Решение СЛАУ

Содержание:

 

1. Методы Гаусса и Крамера
2. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ

Определители, их свойства

Квадратной матрицей n-го порядка называется таблица чисел

Числа — элементы матрицы; — номер строки; — номер столбца.

 

 

Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим квадратной матрице II порядка, называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по правилу

 

Определителем III порядка, соответствующим квадратной матрице III порядка, называется число, вычисляемое по правилу

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

 

 

Примеры №1:

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется число

Например, для определителя III порядка (1.1)

Свойства определителей следуют из определения (1.1).

1°. Транспонирование: определитель не изменится, если все его строки заменить на соответствующие столбцы:

2°. Разложение определителя по любому ряду (строке или столбцу):

определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения. Например, для определителя (1.1) разложение по второму столбцу:

3°. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на (-1).

4°. Определитель

= 0, если:

1) все элементы какого-нибудь ряда равны нулю;

2) соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны (в частности, равны).

5°. Общий множитель всех элементов ряда можно вынести за знак определителя. 6°. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод Жордана Гаусса

Метод Крамера: пример решения

Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений

 

Аналогично определению определителя III порядка вводится определение определителя

n-го порядка, соответствующего квадратной матрице n-го порядка.

Например, определителем IV порядка называется число, вычисляемое по правилу

Свойства 1°—6° сохраняются для определителей любого порядка. При вычислении определителей IV и выше порядков удобно, используя свойство 6°, преобразовать его так, чтобы все элементы (кроме одного) какого-нибудь ряда были нулями, затем разложить его по этому ряду.

 

 

Пример 1:

Здесь вторую строку последовательно умножаем на 2, 3, 5 и складываем соответственно с 1-й, 3-й, 4-й строками. Системы линейных алгебраических уравнений их совместность, определенность.

 

 

Методы Гаусса и Крамера

 

Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными будем называть следующую систему:

где - неизвестные, — коэффициенты при неизвестных; — свободные члены. При система называется однородной. Решением системы (1.2) называется такая совокупность чисел которая при подстановке вместо в каждое уравнение системы обращает его в тождество.

 

СЛАУ называется совместной, если она имеет решение, несовместной — если решения нет.

 

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений бесконечное множество.

Две совместные системы называются равносильными, если все их решения совпадают.

Система (1.2) переходит в равносильную, если:

• а) поменять местами два уравнения;
• б) умножить любое уравнение на число
• в) прибавить к обеим частям одного уравнения соответствующие части другого, умноженные на любое число.

Назовем такие преобразования системы элементарными. Коэффициенты при неизвестных в системе составляют прямоугольную таблицу — матрицу из m строк и n столбцов:

Она называется основной матрицей системы, а матрица — расширенной:

 

Преобразования со строками расширенной матрицы системы, соответствующие элементарным преобразованиям системы, будем тоже называть элементарными, а матрицы, полученные при элементарных преобразованиях, — эквивалентными.

 

Обозначим i-ю строку матрицы А через

Строки называют линейно зависимыми, если существуют числа что В противном случае строки называют линейно независимыми.

 

Рангом матрицы А (обозначается rang А) называется максимальное число линейно независимых строк матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Т: (Кронекера—Капелл и) Система (1.2) совместна тогда, когда rang А = rang (A | В) Доказательство см. в [1. С.97]. Для решения системы (1.2) применяется метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы путем элементарных преобразований.

Все преобразования проводятся с расширенной матрицей. Пусть Тогда умножением первой строки последовательно и сложением соответственно со 2-й, ..., и m-й строками получаем матрицу Аналогичные преобразования производим с матрицей Процесс продолжаем, пока не получим матрицу ступенчатого вида причем rang (A | В) равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице.

 

Возможны три случая:

1) Получилась строка ей соответствует уравнение — система несовместна .

2) Число ненулевых строк г меньше числа неизвестных, тогда система имеет бесчисленное множество решений. Последней ненулевой строке соответствует уравнение

из которого находим неизвестное хг через и - г так называемых свободных неизвестных: Из уравнений, соответствующих другим строкам, последовательно находим , также через свободные неизвестные.

3) Если решение системы единственно. Последней ненулевой строке соответствует уравнение из которого находим неизвестное, а далее последовательно

 

 

Пример 2:

Для получения матрицы, эквивалентной расширенной, умножаем первую строку последовательно на (-2), (-3) и складываем соответственно со 2-й и 3-й строками. Затем в полученной матрице вторую строку умножаем на (-1) и складываем с третьей, приходим к матрице ступенчатого вида.

 

Второй строке соответствует уравнение из которого находим Подставляем в первое уравнение системы: и находим где — свободное неизвестное Если то матрица А — квадратная и ее определитель — главный определитель системы.

При решение системы единственно и находится по формулам Крамера: В них определитель называется определителем неизвестного . и получается из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

 

 

Выведем формулы Крамера, например, для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Для этого умножаем 1-е, 2-е и 3-е уравнения системы соответственно на алгебраические дополнения затем складываем их: Множитель при — разложенный по 1-му столбцу определитель множители при и правая часть соответственно — определители: Таким образом, Формулы для выводятся аналогично.

 

 

Пример 3:

Находим Отсюда

 

Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ

 

Матрица (1.3) кратко записывается в виде и называется прямоугольной матрицей размерности Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если

Сложение матриц. Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица

Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

Матрица, все элементы которой нули, называется нуль-матри-цей, обозначается 0;

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число называется матрица

Умножение матриц. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В) называется матрица

Произведение матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону:

Сочетательный и распределительный законы справедливы:

 

 

Примеры №2:

 

Для квадратных матриц одинакового порядка умножение всегда возможно. Особое значение при таком умножении имеет еди- ничная матрица Е, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы — нули: Очевидно, что определитель единичной матрицы det Е= 1. Легко проверяется, что

 

Если матрица С - АВ для квадратных матриц А и В, то Для квадратной матрицы вводится понятие обратной матрицы.

Матрица называется обратной для квадратной матрицы А, если (1.4) Если выполняется равенство (1.4), то справедливо Т: Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е.

Доказательство см. в [1. С.76]. В процессе доказательства получен вид матрицы для квадратной матрицы А порядка n: где — алгебраические дополнения элементов определителя

 

 

 

Пример 3:

Определитель поэтому обратная матрица существует и Используя действия над матрицами, СЛАУ (1.2) в случае можно записать в виде где и решить при так называемым матричным способом (1.6) Равенство (1.6) получаем, умножая обе части (1.5) слева на матрицу .