Проецирование тел вращения

Содержание:

  1. Пересечение тела вращения плоскостью особого положения
  2. Пересечение тела вращения линией
  3. Способ вспомогательной секущей плоскости особого положения
  4. Способ вспомогательной секущей плоскости общего положения
  5. Способы преобразования комплексного чертежа
  6. Способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности
  7. Метод последовательных приближений
  8. Пересечение тела вращения плоскостью общего положения
  9. Способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения
  10. Способ замены плоскостей проекций
  11. Пересечения тела вращения с многогранником
  12. Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня
  13. Способ вспомогательных проецирующих секущих плоскостей
  14. Пересечение двух тел вращения
  15. Способ плоскостей - посредников особого положения
  16. Способ плоскостей-посредников общего положения
  17. Способ конических поверхностей
  18. Способы вспомогательных сфер
  19. Теорема Монжа
  20. Способ вспомогательных концентрических сфер
  21. Способ вспомогательных эксцентрических сфер
  22. Свойства линий пересечения тел вращения

Проецирование тел вращения - это тела вращения ограничены поверхностями, которые получаются в результате вращения какой либо линии вокруг неподвижной оси. Линия которая при своем движении образует поверхность, называется образующей, а линия, по которой она перемещается – направляющей.

Пересечение тела вращения плоскостью особого положения

Тела вращения - это тела, ограниченные поверхностями вращения (см. п. 3.2.2.2, рис. 3.63). Линия k пересечения тела  вращения Ф плоскостью Σ имеет алгебраический порядок, равный алгебраическому порядку поверхности тела Ф. Например, тор (поверхность четвертого порядка) пересекается плоскостью Σ по кривой максимум четвертого порядка (рис. 4.16). В некоторых случаях линия k раскладывается на две и больше линий.

Линия k пересечения тела вращения Ф плоскостью Σ строится приближённо по точкам 1, 2, …, являющимся точками пересечения секущей плоскости Σ с образующими и направляющими (меридианами и параллелями) тела Ф. При этом обязательно требуется обозначать особые точки и линии фигуры сечения: оси симметрии, точки перегиба, точки перехода от видимого контура к невидимому и т.д.

Некоторые фигуры пересечения  тел вращения секущими плоскостями приведены в табл. 4.1. Соответствующие комплексные чертежи изображены на рис. 4.13..

Проецирование тел вращения

Необходимо отметить, что линии, показанные в табл. 4.1, проецируются на плоскости проекций в искажённом виде. Например, окружность может проецироваться в эллипс или отрезок.

В случае, если секущая плоскость Σ является проецирующей (рис. 4.13), одна из проекций искомой фигуры k сечения является отрезком, принадлежащим соответствующему следу секущей плоскости. Неизвестные проекции точек 1, 2, … фигуры k сечения находятся с использованием вспомогательных линий Проецирование тел вращения …, которые принадлежат поверхности тела вращения Ф. Для сферы, цилиндра, конуса и тора такими линиями являются окружности, принадлежащие плоскости уровня (рис. 4.14 – 4.16). Кроме того, на поверхности цилиндра и конуса такими линиями могут быт прямые линии(рис. 4.15).

На рис. 4.14 сфера Ф пересечена фронтально-проецирующей плоскостью Σ. Линией пересечения является окружность, которая проецируется на П2 в отрезок, на П1, П3 – в эллипс. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения на её фронтальной проекции выбираются точки 1Проецирование тел вращения. Для уточнения формы кривой на П1 можно выбирать дополнительные точки. Точки 1 – 8  обязательны для выбора, т.к. являются  характерными:

а) точки 1, 5 – точки перигея (ближайшие к его центру) на П1;

б) точки 3, 7 – точки апогея (наиболее удалённые от его центра) на П1. Их фронтальные проекции совпадают с основой перпендикуляра, проведенного из центра сферы О2 до секущей плоскости;

в) точки 2, 8 – точки перехода от видимого контура к невидимому на П1;

г) точки 4, 6 – точки перехода от видимого контура к невидимому на П3.

Для определения горизонтальной проекции точек 2, 8 вводится плоскость Проецирование тел вращения горизонтального уровня, проходящая через данные точки и пересекающая сферу по окружности, которая проецируется в натуральную величину на П1. С помощью вертикальной линии проекционной связи, проведенной из проекции Проецирование тел вращения определяются проекции 21, 81. Аналогично определяются проекции Проецирование тел вращения. Профильная проекция линии пересечения определяется с помощью линий проекционной связи.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияФигуры плоских сечений тел вращения

На рис. 4.15 конус пересечён фронтально-проецирующей плоскостью Σ, параллельной её образующей линии. Линией пересечения является парабола, которая проецируется на П2 в отрезок, а на П1, П3 – в параболы. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения на её фронтальной проекции выбираются точкиПроецирование тел вращения Характеристики точек параболы:

а) точки 1, 7 – точки, принадлежащие основе конуса;

б) точки 2, 6 – точки перехода от видимого контура к невидимому на П3;

в) точка 4 – точка перегиба (наивысшая точка параболы);

г) точки 3, 5 – вспомогательные, которые уточняют форму параболы на её участках 2 – 4, 4 – 6.

Для определения горизонтальной проекции точек 2, 6 вводится плоскость Проецирование тел вращения горизонтального уровня, проходящая через данные точки и пересекающая конус по окружности, которая проецируется в натуральную величину на П1. С помощью вертикальной линии проекционной связи, проведенной из проекций Проецирование тел вращения определяются проекции Проецирование тел вращения. Аналогично определяются проекции Проецирование тел вращения Для определения горизонтальной проекции точек 3, 5 вводится фронтально-проецирующая плоскость Проецирование тел вращения проходящая через данные точки и вершину S конуса, пересекая конус по треугольнику SAB, горизонтальная проекция S1A1B1 которого находится с помощью линий проекционной связи. Проекции Проецирование тел вращения принадлежат отрезкам S1A1, S1B1. Профильная проекция линии пересечения определяется с помощью линий проекционной связи.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПлоское сечение сферы

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПлоское сечение конуса

На рис. 4.16 тор пересечён плоскостью Σ горизонтального уровня. Линией пересечения является ветвь лемнискаты Бута, которая проецируется на П2 в отрезок, на П1 – в натуральную величину. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения вводят семью плоскостей Проецирование тел вращения фронтального уровня, пересекающую тор по концентрическим окружностям Проецирование тел вращения с центром О. Эти окружности пересекают секущую плоскость Σ в точках 1 – 8, принадлежащих искомой кривой. С помощью вертикальных линий проекционной связи, проведенных из проекций Проецирование тел вращения определяются горизонтальные проекции Проецирование тел вращения принадлежащие  горизонтальным проекциям линий l (1) – l (8) .

Характеристики точек искомой кривой:

а) точка 1 - точка перегиба (крайняя левая точка);

б) точки 3, 7 – точки перехода от видимого контура к невидимому на П1;

в) точка 5 - особая точка лемнискаты Бута;

г) точки 4, 6 –вспомогательные точки.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПлоское сечение тора

Пересечение тела вращения линией

Линия пересечения поверхности вращения проецирующей плоскостью представляет собой плоскую замкнутую кривую. Для построения этой кривой определяем точки пересечения ряда образующих поверхности с секущей плоскостью. К опорным точкам линии относятся: экс-тремальные (высшая, низшая, ближняя, дальняя, левая, правая) и очерковые.

Способ вспомогательной секущей плоскости особого положения

 Для определения точек пересечения тела вращения прямой используется способ вспомогательной секущей плоскости особого положения. На рис. 4.17 а прямой круговой цилиндр пересекается прямой l общего положения. Для определения точек М, N пересечения прямой l с цилиндром через эту прямую проводится горизонтально-проецирующая плоскость Σ. Линия пересечения этой плоскости с цилиндром - это прямоугольник (заштрихованная фигура), фронтальная проекция которого пересекается с Проецирование тел вращения в точках М2, N2, являющихся фронтальными проекциями искомых точек M, N. Видимость отрезков прямой l определяется способами, описанными в п. 1.4.7.

На рис. 4.17 б для определения точек М, N пересечения прямой l с цилиндром через прямую проводится фронтально-проецирующая плоскость Ω. Линия пересечения этой плоскости с цилиндром - это эллипс, который проецируется на П1 в окружность (заштрихованная фигура ). Горизонтальная проекция полученной фигуры сечения пересекается с l1 в точках М1, N1, являющихся горизонтальными проекциями искомых точек M, N. Фронтальные проекции  М2, N2 определяются с помощью линий проекционной связи.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение точек пересечения прямой общего положения с цилиндром

На рис. 4.18 а конус пересекается с горизонталью h. Для определения точек М, N пересечения прямой h с конусом через горизонталь проводится плоскость Σ горизонтального уровня. Линия пересечения этой плоскости с цилиндром - это окружность (заштрихованная фигура), горизонтальная проекция которой пересекается с h1 в точках М1, N1, являющимися горизонтальными проекциями искомых точек M, N. Фронтальные проекции М2, N2 определяются с помощью линий проекционной связи .

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение точек пересечения прямой особого положения с конусом

На рис. 4.18 б конус пересекается с горизонтально-проецирующей прямой u. Для определения точек М, N пересечения прямой u с конусом через эту прямую проводится горизонтально-проецирующая плоскость Ω, проходящая через вершину S конуса. Линия пересечения этой плоскости с конусом - это треугольник (заштрихованная фигура), фронтальная проекция которого пересекается с Проецирование тел вращения в точках М2, N2, которые являются фронтальными проекциями искомых точек M, N. Горизонтальные проекции М1, N1 совпадают с Проецирование тел вращения

На рис. 4.19 тор пересекается с горизонтально-проецирующей прямой u. Для определения точек М, N пересечения прямой u тором через эту прямую проводится плоскость Σ фронтального уровня. Линия пересечения этой плоскости с тором является круговым кольцом (контур заштрихованной фигуры) с центром в точке О. Фронтальная проекция кольца пересекается с Проецирование тел вращенияв точках М2, N2, которые являются фронтальными проекциями  искомых точек M, N. Горизонтальные проекции М1, N1 совпадают с Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение точек пересечения тора с проецирующей прямой

Способ вспомогательной секущей плоскости общего положения

Для определения точек пересечения тела вращения прямой общего положения могут быть использованы способы  вспомогательной секущей плоскости общего положения, преобразования  комплексного чертежа (см. п. 4.2.2.3), метод последовательных приближений (см. п. 4.2.2.5).

На рис. 4.20 конус пересекается прямой l общего положения. Для определения точек M, N их пересечения через прямую l и вершину S конуса проводится плоскость Σ общего положения. Находится горизонтальный след Проецирование тел вращения этой  плоскости Σ, для чего на прямой l произвольно выбираются вспомогательные точки 1, 2, через которые проходят прямые а, b. По горизонтальным следам прямых a, b строится горизонтальный след Проецирование тел вращения секущей  плоскости Σ. Этот след пересекает основу конуса в точках А, В. Треугольник SAB является линией пересечения конуса плоскостью Σ. Точки М, N пересечения прямой l с этим треугольником -  искомые точки пересечения конуса прямой l.

На рис. 4.21 показана другая, упрощённая реализация способа вспомогательной секущей плоскости общего положения на примере эллиптического конуса. Вводится секущая плоскость Σ, проходящая через вершину S и прямую l. В этой плоскости вводятся две взаимно параллельные горизонтали Проецирование тел вращенияи определяется горизонтальный след Проецирование тел вращенияс помощью вспомогательных точек 1, 2 пересечения l с этими горизонталями. След Проецирование тел вращения, параллельный h1, пересекает основу конуса в точках А, В. Треугольник SAB является линией пересечения конуса плоскостью Σ. Точки М, N пересечения прямой l с этим треугольником являются искомыми точками пересечения конуса прямой l.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ вспомогательной секущей плоскости общего положения

На рис. 4.22 эллиптический цилиндр пересекается прямой l общего положения. Для определения точек M, N их пересечения через прямую l параллельно оси і цилиндра проводится плоскость Σ общего положения. Находится горизонтальный след Проецирование тел вращения этой плоскости Σ, для чего на прямой l произвольно выбираются вспомогательные точки 1, 2, через которые проходят лучи а, b, параллельные оси і цилиндра. По горизонтальным следам этих лучей строятся горизонтальный след Проецирование тел вращения плоскости Σ. Этот след пересекает основу цилиндра в точках А, В. Прямоугольник АBСD - линия пересечения цилиндра плоскостью Σ. Точки М, N пересечения прямой l с этим прямоугольником - искомые точки пересечения цилиндра  прямой l.

На рис. 4.23 показана другая, упрощенная реализация способа вспомогательной секущей плоскости общего положения. Вводится секущая плоскость Σ, проходящая через прямую l параллельно оси і цилиндра. Эта плоскость задана прямыми l, m (прямая Проецирование тел вращения параллельна оси і). Определяется горизонтальный след Проецирование тел вращения как линия, проходящая через горизонтальные следы прямых l, m. След Проецирование тел вращенияпересекает основу цилиндра в точках А, В. Прямоугольник ABCD является линией пересечения цилиндра плоскостью Σ. Точки М, N пересечения прямой l с этим прямоугольником - искомые точки пересечения цилиндра прямой l.

Конус или цилиндр называется эллиптическим, если его нормальное сечение(сечение плоскостью, перпендикулярной  оси тела) является эллипсом. Эллиптические конус и цилиндр не являются телами вращения. Методы начертательной геометрии, описанные для эллиптических конуса и цилиндра, применяются и для случая прямых круговых конуса и цилиндра.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение точек пересечения эллиптического конуса с прямой общего положения

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение точек пересечения эллиптического цилиндра с прямой общего положения

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияУпрощенная реализация способа вспомогательной секущей плоскости общего положения

Способы преобразования комплексного чертежа

Способ вспомогательной секущей плоскости особого положения  достаточно громоздкий, поэтому сложный в графической реализации. Для некоторых тел (например, для сферы) он недопустим.

Способы преобразования комплексного чертежа предназначены для упрощения процедуры определения точек пересечения прямой с телом. Как правило, используются способы замены плоскостей проекций и вращения вокруг проецирующей оси. Они позволяют перевести заданную прямую из общего положения в особое для дальнейшего использования способа вспомогательной секущей плоскости особого положения.

На рис. 4.24 определены точки M, N пересечения сферы прямой l общего положения с использованием способа замены плоскостей проекций. Введена вспомогательная плоскость проекций П4, параллельная прямой l (ось Проецирование тел вращения параллельна l1). Прямая l занимает положение уровня в системе плоскостей П1, П4. Для определения проекции Проецирование тел вращения вводятся вспомогательные точки 1, 2. Через прямую l проводится плоскость Σ, параллельная плоскости П4, и определяется проекция на П4 линии (окружности) пересечения сферы плоскостью Σ (заштрихованная область). Проекции M4, N4 искомых точек M, N являются точками пересечения проекции l4 с полученной окружностью.

На рис. 4.25  определены точки M, N пересечения сферы прямой l общего положения с использованием способа вращения вокруг проецирующей оси. Вводится горизонтально - проецирующая ось і, проходящая через центр О сферы. Прямая l вращается вокруг этой оси до фронтального положения уровня Проецирование тел вращения вместе со сферой. При этом проекции сферы не изменяются. Для определения проекций нового, фронтального положения Проецирование тел вращения прямой l вводятся вспомогательные точки 1, 2. Через прямую Проецирование тел вращения проводится плоскость Σ фронтального уровня, и определяется фронтальная проекция линии (окружности) пересечения сферы плоскостью Σ (заштрихованная область). По проекциям Проецирование тел вращения определяются проекции искомых точек M, N пересечения прямой l со сферой.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ замены плоскостей проекций

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ вращения вокруг проецирующей оси

На рис. 4.26 определены точки K, L, M, N пересечения тора прямой l общего положения с применением способа вращения вокруг проецирующей оси. Прямая l вращается вокруг фронтально-проецирующей оси j тора до горизонтального положения Проецирование тел вращениявместе с тором. При этом проекции тора не изменяются. Для определения проекций нового, горизонтального положения Проецирование тел вращения прямой l вводятся вспомогательные точки 1, 2. Через прямую Проецирование тел вращения проводится плоскость Σ горизонтального уровня, и определяется фронтальная проекция линий (двух окружностей) пересечения тора плоскостью Σ (заштрихованные области). По проекциям Проецирование тел вращения находятся проекции искомых точек K, L, M, N пересечения прямой l с тором. Надо отметить, что для реализации приведённого способа необходимо, чтобы прямая l пересекала ось j тора (проекция l2 проходит через точку О2).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение точек пересечение тора с прямой общего положения

На рис. 4.27 определены точки M, N пересечения эллипсоида прямой l общего положения с применением способа вращения вокруг проецирующей оси. Прямая l вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси і эллипсоида до фронтального положения Проецирование тел вращения вместе с телом. При этом проекции эллипсоида не изменяются. Для определения проекций нового фронтального положения Проецирование тел вращения прямой l вводятся вспомогательные точки 1, 2. Через прямую lПроецирование тел вращения проводится плоскость Σ фронтального уровня, и определяется фронтальная проекция линии (эллипса) пересечения тела плоскостью Σ (заштрихованная область). По проекциям Проецирование тел вращения определяются проекции искомых точек M, N пересечения прямой l с эллипсоидом. Необходимо отметить, что для реализации приведенного способа необходимо, чтобы прямая l пересекала ось і тора (проекция l1 проходит через точку О1).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение точек пересечения эллипсоида с прямой общего положения

Способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности

Для определение точек пересечения тела вращения пространственной кривой линией используются способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности особого положения и метод последовательных приближений (см. п. 4.2.2.5).

Способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности базируется на том, что через любую пространственную кривую l можно провести цилиндрическую поверхность Ω, которая проецируется на одну из плоскостей проекций (например, П1) в линию Ω1, совпадающую с соответствующей проекцией l1 кривой l (рис. 4.28). Другими словами, цилиндрическая поверхность является проецирующей.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности

Суть способа вспомогательной секущей цилиндрической поверхности

Для определения точек М, N, … пересечения тела вращения Ф пространственной кривой l через последнюю проводится проецирующая цилиндрическая поверхность Ω, одна из проекций которой совпадает с соответствующей проекцией линии l. Определяется линия k пересечения тела Ф с  поверхностью . Точки M, N, … пересечения линий k, l -  искомые точки пересечения тела Ф пространственной кривой l.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение кривой с телом вращения

На рис. 4.29 обозначены точки M, N, P, Q пересечения тела вращения Ф пространственной кривой l. Через линию l проводится фронтально-проецирующая цилиндрическая поверхность Ω, фронтальная проекция Ω2 которой совпадает с фронтальною проекцией l2 линии l. Линия k пересечения тела Ф цилиндрической поверхностью Ω строится по точкам 1, 2, …, 7 с помощью способа вспомогательных секущих плоскостей Проецирование тел вращения горизонтального уровня, которые пересекают тело Ф по концентрическим окружностям. Проекции искомых точек M, N, P, Q являются проекциями точек пересечения линий k, l.

Способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности также может быть использован для определения точек пересечения пространственной кривой с многогранником.

На рис. 4.30 применён способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности для определения точек пересечения кривой l с треугольной пирамидой Ф. Через линию l проводится фронтально-проецирующая цилиндрическая поверхность Ω, фронтальная проекция Ω2 которой совпадает с фронтальной проекцией l2 линии l. Линия k пересечения пирамиды цилиндрической поверхностью Ω строится по точкам 1 – 8 с помощью способа вспомогательных секущих плоскостей Проецирование тел вращениягоризонтального уровня, которые пересекают пирамиду по треугольникам. Проекции искомых точек M, N, P, Q - это проекции точек пересечения линий k, l.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение кривой с многогранником

Метод последовательных приближений

Высокий уровень развития современного машиностроения стал возможен благодаря использованию инновационных технологий, в том числе применению систем автоматизированного проектирования на основе ЭВМ. Существующие компьютерные программы базируются на трёхмерном моделировании элементов конструкций и создании на их основе проектной документации.

Наиболее сложными элементами конструкций с точки зрения проекционного сечения являются линии пересечения и перехода двух и больше трёхмерных геометрических объектов – поверхностей, их образующих и направляющих (рис. 4.31). Построение этих объектов принадлежит к позиционным задачам начертательной геометрии, которые решаются путём нахождения геометрического места точек пересечения линий одной поверхности с другой поверхностью.

Задачи на нахождение точек пересечения пространственной кривой l с поверхностью Ф занимает особое место среди задач проекционного черчения. Для их решения используют преимущественно методы преобразования комплексного чертежа и методы, связанные с введением вспомогательных плоскостей или поверхностей Σ (рис. 4.32).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПрименение линий пересечения и перехода

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ вспомогательной секущей поверхности

Основным недостатком существующих способов является прямая зависимость точности построения контура Проецирование тел вращения сечения поверхностей Ф, Σ от количества точек контура. Вследствие этого, для построения проекций линии Проецирование тел вращения необходимо вводить значительное количество вспомогательных точек, что усложняет поставленную задачу нагромождением дополнительных построений. Кроме того, участки линии Проецирование тел вращения между вспомогательными точками строятся приближённо путём интерполяции (рис. 4.33).

Стандартные методы не дают возможности создания универсальной процедуры решения задачи на определение точек пересечения линии с поверхностью, а содержат только совокупность алгоритмов для решения преимущественно долгосрочных задач. Эти недостатки свидетельствуют о необходимости поиска и обоснования нового метода, который бы существенно упрощал геометрические построения, не жертвуя точностью последних.

Рассмотрим общий случай задачи на нахождение множества М1, М2, … точек пересечения кривой линии l с поверхностью Ф тела вращения методом последовательных приближений . Количество N точек пересечения обусловлено алгебраическим порядком указанных геометрических объектов. В дальнейшем будем рассматривать задачу на нахождение одной из таких точек М.

Для изложения сути метода последовательных приближений введем ортогональную прямолинейную систему координат Oxyz, в которой ось z совпадает с осью тела вращения (рис. 4.34).В начале геометрических построений будем считать, что точка М находится в плоскости Σ горизонтального уровня. Точка М определяется как точка пересечения плоскости Σ с линией l. Также точка М принадлежит окружности Проецирование тел вращения. По полученной (с использованием условий принадлежности точки М окружности Проецирование тел вращения) горизонтальной проекции М1 уточняется положение искомой точки. Таким образом, произвольно выбрав положение искомой точки, путём простой итерационной процедуры находится искомое положение.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияМетод последовательных приближений

Преимущества  метода последовательных приближений :

а) точность решения задачи контролируется на каждой итерации;

б) относительно небольшое количество геометрических построений;

в) возможность числовой реализации на ЭВМ;

г) инвариантность алгоритма к типу кривой и поверхности тела вращения.

На рис. 4.35 – 4.37 приведены решения задач на пересечение кривой со сферой, тором и произвольным телом вращения. Эти задачи, как правило, решаются с помощью специальных методов, а именно, проведенным через кривую проецирующей цилиндрической поверхности. На приведённых рисунках задачи решены с помощью метода последовательных приближений .

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение кривой линии со сферой Проецирование тел вращенияПересечение кривой линии с тором

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение кривой линии с произвольным телом вращения

Пересечение тела вращения плоскостью общего положения

При определении линии пересечения поверхности вращения плоскостью общего положения в качестве поверхностей-посредников используют проецирующие плоскости, перпендикулярные оси вращения. В этом случае линия пересечения проецирующей плоскости с поверхностью вращения дает окружность, а пересечение с плоскостью общего положения – прямую линию.

Способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения

Линию пересечения тела вращения Ф плоскостью Σ  общего положения можно определить без применения специальных методов только для ограниченных случаев взаимного расположения этих геометрических объектов.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение конуса плоскостью

На рис. 4.38 конус Ф пересекается плоскостью Σ, заданной треугольником АВС и проходит через вершину S. Плоскость Σ пересекает конус по треугольнику SDE, точки D, E которого является точками пересечения горизонтального следа плоскости АВС с основой конуса. След  Проецирование тел вращения строится по двум точкам Проецирование тел вращения – горизонтальным следам прямых АВ, АС секущей плоскости АВС. Линия пересечения конуса Ф плоскостью АВС распадается на два отрезка 1 – 4, 2 – 3, принадлежащих образующим SD, SE конуса Ф. В общем случае линия k пересечения тела вращения Ф плоскостью Σ общего положения строится по точкам 1, 2, …, каждая из которых определяется такими способами:

а) способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения; 

б) способ замены плоскостей проекций и т.д..

Суть способа вспомогательных секущих плоскостей особого положения

Вводится совокупность плоскостей Ω (1) , Ω (2) , …особого положения и определяются линии пересечения этих плоскостей с телом вращения Ф и плоскостью Σ общего положения. Точки пересечения полученных пар линий являются точками искомой линии k пересечения тела вращения Ф плоскостью Σ.

На рис. 4.39 цилиндр Ф пересекается плоскостью Σ, заданной горизонтальным Проецирование тел вращения и фронтальным Проецирование тел вращения следами. Вводятся секущие плоскости Проецирование тел вращения горизонтального уровня и определяются линии пересечения этих плоскостей с цилиндром и плоскостью Σ. При этом горизонтальные проекции линии пересечения плоскостей Проецирование тел вращения с цилиндром Ф совпадает с проекцией Ф1 (окружностью). Линии пересечения плоскостей Проецирование тел вращения с плоскостью Σ являются горизонтальными прямыми уровня Проецирование тел вращения . Проекции Проецирование тел вращения искомых точек 1 – 7 линии k являются точками пересечения Ф1 с горизонталями Проецирование тел вращения С помощью линий проекционной связи определяются проекции Проецирование тел вращения Полученная фигура k сечения является частью эллипса, на проекциях которого обязательно обозначается точка А перехода от видимого контура к невидимому на П2. Натуральная величина Проецирование тел вращения фигуры сечения k определяется комбинацией способов замены плоскостей проекций и плоскопараллельного перемещения.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение цилиндра плоскостью общего положения

На рис. 4.40 конус Ф пересекается плоскостью Σ, заданной горизонтальным Проецирование тел вращения и фронтальным Проецирование тел вращения следами. Вводятся секущие плоскости Проецирование тел вращения горизонтального уровня и определяются линии пересечения этих плоскостей с конусом и плоскостью Σ. При этом горизонтальные проекции линии пересечения плоскостей Проецирование тел вращения с конусом Ф являются концентрическими окружностями. Линии пересечения плоскостейПроецирование тел вращения с плоскостью Σ являются горизонтальными прямыми уровня Проецирование тел вращения Проекции Проецирование тел вращения искомых точек 1 – 7 линии k являются точками пересечения Ф1 с горизонталями Проецирование тел вращенияС помощью линий проекционной связи определяются проекции Проецирование тел вращения Полученная фигура k сечения является параболой (секущая плоскость Σ параллельна образующей линии конуса), на проекциях которой обязательно обозначается точка А перехода от видимого контура к невидимому на П2. Натуральная величина Проецирование тел вращения фигуры сечения k определяется комбинацией способов замены плоскостей проекций и плоскопараллельного перемещения.

