Решение сопромата равно удлинению стержня Решение сопромата Решение сопромата Полное перемещение точки Решение сопромата получим геометрическим суммированием горизонтального и вертикального перемещений:

Решение сопромата

Пример с решением 10.

Стальной брус Решение сопромата -площадь поперечного сечения которого Решение сопромата нагружен силами Решение сопромата приложенными соответственно в точках Решение сопромата (рис. 16, а). Определить перемещение сечения Решение сопромата

Решение:

Перемещение сечения Решение сопромата произойдет в результате удлинений частей стержня Решение сопромата Часть Решение сопромата -стержня получает удлинение от действия сил Решение сопромата а часть Решение сопромата — только от силы Решение сопромата

Задачу решим двумя способами: а) путем применения принципа независимости действия сил и б) рассматривая обе нагрузки совместно.

1-й способ. Вычислим абсолютное удлинение участка Решение сопромата от действия силы Решение сопромата

Решение сопромата

Абсолютное удлинение участка Решение сопромата от действия силы Решение сопромата Решение сопромата Так как часть Решение сопромата бруса растягивается только силой Решение сопромата то абсолютное удлинение этой части

Решение сопромата

Перемещение Решение сопромата точки Решение сопромата

Решение сопромата 2-й способ. Построим эпюру продольных сил (рис. 16, б). В поперечных сечениях участка Решение сопромата возникает продольная сила Решение сопроматаУдлинение участка Решение сопромата бруса

Решение сопромата

Продольная сила Решение сопромата в поперечных сечениях участка Решение сопромата

Решение сопромата

Полное удлинение участка Решение сопромата

Решение сопромата

Перемещение Решение сопромата точки Решение сопромата

Решение сопромата

Пример с решением 11.

Ступенчатый брус (рис. 17, а) растягивается силой Решение сопромата Построить эпюры напряжении и перемещений, если

Решение сопромата

Материал — сталь. Решение сопромата

Решение:

Так как внешняя нагрузка Решение сопромата приложена на конце, то продольная сила Решение сопромата по всей длине бруса постоянна и в любом ого поперечном сечении численно равна внешней силе Решение сопромата

Решение сопромата Найдем напряжения в поперечных сечениях Решение сопромата и Решение сопромата

Решение сопромата Строим эпюру напряжении (рис. 17, б).

Далее следует построить эпюру .перемещений (рис. 17, в). Эпюра перемещении- —это график зависимости Решение сопромата т. е. график, ординаты которого о) представляют собой отложенные в определенном масштабе перемещения сечений, а абсциссы— расстояния этих сечений от начала координат, выбираемого в неподвижной точке. Для построения •эпюры Решение сопромата необходимо брус разбить на участки; в пределах каждого участка величины Решение сопромата постоянны. Так как брус имеет ступенчато-переменное сечение, то в нашем случае таких участков два. Рассмотрим их каждый iB отдельности.

Первый участок. За начало координат выбираем неподвижную точку Решение сопромата (в заделке). Для произвольного сечения Решение сопромата взятого на расстоянии Решение сопромата от начала координат, имеем

Решение сопромата

где Решение сопромата

Нетрудно видеть, что выражение Решение сопромата представляет собой уравнение прямой линии.

Решение сопромата

Второй участок. Перемещение произвольного сечения Решение сопромата на расстоянии Решение сопромата от заделки

Решение сопромата Наибольшее перемещение на конце бруса получим при Решение сопромата

Решение сопромата

Эпюра на первом участке представляет собой треугольник Решение сопромата где Решение сопромата в выбранном масштабе соответствует значению Решение сопромата на втором участке — трапецию Решение сопромата где Решение сопромата в том же масштабе соответствует значению Решение сопромата

Пример с решением 13.

Определить относительное увеличение объема стержня при растяжении.

Решение: Относительные удлинения стержней Решение сопромата

Решение сопромата В результате деформации стержней (тяг) их поперечные сечения перемещаются вдоль осей стержней. Так как перемещения являются следствием деформаций, то между теми и другими существует определенная связь. При растяжении (сжатии) эта связь имеет простой характер;

Решение сопромата взаимное перемещение двух каких-либо сечений равно удлинению (или укорочению) части стержня, ограниченной этими двумя сечениями. Следовательно, перемещение конца Решение сопромата поперечины равно удлинению Решение сопромата стержня Решение сопромата а перемещение конца Решение сопромата удлинению Решение сопромата стержня Решение сопромата Считая поперечину иедеформирующеися, изобразим па рис. 14, в ее начальное Решение сопромата и конечное Решение сопромата { (после деформации стержней) положения. Ордината Решение сопромата в выбранном масштабе соответствует значению Решение сопромата значению Решение сопромата тогда средняя линия Решение сопромата трапеции Решение сопромата будет изображать перемещение Решение сопромата точки Решение сопромата Решение сопромата

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка: