Проецирование многогранников

Содержание:

  1. Пересечение многогранника плоскостью особого положения
  2. Пересечение многогранника прямой
  3. Пересечение многогранника плоскостью общего положения
  4. Способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения
  5. Способ вспомогательных плоскостей-посредников
  6. Способ замены плоскостей проекций
  7. Пересечение двух многогранников
  8. Способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения
  9. Способ вспомогательных плоскостей - посредников

Чертёж любого многогранника состоит из сочетания многоугольников. Каждая линия на чертеже многоугольника - это либо проекция линии пересечения двух граней (ребра), либо проекция самой грани (плоскости), если эта грань перпендикулярна плоскости проекций. При проецировании многогранника на плоскость чертежа необходимо уметь мысленно разделять его на составные части и правильно определять порядок их изображения.

Пересечение многогранника плоскостью особого положения

Пространственное тело можно рассматривать как непрерывную совокупность точек пространства, ограниченных поверхностью или совокупностью поверхностей. Поэтому изучение пространственных  тел невозможно без понимания теории поверхностей (см. п. 3.2.1 – 3.2.2).

Среди бесконечного разнообразия пространственных тел одними из наиболее простых и одновременно наиболее распространённых являются многогранники – тела, ограниченные совокупностью плоскостей (рис. 4.1). Форму многогранников имеют сооружения (рис. 4.1 а), природные и искусственные кристаллы (рис. 4.1 б) и их кристаллические решётки (рис. 4.1 в), ювелирные изделия (рис. 4.1 г), изделия нанотехнологии (рис. 4.1 д) и т.д.

Проецирование многогранников.

Проецирование многогранниковПрименение и проявления многогранников

Многогранники делят на правильные (рис. 4.2 а) и неправильной формы (рис. 4.2 б), выпуклые (рис. 4.2 а) и вогнутые (рис. 4.2 в), звёздообразные (рис. 4.2 г) и т.д.

Правильные многогранники – многогранники с одинаковыми по форме и размерам гранями. Они также имеют название платоновских тел..

Существуют такие правильные многогранники (рис. 4.2 а):

а) тетраэдр (от греческого τετράεδρον – четырёхгранник) – геометрическое тело, ограниченное четырьмя гранями в форме правильных треугольников;

б) куб – геометрическое тело, ограниченное шестью гранями в форме квадратов. Другое название куба – гексаэдр (в переводе с греческого – шестигранник);

в) октаэдр (от греческого οκτάεδρο – восьмигранник) – тело, ограниченное восемью гранями в форме правильных треугольников;

г) додекаэдр ((от греческого δοδεκάεδρο – двенадцатигранник) – тело, ограниченное двенадцатью гранями в форме правильных пятиугольников;

д) икосаэдр (в переводе с греческого– двадцатигранник) – тело, ограниченное двадцатью гранями в форме правильных треугольников.

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковВиды многогранников

Основными геометрическими элементами многогранников являются:

а) грани – плоскости, которыми ограничено тело;

б) ребра – линии пересечения граней;

в) вершины – точки пересечения рёбер.

Связь между количеством граней Г, рёбер Р и вершин В устанавливает формула Эйлера:

Проецирование многогранников

Например, для куба Проецирование многогранников

Проецирование многогранников

Платон (в переводе с греческого Πλάτων – широкоплечий) – древнегреческий философ, ученик Сократа и учитель Аристотеля. Настоящее имя – Аристокл (в переводе с греческого Αριστοκλής –наиболее славный). Платон является основателем идеализма в мировой философии.

Проецирование многогранниковПроецирование многогранников

Леонард Эйлер (Leonhard Euler) – швейцарский, немецкий и российский математик, физик, астроном, почётный член Петербургской академии наук, автор более, чем 800 научных трудов из разных областей природоведения. Основатель теории комплексных чисел, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии и т.д..

Проекцией многогранника является плоская замкнутая фигура. На рис. 4.3 а – б построены комплексные чертежи прямой четырёхугольной призмы и прямой пятиугольной пирамиды.

Любой многогранник Ф пересекается плоскостью Σ по плоской линии – многоугольнику k, элементы которого определяются двумя способами:

а) способ ребер, согласно с которым точки многоугольника k являются точками пересечения плоскости Σ с рёбрами тела Ф (рис. 4.4 а);

б) способ граней, согласно с которым стороны многоугольника k являются линиями пересечения плоскости Σ с гранями тела Ф (рис. 4.4 б).

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковЧертёж многогранников

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковСпособы рёбер(а) и граней(б)

На рис. 4.5 прямая треугольная пирамида SABC пересечена фронтально-проецирующей плоскостью Σ. Точки 1, 2 фигуры сечения 1 – 2 – 3 – 4 являются точками пересечения плоскости Σ с рёбрами SA, SB (способ рёбер). Сторона 3 – 4 фигуры сечения 1 – 2 – 3 – 4 является линией пересечения плоскости Σ с гранью ABC (способ граней). Фронтальная проекция Проецирование многогранников фигуры сечения совпадает с фронтальным следом Σ2 секущей плоскости; горизонтальная проекция Проецирование многогранников является четырёхугольником. Для определения натуральной величины Проецирование многогранников четырёхугольника 1 – 2 – 3 – 4 используется способ плоскопараллельного перемещения (см. п. 2.3.4, рис. 2.34).

Проецирование многогранников

Проецирование многогранников– Сечение многогранника плоскостью особого положения

На рис. 4.5 для определения проекции Проецирование многогранников использован способ вспомогательной горизонтали h, параллельной горизонтальной прямой уровня АВ.

Пересечение многогранника прямой

Для определения точек пересечения многогранника Ф прямой l используется способ вспомогательной секущей плоскости Σ особого положения.

Суть способа вспомогательной секущей плоскости особого положения

Через прямую l проводится плоскость Σ особого положения, и определяется линия k пересечения многогранника Ф  плоскостью. Искомые точки пересечения являются точками пересечения многоугольника k заданной прямой l.

На рис. 4.6 а треугольная призма пересекается прямой l. Для определения точек пересечения через прямую l проводится горизонтально-проецирующая плоскость Σ, и определяется контур 1 – 2 – 3 – 4 сечения призмы этой плоскостью. Искомые точки М, N являются точками пересечения контура 1 – 2 – 3 – 4 прямой l. Видимость частей прямой l на её горизонтальной и фронтальной проекциях определяется с применением методов, описанных в п. 1.4.7.

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковСпособ вспомогательной секущей плоскости особого положения

На рис. 4.6 б треугольная пирамида пересекается прямой l. Для определения точек пересечения через прямую l проводится фронтально-проецирующая плоскость Σ, и определяется контур 1 – 2 – 3 – 4 сечения пирамиды этой плоскостью. Искомые точки М, N являются точками пересечения контура 1 – 2 – 3 – 4 прямой l. Видимость частей прямой l на её горизонтальной и фронтальной проекциях определяется с применением методов, описанных в п. 1.4.7.

Пересечение многогранника плоскостью общего положения

При пересечении многогранной поверхности плоскостью в сечении получается плоский многоугольник, вершины которого есть точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, стороны – линии пересечения граней поверхности с секущей плоскостью. Стороны многоугольника видимы, если они лежат на видимых гранях, и невидимы, если – на невидимых.

Способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения

При определении линии k пересечения  многогранника Ф плоскостью Σ общего положения преимущественно используются такие способы:

а) способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения;

б) способ вспомогательных плоскостей-посредников;

в) способ замены плоскостей проекций.

Суть способа вспомогательных секущих плоскостей особого положения

Вводится множество плоскостей Проецирование многогранников, … особого положения, проходящих через ребра (или грани) тела Ф, и определяются линии пересечения этих плоскостей с плоскостью Σ. Полученные линии проходят через точки (или стороны) искомого многоугольника k.

На рис. 4.7 а треугольная пирамида пересекается плоскостью, заданной треугольником АВС.

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковПересечение многогранника плоскостью общего положения

Вводятся фронтально-проецирующие секущие плоскости Проецирование многогранников проходящие через ребра пирамиды. Определяются линии Проецирование многогранников пересечения секущих плоскостей с плоскостью АВС, а также точки 1, 2, 3 пересечения линий Проецирование многогранников с соответствующими рёбрами пирамиды. Строятся проекции искомой линии 1 – 2 – 3 пересечения пирамиды плоскостью АВС, и определяется видимость всех линий на двух проекциях.

На рис. 4.7 б треугольная призма пересекается плоскостью, заданной треугольником АВС. Вводятся горизонтально-проецирующие секущие плоскостиПроецирование многогранников проходящие через грани призмы. Определяются линии Проецирование многогранников пересечения секущих плоскостей с плоскостью АВС. Отрезки 1 – 2, 2 – 3 пересечения призмы плоскостью АВС принадлежат соответственно линиям Проецирование многогранников Строятся проекции искомой линии 1 – 2 – 3 пересечения призмы плоскостью АВС, и определяется видимость всех линий на двух проекциях.

Способ вспомогательных плоскостей-посредников

В способе вспомогательных плоскостей-посредников используются, как правило, плоскости особого положения.

Суть способа вспомогательных плоскостей-посредников

Вводится множество плоскостей Проецирование многогранников … особого положения, одновременно пересекающие тело Ф и секущую плоскость Σ. Определяются линии пересечения плоскостей-посредников с телом Ф и плоскостью Σ. Точки пересечения полученных линий принадлежат искомому многоугольнику k – контуру сечения тела Ф плоскостью Σ.

На рис. 4.8 а треугольная призма пересекается плоскостью, заданной треугольником АВС. Вводятся плоскости-посредники Проецирование многогранников фронтального уровня. Они пересекают призму и плоскость АВС по линиям, пересекающимся в точках Проецирование многогранников принадлежащих фронталям Проецирование многогранников плоскости АВС. Продолжения отрезков Проецирование многогранников до рёбер призмы позволяют определить точки D, E искомого контура DEF сечения призмы плоскостью АВС.

