Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Равномерная непрерывность Пусть X и У — метрические пространства с расстояниями pud соответственно. Определение 5.17. Функцию f: X i называют равномерно непрерывной на множестве Х} если для любого положительного е можно указать положительное S, такое, что для каждых двух точек х\ и з2 из X, удовлетворяющих условию р(х 1, х2) , справедливо неравенство d(f(x 1), f(x2)) , т.е. если Ve , то V*bx2 € Л Ясно, что если функция равномерно непрерывна на то она непрерывна на ЛТ.

Действительно, какую бы точку а € X взять, согласно определению 5.17, имеем а это, по определению 5.13, означает непрерывность функции f в любой точке а € X и в силу определения 5.14 — непрерывность этой функции на X. Однако обратное утверждение неверно. Если функция / непрерывна на Л", то для любой точки а€ X при любом е > 0 существует 6 > 0, такое, что условие влечет за собой .

При этом число 6 зависит не только от выбора £, но и от положения точки а. Когда же говорят о равномерной непрерывности / на X, то это означает, что S можно выбрать зависящим только от е и не зависящим от а. Поэтому в общем случае из непрерывности функции на множестве не следует ее равномерная непрерывность на этом множестве. Пример 5.13. Функция f(x) = х2 непрерывна на множестве X — [0, +оо). Рассмотрим произвольные О 0 и е > О и предположим, что С учетом свойств абсолютного значения числа имеем.

Решая последнее неравенство относительно |ж-а|, получаем, что условие (5.19) будет выполнено, если Поэтому, согласно определению 5.13, для непрерывности данной функции в любой точке a € [0, +оо) достаточно положить равным правой части (5.20). Однако рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на множестве [0, +оо).

В самом деле, для любых точек х\ = х -f 8 и Х2 = х иэ этого множества имеем при 8 > о При заданном е > 0 для выполнения условия необходимо взять но выбрать отсюда 8 независимо от х невозможно. На рис. 5.4 видно изменение значения 8, удовлетворяющего при заданном значении е > 0 определению 5.17, по мере удаления области возможного расположения точек Х\ и Х2 от начала координат.

Свойство равномерной непрерывности при заданном значении е > 0 наглядно можно представить как возможность прямоугольной рамки pqrs со сторонами е и { (см. рис. 5.4) скользить вдоль кривой графика функции, не изменяя ориентации сторон относительно системы координат и не пересекая кривую горизонтальными сторонами.

Изображенная на рисунке рамка может свободно спуститься из своего положения вдоль кривой к началу координат и затем подняться по левой ветви параболы до исходного уровня. Но при попытке подняться выше исходного уровня рамку „заклиниваем и тогда нужно уменьшать длину 8 горизонтальной стороны. Однако при любом малом 8 > О подъем рамки будет возможен лишь до определенной высоты у. Аналогичная ситуация возникает и при любом ином заданном значении е > 0. #

Говорят, что отображение /: X —> У удовлетворяет условию Липшица на Х} если существует такая константа ЧТО при любых ХиХ2 € X Легко видеть, что функция, удовлетворяющая на X усло-00к> Липшица (по имени немецкого математика Р. Липшица (1832-1903)), является равномерно непрерывной на Х) причем, согласно определению 5.17, достаточно выбрать Теорема 5.13.

Непрерывная на компакте X функция f: X -> У равномерно непрерывна на этом компакте. 4 Выберем произвольное е > 0. В силу непрерывности / на X , согласно определению 5.13, для каждой точки а £ X существует 6-окрестность такая, что . Рассмотрим покрытие {V} множества X построенными для каждой точки а € X шарами радиусы которых в 2 раза меньше, чем соответствующие радиусы ^-окрестностей .

В силу компактности X (см. определение 5.12) из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие шарами и принять Теперь возьмем любые точки для некоторого г, ).

Покажем, что и а будет принадлежать этому шару. Имеем в силу свойства расстояния (см. аксиому в) из определения 5.1 метрического пространства) Это означает, что а. На основании того свойства расстояния Итак, для каждой пары точек из условия следует неравенство , причем число 6* зависит лишь от выбора £ и не зависит от положения этих точек, что, по определению 5.17, со Равномерная непрерывность условие Липшица соответствует равномерной непрерывности / на X.

Для действительной функции f(x) действительного переменного из этой теоремы последовательно вытекают два следствия. Следствие 5.6. Непрерывная на отрезке [а, 6] € R действительная функция f(x) равномерно непрерывна на этом отрезке. В самом деле, по теореме 5.6 любой отрезок числовой прямой является компактом и в силу теоремы 5.13 непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке. Следствие 5.7. Бели функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [а, 6] € R, то при заданном е > О существует такое 8 >

О, что отрезок можно разбить произвольно на участки длиной менее , на каждом из которых каковы бы ни были точки х\ е Х2 этого отрезка. Ч По следствию 5.6, функция f(x) равномерно непрерывна на отрезке [а, 6]. Это позволяет в силу определения 5.17 при заданном е > 0 выбрать такое 8 > 0, что на части этого отрезка длиной менее 8 абсолютное значение разности любых двух значений функции f(x) будет меньше е (среди этих значений могут быть наибольшее и наименьшее значения функции на этой части отрезка).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Производящие функции
Построение взаимно параллельных плоскостей
На основе приведенных ниже данных рассчитайте
Расчет заклепочных соединений

Вернемся к примеру 5.13, в котором рассмотрена функция — х2, равномерно непрерывная на любом отрезке числовой прямой. Для этой функции разбиение заданного отрезка Ь] на участки с малым абсолютным значением ее изменения определяется величиной £ > 0, зависящей от конца отрезка, наиболее удаленного от точки О. Например, для отрезка [о, b] (см. рис. 5.4) можно взять , при этом абсолютное значение изменения функции на каждом участке разбиения будет пеньте е.

Длину участков по мере приближения к точке

О можно увеличивать, ограничиваясь всего четырьмя отрезкаг , на которых абсолютное значение изменения функции f(x) = х2 будет меньше е. Вопросы и задачи 5.1. Является ли метрикой на R функция , заданная И + 1 5.2. Указать наибольший промежуток А С R, на котором можно задать метрику р[ху у) в виде: 5.3.

Доказать, что соотношение p(x1y) = \f(x)-f(y)\, з,у€ €Л", задает метрику на множестве X тогда и только тогда, когда функция f: X -t R инъективна. 5.4. Является ли метрикой на R2 функция р(х> у), заданная для любых элементов и у = (а2, Ьг) из R2 в виде: 5.5. Пусть С — множество всех точек окружности. Удовлетворяет ли аксиомам метрики длина кратчайшей дуги этой окружности, соединяющей любые точки а:, у € С? 5.6. Образует ли множество всех прямых на плоскости, пересекающихся в одной точке, метрическое пространство, если метрикой считать абсолютное значение острого угла между любыми двумя прямыми? .

6.7. Является ли метрикой на множестве С точек комплексной плоскости функция p{z\) z2), заданная в виде: 5.8. Проверить, верны ли утверждения: а) внутренность пересечения двух множеств равна пересечению их внутренностей; б) внутренность объединения двух множеств равна объединению их внутренностей; в) граница объединения двух множеств включена в объединение их границ. 5.0. Построить на числовой прямой такое множество, что: а) все его точки изолированные; б) нижняя грань расстояний между его точками равна нулю; в) оно не имеет предельных точек на числовой прямой. 5.10.

Доказать, что отрезок числовой прямой нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. 5.11. Выяснить, являются ли открытыми (или замкнутыми) следующие множества точек числовой прямой: 5.12. Выяснять, являются лн открытыми (или замкнутыми) множества точек (х, у) плоскости R2, если выполнены условия: 5.13. Указать в пространствах R и R2 примеры множеств: а) без граничных точек; б) не пересекающихся со своей непустой границей; в) содержащих часть своих граничных точек; г) содержащих в себе все свои граничные точки. 5.14.

При каком условии функция /(х), непрерывная на [а, 6] и на [6, с], будет непрерывна на [а, с]? 5.15. Определить множество непрерывных функций f:R-> -»• R, таких, что /(х2) = /(х) при Vx > 0. 5.16. Доказать, что если действительная функция /(х) непрерывна, то и функция |/(х)| тоже непрерывна. 5.17. Доказать, что если действительные функции /(х) и д(х) непрерывны, то непрерывны и функции 5.18. Пусть действительная функция /(х) 6 С[а, 6]. Доказать, что Равномерная непрерывность условие Липшица 5.19.

Привести примеры функций, равномерно непрерывных на отрезках [0, 1] и [0, 2]. 5.20. Показать, что функция 1/х не является равномерно непрерывной в интервале (0, 1). 5.21. Показать, что если функция не является равномерно непрерывной на отрезке, то она разрывна хотя бы в одной его точке. 5.22. Построить функцию, равномерно непрерывную на отрезках [а, Ь] и [6, с], но не являющуюся равномерно непрерывной на отрезке [а, с]. 5.23. Пусть заданы равномерно непрерывные отображения /: [a, -fоо) R и д: [а, -foo) R.

Показать, что: 1) произведение fg может не быть на [a, -foo) равномерно непрерывной функцией; 2) fg — равномерно непрерывная на [a, -foo) функция при условии, что функции / и д ограничены на [a, -foo). 5.24. Пусть /: X У и g:Y Z. Будет ли композиция gof равномерно непрерывной на X, если: 1) / и д равномерно непрерывны соответственно на X и на У; 2) / равномерно непрерывна на X, а д непрерывна на У; 3) / непрерывна на X, а д равномерно непрерывна на У?