Принципы теоретической механики

Содержание:

  1. Принцип даламбера - лагранжа
  2. Пример решения задачи 82.
  3. Принцип возможных перемещении
  4. Пример решения задачи 43.
  5. Принцип Торричелли
  6. Пример решения задачи 48.
  7. Пример решения задачи 49.

Принцип даламбера - лагранжа

Рассмотрим систему материальных точек Принципы теоретической механики Принципы теоретической механики на которые действуют активные силы Принципы теоретической механики с проекциями на неподвижные оси координат Принципы теоретической механики В общем случае перемещения точек системы будут стеснены наложенными на систему связями, поэтому не могут быть произвольными. Действие на точки системы связей эквивалентно действию некоторых сил, которые называются силами реакций и обозначаются через Принципы теоретической механики Проекции этих сил на неподвижные оси координат обозначим через Принципы теоретической механики В соответствии с одной из основных аксиом механики связи, наложенные на систему материальных точек, могут быть заменены силами реакций. После такой замены система может рассматриваться как свободная от связей.

Будем предполагать, что на систему материальных точек наложены идеальные связи, т. е. связи, сумма работ реакций которых на любом возможном перемещении системы равна нулю, что аналитически можно записать в виде равенства

Принципы теоретической механики

Заменив связи, наложенные на систему, силами, можно записать уравнения движения для каждой точки системы

Принципы теоретической механики

Принципы теоретической механики

Разрешая эти уравнения относительно реакций связей и подставляя полученные значения в уравнение, определяющее идеальные связи, получим равенство

Принципы теоретической механикиПринципы теоретической механики

Равенство (а) имеет место для всех возможных перемещений системы. Оно, как видно из вывода, является необходимым условием для действительного движения механической системы. Можно показать и его достаточность, т. е. что соотношение (а) выполняется только для действительных движений (определяет действительное движение системы). Для доказательства к активным силам, действующим на систему, добавим силы реакции связей, после чего будем рассматривать систему как свободную от связей.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Для такой системы допустимы любые возможные перемещения. Обозначив теперь через Принципы теоретической механики возможные перемещения «освобожденной» системы, будем иметь

Принципы теоретической механикиПринципы теоретической механики

В силу того, что теперь величины Принципы теоретической механики независимы и произвольны, отсюда получим

Принципы теоретической механики

Принципы теоретической механики

Последние равенства определяют действительное движение системы материальных точек, чем и доказывается достаточность уравнения (а).

Уравнение (а) является общим уравнением динамики системы материальных точек и было впервые установлено Лагранжем. Впоследствии это уравнение стали называть принципом Даламбера — Л а г р а н ж а, или принципом Даламбера. Оно охватывает все движения механических систем с идеальными связями. Принцип Даламбера— Лагранжа заключается в том, что уравнение (а) является необходимым и достаточным условием действительного движения механической системы.

Исходя из общего уравнения динамики, можно решать все задачи о движении механических систем. Оно не содержит реакции связей, а следовательно, дает возможность решать задачи о движении механической системы, не определяя этих реакций. Величины Принципы теоретической механики представляют собой возможные перемещения точек системы, т. е. те перемещения, которые допускаются связями в данный момент времени. Для каждого конкретного возможного перемещения общее уравнение дает одно дифференциальное уравнение движения системы.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика вариант

Скачать теоретическую механику

Перебирая различные возможные перемещения, получим полную систему дифференциальных уравнений движения системы.

Пример решения задачи 82.

Рассмотрим движение системы, состоящей из двух призм, одна из которых, с массой Принципы теоретической механики может свободно скользить по гладкой горизонтальной плоскости, а вторая, с массой Принципы теоретической механики под действием силы тяжести скользит без трения по первой (рис. 183).

Положение системы можно полностью определить двумя параметрами Принципы теоретической механики и Принципы теоретической механики которые можно изменять независимо один от другого. Рассмотрим сначала возможное перемещение, соответствующее изменению только параметра Принципы теоретической механики оставляя параметр Принципы теоретической механики неизменным. Обозначая через Принципы теоретической механики и Принципы теоретической механики вторые производные по времени от величин Принципы теоретической механики и Принципы теоретической механики запишем уравнение для рассматриваемого перемещения

Принципы теоретической механики

Отсюда, сокращая на Принципы теоретической механики получим дифференциальное уравнение движения

Принципы теоретической механики

Принципы теоретической механики

Рассматривая далее возможное перемещение, при котором изменяется параметр Принципы теоретической механики и не меняется Принципы теоретической механики будем иметь

Принципы теоретической механики

Отсюда, после сокращения на Принципы теоретической механики получим второе дифференциальное уравнение движения

Принципы теоретической механики

Замечание. Все члены уравнения (а) имеют размерность работы, поэтому можно сказать, что общее уравнение динамики устанавливает равенство нулю работы активных сил и сил инерции Даламбера

Принципы теоретической механики

на всех возможных перемещениях системы.

Принцип возможных перемещении

1. Определения. Будем рассматривать систему материальных точек Принципы теоретической механики на которые действуют некоторые заданные активные силы Принципы теоретической механики предполагая, что на точки

Принципы теоретической механики

системы наложены связи, не изменяющиеся со временем и ограничивающие перемещения точек системы. Множество всех бесконечно малых перемещений точек, допускаемых наложенными на систему связями, называется возможными перемещениями системы.

Возможные перемещения могут быть как освобождающими, при которых некоторые из точек системы покидают наложенные на систему связи (освобождаются), так и неосвобождающими, при которых наложенные на систему связи сохраняются и после перемещения системы. Так, например, материальная точка Принципы теоретической механики подвешенная при помощи нерастяжимой гибкой нити к неподвижной точке Принципы теоретической механики (рис. 121), может находиться в равновесии под действием некоторых сил, если расстояние точки от центра не превышает длины нити. Условие связи здесь может быть записано в виде неравенства (соединенного с равенством)

Принципы теоретической механики

Тяжелый материальный шарик, находящийся на горизонтальном столе, может перемещаться по его поверхности или вверх, покидая стол. Выбирая систему координат так, чтобы оси Принципы теоретической механики и Принципы теоретической механики были расположены в горизонтальной плоскости стола, а ось Принципы теоретической механики была бы направлена вертикально вверх, условие связи запишем в виде

Принципы теоретической механики

Если в рассматриваемом положении равновесия та или иная связь не действует на материальную точку и не стесняет ее перемещений, то говорят, что такая связь находится в ненатянутом положении.

Так, например, рассматривая равновесие тяжелого шарика, находящегося внутри цилиндрической трубы с горизонтальной осью, и предполагая, что, кроме того, перемещения шарика стеснены наклонной плоскостью (рис. 122), условия связи можно представить в виде

Принципы теоретической механики

Вторая связь в положении равновесия не ограничивает возможные перемещения шарика и находится в ненатянутом состоянии.

Если наложить на шарик связи вида

Принципы теоретической механики

(рис. 122), то в положении равновесия будут натянуты обе связи.

Ненатянутые связи не ограничивают возможные перемещения точек системы. Натянутые односторонние связи ограничивают возможные перемещения точек в одну сторону. Условия, накладываемые связями на возможные перемещения, получаются дифференцированием уравнений связи. Так, для рассмотренного выше случая (рис. 121) точки, подвешенной на нити, имеем условие связи в виде

Принципы теоретической механики

Здесь знак равенства имеет место лишь для перемещений по поверхности сферы радиуса Принципы теоретической механики Знак неравенства отвечает здесь перемещениям, ослабляющим натяжение нити. В случае натянутой нити на точку в положении равновесия будет действовать сила реакции со стороны нити — реакция натяжения. Она направлена в сторону освобождающих перемещений ортогонально к поверхности связи. Рассматривая в этом случае работу силы реакции на произвольном возможном перемещении, будем иметь

Принципы теоретической механики

Работа будет равна нулю для всех возможных перемещений, при которых нить остается в натянутом состоянии (неосвобождающее перемещение), и будет положительной для перемещений, при которых нить ослабевает, т. е. связь переходит в ненатянутое состояние.

Обозначим через Принципы теоретической механики вектор бесконечно малого перемещения точки Принципы теоретической механики возможного при наложенных на систему связях. Проекции этого вектора на оси координат обозначим через Принципы теоретической механики и будем называть их вариациями координат. Заменив наложенные на точку Принципы теоретической механики связи силой реакции Принципы теоретической механики действие которой эквивалентно действию связей, можно рассматривать систему, как освобожденную от связей, но находящуюся под действием активных сил Принципы теоретической механики и сил реакции Принципы теоретической механики Из всех связей, которые вообще могут быть наложены на систему материальных точек, будем рассматривать лишь такие, сумма работ реакций которых на любом возможном перемещении системы неотрицательна и, следовательно, удовлетворяет условию

Принципы теоретической механики

Связи, удовлетворяющие этому условию, будем называть идеальными. Знак равенства здесь соответствует неосвобождающим перемещениям. Освобождающим возможным перемещениям соответствует знак неравенства, если только соответствующие силы реакции отличны от нуля.

Примером идеальных связей являются гладкие связи, не препятствующие перемещениям материальных точек вдоль поверхностей связи. Силы реакции таких связей всегда ортогональны к неосвобождающим перемещениям точек системы и направлены в сторону освобождающих возможных перемещений, поэтому условие идеальности оказывается выполненным.

Идеальными могут оказаться и негладкие связи. Покажем это на примере.

Принципы теоретической механики

Пример решения задачи 43.

Исследовать состояние равновесия тяжелого колеса, находящегося на шероховатом горизонтальном рельсе

Решение. Предположим, что на колесо действуют две горизонтальные силы Принципы теоретической механики и Принципы теоретической механики как это указано на рис. 123. Тогда уравнения равновесия получат вид

Принципы теоретической механики

откуда сразу следует, что колесо будет находиться в равновесии, если выполняется условие

Принципы теоретической механики

но тогда горизонтальная составляющая силы реакции в точке касания будет равна

Принципы теоретической механики

Таким образом, равновесие оказывается возможным лишь при шероховатых негладких связях. Связь эта является идеальной, так как работа силы реакции на возможном перемещении (вращении вокруг мгновенного центра скоростей) равна нулю.

Предполагая, что на систему материальных точек Принципы теоретической механики действуют активные силы Принципы теоретической механики и наложены односторонние связи вида

Принципы теоретической механики

Принципы теоретической механики

заметим, что если в положении равновесия связь удовлетворяется в виде неравенства, то она будет удовлетворяться в виде неравенства и в некоторой достаточно малой окрестности положения равновесия. Такие связи являются несущественными в данном положении равновесия, поэтому могут быть исключены из рассмотрения. В дальнейшем будем рассматривать лишь такие связи, которые в данном положении равновесия натянуты и, следовательно, записываются в виде равенств (знак неравенства тогда отвечает другим положениям системы, отличным от данного положения равновесия).

Предположим, что связи, наложенные на материальные точки системы, задаются независимой системой функций, так что в матрице Якоби

Принципы теоретической механики

составленной из частных производных по всем координатам, оказывается отличным от нуля хотя бы один из миноров Принципы теоретической механики порядка. Тогда при натянутых связях положение системы определяется Принципы теоретической механики независимыми параметрами.

При возможных перемещениях система может освобождаться от некоторых из связей, поэтому вариации координат при различных возможных перемещениях системы будут удовлетворять условиям

Принципы теоретической механики

где знак равенства имеет место лишь для неосвобождающих возможных перемещений, а знак неравенства — для освобождающих, В силу независимости функций Принципы теоретической механики среди всех неосвобождающих перемещений будет только Принципы теоретической механики независимых, а остальные будут выражаться через независимые. Наложенные на систему материальных точек связи могут быть заменены силами реакций Принципы теоретической механики действие которых эквивалентно действию связей.

Принцип Торричелли

В качестве примера на применение принципа Бернулли рассмотрим известный принцип Торричелли, устанавливающий условия равновесия тяжелых тел. В 1644 г. итальянский физик Еванджелиста Торричелли (1608—1647) сформулировал принцип равновесия системы тяжелых тел (системы тел, находящихся под действием только сил тяжести), заключающийся в том, что в положении равновесия центр тяжести системы занимает наинизшее из возможных положение. Принцип Торричелли отбирает из всех возможных положений равновесия только устойчивые. Обобщение этого принципа можно непосредственно получить из принципа Бернулли. В самом деле, пусть на систему материальных точек Принципы теоретической механики стесненную идеальными двусторонними связями, действуют только силы тяжести Принципы теоретической механики Выберем систему прямоугольных осей Принципы теоретической механики таким образом, чтобы осьПринципы теоретической механики была направлена вертикально вверх. Тогда для проекций активных сил на эти оси будем иметь

Принципы теоретической механики

поэтому принцип Бернулли получает вид

Принципы теоретической механики

В силу соотношения

Принципы теоретической механики

где Принципы теоретической механики — координата центра тяжести системы, предыдущее равенство перепишется в виде

Принципы теоретической механики

Отсюда следует, что в положении равновесия координата Принципы теоретической механики центра тяжести системы имеет стационарное значение. Система будет находиться в равновесии, если при всех возможных перемещениях системы ее центр тяжести не перемещается по вертикали.

Пример решения задачи 48.

Палочка Принципы теоретической механики длиной Принципы теоретической механики и весом Принципы теоретической механики концом Принципы теоретической механики опирается иа плоскость Принципы теоретической механики образующую угол Принципы теоретической механики с горизонтом, а в точке Принципы теоретической механики — на острие (рис. 128). Определить угол Принципы теоретической механики между палочкой и горизонтом при равновесии. Размеры и расположение плоскости и острия указаны на чертеже.

Решение. Возможное перемещение палочки сводится к повороту вокруг мгновенного центра Принципы теоретической механики расположенного в точке пересечения нормалей к плоскости Принципы теоретической механики и к палочке. Из всех точек палочки только перемещение точки Принципы теоретической механики находящейся иа одной вертикали с точкой Принципы теоретической механикигоризонтально. Как

Принципы теоретической механики

следует из принципа Торричелли, палочка будет находиться в равновесии лишь в том случае, когда ее центр тяжести будет находиться в точке Принципы теоретической механики

Для получения аналитического решения определим сначала координату Принципы теоретической механики центра тяжести палочки:

Принципы теоретической механики

где

Принципы теоретической механики

тогда

Принципы теоретической механики

При бесконечно малом возможном перемещении палочки координата Принципы теоретической механики получит приращение

Принципы теоретической механики

которое в соответствии с принципом Торричелли должно обращаться в нуль в положении равновесия, т. е.

Принципы теоретической механики

откуда для определения угла Принципы теоретической механики получаем уравнение

Принципы теоретической механики

Пример решения задачи 49.

Два одинаковых цилиндра весом Принципы теоретической механики каждый положены на внутреннюю поверхность полого цилиндра. Они поддерживают третий цилиндр весом Принципы теоретической механики (рис. 129). Определить зависимость между углами Принципы теоретической механики и Принципы теоретической механики при равновесии системы. Размеры указаны на чертеже.

Решение. Выберем систему осей Принципы теоретической механики с началом в центре неподвижного цилиндра. Ось Принципы теоретической механики направим вертикально вверх. Тогда координата Принципы теоретической механики центра тяжести системы определится из равенства

Принципы теоретической механики

где Принципы теоретической механики — координаты центров тяжести нижних цилиндров: Принципы теоретической механики — координата центра тяжести верхнего цилиндра. Тогда в силу симметрии будем иметь

Принципы теоретической механики

где Принципы теоретической механики — радиус полого цилиндра; Принципы теоретической механики — радиусы нижних цилиндров, Принципы теоретической механики — раднус верхнего цилиндра. Тогда

Принципы теоретической механики

и из принципа Торричелли падучим

Принципы теоретической механики

Параметры Принципы теоретической механики и Принципы теоретической механики связаны соотношением

Принципы теоретической механики

сохраняющимся при всех возможных перемещениях системы. Поэтому будем иметь зависимость

Принципы теоретической механики

получающуюся непосредственным дифференцированием соотношения (Ь) Исключая из уравнений (а) и (с) величину Принципы теоретической механики получим после сокращения на Принципы теоретической механики

Принципы теоретической механики

откуда

Принципы теоретической механики