Развёртывание поверхностей

Содержание:

  1. Свойства развёрток
  2. Развёртывание поверхности многогранника
  3. Способ натуральных граней
  4. Способ нормального сечения
  5. Способ раскатки
  6. Развёртывание поверхностей тел вращения
  7. Приближённое и условное развёртывание кривых поверхностей 
  8. Способ аппроксимирующих поверхностей
  9. Способ призматических поверхностей
  10. Способ пирамидальных поверхностей
  11. Способ цилиндрических поверхностей
  12. Способ конических поверхностей
  13. Метод триангуляции

Развертывание цилиндров и конусов основывается на способах развертки гранных поверхностей приведенных выше. В общем случае поверхность цилиндра аппроксимируется призматической поверхностью, а конус – пирамидой и затем строится приближенная развертка кривой поверхности.

Свойства развёрток

Развёрткой криволинейной поверхности Ф называется плоская фигура Развёртывание поверхностей, полученная путём совмещения поверхности Ф с плоскостью Σ (рис. 5.1). В начертательной геометрии плоскостью Σ является одна из плоскостей проекций.

Развёртывание поверхностей тел широко применяется в технике, поскольку большое количество технических конструкций изготавливается из листового материала. Заготовки таких конструкций, которые являются развёртками, используются для изготовления тонкостенных ёмкостей, воздуходувов, промышленной вентиляции и пневмотранспорта, фасонных частей пылеулавливателей, деталей подъёмно - транспортных приборов и т.д. (рис. 5.2).

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейРазвёртывание поверхности 

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейПрименение развёрток

Поверхности Ф, которые можно совместить с плоскостью Σ без разрывов и складок, являются, развёртывающимися. К ним принадлежат все многогранники (см. п. 4.1), цилиндрические и конические поверхности (см. п. 3.2.1.3, рис. 3.55 б – в), торсы (см. п. 3.2.1.3, рис. 3.57). Все другие кривые поверхности не развёртываются на плоскость, поэтому при их изготовлении из листового материала они приближённо заменяются развёртывающимися поверхностями (призмами, пирамидами, цилиндрами, конусами). В этих случаях имеют место так называемые условные развёртки (см. п. 5.4.1.3 – 5.4.1.4).

Основные свойства развёрток:

а) прямая l на поверхности Ф отвечает прямой Развёртывание поверхностей на развёртке Развёртывание поверхностей

б) параллельные прямые Развёртывание поверхностей на поверхности Ф отвечают параллельным прямым Развёртывание поверхностей на развёртке Развёртывание поверхностей

 в) длина (натуральная величина) любой линии s на поверхности Ф равна длине линии Развёртывание поверхностей на развёртке Развёртывание поверхностей

г) угол α между линиями r, s на поверхности Ф равен углу между линиями Развёртывание поверхностей на  развёртке Развёртывание поверхностей

 д) площадь S фигуры на поверхности Ф равна плоскости соответствующей фигуры на  развёртке Развёртывание поверхностей

е) если прямая Развёртывание поверхностей на развёртке Развёртывание поверхностей отвечает кривой линии s на поверхности Ф, то кривая s является геодезическою линией поверхности Ф. Длина дуги МN геодезической линии является наименьшей из всех возможных дуг MN на поверхности Ф.

Описанные свойства геометрически интерпретированы на рис. 5.3.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейСвойства развёрток

Геодезическая линия (от греческого γεωδαισία – разделение Земли) – линия минимальной длины, проведенная через две точки криволинейной поверхности. На развёртке поверхности эта линия - прямая.

Геодезическая линия широко применяется в неэвклидовой геометрии, теоретических и практических задачах геодезии – науки, которая изучает измерения пространства, в том числе размеры и форму Земли, её гравитационное поле и т.д.

Развёртывание поверхности многогранника

Развёрткой многогранника называется фигура, полученная в результате последовательного совмещения граней многогранника с плоскостью. Развёртка всегда строится наружной (лицевой) стороной к наблюдателю.

Способ натуральных граней

Согласно свойствам развёртки  (см. п. 5.1) все грани многогранника Ф сохраняют на развёртке свою длину, для определения которой используются способы начертательной геометрии.

На рис. 5.4 построены горизонтальная и фронтальная проекции треугольной пирамиды SABC. Основа АВС является плоскостью горизонтального уровня, поэтому проецируется на П1 в натуральную величину А1В1С1. Для определения натуральных величин граней SAB, SBC, SCA используется способ вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси і, которая проходит через вершину S пирамиды. Отрезки Развёртывание поверхностейявляются натуральными величинами ребер SA, SB, SC пирамиды. По этим ребрам строится развёртка пирамиды. Вырезав плоскую заготовку из контура развёртки и сложив её по линиям сгиба и совмещая одноименные рёбра, можно получить  поверхность данной пирамиды SABC.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейСпособ натуральных граней

Для определения на развёртке произвольной точки D пирамиды применяется способ вспомогательного отрезка. Точка D принадлежит грани SАС. Через вершину S и точку D проводится отрезок S-1, точка 1 которого принадлежит основе АВС пирамиды. Определяется натуральная величинаРазвёртывание поверхностей отрезка S-1, на нём определяется проекция Развёртывание поверхностей На отрезке Развёртывание поверхностей развёртки строится отрезок Развёртывание поверхностей, длина которого равна длине проекции Развёртывание поверхностей

Способ нормального сечения

Способ нормального сечения применяется для построения развёртки призм, ребра которых являются прямыми уровня.

Суть способа нормального сечения

Призма пересекается в произвольном месте плоскостью Σ, перпендикулярной рёбрам. Определяется натуральная величина линии 1 – 2 – … нормального сечения. Эта линия является плоским многоугольником, количество сторон которого равно количеству граней призмы. Линия 1 – 2 – … разворачивается до формы прямого отрезка Развёртывание поверхностей … На перпендикулярах, проведенных по обе стороны от точек Развёртывание поверхностей …, строятся части натуральных величин рёбер пирамиды, которые находятся по разные стороны секущей плоскости Σ.

На рис. 5.5 заданы две проекции треугольной призмы ABCDEF с рёбрами AD, BE, CF горизонтального уровня. Вводится секущая плоскость Σ, перпендикулярная рёбрам призмы (горизонтальный след Σ1 перпендикулярен горизонтальным проекциям рёбер призмы). Плоскость Σ пересекает призму по треугольнику 1 – 2 – 3, точки которого принадлежат, соответственно, рёбрам AD, BE, CF. Способом замены плоскостей проекций определяется натуральная величина Развёртывание поверхностей нормального сечения (ось  Развёртывание поверхностейпараллельна следу Σ1). Треугольник Развёртывание поверхностей разворачивается до формы прямого отрезка Развёртывание поверхностей длины частей Развёртывание поверхностей которого равны соответствующим сторонам треугольника Развёртывание поверхностей На перпендикулярах, проведенных по обе стороны от точек Развёртывание поверхностей строятся отрезки Развёртывание поверхностей длины которых равны длинам проекций  Развёртывание поверхностей На развёртке достраиваются натуральные величины основ АВС, DEF призмы. 

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейСпособ нормального сечения

Для определения на развёртке произвольной точки G призмы применяется способ вспомогательных отрезков. Точка G принадлежит грани ABDE. Через точку G проводится отрезок 4 – 5, параллельный рёбрам призмы. Точка 4 принадлежит отрезку АВ, точка 5 – отрезку DE. Определяется точка 6 пересечения отрезка 4 – 5 с плоскостью Σ. Точка 6 принадлежит отрезку 1 – 2. Определяется проекция Развёртывание поверхностей На отрезке Развёртывание поверхностей развёртки строится отрезок Развёртывание поверхностей, длина которого равна длине проекции Развёртывание поверхностей Из точки Развёртывание поверхностей развёртки призмы проводится отрезок Развёртывание поверхностей в направлении, перпендикулярном  отрезку Развёртывание поверхностей в сторону точки Развёртывание поверхностей Длина отрезка Развёртывание поверхностей равна длине проекции Развёртывание поверхностей

Способ раскатки

Способ раскатки применяется для развёртывания призмы, основа которой параллельна одной плоскости проекций, а боковые рёбра параллельны другой плоскости проекций.

Из точек 1, 2, … основы Развёртывание поверхностей … верхней грани призмы проводятся лучи, перпендикулярные  боковым рёбрам Развёртывание поверхностей … На этих лучах строятся точки Развёртывание поверхностей … так, что длины отрезков Развёртывание поверхностей … равны натуральным величинам отрезков Развёртывание поверхностей, …

На рис. 5.6 заданы две проекции треугольной призмы Развёртывание поверхностей с основой 1 – 2 – 3 и верхней гранью Развёртывание поверхностей горизонтального уровня и рёбрами Развёртывание поверхностей фронтального уровня. Из фронтальных проекций Развёртывание поверхностей проводятся лучи, перпендикулярные  фронтальным проекциям Развёртывание поверхностей На этих лучах по очереди откладываются точкиРазвёртывание поверхностей так, что длины отрезков Развёртывание поверхностей  равны натуральным величинам отрезковРазвёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейСпособ раскатки

Для определения на развёртке произвольной точки А призмы применяется способ вспомогательного луча. Точка А принадлежит грани Развёртывание поверхностей Через точку А проводится отрезок Развёртывание поверхностей параллельный рёбрам призмы, точка 4 которого принадлежит отрезку 1 – 3 основы. Из проекций Развёртывание поверхностей проводятся лучи Развёртывание поверхностей перпендикулярные  фронтальным проекциям рёбер призмы. Из точки Развёртывание поверхностей принадлежащей отрезку Развёртывание поверхностей развёртки, проводится отрезок Развёртывание поверхностей параллельный отрезку Развёртывание поверхностей до пересечения с лучом Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностей тел вращения

По развертыванию поверхности делятся на два класса: развертываемые, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертываемые, которые невозможно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Развертываются все многогранные поверхности, из кривых поверхностей – только линейчатые, у которых смежные образующие параллельны между собой (цилиндрические) или пересекаются по одной точке (конические).

Из всего разнообразия поверхностей тел вращения точное развёртывание осуществляется только для прямых круговых цилиндра и конуса (рис. 5.7 – 5.8).

Поверхность прямого кругового цилиндра разворачивается в прямоугольник, одна сторона которого равна длине Развёртывание поверхностей нормального сечения (окружности диаметром d), другая – высоте h цилиндра (рис. 5.7). Развёртка цилиндра при необходимости дополняется нижней и верхней основами – окружностями диаметром d. Для определения точки А на развёртке прямого кругового цилиндра применяется способ образующей линии. Определяется угол α, и строится образующая линия на развёртке. Она размещена на расстоянии Развёртывание поверхностей Высота точки Развёртывание поверхностей равна высоте точки А.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейРазвёртка цилиндра

Поверхность прямого кругового конуса разворачивается в сектор окружности с центром в вершине S конуса. Радиус сектора равен длине l образующей линии конуса; угол φ = 180°·d/l, где d – диаметр основы конуса (рис. 5.8). Развёртка конуса при необходимости дополняется основой – окружностью диаметром d. Для определения точки А на развёртке прямого кругового конуса применяется способ образующей линии. Определяется угол α и строится образующая линия на развёртке, положение которой определяется углом β = 0,5αd/l. Точка Развёртывание поверхностей расположена на расстоянии Развёртывание поверхностей равном натуральной величине Развёртывание поверхностей отрезка SA.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейРазвёртка конуса

Приближённое и условное развёртывание кривых поверхностей 

При построении приближенных и условных разверток используют ап-проксимацию (от approximare (лат.) – приближаться) одной поверхности к другой. Аппроксимацией называют замену одной поверхности другой – аппроксимирующей, которая приближается к заданной по каким-то опре-деленным свойствам (форма, площадь, кривизна) с той или иной степенью точности.

Способ аппроксимирующих поверхностей

Развёртка любой развёртывающейся поверхности  (кроме прямых круговых конуса и цилиндра) строится приближённо. Это  происходит вследствие  того, что при развёртывании кривой поверхности её аппроксимируют гранями вписанных многогранников(рис. 5.9).

Способ призматических поверхностей

Например, цилиндрическая поверхность условно заменяется призмой (рис. 5.9 а), коническая поверхность – пирамидой (рис. 5.9 б).

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностей– Аппроксимация тела вращения многогранником

Для построения приближённой развёртки цилиндрической поверхности используется способ призматических поверхностей

Суть способа призматических поверхностей

В цилиндрическую поверхность вписывается призма, количество граней которой прямо влияет на точность построения развёртки цилиндра. Строится развёртка этой призмы способом нормального сечения или раскатки (см. п. 5.2.2 – 5.2.3). Через точки на  развёртке призмы проводятся плавные кривые, являющиеся контуром приближённой развёртки цилиндра. При необходимости развёртка цилиндра дополняется нижней и верхней основами.

На рис. 5.10 изображен комплексный чертёж эллиптического цилиндра, поверхность которого аппроксимируется двенадцатигранной призмой. Развёртка последней строится способом раскатки. Через точки Развёртывание поверхностей проводятся плавные кривые (синусоиды), образующие контур развёртки цилиндра. Развёртка дополняется нижней и верхней основами цилиндра.

Способ пирамидальных поверхностей

Способ пирамидальных поверхностей используется для построения развёртки боковой поверхности конуса.

Суть способа пирамидальных поверхностей

В коническую поверхность вписывается пирамида. Строится приближённая развёртка этой пирамиды способом натуральных граней (см. п. 5.2.1). Через точки на развёртке пирамиды проводится плавная кривая, являющаяся контуром развёртки конуса. По необходимости развёртка конуса дополняется его основой.

Аппроксимация (от англ. approximation – приближение) – научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, более простыми, приближёнными к оригиналу.

Необходимо различать такие понятия, как приближённая и условная развёртка. Приближённая развёртка касается развёртывающихся поверхностей. Условная развёртка строится для поверхностей, которые не развёртываются.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейРазвёртка эллиптического цилиндра

На рис. 5.11 изображен комплексный чертёж эллиптического конуса, поверхность которого аппроксимируется двенадцатигранной пирамидой. Развёртка последней строится способом натуральных граней. Через точки Развёртывание поверхностей проводится плавная кривая, которая образует контур развёртки конуса. Развёртка дополняется основой конуса. 

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейРазвёртка эллиптического конуса

Способ цилиндрических поверхностей

Для поверхностей, которые не развёртываются. в том числе нелинейчатых, строятся условные развёртки. Основные способы построения условных развёрток такие:

а) способ цилиндрических поверхностей;

б) способ конических поверхностей;

в) метод триангуляции.

Суть способа цилиндрических поверхностей

Кривая поверхность описывается совокупностью цилиндрических поверхностей, которые в дальнейшем развёртываются и совмещаются по точкам и линиям. Полученная  развёртка является условной развёрткой кривой поверхности.

На рис. 5.12 построена условная развёртка сферы. Вокруг её поверхности описываются шесть одинаковых цилиндрических поверхностей. Одна из таких поверхностей имеет образующие линии Развёртывание поверхностей Длины этих образующих равны длинам их горизонтальных проекций Развёртывание поверхностей.Расстояния между образующими одинаковы и равны длине дуги SA, то есть длине фронтальной проекции Развёртывание поверхностей Развёрткой одной из шести цилиндрических поверхностей является фигура в форме лепестка, контур которой проходит через концыРазвёртывание поверхностей образующих линий, удалённых одна от другой на одинаковое расстояние, равное длине дуги Развёртывание поверхностей. Прибавляя к полученной части еще пять, строится условная развёртка сферы. 

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейУсловная развёртка сферы. 

На рис. 5.13 построена условная развёртка открытого тора. Вокруг его поверхности описываются двенадцать одинаковых цилиндрических поверхностей. Одна из таких поверхностей имеет образующие линии Развёртывание поверхностей Длины этих образующих равны длинам их фронтальных проекций Развёртывание поверхностей Расстояния между образующими одинаковы и равны длине дуги SA, то есть, длине горизонтальной проекции S1A1. Развёрткой одной из двенадцати цилиндрических поверхностей является фигура, контур которой проходит через концы Развёртывание поверхностей образующих линий, удалённых одна от другой на одинаковое расстояние, равное длине дуги S1A1. Прибавляя к полученной части еще  одиннадцать, строится условная развёртка тора. 

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейУсловная развёртка открытого тора

Способ конических поверхностей

Способ конических поверхностей используется для построения условных развёрток закрытых тел вращения (эллипс, параболоид, эллипсоид, двуполостной гиперболоид, закрытый тор и т.д.).

Суть способа конических поверхностей

Сегменты поверхности описываются совокупностью конических поверхностей, которые развёртываются и совмещаются по точкам и линиям. Полученная развёртка является условной развёрткой кривой поверхности.

На рис. 5.14 построена условная развёртка сферы. Вокруг её поверхности описывается одна цилиндрическая и шесть конических поверхностей с разными вершинами Развёртывание поверхностей  Длины образующих линий Развёртывание поверхностей одинаковы и равны длине проекции Развёртывание поверхностей Углы и радиусы развёртывания конусов определяются, как описано  в п. 5.3. 

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейУсловная развёртка сферы

На рис. 5.15 построена  условная развёртка эллипсоида. Вокруг его поверхности описываются одна цилиндрическая и шесть конических поверхностей с разными вершинами Развёртывание поверхностей Длины образующих линий Развёртывание поверхностей могут быть разными и определяются по их фронтальным проекциям. Углы и радиусы развёртывания конусов определяются, как показано в п. 5.3.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейУсловная развёртка эллипсоида

Метод триангуляции

Метод триангуляции (от англ. triangle – треугольник) применяется для развёртывания многогранников, приближенного развёртывания цилиндрических и конических поверхностей и поверхностей с ребром поворота (торсов), а также условного развёртывания поверхностей которые не развёртываются.

Суть метода триангуляции

Кривая поверхность разбивается на треугольники с общими сторонами. Натуральные величины этих треугольников сочетаются по общим сторонам. Внешний контур полученной плоской фигуры является приближенной или условной развёрткой заданной кривой поверхности.

На рис. 5.16 построена приближённая развёртка торса Ф. Последний разбивается совокупностью треугольников с вершинами 1, 2, …, принадлежащими ребру возврата Развёртывание поверхностей и одной из линий l поверхности Ф. Натуральные величины сторон 1 – 2, 2 – 3, … треугольников определяются способом вращения вокруг проецирующей оси. По найденным  отрезкам строятся натуральные величины треугольников 1 – 2 – 3, 2 – 3 – 4, …, которые сочетаются по общим сторонам. Контур полученной плоской фигуры является приближенной развёрткой торса Ф.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейПриближённая развёртка торса

На рис. 5.17 построена приближённая развёртка поверхности произвольного пространственного тела. Его поверхность разбивается на треугольники, стороны которых построены по точкам 1, 2, …, А, В, …, принадлежащим соответственно верхней и нижней основам тела. Натуральные величины сторон треугольников определяются способом вращения вокруг горизонтально-проецирующих осей, проходящих через точки В, С. По найденным отрезкам строятся натуральные величины треугольников, которые сочетаются по общим сторонам. Контур полученной плоской фигуры является приближенной развёрткой поверхности тела.

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностей

Развёртывание поверхностейРазвёртка поверхности тела методом триангуляции

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Способы преобразования чертежа
  19. Кривые линии
  20. Кривые поверхности
  21. Трёхгранник Френе
  22. Проецирование многогранников
  23. Проецирование тел вращения
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы