Продольные колебания стержней

Продольные колебания стержней

Вертикальное качание штанги. Далее обратимся к исследованию колебаний в системах с непрерывным распределением массы. Простейшим примером здесь является задача продольной вибрации стержня определенного сечения. Сечение обозначает смещение левого сечения путем изменения определенного момента времени, занимающего положение сечение положение , его начальными координатами были. Смещение составляет функции Переменная времени и нетрансформированного состояния , а следовательно, смещение участка с координатами на том же рисунке показаны элементы.

Если напряжение, действующее на участок , выражается как , то, действующее на участок , становится. Отображаются следующие элементы д и Движение, его ускорение равно Масса , где плотность, а площадь поперечного сечения. Создайте уравнение движения для этого элемента. Но согласно, относительный вариант элемента Принесите его сюда. Уравнение движения и редукции. Обращаясь к , следует, что с скорость распространения продольных упругих волн. Дифференциальные уравнения. называются волновыми уравнениями, они представляют все виды динамических процессов, распространения волн, колебаний в стержне.

В мы рассматривали распространения волн, не прибегая к дифференциальным уравнениям, но теперь мы можем получить тот же результат в разных . фактически, установив , вы удовлетворяете уравнению. Где совершенно произвольная функция. Но движение, найденным решением, есть распространение волны со скоростью . общий вид решения уравнения, принадлежащего Даламбуру равен члена это волны, движущиеся с одинаковой скоростью в противоположном.

Решение является полностью общим в том смысле, что движения стержня могут быть выражены таким образом, но оно неудобно для исследования колебаний, так как собственная частота не может быть обнаружена простым способом. Метод, применяемый к задаче вибрации, называется методом разделения переменных или методом Фурье. Прежде всего, следует отметить, что уравнение . является линейным уравнением, решение которого обладает следующими очевидными свойствами .Умножает конкретное решение. Любая константа является решением этого уравнения.

Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно связаны c волнами. вики

Примеры решения в задачах

Сумма и, следовательно, любое количество конкретных решений является решением. Теперь ищем конкретное решение уравнения .в виде произведения функций. Подставьте указанное выражение в выражение .? Техасстх. Здесь точки указывают на различие времени, штрихов и координат. Разделение переменных заключается в том, что это уравнение записывается следующим образом член является функцией только времени, а второй член является функцией координат . возможно, что каждая из этих функций равна только в том случае, если она является константой. Следовательно, является константой.

Для функций и следующие, уже обыкновенные дифференциальные уравнения. Общий Интеграл первого. Это указывает на то, что он сам представляет собой круговую частоту свободного . остается определить функцию .Общий Интеграл уравнения грех. При определении констант этого уравнения из граничных условий мы сталкиваемся с той же ситуацией, что и при решении задачи устойчивости. Однородная система уравнений с тривиальными нулевыми решениями получена при однородных граничных условиях для определения констант и . тривиальное решение существует только для определенного значения , которое является собственной частотой чем перейти к примеру, выясните возможные типы граничных уравнений. а фиксированный конец, и быть свободный край, следовательно.

Поскольку не является ненулевым, в Наконец, нагрузка массой распределяется по, приравнивая инерционную силу нагрузки к внутренней силе конца. С они верили, Используйте уравнение чтобы удалить отсюда и уменьшить общий коэффициент. по. В качестве рассмотрим задачу о колебаниях стержня длины. Один конец штанги неподвижен, а другой конец имеет массу нагрузки. Поместите начало координат в точке сразу константа Равен нулю формулы ..Присвоить значение граничному в конце для закрепления нагрузки, то вариации не существует. Колебания происходят только тогда, когда кронштейн исчезает. Масса бруска выражается, которое находит , принимает вид Это трансцендентальное уравнение имеет бесчисленные корни, а число собственных частот в системе бесконечно велико. Корни определяются графически, как показано на рисунке значение формулы условию с Является абсциссой пересечения кривой и гиперболы.

Если значение очень большое, то гипербола пройдет очень он расположен вблизи горизонтальной оси, и абсцисса пересечения гиперболы и тангентоида очень отличается. Поэтому для высоких частот получаем асимптотическое выражение о. если достаточно большое, то собственная частота, определяемая по приближенной формуле ., практически не отличается от точного значения. Рассчитайте частоту основного звука в предположении, что масса стержня мала относительно массы груза. Небольшое количество и уравнение в первом приближении Его можно записать следующим образом. После очевидного преобразования, означает следующее но при учете вибрации системы степени свободы, то есть массы, и, наконец, вибрации системы, несущей массу , становится возможным получить такое значение собственной частоты форма уравнения выглядит следующим образом год приблизительное решение.

Методические указания и учебники	решения и формулы
задачи и методички	теория

Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается теория колебаний и волн. вики