Проекционное черчение

Содержание:

  1. Проекционное черчение
  2. Метод проекций
  3. Проекции точки
  4. Проецирования точки на две взаимно перпендикулярные плоскости проекции
  5. Проецирование точки на три взаимно перпендикулярные плоскости проекции
  6. Проекции прямой
  7. Модель прямой
  8. Прямые общего положения
  9. Прямые особого положения
  10. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника
  11. Разделение в заданном отношении отрезка прямой
  12. Следы прямой
  13. Взаимное положение двух прямых
  14. Проекции плоскости
  15. Задание плоскости на черчении
  16. Следы плоскости
  17. Плоскости общего положения
  18. Плоскости особого положения
  19. Прямая и точка в плоскости
  20. Главные линии плоскости
  21. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости
  22. Пересечение двух плоскостей
  23. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения
  24. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью
  25. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой
  26. Построение взаимно параллельных плоскостей
  27. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
  28. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей
  29. Способы преобразования чертежа
  30. Способ замены плоскостей проекций
  31. Способ вращения
  32. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций
  33. Способ плоскопараллельного перемещения
  34. Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций
  35. Способ совмещения
  36. Кривые линии и их проецирования
  37. Плоские кривые линии
  38. Пространственные кривые линии
  39. Поверхности
  40. Многогранники
  41. Образование и изображения многогранных поверхностей
  42. Точки и прямые на поверхности многогранников
  43. Кривые поверхности
  44. Линейчатые поверхности
  45. Развертываемые линейчатые поверхности
  46. Цилиндрические поверхности
  47. Конические поверхности
  48. Торс
  49. Неразвертываемые линейчатые поверхности
  50. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма
  51. Цилиндроид
  52. Коноид
  53. Косая плоскость
  54. Винтовые поверхности
  55. Прямой геликоид
  56. Наклонный (косой) геликоид
  57. Поверхности вращения
  58. Канальные и циклические поверхности
  59. Точки на кривых поверхностях
  60. Прямые и плоскости, касательные к кривым поверхностей
  61. Построение и чтение комплексных чертежей моделей
  62. Развертывание поверхностей
  63. Способ нормального сечения
  64. Способ развертывания
  65. Способ треугольников (триангуляции)
  66. Аксонометрические проекции
  67. Прямоугольные аксонометрические проекции
  68. Косоугольные аксонометрические проекции
  69. Пересечение поверхностей
  70. Пересечение поверхностей плоскостью и прямой линией
  71. Пересечение многогранников плоскостью
  72. Пересечение многогранников плоскостью особого положения
  73. Пересечение многогранников плоскостью общего положения
  74. Пересечение многогранников прямой линией
  75. Пересечение кривых поверхностей плоскостью
  76. Плоские сечения некоторых поверхностей вращения
  77. Пересечение кривых поверхностей плоскостью особого положения
  78. Пересечение кривых поверхностей плоскостью общего положения
  79. Пересечение кривых поверхностей прямой линией
  80. Общие сведения о разрезах и сечениях
  81. Взаимное пересечение поверхностей
  82. Взаимное пересечение многогранников
  83. Взаимное пересечение кривых поверхностей
  84. Способ вспомогательных секущих плоскостей
  85. Способ вспомогательных секущих сфер
  86. Линии пересечения и перехода в технике

Инженерная графика – это учебная дисциплина, которая излагает правила выполнения и чтения чертежей и основывается на знании методов изображения предметов, изучаемых в курсе начертательной геометрии. Чертеж – это графический документ, содержащий изображение предмета на плоскости, выполненное по установленным правилам проектирования с соблюдением принятых требований и условностей. Чертеж должен передавать форму и размеры предмета, а также содержать все данные, необходимые для его изготовления и контроля. Чертежи, выполненные от руки и на глаз с соблюдением пропорций, называют эскизами, но размеры, проставленные на эскизе, должны соответствовать действительным размерам детали. Наглядные изображения предмета в аксонометрических или перспективных проекциях, выполненных от руки, на глаз, без точного соблюдения размеров, называются техническими рисунками.

Проекционное черчение

Проекционное черчение является основным разделом курса технического черчения, в котором изучаются правила, условности и практические приемы построения изображений в ортогональных и аксонометрических проекциях, установленные стандартами Единой системы конструкторской документации.

Метод проекций

Основные геометрические положения: В основе правил построения изображений, рассматриваемых в начертательной геометрии и используемых в техническом чертеже лежит метод проекций (от латинского projиcere - бросить вперед). Термин "проецирование" означает процесс построения проекций.

Рассмотрим следующие положения принятые при проецирования пространственных форм:

  1. Линия - это бесконечный ряд последовательных положений точки, движущейся в пространстве.
  2. Поверхность - это бесконечный ряд последовательных положений линии, движется в пространстве.
  3. Совокупность поверхностей, линий, точек образует пространственную форму (предмет).
  4. Точки, линии и поверхности находятся в пространстве в некоторых соотношениях, одним из которых является инцидентность (взаимная принадлежность).
  5. Прямые, плоскости и пространство бесконечны. Они задаются собственными (конечными) фигурами. Например, бесконечную прямую а можно задать парой собственных точек А, В
  6. Для обеспечения возможности выполнения во всех случаях операций проецирования и пересечения приняты следующие положения:
  • параллельные прямые или плоскость и параллельная ей прямая взаимно пересекаются в одной бесконечно удаленной точке, называется несобственной. Итак, две любые прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда взаимно пересекаются; взаимно пересекаются любые прямая и плоскость.

Законы перехода проецирования от пространственного представления о предмете к его плоскому изображению - черчение - и от чертежа до натуральных форм предмета в пространстве составляют метод проекций.

Построение изображения пространственной формы может быть выполнена с помощью построения изображений точек, принадлежащих этой форме. Таким образом, изучение метода проекций начинают с построения проекций точки.

На рис. 1.1 показано пространственную модель метода проекций, где точка А - точка пространства (точка-оригинал); Р - плоскость проекций; S - центр проекций; SА - проекционный луч; ар - проекция точки.

Для построения проекции точки А проведем через центр проекций S и точку А прямую SA (проекционная прямая, проекционный луч) и продолжим ее до пересечения с плоскостью Р в точке ар. Полученная точка является проекцией точки А на плоскость Р.

Как указано выше, для построения проекций точки проекционную прямую проводят в заданном направлении. В зависимости от взаимного положения центра проекций, плоскости проекций и оригинала проекции разделяют на центральные и параллельные.
Проекционное черчение
При центральном проецировании задают плоскость проекций и центр проекций - точку, не лежащую в плоскости проекций. На рис. 1.2 плоскость Р - плоскость проекций, точка S - центр проекций. Для проецирования произвольной точки через нее и центр проекций проводят прямую. Центральная проекция заданной точки - точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.

На рис. 1.2 центральной проекцией точки А есть точка ар пересечения прямой SA с плоскостью Р. Аналогично построены центральные проекции bр, ср, dр точек В, С, D на плоскости Р. Прямые SA, SC, SD - проекционные прямые.

Проекционное черчение

 Центральные проекции bр, ср, двух различных точек В и С в пространстве, расположенных на одной проекционной прямой, совпадают. Итак, точки, лежащие на одной проекционной прямой, проецируются в одну точку на плоскости проекций.

При заданных плоскости проекций и центре проекций одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию. Но одна центральная проекция точки не позволяет определить положение точки в пространстве. Для обеспечения обратимости чертежей  необходимы дополнительные условия.

Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как совокупность проекций всех ее точек (рис. 1.3; 1.4).

Проекционное черчение
 Рис. 1.3 Рис. 1.4
Обобщая, отметим такие свойства центрального проецирования.

1. При центральном проецировании:
а) точка проецируется точкой;
б) прямая, не проходящая через центр проекций, проецируется прямой (проекционная прямая - точкой).
в) плоская (двумерная) фигура, не принадлежит проекционной плоскости, проецируется двумерной фигурой (фигуры, принадлежащих проекционной плоскости, проецируется вместе с ней в виде прямой).
г) трехмерная фигура отображается двумерной.

2. Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства.

3. При заданном центре проекций фигуры на параллельных плоскостях подобные.

4. Центральное проецирование устанавливает однозначное соотношение между фигурой и ее изображением, например,
изображение на киноэкране, фотопленке.

Центральное проецирования используют для изображения предметов в перспективе. Изображения в центральных проекциях наглядные, но для технического черчения неудобны.

Параллельное проецирование (рис. 1.5) можно считать частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций лежит в бесконечности и проекционные прямые, таким образом становятся параллельными между собой.

Проекционное черчение

При параллельном проецировании используют параллельные проекционные прямые, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проекций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными, в иных случаях - косоугольными.

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают новые, в частности:

1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельные, а отношение длин отрезков этих прямых и длин их проекций одинаковы.

2. Плоская фигура, которая параллельна плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость в такую же фигуру.

3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование - особенный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций. Прямоугольная (ортогональная) проекция точки - основа перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций (рис.1.6).

Вместе со свойствами параллельных проекций ортогональное проецирование имеет особенное свойство: ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельная плоскости проекций, а не другая не паралельна ей, взаимно перпендикулярны( рис.1.7).

Проекционное черчение

Ортогональное проецирование значительно упрощает построение проекций геометрических фигур и является основным в выполнении комплексных чертежей технических форм.

Проекции точки

Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию. В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением).

Проецирования точки на две взаимно перпендикулярные плоскости проекции

Наибольшего распространения в технике получили комплексные чертежи в ортогональных проекциях, то есть такие геометрические модели, которые образованы параллельным прямоугольным проецированием на взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Метод такого комплексного чертежа в литературе называют методом Монжа, а именно чертежи эпюрой Монжа.

Обратимость черчения обеспечивается проецированием на две непараллельные плоскости проекций. Для удобства проецирования выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости.

Одну из них располагают горизонтально - ее называют горизонтальной плоскостью проекций (Н), другую - вертикально.
Вертикальную плоскость проекций называют фронтальной плоскостью проекций (V). Эти плоскости проекций пересекаются по линии, которая называется осью проекций (х или V / Н).

Горизонтальная и фронтальная плоскости проекций бесконечные и при пересечении разделяют пространство на четыре двугранных угла, которые называются четвертями или квадрантами. Порядок нумерации четвертей приводим на рис. 1.8.

Проекционное черчение

В системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций горизонтальной проекцией точки (а) называют ортогональной проекцией точки на горизонтальной плоскости проекций. Фронтальной проекцией точки (а /) называют ортогональную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций (рис. 1.9).

Проекционное черчение

Плоскость V изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма проводят под углом 45º к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны равна 0,5 ее действительной длины, поэтому аах на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Построение любой точки А в пространстве по двум заданным ее проекциями фронтальной а/ и горизонтальной а показано на рис. 1.10

Итак, две прямоугольные проекции точки определяют ее положение и в пространстве относительно данной системе взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Наглядное изображение точки в системе V, Н неудобное для достижения целей черчения. Его превращают так, чтобы
горизонтальная плоскость проекций совпадала с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость черчения. Это преобразование осуществляется путем вращения вокруг оси х плоскости Н на 90º вниз (рис. 1.11).

Проекционное черчение

При этом отрезки аха / или аха образуют один отрезок а / а, перпендикулярный оси проекций, он называется линия связи. В результате указанного совмещения плоскостей V и Н получаем чертеж (рис. 1.12), известное под названием эпюра Монжа. Это чертежи в системе V, Н (или в системе двух прямоугольных проекций).

В итоге отметим, что:

• комплексное черчение точки - совокупность ортогональных проекций этой точки на взаимно перпендикулярные плоскости проекций;

• на двухплоскостном комплексном чертеже горизонтальная и фронтальная проекции одной точки располагаются на вертикальной
линии связи, перпендикулярной оси проекций;

• расстояние фронтальной проекции точки от оси х равна расстоянию точки-оригинала к горизонтальной плоскости проекций. Расстояние горизонтальной проекции точки от оси х равна расстоянию от точки-оригинала к фронтальной плоскости проекций;

• двухплоскостное комплексное черчение точки полностью определяет положение этой точки в пространстве;

• если точка расположена выше плоскости Н (I и II четверти), то ее фронтальная проекция находится выше оси и, наоборот, если точка расположена ниже плоскости Н (III и IV четверти), то ее фронтальная проекция ниже оси х;

• если точка расположена перед плоскостью V (I и IV четверти), то ее горизонтальная проекция ниже оси и, наоборот, если точка расположена за плоскостью V (II и III четверти), то ее горизонтальная проекция находится выше оси х.

Проецирование точки на три взаимно перпендикулярные плоскости проекции

В некоторых случаях для обеспечения большей наглядности комплексного чертежа и, соответственно, для облегчения выяснения форм изображаемого предмета, а также при решении некоторых задач выполняют построения проекций на три плоскости проекции.

Введем в систему V, Н третью вертикальную плоскость проекций, перпендикулярную оси х и в соответственно  фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций. Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают W. Такую систему плоскостей называют системой V, Н, W. В этой системе оси проекций z и y образуются в результате пересечения профильной плоскости проекций с фронтальной и горизонтальной. Точка О - пересечение всех трех осей проекций.

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекции разделяют пространство на восемь трехгранных углов, которые называют октант (от латинского слова octo - восемь) (рис. 1.13).

Проекционное черчение

Схема совмещения трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций в одну плоскость чертежа показана на рис. 1.13. Для оси y дано два положения (рис. 1.15).

Ортогональная проекция а // точки А на профильную плоскость проекций является профильной проекцией точки. Наглядное изображение точки А и ее проекций а /, а а // в системе V, Н, W приведено на рис. 1.14.

Проекционное черчение

По двум проекциям а / и а точки А построить профильную проекцию можно следующими способами (рис. 1.15):
а) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оау, равной координате уа;
б) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45º к оси Оу;
в) через фронтальную проекцию проводят линию связи перпендикулярную оси z, и от оси z отмечают координату уа (отрезок аах)
По направлению осей проекций относительно точки О легко представить каждый октант (табл. 1.1)

Проекционное черчение

Обобщим закономерности расположения проекций точки на трехплоскостном комплексном чертеже:

  •  Фронтальная и профильная проекции одной точки лежат на горизонтальной линии проекционной связи;
  •  расстояние от профильной проекции точки до оси z равен расстоянию от точки-оригинала к фронтальной плоскости проекций;
  •  по двум любым ортогональным проекциям точки можна построить третью проекцию этой точки.

Проекции прямой

Проекция точки на прямую - это основание перпендикуляра опущенного из точки на заданную прямую. Для нахождения точки нужно опустить перпендикуляр.

Модель прямой

Прямая в пространстве определяется двумя точками, которые принадлежат этой прямой. Итак, чтобы построить проекции прямой, необходимо спроецировать две любые точки, принадлежащие ей, плоскости проекций. Совместив одноименные проекции этих точек получим горизонтальную (аb) и фронтальную (a / b /) проекции отрезка (рис. 1.16).

Комплексное черчение прямой - совокупность прямоугольных проекций этой прямой на взаимно перпендикулярные плоскости  проекций. 

 Проекционное черчение

Положение прямой в пространстве характеризуется ее положением относительно плоскостей проекций.

Прямые общего положения

Прямые общего положения - прямые, расположены наклонно ко всем плоскостям проекций (рис. 1.16).
Длина любой ортогональной проекции отрезка прямой общего положения менее длины самого отрезка этой прямой.

Прямые особого положения

Прямые особого положения - прямые, расположены параллельно или перпендикулярно к плоскостям проекций, или прямые, лежат в плоскости проекций.
Прямые уровня - прямые, параллельные плоскостям проекций.
Горизонтальная линия уровня или горизонтальная прямая - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 1.17).

Проекционное черчение

аb - натуральная величина; β - угол наклона отрезка АВ к плоскости V.
Фронтальная линия уровня или фронтальная прямая - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 1.18).

Проекционное черчение

c / d / - натуральная величина; α - угол наклона отрезка СD плоскости Н.
Профильная линия уровня или профильная прямая - прямая параллельная профильной плоскости проекций (рис. 1.19).

Проекционное черчение

е // f // - натуральная величина; β и α - углы наклона прямой в соответствии с плоскостей V и H.

Проекционные прямые - прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций.
Такая прямая одновременно параллельная двум другим плоскостям проекций и оси проекций, находится между ними.

Горизонтально-проекционная прямая - прямая, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций (рис.1.20, а).

Фронтально-проекционная прямая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис.1.20, б).

Профильно-проекционная прямая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис.1.20, в).

Проекционное черчение

Линии нулевого уровня - прямые, лежащие на любой плоскости проекций.

В этом случае она совпадает со своей проекцией на эту плоскость. На другую плоскость она проецируется в прямую, лежащую на оси проекций.

Фронтальная (рис 1.21, а), горизонтальная (рис 1.21, б), профильная линии нулевого уровня (рис 1.21, б).

Проекционное черчениеПроекционное черчение

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Ни одна проекция отрезка прямой общего положения не равна его натуральной величине, то есть проекции такого отрезка всегда будут меньше, чем отрезок в пространстве. Однако во многих случаях возникает необходимость определить натуральную величину отрезка общего положения, имея в эпюре только его проекции. Такую задачу можно решить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 1.22).
Натуральная величина отрезка ВС прямой общего положения находится как гипотенуза прямоугольного треугольника ВС-1. В этом треугольнике один катет В-1 параллельный плоскости Н и равен горизонтальной проекции отрезка ВС, а второй катет - разности расстояний концов отрезка С и В от плоскости проекций Н (│С-1│ = zc - zb = Δz).
Итак, натуральная величина отрезка прямой общего положения является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен одной из проекций, второй катет - разности расстояний точек начала и конца отрезка той плоскости проекций, в которой находится первый катет.

Проекционное черчение

Угол между прямой линией и плоскостью проекций определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Разделение в заданном отношении отрезка прямой

Отметим, если в пространстве точка лежит на прямой, то на эпюре проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой.

Если точка на отрезке разделяет его длину в определенном отношении, то проекция точки разделяет длину одноименной проекции отрезка в том же отношении.

Для построения проекций к и к/ точки К, лежащей на отрезке АВ прямой и разделяет его в отношении 1: 3, из точки а проведем вспомогательную прямую и отложим на ней от а четыре отрезка одинаковой длины. Проведя отрезок b4 и параллельно ему через точку 1 прямую, получим точку к, которая разделяет проекцию ab в отношении 1: 3; с помощью линии связи находим точку к / (рис. 1.23).

Проекционное черчение

Следы прямой

Следу прямой - точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Проекционное черчение

Горизонтальный след прямой - М (т); Фронтальный след прямой - N (n /).

Для определения горизонтального следа прямой АВ необходимо продолжить фронтальную проекцию a / b / до пересечения с осью V / H в точке m / (фронтальная проекция горизонтального следа) (рис. 1.24, б); из полученной точки проводим перпендикуляр до пересечения с продолжением горизонтальной проекции ab. Точка пересечения m - горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с точкой М - самым следом.

Для определения фронтального следа прямой АВ необходимо продолжить горизонтальную проекцию ab до пересечения с V / H в точке n (горизонтальная проекция фронтального следа) из полученной точки проводим перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной проекции a / b /. Точка пересечения n / - фронтальная проекция фронтального следа; она совпадает с точкой N - самым следом.

Взаимное положение двух прямых

Прямые линии в пространстве могут пересекаться, быть параллельными и непересекающимися.
Параллельные прямые
Если в пространстве две прямые параллельные между собой, то их одноименные проекции также будут параллельны между собой (рис. 1.25, а).

Пересекающимися прямые
Если в пространстве две прямые пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи (рис. 1.25, б).

Непересекающиеся прямые
Если две прямые не параллельны и не пересекаются между собой, то они называются непересекающийсями. Точки, лежащие на одной линии проекционной связи и принадлежат разным линиям называются конкурирующими (рис.1.25, в).

Проекционное черчениеПроекционное черчение

Из двух конкурирующих точек 1 и 2 на фронтальной плоскости проекций видима та, которая расположена в пространстве дальше от плоскости проекций V. Об этом можно судить по горизонтальными проекциями точек, смотрите за стрелкой М (рис.1.25, в).

Из двух конкурирующих точек L и К на горизонтальной плоскости проекций видима та, которая расположена в пространстве дальше от плоскости проекций Н. Об этом можно судить по фронтальными проекциями точек, смотрите за стрелкой N (рис.1.25, в).

Проекции плоскости

Проекция (лат. projectio — «выбрасывание вперёд»). изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов зрения.

Задание плоскости на черчении

На черчении плоскость может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 1.26, а)

б) проекциями прямой и точки, не принадлежащей прямой (рис. 1.26, б);

в) проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 1.26, в)

г) проекциями двух параллельных прямых (рис. 1.26, г);

д) плоской фигурой (рис. 1.26, д);

е) следами плоскости (рис. 1.27; 1.28)

Проекционное черчение

Следы плоскости

След плоскости - это прямая, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций (рис. 1.27).

Если плоскость пересекает ось проекций, то на этой оси образуется точка пересечения следов плоскостей - точка совпадения следов.

Если рассматривать плоскость в системе V, H, W, то в общем случае плоскость будет пересекать каждую из осей проекций. Такая плоскость называется плоскостью общего положения.
Р - плоскость общего положения; РV - фронтальный следует плоскости; РH - горизонтальный следует плоскости; РW - профильный следует плоскости; РX, Р Y, РZ - точки совпадения следов.

Проекционное черчение

Для построения горизонтального следа плоскости Q (рис. 1.28), которая задана двумя пересеченными прямыми АВ и ВС, достаточно построить две точки, которые одновременно относятся плоскостям Q и Н. Эти точки являются следами прямых АВ и ВС на плоскости Н, то есть точками пересечения этих прямых с плоскостью Н. После построения проекций этих следов проводим через точки m1 и m2 прямую и получаем горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей Q и Н.

Линия пересечения плоскостей Q и V определятся фронтальными следами прямых АВ и ВС.

Положение плоскости в пространстве характеризуется ее положением относительно плоскостей проекций.

Плоскости общего положения

Плоскости общего положения - плоскости расположены наклонно ко всем трем плоскостям проекций (рис. 1.27, 1.28).

Плоскости особого положения

Плоскости особого положения - плоскости расположены параллельно или перпендикулярно к плоскостям проекций.
Плоскости уровня - плоскости, параллельные любой плоскости проекций (плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций).

Горизонтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 1.29).

Проекционное черчение

Фронтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 1.30).

Проекционное черчение

Профильная плоскость уровня - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (рис. 1.31).

Проекционное черчение

Проекционные плоскости - плоскости, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций.

Проекционные плоскости имеют сборные свойства: все геометрические элементы, которые лежат в проекционных плоскостях,
проецирются в прямую линию и совпадают со следом плоскости в той плоскости проекций, к которой задана плоскость является проекционной.
Горизонтально-проекционная плоскость - плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 1.32).

Проекционное черчение

Фронтально-проекционная плоскость - плоскость, перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций (рис. 1.33)

Проекционное черчение

Профильно-проекционная плоскость - плоскость, перпендикулярна к профильной плоскости проекций (рис. 1.34).

Проекционное черчение

Прямая и точка в плоскости

Построение на черчении прямой линии, принадлежащей плоскости, основано на следующих положениях:
• прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости (рис. 135, а)
• прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, которая принадлежит данной плоскости, и параллельна прямой, которая расположена в данной плоскости (рис. 135, б)
• прямая принадлежит плоскости, если следы прямой расположены на одноименных следах плоскости (рис. 135, в)
• прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов плоскости, и имеет с другим следом общую точку (рис. 135, г).

Проекционное черчение

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой в плоскости.

Например, необходимо найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее горизонтальная проекция d и известно, что точка D должна лежать в плоскости, определенной треугольником АВС (рис. 1.36).

Проекционное черчение

Сначала построим горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы точка D лежала на этой прямой, а прямая была бы расположена в данной плоскости. Для этого проводим прямую через точки a и d и обозначаем точку m, в которой прямая ad пересекает отрезок bc. Построив фронтальную проекцию m / на b / c /, получаем прямую АМ, расположенную в данной плоскости: эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая принадлежит плоскости при условии, а вторая в ней построена. Искомая фронтальная проекция d / точки D должна быть на фронтальной проекции прямой АМ.

Главные линии плоскости

Главные линии плоскости - прямые, занимают особое положение в плоскости (горизонтали, фронтали, профили и полосы
крупнейшего наклона к плоскостям проекций).
Горизонталь - прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 1.37).

Проекционное черчение

Фронталь - прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис .1.38).

Проекционное черчение

Профиль - прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций.

Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям H, V, W - прямые, лежат в плоскости и перпендикулярны горизонталям, фронталям, или к ее профильным прямым.

Линия склона - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости Н (рис. 1.39). Согласно правилам проецирования прямого угла горизонтальная проекция линии склона плоскости перпендикулярной к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или в ее горизонтального следа. Фронтальная проекция линии склона строится после горизонтальной и может занимать различные положения в зависимости от задания плоскости.

Проекционное черчение

Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и плоскости:

Две плоскости могут быть параллельными или пересекающимися.
Случаи взаимной параллельности плоскостей:
• если две пересекающимися прямые, одной плоскости соответственно параллельные двум пересекающимися прямым второй плоскости (рис. 1.40, а)
• если два пересекающиеся следы одной плоскости параллельные одноименным следам второй плоскости (рис. 1.40, б).

Проекционное черчение

Если плоскости заданы следами и хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости пересекаются; если плоскости заданы не по следам, а любым другим способом и нужно узнать, пересекаются эти плоскости, следует использовать вспомогательные построения.

Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть таким:
• прямая лежит в плоскости;
• прямая пересекает плоскость;
• прямая параллельна плоскости.
Если на чертеже непосредственно невозможно установить взаимного положения прямой и плоскости, то следует использовать вспомогательные построения.

Пересечение двух плоскостей

Для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти две точки, которые одновременно принадлежат обоим плоскостям и провести через эти точки прямую.
Рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (рис. 1.41). Одна из плоскостей, Р, задано двумя пересекающимися прямыми, а другая, Q - двумя параллельными.

Проекционное черчение

Для построения линии пересечения указанных плоскостей необходимо найти две точки, которые одновременно принадлежат обоим плоскостям.

Используем две вспомогательные фронтально-проекционные плоскости (Т1 и Т2), которые пересекают каждую из плоскостей Р и Q. При пересечении плоскостей Р и Q плоскостью Т1, получаем прямые с проекциями 1/2 /, 1-2 и 3/4/3 4. Эти прямые, расположены в плоскости Т1, в своем пересечении определяют первую искомую точку, К1, линии пересечения плоскостей Р и Q.

При пересечении плоскостей Р и Q плоскостью Т2, получаем прямые с проекциями 5/6/, 5-6 и 7/8/, 7-8. Эти прямые, расположены в плоскости Т2, в своем пересечении определяют вторую искомую точку К2, общую для Р и Q.

Построив проекции k1 и k2, находим на следах Т1v и Т2v проекции k /1 и k /2. Полученные точки в горизонтальных и фронтальных плоскостях соединяем прямой линией.

Если плоскости заданы своими следами, линия пересечения определяется точками пересечения одноименных следов (рис. 1.42).

Проекционное черчение

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо:

1) через заданную прямую провести некоторую вспомогательную плоскость;

2) построить линию пересечения заданной плоскости с вспомогательной;

3) в пересечении построенной линии с заданной прямой определить искомую точку.

Построить точку пересечения прямой DE с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС (рис. 1.43).

Проекционное черчение

Проекции точки пересечения строим в следующем порядке:

• через прямую DE проводим вспомогательную фронтально-проекционную плоскость Р;

• строим проекции 1/2 / и 1-2 линии пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника; за фронтальными проекциями точек 1 / и 2/ находим горизонтальные проекции точек 1 и 2;

• находим проекции m /, m точки пересечения заданной прямой с плоскостью треугольника. Для этого в пересечении проекций de и 1-2 определяем горизонтальную проекцию искомой точки m и  с помощью линии связи строим ее фронтальную проекцию mна проекции d / e / прямой. Прямые DE и 1-2 пересекаются так как принадлежат одной плоскости Р;

• определяем видимые части прямой DE.

С помощью конкурирующих точек определяем видимость прямой относительно плоскости треугольника. Точки с проекциями 3 /, 3 и 2 /, 2 находятся на скрещивающихся прямых с проекциями d / e /, de i a / b /, ab соответственно. Их фронтальные проекции 2 / и 3/ совпадают. По положению горизонтальных проекций точек 2 и 3 при взгляде по стрелке N определяем, что точка 3 находится перед точкой 2. Итак, прямая DE слева от точки М расположена перед треугольником АВС. Поэтому ее фронтальную проекцию d/ m/ показано как видимую. От точки М справа прямую DE закрывает треугольник АВС с точки 1, в соответствии отрезок m / 1 / показано как невидимый

Точки с проекциями 5 /, 5 и 4 /, 4 находятся на скрещивающихся прямых с проекциями b / c /, bc i d //, de. По положению фронтальных проекций точек 5 и 4 при взгляде по стрелке К определяем, что точка 5 расположена выше точки 4. Следовательно, в этом месте прямую DE закрыто треугольником АВС к точке их пересечения М (часть с проекцией m-5).
Слева от точки пересечения М прямая DE находится над треугольником АВС и, соответственно, видимая (доля проекцией dm).

Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью

Построить линию пересечения двух плоскостей можно способом вспомогательных секущих плоскостей (рассмотрено выше), а также используя точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, со второй плоскостью.

Итак, для построения линии пересечения плоскостей строят точки пересечения прямых одной плоскости со второй и через них проводят прямую.

Построить линию пересечения плоскостей одну из которых задано треугольником АВС, вторую - параллельными прямыми (DE║FG) (рис. 1.44).

Проекционное черчение 

Для построения проекций линии пересечения определяем проекции m /, m и n /, n двух ее точек пересечения прямых с проекциями d /e /, de и f / g /, fg с плоскостью треугольника. Проекции m /, m, n /, n точек пересечения строим с помощью фронтально-проекционных плоскостей, которые заданы следами Qv и Pv. Плоскость Q проходит через прямую DE и пересекает плоскость треугольника по линии с проекциями 1/2 /, 1-2. Сечением горизонтальных проекций 1-2 и de есть горизонтальная проекция m искомой точки. С помощью линии связи строим ее фронтальную проекцию m /.

Аналогично с помощью плоскости Р (Pv) строим проекции n//,n новой точки. Через построеные проекции m /, N / и m, n проводим проекции m / m, n / n отрезков пересечения заданных плоскостей.

С помощью конкурирующих точек определяем видимость.

Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой

Прямая параллельна плоскости, если эта прямая параллельна любой прямой в одной плоскости.

Через заданную точку в пространстве можно провести множество прямых линий, параллельных заданной плоскости. Для получения одного решения нужно дополнительное условие. Например, через точку М провести прямую, параллельную плоскости, заданной треугольником АВС, и плоскости проекций Н (дополнительное условие) (рис. 1.45).

Искомая прямая должна быть параллельна линии пересечения двух плоскостей, то есть должно быть параллельна горизонтальной следа плоскости, заданной треугольником АВС. Для направления этого следа можно использовать горизонталь плоскости треугольника АВС. Проводим горизонталь DC, а далее через точку М проводим прямую, параллельную этой горизонтали.

Проекционное черчение

Построение взаимно параллельных плоскостей

Провести через точку К плоскость параллельную плоскости, заданной пересекающимися прямыми AF и BF (рис. 1.46).

Проекционное черчение

Построение двух параллельных плоскостей основывается на такой теореме: если две пересекающимися прямые, одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимися прямым второй плоскости то эти плоскости параллельны.

Если через точку К провести прямые СК и DК, соответственно параллельные прямым AF и BF, то плоскость, определенная прямыми СК и DК, будет параллельной заданной плоскости.

Через точку А провести плоскость параллельную плоскости Р, заданной следами (рис. 1.47).

Проекционное черчение

Через точку А проводим прямую, параллельную плоскости Р. Это горизонталь с проекциями a / n / и an, причем an║Рh. Поскольку точка N является фронтальной вслед горизонтали AN, то через эту точку пройдет следует Qv║Pv, а через Qx - следует Qh║Ph. Плоскости Q и Р взаимно параллельны, поскольку их одноименные пересекающимися следы взаимно параллельны.

Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

В перпендикуляре к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали, а профильная проекция - профильной проекции профильной прямой плоскости (рис. 1.48, а).

Проекционное черчение

Если прямая перпендикулярна к плоскости, заданной следами, то проекции этой прямой перпендикулярны соответствующим следов плоскости (рис. 1.48, б).
Провести перпендикуляр из точки А к прямой общего положения ВС (1.49).

