Расчет рамы

Содержание:

  1. Аналитический расчет рам
  2. Пример решения задачи 2.1.1.
  3. Пример решения задачи 2.1.2
  4. Расчет рамы методом сил
  5. Выбор основной системы (ОС)
  6. Составление системы канонических уравнений
  7. Определение коэффициентов канонических уравнений
  8. Проверка коэффициентов каноническнх уравнений
  9. Статическая проверка

Рамы - это системы, состоящие из прямолинейных или криволинейных стержней, жестко или шарнирно связанных между собой по концам. Вертикальные и наклонные элементы рам называются стойками, горизонтальные и близкие к ним - ригелями. Рамы бывают несочлененными, то есть состоящими из одного диска, неподвижно закрепленного на плоскости, и сочлененными, состоящими из двух или нескольких дисков, соединенных между собой шарнирами.

В зависимости от способов образования и видов опорных закреплений рамы могут быть балочными (безраспорными) или арочными (распорными) системами. Расчет плоских, статически определимых рам выполняется с помощью уравнений равновесия статики и сводится к вычислению изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в сечениях и построению эпюр внутренних усилий.

  • Эпюрой называется график изменения изучаемой величины в различных сечениях от заданной неподвижной нагрузки.

Вычисление внутренних усилий в сечениях рамы выполняется статическим способом вырезания узлов и простых сечений. В аналитическом решении численные значения усилий определяются для каждого сечения из условий равновесия отсеченных частей рамы. Графическое решение удобно использовать при построении эпюр изгибающих моментов для простейших случаев загружения. Это позволяет определять общий характер распределения внутренних усилий, сечения с экстремальными и нулевыми изгибающими моментами.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Аналитический расчет рам

Аналитический расчет статически определимых рам сводится к следующему:

1. Вычисление опорных реакций связей и проверка правильности их определения. Для однодисковых рам, прикрепленных к основанию тремя связями, реакции вычисляются из уравнений равновесия плоской произвольной системы сил в трех формах:

Расчет рамы

Перпендикулярно оси Расчет рамы

Расчет рамы не лежат на одной прямой

Для сочлененных рам необходимо к этим уравнениям дополнительно составить условия равновесия отдельных частей в виде

Расчет рамы

где Расчет рамы -число простых шарниров.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Олег македонский решение задач по сопромату

Метод начальных параметров решение и примеры задач по сопромату

Задачи на сжатие и растяжение по сопромату примеры и решения

Задачи на кручение по сопромату примеры и решения

Следовательно, для статически определимой рамы, имеющей Расчет рамы простых шарниров, можно составить Расчет рамы уравнения статики для определения опорных реакций.

2. Определение внутренних усилий - изгибающего момента Расчет рамы поперечной силы Расчет рамы продольной Расчет рамы сил в характерных сечениях рамы.

Изгибающим моментом называется сумма статических моментов всех односторонних сил от рассматриваемого сечения относительно центральной оси рассматриваемого сечения перпендикулярной силовой плоскости.

Поперечной силой называется сумма проекций всех односторонних сил от рассматриваемого сечения на ось, перпендикулярную оси стержня и лежащую в силовой плоскости.

Поперечная сила считается положительной, если она вызывает вращение отсеченного элемента по часовой стрелке.

Продольной силой называется сумма проекций всех односторонних сил от рассматриваемого сечения на ось стержня.

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение отсеченного элемента, и отрицательной, если - сжатие.

На основании этих определений и способа простых сечений вычисление внутренних усилий в сечениях стержней производится из уравнений равновесия статики Расчет рамы составленных для отсеченной части рамы, находящейся в

равновесии под действием внешних сил и внутренних усилий.

При рассмотрении равновесия той или иной отсеченной части системы неизвестный изгибающий момент принимается любого направления, а неизвестные поперечная и продольная силы только положительными. Если в результате решения изгибающий момент получился отрицательным, то это значит, что растянуты противоположные волокна в стержне по отношению к первоначально принятому.

При определении усилий в сечениях отсеченной части рекомендуется рассматривать равновесие той системы, на которую действует меньшее число силовых факторов.

3. Построение эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. При построении эпюр внутренних усилий по вычисленным в характерных сечениях значениям необходимо иметь в виду следующие особенности:

а) ординаты эпюр откладываются перпендикулярно оси стержня: в эпюре Расчет рамы- со стороны растянутого волокна без указания знаков; в эпюре Расчет рамы - с двух сторон от оси стержня; в эпюре Расчет рамы - симметрично от оси стержня с указанием знаков;

б) каждый узел рамы должен находиться в равновесии;

в) на прямолинейном незагруженном участке рамы изгибающий момент всегда изменяется по линейному закону, а поперечная и продольная силы постоянны;

г) при действии на элемент равномерно распределенной нагрузки изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы, поперечная сила - по линейному закону, а продольная сила постоянна, если действующая нагрузка перпендикулярна оси стержня, и изменяется по линейному закону, если нагрузка не перпендикулярна оси стержня;

д) если на элемент системы действует нагрузка в виде сосредоточенной силы, то в том сечении, где она приложена, на эпюре Расчет рамы будем иметь точку излома в сторону приложения силы; на эпюре Расчет рамы скачок на величину этой силы, если она перпендикулярна оси стержня, и на величину проекции этой силы на ось; перпендикулярную оси стержня, если нагрузка не перпендикулярна оси элемента. На эпюре Расчет рамы скачок будет только в том случае, если нагрузка не перпендикулярна оси стержня, и его величина будет равна проекции этой силы на ось стержня.

е) если на элемент рамы действует нагрузка в виде сосредоточенного момента, то в том сечении, где он приложен, на эпюре Расчет рамы будет скачок на величину этого момента с параллельными ветвями, очерчивающими эпюру; на эпюры Расчет рамы эта

нагрузка влияния не оказывает;

ж) между изгибающим моментом и поперечной силой существует известная зависимость Расчет рамы согласно которой, если эпюра Расчет рамы на рассматриваемом участке нисходящая, то Расчет рамы положительна, если эпюра Расчет рамы восходящая, то Расчет рамы отрицательна.

Построив эпюры Расчет рамы необходимо выполнить статическую проверку, которая состоит в том, что любая отсеченная часть рамы должна находиться в равновесии и, таким образом, должны выполняться условия равновесия статики.

Пример решения задачи 2.1.1.

От заданной нагрузки определить внутренние усилия в сечениях рамы (рис.2.1) и построить эпюры изгибающих моментов Расчет рамы поперечных Расчет рамы и продольных Расчет рамы сил. При определении усилий направление осей проекций принято в соответствии с декартовой системой координат.

Решение:

1. Определяем опорные реакции и их составляющие.

Расчет рамы

2,Определяем значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в характерных сечениях рамы, рассматривая равновесие отсеченных частей рамы (рис.2.2). Сечение А-А 2

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

Сечение 1-1

Расчет рамы (растянуты правые волокна)

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

Сечение 2-2 Расчет рамы (растянуты правые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

Сечение 3-3

Расчет рамы (растянуты правые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат).

Сечение 4-4

Расчет рамы (растянуты левые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат).

Сечение 5-5

Расчет рамы (растянуты левые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат).

Сечение 6-6

Расчет рамы (растянуты верхние волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы

Сечение 7-7

Расчет рамы

Сечение 8-8

Расчет рамы (растянуты нижние волокна), Расчет рамы

Расчет рамы сечение 9-9 Расчет рамы ( растянуты нижние волокна)

Расчет рамы Сечение 10-10 Расчет рамы ( растянуты нижние волокна)

Расчет рамы

сечение 11-11 Расчет рамы (растянуты левые волокна)

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

сечение 12-12

Расчет рамы (растянуты левые волокна)

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат) сечение 13-13

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат) Рис.2.2

Сечение В-В

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

3. Строим эпюры изгибающих моментов Расчет рамы поперечных сил Расчет рамы и продольных Расчет рамы сил. Проверяем равновесие узлов (рис.2.3.).

Расчет рамы 3. Производим статическую проверку правильности расчета, рассматривая равновесие отсеченной сечением I-I части системы (рис.2.4).

Расчет рамы

Пример решения задачи 2.1.2

От заданной нагрузки определить аналитически внутренние усилия в сечениях рамы (рис.2.5) и построить эпюры изгибающих моментов Расчет рамы поперечных сил Расчет рамы и продольных Расчет рамы сил. При определении усилий направление осей принято в соответствии с декартовой системой координат. Расчет рамы

Решение:

1. Определяем опорные реакции и их составляющие:

Расчет рамы

Решая, получим Расчет рамы

Расчет рамы

Проверка: Расчет рамы

Расчет рамы

2. Определяем значения изгибающих моментов, поперечных и продольных сил в характерных сечениях рамы, рассматривая равновесие отсеченной частей рамы

Сечение А-А Расчет рамы (растянуты правые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

Сечение 1-1

Расчет рамы ( растянуты правые волокна)

Расчет рамы Расчет рамы (стержень сжат).

Сечение D-D

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат).

Сечение 2-2

Расчет рамы (растянуты левые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат).

Сечение 3-3

Расчет рамы (растянуты левые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат).

Сечение 4-4

Расчет рамы (растянуты верхние волокна),

Расчет рамы (стержень сжат),

Расчет рамы

Сечение Е-Е

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат),

Расчет рамы

Сечение Е-Е

Расчет рамы

Расчет рамы

Сечение 5-5

Расчет рамы (растянуты левые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы

Сечение 6-6

Расчет рамы (растянуты правые волокна),

Расчет рамы

Расчет рамы

Сечение В-В

Расчет рамы

Расчет рамы

Расчет рамы

Сечение 7-7

Расчет рамы ( растянуты нижние волокна)

Расчет рамы (стержень сжат)

Расчет рамы

Сечение 8-8

Расчет рамы ( растянуты нижние волокна)

Расчет рамы (стержень сжат)

Расчет рамы

Сечение 9-9

Расчет рамы ( растянуты верхние волокна)

Расчет рамы (стержень сжат)

Расчет рамы

Сечение 10-10

Расчет рамы ( растянуты правые волокна)

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

Сечение С-С

Расчет рамы

Расчет рамы (стержень сжат)

3. Строим эпюры изгибающих моментов Расчет рамы поперечных Расчет рамы и продольных Расчет рамы сил (рис. 2.8). Проверяем равновесие узлов.

4. Производим статическую проверку правильности расчета, рассматривая равновесие отсеченной части системы, 1-6-10 (рис.2.9).

Расчет рамы

Расчет рамы методом сил

Статически неопределимая система - это система, внутренние усилия которой нельзя определить из уравнений статики однозначно.

В отличие от статически определимых систем неопределимые системы:

  • - более жесткие, то есть с меньшими перемещениями;
  • - более надежные, так как выход из строя одного или нескольких элементов не обязательно приводит к разрушению сооружения;
  • - более прочные, то есть с меньшими внутренними усилиями;
  • - чувствительны к неточностям изготовления элементов конструкции, осадке опор, температурным воздействиям.

Подход, при котором неизвестными являются усилия, называют методом сил.

Ниже приведен алгоритм расчета статически неопределимых рам методом сил.

1. Определение степени статической неопределимости

Решение задач в строительной механике начинается с кинематического анализа. Статическая часть кинематического анализа отвечает на вопрос: является ли заданная система (ЗС) статически определимой или нет. Кинематическая часть - проверяет правильность расстановки связей. Система должна быть геометрически неизменяемой.

Для проведения кинематического анализа сооружение представляется в виде дискового аналога. Если система статически неопределима только за счет лишних опорных связей, то степень статической неопределимости определяется по формуле: Расчет рамы

где Расчет рамы число степеней свободы сооружений, Расчет рамы количество дисков, Расчет рамы число шарниров и стержней между дисками, Расчет рамы - число опорных связей.

Выбор основной системы (ОС)

Сущность метода сил заключается в том, что статически неопределимая система сводится к решению нескольких статически определимых систем, которые получаются из заданной системы путём отбрасывания лишних (избыточных) связей.

Лишние связи - это связи, при удалении которых система остается геометрически неизменяемой. Линии действия оставшихся связей не должны быть параллельными и пересекаться в одной точке.

Степень статической неопределимости равна числу лишних связей, устранение которых приводит к статически определимой системе.

Основная система - это система, получающаяся из заданной системы путем удаления лишних связей и заменой их неизвестными усилиями. Как правило, Расчет рамы выбирается статически определимой. В основной системе два вида воздействий: известные активные силы и неизвестные усилия в отброшенных связях. Количество неизвестных Расчет рамы равно степени статической неопределимости заданной системы. Направления неизвестных реакций, принятые в основной системе, считаются положительными при расчетах. Расчет рамы

На рис.1 изображена один раз статически неопределимая рама. Для получения основной системы (ОС) необходимо удалить одну связь. Удаление связи 2 приводит к механизму (оставшиеся три связи параллельны), удаление связи 4 - к мгновенно изменяемой системе (линии действия оставшихся трех реакций связей пересекаются в одной точке). Таким образом, связи 2 и 4 не являются лишними. На рис. 16-1 г изображены варианты основной системы. За счет выбора в качестве неизвестного какого-либо внутреннего усилия (рис. 1г), основных систем может быть бесконечно много.

Критериями выбора основной системы являются простота построения эпюр в грузовом и единичных состояниях и минимум участков, на которые распространяются эпюры. Варианты на рис. 16, 1в, удовлетворяют этим

требованиям. Для заданных симметричных систем, при выборе основной системы выгодно сохранять симметрию (рис. 2).

Расчет рамы

На рис. 2а, 2в изображены рамы, содержащие замкнутый контур, и статически неопределимые внутренним образом. Для получения основной системы можно избавиться от контура, разрезав его (рис 26). Поскольку при этом возникает три неизвестных внутренних усилия в точке Расчет рамы то замкнутый контур трижды статически неопределим. Внедрение шарнира в контур понижает его статическую неопределимость на единицу. Если система статически неопределима внутренним образом, то степень статической неопределимости определяется по формуле

Расчет рамы

где Расчет рамы - количество контуров, Расчет рамы - число шарниров в контурах.

Для рамы на рис. 2в в точках Расчет рамы в контур помещено два шарнира и для получения основной системы необходимо отбросить одну внутреннюю связь Расчет рамы В качестве неизвестной выгодно выбрать усилие в ригеле, который представляет собой шарнирно опертый стержень. Для неразрезных балок (рис. 3) в качестве неизвестных усилий выбираются значения опорных моментов. Расчет рамы

Составление системы канонических уравнений

Из выбранной статически определимой основной системы выделяют грузовое состояние (ГС) и единичные состояния (ЕС). В грузовом состоянии на основную систему действуют только внешние нагрузки. Для образования Расчет рамы единичного состояния из основной системы убираются все внешние нагрузки, а в направлении отброшенной Расчет рамы связи прикладывается приведённое единичное усилие. Если в качестве неизвестной выбрана сила, то усилие безразмерное, если - момент, то размерность единичного приведённого усилия (1/м).

Для один раз Расчет рамы статически неопределимой балки (рис. 4а) выберем основную систему (рис. 46), заменив в заданной системе стержневую связь в точке Расчет рамы на неизвестную реакцию Расчет рамы Согласно принципу независимости действия сил, представим основную систему в виде суммы грузового и единичного состояния, в котором единичное усилие увеличено в Расчет рамы раз (рис. 4в, 4г). Расчет рамы

В направлении отброшенной связи в грузовом состоянии возможно перемещение Расчет рамы (рис. 4в), в единичном состоянии - Расчет рамы (рис. 4г).

Необходимо подобрать величину реакции Расчет рамы так, чтобы суммарное

перемещение Расчет рамы в основной системе от внешней нагрузки Расчет рамы и

единичного усилия Расчет рамы увеличенного в Расчет рамы раз, было равно нулю, так как

в действительности в заданной системе в этом направлении наложена связь и перемещений нет, то есть: Расчет рамы

Условие зависимости деформаций (2) называется каноническим уравнением и является условием эквивалентности заданной и основной систем. Число канонических уравнений совпадает с числом лишних отброшенных связей.

Определение коэффициентов канонических уравнений

По физическому смыслу коэффициенты канонических уравнений являются перемещениями, которые определяются с помощью интеграла Мора. Операция интегрирования обычно называется перемножением эпюр и символически изображается знаком Расчет рамы Расчет рамы

где Расчет рамы - функции моментов в единичных и грузовом состояниях,

Расчет рамы - количество участков на эпюре, Расчет рамы - изгибная жесткость стержней. Первый индекс обозначает номер отброшенной связи, второй - номер состояния.

Интеграл Мора может быть вычислен по формуле Симпсона (4) или Верещагина (5) Расчет рамы Расчет рамы

где Расчет рамы - длина участка, на котором интегрируются («перемножаются») функции моментов, буквы «л», «с», «п» означают левое, среднее и правое значения моментов на участке (рис. 5а). Знак произведения положительный, если оба значения на эпюрах Расчет рамы лежат по одну сторону от оси балки.

Расчет рамы

Согласно правилу Верещагина интеграл Мора равен произведению площади одной эпюры Расчет рамы на ординату под её центром тяжести Расчет рамы взятую

на другой эпюре. Если одна из эпюр является криволинейной, то вычисляется её площадь:

Расчет рамы

На рис. 56 показан пример перемножения двух треугольников, где Расчет рамы площадь первого треугольника, Расчет рамы - ордината второго треугольника, взятая под центром тяжести Расчет рамы первого треугольника. Суммирование ведётся по всем стержням, а интегрирование - по длине каждого участка эпюры моментов. По теореме Максвелла о взаимности перемещения Расчет рамы коэффициенты, симметричные относительно диагонали, в канонических уравнениях равны между собой, то есть Расчет рамы Для дважды статически неопределимой системы Расчет рамы

Построим эпюры моментов в грузовом и единичном состояниях для задачи на рис. 4 и вычислим коэффициенты канонического уравнения (2): Расчет рамы

Вычислим коэффициенты по формуле Симпсона:

Расчет рамы или с помощью формулы Верещагина:

Расчет рамы

Проверка коэффициентов каноническнх уравнений

Для Расчет рамы проверить правильность вычислений коэффициентов невозможно. Для Расчет рамы перед решением канонических уравнений необходимо выполнить универсальные проверки: Расчет рамы

где Расчет рамы - суммарная эпюра, получается путем сложения ординат единичных эпюр.

6. Решение системы каноническнх уравнений

Для систем один раз статически неопределимых Расчет рамы каноническое уравнение (2) одно и решение имеет вид: Расчет рамы

Для систем два раза статически неопределимых Расчет рамы необходимо решить систему из двух уравнений:

Расчет рамы

Решение имеет вид:

Расчет рамы 7. Построение окончательной энюры изгибающих моментов Расчет рамы

Окончательная эпюра Расчет рамы в соответствии с принципом независимости действия сил получается путем сложения «исправленных» эпюр Расчет рамы с грузовой:

Расчет рамы «Исправленные» эпюры получаются путем увеличения всех ординат единичных эпюр Расчет рамы раз. Если Расчет рамы то измененные ординаты откладываются с другой стороны от оси стержня.

Для задачи на рис. 4 по формуле (7) получаем Расчет рамы

После нахождения реакции в лишнеи связи статическая неопределимость считается раскрытой.

Расчет рамы

8. Проверка правильности построения энюры Расчет рамы

Перед построением эпюр Расчет рамы целесообразно убедиться в правильности эпюры Расчет рамы Статическая проверка для Расчет рамы не применима, поскольку равновесие узлов не нарушится в случае как при умножении эпюр Расчет рамы на любое число Расчет рамы так и при дальнейшем сложении уравновешенных

эпюр в формуле (9). Необходимо выполнить кинематическую (деформационную) проверку. Смысл проверки заключается в проверке отсутствия перемещений по направлению отброшенных связей в основной системе: Расчет рамы где Расчет рамы - число отброшенных связей. Эпюра Расчет рамы построена верно, если перемещения Расчет рамы по направлению отброшенных связей равны нулю,

поскольку в основной системе эти связи существуют.

Для проверки правильности эпюры Расчет рамы для задачи на рис. 4 умножаем Расчет рамы (рис. 7) на единичную эпюру (рис. 6), тем самым определяя

вертикальное перемещение точки Расчет рамы Используя формулу Симпсона, получим:

Расчет рамы 9. Построение эпюр Расчет рамы Предлагается два способа построения эпюр Расчет рамы

1. Поскольку после определения усилий в лишних связях статическая неопределимость заданной системы считается раскрытой. В этом случае эпюры Расчет рамы можно построить методом сечений. Алгоритм построения следующий:

1) из уравнений статики определить опорные реакции в основной системе с учетом найденных реакций лишних связей Расчет рамы

2) на каждом участке реализовать метод сечения.

2. Если известна эпюра моментов, то можно построить эпюру поперечных сил по формуле Журавского (не прибегая к методу сечения):

Расчет рамы

Для линейных участков эпюры моментов формулу Журавского проще применять в следующем виде:

Расчет рамы

где Расчет рамы - длина участка, в числителе отражено изменение момента на данном участке. Поперечная сила Расчет рамы если касательная к эпюре моментов совмещается с осью участка рамы при кратчайшем повороте против часовой стрелки.

Если на участок рамы действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра моментов имеет вид параболы, вогнутой в сторону действия нагрузки. В параболе нужно выделить квадратичную и линейную часть. Для каждой части по отдельности определить эпюру Расчет рамы а полученные эпюры Расчет рамы

сложить. Пусть для примера на рис Расчет рамы (рис. 8). Тогда формула Журавского примет вид: Расчет рамы

где Расчет рамы балочное решение

Расчет рамы

По эпюре поперечных сил Расчет рамы методом вырезания узлов строится эпюра продольных сил - Расчет рамы

На вырезанный узел наносятся значения с эпюры Расчет рамы с учетом базиса метода сечения, то есть положительные значения поперечных сил вращают узел по часовой стрелке, неизвестные положительные значения Расчет рамы направляются от сечения. Затем из двух уравнений проекций определяются значения продольных сил и наносятся на эпюру с указанием знаков. Порядок вырезания узлов должен быть таким, чтобы в узле присутствовало не более двух неизвестных продольных сил.

В примере 1 эпюры Расчет рамы получены первым способом, а в примере 2 -вторым.

Статическая проверка

Поскольку уравнения равновесия были использованы для первого способа при определении опорных реакций, то статическая проверка рамы заключается в проверке равновесия узлов. На вырезанных узлах отмечаются

значения, взятые из эпюр Расчет рамы и проверяется тождество уравнений проекций.

Для второго способа из полученных эпюр Расчет рамы определяются значения опорных реакций и составляются три уравнения равновесия, тождество которых подтверждает правильность решения задачи.