Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Содержание:

  1. Задача с решением 75-14.
  2. Задача с решением 76-14;
  3. Задача с решением 77-14.
  4. Задача с решением 79-14.
  5. Задача с решением 80-14*.
  6. Задача с решением 82-14.
  7. Определение реакций в общем случае
  8. Пример с решением 58.
  9. Пример с решением 59.

Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и главному моменту Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.

Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Первое и второе выражения — уравнения проекций — образуются из условия — Реакция опоры – Как определить реакции в опорах третье выражение - уравнение моментов - из условия Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т. е. систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В первом случае линия, проходящая через точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах не перпендикулярна к оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Во втором случае центры моментов Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах не лежат на одной прямой линии.

Для системы параллельных сил соответственно получаем два уравнения моментов:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В этом случае точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах не лежат на прямой, параллельной силам.

В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Силы в теоретической механике

Система сил теоретическая механика

Теоретическая механика кратко и понятно

Теормех примеры решения задач

Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).

Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направление их действия.

В рассматриваемых ниже задачах используются лишь три разновидности нагрузок: сосредоточенные силы, равномерно распределенные силы* и пары сил (статические моменты)**.

Сосредоточенными называются силы, приложенные к точке тела. Если, например, на тело действуют нагрузки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

на рис. 91, а, действия этих нагрузок можно считать приложенными соответственно к точкам Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах тела и на расчетных схемах изобразить так, как это выполнено на рис. 91, б.

Равномерно распреде.генные нагрузки, например кирпичная кладка (рис. 92, а), или собственный вес однородного тела (бруса, балки) постоянного поперечного сечения по всей его длине задается при помощи двух параметров —интенсивности Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и длины Реакция опоры – Как определить реакции в опорах па протяжении которой они действуют. На расчетных схемах эти нагрузки изображаются так, как показано на рис. 92, б.

  • Пара сил (сосредоточенный момент), например, может быть образована двумя одинаковыми грузами Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действующими на тело так, как показано на рис. 93, а. Условное изображение пары сил, действующей на тело, показано на рис. 93, б.

Очень часто в каком-либо месте тела возникает совместное действие сосредоточенной силы и момента. Пусть, например, груз Реакция опоры – Как определить реакции в опорах подвешен на конце бруса, жестко заделанного другим концом

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

в каком-либо теле (рис. 94, а). Если перенести действие силы в точку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах тела (рис. 94, б), то получим в ней совместное действие сосредоточенной силы и момента.

Как правило, в задачах по статике реакции связей —искомые величины. Для каждой искомой реакции связи обычно необходимо

знать ее направление и числовое значение (модуль).

Направления реакций идеальных связей —связей без трения — определяют в зависимости от вида связи по следующим правилам.

1. При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 95), либо к поверхности связи (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 95), либо к общей касательной обеих поверхностей (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 95).

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Во всех этих случаях связь препятствует движению тела в одном направлении —перпендикулярном к опорной поверхности.

2. Если связями являются нити, цепи, тросы (гибкая связь), то они препятствуют движению тела только будучи натянутыми.

Поэтому реакции нитей, цепей, тросов всегда направлены вдоль их самих в сторону от тела к связи (Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рис. 96).

3. Если связь тела с какой-либо опорной поверхностью осуществляется при помощи подвижного шарнира (рис. 97), то его реакция направлена перпендикулярно к опорной поверхности. Таким

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

образом, подвижный шарнир (т. е. шарнир, ось которого может передвигаться вдоль опорной поверхности) представляет собой конструктивный вариант свободного опирания.

4. Если соединение тела со связью осуществляется при помощи неподвижного шарнира (рис. 98), то определить непосредственно направление реакции нельзя, за исключением тех частных случаев, которые описаны ниже.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Шарнирное соединение препятствует поступательному перемещению тела во всех направлениях в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира может быть любым в зависимости от направления действия остальных сил. Потому сначала определяют две взаимно перпендикулярные составляющие Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах) реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма или треугольника можно определить как модуль, так и направление полной реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах).

Направление реакции неподвижного шарнира непосредственно определяют в двух следующих случаях:

а) если, кроме реакции шарнира, все остальные силы (нагрузки и реакция другой связи) образуют систему параллельных сил, то реакция неподвижного шарнира также параллельна всем силам;

б) если, кроме реакции шарнира, на тело действуют еще только две непараллельные силы, то линия действия реакции неподвижного шарнира проходит через ось шарнира и точку пересечения двух других сил (задачи 47-9 и 48-9).

5. Движение тела может быть ограничено жесткой заделкой в какой-либо опоре (рис. 99). В этом случае даже одна жесткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых нагрузках.

Так же как и неподвижный шарнир, жесткая заделка препятствует поступательному перемещению тела. Поэтому направление

ее реакции заранее определить нельзя и сначала определяют составляющие Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Кроме того, жесткая заделка препятствует повороту тела в плоскости действия сил, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует еще момент заделки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки).

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом, если опорой тела является жесткая заделка, то со стороны последней на тело действуют реакция заделки, которую можно заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, и момент заделки.

6. Иногда тело удерживается в равновесии при помощи жестких стержней, шарнирно соединенных с телом и с опорами (рис. 100). В отличие от гибкой связи (см. п. 2) такие стержни могут испытывать не только растяжение, но и сжатие.

Возможны и такие случаи, когда нельзя заранее установить, какие стержни растянуты, а какие сжаты. Поэтому при составлении уравнений равновесия исходят из того, что все стержни растянуты. Если же некоторые стержни окажутся в действительности сжатыми, tq в результате решения числовые значения реакций таких стержней получатся отрицательными.

Задача с решением 75-14.

На горизонтальную балку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах левый конец которой имеет шарнирно-неподвижную опору, а правый — шарнирно-подвижную, в точках Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах поставлены два груза: Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 101, а). Определить реакции опор балки.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. Рассмотрим равновесие балки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на которую в точках Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действуют две вертикальные нагрузки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 101, б).

2. Освободив правый конец балки от связи и заменив ее действие реакцией Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направленной перпендикулярно к опорной поверхности, увидим, что на балку действует система

параллельных сил. Поэтому, если освободить и левый конец балки от шарнирно неподвижной опоры, то ее реакция будет также направлена вертикально (рис. 101, б).

3. Составим систему уравнений равновесия вида (5), приняв для одного уравнения за центр моментов точку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а для другого — точку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Решая уравнения, из (1) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

из (2)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах 5. Проверим правильность решения, составив уравнение проекций сил на вертикальную ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Подставляя в это уравнение числовые значения, получаем тождество

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Значит задача решена правильно.

Реакции опор:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

При решении задач рекомендуется не пренебрегать проверкой. От правильности определения реакций опор зависит правильность всего остального решения или расчета.

Задача с решением 76-14;

На консольную балку, имеющую в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-непод-вижную, а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-под-вижную опору, действуют две сосредоточенные нагрузки: Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано на рис. 102, а; угол Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор балки.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. Рассматривая находящуюся в равновесии балку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах видим, что в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на нее действует вертикально вниз нагрузка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах под углом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах к Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действует другая нагрузка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 102, б).

2. Освобождаем балку от связей и заменим их действие реакциями. В месте шарнирно-подвижной опоры Реакция опоры – Как определить реакции в опорах возникает вертикальная реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Направление реакции шарнпрно-неподвиж-ной опоры в данном случае непосредственно определить нельзя, поэтому заменим эту реакцию се двумя составляющими Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

3. Для полученной системы из пяти сил, произвольно расположенных в плоскости, составим систему уравнений равновесия вида (3), расположив ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах вдоль балки, а за центры моментов приняв точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Решаем полученные уравнения. Из (1)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Так как

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

то из (2)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Замечая, что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

из (3) получаем

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Знак минус, получившийся в последнем случае, показывает, что Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — вертикальная составляющая реакция неподвижного шарнира—направлена вниз, а не вверх, как предполагалось перед составлением уравнения (3).

5. При необходимости реакцию Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах легко определить (рис. 102, в).

Модуль реакции шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах найдем из формулы

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Направление реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах установим, определив угол

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

откуда

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

6. Проверим правильность решения задачи. Так как при решении не использовано уравнение проекций на ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах то используем его для проверки:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Уравнение составлено по рис. 102, б.

После подстановки в это уравнение известных значений получим:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В данном случае, проверка решения при помощи уравнения проекций не дает возможности установить правильность определения полной реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Чтобы проверить и этот этап решения, составим уравнение моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах воспользовавшись рис. 102, в, на котором изображена реакция так, как она направлена в действительности:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Подставляем в это уравнение числовые значения, имея в виду, что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Расхождение в результатах, равное Реакция опоры – Как определить реакции в опорах получается из-за округлений при вычислениях.

В следующих задачах проверка решения не приводится и ее рекомендуется производить самостоятельно.

Задача с решением 77-14.

Горизонтальная балка имеет в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-подвижную опору, плоскость которой наклонена к горизонту под углом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 103, а), а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — шарнирно-неподвижную опору. Балка нагружена в точках Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах двумя сосредоточенными силами Реакция опоры – Как определить реакции в опорах кн и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. Так же как и в задаче 75-14, балка нагружена двумя параллельными силами, но в отличие от этой задачи здесь реакция подвижного шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направлена не параллельно вертикальным нагрузкам, а под углом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах к вертикали - перпендикулярно к опорной поверхности шарнира (рис. 103,6). Поэтому реакция неподвижного шарнира не будет направлена вертикально и, так же как в задаче 76-14, ее целесообразно заменить двумя составляющими Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

2. Расположив оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано на рис. 103, б, составляем уравнения равновесия вида (I):

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

3. Решаем полученные уравнения. Из уравнения (3) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (2) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (1) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом, реакция шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

а составляющие реакции шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

и

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Проверку решения производим при помощи уравнения моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача с решением 79-14.

На консольную балку, имеющую в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-неподвижную, а в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах шарнирно-подвижную опору, действуют две нагрузки (рис. 104, а): в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — сосредоточенная нагрузка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а на участке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. В этой задаче, кроме сосредоточенной силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на участке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действует равномерно распределенная сила, интенсивность которой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Полная величина этой нагрузки (ее равнодействующая) равна Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и приложена в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах посредине участка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 104,6), т. е.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

2. Так же как в задаче 75-14, реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах подвижного шарнира направлена вертикально (перпендикулярно к опорной поверхности). Следовательно, и реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах неподвижного шарнира направлена вертикально. Таким образом, на балку действует система параллельных сил (см. рис. 104, б).

3. Составим два уравнения моментов относительно точек Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (1)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Отрицательное значение реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах означает, что она направлена вниз, а не вверх, как показано на рис. 104, б, потому что момент силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах относительно опоры Реакция опоры – Как определить реакции в опорах больше, чем момент равномерно распределенной нагрузки.

Из уравнения (2) находим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом, реакция шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах равна Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и направлена вертикально вниз; реакция шарнира Реакция опоры – Как определить реакции в опорах составляет Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и направлена вертикально вверх.

5. Для проверки решения можно использовать уравнение проекций на вертикальную ось.

Задача с решением 80-14*.

На двухконсольную балку с шарнирно-неподвижной опорой в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и с шарнирно-подвижной в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действуют, как показано на рис. 105,а, сосредоточенная сила Реакция опоры – Как определить реакции в опорах сосредоточенный момент (пара сил) Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции опор.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. В отличие от предыдущей задачи здесь, кроме сосредоточенной силы и равномерно распределенной-нагрузки, равнодействующая Реакция опоры – Как определить реакции в опорах которой приложена в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах посредине участка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на балку действует момент Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направленный по часовой стрелке (рис. 105, б).

2. После освобождения балки от связей и замены связей их реакциями Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах получаем уравновешенную систему, составленную из четырех параллельных сил и одной пары сил (момента).

3. Составим два уравнения моментов относительно точек Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Решая эти уравнения, находим, что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Задача с решением 82-14.

Жестко заделанная у левого конца консольная балка Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 107, а) нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах сосредоточенной силой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и моментом Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах Определить реакции заделки.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Решение.

1. На балку действуют три нагрузки: в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — вертикальная сосредоточенная сила Реакция опоры – Как определить реакции в опорах по всей длине балки — равномерно распределенная нагрузка, которую заменим сосредоточенной силой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах приложенной в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Правый конец балки нагружен моментом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах действующим против хода часовой стрелки (рис. 107, б).

2. Равновесие балки обеспечивается жесткой заделкой у точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Освободив балку от связи, заменим ее действие силой — реакцией связи Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и реактивным моментом Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Но так как реакцию Реакция опоры – Как определить реакции в опорах заделки сразу определить нельзя (по тем же причинам, что и направление реакции неподвижного шарнира), заменим Реакция опоры – Как определить реакции в опорах ее составляющими Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах совместив их с осями Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (см. рис. 107, б).

3. Составим уравнения равновесия — уравнение проекции на оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и уравнение моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

4. Из уравнения (1)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

а это означает, что горизонтальная составляющая реакции заделки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах равна нулю, так как в данном случае нет усилий, смещающих балку Реакция опоры – Как определить реакции в опорах в горизонтальном направлении. Из уравнения (2)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Выше найдено, что Реакция опоры – Как определить реакции в опорах; значит реакция заделки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах перпендикулярна к оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Следовательно,

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из уравнения (3)

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Таким образом,

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

5. Проверку правильности решения можно произвести при помощи уравнения моментов относительно точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах В любое из них входят обе найденные величины.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Определение реакций в общем случае

Один из способов определения реакций связей был уже рассмотрен при изучении уравнений равновесия с множителями Лагранжа, когда связи задаются неявными уравнениями или неравенствами. В общем же случае связи, наложенные на систему материальных точек, всегда могут быть заменены соответствующими силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей. После такой замены система может рассматриваться как свободная от связей, но подверженная действию как активных, так и пассивных сил. Принцип Бернулли для такой свободной системы дает необходимые и достаточные условия равновесия в виде уравнения

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — проекции активных сил на неподвижные оси координат; Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — проекции сил реакции на те же оси. Величины Реакция опоры – Как определить реакции в опорах теперь полностью произвольны, так что равенство (а) будет выполняться для всех возможных перемещений лишь в том случае, когда обращаются в нуль все коэффициенты при Реакция опоры – Как определить реакции в опорах т. е.

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Последние уравнения и служат для определения реакций связи. Если по условиям задачи требуется определять не все, а лишь некоторые силы реакции, то система освобождается только от тех связей, реакции которых необходимо определить. Освобождая систему от связей, тем самым добавляем ей возможные перемещения, которые раньше не допускались связями и на которых будут работать реакции освобожденных связей.

Подсчитывая сумму работ активных сил и сил реакции связей на освобожденном перемещении, получим условия для определения реакций связи.

Пример с решением 58.

Исследовать условия равновесия твердого тела, у которого закреплены две точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и на которое действуют активные силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах приложенные к точкам Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (рис. 138).

Решение. Выберем начало неподвижной системы координат в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах а ось Реакция опоры – Как определить реакции в опорах направим по прямой Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Наложенные езязи допускают вращение твердого тела вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Подсчитывая работу активных сил на этом возможном перемещении, получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — угол поворота твердого тела вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Отсюда сразу же получаем условие равновесия твердого тела, которое сводится к равенству нулю суммы моментов всех активных сил, действующих на твердое тело, относительно оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Для определения реакции в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах освободим твердое тело от связи в этой точке, заменив действие последней действием неизвестной силыРеакция опоры – Как определить реакции в опорах Освобожденное от связи тело может вращаться как вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах так и вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Сообщим твердому телу бесконечно малое возможное перемещение, повернув его вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на угол Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и подсчитаем работу всех сил на этом возможном перемещении. Возможные перемещения точек твердого тела определятся из матрицы

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

так что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Из принципа Бериулли для освобожденного твердого тела будем иметь

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

подставляя сюда значения вариаций координат, получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или, после сокращения на Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — сумма моментов активных сил относительно оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах a Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — расстояние Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Точно таким же путем можно получить реакцию Реакция опоры – Как определить реакции в опорах рассматривая поворот твердого тела вокруг оси Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Возможные перемещения в этом случае будут определяться из матрицы

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

так что

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Подставляя найденные значения вариаций координат в общее уравнение статики, получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция Реакция опоры – Как определить реакции в опорах таким способом не может быть найдена, потому что любое возможное перемещение точки Реакция опоры – Как определить реакции в опорах твердого тела ортогонально направлению силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах, и задача оказывается статически неопределимой.

Пример с решением 59.

На гладкой горизонтальной плоскости лежат несколько одинаковых однородных цилиндрических труб. Чтобы трубы не раскатывались, они подпираются двумя брусьями Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах как показано на рис. 139. Определить реакции брусьев.

Решение. Для определенности рассмотрим пятнадцать труб, расположенных, как указано на чертеже. Чтобы избежать рассмотрения статически неопределимой задачи, предположим, что расстояние между брусками Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах больше суммы диаметров нижних труб. Положение системы определим четырьмя параметрами Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (углы, которые образуют прямые, соединяющие центры труб нижнего и верхнего ряда с горизонталью), которые связаны соотношением

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где Реакция опоры – Как определить реакции в опорах — сколь угодно малое число. Углы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах подчиняются еще условиям

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Будем предполагать сначала, что последние условия выполняются лишь в виде неравенств. Определив вертикальные координаты центров труб

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Запишем принцип Торричелли для системы с удерживающими связями:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

или, после подстановки значений Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

где величины Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах связаны соотношением

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Определив из последнего уравнения Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

и подставив это значение в равенство (с), получим уравнение для независимых параметров Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорахРеакция опоры – Как определить реакции в опорах

Приравнивая нулю коэффициенты при Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах приходим к следующим условиям равновесия системы:

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

которые можно переписать в виде

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Принимая во внимание неравенства (b), получим условия равновесия

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

ВеличиныРеакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах должны удовлетворять уравнению (а), которое перепишется в виде

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

При Реакция опоры – Как определить реакции в опорах отсюда находим предельное значение для Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

В самом деле,

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

При уменьшении Реакция опоры – Как определить реакции в опорах левая часть равенства (f) будет увеличиваться, а следовательно, будет возрастать и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Таким образом, предполагая связи (Ь) в положении равновесия выполненными в виде неравенств, устанавливаем, что в положении равновесия должно быть

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Лишь при выполнении этого неравенства нижине трубы в положении равновесия не будут касаться друг друга. Уменьшая Реакция опоры – Как определить реакции в опорах мы вынуждены будем отказаться от предположения, что все связи (Ь) в положении равновесия выполняются в виде неравенств. Из условий (е) следует, что первыми переходят в равенство связи

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Рассмотрим теперь только такие состояния системы, для которых выполняются условия

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Уравнение связи для возможных перемещений (d) приобретает вид

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Общее уравнение статики для рассматриваемой системы перепишем в виде

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Система линейных относительно Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах уравнений (d') и (с7) обладает ненулевым решением, если обращается в нуль определительРеакция опоры – Как определить реакции в опорах

или

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Отсюда следует, что в положении равновесия должно быть

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Тогда из уравнения связи (а) находим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Как видно из последнего соотношения, при Реакция опоры – Как определить реакции в опорах получим

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах Для определения реакции в точке Реакция опоры – Как определить реакции в опорах освободим систему от связи, убрав брус Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и заменив его действие силой реакции Реакция опоры – Как определить реакции в опорах После такого освобождения системы параметры Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и Реакция опоры – Как определить реакции в опорах можно изменять независимо друг от друга. При этом должно выполняться условие Реакция опоры – Как определить реакции в опорах (при отличных от нуля Реакция опоры – Как определить реакции в опорах или Реакция опоры – Как определить реакции в опорах системе сообщается освобождающее перемещение, на котором будут совершать отличную от нуля работу силы реакции труб, находящихся при равнозесии в соприкосновении). Сообщим системе перемещение

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

и подсчитаем работу всех сил, в том числе и работу силы Реакция опоры – Как определить реакции в опорах на возможном перемещении системы. Будем иметь

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

откуда следует

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Если Реакция опоры – Как определить реакции в опорах то Реакция опоры – Как определить реакции в опорах и

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах

Заметим, что на рассматриваемом перемещении опускаются вниз четыре трубы. У остальных труб вертикальные координаты не изменяются. Если обозначить через Реакция опоры – Как определить реакции в опорах вес опускающихся труб (в нашем случае Реакция опоры – Как определить реакции в опорах), то предельное значение силы реакции будет равно

Реакция опоры – Как определить реакции в опорах