Ранговые критерии разрешимости системы уравнений
Содержание:
- Метод Гаусса
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса
- Формулы Крамера
- Матричный метод
- Заключение
Предмет: | Экономика |
Тип работы: | Реферат |
Язык: | Русский |
Дата добавления: | 18.10.2019 |
- Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой работой!
- Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебной работы.
Если вам тяжело разобраться в данной теме, напишите мне в whatsapp, разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!
По этой ссылке вы сможете научиться выбирать тему и правильно оформлять рефераты:
Как выбрать тему реферата и как правильно написать и оформить |
Посмотрите похожие темы, возможно, они вам могут быть полезны:
Введение:
Критерий совместимости
Здесь аij и bi (i = ; j = ) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему в виде:
à =
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
r(A) = r(Ã) = r
Для множества М решений системы имеются три возможности:
-
M = Ø (в этом случае система несовместна); -
M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной); -
M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система имеет бесчисленное множество решений.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
Системы решаются одним из следующих способов:
-
методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; -
по формулам Крамера; -
матричным методом.
Метод Гаусса
имеющую m строк и n столбцов. Ее называют матрица размером m на n. А(mхn). Выделим в этой матрице произвольные к строк и к столбцов. Они образуют квадратную матрицу B(kхk).
Минором К-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением произвольных к строк и к столбцов.
Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры первого порядка. Какие-то из миноров равны нулю, какие-то нет. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если ранг А обозначаемый r (A) равен r, то это означает, что в А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор, порядка больше чем r, равен нулю.
Проверяем минор 4 порядка ½ A½ =0, т.к. матрица содержит нулевой столбец. Проверяем миноры 3 порядка.
Итак, процесс вычислений миноров прекращаем, поскольку миноров 4 порядка, не равных нулю нет, а минор 3-го порядка найден. Значит r(A)=3.
На втором шаге исключения мы не трогаем первое уравнение. Другие два уравнения содержат два неизвестных х2 и х3 и к ним можно применить ту же процедуру исключения. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 3.
Далее наши действия очевидны. Из третьего уравнения х3=-1, подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2=-3 и наконец, из первого уравнения получаем х1=2. Этот простой процесс называется простой подстановкой. Таким образом, процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов.
Без ограничения общности можно считать, что в нашей системе ведущий элемент a110 первого шага (иначе просто переставим уравнение). На первом шаге мы просто исключим х1 из всех уравнений, начиная со второго, для чего из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на а21/а11, из третьего почленно вычтем первое, помноженное на а31/а11 и т.д.
Тогда система заменится эквивалентной системой:
Коэффициенты при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, определяются формулами:
Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a110.
Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.
Матрица этой системы имеет вид:
На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается. Второй этап – обратный ход, заключается в решении треугольной системы. Из последнего уравнения находим xm. По найденному xm из (m-1) уравнения находим xm-1. Затем по xm-1 и xm из (m-2) уравнения находим xm-2. Процесс продолжаем, пока не найдем x1 из первого уравнения.
Такая модификация метода называется методом Жордана-Гауcса.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса
1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х1 и так отсутствует.
Формулы Крамера
Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А.
D = det (ai j)
и n вспомогательных определителей D i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
D × x i = D i ( i = ), (5.4).
Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
x i = D i / D.
Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
Решение. Главный определитель этой системы:
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i ( i = ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:
Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.
x1 - x2 + x3 = 6,
Решение. Обозначим:
Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.
Поскольку, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:
Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае.
и, следовательно,
Заключение
Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1
Итак, С = (1, -2, 3)T.