Проецирование

Содержание:

1. Принципы построения изображения
2. Виды проецирования
3. Метод Монжа
4. Проекции точки на три взаимно перпендикулярные плоскости
5. Классификация расположения точек пространства
6. Проецирование прямой
7. Точка на прямой. Следы прямой
8. Разные положения прямой относительно плоскости проекций
9. Прямые общего положения
10. Правило прямоугольного треугольника
11. Прямые особого положения
12. Проецирующие прямые
13. Взаимное расположение прямых
14. Параллельные прямые
15. Пересекающиеся прямые
16. Скрещивающиеся прямые
17. Проекции прямого угла
18. Плоскость
19. Разные положения плоскости относительно плоскостей проекций
20. Плоскость общего положения
21. Плоскости особого положения
22. Плоскости уровня
23. Прямая и точка в плоскости
24. Главные линии плоскости
25. Пересечение прямой и плоскости. Взаимное пересечение двух плоскостей
26. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
27. Построение точки встречи прямой с плоскостью общего положения
28. Алгоритм построения
29. Параллельность и перпендикулярность  прямой и плоскости, двух плоскостей
30. Параллельность прямой и плоскости
31. Параллельность двух плоскостей
32. Построение перпендикуляра к плоскостям общего положения
33. Замена плоскостей проекций (проецирование на дополнительную плоскость проекций)
34. Алгоритм построения
35. Нахождение натуральной величины отрезка прямой проецированием на дополнительную плоскость проекций
36. Алгоритм построения
37. Нахождение натуральной величины плоской фигуры проецированием на дополнительную плоскость проекций
38. Алгоритм построения 
39. Аксонометрические  проекции
40. Прямоугольная изометрия
41. Прямоугольная диметрия
42. Выполнение расчётно-графических работ
43. Расчётно-графическая работа 1
44. Расчётно-графическая работа 2
45. Расчётно-графическая работа 3
46. Расчётно-графическая работа 4
47. Метод и элементы проецирования
48. Эпюр Монжа
49. Проецирование точки на три плоскости проекций
50. Точка в разных четвертях пространства
51. Конкурирующие точки
52. Прямая
53. Прямая общего положения
54. Прямые особого положения
55. Прямые уровня
56. Проецирующие прямые
57. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника
58. Следы прямой
59. Точка и прямая
60. Взаимное расположение прямых
61. Две прямые параллельны
62. Две прямые пересекаются
63. Две скрещивающиеся прямые
64. Свойства проекций прямого угла
65. Плоскость
66. Способы задания плоскостей
67. Плоскости общего положения
68. Плоскости особого положения
69. Плоскости уровня
70. Проецирующие плоскости
71. Позиционные задачи
72. Точка и прямая, принадлежащие плоскости
73. Прямые уровня плоскости общего положения
74. Линия наибольшего наклона
75. Пересечение прямой с плоскостью общего положения. Первая позиционная задача
76. Прямая, перпендикулярная  плоскости
77. Прямая, параллельная плоскости
78. Пересечение двух плоскостей. Вторая позиционная задача
79. Взаимно перпендикулярные плоскости
80. Параллельность двух плоскостей
81. Многогранники
82. Метрические задачи
83. Замена плоскостей проекций
84. Плоско-параллельное перемещение
85. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции
86. Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекции
87. Кривые линии и поверхности
88. Кривые линии
89. Классификация кривых поверхностей
90. Цилиндрическая поверхность
91. Коническая поверхность
92. Поверхность с ребром поворота
93. Поверхности с двумя направляющими линиями
94. Гиперболический параболоид
95. Коноид
96. Цилиндроид
97. Поверхности вращения
98. Прямолинейные поверхности вращения
99. Криволинейные поверхности вращения 
100. Сфера
101. Тор
102. Эллипсоид вращения
103. Параболоид вращения
104. Гиперболоид вращения
105. Винтовые поверхности
106. Прямой закрытый геликоид
107. Косой закрытый геликоид
108. Прямой открытый геликоид
109. Косой открытый геликоид
110. Развёрнутый геликоид (торс)
111. Циклические поверхности
112. Поверхности переноса
113. Точка и линия на кривой поверхности
114. Сечение поверхности плоскостью
115. Сечение поверхности плоскостью особого положения
116. Конические сечения
117. Построение натуральной величины фигуры сечения
118. Сечение поверхности плоскостью общего положения
119. Алгоритм построения фигуры сечения
120. Развёртки поверхностей
121. Развёртки многогранников
122. Развёртки кривых поверхностей
123. Пересечение прямой линии с поверхностью
124. Пересечение прямой линии с кривой поверхностью
125. Алгоритм решения задачи
126. Пересечение прямой линии с многогранником
127. Пересечение поверхностей
128. Метод вспомогательных секущих плоскостей
129. Пересечение поверхностей, имеющих общую ось вращенияя
130. Метод концентрических сфер
131. Теорема Монжа
132. Метод эксцентрических сфер

Проецирование – это мысленный процесс построения изображений предметов на плоскости. А проекция – это изображение объекта, полученное при проецировании его на плоскость проекций.

Принципы построения изображения

При изображении плоской фигуры на плоскости, в которой она лежит, не возникает никаких геометрических проблем. Чертёж служит либо точной копией оригинала, либо представляет подобную ему фигуру. Совсем иначе обстоит дело с изображением пространственных фигур. В технике, изобразительном искусстве, преподавании приходится пользоваться изображением пространственных фиг ур на плоскости. Плоское изображение не может быть точной копией пространственной фигуры. Чертёж (изображение) мы получаем проектируя данную фигуру на плоскость проекций (изображений). Известны различные проекционные методы для изображения пространственных фигур. Наиболее распространённые из них -метод центрального проектирования и метод параллельного проектирования.

Виды проецирования

В основе построения изображений, которые рассматриваются в начертательной  геометрии и применяются в техническом черчении, лежит метод проецирования.

Аппарат проецирования включает в себя лучи и  плоскость проекций.

Каждый геометрический образ можно рассматривать, как совокупность точек. Для построения изображения этого образа необходимо построить проекции каждой из них и объединить их  между собой. В начертательной геометрии  каждой точке трёхмерного пространства ставится в соответствие определённая точка двухмерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, который рассматривается как точечное множество, отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

В основу любого изображения положена операция проецирования, состоящая в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S (рис. 1) как центр проецирования и плоскость Пi, не проходящую через точку S, как плоскость проекций. Чтобы спроецировать точку А на плоскость Пi, через центр проецирования S проводят в направлении L луч SА до его пересечения с плоскостью Пi в точке Аi. Точку Аi принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА – проецирующим лучом.

Описанные построения выражают сущность операции центрального проецирования точек пространства на плоскость. Из заданного центра проецирования S может быть получено бесконечное число проекций точек на плоскость проекций Пi. Точки, которые находятся на одном луче, проецируются в одну точку(рис. 1).

Центральное проецирование является общим случаем проецирования геометрических объектов на плоскость.

Основными и неизменными его свойствами (инвариантами) являются такие:

1) проекция точки – точка;

2) проекция прямой – прямая;

3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе архитекторы, дизайнеры и другие специалисты.

Отдельный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, если центр проецирования удалён в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис. 2). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта. При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются такие:

1) проекции параллельных прямых параллельны между собой;

2) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

3) отношение отрезков двух параллельных прямых равно  отношению их проекций (рис. 2).

В свою очередь, параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, если проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, если направление проецирования образует с плоскостью проекций угол,  не равный 90º. Таким образом, ортогональное (прямоугольное)  проецирование является отдельным случаем параллельного, а полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и, кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии выдвигаются такие основные требования:

1) обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежам) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2) наглядность – чертёж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3) точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4) простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Метод Монжа

Если информацию о расстоянии от точки до плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертёж называют двукартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей высказаны Г. Монжем. (Отдельные правила и приёмы таких изображений, которые нагромождаются постепенно, были сведены в систему и развиты в работе Г. Монжа «Geometrie descriptive».). Монжем внедрён метод ортогонального проецирования, при котором используют две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций с последовательным совмещением этих плоскостей (рис. 3) и который был и остаётся основным методом составления технических чертежей.

Повернув плоскость П1 вокруг оси ОХ до совмещения с продолжением плоскости П2, получим изображение, которое называется эпюром или комплексным. Две проекции однозначно определяют положение точки в пространстве чертежом (рис. 4). Линией связи называется перпендикуляр к оси проекций, проходящий через две проекции точки. А1; А2 – горизонтальная и фронтальная проекции точек. А1А2 – линия связи. П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; ОХ – ось проекций; .

Проекции точки на три взаимно перпендикулярные плоскости

Для полного выявления внешних и внутренних форм сложных деталей бывает необходимо три и даже больше изображений. Поэтому вводят три и больше плоскостей проекций.

Система плоскостей П1, П2, П3 образуется введением в систему плоскостей П1, П2 еще одной вертикальной плоскости проекций, перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям. Её называют профильной плоскостью проекций и обозначают П3. Линии пересечения профильной плоскости проекций с фронтальной и горизонтальной обозначают z и y. Точка О – пересечение всех трёх осей проекций. Системой плоскостей П1, П2, П3 пространство разделяется на октанты. Образуется восемь октантов (рис. 5).

П1 – горизонтальная плоскость проекций;

П2 – фронтальная плоскость проекций;

П3 – профильная плоскость проекций; ох, оу, оz – оси координат;

Координатой называется расстояние от точки до плоскости проекций:

АА1 – координата zA (аппликата), расстояние от точки А до плоскости П1;

АА3 – координата хА (абсцисса), расстояние от точки А до плоскости П3;

АА2 – координата уА (ордината), расстояние от точки А до плоскости П2.

После совмещения плоскостей проекций образуется эпюра (рис. 6).

Точки и проекции точек определяются координатами:  – профильная проекция точки А.

В трёхмерном пространстве, разделённом плоскостями проекций П1, П2, П3, образованы 8 октантов. В каждом из октантов в зависимости от направления оси образуются различные сочетания знаков координат (табл. 1, рис. 7).

Классификация расположения точек пространства

Со всего множества точек пространства R можно выделить такие подмножества. Трёхпараметрическое – точки, имеющие три значимые координаты (рис. 5).

Двухпараметрическое – точки, лежащие на плоскости и  имеющие две значимые координаты.

Однопараметрическое – точки лежать на оси проекций и имеют одну значимую координату.

Проецирование прямой

Прямая представляет собой множество точек и в пространстве безгранична.

Отрезком прямой называется множество, состоящие из двух разных точек и всех точек между ними.

Направляющий луч складывается из одной точки и прямой безграничной в одном направлении.

Точка на прямой. Следы прямой

Если в пространстве точка принадлежит прямой, то проекции этой точки лежат на одноимённых проекциях этой прямой и на общей линии проекционной связи.

На рис. 8 изображена точка А, принадлежащая прямой l ,т.к. её проекции А1 и А2 расположены соответственно на горизонтальной  и фронтальной проекциях прямой. 

Точка не принадлежит прямой линии, если ни одна из проекций точки, например точка С, не принадлежит соответствующей проекции прямой, или одна из проекций точки принадлежит одноимённой проекции прямой линии, например точка В.

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

Точка М пересечения прямой l с горизонтальной плоскостью проекций П1 называется горизонтальным следом; точка N пересечения прямой l с фронтальной плоскостью проекций П2 – фронтальным следом; точка Р пересечения прямой l с профильной плоскостью проекций П3 – профильным следом.

На рис. 9 приведён пример построения для прямой l горизонтального и фронтального следа. Для нахождения горизонтального следа прямой необходимо продолжить фронтальную проекцию  до пересечения с осью ОХ. Далее из точки пересечения М2 – фронтальной проекции горизонтального следа – провести перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Точка пересечения М1 – горизонтальная проекция горизонтального следа, совпадающая с самим горизонтальным следом М.

Для нахождения фронтального следа прямой l необходимо продолжить горизонтальную проекцию прямой  до пересечения с осью ОХ. Далее из точки пересечения N1 – горизонтальной проекции фронтального следа – провести перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой. Точка пересечения N2 – фронтальная проекция фронтального следа, совпадающая с самим фронтальным следом N.

Разные положения прямой относительно плоскости проекций

Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различное положение. Прямую, не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций, называют прямой общего положения.

Прямые общего положения

Прямыми общего положения называются прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций (рис. 10).

Правило прямоугольного треугольника

Для прямой общего положения возникает потребность в определении натуральной величины отрезка и углов наклона к плоскости проекций. Рассмотрим рис. 10, из которого вытекает правило прямоугольного треугольника

Возьмем отрезок АВ и построим его ортогональную проекцию на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций. Получим два прямоугольных треугольника ∆АВ0В и ∆АА0В, у которых АВ – гипотенуза, является натуральной величиной, α = ∠BAB0 – угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций П1, β = ∠ABA0 – угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций П2. Для треугольника ∆АВ0В катет АВ0 равен величине горизонтальной проекции А1В1 отрезка [AB], второй катет ВВ0 равен разности расстояний от концов отрезка (точки А и В) до горизонтальной плоскости проекций, то есть ∆Z.

Аналогичные выводы вытекают также из рассмотрения треугольника ∆АА0В.

Для нахождения натуральной величины отрезка прямой и угла наклона прямой к определённой плоскости проекции необходимо на комплексном чертеже (рис. 11) построить прямоугольный треугольник на той плоскости проекций, относительно которой определяется угол наклона прямой, тогда натуральная величина  отрезка прямой равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на той плоскости проекций, а вторым катетом является разность расстояний от концов отрезков до той же плоскости проекций, а угол между соответствующей проекцией этого отрезка и его гипотенузой равен углу наклона прямой до этой плоскости проекций.

Натуральная величина отрезка прямой и угол наклона прямой к плоскости проекций на эпюре могут быть найдены из прямоугольного треугольника, в котором один катет равен проекции отрезка на этой плоскости проекций, второй – разности расстояний концов отрезка от этой  плоскости проекций.

Прямые особого положения

Прямыми особого положения называются прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.

К прямым особого положения относятся прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня

Прямые, параллельные одной плоскости проекций, называются прямыми уровня (горизонтальная, фронтальная, профильная прямые).

Прямые уровня на соответствующую плоскость проекций проецируются натуральной величиной.

Горизонтальная прямая h || П1 (рис. 12, 13).

Фронтальная прямая f || П2 (рис. 14, 15)

Профильная прямая Р || П3 (рис. 16, 17).

Проецирующие прямые

Проецирующими прямыми называются прямые, параллельные двум плоскостям проекций, перпендикулярные третьей (горизонтально- проецирующие, фронтально- проецирующие, профильно- проецирующие).

Горизонтально -проецирующая прямая изображена на рис. 18

Фронтально- проецирующая прямая изображена на рис. 19

Профильно- проецирующая прямая изображена на рис. 20.

Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут совпадать, быть параллельными, пересекаться, быть скрещивающимися.

Параллельные прямые

Если прямые параллельны, то их одноимённые проекции параллельны (в отдельном случае – совпадают) (рис. 21).

Пересекающиеся прямые

Одноименные проекции пересекающихся прямых пересекаются (в отдельном случае – совпадают) (рис. 22).

Точки пересечения проекций прямых имеют проекционную связь, то есть являются проекциями общих для этих прямых точек.

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, общих точек не имеют (рис. 23).

Точки, принадлежащие одному проецирующему лучу, но принадлежащие разным прямым, называются конкурирующими.

Конкурирующие  точки используются для определения видимости элементов на чертеже. Видимыми являются точки, расположенные дальше от плоскости проекций (ближе к наблюдателю).

На рис. 23a изображены скрещивающиеся прямые АВ (m) и CD (l). Их  фронтальные проекции  пересекают в точке  а на горизонтальной плоскости проекций видно, что точка K1 принадлежит А1В1 (m1), а точка L1 принадлежит C1D1 (l1).

На рис. 23б изображены две скрещивающиеся прямые АВ (m) и CD (l). Их фронтальные проекции пересекаются в точке  а горизонтальные – в точке  Для определения «перекрывания» отрезков на проекциях применяют конкурирующие точки, которые лежат на одном проецирующем луче, принадлежат разным прямым и на одной плоскости проекций совпадают.

При этом точки G и H принадлежат отрезку АВ (m), а точки N и F отрезку CD (l). Поскольку точка N размещена выше точки G на поле П1, то отрезок CD (l) «перекрывает» отрезок АВ (m), невидимую проекцию точки G1 берут в скобки.

Точка F1 лежит ближе к наблюдателю, чем точка H1, поэтому на поле П2 отрезок CD (l) «перекрывает» отрезок АВ (m), невидимую проекцию точки H2 берут  в скобки.

Проекции прямого угла

Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, то угол проецируется на эту плоскость прямым углом.

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажений. (рис. 22)

На рис. 24 изображен прямой угол АВС, у которого сторона АВ параллельна плоскости П1. Проецирующая плоскость Q перпендикулярна плоскости П1. AB ⊥ Σ , поскольку AB ⊥ BC и AB ⊥ BB, то AB ⊥ B1C1 . Поскольку АВ || А1В1, то A1B1 ⊥ B1C1 .

На рис. 25 приведён пример проецирования прямого угла, одной стороной которого является горизонтальная прямая уровня h,  параллельная  П1, поэтому на эту плоскость прямой угол проецируется как прямой.

На рис. 26 приведён пример проецирования прямого угла, одной стороной которого является фронтальная прямая уровня f, которая параллельна  П2, поэтому на эту плоскость прямой угол проецируется как прямой.

Правило проецирования прямого угла используется при решении задач на нахождение расстояния от точки до прямой особого положения. На рис. 27 приведён пример нахождения расстояния от точки С до горизонтальной прямой уровня h.

Из точки С необходимо опустить перпендикуляр на прямую А. Поскольку h || П1, то прямой угол спроецируется на П1 без искажений. Натуральную величину (СD) находим методом прямоугольного треугольника.

Плоскость

Плоскостью называется неразрывное множество последовательных положений образующей прямой (m), которая перемещается параллельно самой себе по направляющей прямой (l) (рис. 28).

На эпюре плоскость может быть задана:

1 Тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 29). 

2 Прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис. 30).

 

.3 Параллельными прямыми (рис. 31). 

4 Пересекающимися прямыми (рис. 32).

5 Плоской фигурой (треугольником) (рис. 33).

6. Следами плоскостей (рис. 34).

Следами плоскостей называют линии пересечения плоскостей с плоскостями проекций.

Разные положения плоскости относительно плоскостей проекций

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций π1, π2, π3: 1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций, 2) плоскость перпендикулярна лишь к одной из них, 3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций. Плоскости второго и третьего положений носят общее название «проецирующие плоскости».

Плоскость общего положения

Плоскостью общего (произвольного) положения называют плоскость, не перпендикулярную ни одной из плоскостей проекций.

Плоскости особого положения

Плоскости особого положения делятся на плоскости проецирующие и плоскости уровня. Проецирующей плоскостью называют плоскость, перпендикулярную одной из плоскостей проекций:

- горизонтально- проецирующая плоскость (Г⊥ П1) (рис. 35);

- фронтально- проецирующая плоскость (Ф ⊥ П2) (рис. 36);

- профильно- проецирующая плоскость (Е ⊥ П3 ). (рис. 37).

 

Проецирующие плоскости часто используются как вспомогательные плоскости при решении задач.

Проецирующие плоскости имеют собирательное свойство, состоящее в том, что все элементы проецирующей плоскости проецируются в одну линию на плоскости проекций, которой она перпендикулярна (рис. 38). Эта линия называется главной проекцией или следом плоскости.