1. Через точку А проводим плоскость Q, перпендикулярную прямой ВС.

2. Определяем точу К пересечения прямой ВС с плоскостью Q.

3. Соединяем точки А и К отрезком прямой линии.

Проекционное черчение

Построение взаимно перпендикулярных плоскостей

Построение плоскости Q, перпендикулярной к плоскости Р, может быть выполнено двумя способами: а) плоскость Q проводим через прямую, перпендикулярную к плоскости Р; б) плоскость Q проводим перпендикулярно прямой, которая лежит в плоскости Р или параллельна этой плоскости. Для получения единственного верного решения необходимы дополнительные условия.

Построить плоскость перпендикулярную плоскости треугольника CDE. Искомая плоскость должна проходить через прямую АВ (рис. 1.50).

Проекционное черчение
Для проведения перпендикуляра к плоскости CDE построим фронталь CN и горизонталь СМ этой плоскостей: если b / f / ┴c / n / и bf┴cm, то BF перпендикулярна к плоскости CDE. Образована пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к плоскости CDE, потому что проходит через перпендикуляр к этой плоскости.

Способы преобразования чертежа

Многие задачи решаются легко и просто, если прямые линии, плоские фигуры геометрических тел находятся в особом положении. Такое особое, выгоднее взаимное расположение геометрического элемента и плоскости проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа.

Рассмотрим два основных способа преобразования чертежа прямой линии или плоской фигуры произвольного положения в чертежах с их особым положением. Сущность этих способов заключается в следующем:

• в одном случае заданную систему плоскостей проекций заменяют на новую так, чтобы размещенные в ней исходные объекты, не меняя своего расположения в пространстве, оказались бы в особом положении (способ замены плоскостей проекций)

• во втором случае изменяют положение исходных объектов в пространстве так, чтобы они заняли особое положение относительно неизменных плоскостей проекций (способ вращения и отдельный его случай - способ совмещения).

Принимая во внимание то, что и прямая линия, и плоскость имеют два определенных положения относительно плоскостей проекций (параллельное и перпендикулярное), то все задачи, которые решаются способами преобразования чертежа, можно свести к одной из основных четырех задач:
• преобразование прямой общего положения в прямую уровня;
• преобразование прямой общего положения в проекционную;
• преобразование плоскости общего положения в проекционную;
• преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность метода заключается в том, что не меняя положения предмета в пространстве, заменяется система плоскостей проекций.
Каждая новая система выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрических элементам она заняла положение, наиболее удобное для выполнения необходимых построений (рис. 2.1).

Проекционное черчение

На рис. 2.1 (а, б) показано преобразование проекций точки А с системы V, Н в систему S, Н, в которой вместо плоскости V введена новая плоскость S, а плоскость Н осталась неизменной. При этом S┴Н. При введении новой плоскости проекций ось проекций можно обозначать в виде дроби, риска которой лежит на оси, каждую букву пишут на "своей" полке. Проекции точек на новых плоскостях проекций обозначают индексами плоскости (например, аs, bs и т.д.). В системе S, Н горизонтальная проекция а точки А осталась неизменной. Проекция аs точки А на плоскости S находится от плоскости Н на том же расстоянии, что и проекция а / точки А от плоскости V. Это условие позволяет легко строить проекцию точки на чертеже (рис. 2.1, б) на новой плоскости проекций. Для этого в новой системе (Н, S) с проекции точки (а) проводят линию связи, перпендикулярную к новой оси проекций (S / Н). На этой линии связи откладывают расстояние от оси H / S проекции аs точки на новой плоскости проекций, равной расстоянию от проекции точки а / к оси V / Н проекций в системе V, Н (| аs-2 | = | а / -1 |).

Замену плоскостей проекций можно проводить несколько раз.

Определить натуральную величину отрезка АВ общего положения (рис. 2.2). Для этого плоскость проекций V заменяем на новую плоскость проекций S, параллельную отрезку (вот S / Н параллельная проекции ab). Расстояния от оси S / Н в as и bs равны расстояниям от a / и b / к оси V / Н соответственно (| as-2 | = | a / -1 |). Одновременно с определением натуральной величины отрезка определена величина α угла наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Проекционное черчение

Привести отрезок прямой общего положения в проекционное (рис. 2.3). Для преобразования проекций отрезка общего положения в проекционное необходимо последовательно ввести две новые плоскости проекций: первую - параллельно отрезку, вторую - перпендикулярно к отрезку при условии перпендикулярности между выходными и новыми плоскостями проекций.

Плоскость проекций V заменяем на новую плоскость проекций S, параллельную отрезке (вот SН параллельная проекции ab). После этого известным способом строим новую проекцию asbs отрезка АВ в системе S, Н. Далее вводим еще одну новую плоскость проекций Т, перпендикулярную к плоскости проекций S и отрезка АВ (вот проекций Т / S перпендикулярна проекции asbs). Относительно этой плоскости проекций Т отрезок АВ занимает проекционное положение (проекции at и bt совпадают, | a-2 | = | at -3 |).

Привести плоскую фигуру общего положения в проекционное.

Построение выполняют с помощью одной из линии особого положения, например, горизонтали с проекциями a / f/, af (рис. 2.4). Новую плоскость проекций S в этом случае выбираем перпендикулярно горизонтали AF (вот H / S перпендикулярна проекции af) и соответственно перпендикулярно плоскости Н.

Проекционное черчение

Определить натуральную величину плоской фигуры, расположенной в проекционном положении.

Проекционное черчение

Вводим новую плоскость проекций Т (рис. 2.5), перпендикулярную к плоскости V и параллельную плоскости четырехугольника с проекциями a / b / c / d / и abcd (вот Т / V параллельная проекции a / b / c / d /). Проекция atbtctdt является натуральной величиной заданного четырехугольника.

Способом замены плоскостей проекций определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Проекционное черчение

Это расстояние определяется длиной общего перпендикуляра к заданным прямых АВ и CD (рис. 2.6). Для определения длины перпендикуляра удобно, чтобы одна из прямых располагалась перпендикулярно к плоскости проекций. Для этого необходимо последовательно ввести две новые плоскости проекций:
· Пл. S || (АВ), пл. Н; вот Н / S || (Ab)
· Пл. Т (AB), пл. S; вот S / T (asbs).
На плоскости Т прямая АВ проецируется в точку at = bt. Проводим перпендикуляр из точки at = bt на проекцию ctdt, находим проекцию точки nt точки N пересечения его с прямой CD. Обозначаем проекцию mt точки точки М, которая совпадает с проекциями точек atbt.
Искомое расстояние определено - ntmt.

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что заданная геометрическая фигура вращается вокруг некоторой неподвижной оси с заданным положением относительно неподвижных плоскостей проекций. При этом каждая точка фигуры, например точка А (рис. 2.7), описывает круг, расположенный в плоскости Σ, перпендикулярной оси вращения. Центр О круга является точкой пересечения оси вращения с плоскостью Σ. Радиус окружности равен расстоянию точки А до оси и (| R | = | AO |).

Проекционное черчение

Если точка А геометрической фигуры, вращаясь вокруг оси и вернется на некоторый угол α, то и все точки фигуры вернутся на угол α.
Точки геометрической фигуры, принадлежащих оси вращения и в процессе вращения остаются неподвижными. Для упрощения построений на комплексном чертеже в качестве оси вращения целесообразно выбирать проекционную прямую или линию уровня.

Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

Для использования способа вращения с целью преобразования чертежи отметим следующие элементы (рис. 2.8):
· Ось вращения (MN)
· Плоскость вращения точки (пл. S (MN))
· Центр вращения (О)
· Радиус вращения (R = | OA |).

Проекционное черчение

Обращаем точку А относительно оси MN, перпендикулярной к плоскости Н (рис. 2.8). Плоскость вращения S параллельна плоскости Н и на фронтальной проекции отражена в след Sv. Горизонтальная проекция в центре вращения О совпадает с проекцией mn оси, а горизонтальная проекция оа радиуса вращения ОА является его натуральной величиной. Вращения точки А (рис. 2.8, б) исполнено на угол φ против часовой стрелки так, чтобы в новом положении точки с проекциями а / 1, а1 радиус вращения был параллелен плоскости V. При вращении точки вокруг вертикальной оси ее горизонтальная проекция перемещается по кругу , а фронтальная - параллельно оси х (рис. 2.8).

При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости V, ее фронтальная проекция будет перемещаться по кругу, а горизонтальная - параллельно оси х (рис. 2.9).

Проекционное черчение

Отрезок прямой АВ повернуть вокруг оси перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций на угол α (рис. 2.10).

Вращения отрезка прямой линии вокруг проекционной оси выполняется вращением двух его точек на заданный угол. Пути перемещения фронтальных проекций этих точек указанные прямыми, проведенными через а / и b / перпендикулярно фронтальной
проекции оси вращения.

Новое положение горизонтальной проекции точки А (точка а1) получаем при вращении радиуса оа на заданный угол α.

Проекционное черчение

Для того чтобы найти точку b1 (положение горизонтальной проекции точки В после вращения) проводим дугу радиусом ob на заданный угол α. Далее из точек а1 и b1 проводим линии связи до пересечения с направлением перемещения фронтальных проекций - находим проекции а / 1 и b / 1. Отрезки прямых между точками а / 1 и b / 1 и между точками а1 и b1 определяют новые положения фронтальной и горизонтальной проекции отрезка АВ после его вращения в положение А1В1.

Поскольку в треугольниках abo и a1b1o (рис. 2.10) стороны bo и ao треугольника abo (как радиусы) соответственно равны сторонам b1o и a1o треугольника a1b1o и углы между указанными сторонами также равны друг другу, то эти Δabo = Δa1b1o. Итак, ab = a1b1, а именно, размер горизонтальной проекции отрезка, возвращенного вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н, не меняется. Это утверждение верно и по отношению к фронтальной проекции отрезка при его обороте вокруг оси, перпендикулярной к плоскости V.

Если Δabo = Δa1b1o (рис. 2.10), то высоты проведены с точки в на ab и a1b1 равны друг другу.

Пользуясь этим утверждением устанавливаем такой способ построения новых проекций отрезка, который вращается вокруг оси на заданный угол (рис. 2.11).

Через точку в проводим прямую, перпендикулярную к ab; точку с (точка пересечения перпендикуляра с ab) обращаем
на заданный угол. Далее через точку с1 (новое положение точки с) проводим прямую, перпендикулярную к радиусу ОС1,
определяем направление нового положения горизонтальной проекции отрезка. Отрезки са и cb не меняют своего размера потому что, откладывая от точки с1 отрезки с1а1 = са и с1b1 = cb, находим новое положение a1b1 проекции всего отрезке. Построение нового положения фронтальной проекции a / 1b / 1 остается таким как и раньше.

Вращение плоскости вокруг заданной оси сводится к вращению точек и прямых линий, которые ей принадлежат.

Проекционное черчение

При вращении плоскости, заданной ее следам, вращают один из следов и горизонталь (или фронт) плоскости. Вернем плоскость общего положения Р на угол α вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н (рис. 2.12).

Проекционное черчение

На следе Рh возьмем точку, ближайшую к оси вращения, - точка а (оа Рh). Далее вернем точку а на угол α. Через полученную точку а1 проведем прямую линию, перпендикулярную ОА1; это горизонтальный след плоскости в ее новом положении.

Для нахождения фронтального следа плоскости после ее вращения достаточно найти, кроме Рх1 на оси х, еще одну точку, которая принадлежит следу. В плоскости Р возьмем горизонталь nf, n / f /, которая пересекает ось вращения (nf проходит через горизонтальную проекцию оси вращения). Поскольку горизонталь и в новом положении плоскости остается параллельной ее горизонтальном следу, то через в проводим прямую, параллельную, Рh1; в результате получаем новое положение горизонтальной проекции горизонтали. Фронтальная ее проекция не меняет своего направления, следовательно находим новый фронтальный след горизонтали - точку n / 1, и строим фронтальный след (РV1).

Способ плоскопараллельного перемещения

Если вращать геометрический образ вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, то проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине - меняется лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Проекции точек геометрического образа на плоскости, параллельной оси вращения (за исключением проекций точек, расположенных на оси вращения), перемещаются по прямым, параллельным оси проекций, и проекция меняются по форме и величине. Пользуясь этими свойствами, можно применить способ вращения, а не изображая оси вращения и не устанавливая величины радиуса вращения; достаточно лишь, не меняя формы и величины одной из проекций геометрического образа, переместить эту проекцию в необходимое положение, а затем построить вторую проекцию. Это и есть способ плоскопараллельного перемещения.

Определить натуральную величину треугольника заданного проекциями a / b / c /, abc способом плоскопараллельного перемещения.

Проекционное черчение

Для решения этой задачи необходимо выполнить два оборота плоскости общего положения, в котором расположен треугольник так, чтобы после первого оборота эта плоскость стала перпендикулярной плоскости V, а после второго - параллельная плоскости Н (рис. 2.13).
Первый оборот вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н, без указания ее положения выполним с помощью горизонтали с проекциями с / 1 /, с1 в плоскости треугольника. При этом горизонтальную проекцию abc прокрутим так, чтобы она совпала с направлением проецирования (С111 х). Горизонтальная проекция треугольника сохраняет свой вид и размер, меняется только ее положение. Точки А, В, С при таком вращении перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости Н. Проекции a / 1, c / 1, b / 1 находятся на горизонтальных линиях связи а / а / 1, b / b / 1, c / c /1. Фронтальной проекцией треугольника в новом положении является отрезок a / 1b /1c /1.

Второй оборот, который приводит треугольник в положение, параллельности плоскости Н, выполняем вокруг оси вращения, перпендикулярной плоскости V. Фронтальная проекция при другом обороте сохраняет вид и размер, полученные после первого оборота. Точки А1, В1, С1 перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости V. Проекции a2, b2, c2 находятся на горизонтальных линиях связи a1a2, b1b2, c1c2. Проекция a2b2c2 - натуральная величина треугольника.

Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Относительно неподвижных плоскостей проекций, проводится линия уровня (прямая, параллельная плоскости проекций) (рис. 2.14). Точка В вращается вокруг этой линии и описывает круг, лежащий в плоскости S. Эта плоскость перпендикулярна оси вращения и, соответственно, является горизонтально-проекционной. Итак, горизонтальная проекция круга, описывается точкой В, находится на Sh.

Проекционное черчение

Определить натуральную величину треугольника с проекциями a / b / c /, abc вращением вокруг горизонтали.

Проекционное черчение

На рис. 2.15 показано вращения треугольника АВС, в результате которого он стал параллельным плоскости Н.

За ось вращения берем горизонталь с проекциями с / 1 /, с-1.

Точка С на оси вращения остается неподвижной. Для изображения горизонтальной проекции треугольника после вращения нужно найти положение проекций двух других его вершин. Вершины с проекциями а /, а и b /, b треугольника перемещаются в плоскостях Р и Q движения этих точек. Горизонтальная проекция в центра вращения точки А является точкой пересечения горизонтальной проекции с-1 оси вращения с горизонтальной проекцией Рh. Ее фронтальная проекция - в /. Отрезки оа - горизонтальная, в / а / - фронтальная проекции радиуса вращения точки А. Натуральную величину ОА радиуса вращения точки А определяем способом прямоугольного треугольника. По катетах оа и аА0 = а / 2 / строим треугольник оаА0, его гипотенуза равна радиусу вращения точки А.
От проекции в центра вращения точки А по направлению следа Рh плоскости ее движения откладываем натуральную величину радиуса вращения.

Обозначаем горизонтальную проекцию а1 точки А, возвращенной в положение треугольника, параллельного плоскости Н.

Горизонтальную проекцию b1 точки В в возвращенном положении находим как точку пересечения горизонтальной проекции 1-а1 со следом Qh. Горизонтальная проекция a1cb1 является натуральной величиной треугольника АВС. Фронтальная проекция вращаемого треугольника совпадает с фронтальной проекцией горизонтали 1 / с /, то есть отрезком прямой линии.

Способ совмещения

Способ совмещения является частным случаем вращения плоскости вокруг горизонтали или фронтали, если за ось вращения берут не произвольную горизонталь или фронталь плоскости, а ее горизонтальный или фронтальный след ( «нулевые» горизонталь или фронталь). В этом случае в результате вращения плоскости она совпадает с плоскостью Н, если вращение осуществляется вокруг горизонтальной следа плоскости, или с плоскостью проекций V - при вращении вокруг ее фронтального следа.
Будем вращать плоскость Р вокруг ее горизонтального следа Рh до совмещения с плоскостью проекций Н (рис. 2.16).

