Математика - готовые решения задач с примерами на все темы

Математика — это точная наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории.

Математика — это просто, благодаря этой странице на которой собраны все темы и уроки по математике с примерами решения, эта страница будет полезна школьникам и студентам при выполнение домашних заданий, подготовки к контрольным работам, экзаменам и поступлении в университет.

Стрница представляет собой уроки для 7, 8, 9, 10, 11 класса по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». 

Даны подробные примеры решения задач по математике. Задачи и задания систематизированы по темам и снабжены готовыми решениями и ответами.

Содержание:

• 7 класс

1. Степень с натуральным показателем
2. Умножение и деление степеней с натуральным показателем. Степень с нулевым показателем
3. Возведение в степень произведения, частного и степени
4. Степень с целым показателем
5. Свойства степени с целым показателем
6. Применение степени с целым показателем
7. Стандартный вид числа
8. Нахождение суммы и разности чисел, заданных ы стандартном виде
9. Абсолютная и относительная  погрешности
10. Одночлены
11. Одночлен и его стандартный вид
12.  Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень
13. Многочлены
14. Многочлен и его стандартным вид
15. Сложение и вычитание многочленов
16. Произведение одночлена и многочлена
17. Умножение одночлена на многочлен
18. Вынесение общего множителя за скобки
19. Произведение многочленов
20. Умножение многочлена на многочлен
21. Разложение многочлена на множители способом группировки
22. Функция
23. Таблица значений функции и ее график
24. Линейная функция и ее график
25. Функция прямой пропорциональности
26. Взаимное расположение прямых на плоскости
27. Расположение прямых относительно осей координат
28. Решение системы линейных уравнений графическим методом
29. График линейного уравнения с двумя переменными
30. Графики функции и их свойства
31. Элементы статистики
32. Генеральная совокупность и выборка
33. Полигон частот и относительных частот
34. Формулы сокращенного умножения
35. Квадрат суммы двух выражении
36. Квадрат разности двух выражений
37. Разность квадратов двух выражений
38. Умножение разности двух выражений на их сумму
39. Разложение разности квадратов двух выражений на множители
40. Сумма и разность кубов двух выражений
41. Разложение на множители суммы кубов двух выражений
42. Разложение на множители разности кубов двух выражений
43. Куб суммы и куб разности двух выражений
44. Куб суммы двух выражений
45. Куб разности двух выражений
46. Преобразование целых выражений
47. Преобразование целого выражения и многочлен
48. Различные способы преобразований для разложении многочлена на множители
49. Решение текстовых задач с помощью составления их математических моделей
50. Рациональные выражения
51. Преобразование рациональных выражений
52. Сокращение рациональных дробей
53. Сумма и разность рациональных выражений
54. Сумма и разность дробен с одинаковыми знаменателями
55. Сумма и разность дробей с разными знаменателями
56. Умножение н деление рациональных выражений
57. Умножение дробей
58. Деление дробей
59. Тождественное преобразование рациональных выражении

• 8 класс

1. Квадратные корни и иррациональные выражения
2. Рациональные числа
3. Иррациональные и действительные числа
4. Квадратные корни
5. Свойства квадратных корней
6. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни
7. Функция y=√x ее свойства и график
8. Квадратные уравнения
9. Формулы корней квадратного уравнения
10. Теорема Виета
11. Разложение квадратного трехчлена на множители
12. Решение текстовых задач с использованием квадратных уравнений
13. Уравнения, приводимые к квадратным уравнениям
14. Целые к дробно-рациональные уравнения
15. Решение текстовых задач с использованием дробно-рациональных уравнений
16. Квадратичная функция
17. Решение текстовых задач с использованием свойств квадратичной функции
18. Неравенства
19. Квадратные неравенства
20. Решение неравенств методом интервалов
21. Решен не текстовых задач с использованием неравенств
22. Системы нелинейных неравенств с одной переменной
23. Решение текстовых задач с использованием систем неравенств

• 9 класс

1. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы
2. Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. Уравнения с двумя переменными
3. Геометрический смысл уравнений с двумя переменными
4. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными
5. Решение систем уравнений второго порядка
6. Решение текстовых задач с помощью систем уравнений
7. Неравенства с двумя переменными
8. Решение системы неравенств с двумя переменными
9. Последовательности
10. Понятие и определение числовой последовательности
11. Способы задания числовых последовательностей
12. Монотонные последовательности
13. Метод математической индукции
14. Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии
15. Формула n-го члена арифметической прогрессии
16. Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии
17. Формула n-го члена геометрической прогрессии
18. Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий
19. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
20. Тригонометрия
21. Градусная и радианная меры угла и дуги
22. Углы и дуги
23. Радианная мера угла
24. Определение тригонометрических функций
25. Свойства тригонометрических функций
26. Знаки тригонометрических функций
27. Четность тригонометрических функций
28. Периодичность тригонометрических функций
29. Формулы приведения
30. Тригонометрические формулы
31. Формулы сложения
32. Формулы двойного угла
33. Формулы половинного угла
34. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
35. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность

• 10 класс

1. Функция, ее свойства и график и спосбы задания
2. Способы задания функции
3. Некоторые свойства функции
4. Нули функции и понятие непрерывности функции
5. Промежутки знакопостоянства функции
6. Промежутки возрастания и убывший функции. Экстремум функции
7. Четная и нечетная функции
8. Простейшая схема исследовании функции
9. Простейшие преобразования графиков функций
10. Параллельный перенос
11. Растяжение и сжатие
12. Сложные функции
13. Обратные функции
14. Тригонометрические функции
15. Примеры построения графиков некоторых тригонометрических функций
16. Обратные тригонометрические функции
17. Тригонометрические уравнения и их системы
18. Решение тригонометрических уравнений и их систем
19. Методы решения тригонометрических уравнений
20. Решение систем тригонометрических уравнений
21. Решение простейших обратных тригонометрических уравнений
22. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
23. Тригонометрические неравенства
24. Решение простейших тригонометрических неравенств
25. Доказательство тригонометрических неравенств
26. Многочлены
27. Стандартный вид многочленов с несколькими переменными
28. Симметрические многочлены
29. Общий вид многочлена с одной переменном и нахождение его корней
30. Понятие корня многочлена
31. Деление многочлена на многочлен. Нахождение целых корней многочлена с целыми коэффициентами
32. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера
33. Формула Виета
34. Решение уравнений высшего порядка
35. Симметричные уравнения
36. Решение уравнений высшего порядка методом разложения на множители
37. Предел и непрерывность
38. Предел функции в точке
39. Основные свойства предела функции
40. Предел функции на бесконечности
41. Асимптоты функции
42. Первый замечательный предел 
43. Предел числовой последовательности
44. Основные теоремы о пределах последовательности
45. Непрерывность функции в точке и ее свойства
46. Свойства функций, непрерывных на отрезке
47. Производная и ее применение
48. Производная и дифференциал функции
49. Задачи, приводимые к понятию производной функции
50. Производная функции
51. Дифференциал функции и его геометрический смысл
52. Правила дифференцировании
53. Производные элементарных функций
54. Производная сложной функции
55. Производная обратной функции
56. Понятие производной высшего порядка. Механический смысл производной второго порядка
57. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
58. Упрощенная схема исследования и построении графика функции
59. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
60. Полная схема исследования функции и построения ее графика
61. Промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции

• 11 класс

1. Первообразная и интеграл
2. Первообразная и неопределенный интеграл
3. Методы интегрирования
4. Криволинейная трапеция и ее площадь
5. Определенный интеграл
6. Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач
7. Степени и корни
8. Корень п-й степени из действительного числа и его свойства
9. Степени с рациональным и иррациональным показателями
10. Преобразование иррациональных выражений
11. Степенная функция и ее свойства
12. Производная и интеграл степенной функции с действительным показателем
13. Иррациональные уравнения и неравенства
14. Иррациональные уравнения и их системы
15. Иррациональные неравенства
16. Комплексные числа
17. Мнимые числа, определение комплексного числа
18. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
19. Комплексные корни квадратных уравнений. Основная теорема алгебры
20. Показательная функция, ее свойства и график
21. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов
22. Логарифмическая функция, ее свойства и график
23. Производная и первообразная показательной функции. Производная логарифмической функции
24. Показательные уравнения и их системы
25. Логарифмические уравнения и их системы
26. Показательные неравенства
27. Логарифмические неравенства
28. Дифференциальные уравнения
29. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
30. Элементы статистики
31. Таблицы, полигоны и гистограммы частот
32. Дисперсия и стандартное отклонение
33. Упражнения на повторение темы «Элементы статистики»
34. Теория вероятностей
35. Пространство элементарных событий
36. Действия, применяемые к событиям
37. Классическое определение вероятности события
38. Статистическое определение вероятности события
39. Свойства вероятности
40. Геометрическая вероятность
41. Элементы комбинаторики
42. Бином Ньютона
43. Размещения заданного состава
44. Сочетания с повторениями
45. Подробнее о комбинаторике
46. Правило суммы
47. Правило произведения
48. Размещения с повторениями
49. Размещения без повторений. Перестановки
50. Сочетания без повторений
51. Бином Ньютона и его свойства
52. Алгебра событии и классическое определение вероятности
53. Классическое определение вероятности. Свойства вероятностей
54. Полная вероятность события
55. Формула Байсса
56. Формула Бернулли
57. Вероятностные модели реальных явлений и процессов окружающей среды, науки н техники
58. Случайные величины
59. Числовые характеристики случайной величины
60. Виды некоторых дискретных случайных величин (СБ)
61. Математическая статистика
62. Генеральная совокупность и выборка
63. Дискретные и интервальные вариационные ряды
64. Оценка числовых характеристик случайной величины по выборочным данным
65. Приложения к математике в виде лекций
66. Многочлены
67. Векторы в пространстве
68. Предел
69. Фигуры вращения Цилиндр, конус, шар
70. Производная функции
71. Объем фигур вращения
72. Применение производной к исследованию функции
73. Интеграл
74. Статистика и вероятность
75. Уравнения. Неравенства. Системы уравнений
76. Пределы
77. Функции одной переменной. Дифференцирование
78. Функции нескольких переменных
79. Интегрирование
80. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля
81. Ряды
82. Теория вероятности. Элементы теории множеств, комбинаторики и вероятностного анализа
83. Дифференциальная геометрия. Элементы дифференциальной геометрии и инженерной графики
84. Функции в ТФКП, вычеты и конформные отображения
85. Уравнения математической физики. Метод Фурье решения задач, преобразование и интеграл Фурье
86. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Некоторые виды ОДУ и методы их решения
87. Элементы вычислительной математики. Сплайны и некоторые приближенные вычисления
88. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

• Математика с нуля - курс лекций

1. Числа
2. Алгебраические выражения
3. Функции и графики
4. Трансцендентные выражения
5. Уравнения и системы уравнений
6. Неравенства
7. Элементы математического анализа
8. Геометрические фигуры
9. Взаимное расположение прямых
10. Взаимное расположение прямых и плоскостей
11. Геометрические преобразования фигур
12. Подобие фигур. преобразование подобия
13. Прямоугольная декартова система координат
14. Векторы
15. Объемы и площади поверхностей фигур
16. Метрические соотношения в треугольнике

7 класс

Степень с натуральным показателем

В алгебре умножение равных между собой чисел рассматривается как новое действие, которое называется возведением в степень. Например, если число 4 умножается само на себя, то произведение  равное 16, называется второй степенью числа 4; произведение  равное 64, называется третьей степенью числа 4; произведение  равное 256, называется четвертой степенью числа 4 и т.д. При этом говорят, что число 4 возводится во вторую, третью, четвертую и т.д. степень.

Пусть а - произвольное число, - натуральное число, большее 1. Произведение  сомножителей, равных а,

 

называется  степенью числа а и обозначается через  При этом а называется основанием степени, а натуральное число n - ее показателем, т.е. другими словами:

• действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень;
• произведение n сомножителей, равных а, называется n-й степенью числа а;
• число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени;
• число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель, называется показателем степени.

Если показатель степени равен 1, т.е. n=1, то по определению полагают  т.е. первой степенью числа а называется само число а.

Итак, если число записано без показателя степени, то подразумевается, что этот показатель равен 1.

Таким образом, по определению

Выражение  читается как "а в степени n" или "n-я степень числа а." В рассмотренном примере основанием степени является число 4. Выше мы рассмотрели примеры возведения числа 4 в степень:

 и т.д.

Приведем и другие примеры возведения числа в степень:

Нетрудно заметить, что при возведении в степень положительного числа получается положительное число; при возведении в степень нуля или единицы получается соответственно нуль или единица. А при возведении отрицательного числа может получиться как положительное число, так и отрицательное. Отрицательное число с четным показателем является положительным числом, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно. Отрицательное число с нечетным показателем является отрицательным числом, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно. При решении задач удобно пользоваться формулой

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень - кубом. Это объясняется тем, что площадь квадрата со стороной а равна второй степени числа а, т. е.  (квадратных единиц), а объем куба с ребром а равна третьей степени числа а, т. е.  (кубических единиц) (рис. 1.1.).

Рассмотрим примеры.
 

Пример 1. Найдем значения выражений:

Решение:

Пример 2. Найдем значение выражения 

Решение:

Значит, 

Умножение и деление степеней с натуральным показателем. Степень с нулевым показателем

Выражение  является произведением двух степеней с одинаковыми основаниями и его можно записать в виде степени с тем же основанием: 

Следовательно, 

т. е. произведение  равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Аналогичным свойством обладает произведение любых степеней с одинаковыми основаниями, т.е. для любого числа а и произвольных натуральных чисел  и  выполняется равенство:

Это следует из определения степени:

Таким образом, при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели множителей складывают.

Доказанная формула (1) выражает основное свойство степени. Эта формула распространяется на произведение трех и более степеней.

Например,

Приведем примеры:

Выражение  является частным двух степеней с одинаковыми основаниями и при  его можно представить в виде степени с тем же основанием. В самом деле, так как то по определению частного

Мы видим, что частное  равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Аналогично, при  имеем
Это следует из равенства 

Значит, по определению частного

Из доказанного свойства следует правило деления степеней, данное ниже.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.

Например,

Данное правило деления  на  получено для случая, когда  При  с одной стороны, по определению частного

с другой стороны, по правилу деления степени должно получиться равенство

Поэтому, при    по определению полагают, что

Число а, не равное нулю, с нулевым показателем равно единице.

Например,  Выражение  не имеет смысла.

Теперь формулу (1) можно применять при а для любых целых неотрицательных чисел n и m. Формулу (2) можно применять при  для любых целых неотрицательных чисел n и m, удовлетворяющих условию 

Возведение в степень произведения, частного и степени

Выражение  является степенью, основание которой есть произведение множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней:

Для любых  и произвольного натурального числа n выполняется равенство

Доказательство. По определению степени имеем:

Это cвойство степени, основанием которой является произведение двух множителей, распространяется на степень, основанием которой является произведение трех и более множителей. Например,

 и т.д.,

т.е. при возведении в степень произведения множителей возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

Пример 1. Возведем произведение  в куб.

Выражение является степенью, основание которой есть частное делимого и делителя а и b. Это выражение можно представить в виде частного степеней, т.е.

для любых чисел  и произвольного натурального числа n выполняется равенство

Доказательство. Пусть  Тогда  Возведем в n-ю степень обе части этого равенства и применим к правой части формулу (3):

По определению частного, с одной стороны,

а с другой -

Следовательно 

Это свойство степени, основанием которой является частное, можно обобщить так:
 и т.д.,

т.е. при возведении в степень дроби, возводят в эту степень каждый множитель как числителя, так и знаменателя этой дроби.

Пример 2. Возведем дробь  в 5-ю степень.

Выражение  является степенью, основание которой есть степень. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:

Для любого числа а и положительных натуральных чисел n и m выполняется равенство

Доказательство. По определению степени

т.е. при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают. Например,

Степень с целым показателем

Понятие стене ни с целым отрицательным показателем: На практике часто для краткости обозначения больших чисел пользуются степенями е основанием 10. Так, например, среднее расстояние от Солнца до Земли приближенно равно 150 000 000 км, или  км. А для краткости обозначения малых чисел пользуются степенями с основанием 10 и отрицательным показателем. Например, диаметр молекулы воды приближенно равен  см, или  см, а масса атома водорода  г и т.д. В

выражении  км запись  означает произведение шести множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи  в выражении  Чтобы выяснить это, выпишем последовательно степени с основанием 10 и целыми неотрицательными показателями:

Эту последовательность можно записать и так:

1, 10, 100, 1000, ...

Здесь каждый член последовательности меньше следующего в 10 раз. Попробуем эту последовательность продолжить влево. Тогда перед числом 

должно стоять в 10 раз меньшее число, т.е. число    а перед числом  - в 10 раз меньшее число, т.е. число  перед числом  - в 10 раз меньшее число, т.е. число  и т.д. Таким образом, мы можем записать следующую последовательность:

или  

В последовательности (1) показатель степени каждого члена на 1 меньше показателя степени следующего члена. Если придерживаться этой закономерности, то последовательность (2) будет записана в виде:

Сопоставляя последовательности (2) и (3), видим, что  равно   равно  т.д. В математике подобное соглашение принято для

степени с основанием, не равным нулю.

Определение, (-n)-й (где n - натуральное число) степенью числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Например, 
Степени с основанием 0 с отрицательным показателем не существует.

Свойства степени с целым показателем

Свойства, установленные для степени с натуральными показателями, справедливы и для степени с любым целым показателем, т.е.

для любых  и любых целых n и m справедливы равенства:

Для образца докажем свойство 1).

а)    Если m и n- целые неотрицательные числа, то справедливость этого свойства уже доказана.

б)    Если  то существует такое натуральное число k, что  Мы должны показать, что 

Действительно,

Если  то существуют такие натуральные числа  что 

Действительно,

Аналогично доказываются и другие свойства.

Пример 1. Найдем значение выражения 

Значит, 

Пример 2. Представим выражение  в виде степени с основанием 3.

Так как  то  Поэтому

Применение степени с целым показателем

Последовательность чисел, и составе которых имеются степени:

Рассмотрим множество чисел:

Подобное бесконечное множество чисел, элементы которого подчиняются определенным закономерностям и записываются в ряд, называется числовой последовательностью.

Определим закономерность, по которой записана числовая последовательность (1). Эту закономерность можно проследить из нижеследующей таблицы:

Итак, каждый член последовательности (1) записывается в виде степени числа 2. Показатель степени каждого члена последовательности на 1 меньше, чем показатель степени следующего ее члена, и показатель степени является также порядковым номером данного члена последовательности. Здесь выражение  (n-й член последовательности называется формулой общего члена или общим членом последовательности).

Иногда последовательность чисел задается формулой общего члена. При этом, подставляя вместо n числа 1, 2, 3 и т.д., мы получим 1-й, 2-й, 3-й и т.д. члены последовательности.

Пример 1. Запишем первые 4 члена последовательности, заданной

формулой общего члена: 

Решение. 

Ответ: 

Пример 2. Нужно определить закономерность, по которой записана

последовательность: 

Решение. 1) Так как  то члены последовательности записываются в виде степени с основанием, равным 3, и показатель степени на 1 меньше, чем порядковый номер этого члена последовательности .

2) Так как  то в знаменателе членов поcледовательности располагаются степени числа 2, а в числителе - нечетные числа в порядке возрастания.

Также степени числа применяются при разложении натурального числа на сумму разрядных слагаемых. Например, 

Стандартный вид числа

В науке и технике часто используют очень большие и очень малые положительные числа. Например, диаметр Солнца приблизительно равен 1392000000 м, а диаметр молекулы воды - 0,00000003 см. Чтобы кратко записывать подобные числа, используют стандартный вид числа. Число в стандартном виде записывается так:

где n - целое число. Число n называется порядком числа, а число а - его значащей частью. Например, диаметр Солнца в стандартном виде записывается так:  м, его порядок равен 9. Итак, если число записано в стандартном виде, то в его значащей части до запятой записывается только одна цифра, а остальные цифры записываются после запятой. Например, расстояние от Земли до Солнца равно  км. Это число записано в нестандартном виде, в стандартном виде его нужно записывать так:  км.

При решении задач числа после запятой округляют до 1-й, 2-й, 3-й и т.д. значащей цифры. Например, диаметр Солнца, округленный до 1-й, 2-й и 3-й значащей цифры, соответственно записывается так:

Теперь на примерах рассмотрим умножение и деление чисел, записанных в стандартном виде:

Нахождение суммы и разности чисел, заданных ы стандартном виде

Расстояние от Земли до Солнца равно 149500000 км, в стандартном виде это число записывается так:  км. А расстояние между городами Алматы и Тараз равно 500 км, т.е.  км. Если найти сумму или разность этих двух расстояний, то полученные результаты не будут иметь никакой практической ценности, так как

 км или  км. Здесь число  не может повлиять на значащую часть числа 

Итак, можно находить сумму или разность только тех чисел, которые могут повлиять на значащую часть друг друга.

Пример 1.

Абсолютная и относительная  погрешности

При записи больших и малых чисел в стандартном виде мы округляли эти числа и после запятой оставляли несколько значащих цифр. Например, в сентябре 2014 года територия Акмолинской области была равна 146219  Это число в стандартном виде записывается так:  Итак, точным значением данного сведения является  а его приближенным значением в стандартном виде  Тогда абсолютной величиной ошибки, которую мы допустили, является

Это число называется абсолютной погрешностью приближенного значения.

Определение. Модуль разности точного и приближенного значений называется абсолютной погрешностью приближенного значения.

В рассмотренном примере абсолютная погрешность 219  кажется очень большим числом. Однако ее доля в приближенном значении достаточно мала. Действительно, чтобы проверить сказанное, нужно разделить абсолютную погрешность на модуль приближенного значения:

Если полученный результат умножить на 100, то получим долю абсолютной погрешности по отношению к приближенному значению в процентах:  т.е. допущенная нами ошибка составляет всего 0,15% от приближенного значения. Здесь число 0,0015 называется относительной погрешностью приближенного значения.

Определение. Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью при ближенного значения. Чтобы получить его процентную долю, нужно результат умножить на 100.

Итак, а - точное значение,  - приближенное значение.

 - абсолютная погрешность приближенного значения;

 - относительная погрешность приближенного значения;

 - процентное выражение относительной погрешности.

Пример 2. Диаметр земного шара равен 12756000 м. Это число запишем в стандартном виде, оставляя после запятой 1, 2 и 3 значащие цифры. Для каждого приближенного значения найдем абсолютную и относительную погрешности.

Решение.  Тогда 

 - абсолютная погрешность. 

 - относительная погрешность, т.е.

абсолютная погрешность составляет  от приближенного значения.

 тогда 

 - абсолютная погрешность.  или 0,34% - относительная погрешность.

 тогда  -

абсолютная погрешность,  или 0,0313% - относительная погрешность.

При записи числа в стандартном виде выбор количества значащих цифр после запятой осуществляется в соответствии с требуемой точностью вычисления. Чем меньше относительная погрешность, тем больше точность приближения.

Одночлены

Одночлен (или моном) — простое математическое выражение, прежде всего рассматриваемое и используемое в элементарной алгебре, а именно, произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной целой степени.

Одночлен и его стандартный вид

Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней при помощи действия умножения, называются одночленами. Например,   - одночлены. Упростим одночлен  с помощью переместительного и сочетательного законов умножения:

Такой вид одночлена, где на первом месте стоит числовой множитель, а за ним - переменные и их степени, называют стандартным видом одночлена. К одночленам стандартного вида относятся и такие одночлены, как  Любой одночлен можно привести к стандартному виду.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например, коэффициентом одночлена  является числовой множитель - 6. Коэффициентами одночленов  считаются соответственно числа 1 и -1, ибо Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена. Например, степень одночлена  равна 7, а степень одночлена  равна 5. Если одночлен не содержит переменных, то его степень считают равной нулю.

 Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень

При умножении одночленов и возведении одночлена в степень используется правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Пример 1. Перемножим одночлены 

Итак, при умножении одночленов их коэффициенты перемножаются, степени с одинаковыми основаниями умножают друг на друга согласно правилу, степени с разными основаниями и другие переменные оставляют прежними. Полученные в результате множители перемножают. А при возведении в степень одночлена достаточно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Пример 2. Возвести одночлен  в четвертую степень.

Многочлены

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена.

Многочлен и его стандартным вид

Выражение  является суммой одночленов   

Такие выражения называют многочленами.

Определение 1. Сумма одночленов называется многочленом.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена. Например, членами многочлена  являются 

Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если состоит из трех членов - трехчленом. Одночлен также считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение 2. Одинаковые или отличающиеся только коэффициентами одночлены называются подобными.

Например, одночлены  подобны, а одночлены  и не подобны.

В равенстве алгебраическая сумма подобных членов заменена одним членом, тождественно равным этой сумме.

Определение 3. Замена алгебраической суммы, подобных членов одним членом, тождественно равным этой сумме, называется приведением подобных членов.

Таким образом, приведение подобных членов есть тождественное преобразование.

В многочлене  члены  являются подобными. После приведения подобных членов данный многочлен можно записать в виде  Действительно,

Определение 4. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, многочлен  является многочленом 3-й степени, а многочлен    - многочленом 5-й степени, так как в нем наибольшую степень имеет одночлен  Запишем этот многочлен в порядке убывания степеней его членов:

Данный многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член привести к стандартному виду, привести подобные члены и записать сумму в порядке убывания степеней его членов. Если в составе многочлена имеются несколько членов, не являющихся подобными, с одинаковыми степенями, то эти члены располагают в произвольном порядке.

Например, в многочлене  члены  имеют одинаковые степени, равные 3. Поэтому многочлены  и т.д. записаны в стандартном виде.

Сложение и вычитание многочленов

Сложим многочлены  Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и в полученном многочлене приведем подобные члены:

Из многочлена  вычтем многочлен  Для этого составим их разность, раскроем скобки и в полученном многочлене приведем подобные члены:

Таким образом, при сложении и вычитании многочленов получается многочлен. Из этих примеров мы получаем правила, данные ниже.

• Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс», все члены, стоящие в скобках, надо записать без скобок с их знаками.
• Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», все члены, стоящие в скобках, надо записать без скобок с противоположными знаками.

Произведение одночлена и многочлена

Многочлен (полином) - сумма одночленов, являющимися произведениями , которые состоят из числового множителя (коэффициента) и 1-ой либо нескольких букв, каждая из них взята с тем либо другим показателем степени.

Умножение одночлена на многочлен

Пусть требуется умножить одночлен  на многочлен 

Многочлен является алгебраической суммой одночленов. Поэтому, используя распределительный закон умножения и тождественное преобразование, получим:

Отсюда получаем правило, данное ниже.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример 1. Умножим одночлен  на многочлен 

Пример 2. Упростим выражение

Имеем:

Пример 3. Решим уравнение

Для этого обе части уравнения умножим на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т.е. на число 12:

Вынесение общего множителя за скобки

При решении уравнений, сокращении алгебраических дробей и решении ряда других задач бывает полезно заменить многочлен на произведение нескольких многочленов. Представить многочлен в виде произведения двух или нескольких многочленов - значит разложить многочлен на множители.

Рассмотрим многочлен  В составе каждого члена содержится множитель 3у:

Полученное выражение на основе распределительного закона умножения можно записать в виде

Получим равенство

т.е. мы разложили многочлен  на множители: одночлен 3у и многочлен  Этот способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.

Рассмотрим примеры.

Пример 4. Разложим на множители многочлен

Решение.

Примечание. В рассмотренном многочлене слагаемые имеют несколько общих множителей:  и т.д. Поэтому общий множитель, который выносится за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, оставшиеся в скобках, не имели других общих множителей. Для этого в качестве коэффициента выносимого одночлена выбирают наибольший общий делитель коэффициентов исходного многочлена, т.е. чисел 12, 18 и 30, взятых по модулю. Этот коэффициент равен 6. А из общих переменных берут ту, которая имеет наименьший показатель степени. Из  выбирают  Тогда выносимый общий множитель имеет вид: 

Пример 5. Разложим на множители выражение

Решение. Так как  то

Пример 6. Решим уравнение 

Решение. Вынесем общий множитель х за скобки, данное уравнение запишем так:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, т.е. когда  Решая уравнение  имеем:

Следовательно, произведение  обращается в нуль при  или при  т.е. уравнение имеет два корня: 0 и 0,4.

Пример 7. Докажем, что выражение  делится на 19.

Решение. 

Это произведение делится на 19.

Произведение многочленов

Правило. Чтобы найти произведение многочленов нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член 2-го многочлена, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.

Определение: многочлен стандартного вида называют многочлен, который состоит из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение: Стандартный вид одночлена — запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Умножение многочлена на многочлен

Пусть требуется перемножить многочлены:  Составим произведение этих многочленов:

Обозначим двучлен  буквой  х  и по правилу умножения одночлена на многочлен преобразуем произведение:

В выражении  подставим вместо х двучлен  и снова применим правило умножения одночлена на многочлен:

Итак, 
Мы видим, что последнее выражение получилось после того, как каждый член многочлена  умножили на каждый член многочлена  Отсюда получаем правило, данное ниже.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Нетрудно заметить, что при умножении многочлена, содержащего n членов, на многочлен, содержащий m членов, получится многочлен, содержащий  членов.

Пример 1. Упростим выражение 

Решение. Сначала надо перемножить двучлены  затем привести подобные члены.

Разложение многочлена на множители способом группировки

Разложим на множители многочлен

Мы не можем разложить этот многочлен на множители способом, указанным в пункте 2.3. (подпункт 2.3.2), так как все его члены не имеют общего множителя. В таких случаях разбивают члены многочлена на группы, имеющие общие множители:

В каждой группе вынесем общие множители за скобки:

В полученном выражении двучлен  является общим множителем, поэтому вынесем его за скобки:

Итак, 

Такой способ разложения многочлена на множители называют способом группировки.

Разложение многочлена  на множители можно выполнить, группируя его члены иначе:

Заметим, что этот же ответ можно получить, если сгруппировать слагаемые так:  Из приведенных выше примеров видим, что результат не зависит от способа группировки слагаемых.(Проверьте сказанное самостоятельно.)

Пример 2. Разложим многочлен  на множители.

Решение. Представив член  сгруппируем полученные члены так:

Пример 3. Докажите тождество (т.е. докажите, что следующее равенство верно при любых значениях х)

Решение. Для доказательства тождества проводят тождественные преобразования. При этом одну часть тождества сводят к другой части, преобразовывая только одну часть тождества, или приравнивают обе части тождества, преобразовывая их. В нашем случае мы применяем второй вариант преобразования:

Так как правые части данных равенств равны одному и тому же выражению, то они тождественно равны между собой. Значит, данное равенство - тождество.

Функция

Функция  — это математическое понятие , отражающее связь между элементами множеств . Можно сказать , что функция — это « закон », по которому каждому элементу одного множества ( называемому областьюопределения ) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества ( называемого областьюзначений ).

Примеры решения:

Пример 1. Автомобиль едет с постоянной скоростью  Требуется найти пройденный им путь  за время 

Решение. Пройденный путь определяется так: 

Здесь  поэтому пройденный путь вычисляется с помощью равенства

Отсюда видно, что по мере изменения времени ( изменяется также пройденный путь  Например, если   если  и т.д.

Пример 2. Акимат выделил населению участок земли прямоугольной формы под дачу с площадью по 6 соток  каждый. Если одно из измерений участка равно х м, то как можно найти его второе измерение у?

Решение. По формуле нахождения площади прямоугольника имеем:  Отсюда

Если здесь х и у рассматривать как переменные величины, то видим, что каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Например,

В рассмотренных примерах каждому значению одной переменной (независимой переменной) соответствует единственное значение второй переменной (зависимой переменной).

Определение. Закономерность, по которой каждому значению независимой переменной ставит в соответствие единственное значение зависимой переменной, называется функциональной зависимостью, или функцией. Здесь независимую переменную х называют аргументом, а зависимую переменную у называют функцией от аргумента х.

В общем случае, функцию у, зависящую от аргумента х, обозначают так:  Читается так: «Игрек равен эф от икс».

Итак, чтобы функция была заданной, необходимо, чтобы:

1) была известна закономерность, которая устанавливает данную функциональную зависимость между переменными;

2) было известно множество допустимых значений аргумента. Это множество называется областью определения функции.

Например, функции  -разные функции, т.к. их области определения разные. Во многих случаях области определения функции специально не выделяются. В таких случаях в качестве области определения данной функции принято считать множество всех допустимых значений аргумента х, при которых выражение  имеет смысл.

Пример 3. Область определения функции  определяется неравенством  т.к. необходимо, чтобы 

 - область определения этой функции.

Пример 4. Найти область значений функции  Множество всех значений функции  называется областью значений этой функции.

Решение.  Итак,  - область значений данной функции.

Пример 5. При каком значении аргумента х значение функции

 равно 6?

Решение. Необходимо, чтобы 

Во всех рассмотренных примерах функциональные зависимости были заданы с помощью формул (выражений). В этом случае говорят, что функция задана аналитическим способом. Кроме того функции могут быть заданы табличными или графическими способами.

Таблица значений функции и ее график

В повседневной жизни, в науке и технике мы часто используем сведения, записанные в виде таблицы.

Пример 1. В течение суток измерили температуру  воздуха с интервалом в 2 ч и результаты измерения записали в таблицу зависимости от времени t измерения:

В этой таблице каждому значению времени t соответствует единственное значение Т температуры воздуха. Тогда температуру Т можно рассматривать как функцию, зависящую от времени t. Итак, здесь функция Т  задана табличным способом. Например, по этой таблице имеем:  В таких случаях говорят, что функция задана табличным способом.

Каждую пару чисел, расположенную на одном столбце таблицы, можно рассматривать как координаты точки. А именно, верхнее число - как абсциссу точки, а нижнее - как ординату этой точки. Тогда по данной таблице полученные точки отмечены на плоскости так, как показано на рис 3.1.

Если в таблице были бы сведения о температуре воздуха, измеренные через каждый час, то точки, обозначенные на рис. 3.1, расположились бы в 2 раза чаще. Если соединить эти точки сплошной линией, то получим график изменения температуры воздуха за сутки (рис. 3.2).

В таких случаях говорят, что функция задана табличным способом.

Определение. Графиком функции называется множество точек плоскости, в которых абсцисса равна аргументу функции, а ордината равна соответствующему значению этой функции.

Итак» график функции  - это множество точек плоскости вида: 

Чтобы нарисовать график функции, на практике выбирают несколько значений аргумента и составляют таблицу с помощью соответствующих значений функции. Полученные по таблице точки отмечают на плоскости  и эти точки плавно и последовательно соединяют сплошной линией. Чем чаще расположены эти точки, тем точнее строится график функции.

Пример 2. Построить график функции 

Решение. Областью определения функции является промежуток [0; 5]. В атом промежутке составим таблицу значений функции:

Найденные точки отметим на координатной плоскости 0ху и плавно соединим их сплошной линией. Получим график данной функции (рис. 3.3).

Линейная функция и ее график

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Функция прямой пропорциональности

В магазине за х кг муки по цене 260 тг за 1 кг нужно заплатить у тг:  тг.

Аналогично, из 20-литровой канистры отлили х л бензина. Масса 1 литра бензина равна 0,9 кг. Тогда у - масса отлитого бензина определяется так:  кг.

В каждом из этих примеров мы использовали функцию вида:

Эту функцию называют функцией прямой пропорциональности. Здесь k - заданное постоянное число, его называют коэффициентом прямой пропорциональности. Т.к. выражение kх определено при любом значении аргумента х, то областью определения этой функции является вея числовая ось. Построим график прямой пропорциональности.

Пример 1. Построить график функции 

Решение. Построим таблицу значений этой функции и в результате полученные точки отметим на координатной плоскости {рис. 3.8).

Видно, что эти точки лежат на одной прямой (рис. 8.8).

Пример 2. Построить график функции 

Решение. Соcтавим таблицу.    

Эти точки также лежат на одной прямой (рис. 3.9).

Из этих примеров вытекают следующие свойства функции прямой пропорциональности и ее графика:

1) Различные соответствующие значения переменных х и у пропорциональны, т.е. если  то верно равенство:

Поэтому k называется коэффициентом пропорциональности. Его также называют угловым коэффициентом соответствующей прямой. Т.к. в старших классах будет показана связь к с углом, образованным графиком прямой пропорциональности с положительным направлением оси абсцисс.

2) Графиком функции  является прямая, проходящая через начало координат:

если  то прямая расположена в I и III координатных четвертях (рис, 3.8);

если  то прямая расположена в II и IV координатных четвертях (рис, 3.9);

♦    если  то прямая  совпадает с осью  т.е. уравнением прямой, проходящей через ось  является уравнение 

На рис. 3.10 даны графики прямой пропорциональности при различных значениях k.

Линейная функции и ее график:

Пример 3. Из канистры, в котором содержится 20 л бензина, отлили х литров. Найти массу у оставшегося в канистре бензина, если масса 1 л бензина равна 0,9 кг.

Решение. Масса 20 л бензина равна  а масса отлитого бензина -  кг. Тогда масса оставшегося в канистре бензина такова: 

Итак, в результате мы получим функцию вида  Эту функцию называют линейной функцией. Здесь k и b - заданные постоянные. k - называется угловым коэффициентом, b - свободным членом линейной функции.

Пример 4. Построить график функции 

Решение. Для этого составим таблицу значений этой функции:

В результате, соединив полученные точки, получим график линейной функции  (рис. 3.11). Графиком этой функции является прямая. Поэтому для того чтобы построить график линейной функции, достаточно найти координаты двух точек, лежащих на этой прямой, и соединить их линейкой.

Если в линейной функции  предположить, что b Это значит, что график линейной функции пересекает ось  в точке (0; b).

Пример 5. Построить график функции 

Решение. График функции проходит через точку (0; 3). Достаточно определить координаты еще одной точки, лежащей на этой прямой. Предположив, что х = 3, получим:  т.е прямая проходит через точку (3; 1) (рис. 3.12).

Пример 6. По графику, изображенному на рис.3.13, написать уравнение этой прямой.

Решение. Прямая проходит через точки А(0; 2) и В(4; 0). Поэтому имеем: b. Отсюда   т.е данная прямая задается уравнением 

Координаты точек, лежащих на данной прямой, удовлетворяют ее уравнению, а координаты точек, не лежащих на этой прямой, не удовлетворяют ее уравнению. Например, на рис. 3.13 точка С (2; 1) лежит на прямой  т.к. при  имеем:   т.е получим тождество.

А для точки D (3; 2) имеем неравенство  т.е. координата точки D не удовлетворяет уравнению данной прямой.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Пример 1. Покажем, что графики линейных функций 

 не пересекаются.

Решение. Решим методом от противного. Пусть данные прямые пересекаются в точке С (а; b). Тогда координаты точки С удовлетворяют уравнениям обеих прямых, т.е. верны тождества Отсюда имеем:   А это невозможно. Поэтому данные две прямые не имеют общих точек. Этот же вывод можно получить, если построить графики этих функций (рис. 3.15). На плоскости прямые, которые не пересекаются, параллельны.

Прямые, заданные линейными функциями с равными угловыми коэффициентами, параллельны.

Пример 2. Покажем, что прямые   пересекаются.

Решение. Действительно, если эти прямые имеют общую точку, то в этой точке должно

быть 

Отсюда,  Поэтому  т.е. данные прямые пересекаются в точке С (2; 0) (рис. 3.16).

Прямые, заданные линейными функциями с разными угловыми коэффициентами, пересекаются.

Пример 3. Построим графики линейных функций   и с помощью транспортира измерим угол между ними (рис. 3.17).

Величина этого угла равна  Аналогично, угол между графиками линейных функций  и  также равен  (рис. 3.18).

Если прямые  перпендикулярны, то верно равенство  Это и есть условие перпендикулярности прямых.

Расположение прямых относительно осей координат

Мы изучили особенности расположения графика прямой пропорциональности. А именно, если  то угол, образованный графиком прямой пропорциональности с положительным направлением оси абсцисс острый, а если  то этот угол тупой. Например, на рис. 3.19 изображены графики функций  С другой стороны, прямая пропорциональность  является частным случаем линейной функции  эти две прямые параллельны.

Поэтому углы, которые они образуют с положительным направлением оси Ох, также одинаковы. Тогда особенности расположения графика линейной функции относительно осей координат в зависимости от знаков k и b можно посмотреть в следующей таблице:

Решение системы линейных уравнений графическим методом

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

График линейного уравнения с двумя переменными

Пример 1. Стоимость товара, купленного в магазине, равна 4680 тг. Покупатель дал за товар 5000 тг. Кассирша вернула сдачу монетами достоинством 20 тг и 50 тг. Какое может быть количество каждой из монет?    

Решение. Пусть кассирша вернула m монет по 20 тг и n монет по 50 тг. Тогда должно быть верно равенство  Сократив это уравнение на 10, получим уравнение с двумя неизвестными m и n:

Каждое решение этого уравнения, которое является натуральным числом, даст нам ответ на вопрос: «Сколько монет по 20 тг и по 50 тг вернула кассирша?» Подобные уравнения называются линейными уравнениями е двумя переменными.

Определение. Уравнение вида ах +bу = с называется линейным уравнением с двумя переменными. Здесь х и у - переменные, а, b -коэффициенты, свободный член с - заданные числа.

Если для чисел р и q выполняется числовое тождество  то числа р и q называются решениями линейного уравнения ах + bу = с или говорят, что график этого уравнения проходит через точку Р(р; q). Здесь графиком линейного уравнения называется множество точек (x, у) плоскости, являющиеся решением этого уравнения. Например, числа p = 6 и n=4 являются решениями уравнения  т.е. кассирша могла вернуть 6 монет по 20 тг и 4 монеты по 50 тг.

Пример 2. Построим график линейного уравнения 

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

т.е. получим линейную функцию. Ее графиком и тем самым графиком линейного уравнения будет прямая (рис. 3.24).

Итак, если  то графиком уравнения  является прямая с угловым коэффициентом 

Теперь отдельно рассмотрим случай, когда b = 0. Какой будет график уравнения  Из этого уравнения получим, что х = 3, т.е. имеем, что все точки, лежащие на данной прямой, имеют абсциссу, равную 3, а их ординатой является произвольное число. Множество этих точек образует прямую, пересекающую ось Ох в точке (3; 0) параллельно оси Oу (рис. 3.25). Итак, если b = 0, то графиком уравнения является прямая, параллельная оси Oу. Подобные линейные уравнения не определяют функцию, т.к. нарушается однозначность соответствия х и у.

 

Решение системы линейных уравнении графическим методом:

Пример 3. Десятичная цифра двузначного числа на 4 меньше, чем его единичная цифра, а их сумма равна 10. Найти это двузначное число.

Решение. Пусть х будет единичной цифрой, а у -десятичной цифрой искомого числа. Тогда по условию задачи имеем:  Чтобы найти х и у, запишем эти уравнения в виде системы

 

Каждое уравнение этой системы является линейным уравнением, их графики будут прямыми, которые пересекаются в точке С (7; 3) {рис. 3.26).

Тогда числа х = 7 и у = 3 являются единственными решениями системы. Ответ: 37.

Показанный способ решения системы называется графическим методом.

Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнении.

Пример 4. Решим систему уравнений графическим методом.

Решение. Построим графики каждого уравнения системы (рис. 3.27). Эти прямые пересекаются в точке (1; 2). Ответ: х = 1, у = 2.
Пример 5.  Решим систему уравнений

Решение. Соответствующие коэффициенты каждого из уравнений пропорциональны между собой и коэффициент пропорциональности не равен отношению свободных членов: Тогда угловые коэффициенты этих прямых равны  Поэтому данные прямые параллельны (рис. 3.28), т.е. прямые не имеют общих точек и система не имеет решения. Этот факт записывают с помощью знака пустого множества 
Ответ: 

Пример 6. Решим систему уравнений 

Решение. Все соответствующие коэффициенты и свободные члены уравнений данной системы пропорциональны между собой:

Поэтому прямые, определяемые уравнениями этой системы, совпадают, т.к., сократив 2-е уравнение системы на 3, получим ее 1-е уравнение. График этой прямой изображен на рис. 3.29. Координаты каждой точки этой прямой являются решениями каждого уравнения системы. В таких случаях говорят, что система уравнений имеет бесконечное множество решений. Каждое из этих решений определяется уравнением 
Итак, если для системы
 верно:
1) неравенство  Что эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое является координатами точки пересечения графиков, соответствующих уравнений; 

2)  то система уравнений не имеет решения;

3)  то система уравнений имеет бесконечно много решений.

Графики функции и их свойства

Графики функции  и их свойства:

Выражения вида  и т.д. относятся к числу простейших одночленов. Здесь а - заданное число, а х - независимая переменная. В этом параграфе мы рассмотрим функции вида  и построим их графики.

Функции  и ее график: Зависимость площади квадрата от его стороны и зависимость объема куба от его ребра являются примерами функций 

Сначала построим график функции  Составим таблицу значений х и у:

На координатной плоскости построим точки (рис. 3.32), координаты которых указаны в таблице. Через отмеченные точки проведем плавную линию {рис.3.33). Получим график функции  Ясно, что этот график неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси Оу. График функции  называют параболой.

Если х=0, то у=0. Следовательно, график функции  проходит через начало координат.

Если    то  (как квадрат ненулевого числа). Поэтому график функции  кроме точки (0; 0), расположен выше оси абсцисс.

Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у. Действительно, при любом х имеем  Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси Оу.

Функция  и ее график:

Теперь построим график функции  Составим таблицу значений х и у:

Построим точки, координаты которых указаны в таблице, и через них проведем плавную линию (рис. 3.34). Этот график неограниченно продолжается справа от оси Оу вверх и слева от оси Оу вниз.

Если х=0, то у=0. Поэтому график функции  проходит через начало координат.

Если х>0, то у>0; если х<0, то у<0. В самом деле, куб положительного числа есть положительное число, а куб отрицательного числа есть отрицательное число. Значит, график функции  расположен в I и III координатных четвертях.

Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у. Действительно, при любом значении х верно равенство    Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат. График функции называют кубической параболой. 

Графики функций : Сначала исследуем функцию  и построим ее график.

Если а=1, то получим функцию  Теперь мы знаем ее основные свойства и умеем строить параболу - график этой функции. Далее возможны следующие случаи:  Рассмотрим каждый из этих случаев.

а) Пусть Например, рассмотрим функцию  и сравним ее с функцией  Для этого составим таблицу значений х и у для каждой из указанных функций:

Из таблицы видно, что при одном и том же значении аргумента х значение функции  в два раза больше значения функции  Отсюда следует, что график функции  можно получить так: построить график функции  и удвоить ординату каждой его точки (рис.3.39), т.е. нужно растянуть график функции  вдоль оси Оу в 2 раза.

Вообще, при  и для каждого значения х значение функции   раз больше значения функции  Следовательно, график функции  получается «растяжением» графика функции  вдоль оси Оу в а раз.

б) Пусть  При одном и том же значении аргумента х значение функции  раз меньше значения функции  Например, при  при одном и том же значении х значение функции  меньше значения функции  (применили формулу ) (рис.3.40),
т.е. чтобы получить график функции  нужно ординату графика функции  уменьшить в 2 раза.

в) Пусть  Например, рассмотрим функцию  Нетрудно заметить, что при одном и том же значении аргумента х модули значений функций  равны, а их знаки противоположны. Это значит, что точки графика функции  с одной и той же абсциссой расположены симметрично относительно оси Ох (рис.3.41), т.е. графики функций  симметричны относительно оси абсцисс.

Вообще, при  график функции  можно получить из основной формулы параболы  так: умножить ординаты точек параболы  а затем зеркально отразить полученную параболу относительно оси абсцисс.

Например, на рисунке 3.41 изображено несколько парабол  при различных значениях а. Мы видим, что при  параболы «выпуклые» вниз, т.е. ветви парабол обращены вверх, а при  - соответствующие параболы «выпуклые» вверх, т.е. ветви парабол обращены вниз.

Так же строится график функции  в сравнении с графиком функции 

а) Пусть  При одном и том же значении аргумента х график функции  получается «растяжением» графика функции  от оси Ох в а раз.

б) Пусть  При одном и том же значении аргумента х график функции  получается «сжатием» графика функции  к оси Ох в  раза. Например, на рисунке 3.42 изображены графики функций 

Таким образом, при  график функции  расположен в I и III координатных четвертях.

в) Пусть   Тогда нетрудно заметить, что графики функций  асимметричны относительно

оси Ох, т.е. при  график функции  можно получить, зеркально отобразив график функции  относительно оси Ох.

Например, на рисунке 3.43 изображены графики функций 

При  график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

Функция  и ее график:

Определение. Функция вида  называется обратной пропорциональностью. Здесь х - независимая переменная, k - заданное число, называемое коэффициентом обратной пропорциональности.

Областью определения функции  являются все числа, за исключением  так как выражение  имеет смысл при всех 

Например, пусть  Чтобы нарисовать график функции  составим таблицу значений аргумента и функции.

В координатной плоскости отметим точки, координаты которых помещены в таблице, и соединим эти точки плавной линией (рисунок 3.44). Из таблицы видно, что отрицательным значениям аргумента соответствуют отрицательные значения функции, а положительным значениям аргумента - положительные значения функции. Вместе с тем, видно, что по мере удаления аргумента x : от начала координат соответствующие значения функции приближаются (прижимаются) к оcи абсцисс.

А если х приближается к нулю слева, то соответствующие значения функции неограниченно убывают, приближаясь к оси ординат; если х приближается к нулю cправа, то соответствующие значения  функции неограниченно растут, все более «прижимаясь» к оси Oу. Например, если  Также, если х=1000, то у=0,004, а если х=0,001, то у=4000.

Таким образом, при  график функции  расположен в I и III четвертях координатной плоскости.

Пусть  Составим таблицу значений аргумента и функции для  функций 

На рисунке 3.45 изображены графики функций  построенные по точкам, указанным в таблице. Отсюда видно, что чем меньше значения k, тем более «прижаты» графики функций  к осям координат, а чем больше значения k, тем они менее «прижаты» к осям координат (рис. 3.45).

Пусть  Например, рассмотрим функцию  Нетрудно заметить, что при одном и том же значении аргумента х модули значений функций  равны, а их знаки противоположны. Это значит, что точки графиков функций  с одной и той же абсциссой расположены симметрично относительно оси Ох (рис. 3.46).    

Вообще, при  график функции  можно получить, зеркально отобразив график функции относительно оси абсцисс.

График функции вида  называют гиперболой.

Элементы статистики

Статистика — это раздел математики в котором изучаются вопросы сбора, измерения и анализа информации, представленной в числовой форме. Происходит слово статистика от латинского слова status (состояние или положение дел).

Генеральная совокупность и выборка

С элементами статистики вы знакомы с младших классов. Вспомним это.

Статистика - это отрасль науки, которая занимается сбором данных об однородной совокупности объектов, характеризующихся какими-либо общими свойствами, признаками, обработкой и анализом этих данных и разъяснениями полученных результатов.

Пусть требуется провести статистические исследования некоторых однородных объектов, имеющих какие-то общие числовые характеристики. Множество таких объектов называется генеральной совокупностью. В отдельных случаях проводят исследование каждого элемента генеральной совокупности. Например, если нужно изучить успеваемость по математике учеников 7 класса вашей школы за II четверть, то нужно изучить успеваемость каждого ученика. Также при проведении переписи населения изучается каждый житель страны. А во многих случаях изучение элементов генеральной совокупности бывает невозможным. Например, пусть требуется изучить процент всхожести семян, посеянных на определенном участке земли. Здесь невозможно проверить всхожесть всех посеянных семян на этом участке. В таких случаях фермеры поступают так: из данного участка (генеральная совокупность) произвольно выбирают участок земли площадью  На этом участке земли проверяют всхожесть семян (ее называют выборкой) и полученные результаты принимают за свойство, присущее всему участку.

Случайно отобранная часть генеральной совокупности называется случайной выборкой (или просто выборкой).

Пример 1. Менеджер обувной фабрики провел опрос о размере обуви 50 мальчиков из 7 класса и получил следующие результаты: 38, 86, 36, 37,34, 40, 39, 35, 35, 37, 37, 38, 89, 38, 38, 37, 40, 38, 87, 36, 37, 88, 87, 38, 34, 33, 39, 39, 34, 40, 35, 38, 37, 36, 39, 36, 40, 40, 35, 33, 39, 34, 36, 37, 38, 38, 36, 37, 35, 39.

Эти данные представляют собой случайную выборку, а генеральной совокупностью являются размеры обуви всех мальчиков из 7 класса страны. n = 50 - объем выборки, это количество элементов выборки; 83 - наименьшее значение выборки;  - наибольшее значение выборки;  размах выборки.

Эти данные трудно изучать в том виде, в котором они записаны. Поэтому их обрабатывают следующим образом. Сначала определяют, сколько и  какие различные виды данных содержится в соcтаве данной выборки и их записывают в порядке возрастания (или убывания): 33, 84, 35, 36, 87, 38, 39, 40. Выписанные таким образом данные называются вариационным рядом, а каждый элемент этого вариационного ряда называется вариантой.

Теперь определяют, сколько раз встречается каждая варианта в составе выборки. Для этого производят подсчет так, как показано в таблице:

Из этой таблицы видно, что варианта  встречается 2 раза, 35-5 раз,  37 - 10 раз. Эти числа называются абсолютной частотой (просто частотой) соответствующей варианты. Сумма всех абсолютных частот равна объему выборки:  2 + 44-5 + 7 + 10+10 + + 7 + 5 = 50.

Если поделить абсолютную частоту варианты на объем выборки, то полученное число называется относительной частотой этой варианты. Например, абсолютной частотой варианты является  тогда ее относительной частотой является  Сумма всех относительных частот равна 1:

С помощью абсолютных частот можно составить таблицу, которую называют таблицей абсолютных частот вариационного ряда:

Аналогично составляется таблица относительных частот вариационного ряда:

По таблице абсолютных частот легко найти моду и медиану выборки. В данном примере в качестве моды берем 2 значения варианты: 37 и 38, а медианой является значение  37. Арифметическое среднее значение выборки обозначается через  . Для того чтобы найти  каждую варианту умножают на ее абсолютную частоту и их сумму делят на объем выборки:

Полигон частот и относительных частот

В предыдущей теме вы научились записывать статистические данные в виде таблицы вариационного ряда абсолютных или относительных частот. Теперь представим эти данные в виде графика. Для этого варианта отметим на оси абсцисс, а соответствующие частоты (относительные частоты) - на оси ординат. На координатной плоскости отметим эти точки и последовательно соединим эти точки отрезками прямых. Полученная фигура называется полигоном абсолютных (относительных) частот. Иногда ее называют многоугольником абсолютных (относительных) частот.

По вариационному ряду абсолютных частот, полученному в примере 1 из предыдущей темы, построим полигон частот. Эта таблица имеет вид:

Таблица относительных частот имеет вид:

Иногда относительные частоты записывают в виде  процента. Тогда для данного примера таблица относительных частот в процентах имеет вид:

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Квадрат суммы двух выражении

Умножение многочлена на многочлен в некоторых случаях удается выполнить короче. Равенства, выражающие эти частные случаи умножения, называются формулами сокращенного умножения.

Возведем в квадрат сумму двух выражений 

Значит,

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы двух выражений. Отсюда получим правило, данное ниже.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений и плюс квадрат второго выражения.

Квадрат разности двух выражений

Теперь возведем в квадрат разность двух выражений 

Значит,

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений и плюс квадрат второго выражения.

Пример 1.

Пример 2. Упростим выражение 

С помощью формул (1) и (2) удобно вычислять квадраты чисел, отличающихся от «круглого» числа на несколько единиц.

Пример 3.

Формулы (1) и (2) часто используются в виде:

В этом виде формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений находят применение при разложении многочлена на множители.

Пример 4. Разложим на множители многочлены:

Решение.

Объединяя формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений, их часто записывают в виде:

Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножим разность а-b на сумму а+b:

Значит,

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Пример 1. 

Пример 2. Упростим выражение 

Разложение разности квадратов двух выражений на множители

Формула (3) часто находит применение в виде:

Тождество (4) часто называют формулой разложения разности квадратов на множители.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Пример 3. 

Пример 4. Разложим многочлен  на множители.

Сумма и разность кубов двух выражений

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполных квадрат их суммы.

Разложение на множители суммы кубов двух выражений

Для разложения на множители суммы кубов используется формула

Докажем справедливость тождества (5). Применяя правило умножения многочлена на многочлен, получим:

Тождество (5) называется формулой суммы кубов двух выражений

Множитель   в правой части формулы (5) напоминает трехчлен  который равен квадрату разности а и b, но отличается от этого трехчлена лишь коэффициентом при аb. Поэтому множитель  называют неполным квадратом разности а и b. Получим правило, данное ниже.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Пример 1. Разложим на множители многочлен 

Разложение на множители разности кубов двух выражений

Для разложения на множители разности кубов используется формула

Действительно,

Тождество (6) называется формулой разности кубов двух выражений. Множитель  называют неполным квадратом суммы а и b, так как коэффициент при аb равен 1, а не 2. Получим правило, данное ниже.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен 

Куб суммы и куб разности двух выражений

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения. Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить.

Куб суммы двух выражений

Возведем в куб сумму а и b.

Значит,

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, плюс куб второго выражения.

Пример 1.

Пример 2. Разложим на множители многочлен

Куб разности двух выражений

Возведем в куб разность а и b.

Значит,

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, минус куб второго выражения.

Пример 3. 

Тождества (7) и (8) называются соответственно формулами, куба суммы и куба разности двух выражений.

Преобразование целых выражений

Основными преобразованиями целых выражений является представление в виде многочлена и разложение на множители. Чаще всего при этом используются формулы сокращенного умножения.

Преобразование целого выражения и многочлен

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и возведения в степень, называются целыми выражениями. К целым относятся и выражения, в которых, кроме указанных действий, используетcя деление на число, отличное от нуля. Например,

 - целые выражения.

Выражение 

не является целым, так как в нем используется деление на выражение с переменными.

Каждое целое выражение можно представить в виде многочлена. Покажем это на примере.

Пример 1. Представим в виде многочлена целое выражение 

Решение:

Различные способы преобразований для разложении многочлена на множители

Для разложения многочлена на множители мы рассматривали различные способы: вынесение общего множителя за скобки, группировка членов многочлена, применение формул сокращенного умножения. Иногда указанные способы разложения многочлена на множители применяются несколько раз. Целесообразно начинать преобразование, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 2.

Формулы сокращенного умножения и другие способы преобразования целых выражений применяются и в других задачах.

Пример 3. Докажем, что выражение  при любом х принимает только положительное значение.

Доказательство. Учитывая, что 7=4+3, в данном многочлене можно воспользоваться формулой квадрата разности двух выражений:

Так как  неотрицательно при любом х и  то 

Пример 4. Докажем, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел кратна 8.

Доказательство. Нечетные последовательные числа записываются в виде:  любое натуральное число. Тогда

Это число при любом натуральном  делится на 8.

Решение текстовых задач с помощью составления их математических моделей

При решении многих задач вводят одну, две или несколько переменных и с их помощью составляют уравнения, неравенства или их системы. Здесь составленные с помощью введенных переменных уравнения, неравенства и их системы называются математической моделью задачи. Рассмотрим модели.

Пример 1. Стоимость 4 кг яблок и стоимость 3 кг груш одинаковые. Если цена 1 кг яблок повысится на 50 тг, а цена 1 кг груш понизится на 50 тг, то их цены станут равными. Найдите первоначальную цену каждого фрукта.

Решение. Для решения подобных текстовых задач вводят переменные. Как правило, в качестве таких переменных обозначают искомые неизвестные величины. Итак, пусть 1 кг яблок стоит х тг, а 1 кг груш - у тг.

Следующий шаг. Используя введенные переменные х и у, составляем уравнения по условию задачи. По условию задачи стоимость 4 кг яблок и стоимость 3 кг груш одинаковые, т.е.  С другой стороны, если цена 1 кг яблок повысится на 50 тг, а цена 1 кг груш понизится на 50 тг, то их цены станут равными, т.е.  Значения переменных должны удовлетворять полученным обоим уравнениям. Тогда мы получим систему уравнений

Итак, в результате мы получили алгебраическую систему уравнений (математическую модель).

Теперь решим эту систему, используя метод подстановки. Тогда 

На этом этапе мы получили ответ математической модели: х = 300, у = 400.

На последнем этапе с помощью полученных ответов мы должны ответить на вопросы, поставленные в исходной задаче. Так как буквой х мы обозначили цену 1 кг яблок, а буквой у - цену 1 кг груш, то цена 1 кг яблок составляет 300 тг, а цена 1 кг груш - 400 тг.

Ответ: 1кг яблок стоит 300 тг, а 1 кг груш - 400 тг.

Отсюда видно, что решение этой задачи мы разделили на 3 этапа, данные ниже.

I. Ввели переменные величины и с их помощью по условию задачи составили системы уравнений, т.е. составили математическую модель задачи.

II.    Решили математическую задачу и нашли ее ответ.

III.    Использовали полученные ответы для того, чтобы ответить на вопросы, поставленные в исходной задаче. Таким образом, мы получили следующую схему решения текстовых задач:

Пример 2. Нужно составить текстовую задачу, которая решается с помощью математической модели 

Решение. Составление текстовых задач по заданному уравнению -очень интересная и сложная задача. Все зависит от фантазии учащегося. Сколько учеников в классе и столько различных текстовых задач может быть составлено. Пример одной из подобных задач: «Самат собрал 22 яблока, а Ажар - 34 яблока. Ажар дала Самату несколько яблок, и у них количество яблок стало поровну. Сколько яблок дала Ажар Самату?» Разумеется, решив данное уравнение, мы получим ответ на поставленный вопрос. Здесь через х обозначено количество яблок, которое дала Ажар Самату. Ответ: х= 6, т.е. Самат дал Ажар 6 яблок.

Пример 3. Двузначное число в 3 раза больше, чем сумма его цифр. Найдем это число.

Решение. Пусть m - десятичный разряд, n- единичный разряд искомого числа. Тогда по условию задачи имеем:причем  m и n- целые числа, принимающие значения между нулем и девятью. Раскрыв скобки и собирая подобные члены, получим уравнение

где  - область определения полученной прямой пропорциональности. Из этого уравнения имеем, что число n должно делиться на 7, а m - на 2. Так как из области определения 7 является единственным значением, которое делится на 7, то необходимо, чтобы n = 7. Тогда и m = 2. Ответ: 27.

Рациональные выражения

Основными преобразованиями целых выражений является представление в виде многочлена и разложение на множители. Чаще всего при этом используются формулы сокращенного умножения.

Преобразование рациональных выражений

В предыдущих главах мы рассматривали выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и возведения в степень. Такие выражения мы называли целыми выражениями.

Например,   - целые выражения. А выражения  составили из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления. В каждом из них имеется деление на выражения, содержащие переменные. Такие выражения называются дробными выражениями. Целые дробные выражения называются рациональными выражениями.

Мы знаем, что каждое целое выражение всегда может быть представлено в виде многочлена. Целые выражения имеют смысл при любых значениях переменных, входящих в состав этого выражения, ибо действия сложения, вычитания и умножения имеют смысл при любых значениях переменных. А дробные выражения при некоторых значениях переменных, входящих в их состав, могут не иметь смысла. Например, выражение  не имеет смысла при а=0, а при всех других значениях переменной а это выражение имеет смысл. Выражение  имеет смысл при  Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных этого выражения.

Выражение  вида — называют рациональной дробью, где а,b - рациональные выражения, причем b обязательно содержит переменные.

Например,  рациональные дроби.

Сокращение рациональных дробей

Мы хорошо знаем, что для натуральных чисел а, b и с выполняется тождество

Это основное свойство рациональных дробей также справедливо и для рациональных выражений.

Для всех рациональных выражений a, b и с, для которых  выполняется тождество:

Докажем тождество (1). Пусть  Тогда имеем:  Отсюда Так как  то из равенства  по определению частного получим равенство  Следовательно,  Это доказанное тождество называют основным свойством рациональных дробей.

Определение. Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, входящих в его состав, называют тождеством. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием.

Тождество (1) позволяет заменить дробь  на тождественное ему выражение  т.е. на основании этой формулы мы можем сократить дробь  на множитель с.

Пример1. Сократим дроби: 

Пример 2. Знаменатель дроби  приведем к виду 

Так как 

Рассмотрим еще одно свойство дроби.

Если изменить знак числителя (или знаменателя) дроби, то изменится знак и самой дроби:

т.е. при изменении знака дроби нужно изменить знак числителя (или знаменателя) этой дроби.

Пример 3. Сократим дробь  

Сумма и разность рациональных выражений

Рациональные выражения - это целые и дробные выражения, состоящие из чисел и букв, соединенные между собой знаками алгебраических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Сумма и разность дробен с одинаковыми знаменателями

Как мы знаем, при сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются их числители, а знаменатель остается без изменения:  

Дробные выражения с одинаковыми знаменателями складываются так же:

Докажем тождество (1).  Пусть Тогда 

Отсюда  Так как  то по определению частного имеем 

С другой стороны,  Следовательно, 

Аналогично для любых двух дробных выражений  с одинаковыми знаменателями верно тождество

Действительно,

Получим правила, данные ниже.

Чтобы сложить дробные выражения е одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и результат разделить на знаменатель, оставшийся без изменения.

Чтобы найти разность дробных выражений с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть из числителя первого выражения числитель второго выражения и результат разделить на знаменатель, оставшийся без изменения.

Пример 1. Сложим дроби  

Пример 2 . Вычтем из дроби 

Сумма и разность дробей с разными знаменателями

При сложении дробей с разными знаменателями сначала приводят их к общему знаменателю, а затем складывают по формуле (1). Аналогично складывают и дробные выражения.

Чтобы сложить дробные выражения с разными знаменателями, их знаменатели приводят к общему знаменателю, затем складывают их, как складывали дробные выражения с одинаковыми знаменателями:

Доказательство тождества (3). Так как  то по основному свойству дробных выражений имеем:

Аналогично находится и разность дробных выражений.

Чтобы найти разность дробных выражений с разными знаменателями, нужно привести их знаменатели к общему знаменателю, а затем найти их разность как разность дробных выражений с одинаковыми знаменателями:

Пример 3. Найдем сумму дробей 

Знаменатели этих дробей приведем к виду  Тогда:

Пример 4. Найдем разность дробей 

Пример 5. Упростим выражение 

Умножение н деление рациональных выражений

Деление дробного выражение выполняются по формуле: т.е. чтобы разделить одно дробное выражение на другое, нужно умножить первую дробь на обратную величину второй дроби (на дробь, обратную второй дроби).

Умножение дробей

Произведение дробных выражений 

находят по формуле

Действительно, пусть  Отсюда имеем:    Так как и тем самым  по определению частного имеем 

С другой стороны  т.е. верна формула (1). Получим правило, Ь п

данное ниже.

Чтобы перемножить дробные выражения, нужно перемножить отдельно их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

Пример 1. Перемножим дробные выражения 

Пример 2. Умножим дробь  на дробь 

Пример 3. Умножим дробь   на двучлен 

Деление дробей

Деление дробного выражения   на дробное выражение   выполняют по формуле

Получим правило, данное ниже.

Чтобы разделить одно дробное выражение на другое, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Пример 4. Разделим дробь  на дробь 

Пример 5. Разделим дробь  на двучлен 

Тождественное преобразование рациональных выражении

Тождественное преобразование каждого рационального выражения сводится к выполнению действий сложения, вычитания, умножения и деления дробных выражений. Так как в результате указанных действий мы получаем дробное выражение, числитель и знаменатель которого есть многочлены, то любое рациональное выражение также можно представить в виде дроби, числитель и знаменатель которой есть многочлены. Если при этом нужно выполнить несколько преобразований, то предварительно следует определить порядок их выполнения.

Пример 1. Преобразуем выражение  в дробь.

Решение. Сначала выполним действие умножения, а затем полученное произведение вычтем из двучлена

Значит, 

Пример 2. Упростим выражение 

8 класс

Квадратные корни и иррациональные выражения

Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной . Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

Рациональные числа

Рациональные числа, то есть числа представимые в виде  где можно записывать в виде конечных десятичных дробей или бесконечных периодических десятичных дробен. Например:

Теорема. Если знаменатель п несократимой дроби  не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, то дробь записывается в виде конечной десятичной дроби.

Доказательство. Пусть где Тогда

где - целое число. Случай, когда рассмотрите самостоятельно.

Например: 

Если знаменатель несократимой дроби имеет делителем простое число, отличное от 2 и 5, то такая дробь представима в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Убедитесь в этом самостоятельно на примерах чисел

Конечную десятичную дробь или целое число также можно считать бесконечной периодической десятичной дробью, приписав справа в качестве периода число 0, например, 3,5 = 3,500..., -7 = = -7.00....

Таким образом, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Верно и обратное утверждение: любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби.

Например, чтобы записать число 0,42(7) в виде обыкновенной дроби, обозначим его через х и умножим обе части равенства х = 0,42(7) на такую степень числа 10, чтобы после запятой оставались лишь цифры периода. Получим:

Тогда откуда 

Иррациональные и действительные числа

Как известно, длины отрезков выражаются положительными числами. Для того, чтобы сравнить два отрезка, их длины измеряют общей мерой. За общую меру двух отрезков принимается такой отрезок, который укладывается целое число раз в каждом из них.

Например, на рисунке 7 отрезок, равный е, укладывается в отрезке АВ шесть раз, а в отрезке CD - пять раз, тогда отношение  Если общая мера е укладывается в одном отрезке m раз, а в другом - п раз, то отношение длин этих отрезков выражается рациональным числом где

Справедливо и обратное: если отношение длин двух отрезков выражается рациональным числом, то такие отрезки имеют общую меру.

Действительно, пусть отношение длин отрезков АВ и CD равно  где Тогда за их общую меру можно взять отрезок, равный -й части отрезка CD. поэтому Тогда

Оказывается, что не всегда два отрезка имеют общую меру и не всегда отношение их длин выражается рациональным числом.

Теорема. Отношение диагонали квадрата к его стороне не может быть выражено рациональным числом.

Доказательство. Допустим, что это не так: сторона и диагональ квадрата имеют общую меру. То есть существует такой отрезок l, который укладывается целое число раз и на стороне, и на диагонали квадрата ABCD. Тогда где -несократимая дробь. Следовательно,

Выражение АС² - это площадь квадрата со стороной, равной АС (рисунок 8), а АВ² - площадь квадрата со стороной, равной АВ. Так как АС² = 2АВ² (объясните это, используя рисунок 8), то  m² = 2п². Следовательно, m² - четное число, значит и m - четное, то есть т = 2р. Тогда п² = 4р² = 2n². Значит, n = 2p, то есть и п - четное.

Приходим к противоречию с предположением о том, что - несократимая дробь.

Полученное противоречие дает основание заключить, что допущение о том. что сторона и диагональ квадрата имеют общую меру - ошибочное. Следовательно, верно то, что требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что если принять сторону квадрата за единицу измерения, то результат измерения диагонали этой единицей не может дать ни целого, ни дробного числа. Следовательно, среди известных нам чисел нет числа, выражающего длину диагонали квадрата. Но диагональ такого квадрата существует, поэтому должно существовать и число, выражающее ее длину. Это число иное, чем известные нам рациональные числа. Назовем это новое число иррациональным (поскольку приставка «ир» означает «не») и выясним способ его записи при помощи цифр.

Пусть иррациональное число выражает длину диагонали квадрата, сторона которого принята за единицу намерения. Будем искать приближенное значение отношения диагонали квадрата к его стороне, сначала с точностью до 1. потом с точностью до 0,1, до 0,01 (рисунок 9).

следовательно, (с недостатком) и (с избытком).

Чтобы найти это отношение с точностью до 0,1. разделим сторону а квадрата на 10 равных частей и будем укладывать часть ее на диагонали. В результате получим: т. е. (с недостатком) и (с избытком).

Чтобы найти отношение с точностью до 0,01, надо было бы разделить сторону квадрата на 100 равных частей и укладывать часть ее на диагонали. Мы пришли бы к следующему результату: следовательно. (с недостатком) и (с избытком).

Если представить процесс нахождения более точного значения продолженным дальше, то невозможно получить конечную десятичную дробь, так как это противоречило бы теореме об отношении диагонали и стороны квадрата. Следовательно, в результате такого процесса мы придем к числу, записанному в виде бесконечной десятичной дроби. Эта дробь не может быть периодической, так как тогда она могла бы быть преобразована в обыкновенную дробь. Итак, способ представления иррационального числа с использованием цифр выяснен. Тем самым появляется возможность определения понятия иррационального числа.

Иррациональным числом называют число, выраженное бесконечной десятичной непериодической дробью.

Например, число 0,101001000100001..., у которого за каждой единицей идет группа нулей, содержащая на один нуль больше, чем предыдущая ipyniia, не является периодической дробью, т. е. является иррациональным числом. Иррациональным является также число  равное отношению длины окружности к ее диаметру.

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных чисел, которое обозначается буквой R.

Таким образом, действительные числа - это бесконечные периодические или непериодические десятичные дроби. Геометрически множество действительных чисел изображается прямой, которая называется числовой прямой. Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой и каждой точке этой прямой соответствует единственное действительное число. Например, если за единичный отрезок взять сторону квадрата, то иррациональному числу, выражающему длину его диагонали, соответствует точка D на числовой прямой Ох (рисунок 10). а точке К, где OD = ОК, соответствует противоположное ему иррациональное число.

Действительные числа, выраженные бесконечными десятичными дробями, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например,

так как в этих положительных бесконечных десятичных дробях целые части и десятые доли равны, а в разряде сотых у первой дроби число сотых меньше, чем у второй;

В практических расчетах за сумму двух действительных чисел, представленных бесконечными десятичными дробями, принимается такое число, которое больше суммы приближенных значений слагаемых. взятых с недостатком с некоторой точностью, но меньше суммы приближенных значений слагаемых, взятых с избытком с той же точностью. Аналогично находится и произведение таких чисел. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения, получают более точное значение результата. В современных условиях вычисления с такими дробями легко выполняются с использованием электронно-вычислительной техники.

Квадратные корни

Решим уравнение:

Числа 7 и -7, квадрат каждого из которых равен 49, называются квадратными корнями из числа 49.

Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которою равен а. Неотрицательный квадратный корень из числа а называется арифметическим квадратным корнем из числа а. Его обозначение: где - знак арифметического квадратного корня. Выражение а, находящееся под знаком этого корня, называется подкоренным выражением. Запись читается так: «арифметический квадратный корень из числа а».

Из определения арифметического квадратного корня следует, что:

1)    выражение имеет смысл только при а > 0. то есть его область определения промежуток

2)    для любого неотрицательного числа а верно неравенство то есть значениями арифметического квадратного корня могут быть только неотрицательные числа;

3)    для любого неотрицательного числа а верно равенство то есть квадрат корня равен подкоренному выражению.

При изучении школьного курса математики слово «арифметический» можно не использовать, если иное не предусмотрено.

Действие нахождения квадратного корня из числа называется извлечением квадратного корня из этого числа. Для того чтобы установить, что число b является арифметическим квадратным корнем из числа а, надо проверить выполняются ли два условия:

Например: так как

так как число 0 - неотрицательное и

 так как

так как так как

Числа кратко называют противоположными корнями. Например, уравнение  имеет два корня:  и 

Из любого положительного числа а можно извлечь только один арифметический квадратный корень. Действительно, допустим, что существуют два различных арифметических квадратных корня из числа где Тогда откуда  Но этого быть не может, так как но условию  b и с - неравные положительные числа.

Решим графически уравнение (рисунок 12). Это уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный Оба этих корня - иррациональные числа, так как не существует рационального числа, квадрат которою равен 2.

Используя знак арифметического квадратного корня, можно записывать различные иррациональные числа, например,

Отметим, что если натуральное число нельзя представить в виде произведения двух одинаковых множителей, то арифметический квадратный корень из него является иррациональным числом.

На практике в вычислениях иррациональные числа, записанные в виде квадратных корней, заменяют их приближенными значениями, выраженными десятичными дробями. Число b называется приближенным значением квадратного корня с недостатком с точностью до h, где если При этом число называется приближенным значением этого корня с избытком с точностью до h.

Найдем, например, приближенное значение

Поскольку Значит, запись иррационального числа в виде десятичной дроби начинается так:

Далее найдем цифру десятых, для чего будем возводить в квадрат дроби пока не отыщем числа, между которыми находится число 2. Получим: Следовательно.   Аналогично, находя цифру сотых, получим: Следовательно,  Таким образом,

Рассмотренным способом можно извлекать квадратные корни из чисел с различной точностью. В практических расчетах для нахождения приближенных значений квадратных корней используют вычислительную технику или таблицы (одна из таких таблиц дана в приложении к учебнику).

Пример. Найти значение выражения
 

Решение.

Ответ. 100.

Задача. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4 %. На следующий год она увеличилась еще на 8 %. Найти с точностью до 0.01 % средний годовой прирост продукции за указанный период.

Решение. Запишем условие задачи в виде таблицы:

Обозначим искомый средний годовой прирост продукции через х%. Тогда за первый год выработка продукции была бы а за второй: По условию задачи 

Отсюда,

Ответ.

Свойства квадратных корней

Теорема 1. Для любого действительного числа а верно равенств

То есть, арифметический квадратный корень из квадрата любого числа равен модулю этого числа.

Доказательство. 1) Если по определению арифметического квадратного корня. 2) Если и Поскольку

 Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует правило извлечения арифметического квадратного корня из степени с четным показателем: чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, можно представить подкоренное выражение в виде квадрата и воспользоваться тождеством

Пример 1. Упростить выражение: где х < 0.

Решение. a) Так как при любом Следовательно,

б)  Так как х < 0, то Значит, при

Ответ.

Теорема 2. Для любых неотрицательных чисел а и b верно равенство

Доказательство. 1) Поскольку то

2) По свойству степени Теорема доказана.

Доказанная теорема распространяется на случаи, когда число множителей под знаком корня больше 2. Например, если то

Итак, арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Пример 2. Вычислить:

Решение.

Ответ. 24.

Пример 3. Доказать, что числа - взаимно обратные.

Доказательство. Докажем, что произведение этих чисел равно 1:

Следовательно, числа взаимно обратные.

Теорема 3. Для любых верно равенство

То есть, арифметический квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя этой дроби. (Эту теорему докажите самостоятельно.)

Пример 4. Вычислить: 

Решение.

Ответ.

Пример 5. Упростить выражение

Решение.

Ответ.

Теорема 4. Если

То есть, большему положительному числу соответствует больший арифметический квадратный корень.

Доказательство. Допустим, что Тогда по свойству неравенств откуда Но последнее неравенство противоречит условию Значит, допущение неверно, следовательно,  Что и требовалось докатать.

Докажите самостоятельно, что верно и обратное утверждение: если

Пример 6. Что больше: или

Решение.
Следовательно,

Задача. Соседние стороны первого прямоугольника равны см и см, а второго - см и см. Сравнить площади и периметры этих прямоугольников.

Решение. Так как поэтому

Сравним квадраты полупериметров:

Так как Учитывая, что P₁ и Р₂ положительные числа, заключаем, что Р₂> P_1.

Ответ. Площадь и периметр второго прямоугольника больше.

Преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Алгебраические выражения, содержащие переменные под знаком корня, называются иррациональными. Рассмотрим примеры тождественных преобразований таких выражений.

Представим выражение где в виде Такое преобразование называется вынесением множителя а из-под знака корня.

Если выражение где заменить тождественно равным выражением или выражение где заменить выражением то такое преобразование называется внесением множителя а под знак корня.

Пример 1. Упростить выражение где

Решение.

Ответ.

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение. а) так как

б)  так как при произведение

в) так как выражение имеет смысл при любом значении то

Ответ.

Запишем дробь  где b > 0, умножив ее числитель и знаменатель на  в виде О тождественных преобразованиях, в которых дроби записывают без выражений под знаком корня в знаменателе, говорят, что таким образом избавились от иррациональности в знаменателе дроби. Например, избавиться от иррациональности в знаменателе дроби где можно, умножив ее числитель и знаменатель на выражение Получим:

Пример 3. Упростить выражение

Решение.

Ответ.

Задача 1. Два специалиста выполняли почасовую работу но разным ставкам. Первому за нее начислено 625 тенге, а второму, который работал меньше первого на 1 час, 400 тенге. Если бы первый работал столько часов, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то они получили бы поровну денег. Сколько часов работал каждый?

Решение. Пусть первый специалист работал х ч, тогда второй работал (х - 1) ч. За 1 час работы первому начислено тенге, второму -  тенге. Если бы первый специалист работал (х-1) ч, а второй х ч, то первый заработал бы  тенге, а второй - тенге. По условию задачи  Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции: Так как

Ответ. Первый специалист работал 5 часов, второй - 4 часа.

Задача 2*. Докатать, что из всех прямоугольников с данной площадью S наименьший периметр имеет квадрат со стороной

Решение. Обозначим стороны прямоугольника а и b, тогда

Если прямоугольник является квадратом, то а его периметр

Если прямоугольник не является квадратом, то Пусть где где р - полупериметр. Тогда Отсюда

По свойству арифметического квадратною корня Следовательно, в этом случае  Таким образом, при указанном условии наименьший периметр имеет квадрат со стороной

Функция y=√x ее свойства и график

Функция ее свойства и график

Функция, заданная формулой определена для любого неотрицательного числа, то есть Множество значении этой функции также состоит из множества неотрицательных чисел, то есть Функция имеет наименьшее значение, равное 0.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Если таким промежутком является область определения функции, то она называется возрастающей функцией.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этот промежутка соответствует меньшее значение функции. Если таким промежутком является область определения функции, то она называется убывающей функцией.

Ранее было установлено, что большему положительному числу соответствует большее значение арифметического квадратного корня из него. Следовательно, функция является возрастающей.

Построим график функции Для этого составим таблицу некоторых соответственных значений х и у.

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведем через эти точки плавную линию, получим график функции (рисунок 15).

Задача. Доказать, что графики функций симметричны относительно прямой у = х, содержащей биссектрису первого координатного угла (рисунок 16).

Доказательство. Пусть - произвольная точка гpaфика функции Тогда Следовательно, точка принадлежит графику функции Докажем, что точки и симметричны относительно прямой у = х. Для этого рассмотрим В нем OA = OB как гипотенузы равных прямоугольных треугольников с катетами а и b. так как (как соответственные острые углы равных прямоугольных треугольников). Получили: треугольник АОВ - равнобедренный, ОС - его биссектриса. Она является его медианой и высотой. Следовательно, прямая у = х является серединным перпендикуляром отрезка АВ. значит точки и симметричны относительно этой прямой.

Если а = 0 или а = 1, то утверждение также верно. (Объясните почему.)

Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида где х - переменная, а, b, с - некоторые действительные числа, причем Числа а, b, с называются коэффициентами квадратного уравнения: а - первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом, коэффициент c - свободным членом. Уравнение вида называется приведенным квадратным уравнением.

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен 0. называется неполным квадратным уравнением, например, Такие уравнения вы уже решали.

Неполное квадратное уравнение вида имеет один корень x = 0.

Решение неполною квадратного уравнения вида осуществляется путем разложения его левой части на множители:   Это уравнение имеет два корня

Неполное квадратное уравнение решается так: Если то уравнение имеет два противоположных корня Если то уравнение не имеет корней.

Рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений, то есть таких, в которых коэффициенты  b и с отличны от нуля.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Разделим части уравнения на 2 и выделим из его левой части квадрат двучлена: Далее решаем полученное уравнение так:

Ответ. 

Рассмотренный прием называется решением квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Решим уравнение способом выделения квадрата двучлена.

Далее получаем

Ответ.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Решим уравнение способом выделения квадрата двучлена.

Ответ.

Формулы корней квадратного уравнения

Решим, используя способ выделения квадрата двучлена, уравнение где Разделим обе части уравнения на а, получим: Выделим в левой части уравнения квадрат двучлена:

 Отсюда Левая часть полученного уравнения может принимать только неотрицательные значения, знаменатель дроби в правой части больше нуля, поэтому наличие корней уравнения зависит от значений выражения Это выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D. (Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminantis, что означает отличающий.)

Если

Уравнение имеет два корня

Если D = 0, то уравнение имеет два равных корня

(Иногда считают, что уравнение имеет один корень .)

Если D < 0. то уравнение не имеет корней.

Используя полученные формулы, можно решить любое квадратное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. В данном уравнении Найдем: Так как D > 0, то уравнение имеет два корня

Ответ. -0.5; 1.

Пример 2. Решить уравнение 

Решение. В данном уравнении Найдем: Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение не имеет корней.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. В данном уравнении Найдем: Данное уравнение имеет один корень 

Ответ. 

Формулу корней квадратного уравнения можно записать и так:   

Эта формула удобна для нахождения корней квадратного уравнения, если его второй коэффициент является четным числом.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Используем формулу корней квадратного уравнения, учитывая, что его второй коэффициент - четное число:

Ответ. 0,2; 3.4.

Для приведенного квадратного уравнения формулу корней можно записать в виде:

Теорема Виета

Уравнение имеет корни 2 и 5. Заметим, что их сумма равна 7, а произведение равно 10. Уравнение имеет корни -5 и 1, их сумма равна -4, а произведение равно -5. Как видим, сумма корней каждого из этих приведенных квадратных уравнений равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно его свободному члену. Таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни. Это свойство установил французский математик Франсуа Виет (1540 1603).

Теорема Виета. Если - корни уравнения то

Доказательство. Используя формулу корней приведенного квадратного уравнения, получим:

 Теорема доказана.

Квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное квадратное уравнение Если оно имеет корни то

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа т и п такие, то их сумма равна а произведение равно q, то они являются корнями уравнения

Доказательство. Если то уравнение записывается в виде Подставив в него вместо числа т и п, получим верные числовые равенства  То есть, числа т и п - корни уравнения что и требовалось доказать.

Пример 1. Числа т и п - корни уравнения  Найти

Решение. По теореме Виета Тогда 

Ответ.

Пример 2. Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2018 и 0.5.

Решение. По теореме, обратной теореме Виета, таким уравнением является

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Подберем два числа таких, чтобы их сумма была равна 6, а произведение 8. Это числа 2 и 4. По теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями уравнения

Ответ. 2 и 4.

Пример 4*. Найти сумму кубов корней уравнения

Решение. Пусть т и п - корни данного уравнения. Тогда

Ответ.

Задача. Площадь прямоугольника равна 15 м², а сумма площадей квадратов, построенных на двух его соседних сторонах, равна 34 м². Найти стороны прямоугольника.

Решение. Пусть стороны прямоугольника равны х м и у м. По условию задачи Тогда   Отсюда тогда Получим уравнение

Заметим, что числа таковы, что Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями квадратного уравнения Если х = 5, то у = 3; если х = 3, то у = 5. Получили прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м.

Ответ. 5 м и 3 м.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Выражение  где называется квадратным трехчленом. Значение переменной х при котором квадратный трехчлен равен нулю, называется его корнем.

Теорема. Если - корни квадратною трехчлена то

Доказательство. По теореме Виета Тогда

 Теорема доказана.

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен 

Решение. Найдем корни этого трехчлена, решив уравнение

Тогда

Пример 2. Сократить дробь

Решение. Имеем Разложим на множители знаменатель дроби:

Тогда

Отметим, что множители вида на которые раскладывается квадратный трехчлен, называются линейными множителями. Квадратный трехчлен можно разложить на различные множители, являющиеся иррациональными выражениями. Например,

Если иное не предусмотрено, то слова «линейные множители» не используются в условиях заданий типа: «разложить квадратный трехчлен на множители». Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Решение текстовых задач с использованием квадратных уравнений

Задача 1. Существует ли выпуклый многоугольник, имеющий 77 диагоналей?
Решение. Выпуклый п-угольник имеет п(п-З) диагоналей, так как из каждой его вершины можно провести п - 3 диагонали. Для ответа на поставленный в задаче вопрос решим уравнение Преобразуем его так: Тогда Так как по условию задачи

п - натуральное число, то п = 14.

Ответ. Существует, это выпуклый 14-угольник.

3адача 2. Клумба прямоугольной формы размером 3 м * 4 м окаймлена дорожкой одинаковой ширины. Найти с точностью до 0.01 м ширину этой дорожки, если ее площадь равна половине площади клумбы.

Решение. Обозначим ширину дорожки х м. тогда ее площадь (рисунок 18). По условию задачи эта площадь равна 6 м². Составим и решим уравнение:

Так как по условию задачи х > 0, то

Ответ.  м.

Уравнения, приводимые к квадратным уравнениям

Решение любого уравнения где п - натуральное число, большее или равное - некоторые действительные числа. причем сводится к решению квадратного уравнения введением новой переменной При п = 2 такое уравнение называется биквадратным уравнением.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Обозначим Получим уравнение  где Его корни   не удовлетворяет условию Следовательно,

Ответ. 

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную получим уравнение 

Находим его корни: 

Отсюда

Ответ. -3; 2.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Обозначим тогда Решим уравнение

 Учитывая

замену, имеем: Тогда

Ответ.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Имеем:  отсюда Решим эти уравнения:

Ответ. -3; -1,5;-1; 0,5.

Пример 5*. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение так: Введем замену тогда

Учтивая замену, получаем или  Первое уравнение корней не имеет, так как его дискриминант меньше нуля. Решаем второе уравнение 

Ответ.
 

Целые к дробно-рациональные уравнения

Уравнение с одной переменной, содержащее выражения, представимые в виде многочлена или алгебраической дроби, называется рациональным уравнением. Рациональное уравнение, левая и правая части которого выражаются многочленами, называется целым рациональным уравнением. Например, линейные, квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, содержащее алгебраическую дробь с переменной в ее знаменателе, называется дробно-рациональным уравнением. Например,

Рассмотрим примеры решения дробно-рациональных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Умножим левую и правую части уравнения на общий знаменатель входящих в него дробей. Получим уравнение: Решим его: по теореме, обратной теореме Виета, Исключим из этих чисел те, при которых общий знаменатель  равен нулю.

При х = 3 получаем х(х - 3) = 0. следовательно, 3 не является корнем исходного уравнения. При х = -4 имеем следовательно, -4 является корнем исходного уравнения.

Ответ. -4.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдем общий знаменатель содержащихся в уравнении дробей. Для этого разложим на множители квадратный трехчлен Его корни  следовательно,  Умножим левую и правую части уравнения на общий знаменатель имеющихся в нем дробей. Получим уравнение:

Решаем это целое рациональное уравнение: При х = 0,5 общий знаменатель дробей не равен нулю.

Ответ. 0,5.

Рассмотренный способ решения дробно-рациональных уравнений заключается в следующем:

1)    находим общий знаменатель алгебраических дробей, входящих в уравнение:

2)    умножаем левую н правую части уравнения на этот общий знаменатель:

3)    решаем получившееся целое рациональное уравнение:

4)    исключаем из его корней те. которые обращают в нуль общий знаменатель;

5) записываем ответ.

Решение текстовых задач с использованием дробно-рациональных уравнений

Задача 1. Автомобилист проехал 160 км. причем 62,5 % этого пути он ехал с одной скоростью, а остальную часть - со скоростью на 20 км/ч меньше. Найти скорость автомобилиста на втором участке пути, если на него он потратил на 15 минут меньше, чем на первый.

Решение. Пусть искомая скорость равна х км/ч. тогда скорость автомобилиста на первом участке пути равна (х + 20) км/ч. Первый участок пути составляет 0.625 • 160 = 100 (км), второй -60 км. Время движения на первом участке ч, на втором - ч.

По условию задачи Решим это уравнение. Умножим обе его части на общий знаменатель содержащихся в уравнении дробей, получим:

По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа 60 и 80. Оба корня удовлетворяют условию задачи, следовательно, искомая скорость равна 60 км/ч или 80 км/ч.

Ответ. 60 км/ч или 80 км/ч.

Задача 2*. Мама купила на а тенге груш и на такую же сумму яблок. Всего п кг. Сколько килограммов гpyш и сколько килограммов яблок купила мама, если известно, что 1 кг груш на b тенге дороже 1 кг яблок?

Решение. Пусть куплено х кг груш по цене тенге за 1 кг.

Тогда яблок куплено (п - х) кг по цене тенге за 1 кг. По условию задачи составим и решим уравнение:

Тогда

так как Следовательно, не удовлетворяет условию задачи.

Находим

следовательно,  удовлетворяет условию задачи.

Ответ.  кг груш и  кг яблок.

Квадратичная функция

Определение квадратичной функции:

Квадратичной функцией называется функция вида где х - аргумент, a, b и с - некоторые действительные числа, причем Ранее вы изучали квадратичную функцию вида строили ее график - параболу. Две части параболы, на которые она разделяется вершиной, называют ветвями параболы.

Функция   и ее график:

График функции симметричен относительно оси Оу, такие функции называются четными. То есть, функция у(х) называется четной, если для любых значений аргумента х и -х, входящих в ее область определения, верно равенство

Построим теперь график функции вида Заметим, что каждое значение этой функции отличается от соответствующего значения функции на число п. Следовательно, ее графиком также является парабола, полученная сдвигом параболы вдоль оси Оу на п единиц вверх, если п > 0 или на п единиц вниз, если п< 0 (рисунок 20, а, б).

Вершиной параболы является точка с координатами (0; п). Ветви параболы направлены вверх, если а > 0; вниз, если а < 0. Функция - четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Рассмотрим некоторые свойства функции при а > 0 и при а < 0.

Пример. Построить график функции и найти: а) множество значений функции: б) промежуток убывания: возрастания: в) нули функции, то есть значения аргумента, при которых у = 0; г) промежутки знакопостоянства функции, то есть все значения х при которых

Решение. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как ). Вершина параболы - точка (0; -4). Составим таблицу соответственных значений х и у функции и построим ее график (рисунок 21).

а)    

б)    функция убывает при  и возрастает при

в)    нули функции - это абсциссы точек пересечения графика с осью Ох: для точного нахождения нулей функции решим уравнение:

Функция и ее график:

Рассмотрим функцию вида . Пусть. например, Составим таблицу соответственных значений функций и 

Заметим, что функции принимают одинаковые значения, если аргумент первой из них на 1 меньше соответствующего apгyмента второй.

Это означает, что график функции можно получить сдвигом параболы вдоль оси Ох на 1 вправо (рисунок 24).

Также график функции вида можно получить из гpaфика функции сдвигом его вдоль оси абсцисс на т единиц: а) вправо, если т > 0; б) влево, если т < 0. Вершиной параболы является точка с координатами (т; 0), ее график симметричен относительно прямой х = т.

Отметим некоторые свойства функции

Пример. Построить график функции и, используя его, установить ее свойства.

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен, вынеся за скобки коэффициент при х², получим Тогда выражение в скобках представляет квадрат двучлена и данную функцию можно представить в виде: Графиком этой функции является

парабола, ветви которой направлены вниз, так как Осью симметрии этой параболы является прямая х = 2. Найдем две пары точек параболы симметричных относительно этой прямой. Это точка (0; -6) пересечения параболы с осью Оу и симметричная ей точка (4; -6), а также точки (1; -у) и (3: -у). Отметим эти точки в координатной плоскости и построим параболу (рисунок 25).

Свойства функции 

1)   
2)    Функция возрастает при убывает при

3)    Нули функции: х = 2.

4)    Наибольшее значение: у = 0.

5)    Промежутки знакопостоянства функции: 

Функция и ее график:

График функции можно получить из графика функции сдвигами его вдоль оси абсцисс на т единиц и вдоль оси ординат на п единиц (рисунок 27). После таких перемещении вершина параболы имеет координаты (т; п). а ее ось симметрии задается уравнением х = т.

Докажем, что парабола, полученная из параболы указанным перемещением, задается формулой

Возьмем на ней произвольную точку С(х; у), проекцию этой точки на ось Ох обозначим С₁, а проекцию вершины В параболы - В₁. Проведем через точку В прямую, параллельную оси Ох, и обозначим точки N и К ее пересечения с осью Оу и прямой СС₁ соответственно (рисунок 28). Тогда  Следовательно,  Отметим, что это доказательство мы провели, пользуясь рисунком, на котором числа а, т и п - положительные. Оно верно при любых т, п и

Рассмотрим некоторые свойства функции 

Пример. Найти все значения квадратичной функции (ее гpaфик изображен на рисунке 29), модуль каждого из которых в 2 раза больше модуля соответствующего ему значения аргумента, если х < 0 и у < 0.

Решение. Представим квадратичную функцию в виде Так как вершина параболы имеет координаты Найдем значение коэффициентам, подставив в полученную формулу координаты какой-либо точки параболы, например. (0; -5). Получим уравнение откуда а = -1. Итак, данная функция задается формулой По условию задачи Подставим это выражение х в формулу и преобразуем полученное уравнение:  

По теореме, обратной теореме Виета, корнями последнего уравнения являются числа

Ответ.-10; -2.

Функция и ее график:

Функцию где можно представить в виде Действительно,   Обозначим  тогда 

 

Итак, графиком квадратичной функции является парабола, вершина которой - точка  Ось симметрии этой параболы - прямая Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, если а < 0 - вниз.

Рассмотрим свойства квадратичной функции.

Докажем свойство возрастания (убывания) квадратичной функции. Действительно, если а > 0. то для произвольных значений х₁, и х₂ таких, что имеем

так как каждый из сомножителей положителен. Отсюда заключаем, что у₂ >у₁, то есть большему значению аргумента из промежутка соответствует большее значение функции, следовательно, функция при а > 0 возрастает на этом промежутке.

Если а > 0 и  то третий множитель отрицателен, а остальные - положительны, поэтому и, значит, Получили, что большему значению аргумента из промежутка  соответствует меньшее значение функции, следовательно, функция при а > 0 убывает на этом промежутке. Случай, когда а < 0, исследуйте самостоятельно.

Пример. Построить график функции и найти: а) область определения и множество ее значений; б) промежутки возрастания и убывания; в) промежутки знакопостоянства функции.

Решение. 1) Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как

2)    Вершина параболы точка где

3)    Ось симметрии параболы - прямая х = -2.

4)    Парабола пересекает ось Оу в точке В(0; 3), ей симметричная относительно оси симметрии параболы точка С(-4; 3).

5) Найдем нули функции, для чего решим уравнение Заменим его равносильным уравнением (уравнения являются равносильными, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней). По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа -6 и 2. Следовательно, парабола пересекает ось Ох в точках D(6; 0) и E(2; 0).

Проводим через построенные точки параболу (рисунок 31).

а)    

б)    функция возрастает при и убывает при

в)    у > 0 при при

Таким образом, схема построения графика квадратичной функции может быть следующей:

1)    построить вершину параболы - точку где

2)    провести через вершину параболы прямую, параллельную оси Oу - ось симметрии параболы;

3)    найти нули функции (если они существуют) и построить точки пересечения параболы с осью Ох (если они есть);

4)    построить еще какие-либо точки параболы, симметричные относительно ее оси симметрии, например, точку пересечения параболы с осью Оу (0; с) и ей симметричную;

5)    провести через построенные точки плавную кривую линию - параболу.

Решение текстовых задач с использованием свойств квадратичной функции

Задача 1. Дан прямоугольник со сторонами 10 дм и 25 дм. Меньшая его сторона увеличивается со скоростью 2 дм/с, а большая - уменьшается со скоростью 1 дм/с (рисунок 33). Установить, как со временем t изменяется площадь этого прямоугольника, и при каком значении t она наибольшая. Найти это значение.

Решение. Площадь S прямоугольника равна:

Наибольшее значение функция S принимает при  Оно равно

Ответ. Площадь прямоугольника изменяется по формуле

она наибольшая при

Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с (рисунок 34). Считая ускорение  земного притяжения равным 9,8 м/с² и не учитывая сопротивление воздуха, найти, на какую найти, на какую наибольшую высоту взлетит это тело.

Решение. Из курса физики известно, что высота h м, на которой окажется брошенное вертикально вверх тело через t с, находится по формуле где v₀ - начальная скорость.

Функция принимает наибольшее значение при 

Ответ.

Задача 3*. Число диагоналей многоугольника на т больше числа его сторон. Составить формулу, выражающую зависимость числа диагоналей у от числа х его сторон, и найти множество допустимых значений т.

Решение. Число диагоналей многоугольника равно:  По условию задачи  Отсюда  Тогда  Число х сторон многоугольника будет натуральным, если 25 + 8т является квадратом нечетного числа. Пусть Тогда

При любом натуральном значение т - натуральное число.

Ответ.

Неравенства

Неравенство в математике — утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства)

Квадратные неравенства

Квадратным неравенством называется неравенство вида:

где х - переменная, а, b, с - некоторые действительные числа, причем Например,   - квадратные неравенства.

Как известно, решениями неравенства с одной переменной являются значения переменной, при которых оно преобразуется в верное числовое неравенство. Например, число 5 - решение неравенства т. к.

Напомним, что решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что их нет. Отметим, что если два неравенства имеют одни и те же решения или не имеют решений, то их называют равносильными неравенствами.

При решении квадратного неравенства используют свойства соответствующей квадратичной функции и особенности расположения относительно оси Ох ее графика в зависимости от коэффициента а и дискриминанта

Пример 1. Решить неравенство 

Построим схематически (рисунок 43) график функции для чего находим нули функции, решив уравнение Отметив на оси Ох промежутки знакопостоянства функции. заключаем, что

Ответ. (1; 2).

Пример 2. Решить неравенство

Для схематического построения графика функции ищем ее нули. Их нет, так как дискриминант квадратною уравнения отрицателен: D = -3. Поскольку первый коэффициент квадратного трехчлена положителен, то график функции расположен в верхней полуплоскости с границей Ох. Поэтому неравенство выполняется при любых действительных значениях х (рисунок 44).

Ответ.R.

Пример 3. Решить неравенство

Находим нули функции Коэффициент при х² равен -2. поэтому ветви параболы направлены вниз. Изобразим схематически график функции (рисунок 45) и выделим на оси Ох промежутки ее знакопостоянства. Как видим, множество решений исходного неравенсгва состоит из объединения числовых промежутков

Ответ.

Пример 4. Решить неравенсгво

График квадратичной функции расположен в верхней полуплоскости с границей Ох, потому что она не имеет нулей (D < 0) и коэффициент 0.1 при х² - положительный (рисунок 46). Поскольку ни при каком значении х неравенство не выполняется, то делаем вывод, что оно не имеет решений.

Ответ. Нет решений.

Покажем рассмотренный способ решения квадратных неравенств в таблице:

Составьте таблицу решений неравенств и самостоятельно.

Решение неравенств методом интервалов

Отметим следующее свойство двучлена х - а: значения двучлена х - а - отрицательные при всех х, находящихся на координатной прямой слева от числа а, и положительные при всех х, находящихся справа от а (рисунок 49). Это свойство двучлена используется при определении знака функции, записанной в виде в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции

Например, рассмотрим функцию Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нули функции, числа -4. 2. 10. разбивают ее область определения на промежутки Выражение представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

Отсюда находим, что

Заметим, что в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется. Это свойство используется для решения неравенств вида:

где - числа, являющиеся нулями функции

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функцию

1) Тогда
2) Отметим на координатной прямой точки 1 и 2, разбивающие ее на три промежутка Определим знаки функции на каждом из этих интервалов (рисунок 51).

Таким образом, множеством решений неравенства является объединение промежутков

Ответ. 

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Преобразуем неравенство так, чтобы каждый множитель имел вид х - а. Для этого в четвертом множителе вынесем за скобки -1 и умножим обе части неравенства на -1. изменив при этом знак неравенства. Получим:

1)    Область определения функции  - все действительные числа.

2)    Отметим на числовой прямой нули функции: -3: 1: 4; 5. Так как данное неравенство нестрогое, то эти числа входят во множество решений неравенства ( что принято обозначать «закрашенными» точками на числовой прямой).

3)    Определим знаки функции на промежутках (рисунок 52). Так-как выражение при любых значениях х неотрицательно, то при переходе через точку 4 знак функции не изменится.

 

Следовательно, множество решений данного неравенства состоит из двух промежутков и числа 4. (Множество, состоящее из каких-либо элементов, принято обозначать символом.)

Ответ.

Неравенство с одной переменной, которое можно представить в виде где А(х) и В(х) - многочлены называется дробно-рациональным неравенством. Обе части таких неравенств (или хотя бы одна часть) являются дробно-рациональными выражениями. Например, неравенства   являются дробно-рациональными. Неравенство  можно преобразовать так:

Неравенства где А(х) и В(х) - многочлены, равносильны соответственно неравенствам поэтому для их решения можно использовать метод интервалов.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду

Умножим обе части неравенства на -1, получим неравенство  равносильное данному. Далее рассмотрим функцию 
1)    Область определения этой функции - все числа, кроме 0 и 4.
2)    Нули функции - числа 2 и - 1.
3)    Отметим на числовой прямой точки, в которых функция не определена или равна нулю и определим знаки функции на полученных промежутках (рисунок 53).

на промежутках (-1; 0) и (2; 4), следовательно, их объединение является множеством решений данного неравенства.

Ответ. (-1; 0)и (2; 4).

1)    Область определения этой функции - все действительные числа, кроме 3.

2)    Нули функции - числа 2 и -1.

3)    Отметим на числовой прямой нули функции и точки, в которых она не определена. Причем нули функции - «закрашенными» точками. так как они входят во множество решений данного неравенства. Найдем знаки функции на полученных промежутках (рисунок 54).

на промежутках и в точке 2, поэтому объединение этих числовых множеств является решением данного неравенства.

Ответ.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Разложим трехчлен на множители. Обозначим тогда получим квадратный трехчлен нулями которого являются числа 2 и 8. Отсюда  Следовательно,
Решим методом интервалов неравенство (рисунок 55).

Ответ. 

Пример 6*. Решить неравенство для каждого значения параметра а.

Решение. Вычислим дискриминант трехчлена (учитывая, что второй коэффициент - четное число):

Если D = 0, то есть при а = 1, неравенство (1) примет вид: Оно верно при любых действительных значениях х кроме х = -1, то есть

Если D < 0, то есть 1 - а < 0, а > 1, неравенство (1) справедливо при любых действительных значениях х (объясните почему), то есть

Если D > 0, то есть при а < 1, трехчлен имеет два корня:  и и решением неравенства (1) будет объединение промежутков то есть

Ответ.

Решен не текстовых задач с использованием неравенств

Задача. Лодка должна проплыть но реке из пункта А в пункт В и обратно. Скорость течения реки 2 км/ч. Известно, что при движении против течения скорость лодки увеличивается в 1,5 раза. Какой может быть собственная скорость лодки, чтобы продолжительность пути по течению составляла не менее продолжительности пути против течения?

Решение. Пусть собственная скорость лодки х км/ч, тогда ее скорость по течению (х + 2) км/ч, а против течения 1.5(х - 2) км/ч.

Обозначим расстояние АВ через S км. тогда время движения по течению равно ч, а против течения - ч- По условию задачи составим и решим неравенство:

Преобразуем неравенство, перемножив числа в его правой части и разделив обе его части на S, учитывая, что S > 0. Получим

Решаем последнее неравенство методом интервалов (рисунок 56).

Решением неравенства является любое число промежутка так как по условию задачи х > 2.

Ответ. Не менее км/ч.

Системы нелинейных неравенств с одной переменной

Напомним, что если требуется найти все общие решения двух или более неравенств, то говорят о системе этих неравенств, которую надо решить. Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Решить систему неравенств - значит найти все ее решения или установить, что решений нет. Системы неравенств называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений или этих решений нет. Равносильность систем неравенств обозначается знаком

Решения систем линейных неравенств с одной переменной рассматривались ранее. Например, для систем из двух строгих линейных неравенств с одной переменной, их возможные решения показаны схематически на рисунках 57-60 (где а < b).

Такое же окончательное оформление используется и для решения систем двух неравенств с одной переменной, одно из которых линейное, а второе квадратное, или оба неравенства квадратные.

Пример 1. Найти область определения функции 

Решение. Областью определения данной функции является множество решениq системы неравенств 

Решим каждое неравенство системы:

Покажем схематически на числовой прямой решения каждого неравенства и штриховкой выделим те из них, которые являются решениями и одного, и другого неравенства, то есть являются решениями исходной системы неравенств (рисунок 61).

Ответ. [-8,4; 2).

Пример 2. Решить неравенство    

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств

Покажем схематически на числовой прямой решение каждого неравенства этой системы и найдем их общие решения (рисунок 62):

Ответ. [-3; -1).

Аналогично решаются системы, содержащие более двух неравенств. Отметим, что если одно из неравенств системы не имеет решений. то и система не имеет решений.

Решение текстовых задач с использованием систем неравенств

3адача. По прямой из пункта А начали двигаться одновременно в одном направлении две точки: первая равноускоренно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с², вторая - равномерно. В каких границах должна изменяться скорость второй точки, чтобы она сначала обогнала первую точку, но чтобы затем первая точка догнала вторую на расстоянии, не большем 10 м от А?

Решение. Пусть v м/с - скорость движения второй точки, t с -время, за которое вторая точка после начала движения догнала первую точку, тогда vt м - расстояние, которое прошла вторая точка. По условию задачи

За это же время t с первая точка проходит тот же путь vt м. Как известно из физики, при равноускоренном движении точка проходит расстояние, равное По условию задачи  Получим откуда находим, что Подставим это значение t в неравенство (1). получим

Для того, чтобы вторая точка могла вначале перегнать первую, ей надо иметь скорость большую, чем начальная скорость первой, то есть v > 3. Решим систему неравенств:

Ответ. Больше 3 м/с, но не более 5 м/с.

9 класс

Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. Уравнения с двумя переменными

Если уравнение содержит не одну, а несколько переменных, то такое уравнение называется уравнением с несколькими переменными. Например, каждое из уравнений xyz+9=0 содержит три переменные, а уравнения являются уравнениями с двумя переменными. Чтобы определить степень уравнения, складывают показатели степеней переменных каждого слагаемого. Сравнивая числа, полученные таким образом, в качестве степени уравнения берут наибольшее из них. Определенное таким образом число называется степенью уравнения. Например, степень уравнения с тремя переменными равна трем, степень уравнения с двумя переменными равна трем, а уравнения с двумя переменными являются уравнениями второй степени.

Линейное уравнение с двумя переменными в общем виде записывается так:

ax+by+c=0.    (1)

Здесь а, b и с - заданные действительные числа, причем коэффициенты а и b одновременно не обращаются в нуль. Если то уравнение (1) легко приводится к виду: y=kx+n, где

В целом общий вид нелинейного уравнения второго порядка с двумя переменными записывается так:

где а, b, с, d, е, k - заданные действительные числа, k - свободный член, а коэффициенты а, b и с одновременно не обращаются в нуль, если а=b=c=0, уравнение (2) перестает быть уравнением 2-го порядка.

Геометрический смысл уравнений с двумя переменными

Как было отмечено выше, уравнения, задающие функциональную зависимость между переменными х и у, можно рассматривать как уравнения с двумя переменными. Мы хорошо знаем, что геометрический смысл таких уравнений есть график соответствующих функций. Например, геометрическим смыслом (графиком) линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Также известно, что графиком уравнения является парабола, а уравнением xy=k задается гипербола. Кроме того, существуют уравнения с двумя переменными, которые не задают функциональную зависимость.

К примеру, рассмотрим уравнение  Преобразуем левую часть этого уравнения, дополнив до полного квадрата: Тогда исходное уравнение записывается так:

Уравнением (3) в декартовой координатной системе Оху определяется окружность с центром в точке(2;-1) и радиусом 3 (рис. 1.1).

Рис. 1.1.

В целом уравнение с двумя переменными записывается в виде

F(x; у)=0.    (4)

Здесь F(x; у) - некоторое выражение с переменными х и у. Например, если то уравнение (4) записывается так:  а если то уравнение можно записать в виде и т. п.

Если числа  и после подстановки вместо переменных х и у обращают уравнение (4) в числовое тождество, то пару чисел называют решением уравнения (4). А множество всех решений уравнения (4) в координатной плоскости определяют некоторую фигуру. Эту фигуру называют графиком уравнения (4). Например, нетрудно проверить, что пары чисел (2; 2) и (-1; -1) являются решениями уравнения (3), а пара (2; 0) не является его решением. В основном уравнения с двумя переменными имеют бесконечно много решений и множество этих решений на координатной плоскости определяют некоторую кривую. Однако встречаются уравнения с двумя переменными, которые имеют конечное число решений или вовсе не имеют действительных решений. Например, уравнение имеет только одно решение х=3 и у=-1, а уравнение вовсе не имеет решения во множестве действительных чисел.

Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Способы решения систем линейных уравнений:

В 6 классе вы полностью рассмотрели решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Здесь же с помощью примеров повторим пройденное.

Пример 1 (способ подстановки). Решим систему уравнений

 Смысл способа заключается в следующем. В одном из уравнений системы одну переменную выражают через другую и подставляют это значение в другое уравнение системы. После чего последовательно находят значения переменных. В первом уравнении данной системы выразим х через у и подставим это значение х во второе уравнение: х=2у+3 2(2у+3)+у=1 5у+6= 1 у=-1. Из равенства х=2у+3 находим значение переменной х: х=2 • (-1)+3=1. Следовательно, х=1, у=-1.

На практике, используя символы равносильности, эту систему решают следующим образом:

Ответ: (1; -1). 

Пример 2 (способ алгебраического суммирования). Решим эту же систему другим способом. Смысл заключается в следующем. По необходимости умножают уравнения системы на некоторые числа и, складывая (или вычитая одно из другого) полученные уравнения системы, избавляются от одной из переменных. После чего из полученного уравнения находят значение оставшейся переменной, а затем с помощью одного из уравнений исходной системы находят значение другой переменной.

Ответ: (1; -1). 

Любая система линейных уравнений с двумя переменными легко решается одним из показанных способов. Указанные способы решения систем уравнений также широко используются при решении нелинейных систем уравнений.

Решение систем уравнений второго порядка

Если степень одного из уравнений системы равна 2, а степень второго уравнения не выше 2, то данная система называется системой уравнений второго порядка. Например, системы

являются системами уравнений второго порядка. Значения переменных х и у, которые обращают каждое уравнение системы в числовое тождество, называются решением этой системы. Например, система

имеет два решения: В этом можно убедиться с помощью проверки:

Существует несколько способов решения систем уравнений второго порядка. Покажем их.

Пример 3. Решим систему способом подстановки:

Уравнение имеет два корня: Из уравнения у=Зх-1 находим соответствующие значения у:

Ответ: (-1; -4), (1; 2). 

Иногда вместо примененного способа подстановки удобно использовать теорему Виета. Рассмотрим на примерах.

Пример 4. Решим систему уравнений

По теореме Виета решения данной системы являются корнями квадратного уравнения А это уравнение имеет два корня: Так как данная система уравнений симметрична относительно переменных х и у, то каждая из них может принимать любое из значений и Поэтому исходная система имеет два решения: и

Пример 5. Решим систему уравнений

Эту систему можно переписать так:

Тогда, как было отмечено в примере 4, числа х и (-у) являются решениями квадратного уравнения Следовательно, ответ исходной задачи записывается так:

Пример 6. Решим систему уравнений

 Способ 1. Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим его с первым уравнением. В результате получим уравнение или Следовательно, исходная
система равносильна совокупности следующих двух систем
уравнений:

1)   2)

Решая каждую из них так же, как и в примере 4, находим 4 решения исходной системы:

Способ 2. Если ввести обозначения то исходную систему можно записать так:

Тогда и т.е.

Отсюда учитывая, что переменные х и у имеют одинаковые знаки (ху=8), получим ответ: (4; 2), (2; 4), (-4; -2), (-2; -4). 

Пример 7. Нужно решить систему уравнений

Первое уравнение системы умножим на 5, а второе - на 3, затем из второго уравнения вычтем первое уравнение. В результате получим уравнение Так как у=0 не является решением исходной системы, то Поделив последнее уравнение на получим уравнение 

Вводя обозначение это уравнение можно записать так: Корни этого уравнения равны Следовательно, т. е. Поэтому исходная система равносильна совокупности следующих двух систем уравнений: 

 или

Решая системы так же, как в примере 3, получим ответ:

Решение текстовых задач с помощью систем уравнений

Во многих текстовых задачах бывает несколько неизвестных величин. При решении таких задач неизвестные величины обозначаются через переменные. Согласно условиям задачи, составляют систему с этими несколькими переменными (часто систему с двумя неизвестными). Решая составленную систему уравнений, получают ответ исходной задачи.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Значение первой цифры двузначного числа вдвое меньше значения его второй цифры, а сумма значений этих цифр равна 9. Найти это двузначное число.

Если х - первая цифра, а у - вторая цифра искомого числа, то по условию задачи у=2х и х+у=9. Итак, мы имеем систему уравнений

Эта система является математической моделью данной задачи. х=3, у=6 - ее решение.

Ответ: 36.

Пример 2. Площадь участка земли прямоугольной формы равна 600 Для ограждения этого участка в три ряда потребовалось 420 м проволоки. Найти ширину и длину этого участка земли.

 Если через х и у обозначить ширину и длину этого участка, то по условию задачи х*у=600 а периметр можно найти, составив равенство 420 : 3=140 м, т.е. имеем уравнение 2х+2у=140 или х+у=70. Таким образом, мы составили систему уравнений, являющуюся математической моделью задачи:

где х<у. По теореме Виета х=10, у=60.

Ответ: 10 м, 60 м. 

Пример 3. Два тракториста совместно вспахали бы участок земли под посев на 18 ч раньше, чем только первый тракторист, и на 32 ч раньше, чем только второй тракторист. За сколько часов вспахали бы этот участок земли каждый из трактористов по отдельности?

Для решения задачи введем три переменные: - время работы первого тракториста, - второго тракториста, - время совместной работы этих трактористов. Тогда по условию задачи имеем следующую математическую модель:

Так как то из третьего уравнения получим

Отсюда по смыслу задачи подходит только t=24 ч. Следовательно,    =42 ч, = 56 ч.

Ответ: 42 ч, 56 ч. 

В подобных задачах не всегда бывает понятной «природа» получения уравнений вида Поясним это. Появление подобных уравнений связано с понятием «скорость». Например, обозначим через s площадь данного участка. Тогда скорости вспахивания земли (т.е. количество земли, вспахиваемое за единицу времени, в производстве называют производительностью труда} каждым трактористом равны и  а скорость совместной работы равна А так как при совместной работе скорости складываются, то получим равенство т.е., разделив обе части данного уравнения на s, получим уравнение

Неравенства с двумя переменными

Неравенство с двумя переменными – это неравенство, в записи которого используются две неодинаковые переменные.

Понятие решения неравенства с двумя переменными:

Теперь определим геометрический смысл неравенств с двумя переменными. Например, рассмотрим неравенство 2х + у - 3 0. Уравнением 2х + у - 3 = 0, или у = -2х + 3 задается прямая (рис. 1.4). А все точки (х; у), удовлетворяющие неравенству 2х+у-30, лежат ниже этой прямой, либо на ней. Например, точка (0; 0) удовлетворяет этому неравенству: 2*0+0-3<0. Следовательно, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному неравенству, является полуплоскостью, расположенной ниже прямой у = - 2х + 3. Тогда неравенством 2х + у - 3 > 0 задается полуплоскость, находящаяся выше этой прямой (рис. 1.4).

Рис. 1.4.

Итак, решение неравенства с двумя переменными - нахождение множества всех значений переменных, удовлетворяющих данному неравенству. Например, если данное неравенство зависит от переменных х и у, то пара чисел (х; у) на координатной плоскости определяет точку. Следовательно, решить неравенство с двумя переменными - это значит, что на плоскости надо указать все точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству.

Рассмотрим теперь неравенство Уравнением задается окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Если для точки  верно неравенство то это означает, что расстояние от точки до начала
координат (0; 0) меньше 2. Следовательно, точка расположена в круге, границей которого служит окружность . Итак, неравенством задается круг радиуса 2 с центром в точке (0; 0). В это множество точки окружности не входят, так как знак неравенства строгий (рис.1.5). Тогда неравенством задается внешняя часть этого круга.

Рис. 1.5.

Решение системы неравенств с двумя переменными

Сначала рассмотрим пример.

Пример 1. Треугольник с вершинами в точках А(-1; 0), В(1; 3) и С(4; -2) задайте с помощью неравенств.

С помощью формулы прямой, проходящей через две заданные точки, запишем уравнения прямых АВ, АС и ВС.

Прямая АВ:
Прямая АС:
Прямая ВС:

Рис. 1.6.

Треугольник ограничен прямыми АВ, ВС и АС. Они расположены выше или ниже друг друга. Это можно записать в виде следующей системы неравенств (рис. 1.6):

 или

Итак, решая пример 1, мы получили систему линейных неравенств. Решение этой системы неравенств на плоскости определяется совокупностью точек треугольника АВС. Решение нелинейных систем неравенств на плоскости также определяется совокупностью точек некоторой фигуры. Рассмотрим пример.

Пример 2. Построим фигуру, заданную системой неравенств

Так как или то искомая фигура расположена выше параболы А так как то она лежит ниже прямой у = х + 3. Следовательно, искомая фигура ограничена параболой и прямой  (рис. 1.7).

Рис. 1.7.

Последовательности

Последовательность — это такой набор элементов некоторого множества, что: для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности.

Понятие и определение числовой последовательности

До сих пор мы часто пользовались понятием числовой последовательности. А именно, бесконечная десятичная дробь в понятии действительных чисел тесно связана с понятием числовой последовательности. Например, чтобы получить десятичные приближения числа по недостатку, мы рассматривали числовую последовательность

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... .

А если расположить четные числа в порядке возрастания, то получим последовательность:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

Первый член этой последовательности равен 2, второй -4, третий - 6, четвертый - 8, двадцать пятый - 50, сотый -200 и т. д.

Итак, числовой последовательностью называется множество чисел, элементы которого можно пронумеровать. Числа, составляющие числовую последовательность, называются членами этой последовательности, а именно по порядку первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Обычно числовую последовательность обозначают малыми буквами латинского алфавита с индексами, указывающими на номер этого члена последовательности:

Здесь  называется общим членом последовательности, а саму последовательность коротко обозначают через Например, члены последовательности  по порядку можно расписать так:

Пример 1. Нужно найти общий член последовательности  

В знаменателе каждого члена последовательности находится произведение двух последовательных натуральных чисел и Тогда, если предположить, что  то, используя данную формулу, мы можем найти любой член последовательности.

Ответ:

Если мы можем указать любой член последовательности, то эта последовательность считается заданной.

Способы задания числовых последовательностей

Вообще числовые последовательности можно задавать различными способами. Из этих способов наиболее удобным и часто применяемым является задание последовательности формулой ее п-го члена (общего члена ), т.е. формулой, выражающей любой член последовательности. Например, с помощью формулы мы можем найти любой член последовательности: при n=1, при n=2, при n=3, при n=4 и т. д. Тогда формулой определяется числовая последовательность 1, 4, 9, 16, 25, ..., 
... . А формулой определяется последовательность

Иногда числовую последовательность задают способом описания членов этой последовательности. Например, последовательность 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... мы определили как последовательность десятичных приближений числа по недостатку.

Кроме этого, последовательность определяется заданием нескольких первых ее членов и заданием способа определения последующих членов с помощью ее предыдущих членов. Например, пусть а последующие члены равны сумме предшествующих двух ее членов: Тогда мы получим следующую последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... . Эту последовательность чисел называют числами Фибоначчи (Фибоначчи (Леонардо Пизанский), 1170-1250, итальянский математик). Указанный способ определения числовой последовательности называют рекуррентным способом (от латинского слова reccuro, означающего возврат, возвращение), а соответствующую формулу - рекуррентной формулой.

Монотонные последовательности

Если для последовательности при любом натуральном п верно неравенство т. е., если любой член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего ее члена, то эта последовательность называется возрастающей. А если выполняется неравенство то эта последовательность называется убывающей.

Если вместо указанных неравенств (или выполняются неравенства вида (или то соответствующая последовательность называется неубывающей (невозрастающей). В целом возрастающие и убывающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями. Например, последовательности 

являются возрастающими, а последовательности

являются убывающими. Если убывание членов последовательности не вызывает сомнения, то факт убывания последовательности требует доказательства. Действительно, так как то определим знак разности

Следовательно, т. е. последовательность  является убывающей. Аналогично последовательность 1, 1,    является неубывающей, так как некоторые члены этой последовательности равны между собой и каждый член последовательности не больше предыдущего.

Не все последовательности являются монотонными. Например, последовательность не является монотонной (является знакочередующейся).

Если существует число А такое, что для каждого члена последовательности  выполняется неравенство то последовательность называется ограниченной снизу. А если же существует число В такое, что верно неравенство для любого то последовательность называется ограниченной сверху. Если последовательность ограничена как сверху, так и снизу, т. е. если существуют числа А и В такие, что для каждого члена последовательности выполнены неравенства то эту последовательность называют ограниченной. Например, рассмотрим последовательность:

Здесь последовательности 1), 2) и 3) ограничены снизу, так как каждый член этих последовательностей больше нуля. Последовательности 2), 3) и 4) ограничены сверху, так как каждый член этих последовательностей меньше, например, двух. Тогда последовательности 2) и 3) ограничены как снизу, так и сверху, т.е. являются ограниченными. А последовательность 5) не ограничена ни сверху, ни снизу.

Метод математической индукции

Изучив материалы данной темы, вы будете:

Способ рассуждения, при котором на основании частных утверждений делается более общий вывод (утверждение), называется индукцией. Например, рассмотрим суммы первых нечетных натуральных чисел:

Здесь первую строку будем рассматривать как сумму, состоящую из одного слагаемого. Подобные суммы часто используются в математике. На основании этих частных примеров можно выдвинуть гипотезу о том, что при произвольном количестве слагаемых сумма первых нечетных чисел равна квадрату числа слагаемых, т.е. для каждого натурального числа n верно равенство Очевидно, что это лишь недоказанная гипотеза. Ее истинность покажем позже.

Рассмотрим еще один пример. Пусть задан квадратный трехчлен где n - натуральное число. При n, равном 1, 2, 3, 4, 5, нетрудно установить, что значения этого квадратного трехчлена - простые числа: Р(1)=43, Р(2)=47, Р(3)=53; Р(4)=61, Р(5)=71 и т.д. Отсюда напрашивается гипотеза о том, что значения квадратного трехчлена Р(n) при любом натуральном n являются простыми числами. Однако эта гипотеза является ошибочной, т.к. при n=41 не является простым числом.

Из этих двух примеров видим, что на основе одних и тех же .методов рассуждений мы получили различные результаты. Если выводы первого примера истинны, то выводы второго примера являются ложными. Поэтому указанный метод рассуждения, когда делают общие выводы на основе частных утверждений, не является методом доказательства математических утверждений. Однако этот метод способствует выдвижению гипотез, истинность которых устанавливается другими методами. Рассмотренный нами метод рассуждения называется неполной индукцией.

Если вывод сделан на основе анализа всех возможных частных исходов, то этот метод умозаключений называется полной индукцией. Очевидно, что данный метод удобно применять в тех случаях, когда количество всех возможных исходов конечно. Рассмотрим примеры применения полной индукции.

Пример 1. Докажем, что количество простых множителей натуральных чисел n, удовлетворяющих неравенству не превышает 3.

 Действительно, данному неравенству удовлетворяют только следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Поэтому мы их будем считать состоящими из одного сомножителя. А числа 4, 6, 9, 10, 14, 15 состоят из произведения двух простых множителей. И, наконец, числа 8 и 12 состоят из трех простых сомножителей. Итак, мы рассмотрели все возможные случаи. Следовательно, данное утверждение истинно.

Пример 2. Покажем, что равенство не выполняется ни при каких целых значениях m и n.

 Рассмотрим следующие 2 случая.

1)    Пусть m=2k, - любое четное целое число, а n - любое целое число. Тогда имеем равенство Это равенство не может выполняться ни при каких целых k и n, т.к. его левая часть делится на 4, а правая - не делится на 4.

2)    Пусть m=2k+1, - любое нечетное целое число, а n - произвольное целое число. Тогда имеем равенство или или  Это равенство также не может быть выполнено, т. к. его левая часть является четным числом, а правая - нечетным.

Итак, мы показали, что равенство не выполняется при любом целом n и при любом четном m или нечетном m. Следовательно, равенство не выполняется при любых целых m и n. Что и требовалось доказать.

Теперь покажем, что равенство

верно при любом натуральном n. Как было отмечено выше, равенством (1) определяется лишь гипотеза, которая зависит от натурального n. Для удобства это утверждение, т.е. гипотезу, определяемую равенством (1), обозначим через А(n). Выше мы проверили истинность высказываний А(1), А(2), А(3), А(4), А(5). Напишем утверждение А(5): Считая это утверждение доказанным, в качестве его следствия покажем истинность утверждения А(6). Действительно,

Вообще, если утверждение A(k) истинно, т.е. верно равенство

то истинность утверждения А(k+1) проверяется легко:

Отсюда имеем следующую цепочку истинных утверждений:

Эту запись нужно понимать так: «Если истинно А(5), то истинно А(6), если истинно А(6), то истинно А(7) и т. д.». Итак, продолжая эту цепочку рассуждений из истинности утверждения А(1), можно получить истинность утверждения  для любого натурального n. Этот метод доказательства называется методом математической индукции. Теперь дадим его формулировку.

Если утверждение А(п) истинно при п=1 и из его истинности при n=k (k - любое натуральное число) вытекает истинность утверждения А(п) при п=А+1, то данное утверждение истинно при любом натуральном п.

Этот метод математической индукции, который часто используют при доказательстве многих математических утверждений, является одной из основных аксиом теории натуральных чисел.

Итак, применение метода математической индукции состоит из следующих двух этапов.

I этап. Проверка истинности утверждения А(1).

II этап. Считая, что при n=k утверждение A(k) истинно, нужно доказать истинность утверждения А(k+1) при n=k+n, т. е. нужно показать истинность логического следования

Если доказаны оба указанных этапа, то по методу математической индукции утверждение А(п) истинно для любого натурального n.

Теперь по поводу истинности равенства (1): утверждение А(1) истинно и из истинности А(k) вытекает истинность утверждения А(k+1). Следовательно, по методу математической индукции равенство (1) верно для любого натурального n.

Пример 3. Найдем сумму

при любом натуральном n.

Сначала, применяя метод неполной индукции, определим закономерность этой суммы, т.е. выдвинем необходимую гипотезу. Для этого сумму (2) обозначим через Тогда

Отсюда мы видим, что числители этих сумм равны количеству слагаемых, а знаменатель на единицу больше числителя.

Следовательно, можно выдвинуть гипотезу о том, что для любого натурального n верно равенство

Теперь докажем эту гипотезу по методу математической
индукции.

1)    Если n=1, то и утверждение А(1) истинно. 

2)    Теперь, считая, что А(k) истинно, нужно доказать истинность утверждения А(k+1), т.е. нужно показать истинность утверждения

Пусть равенство верно. Тогда

что и требовалось установить. Тогда по методу математической индукции равенство   верно для любого натурального n. 

Замечание. Иногда утверждение А(п), хотя и не выполняется для n=1, п=2, .... п=m-1, может быть верным, начиная с п =т. Тогда первый этап доказательства методом математической индукции начинают с проверки истинности утверждения А(т), а затем, полагая истинным утверждение A(k), доказывают истинность утверждения А(k+1).

Пример 4. Покажем, что для любого натурального верно неравенство 

1) Если n=5, то и и выполняется данное неравенство.

2) Пусть при n=k,  верно неравенство Нужно показать, что выполняется неравенство

Для этого, умножив неравенство на 2, получим неравенство Достаточно показать, что при  выполняется неравенство или

Действительно, так как то выполняется неравенство или  т.е. Итак, исходное неравенство верно для любого натурального

Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Понятие арифметической прогрессии:

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, при делении которых на 3 остаток равен 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16 .... . Мы видим, что каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением числа 3 к предшествующему члену последовательности. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии. Термин прогрессия произошел от латинского слова progressio, что означает «движение вперед». Теперь приведем определение арифметической прогрессии.

Определение. Числовая последовательность  ...  ..., в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Другими словами, если для любого натурального числа п и некоторого постоянного числа d выполняется равенство

то последовательность называется арифметической прогрессией, а число d - разностью арифметической прогрессии. Числа, составляющие прогрессию, называются ее членами.

Итак, для разности арифметической прогрессии выполняется равенство

В рассмотренном выше примере поэтому

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Покажем, что арифметическая прогрессия полностью определяется заданием ее первого члена  и разности d. Для этого достаточно выразить через d и .

По определению арифметической прогрессии

Отсюда получаем гипотезу

Эта формула доказывается методом математической индукции.

1)    При n=2 равенство истинно.

2)    Считая, что при n=k верно равенство докажем истинность равенства при n=k+1.

Действительно, по определению арифметической прогрессии

что и требовалось доказать. 

Итак, мы имеем формулу п-го члена арифметической прогрессии:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти 25-й член арифметической прогрессии если =-2, d=0,5.

По формуле

Пример 2. Между числами 9 и 5 нужно расположить 7 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.

Если числа 9 и 5 вместе с искомыми семью числами составляют арифметическую прогрессию, то Тогда требуется найти числа По формуле (3) получим, что Тогда

Преобразуя равенство (3), получим равенство Следовательно, n-й член арифметической прогрессии можно представить в виде где k и b - заданные числа. Справедливо и обратное утверждение. Для любых чисел k и b, заданных формулой

определяется арифметическая прогрессия

 Действительно, рассмотрим разность (n+1)-го и n-го членов последовательности 

Итак, для любого натурального n выполняется равенство Тогда по определению является арифметической прогрессией с разностью k. 

Кроме того, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов прогрессии:

 Действительно, по определению Почленно складывая эти равенства, получим:   или

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Понятие геометрической прогрессии:

Определение. Числовая последовательность в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему числу, умноженному на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией. Другими словами, если для любого натурального п и некоторого постоянного числа у выполняется равенство

то последовательность называется геометрической прогрессией, а число q - знаменателем геометрической прогрессии.

Числа, составляющие прогрессию, называются ее членами.   

Например, рассмотрим последовательность, членами которой являются числа  Каждый член этой последовательности, начиная со второго, равен произведению предшествующего члена на 2 : т.е. эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q=2. Здесь  являются членами геометрической прогрессии. Очевидно, что первый член каждой геометрической прогрессии отличен от нуля: Т.к., если то каждый член этой последовательности был бы равен 0.

Если и q=0,1, то последовательность 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, ... является геометрической прогрессией.

Если и q=3, то последовательность -3, -9, -27, -81, ... является геометрической прогрессией.

Если и q=-5, то последовательность 2, -10, 50, -250, ... является геометрической прогрессией.

Если и q=1, то последовательность 4, 4, 4, 4, ... не является геометрической прогрессией.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Определим n-й член геометрической прогрессии. По определению имеем:

Отсюда

Предположим, что выполняется эта формула. Докажем ее методом математической индукции.

Действительно, при n=2 выполняется равенство Пусть при n=k формула верна. Тогда при n=k+1 докажем справедливость равенства  По определению
Что и требовалось доказать. 

Итак, n-й член геометрической прогрессии определяется формулой (2).

Пример 1. Пусть Найдем 8-й член геометрической прогрессии
 По формуле (2)  

Пример 2. Найдем 4-й и n-й члены геометрической прогрессии 12, 24, ... .

Т. к. то Тогда

Теперь покажем справедливость следующего утверждения.

Теорема. Каждый член геометрической прогрессии с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов:

 Действительно, (по определению). Отсюда Тогда

Формулы суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

Раcсмотрим еще одно свойство арифметической прогрессии.

Если числа являются первыми п членами арифметической прогрессии, то сумма членов, расположенных на одинаковом «расстоянии» от краев этой последовательности, равна сумме ее крайних членов, т.е. для любого числа верно равенство

Действительно, Что и требовалось доказать. 

Теперь определим сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Тогда

или

Складывая эти равенства почленно, получим:

Применяя формулу (1), получим:

Отсюда имеем формулу

Если учесть, что то получим другую формулу для нахождения суммы:

Пример 1. Найдем сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Так как и то сначала найдем значение n. По формуле (d=3) имеем 99=12+(n-1 )3n=30. Тогда

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

Теперь выведем формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии. Пусть есть первые n члены геометрической прогрессии, a q - ее знаменатель. Если через  обозначим сумму первых n членов геометрической прогрессии, то из равенства учитывая, что имеем:

Умножив равенство (4) на q, получим:

Из равенства (4) вычтем равенство (5):

Отсюда получим формулу

Здесь

Пример 2. В геометрической прогрессии  найдем если

По формуле (6)

Отсюда снова, применяя формулу (6), получим:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Определение. При последовательность

называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Итак, мы видим, что при число  с возрастанием номера n бесконечно приближается к нулю. Этот факт записывают так:

при  Поэтому общий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к нулю при т.е. при

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

При общий вид бесконечно убывающих геометрических прогрессий представлен в виде (1). Теперь определим сумму всех членов этой прогрессии:

Рассмотрим сумму первых n членов этой прогрессии:

 

Как уже отмечали при и  имеем  поэтому С другой стороны
при следовательно,

 

Отсюда следует следующее правило.

Теорема. Сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна отношению ее первого члена к числу, равному разности единицы и знаменателя прогрессии.

Теперь по формуле (2) найдем сумму площадей всех квадратов и треугольников, упомянутых выше.

1)    Последовательность площадей квадратиков имеет вид:

Тогда q = 1, и по формуле (2)

т.е. сумма площадей всех квадратов на рис. 3.2 равна 2.

2)    Аналогично последовательность площадей треугольников (рис. 3.3) имеет вид   По формуле (2)

т.е. сумма площадей всех треугольников равна

Пример 3.

Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь:

Здесь на примерах рассмотрим способ обращения десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь с применением формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 4. Запишем число 2,7 (31) в виде обыкновенной дроби.

Здесь ряд является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Тогда по формуле Поэтому

Пример 5. Запишем число 0,2(3) в виде обыкновенной дроби.

Тригонометрия

Тригонометрия – (от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Градусная и радианная меры угла и дуги

Градусная мера дуги - угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).

Углы и дуги

С тригонометрическими функциями sin , cos , tg  и ctg вы уже встречались в курсе геометрии за 8 класс. Теперь мы приступим к систематическому изучению тригонометрических функций. Для этого сначала глубже рассмотрим понятие угла.

В курсе геометрии вы в основном рассматривали углы в пределах до 360°, а тригонометрические функции для углов до 180°. Лишь изредка нами рассматривались углы, большие, чем 360°. Например, сумма внутренних углов n-угольника равна (n-2)*180°. Если n=5, то сумма внутренних углов пятиугольника равна 3-180с=540°. Если то величину этого угла геометрически можно изобразить так, как показано на рис. 4.1. Поэтому возникают вопросы «как нужно понимать угол, равный 540°?», «каков его геометрический смысл?»

Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом R (рис. 4.2). Вектор , соединяющий начало координат и точку А окружности, называется радиус-вектором точки А. Тогда любой угол можно рассмотреть как фигуру, образованную вращением радиус-вектора  около центра О. Здесь нужно заметить, что радиус-вектор  можно вращать в двух направлениях: против хода часовой стрелки и по ходу часовой стрелки. Направление вращения против хода часовой стрелки называется положительным направлением, а по ходу часовой стрелки - отрицательным направлением.

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

Углы, полученные вращением радиус-вектора  в положительном направлении, берутся со знаком «плюс», а в отрицательном направлении - со знаком «минус». Например, на рис. 4.2 изображены углы, равные +60° и -60°. Здесь Угол между вектором и  положительным направлением оси Ох (рис. 4.3), т.е. угол, соответствующий неподвижному состоянию радиус-вектора , считается равным 0°. Однако вектор  может возвратиться на свое исходное положение, сделав несколько оборотов вокруг центра против хода часовой стрелки. В таких случаях, т.е. когда радиус-вектор  возвращается в исходное положение, сделав n оборотов против хода часовой стрелки, говорят, что угол между радиус-вектором и  положительным направлением оси Ох равен n*360°. Например, на рис. 4.3 угол между вектором и  осью Ох равен 2*360°=720°. Если вектор  возвращается в исходное положение, сделав m оборотов по ходу часовой стрелки, то угол между вектором ОА и осью Ох считается равным m*360°. Аналогично рассматривается геометрический смысл любого угла.

Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

Например, 440° можно представить так: 440°=80°+360°. Тогда считается, что радиус-вектор ОВ, составляющий с положительным направлением оси Ох угол, равный 80°, возвращается в исходное положение, сделав полный оборот по окружности против хода часовой стрелки (рис.4.4). Так как -750°=-30°-2*360°, то радиус-вектор сделав два полных оборота по ходу часовой стрелки, будет расположен так, чтобы он составил с положительным направлением оси Ох угол, равный -30° (рис. 4.5).

Радианная мера угла

До сих пор углы мы измеряли в градусах и научились изображать углы любой заданной градусной меры.

Теперь рассмотрим еще одну меру измерения углов. Эту единицу измерения углов называют радианом. Дадим определение этому понятию. Из курса геометрии известно, что градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла, стороны которого опираются на эту дугу.

Определение. Радианом называется угловая мера дуги окружности, длина которой равна радиусу окружности.

Здесь радианную меру дуги (угла) мы определили через радиус окружности. Мы должны показать, что радианная мера угла не зависит от выбора окружности. Действительно, длина окружности с радиусом r равна  Тогда дуга, длина которой равна r, составляет часть длины окружности.

Поэтому центральный угол должен составлять часть от 360° (рис. 4.6, 4.7):

А этот угол не зависит от радиуса окружности. Итак,

1 радиан -

Отсюда радиана. (2)

Рис. 4.6.

Рис. 4.7.

Обычно на практике вместо записи =1 радиану, =-0,5 радиана, радиана ит. п. просто пишут =1,=-0,5,, т.е. если углы заданы без указания их градусной меры, то считается, что этот угол задан в радианной мере. Чтобы перейти от градусной меры угла к ее радианной мере и обратно, от радианной меры к ее градусной мере, нужно воспользоваться формулами (1) и (2). В общем случае формулу перехода от градусной меры угла к его радинной мере и обратно легче запомнить в виде следующей таблицы.

Аналогично показанному выше можно изобразить любой угол, заданный в радианной мере. Например, на рис. 4.8 один и тот же радиус-вектор  определяет неравные между собой  углы и 

Рис. 4.8.

Замечание. Рассмотренную здесь окружность часто называют единичной окружностью. Радиус этой окружности равен 1.

Определение тригонометрических функций

Определение тригонометрических функций для любого угла:

Здесь мы определим тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс для произвольного угла Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом R. На этой окружности возьмем точку В так, чтобы угол между радиус-вектором и положительным направлением оси Ох был равен Обозначим через (х; у) координаты точки В: В(х; у) (рис. 4.10).

Рис. 4.10.

Определение. 1) Отношение ординаты точки В к радиусу R окружности называется синусом угла

2)  Отношение абсциссы точки В к радиусу R окружности называется косинусом угла

3) Отношение синуса угла к косинусу этого угла называется тангенсом угла

4)    Отношение косинуса угла к синусу этого угла называется котангенсом угла

В курсе геометрии мы показали, что при синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла и не зависят от выбора соответствующего прямоугольного треугольника. Аналогично покажем, что при любом эти функции не зависят от радиуса окружности R, т. е. значения и не зависят от выбранной нами окружности.

Рис. 4.11.

 Действительно, как показано на рис. 4.11, рассмотрим две окружности радиусами и с общим центром в точке О. Пусть угол между вектором и положительным направлением оси Ох равен и луч пересекает окружность радиусом в точке Тогда пусть и Через и обозначим основания перпендикуляров, опущенных из точек и соответственно на ось Ох. Тогда из подобия прямоугольных треугольников и имеем: Так как  и то получим равенство  Отсюда, так как точки и расположены в одной координатной четверти, то числа и  имеют одинаковые знаки. Следовательно, верно равенство  т.е. отношение не зависит от радиуса R окружности.

Так как отношение определено для любого угла то выражение  определено для любого угла Аналогично и выражение  определено для любого угла Напротив, выражения  и  определены не для всех углов Например, выражение определено лишь для тех углов для которых

Так как то необходимо, чтобы

Следовательно, Итак, при равном ±90°, ±270°, ±450°, ..., выражение  не определено, т.к отношение не имеет смысла. Аналогично, при равном 0°, ±180°, ±360°, ..., выражение не определено, т.е. выражение  определено для всех , за исключением =n*180°, n=0, ±1, ±2, ... .

Любое действительное число х можно рассматривать как радианную меру некоторого угла. Следовательно, для любого х выражения sinx и соsх определены. Поэтому выражения sinx и соsх можно рассматривать как функции, зависящие от аргумента х. Аналогично определяются и функции tgx, и ctgx, (здесь Z - множество целых
чисел). В целом функции y=sinx, y=cosx, y=tgx и y=ctgx называются тригонометрическими функциями. Как было замечено выше, областью определения функции y=sinx и y=cosx является множество всех действительных чисел

А из неравенств и следует справедливость неравенств и Следовательно, множество [-1;1] является областью значений функций y=sinx и у=соsх.

Область определения функции y=tgx определяется неравенствами а функции y=ctgx - неравенствами Кроме того, из неравенств  и
следует, что областью значений функций y=tgx и y=ctgx является множество всех действительных чисел.

Из рис. 4.10 видно, что выполняется равенство  Отсюда имеем, что верно равенство или 

Поэтому по определению тригонометрических функций имеем, что для любого х верно тождество

Это тождество называется основным тригонометрическим тождеством.

Замечание. Иногда вместо круга радиусом R рассматривают круг радиусом 1. Так как ОВ=1, то  определяется как ордината точки В, а - как абсцисса этой точки. Поэтому круг радиусом 1 называется тригонометрическим кругом.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Пример 1. Окружность с центром в начале координат и радиусом 1 точками разделена на 12 равных частей. Эти точки, начиная с расположены на окружности против хода часовой стрелки в порядке возрастания номеров. Требуется найти значения тригонометрических функций углов, соответствующих этим точкам.

Рис. 4.12

Точкам соответствуют углы 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°, 270°, 300°, 330° (в радианах эти углы таковы: ) (рис. 4.12).

А так как  то sin0°=0,
sin90°=1, ... и cos0°=1, ... .

Кроме того, если учесть, что sin 45°,=sin135°=cos45°=cos315°=sin225°=sin315°=cos135°=cos 225°= то получим следующую таблицу:

Свойства тригонометрических функций

Перечислим основные свойства функции y = sin x.

1) D(y): x ∈ R, то есть область определения - все действительные числа.

2) E(y): y ∈ [−1; 1]. Это означает, что наибольшее значение функции y = sin x равно единице, а наименьшее - минус единице.

3) Функция y = sin x - нечетная. Ее график симметричен относительно нуля.

4) Функция y = sin x - периодическая. Ее наименьший положительный период равен 2π.

Знаки тригонометрических функций

По определению на единичной окружности (R=1) верны равенства  и (рис. 4.13).

Рис. 4.13.