Плоскости уровня

Плоскостью уровня называют плоскость, параллельную  одной из плоскостей проекций и, соответственно, перпендикулярную  двум другим (рис. 39):

- горизонтальная плоскость уровня (Г;

- фронтальная плоскость уровня (Ф);

- профильная плоскость уровня (Е).

Фигуры, расположенные в плоскости уровня, проецируются на одну из плоскостей проекций в натуральную величину.

Прямая и точка в плоскости

В основе принадлежности прямой плоскости лежат два признака:

1)если прямая проходит через две точки этой плоскости (рис. 40);

2) если прямая проходит через точку, принадлежащую плоскости и параллельна любой прямой этой плоскости (рис. 41).

Главные линии плоскости

Главные линии – это линии, принадлежащие плоскости и одновременно параллельные любой плоскости проекций.

По расположению относительно плоскостей проекций главные линии делятся на горизонтальные, фронтальные и профильные прямые.

Горизонталь – h; h || П1; h2 || ОХ (рис. 42).

Горизонталь на эпюре всегда начинают строить с фронтальной проекции, т.к. она всегда параллельна оси ОХ.

Фронталь – f; f || П2; f1 || ОХ (рис. 43)

Фронталь на эпюре всегда начинают строить с её горизонтальной проекции, т.к. она всегда  параллельна оси ОХ.

Профильная прямая – р; р || П3(рис. 44).

Пересечение прямой и плоскости. Взаимное пересечение двух плоскостей

Общим элементом пересекающихся прямой и плоскости  является точка. Пересечение в евклидовой геометрии — точка или кривая, общие для двух или более объектов (таких как кривые, плоскости и поверхности). Простейший случай — пересечение двух различных прямых на плоскости, которое либо является одной точкой, либо не существует, если прямые параллельные.

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Для построения точки пересечения (точки встречи) прямой общего положения l с плоскостью общего положения Q (рис. 45) необходимо выполнить построения:

1 Через прямую l проводим вспомогательную секущую проецирующую плоскость Т.

2 Строим линию пересечения заданной плоскости Q со вспомогательной T.

3 Находим общую точку заданной прямой l с линией пересечения плоскостей АВ.

Построение точки встречи прямой с плоскостью общего положения

Дано: пл. – плоскость общего положения;

 – прямая общего положения (рис. 46).

Найти: 

Алгоритм построения

При решении таких задач пользуются проецирующими вспомогательными плоскостями, т.к. их главные проекции (следы) имеют собирательные свойства.

1 Проводим пл. Q;  так, чтобы 

2 Находим линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей:

3 Находим точку встречи прямой l с линией пересечения МN: 

Видимость прямой l относительно плоскости  определяется с помощью конкурирующих точек.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения треугольника АВС и треугольника ДEF:

На рис. 47 дано построение линии пересечения двух треугольников с определением видимых и невидимых участков этих треугольников.

Построение сводится к определению точек М и N, в которых стороны ДF и EF треугольника ДEF пересекают треугольник АВС. При этом через стороны ДF и EF проводятся вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости Q и S, пересекающие треугольник АВС по прямым  и  В пересечении проекции прямой  с проекцией стороны Д1F1 получена проекция точки М1.  Далее    Видимость участков треугольников определяется при помощи конкурирующих точек.

Параллельность и перпендикулярность  прямой и плоскости, двух плоскостей

Любые две прямые пересекающие плоскость, параллельны. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то другая прямая не перпендикулярна плоскости. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость взаимно параллельны, если в плоскости существует прямая, параллельная данной прямой. Задача построения прямой, параллельной заданной плоскости, достаточно проста (рис. 48).

Пусть требуется построить прямую, параллельную плоскости ΔABC . Можно провести прямые, параллельные одной из сторон АВС, на рис. 48.  или построить на d плоскости вспомогательную прямую и параллельно ей провести прямую  

Параллельность двух плоскостей

Известно, что две плоскости взаимно параллельны, если две прямые, параллельные в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, параллельным во второй  плоскости; если две прямые, пересекающиеся, в одной плоскости,  соответственно параллельны двум прямым , пересекающимся, во второй плоскости.

Такими линиями могут быть прямые общего положения (рис. 49), главные линии плоскостей (рис. 50) или следы плоскостей (рис. 51).

Построение перпендикуляра к плоскостям общего положения

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но, чтобы на эпюре проекция перпендикуляра к плоскости общего положения была перпендикулярна одноименной проекции любой прямой этой плоскости, прямая должна быть или горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому для построения перпендикуляра l к плоскости берутся, в общем случае, две такие прямые, как, например, горизонталь и фронталь (рис. 52).

На рис. 53 показан эпюр построения перпендикуляра m из точки М до плоскости, заданной ΔABC .

Замена плоскостей проекций (проецирование на дополнительную плоскость проекций)

Для получения изображения геометрического образа в особом положении вводится дополнительная плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций.

Рассмотрим суть способа на примере проецирования точки (рис. 54).

Имеется точка А, координатные плоскости П1, П2. Точка А задана проекциями А1 и А2 в системе плоскостей проекций Нужно построить проекцию А4 на дополнительную плоскость П4.

Проведем дополнительную плоскость проекций П4; П4⊥П1, которая заменит плоскость проекций П2.

Точку А проецируем на взаимно перпендикулярные плоскости проекций. В пространстве образуются параллелограммы, у которых противоположные стороны равны:

Координата на дополнительной плоскости проекций равна координате на заменённой плоскости:

После совмещения трёх плоскостей проекций с одной плоскостью образуется эпюр (рис. 55).

Алгоритм построения

1 Перейдем от системы  к  Проведем ось х1⊥ S.

2 Из точки А1 проведем линию связи перпендикулярно  оси  отметим точку .

3 На продолжении линии связи откладываем отрезок 

Точка А4 – проекция точки на дополнительной плоскости.

Нахождение натуральной величины отрезка прямой проецированием на дополнительную плоскость проекций

Для нахождения натуральной величины отрезка прямой дополнительную плоскость проекций располагают параллельно отрезку (рис. 56).

Во время преобразования прямой уровня в проецирующую прямую дополнительная плоскость проекций располагается перпендикулярно прямой уровня.

Алгоритм построения

1-й этап

1 Заменим   где 

2 Проведем линии связи 

3 Отложим 

4 Получим:  – натуральную величину отрезка.

Если требуется получить прямую АВ в качестве проецирующей, нужно перейти ко второму этапу (рис. 57).

2-й этап

1 Заменим  , где 

2 Проведем линии связи 

3 Отложим 

4 Получаем  проецирующую прямую АВ в системе 

Нахождение натуральной величины плоской фигуры проецированием на дополнительную плоскость проекций

Натуральная величина плоской фигуры, занимающей общее положение, находим путём введения двух дополнительных плоскостей, проекций.

При введении первой дополнительной плоскости проекций плоскость общего положения преобразуем в проецирующую. При введении второй дополнительной плоскости заданная плоскость преобразуется в плоскость уровня. Для того, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей, ось новой системы проекций должна быть перпендикулярна  горизонтальной проекции горизонтали или перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Дано: пл. (АВС) общего положения.

Построить: натуральную величину пл. (АВС).

Алгоритм построения 

1-й этап (рис. 58)

1 Проводим 

2 Заменяем 

3 Проводим линии связи 

4 Откладываем 

5 Получаем  – проекцию проецирующей плоскости.

2-й этап (рис. 59)

1 Заменяем 

2 Проводим линии связи 

3 Откладываем 

4 Получаем  – проекцию плоскости уровня, параллельную дополнительной плоскости.

натуральная величина треугольника

Аксонометрические  проекции

Аксонометрической проекцией называется изображение предмета на одной плоскости проекций вместе с системой прямоугольных осей координат, к которым относится предмет.

На рис. 60 точка А вместе с прямоугольной системой координат спроектирована в направлении S на аксонометрическую плоскость проекций Р.

Значения зависят от расположения плоскости Р в отношении  пространственной системы координат и направления проецирования.

Коэффициентом или показателем искажения называется отношения аксонометрической проекции отрезка, параллельного оси координат, к его натуральной величине.

В зависимости от направления проецирования проекции делятся на:

1) прямоугольные, если S ⊥ P;

2) косоугольные, если S не перпендикулярна Р.

В зависимости от отношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции делятся на:

1) изометрические, если 

2) диметрические, если 

3) триметрические, если 

 

Р – плоскость аксонометрических проекций; ОХ, OY, ОZ – оси прямоугольной системы координат; S – направление проецирования;  – аксонометрические оси;

А – точка в пространстве, отнесённая к системе прямоугольных осей координат;

 – аксонометрическая проекция точки А;  – пространственная координатная ломаная линия;  – плоская ломаная линия;  – натуральная величина отрезка; – аксонометрические проекции отрезка

Прямоугольная изометрия

Отношение коэффициентов искажения:

Расчётные коэффициенты искажения:

Для упрощения построения относительно  ГОСТа 2317-69 расчётные коэффициенты искажения заменяются приведенными:

При этом аксонометрическое изображение предмета выходит увеличенным в 1,22 раза:

Аксонометрические оси в прямоугольной изометрии направлены одна к другой под углом  (рис. 61).

Для определения направления штрихования в изометрии на аксонометрических осях нужно построить треугольник, для этого вдоль аксонометрических осей откладываются равные отрезки произвольной длины.

Аксонометрия кривой линии строится по точкам.

Пример. Построить прямоугольную изометрическую проекцию кривой линии по её ортогональным чертежам (рис. 62).

Каждая точка кривой линии находится на конце ломаной линии. Каждое звено ломаной линии равна соответствующей координате точки.

Аксонометрические проекции окружностей, которые лежат на плоскостях проекций или на плоскостях, параллельных плоскостям проекций, изображаются эллипсами, которые приобретают значение осей:

большая ось – 

малая ось – 

Направление малой оси совпадает с направлением аксонометрической оси, перпендикулярной  плоскости проекций, направление большой оси перпендикулярно малой оси.

Пример. Построить прямоугольную изометрию трёх окружностей, расположенных на горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостях проекций, з d = 30 мм (рис. 63).

Большая ось эллипса АВ = 1,22d = 1,22 × 30 = 36,6 мм.

Малая ось эллипса CD = 0,7d = 0,7 × 30 = 21 мм.

На направлениях, параллельных аксонометрическим осям, откладываются EF = d = 30 мм.

Прямоугольная диметрия

Расчётные коэффициенты искажения :

Приведённые коэффициенты искажения:

При использовании приведённых коэффициентов  искажения изображение предмета получается увеличенным в 1,06 раза 

Аксонометрические оси в прямоугольной диметрии расположены под углами  і  к горизонтали (рис. 64).

Аксонометрические проекции окружностей (рис.65), расположенных на плоскостях проекций или на плоскостях, параллельных плоскостям проекций, изображаются эллипсами, которые приобретают значение осей:

большая ось АВ = 1,06d – для всех плоскостей проекций;

малая ось CD = 0,35d – для горизонтальной и профильной плоскостей проекций;

малая ось C1D1 = 0,94d – для фронтальной плоскости проекций.

На направлениях, параллельных аксонометрическим осям, откладываются  и и 

Выполнение расчётно-графических работ

Расчетно-графическая работа - это самостоятельное исследование, которое создано на обоснование теоретического материала по основным темам курса и выработку навыков практического выполнения технико-экономических расчетов.

Расчётно-графическая работа 1

Задание

В расчётно-графической работе необходимо:

1) определить расстояние от точки D до плоскости, образованной треугольником АВС;

2) построить точку, симметричную точке D относительно плоскости треугольника;

3) определить площадь треугольника АВС.

Исходные данные

По условию студенту задаются координаты точек А, В, С, D, измеряемые  в миллиметрах.

Например:

Расчётно-графическая работа (РГР) выполняется на листе ватмана формата А3, который располагается вертикально. На листе выполняется рамка и основная надпись. Графы основной надписи заполняются в последнюю очередь (рис. 66).

Выполнение РГР 1

Представим условие РГР в графическом виде, для чего построим по координатам треугольник АВС и точку D.

Введем систему координат. Начало координат выбирается так:

а) определим наибольшие для заданных заданием точек координаты X и Y (и ). В примере приведённых выше исходных данных это:  = 200 мм и = 300 мм;

б) от левого края рамки отступим  и проведем горизонтальную линию;

в) от верхнего края рамки отступим  и проведем вертикальную линию. Точка пересечения проведенных линий является началом координат.

Любая точка строится на эпюре по координатам (рис. 67).

Построив проекции всех точек, получаем условие РГР в графическом виде (рис. 68).

1 Общий метод

Для того, чтобы определить расстояние от точки до плоскости треугольника АВС, нужно знать такие положения:

а) расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость;

б) перпендикуляр проводится из соответствующих проекций точки перпендикулярно  горизонтальной проекции горизонтали и перпендикулярно фронтальной проекции фронтали;

в) перпендикуляр пересекает плоскость в точке К, которую нужно найти;

г) найдя точку пересечения, получим две проекции отрезка,  натуральный размер которого является расстоянием от точки до плоскости;

д) натуральную величину обозначенного отрезка можно найти методом прямоугольного треугольника.

В плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 68), необходимо построить горизонталь и фронталь (рис. 69). Горизонталь и фронталь можно построить, используя произвольные точки треугольника, но очевидно, что проще использовать для построения одной из проекций вершин треугольника (см. рис. 69). Соответственно  положению строим проекции.

Найдем точку пересечения перпендикуляра и плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 70). На данном этапе выполнение построений сводится к нахождению точки пересечения прямой и плоскости общего положения. Как вспомогательную плоскость, в которую заключаем перпендикуляр l, используем фронтально- проецирующую плоскость, однако равнозначным является также использование горизонтально- проецирующей плоскости, (рис. 71).

Получив две проекции отрезка DK, находим его натуральную величину, используя метод прямоугольного треугольника. Для упрощения на рис. 72 все предыдущие построения не показаны. Более детальное описание метода прямоугольного треугольника можно найти в конспекте лекций и учебной литературе [1].

Чтобы получить точку М, симметричную точке D относительно плоскости треугольника АВС, отложим на проекциях перпендикуляра от проекций точки К отрезки, в которых проекции точки К будут точками симметрии:

Результат полного выполнения работы приведён на рис. 73.

Определение плоскости треугольника АВС в РГР осуществляется методом преобразования чертежа – способом замены плоскостей проекций. Методом преобразования чертежа также определяем во второй части работы расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС.

2 Способ замены плоскостей

Для того чтобы определить  расстояние от точки до заданной условием плоскости способом замены плоскостей проекций, нужно преобразовать чертёж таким образом, чтобы плоскость, заданная треугольником АВС, стала проецирующей относительно новой плоскости. После этого для определения плоскости треугольника АВС необходимо выполнить еще одну замену плоскостей, задав новую плоскость проекций П5 параллельную заданной условием плоскости. .Прежде чем начать  преобразование, вспомним схему проецирования любой точки на П4 и П5 (рис. 53, 54).

Для задания плоскости П4 проведем в плоскости треугольника ABC горизонталь h, тогда перпендикулярность П4 заданной плоскости будет определена перпендикулярностью её к горизонтали. Соответственно, по правилу проецирования прямого угла, ось пересечения плоскостей П1 и П4 следует задавать перпендикулярно  горизонтальной проекции горизонтали: После проведения линий связи из горизонтальных проекций точек перпендикулярно  Х1 проекции на П4 находим, взяв координаты точек из плоскости, которую заменяем, то есть из П2:  и т. д.

Проверкой правильности построения на данном этапе является расположение проекций А4В4 и С4 на одой прямой, которая является следом заданной плоскости на П4. При этом расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС определяется по перпендикуляру, проведенному из D4 к следу А4В4С4 , и равно длине отрезка D4К4 (рис. 74) (К – точка пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника АВС). Для получения точки М, симметричной точке D относительно плоскости треугольника АВС, следует задать положение проекции М4 симметрично  D4 относительно следа А4В4С4, то есть M4K4 = D4K4.

При построении проекции перпендикуляра DK на горизонтальной плоскости проекций необходимо применить правило проецирования прямого угла  Проекция точки К на П2 находится обратным перенесением координат с плоскости П4:  (рис. 75). Для нахождения площади треугольника АВС введем новую плоскость П5, перпендикулярную  П4 и параллельную плоскости треугольника АВС. Проецирование точек треугольника на П5 выполняется аналогично построению проекций на П4 перенесением координат с плоскости, которая заменяется:  и т. д.. Получаем проекцию треугольника, отвечающую его натуральному виду (рис. 76). Вычисление площади выполняется по формулам школьного курса геометрии: как половина произведения основы треугольника и его высоты или по формуле Герона.

Последним этапом работы является проверка правильности выполнения РГР путём сравнения результатов, полученных обоими способами, и оформления основной надписи по ГОСТу 2.104-68. Пример выполненной работы приведён на рис. 77. 

Расчётно-графическая работа 2

Задание

1 Построить линию пересечения поверхности конуса плоскостью,  заданной треугольником АВС.

2 Построить натуральную величину сечения.

3  Построить  развёртку боковой поверхности конуса с нанесением на ней линии пересечения поверхности конуса плоскостью.

В следующих указаниях приведён алгоритм выполнения расчётно-графической работы «Пересечение поверхности конуса плоскостью и построение развёртки боковой поверхности конуса».

Расчётно-графическая работа выполняется на двух листах бумаги формата А3 (297×420 мм), лист располагается вертикально. Основная надпись имеет размеры 55×185 мм (по ГОСТу 2.104-68).

На первом листе выполняется построение линии пересечения поверхности конуса плоскостью, заданной треугольником АВС, и построение натуральной величины сечения. На втором листе выполняется построение развёртки боковой поверхности конуса с нанесением на ней линии пересечения поверхности конуса плоскостью.

Графическое условие выполняется студентами по индивидуальным вариантам задания (табл. 4). В задании заданы координаты точек АВС, которые определяют расположение секущей плоскости, координаты вершины конуса S, радиус основания конуса R. Для проверки и самоконтроля правильности построения натурального вида сечения в задании приведены также размеры, определяющие большую ось эллипса (ВВЕ) и малую ось эллипса (МВЕ). Графическое условие выполняется в левом верхнем углу, как можно ближе к рамке (рис. 78). В правом верхнем углу располагается текстовое условие.

Под текстовым условием записывается вариант задания. Все надписи выполняются карандашом чертёжным шрифтом.

Плоскость, заданная треугольником, является плоскостью общего положения, и при таком её расположении построение проекций линии пересечения  невозможно. Поэтому на первом этапе необходимо осуществить преобразование чертежа методом замены плоскостей проекций (удобной является замена плоскости П2 новой плоскостью П4). При этом плоскость П4 нужно расположить перпендикулярно плоскости треугольника. При таком преобразовании заданная заданием плоскость займет проецирующее положение относительно П4. Поэтому, благодаря собирательному свойству проецирующих плоскостей, проекцию линии пересечения плоскости с конусом следует определять на следе секущей плоскости на П4.

Для осуществления преобразования чертежа в плоскости треугольника АВС построим горизонталь h. Построение начинаем, как и в РГР 1, с проекции h2 (h2 || x); проекцию h1 строим через проекции точек пересечения h с треугольником АВС (h2 проводим через проекцию одной из вершин, находим проекцию точки пересечения с противоположной стороной треугольника, далее находим проекцию этой точки на П1).

Перпендикулярность плоскости П4 плоскости, заданной треугольником АВС, будет определятся перпендикулярностью П4 прямой h. Соответственно правилу проецирования прямого угла ось Х1, которая является линией пересечения плоскости П1 с плоскостью П4,следует провести перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (рис. 79).

Потом на плоскости П4 построим проекции конуса и треугольника АВС. Для этого через проекции вершины конуса S1 и точек А1, В1 и C1 проводим линии связи на П4 соответственно перпендикулярно  Х1. На линиях связи от оси Х1 на плоскости П4 отложим координаты Z для соответствующих точек (измеряем на плоскости П2 от оси Х). Соединение проекций А4, В4 и С4 должно образовать прямую линию, которая является следом заданной плоскости на П4.

На плоскости П4 проекция линии пересечения поверхности конуса заданной плоскостью определяется участком следа плоскости, пересекающей проекцию конуса. По расположением следа относительно проекции конуса мы можем определить, что линией пересечения будет эллипс. Исходя из начальных данных, след плоскости может или пересекать обе контурные образующие на П4, или пересекать образующую и основание конуса. В последнем случае линией пересечения будет дуга эллипса, ограниченная точками пересечения плоскости с окружностью основания.

Для построения эллипса необходимо определить расположение его большой и малой осей. Большая ось эллипса находится между точками пересечения следа секущей плоскости и проекций очерченных образующих конуса (или на пересечении следа и образующей, с одной стороны, и её продолжения, с другой стороны, если плоскость пересекает основу конуса). Обозначим эти точки цифрами І и ІІ (рис. 80). Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси и делит её пополам, поэтому на плоскости П4 малая ось эллипса проецируется в точку и находится посередине отрезка І4 – ІІ4. Обозначим вершины малой оси эллипса цифрами ІІІ и IV, проекции этих точек на плоскости П4 совпадают. Обе точки лежат на поверхности конуса, только точка ІІІ лежит с одной стороны , а точка IV-– с другой стороны конуса, поэтому на плоскости П4 проекция точки ІІІ видима, а проекция точки IV невидима (обозначение проекций невидимых точек берется в скобки). Потом берем на линии пересечения несколько произвольно расположенных промежуточных точек (рис. 81). При этом следует обращать внимание на то, что, как и в случае с точками ІІІ и IV, мы имеем пары точек, проекции которых на плоскости П4 совпадают, то есть одна проекция будет видимой, а другая – невидимой.

Далее выполняем построение проекции линии пересечения на плоскости П1. Начнём строить с нахождения вершин большой и малой осей эллипса при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. Проекции вершин ВВЕ на плоскости П4 (точек І и ІІ) лежат на проекциях очерчивающих образующих S4E4 и S4F4. Эти очерчивающие образующие на плоскости П1 проецируются в участки линий, соединяющих проекцию вершины конуса с точками основы E1 и F1 и параллельны оси Х1. Построим эту линию и на ней по линиям связи определим положения проекций точек І и ІІ (рис. 81). Как уже указывалось выше, плоскость может пересекать основание конуса, и тогда проекцию ІІ1 следует находить на продолжении проекции образующей S1F1. При этом точки обрыва будут лежать на основе конуса, и их проекции  нужно определить на пересечении линий связи с окружностью, в которую спроецировалось основание конуса на плоскости П1. Для построения проекций других точек задаём для них вспомогательные секущие плоскости, параллельные плоскости П1. На плоскость П4 они спроецируются в линии, параллельные оси Х1. При пересечении этих плоскостей с поверхностью конуса получаем окружности, которые спроецируются на плоскость П1 в натуральную величину. Проекции точек будут лежать на проекциях этих окружностей. Радиус измеряется на плоскости П4 от оси конуса до его очерковой образующей (див. рис. 82).

Для построения точек на плоскости П1 не обязательно полностью строить окружности, на которых лежат точки, достаточно сделать циркулем скобку, предварительно проведя линии связи от проекций точек с плоскости П4 на плоскость П1. Построив проекции точек на плоскости П1, соединяем их плавной кривой линией с помощью лекала. При пересечении плоскости треугольника АВС с поверхностью конуса получим эллипс и его проекция на плоскости П1 будет видимой. При пересечении плоскости с основой конуса образуется прямая линия и её проекция на плоскости П1 будет невидима (рис. 83). Большая ось I–ІІ и малая ось III–IV будут осями симметрии эллипса.

На плоскость  П2 конус спроецировался в виде треугольника, боковые стороны этого треугольника – очерковые  образующие конуса. Фронтальная плоскость уровня Φ, которая задаётся этими образующими, является границей видимости. Построенная нами на плоскости П1 проекция эллипса пересекает проекцию плоскости Φ. Следовательно, эллипс содержит точки, лежащие на границе видимости. Найдем точное расположение проекций этих точек на плоскости П1 таким образом: проведем проекции очерковых образующих на плоскости П1 , определив проекции их точек, принадлежащих основанию. Потом найдем проекции точек этих образующих, лежащих в секущей плоскости. Обозначим эти точки буквами К и N, определим их проекции на плоскости П1 и определим по линиям связи положения проекций этих точек на проекциях очерчивающих образующих на плоскости П2 (рис. 82). Проекции точек К и N на плоскости П2 лежат на границе видимости. Следовательно, та часть эллипса, проекция которой на плоскости П1 будет находится ниже границы видимости, на плоскости П2 будет видимой, а другая часть проекции эллипса на плоскости П2 – невидимой. Потом построим проекции точек эллипса на плоскости П2. Точки 2 и 3 лежат на основании конуса. Для построения проекций других точек измеряем их координаты Z по линиям связи на плоскости П4 (от оси Х1) и откладываем их по линиям связи на плоскости П2 (от оси Х). Проекции невидимых точек объединяем в нужной последовательности плавной штриховою линией, а проекции видимых точек – сплошной линией (рис. 83).

Следующий этап решения задачи – построение натуральной величины сечения. Для этого задаём новую плоскость проекций П5 таким образом, чтобы она была расположена параллельно плоскости треугольника АВС. При этом ось Х2 системы плоскостей П4/П5 необходимо располагать параллельно  следу плоскости треугольника на П4. На плоскости П5 по линиям связи строим проекции точек І и ІІ, измеряем их координаты на плоскости П1 от оси Х1 и откладываем на плоскости П5 от оси Х2 (рис. 84). Соединяем точки І5 и ІІ5 прямой линией. Эта линия – проекция большой оси эллипса на плоскости П5, она параллельна оси Х2 и является осью симметрии эллипса. Исходя из того, что вершины МВЕ и пары промежуточных точек, которые мы брали для построения проекций эллипса, лежат на одинаковом расстоянии с обеих сторон от большой оси эллипса, то, измерив их координаты на плоскости П1 от проекции оси І1 – ІІ1, мы отложим их на плоскости П5 с обеих сторон от проекции оси І5 – ІІ5. Соединив построенные проекции точек, получим натуральную величину пересечения конуса плоскостью треугольника АВС (рис. 85).

После построения натуральной величины пересечения измеряем длину большой и малой осей эллипса и сравним с длиной, которая приведена в варианте задания. Если разбег вышел порядка 2...3 мм, то построение выполнено правильно.

Необходимым этапом также является определение видимости проекций треугольника АВС. На плоскости П1 проекции сторон треугольника станут невидимыми, если они будут проходить в середине конуса, то есть после пересечения проекций сторон треугольника с проекцией эллипса (рис. 83–87). Чтобы определить видимость на плоскости П2, нужно определиться с конкурирующими точками, которые лежат на скрещивающихся прямых и дают картину видимости. Такими точками будут точки на очерченных образующих конуса и на стороне треугольника АВС.

После завершения построения первый лист расчётно-графической работы будет выглядеть так, как показано на рис. 88. Линия пересечения плоскости треугольника с поверхностью конуса является решением задачи, поэтому все её проекции обводят цветным карандашом.

На втором листе строится развёртка боковой поверхности конуса с нанесением на ней линии пересечения поверхности конуса плоскостью треугольника. Для этого поверхность конуса аппроксимируем как поверхность пирамидальную, то есть вписываем в поверхность конуса поверхность пирамиды.

Для этого на первом листе на плоскостях П1 и П4 проводим сквозь проекции точек, которые мы использовали для построения эллипса, проекции образующих, отмечая их конечные точки на основании конуса (рис. 89). Если соединить эти точки между собой, то мы получим основу многогранной пирамиды, вписанной в конус. Развёртку этой пирамиды можно приближённо считать развёрткой конической поверхности.

Для построения развёртки необходимо иметь натуральные размеры всех элементов геометрического тела. Касательно пирамиды, её основание спроецировалось на плоскость П1 в натуральную величину, а натуральная величина рёбер пирамиды – это проекции очерковых образующих конуса на плоскости П4.

Точки, которые мы использовали для построения эллипса, лежат на рёбрах пирамиды. Для нахождения этих точек на соответствующих рёбрах на развёртке используется метод вращения образующих вокруг горизонтально-проецирующей прямой, которая проходит сквозь вершину конуса. Образующие вращаются таким образом, чтобы занять положение уровня относительно П4. При таком преобразовании точки этих образующих движутся в плоскостях, параллельных  П1. Проекции такого перемещения точек на П4 выглядят как прямые, параллельные  оси Х1. Поэтому, чтобы определить расстояние от этих точек до вершины пирамиды, нужно на плоскости П4 перенести по линиям, параллельным оси Х1, проекции этих точек на проекции очерковых образующих конуса. Теперь построение развёртки боковой поверхности сводится к построению развёртки граней пирамиды. Каждая грань пирамиды является треугольником.

Для построения развёртки сначала произвольно (в центре листа) поставим точку  – вершину конуса. Потом от точки отложим длину ребра пирамиды, которую замеряем на плоскости П4 (она равна проекции очерковой образующей конуса), и получаем точку (рис. 90), потом через точку  проведем дугу с центром в точке  . Измеряем расстояние на плоскости П1 и отложим точку  от  на построенной нами дуге. Таким же способом построим развёртку других граней пирамиды. При этом, если мы начинаем развёртывание с ребра  –  , то и заканчиваем тем же ребром. Потом строим на развёртке линию пересечения поверхности конуса с плоскостью треугольника. Для этого мы замеряем на плоскости П4 расстояния от проекции вершины конуса по проекции очерковой образующей до проекций точек линии пересечения, которые мы перенесли на проекцию очерковой образующей, и отложим эти расстояния от  на соответствующих рёбрах пирамиды. Соединив эти точки между собой, получим линию пересечения конуса плоскостью треугольника. Эта линия наводится цветным карандашом. 

Расчётно-графическая работа 3

Задание

Построить три вида гранёной поверхности:

1 Достроить вид сверху.

2 Построить вид слева.

3 Построить аксонометрическую проекцию заданной поверхности.

Цель задания – ознакомить студентов с правилами и условностями, которые даёт ГОСТ 2.305-68 и которые используются при построении комплексных чертежей.

Все предметы производства на машиностроительных предприятия изготавливают по чертежам, а изображение на этих чертежах выполняют методом прямоугольного проектирования. При этом предмет размещают между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций.

Для полного выявления формы предмета государственный стандарт устанавливает разнообразные изображения. Одним из таких изображений является вид.

Видом называют изображение повернутой к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Изображение, построенное на фронтальной плоскости проекций, называют видом спереди. Этот вид на чертеже считают основным, поэтому его еще называют главным. Выполняя чертёж, предмет надо так размещать относительно фронтальной плоскости проекций, чтобы главный вид давал наиболее полное и наиболее выразительное  представление о форме и размерах предмета.

Изображение на горизонтальной плоскости проекций называют видом сверху.

Изображение на профильной плоскости проекций называют видом слева. Оно отвечает тому, что мы видим, рассматривая деталь слева.

Рядом с видами спереди, сверху и слева для изображения предмета применяют виды справа, снизу, сзади. Виды выполняются методом прямоугольного проецирования. Количество видов на чертеже должно быть минимальным, но достаточным для полного выявления геометрической формы и размеров всех частей предмета (рис. 91). 

Если изображение предмета выполнено не в проекционной связи, то направление определяют стрелкой и буквой. Изображения обозначают той же буквой.

Дополнительный вид — это изображение на плоскость, не перпендикулярную основным плоскостям проецирования. Подписывают дополнительный вид так же, как и основной.

Местный вид — изображение отдельного, ограниченного места поверхности предмета. Местный вид может быть ограничен линией обрыва, осью симметрии и т.д. Его можно обозначить на чертеже и надписью.

Построение вида сверху необходимо начинать с определения положения граней и рёбер тела; далее нужно определить положение секущих плоскостей и линий их пересечения с плоскостями оснований тела и между собой. Что касается секущих плоскостей, преимущественно они являются проецирующими относительно фронтальной плоскости проекций или плоскостями уровня к П1 и П3. Исходя  из собирательного свойства таких плоскостей, их проекцией на П2 являются прямые линии (следы). Потом необходимо строить линии пересечения плоскостей на горизонтальной плоскости. Поскольку плоскости, содержащие эти линии, являются перпендикулярными  П2, линии пересечения также перпендикулярны  фронтальной плоскости. На этой плоскости их проекции – в точках пересечения следов плоскостей. На П1 проекции таких линий располагаются перпендикулярно оси Х.

Далее необходимо определить или построить линии пересечения секущих плоскостей с боковой поверхностью тела. В случае, если заданным телом выступает прямоугольная призма, на виде сверху линии пересечения секущих плоскостей с боковыми гранями совпадут с проекциями этих граней имеющими вид линий (через собирательное свойство проецирующих плоскостей). Процесс нахождения точек показан на рис. 92. Видимость соответствующих проекций точек определяется, исходя из видимости или невидимости на вид грани, которой принадлежит точка, а также с помощью правил определения видимости конкурирующих точек. В итоге вид сверху показан на рис. 93.

В случае пирамиды участки линий строят, используя определённые проекции точек пересечения секущих плоскостей с рёбрами и найденных раньше линий взаимного пересечения плоскостей с гранями и линиями основания. При этом для нахождения проекций точек, лежащих на боковых гранях, следует использовать построение линий, лежащих в плоскости соответствующей грани. Ими могут быть, например, образующие линии, проходящие через вершину пирамиды, или отрезки, параллельные сторонам основания пирамиды (рис. 94).

Третью проекцию, или вид слева, строят по правилам ортогонального проецирования на три плоскости проекций. При этом отдельные проекции точек находятся при проведении горизонтальных линий связи с вида спереди, измерении координаты Y отдельной точки и её откладывании на линии связи от точки пересечения с осью Z. При этом, если тело  симметрично относительно фронтальной плоскости уровня, положение проекций точек можно измерять и откладывать относительно проекции этой плоскости (рис. 95). Можно также использовать графический способ перенесения координаты Y на вид слева. Сначала нужно выполнить вид тела без учёта пересечения секущими плоскостями, после чего приступать к построению проекций точек и линий пересечения секущих плоскостей с поверхностью тела. Важным моментом построений является  определение видимости соответствующих участков линии. Видимость устанавливается по видимости на виде соответствующей грани или плоскости, которой принадлежит построенный отрезок. Необходимым является также определение на видах участков тела, которые удаляются при пересечении плоскостями. При этом участки ребер и линий основания, которые удаляются, необходимо стереть.

Построение аксонометрической проекции должно начинаться с выбора вида аксонометрии, который возможно использовать для данного геометрического тела, а также с определения расположения элементов системы координат, связанной с телом (рис. 96).

Обычно начало координат – точку О – размещают на элементах симметрии основания тела (в центре симметрии или на оси симметрии). В приведенном примере точка О расположена посередине отрезка, который является осью симметрии треугольника основания.

Следующим этапом выполняется построение основания геометрического тела. Сначала определим точки, лежащие на координатных осях (в приведённом примере это точка 1, рис. 97, а), далее найдем другие вершины, имеющие обе ненулевые координаты X и Y (точки 2 и 3, рис. 97, б).

После построения нижнего основания нужно построить верхнее основание (для призмы) или вершину (для пирамиды). Для этого откладывают координату Z вдоль оси Z от точек нижнего основания (рис. 98) (или от точки О – для пирамиды). Далее необходимо построить крайние точки линий пересечения плоскостей, образующих вырез в теле. Эти точки лежат в плоскостях граней тела и могут иметь все три ненулевые координаты. Их нахождение осуществляется при построении координатных ломаных по значениям, которые берутся из видов чертежа (см. точку А на рис. 99).

Последним этапом является удаление невидимых линий и построение четвертного выреза тела. Для этого находят точки на основаниях и на линиях пересечения секущих плоскостей с гранями и между собой, принадлежащие плоскостям выреза (в заданных вариантах это плоскости XZ и YZ). После последовательного соединения этих точек и удаления элементов, которые попадают в вырез, будет получен окончательный вид аксонометрической проекции (рис. 99). Пример полностью выполненной работы приведён на рис. 100. 

Оформление задания

После построения изображений следует выполнить обведение чертежа и заполнить основную надпись.

Линии невидимого контура, а также все линии построения необходимо стереть

На чертеже должны быть изображены:

- линии видимого контура, толщиной S = 0,5-1,4 мм;

- осевые штрихпунктирные линии (S/2…S/3);

- разомкнутые линии – следы секущих плоскостей (S…1,5S);

- надписи – обозначения секущих плоскостей и их изображения;

- линии штрихования (S/2…S/3)..

Расчётно-графическая работа 4

Задание

Построить три вида тела вращения.

Достроить вид сверху.

Построить вид слева.

Цель задания «Виды. Тело вращения» – ознакомить студентов на примерах изображения разных геометрических форм с правилами и условностями, которые установлены ГОСТом 2.305-68 и используются при построении комплексных чертежей.

Данное задание должно способствовать развитию пространственного представления, будучи одновременно переходной ступенью от изображения геометрических форм к составлению чертежей деталей машин.

Предусматривается, что студенты уже выучили соответствующие разделы курса начертательной геометрии, которая является теоретической базой для изучения проекционного чертежа. Учитывается также, что студентам известны основные положения государственных стандартов, которые использовались при выполнении задания по теме «Геометрическое черчение».

Построение вида сверху необходимо начинать с определения положения секущих плоскостей и линий их пересечения. Преимущественно они являются проецирующими относительно фронтальной плоскости проекций или плоскостями уровня к П1 и П3. Исходя из собирательного свойства таких плоскостей, их проекцией на П2 являются прямые линии (следы). Потом необходимо построить линии пересечения плоскостей на горизонтальной плоскости. Поскольку плоскости, содержащие эти линии, являются перпендикулярными  П2, линии пересечения также перпендикулярны  фронтальной плоскости. На этой плоскости их проекции – в точках пересечения следов плоскостей. На П1 проекции таких линий располагаются перпендикулярно  оси Х.

Далее осуществляется построение линий пересечения секущих плоскостей с поверхностью тела. Сначала требуется определить, каких типов линии образуются в том или другом случае пересечения, повторив теоретические данные из лекционного курса. Строить определённые линии следует начинать с нахождения опорных точек (точек экстремума, вершин осей эллипсов и др.), а также их крайних точек (рис. 101, точки 1 и 4). После этого строят промежуточные точки и осуществляют построение линии путём соединения точек (рис. 102). Третья проекция, или вид слева, строится по правилам ортогонального проецирования на три плоскости проекций. При этом отдельные проекции точек находятся при проведении горизонтальных линий связи с вида спереди, измерении координаты Y отдельной точки и её откладывании на линии связи от точки пересечения с осью Z. При этом, если тело симметрично относительно фронтальной плоскости уровня, положение проекций точек можно измерять и откладывать относительно проекции этой плоскости (рис. 103, 104). Можно также использовать графический способ перенесения координаты Y на вид слева. Сначала нужно выполнить вид тела без учёта пересечения секущими плоскостями, после чего приступать к построению проекций точек и линий пересечения секущих плоскостей с поверхностью тела.

Важным моментом построений является определение видимости соответствующих участков линии. Видимость устанавливается по видимости на виде соответствующей части тела относительно границы видимости. Необходимым является также определение на видах участков тела, которые удаляются при пересечении плоскостями. При этом участки контурных линий, которые удаляются, необходимо стереть. Пример полностью выполненной работы приведён на рис. 105.

Метод и элементы проецирования

Построение изображений в начертательной геометрии основано на методе проекций.

Проекция – это  изображение предмета, “сброшенное” на плоскость с помощью лучей. Спроецировать предмет на плоскость – это значит построить его изображение на плоскости.

Элементы проецирования: S – центр проекции; А – точка в пространстве, объект проецирования; П1 – плоскость проекции; А1 – проекция точки A; SA1 – луч (рис. 1.1).

Проецирование может быть центральным и параллельным.

Если проецирующие лучи выходят из одной точки, такое проецирование называется центральным. Суть центрального проецирования состоит в том, что из центра проекции (точки S) через каждую точку A, B, C и т.д. любого пространственного объекта проходит луч, который называется проецирующим. Этот луч, пересекая плоскость проекций П1, даёт проекцию данной точки. На плоскости проекций каждой точке A, B, C и т.д. пространственного объекта будет отвечать только одна точка A1, B1, C1 и т.д. Совокупность всех проекций этих точек и даёт проекцию данного объекта на плоскости чертежа (рис. 1.2).

Если проецирующие лучи параллельны между собой, такое проецирование называется параллельным (рис. 1.3).

Если проецирующие лучи не перпендикулярны  плоскости проекций, проецирование называется  косоугольным или наклонным (рис. 1.3). В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны  плоскости проекций – прямоугольным или ортогональным (рис. 1.4).

В дальнейшем будет использоваться только параллельное, ортогональное проецирование.

Эпюр Монжа

Любой чертёж должен быть обратимым. Прямая задача – любую точку, которая находится в пространстве, всегда можно cпроецировать на плоскость проекции и получить проекцию этой точки. Обратная задача – по проекции точки необходимо определить её положение в пространстве. Если дана только одна плоскость проекции, то одной проекции точки в пространстве отвечает бесконечное число точек. Выходит, одна проекция не определяет положение объекта в пространстве. Значит, чтобы сделать чертёж обратимым ,нужны две проекции точки.

На рисунке 1.5 изображены проекции точки A на двух плоскостях проекций: П1 – горизонтальная плоскость проекций;

П2 – фронтальная плоскость проекций, причём ; лучи, проходящие через точку А, перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций;

А1 – горизонтальная проекция точки А;

А2 – фронтальная проекция точки А;

Оx – ось проекций;

Если горизонтальную плоскость проекций П1 повернуть вокруг оси Оx до совмещения в одну плоскость с плоскостью П2, то такое развёрнутое изображение называют эпюром (рис. 1.6).

Метод ортогонального проецирования на две плоскости проекций был предложен французским учёным Гаспаром Монжем,  поэтому метод назван методом Монжа, а полученный эпюр – эпюром Монжа.

Проецирование точки на три плоскости проекций

Совокупность двух прямоугольных проекций на две взаимно перпендикулярные плоскости позволяет однозначно определить форму и положение предмета в пространстве. Однако в черчении при построении изображений часто используют три плоскости проекций.

Пусть заданы три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые образуют прямой трёхгранный угол (рис. 1.7): П1 – горизонтальная, П2 – фронтальная и П3 – профильная плоскости проекций; линии Ох, Оу, Оz взаимного пересечения плоскостей проекций – оси проекций, а точка О – начало координат. В пространстве задана точка А и требуется построить её проекции на плоскости П1, П2 и П3. Для этого из точки А проводят проецирующие лучи  АА1, АА2, АА3, перпендикулярные  плоскостям проекций, до пересечения с ними. В результате пересечения получают А1 – горизонтальную, А2 – фронтальную и А3 – профильную проекции точки А.

Использовать такую пространственную модель на плоском чертеже неудобно. Поэтому выполняется развёртка плоскостей проекций. Если  плоскости проекций П1 и П3 повернуть соответственно вокруг осей Ох и Оz в направлении, указанном стрелками, до совмещения с плоскостью проекций П2, то получим эпюр, который содержит в себе три проекции точки (рис. 1.8).

Часто положение точки в пространстве задаётся её координатами. Координаты точки в пространстве записывают  А(х,у,z). Расстояние от точки А до плоскости проекции  П1 определяются координатой z, до плоскости проекции П2 – координатой у, до плоскости проекции П3 – координатой х. Для построения горизонтальной проекции точки необходимо знать координаты  и .

Построение фронтальной проекции точки ведется по координатам  и  профильной проекции точки – по координатам  и  (рис. 1.8). Прямая  называется вертикальной линией связи,  – горизонтальной линией связи.

Если одна из координат точки равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекций. Например, точка B принадлежит плоскости П2 (рис. 1.9); точка C принадлежит плоскости П3 (рис. 1.10).

Если две координаты точки равны нулю, то точка принадлежит оси проекций. Например, точка D находится на оси Ох (рис. 1.11); точка E находится на оси Оу (рис. 1.12).

Точка в разных четвертях пространства

Плоскостями проекций П1 и П2 пространство делится на четыре четверти (или квадранты) (рис. 1.13).

Для получения эпюра плоскость проекций П1 поворачиваем относительно оси  по часовой стрелке до совмещения с плоскостью П2. При этом передняя полу плоскость П1 совместится с нижней полу плоскостью П2, а задняя – с верхней. Размещение осей показано на рис. 1.14.

Если точка находится в первой четверти, то на эпюре её фронтальная проекция разместится над осью , а горизонтальная – под ней (рис. 1.15).

Если точка находится во второй четверти, то на эпюре её проекции разместятся над осью  (рис. 1.16).

Если точка находится в третьей четверти, то на эпюре её горизонтальная проекция разместится над осью  а фронтальная – под ней (рис. 1.17).

Если точка находится в четвертой четверти, то горизонтальная и фронтальная проекции находятся под осью  (рис. 1.18).

Конкурирующие точки

Точки, расположенные на одном проецирующем луче, называются конкурирующими. С помощью конкурирующих точек определяется видимость геометрических фигур.

На рисунке 1.19 показаны две пары конкурирующих точек А и В, С и D. Точки А и В конкурируют (совпадают) на П1, точка В невидима. Точки С и D конкурируют на П2, точка D невидима. В скобках на эпюре изображают невидимые точки.

Прямая

Поскольку положение прямой в пространстве определяется её точками, то для построения прямой линии необходимо построить проекции двух точек, принадлежащих данной прямой. Такими точками являются крайние точки отрезка прямой.

Одна проекция прямой не определяет положение прямой в пространстве. В плоскости α можно провести несколько прямых. Их проекции могут совпадать с проекцией прямой АВ на П1 (рис. 2.1).

Две проекции прямой в полной мере определяют её положение в пространстве (рис. 2.2).

На рисунке 2.3, а прямая задана отрезком, который ограничен двумя точками А и В. На рисунке 2.3, б прямая m не ограничена точками.

Прямая общего положения

Прямая, которая не параллельна (не перпендикулярна) ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На рисунке 2.4 отрезок АВ занимает общее положение. На П1, П2 и П3 отрезок АВ не параллелен (не перпендикулярен) осям координат. Такая прямая не имеет натуральной величины и реальных углов наклона на основных плоскостях проекций (рис. 2.5). На рисунке 2.3, а,б показан пример прямых общего положения в двух плоскостях проекций.

Прямые особого положения

К прямым особого положения относят прямые уровня и проецирующие прямые.

Прямые уровня

Прямые уровня – это прямые,  параллельные одной из плоскостей проекций.

1. Горизонтальная прямая (горизонталь) параллельна  имеет реальные углы наклона: к П2 , к П3 (рис. 2.6). Горизонтальная проекция h1 горизонтали имеет натуральную величину (н.в.).

2. Фронтальная прямая (фронталь) параллельна П2, имеет реальные углы наклона:  к П1,  к П3 (рис. 2.7). Фронтальная проекция f2 фронтали имеет натуральную величину.

3. Профильная прямая параллельна П3 , имеет реальные углы наклона:  к П1,  к П2 (рис. 2.8). Профильная проекция  имеет натуральную величину.

Проецирующие прямые

Прямые,  перпендикулярные  одной из плоскостей проекций, называются проецирующими

1. Горизонтально-проецирующая пряма перпендикулярна  П1 (рис. 2.9). Такая прямая отображается на П1 в точку. На П2 и П3 отрезок имеет натуральную величину [А2 В2] = [А3 В3] = н.в.

2. Фронтально-проецирующая прямая перпендикулярна  П2 (рис. 2.10). Такая прямая отображается на П2 в точку. На П1 и П3 отрезок имеет натуральную величину [А1 В1] = [А3 В3] = н.в.

3. Профильно-проецирующая пряма перпендикулярна  П3. (рис. 2.11). Такая прямая отображается на П3 в точку. На П1 и П2 отрезок имеет натуральную величину [А1 В1] = [А2 В2] = н.в..

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Для определения натуральной величины прямой общего положения нужно выполнить некоторые построения. На рисунке 2.12 изображен отрезок АВ общего положения. Если из точки А провести отрезок , параллельный его горизонтальной проекции А1В1, то образуется прямоугольный треугольник  (рис. 2.12, а), гипотенузой которого является отрезок АВ. Рассмотрев этот треугольник, можно сделать вывод, что натуральная величина отрезка прямой общего положения равен гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого – одна из проекций отрезка, а второй – разность координат по оси Z между точками А и В: 

Соответствующее построение выполнено на рисунке 2.13, б, где одновременно определяется и угол наклона  отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций. Чтобы определить угол наклона у фронтальной плоскости проекций, такое же построение нужно выполнить на фронтальной плоскости проекций (рис. 2.12, а, б). Такой метод определения величины отрезка прямой называют методом прямоугольного треугольника.

Задача. Определить расстояние от точки А до прямой l, параллельной плоскости П1 (рис. 2.14, а).

Решение. Для определения расстояния от точки А до прямой l необходимо из точки А до прямой l провести перпендикуляр АС. Поскольку l параллельна П1, то прямой угол между l  и АС проецируется на П1 в натуральную величину. Поэтому проводят  потом находят А2С2 и методом прямоугольного треугольника определяют натуральную величину АС. Натуральной величиной расстояния от точки А до прямой l будет отрезок  (рис. 2.14, б).

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. На рисунке 2.15 прямая m задана отрезком AB,  точка H – её горизонтальный след, точка F – фронтальный след.

Для построения горизонтального следа прямой на эпюре необходимо продолжить фронтальную проекцию отрезка A2B2 до пересечения с осью Ох в точке H2 (H2 – фронтальная проекция горизонтального следа) и из полученной точки провести вертикальную линию связи на продолжение горизонтальной проекции отрезка A1B1. Там, где линия связи пересекает проекцию прямой определяется точка H1 (H1 – горизонтальная проекция горизонтального следа). Аналогично выполняется построение фронтального следа прямой m. Горизонтальную проекцию отрезка A1B1 продолжают до пересечения с осью Ох в точке F1 (F1 – горизонтальная проекция фронтального следа) и из полученной точки проводят вертикальную линию связи на продолжение фронтальной проекции отрезка A2B2. Там, где линия связи пересекает фронтальную проекцию прямой , определяется точка F2 – фронтальная проекция фронтального следа.

Точка и прямая

Рассмотрим положение точки и прямой для выяснения их позиционных и некоторых метрических свойств.

Точка может лежать на прямой или находится за прямой. Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки находятся на одноименных проекциях прямой.

Для того, чтобы установить принадлежность точки любой прямой, иногда достаточно установить принадлежность двух проекций точки соответствующим проекциям прямой.

На рисунке 2.16 точки А, С, В принадлежат прямой, поскольку  обе их проекции  принадлежат соответствующим проекциям прямой l:

Точки D и К не лежат на заданной прямой. У точки D горизонтальная проекция не совпадает с горизонтальной проекцией прямой l, в пространстве точка D расположена перед прямой l. У точки К горизонтальная проекция расположена выше оси Ох, фронтальная – ниже оси Ох, то есть точка К находится в третьей четверти.

Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут занимать разные взаимные положения.

Две прямые параллельны

Если две прямые параллельны, то параллельны также их одноименные проекции. Параллельность двух профильных прямых определяют по их профильным проекциям (рис. 2.17).

Две прямые пересекаются

Если прямые пересекаются, то пересекаются, также их одноименные проекции. Проекции точки пересечения находятся на одной линии связи (рис. 2.18).

Две скрещивающиеся прямые

 Если две прямые не параллельны и не пересекаются между собой, то они называются скрещивающимися. Признаком скрещивающихся прямых является наличие пар конкурирующих точек. На рисунке 2.19 точки А и В конкурируют на П1:  Точки С и D конкурируют на П2: 

Свойства проекций прямого угла

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину. На рисунке 2.20 два отрезка АВ и ВС пересекаются. Отрезок А1В1 на П1 имеет натуральную величину, т.к. ,  а угол между проекциями А1В1 и В1 С1 составляет  Из этого следует, что 

Плоскость

Плоскость — это поверхность или фигура, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).

Способы задания плоскостей

Плоскость можно задать шестью способами:

1. Тремя точками.

2. Точкой и прямой.

3. Двумя параллельными прямыми.

4. Двумя пересекающимися прямыми.

5. Отсеком любой формы (треугольник, многоугольник, плоская замкнутая кривая).

6. Следами.

Примеры задания плоскости разными способами приведены на рисунках 3.3 … 3.8.

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекции. На рисунке 3.1 плоскость задана следами где  горизонтальный след,  фронтальный след.

Обозначение проекций следов:

 – горизонтальная проекция горизонтального следа;

 – фронтальная проекция горизонтального следа;

 – горизонтальная проекция фронтального следа;

– фронтальная проекция фронтального следа.

Плоскости в пространстве могут занимать разное положение относительно плоскостей проекций. Плоскости бывают общего положения и особого положения. К плоскостям особого положения относят плоскости уровня и проецирующие плоскости.

Плоскости общего положения

Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не параллельна (не перпендикулярна) ни одной из плоскостей проекций. На рисунке 3.1 приведён пример плоскости общего положения, которая задана следами. На рисунке 3.2, а плоскость общего положения задана треугольником, на рисунке 3.2, б плоскость задана параллельными прямыми.

Плоскости особого положения

К плоскостям особого положения относят плоскости уровня и проецирующие плоскости.

Плоскости уровня

Плоскости уровня – это плоскости,  параллельные одной из плоскостей проекций.

1. Плоскость, параллельная П1, называется горизонтальной. Горизонтальная плоскость в системе плоскостей проекций П1/П2 отображается на П2 в прямую линию, параллельную оси Ох. На П1 имеет натуральную величину (рис. 3.3).

2. Плоскость, параллельная П2,называется фронтальной. Фронтальная плоскость в системе плоскостей проекций П1/П2  отображается на П1 в прямую линию, параллельную оси Ох. На П2 имеет натуральную величину (рис. 3.4).

3 Плоскость, параллельная П3, называется профильной. Профильная плоскость отображается на П1 и П2 в прямые линии, параллельные осям Оу и Оz. На П3 имеет натуральную величину (рис. 3.5).

Проецирующие плоскости

Проецирующими называются плоскости, перпендикулярные  одной из плоскостей проекций.

1. Плоскость, перпендикулярная  П1, называется горизонтально-проецирующей. Такая плоскость отображается на П1 в прямую линию и имеет реальные углы наклона к П2 и П3 (рис. 3.6).

2. Плоскость, перпендикулярная  П2, называется фронтально-проецирующей. Такая плоскость отображается на П2 в прямую линию и имеет реальные углы наклона к П1 и П3 (рис. 3.7).

3. Плоскость, перпендикулярная  П3, называется профильно-проецирующей. Такая плоскость отображается на П3 в прямую линию и имеет реальные углы наклона к П1 и П2 (рис. 3.8).

Позиционные задачи

В начертательной геометрии рассматривают две группы задач: позиционные и метрические. Группу позиционных задач составляют задачи: 1) на взаимный порядок геометрических фигур; 2) на взаимную принадлежность геометрических фигур; 3) на взаимное пересечение геометрических фигур.

Точка и прямая, принадлежащие плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, принадлежащей данной плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

Задача. Построить горизонтальную проекцию точки М, принадлежащей плоскости . Графическое условие показано на рисунке 4.1.

Алгоритм решения задачи

1. Через точку  проводят прямую  принадлежащую заданной плоскости  (рис. 4.2).

2.Определяют точки пересечения прямой  с прямыми m и n и строят горизонтальную проекцию прямой  (рис. 4.3). Строят горизонтальную проекцию точки  на 

Прямые уровня плоскости общего положения

Горизонталь плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекции П1. Построение горизонтали показано на рисунках 4.4 – 4.7. В плоскости общего положения  которая задана треугольником  (рис. 4.4), проводят фронтальную проекцию горизонтали  (рис. 4.5). На фронтальной плоскости проекции П2 проекция горизонтали  всегда параллельна оси  Определяют точку пересечения горизонтали со стороной ВС:  (рис. 4.6). Точку  проецируют на П1, соединяют с вершиной треугольника  и получают горизонтальную проекцию горизонтали  (рис. 4.7).

Фронталь плоскости – это прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекции П2. Пример построения фронтали плоскости приведён на рисунке 4.8. Построение фронтали начинают на горизонтальной плоскости проекции. Горизонтальную проекцию фронтали  проводят в плоскости  параллельно оси  Определяют точки пересечения  с горизонтальными проекциями прямых  и . Точки  и  проецируют на П2, соединяют и получают фронтальную проекцию фронтали плоскости 

Задача. Построить горизонтальную проекцию треугольника АВС, принадлежащую плоскости  (рис. 4.9).

Решение. Горизонтальную проекцию треугольника АВС можно построить с помощью прямых уровня, например горизонталей. Через фронтальные проекции точек  и  проводят фронтальные проекции горизонталей  и  потом строят горизонтальные проекции этих прямых. На горизонтальные проекции горизонталей  и  с помощью вертикальных линий связи проецируют горизонтальные проекции точек  и  соединяют их и получают горизонтальную проекцию треугольника (рис. 4.10).

Линия наибольшего наклона

Линией наибольшего наклона называется прямая, принадлежащая данной плоскости и перпендикулярная её следу.

Линия наибольшего наклона относительно П1 называется линией наибольшего ската. Она перпендикулярна  горизонтальному следу данной плоскости или её горизонтали. Угол наклона линии наибольшего ската к П1 является углом наклона данной плоскости к П1.

Линия наибольшего наклона относительно П2 перпендикулярна фронтальному следу плоскости или её фронтали. Угол между линией наибольшего наклона и  П2 является углом наклона данной плоскости к П2.

Задача. Определить угол наклона данной плоскости к П1 (рис. 4.11).

Решение.

1. В заданной плоскости  строят проекции горизонтали  и 

2. К горизонтальной проекции горизонтали  проводят перпендикуляр из точки, которая принадлежит заданной плоскости. Его удобнее проводить из проекции точки В1. Линия ВК – линия наибольшего наклона к П1.

3. Для определения угла наклона  к П1 используют способ прямоугольного треугольника.

Пересечение прямой с плоскостью общего положения. Первая позиционная задача

Эта задача – одна из основных задач начертательной геометрии.

Алгоритм решения задачи

1. Через заданную прямую проводят вспомогательную плоскость особого положения.

2. Строят линию пересечения двух плоскостей – заданной и вспомогательной.

3. Определяют точку пересечения прямой с плоскостью.

4. Определяют видимость прямой относительно плоскости с помощью конкурирующих точек.

На рисунке 4.12 показана пространственная модель для решения этой типовой задачи. Рассмотрим пример, приведённый на рисунке 4.13, где прямая а общего положения пересекает плоскость  общего положения. Через горизонтальную проекцию прямой  проводят вспомогательную плоскость особого положения – горизонтально-проецирующую Строят линию пересечения двух плоскостей  Полученный отрезок DE принадлежит плоскости  поэтому искомая точка определяется на пересечении двух прямых а и DE, принадлежащих плоскости  Видимость прямой а относительно плоскости  определяется с помощью двух пар конкурирующих точек. Точки D и F конкурируют на П1:  На П1 отрезок F1K1 проекции прямой  невидим. Точки G и H конкурируют на П2:  На П2 отрезок F2K2 проекции прямой  видимый.

На рисунке 4.14 приведён пример, где прямая  общего положения пересекает плоскость   общего положения, которая задана следами.

Прямая, перпендикулярная  плоскости

Прямая перпендикулярна  плоскости, если она перпендикулярна  двум прямым плоскости, которые пересекаются между собой. Двумя пересекающимися прямыми берут горизонталь и фронталь плоскости общего положения (рис. 4.15).

На рисунке 4.16 показан пример построения перпендикуляра к плоскости общего положения. В плоскости  проводят горизонталь DE и фронталь DF. На П1 горизонтальную проекцию перпендикуляра проводят из проекции точки А1 до горизонтальной проекции горизонтали D1E1.

На П2 фронтальную проекцию перпендикуляра проводят из проекции точки А2 до фронтальной проекции фронтали D2F2.

Прямая, параллельная плоскости

Прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна прямой (любой), принадлежащей данной плоскости. На рисунке 4.17 прямая l параллельна плоскости общего положения, которая задана следами  т.к.  проекции l1 и l2 прямой l параллельны соответствующим проекциям  и  прямой m, которая принадлежит этой плоскости.

Символическая запись построения:

Задача. Построить фронтальную проекцию прямой с, параллельной плоскости которая задана параллельными прямыми a и . Графическое условие показано на рисунке 4.18.

Алгоритм решения задачи

1. В плоскости  строят прямую d,  параллельную прямой c и пересекающую прямые a и b в точках  и  

Построение прямой d показано на рисунке 4.19.

2. На П2 строят фронтальную проекцию прямой  параллельно  (рис. 4.20):

Пересечение двух плоскостей. Вторая позиционная задача

Две плоскости, которые не совпадают, пересекаются между собой.

 Две плоскости пересекаются по прямой линии, положение которой определяется двумя точками. Необходимо найти две точки, общие для обеих плоскостей, и соединить их.

1. Две плоскости - проецирующие (рис. 4.21). Если пересекаются две фронтально-проецирующие плоскости, то линией пересечения будет фронтально-проецирующая прямая 

Таким образом, если пересекаются две проецирующие плоскости одного названия, то линия пересечения – проецирующая прямая. В этом случае для построения линии пересечения достаточно определить положение одной точки и найти направление линия пересечения.

2. Если одна плоскость проецирующая, а другая – общего положения, то проекция линии пересечения плоскостей совпадает со следом  проецирующей плоскости.

На рисунке 4.22 плоскость задана прямыми, которые пересекаются, и является плоскостью общего положения, плоскость  – горизонтально-проецирующая, задана следами.

Линию пересечения  находят на горизонтальной плоскости проекции П1 там, где горизонтальный след  плоскости  пересекает горизонтальные проекции прямых  и   Потом точки линии пересечения  и  проецируют на соответствующие проекции прямых  и .

3. Если пересекаются плоскости общего положения, то линию пересечения находят способом вспомогательных сечений, которые выполняют с помощью плоскостей уровня или проецирующих плоскостей (рис. 4.23).

Алгоритм решения задачи

1. Две плоскости общего положения пересекают вспомогательной плоскостью особого положения.

2. Строят линию пересечения вспомогательной плоскости с первой заданной плоскостью.

3. Строят линию пересечения вспомогательной плоскости со второй заданной плоскостью.

4. Обозначают точку пересечения линий.

5. Повторяют пункты 1-4 для второй вспомогательной плоскости.

6. Соединяют две построенные точки, и получают проекции линии пересечения.

На рисунке 4.24 показано построение линии пересечения двух плоскостей общего положения, одна из которых задана параллельными прямыми, другая – треугольником.

Если пересекающиеся плоскости заданы следами, то линию пересечения проводят через точки пересечения горизонтальных и фронтальных следов (рис.4.25):  

Взаимно перпендикулярные плоскости

Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр второй плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

На рисунке 4.26 приведён пример построения плоскости которая перпендикулярна  плоскости  На П1 из проекции точки D1 проведена прямая  перпендикулярно  горизонтальной проекции горизонтали  На П2 из фронтальной проекции точки D2 проведена прямая  перпендикулярно  фронтальной проекции фронтали   Прямую m на П1 и П2 проводят произвольно, прямая m тоже проходит через точку D. Таким образом получают две взаимно перпендикулярные плоскости: 

В примере, приведённом на рисунке 4.27, плоскость  задана горизонталью и фронталью:  Для построения плоскости  перпендикулярной  плоскости  из точки А проводят прямую n перпендикулярную  натуральным величинам прямых h и f :  Прямую m, которая также проходит через точку А, проводят произвольно и получают плоскость  перпендикулярную  плоскости 

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым  второй плоскости. Пример параллельных плоскостей приведён на рисунке 4.28. Плоскость  задана прямыми а и b, которые пересекаются, плоскость  задана прямыми m и n, которые пересекаются. Плоскости  и  параллельны, т.к. прямая а плоскости  параллельна прямой m плоскости , а прямая b плоскости  параллельна прямой n плоскости .

Многогранники

Объединение конечного числа многоугольников называется многогранной поверхностью. Многогранная поверхность называется простой, если все её точки принадлежат данным многоугольникам или общим сторонам двух многоугольников, или являются вершинами многогранных углов, плоскими углами которых служат углы этих многоугольников.

Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются её гранями, стороны многоугольников – рёбрами, а вершины – вершинами многогранной поверхности.

Из всех простых многогранников практический интерес составляют пирамиды и призмы.

Пирамидой называют многогранник, все грани которого, кроме одной, имеют общую вершину (рис. 4.29, а). Поскольку все боковые грани пирамиды – треугольники, пирамида полностью определяется заданием её основания и вершины.

Призмой называют многогранник, ограниченный призматической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, не параллельными рёбрам призмы. Эти две грани называются основаниями призмы, грани призматической поверхности – боковыми гранями, а её рёбра – рёбрами призмы. Основаниями призмы являются равные между собой многоугольники, боковые рёбра призмы равны одно другому. Если основания не параллельны между собой, призму называют усечённой. Когда основаниями призмы являются перпендикулярные сечения призматической поверхности, призму называют прямой, если это условие не выполняется – наклонной (рис. 4.29, б).

На рисунке 4.30 показан пример многогранника в трёх проекциях, а в таблице 1 выполнено исследование этого многогранника, то есть, положения рёбер и граней относительно плоскостей проекций.

Метрические задачи

Под метрическими понимают задачи на определение расстояний, углов и площадей. Для решения большинства метрических и некоторых позиционных задач геометрические фигуры общего положения нужно привести в особое положение. Это прежде всего  касается прямых линий, плоскостей, гранных и криволинейных поверхностей. После преобразования комплексного чертежа дополнительные проекции дают возможность решать задачи проще. Методы преобразования проекций опираются на два основных принципа:

1) изменение взаимного положения объекта проецирования и плоскостей проекций;

2) изменение направления проецирования. На первом принципе основываются два способа преобразования проекций: замена плоскостей проекций и плоскопараллельное перемещение, а на втором – способ вспомогательного проецирования, который имеет две разновидности: прямоугольный и косоугольный.

Замена плоскостей проекций

Суть способа замены плоскостей проекций состоит в том, что положение точек, линий, плоских фигур в пространстве остаётся неизменным, а система плоскостей П1/П2 дополняется новыми плоскостями проекций – П4, П5 и т.д., которые образуют с П1 и П2, или между собой, системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Каждую новую систему плоскостей проекций выбирают так, чтобы получить положение, самое удобное для выполнения необходимого построения.

На рисунках 5.1, 5.2 изображена точка А. Перпендикулярно  плоскости П1 проводят новую плоскость проекции П4, на которую ортогонально проецируют точку А. Таким образом, вместо системы плоскостей проекций П1/П2 с проекциями точки А1, А2 получают новую систему П1/П4 с проекциями точки А1, А4. При такой замене расстояние  от старой проекции точки А1 к старой оси  равно расстоянию  от новой проекции точки А4 к новой оси 

Задача 1.

Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положения. Преобразовать эту прямую в проецирующую.

Решение. На рисунке 5.3 показано, как в пространстве определяется натуральная величина отрезка АВ. Для этого вводится дополнительная плоскость проекции П4 параллельно отрезку АВ и перпендикулярно  П1. Чтобы получить его натуральную величину на эпюре, достаточно провести новую плоскость П4, параллельно одной из проекций. На рисунке 5.4 новую ось  вводят параллельно горизонтальной проекции прямой А1 В1. На П2 измеряют расстояния от фронтальных проекций точек А2, В2 к старой оси  и откладывают на П4 на линиях связи, перпендикулярных новой оси  Эти расстояния на рисунке 5.4 показаны чёрточками. Чтобы преобразовать отрезок АВ в проецирующее положение, вводят ещё одну дополнительную плоскость проекции П5. Расстояния измеряют от старой оси  до проекций точек А1 и В1, откладывают на П5 от новой оси  и получают проекцию отрезка А5В5. Отрезок АВ на П5 отображается в точку.

Задача 2. Определить кратчайшее расстояние от точки А до прямой l

Решение. На рисунке 5.5 показан пример этой задачи. Параллельно горизонтальной проекции прямой l1 вводят дополнительную плоскость проекции П4 и получают натуральную величину прямой (проекция l4). Потом вводят еще одну дополнительную плоскость проекции П5, на которую прямая проецируется в точку (проекция l5). Кратчайшим расстоянием от точки до прямой будет отрезок А5К5.

Задача 3. Определить кратчайшее расстояние между параллельными прямыми.

Решение. Если прямые занимают проецирующее положение (рис. 5.6), расстояние определяют на той плоскости проекции, где прямые спроецированы в точки. На рисунке 5.7 отрезок А1В1 будет кратчайшим расстоянием между параллельными прямыми а и b.

Если параллельные прямые занимают фронтальное (рис. 5.8) или горизонтальное положение (прямые уровня), тогда выполняют одну замену плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекции П5 вводят перпендикулярно  натуральным величинам проекций прямых  и  На П5 отрезок А5В5 имеет натуральную величину расстояния между прямыми a и b.

В том случае, когда параллельные прямые занимают общее положение, выполняют двойную замену плоскостей проекций (рис. 5.9). На П4 оба отрезка C4D4 и E4F4 проецируются в натуральную величину, а на П5 отображаются в точки. Кратчайшим расстоянием между параллельными отрезками CD и EF будет проекция отрезка А5В5.

Задача 4. Определить кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Решение. Если одна из скрещивающихся прямых занимает проецирующее положение, а вторая - прямая общего положения (рис. 5.10), расстоянием между ними будет перпендикуляр C1D1, проведённый от проекции прямой  до проекции прямой  (рис. 5.11).

Если одна из скрещивающихся прямых горизонталь или фронталь, а вторая - прямая общего положения, тогда вводят одну дополнительную плоскость проекции П4 перпендикулярно той прямой, которая имеет натуральную величину. На рисунке 5.12 новая ось проведена перпендикулярно фронтальной проекции прямой . На П4 кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми  и  будет натуральная величина отрезка C4D4 .

На рисунке 5.13 приведён пример, когда оба отрезка занимают общее положение. В таком случае выполняют двойную замену плоскостей проекций. Вводят дополнительную плоскость проекции П4 параллельно отрезку E1F1. Новая ось  проведена параллельно горизонтальной проекции отрезка E1F1. На П4 отрезок E4F4 имеет натуральную величину, отрезок СD в новой системе П1/П4 занимает общее положение. Потом вводят еще одну дополнительную плоскость проекции П5 перпендикулярно  натуральной величины отрезка EF – проекции E4F4. На П5 проекция E5F5 отрезка отображается в точку. Отрезок СD в системе П4 /П5 остаётся прямой общего положения. Кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми СD и EF будет отрезок А5В5. Это перпендикуляр, проведенный от E5F5 к C5D5.

Задача 5. Определить углы наклона треугольника ABC к плоскостям проекций П1 и П2.

Решение. Для того, чтобы определить угол наклона треугольника ABC к П1, строят горизонтальную прямую (горизонталь) АН, принадлежащую плоскости . Построение горизонтали начинают на фронтальной  плоскости проекции П2, где её проекция параллельна оси  (рис. 5.14). Горизонтальная проекция горизонтали  имеет натуральную величину. Перпендикулярно   вводят дополнительную плоскость проекции П4. На П4 проекция отрезка отображается в точку, а плоскость треугольника в прямую линию:  Таким образом определяется искомый угол наклона  к П1.

Аналогично определяют угол наклона плоскости треугольника ABC к П2 (рис. 5.15). Строят фронтальную прямую (фронталь) AF, принадлежащую плоскости Фронталь начинают строить на П1, где её проекция A1F1 параллельна оси  Фронтальная проекция фронтали A2F2 имеет натуральную величину. Перпендикулярно  A2F2 вводят дополнительную плоскость проекции П4. На П4 проекция отрезка A4F4 отображается в точку, а плоскость треугольника в прямую линию:   Искомый угол наклона  к П2 определяется между линией, проведенной из проекции вершины В4 параллельно оси  и проекцией треугольника

Задача 6. Определить кратчайшее расстояние от точки до плоскости.

Решение. На рисунке 5.16 показан пример, где плоскость  занимает общее положение. В этом случае выполняют только одно преобразование. Дополнительную плоскость проекции П4 вводят перпендикулярно  натуральной величины прямой уровня, принадлежащей треугольнику ВСD. В нашем случае это горизонталь h. На П4 проекция плоскости треугольника  отображается в прямую линию. Кратчайшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр , проведенный из проекции точки А4 к проекции плоскости 

Задача 7. Построить натуральную величину плоскости.

Решение. В том случае, когда плоскость занимает особое положение, выполняют одну замену плоскостей проекций. На рисунке 5.17 плоскость, заданная треугольником АВС занимает фронтально-проецирующее положение. Дополнительную плоскость проекции П4 вводят параллельно плоскости  Новую ось  проводят параллельно фронтальной проекции треугольника  На П4 проекция треугольника  имеет натуральную величину.

Если плоскость в системе П1/П2 занимает общее положение, выполняют двойную замену плоскостей проекций. На рисунке 5.18 показано, как плоскость общего положения, заданная треугольником DEF, преобразуется на П4 в проецирующее положение, а на П5 имеет натуральную величину.

Задача 8. Определить угол между двумя гранями.

Решение. Если линия пересечения двух граней занимает общее положение, выполняют двойную замену плоскостей проекций. На рисунке 5.19 линией пересечения двух граней  и  является ребро АВ общего положения. Дополнительную плоскость проекции П4 вводят параллельно ребру АВ. Новая ось  проведена параллельно горизонтальной проекции ребра А1В1. На П4 проекция ребра А4В4 имеет натуральную величину. Ещё одну плоскость проекции П5 вводят перпендикулярно  натуральной величине ребра АВ. Ось  проводят перпендикулярно  проекции А4В4. Искомый угол  между двумя гранями определяется на П5, где ребро АВ отображается в точку, а грани  и  в прямые линии: 

Плоско-параллельное перемещение

Если при способе замены плоскостей проекций геометрические фигуры оставляют на месте, а к ним определённым образом подбирают плоскости проекций, то при способе плоско-параллельного перемещения делают наоборот: плоскости проекций П1 и П2 оставляют неизменными, а геометрические фигуры перемещают определённым образом до желаемого положения.

Задача 1. Прямую общего положения повернуть параллельно оси  так, чтобы прямая занимала фронтальное положение. Преобразовать эту прямую в горизонтально-проецирующую.

Решение. Горизонтальную проекцию отрезка А1В1 перемещают параллельно оси  в положение  (рис. 5.20). При этом  Чтобы получить фронтальную проекцию отрезка из горизонтальных проекций точек  и  проводят на П2 вертикальные линии связи, а из фронтальных проекций  и  проводят горизонтальные линии связи. Там, где линии связи пересекаются, получают фронтальные проекции точек  и. Отрезок  будет иметь натуральную величину. Потом фронтальную проекцию отрезка  поворачивают перпендикулярно оси  в положение 

Из фронтальной проекции отрезка проводят на П1 вертикальную линию связи, а из горизонтальной проекции отрезка  проводят горизонтальную линию связи. Там где линии связи пересекаются, получают горизонтальную проекцию отрезка . Эта проекция отрезка на П1 отображается в точку. Таким образом, прямая общего положения преобразуется в горизонтально-проецирующую прямую.

Задача 2. Плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, переместить до фронтально-проецирующего положения (рис. 5.21).

Решение. В плоскости треугольника АВС нужно провести горизонталь  и повернуть её в положение, перпендикулярное  П2. Тогда и треугольник, которому принадлежит эта горизонталь, станет перпендикулярным  П2. Поскольку построение выполняют не указывая оси вращения, то проекцию  располагают произвольно, но так, чтобы проекция горизонтали  стала перпендикулярной   На проекции горизонтали  отмечают точки  и  сохраняя расстояние   Новое положение точек  и получают с помощью циркуля засечками. При этом горизонтальная проекция треугольника сохраняет свой вид и величину  изменяется только её положение. На пересечении линий связи, проведенных из точек  перпендикулярных  оси  и линий связи, проведенных из точек  параллельных оси  получают фронтальную проекцию треугольника в виде прямой линии, то есть фронтально-проецирующего положения  . Тут также можно отметить угол α – угол наклона этой плоскости к горизонтальной плоскости проекции.

Задача 3. Плоскость общего положения, заданную треугольником АВС, переместить в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекции П1.

Решение. Чтобы получить такое положение треугольника, сначала решают задачу 2. Далее фронтальную проекцию треугольника в виде прямой линии  перемещают параллельно оси , причём проекция  сохраняет вид и величину, полученную при решении задачи 2  Горизонтальную проекцию треугольника получают на пересечении вертикальных линий связи, проведённых из фронтальной проекции треугольника , и горизонтальных линий связи, проведённых из  Проекция   будет натуральной величиной треугольника АВС (рис. 5.22).

С помощью способа плоско-параллельного перемещения определяют расстояние от точки до плоскости, заданной разными способами, а также расстояние между двумя параллельными и скрещивающимися прямыми и т.д..

Задача 4. Определить угол между двумя гранями при ребре АD.

Решение. В основе этой задачи лежат задачи 1 и 2, то есть двугранный угол при ребре AD спроецируется в натуральную величину, если ребро AD спроецируется в точку, а боковые грани – в прямые линии.

Горизонтальную проекцию фигуры перемещают вдоль оси так, чтобы ребро АD стало параллельным оси , причём 

Точки В и С перемещают с помощью циркуля засечками. Перемещенная фигура не должна изменить вид и размер заданной.

Фронтальную проекцию двугранного угла получают на пересечении линий связи, направления которых указано стрелками.

При втором перемещении фронтальную проекцию двугранного угла перемещают так, чтобы ребро AD стало перпендикулярным оси   Проекции точек  и  определяют с помощью циркуля засечками. Горизонтальную проекцию угла α получают с помощью горизонтальных и фронтальных линий связи. В результате двойного преобразования точки  и  совпали в одну точку, а грани ' и  – в прямые линии. Угол α определяет натуральную величину угла при ребре AD (рис. 5.23).

Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции

Этот способ является отдельным случаем способа плоско-параллельного перемещения. Вращение используют для определения натуральной величины прямой или плоскости.

При вращении вокруг некоторой неподвижной прямой (ось вращения) каждая точка фигуры, которая вращается, перемещается в плоскости, перпендикулярной оси вращения (плоскость вращения). Точка перемещается по окружности, центр которого находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (центр вращения), а радиус окружности равен расстоянию от точки вращения до центра (радиус ). Пусть точка А вращается вокруг оси і, перпендикулярной  П1 (рис. 5.24, а). Через точку А проводят плоскость α, перпендикулярную  оси вращения и параллельную плоскости П1. При вращении точка А описывает в плоскости α окружность радиуса R, который равен длине перпендикуляра из точки А к оси і. Окружность, описанная в пространстве точкой А радиусом  проектируется на плоскость П1 без искажения; на плоскости П2 эта окружность изображена отрезком прямой, длина которого равна 

На (рис. 5.24, б) изображено вращение точки А вокруг оси і, перпендикулярной  П2. Окружность,  описанная точкой А, проектируется без искажения на плоскость П2. Из точки , как из центра, проведена окружность радиусом  на плоскости П1 эта  окружность изображена отрезком прямой, длина которого равна 

На рисунке 5.25 показан пример построения натуральной величины отрезка АВ общего положения, где ось вращения и горизонтально-проецирующая. Горизонтальную проекцию отрезка А1В1 вращают вокруг проекции оси  При этом проекция точки А1 на П1 перемещается дугой окружности в положение  а положение проекции точки В1 остаётся неизменным, т.к. точка В принадлежит неподвижной оси і. Новое положение горизонтальной проекции отрезка  должно быть параллельно оси  На П2 фронтальная проекция точки А2 перемещается по прямой линии параллельно оси  в положение  Таким образом, фронтальная проекция отрезка  будет иметь натуральную величину.

Задача. Последовательным вращением вокруг осей, перпендикулярных  плоскостям проекций, прямую АВ общего положения сделать горизонтально-проецирующей (рис. 5.26).

Решение. Оси вращения выбирают так, чтобы они пересекали прямую АВ. Этим упрощается построение, поскольку точка прямой, лежащей на оси, будет неподвижной, а поэтому для определения повернутого положения прямой остаётся повернуть только одну её точку.

Сначала прямую АВ поворачивают вокруг вертикальной оси і до фронтального положения. Для этого достаточно повернуть точку В1 вокруг центра  до положения В1 так, чтобы повернутая проекция А1В1 стала перпендикулярной  линии связи и потом найти фронтальную проекцию  точки В. Соединяют точки А2 и . Прямая АВ стала параллельной плоскости П2, следовательно, отрезок   равен натуральной величине отрезка АВ, угол α равен углу наклона прямой АВ к плоскости П1. Вторым вращением вокруг оси  которая перпендикулярна  П2, прямую АВ ставят в положение  перпендикулярно  плоскости П1. Горизонтальная проекция прямой АВ проецируется на П1 в точку 

На рисунке 5.27 показан пример построения натуральной величины плоскости особого положения, которая задана четырёхугольником ABCD. Фронтальную проекцию  фронтально-проецирующей плоскости вращают вокруг оси і в положение, параллельное оси  и с помощью линий связи на П1 получают натуральную величину четырёхугольника 

Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекции

На рис. 5.28 изображен отрезок прямой АВ общего положения. Параллельно плоскости П1 проводят прямую і, пересекающую отрезок АВ в точке К. Приняв прямую і за ось вращения, поворачивают вокруг неё отрезок АВ так, чтобы он стал параллельным плоскости П1. В повернутом положении отрезка АВ его фронтальная проекция  совпадает с фронтальной проекцией  оси вращения і, а горизонтальная проекция А1В1 определит натуральную величину отрезка АВ.

Построение горизонтальной проекции  повернутого положения отрезка выполняют так. Точки А и В при вращении вокруг оси и переместятся в горизонтально-проецирующих плоскостях α и β, перпендикулярных  оси вращения і . Таким образом, проекции А1 и В1 концов отрезка АВ в новом его положении  строят на следах, соответственно,  и этих плоскостей. Радиус вращения точек А и В спроецируется на плоскость П1 при горизонтальном положении отрезка АВ в натуральную величину. С помощью прямоугольного треугольника находят натуральную величину радиуса  точки А и откладывают  от точки С1 (центра вращения точки А) на следе .Соединив полученную точку А1 с проекцией К1 неподвижной точки К пересечения оси і с прямой АВ, находят горизонтальную проекцию прямой АВ после вращения АВ вокруг оси і. На пересечении проекции А1К1 со следом  имеем горизонтальную проекцию В1 точки В. Проекция А1В1 равна натуральной величине отрезка АВ.

Построение натуральной величины плоской фигуры способом вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций, показано на рис. 5.29.

С помощью этого способа треугольник АВС приведен в положение, параллельное плоскости П1, после чего на плоскости П1 он будет спроецирован в натуральную величину. Фронтальная проекция  треугольника АВС после вращения вокруг оси і совпала с фронтальной проекцией оси Для построения треугольника  из В1 на проекцию  оси вращения і  опускают перпендикуляр. Способом прямоугольного треугольника находят натуральную величину радиуса  вращения точки В и переносят её на опущенный перпендикуляр (след плоскости α). Точка В1 ' – проекция вершины В данного треугольника в его положении, параллельном плоскости П1.

Проведя через точки  и  прямую до пересечения с перпендикуляром, опущенным из  на  (следом плоскости β), находят точку  которая будет горизонтальной проекцией вершины С треугольника АВС в его положении, параллельном плоскости П1. Вершина А треугольника неподвижна как точка, принадлежащая оси вращения. Соединив её проекцию А1 с проекциями  и прямыми, строят горизонтальную проекцию треугольника  параллельного плоскости П1, то есть натуральную величину треугольника АВС.

Кривые линии и поверхности

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики. определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Кривые линии

В начертательной геометрии кривые линии важно рассматривать как образующие кривых поверхностей. Кривая линия может быть образована перемещением точки в пространстве, пересечением кривых поверхностей плоскостью, взаимным пересечением двух поверхностей. Кривые линии бывают плоскими и пространственными.

Плоскими называются кривые линии, все точки которых лежат в одной плоскости(рис. 6.1), пространственными – кривые линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости (рис. 6.2).

Цилиндрическая винтовая линия – пространственная кривая линия, которая образуется движением точки на поверхности прямого кругового цилиндра, который вращается вокруг своей оси. Построение проекций цилиндрической винтовой линии показан на рисунке 6.3, где R – радиус цилиндра, h – шаг винтовой линии.

Смещение точки вдоль образующей за один оборот цилиндра называется шагом цилиндрической винтовой линии. Если шаг h постоянный, тогда винтовая линия пересекает все образующие цилиндра под одним и тем же углом. Винтовая линия бывает правая и левая. На рисунке 6.3 направление винтовой линии – правое. Высота цилиндра, которая равна шагу винтовой линии h, разделена на 12 равных частей: n = 12. При повороте точки на 360◦ /n она должна переместится параллельно оси цилиндра на 1/n шага.

При развёртывании цилиндрической поверхности на плоскость винтовая линия преобразуется в прямую. Угол подъёма винтовой линии  зависит от радиуса цилиндра R и шага h: 

Коническая винтовая линия – пространственная кривая линия, которая образуется движением точки на поверхности прямого кругового конуса, который вращается вокруг своей оси. Построение проекций конической винтовой линии показано на рисунке 6.4.

Классификация кривых поверхностей

Поверхностью называют геометрическое место последовательных положений линии (образующих), которые перемещаются в пространстве по какому - то закону (направляющей).

Способы задания поверхностей: 1. Аналитический; 2. Каркасом; 3. Кинематический; 4. Определителем.

Аналитический способ задания поверхности – это задание поверхности уравнением. Этот способ изучается в аналитической геометрии.

Задание поверхности  каркасом – это задание поверхности достаточно плотной сетью точек или линий, принадлежащих этим поверхностям (рис. 6.6).

Если каркас поверхности задан точками, он называется точечным, если линиями, - линейным. На рисунке 6.7 показан линейный каркас, состоящий из двух семей линий: 

Кинематический способ задания поверхностей, в основном, изучается в курсе начертательной геометрии. Поверхность образуется непрерывным перемещением образующей линии в пространстве.

Образующая линия может быть: прямая и кривая; плоская и пространственная; закономерная и незакономерная. Образующая в процессе перемещения может сохранять или менять свою форму. В зависимости от вида образующей и характера её перемещения все поверхности делятся на классы.

По виду образующей поверхности делятся на два класса:

прямолинейные – где образующей является прямая линия;

криволинейные – где образующей является  кривая линия.

По признаку развёртывания поверхности делятся также на два класса:

развёртываемые – поверхности, которые могут быть точно совместимы с одной плоскостью без складок и разрывов (конические, цилиндрические и другие); развёртываемыми могут быть только те поверхности, в которых два бесконечно близких положения образующих или параллельны между собой, или пересекаются.

неразвёртываемые –поверхности, которые можно совместить с одной плоскостью приблизительно (сфера, эллипсоид и т.д.).

По законам образования:

закономерные – поверхности, которые можно задать уравнением; незакономерные – поверхности, которые точным уравнением описать нельзя.

По способу образования: поверхности переноса; поверхности вращения; винтовые поверхности.

Кроме графического способа поверхность можно задать определителем.

Определителем называется совокупность параметров, отличающих данную поверхность от всех других. Определитель имеет геометрическую и алгоритмическую части 

Геометрической частью определителя поверхности являются геометрические фигуры, с помощью которых связываются параметры множества линий пространства. Алгоритмическая часть характеризует закон движения образующей.

Для большей наглядности ряд поверхностей обычно задаются очерком.

Очерк поверхности – это проекция контурной линии поверхности, то есть линия, которая ограничивает данную поверхность на чертеже и отделяет видимую её часть от невидимой.

Классификация поверхностей показана на рис. 6.5.

Цилиндрическая поверхность

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямой образующей по кривой направляющей (рис. 6.8). Все образующие параллельны между собой,  несобственная точка.

Определитель цилиндрической поверхности: где: l – образующая, прямая линия,

m – направляющая, кривая пространственная линия,

Коническая поверхность

Коническая поверхность образуется путём перемещения прямой образующей линии по кривой направляющей (рис. 6.9). Все образующие пересекаются в одной точке. Эта точка называется вершиной  конической поверхности (собственная точка).

Определитель конической поверхности:  где: l – образующая, прямая линия,

m – направляющая, кривая линия,

S – вершина (собственная точка).

Поверхность с ребром поворота

Поверхность с ребром поворота (торс) образуется перемещением образующей, которая во всех своих положениях является касательной к направляющей (пространственной кривой линии). Определитель торсовой поверхности:  де: l –  образующая, пряма линия,

m – направляющая, кривая линия,

Кривая направляющая называется ребром поворота. Пример поверхности показан на рисунке 6.10.

Поверхности с двумя направляющими линиями

Эта группа поверхностей имеет две направляющие. Образующая (прямая линия) беспрерывно перемещается по двум направляющим и остаётся параллельной плоскости, которая называется плоскостью параллелизма. Плоскостью параллелизма может быть проецирующая плоскость, или плоскость уровня, а также плоскость проекции. Эта группа поверхностей называется “Поверхности с плоскостью параллелизма”. Их еще называют поверхностями Каталана.

Есть три поверхности Каталана:

- косая плоскость (гиперболический параболоид),

- коноид,

- цилиндроид.

Определитель  поверхностей Каталана:  где: l – образующая, прямая линия ,

m, n – направляющие, кривые или прямые линии,

 – плоскость параллелизма.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид относят до группы поверхностей с плоскостью параллелизма. У этой поверхности обе направляющие m и n скрещивающиеся прямые линии (рис. 6.11).

Коноид

Коноид относят к группе поверхностей с плоскостью параллелизма. У коноида одна направляющая – прямая линия, вторая направляющая – кривая линия (рис. 6.12).

Цилиндроид

Цилиндроид относят к группе поверхностей с плоскостью параллелизма. У цилиндроида обе направляющие – кривые линии (рис. 6.13).

Поверхности вращения

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i (рис.96). Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i.

Прямолинейные поверхности вращения

Прямолинейной поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением образующей (прямой линии)вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим три случая.

1.  Образующая, прямая l  и ось і пересекаются – круговой конус (рис. 6.14,а).

2. Образующая, прямая l параллельна оси вращения – круговой цилиндр (рис. 6.14,б).

3. Образующая, прямая ll скрещивающаяся с осью  вращения і – однополосный гиперболоид вращения (рис. 6.15).

Криволинейные поверхности вращения 

У криволинейных  поверхностей образующая – кривая линия.

Поверхности, образованные вращением образующей линии вокруг неподвижной оси, называют поверхностями вращения. Образующая может быть как плоской кривой, так и пространственной.

Определитель поверхностей  вращения: , где: l – образующая (прямая или кривая линия),

i – ось вращения.

К поверхностям вращения относят:

1. Сферу,

2. Тор,

3. Эллипсоид вращения,

4. Параболоид вращения,

5. Гиперболоид вращения.

Окружности на поверхности вращения называются параллелями (рис. 6.16, 6.17). Параллель образуется плоскостью, которая пересекает поверхность перпендикулярно  оси вращения. При вращении образующей каждая точка на ней описывает окружность с центром на оси вращения і.

Параллель, диаметр которой больше  диаметра других параллелей, называется экватором (рис. 6.16, 6.17).

Параллель, диаметр которой меньше диаметра других параллелей, называется горлом (рис. 6.16, 6.17).

В общем случае поверхность вращения может иметь несколько  экваторов и горловин. Плоскости, проходящие через ось вращения, называются меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность – меридианами.

Меридиональная плоскость Σ, параллельная плоскости проекций, называется главной меридиональной плоскостью, а линия её пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом (рис. 6.16, 6.17).

На рисунке 6.17 приведён пример поверхности вращения общего вида, где построены эти линии, а также построена кривая линия l на этой поверхности. Отдельные точки А, E, B, N, C, D, принадлежащие поверхности, строят с помощью параллелей, объединяют и получают кривую линию l.

Рассмотрим некоторые поверхности вращения:

Сфера

Поверхность сферы образуется при вращении окружности вокруг оси (диаметра) (рис. 6.18). Сферу можно рассматривать как отдельный случай тора.

Тор

Поверхность тора образуется при вращении образующей окружности вокруг оси і. Известны два вида тора:

а)открытый – образующая окружность не пересекает ось вращения (рис. 6.19,а);

б) закрытый – образующая окружность  пересекается с осью  вращения (рис. 6.19,б).

Эллипсоид вращения

Поверхность эллипсоида вращения, образуется при вращении эллипса вокруг его оси (рис. 6.20).

Параболоид вращения

Поверхность параболоида вращения образуется при вращении параболы вокруг её оси (рис. 6.21).

Гиперболоид вращения

Однополостной гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг её воображаемой оси (рис. 6.22), а двуполостной – при вращении гиперболы вокруг её действительной оси (рис. 6.23).

Винтовые поверхности

Винтовые поверхности образуются винтовым движением образующей по винтовой направляющей линии. Линейчатые винтовые поверхности называются геликоидами.

Определитель винтовых поверхностей:  где: l – образующая, прямая линия (может быть и кривая),

m – направляющая, винтовая линия,

n –вторая направляющая, винтовая линия (для открытых геликоидов),

i – неподвижная прямая (ось).

Прямой закрытый геликоид

Образуется движением прямой образующей по двум направляющим. Одна направляющая – винтовая линия, вторая – ось винтовой линии. Образующая пересекает ось винтовой линии под прямым углом (рис. 6.24).

Косой закрытый геликоид

Образуется движением прямой образующей по двум направляющим. Одна направляющая – винтовая линия, вторая – ось винтовой линии. Образующая пересекает ось винтовой линии и имеет постоянный угол наклона к ней (рис. 6.25).

Прямой открытый геликоид

Образующая прямая линия с осью не пересекается и движется по двум кривым направляющим (рис. 6.26).

Косой открытый геликоид

У этой поверхности угол между образующей прямой линией и осью не равен  (рис. 6.27).

Развёрнутый геликоид (торс)

У этой поверхности образующая (прямая линия) касательная к направляющей винтовой линии (рис. 6.28).

Циклические поверхности

Циклическими называются поверхности, образованные перемещением окружности постоянного или переменного радиуса по направляющей линии, которая проходит через центр окружности. К циклическим принадлежат каналовые и трубчатые поверхности. Каналовая поверхность образуется движением окружности смешанного радиуса по кривой направляющей, при этом плоскость окружности в любом положении перпендикулярна  направляющей (рис. 6.29).

Трубчатая поверхность отличается от каналовой тем, что радиус образующей окружности или образующей сферы постоянный (рис. 6.30).

Поверхности переноса

Поверхность переноса образуется непрерывным поступательным перемещением образующей кривой линии, которая в каждом новом положении остаётся параллельной первичному. На рис. 6.31 поверхность переноса задана начальным положением образующей АВС и направлением переноса s. Кривые линии  представляют собой ряд положений образующей линии и определяют сетку поверхности переноса.

Точка и линия на кривой поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии (прямой или кривой), которая принадлежит этой поверхности. Для построения точки A на криволинейной поверхности вращения, ось вращения которой перпендикулярна  П1, через фронтальную проекцию точки проводят параллель (рис. 6.32,а). На П2 эта параллель отображается в прямую линию перпендикулярную  оси вращения. Потом параллель проецируют на П1, где она изображается в виде окружности. Радиус параллели R измеряют от  оси вращения до контура поверхности. Из фронтальной проекции точки А проводят вертикальную линию связи на горизонтальную проекцию параллели и получают проекцию точки А1 на П1. На прямолинейных поверхностях точки строят с помощью прямых линий, которые образуют поверхность. На рисунке 6.32,б показан пример построения точки В на поверхности прямого кругового конуса. Через фронтальную проекцию точки В2 проводят образующую линию, которая проходит через вершину S2 и пересекает основу конуса (окружность) в точке М2. Потом строят горизонтальную проекцию  образующей  S1 М1 и находят на ней горизонтальную проекцию точки В1.

На рисунке 6.33 показан пример построения точек на поверхности наклонённого конуса (общего вид). Точки  строят с помощью прямых образующих линий, которые проходят через вершину конуса и пересекают основу – направляющую кривую линию (окружность).

На рисунке 6.34 показан пример построения точек  на поверхности наклонённого цилиндра. Проекции точек также  строят с помощью прямых образующих линий, которые параллельны между собой.

На рисунках 6.35 та 6.36 показан пример построения точек на криволинейных поверхностях, которые называются “открытый тор” и “закрытый тор”

На поверхности открытого тора (рис. 6.35) точки строят с помощью параллели (окружности), которую проводят через точки М і N.

На поверхности закрытого тора (рис. 6.36) построена кривая линия l, которая проходит через точки  Точки строят также с помощью параллелей.

Сечение поверхности плоскостью

При сечениях поверхностей плоскостью образуется плоская кривая линия, каждая точка которой является точкой пересечения линии каркаса поверхности с секущей плоскостью. Для построения точек линии сечения могут быть использованы метод вспомогательных секущих плоскостей и методы преобразования плоскостей проекций. Обычно выбирают вспомогательные секущие плоскости уровня или проецирующие плоскости, что даёт возможность определить множество точек пересечения линий каркаса поверхности со вспомогательной плоскостью. Способы преобразования плоскостей проекций позволяют перевести плоскость общего положения в проецирующее положение и этим упростить решение задачи.

Сечение поверхности плоскостью особого положения

При сечении поверхности плоскостью особого положения получаем плоскую фигуру, которая называется сечением. Эта фигура принадлежит секущей плоскости.

Определение проекций линии сечения обычно начинают с построения опорных точек – точек, размещённых на крайних контурных образующих поверхности, наивысших и нижайших точек фигуры, точек, определяющих границу видимости. После этого определяют произвольные точки фигуры сечения.

Конические сечения

На поверхности прямого кругового конуса от сечения плоскостью можно получить такие линии:

1) две образующие, если секущая плоскость α проходит через вершину конуса (рис. 7.1, а);

2) окружность, если секущая плоскость α перпендикулярна  оси конуса (рис. 7.1, б);

3) гиперболу, если секущая плоскость α параллельна двум произвольным образующим конуса или если эта плоскость параллельна оси конуса (7.2, а);

4) параболу, если секущая плоскость α параллельна одной из образующих конуса (рис. 7.2, б);

5) эллипс, если секущая плоскость α пересекает все образующие конуса и она не перпендикулярна  оси конуса (рис. 7.2, в).

Задача 1. Построить фронтальную проекцию линии сечения на поверхности прямого кругового конуса.

Решение. На рис. 7.3 показано сечение конуса фронтальной плоскостью α, которая не проходит через вершину конуса. В этом случае на боковой поверхности конуса получают гиперболу, которая проецируется на плоскость П1 в прямую линию, параллельную двум образующим конуса, а на плоскость П2 –  в натуральную величину. Точки К и L гиперболы, в которых  она пересекается с плоскостью П1, определяются пересечением окружности основания конуса со следом секущей плоскости . Фронтальные проекции К2 и L2 этих точек будут на оси Ох. Для построения фронтальной проекции R2 опорной точки R – вершины гиперболы – из точки S1, как из центра, проводят окружность, радиус которой равен расстоянию от точки S1 до следа  Эта окружность является горизонтальной проекцией сечения конуса горизонтальной плоскостью, которая проходит через точку R.

Чтобы найти фронтальную проекцию этой окружности, через R1 проводят линию связи до пересечения с фронтальной проекцией правой образующей конуса в точке R2. Отрезок прямой, проведённый через точку R2 параллельно оси Ох, является проекцией на плоскость П2 вспомогательной окружности радиуса S1 R1. Точка R2 – середина этого отрезка.

Фронтальные проекции точек M, N, Q, принадлежащих гиперболе, можно построить другим способом. Эти точки находят с помощью образующих SA, SB и SC конуса. Соединив все точки К2, М2, N2, R2, Q2, C2, получают фронтальную проекцию гиперболы.

Задача 2. Построить горизонтальную проекцию линии пересечения на поверхности прямого кругового конуса. Секущая плоскость α – фронтально-проецирующая.

Решение. Поскольку плоскость α параллельна одной из крайних образующих конуса, то в сечении будет парабола. Фронтальная проекция параболы совпадает со следом проекции  секущей плоскости α (рис. 7.4).

Для построения горизонтальной проекции параболы проводят несколько вспомогательных горизонтальных плоскостей  каждая из которых перерезает поверхность конуса по окружности (параллели ), а плоскость α – по прямой, перпендикулярной  П2. На пересечении горизонтальных проекций этих прямых с горизонтальными проекциями соответствующих окружностей получают точки  и  Горизонтальную проекцию  вершины параболы, а также точки  которые лежат и на параболе, и на окружности основы конуса, получают непосредственно, проведя линию связи из точек  и  Если точки  соединят плавной кривой, получат горизонтальную проекцию параболы. Штриховая линия  – горизонтальная проекция прямой, по которой плоскость α пересекает плоскость основания конуса.

Задача 3. Построить горизонтальную проекцию линии сечения поверхности прямого кругового конуса. Секущая плоскость  – фронтально-проецирующая (рис. 7.5).

Решение. Поскольку плоскость  не перпендикулярна оси конуса, то в сечении получают эллипс, большая ось которого АВ отображается на плоскость П2 без искажения (А2 В2), а малая ось эллипса отображается на плоскость П2 в точку, размещённую посередине отрезка (А2 В2).

Горизонтальные проекции точек эллипса M, L, С, D, E, F, K, N получают с помощью параллелей поверхности соответственно  Соединив последовательно полученные точки, получают горизонтальную проекцию эллипса.

Задачу можно решать также с помощью образующих. Для этого через выбранные точки   на фронтальном следе плоскости  и вершину Ѕ2 конуса проводят сначала фронтальные проекции образующих, а потом – горизонтальные. По линиям связи находят горизонтальные проекции этих точек на горизонтальных проекциях образующих.

Построение натуральной величины фигуры сечения

Натуральную величину фигуры сечения на поверхности прямого кругового цилиндра можно найти заменой плоскостей проекций. Параллельно плоскости  вводят дополнительную плоскость проекции П4. Система плоскостей проекций П1/П2 заменяется на П2/П4. От фронтальных проекций точек, лежащих на сечении, проводят линии связи, перпендикулярно  новой оси . На П4 строят проекции точек А4, В4, С4, D4, M4, N4, K4, L4. Координаты точек берут на П1 и откладывают от новой оси  до проекций точек на П4. Полученные точки соединяют плавной кривой и получают натуральную величину фигури сечения, кривую второго порядка – эллипс (рис. 7.6), где А4 В4 – большая ось эллипса, С4D4 – малая ось эллипса.

Задача 1. Построить натуральную величину фигуры сечения прямого кругового конуса. Секущая плоскость α – фронтально-проецирующая (рис. 7.7).

Решение. Эту задачу можно решить способом замены плоскости проекции. Сначала строят горизонтальную проекцию линии сечения. Поскольку секущая плоскость параллельна только одной образующей, то фигурой сечения будет парабола. Опорные точки А, В, С получают там, где секущая плоскость α пересекает фронтальную проекцию очерка конуса (контур). Текущие точки D, Е строят с помощью параллели на поверхности конуса. Горизонтальная проекция параболы не имеет натуральной величины. Для построения натуральной величины вводят дополнительную плоскость проекции П4, параллельную секущей плоскости α. Координаты всех точек параболы берут на П1 (по оси у) и с помощью линий связи переносят на П4. Проекции точек А4, В4, С4 , D4, Е4 соединяют и получают натуральную величину фигуры сечения.

Задача 2. Построить натуральную величину фигуры сечения прямого кругового конуса. Секущая плоскость α – фронтально-проецирующая.

Решение. Плоскость пересекает поверхность конуса по линии, которая называется эллипс (рис. 7.8). Эту задачу можно решить способом вращения вокруг оси, перпендикулярной  плоскости проекции. На П1 строят горизонтальные проекции точек  линии сечения. Опорные точки А и В получают там, где секущая плоскость α пересекает фронтальную проекцию очерка конуса (контур). Текущие точки С, D, Е, F можно строить с помощью образующих линий на поверхности конуса. Для построения натуральной величины вводят дополнительную фронтально-проецирующую ось вращения і, которая принадлежит плоскости α. Фронтальную проекцию секущей плоскости  поворачивают вокруг оси и в положение, параллельное П1. На горизонтальной плоскости проекции П1 с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи строят проекции точек  соединяют их и получают натуральную величину эллипса.

Задача 3. Построить натуральную величину линии сечения сферы с фронтально-проецирующей плоскостью α (рис. 7.9).

Решение. Сфера пересекается плоскостью по окружности. Фронтальная проекция этой окружности, совпадающая с проекцией секущей плоскости, уже есть. Остаётся построить горизонтальную проекцию. Это будет эллипс. Сначала строят проекции опорных точек. Наивысшая точка фигуры сечения – точка  нижайшая – точка  На экваторе сферы помечены точки  и  которые являются точками видимости. Эти точки делят горизонтальную проекцию кривой на две части – видимую и невидимую. На плоскости  П1 определяют оси эллипса. Малая ось А1В1 эллипса совпадает с горизонтальной проекцией главного меридиана сферы.

Проекцией Е2D2 большой оси эллипса сечения на плоскость П2 является точка, лежащая посередине отрезка А2В2. Вспомогательную горизонтальную плоскость β проводят так, чтобы её фронтальный след β2 прошёл через точки  Эта плоскость перерезает сферу по окружности радиуса r. Из точки О1, как из центра, проводят окружность радиуса r, которая будет пересекать линию связи, проведенную от точек . На П1 определяют проекции точек Е1 и D1. Отрезок Е1D1 – большая ось эллипса. Другие точки сечения можно построить с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей. Так, с помощью плоскости  находят точки  и 

Задача 4. Построить натуральную величину фигуры сечения закрытого тора плоскостью 

Решение. На рисунке 7.10 приведён пример, где криволинейную поверхность вращения (тор) пересекает горизонтально-проецирующая плоскость 

Для построения натуральной величины фигуры сечения вводят дополнительную плоскость проекции  параллельно секущей плоскости. На эпюре ось  проведена параллельно горизонтальной проекции секущей плоскости . Точки на кривой линии фигуры сечения  определяют там, где секущая плоскость пересекает линии, принадлежащие поверхности. Такими линиями на поверхности тора являются параллели (окружности). Точки, принадлежащие фигуре сечения, сначала строят на П2 с помощью параллелей. Потом точки с помощью линий связи проецируют на П4. Координаты точек измеряют на П2. Это будут расстояния от оси  до фронтальных проекций точек. Эти расстояния откладывают на П4 на линиях связи от новой оси . Проекции точек на П4 соединяют и получают натуральную величину фигуры сечения.

Задача 5. Построить натуральную величину фигуры сечения поверхности наклонной призмы фронтально-проецирующей плоскостью α.

Решение. На рисунке 7.11 фронтально-проецирующая секущая плоскость  пересекает поверхность наклонённой призмы. На фронтальной плоскости проекции П2 определяют проекции точек K2, L2 , M2 пересечения секущей плоскости  с рёбрами призмы. Эти точки проецируют на П1 на соответствующие рёбра призмы, соединяют и получают фигуру сечения, треугольник K1L1M1. Для построения натуральной величины этого треугольника можно использовать способ замены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекции  П4 вводят параллельно проекции секущей плоскости Точки K, L, M проецируют на П4, соединяют и получают натуральную величину фигуры сечения.

Задача 6. Построить натуральную величину фигуры сечения поверхности наклонённой пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью α.

Решение. На рисунке 7.12 фронтально-проецирующая секущая плоскость  пересекает поверхность наклонённой пирамиды. Находят точки пересечения плоскости  с рёбрами пирамиды и получают точки  На П1 получают фигуру сечения  которая не имеет натуральной величины. Чтобы построить натуральную величину, фронтальную проекцию секущей плоскости перемещают в положение, параллельное оси  а потом с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи получают на П1 натуральную величину 

Сечение поверхности плоскостью общего положения

На рисунке  7.13 изображен прямой круговой цилиндр, поверхность которого пересекает плоскость общего положения  Фигуру сечения можно построить с помощью секущих плоскостей. Любая вспомогательная секущая плоскость пересекает заданную плоскость по прямой линии, а кривую поверхность – по линии её каркаса. Две линии, пересекаясь между собой, определяют точки, общие для поверхности и заданной плоскости. Использование секущих плоскостей даёт возможность построить множество точек линии сечения. Решение задачи сводится к тому, чтобы выбрать вспомогательные плоскости, перерезающие поверхность по простым линиям– прямым или окружностям. Точки большой оси эллипса А и В строят с помощью горизонтально-проецирующей плоскости β. Точки А и В находятся на линии пересечения двух плоскостей α и β. С помощью фронтальных плоскостей  строят точки E, F, G, H. Точки C, D  строят с использованием горизонтально-проецирующей секущей плоскости 

На рисунке 7.14 приведён пример пересечения трёхгранной призмы плоскостью общего положения . Боковые грани призмы занимают горизонтально-проецирующее положение, то есть проецируются на П1 в прямые линии. Эти грани пересекают плоскость по линиям  Фигурой сечения будет треугольник

Для построения линии сечения поверхности плоскостью общего положения часто используют методы преобразования. Чертёж преобразують так, чтобы секущая плоскость стала в новом положении проецирующей.

Алгоритм построения фигуры сечения

1. В заданной плоскости общего положения строят линию уровня (горизонталь или фронталь). Если плоскость задана следами или горизонталью и фронталью,которые пересекаются, то линию уровня строить не нужно

2. Используют метод замены плоскостей проекций. Перпендикулярно  натуральной величине прямой уровня или следа плоскости проводят новую плоскость проекции П4.

3. На П4 проецируют заданную кривую поверхность (или многогранник) и секущую плоскость, которая преобразуется в прямую линию (эту проекцию секущей плоскости называют вырожденной).

4. На П4 обозначают точки пересечения проекции секущей плоскости с проекциями линий каркаса поверхности (с образующими и направляющими кривой поверхности или рёбрами многогранника).

5. Полученные точки с помощью линий связи проецируют на П1 и П2. Потом точки соединяют сплошной или штриховой линией (в зависимости от того, видима линия или невидима).

6. Параллельно секущей плоскости, которая на П4 спроецирована в прямую линию (вырожденная), проводят еще одну дополнительную плоскость проекции П5.

Задача 1. Построить натуральную величину фигуры сечения четырёхгранной призмы плоскостью общего положения (рис. 7.15).

Решение. Задачу решают способом замены плоскостей проекций. Новую плоскость П4 вводят перпендикулярно  горизонтальной проекции горизонтали h1 плоскости 

На плоскости берут две произвольные точки P  и F, переносят их координаты из П2 на П4 и получают проецирующую плоскость  На П4 также строят призму. Для этого из каждой точки основания призмы  с  П1 на П4 проводят линии связи, перпендикулярно   Призма своим основанием стоит на П1, поэтому все точки её основания будут размещены на оси . Высоту призмы определяют на П2.

Координаты точек пересечения секущей плоскости с каждым ребром призмы переносят с П4 на П2. Полученные фронтальные проекции точек пересечения каждого ребра с плоскостью соединяют прямыми линиями с учётом видимости.

Натуральную величину сечения определяют способом плоскопараллельного перемещения. Для этого плоскость сечения, которая на П4 отображена в прямую линию  размещают параллельно оси  Из каждой точки сечения проводят прямые линии связи перпендикулярно  оси  На пересечении этих линий с линиями связи, проведенными из горизонтальных проекций точек сечения ) параллельно ,получают натуральную величину фигуры сечения.

Задача 2. Построить сечение трёхгранной пирамиды плоскостью общего положения  (рис. 7.16).

Решение. Задачу решают способом замены плоскостей проекции в такой последовательности:

1. Плоскость общего положения, заданную следами, преобразуют на П4 в проецирующую. Для этого вводят вспомогательную плоскость проекции П4 перпендикулярно  горизонтальному следу k1. На фронтальном следе l2 берут произвольную точку Р и её координату по оси z переносят на П4. Соединив проекцию горизонтального следа k4 с точкой Р4, получают проекцию  плоскости α на П4.

2. На П4 строят пирамиду. Для этого из каждой точки основания и вершины пирамиды на П1 перпендикулярно   проводят линии связи. Основание пирамиды АВС будет размещена на оси , а вершина S – на расстоянии, равном расстояниюі от точки S2 до П1.

3. Полученные точки сечения  проецируют на соответствующие рёбра по линиям связи сначала на П1, а потом – на П2. Соединив прямыми соответствующие проекции точек  получают горизонтальную и фронтальную проекции сечения. На П1 все линии сечения будуть видимыми. Поскольку грань ABS на П2 невидима, то линия сечения  также будет невидимой.

4. Натуральную величину фигуры сечения строят способом плоскопараллельного перемещения. Для этого сечения, которое проецируется на П4 в прямую линию , перемещают на свободное место параллельно оси  не меняя расстояние между точками. На пересечении линий связи, проведенных от точек  перпендикулярно  оси  и линий связи проведенных от точек  параллельно оси  получают треугольник  то есть натуральную величину сечения.

Задача 3. Построить натуральную величину фигуры сечения прямого кругового конуса плоскостью общего положения (рис. 7.17).

Решение. На рисунке 7.17 приведён пример посроения натуральной величины фигуры сечения. Поверхность прямого кругового конуса пересекает плоскость общего положения, заданная прямыми a и b, которые пересекаются. В этой плоскости  проводят горизонталь h и перпендикулярно к ней вводят дополнительную плоскость проекции П4. На эпюре новая ось  проведена перпендикулярно  горизонтальной проекции горизонтали h1. На П4 секущая плоскость отображается в прямую линию, то есть занимает проецирующее  положение. Точки на кривой линии фигуры сечения определяют там, где проекция секущей плоскости  пересекает параллели конуса. С помощью линий связи эти точки проецируют сначала на П1 а потом на П2, соединяют и получают горизонтальную и фронтальную проекции фигуры сечения. Для построения натуральной величины фигуры сечения вводят еще одну дополнительную плоскость проекции П5 параллельно проекции секущей плоскости  На П5 проецируют точки  и получают натуральную величину фигуры сечения.

Развёртки поверхностей

Развёрткой поверхности называется плоская фигура, которая образуется при совмещении поверхности данного тела с плоскостью. При развёртывании поверхности на плоскости  каждой точке поверхности отвечает единая точка на развёртке. Линия поверхности переходит в линию развёртки. Длины линий, величины плоских углов и площадей, которые отделены замкнутыми линиями, не изменяются.

К развёртываемым относят многогранники, торсы, конические и цилиндрические поверхности.

Неразвёртываемые поверхности можно совместить с одной плоскостью приблизительно (сфера, элипсоид и т.д.). Для построения таких развёрток поверхность разбивают на части, которые можно приблизительно заменить развёртываемые поверхности. Потом строят развёртки этих частей, которые в сумме дают условную развёртку поверхности, которая не развёртывается.

Развёртки многогранников

При построении развёрток многогранников находят натуральную величину рёбер и граней этих многогранников с помощью способов вращения или замены плоскостей проекций. На рисунке 8.1 показана прямая трёхгранная призма и её развёртка. Развёртку призмы выполняют способом развёртывания, т.к. её основание параллельно П1, а рёбра параллельны П2. Все рёбра призмы имеют натуральную величину. Три боковых грани,  имеющие форму прямоугольников, а также треугольники основания совмещают с плоскостью. Аналогично выполняют развёртки призм, которые имеют больше боковых граней.

На рисунке 8.2 показана развёртка призмы, которая имеет шесть боковых граней.

Боковые грани пирамиды – треугольники, каждый из которых может быть построен по трём сторонам. Поэтому для развёртки пирамиды достаточно определить натуральные величины её боковых рёбер. На рисунке 8.3 построена развёртка правильной пирамиды SABCD. Все четыре боковых ребра имеют одинаковую натуральную величину, которую находят методом вращения вокруг оси, перпендикулярной  П1. Развёртка боковой поверхности состоит из четырёх равных треугольников. Для получения полной развёртки пирамиды к ней присоединяют основание – квадрат.

На рисунке 8.4 показано построение боковой поверхности неправильной пирамиды. Натуральные величины боковых рёбер   определяют методом вращения вокруг оси перпендикулярной  П1. Потом строят развёртку пирамиды, использую метод засечек. На плоскости откладывают натуральную величину ребра  Из точки  проводят дугу радиусом R1, из точки  проводят дугу радиусом  На пересечении этих дуг отмечают точку  и получают натуральную величину грани . Натуральные величины граней  и  строят, используя радиусы  и 

На рисунке 8.5 показано построение развёртки боковой поверхности наклонённой трёхгранной призмы ABCDEF. Основание призмы параллельно П1, поэтому в этом случае удобно использовать способ развёртывания. Для получения натуральных величин боковых рёбер призмы вводят дополнительную плоскость проекции П4, параллельную горизонтальным проекциям рёбер  и . Построение развёртки начинают с ребра  Все другие точки вершин пирамиды перемещают по линиям, перпендикулярным  ребру  Точки  и  строят методом засечек. Для этого измеряют натуральную величину ребра  и этим радиусом проводят дугу так, чтобы она пересекала линию , и получают натуральную величину грани  Точно по такому же алгоритму строят натуральные величины граней  и 

Развёртки кривых поверхностей

Развёртка поверхности прямого кругового конуса представляет собой сектор круга с углом при вершине  , где R – радиус окружности основания конуса, l – длина образующей.

На рисунке 8.6 построена развёртка поверхности прямого кругового конуса. Центральный угол φ определяется длиной развёртки окружности основания конуса. Её строят с помощью хорд соседних точек деления  окружности основания.

На рисунке 8.7 показано построение развёртки  наклонённой (эллиптической) конической поверхности способом треугольников (триангуляции), которая заменена поверхностью вписанной в нёї восьмиугольной пирамиды. Развёртка имеет симметричную фигуру, т.к. имеет плоскость симметрии. В этой плоскости лежит самая длинная образующая  По ней выполнен разрез поверхности. Самая короткая образующая являетсяє осью симметрии развёртки поверхности. Натуральные величины образующих определены методом вращения вокруг оси 

На рисунке 8.8 показано построение развёртки прямого кругового срезанного цилиндра. Срез проецирующей плоскостью  скоставляет некий угол к его оси. Фигура сечения -это эллипс, натуральную величину которого  строят на дополнительной плоскостиі проекции. Длина окружности основания цилиндра  Полняа развёртка состоит из трёх частей: развёртки боковой поверхности, ограниченной синусоидой , натуральной величины фигуры сечения круга и основы цилиндра.

Развёртку наклонённого цилиндра строят приближенно (рис. 8.9). На его поверхности сначала выполняют замену фронтальной плоскости проекции так, чтобы на дополнительной плоскости проекции образующие отобразились в натуральную величину. Боковую поверхность цилиндра заменяют призмой, боковые рёбра которой совпадают с дискретным каркасом образующих цилиндра. Развёртку призмы строят так же, как показано на рисунке 8.5.

Поверхность сферы неразвёртываемая и может быть выполнена приблизительными методами (рис. 8.10). Элементы неразвёртываемой поверхности заменяют элементами простой развёртываемой поверхности, например, цилиндрической (способ вспомогательных цилиндров). Сферическую поверхность разбивают с помощью меридианов на равные части. Часть сферы, у которой средним меридианом является главный меридиан  заменяют цилиндрической поверхностью. Образующие АВ, CD, EF цилиндрической поверхности, которые проходят через точки  меридиана l, будут перпендикулярны  П2. Они проецируются на П1 в натуральную величину в границах угла α. Половину главного меридиана N2S2 делят на шесть равных частей. Через горизонтальные проекции точек  проводят проекции А1В1, C1D1, E1F1. Потом фронтальную проекцию главного меридиана выпрямляют в прямую линию. Через его точки деления  проводят перпендикулярно  образующие и т.д. Точки  и т.д. соединяют плавными кривыми линиями и получают приближенную развёртку одной шестой части сферы. Аналогичным способом выполняют развёртку поверхности закрытого тора (рис. 8.11).

Пересечение прямой линии с поверхностью

Прямая пересекает поверхность второго порядка в двух точках. Исключением является случай, когда прямая - касательная  к  поверхности и имеет с ней одну общую точку.

Пересечение прямой линии с кривой поверхностью

Задача 1. Построить точки пересечения прямой l с конусом (рис. 9.1).

Решение. Через прямую l (рис. 9.1,а) проводят горизонтальную плоскость  которая при сечении конуса образует на его поверхности окружности  Там, где горизонтальная проекция прямой  пересекает окружность  находят точки K и L и определяют видимость прямой.

Через прямую l (рис. 9.1,б) проводят фронтально-проецирующую плоскость, которая проходит через вершину конуса и в  сечении на поверхности конуса образует треугольник. Точки K, L находят на пересечении прямой  с треугольником.

Задача 2. Построить точки пересечения прямой l со сферой (рис. 9.2).

Решение. Через прямую l проводят фронтальную плоскость, которая при пересечении сферы образует на её поверхности окружность.

Задача 3. Построить точки пересечения прямой общего положения АВ с поверхностью конуса (рис. 9.3).

Решение. Если прямая общего положения пересекает поверхность прямого кругового конуса и пересекает ось вращения, то через такую прямую можно провести проецирующую секущую плоскость. В данном случае это будет горизонтально-проецирующая плоскость α, проходящая через вершину конуса и прямую АВ. На П1 секущая плоскость  з горизонтальной проекцией прямой АВ (А1В1). На поверхности конуса фигурой сечения будет треугольник  На фронтальной плоскости проекции П2 определяют точки пересечения  и  прямой АВ с треугольником. Это будут точки пересечения прямой с поверхностью конуса, т.к. стороны треугольника являются образующими конуса.

Задача 4. Построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью сферы (рис. 9.4).

Решение. Эту задачу можно решить способом замены плоскости проекции. Секущая плоскость пересекает поверхность сферы по окружности. Натуральную величину фигуры сечения находят на дополнительной плоскости проекции П4. Отрезок АВ проецируется на П4 в натуральную величину. Там, где проекция отрезка А4В4 пересекает окружность, определяют точки  и  Потом точки  и  проецируют на П1 и П2 и определяют видимость прямой относительно поверхности сферы.

Задача 5. Построить точку пересечения прямой АВ с открытым тором (рис. 9.5).

Решение. Для построения точек пересечения М и N прямой АВ с поверхностью тора используют метод вращения. Прямая АВ проходит через ось вращения открытого тора. Прямую АВ вращают вокруг оси і. Точка В остаётся неподвижной, а точка А на П2 перемещается по окружности и совмещается с плоскостью П1. На П1 горизонтальная проекция точки А перемещается по линии, параллельной оси  Так определяется проекция  точки после поворота точки А. На П1 определяют точки пересечения отрезка  с окружностью (образующей тора)  и  Эти точки перемещают по горизонтальным линиям связи на отрезок А1В1 и получают точки М1 и N1. Точки М  и N проецируют на П2 на фронтальную проекцию отрезка А2В2. Потом на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций определяют видимость отрезка АВ относительно поверхности тора.

Задача 6. Построить точку пересечения прямой l с конусом (рис. 9.6). При решении этой задачи через l можно провести вспомогательную секущую плоскость особого положения, которая при перерезе конуса образует кривую линию. Простейшим способом решения этой задачи - способ, в котором через прямую l проводится вспомогательная секущая плоскость общего положения. Эта плоскость обязательно должна проходить через вершину конуса, образуя при его перерезе на поверхности конуса треугольник.

Решение. 1. Через вершину конуса S проводят прямую m, которая пересекается с прямой АВ в точке А. Получают плоскость, заданную двумя прямыми АВ и m, которые пересекаются.

2. Строят горизонтальный след секущей плоскости. Для этого определяют горизонтальные следы прямых АВ и m и соединяют их.

3. Учитывая то, что основание конуса и горизонтальный след секущей плоскости лежат в П1, помечают точки пересечения следа секущей плоскости с основанием конуса. Соединив эти точки с вершиной конуса, получают перерез конуса – треугольник.

4. Определяют точки пересечения  прямой АВ з перерезом (треугольником SCD) и определяют видимость прямой.

Задача 7. Построить точки пересечения прямой общего положения АВ с цилиндром (рис. 9.7). 

Решение. В этой задаче проводят вспомогательную секущую плоскость общего положения параллельно образующим цилиндра. Эта плоскость задаётся двумя прямыми АМ и АN. При перерезе цилиндра такой плоскостью на его поверхности образуется параллелограмм. Обозначают точки пересечения C и D отрезка АВ с цилиндром и определяют видимость прямой относительно поверхности цилиндра.

У общем случае точки пересечения прямой с кривой поверхностью или многогранником могут быть определены с помощью секущей плоскости, которая проводится через прямую.

Алгоритм решения задачи

1. Через данную прямую, которая пересекает поверхность, проводят вспомогательную секущую плоскость (плоскость особого положения).

2. Строят линию пересечения (фигуру перереза) поверхности с секущей плоскостью. На кривой поверхности фигура перереза – это плоская кривая линия второго порядка, на многограннике – это многоугольник.

3. Находят точки пересечения прямой с фигурой сечения.

4. Определяют видимость прямой относительно поверхности.

При выборе вспомогательной плоскости следует учитывать, что эта плоскость при пересечении с поверхностью должна давать такие линии, как окружность, треугольник, параллелограмм и т.д.

На рисунке 9.8 показан пример пересечения прямой общего положения с поверхностью тора.

Пересечение прямой линии с многогранником

Задача 1. Построить точки пересечения прямой общего положения l с наклонённой призмой (рис. 9.9).

Решение.

Через прямую l проводят фронтально-проецирующую плоскость . На П2 определяют точки пересечения плоскости  с боковыми рёбрами призмы:  Полученные точки  проецируют на П1 на соответствующие ребра. Горизонтальные проекции точек  соединяют и получают фигуру сечения – треугольник. На П1 отмечают точки пересечения М1 и N1  с треугольником 11 21 31 . Фронтальные проекции точек М2 и N2 определяют там, где линии связи пересекают проекцию прямой l2. Определяют видимость прямой относительно поверхности призмы.

Пересечение поверхностей

В задачах конструирования сложных форм машиностроительных изделий или инженерных конструкций возникает необходимость в построении линий пересечения простых форм, которые образуют эти сложные формы. Линию, которая образуется как множество общих точек двух пересекающихся поверхностей, называют линией пересечения поверхностей.

Для построения точек линии взаимного пересечения двух поверхностей применяют два способа: преобразования проекций и вспомогательных сечений.

Метод вспомогательных секущих плоскостей

Для построения линии пересечения двух поверхностей используют вспомогательные секущие плоскости особого положения. Этот метод применяют в том случае, когда фигура сечения будет иметь простую для построения линию (окружность или прямую линию).

Рассмотрим этот метод на примере решения задачи построения линии пересечения цилиндра и полусферы (рис. 10.1).

Решение задачи начинают с анализа условия. Поскольку цилиндр занимает фронтально-проецирующее положение, то фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией цилиндра. Сначала на П2 определяют опорные точки А2 и В2 там, где пересекаются контуры поверхностей. Для построения текущих точек линии пересечения используют горизонтальные вспомогательные секущие плоскости С помощью плоскости α строят точки  Эти точки находятся на контурных образующих цилиндра и определяют видимость линии пересечения. Все другие текущие точки строят с помощью горизонтальных секущих плоскостей  и  Полученные точки соединяют плавной  кривой, учитывая их видимость. Метод секущих плоскостей можно также использовать при построении линии пересечения поверхности вращения с многогранниками.

Задача 1. Построить линию пересечения прямого кругового конуса с фронтально-проецирующим цилиндром (рис. 10.2).

Решение. На фронтальной плоскости проекции П2 цилиндр отображается в окружность, а конус – в треугольник. На пересечении этих контурных линий определяют опорные точки F и E. С помощью горизонтальных секущих плоскостей α и β строят текущие точки A, B, C, D. Точки C, D находятся в плоскости β, которая проходит через ось вращения цилиндра и разделяет цилиндрическую поверхность на две части – видимую и невидимую. Точки линии пересечения, которые находятся выше точек C, D, на П1 строят видимые, а точки, которые находятся ниже точек C, D, на П1 будут невидимы.

Задача 2. Построить линию пересечения прямого кругового конуса со сферой (рис. 10.3). Решение. Опорные точки А и В можно построить с помощью способа замены плоскостей проекций. Эти точки находятся в плоскости симметрии Σ, которая проходит через оси вращения сферы и конуса. Плоскость Σ занимает положение горизонтально-проецирующее. Точки А и В находят на П4 на пересечении контурных линий сферы и конуса. Все другие точки линии пересечения можно строить с помощью горизонтальных секущих плоскостей.

Задача 3. Построить линию пересечения полусферы с горизонтально-проецирующим цилиндром (рис. 10.4).

Решение. На рисунке показан пример пересечения цилиндра и полусферы. Кривая поверхность цилиндра отображается на П1 в окружность. Поэтому линия пересечения двух поверхностей совпадает с этой окружностью. Самую нижнюю точку  и наивысшую точку  строят там, где горизонтально-проецирующая плоскость проходит через оси вращения цилиндра и полусферы. Все другие точки строят с помощью фронтальных вспомогательных секущих плоскостей.

Задача 4. Построить линию пересечения трёхгранной призмы с профильно-проецирующим цилиндром.

Решение. На рисунке 10.5 показан пример пересечения трёхгранной призмы и цилиндра. Все боковые грани призмы на П1 отображаются в прямые линии. Кривая поверхность цилиндра отображается на П3 в окружность. Линия пересечения двух поверхностей на П1 совпадает с гранями призмы, а на П3 – с контуром цилиндра (окружностью).

Задача 5. Построить линию пересечения трёхгранной призмы с пирамидой.

Решение.. На рисунке 10.6 показан пример пересечения многогранников – призмы и пирамиды. Все боковые грани призмы на П1 отображаются в прямые линии. Линия пересечения совпадает с горизонтальными проекциями граней призмы. Точки линий пересечения двух поверхностей находят на пересечении граней призмы с рёбрами пирамиды.

Пересечение поверхностей, имеющих общую ось вращенияя

Две поверхности вращения называются соосными, если они имеют общую ось вращения. Если центр сферы лежит на оси вращения любой поверхности, такая пара поверхностей также назввается соосной. Две соосные поверхности всегда пересекаются по окружности (рис. 10.7). Если сфера пересекается с любой поверхностью вращения и центр сферы находится на оси вращения этой поверхности, то линией пересечения этих поверхномтей является окружность.

В пересечении образуется столько окружностей, сколько раз очерк сферы пересекается с очерком поверхности вращения. Если ось поверхности  вращения параллельна или перпендикулярна ей, то эти окружности прокцируются (отображаются) на плоскость проекций как прямые линии.

Метод концентрических сфер

Для построения линии пересечения двух кривых поверхностей используют метод концентрических сфер, если выполняются такие условия:

- обе поверхности должны быть поверхностями вращения;

- оси вращения обеих поверхностей повинні перетинатися (знаходитися в одній площині);

- плоскость, в которой пересекаются оси вращения, должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

На рисунке 10.8 приведен прикмер, где пересекаются две цилиндрические поверхности вращения. Для такого случая все три условия выполняются. Линию пересечения поверхностей строят по такому алгоритму. Сначала там, где пересекаются контурные линии обеих поверхоностей, определяются опорные точки А и В. Контурные линии образованы фронтальной плоскостью симметрии. Далее определяют диапазон сфер-посредников, которые можно использовать для построения текущих точек линии пересечения. Определяют сферы с минимальным  и максимальным  радиусами. Сфера с минимальным радиусом  должна вписываться в ту поверхность, которая больше. Сфера с радиусом  равна расстоянию от точки пересечения осей вращения О2 до наиболее удалённой опорной точки В2. Текущие точки  линии пересечения определяют там, где пересекаются окружности на цилиндрических поверхностях. Эти окружности являются линиями пересечения концентрических сфер-посредников с цилиндрическими поверхностями, которые пересекаются. На П2 окружности отображаются в прямые линии. Построенные точки зсоединяют и получают линию пересечения цилиндрических поверхностей.

Задача. Построить линию пересечения закрытого тора с конусом (рис. 10.9).

Решение. Опорные точки А и В находят на пересечении контурных линий на фронтальной плоскости проекции. Проводят вспомогательную сферу радиуса , которая вписывается в одну из поверхоностей и пересекаются с другой. В данной задаче сфера радиуса  вписывается в тор. Радиус сферы  определяется расстоянием от центра сфер до наиболее удалённой точки. Текущие точки линии пересечения строят с помощью концентрических сфер, радиусы которых могут быть меньше  или больше .

Теорема Монжа

Если две поверхности, которые пересекаются, описаны вокруг третьей поверхности второго порядка – сферы, то линия пересечения распадается на две плоские кривые.

На рисунке 10.10 показано построение линии взаимного пересечения конуса та циліндра обертання, які огинають спільну сферу  Это условие отвечает теореме Монжа о распаде линии пересечения поверхностей второго порядка. Следовательно, линия пересечения этих поверхностей распадается на две плоские кривые второго порядка (эллипсы), размещённые во фронтально-проецирующих плоскостях. Непосредственно на фронтальной проекции можно определить вершины эллипсов. На П2 проекции пар опорных точок А2, D2 и B2, C2 соединяют прямыми линиями. Горизонтальные проекции вершин эллипсов определяют с помощью вертикальных линий связи. Эллипсы можно построить известными способами по двум осям.

Метод эксцентрических сфер

При решении задач на пересечении поверхоностей этим методом должны изменится положение центров вспомогательных сфер: они имеют находится на оси поверхности вращения.

Задача 1. Построить линию пересечения усечённого конуса и тора (рис. 10.11).

Решение. Опорные точки А, D определяют на пересечении контуров конуса и тора. Через ось вращения  тора, которая на П2 занимает фронтально-проецирующее положение, проводят секущую плоскость α, которая пересекает контур тора в точках  и  а также пересекает осевую линию тора в точке . Через точку  проводят линию, перпендикулярную  плоскости α. Эта линия будет пересекать ось вращения конуса в точке О2. Радиусом   проводят сферу, которая пересекает контур конуса в точках  Это будет проекция параллели  на поверхности конуса, которая на П1 проецируется в окружность. Там, где проекция секущей плоскости  пересекает проекцию параллели  определяют текущие точки  линии пересечения. По такому же алгоритму строят точки  и другие текущие точки линии пересечения, используя вспомогательные секущие плоскости и сферы.

Задача 2. Построить линию пересечения цилиндра вращения и наклонённого конуса.

Решение.. На рисунке 10.12 показан прикмер, где пересекаются прямой круговой цилиндр и эллиптический конус. Опорные точки находят на фронтальной плоскости проекции на пересечении контурных линий цилиндра и конуса. Текущие точки строят с помощью горизонтальных секущих плоскостей и эксцентрических сфер. Секущая плоскость пересекает ось конуса. Из этой точки проводят перпендикуляр до пересечения с осью вращения цилиндра в точке О2. Радиус сферы подбирают от точки О2 до точки пересечения секущей плоскости с контуром конуса. Строят линию пересечения сферы с контуром цилиндра. Текущие точки  и  определяют там, где секущая плоскость (параллель) пересекает линию на поверхности конуса. По такому же алгоритму строят ідругие точки линии пересечения цилиндра и конуса.

Примеры и образцы решения задач:

• Решение задач по инженерной графике
• Решение задач по начертательной геометрии

Услуги по выполнению чертежей:

1. Заказать чертежи
2. Помощь с чертежами
3. Заказать чертеж в компасе
4. Заказать чертеж в автокаде
5. Заказать чертежи по инженерной графике
6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
7. Заказать черчение

Учебные лекции:

1. Инженерная графика
2. Начертательная геометрия
3. Оформление чертежей
4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
5. Техническое рисование
6. Машиностроительные чертежи
7. Геометрические построения
8. Деление окружности на равные части
9. Сопряжение линий
10. Коробовые кривые линии
11. Построение уклона и конусности
12. Лекальные кривые
13. Параллельность и перпендикулярность
14. Методы преобразования ортогональных проекций
15. Поверхности
16. Способы проецирования
17. Метрические задачи
18. Способы преобразования чертежа
19. Кривые линии
20. Кривые поверхности
21. Трёхгранник Френе
22. Проецирование многогранников
23. Проецирование тел вращения
24. Развёртывание поверхностей
25. Проекционное черчение
26. Проецирование точки
27. Проецирование отрезка прямой линии
28. Проецирование плоских фигур
29. Способы преобразования проекций
30. Аксонометрическое проецирование
31. Проекции геометрических тел
32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
33. Взаимное пересечение поверхностей тел
34. Сечение полых моделей
35. Разрезы
36. Требования к чертежам деталей
37. Допуски и посадки
38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
40. Передачи и их элементы