Реакция опоры

Реакция опоры: определение и примеры решения

Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору Реакция опоры и главному моменту Реакция опоры

Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то Реакция опоры и Реакция опоры

Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.

Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:

Реакция опоры

Первое и второе выражения — уравнения проекций — образуются из условия — Реакция опоры третье выражение - уравнение моментов - из условия Реакция опоры

Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов

Реакция опоры

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т. е. систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:

Реакция опоры

или

Реакция опоры

В первом случае линия, проходящая через точки Реакция опоры и Реакция опоры не перпендикулярна к оси Реакция опоры Во втором случае центры моментов Реакция опоры Реакция опоры и Реакция опоры не лежат на одной прямой линии.

Для системы параллельных сил соответственно получаем два уравнения моментов:

Реакция опоры

В этом случае точки Реакция опоры и Реакция опоры не лежат на прямой, параллельной силам.

В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Силы в теоретической механике

Система сил теоретическая механика

Теоретическая механика кратко и понятно

Теормех примеры решения задач

Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).

Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направление их действия.

В рассматриваемых ниже задачах используются лишь три разновидности нагрузок: сосредоточенные силы, равномерно распределенные силы* и пары сил (статические моменты)**.

Сосредоточенными называются силы, приложенные к точке тела. Если, например, на тело действуют нагрузки Реакция опоры или Реакция опоры как показано

Реакция опоры

на рис. 91, а, действия этих нагрузок можно считать приложенными соответственно к точкам Реакция опоры или Реакция опоры тела и на расчетных схемах изобразить так, как это выполнено на рис. 91, б.

Равномерно распреде.генные нагрузки, например кирпичная кладка (рис. 92, а), или собственный вес однородного тела (бруса, балки) постоянного поперечного сечения по всей его длине задается при помощи двух параметров —интенсивности Реакция опоры и длины Реакция опоры па протяжении которой они действуют. На расчетных схемах эти нагрузки изображаются так, как показано на рис. 92, б.

  • Пара сил (сосредоточенный момент), например, может быть образована двумя одинаковыми грузами Реакция опоры действующими на тело так, как показано на рис. 93, а. Условное изображение пары сил, действующей на тело, показано на рис. 93, б.

Очень часто в каком-либо месте тела возникает совместное действие сосредоточенной силы и момента. Пусть, например, груз Реакция опоры подвешен на конце бруса, жестко заделанного другим концом

Реакция опоры

в каком-либо теле (рис. 94, а). Если перенести действие силы в точку Реакция опоры тела (рис. 94, б), то получим в ней совместное действие сосредоточенной силы и момента.

Как правило, в задачах по статике реакции связей —искомые величины. Для каждой искомой реакции связи обычно необходимо

знать ее направление и числовое значение (модуль).

Направления реакций идеальных связей —связей без трения — определяют в зависимости от вида связи по следующим правилам.

1. При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела (Реакция опоры рис. 95), либо к поверхности связи (Реакция опоры рис. 95), либо к общей касательной обеих поверхностей (Реакция опоры рис. 95).

Реакция опоры

Во всех этих случаях связь препятствует движению тела в одном направлении —перпендикулярном к опорной поверхности.

2. Если связями являются нити, цепи, тросы (гибкая связь), то они препятствуют движению тела только будучи натянутыми.

Поэтому реакции нитей, цепей, тросов всегда направлены вдоль их самих в сторону от тела к связи (Реакция опоры и Реакция опоры рис. 96).

3. Если связь тела с какой-либо опорной поверхностью осуществляется при помощи подвижного шарнира (рис. 97), то его реакция направлена перпендикулярно к опорной поверхности. Таким

Реакция опоры

образом, подвижный шарнир (т. е. шарнир, ось которого может передвигаться вдоль опорной поверхности) представляет собой конструктивный вариант свободного опирания.

4. Если соединение тела со связью осуществляется при помощи неподвижного шарнира (рис. 98), то определить непосредственно направление реакции нельзя, за исключением тех частных случаев, которые описаны ниже.

Реакция опоры

Шарнирное соединение препятствует поступательному перемещению тела во всех направлениях в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира может быть любым в зависимости от направления действия остальных сил. Потому сначала определяют две взаимно перпендикулярные составляющие Реакция опоры и Реакция опоры (или Реакция опоры и Реакция опоры) реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма или треугольника можно определить как модуль, так и направление полной реакции Реакция опоры (или Реакция опоры).

