Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Содержание:

Изображение плоскости на комплексном чертеже
Проецирующие плоскости и плоскость общего положения
Проекции точки и прямой, расположенных на плоскости
Проекции плоских фигур
Взаимное расположение плоскостей
Прямая, принадлежащая плоскости
Пересечение прямой с плоскостью
Пересечение плоскостей

Проецирование плоских многоугольников. Плоской называют геометрическую фигуру, все точки которой принадлежат одной плоскости. Плоская фигура проецируется на плоскость проекций без искажения, если расположена параллельно этой плоскости.

Изображение плоскости на комплексном чертеже

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой (см. рис. 89, б и в).

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) плоскости задаются аналогично, например, на рис. 99, а — проекциями трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99. б — проекциями прямой ВС и точки А, не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г — проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 99

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 100

Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальней плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р_H.

Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р_V.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P_w.

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р_х, Р_у и Р_z.

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже относительно осей проекций определяет положение самой плоскости относительно плоскостей проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы Р_V и P_w, параллельные осям Ох и Оу, то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101. а). Плоскость Р со стелами Р_Hи Р_W, параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, б), называется фронтальной, а плоскость Р со следами Р_V и Р_H, параллельными осям проекций Оу и Оz, — профильной (рис. 101. в).

Горизонтальная. фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные двум плоскостям чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например треугольником или параллелограммом (рис 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 101

Проецирующие плоскости и плоскость общего положения

Плоскость, перпендикулярная плоскости Н (рис. 102, а), называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P_Vэтой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р_H расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а).

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, б), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис. 102. в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох. а фронтальный след расположен под некоторым утлом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости нс следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная плоскости W (рис. 102, д). Следы Р_V и Р_H этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общею положения. Все три следа Р_V, Р_H и P_wплоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости Н, V и W в искаженном виде.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 102

Проекции точки и прямой, расположенных на плоскости

Если прямая расположена на плоскости, то она должка проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций Н и V, то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103. а); например, горизонтальный стел Н прямой — на горизонтальном следе Р_H плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе P_Vплоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v' и h и считать их следами искомой прямой (точнее, v' — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v' и h на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h' — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т.е. v' с h' и v с h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 103

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются линиями уровня плоскости. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например. горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след линии уровня, проекцию этой линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104. а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе P_Vплоскости точку v' (рис. 104, б) и считать се фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку V параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v' на ось х, получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу Р_H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104. в и г.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 104

Нередко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе P_Vплоскости Р намечаем фронтальную проекцию v' фронтального следа горизонтали и на оси х находим его горизонтальную проекцию v (рис 105, а). Затем через точку v проводим параллельно Р_H горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v'.

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми АВ и CD (рис. 105, б). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е' и f ' пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е' и f ' проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пресекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 105

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, а), который задаст некоторую плоскость ABCD. Отрезок DC расположен в плоскости Н, следовательно, его горизонтальная проекция dс является горизонтальным следом плоскости или горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости.

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dс прямой DC до пересечения с осью X в точке Р_X, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v' , через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальней проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восстановленном из точки v к оси х, в точке v' его пересечения с продолжением фронтальной проекции а'Ь' прямой АВ. Соединив точки Р_x с v', находим фронтальный след Р_V плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис. 106, б.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 106

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки

Через заданную проекцию точки, например, фронтальную проекцию п' точки N, расположенной на плоскости треугольника AВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например, т'к‘. Строим другую проекцию тк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки т' и к' до пересечения с линиями ас и be. Из точки п' проводим линию связи до пересечения с проекцией тк в искомой точке n.

Профильную проекцию n" находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой, для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 107

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б), надо найти се проекции а' и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av'.

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v‘ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Р_H плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а' искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108. в и г).

При заданной фронтальной проекции а' точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости Р. найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а' до пересечения со следом Р_H.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108. д и е), то се фронтальная проекция а' находится на фронтальном следе Р_V плоскости Р.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 108

Проекции плоских фигур

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят с помощью нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций Н и V. Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости Н (рис. 109. а), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительной величиной, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси x. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис 109. б. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в), передняя грань которого треугольная.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 109

Трапеция ABCD расположена на фронтально проецирующей плоскости (рис. 110. а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б).

Задняя грань отрезного резца (рис. 110. в) имеет форму трапеции.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 110

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить. что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит па фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111, а), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Р_V плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру круга 37. Остальные точки проекций эллипса определяются следующим образом. Вспомогательная полуокружность делится на четыре равные части, методом проецирования определяются остальные проекции точек 2, 8. 4, 6.

На рис. 111,б показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 111

Взаимное расположение плоскостей

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если равны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, 6). Плоскости Р и К будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P_Wи К_W.

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и Н, которые принадлежат обеим плоскостям. т.е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами Р_W, Р_Н и Q_Vнеобходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т.е. точки v' и h (рис. 112, г); точка v'— фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей P и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v' и h на ось x, находим точки V и h' Соединив прямыми одноименные проекции следов, т.е. точки v' и h', v и h , получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 112

Прямая, принадлежащая плоскости

Дана плоскость, заданная треугольником АВС и прямая, заданная отрезком MN. На рис. 113, а треугольник АВС и отрезок MN заданы горизонтальными и фронтальными проекциями. Требуется определить, лежит ли прямая в плоскости данного треугольника.

Для этого фронтальную проекцию отрезка т‘п‘ продолжаем до пересечения с отрезками а‘Ь' и d'с' (проекциями сторон треугольника AВС), получаем точки е'к' (рис. 113, б).

Из точек е'к' проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и са, получаем точки ek. Продолжим горизонтальную проекцию тп отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон Ьа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками е и к, то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 113

Пересечение прямой с плоскостью

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую АВ проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, а). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию ab прямой АВ проводят горизонтальный след Q_Hплоскости Q и продолжают его до пересечения с осью х в точке Q_x.Из точки Q_x. к оси х восставляют перпендикуляр Q_XQ_V, который будет фронтальным следом Q_V вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P_V и Q_V — точку v' и следов P_H и Q_H — точку h, опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v' и h'— будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v' и h', получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения M заданной прямой АВ и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция т' этой точки расположена на пересечении проекций а'b' и v'h'. Горизонтальную проекцию т точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки т' до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом

Через прямую MN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р. Для этого через точки т‘ и n‘ проводят фронтальный след плоскости P_V, продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости P_V с осью x опускают перпендикуляр Р_H, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника АВС. Фронтальная проекция e'd' линии ED совпадает с т'n'. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек e' и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки с и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией тn прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линию связи, находят фронтальную проекцию k'. Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 114

В частном случае прямая АВ может быть перпендикулярна плоскости Р. Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис. 115, а). Фронтальная проекция а’Ь' перпендикулярна фронтальному следу Р_V, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу P_H плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми. то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС, необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d' точки D опускают перпендикуляры соответственно на се и f'd'. Прямая, проведенная из точки D, будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 115

Пересечение плоскостей

Задачи на построение линии пересечения плоскостей. заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DF и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку М, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1' и 2‘ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ab и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию т искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию т' точки М. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки т' и n', т и n, получают проекции линий пересечения МN плоскостей АВС и DEF.

Проецирование плоских фигур с примерами и образцами выполнения

Рис. 116

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Учебные лекции: