Расчет фермы

Содержание:

1. Алгоритм, расчета ферм и ферменных систем состоит из двух основных этапов.
2. Статически определимые задачи
3. Пример решения задачи 2.1.
4. Пример решения задачи 2.2.
5. Пример решения задачи 2.3.
6. Пример решения задачи 2.4.
7. Пример решения задачи 2.5.
8. Пример решения задачи 2.6.
9. Пример решения задачи 2.7.

В этой главе рассматривается один из частных случаев стержневых систем (см. определение П.З).

Прежде всего, отмстим, что встречающиеся па практике соединения стержней, как правило, в расчетных схемах сводятся к двум типам узлов:

— шарнирный, рис. 2.1 а;

абсолютно жесткий, рис. 2.1 б.

В первом варианте возможен свободный поворот одного стержня относительно другого (результирующий момент относительно узла от внешней нагрузки, приложенной к каждому из них, равен нулю), а во втором — соединяемые сечения имеют одни и тс же линейные и угловые перемещения.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Определение 2.1. Стержневая система называется фермой (шарнирной фермой), если

• а) се элементами являются прямые стержни, работающие только на растяжение сжатие (находятся в состоянии одноосного растяжения сжатия);
• б) ее узлы и опоры — шарнирные;
• в) она — геометрически неизменяемая.

Иногда некоторые элементы фермы считаются недеформи-руемыми (тогда их геометрия не важна). В этом случае ферма называется ферменной системой,

Далее так же, как и в гл.1, полное название «прямой стержень» часто будем заменять сокращенным — «стержень».

Но своей геометрии и внешней нагрузке фермы и ферменные системы классифицируются следующим образом.

Определение 2.2. Ферма (ферменная система) называется плоской, если оси всех стержней и внешние сосредоточенные и распределенные силы лежат в одной плоскости, а векторы моментов перпендикулярны этой плоскости. Для плоской ферменной системы дополнительно полагается, что упомянутая плоскость является плоскостью геометрической и массовой симметрии абсолютно жестких тел.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Поперечный изгиб решение задач по сопромату

Плоский изгиб решение задач по сопромату

Олег македонский решение задач по сопромату

Метод начальных параметров решение и примеры задач по сопромату

В противном случае ферма (ферменная система) — пространственная.

Определение 2.3. Стержневая система (в том числе, и ферма) называется прямо симметричной (кососиммстричной), если

а) она имеет ось или плоскость геометрической и жссткостной симметрии;

б) внешняя нагрузка прямо или кососиммстрична относительно этой оси или плоскости.

Утверждение 2.1. Для того чтобы геометрически неизменяемая система шарнирно соединенных между собой и с опорами прямых стержней (и абсолютно жестких тел) была фермой (ферменной системой), необходимо и достаточно, чтобы внешняя нагрузка была следующей:

• сосредоточенные силы приложены в узлах; сосредоточенные силы и погонная нагрузка направлены по их осям;
• температурное поле постоянно по сечениям стержней.

Для ферменных систем нагрузка на элементы в виде абсолютно жестких тел может быть произвольной.

Алгоритм, расчета ферм и ферменных систем состоит из двух основных этапов.

1. С помощью метода сечений и уравнений равновесия узлов (равнодействующая сил равна нулю — три и два уравнения соответственно в пространственном и плоском случаях) и педс-формируемых элементов (шесть и три уравнения соответственно в пространственном и плоском случаях) определяем усилия в концевых сечениях стержней.

При этом для сокращения числа неизвестных, удобно использовать следующее свойство симметричных систем.

Утверждение 2.2. Внутренние усилия в элементах прямо симметричной (кососиммстричной) фермы или ферменной системы прямо симметричны (кососиммстричны).

Кроме того, во многих случаях реакции в опорах можно не включать в число неизвестных.

2. Проводим расчет каждого из стержней но алгоритму, данному в гл.1. Если для данного стержня имеется нагрузка вне узлов и/или его сечение переменное, то обычным образом строим для него необходимые эпюры. В противном случае следует воспользоваться результатами примера 1.1.

3. Для определения перемещений узлов (если это требуется по условию задачи) в этой главе, как правило, используем геометрический метод, который заключается в изображении предполагаемого деформированного состояния системы и решении соответствующей геометрической задачи. При этом в соответствии с аксиомой 3 удлинения стержней вычисляются приближенно: полагается, что они определяются пересечением перпендикуляров, опущенных из положений узлов после приложения нагрузки на недеформированные оси. Этот подход продемонстрирован на рис. 2.2. Здесь пунктирной линией обозначено положение оси

стержня 1 в деформированном состоянии, — точки, соответствующие исходному, истинному и фиктивному деформированным положениям узла, — приближенное значение перемещения сечения стержня 1 (оно находится при реализации п. 2 алгоритма), а — вектор перемещения узла. Отметим, что перемещение должно изображаться на чертеже с учетом направления (удлинение — рис. 2.2 а. или укорочение — рис. 2.2 б) и рассматриваться как положительная величина. Можно также наносить на чертеж это перемещение, как соответствующее удлинению, наделяя его при этом соответствующим знаком.

При вычислении перемещений в конкретном стержне ферменной системы может применяться формула (1.19). Однако как правило, стержень (или его участок) имеет постоянные характеристики и Тогда удобно использовать следующую

вытекающую из (1.19) формулу для удлинения (см. также (1.18)): Более общий подход, позволяющий избежать решения зачастую сложной геометрической задачи, рассмотрен в гл.7.

В тех случаях, когда ищется перемещение, соответствующее по направлению и точке приложения внешней силе, иногда удобно использовать закон сохранения энергии (П.21). При этом работа силы на перемещении но направлению действия силы вычисляется так (при деформации сила изменяется линейно от нуля до

Если ферменная система содержит стержней, то в соответствии с утверждением П.З для ее потенциальной энергии справедливо равенство:

Здесь — потенциальная энергия стержня, которая определяется формулой (1.15) или ее частным случаем, соответствующим постоянным по длине характеристикам материала и

Обобщение равенств (2.2) и (2.3) приведено в § 7.1.

Статически определимые задачи

Согласно определению П. 17 и приведенному выше алгоритму ферма или комбинированная ферменная система является СО, если выполняется равенство — общее число уравнений равновесия, а — количество искомых усилий в узлах и, быть может, реакций в опорах. Методика решения СО задач указана выше.

В этом варианте так же, как и для СО стержней, и по тем же причинам температурные поля не рассматриваются.

Пример решения задачи 2.1.

Определить усилия в стержнях системы, указанной на рис. 2.3. Произвести проектировочный расчет на прочность, считая, что площади поперечных сечений стержней одинаковы. Полагая, что каждый стержень выполнен из двух равнобоких уголков, подобрать по ГОСТу номер профиля. Вычислить вертикальное перемещение узла В расчетах принять:

Решение (указанные ниже пункты соответствуют алгоритму решения). Нумерация стержней и обозначения узлов приведены на рис. 2.3.

1. Определение реакций и усилий. Вычисляем длины первого и четвертого стержней:

Заменяем опоры (см. п. IV § П.1) реакциями (см. рисунок) и определяем их из уравнений равновесия системы:

Отсюда следует, что

Для вычисления усилий в стержнях используем метод сечений (вырезания узлов). При этом учитываем, что усилия в каждом стержне постоянно по длине (см. пример 1.1).

Удобнее начинать с узла, который соединяет два стержня, так как из уравнений равновесия усилия в этих стержнях определяются сразу. Вырежем, например, узел Уравнения равновесия для него запишем в локальной системе координат направив ось по второму стержню:

Отсюда находим

Аналогично поступаем с узлом

Следовательно,

Для узла достаточно использовать одно уравнение равновесия:

Второе уравнение равновесия для него

а также уравнения для узла

можно использовать для проверки правильности решения. Действительно, подстановка в них найденных усилий, приводит к тождествам (с используемой при вычислениях точностью).

Отмстим, что для проверки правильности определения усилий можно вырезать любую часть системы и рассмотреть ее равновесие.

2. Проектировочный расчет на прочность. Так как площади поперечных сечений стержней одинаковы, то максимальные растягивающее и сжимающее напряжения определяются величинами усилий (см. (1.17)):

Поскольку материал неодинаково работает на растяжение и сжатие то используем два условия прочности из (П.27):

Отсюда приходим к системе неравенств:

Таким образом Учитывая, что (Fz площадь одного уголка), находим требуемую площадь одного уголка: По ГОСТу (см. § П.2, табл. П.7) определяем, что необходим уголок Итак,

3. Определение перемещения точки приложения силы (см. рис. 2.3). Здесь в этих целях используем закон сохранения энергии (П.21) с учетом формул (2.2) (2.4):

Отсюда находим

Пример решения задачи 2.2.

Абсолютно жесткое тело (АЖТ) закреплено при помощи стержней (рис. 2.4). Определить допускаемую нагрузку из условия прочности. В расчетах принять: материал стержней одинаково работает на растяжение и на сжатие.

Решение. Нумерация стержней приведена на рисунке. 1. Определение усилий. Разрезая стержни, выделяем АЖТ и рассматриваем его равновесие:

Отсюда имеем

Все усилия определены из уравнения равновесия, следовательно, задача статически определима.

2. Расчет на прочность. Вычисляем напряжения в стержнях, используя (1.17):

Определяем допускаемые напряжения

и из условия прочности (см. (П.27))

находим допускаемую нагрузку:

Округляя в меньшую сторону, окончательно принимаем

Пример решения задачи 2.3.

Абсолютно жесткое тело (рис. 2.5), нагруженное равномерно распределенной нагрузкой закреплено

шарнирно в точке и стержнем в точке Определить площадь поперечного сечения стержня из условия, что перемещение точки не должно превышать В расчетах принять: материал стержня - сталь

Решение. 1. Определение усилий. Освобождаем АЖТ от связей, отбрасывая опору и разрезая стержень (см. рисунок). Задача статически определима, поскольку для АЖТ можно составить три уравнения равновесия, из которых определяются

Так как требуется найти только усилие то ограничимся уравнением моментов:

3. Расчет на жесткость. Картина деформаций системы Рис-2 5 показана на рис. 2.5. Тело поворачивается вокруг точки При этом точки перемещаются в положение Соответствующие дуги заменяем отрезками перпендикулярными (см. п.З алгоритма). Из подобия треугольников имеем

где перемещения точек

Вычисляя удлинение стержня по формуле (2.1)

и учитывая, что из указанной выше пропорции получаем Площадь поперечного ссчсния стержня находим из условий прочности и жесткости (см. п. VI § П.1): Отсюда имеем

Окончательно принимаем

Статически неопределимые задачи

Ферма или комбинированная ферменная система является СН, если (см. начало § 2.1). При этом число степень статической неопределимости.

Алгоритм решения СН задач отличается от указанного § 2.1 так же, как и соответствующие методики для стержней (см. § 1.1, 1.2), а именно, только усложнением п. 1. Уравнения совместности деформаций при этом также являются следствием аксиомы 1 и находятся из условия совпадения перемещений концов стержней, сходящихся в одном узле. Они должны быть независимыми, и их число обязано совпадать со степенью статической неопределимости системы.

При составлении уравнений совместности полезно использовать свойство симметричных систем, указанное в утверждении 2.2, добавляя к нему соответствующую симметрию деформированного состояния.

Для задач с зазором и с учетом монтажных напряжений применяется тот же подход, что и для стержней (см. § 1.2).

Отметим, что в СН задачах для ферм и ферменных систем также существенным является учет температурных полей. При этом, как следует из (1.19) и (1.22) полное удлинение стержня есть сумма упругой и температурной составляющих:

При постоянных по длине характеристиках материала и последние два равенства переходят в следующие (первое из них, естественно, совпадает с соответствующей формулой в (2.1)):

При проверке решения СН задач часто удобно пользоваться законом сохранения энергии (11.21) (см. также (2.2)-(2.4)).

Пример решения задачи 2.4.

Для стержневой системы, изображенной на рис. 2.6 (стержни, отмеченные двумя черточками, нагреты на провести проектировочный и поверочный расчеты на прочность, а также вычислить перемещение точки приложения силы. Найденную площадь округлить в большую сторону с точностью до

В расчетах принять: все стержни выполнены из одного материала,

предельное напряжение на сжатие на 30% меньше соответствующего напряжения на растяжение.

Решение (указанные ниже пункты соответствуют алгоритму решения СН-задач). Нумерация стержней и обозначения узлов приведены на рис. 2.6.

А. Проектировочный расчет. В соответствии с указанным выше алгоритмом при проектировочном расчете будем учитывать только силовую нагрузку.

1. Определение усилий. Сначала вычисляем длины стержней и угол (см. рис. 2.6):

Вырезаем узлы и изображаем схему усилий. В силу симметрии имеют место равенства (то же самое следует из уравнений равновесия в проекциях на ось

Поэтому достаточно составить уравнения равновесия этих узлов только в проекциях на ось Они соответственно имеют вид

Система один раз статически неопределима, так как для нахождения пяти неизвестных усилий можно составить четыре уравнения равновесия.

Для построения уравнения совместности деформаций изображаем предполагаемую схему деформаций. Она указана на рис. 2.6. Здесь пунктирными линиями изображено деформированное состояние стержней, — положения узлов после деформации, — перпендикулярны осям стержней 1 и 4 (см. рис.2.2), — перемещения узлов в направлении действия силы удлинение и укорочение этих стержней. При этом удлинение стержня есть разность перемещений точек и

Связь перемещений с «удлинениями» стержней 1 w 4 вытекает из рассмотрения прямоугольных треугольников и

Таким образом уравнение совместности деформаций имеет вид

Выражая удлинения через усилия с помощью формулы (2.1)

приводим его к следующему виду:

Объединяя это уравнение с уравнениями равновесия, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно усилий:

которая имеет следующее решение:

2. Расчет на прочность. С помощью соответствующего равенства в (1.17) вычисляем напряжения в стержнях от действия силовой нагрузки:

Допускаемые напряжения в соответствии с условием примера и формулами (П.26) следующие:

Поскольку материал неодинаково работает на растяжение и сжатие, то используем два условия прочности из (П.27):

Отсюда приходим к системе неравенств:

Следовательно, Округлив, согласно условию задачи, принимаем:

3. Вычисляем перемещение точки приложения силы:

Дополнительно проверяем решение задачи, сопоставляя работу силы и потенциальную энергию упругой деформации системы (см. (2.2)—(2.4)):

Поскольку закон сохранения (П.21) выполняется, то задача решена верно.

Б. Поверочный расчет. Его проводим с учетом совместного действия силы и температуры.

Сначала решаем чисто температурную задачу, т.е. полагаем, что силовая нагрузка отсутствует, а стержни 1 и 2 нагреты на (см. рис. 2.6). При этом используем тс же схемы усилий и деформаций, что и в силовой задаче.

1. Определение усилий. Уравнения равновесия в этом случае следуют из полученных выше при

Уравнения совместности деформаций здесь строятся так же, как и в п. Изменяется лишь формула для удлинения стержня 1. Согласно формулам (2.5) и (2.6) имеем

Подставляя это выражение, а также полученные выше формулы для в уравнение совместности деформаций и объединяя результат с уравнениями равновесия, после преобразований, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно усилий:

решение которой имеет вид (дополнительно учитываем симметрию):

2. Расчет на. прочность. С помощью соответствующего равенства в (1.17) вычисляем вызванные нагревом напряжения:

Числовые значения напряжений в стержнях вычисляем с учетом исходных данных и найденной при проектировочном расчете

площади

Полные напряжения есть сумма

Следовательно, максимальные напряжения и запас прочности таковы:

Поскольку меньше заданного запаса менее, чем на 5%, то на этом расчет на прочность заканчиваем.

3. Перемещение точки приложения силы. Для температурной задачи аналогично силовой имеем

Полное перемещение узла определяем сложением силовой и температурных составляющих:

Пример решения задачи 2.5.

Для стержневой системы, изображенной на рис. 2.7, вычислить напряжения в стержнях и перемещение точки при нагреве левого стержня на В расчетах принять:

Решение. 1. Определение усилий. Нумерация стержней и обозначения узлов указаны на рис. 2.7. Сначала вычисляем длину первого стержня и угол

Далее выделяем АЖТ и изображаем схему усилий (см. рисунок). Поскольку имеется четыре неизвестных (два усилия и две реакции а число уравнений равновесия равно

трем, то степень статической неопределимости 4 — 3 = 1.

Для определения усилий в стержнях, достаточно ограничиться уравнением моментов относительно точки

Уравнения совместности деформаций получаем из анализа предполагаемой схемы деформаций, указанной на рис. 2.7. Здесь

пунктирной линией изображена ось АЖТ в деформированном состоянии системы, положение точек после деформации, отрезок перпендикулярен оси стержня перемещения узлов, а — удлинение и укорочение соответственно стержней 1 и 2.

Учитывая подобие треугольников и то, что треугольник прямоугольный, получаем

откуда вытекает уравнение совместности деформаций:

Выражая удлинения через усилия с помощью формул (2.1), (2.5) и (2.6)

преобразуем его к следующему виду:

Объединяя это уравнение с уравнением равновесия, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно уси-

лий:

которая имеет следующее решение:

2. Определение напряжений. В соответствии с (1.17) имеем

3. Перемещение точки определяется соответствующим удлинением:

Пример решения задачи 2.6.

Для стержневой системы, изображенной на рис. 2.8, определить усилия в стержнях, выполненных из одного материала.

Решение. Нумерация стержней и обозначения узлов указаны на рисунке. Выделяем АЖТ и изображаем схему усилий. При этом стержень 2 разрезаем в точке и усилие в этом сечении обозначаем через

Составляем уравнения равновесия (уравнение в проекциях на ось удовлетворяется тождественно, так как горизонтальные усилия отсутствуют):

Система один раз статически неопределима, так как для определения трех неизвестных усилий можно составить два уравнения равновесия.

Уравнения совместности деформаций получаем из анализа предполагаемой схемы деформаций, указанной на рисунке. Здесь пунктирной линией изображена ось АЖТ в деформированном состоянии; положение точек после деформации; перемещения узлов. удлинение стержней 1 и 2, а — укорочение стержня 3.

Проведем вспомогательную прямую параллельную Из подобия получившихся треугольников имеем

откуда получаем уравнение совместности деформаций:

«Удлинения» стержней 1 и 3 выражаем через усилия с помощью формулы (2.1):

Поскольку к стержню 2 приложена нагрузка вне концевых сечений, то для определения его удлинения частично используем общий алгоритм §1.1. Сначала по участкам определяем продольные усилия:

Эпюра приведена на рис. 2.8.

Затем, учитывая, что и усилия постоянны на каждом из участков, вычисляем перемещения с использованием (2.1):

Подставляя удлинения в уравнение совместности, приводим его к следующему виду:

Объединяя это уравнение с уравнениями равновесия, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно усилий:

Ее решаем методом Гаусса: Отсюда получаем

Соответственно для второго стержня имеем

Проверку решения можно выполнить, сопоставив работу внешних сил и потенциальную энергию деформации.

Пример решения задачи 2.7.

Стержневая система, изображенная на рис. 2.9, выполнена с зазором Вычислить усилия и напряжения в стержнях системы, возникающие в результате сборки, при которой зазор «закрывается». В расчетах принять: материал всех стержней сталь

Решение. Этот пример относится к классу задач на монтажные напряжения.

1. Определение уеший. В результате совмещения точки и образуют один узел Выделяем этот узел (см. рисунок) и рассматриваем его равновесие. В силу симметрии

Поэтому нетривиальным является только одно уравнение равновесия:

Поскольку для определения трех усилий можно составить только два уравнения равновесия, то задача один раз статически неопределима.

Схема деформаций изображена на рисунке. В результате деформаций объединенный узел занимает положение Уравнение совместности деформаций имеет вид (см. (1.21)):

где смещение точки вдоль оси удлинение стержня 3.

Из прямоугольного треугольника (отрезок перпендикулярен оси стержня 1) получаем связь с удлинением стержня 1:

что с учетом исходных данных приводит уравнение совместности к следующему виду:

Выражая с помощью (2.1) удлинения стержней через усилия

преобразуем последнее уравнение так:

Объединение этого равенства с уравнением равновесия дает систему уравнений

которая имеет следующее решение (дополнительно учитываем симметрию):

2. Напряжения в стержнях определяем с помощью (1.17):

Отметим, что при такой величине зазора максимальные напряжения составляют 33% от Реальная конструкция проектируется на восприятие внешней нагрузки, при которой может произойти сложение монтажных напряжений с напряжениями от нагрузки и нарушение прочности. Эти соображения следует учитывать при назначении допусков на точность изготовления элементов конструкции. i