Если В(х;у) находится в I координатной четверти, то х>0, у>0, а следовательно, выполняются неравенства

Если В(х;у) находится во II четверти, то х<0, у>0. Поэтому

Если B(x; у) находится в III четверти, то х<0, у<0. Поэтому

Если B(x; у) находится в IV четверти, то х>0, у<0. Поэтому

Рис. 4.14.

На рис. 4.14 изображены знаки тригонометрических функций в соответствующих координатных четвертях.

Пример 1. Пусть а) = 350°; б) Определим знаки и     5

а) Так как угол, равный 350°, находится в IV четверти, то sin350°<0, cos350°>0, tg350°<0, ctg350°<0.

б) Так как то соответствующий угол находится во II четверти. Тогда

Четность тригонометрических функций

Определение 1. Функция y=f(x) называется четной, если для каждого значения аргумента х выполняется равенство

f(-x)=f(x).    (1)

Рис. 4.15

Здесь область определения функции должна быть симметричной относительно начала координат.

Например, функции у=|х| четные, так как |-х|=|х|.

Если точка М(a; b) принадлежит графику функции y=f(x), то выполняется равенство b=f(a). А в силу равенства (1) f(-a)= f(a)=b. Следовательно, точка N(-a; b) также принадлежит графику функции y=f(x). Отсюда следует, что график четной функции симметричен относительно оси Оу (рис. 4.15).

Определение 2. Функция y=f(x) называется нечетной, если для каждого значения аргумента х выполняется равенство

f(-x)=-f(x).    (2)

Рис. 4.16.

Здесь область определения функции должна быть симметричной относительно начала координат.

Например, функции у=х, нечетные.
Если точка Р(а; b) принадлежит графику нечетной функции y=f(x), то b=f(a). По определению    f(-a)=-f(a)=-b. Следовательно, точка Q(-a; -b) также принадлежит графику этой функции, т.е. график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 4.16).

Из сказанного выше не следует думать, что функции делятся на четные и нечетные. Например, функция  не является четной и не является нечетной, т.к. т.е. и ни одно из равенств (1) и (2} не выполняется.

Наряду с этим, чтобы функция являлась четной или нечетной, область ее определения должна быть симметрична относительно начала координат, потому что в области определения функции наряду с точкой а находится и точка -а. Только тогда представляется возможность проверки четности или нечетности функции с помощью равенств (1), (2).

Функции, которые не являются четными и не являются нечетными, называются функциями общего вида (ФОВ). Тогда функция является функцией общего вида.

Рис. 4.17.

На рис. 4.17 углам и - соответствуют точки В и С. Если В(х; у), то С(х; -y). Поэтому sin(-)=-y=-sin, cos(-)=x=cos,

Тогда по определению функции sin, tg и ctg являются нечетными, а функция cos — четной.

Пример 2. Определим четность или нечетность функции

Если для каждого значения х справедливо равенство f(-x)=-f(x), то функция f(х) является нечетной. А если справедливо равенство f(-x)=f(x), то функция f(х) является четной. Из этого определения, учитывая, что sinx, tgx - нечетные функции, получим равенство

Тогда f(х) - нечетная функция. 

Периодичность тригонометрических функций

Определение 3. Если для функции y=f(x) существует число такое, что для любого значения аргумента х выполняется равенство

f(x+T)=f(x),    (3)

то функция называется периодической, а число Т - периодом функции.

Из равенства (3) следует, что каждое значение периодической функции y=f(x) повторяется через каждый промежуток длиной Т. Это свойство периодической функции используют при построении ее графика. Например, функция у={х} периодическая (выражение {х} определяет дробную часть числа х), ее период равен 1. Действительно, если к числу х прибавить 1, то целая часть числа увеличится на 1, а дробная ее часть не меняется: {х+1}={х}. Это значит, что вид графика этой функции в промежутке [0; 1) такой же, что и в промежутках [1; 2), [2; 3) и т. д. (рис. 4.18). Если число Т является периодом функции y=f(x), то числа ±2Т, ±ЗТ, ±4T.... также являются периодами этой функции.

Рис. 4.18

Действительно,
и т.п., аналогично

 и т.п.

Рис. 4.19.

Рис. 4.20

Итак, каждая периодическая функция имеет бесчисленное множество периодов. А здесь в качестве Т берут наименьший положительный период этой функции. Например, для функции у={х} числа ±1, ±2, ±3, ±4 являются периодами, а 1 - ее наименьший положительный период.

На рис. 4.19 точке В соответствует угол или угол А на рис. 4.20 точке В соответствует угол или угол Следовательно, по определению  Отсюда В целом аналогично точке В соответствуют углы и и поэтому верно равенство т.е. функция  периодическая и ее период равен  n - любое целое число. Аналогично где т.е. функция  периодическая и ее период равен 

Так как полному обороту против хода часовой стрелки соответствует угол то это число является наименьшим положительным периодом функций  и .

Рис. 4.21.

А наименьший положительный период функций и  равен Действительно, радиус-векторы, определяемые углами и противоположно направлены и поэтому находятся в противоположных координатных четвертях. Следовательно, если углу на единичной окружности соответствует точка В(х;у), то углу - точка С(-х;-у) (рис. 4.21). Так как то

Отсюда имеем, что период функций и  равен

Итак, период функций  и  равен а их наименьший положительный период равен (360°). Также период функций и равен (180°n), а их наименьший положительный период равен (180°). Здесь n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; ... - любое целое число.

Пример 3. Найдем значения функций и  при: а) =-1125°;             б)

а) Здесь надо учитывать периодичность тригонометрических функций. Так как 1125°=3*360° +45°, то

б) Так как то 

Формулы приведения

Если выполняется равенство то углы и  являются  углами, дополняющими друг друга до  (дополнительными углами). А тригонометрические функции синус и косинус, тангенс и котангенс являются сходственными функциями.

Рис. 4.22.

Рис. 4.23.

Теорема. Значения сходственных функций дополнительных углов равны.

Покажем, что для дополнительных углов  и   верны равенства

Пусть этому углу на единичной окружности соответствует точка В(х; у) (рис. 4.22). Если С(х;0), то Отсюда, по свойству прямоугольного треугольника, имеем Тогда т.е.

Пусть теперь (рис. 4.23). Здесь В(х,у), С(х;0). Если то Ha единичной окружности возьмем точку соответствующую углу Тогда из равенства прямоугольных треугольников ОВС и имеем равенства Отсюда Так как то Равенство    доказывается аналогично. В целом аналогично доказывается справедливость равенств (1) для любого угла

Теорема для других сходственных функций доказывается так:

Теорема доказана полностью. 

Формулы, выражающие тригонометрические функции и через тригонометрические функции угла называют формулами приведения.

а)  Если в формулах (1) и (2) заменить на -, то получим формулы

б)  Аналогично верны равенства

в) Если в формулах (4) заменить на -, то получим формулы

г)  Для угла 

д)  Если в формулах (6) заменить на -, то получим формулы

e)    Наконец, если учесть, что является периодом тригонометрических функций,то

и

Итак, формулы (1)- (9) называются формулами приведения, которые легче записать в виде следующей таблицы:

Пример 1. Пусть а) б) Найдем значения

а) Так как то, применяя формулы приведения, имеем

б) Учитывая, что получим равенства

Пример 2. Докажем, что для любого верно равенство

 По формулам приведения

Тогда

Замечание. Формулы приведения верны для любого угла Например, формулу нужно понимать следующим образом. Для любого угла верно равенство   Если предложить, что то верно равенство а если   то справедливо равенство

Формулы приведения в виде таблицы, указанной выше, запомнить очень сложно. Если тщательно проанализировать таблицу формул приведения, то мы видим, что функции либо не меняются, либо меняются на сходственные функции. При этом знаки также меняются (либо знак "+", либо - "-"). Поэтому предполагая, что - острый угол  достаточно запомнить следующие правила применения формул приведения.

1-е правило. Определение знака. Нужно определить координатную четверть, в которой расположен радиус-вектор, соответствующий углу или углу Для формулы приведения берется тот знак, который имеет рассматриваемая функция в этой координатной четверти.

2-е правило. Изменение названия функции. Если в аргументе функции имеются слагаемые, кратные (90°), т.е. слагаемые вида (90°*k) (здесь k - нечетное число), то функция меняется на сходственную функцию.
Если в аргументе функции имеются слагаемые вида (180°k), то название функции не меняется.

Например, т.к. радиус-вектор угла  расположен в IV четверти, и в нем синус принимает отрицательные значения, то берется знак "-". А поскольку угол  кратен то синус меняется на косинус.

Тригонометрические формулы

Применение основных тригонометрических тождеств при преобразовании тригонометрических выражений:

При преобразовании тригонометрических выражений, зависящих от одного и того же аргумента, используют основное тригонометрическое тождество

формулы, полученные из определения тангенса и котангенса:

и следствия этих формул. Например, из равенств (2) получаем тождество

а при почленном делении тождества (1) на и соответственно получаем тождества

Теперь покажем применение этих формул для преобразования более сложных тригонометрических выражений.

Пример 1. Упростим выражение

Применяя формулы (4) и (5), имеем:

Пример 2. Упростим выражение

Возведя в квадрат правую и левую части формулы (1), имеем:

Отсюда

Аналогично имеем:

Тогда исходное выражение преобразовывается так:

Пример 3. Докажем тождество  

 Преобразуем левую часть данного тождества.

что и требовалось доказать. 

Пример 4. Найдем значение выражения  если

Возведя обе части равенства в квадрат, получим:

Отсюда

Формулы сложения

Формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности углов через тригонометрические функции этих углов, называются формулами сложения. Выведем эти формулы.

Пусть даны углы и и пусть на единичной окружности точка соответствует углу  а точка - углу (рис. 4.25).

Рис. 4.25.

Рис. 4.26.

Тогда вектор  имеет координаты а вектор  - координаты  По определению скалярного произведения векторов имеем:

Так как по определению синуса и косинуса выполняются равенства то равенство (1) можно записать так:

С другой стороны, так как  то по другому определению скалярного
произведения векторов имеем:

Теперь, сравнивая равенства (2) и (3), получим формулу

Здесь учитывается равенство

Если (рис. 4.26), то и выполняется равенство И в этом случае также выполняется формула (4).

Замечание. Мы показали справедливость формулы (4) при На самом деле эта формула верна для любых углов  и Только нужно учесть, что в этом случае могут появиться дополнительные слагаемые вида

Итак, мы показали, что для любых и  верна формула

Из этой формулы вытекает справедливость формулы

Действительно,

что и требовалось доказать. Аналогично верны формулы

Справедливость этих формул устанавливается так:
 

и

Формулы (4)-(7) называются формулами сложения для синуса и косинуса. Из этих формул несложно получить справедливость формул

Действительно:

Пример 1. Найдем значения выражений:
а) б) sin105°;    в)

a)

б)

в)

Пример 2. Найдем наибольшее значение выражения

Записав данное выражение в виде
и учитывая, что имеем:

Так как наибольшее значение выражения равно 2, то наибольшее значение данного выражения также равно 2. 

Формулы двойного угла

Если в выражениях и формул сложения предположить, что то тригонометрические функции двойного аргумента можем выразить через тригонометрические функции угла

т.е. имеем формулы

Аналогично справедливы формулы

Эти формулы называются формулами двойного угла. Преобразуя формулу (2), можно получить равенства

и

Из этих равенств получаются формулы

Эти формулы называются формулами понижения степени.

Пример 1. Выразим через

Итак, Аналогично получается и формула

Формулы половинного угла

Если в формулах ((1)-(4)) двойного угла вместо подставить то получим формулы половинного угла:

Применяя эти формулы, имеем:

 

Также верны равенства

Пример 2. He применяя таблицу, нужно найти значение

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

При решении многих задач возникает необходимость преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. В этой связи преобразуем выражения в произведение.

Для этого, вводя обозначения и применяя формулы сложения, имеем:

Из равенств получаем

Поэтому верна формула

Аналогично можно вывести формулы

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность

Кроме того, имеются формулы, преобразующие выражения в сумму:

Методы доказательства этих формул подобны. Поэтому приведем доказательство лишь формулы (5). По формуле сложения

 Почленно складывая эти равенства, получим:

или

Формулы (6) и (7) доказываются аналогично.

Пример 1. Упростим выражение sin84°+sin36°.

По формуле (1)

Пример 2. Найдем значение выражения cos12°-2sin36°sin24°.

 По формуле (6)

Пример 3. Преобразуем сумму tgx+tgy в произведение.

10 класс

Функция, ее свойства и график и спосбы задания

В окружающей нас среде, в науке и технике мы часто сталкиваемся с тем, что одна из величин меняется в зависимости от изменения другой величины. Например, рассмотрим прямой параллелепипед, основанием которого является квадрат со стороной, равной , а высота параллелепипеда равна . Тогда его объем находится по формуле

Если в данной формуле является переменной, то его объем меняется в зависимости от , т.е. объем является функцией, зависящей от (от стороны квадрата). Аналогично на рис. 1.1. изображен график годового показателя изменения температуры в зависимости от времени по месяцам.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Определение. Если каждому значению из числового множества по какому-либо закону стадится в соответствие единственное число , то будем считать, что задана числовая функция
Здесь множество называется областью определения, -независимая переменная (аргумент), - зависимая переменная (функция). Обозначим через множество всех значений функции (зависимой переменной). называется областью значений функции

Множество точек плоскости вида называется графиком функции Например, равенством (1) определяется объем параллелепипеда в зависимости от стороны квадрата . Здесь  - область определения этой функции, а областью значений является множество ;    т.к. по условию  не может равняться 0 или не может быть отрицательным числом. Если предположим, что , то график полученной функции изображен на рис. 1.2.

Мы знаем, что в общем случае график функции является параболой (рис. 1.3).

Теперь рассмотрим уравнение

Этим уравнением определяется окружность радиусом  и с центром в начале координат (рис. 1.4.). Уравнение устанавливает зависимость между переменными и . Например, если - независимая переменная, , то в зависимости от изменения  также меняются значения переменной . Определяется ли равенством (2) функция , зависящая от ? Выясним это.

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Запишем равенство (2) в виде  и, преобразуя его, получим:

Отсюда видно, что каждому значению переменной ставится в соответствие два значения переменной  и 

Здесь мы видим, что нарушаются условия определения функции, т.е. каждому значению аргумента соответствует не единственное значение у, т.е. сразу два значения , и Поэтому равенством (2) не определяется функция. А каждое из равенств  и  по отдельности с указанными областями определения определяет функцию, и их графики изображены на рисунках 1.5 и 1.6 соответственно.

Итак, функция считается заданной, если заданы:

а)    область определения функции, т.е. множество значений независимой переменной;

б)    правило, сопоставляющее каждому значению независимой переменной одно значение зависимой переменной.

Только при выполнении этих условий функция считается заданной. Если одно из данных условий нарушается, то функция не определяется. Например, функции: 1) ;    2) ; 3)  являются разными, несмотря на то, что в этих функциях законы соответствия одинаковые, а области определения разные. Их графики изображены на рис. 1.7-1.9 соответственно.
 

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Способы задания функции

Вам известны три способа задания функции: а) аналитический; б) графический; в) табличный.

а) Если функция задана аналитическим способом, то зависимость между независимой переменной (аргументом) и зависимой переменной (функцией) определяется с помощью формул, т.е. аналитическим выражением. Например,  и т.д.
Область определения функции, заданной аналитическим способом, обычно не указывается. За область определения функции, заданной аналитическим способом, берется область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной на множестве действительных чисел. Например, область определения функции  определяется решением неравенства

Иногда функцию задают различными формулами на разных участках числовой оси:

График этой функции изображен на рис. 1.10.

б) Если построен график функции, то говорят, что функция задана графическим способом. Графический способ задания функции нагляден. Он применяется также в тех случаях, когда не представляется возможным задать функцию аналитическим способом. Например, функцию, график которой изображен на рис. 1.11, очень сложно задать аналитическим способом. Также на рис. 1.1 изображен график изменения средней температуры воздуха в городе Алматы в 2017 году.

в) При исследовании некоторых явлений функцию задают при помощи таблицы. Например, метеорологи каждый час записывают в таблицу сведения о погоде. Табличное задание функции часто применяется и в математике.

Средняя температура воздуха над Европой

В данной таблице указаны среднее значение температуры Европы по мере удаления от поверхности земли. Здесь задана функция, определяющая температуру воздуха в зависимости от высоты удаления от поверхности земли в виде таблицы.
С понятием зависимости одной величины от другой, называемой функцией, и со способами задания функции вы знакомы с 6 класса. В 7-8 классах были рассмотрены некоторые функции и их графики. В 9 классе было дано общее определение функции и изучены методы исследования элементарных функций. В этой главе мы белее расширенно повторим пройденный материал и углубленно изучим свойства числовых функций.

Материалы из истории

Понятие функции складывалось в течение многих веков. До в. под функцией понимались только конкретно заданные зависимости. В те времена вопрос «что называется функцией?» особо не заботил ученых. Они по-разному давали определения этому понятию. Некоторые из них выражали функцию аналитически, т.е. с помощью формул, а другие же - в виде произвольно начерченных кривых. Все же в основе этих подходов лежала возможность установления зависимости между переменными  и . Однако в этих определениях рассматривались только два вида зависимости и поэтому не прекращались споры о том, какое из этих определений функции охватывает более общий случай. Современное определение функции связано с именами таких ученых, как Леонард Эйлер (1707-1783), Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783), Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) и Петер Густав Дирихле (1805-1859), каждый из которых внес огромный вклад в развитие теории функций.

Труды Фурье доказали, что оба определения функции не охватывают в полной мере понятие функции. Позднее были установлены некоторые зависимости между переменными  и , которые не выражались ни аналитически, ни произвольно начерченными кривыми. Например, рассмотрим функцию Дирихле:

Очевидно, что эту функцию нельзя выразить аналитически, т.е. при помощи какой-нибудь формулы. Также невозможно на координатной плоскости построить кривую, являющуюся графиком этой функции. Современное общее определение понятия функции первыми дали Н. Н. Лобачевский и П. Дирихле. Это понятие функции мы рассматривали в 9 классе.

Определение. Функцией называется зависимость переменной от переменной , где каждому значению ( - независимая переменная или аргумент) по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное значение ( - зависимая переменная или функция).

Переменные и принадлежат множеству действительных чисел, и в данном учебнике использован аналог этого определения.

Некоторые свойства функции

Основные свойства функции:

1. Четность и нечетность
2. Периодичность
3. Монотонность (возрастание, убывание)
4. Экстремумы
5. Нули функции

Нули функции и понятие непрерывности функции

Определение. Если при значение функции  равно нулю, т.е. выполняется равенство , то точка называется нулем функции .

Например, так как , то точка является нулем функции .

Вообще, чтобы найти нули функции , достаточно найти корни уравнения . Если существуют корни этого уравнения, то они являются нулями функции . Например, чтобы найти нули функции , нужно найти корни уравнения . Тогда точки и  являются нулями данной квадратичной функции.

Теперь рассмотрим понятие непрерывности функции. Это понятие далее будет рассмотрено на строго математической основе. Здесь же понятие непрерывности функции рассмотрим с помощью графика функции. Сначала рассмотрим примеры.

Пример 1.   Функция  не определена в точке . Ее область определения графиком этой функции

является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях (рис. 1.16), т.е. графиком функции  является кривая, состоящая из двух ветвей. Мы видим, что график этой функции «терпит разрыв» в точке . 

Рис. 1.16

Рис. 1.17

Рис. 1.18

Пример 2. Функция определена во всех точках числовой оси, за исключением точки . По определению знака модуля данную функцию можно записать так:

График этой функции состоит из двух частей (рис. 1.17). Значит, график данной функции «терпит разрыв» в точке

Пример 3. Хотя функция

определена во всех точках множества , ее график состоит из частей нескольких прямых (рис. 1.13.). Мы видим, что график этой функции «терпит разрыв» в точках и .

Точка, в которой график функции «терпит разрыв», называется точкой разрыва функции. Если функция определена на отрезке и на нем она не имеет точек разрыва, то функция  называется непрерывной на этом промежутке. Например, функции и непрерывны во всех точках числовой оси, а функция непрерывна на каждом из промежутков и . Однако во множестве всех действительных чисел она имеет точку разрыва . Поэтому на множестве эта функция не является непрерывной.

Промежутки знакопостоянства функции

Определение. Если функция определена в промежутке и во всех точках этого промежутка выполняется только одно из неравенств или , то промежуток называется промежутком знакопостоянсmвa функции .

Например, для функции каждый из промежутков и является промежутком знакопостоянства, так на промежутке выполняется неравенство , а на промежутке - неравенство . Аналогично, для функции  каждый из промежутков и является промежутком знакопостоянства.

А для функции, рассмотренной в примере 3, промежутками знакопостоянства являются промежутки ,  и .

Из этих примеров мы видим, что точки разрыва являются одним из концов промежутка знакопостоянства. Аналогично, нетрудно убедиться в том, что нули функции также являются одним из концов промежутка знакопостоянства. Сначала рассмотрим пример.

Пример 4. Функция определена во всех точках числовой оси и непрерывна. Ее нулями являются точки  и . Графиком этой функции является парабола, проходящая через точки и , ветви которой направлены вверх (рис. 1.19). Мы х видим, что при  или функция принимает положительные значения, а при -отрицательные значения, т. е. промежутки и являются промежутками знакопостоянства функции.

Рис. 1.19 

В общем случае пусть будет задана функция . Через   обозначим нули функции и точки разрыва (если таковые имеются) данной функции, расположенные в порядке возрастания. Тогда на каждом из промежутков  и  функция непрерывна и на каждом из них она не имеет точек разрыва и нулей. Следовательно, на этих промежутках график функции расположен либо выше оси , либо ниже этой оси, т.е. на каждом из указанных промежутков функция сохраняет свой знак.

Приведем доказательство данного утверждения методом доказательства от противного. Пусть на промежутке , где , , найдутся точки  и  такие, что  и . Для определенности предположим, что . Так как функция непрерывна на промежутке  и точки и расположены по разные стороны от оси , то часть графика функции , соединяющая эти точки, должна пересечь ось по меньшей мере один раз, т.е. на промежутке  функция имеет хотя бы один нуль. Это противоречит тому, что функция на промежутке не имеет нулей. Полученное противоречие доказывает, что функция на промежутке сохраняет свой знак. Отсюда следует, что если и какой-либо точке , где , выполнено неравенство , то функция во всех точках этого промежутка принимает отрицательные (положительные) значения.

Пример 5. Определим промежутки знакопостоянства функции

Так как корни квадратного трехчлена  равны -2 и 1, а корни равны -4 и 1, то данную функцию можно записать так:

Отсюда видно, что функция не определена в точках и (точки разрыва), а точка является нулем этой функции. Тогда точки -4, -2 и 1 делят числовую ось на 4 части: и . На каждом из указанных промежутков функция не меняет своего знака, т.е. они являются промежутками знакопостоянства функции. Так как при имеем , то на этом промежутке функция принимает положительные значения, при имеем , и на этом промежутке функция принимает отрицательные значения, а при имеем , то на этом промежутке функция принимает положительные значения. Аналогично, на промежутке функция принимает положительные значения, так как . Итак, промежутки знакопостоянства данной функции можно видеть из следующей таблицы:

Промежутки возрастания и убывший функции. Экстремум функции

Определение. Если функция определена на промежутке  и для любых  и  uз этого промежутка таких, что , верно неравенство

то эта функция называется возрастающей на промежутке . Если выполняется неравенство

то функция называется убывающей на промежутке .

Другими словами, если для любых двух значений аргумента из большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то эта функция называется возрастающей, а если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то эта функция называется убывающей.

Например, функция, график которой изображен на рисунке 1.20, на промежутке возрастает, а на промежутке убывает.

Теперь определим промежутки возрастания и убывания линейной функции . Пусть , тогда и . Отсюда . Здесь, так как , то знак разности совпадает со знаком коэффициента . Итак, если , то , или . Функция является возрастающей (рис. 1.21). Если , то . Функция является убывающей (рис. 1.22).

Если для функции вместо неравенства (1) выполняется неравенство , то функция называется неубывающей. А если вместо неравенства (2) выполняется неравенство , то функция называется невозрастающей. Например, функция (целая часть ) является неубывающей, так как для любых и таких, что , выполняется неравенство . Ее график изображен на рис. 1.23.

Рис. 1.20

Рис. 1.21

Рис. 1.22

Рис. 1.23

Рис. 1.24

Пример 1. Определим промежутки возрастания и убывания функции .

 Для этого, выделив квадрат двучлена, данную функцию запишем в виде . Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх (рис. 1.24). Отсюда видим, что эта квадратичная функция на промежутке убывает, а на промежутке возрастает.

Теперь рассмотрим понятие экстремума функции. Для этого будем считать, что функция определена на отрезке и ее графиком является непрерывная линия.

Определение. Если функция определена в точке и при переходе через точку слева направо точка является границей соответственно промежутков возрастания и убывания функции , то точка называется точкой максимума этой функции. А если точка является границей соответственно промежутков убывания и возрастания, то  называется точкой минимума функции. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Если является точкой максимума функции , то значение  называют максимумом этой функции и его обозначают так: . Если является точкой минимума функции , то значение называют минимумом этой функции и его обозначают так: . Например, для функции, график которой изображен на рисунке 1.20, точка является точкой максимума, так как на промежутке функция возрастает, а на промежутке  убывает. Итак, . А для квадратичной функции точка является точкой минимума. Следовательно, (рис. 1.24).

Определим наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Для этого определяют все точки минимума и максимума функции из . Пусть - точки экстремума функции на отрезке , расположенные в порядке возрастания. Тогда, включая точки и к этим точкам, находим следующие значения функции: и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения, которые и являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями данной функции на отрезке .

Например, для функции, график которой изображен на рисунке 1.20, наибольшее и наименьшее значения на отрезке равны соответственно  и .

Теперь определим наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции на отрезке . Так как является точкой минимума функции и , то находим значения данной функции в точках 0, 3 и 5: . Следовательно, 5 - наибольшее значение функции, а -4 -наименьшее значение функции (рис. 1.24).

Четная и нечетная функции

Считается, что область определения рассматриваемой в этом пункте функции  симметрична относительно начала координат.

Определение 1. Если для функции верно равенство

тo эта функция называется четной.

Например, функции - четные функции, так как .

На графике функции  рассмотрим точки и .

Если точка принадлежит графику четной функции , то верно равенство . В силу равенства (1) имеем . Следовательно, точка также лежит на графике этой функции. Отсюда следует, что график четкой функции симметричен относительно оси (рис. 1.25).

Определение 2. Если для функции верно равенство

то эта функция называется нечетной.

Рис. 1.25

Например, функции - нечетные функции, так как .

На графике функции рассмотрим точки  и .

Если точка  лежит на графике нечетной функции , то верно равенство . В силу равенства (2) имеем .  Следовательно, точка также лежит на графике этой функции. Отсюда следует, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 1.26).

Ошибочно думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Существуют функции, не являющиеся ни четной, ни нечетной. Например, для функции не выполняется ни одно из равенств (1) и (2), так как .

Рис. 1.26

Функцию, которая не является ни четной, ни нечетной, называют функцией общего вида (ФОВ). Итак, .

Кроме того, для проверки четности или нечетности функции необходимо, чтобы ее область определения была симметричной относительно начала координат, так как в области определения этих функций вместе с точкой должна лежать и точка . Только в этом случае четность или нечетность функции проверяется с помощью равенств (1) и (2).

Простейшая схема исследовании функции

Исследование функции удобно проводить по определенной схеме, что облегчает процесс изучения свойств функции и построения ее графика. Рассмотрим простейшую схему исследования функции.

1. Находят область определения функции, точки разрыва, если таковые имеются.
2. Определяют четность и периодичность функции.
3. Находят точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Находят промежутки знакопостоянства функции.
5. Определяют промежутки возрастания и убывания функции.
6. Находят точки экстремума и значения функции в этих точках.
7. Если это необходимо, то дополнительно находят координаты нескольких точек, принадлежащих графику функции, и схематично строят график функции.

Теперь поясним применение этой схемы на примере.

Пример. Исследуем функцию  и построим ее график.

1. Так как выражение  имеет смысл при любом , то областью определения данной функции является . Следовательно, функция не имеет точек разрыва.

2. а) Сначала вспомним определения четности и нечетности функции.

Определение. Если область определения функции симметрична относительно начала координат и выполняется равенство

то функция называется четной.

А если вместо (1) выполняется равенство

то функция называется нечетной.

Если ни одно из равенств (1) и (2) не выполняется, то функция, называется функцией общего вида (ФОВ).

График четной функции симметричен относительно оси , а график нечетнои функции относительно начала координат.

В нашем случае и , т.е. функция является четной и ее график симметричен относительно оси . Тогда достаточно исследовать функцию при  и построить часть ее графика, расположенную в I и IV координатных четвертях.

б) Если найдется число , такое, что для любого выполняется равенство , то функция  называется периодической с периодом, равным .

В нашем случае данная функция непериодическая, т.к. не существует числа , для которого выполнялось бы указанное равенство.

3.  Для того чтобы найти точки пересечения графика функции  с осью абсцисс, необходимо найти корни уравнения . Тогда график данной функции пересекается с осью в точках  и .

Функция с осью пересекается в точке , т.е. в точке .

4.    Чтобы определить промежутки знакопостоянства функции, расположим нули функции в порядке возрастания (если имеются точки разрыва, то их также включают в этот список). Эти точки разбивают числовую ось на несколько промежутков. Следует определить знак функции на каждом из полученных промежутков (в каждом из них функция не меняет своего знака).

В рассматриваемом примере нулями функции являются точки . Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка: . Чтобы определить знаки функции на каждом из указанных промежутков, преобразуем ее в произведение:  и определим знак функции методом интервалов (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Отсюда видно, что функция во множестве ; принимает положительные значения, а во множестве -отрицательные значения.

5. Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, преобразуем ее: . Отсюда видно, что при или  функция принимает наименьшее значение. А по мере возрастания величины функция неограниченно возрастает. Следовательно, на промежутке функция убывает, а на промежутке возрастает. На отрезке  функция в точке  принимает наибольшее значение. Значит, на промежутке она возрастает, а на промежутке убывает.

6. Если при движении по оси слева направо точки , не являющейся точкой разрыва функции, в которой промежуток возрастания функции сменяется промежутком убывания и, наоборот, промежуток убывания сменяется промежутком возрастания, является точкой экстремума. А именно, если в точке промежуток убывания переходит в промежуток возрастания, то эта точка является точкой минимума. Если в точке  промежуток возрастания переходит в промежуток убывания, то эта точка является точкой максимума. Точки максимума обозначаются через , а точки минимума - через . Соответствующие значения функции обозначаются через  и  соответственно.

Вернемся к нашему примеру. Функция принимает наименьшее значение в точках и , . Значит, точки и  -точки минимума этой функции. На отрезке функция принимает наибольшее значение в точке . Следовательно, есть точка максимума.

Рис. 1.30

7. Чтобы построить график данной функции (рис. 1.30), удобно пользоваться следующей таблицей, где отмечаются все выявленные свойства исследуемой функции:

Простейшие преобразования графиков функций

Как было сказано в п. 1.3 с помощью простейших исследований можно схематично построить график функции. Однако в отдельных случаях удобно строить график функции с помощью преобразования графика ранее изученной функции.

Параллельный перенос

Мы подробно изучали этот метод в курсе алгебры в 8 классе. Например, если построен график функции , то график функции получается с помощью параллельного переноса графика функции на вектор . На рис. 1.31 изображены графики функций и .

Теперь рассмотрим пример построения графика дробно-линейной функции с помощью параллельного переноса графика обратной пропорциональности.

Рис. 1.31

Пример 1. Построим график функции .

Т.к. , то данную функцию можно записать так:

.

График этой функции можно получить путем параллельного переноса графика функции на вектор , т.е. график функции  нужно поднять вверх на 1 единицу параллельно оси и перенести влево на 3 единицы параллельно оси (рис. 1.32).

Рис. 1.32

Растяжение и сжатие

Для каждого сравним значения функций  и . При функция принимает значение, равное , а функция - значение , т.е. каждое значение функции изменилось в раз по сравнению с соответствующими значениями функции . Например, на рис. 1.33 изображены графики функций и . Мы видим, что график функции получили путем растяжения в 2 раза графика вдоль оси . А на рис. 1.34 изображены графики функции и . Здесь график функции получился путем сжатия в 2 раза графика к оси вдоль оси .

Рис. 1.33

Рис. 1.34

Рис. 1.35

Рис. 1.36

При график функции получается симметричным отображением графика . Например, на рис. 1.35 изображены графики функций и . На рис. 1.36 изображены графики функций и .

Сложные функции

Пример 1. Заданы функции:  и . Если в равенстве вместо подставить выражение , то получим функцию .  Эту функцию называют сложной функцией. Ее мы получили последовательным применением функциональных соответствий и : сначала каждому указанному значению по закону ставим в соответствие единственное число , а затем этому числу по правилу ставим в соответствие число (рис. 1.43).

Рис. 1.43

Сложная функция - это функция от функции:

.

1) Если рассматривать функцию , как функцию, зависящую только от , то эта функция не сложная, а простая.

2) Если дополнительно к  задана функция , то - сложная функция.

Пример 2. Для данных функций и  запишем сложные функции  и .

1) Запишем данные функции в виде и .

Тогда

2) Если предположить, что и , то

Замечание. Для функции и сложная функция не определена, т.к. выражение   не имеет смысла. Это является следствием того, что множества и не пересекаются. Здесь (см. рис. 1.44).

Рис. 1.44

В сложной функции назовем функцию внутренней функцией, а функцию - внешней. Если область значений внутренней функции есть подмножество области определения внешней функции , то в качестве области определения берут область определения внутренней функции. Если , то область определения сложной функции равна пересечению области значений внутренней функции и области определения внешней функции. Итак:

Аналогично определяется сложная функция, составленная последовательным применением трех и более функциональных соответствий. Например, пусть даны функции . Тогда можно записать следующие сложные функции:

Итак, чтобы записать сложную функцию, вместо аргумента внешней функции нужно поставить внутреннюю функцию, и если нужно, то упростить полученное выражение. В качестве примера рассмотрим таблицу.

Рис. 1.45

Рис. 1.46

Обратные функции

Пусть задана функция . По определению каждому значению соответствует единственное значение . Если к тому же каждое значение определено единственным значением аргумента , то говорят, что функция определяет взаимно однозначное соответствие. Так, например, функция ,  определяет взаимно однозначное соответствие, потому что каждое значение функции определено единственным числом вида . А функция не является взаимно однозначным соответствием, так как каждому значению  соответствуют два разных значения аргумента: и (рис. 1.45, 1.46).

А если рассмотреть функцию ,  то на указанном промежутке эта функция монотонно возрастает и устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством  на оси  и множеством  на оси  (график - первая ветвь параболы, рис. 1.46). Итак, каждая монотонно возрастающая (убывающая) функция устанавливает взаимно однозначное соответствие (обратимые функции).

Если функция монотонная, то каждому значению ставится в соответствие единственное число , являющееся единственным решением уравнения . Это соответствие определяет функцию с областью определения и областью значений .

Определяемую таким образом функцию , где называют обратной к функции  и обозначают через . Если в записи  заменить на , а - на , то обратная функция записывается так: .

Например, на рис. 1.47 изображен график функции , обратной к функции . Для функции не существует обратной функции, так как она не определяет взаимно однозначное соответствие. Ее сужение является взаимно однозначным соответствием, поэтому для нее существует обратная функция (рис. 1.48).

Рис. 1.47

Рис. 1.48

Взаимно обратные функции обладают нижеследующим свойством.

1.    Если монотонно возрастающая (убывающая) функция, то ее обратная функция также является монотонно возрастающей (убывающей) функцией.

Пусть функция монотонно возрастающая. Тогда для любых верно неравенство , т.е. и (т.е. ). Поэтому функция  также монотонно возрастающая. В случае монотонно убывающей функции доказательство аналогично.

2.    Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (см. рис. 1.49 и 1.50).

Тригонометрические функции

В этом пункте мы исследуем и построим графики функций и по схеме, приведенной в пункте 1.3 (раздел 1).

Функция

1) Так как функция имеет смысл для любого числового аргумента , то эта функция определена на всей числовой оси: 

2) Функция нечетная, так как выполняется равенство (рис. 2.1). Функция периодическая. Ее наименьший положительный период равен . Число называется основным периодом функции . Докажем это утверждение. Действительно, из тождества , верного для любого , вытекает, что число является периодом функции . Теперь покажем, что эта функция не имеет другого, меньшего чем , положительного периода.

Рис. 2.1

Предположим, что это не так. Пусть существует число , удовлетворяющее равенству для любого . Отсюда, если , то . С другой стороны, из рис. 2.1 видно, что решение уравнения имеет вид , т.е. . Это противоречит тому, что  является наименьшим положительным периодом. Полученное противоречие показывает, что число является наименьшим положительным периодом функции .

Из сказанного вытекает следующий вывод: график функции симметричен относительно начала координат. Поэтому достаточно построить график на отрезке  и перенести этот график симметрично относительно начала координат. На рис. 2.2 показан способ построения графика функции на отрезке . Затем, используя периодичность функции, последний график нужно параллельно перенести на отрезки и вдоль оси .

Рис. 2.2

3)    Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью :, нужно найти корни уравнения . На отрезке это уравнение имеет 2 корня: и (рис. 2.2). В целом нетрудно показать, что все корни уравнения имеют вид .

Если , то . Поэтому график функции с осью пересекается в точке .

4)    Известно, что при и при(рис. 2.2) Тогда в силу периодичности функции при и при . Здесь - любое целое число.

5)    Из рис. 2.1 видно, что значения функции удовлетворяют двойному неравенству , т.е. множество точек, лежащих на отрезке , является областью значений этой функции. Отсюда также видно, что функция на отрезке  возрастает, а на отрезке убывает.

Приведем строго математическое доказательство сказанного. Сначала покажем, что функция возрастает на отрезке .

Пусть  и . Тогда

Так как ,  то и . 
Поэтому и . Тогда из равенства (1) , т.е. функция возрастает на отрезке . Аналогичнно доказывается, что функция  убывает на отрезке .

Отсюда, используя периодичность функции , заметим, что функция возрастает на отрезках  и убывает на отрезках 

6) Точки являются точками максимума, а точки - точками минимума функции . При этом ее значение в точках максимума равно 1, а значение в точках минимума равно -1.

7) По результатам сказанного выше можно заполнить таблицу:

С помощью этой таблицы по графику функции в I четверти (рис. 2.2, здесь для удобства цифрами 1, 2, 3, 4 обозначены углы ) и периодичности функции можем построить ее график (рис. 2.3). График функции называется синусоидой.

Рис. 2.3

Функция

В силу формул приведения верно равенство .

График функции получаем с помощью сдвига графика функции на влево.

1)    Область определения: .

2)    По определению, для любого  выполняется равенство , т.е. функция четная. Это равенство также можно установить следующим образом:

.

Так как  и число является наименьшим положительным периодом функции , то также является наименьшим положительным периодом функции . Следовательно, сначала нужно построить график функции на промежутке , а затем этот график нужно перевести симметрично относительно оси . Полученный таким образом график необходимо продолжить на промежутке .

3)    Корни уравнения являются точками пересечения графика функции с осью . Так как на числовой оси множества точек и , совпадают, т.е. определяют одно и то же множество, график функции пересекает ось в точках .

Если , то . Следовательно, график функции пересекает ось в точке .

4)    Если , то ;

если, то .

5)    Так как ,  то функция возрастает на промежутках , аналогично убывает на промежутках .

6)    Также имеем, что точки являются точками максимума, а точки  - точками минимума функции . 

Так как , значение  в точках максимума равно 1, а в точках минимума равно —1.

Рис. 2.4

График функции можно построить параллельным переносом графика функции (рис. 2.3) вдоль оси  влево на  (рис. 2.4).
2.1.3. Функция

1) Область определения: множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству , так как в выражении  необходимо, чтобы .

2) - нечетная функция, так как . Наименьший положительный период функции равен .  Действительно, . Если является наименьшим положительным периодом : . Если , то . С другой стороны, .

При получим наименьший положительный период , равный .

3) Точки пересечения функции с осью , т.е. график функции  с осью пересекается в точках . С осью пересекается в точке .

4) Так как функция на промежутке принимает отрицательные значения, а на промежутке  положительные значения, то, учитывая периодичность , имеем: если , то , если , то .

5) Функция в области определения является возрастающей. Действительно, для и , удовлетворяющих неравенству

.

Здесь , тогда и тем самым , т.е. функция возрастает на промежутке . Следовательно, в силу периодичности функция  является возрастающей во всей области определения: .

Теперь выясним особенности изменения функции около точки . При и по мере приближения к соответствующие значения  неограниченно возрастают. Это объясняется тем, что при приближении к соответствующие значения приближаются к 1, a - к 0. Поэтому соответствующие значения становятся «сколь угодно большими», т.е. говорят, что значения стремятся к «плюс бесконечности».

При и по мере приближения к соответствующие значения по модулю неограниченно возрастают. Эти значения являются отрицательными , т.е. соответствующие значения стремятся к «минус бесконечности».

Итак, график функции по мере приближения к прямой слева неограниченно поднимается вверх все ближе к этой прямой, а по мере приближения к прямой  справа неограниченно спускается вниз все ближе к этой прямой.

Другими словами, прямые являются вертикальными асимптотами графика функции .

6) Так как функция является возрастающей, то она не имеет точек экстремума. График функции на промежутке  строится способом, указанным на рис. 2.5. Затем этот график с помощью параллельного переноса переносится на промежутки (рис. 2.6).

Рис. 2.5

Функция

Эта функция исследуется аналогично функции . Поэтому мы лишь перечислим ее основные свойства. Учащиеся могут самостоятельно провести полное исследование.

1)    Область определения: , т.е. .

2)     - нечетная фикция. Наименьший положительный период равен .

Рис. 2.6

Рис. 2.7

3) График функции пересекается с осью  в точках , а с осью точек пересечения не имеет.
4) Если , то .

Если , то

5)    Функция и области определения является убывающей функцией.

6)    Точек экстремума функция не имеет. Ее график изображен на рис. 2.7.

Примеры построения графиков некоторых тригонометрических функций

В этом пункте мы рассмотрим примеры построения графиков некоторых тригонометрических функций с помощью простейших преобразований графиков функций (параллельный перенос, растяжение, сжатие).

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Пример 1. Построим график функции .

График функции строится с помощью удвоения значений функции в каждой точке . Другими словами, график функции получим путем растяжения в 2 раза графика функции в направлении, перпендикулярном оси (рис. 2.8). 

Пример 2. Построим график функции .

График функции получается путем сжатия графика функции в 2 раза вдоль оси (рис. 2.9).

Пример 3. Построим график функции

Сначала нужно построить график функции преобразованием графика функции , а затем построенный график следует сжать в 3 раза относительно оси . Тем самым мы построим график функции (рис. 2.10). После чего, записав данную функцию в виде , построенный график функции с помощью параллельного переноса нужно передвинуть вправо на единиц и вверх на 1 единицу (рис. 2.11). 

Пример 4. Построим график функции

 1) Область определения: .

2)    Функция четная: . Функция непериодическая.

3)    С осью пересекается в точках , а с осью  - в точке .

4)    На промежутках и функция принимает положительные значения, а на промежутках и  - отрицательные значения.

5)    В этом примере определение промежутков возрастания и убывания точек экстремума теми способами, которыми до сих пор пользовались, невозможно (необходимый способ будет рассмотрен в разделе 7).

Для построения графика функции рассмотрим пределы (границы) изменения ее графика. Так как , то выполняется неравенство . Геометрически это означает, что график функции заключен между графиками функций и , т.е. между прямыми и . А общие точки графика функции и прямых и являются корнями уравнения . Это уравнение равносильно совокупности уравнений и , т.е. точки и , являются общими точками (точками касания) графика функции и прямых и  (рис. 2.12)  

Рис. 2.12

Обратные тригонометрические функции

Функции

Функция определена на всей числовой оси и не является монотонной на этом множестве. Поэтому на множестве  невозможно определить обратную функцию для функции . В этой связи сначала нужно найти промежуток монотонности функции и в нем определить обратную функцию для функции . Функция  является возрастающей на отрезке . Эта монотонно возрастающая функция является сужением исходной функции .

Определение. Функция, обратная функции , обозначается так: . Читается: «Арксинус икс».
Итак, равенство  означает, что выполняются соотношения и .

Областью определения функции является множество , а областью значений — множество . В области определения функция является возрастающей. Для каждого  выполняется равенство , а для каждого   равенство . Эти равенства вытекают из определения обратной функции. График функции изображен на рис. 2.13.

Функция

Так как отрезок  является промежутком монотонности функции , то на этом множестве для функции существует обратная функция .

Определение. Функция, обратная функции , обозначается так: . Читается: «Арккосинус икс».

Рис. 2.13

Рис. 2.14

Здесь равенство означает, что выполняются соотношения  и .

Областью определения функции является множество , а областью значений - множество . В области определения функция является монотонно убывающей. Кроме того, также верны равенства и . График функции изображен на рис. 2.14.

Рассмотрим свойство, которое устанавливает связь между функциями и . Для каждого введем такие обозначения:  и . Тогда по определению выполняются соотношения и . Из первого неравенства имеем . Тогда . Поэтому , т.е. . Итак, мы доказали формулу .

Функция 

Так как множество является одним из промежутков монотонности функции , то в этом множестве можно определить обратную ей функцию . Итак, равенство  означает, что выполнены соотношения  и .

Областью определения функции  является множество , а областью значений - множество . Выполняются равенства и . График функции изображен на рис. 2.15.

Рис. 2.15

Рис. 2.16

Функция

Так как функция является монотонной на множестве , то для нее на этом множестве можно определить обратную функцию .

Множество является областью определения, а множество - областью значений функции . Кроме того, верны равенства и . График функции изображен на рис. 2.16.

Для обратных тригонометрических функций верны формулы 

Первые пять равенств не сложно доказать, применив формулы приведения и определения обратных тригонометрических функций. Докажем справедливость последнего равенства. Пусть и . Так как , то  и , то  и .

Пример 1. Найдем значение выражения .

Введем обозначение . Получим:

Тогда

Ответ: 

Пример 2. Найдем значение выражения

Введем обозначения и . Тогда . Так как , то .

Следовательно,

Пример 3. Найдем область определения функции .

По определению необходимо, чтобы . Отсюда . 

Ответ: 

Пример 4. Найдем область определения функции

Область определения функции определяется системой неравенств

.

Отсюда

. 

Так как функция - убывающая функция, то

Ответ: 

Тригонометрические уравнения и их системы

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, где а – действительное число.

Простейшим тригонометрическим уравнением называется уравнение вида sinx=a, где cos x=a, tgx=a, где a - некоторое действительное число. Решаются они проще всего с помощью тригонометрического круга

Решение тригонометрических уравнений и их систем

Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

В основном тригонометрические уравнения решаются методом приведения их к простейшим тригонометрическим уравнениям вида . Теперь покажем методы решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Уравнение . Если , то данное уравнение имеет два решения: и (рис. 3.1). Так как , то эти решения можно записать так: и . Объединив их, получим . Учитывая, что , решение уравнения будет таким:

х = (-1)* агезш а + jrft, k е Z.    (1)

Если  или , то из формулы (1) получим следующие частные решения исходного уравнения:

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Если , то равенство не имеет смысла, так как .

2.    Уравнение . Решения этого уравнения таковы:

Эту формулу можно доказать аналогично с помощью рис. 3.2. Частные виды этой формулы получаются при и :

3.    Уравнение (рнс. 3.3). Его решение:

4.    Уравнение (рис. 3.4). Его решение:

5.    При удобно пользоваться формулами

 

Справедливость этих формул докажите самостоятельно.

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Пример 1. Решим уравнение .

 Разделив обе части данного уравнения на 2, получим уравнение . Решение этого уравнения находится по формуле (1):

. Так как , то это решение записывается в виде

Пример 2. Решим уравнение .

Умножим данное уравнение на число . По формуле (3)  или

Пример 3. Решим уравнение .

Данное уравнение запишем так: , т.к. , то по формуле (6)

Пример 4. Решим уравнение .

Данное уравнение запишем так: . Отсюда по формуле (5) . Не каждый угол можно выразить через .

Поэтому во многих случаях ответы записываются в указанном виде.

Методы решения тригонометрических уравнений

В целом решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших тригонометрических уравнений с применением различных способов тригонометрических преобразований. Тригонометрические уравнения несколькими способами можно привести к простейшему виду. Рассмотрим их на примерах.

1. Уравнения вида . Здесь рассматриваются методы решения уравнений вида

 и 

Все эти уравнения с помощью обозначений приводятся к простейшему виду. Например, вводя обозначения , уравнение  можно привести к виду . Отсюда , и решение исходного уравнения сводится к нахождению корней уравнения .

Аналогично, вводя обозначение уравнение можно привести к виду . Например, если является многочленом -й степени и , где , есть его действительные корни, то уравнение равносильно совокупности уравнений , т.е. решение каждого из этих уравнений является также решением исходного уравнения.

Пример 5. Найдем действительные корни уравнения

.

Как было сказано выше, это уравнение равносильно уравнению

или .

Так как