Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения

В инженерной практике часто применяются балки с поперечным сечением, имеющим вертикальную ось симметрии. Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, которая совпадает с осью симметрии сечения, то балка будет изгибаться в той же плоскости. Такой изгиб называется плоским (рис.1).
Расчёт балки задачи

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних усилия - поперечная сила Расчёт балки задачи и изгибающий момент Расчёт балки задачи (рис.2).
Расчёт балки задачи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Напряжения в поперечных сечениях

Поскольку поперечная сила Расчёт балки задачи является равнодействующей касательных напряжений Расчёт балки задачи (рис.3), а изгибающий момент Расчёт балки задачи - равнодействующей нормальных напряжений Расчёт балки задачи (рис.4), то, следовательно, в поперечных сечениях балки в общем случае возникают и нормальные напряжения Расчёт балки задачи и касательные Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи

Можно показать, что нормальные напряжения Расчёт балки задачи распределяются по высоте сечения по линейному закону (рис.5). Линия, во всех точках которой Расчёт балки задачи называется нейтральной линией. В рассматриваемом случае плоского вертикального изгиба нейтральная линия совпадает с осью Расчёт балки задачи

По мере удаления от нее напряжения возрастают по модулю, достигая наибольших по модулю значений в крайних точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии.


Расчёт балки задачи

Чтобы определить нормальные напряжения в произвольной точке Расчёт балки задачи используется следующая формула

Расчёт балки задачи

где Расчёт балки задачи - величина изгибающего момента в рассматриваемом сечении, определяется по эпюре Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи - осевой момент инерции поперечного сечения, табличная величина;

Расчёт балки задачи - координата точки, в которой определяется напряжение.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи на сжатие и растяжение по сопромату примеры и решения

Задачи на кручение по сопромату примеры и решения

Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения

Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения

Знак Расчёт балки задачи определяется с помощью эпюры Расчёт балки задачи Подробнее это будет рассмотрено при решении конкретных задач.

Преобразуя формулу (1), можно получить формулу для определения максимальных напряжений Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи

где Расчёт балки задачи - осевой момент сопротивления сечения, табличная величина.

Касательные напряжения

Касательные напряжения Расчёт балки задачи в поперечном сечении балки определяются по формуле Журавского:

Расчёт балки задачи

где Расчёт балки задачи - величина поперечной силы в рассматриваемом сечении, определяется по эпюре Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи - осевой момент инерции всего сечения, табличная величина;

Расчёт балки задачи - статический момент отсеченной части сечения, определяется по формуле:

Расчёт балки задачи - координата отсеченной части сечения;

Расчёт балки задачи ее площадь; Расчёт балки задачи - ширина сечения на уровне отсеченной части. Распределение касательных напряжений по высоте поперечного сечения зависит от формы самого сечения. На рис.6 приведены эпюры касательных напряжений для некоторых часто встречающихся форм поперечных сечений балки.

Расчёт балки задачи

Как видно из этих рисунков, максимальной величины касательные напряжения достигают на нейтральной линии, а в крайних точках сечения они равны нулю. Рассмотрим примеры определения нормальных и касательных напряжений.

Пример решения задачи 1.

1) Пусть в опасном сечении балки, сечение которой изображено на рис.7, возникают изгибающий момент Расчёт балки задачи растягивающий нижние волокна и Расчёт балки задачи Определить нормальные и касательные напряжения в точке Расчёт балки задачи а также наибольшие нормальные и касательные напряжения. Построить эпюру распределения нормальных напряжений по высоте сечения.
Расчёт балки задачи
Решение:

1) Покажем на чертеже сечения положение центра тяжести Расчёт балки задачи и проводим оси Расчёт балки задачи Это будет система главных центральных осей, так как ось Расчёт балки задачи совпадает с осью симметрии сечения.

2) Выпишем из справочника [3, табл.5] формулу для определения момента инерции Расчёт балки задачи для треугольного сечения и подставим численные значения Расчёт балки задачи

3) Найдем нормальные напряжения в точке Расчёт балки задачи используя формулу (1)

Расчёт балки задачи

Эти напряжения будут отрицательными, так как согласно условию задачи растягиваются нижние волокна сечения, то есть выше нейтральной линии (ось Расчёт балки задачи лежит зона сжатия, а ниже - зона растяжения. Точка Расчёт балки задачи находится в зоне сжатия, поэтому Расчёт балки задачи

4) Найдем наибольшее нормальное напряжение. Поскольку сечение несимметрично относительно оси Расчёт балки задачи то целесообразно пользоваться формулой (1). Из чертежа видно, что наибольшие сжимающие напряжения возникают в точке 1, так как эта точка является наиболее удаленной от нейтральной линии в зоне сжатия. Наибольшие растягивающие напряжения возникают в нижних точках сечения
Расчёт балки задачи

По полученным данным построим эпюру Расчёт балки задачи (рис.7).

5) Найдем касательное напряжение в точке Расчёт балки задачи Сначала проведем через точку Расчёт балки задачи линию, параллельную оси Расчёт балки задачи и назовем отсеченной часть сечения, лежащую выше этой линии. Обозначим через точку Расчёт балки задачи центр тяжести отсеченной части и вычислим его координату Расчёт балки задачи Из чертежа видно

Расчёт балки задачи

статический момент отсеченной части.

Используем формулу (3):

Расчёт балки задачи

Здесь Расчёт балки задачи ширина основания отсеченной части.

Пример решения задачи 2

Пусть в сечении балки возникают поперечная сила Расчёт балки задачи и изгибающий момент Расчёт балки задачи растягивающий верхние волокна. Определить наибольшие нормальные и касательные напряжения.
Расчёт балки задачи

Решение:

1) Покажем положение главной центральной системы координат Расчёт балки задачи

2) Найдем осевой момент сопротивления Расчёт балки задачи используя справочник Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи

3) Так как сечение симметрично относительно оси Расчёт балки задачи и удобнее использовать формулу (2).

Расчёт балки задачи

Согласно условию задачи растягиваются верхние волокна, поэтому Расчёт балки задачиРасчёт балки задачи

4) Из рис.6 следует, что наибольшие касательные напряжения возникают в точках, лежащих на нейтральной линии, поэтому проводим линию, совпадающую с осью Расчёт балки задачи Отсеченной будет, например, верхняя часть сечения, т. Расчёт балки задачи -центр тяжести этой части, т.е. полукруга.

Найдем Расчёт балки задачи используя формулу из [3, табл.5]:

Расчёт балки задачи

Найдем момент инерции всего сечения (т.е. круга) [3, табл.5]:

Расчёт балки задачи

Используем формулу (3)

Расчёт балки задачи

Построим эпюры Расчёт балки задачи (рис.8).

Расчет на прочность

Расчет на прочность начинается с построения эпюр внутренних усилий балки Расчёт балки задачи Сечение, в котором величина Расчёт балки задачи достигает наибольшего значения, считается опасным сечением. Именно для такого сечения и делается расчет на прочность.

Если балка выполнена из пластического материала, который одинаково работает на растяжение и сжатие, то условие прочности записывается в виде:

Расчёт балки задачи

где Расчёт балки задачи - расчетное сопротивление, заданная величина .

Если балка выполнена из хрупкого материала, который неодинаково работает на растяжение и сжатие, то используются два условия прочности.

Расчёт балки задачи

где Расчёт балки задачи расчетное сопротивление на растяжение,

Расчёт балки задачи расчетное сопротивление на сжатие.

Как правило, расчет балки на прочность производится только по нормальным напряжениям, так как в подавляющем большинстве балок величина нормальных напряжений намного превосходит величину напряжений касательных. Однако в следующих случаях проверяется и условие прочности по касательным напряжениям:

  • 1) если рассчитываемая балка выполнена из дерева, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон;
  • 2) если балка короткая;
  • 3) если на балку действуют большие сосредоточенные силы, приложенные на наибольших расстояниях от опор.

В последних двух случаях поперечные сечения в балке достигают большой величины, в то время как изгибающие моменты за счет малых плеч сравнительно невелики.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде:

Расчёт балки задачи

где Расчёт балки задачи расчетное сопротивление на срез.

Пример решения задачи 3

Проверить выполнение условий прочности по нормальным и касательным напряжениям для деревянной балки (рис.9), если Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи

Решение:

1) Строим эпюры Расчёт балки задачи Опасным является сечение в заделке, Расчёт балки задачи (рис.9).

2) Проверим условие прочности по нормальным напряжениям

Расчёт балки задачи

Величина Расчёт балки задачи была определена в примере 2:

Расчёт балки задачи

Условие прочности по нормальным напряжениям выполняется.

3) Проверим условие прочности по касательным напряжениям

Расчёт балки задачи

Величину Расчёт балки задачи берем из примера 2:

Расчёт балки задачи

Условие прочности по касательным напряжениям выполняется. Замечание.

Во всех последующих примерах будем использовать только условие прочности по нормальным напряжениям.

Пример решения задачи 4

Проверить выполнение условия прочности для балки, выполненной из чугуна, если Расчёт балки задачи

Расчёт балки задачи

Решение:
1) Построим эпюры внутренних усилий Расчёт балки задачи Опасным является сечение в заделке Расчёт балки задачи (рис.10).
2) Так как балка выполнена из хрупкого материала, то проверяем два условия прочности (5):

Расчёт балки задачи

Значения напряжений Расчёт балки задачи были определены в примере 1.

Расчёт балки задачи

Условие прочности на сжатие выполняется.

Расчёт балки задачи

Условие прочности на растяжение не выполняется.