На рис. 4.8 б треугольная призма пересекается плоскостью, заданной треугольником АВС. Вводятся плоскости-посредники Проецирование многогранников горизонтального уровня. Они пересекают призму и плоскость АВС по линиям, проходящим через точки Проецирование многогранников и принадлежат горизонталям Проецирование многогранников плоскости АВС. Продолжение отрезков 1 – 3, 2 – 4 до рёбер призмы позволяют определить точки D, E, F искомого контура DEF сечения призмы плоскостью АВС.

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковСпособ вспомогательных плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций

Для определения линии k пересечения Ф многогранника с плоскостью Σ способом замены плоскостей проекций вводится дополнительная плоскость проекций П4, перпендикулярная секущей плоскости Σ.

На рис. 4.9 треугольная пирамида SABC пересекается плоскостью Σ общего положения, заданной следами Проецирование многогранников. Дополнительная плоскость проекций П4 перпендикулярна  горизонтальному следу секущей плоскости (ось Проецирование многогранников перпендикулярна проекции Проецирование многогранников ). Проекция Проецирование многогранников определяется по вспомогательным точкам Проецирование многогранников По определённым проекциям на П4 пирамиды SАВС и секущей плоскости Σ находятся проекции Проецирование многогранников контура  искомого сечения. С помощью линий проекционной  связи горизонтальная и фронтальная проекции линии 1 – 2 – 3 – 4 пересечения пирамиды SАВС плоскостью Σ. Введение плоскости проекций П5, параллельной секущей плоскости Σ (ось Проецирование многогранников параллельна Проецирование многогранников, позволяет определить натуральную величину Проецирование многогранников фигуры сечения.

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковСпособ замены плоскостей проекций

Пересечение двух многогранников

Взаимное пересечение многогранников. Линией пересечения двух многогранников является некоторая пространственная ломаная линия, которая может распадаться на две и более отдельные части. Точки ломаной линии пересечения получаются в результате пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника с гранями первого.

Способ вспомогательных секущих плоскостей особого положения

Два многогранника Ф, Ψ могут пересекаться по одной или нескольким ломаным линиям, которые определяются двумя способами:

а) способ рёбер, согласно которому точки ломаной линии являются точками пересечения рёбер тела Ф с гранями тела Ψ (рис. 4.10 а);

б) способ граней, согласно которому отрезки ломаной линии принадлежат линиям пересечения граней тела Ф с гранями тела Ψ (рис. 4.10 б).

Названные способы реализуются с помощью введения вспомогательных секущих плоскостей особого положения или плоскостей-посредников.

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковСпособы рёбер (а) и граней (б)

Суть способа вспомогательных секущих плоскостей особого положения

Вводится множество плоскостей Проецирование многогранников … особого положения, которые проходят через рёбра (или грани) тела Ф и определяются линии пересечения этих плоскостей с телом Ψ. Полученные линии проходят через точки (или стороны) искомой ломаной линии пересечения фигур Ф, Ψ.

На рис. 4.11 определена линия пересечения пирамиды с призмой. Через рёбра призмы, а также рёбра и грани пирамиды проводятся фронтальные плоскости уровня и фронтально-проецирующие плоскости Проецирование многогранников Линии пересечения этих плоскостей с гранями противоположных фигур позволяют определить точки 1 – 8, по которым строятся горизонтальная и фронтальная проекции искомой линии пересечения пирамиды с призмой, являющейся пространственным восьмиугольником 1 – 2 – … – 8.

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковСпособ вспомогательных секущих плоскостей

Проецирование многогранников

Проецирование многогранниковСпособ вспомогательных плоскостей - посредников

Способ вспомогательных плоскостей - посредников

В способе вспомогательных плоскостей - посредников используются плоскости особого положения, одновременно пересекающие два тела, линию пересечения которых требуется найти.

Суть способа вспомогательных плоскостей - посредников 

Вводится множество плоскостей Проецирование многогранников … особого положения, одновременно пересекающих многогранники Ф, Ψ. Определяются линии пересечения плоскостей-посредников с этими телами. Точки пересечения полученных линий принадлежат искомой линии пересечения двух многогранников Ф, Ψ.

На рис. 4.12 построена линия пересечения двух пирамид. Для определения проекций её точек 1, 2, 3, 4 введены плоскости-посредники Проецирование многогранников горизонтального уровня, пересекающие обе пирамиды по треугольнику и четырёхугольнику. Точки Проецирование многогранников пересечения этих треугольников с соответствующими четырёхугольниками принадлежат искомой линии 1 – 2 – 3 – 4 пересечения двух пирамид. Точки 2, 3 являются точками пересечения прямых Проецирование многогранников с рёбрами соответствующих пирамид.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Способы преобразования чертежа
  19. Кривые линии
  20. Кривые поверхности
  21. Трёхгранник Френе
  22. Проецирование тел вращения
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы