Распространение тепла в конечном стержне

Распространение тепла в конечном стержне

Распространение тепла в конечном стержне

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Если стержень имеет конечную длину I и занимает отрезок , то для постановки задачи о распространении тепла в таком стержне помимо уравнения и начального условия необходимо задать еще температурный режим на концах стержня х = 0 и х = I, т.е. задать граничные условия. Граничные условия могут бытьраэличными в зависимости от температурного режима на концах стержня.

Рассматривают три основных типа граничных условий. 1. На концах стержня задана температура где ц\ (*), ~ Функции, заданные для отрезка времени 0 t ^ Т, в течение которого изучается процесс. На концах стержня заданы значения производной Эти условия возникают, если задана величина теплового потока Q, протекающего через торцевое сечение стержня.

Например, если для х — I задана величина Q{1, t), то тождественно равна Распространение тепла в конечном стержне откуда нулю, то говорят, что соответствующий конец стержня теплоизолирован. 3. На концах стержня заданы линейные соотношения между функцией и ее производной где 0(0 — известная функция — температура окружающей среды, А — коэффициент теплообмена. Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой 0(t).

Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, протекающего через сечение , получаем формулировку третьего граничного условия в виде.

Для сечения х = 0 стержня третье граничное условие имеет вид поскольку для теплового потока при х = 0 имеем (внешняя нормаль к стержню в конце х = 0 противоположна по направлению с осью Ох). Перечисленные основные задачи далеко не исчерпывают возможных краевыхзадач для уравнения Например, на разных концах стержня могут задаваться условия разных типов. Мы ограничимся рассмотрением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах
Нахождение наименьшего вершинного покрытия
Расчет цилиндрической косозубой передачи
Пример расчета тарельчатой ректификационной колонны (контрольные задачи)

Задача ставится так: найти решение «(ж, t) уравнения в области , удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Считаем, что функция u(x,t) непрерывна в замкнутой области , для чего необходимо, чтобы функции были непрерывными и выполнялись условия согласования Замечание . Км и для уравнений гиперболического типа, функция ищется только для , где значения функции it(x,i) заранее задаются начальными и граничными условиями).

Сформулируем принцип максимального

значения. Теорема 2. Если функция u(x,t) 6 C(D), удовлетворяет уравнению теплопроводности W = 0,2 в тонках области , то максимальное и минимальное значения функции u{xf t) достигаются или в начальный момент времени t = 0, или в точках границы на отрезках х = 0 или х = I. Распространение тепла в конечном стержне.

Физический смысл этой теоремы очевиден: если температура тела н е превосходит некоторого значения Af в граничных точках или в начальный момент, то внутри тела (источники отсутствуют!) не может возникнуть температура, бблыиая М. Как следствия из принципа максимального значения вытекают теоремы. Теорема 3 (единствен кости). Решение задачи (1)-(3) в прямоугольнике единственно. Теорема 4. Решение задачи (1 )-(3) непрерывно зависит от начальных и граничных функций