Направление реакции неподвижного шарнира непосредственно определяют в двух следующих случаях:

а) если, кроме реакции шарнира, все остальные силы (нагрузки и реакция другой связи) образуют систему параллельных сил, то реакция неподвижного шарнира также параллельна всем силам;

б) если, кроме реакции шарнира, на тело действуют еще только две непараллельные силы, то линия действия реакции неподвижного шарнира проходит через ось шарнира и точку пересечения двух других сил (задачи 47-9 и 48-9).

5. Движение тела может быть ограничено жесткой заделкой в какой-либо опоре (рис. 99). В этом случае даже одна жесткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых нагрузках.

Так же как и неподвижный шарнир, жесткая заделка препятствует поступательному перемещению тела. Поэтому направление

ее реакции заранее определить нельзя и сначала определяют составляющие Реакция опоры и Реакция опоры Кроме того, жесткая заделка препятствует повороту тела в плоскости действия сил, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует еще момент заделки Реакция опоры уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки).

Реакция опоры

Таким образом, если опорой тела является жесткая заделка, то со стороны последней на тело действуют реакция заделки, которую можно заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, и момент заделки.

6. Иногда тело удерживается в равновесии при помощи жестких стержней, шарнирно соединенных с телом и с опорами (рис. 100). В отличие от гибкой связи (см. п. 2) такие стержни могут испытывать не только растяжение, но и сжатие.

Возможны и такие случаи, когда нельзя заранее установить, какие стержни растянуты, а какие сжаты. Поэтому при составлении уравнений равновесия исходят из того, что все стержни растянуты. Если же некоторые стержни окажутся в действительности сжатыми, tq в результате решения числовые значения реакций таких стержней получатся отрицательными.

Задача с решением 75-14.

На горизонтальную балку Реакция опоры левый конец которой имеет шарнирно-неподвижную опору, а правый — шарнирно-подвижную, в точках Реакция опоры и Реакция опоры поставлены два груза: Реакция опоры и Реакция опоры (рис. 101, а). Определить реакции опор балки.

Реакция опоры

Решение.

1. Рассмотрим равновесие балки Реакция опоры на которую в точках Реакция опоры и Реакция опоры действуют две вертикальные нагрузки Реакция опоры и Реакция опоры (рис. 101, б).

2. Освободив правый конец балки от связи и заменив ее действие реакцией Реакция опоры направленной перпендикулярно к опорной поверхности, увидим, что на балку действует система

параллельных сил. Поэтому, если освободить и левый конец балки от шарнирно неподвижной опоры, то ее реакция будет также направлена вертикально (рис. 101, б).

3. Составим систему уравнений равновесия вида (5), приняв для одного уравнения за центр моментов точку Реакция опоры а для другого — точку Реакция опоры

Реакция опоры

4. Решая уравнения, из (1) находим
Реакция опоры

из (2)

Реакция опоры
5. Проверим правильность решения, составив уравнение проекций сил на вертикальную ось Реакция опоры

Реакция опоры

Подставляя в это уравнение числовые значения, получаем тождество

Реакция опоры или Реакция опоры

Значит задача решена правильно.

Реакции опор:

Реакция опоры и Реакция опоры

При решении задач рекомендуется не пренебрегать проверкой. От правильности определения реакций опор зависит правильность всего остального решения или расчета.

Задача с решением 76-14;

На консольную балку, имеющую в точке Реакция опоры шарнирно-непод-вижную, а в точке Реакция опоры шарнирно-под-вижную опору, действуют две сосредоточенные нагрузки: Реакция опоры и Реакция опорыРеакция опоры как показано на рис. 102, а; угол Реакция опоры Определить реакции опор балки.

Реакция опоры

Решение.

1. Рассматривая находящуюся в равновесии балку Реакция опоры видим, что в точке Реакция опоры на нее действует вертикально вниз нагрузка Реакция опоры а в точке Реакция опоры под углом Реакция опоры к Реакция опоры действует другая нагрузка Реакция опоры (рис. 102, б).

2. Освобождаем балку от связей и заменим их действие реакциями. В месте шарнирно-подвижной опоры Реакция опоры возникает вертикальная реакция Реакция опоры Направление реакции шарнпрно-неподвиж-ной опоры в данном случае непосредственно определить нельзя, поэтому заменим эту реакцию се двумя составляющими Реакция опоры и Реакция опоры

3. Для полученной системы из пяти сил, произвольно расположенных в плоскости, составим систему уравнений равновесия вида (3), расположив ось Реакция опоры вдоль балки, а за центры моментов приняв точки Реакция опоры и Реакция опоры

Реакция опоры

Реакция опоры

4. Решаем полученные уравнения. Из (1)

Реакция опоры

Так как

Реакция опоры

то из (2)

Реакция опоры

Замечая, что

Реакция опоры

из (3) получаем

Реакция опоры

Знак минус, получившийся в последнем случае, показывает, что Реакция опоры — вертикальная составляющая реакция неподвижного шарнира—направлена вниз, а не вверх, как предполагалось перед составлением уравнения (3).

5. При необходимости реакцию Реакция опоры шарнира Реакция опоры легко определить (рис. 102, в).

Модуль реакции шарнира Реакция опоры найдем из формулы

Реакция опоры

Направление реакции Реакция опоры установим, определив угол

Реакция опоры

Реакция опоры

откуда

Реакция опоры

6. Проверим правильность решения задачи. Так как при решении не использовано уравнение проекций на ось Реакция опоры то используем его для проверки:

Реакция опоры

Уравнение составлено по рис. 102, б.

После подстановки в это уравнение известных значений получим:

Реакция опоры

В данном случае, проверка решения при помощи уравнения проекций не дает возможности установить правильность определения полной реакции Реакция опоры шарнира Реакция опоры Чтобы проверить и этот этап решения, составим уравнение моментов относительно точки Реакция опоры воспользовавшись рис. 102, в, на котором изображена реакция так, как она направлена в действительности:

Реакция опоры

Подставляем в это уравнение числовые значения, имея в виду, что

Реакция опоры

Реакция опоры

Расхождение в результатах, равное Реакция опоры получается из-за округлений при вычислениях.

В следующих задачах проверка решения не приводится и ее рекомендуется производить самостоятельно.

Задача с решением 77-14.

Горизонтальная балка имеет в точке Реакция опоры шарнирно-подвижную опору, плоскость которой наклонена к горизонту под углом Реакция опоры (рис. 103, а), а в точке Реакция опоры — шарнирно-неподвижную опору. Балка нагружена в точках Реакция опоры и Реакция опоры двумя сосредоточенными силами Реакция опоры кн и Реакция опоры Определить реакции опор.

Реакция опоры

Решение.

1. Так же как и в задаче 75-14, балка нагружена двумя параллельными силами, но в отличие от этой задачи здесь реакция подвижного шарнира Реакция опоры направлена не параллельно вертикальным нагрузкам, а под углом Реакция опоры к вертикали - перпендикулярно к опорной поверхности шарнира (рис. 103,6). Поэтому реакция неподвижного шарнира не будет направлена вертикально и, так же как в задаче 76-14, ее целесообразно заменить двумя составляющими Реакция опоры и Реакция опоры

2. Расположив оси Реакция опоры и Реакция опоры как показано на рис. 103, б, составляем уравнения равновесия вида (I):

Реакция опоры

3. Решаем полученные уравнения. Из уравнения (3) находим Реакция опоры

Реакция опоры

Из уравнения (2) находим Реакция опоры

Реакция опоры

Из уравнения (1) находим Реакция опоры

Реакция опоры

Таким образом, реакция шарнира Реакция опоры

Реакция опоры

а составляющие реакции шарнира Реакция опоры

Реакция опоры

и

Реакция опоры

4. Проверку решения производим при помощи уравнения моментов относительно точки Реакция опоры или Реакция опоры

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача с решением 79-14.

На консольную балку, имеющую в точке Реакция опоры шарнирно-неподвижную, а в точке Реакция опоры шарнирно-подвижную опору, действуют две нагрузки (рис. 104, а): в точке Реакция опоры — сосредоточенная нагрузка Реакция опоры а на участке Реакция опоры — равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Реакция опоры Определить реакции опор.

Реакция опоры

Решение.

1. В этой задаче, кроме сосредоточенной силы Реакция опоры на участке Реакция опоры действует равномерно распределенная сила, интенсивность которой Реакция опоры Полная величина этой нагрузки (ее равнодействующая) равна Реакция опоры и приложена в точке Реакция опоры посредине участка Реакция опоры (рис. 104,6), т. е.

Реакция опоры

2. Так же как в задаче 75-14, реакция Реакция опоры подвижного шарнира направлена вертикально (перпендикулярно к опорной поверхности). Следовательно, и реакция Реакция опоры неподвижного шарнира направлена вертикально. Таким образом, на балку действует система параллельных сил (см. рис. 104, б).

3. Составим два уравнения моментов относительно точек Реакция опоры и Реакция опоры

Реакция опоры

Из уравнения (1)

Реакция опоры

Отрицательное значение реакции Реакция опоры означает, что она направлена вниз, а не вверх, как показано на рис. 104, б, потому что момент силы Реакция опоры относительно опоры Реакция опоры больше, чем момент равномерно распределенной нагрузки.

Из уравнения (2) находим Реакция опоры

Реакция опоры

Таким образом, реакция шарнира Реакция опоры равна Реакция опоры и направлена вертикально вниз; реакция шарнира Реакция опоры составляет Реакция опоры и направлена вертикально вверх.

5. Для проверки решения можно использовать уравнение проекций на вертикальную ось.

Задача с решением 80-14*.

На двухконсольную балку с шарнирно-неподвижной опорой в точке Реакция опоры и с шарнирно-подвижной в точке Реакция опоры действуют, как показано на рис. 105,а, сосредоточенная сила Реакция опоры сосредоточенный момент (пара сил) Реакция опоры и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Реакция опоры Определить реакции опор.

Реакция опоры

Решение.

1. В отличие от предыдущей задачи здесь, кроме сосредоточенной силы и равномерно распределенной-нагрузки, равнодействующая Реакция опоры которой приложена в точке Реакция опоры посредине участка Реакция опоры на балку действует момент Реакция опоры направленный по часовой стрелке (рис. 105, б).

2. После освобождения балки от связей и замены связей их реакциями Реакция опоры и Реакция опоры получаем уравновешенную систему, составленную из четырех параллельных сил и одной пары сил (момента).

3. Составим два уравнения моментов относительно точек Реакция опоры и Реакция опоры

Реакция опоры

4. Решая эти уравнения, находим, что

Реакция опоры и Реакция опоры

Задача с решением 82-14.

Жестко заделанная у левого конца консольная балка Реакция опоры (рис. 107, а) нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью Реакция опорыРеакция опоры сосредоточенной силой Реакция опоры и моментом Реакция опорыРеакция опоры Определить реакции заделки.

Реакция опоры

Реакция опоры

Решение.

1. На балку действуют три нагрузки: в точке Реакция опоры — вертикальная сосредоточенная сила Реакция опоры по всей длине балки — равномерно распределенная нагрузка, которую заменим сосредоточенной силой Реакция опоры приложенной в точке Реакция опоры Реакция опоры Правый конец балки нагружен моментом Реакция опоры действующим против хода часовой стрелки (рис. 107, б).

2. Равновесие балки обеспечивается жесткой заделкой у точки Реакция опоры Освободив балку от связи, заменим ее действие силой — реакцией связи Реакция опоры и реактивным моментом Реакция опоры Но так как реакцию Реакция опоры заделки сразу определить нельзя (по тем же причинам, что и направление реакции неподвижного шарнира), заменим Реакция опоры ее составляющими Реакция опоры и Реакция опоры совместив их с осями Реакция опоры и Реакция опоры (см. рис. 107, б).

3. Составим уравнения равновесия — уравнение проекции на оси Реакция опоры и Реакция опоры и уравнение моментов относительно точки Реакция опоры

Реакция опоры

Реакция опоры

Реакция опоры

4. Из уравнения (1)

Реакция опоры

а это означает, что горизонтальная составляющая реакции заделки Реакция опоры равна нулю, так как в данном случае нет усилий, смещающих балку Реакция опоры в горизонтальном направлении. Из уравнения (2)

Реакция опоры

Выше найдено, что Реакция опоры; значит реакция заделки Реакция опоры перпендикулярна к оси Реакция опоры Следовательно,

Реакция опоры

Из уравнения (3)

Реакция опоры

Таким образом,

Реакция опоры и Реакция опоры

5. Проверку правильности решения можно произвести при помощи уравнения моментов относительно точки Реакция опоры или Реакция опоры В любое из них входят обе найденные величины.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Определение реакций в общем случае

Один из способов определения реакций связей был уже рассмотрен при изучении уравнений равновесия с множителями Лагранжа, когда связи задаются неявными уравнениями или неравенствами. В общем же случае связи, наложенные на систему материальных точек, всегда могут быть заменены соответствующими силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей. После такой замены система может рассматриваться как свободная от связей, но подверженная действию как активных, так и пассивных сил. Принцип Бернулли для такой свободной системы дает необходимые и достаточные условия равновесия в виде уравнения

Реакция опоры

где Реакция опоры — проекции активных сил на неподвижные оси координат; Реакция опоры — проекции сил реакции на те же оси. Величины Реакция опоры теперь полностью произвольны, так что равенство (а) будет выполняться для всех возможных перемещений лишь в том случае, когда обращаются в нуль все коэффициенты при Реакция опоры т. е.

Реакция опоры

Последние уравнения и служат для определения реакций связи. Если по условиям задачи требуется определять не все, а лишь некоторые силы реакции, то система освобождается только от тех связей, реакции которых необходимо определить. Освобождая систему от связей, тем самым добавляем ей возможные перемещения, которые раньше не допускались связями и на которых будут работать реакции освобожденных связей.

Подсчитывая сумму работ активных сил и сил реакции связей на освобожденном перемещении, получим условия для определения реакций связи.

Пример с решением 58.

Исследовать условия равновесия твердого тела, у которого закреплены две точки Реакция опоры и Реакция опоры и на которое действуют активные силы Реакция опоры приложенные к точкам Реакция опоры (рис. 138).

Решение. Выберем начало неподвижной системы координат в точке Реакция опоры а ось Реакция опоры направим по прямой Реакция опоры Наложенные езязи допускают вращение твердого тела вокруг оси Реакция опоры Подсчитывая работу активных сил на этом возможном перемещении, получим

Реакция опоры

где Реакция опоры — угол поворота твердого тела вокруг оси Реакция опоры Отсюда сразу же получаем условие равновесия твердого тела, которое сводится к равенству нулю суммы моментов всех активных сил, действующих на твердое тело, относительно оси Реакция опоры

Реакция опоры

Для определения реакции в точке Реакция опоры освободим твердое тело от связи в этой точке, заменив действие последней действием неизвестной силыРеакция опоры Освобожденное от связи тело может вращаться как вокруг оси Реакция опоры так и вокруг оси Реакция опоры Сообщим твердому телу бесконечно малое возможное перемещение, повернув его вокруг оси Реакция опоры на угол Реакция опоры и подсчитаем работу всех сил на этом возможном перемещении. Возможные перемещения точек твердого тела определятся из матрицы

Реакция опоры

так что

Реакция опоры

Реакция опоры

Из принципа Бериулли для освобожденного твердого тела будем иметь

Реакция опоры

подставляя сюда значения вариаций координат, получим

Реакция опоры

или, после сокращения на Реакция опоры

Реакция опоры

где Реакция опоры — сумма моментов активных сил относительно оси Реакция опоры a Реакция опоры — расстояние Реакция опоры

Точно таким же путем можно получить реакцию Реакция опоры рассматривая поворот твердого тела вокруг оси Реакция опоры Возможные перемещения в этом случае будут определяться из матрицы

Реакция опоры

так что

Реакция опоры

Подставляя найденные значения вариаций координат в общее уравнение статики, получим

Реакция опоры

или

Реакция опоры

Реакция Реакция опоры таким способом не может быть найдена, потому что любое возможное перемещение точки Реакция опоры твердого тела ортогонально направлению силы Реакция опоры, и задача оказывается статически неопределимой.

Пример с решением 59.

На гладкой горизонтальной плоскости лежат несколько одинаковых однородных цилиндрических труб. Чтобы трубы не раскатывались, они подпираются двумя брусьями Реакция опоры и Реакция опоры как показано на рис. 139. Определить реакции брусьев.

Решение. Для определенности рассмотрим пятнадцать труб, расположенных, как указано на чертеже. Чтобы избежать рассмотрения статически неопределимой задачи, предположим, что расстояние между брусками Реакция опоры и Реакция опоры больше суммы диаметров нижних труб. Положение системы определим четырьмя параметрами Реакция опоры и Реакция опоры (углы, которые образуют прямые, соединяющие центры труб нижнего и верхнего ряда с горизонталью), которые связаны соотношением

Реакция опоры

где Реакция опоры — сколь угодно малое число. Углы Реакция опоры и Реакция опоры подчиняются еще условиям

Реакция опоры

Будем предполагать сначала, что последние условия выполняются лишь в виде неравенств. Определив вертикальные координаты центров труб

Реакция опоры

Запишем принцип Торричелли для системы с удерживающими связями:

Реакция опоры

или, после подстановки значений Реакция опоры

Реакция опоры

где величины Реакция опоры и Реакция опоры связаны соотношением

Реакция опоры

Определив из последнего уравнения Реакция опоры

Реакция опоры

и подставив это значение в равенство (с), получим уравнение для независимых параметров Реакция опоры

Реакция опорыРеакция опоры

Приравнивая нулю коэффициенты при Реакция опоры и Реакция опоры приходим к следующим условиям равновесия системы:

Реакция опоры

Реакция опоры

которые можно переписать в виде

Реакция опоры

Принимая во внимание неравенства (b), получим условия равновесия

Реакция опоры

ВеличиныРеакция опоры и Реакция опоры должны удовлетворять уравнению (а), которое перепишется в виде

Реакция опоры

При Реакция опоры отсюда находим предельное значение для Реакция опоры

Реакция опоры

В самом деле,

Реакция опоры

При уменьшении Реакция опоры левая часть равенства (f) будет увеличиваться, а следовательно, будет возрастать и Реакция опоры Таким образом, предполагая связи (Ь) в положении равновесия выполненными в виде неравенств, устанавливаем, что в положении равновесия должно быть

Реакция опоры

Лишь при выполнении этого неравенства нижине трубы в положении равновесия не будут касаться друг друга. Уменьшая Реакция опоры мы вынуждены будем отказаться от предположения, что все связи (Ь) в положении равновесия выполняются в виде неравенств. Из условий (е) следует, что первыми переходят в равенство связи

Реакция опоры и Реакция опоры

Рассмотрим теперь только такие состояния системы, для которых выполняются условия

Реакция опоры

Уравнение связи для возможных перемещений (d) приобретает вид

Реакция опоры

Общее уравнение статики для рассматриваемой системы перепишем в виде

Реакция опоры

Система линейных относительно Реакция опоры и Реакция опоры уравнений (d') и (с7) обладает ненулевым решением, если обращается в нуль определительРеакция опоры

или

Реакция опоры

Отсюда следует, что в положении равновесия должно быть

Реакция опоры

Тогда из уравнения связи (а) находим

Реакция опоры

Как видно из последнего соотношения, при Реакция опоры получим

Реакция опоры
Для определения реакции в точке Реакция опоры освободим систему от связи, убрав брус Реакция опоры и заменив его действие силой реакции Реакция опоры После такого освобождения системы параметры Реакция опоры и Реакция опоры можно изменять независимо друг от друга. При этом должно выполняться условие Реакция опоры (при отличных от нуля Реакция опоры или Реакция опоры системе сообщается освобождающее перемещение, на котором будут совершать отличную от нуля работу силы реакции труб, находящихся при равнозесии в соприкосновении). Сообщим системе перемещение

Реакция опоры

и подсчитаем работу всех сил, в том числе и работу силы Реакция опоры на возможном перемещении системы. Будем иметь

Реакция опоры

откуда следует

Реакция опоры

Если Реакция опоры то Реакция опоры и

Реакция опоры

Заметим, что на рассматриваемом перемещении опускаются вниз четыре трубы. У остальных труб вертикальные координаты не изменяются. Если обозначить через Реакция опоры вес опускающихся труб (в нашем случае Реакция опоры), то предельное значение силы реакции будет равно

Реакция опоры