Недостатки способа секущих плоскостей особого положения :

а) сложность или невозможность определения особых точек фигуры сечения;

б) необходимость дополнительного применения способов преобразования комплексного чертежа для определения натуральной величины фигуры сечения.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение конуса плоскостью общего положения

Способ замены плоскостей проекций

Обозначенные выше недостатки способа вспомогательных секущих плоскостей для определения сечения тела вращения плоскостью устраняются при использовании способа замены плоскостей проекций. Этот способ базируется на введении вспомогательной плоскости  проекций П4, относительно которой секущая плоскость будет проецирующей. 

На рис. 4.41 цилиндр Ф пересекается плоскостью Σ общего положения, заданной горизонтальным Проецирование тел вращения и фронтальным Проецирование тел вращения следами. Определяются проекции цилиндра Ф и плоскости Σ на вспомогательную плоскость проекций П4, перпендикулярную к плоскости Σ (ось Проецирование тел вращения перпендикулярна  следу Проецирование тел вращения). Проекция плоскости Σ на плоскость проекций П4 определяется с помощью точек Проецирование тел вращения Выбираются точки Проецирование тел вращения проекции k4 фигуры сечения, и с помощью линий проекционной связи определяются горизонтальная и фронтальная проекции искомой линии k пересечения цилиндра Ф плоскостью Σ. Натуральная величина сечения определяется способом плоскопараллельного перемещения.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение плоского сечения цилиндра способом замены плоскостей проекций

Пересечения тела вращения с многогранником

Линия пересечения многогранника с телом вращения в общем случае состоит из отдельных участков кривых линий, получающихся при пересечении граней многогранни-ка с поверхностью вращения.

Способ вспомогательных секущих плоскостей уровня

Линия k пересечения любого тела вращения с многогранником Ψ  - это одна пространственная линия или их совокупность. Отдельные звенья этих линий -это плоские кривые – линии пересечения граней многогранника Ψ с телом вращения (рис. 4.42).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияЛинии пересечения конуса с многогранником

Линия k пересечения тела вращения Ω с многогранником Ψ определяется, как правило, без использования способов преобразования комплексного чертежа, но с использованием вспомогательных секущих плоскостей Σ (1) , Σ (2) , … особого положения – так называемых плоскостей-посредников.

Суть способа вспомогательных секущих  плоскостей-посредников

Вводится семья секущих плоскостей особого положения Σ (1) , Σ (2) , … и находятся лини их пересечения с телом вращения и многогранником Ψ. Точки 1, 2, … пересечения пар построенных линий являются точками искомой линии пересечения тела вращения  с многогранником Ψ.

Плоскостями-посредниками могут быть:

а) семья параллельных плоскостей уровня;

б) семья проецирующих плоскостей, которые пересекаются по одной прямой;

в) комбинация семей плоскостей уровня и проецирующих плоскостей.

На рис. 4.43 конус пересекается с треугольной призмой. Вводятся вспомогательные секущие плоскости горизонтального уровня Проецирование тел вращения , пересекающие конус по окружностям, а призму – по треугольнику. Точки 1 – 10 пересечения этих окружностей треугольником являются точками, принадлежащими искомой линии пересечения конуса с призмой. Линии 1 – 3, 3 – 10 (две гиперболы) являются двумя плоскими звеньями одной пространственной линии.

На рис. 4.44 цилиндр пересекается с треугольной пирамидой. Вводятся вспомогательные секущие плоскости фронтального уровня Проецирование тел вращенияпересекающие цилиндр по прямоугольникам, а пирамиду – по треугольникам. Точки 1 – 6 пересечения этих прямоугольников с соответствующими треугольниками являются точками, принадлежащими искомой линии пересечения цилиндра с пирамидой. Линии 1 – 3, 3 – 6 (две дуги эллипсов) являются двумя плоскими звеньями одной пространственной линии

На рис. 4.45 тор пересекается с треугольной призмой. Вводятся вспомогательные секущие плоскости  фронтального уровня Проецирование тел вращения  пересекающие тор по дугам окружностей, а призму – по прямоугольникам. Точки 1 – 12 пересечения этих дуг окружностей с соответствующими прямоугольниками являются точками, принадлежащими искомой линии пересечения тора с призмой. Линии 1 – 3, 3 – 10, 10 – 12 являются тремя плоскими кривыми четвертого порядка –  звеньями искомой пространственной кривой .

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение конуса с призмой Проецирование тел вращенияПересечение цилиндра с пирамидой

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение тора с призмой

Способ вспомогательных проецирующих секущих плоскостей

На рис. 4.46 конус пересекается с треугольной призмой. Вводятся вспомогательные секущие горизонтально-проецирующие плоскости Проецирование тел вращения проходящие через вершину S конуса и пересекающие конус по треугольникам, а призму – по прямоугольникам. Точки 1 – 8 пересечения этих треугольников с соответствующими прямоугольниками - это точки, принадлежащие искомой линии пересечения конуса с призмой. Линии 1 – 3, 3 – 10 (две гиперболы) являются двумя плоскими звеньями искомой пространственной кривой.

Необходимо отметить, что секущие плоскости -посредники выбираются так, чтобы они пересекали тело вращения по прямой линии или по окружности (табл. 4.1, рис. 4.13). В любом случае эти секущие плоскости пересекут многогранник по плоскому многоугольнику, который строится способами, описанными в п. 4.1.1 (рис. 4.4 – 4.5).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ вспомогательных проецирующих секущих плоскостей

Пересечение двух тел вращения

Если тела вращения имеют одну общую ось, то линия их взаимного пересечения будет представлять собой окружность — общую параллель для двух тел вращения, которая на ортогональных проекциях будет изображаться на одной проекции как окружность, а на других — как прямая линия

Способ плоскостей - посредников особого положения

Два тела  вращения Ф, Ψ  могут пересекаться по пространственной кривой k, которая может раскладываться на несколько отдельных линий. Существует ограниченное количество способов определения этой линии:

а) плоскостей-посредников особого положения;

б)  плоскостей-посредников общего положения (см. п. 4.2.5.2);

в) конических поверхностей (см. п. 4.2.5.3);

г) сфер:

1) концентрических (см. п. 4.2.5.4.2);

2) эксцентрических (см. п. 4.2.5.4.3).

Правильно выбранный способ - это залог успешного решения поставленной задачи на определение линии k пересечения двух тел вращения Ф, Ψ. Выбор определённого способа зависит от вида тел вращения Ф, Ψ и взаимного расположения их осей Проецирование тел вращения

Способ вспомогательных плоскостей-посредников особого положения используется в случаях, когда два тела вращения Ф, Ψ  имеют оси Проецирование тел вращения , параллельные (рис. 4.47) или  пересекающиеся под прямым углом (рис. 4.48). Кроме того, эти оси Проецирование тел вращения должны быть прямыми особого положения. Для скрещивающихся осей Проецирование тел вращения особого положения способ  вспомогательных плоскостей-посредников подходит в случае , если угол между проекциями этих осей на плоскость, им параллельную, прямой (рис. 4.49 – 4.50)

Описанные условия являются необходимыми, но недостаточными. Например, способ вспомогательных плоскостей-посредников не применяется для определения линии пересечения двух конусов (рис. 4.51 а), оси которых пересекаются даже под прямым углом. В таких случаях используются способы вспомогательных секущих плоскостей общего положения и способы вспомогательных сфер.

На рис. 4.47 пересекаются два конуса Ф, Ψ с параллельными осями Проецирование тел вращения которые являются горизонтально-проецирующими прямыми. Вводятся вспомогательные плоскости -посредники Проецирование тел вращения горизонтального уровня, пересекающие конусы по двум семьям концентрических окружностей. Точки 1 – 7 пересечения пар этих окружностей являются точками, принадлежащими искомой линии k пересечения конусов Ф, Ψ. Наивысшая точка 4 линии k определяется способом вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси Проецирование тел вращения оба конуса вращаются до положения, которое отвечает фронтальному уровню плоскости, образованной осями  Проецирование тел вращения Образующие линии двух конусов пересекаются в точке Проецирование тел вращения по проекциям которой определяются фронтальная и горизонтальная проекции точки 4. Обязательно обозначаются особые точки А, В, первая из которых является точкой перехода от видимой части кривой k до невидимой на П2.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение двух конусов

На рис. 4.48 конус Ф пересекается с полуцилиндром Ψ. Их оси  Проецирование тел вращения пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Вводятся вспомогательные плоскости-посредники Проецирование тел вращения горизонтального уровня, пересекающие конус по концентрическим окружностям, а полуцилиндр – по прямоугольникам. Горизонтальные проекции прямоугольников определяются с помощью профильной проекции полуцилиндра. Точки Проецирование тел вращения пересечения окружностей с соответствующими прямоугольниками является точками, которые принадлежат искомым линиям Проецирование тел вращения пересечения конуса Ф с цилиндром Ψ.

На рис. 4.49 конус Ф пересекается с полуцилиндром Ψ. Их оси Проецирование тел вращения скрещивающиеся и взаимно перпендикулярны. Вводятся вспомогательные плоскости-посредники Проецирование тел вращения горизонтального уровня, пересекающие конус по концентрическим окружностям а полуцилиндр – по прямоугольникам. Горизонтальные проекции прямоугольников определяются с помощью профильной проекции полуцилиндра. Точки 1 – 16 пересечения окружностей с соответствующими прямоугольниками являются точками, принадлежащими искомой линии k пересечения конуса Ф с цилиндром Ψ. Особыми точками кривой k являются точки 6, 10 (точки перехода от видимой части линии k к невидимой)и точки 5, 11. Точка 16 отделена и принадлежит дуге окружности 1 – 16 – 15.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращения– Определение линий пересечения тел вращения способом плоскостей-посредников особого положения

На рис. 4.50 цилиндр Ф пересекается с тором Ψ. Их оси Проецирование тел вращения скрещивающиеся и взаимно перпендикулярны. Вводятся вспомогательные плоскости-посредники Проецирование тел вращения фронтального уровня, пересекающие тор по дугам концентрических окружностей, а цилиндр – по прямоугольникам. Точки 1 – 8 пересечения этих дуг окружностей с соответствующими прямоугольниками - точки, принадлежащие искомой линии k пересечения цилиндра Ф с тором Ψ. Особыми точками кривой k являются точки 4, 5, первая из которых - точка перехода от видимой части линии k к невидимой на П2.

Существуют случаи, когда способами вспомогательных секущих плоскостей невозможно определить линию пересечения двух тел вращения (рис. 4.51 б). В этом  случае, как правило, используется метод последовательных приближений.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линии пересечения  конуса с полуцилиндром

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линии пересечения тора с цилиндром

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращения– Случаи невозможности определения линий пересечения тел вращения способами вспомогательных секущих плоскостей особого положения

Способ плоскостей-посредников общего положения

Способ вспомогательных плоскостей-посредников общего положения применяется случаях, когда два тела вращения Ф, Ψ являются прямыми или эллиптическими конусами (иногда – цилиндрами или конусом и цилиндром). Этот способ применяется для любого взаимного расположения осей тел

Суть способа вспомогательных плоскостей-посредников общего положения. 

Вводится семья секущих плоскостей Проецирование тел вращения ... общего положения, пересекающих тела Ф, Ψ по треугольникам (в случае конусов) или прямоугольниках (в случае цилиндров). Секущие плоскости-посредники Проецирование тел вращения ... должны проходить через вершины конусов (в случае конусов) или параллельно осям цилиндров (в случае цилиндров). Точки 1, 2, … пересечения полученных треугольников или прямоугольников являются точками искомой линии k пересечения тел Ф, Ψ.

На рис. 4.52 пересекаются два конуса. Вводится семья плоскостей Проецирование тел вращения общего положения, заданных фронталью f,  проходящей через вершины Проецирование тел вращения конусов, и горизонталями Проецирование тел вращения совпадающими с горизонтальными следами плоскостей-посредников Проецирование тел вращения . Плоскости-посредники Σ (1) – Σ (5) пересекают конусы по треугольникам, попарно пересекающимся в точках 1 – 17, которые принадлежат двум искомым линиям 1 – 7, 8 – 17 пересечения конусов.

На рис. 4.53 пересекаются конус и цилиндр. Вводится семья плоскостей Проецирование тел вращения общего положения, заданных фронталью f,  проходящей через вершину S конуса параллельно оси цилиндра, и горизонталями Проецирование тел вращения совпадающими с горизонтальными следами плоскостей-посредников Проецирование тел вращения. Плоскости-посредники Проецирование тел вращения пересекают конус по треугольникам, а цилиндр – по прямоугольникам. Эти треугольники и прямоугольники попарно пересекаются в точках 1 – 15,  которые принадлежат двум искомым линиям 1 – 8, 9 – 15 пересечения конуса с цилиндром.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линий пересечения двух конусов

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линий пересечения конуса с цилиндром

На рис. 4.54 пересекаются два цилиндра. Вводится семья плоскостей Проецирование тел вращения общего положения, параллельных осям двух цилиндров. Для построения плоскостей-посредников в пространстве произвольно выбирается точка А, и строится плоскость Σ, заданная прямыми l, m, параллельными осям цилиндров. По горизонтальным следам Проецирование тел вращения плоскостей Σ строится горизонтальный след Проецирование тел вращения плоскости Σ. Плоскости-посредники Проецирование тел вращенияимеют горизонтальные следы,  параллельные Проецирование тел вращения, поэтому пересекают оба цилиндра по прямоугольникам. Эти прямоугольники попарно пересекаются в точках 1 – 18, принадлежащих искомой линии пересечения цилиндров.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линии пересечения двух цилиндров

Способ конических поверхностей

Способ конических поверхностей применяется для определения линии k пересечения конуса Ф (не обязательно прямого кругового) с произвольным телом вращения Ψ. Этот способ базируется на том, что две конические поверхности с общей вершиной пересекаются по прямым линиям (рис. 4.55).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ конических поверхностей

Суть способа конических поверхностей

Тело вращения Ψ  пересекается семьёй плоскостей Проецирование тел вращения, … горизонтального уровня по окружностям Проецирование тел вращения …, которые выбираются направляющими конических поверхностей Проецирование тел вращения … Вершиной конических поверхностей Проецирование тел вращения … является вершина заданного конуса Ф. Определяются следы Проецирование тел вращения …конических поверхностей – окружности с центрами в точках Проецирование тел вращения …,     которые являются горизонтальными следами осей Проецирование тел вращения … конических поверхностейПроецирование тел вращения, … По точкам  Проецирование тел вращения … пересечения окружностей Проецирование тел вращения … с основой конуса Ф строятся образующие линии Проецирование тел вращения … Точки пересечения этих образующих с окружностями Проецирование тел вращения … - это точки 1, 2, … искомой линии k пересечения конуса Ф с телом вращения Ψ.

На рис. 4.56 конус Ф с эллиптической основой пересекается со сферой Ψ. Строится семья плоскостей Проецирование тел вращения горизонтального уровня. Последние пересекают сферу Ψ по горизонтальным окружностям Проецирование тел вращения которые выбирают направляющими конических поверхностей Проецирование тел вращения с вершиной S. Определяются следы Проецирование тел вращения конических поверхностей – окружности с центрами в точках Проецирование тел вращения ,которые являются горизонтальными следами осей Проецирование тел вращения конических поверхностей Проецирование тел вращения По точкам Проецирование тел вращенияпересечения окружностей Проецирование тел вращенияс основой конуса Ф строятся образующие линии Проецирование тел вращения Точки 2 – 4, 6 – 8 пересечения этих образующих с окружностями  Проецирование тел вращения принадлежат искомой линии k пересечения конуса Ф со сферой Ψ. Линия k строится по точкам 1 – 8. Точки 1, 5 определяются способом вспомогательной секущей плоскости-посредника Проецирование тел вращения фронтального уровня.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линии пересечения эллиптического конуса со сферой способом конических поверхностей 

Способы вспомогательных сфер

Алгебраический порядок линии k пересечения двух поверхностей Ф, Ψ равен произведению алгебраических порядков этих поверхностей. При определённых условиях линия k распадается на несколько линий . Например, линия пересечения двух прямых круговых цилиндров (поверхностей второго порядка), цилиндра с конусом или двух конусов имеет четвертый алгебраический порядок. В некоторых случаях линия пересечения этих поверхностей распадается на две окружности (рис. 4.57 – 4.59).

Теорема Монжа

Если две поверхности Ф, Ψ  второго порядка описаны вокруг третьей поверхности Ω второго порядка (или в неё вписаны), то линия их пересечения распадается на две кривые Проецирование тел вращения второго порядка, плоскости которых проходят через прямую l, соединяющую точки А, В касания линий Проецирование тел вращения.

. На рис. 4.57 – 4.59 два цилиндра, цилиндр и конус и два конуса Ф, Ψ описаны вокруг сферы . Линии их пересечения распадаются на пары эллипсов Проецирование тел вращения , плоскости которых проходят через общий отрезок АВ.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПрименение теоремы Монжа для определения линии пересечения двух цилиндров

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПрименение теоремы Монжа для определения линии пересечения цилиндра с конусом

Существует также теорема Монжа на плоскости, сформулированная Ж. Д’Аламбером. Согласно этой теореме для трёх произвольных окружностей a, b, c, каждая из которых не находится целиком в середине двух других, точки А, В, С пересечения трёх пар общих внешних касательных принадлежат одной прямой l:

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПрименение теоремы Монжа для определения линии пересечения двух конусов

Способ вспомогательных концентрических сфер

Способ вспомогательных концентрических сфер (сфер с постоянным центром) используется для определения линии пересечения двух тел вращения Ф, Ψ, оси Проецирование тел вращения которых пересекаются. Этот способ основывается на таком свойстве тел вращения: два тела вращения Ф, Ω с общей осью і пересекаются по окружностям с центром на оси вращения (рис. 4.60 а). В способе сфер тело Ω является сферой (рис. 4.60 б).

Суть способа  концентрических сфер

Вводится множество Проецирование тел вращения, … концентрических сферических поверхностей с центром в точке О пересечения осей Проецирование тел вращения двух тел вращения Ф, Ψ.  Сферы Проецирование тел вращения, … пересекают тела вращения Ф, Ψ по окружностям (рис. 4.60 б). Точки 1, 2, …пересечения этих окружностей являются точками искомой линии k пересечения тел вращения Ф, Ψ.

На рис. 4.61 пересекаются цилиндр Ф с конусом Ψ. Их оси Проецирование тел вращения пересекаются в точке О, которая выбирается центром концентрических сфер. Вводится семья концентрических сфер Проецирование тел вращения с радиусами в диапазоне от Проецирование тел вращения до Проецирование тел вращения. Сфера наименьшего радиуса Проецирование тел вращения вписана в конус Ψ. Сфера наибольшего радиуса Проецирование тел вращения проходит через точку 5, наиболее удалённую от центра О. Сферы Проецирование тел вращения пересекают цилиндр по окружностям, которые имеют одинаковый радиус и принадлежат плоскостям профильного уровня. Сферы Проецирование тел вращения пересекают конус по окружностям, принадлежащим плоскостям горизонтального уровня. Точки 1 – 8, 9 – 16 пересечения окружностей на поверхности цилиндра с соответствующими окружностями на поверхности конуса принадлежат искомой линии пересечения цилиндра Ф с конусом Ψ. Эта линия распадается на две замкнутые пространственные кривые: k – построена по точкам 1 – 8, Проецирование тел вращения – построена по точкам 9 – 16. Горизонтальные проекции линий Проецирование тел вращения определяются с помощью линий проекционной связи и направляющих линий (окружностей) конуса Ψ.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияПересечение тел вращения с общей осью

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линии пересечения конуса с цилиндром

На рис. 4.62 пересекаются конус Ф и сфера Ψ. Поскольку в сфере Ψ можно провести бесконечное число осей вращения Проецирование тел вращения , то существует бесконечное число точек пересечения оси Проецирование тел вращения сферы Ψ с осью і конуса Ф. В данном случае центром концентрических сфер выбрана вершина О конуса. Вводится семья концентрических сфер Проецирование тел вращения с радиусами в диапазоне от Проецирование тел вращения отвечающих наивысшей точке 1 и наинизшей точке 6 линии пересечения. Сферы Проецирование тел вращения пересекают конус Ф по окружностям, принадлежащим плоскостям горизонтального уровня. Сферы Проецирование тел вращения пересекают сферу Ψ по окружностям, принадлежащим фронтально-проецирующим плоскостям. Точки 1 – 10 пересечения окружностей на поверхности конуса Ф с соответствующими окружностями на поверхности сферы Ψ  принадлежат искомой линии k пересечения цилиндра Ф с конусом Ψ. Горизонтальная проекция линии k определяется с помощью линий проекционной связи и направляющих линий (окружностей) конуса Ψ.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияОпределение линии пересечения конуса способом вспомогательных концентрических сфер

Способ вспомогательных эксцентрических сфер

Способ вспомогательных эксцентрических сфер (сфер с разными центрами) применяется для определения линии k пересечения двух тел вращения Ф, Ψ, оси Проецирование тел вращения которых пересекаются или скрещивающиеся. Кроме того, тела вращения Ф, Ψ  должны иметь по крайней мере одну общую плоскость симметрии. Отличие этого способа от способа концентрических сфер состоит в изменении центров сферических поверхностей.

Суть способа эксцентрических сфер

Вводится множество Проецирование тел вращения … сферических поверхностей с центрами Проецирование тел вращения, … Сферы Проецирование тел вращения, … пересекают тела вращения Ф, Ψ по окружностям (рис. 4.60 б). Точки 1, 2, … пересечения этих окружностей -  точки искомой линии k пересечения тел вращения Ф, Ψ. Сложность способа эксцентрических сфер состоит в правильном определении их центров Проецирование тел вращения …, способ определения которых зависит от формы тел вращения Ф, Ψ.

Правило определения центров эксцентрических сфер Центры Проецирование тел вращения….эксцентрических сфер Проецирование тел вращения … находятся в общей плоскости симметрии тел вращения Ф, Ψ. Построенные сферы Проецирование тел вращения … должны пересекать тела вращения Ф, Ψ  по окружностям.

Основным преимуществом способов вспомогательных сфер (концентрических или эксцентрических) над другими существующими способами определения линии k пересечения двух тел вращения Ф, Ψ  является то, что линия k пересечения определяется только с помощью одной проекции, например, фронтальной.

На рис. 4.63 а конус Ф пересекается со сферой Ψ. Центрами Проецирование тел вращения эксцентрических сфер Проецирование тел вращения являются произвольные точки оси конуса Ф. Радиусы эксцентрических сфер выбираются произвольно . Сферы Проецирование тел вращения) пересекают конус Ф по окружностям, принадлежащим плоскостям горизонтального уровня. Сферы Проецирование тел вращения пересекают сферу Ψ по окружностям, принадлежащим фронтально-проецирующим плоскостям. Точки 1 – 6 пересечения окружностей на поверхности конуса Ф с соответствующими окружностями на поверхности сферы Ψ  принадлежат искомой линии k пересечения цилиндра Ф с  конусом Ψ.

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ  эксцентрических сфер с произвольными центрами и радиусами

На рис. 4.63 б цилиндр Ф пересекается с полусферой Ψ вдвое большего радиуса. Центрами Проецирование тел вращенияэксцентрических сфер Проецирование тел вращенияявляются произвольные точки оси цилиндра Ф. Радиусы эксцентрических сфер выбираются произвольно. Сферы Проецирование тел вращения пересекают цилиндр Ф по окружностям одинаковых радиусов, принадлежащих фронтально-проецирующим плоскостям. Сферы Проецирование тел вращения пересекают полусферу Ψ по окружностям разных радиусов, принадлежащих фронтально-проецирующим плоскостям. Точки 1 – 8 пересечения окружностей на поверхности цилиндра Ф с соответствующими окружностями на поверхности полусферы Ψ принадлежат искомой линии k пересечения цилиндра Ф с полусферой Ψ. Эта линия называется кривой Вивиани.

На рис. 4.64 тор Ф пересекается с цилиндром Ψ. Вводится семья фронтально-проецирующих секущих плоскостей Проецирование тел вращения , проходящих через фронтально-проецирующую ось j тора и пересекают линию центров образующих линий тора Ф в точках Проецирование тел вращения. Из этих точек проводятся перпендикуляры к плоскостям Проецирование тел вращения до пересечения с горизонтально проецирующей осью і цилиндра. Полученные точки Проецирование тел вращения являются центрами эксцентрических сфер Проецирование тел вращения . Строится семья сфер Проецирование тел вращения с такими радиусами, чтобы эти сферы пересекали тор по окружностям,  принадлежащим фронтально-проецирующим плоскостям Σ (1) – Σ (4) . Сферы Ω (1) – Ω (4) пересекают цилиндр по окружностям одинаковых радиусов, принадлежащих плоскостям горизонтального уровня. Точки 1 – 4 пересечения окружности на поверхности тора Ф с соответствующими окружностями на поверхности цилиндра Ψ принадлежат искомой линии 1 – 5 пересечения тора Ф с цилиндром Ψ. Точка 5 -точка пересечения (касания) основ тора и цилиндра (см. горизонтальную проекцию).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияСпособ  эксцентрических сфер с определёнными центрами и радиусами

Проецирование тел вращения

Винченцо Вивиани (Vincenzo Viviani) – итальянский математик и архитектор, ученик Галилея и Торичелли, член Лондонского королевского общества. Автор трактатов по теоретической механики и сопротивления материалов. Применил биквадратные пространственные кривые для строительства окон в сферических куполах.

Свойства линий пересечения тел вращения

В случае  пересечения двух тел вращения второго порядка Ф, Ψ с  общей плоскостью симметрии Σ линия k пересечения - это биквадратная пространственная кривая, которая является отдельным случаем кривой четвертого порядка (рис. 4.65 а – б).

Свойства  биквадратных пространственных кривых:

а)  биквадратная пространственная кривая k имеет плоскость симметрии Σ, которая совпадает с общей плоскостью симметрии двух тел вращения, которые пересекаются.

б) проекция биквадратной пространственной кривой k на собственную плоскость симметрии Σ является плоской кривой второго порядка (табл. 4.2).

Проецирование тел вращения

Проецирование тел вращенияБиквадратные пространственные кривые 

Проецирование тел вращения

Например, линия k пересечения двух цилиндров Ф, Ψ разных диаметров (рис. 4.65 а) является биквадратной пространственной кривой k, проецирующейся на плоскость Проецирование тел вращения в гиперболу.

На рис. 4.65 б показана линия k пересечения цилиндра Ф со сферой Ψ. Эта линия является биквадратной пространственной кривой, которая проецируется на плоскость Проецирование тел вращения в параболу.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Способы преобразования чертежа
  19. Кривые линии
  20. Кривые поверхности
  21. Трёхгранник Френе
  22. Проецирование многогранников
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы