Расчет переходных процессов операторным методом

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению

1. При наличии в цепи синусоидальной ЭДС Расчет переходных процессов операторным методом для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место другие источники, например, постоянной Е и экспоненциальной Расчет переходных процессов операторным методом ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от формулы разложения, т.е.

Расчет переходных процессов операторным методом
2. Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем Расчет переходных процессов операторным методом. Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную - операторным.

3. Комплексно-сопряженным корням уравнения Расчет переходных процессов операторным методом в формуле разложения соответствуют комплексносопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексносопряженных корней имеет место

Расчет переходных процессов операторным методом

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом

1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.

2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).

3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.

4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.

5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.

Расчет переходных процессов операторным методом
В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.

С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока

Расчет переходных процессов операторным методом

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи

Операторный метод расчета переходных процессов

Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния

Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета


Для нахождения оригинала ffe) воспользуемся формулой разложения при нулевом корне

Расчет переходных процессов операторным методом

где Расчет переходных процессов операторным методом

Корень уравнения Расчет переходных процессов операторным методом

Расчет переходных процессов операторным методом
Тогда

Расчет переходных процессов операторным методом

и

Расчет переходных процессов операторным методом
Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим

Расчет переходных процессов операторным методом
Воспользовавшись предельными соотношениями, определим Расчет переходных процессов операторным методом и Расчет переходных процессов операторным методом:

Расчет переходных процессов операторным методом

Формулы включения

Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.

1. Формула включения на экспоненциальное напряжение Расчет переходных процессов операторным методом

Расчет переходных процессов операторным методом
где Расчет переходных процессов операторным методом~ входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); Расчет переходных процессов операторным методом - к-й корень уравнения Расчет переходных процессов операторным методом.

2. Формула включения на постоянное напряжение Расчет переходных процессов операторным методом (вытекает из (2) при Расчет переходных процессов операторным методом)

Расчет переходных процессов операторным методом
3. Формула включения на синусоидальное напряжение Расчет переходных процессов операторным методом (формально вытекает из (2) при Расчет переходных процессов операторным методом )

Расчет переходных процессов операторным методом

Расчет переходных процессов операторным методом
В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением Расчет переходных процессов операторным методом

В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней Расчет переходных процессов операторным методомТогда корень уравнения Расчет переходных процессов операторным методом Производная Расчет переходных процессов операторным методом и Расчет переходных процессов операторным методом

В результате

Расчет переходных процессов операторным методом

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Сведение расчета переходного процесса к расчету

с нулевыми начальными условиями

Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.

Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,6, где Расчет переходных процессов операторным методом. Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3,в составляющая Расчет переходных процессов операторным методом общего тока Расчет переходных процессов операторным методом равна нулю. Таким образом, полный ток Расчет переходных процессов операторным методом равен составляющей тока Расчет переходных процессов операторным методом в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.

Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС Расчет переходных процессов операторным методом к пассивному двухполюснику.

Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.

Расчет переходных процессов операторным методом

Переходная проводимость

При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде

Расчет переходных процессов операторным методом

где Расчет переходных процессов операторным методом- собственная (к=т) или взаимная Расчет переходных процессов операторным методом проводимость.

Это соотношение, трансформированное в уравнение

Расчет переходных процессов операторным методом

будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения Расчет переходных процессов операторным методом. При этом Расчет переходных процессов операторным методом является функцией времени и называется переходной проводимостью.

В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению Расчет переходных процессов операторным методом

Переходная функция по напряжению

Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.

Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить к источнику постоянного напряжения Расчет переходных процессов операторным методом , то между произвольными точками тип цепи возникнет напряжение

Расчет переходных процессов операторным методом

где Расчет переходных процессов операторным методом - переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками тип схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения Расчет переходных процессов операторным методом.

Переходную проводимость Расчет переходных процессов операторным методом и переходную функцию по напряжению Расчет переходных процессов операторным методом можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.

Расчет переходных процессов операторным методом
В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.

В этой схеме

Расчет переходных процессов операторным методом

где Расчет переходных процессов операторным методом

Тогда переходная проводимость

Расчет переходных процессов операторным методом
Переходная функция по напряжению

Расчет переходных процессов операторным методом