Поскольку ось вращения - горизонтальный след Рh - лежит в горизонтальной плоскости проекций, то остается совместить с плоскостью Н только фронтальный след Рv. Одна точка, а именно Рх, лежит на оси вращения и следа Рv. Итак, достаточно взять на следе Рv произвольную точку N, обернуть ее вокруг оси Рh до совмещения с плоскостью Н в точке N0 и, совместив точки Рх, и N0 получить совмещенный с плоскостью Н фронтальный след - прямую Рv0.

Точка N будет вращаться в плоскости Q перпендикулярной оси вращения Рх. Центр вращения точки N - точку О - обозначаем на пересечении следов Рh и Qh, а радиусом вращения будет прямая ОN. Точка N0 на плоскости Н является точкой пересечения дуги радиуса ОN в плоскости Q со следом Qh.

Отрезок РхN не изменяет своей длины при вращении плоскости; поэтому точку No можно получить при пересечении Qh с дугой, которая описана в плоскости Н, с точки Рх радиусом РхN.

Проекционное черчение

Для выполнения рассматриваемых построений на чертеже (рис. 2.17) на следе Рv выбираем произвольную точку N (она совпадает со своей проекцией n /). Через ее горизонтальную проекцию n проводим прямую no, перпендикулярную оси вращения - следа Рh. На этой прямой находим точку Nо, то есть точку N после совмещения с плоскостью Н. Ее находим на расстоянии PxNo = Pxn / от точки Рх или на расстоянии оNо от точки о, равна радиусу вращения точки N. Длину радиуса оNо = оN~ определяем, как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами on и nN~ (nN~ = nn /). Прямая Рvo, проходящая через точки Рх и Nо - совмещенное положение следа Рv.

Аналогично построено совмещенное положение Со точки С. Радиус вращения оС~ найдено как гипотенузу прямоугольного треугольника, у которого один катет ос, второй сС~ = с / 1. Второй вариант построения выполнено с помощью горизонтали плоскости Р с проекциями с / 2 /, с-2. С помощью дуги радиуса Рх2 / находим совмещенное положение 2х точки 2 на линии Рvо, а в совмещенном положении 2осо горизонталь проведения через точку 2х параллельно следу Рh.

Кривые линии и их проецирования

Кривая линия в ряде случаев это геометрическое место точек, которые соответствуют определенным для этой кривой условиям.

Кривые линии делятся на два вида:
· Плоские;
· Пространственные.

Плоские - линии, которые всеми своими точками лежат в одной плоскости (эллипс, спираль Архимеда).
Пространственные (или их еще называют линиями двойной кривизны) - линии, точки которых не принадлежат одной плоскости (винтовая линия и т.д.).

Для построения проекций кривой (плоской или пространственной) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих ей.
Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая - также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций.

Линия считается закономерной, если при образовании она подчиняется какому-то геометрическому закону. Если при этом кривая определяется в декартовых координатах алгебраическим уравнением, то она называется алгебраической. С алгебраической точки зрения степень уравнения определяет "порядок" кривой, с геометрической - "порядок" кривой равен наибольшему числу точек пересечения кривой с прямой линией для плоских кривых и с произвольной плоскостью для пространственных. Например, эллипс - кривая второго порядка, пересекается с прямой максимум в двух точках, его уравнение х22 + в2/b2 = 1. Если кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцендентных.

Искривленность кривой линии, плоской или пространственной, может быть неизменной (на всем протяжении кривой или на отдельных ее частях) или меняться в разных точках кривой. Например, искривленность круга или извращенность цилиндрической винтовой линии неизменны на всех их протяжении, а искривленность эллипса повторяется в его квадрантах, но в пределах одного квадранту непрерывно меняется.

Кривизна линии - характеризует кривую в данной ее точке (на бесконечно малой дуге) выражается числом.

Длина некоторой части кривой как плоской, так и пространственной определяется приблизительно, путем замены кривой линии ломаной, которая вписана в эту кривую, и измерением длины звеньев этой ломаной линии (это не относится к тем кривым, длину которых можно определить путем несложных расчетов, например, цилиндрическая винтовая линия). Получаем ломаную, длина которой может быть примерно принята за длину кривой.

Проекционное черчение

Плоские кривые линии

Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей (прямая т на рис. 2.19)

Проекционное черчение

Если точку В приближать к точке А, то секущая перемещаться и в предельном положении сольется с точкой А (рис. 2.19). Такое положение прямой называют касательной к кривой в заданной на ней точке. Касательная передает направление движения точки, образует кривую; направление касательной в некоторой точке кривой - направление кривой в этой точке.
Нормали к кривой l называется прямая n перпендикулярна l и проходящей через точку соприкосновения А.

Кривая на рис. 2.19 - плавная: у нее в точке А одна касательная. Если кривую составлено только из таких точек, то это плавная кривая линия. Но на кривых могут быть точки, в которых две касательные, угол между которыми не равен 180 °. Такую точку называют точкой излома, угловой или выходной, и кривая в такой точке не является плавной.

На каждой кривой линии можно выделить особые точки, в которых кривая меняет свой характер, то есть точки, которые характеризуют форму данной кривой. Назовем некоторые из этих точек (рис. 2.20):

· А - точка перегиба, в которой кривая пересекает касательную;

· В и С - точки оборота, в которых кривая имеет острие ( «клюв») и касательная является общей для обеих ветвей кривой (из них точку В называют точкой оборота первого рода (острие), а точку С - точкой оборота второго рода (клюв))

· D - двойная точка (узловая или самопересечения), в ней кривая пересекает сама себя и имеет две касательные;

· Е - точка самоощупи, в ней кривая встречает сама себя, но обе касательные совпадают.

Проекционное черчение

Пространственные кривые линии

Многие из рассматриваемого по отношению к плоским кривым может быть отнесено и к пространственным (например, касательная прямая к пространственной кривой линии, особые точки разного рода и т.п.).

Но если к плоской кривой можно провести в точке только один перпендикуляр к касательной, то для пространственной кривой таких перпендикуляров в точке соприкосновения - множество, это приводит к понятию нормальной плоскости. Для плоской кривой достаточно одной проекции, чтобы судить о характере ее точек, а для пространственной кривой судить о характере точек можно только при наличии двух проекций кривой. Также, как для плоской кривой, касательная к кривой в пространстве проецируется в касательную к проекции этой кривой.

Плоская кривая всеми своими точками лежит в одной плоскости. Для пространственной кривой можно говорить лишь о плоскости, которая наиболее близко подходит к кривой в точке, которая рассматривается. Такая плоскость носит название касательной. Она содержит касательную к кривой и поэтому перпендикулярна к нормальной плоскости. При взаимном пересечении этих двух плоскостей образуется одна из нормалей - главная нормаль. Нормаль, перпендикулярная касательной плоскости - бинормаль.

Спрямляемая плоскость - плоскость перпендикулярна к нормальной и касательной плоскостей. Она проходит через касательную и бинормаль.

Этими тремя плоскостями, которые образуют трехгранник, используются как координатными при рассмотрении кривой в данной ее точке. Среди закономерных пространственных кривых, имеющих широкое практическое значение следует, прежде всего отметить винтовые линии.

Винтовой называют линию, которая образуется одновременным равномерным вращением точки вокруг неподвижной оси и
перемещением вдоль этой оси.

Винтовые линии делят на цилиндрические и конические.

Если образующая точка движется с постоянной угловой скоростью по поверхности кругового цилиндра и пересекает все его образующие под одним углом, то образуется цилиндрическая винтовая линия.

Величина Р, на которую поднимается точка за один оборот образующей, называется шагом винтовой линии. Горизонтальной проекцией цилиндрической винтовой линии является круг, а фронтальной - синусоида. На развертке цилиндрической поверхности винтовая линия будет изображена в виде прямой (рис. 2.21)

Проекционное черчение

Углом α называется угол подъема винтовой линии. Этот угол равен углу наклону касательной в любой точке винтовой линии в плоскости, перпендикулярной к ее оси.

Если образующая точка движется по поверхности кругового конуса и пересекает все его образующие под одним углом, то образуется коническая винтовая линия (рис. 2.22)

Проекционное черчение

Поверхности

В начертательной геометрии поверхность определяется как след линии или другой поверхности, которые  перемещаются. Задание поверхности, как совокупности всех последовательных положений некоторой линии, перемещается в пространстве, удобное для графических построений. В процессе изображения поверхности ограничиваются показом этой линии только в некоторых ее положениях.

Задать поверхность на чертеже - значит указать условия, позволяют построить каждую точку этой поверхности.

Кинематической (от гр. "Кинема" - движение) называется поверхность, образована непрерывным движением линии или другой поверхности. Поверхность, которая образуется при наличии такого закона, является закономерной, в отличии от незакономерных поверхностей.

Образующая линия - линия, которая образует поверхность, в каждом ее положении. Образующая обычно указывается в ряде ее положений. Она может быть прямой и кривой. Линия по которой движется образующая называется направляющей.

Говоря о законах образования поверхностей, следует иметь в виду, что одна и та же поверхность может быть образована перемещением различных линий и соответствовать различным условиям, которые  должна  удовлетворять образующая линия. Вообще, законы образования поверхности могут быть различными; желательно, из этих законов и вида образующих выбирать те, что являются наиболее простыми или удобными для изображения поверхности и решении задач, связанных с ней.

Например, поверхность прямого кругового цилиндра может рассматриваться как результат перемещения образующей - прямой
линии А1А2 - или как результат перемещения круга, центр которого перемещается по прямой О1О2, а плоскость, определяемого кругом, перпендикулярная О1О2 (рис. 2.23).

Проекционное черчение

Учитывая возможность образования множества различных поверхностей, целесообразна их классификация по признакам формы образующей, а также формы, количества и размещения направляющих.

Например, ломаные образующие применяют для образования поверхностей, которые ограничены гранями, - граненных поверхностей: пирамидальных и призматических. Кривые направляющие соответствуют образованию конических, цилиндрических и других поверхностей.

Поверхности, образовывающей которых является прямая линия, называются линейчатыми. Нелинейные, или кривые поверхности образуются с помощью образующих кривых линий.

Также, все поверхности можно разделить на развертываемые и неразвертываемые. К развертываемым относят такие, которые можно развернуть без деформации - совместить с плоскостью так, что все элементы поверхности изображаются в натуральной величине.
Неразвертываемые поверхности во время развертывания невозможно совместить с плоскостью без деформации.

Многогранники

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Образование и изображения многогранных поверхностей

Многогранной называется поверхность, образованная частями пересекающимися плоскостей. На рис. 2.24 изображены некоторые виды многогранных поверхностей.

Проекционное черчение

                                     Рис 2.24

Их элементами являются грани, ребра и вершины. Части плоскостей, образуют многогранную поверхность, называются гранями, линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее трех граней - вершинами.

Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (рис. 2.24, б, г), в противном случае - незамкнутой (рис. 2.24, а, в). Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке - вершине (рис. 2.24, а).  Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рис. 2.24, г).

Построение проекции играемой поверхности сводится к построению проекций некоторых точек и прямых линий этой поверхности.
Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником. Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы (рис. 2.25).

Проекционное черчение

Точки и прямые на поверхности многогранников

Если необходимо на обоих проекциях многогранника построить точку, лежащую на одной из его граней, то следует "связать" точку с соответствующей гранью с помощью любой прямой (рис. 2.25). Прямые на поверхности многогранников определяются аналогично.

Кривые поверхности

Общие понятия и определения:

Кривые поверхности широко используются в различных отраслях науки и техники в процессе создания очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований. Существует три способа задания кривых поверхностей:

1. Аналитический - с помощью уравнений. Составлением уравнение поверхностей занимается аналитическая геометрия. Она рассматривает кривую поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют некотором уравнению.

2. С помощью каркаса. Кривая поверхность задается множеством линий, которые заполняют поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит одна линия каркаса. Этот способ используют в процессе проектирования кузовов автомобилей, в самолето- и судостроении, в топографии и тому подобное.

3. Кинематический, то есть перемещение линий в пространстве. Начертательная геометрия изучает кинематические способы образования и задания кривых поверхностей.

Линейчатые поверхности

Как уже отмечалось, поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейной. Через любую точку линейной​​поверхности можно провести хотя бы одну прямую, которая целиком принадлежит поверхности. Ряд таких прямых является непрерывным каркасом линей1ной ​​поверхности. Линейные поверхности делятся на два вида: 1) развертываемые поверхности; 2)неразвертываемые поверхности.

Все нелинейные поверхности являются неразвертываемыми.

Рассмотрим несколько наиболее характерных разновидностей линейчатых поверхностей.

Развертываемые линейчатые поверхности

Поверхность называется развертываемой, если она может быть совмещена с плоскостью без деформации. Охарактеризуем три вида развертываемых линейчатых поверхностей: цилиндрические, конические, торсы.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется прямой линией, сохраняет во всех своих положениях параллельность некоторой заданной прямой линии и проходит последовательно через все точки некоторой кривой направляющей линии (рис. 2.26).

Проекционное черчение

Неподвижная кривая m, по которой перемещается образующая l называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Множество прямолинейных образующих образуют непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.

Цилиндр - часть пространства, ограниченная закрытой цилиндрической поверхностью и основаниями, образованными двумя секущими плоскостями. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндра бывают:
1. Круговые - нормальное сечение круга (рис. 2.27).

2. Эллиптические - нормальное сечение эллипса (рис. 2.28).

3. Параболические - нормальное сечение параболы.

4. Гиперболические - нормальное сечение гиперболы.

5. Общего вида - нормальное сечение кривая случайного вида.

Цилиндр называется прямым, если плоскости основ перпендикулярны его оси (рис. 2.27, а), и наклонным, если ось наклонена к основам (рис. 2.27, б; 2.28, б, в).

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Конические поверхности

Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку и последовательно
через все точки некоторой кривой направляющей линии. Неподвижная точка называется вершиной конической поверхности (рис. 2.29).

Проекционное черчение

Неподвижная кривая m по которой перемещается образующая l называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S, которая разделяет поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих образуют непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является лишь вершина S, которая называется «особой точкой поверхности»).

Конус - часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и любой плоскостью, пересекающей все ее образующие. Фигура пересечения конической поверхности этой плоскостью называется основой конуса. Пересечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее оси, называется нормальной. Осью конической поверхности называется линия пересечения ее плоскостей симметрии.

Конические поверхности, которые имеют ось , в зависимости от вида нормального сечения бывают:

1. Круговые - нормальное сечение круга (рис. 2.30).

2. Эллиптические - нормальное сечение эллипса (рис. 2.31) и др.

Проекционное черчение

Ось конуса может занимать по отношению к плоскостям проекций любое положение.

Торс

Торс (поверхность с ребром оборота) образуется непрерывным движением прямолинейной образующей, касательной во всех ее положениях к некоторой пространственной кривой. Эта пространственная кривая является для поверхности направляющей; она называется ребром поворота (рис. 2.32).

Проекционное черчение

Неразвертываемые линейчатые поверхности

К неразвертываемым линейчатым поверхностям относятся поверхности с плоскостью параллелизма: цилиндроиды, коноиды и гиперболические параболы и др. Цилиндроид – поверхность, полученная перемещением прямой образующей, которая все время остается параллельной определенной плоскости, называемой плоскостью параллелизма, по двум кривым направляющим.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма

Линейные поверхности с плоскостью параллелизма образуются при законе, сущность которого заключается в том, что образующая прямая линия перемещается параллельно заданной плоскости по двум направляющим, не лежат в одной плоскости. Плоскость, параллельно которой в пространстве движется образующая поверхности, называется плоскостью параллелизма.

Цилиндроид

Цилиндроид - это поверхность, образованная перемещением прямой линии, которая во всех своих положениях сохраняет параллельность некоторой заданной плоскости ( "плоскости параллелизма»), и пересекает две кривые линии (направляющие), не лежат в одной плоскости (рис. 2.33).

Проекционное черчение

Коноид

Коноид - это поверхность, образованная перемещением прямой линии, во всех своих положениях сохраняет параллельность некоторой заданной плоскости ("плоскости параллелизма»), и пересекает две направляющие, одна из которых - кривая, а вторая - прямая (рис. 2.34).

Проекционное черчениеПроекционное черчение

Косая плоскость

Косая плоскость (гиперболический параболоид) образуется как результат перемещения прямолинейной образующей по двум направляющим - скрещивающихся прямых, параллельно некоторой плоскости параллелизма (рис. 2.35).

Проекционное черчение

Винтовые поверхности

Винтовые поверхности образуются движением образующей - отрезком прямой - по двум направляющим, одна из которых является винтовой линией, а вторая - ее осью при вращении образующей вокруг направляющей оси с одновременным скольжением концов образующей по обеим направляющим.

Прямой геликоид

Если цилиндрическую винтовую линию взять кривой направляющую, ось винтовой линии - за прямую направляющую, а за плоскость параллелизма - плоскость, перпендикулярную оси винтовой линии, то поверхность, образованная при таких условиях, называется винтовым коноид или прямым геликоидом (рис. 2.36). Образующая прямая прямого геликоида пересекает ось под прямым углом.

На рис. 2.37 приведен пример прямого открытого геликоида, с конечной толщиной поверхности.

Проекционное черчение

Наклонный (косой) геликоид

Наклонным геликоидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, которая скользит по двум направляющим (одна из них - цилиндрическая винтовая линия, а вторая -ось винтовой линии) и сохраняет во всех положениях постоянный угол β с направляющей плоскостью, которую располагают перпендикулярно к оси винтовой поверхности. В процессе построения проекции пожилого геликоида удобно пользоваться направляющим конусом (рис. 2.38).

Направляющий конус соосный с винтовой поверхностью, его образующие наклонены под углом β к плоскости основания. Образующая прямая перемещается по направляющим и остается во всех своих положениях параллельной образующей направляющего конуса. Итак, образующая прямая во всех своих положениях пересекает ось и под постоянным углом α ≠ 90 °. Плоскость, перпендикулярная
к оси поверхности, пересекает ее по спирали Архимеда.

На рис. 2.39 показан наклонный закрытый геликоид.

Проекционное черчение

Поверхности вращения

Поверхность вращения - поверхность образуется в результате вращения любой образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси поверхности (рис. 2.40).

Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Поверхность вращения можно задать образующей и положением оси. Каждая точка образующей описывает круг. Итак, плоскость, перпендикулярная оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность по окружности, центр которого лежит на оси. Такие круги называются параллелями.

Проекционное черчение

Экватор - самая большая параллель.

Горло - самая большая параллель.

Меридиональная плоскость - плоскость, проходящая через ось поверхности вращения.

Меридиана поверхности - линия пересечения поверхности вращения меридиональной поверхностью.

Вершина поверхности - точка пересечения меридиана этой поверхности с ее осью, если в сечении не образуется прямой угол.

Если ось поверхности вращения параллельна плоскости V, то меридиана, лежащая в плоскости, параллельна плоскости V,
называется главной меридианой. При таком положении главная меридиана проецируется на плоскость V в натуральную величину.
Если ось поверхности вращения перпендикулярна к плоскости Н, то горизонтальная проекция поверхности имеет вид круга.

Наиболее целесообразным с точки зрения изображений является перпендикулярность оси поверхности вращения к плоскости Н, или к V или к W.

В процессе проецирования различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшего распространения получили поверхности, которые образуются вращением прямой линии или кривых второго порядка.

Поверхности, образованные вращением прямой (линейные поверхности вращения)

Вращением прямой линии образуются:

1) цилиндр вращения, если прямая l параллельна оси і (рис. 2.41)

2) конус вращения, если прямая l пересекает ось і (рис. 2.42)

3) однополостный гиперболоид вращения, если прямая ВС скрещивающиеся с осью и (рис. 2.43), меридианой поверхности является гипербола.

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг их осей
1) сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (Рис. 2.44)
2) эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (рис. 2.45)
3) параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 2.46)
4) однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее воображаемой оси (рис. 2.43)
5) двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис. 2.47).

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка вокруг оси, не является осью кривой, но расположены в ее плоскости.
Наиболее распространенной среди этих поверхностей является тор.

Тор - поверхность, которая образуется в процессе вращения круга вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга, но не проходит через его центр (рис. 2.48).

Проекционное черчение

Выделяют (рис. 2.49): а) открытый тор, б) закрытый, в) самопересекающий.

Проекционное черчение

Канальные и циклические поверхности

Канальная поверхность образуется движением плоской замкнутой линии (образующей), форма и размеры которой в процессе формообразования могут оставаться постоянными или монотонно изменяться, и которая определенным образом ориентирована в пространстве (рис. 2.50).

Проекционное черчение

В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентировки плоскостей образующих:

1) параллельно любой плоскости - каналу поверхности с плоскостью параллелизма;
2) перпендикулярно направляющей линии - прямые каналу поверхности.
Все поверхности вращения можно рассматривать как каналу с направляющей - осью і.

Циклические поверхности можно рассматривать как особый случай каналов поверхности. Циклические поверхности образуются в результате движения по определенному закону цепи постоянного или переменного радиуса (рис. 2.51).

Проекционное черчение

Для трубчатой ​​поверхности образующей является круг с постоянным радиусом (Рис. 2.52).

Точки на кривых поверхностях

Положение точек на кривой поверхности, подобно положению точек на гранью поверхности, определяются с помощью линий - прямых или кривых, проходящих через эти точки на заданной поверхности.

Трудность построения точек на эпюре обусловлена, прежде всего, характером данной поверхности, ее положением относительно плоскостей проекций и другими условиями.

Однако, в любом случае линию, с помощью которой находим искомую точку, следует выбирать так, чтобы построение ее на эпюре не вызывала трудностей.

Так, для линейчатых поверхностей такой линией должно быть прямая, то есть любая образующая поверхность. А для нелинейчатых
поверхностей целесообразно выбирать кривую линию, проекции которой легко построить. В частности, для поверхностей вращения такими линиями есть параллели и меридианы.

Следует иметь в виду, что в случае проекционной поверхности, т.е. перпендикулярной к одной из плоскостей проекций, отыскания
проекций точек выполняется, как правило, без дополнительных построений.

Прямые и плоскости, касательные к кривым поверхностей

Прямая линия, касательная к любой кривой линии, принадлежащей поверхности, является касательной и до самой поверхности. Через любую точку поверхности можно провести множество кривых, а, соответственно, множество касательных прямых. Все эти касательные прямые размещаются в одной плоскости, и называются касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке.

Итак, плоскость, касательная к поверхности, - это множество всех касательных, проведенных к поверхности через одну точку. Плоскость может определяться двумя пересекающимися прямыми; поэтому для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две кривые и к каждой из них касательную в этой точке. Кривыми необходимо выбирать простые линии поверхности.

Перпендикуляр к касательной плоскости в обычной точке поверхности является нормалью к поверхности. Отсюда нормальное сечение поверхности - сечение плоскостью, проходящее через нормаль.

Если необходимо построить плоскость касательную к сфере, то она будет перпендикулярной к радиусу, проведенного к точке соприкосновения (плоскость будет задана горизонталью и фронталлю, перпендикулярна к радиусу) (рис. 2.53).

Проекционное черчение

Провести касательную плоскость к цилиндру через точку С, находится на поверхности цилиндра (рис. 2.54).

Цилиндр - поверхность линейчатая. Поэтому через точку С можно провести образующую АВ, которая является одной из двух пересекающихся прямых, определяющих касательную плоскость. Вторая прямая - это касательная ВF в круг - горизонтального следа цилиндрической поверхности. Прямые АВ и ВF определяют необходимую касательную плоскость. Прямая BF является горизонтальным следом этой плоскости.

Провести касательную к цилиндру через точку К, которая находится вне цилиндра (рис. 2.55).

Касательная плоскость должна содержать образующую поверхности; следовательно, эта плоскость вообще параллельна направлению образующей. Поэтому прямая КМ, параллельна образующей, принадлежит касательной плоскости. Вторая прямая, в сечении с КМ образует плоскость, касательную к цилиндрической поверхности, - МQ - горизонтальный следует касательной плоскости. Эта плоскость касающаяся поверхности по образующей DE.

Второе решение: через точку М проведена прямая MN - горизонтальный следует второй касательной плоскости (прикосновение
по образующей АВ).

Проекционное черчение

Построение и чтение комплексных чертежей моделей

В процессе выполнения технических и проекционных чертежей моделей нет необходимости устанавливать расстояние от изображаемого предмета к плоскостям проекций. Соответственно, нет необходимости в проведении осей координат и линий проекционной связи. Это освобождает поле чертежа для нанесения размеров и облегчает чтение чертежа. Для построения изображений пользуются методом прямоугольного проецирования, когда предмет размещают между глазом наблюдателя и плоскостью проекций. Основными плоскостями проекций выбирают шесть граней пустотелого куба, внутри которого помещают предмет, который проецируется на внутренние грани куба. Затем основные плоскости проекций совмещают с фронтальной плоскостью. В результате образуется плоский комплексный чертеж (рис. 2.56).

Проекционное черчение

Изображение на фронтальной плоскости проекций считают главным. Относительно этой плоскости проекций предмет размещают так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета. В зависимости от содержания изображения разделяют на вид, разрезы и сечения.

Количество их должно быть минимальным, но достаточным для полного представления о изображаемый предмет.
Видом называют изображение обращенное к наблюдателю видимой части поверхности предмета. для уменьшения количества изображений допускается линии невидимого контура изображать штриховыми. Виды на основных плоскостях проекций являются основными. Они имеют следующие названия (рис. 2.56): 1 - вид спереди (главный вид); 2 вид сверху; 3 - вид слева; 4 - вид справа; 5 - вид снизу; 6 - вид сзади.

Прочитать черчение - это иметь полное представление о геометрической форме модели. В процессе чтения чертежа обязательно использовать все данные проекции.

Развертывание поверхностей

В различных отраслях техники и строительства при изготовлении изделий из листового материала часто имеют дело с развертками поверхностей.

Развертка поверхности - это плоская фигура получена в результате совмещения поверхности с плоскостью.

Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно однозначное точечное соответствие: каждой точке поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии на поверхности соответствует линия на развороте, и наоборот. Взаимно однозначное соответствие имеет такие важные свойства:

1. Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке.
2. Параллельные прямые на поверхности переходят в параллельные прямые на развороте.
3. Длины соответствующих линий на поверхности и развертке одинаковы.
4. Углы, образованные линиями поверхности, равны углам, что образуют эти самые линии на развертке.
5. Плоскость развертки равна плоскости поверхности; все размеры на развороте имеют натуральную величину.

Проекционное черчение

Для гранных поверхностей - развертки точны. Развертки кривых поверхностей - приближенные, так как для их построения малые части кривых поверхностей заменяют гранными (аппроксимация). В случаях неразвернутых поверхностей можно говорить только об условных развертках.

Существует три способа построения разверток:
1. Способ нормального сечения - для построения разверток цилиндрических и призматических поверхностей.
2. Способ развертывания - для построения разверток поверхностей наклонных призм и цилиндров в том случае, когда их основы
параллельные одной плоскости проекций, а ребра или образующие - другой.
3. Способ треугольников (триангуляции) - для развертки конических, пирамидальных и торсових поверхностей.

Способ нормального сечения

Построить развертку поверхности трехгранной призмы (рис. 2.59).

Проекционное черчение

Боковые ребра призмы размещены фронтально и проекциюються на плоскость V в натуральную величину.

Проводим плоскость Q перпендикулярную боковым ребрам призмы (Q┴АВ), далее строим нормальное сечение Δ123 и определяем его натуральную величину (методом плоскопараллельного перемещения).

Все стороны нормального сечения последовательно отложим на прямой: 1о2о = 11 21; 2о3о = 21 31; 3о1о = 31 11. Полученный отрезок 1о-1о равен периметру нормального сечения.
Через точки 1о, 2о, 3о, проведем прямые перпендикулярны 1о- 1о и отложим на них натуральную величину боковых ребер:
1оАо = 1 / а / и 1оВо = 1 / b /; 2оСо = 2 / с / и 2оDо = 2 / d /; 3оЕо = 3 / э / и 3оFо = 3 / f /; 1оАо = 1 / а / и 1оВо = 1 / b /.

Полученные точки Ао, Со ... соединяем прямыми. Плоская фигура АоСоЕо ... есть искомой разверткой боковой поверхности данной призмы.

Для построения полной развертки необходимо до развертки боковой поверхности достроить основания призмы, использовав полученные на развороте натуральные величины их сторон.

Построить развертку нижней части поверхности цилиндра вращения, перерезанного фронтально-проекционной плоскостью Р, и точки М, произвольно расположенной на поверхности цилиндра (рис. 2.6о).

Развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, и длиной L = ̟d, где d - диаметр цилиндра.

Поскольку ось цилиндра перпендикулярна к плоскости проекций Н, то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра, а фронтальная - со следом плоскости Рv. Натуральный вид фигуры сечения (эллипс) находим с помощью способа замены плоскостей проекций.

Строим развертку усеченной нижней части цилиндрической поверхности. Для этого круг основания цилиндра разделим на 12 одинаковых частей; развернутый круг основы также разделим на 12 одинаковых частей. Отрезки образующих отложены на перпендикуляры, ​​проведенных в точках разделения развернутого окружности основания цилиндра, то есть 10, 20 и 120, 30 и 110, 40 и 100, 50 и 90, 60 и 80, 70. Проведя через полученные точки кривую, получим развернутой эллипс ( эта линия является синусоидой) - верхний край развертки боковой поверхности цилиндра.

К развертки боковой поверхности присоединим круг основы и эллипс - натуральный вид сечения. Полученная фигура будет разверткой срезанной нижней части цилиндра.

Для построения на развертке точки М обозначим хорду l2 между образующей, на которой размещена точка М, и образующей точки 4. На развертке откладываем длину хорды от точки 4 и высоту размещения точки М.

Проекционное черчение

Способ развертывания

Построить развертку боковой поверхности наклонного эллиптического цилиндра (рис. 2.61).

В цилиндр вписываем наклонную многогранную призму. Развертка цилиндра составляет сумму граней этой призмы. Грани строим последовательно.

Проведем ряд прямолинейных образующих АВ || CD || EF цилиндрической поверхности. Части поверхности между смежными образующими приймем за плоские элементы поверхности: АВDС, CDFE ...

Плоский элемент ABDC вращая вокруг фронтали АВ совмещаем с фронтальной плоскостью уровня. При этом фронтальная проекция с / вершины элемента переместится по прямой, перпендикулярной a / b /, в положение Со. Точка Со построена на прямой с / Со засечкой с точки а радиусом ас, потому что нижнее основание цилиндра проецируется в натуральную величину и а / Со = ас.

Поскольку параллельные прямые на поверхности переходят в параллельные прямые на развороте, то через точку Со проведем СoDo || a / b / (поскольку CD || AB) и найдем точку Dо = CоDо х d / Dо, где d Dо a / b / . a / b / DоCо - совмещенный плоский элемент.

Вращением вокруг фронтали CоDо совместим смежный элемент CDFE с той же фронтальной плоскости уровня. Для этого проведем э / Ео a/ b/ (или СоDо). На э / Ео с точки Со радиусом это засечкой обозначим точку Ео. Через Ео проведем EоFо || CоDо (Fо = о х f / Fо, где f/ Fо a/ b/).

Совмещение других плоских элементов происходит аналогично.

Построенные точки Ао, Со, Ео, ..., Во, Dо, Fо ... соединяем лекальной кривой. Полученная плоская фигура АоВоСо ... ВоАо ... о является искомой разверткой.

Проекционное черчение

Способ треугольников (триангуляции)

Способ треугольников заключается в том, что отдельные части поверхности принимаем за треугольники.
Разверткой боковой поверхности прямого кругового конуса является круговой сектор, радиус которого равен длине образующего конуса l = [SA], а центральный угол φ = 360ºr / l, где r - радиус основания (рис. 2.62).

Для того, чтобы построить на развороте любую точку (например точку В), принадлежащей поверхности конуса, через нее
проводим образующую, определяем расстояние от вершины конуса до точки, дальше наносим образующую на развернутую боковую поверхность конуса и откладываем длину отрезка (рис. 2.62).

Проекционное черчение

Построить развертку наклоненного эллиптического конуса (рис. 2.63).

Проекционное черчение

Для построения развертки наклоненного эллиптического конуса поделим основу на 12 одинаковых частей, то есть вписываем в основу 12 угольник. Образующие S1 и S7 проекциюються на плоскость V в натуральную величину. Используя метод вращения вокруг проекционной оси, определяем величины других образующих. Далее строим приблизительную развертку.

Берем любую точку и обозначаем ее Sо. Проводим вниз вертикальную линию и откладываем на ней от точки S отрезок, равный S1. Для получения точки 2х с точки 1о проводим дугу радиусом 1-2, а с точки Sо - дугу радиусом S / 21 /. Другие точки строим аналогично и соединяем плавной кривой.

Для того, чтобы построить на развороте любую точку (например точку А), принадлежащей поверхности конуса, через нее проводим образующую, определяем натуральную величину, строим на развертке и обозначаем точку Ао.

Построить развертку поверхности пирамиды с нанесенными на ее грани сторонами треугольного сечения пирамиды некоторой плоскостью (рис. 2.64).

Проекционное черчение

Находим длину каждого из ребер пирамиды путем вращения вокруг проекционной оси.

Строим треугольник AoSoBo по трем сторонам: основа АоВо равна горизонтальной проекции ab, а боковые стороны - натуральным величинам ребер SA и SB (то есть отрезкам s / a / 1 и s / b / 1).

На стороне SoBo построен новый треугольник, причем сторона BoСo равна горизонтальной проекции bc, сторона SoCo равна длине ребра SC (то есть отрезке s / c / 1).

Аналогично построен и третий треугольник. В результате получена развернутая боковая поверхность пирамиды.

Если на сторонах SoAo, SoBo, SoCo отложить отрезки SoKo, SoMo, SoNo, которые равны отрезкам ребер пирамиды, которая пересечена плоскостью, то получим ломаную линию КoМoNoKo, которая состоит из сторон фигуры сечения.

2.5.4. Условные развертки
Сферическая поверхность является неразвернутой. В данном случае можно говорить лишь об условном развертывании.

Проекционное черчение

Поделим сферическую поверхность на восемь одинаковых частей (клиньев) горизонтально-проекционными плоскостями Q1, Q2, Q3, Q4, которые проходят через центр сферы (рис. 2.65). Сферическую поверхность с каждого клина заменяем на цилиндрическую поверхность, ось которой проходит через центр сферы.

Далее разделим сферическую поверхность на части несколькими горизонтальными плоскостями Р, Р1, Р2, Р3 ... Р6. Эти плоскости
пересекают сферические клинья по дугам, которые заменяем образующими цилиндрической поверхности - отрезками, имеющими отношение к этим дугам.

Для построения развертки одного из восьми сферических клиньев на горизонтальной прямой АЕ откладываем длину отрезка касательной прямой 1а = 1А и через середину этого отрезка проводим вертикальную прямую, на которой откладываем отрезок, равный ̟R.

Этот отрезок поделим на восемь равных частей и через точки делений проводим горизонтальные прямые, на которых откладываем действительны длины касательных 2b, 3c, 4d образующих цилиндров, то есть отрезки 2В, 3С, 4D. Полученные точки соединяем плавной кривой. Развертку других семи клиньев строим аналогично.

Аксонометрические проекции

В технике для наглядного изображения изделий или их деталей используют аксонометрические ( "аксонометрия" - д .: axon - вот, metreo - измеряю) проекции этих предметов.

Упражнения на построение аксонометрических проекций помогают научиться читать чертежи и развивают пространственное представление о форме предметов и деталей машин.

Аксонометрические проекции используются как вспомогательные к комплексных чертежей в тех случаях, когда необходимо более наглядно показать изображение формы детали.

Отличие аксонометрических проекций от ортогональных заключается в том, что в аксонометрической проекции изображение предмета вместе с осями координат происходит проецирования параллельными лучами на одну аксонометрическую плоскость проекций. Итак, аксонометрическая проекция это проекция только на одну плоскость (рис. 2.66).

Проекционное черчение

Прямые Ох, Оу, Оz изображают оси координат в пространстве, прямые Орх, Ору, Орz - их проекции на плоскость Р, и называются аксонометрическими осями (или осями аксонометрических координат).

На осях х, у, z отложен некоторый отрезок l, который принимается за единицу измерения по этим осям (натуральная единица).

Отрезки lx, ly, lz на аксономических осях - проекции отрезка l; они разной длины и не равны l. Отрезки lx, ly, lz - единицы измерения по аксономическим осям - аксономические единицы.

В отношениях Проекционное черчение - коэффициенты искажения по аксономическим осям. Коэффициент искажения по оси ОРХ обозначим к, по оси Ору обозначим Проекционное черчение, по оси Орz обозначим Проекционное черчение.

С помощью коэффициентов искажения можно перейти от прямоугольных координат к аксономическим, и наоборот: Проекционное черчение, Проекционное черчение, где буквами Проекционное черчение обозначены отрезки, которые определяют аксономические координаты точки, буквами х, у, z - отрезки, которые определяют ее прямоугольные координаты .

ГОСТ 2.317-69 устанавливает виды аксономических проекций, используемых в чертежах всех отраслей промышленности и строительства.

В зависимости от направления проекционных лучей и искажения линейных размеров предмета вдоль осей аксономических проекций делятся на прямоугольные и косоугольные.

Если проекционные лучи перпендикулярны к аксонометрической плоскости проекций, то такая проекция называется прямоугольной аксонометрической. К прямоугольным аксонометрическим проекциям относят изометрическую и диметрическую.

Если проекционные лучи направлены под углом (≠ 90 °) к аксонометрической плоскости проекций, то получаем косоугольную аксонометрическую проекцию. К косоугольным аксонометрическим проекциям относят фронтальную изометрическую, горизонтальную изометрическую и фронтальную диметрическую проекции.

Прямоугольные аксонометрические проекции дают наиболее наглядные изображения и поэтому чаще всего используются в машиностроительном чертеже.

В процессе аксонометрического проецирования предмет должен располагаться так, чтобы его было видно спереди, сбоку, сверху.

Прямоугольные аксонометрические проекции

Прямоугольная изометрическая проекция

Углы между осями Проекционное черчение равны друг другу и составляют 120º (рис. 2.67).

Проекционное черчение

В изометрической проекции все коэффициенты одинаковы:
Проекционное черчение
В техническом чертеже для упрощения построений такого сокращение не делают; отрезки, параллельные аксонометрическим осям, откладывают натуральной величины.
Как известно, поверхность предмета состоит из линий, а линии - с точек, следовательно построение изометрических проекций начнем с точки.

Предоставлено ортогональные проекции точек А и В. Построить аксонометрические проекции этих точек (рис. 2.68).

Проекционное черчение

Для построения изометрических проекций этих точек проводим изометрические оси Проекционное черчение под углом 120º друг к другу.

С начала координат Проекционное черчение по оси Проекционное черчение откладываем отрезок Проекционное черчение равный координате Проекционное черчение точки В. Координату Проекционное черчениеберем с комплексного чертежа.

С точки 1 / проводим прямую, параллельную оси в Проекционное черчение, и на ней откладываем отрезок 1/2 /, равный координате Проекционное черчение точки В; с точки 2 / проводим прямую, параллельную оси z/, на которой откладываем отрезок 2 / В /, равный координате zB точки В. Полученная точка В/ - искомая изометрическая проекция точки В. Для построения изометрической проекции точки А достаточно двух координат Проекционное черчение и Проекционное черчение. Третья координата zА равна нулю, так как точка А на поверхности Н.

Для построения изометрической проекции плоских многоугольников строят изометрические проекции их вершин которые затем соединяют прямыми.

В процессе построения изометрической проекции правильной шестигранной призмы строение вершин основания по координатам можно упростить, проведя одну из осей координат через центр основания. На рис. 2.69 оси Проекционное черчение проведен через центры правильных шестиугольных призм.

Построив изометрию основания призмы, из вершин шестиугольника основания проводим прямые, параллельные соответственно осям Проекционное черчение (для каждой из призм). На этих прямых от вершин основания отложим высоту призмы и получим изометрию шести точек 1 - 6 вершин второй основания призмы. Сочетав точки прямыми, получим изометрическую проекцию призмы.

Построить изометрию неправильной пятигранной пирамиды с ее комплексным чертежам (рис. 2.70).

Определяем координаты всех точек основания пирамиды, например, точки А. Далее по двум координатам х и у строим изометрию пяти точек - вершин основания пирамиды. Так, например, по оси х / от точки у / откладываем координату хА. С ее конца проводим прямую, параллельную оси у/, на которой откладываем другую координату этой точки уА.

Далее строим высоту пирамиды и получаем точку S / - вершину пирамиды. Соединяем точку S/ с точками Проекционное черчениеи получаем изометрию пирамиды.

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Изометрическая проекция окружности будет отображаться в виде эллипсов.

Малая ось C/ D/ каждого эллипса всегда должна быть перпендикулярна к большой оси эллипса А/ В/ (рис. 2.71).

Проекционное черчение

Если круг лежит в плоскости, параллельной плоскости Н, то большая ось А/ В/ должно быть горизонтальной, а должна была ось С/ D/ - вертикальной.

Если круг лежит в плоскости, параллельной плоскости V, то большая ось эллипса должна быть проведена под углом 90º к оси у/.

Если круг лежит в плоскости, параллельной плоскости W, то большая ось эллипса расположена под углом 90º к оси х/.

В процессе построения изометрической проекции окружности без искажения по осям х/, у/, z/ длина большой оси эллипса равна 1,22 диаметра изображенного круга, а длина малой оси эллипса - 0,7 D.

Для построения эллипса, который лежит в плоскости, параллельной Н, проводим вертикальную и горизонтальную оси овала (рис. 2.72, а).
С точки пересечения осей О проводим вспомогательной круг диаметром D, равный натуральной величине диаметра круга, и находим точки п пересечения круга с аксонометрическими осями х и у. С точки т пересечения вспомогательного круга и оси z, как из центров радиусом R = nт, проводим две дуги nDn и nCn круга, принадлежит овала.

Из центра О радиусом ОС, равный половине малой оси эллипса, обозначаем на большой оси эллипса АВ точки О1 и О2. С этих точек радиусом r = O11 = О12 = О23 = О24 проводим две дуги. Точки 1, 2, 3, 4 большое малое сопряжение дуг радиусов R и r находим, сочетаем точки Проекционное черчение с точками О1 и О2 и продолжая прямые до пересечения с дугами nСn и nDn.

Аналогично строят эллипсы, которые лежат в плоскостях, параллельных плоскостям V и W (рис. 2.72, б, в).

 

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Рассмотрим еще один вариант построения окружности в прямоугольной изометрической проекции.

Построить изометрическую проекцию круга диаметром 100 мм., который лежит в плоскости, параллельной плоскости W (рис. 2.73).

Проекционное черчение

Проводим:
· Прямую, перпендикулярную оси х, и откладываем на ней большую ось эллипса a1 a2 = 122 мм;a
· Прямую, параллельную оси х, и откладываем на ней малую ось эллипса b1b2 = 70 мм;
· Прямую, параллельную оси у, и откладываем на ней диаметр эллипса d1d2 = 100 мм;
· Прямую, параллельную оси z, и откладываем на ней диаметр эллипса e1e= 100 мм.

Найденные восемь точек позволяют изобразить эллипс достаточно точно от руки.

Прямоугольная диметрична проекция

В прямоугольной диметричнеской проекции ось z - вертикальная; ось х расположена под углом 7º10 /, а осьу - под углом 41º25 / к горизонтальной прямой (рис. 2.74).

Проекционное черчение

Все отрезки прямых линий предмета, которые были параллельны осям х, у, z на комплексном чертеже, останутся параллельными соответствующим осям и в диметричний проекции. В диметрической проекции значения коэффициентов искажения по осям составляет (1; 0,5; 1).

Например, на изображении трехгранной призмы в прямоугольной диметрии (рис. 2.75), если ее ребра параллельны оси х или z, то размер высоты не меняется, но искажается форма основания. Если ребра параллельны оси у, то высота призмы уменьшается в два раза.

Проекционное черчение

Круги в прямоугольной диметрической проекции изображаются в виде эллипсов. Большая ось эллипсов А/ В/ во всех случаях равна 1,06 D, D - диаметр круга. Малая ось эллипса С/ D/ для круга, лежит в горизонтальной и профильной плоскостях проекциях (или параллельно этим плоскостям) равен 0,35D, а для круга, лежит во фронтальной плоскости проекций (или параллельно этой плоскости) - равен 0, 94 D.

На рис. 2.76 показано построение восьми точек эллипса в диметричний проекции. Во всех случаях большая ось а1а2 = 1,06D, диаметры f1f2 = e1e2 = D, диаметр d1d2 = 0,5D; малая ось b1b2 в двух положениях она равна 0,35 D, а в одном (когда она параллельна оси у) равна 0,94 D.

Найденные восемь точек которые позволяют изобразить эллипс достаточно точно от руки.

Проекционное черчение

Косоугольные аксонометрические проекции

Косоугольная фронтальная изометрическая проекция (рис. 2.77). Угол наклона оси в составляет 45 ° к горизонтальной прямой, но допускается проводить ось в под углом 30 ° и 60 °.

Проекционное черчение

Косоугольную фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения линейных размеров на всем трем осям.

Круги, которые лежат в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций V, проекциюються на аксонометрическую плоскость в круг того же диаметра. Круги, которые лежат в плоскостях, параллельных плоскостям проекций Н и W, проекциюються в виде эллипсов. Длина большой оси эллипса равна 1,3, а малой - 0,54 диаметра окружности. Большие оси эллипсов направлены по биссектрисами, малые - перпендикулярны к большим осям (рис. 2.78).

Проекционное черчение

Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция (рис. 2.79). Ось в расположена под углом 30 ° к горизонтальной прямой, но допускается проводить ось в под углом 45 ° и 60 °. Угол между осями х и у во всех случаях должен быть равен 90 °. Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения на всем трем осям.

Проекционное черчение

Круг, расположенный в плоскости, параллельной Н, проекциюються в круг того же диаметра, а круги, которые лежат в плоскостях, параллельных V и W - в эллипсы. Большая ось эллипса (если круг параллельный плоскости V) равна 1,37D, а малая - 0,37D. Большая ось эллипса (если круг параллельный плоскости W) равна 1,22D, а малая - 0,71D. Большая ось направлена по биссектрисе острого угла между прямыми, параллельными осям; а малая ось перпендикулярна к большой (рис. 2.80).

Проекционное черчение

Косоугольная фронтальная диметрическая проекция (рис. 2.81). Угол наклона оси в равен 45 ° к горизонтальной прямой, но допускается применять фронтальную диметрическую проекцию с углами наклона оси в 30 ° и 60 °. Коэффициенты искажения на осях х и z равны 1, а на оси в - 0,5.

Проекционное черчение

Круг, который лежит в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций, проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в круг того же диаметра, а круги, которые лежат в плоскостях, параллельных профильной и горизонтальной плоскостям проекций, - в эллипсы. Большая ось эллипсов равна 1,07D, а малая - 0,33D (рис. 2.82).

Проекционное черчение

Пересечение поверхностей

Многие детали, которые используются в технике, имеют разные срезы, выполненные, например, фрезерованием, строганием и др.
Формирование умений строить сечения и разрезы в ортогональных проекциях, в аксонометрии, на развертках является одной из важных задач обучения инженерной графике. Так как форма любой детали являет собой совокупность геометрических тел, то вопрос построения сечений рассматривают сначала на геометрических телах.

Приемы построения сечений, изучены на геометрических телах, будут использоваться при изучении построений сечений и разрезов в техническом чертеже.

При пересечении поверхности плоскостью образуется плоская линия, которая в общем случае может включать в себя как прямолинейные, так и криволинейные части, и одновременно принадлежать и поверхности, и плоскости. Эту линию называют линией пересечения поверхности плоскостью, а часть плоскости, ограниченную ней, - сечением поверхности или просто сечением.
Как и любую другую линию, линию пересечения поверхности плоскостью строят по отдельным точкам. Определение проекций линий пересечения обычно начинают с построения опорных точек - точек, расположенных на крайних, контурных образующих поверхности точек, удаленных на min и max расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют другие точки кривой сечения.

В тех случаях, когда секущая плоскость не параллельна одной из плоскостей проекций, фигура проецируется с искажением.
Следовательно, ее настоящую величину определяют с помощью преобразования комплексного чертежа.

Пересечение поверхностей плоскостью и прямой линией

Пересечение в евклидовой геометрии — точка или кривая, общие для двух или более объектов (таких как кривые, плоскости и поверхности). Простейший случай — пересечение двух различных прямых на плоскости, которое либо является одной точкой, либо не существует, если прямые параллельные.

Пересечение многогранников плоскостью

Для построения фигуры, полученной при пересечении призмы или пирамиды плоскостью, нужно найти точки, в которых ребра призмы или пирамиды пересекают данную плоскость или найти отрезки прямых, по которым грани призмы или пирамиды пересекаются плоскостью. В первом случае построение сводится к задаче на пересечение прямой с плоскостью (метод ребер), во втором случае - на пересечении плоскостей между собой (метод граней).

Проекционное черчение

Пересечение многогранников плоскостью особого положения

Определить фигуру сечения трехгранной пирамиды плоскостью особого положения.

Пирамида SАВС (рис. 3.2) пересекается фронтально-проекционной плоскостью Р. Основание пирамиды параллельная
горизонтальной плоскости проекций, а/ с/ b/ - фронтальная проекция основания - отрезок прямой линии. Фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды 1/2/3/ - отрезок прямой и размещается на следе Рh, потому что плоскость Р - фронтально-проекционная. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 находятся в точках пересечения вертикальных линий связи с соответствующими горизонтальными проекциями ребер пирамиды. Совместив определенные точки, получаем фигуру сечения треугольной пирамиды SАВС плоскостью Р. Для определения натуральной величины фигуры сечения используем метод плоскопараллельного перемещения.

Пересечение призмы горизонтально-проекционной плоскостью Р показано на рис. 3.3.

Проекционное черчение

Пересечение многогранников плоскостью общего положения

Определить фигуру сечения трехгранной пирамиды плоскостью общего положения.

Проекционное черчение

Пирамида SАВС пересекается плоскостью общего положения Р (рис. 3.4). Необходимо найти точки пересечения ребер SA, SB, SC с плоскостью Р, то есть точки пересечения прямой с плоскостью. Найдем точку пересечения ребра SB с плоскостью Р. Через SB проводим вспомогательную плоскость, в данном случае горизонтально-проекционную Q. Находим прямую пересечения 1-2 плоскостей Р и Q. Находим точку L в пересечении прямых SB и 1-2.

Далее, ребро SA размещено параллельно плоскости V, поэтому проводим через него вспомогательную фронтальную плоскость R. Она пересекает плоскость Р по ее фронтали с начальной точкой 3, в пересечении этой фронтали с ребром SA получим точку К.

Проекция ас параллельная следу Рh. Это тот случай, когда в двух плоскостей горизонтальные следы взаимно параллельные (Рh || ас, ас - часть горизонтального следа плоскости грани SAC) и линия пересечения таких плоскостей является их общей горизонталью. Поэтому через уже найденную точку К проводим прямую, параллельную ребру АС (или || Рh), и находим точку М. Если не было бы этой особенности, действия были бы аналогичны построению точки L. Совместив последовательно одноименные проекции построенных точек, получим проекции фигуры сечения.

Построить проекции фигуры сечения призмы плоскостью общего положения.

Для построения проекции фигуры сечения призмы плоскостью общего положения Р (рис. 3.5) необходимо найти точки пересечения каждого ребра призмы с плоскостью или линии пересечения каждой грани с плоскостью. Для этого используем оба метода: метод граней и метод ребер.

Через грань ВВ1С1С проводим фронтальную плоскость уровня Q, которая пересекает плоскость Р по фронтали. Грань ВВ1С1С находится в плоскости Q, следовательно и линия пересечения грани с плоскостью Р будет линия 1-2.

Для построения точки 3 через ребро DD1 проводим вспомогательную секущую плоскость R, параллельную фронтальной плоскости проекций. Горизонтальный след этой плоскости Rh проводим через горизонтальную проекцию ребра dd1. Далее строим прямую пересечения вспомогательной плоскости с секущей плоскостью Р. Этой прямой будет фронт плоскости Р. Искомой точке 3/ (фронтальную проекцию точки фигуры сечения) находим на пересечении фронтальной проекции фронтали с фронтальной проекцией ребра призмы. С помощью линии связи находим горизонтальную проекцию точки 3.

Проекционное черчение

Плоскость Р пересекает призму не полностью, поэтому точки 4 и 5 получаем как точки пересечения нижнего основания призмы с
горизонтальным следом плоскости Р.

Совместив последовательно найденые точки получаем фронтальную проекцию фигуры сечения. Горизонтальная проекция будет совпадать с контуром призмы, так как каждая грань является горизонтально-проекционной плоскостью.

Пересечение многогранников прямой линией

При пересечении поверхности призмы или пирамиды прямой линией получают две точки, называют точками входа и выхода. Для построения этих точек в общем случае необходимо провести через прямую вспомогательную плоскость и построить фигуру сечения -многоугольник, который образуется  пересечением этой плоскости с многогранником. Точки, в которых задана прямая пересекается с контуром фигуры сечения, будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью многогранника.

Построение точек М и N пересечения прямой l с поверхностью призмы (рис. 3.6).

Проекционное черчение

Поверхность многогранника считается непрозрачной. Видимость проекций прямой l относительно плоскостей проекций определяется видимостью граней.

Построить точки пересечения прямой линии АВ с поверхностью пирамиды (рис. 3.7).

Через прямую АВ проводим вспомогательную фронтально-проекционную плоскость Q. Фронтальная проекция фигуры сечения
пирамиды этой плоскостью совпадает с фронтальной проекцией плоскости Q, горизонтальная проекция сечения находится с помощью линий связи. Точки пересечения горизонтальной проекции прямой АВ с горизонтальной проекцией фигуры сечения является горизонтальными проекциями искомых точек; по найденным горизонтальными проекциями (точки к и т) строим фронтальные проекции (к/ и m/) точек пересечения.

Бывают случаи, когда нет необходимости в таких построениях (рис. 3.8). Положение проекций к и m понятно, так как боковые грани призмы перпендикулярны плоскости Н. По точками к и т найдено точки к/ и m/.

Проекционное черчение

Пересечение кривых поверхностей плоскостью

Для нахождения кривой линии, полученной в результате пересечения линейчатой ​​поверхности плоскостью, следует в общем случае построить точки пересечения образующих поверхности с секущей плоскостью, то есть найти точку пересечения прямой с плоскостью. Полученная кривая (линия среза) проходит через эти точки.

Если кривая поверхность нелинейчатых, то для построения линии сечения такой поверхности плоскостью в общем случае следует использовать вспомогательные плоскости. Точки искомой линии определяются в пересечении линий, по которым вспомогательные сечные  плоскости пересекают данную поверхность и плоскость.

Большое значение имеет удачный выбор вспомогательных плоскостей. Необходимо стремиться к упрощению построений. Поэтому в большинстве следует пользоваться проекционными плоскостями, поскольку они пересекают поверхности по линиям, которые легко построить, - прямых и кругах.

Плоские сечения некоторых поверхностей вращения

1. Сфера пересекается с плоскостью всегда по кругу.
2. Показать линии, полученные при пересечении плоскостью прямого кругового цилиндра, определяется положением плоскости относительно оси цилиндра. Эта линия - круг, если плоскость перпендикулярна оси; две прямые или одна прямая, если параллельная оси; эллипс, если плоскость, расположенная под углом α ≠ 90 ° к оси.
3. При пересечении конуса второго порядка с плоскостями могут быть получены все кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола.

Эти линии называются коническими сечениями: а) если плоскость Q пересекает все образующие конуса вращения, то в сечении образуется эллипс (рис. 3.9, а). Если плоскость P проходит через вершину конуса, то эллипс вырождается в точку;

Проекционное черчение

Проекционное черчение

б) если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса вращения - окружность;
в) если секущая плоскость параллельна только одной из образующих - парабола (рис. 3.9, б);
г) если секущая плоскость параллельна двум образующим конусам - гипербола (рис. 3.9, в)
д) если плоскость проходит через ось конуса, то она пересекает его по образующмх, с максимальным для данного конуса углом между ними.

4. При пересечении тора (рис. 3.10):
а) плоскостью, перпендикулярной к его оси, образуется круг;
б) плоскостью, проходящей через его ось, сечением являются две окружности с диаметрами, равными диаметру образующего круга;
в) плоскостью параллельной его оси, но которая не проходит через нее, сечением являются так называемые линии Персея.

Кривые Перселя

Проекционное черчение

Пересечение кривых поверхностей плоскостью особого положения

Пересечение кругового цилиндра фронтально-проекционной плоскостью (рис. 3.11).

Проекционное черчение

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Соответственно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью, Р проекциюються на плоскость Н в круг. На ней обозначаем горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 ... 12, разместил их равномерно по кругу. В проекционной связи строим фронтальные проекции 1/2/3// ... 12 / определенных точек, на переднем следе Рv секущей плоскости. Профильные проекции этих точек строим по их горизонтальным и фронтальным проекциями на линиях связи. Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью Р строим способом замены плоскостей проекций на плоскость S, перпендикулярной плоскости V.

Пересечение конуса горизонтально-проекционной плоскостью (рис. 3.12).

Горизонтальная проекция фигуры сечения конуса горизонтально-проекционной плоскостью будет совпадать с горизонтальным следом этой плоскости. Построение начинаем с определение опорных точек. В сечении Sh с горизонтальной проекцией основания определяем точки a и b, а за ними проекции a/ и b/.

Точка с/ - самая высокая точка проекции фигуры сечения. Для ее нахождения проводим вспомогательную горизонтально-проекционную плоскость Т через вот конуса перпендикулярно к следу Sh. Горизонтальную проекцию с точки С получаем в пересечении Sh и Th, на образующей sk. Находя фронтальную проекцию образующей SK, обозначаем на ней точку с/.

Далее, определяем точку d/, в которой фронтальная проекция фигуры сечения разделяется на видимую и невидимую части. Эта точка находится на образующей SN.

Для нахождения других точек фигуры сечения можно провести несколько образующих в пределах той части поверхности конуса, которая обозначена буквами SAKB или несколько вспомогательных секущих плоскостей. Например, горизонтальная плоскость U, которая пересекает поверхность конуса по кругу. С помощью этой плоскости найдены точки F и G.

Проекция е находится на образующей sp. Точку е обращаем вокруг оси, или вершины s, положения параллельности фронтальной плоскости проекций, проекциюемо ее на контурную образующую во фронтальной плоскости проекций. Проводим прямую параллельную оси х до образующей s/ p/ и получаем фронтальную проекцию точки Е. Таким образом можно найти ряд других точек.

Проекционное черчение

Пересечение сферы фронтально-проекционной плоскостью (рис. 3.13).

Проекционное черчение

Сфера пересекается по кругу. Фронтальная проекция круга совпадает с фронтальной вслед секущей плоскости, так как плоскость Р - фронтально-проекционная. Остается построить горизонтальную проекцию. Это будет эллипс.

Сначала построим проекции опорных точек. Опорные точки 1 и 2 находятся на контуре сферы. Горизонтальные проекции этих точек строим на оси, с помощью вертикальных линий связи. Точки 3 и 4 лежат на экваторе и разделяют горизонтальную проекцию кривой на видимую и невидимую части. Для построения горизонтальных проекций точек 5, 6, 7, 8 проводим через точки 5/ (6/) и 7/ (8/) горизонтальные плоскости уровня S и Q, пересекающих сферу по кругам с радиусами R и R1. С помощью линий связи находим горизонтальные проекции точек 5, 6, 7, 8. Совместив плавной кривой горизонтальные проекции построенных точек, найдем горизонтальную проекцию фигуры сечения.

Пересечение кривых поверхностей плоскостью общего положения

Пересечение прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения (рис. 3.14).

Проекционное черчение

Секущая плоскость Р, наклонная к цилиндру, пересекает все его образующие, поэтому в сечении будет эллипс. Горизонтальная проекция эллипса проецируется в круг, который совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.

Для построения фигуры сечения необходимо найти ряд точек, которые одновременно относятся и поверхности цилиндра, и плоскости Р.

Начнем с определения опорных точек. Для построения самой высокой и самой низкой точек через оси цилиндра проводим горизонтально проекционную плоскость Q, перпендикулярную горизонтальному следу плоскости Р. Плоскость Q пересекает цилиндр по образующих, а плоскость Р по линии склона MN. В пересечении проекций образующих цилиндра и линии склона во фронтальной плоскости проекций определяем наивысшую и самую низкую точки 1 / и 2 /, с помощью линий связи находим их горизонтальные проекции 1 и 2.

Для построения точек, находящихся на контурных образующих цилиндра, через ось проводим фронтальную плоскость уровня S. Эта плоскость пересекает плоскость Р по фронтали, а цилиндр - по левой и правой образующих в точках 3 и 4.

Для построения точек 5 и 6, которые находятся на ближайшей и отдаленной образующих проводим фронтальные плоскости уровня. Эти плоскости касаются цилиндра, что позволяет определить по одной точке для кривой. Для построения промежуточных точек можно воспользоваться или горизонтальными, или фронтальными, или горизонтально-проекционными плоскостями, то есть такими, которые в сечении с цилиндром образуют простейшие фигуры - круги, прямые линии, а с секущей плоскостью - прямые. Полученные точки соединяем плавной кривой линией.

Пересечение прямого кругового конуса плоскостью общего положения (рис. 3.15).

Проекционное черчение

Построение фигуры сечения начинаем с определения опорных точек. Через ось конуса проводим вспомогательную горизонтально-проекционную плоскость Q, перпендикулярную к следу Рh. Плоскость Q пересекает конус по образующим ST (s/ t/, st) и SU (s/ u/ и su), а плоскость Р - по линии склона NK (n/ k/, nk). Точки C и D, полученные в пересечении образующих ST и SU с прямой NK, будут искомыми точками. Отрезок CD - большая ось эллипса, полученного при пересечении данного конуса плоскостью Р. Разделив CD пополам, получим положение центра эллипса В (в/ и в).

Для построения точек, находящихся на контурных образующих, через ось конуса проводим вспомогательную секущую плоскость R,
параллельную плоскости V. Плоскость R пересекает плоскость Р по фронтали, а конус - по образующим. Точки А и В, полученные при пересечении фронтали с образующими, принадлежат линии пересечения конуса с плоскостью Р.

Для нахождения промежуточных точек линии пересечения удобно пользоваться горизонтальными секущими плоскостями, которые
пересекают поверхность конуса по кругам, а плоскость Р - по горизонталях. Так находим точки E, F, G, H. Для этого можно использовать только те плоскости, в которых фронтальные следы содержатся в пределах между с/ и d/, так как в данном случае выше точки d/ и ниже точки с/ не может быть точек, принадлежащих линии пересечения.

Полученные точки в горизонтальных и фронтальных плоскостях соединяем плавной кривой линией.

Пересечение кривых поверхностей прямой линией

Пересечение поверхности прямой линией - две точки, называют "точками входа и выхода". Чтобы определять эти точки, нужно провести через упомянутую прямую вспомогательную плоскость, найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью; точки пересечения заданной прямой и построенной линии на поверхности и будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью.

Вспомогательную плоскость, которая проводится через прямую при пересечении ею любой поверхности, следует выбирать так, чтобы образовывались простые сечения.

Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса (рис. 3.16).

Для построения точек М и N пересечения горизонтали h с поверхностью конуса целесообразно через прямую h провести горизонтальную плоскость уровня Q, которая пересекает конус по параллели, проецируется на плоскость Н без искажения. В пересечении горизонтальных проекций параллели и прямой h, находим горизонтальные проекции искомых точек. Фронтальные проекции точек М и N находим с помощью линий связи. 

Проекционное черчение

Построить точки пересечения прямой АВ с конусом (рис. 3.17).

Для построения точек пересечения прямой и конуса целесообразно использовать вспомогательную плоскость, которая проходила бы через вершину конуса и пересекала бы поверхность по прямым линиям.

Задаем плоскость Р, которая определяется вершиной конуса и заданной прямой. Для построения образующих, по которым плоскость Р
пересекает конус, нужно, кроме точки S, найти еще по одной точке на каждой образующей. Эти точки могут быть найдены на пересечении следа плоскости Р, построенного на плоскости основания конуса, с кругом этой основе. Для построения следа Рh взята вспомогательная прямая SC - горизонталь плоскости Р и найден горизонтальный след прямой АВ. След Рh проходит через точку m параллельно проекции sc. Через точки 1, 1/и 2, 2/ пройдут искомые образующие. Точки К1 и К2 являются точками входа и выхода при пересечении прямой АВ с поверхностью конуса.

Построить точки пересечения прямой линии со сферой (рис. 3.18).

Проекционное черчение

Через АВ проводим горизонтально-проекционную плоскость S (след на плоскость Н совпадает с проекцией ab). Она пересекает сферу по кругу, радиус которого R1 равен отрезку с1. Принимая плоскость S за дополнительную плоскость проекций, которая образует с плоскостью Н систему S, Н, строим проекцию asbs отрезке АВ (aas = a/ 2/, bbs = b/ 3/) и проекцию окружности, по которой плоскость S пересекает сферу. Проекцию центра сs находим, откладывая csc = o/ /, и с точки сs проводим радиусом R1 дугу так, чтобы получить точки ks и ms. По этим точкам находим проекции к и m, а затем - проекции к/ и m/.

Построить точки пересечения поверхности цилиндра прямой линией (рис. 3.19).

Для построения точек пересечения поверхности цилиндра прямой линией АВ проводим плоскость Р, которая определяется, кроме прямой АВ, дополнительной прямой ВМ1, проведенной через точку В параллельно образующим цилиндра. Эта плоскость пересекает цилиндр по его образующих. Если найти горизонтальные следы прямых, которые определяют плоскость, то можно провести горизонтальный след плоскости Р.

Обозначив точки 1 и 2 на пересечении следа Рh с основанием цилиндра, проводим через эти точки прямые параллельно горизонтальной проекции образующей цилиндра и обозначаем точки К1 и К2 - горизонтальные проекции точек пересечения прямой АВ с поверхностью цилиндра. Далее находим точки к/ 1 и к/ 2.

Проекционное черчение

Общие сведения о разрезах и сечениях

Правила построения изображений предметов на чертежах всех отраслей промышленности регламентирует ГОСТ 2.305-68. Изображение предмета должно давать полное представление о его форме, размерах и другие данные, необходимые для его изготовления и контроля.

Как указывалось в пункте 2.4, для построения изображений пользуются методом прямоугольного проецирования, когда предмет размещают между глазом наблюдателя и плоскостью проекций. Основными плоскостями проекций выбирают шесть граней пустотелого куба, внутри которого помещают предмет, проецируется на внутренние грани куба. Затем основные плоскостей проекций совмещаются с фронтальной плоскости. В результате образуется плоское комплексное чертежи.

В зависимости от содержания изображения разделяют на вид, разрез и сечение. Количество их должно быть минимальным, но достаточным для полного представления о изображаемый предмет.

Разрез - это изображение предмета, условно пересечена одной плоскостью или несколькими (рис. 3.20). Условное рассечение касается только изображаемого разреза и не влияет на другие изображения того же предмета. При этом часть предмета, расположенная между наблюдателем и секущей плоскостью, мысленно удаляется, а на плоскости проекций изображается то, что размещено в секущих плоскостях и за ними.

Разрезы позволяют выявить внутреннюю форму предмета, когда линии невидимого контура не дают однозначной картины или их чтения на картинке затруднено. На разрезе внутренние формы изображают линиями видимого контура, а сечение заштриховывают соответствии с материалом детали.

Сечение - это изображение плоской фигуры, образующийся при условном пересечении предмета одной плоскостью или несколькими. При этом изображается только то, что размещено в секущих плоскостях.

Итак, существует различие между разрезом и сечением: сечение является составной частью разреза (рис. 3.20).

Проекционное черчение

Взаимное пересечение поверхностей

Подавляющее большинство вещей, предметов, технических деталей, машин, строительных и других изделий предметного мира, в котором живет и работает человек, представляют собой сочетание различных геометрических тел. Такое сочетание следует понимать прежде всего как пересечение поверхностей тел: цилиндров, конусов, сфер, пирамид, призм и других гранных и кривых поверхностей и их комбинаций.

Пересечение поверхностей приводит к образованию линий - прямых или кривых, представляющих собой совокупность ряда точек, общих для поверхностей, которые пересекаются. Линии взаимного пересечения поверхностей могут быть плоскими или пространственными.

При пересечении гранных поверхностей линии пересечения имеют ряд замкнутых ломаных линий. Линии пересечения двух кривых поверхностей, представляют собой в основном пространственные кривые, но в отдельных случаях могут быть плоскими (эллипсы, кругами и т.п.) или прямым. При пересечении гранной поверхности с кривой линией пересечения фигура имеет форму кривой с точками излома на ребрах многогранника.

Для построения линий взаимного пересечения поверхностей необходимо найти точки, котрые могли бы принадлежать одновременно этим поверхностям. Поиск точек линии пересечения следует прежде всего начинать с опорных точек.

Сформулируем общее правило:
1. Пересекаем заданные поверхности вспомогательным элементом - посредником.
2. Определяем линии пересечения посредника с каждой поверхностью отдельно.
3. Находим точки пересечения полученных линий.

В качестве посредников можно использовать:
· Плоскости особого положения;
· Плоскости общего положения;
· Вспомогательные сферы ...

Посредники следует выбирать так, чтобы они пересекали данные поверхности по линиям, проекции которых графически легкими для сборки.
Полученные точки необходимо соединить между собой в определенной последовательности. Последним этапом решения задачи на пересечение поверхностей является определение видимости отдельных частей линии пересечения.

Взаимное пересечение многогранников

Построение линии взаимного пересечения многогранных поверхностей можно выполнить двумя способами, комбинируя их между собой или используя в них тот, который в зависимости от условий задачи дает более простые построения. Вот эти способы:

1. Определяют точки, в которых ребра одной из поверхностей пересекают грани второй и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой линии с плоскостью). Построенные точки соединяем в определенном порядке прямыми линиями, получая ломаную, звенья которой являются линиями пересечения граней первого многогранника с гранями другого. Эта ломаная и будет линией пересечения двух многогранников. Совмещать можно только те точки, которые лежат на одних и тех же гранях каждого многогранника.

2. Определяют отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой (задача на пересечение двух плоскостей между собой); эти отрезки являются звеньями ломаной линии, полученной при пересечении многогранных поверхностей между собой. Видимыми линиями в каждой проекции будут линии пересечения видимых граней.

Если проекция ребра одной из поверхностей не пересекает проекции грани второй хотя бы на одной из проекций, то данное ребро не пересекает этой грани.

Построить линии пересечения треугольной призмы с треугольной пирамидой (рис. 3.21).

Проекционное черчение

Построение основано на нахождении точек пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. На рис. 3.21 показано построение точек А1 и А2, в которых ребро пирамиды SA пересекает красивые DEE1D1 и EFF1E1 призмы. Через ребро SA проводим горизонтально проекционную плоскость Q, которая в горизонтальной проекции пересекает ребра призмы в точках 1, 2, 3; по этим проекциях находим фронтальную проекции точек пересечения плоскости Q с ребрами призмы 1/2/3/. Определяем точки а/ 1 и а/ 2, в которых a/ s/ пересекается с контуром 1/2/3/. Точки а/ 1 и а/ 2 - фронтальные проекции точек соприкосновения ребра SA с гранями призмы; горизонтальные проекции этих точек - точки а1 и а2 - находятся на горизонтальной проекции ребра SA.

Аналогично находим точки В1, В2, 1, С2 пересечения ребер SB и SC с гранями призмы.

После этого находим сечение ребер призмы с гранями пирамиды, также проводя вспомогательные горизонтально-проекционные плоскости. Точки D2 и D3 - точки пересечения ребра DD1 с гранью пирамиды. Ребра ЕЕ1 и FF1 с гранями пирамиды не пересекаются.

Взаимное пересечение кривых поверхностей

Поверхности вращения пересекаются по пространственной кривой. Существуют следующие случаи взаимного пересечения поверхностей: 1) частичное врезание - когда часть образующих или ребер одной поверхности пересекаются частью образующих или ребер другой. В этом случае линия взаимного пересечения представляет собой замкнутую пространственную кривую или ломаную.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Построить линию пересечения сферы с конусом вращения (рис. 3.22).

Для построения линии пересечения заданных поверхностей целесообразно использовать серию вспомогательных горизонтальных плоскостей, перпендикулярных оси конуса, которые пересекают сферу и конус по кругам. На пересечении этих кругов определяют точки искомой линии.

Построение начинают с определения опорных точек. Для этого через оси конуса и сферы проводят фронтальную плоскость уровня Р, которая пересекает конус по контурным образующим, а сферу по максимальному диаметру. В пересечении фронтальных проекций контурных образующих конуса и максимального диаметра сферы получаем точки 1/ и 2/. Горизонтальные проекции этих точек размещены на горизонтальном следе плоскости Р. Проекции 3/, 3 и 4/4, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью горизонтальной плоскости уровня Q (Qv), которая проходит через центр сферы О (m/). Она пересекает сферу по экватору, а конус по окружности радиуса rq. В пересечении их горизонтальных проекций находим горизонтальные проекции 3, 4 точек искомой линии пересечения. Эти точки - точки видимости, они разделяют горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части.

Проекции промежуточных точек 5, 5/ и 6, 6/ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Т (ТM). Аналогично построим другие точки.

Совместив одноименные проекции построенных точек плавной линией, получим проекции линий пересечения. В фронтальной плоскости проекций видимая и невидимая части линии пересечения будут совпадать.

Проекционное черчение

Способ вспомогательных секущих сфер

Если ось поверхности вращения проходит через центр сферы и сфера пересекает эту поверхность, то линия пересечения сферы и поверхности вращения - круг, плоскость которого перпендикулярна к оси поверхности вращения. При этом, если ось поверхности вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проекциюуеться в отрезок прямой линии. Это свойство используется для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью секущих сфер. При этом могут использоваться концентрические и эксцентрические сферы.

Способ вспомогательных концентрических (с постоянным центром) сферических сечений:

Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей используют при условии, что:
· Обе пересекающиеся поверхности - поверхности вращения;
· Оси поверхностей вращения пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных концентрических сфер;
· Плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), параллельна плоскости проекций.

Построить линии пересечения двух конусов (рис. 3.23).

Построение начинаем с определения проекций опорных точек. Для этого через оси конусов проводим фронтальную плоскость уровня Р, которая пересекает конусы по контурным образующих во фронтальной плоскости проекций. В пересечении фронтальных проекций образующих получаем точки 1/2/3/4/. Горизонтальные проекции этих точек размещены на горизонтальном следе плоскости Р.

Точки 5, 6, 7, 8 в которых на горизонтальной плоскости проекций происходит деление на видимую и невидимую части, находим с помощью горизонтальной плоскости Т, проходящей через вот горизонтального конуса.

Следующие построения выполним с помощью секущих концентрических сфер. Сферы будем проводить из центра О (о, о/) - точки пересечения осей конусов.

На плоскости проекций V с точки о/ проводим круг наименьшим радиусом Rmin и принимаем этот круг за фронтальную проекцию секущей сферы малого радиуса (сфера касающаяся обеих поверхностей или касательная к другу и пересекающимися со второй). Эта сфера пересекает конусы по кругам, которые проецирются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков a/ b/, c/ d/, e/ g/. На пересечении этих отрезков находим точки 9/, 10/, 11/, 12/, которые являются фронтальными проекциями точек линии пересечения поверхностей. Оси конусов параллельные фронтальной плоскости проекций, поэтому видимые и невидимые проекции этих точек во фронтальной плоскости проекций будут совпадать. Горизонтальные проекции точек находим с помощью линий связи на горизонтальной проекции круга, образованного при пересечении вертикального цилиндра сферой минимального радиуса.

Выбирая сферу максимального радиуса, следует иметь в виду, что она должна проходить через наиболее удаленную опорную точку. Для определения промежуточных точек, принадлежащих линии взаимного пересечения, в промежутке между наибольшей и наименьшей сферами размещаем еще несколько сфер.

Совместив одноименные проекции построенных точек плавной линией, получим проекции линий пересечения. В фронтальной плоскости проекций видимая и невидимая части линии пересечения будут совпадать.

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Влияние отношение размеров поверхностей на линию их взаимного пересечения

Зависимость линий пересечения поверхностей вращения от соотношения между собой их размеров рассмотрим на примере двух цилиндров и цилиндра с конусом (рис. 3.24; 3.25).

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Изменения проекции линии пересечения вертикального и горизонтального цилиндров в зависимости от изменения соотношения диаметров d1 вертикального и d2 горизонтального цилиндров показано на рис. 3.24.

С приближением значения диаметра d1 вертикального цилиндра к диаметру d2 горизонтального цилиндра линия пересечения все больше прогибается вниз. Когда диаметры равны друг другу, возникает перелом, а плавная линия пересечения превращается в две плоские эллиптические кривые, проекциються в два отрезка и плоскости которых пересекаются между собой под прямым углом. При дальнейшем увеличении диаметра d1 вертикального цилиндра (d1> d2) общее направление линии пересечения меняется.

Изменения проекции линии пересечения прямых круговых конуса и цилиндра в зависимости от угла при вершине конуса показано на рис. 3.25. В случаях (а, б) сечение конуса с цилиндром происходит по линии 4-го порядка. Она разделяет конус на две части, одна из которых прилегает к вершине, вторая - к основанию (конус "врезается" в цилиндр). В случае (в) конус и цилиндр касаются одной сферы и пересекаются по двум плоских пересекающимися между собой эллиптических кривых 2-го порядка, которые проекциюються в отрезки прямых. В случае (г) линии их пересечения разделяют цилиндр на две части (цилиндр "врезается" в конус).

Способ вспомогательных эксцентрических сферических сечений:

Способ вспомогательных эксцентрических сферических сечений (секущих сфер с переменным центром) для построения линии пересечения двух поверхностей используют если:

· Одна из пересекающимися поверхностей - поверхность вращения, другая поверхность имеет круговые сечения;
· Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии (т.е. ось поверхности вращения и центры круговых сечений второй
поверхности принадлежат одной плоскости - плоскости их симметрии);
· Плоскость симметрии параллельна плоскости проекций.

Построить линию пересечения прямого кругового конуса с тором при условии, что ось конуса лежит в плоскости, проходящей через среднюю линию тора (рис. 3.26).

Ось конуса параллельна плоскости V, ось тора перпендикулярна к плоскости V, у центров осевых круговых сечений тора и вот конуса лежат в одной плоскости, параллельной плоскости V.

Построение начинаем с определения проекций опорных точек. Для этого через оси обеих поверхностей проводим общую плоскость симметрии Р, которая пересекает обе поверхности по контурным образующих во фронтальной плоскости проекций. В пересечении фронтальных проекций образующих получаем точки 1/ и 2/. Горизонтальные проекции этих точек размещены на горизонтальном следе плоскости Р.

Для построения промежуточных точек находим центры секущих сфер.

Проекционное черчение

Проекционное черчение

Для этого проводим несколько фронтально-проекционных плоскостей Р1 и Р2, которые проходит через вот тора и пересекают его по кругам с центрами в точках о/ 1 и о/ 2. Далее через центр о/ 1 проводим прямую, перпендикулярную к плоскости Р1, а следовательно, и к плоскости круга, и продолжаем ее до пересечения с осью цилиндра в точке с/ 1. Проведена прямая касательная к средней линии тора.

Берем точку с/ 1 в центр и проводим круг так, чтобы оно прошло через концы отрезка, в который проекиюеться окружность с центром о/ 1, то есть через конце е/ 1 и е/ 2 диаметра круга. Приняв круг за сечение шар, легко заметить, что она пересекает кольцо и цилиндр по кругам, проекциями которых на плоскости проекций V является отрезки е/1 е/2 и d/1 d/2. Пересечение отрезков определяет общие точки 3 и 4 линии пересечения этих поверхностей. Горизонтальные проекции точек находим с помощью линий связи.

Аналогично находим центр с/2 для второй секущей шара, от пересечения которой с тором и цилиндром находим точки 5 и 6 линии их пересечения.

Совместив плавной кривой одноименные проекции построенных точек, получим проекции линий пересечения.

Линии пересечения и перехода в технике

На чертежах деталей машин линии пересечения и линии перехода поверхностей встречаются довольно часто. Иногда эти линии являются сложными лекальными кривыми, для построения которых необходимо найти большое количество точек.

На чертеже линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией толщиной "S" (рис. 3.27).

Проекционное черчение

В местах сопряжения поверхностей литых и штампованных деталей нет четкой линии пересечения (рис. 3.28).

Воображаемой линией пересечения называется линия перехода и условно изображается на чертеже сплошной тонкой линией, толщиной S/ 2 - S/ 3.

Построение линий пересечения и перехода иногда требует значительного точности.

Линии взаимного пересечения строят способом вспомогательных плоскостей, способом сфер или их сочетанием. Для правильного выбора способа построения сначала определяют поверхности, которые составляют форму детали.

Для того, чтобы чертеж был более простым и понятным, а также с целью экономии времени в процессе его выполнения, ГОСТ 2.305- 68 устанавливает определенные условности и упрощения, в частности, плавный переход от одной поверхности к другой изображается условно (рис. 3.29) или совсем не изображается.

Проекционное черчение

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Способы преобразования чертежа
  19. Кривые линии
  20. Кривые поверхности
  21. Трёхгранник Френе
  22. Проецирование многогранников
  23. Проецирование тел вращения
  24. Развёртывание поверхностей
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы