Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Предмет: Экономика
Тип работы: Реферат
Язык: Русский
Дата добавления: 18.10.2019

 

 

 

 

  • Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой работой!
  • Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебной работы.

Если вам тяжело разобраться в данной теме, напишите мне в whatsapp, разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!

 

По этой ссылке вы сможете научиться выбирать тему и правильно оформлять рефераты:

 

 

Как выбрать тему реферата и как правильно написать и оформить

 

Посмотрите похожие темы, возможно, они вам могут быть полезны:

 

 

 

 

 

Организация системы управления качеством нефтегазовых компаний

 

Как использовать информацию из интернета для поддержки маркетинговых исследований

 

Практика осознанности как инструмент выхода из психологического кризиса

 

Роль современного Российского государства в обеспечении социально - экономической безопасности страны

 

 

Введение:

Критерий совместимости

Система линейных уравнений имеет вид:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

am1x2 + am2x2 +... + amnxn = bm

Здесь аij и bi (i = Ранговые критерии разрешимости системы уравнений; j = Ранговые критерии разрешимости системы уравнений) - заданные, а xj - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему в виде:

AX = B,

где A = (аij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы , которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,..., xn)T, B = (b1, b2,..., bm)T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi..

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,..., cn) называется решением системы , если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,..., xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,..., cn)T такой, что AC ≡ B.

Система называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

 

Матрица

à =Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и Ã совпадают, т.е.

r(A) = r(Ã) = r

Для множества М решений системы имеются три возможности:

  1. M = Ø (в этом случае система несовместна);

  2. M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

  3. M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ≥ n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 < r < n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

an1x2 + an2x2 + ... + annxn = bn

Системы решаются одним из следующих способов:

  1. методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;

  2. по формулам Крамера;

  3. матричным методом.

Метод Гаусса

Исторически первым и наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса,или метод последовательного удаления неизвестных. Суть метода заключается в том, что через последовательные исключения неизвестных эта система превращается в эквивалентную ступенчатую (особенно треугольную) систему. Когда система линейных уравнений фактически решается с помощью метода Гаусса, то лучше поставить расширенную матрицу этой системы в ступенчатую форму, а не саму систему, и непрерывная Матрица, полученная при преобразовании, обычно соединяется эквивалентным знаком.

Возвратимся матрицам. Рассмотрим теперь прямоугольную матрицу:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

имеющую m строк и n столбцов. Ее называют матрица размером m на n. А(mхn). Выделим в этой матрице произвольные к строк и к столбцов. Они образуют квадратную матрицу B(kхk).

Например:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Минором К-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением произвольных к строк и к столбцов.

½ B½ =detB- является минором третьего порядка.

Минором второго порядка является, например определитель

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры первого порядка. Какие-то из миноров равны нулю, какие-то нет. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если ранг А обозначаемый r (A) равен r, то это означает, что в А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор, порядка больше чем r, равен нулю.

Например, найдем ранг матрицы

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

  1. Проверяем минор 4 порядка ½ A½ =0, т.к. матрица содержит нулевой столбец.
  2. Проверяем миноры 3 порядка.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Итак, процесс вычислений миноров прекращаем, поскольку миноров 4 порядка, не равных нулю нет, а минор 3-го порядка найден. Значит r(A)=3.

Мы уже рассматривали методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но только в тех случаях, когда матрица системы – квадратная, то есть число уравнений равно числу неизвестных. Рассмотрим теперь самый простой и употребительный способ решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. Рассмотрим его на простейшем примере, решая систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Мы хотим исключить х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого мы должны вычесть из второго уравнения первое, умноженное на 4, а к третьему прибавить первое, умноженное на 5.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

На втором шаге исключения мы не трогаем первое уравнение. Другие два уравнения содержат два неизвестных х2 и х3 и к ним можно применить ту же процедуру исключения. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 3.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Далее наши действия очевидны. Из третьего уравнения х3=-1, подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2=-3 и наконец, из первого уравнения получаем х1=2. Этот простой процесс называется простой подстановкой. Таким образом, процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.

Второй этап (обратный ход) – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым.

Аналогично, эту идею последовательного исключения можно применить и в случае матрицы А(mxm) размера больше 3х3.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Без ограничения общности можно считать, что в нашей системе ведущий элемент a11Ранговые критерии разрешимости системы уравнений0 первого шага (иначе просто переставим уравнение). На первом шаге мы просто исключим х1 из всех уравнений, начиная со второго, для чего из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на а2111, из третьего почленно вычтем первое, помноженное на а3111 и т.д.

Тогда система заменится эквивалентной системой:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, определяются формулами:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a11Ранговые критерии разрешимости системы уравнений0.

На втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а22(1) (если a22(1)Ранговые критерии разрешимости системы уравнений0).

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Матрица этой системы имеет вид:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается. Второй этап – обратный ход, заключается в решении треугольной системы. Из последнего уравнения находим xm. По найденному xm из (m-1) уравнения находим xm-1. Затем по xm-1 и xm из (m-2) уравнения находим xm-2. Процесс продолжаем, пока не найдем x1 из первого уравнения.

Если у нас число уравнений меньше числа неизвестных, то мы придем не к треугольной системе, а к ступенчатой.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Так как прямой ход метода Гаусса прервется, когда уравнения закончатся, а неизвестные еще останутся. В таком случае в каждом уравнении системы перенесем все члены с неизвестными xk+1,….,xm в правую часть.

Придавая неизвестным xk+1,….,xm (называемым свободными) произвольные значения, получим треугольную систему из которой последовательно найдем все остальные неизвестные (называемые базисными). Так как произвольные значения можно придавать любыми способами, система будет иметь бесчисленное множество значений.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

В решении следующего примера не будем выписывать каждую систему, а ограничимся лишь преобразованиями над матрицами:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

и

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Такая модификация метода называется методом Жордана-Гауcса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х1 и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

Последней матрице соответствует система:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

или х3 = -2 + 10/7х4 + 3/7х5.

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А.

D = det (ai j)

и n вспомогательных определителей D i (i=Ранговые критерии разрешимости системы уравнений), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D × x i = D i ( i = Ранговые критерии разрешимости системы уравнений), (5.4).

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x i = D i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i= Ранговые критерии разрешимости системы уравнений), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:

x1 + x2 + x3 + x4 = 5,

x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,

2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,

3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.

Решение. Главный определитель этой системы:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D i ( i = Ранговые критерии разрешимости системы уравнений), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений:

x1 - x2 + x3 = 6,

2x1 + x2 + x3 = 3

x1 + x2 +2x3 = 5

Решение. Обозначим:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Поскольку, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае.

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

и, следовательно,

Ранговые критерии разрешимости системы уравнений

Заключение

Выполняя действия над матрицами, получим:

x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1

x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2

x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3

Итак, С = (1, -2, 3)T.